FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIER�IA Y AGRIMENSURA

Escuela de Formaci�on B�asica - Departamento de Matem�atica

Introducci�on a la Optimizaci�on | M�etodos Num�ericos

Pr�actica de C�atedra

Teor��a:

Javier Signorelli

Javier Sorribas

Pr�actica:

Pablo Sabatinelli

Daniel Sever��n

Andrea Torres

2016

1. Introducci�on a Matlab

1. Considere los siguientes vectores y matrices

v = [5; 0; 4; 5;�2; 1; 7]; x = [4; 1]; y = [2; 5]; z = [3; 0; 1; 1; 2; 6; 0;�1; 7]:

a) Prediga qu�e resultados se obtienen si se ejecutan los siguientes comandos en Matlab.

Por ejemplo, para el comando max(abs(-3:2)) deber��a decir que ocurre lo siguiente:

max(abs(-3:2)) ! max(abs([-3,-2,-1,0,1,2])) ! max([3,2,1,0,1,2]) ! 3

Nota: Algunas de las expresiones generan un error.

1) size(z')

2) ones(x)

3) x*y'

4) y*y

5) x'*y

6) z*v(1:3)

7) [z v]

8) [z;1 2 3]

9) sum(y+2)

10) min(v(2:5:7))

11) [val,pos] = min(v)

12) sum([ones(3,2); 7 9])*(x')

b) Compruebe sus respuestas utilizando Matlab.

2. Para los siguientes vectores y matrices

a = [1; 5;�1]; b = 4 : �2 : 0; c = [4; 6;�1; 0;�6; 7; 9; 1; 5]; d = [�1; 1; 5; 2; 3; 0; 1; 5;�2]:

a) Obtenga el m�aximo de cada �la de la matriz d .

b) Obtenga la suma de los valores absolutos de todos los elementos de d .

c) Obtenga la suma de los elementos de posici�on par para el vector c .

d) Calcule el m��nimo valor entre los elementos de posici�on 3; 4; 5 y 6 de c .

e) Calcule el producto escalar entre los vectores a y b.

f ) Elimine el cuarto elemento del vector c .

g) Genere un vector llamado z con los elementos de posici�on impar del vector c .

h) Genere un vector llamado x con 151 puntos equiespaciados entre los valores 0 y 3

(inclusives), y luego calcule el m�aximo de la expresi�on x-x.^2. De aqu�� obtenga: 1)

dicho valor m�aximo, 2) el ��ndice en el vector x donde se da el m�aximo, 3) el valor de x

en el m�aximo.

i) Agregue a la matriz d una cuarta �la cuyos elementos sean �2; 3 y 0.

j) Calcule el determinante de la matriz d (puede hacerlo utilizando el comando MATLAB

para tal �n o a trav�es de la regla de Sarrus).

3. a) Escriba un archivo de funci�on de nombre calculo.m que reciba como datos dos

vectores �la a y b, y devuelva como resultado el vector suma de ambos y el producto

escalar entre ambos.

b) Compruebe la funci�on para los vectores #»a = (1; 3;�5) y #»

b = 12

#»a 0 (donde #»a 0 es el

vector versor asociado a #»a ).

4. a) Escriba una funci�on llamada cuad.m para calcular las ra��ces de la ecuaci�on cuadr�atica

ax2 + bx + c = 0 a partir de los coe�cientes a, b y c .

b) Utilice cuad.m para calcular las ra��ces de la ecuaci�on 2x2 + 6x � 80 = 0. Luego

veri�que que sean las correctas, usando el comando roots.

2

5. De�na mediante el comando inline cada una de las siguientes funciones:

f1(x) = x3 � x � 1; f2(x) = e�x � x; f3(x) = cos(2x)� sen(x)� 0:5:

a) Con el comando plot, gra�que las funciones anteriores en el intervalo [�3; 3], todas enla misma gr�a�ca y utilizando distintos colores.

b) Repita el apartado anterior, pero gra�cando cada funci�on sobre distintos ejes en la

misma �gura. Utilice el comando subplot.

6. Escriba una funci�on en el archivo multi.m, que reciba como argumentos dos funciones

y un vector de abscisas, y devuelva como resultado un vector con el producto de ambas

funciones evaluadas en dichas abscisas.

Sugerencia: Recuerde que, para evaluar una funci�on cuyo nombre reside en una variable, debe

utilizar el comando feval.

7. De�na en la ventana de comandos la funci�on f (x) = x2 + 2 sen(x) � 1 utilizando el

comando inline. Cree un archivo funci�on gx.m para de�nir la funci�on g(x) = 1x2+2cos(x).

Con fplot gra�que en forma conjunta las funciones f y g sobre el intervalo [1; 3].

8. Sea el polinomio p(x) = x5+3x2�2 de�nido en el intervalo [0; 2]. Genere un vector x de

401 puntos equiespaciados que represente dicho intervalo. Luego, gra�que p(x) utilizando el

comando polyval. En la misma gr�a�ca muestre los puntos del conjunto

f(x; p(x)) ; x = 0:5k; k = 0; 1; : : : ; 4g

con asteriscos de diferente color al de la gr�a�ca de p.

9. Ejecute los siguiente comandos MATLAB y describa qu�e realiza cada uno.

Sugerencia: Para conocer el comportamiento de un comando, utilice help.

[x,y] = meshgrid(-2:0.2:2,-1:0.15:1);

z = x .* exp(-x.^2 - y.^2);

contour(x,y,z)

colorbar

[px,py] = gradient(z,0.2,0.15);

hold on

quiver(x,y,px,py)

axis image

3

2. Propagaci�on de errores, redondeos, epsilon, derivaci�on num�erica

1. Dados a = 4:5, b = 2:0 y c = 5:0, y considerando que dichos valores tienen un error

relativo porcentual del 2%, calcule los errores absoluto y relativo de:

a) (a � b)=c

b) a2 + b=c2

c) (a + 1)=(b + 2)� c

d) a2 � 2b + 5c

e) a1:5 � 8

f ) b �pb2 � 0:01

2. Considere la ecuaci�on x2 � 40x + 0:25 = 0.

a) Resuelva la ecuaci�on con la resolvente, en forma exacta.

b) Resuelva la ecuaci�on con la resolvente utilizando aritm�etica de 4 d��gitos y redondeo

truncado. Detalle todos los c�alculos, y utilice el s��mboloN�! cuando realiza una normali-

zaci�on yR�! cuando redondea el resultado. Por ejemplo, para hacer la resta 10258�9024,

procedemos de la siguiente manera:

10258� 9024N�! 0:10258� 105 � 0:9024� 104

= 0:10258� 105 � 0:09024� 105

R�! 0:1025� 105 � 0:0902� 105

= 0:0123� 105N�! 0:1230� 104 = 1230

c) Resuelva la ecuaci�on a trav�es de

x =�2c

b �pb2 � 4ac

;

con aritm�etica de 4 d��gitos y redondeo truncado. Compare con los resultados de los

apartados anteriores.

d) >Por qu�e la diferencia en los resultados de los dos �ultimos apartados? Intente una

explicaci�on a trav�es de la propagaci�on de errores.

3. Anticipe el resultado de cada expresi�on y verif��quela luego con MATLAB.

a) 1 + eps=3+ eps=3+ eps=3 == 1+ (eps=3+ eps=3+ eps=3)

b) 4 + 3 � eps == 4+ 5 � epsc) 8 + 5 � eps == 8

d) 1� eps == 1

4. Asuma que la mantisa de una m�aquina es de 4 bits, que eps = 0:125 y que el redondeo

sim�etrico de un n�umero x puede calcularse utilizando la siguiente tabla (si w y z son los

n�umeros de la tabla m�as pr�oximos a x entonces x se redondea a w s�olo si x < w+z2 , caso

contrario se redondea a z), eval�ue las siguientes expresiones:

MantisaExponente

n = �3 n = �2 n = �1 n = 0 n = 1 n = 2 n = 3 n = 4

0:1000(2) 0:0625000 0:125000 0:25000 0:5000 1:000 2:00 4:0 8

0:1001(2) 0:0703125 0:140625 0:28125 0:5625 1:125 2:25 4:5 9

0:1010(2) 0:0781250 0:156250 0:31250 0:6250 1:250 2:50 5:0 10

0:1011(2) 0:0859375 0:171875 0:34375 0:6875 1:375 2:75 5:5 11

0:1100(2) 0:0937500 0:187500 0:37500 0:7500 1:500 3:00 6:0 12

0:1101(2) 0:1015625 0:203125 0:40625 0:8125 1:625 3:25 6:5 13

0:1110(2) 0:1093750 0:218750 0:43750 0:8750 1:750 3:50 7:0 14

0:1111(2) 0:1171875 0:234375 0:46875 0:9375 1:875 3:75 7:5 15

4

a) (8 + 3 eps) + 3 eps.

b) 8 + 5 eps.

Ejemplo: (5 + 3 � eps)� 4 � eps = (5+ 0:375)� 0:5 = 5:375� 0:5R�! 5:5� 0:5 = 5:0.

5. a) Calcule en forma exacta sen(�=2 + 2�10j

), con j entero positivo.

b) Calcule en matlab la misma expresi�on, para j = 1; 10; 20; 50; 100.

c) Intente dar una explicaci�on a los resultados obtenidos.

6. a) Analice la funci�on sinserie y la salida en la ventana de comando en respuesta de

sinserie(pi/4,5e-9),

sinserie(pi,5e-9),

sinserie(5*pi,5e-9).

El error cometido en el �ultimo caso, >se debe a un error de truncamiento, de redondeo

o ambos?

b) Conteste la misma pregunta para los comandos

sinserie(pi/4,5e-9,3),

sinserie(pi,5e-9,3),

sinserie(5*pi,5e-9,3).

c) Calcule una cota del error de truncamiento de Taylor en los 3 casos anteriores.

7. Considere la siguiente sucesi�on num�erica de�nida por recurrenciax1 = 1;

x2 =13 ;

xn =133 xn�1 � 4

3xn�2 n � 3:

a) Determine el valor de los 20 primeros t�erminos de la sucesi�on utilizando matlab.

b) Se puede demostrar que el t�ermino expl��cito de la sucesi�on es xn =(13

)n�1. Compare

los valores encontrados con los calculados con esta nueva expresi�on. Para eso, cree

una tabla en donde se indique el n�umero de t�ermino de la sucesi�on, el valor calculado

por recurrencia, el valor calculado por la f�ormula expl��cita y el error relativo porcentual

(considerando como verdadero valor el calculado por la f�ormula expl��cita). Explique el

comportamiento del error.

8. La sucesi�on general de n�umeros de Fibonacci puede generarse mediante la f�ormula de

recurrencia siguiente:

F1 = 1; F2 = 1; Fn = Fn�1 + Fn�2 n � 3:

Se puede demostrar que el t�ermino general de la sucesi�on es

F (n) =

(1+p5

2

)np5

�

(1�p5

2

)np5

:

a) Determine el valor de los 30 primeros t�erminos de la sucesi�on, a partir de la f�ormula de

recurrencia, utilizando matlab.

5

b) Compare los valores encontrados con los calculados con esta nueva expresi�on. Para eso,

cree una tabla en donde se indique el n�umero de t�ermino de la sucesi�on, el valor calculado

por recurrencia, el valor calculado por la f�ormula expl��cita y el error relativo porcentual

(considerando como verdadero valor el calculado por la f�ormula de recurrencia). Explique

el comportamiento del error.

9. Dada la funci�on f (x) = ex tg x , aproxime mediante diferenciaci�on num�erica, la derivada

primera y segunda de dicha funci�on en x0 = 0:1 de modo que el error sea de orden h2 en

ambos casos. Utilice un valor de h razonable. Compruebe sus resultados con las funciones

df1dx y df2dx.

10. Sea la funci�on f (x) = ex sen(x) y sus derivadas f 0(x) = ex cos(x) + ex sen(x), f 00(x) =2ex cos(x). Sea H = f10�2, 10�3, : : :, 10�12g.a) Gra�que el error absoluto entre f 0(2:5) y la derivada num�erica de f en x = 2:5 usando

la f�ormula del cociente incremental, para los valores de h dados en H (es decir, las

abcisas son los valores de h y las ordenadas el valor absoluto del error). >Para qu�e h se

produce el menor error?

b) Repita el procedimiento con la derivada num�erica de f en x = 2:5 usando la f�ormula

centrada >Para qu�e h se produce el menor error? >Es menor que el error producido con

la f�ormula del cociente incremental?

c) Ahora gra�que el error absoluto entre f 00(2:5) y la derivada num�erica segunda de f en

x = 2:5 usando la f�ormula centrada. >Para qu�e h se produce el menor error?

d) Repita el procedimiento, pero esta vez use la composici�on de las derivadas num�ericas

con el cociente incremental, es decir:

f 00(x) � f 0(x + h)� f 0(x)h

�f (x+2h)�f (x+h)

h� f (x+h)�f (x)

h

h=

f (x + 2h)� 2f (x + h) + f (x)

h2:

>Para qu�e h se produce el menor error? >Es menor que el error producido con la f�ormula

centrada?

6

3. Resoluci�on de ecuaciones en una variable

1. Para cada una de las funciones de�nidas todas en el intervalo [0; 1]

f (x) =1

3x � 1; g(x) = cos (10x) ; h(x) =

{1; x > 0;

�1; x � 0:

a) Veri�que que las im�agenes en los extremos del intervalo tienen distinto signo.

b) Si se aplica el m�etodo de bisecci�on en el intervalo [0; 1] a qu�e valor converge.

c) Compruebe lo anterior, utilizando la funci�on bisec.

d) >Son con�ables los resultados obtenidos en cada caso? Explique.

2. Considere la ecuaci�on f (x) = 0 para f (x) = x3 � x � 1 en el intervalo [1; 2].

a) Veri�que que es posible aplicar el m�etodo de bisecci�on.

b) >Cu�antas iteraciones ser�an necesarias para que al aplicar el m�etodo de bisecci�on en

el intervalo [1; 2] se logre una aproximaci�on de la ra��z, con un error menor a 10�3?

c) Calcule con matlab tal aproximaci�on.

3. Determine gr�a�camente la cantidad de soluciones de sen x + ln x = 0 y calc�ulelas.

4. Sea la funci�on f (x) = cos(x=5). Pruebe que existe un �unico punto �jo en [0,2]. Proponga

un punto inicial p0 de forma que la sucesi�on de punto �jo converja.

5. Se quiere encontrar la menor ra��z positiva de cada una de las siguientes ecuaciones, usando

el m�etodo de Punto Fijo. En cada caso, encuentre una funci�on de iteraci�on de punto �jo y

un intervalo para asegurar la convergencia a la ra��z, y calcule una aproximaci�on de la ra��z

buscada con una tolerancia de 10�4.

a) e�x � sen x = 0.

b) x2 + 10 cos x = 0.

c) x � cos2 x = 0.

6. a) Veri�que que cada una de las siguientes funciones es una funci�on de iteraci�on de

punto �jo para la ecuaci�on x4 + 2x2 � x � 3 = 0.

g1(x) =4√3 + x � 2x2; g2(x) =

√3 + x � x4

2; g3(x) =

√x + 3

x2 + 2; g4(x) =

3x4 + 2x2 + 3

4x3 + 4x � 1:

b) Efect�ue 3 iteraciones, si es posible, con cada una de las funciones de iteraci�on

de�nidas en en el apartado anterior, tomando x0 = 1.

c) >Cu�al funci�on cree usted que da la mejor aproximaci�on? Gra�que la derivada en cada

caso y concluya.

7. En cada uno de los siguientes casos dibuje la gr�a�ca de g, la recta de ecuaci�on y = x

y el punto �jo dado P en un mismo sistema coordenado. Usando el valor inicial dado p0,

calcule y marque p1 y p2. Determine geom�etricamente si la iteraci�on de punto �jo conver-

ge a P .Tambi�en determine geom�etricamente si la sucesi�on fp0; p1; p2; : : :g es mon�otona u

oscilante.

7

a) g(x) =p6 + x , P = 3, p0 = 7.

b) g(x) = 1 + 2x, P = 2, p0 = 4.

c) g(x) = 13x

2, P = 3, p0 = 3:5.

d) g(x) = �x2 + 2x + 2, P = 2, p0 = 2:5.

8. Considere la ecuaci�on x = x2 sen x; en el intervalo [0; 10].

a) Gra�que y determine la cantidad de ra��ces de la ecuaci�on.

b) Calcule todas las ra��ces.

c) Marque con un asterisco en el mismo gr�a�co las ra��ces calculadas.

9. La torsi�on, T , y el esfuerzo cortante m�aximo, �m�ax, para un tubo de radio interno Ri y

radio externo Re , est�an relacionados por la ecuaci�on

T � Re =�

2�m�ax

(R4e � R4

i

):

Si Ri = 0:2, encontrar Re para �m�ax = 36 y T = 0:9.

10. Considere la funci�on h(x) = ex � 5x � 2.

a) Gra�que h y compruebe que tiene un �unico punto �jo en el intervalo [�1; 0:5].b) Si aplica el m�etodo de punto �jo, >puede asegurar la convergencia al punto �jo

si se elige cualquier punto de arranque en el intervalo dado? Justi�que la respuesta

anal��ticamente. Compruebe luego gr�a�camente.

11. Pruebe que la funci�on g(x) = 2 + x � arctan x tiene la propiedad jg0(x)j < 1 para toda

x . Pruebe que g no tiene un punto �jo. >Contradice esto al teorema del punto �jo?

12. Compruebe si las siguientes funciones veri�can las condiciones del teorema de punto �jo

en alg�un subintervalo de los intervalos indicados

a) g1(x) =5x2

+ 2 en [2; 3],

b) g2(x) = 5�x en [0; 2],

c) g3(x) =12 (sen x + cos x) en [�1; 1]

13. El Principio de Arqu��medes establece que el empuje a que est�a sometido un cuerpo sumergido

en un l��quido es igual al peso del uido desplazado. Al plantear esta condici�on de equilibrio para

una esfera de radio 1 cm y densidad = 0:75 gm/cm3, se consigue la ecuaci�on h3�3h2+3 =

0, donde h es la altura de la parte de la esfera que est�a sumergida.

a) Realice dos iteraciones con el m�etodo de Newton, tomando h = 1 como valor inicial.

b) Compruebe sus iteraciones calcul�andolas con matlab. Para ello, utilice la funci�on

newt o newtderiv.

14. Considere la funci�on f (x) = ex � 3x para x 2 [0; 4].

a) Determine gr�a�camente la cantidad de soluciones de la ecuaci�on f (x) = 0.

b) Tomando x0 = 0:25, calcule diez iteraciones por el m�etodo de Newton.

c) Tomando x0 = 0:25 y x1 como la primera iteraci�on de Newton, halle una aproxima-

ci�on a la ra��z en [0; 1] con el m�etodo de la secante y el de falsa posici�on (hacer por lo

menos 2 iteraciones).

8

15. Considere la funci�on h(x) = ex�1 � x .

a) Pruebe que h tiene un �unico cero, determ��nelo y d�e su multiplicidad.

b) Aproxime, por Newton, el cero de h con tres iteraciones.

c) Aproxime, por falsa posici�on, el cero de h.

d) Aproxime, por secante, el cero de h.

16. Considere la funci�on f (x) = ex � e2x + e2 que tiene una ra��z en x = 2. Determine

a) la multiplicidad de la ra��z;

b) la velocidad y la constante asint�otica de la convergencia del m�etodo de Newton hacia

dicha ra��z;

c) Si la velocidad de convergencia es lineal, proponga una nueva sucesi�on que converja

cuadr�aticamente a la ra��z .

17. Considere la funci�on f (x) = x3 � 13x � 4 en el intervalo [3; 4]

a) Gra�que f y compruebe que la ecuaci�on f (x) = 0 tiene una �unica ra��z.

b) Si aplica el m�etodo de Newton-Raphson, >puede asegurar la convergencia a la ra��z

si se toma un punto de arranque adecuado? >Cu�al es ese punto? Justi�que.

18. Sea h la funci�on dada por h(x) = x + e�10x2

cos x .

a) Muestre gr�a�camente que la ecuaci�on h(x) = 0 tiene una �unica soluci�on en [�1; 1].b) Gra�que las funciones h, h0 y h00. Determine un intervalo donde se cumplan las

hip�otesis de Newton (incluyendo la hip�otesis adicional sobre h00 de forma tal de asegurar

la convergencia a la soluci�on de la ecuaci�on si el punto de arranque es el adecuado).

Indique un punto adecuado y obtenga la ra��z aplicando newtraph.

19. Resuelva las siguientes ecuaciones a trav�es de un estudio gr�a�co adecuado y utilizando

las funciones fsecant, ffalsi y fnewt.

a) 3x3 + 1 = 0

b) sen(x + 2) = 2 + x

c) x2 = tan(x)

20. Considere la funci�on f (x) = x5 � 32 en el intervalo [1; 3].

a) Itere con los m�etodos globalmente convergentes, hasta que se satisfaga con una tole-

rancia de � = 0:1 cualquiera de estas condiciones

jxn � xn�1j < �; jf (xn)j < �:

b) Itere con los m�etodos localmente convergentes, hasta que se satisfagan simult�aneamente

con una tolerancia de � = 0:1 las siguientes condiciones

jxn � xn�1j < �; jf (xn)j < �:

c) En el caso del m�etodo de falsa posici�on, determine si existe un extremo estacionario.

Ayuda: Para el m�etodo de Newton, considere x0 = 3. Para el m�etodo de la secante considere

x0 = 3, x1 = 2:5.

9

4. Sistemas de ecuaciones lineales: M�etodos directos

1. Considere que k�k2 indica la norma matricial eucl��dea y la norma vectorial eucl��dea, seg�un

sea el caso.

a) Proponga una matriz no nula A de tama~no 2� 2, si existe, que veri�que

kAk2 � k #»x k2 � kA #»x k2 ; 8 #»x :

b) Proponga una matriz no nula A de tama~no 2� 2, si existe, que veri�que

kAk2 � k #»x k2 < kA #»x k2 ; para alg�un #»x .

c) >La norma matricial eucl��dea es compatible con la norma vectorial eucl��dea? >Por qu�e?

2. Considere el sistema A #»x =#»

b , donde

A =

(�1 3

6 �2);

#»

b =

(1

2

):

a) Calcule el n�umero de condici�on y el ��ndice de condici�on de la matriz A, utilizando norma

in�nito.

b) Suponga que el lado derecho sufri�o una modi�caci�on de la forma b ! b + �b, con

�b =

(0:1

0:1

). Determine, con norma in�nito, el error normado (absoluto y relativo)

inducido en el vector #»x .

c) Suponga que la matriz A sufri�o una modi�caci�on de la forma a11 ! a11+0:2. Determine,

con norma in�nito, el error normado (absoluto y relativo) inducido en el vector #»x .

3. Escriba un script llamado ejhilbert.m que muestre en pantalla el n�umero de condici�on

y el ��ndice de condici�on de las matrices de Hilbert de orden 3, 4 y 5. Utilice norma in�nito.

4. Determine la soluci�on del sistema A #»x =#»

b , utilizando el m�etodo de Gauss con pivoteo

parcial.

a) A =

2 1 1

12 11 5

�2 9 0

,#»

b =(1 17 18

)t.

b) A es la matriz de Hilbert de orden 4 y#»

b =(1 0 0 0

)t.

Compruebe sus resultados utilizando Gauss.

5. a) Obtenga una factorizaci�on de la forma PA = LU de cada una de las siguientes

matrices.

1)

(4 1

12 2

).

2) A =

(0 3

�5 4

).

3) A =

0 1 1

�1 2 �42 �5 1

.

4)

(2 1

�10 �12).

5)

2 �2 1

�8 11 5

4 �13 3

.

6) A =

0 0 2

�1 5 �23 6 7

.

10

Veri�que sus resultados utilizando el comando lu de matlab.

b) Calcule los determinantes de las matrices anteriores, utlizando la factorizaci�on an-

terior.

c) Calcule, cuando sea posible, las inversas de las matrices anteriores.

d) Calcule, cuando sea posible, las inversas de las matrices anteriores utilizando el

comando DescompLu.

6. El siguiente sistema de ecuaciones de la forma A #»x =#»

b admite ser resuelto utilizando

factorizaci�on triangular. Se sabe que la matriz de coe�cientes A admite ser factorizada con

matrices L, U y P siendo

L =

1 0 0

0 1 0

1 �2 1

; U =

2 0 1

0 3 �10 0 �2

; P =

0 1 0

1 0 0

0 0 1

:

Escriba la matriz de coe�cientes A. Determine la soluci�on del sistema, siendo#»

b =(1 2 3

)t.

7. Proponga tres matrices A, L, U, de tama~no 2 � 2 donde A no sea ni la matriz nula ni

tenga inversa pero

a) satisfaga A = LU;

b) admita una factorizaci�on de Doolitle;

c) admita una factorizaci�on de Crout.

11

5. Sistemas de ecuaciones lineales: M�etodos iterativos

1. Sea A =

1 0 2

0 1 �1�1 1 1

a) Obtenga los autovalores y autovectores de la matriz A.

b) Compruebe los resultados obtenidos utilizando el comando eig de Matlab. Deter-

mine la constante por la cual aparece multiplicado cada autovector con respecto al

correspondiente en el ��tem a).

c) Obtenga el radio espectral de la matriz A.

d) Obtenga el radio espectral de la matriz A utilizando el comando eig de Matlab.

2. Indique cu�ales de las siguientes matrices son de�nidas positivas. Indique tambi�en sus

autovalores y su radio espectral.

a)

(6 0

0 �12)

b)

60 30 20

30 20 15

20 15 12

c)

(1 2

2 5

)

d)

2 0 10

0 8 �410 �4 6

e)

2 0 2

0 8 �42 �4 6

f )

3 0 0

0 �2 0

0 0 �3

3. Sea la sucesi�on de vectores f #»x (i)gi2N de�nida como #»x (0) =

#»0 y #»x (k+1) = F

#»x (k)+ f, donde

f = (1; 1)T . Para cada una de las siguientes matrices F:

a)

(1 014

12

)b)

(12 013

12

)c)

(12 0

1 12

)a) Obtenga los primeros 10 elementos de la sucesi�on (manualmente o con Matlab).

b) Obtenga∥∥ #»x (10) � #»x (9)

∥∥1 y

∥∥ #»x (10) � #»x (9)∥∥1

c) A partir del resultado obtenido en el ��tem anterior, >puede determinar si la sucesi�on es

convergente o divergente?

4. Sea la sucesi�on de vectores f #»x (i)gi2N donde #»x (0) =#»0 y #»x (k+1) = F

#»x (k) + f para:

F =

0:2 0:7 0

0 �0:4 0:1

0 0 0:3

f =

2

�31

a) Determine si converge o diverge.

b) Calcule una cota del error normado (con la norma que garantiza dicha convergencia)

utilizando las aproximaciones x (1) y x (2).

5. Sea la sucesi�on de vectores f #»x (i)gi2N donde #»x (k+1) = F#»x (k)+f, y #»x (0); f 2 R3. Proponga

una matr��z F de 3x3 que satisface kFk1 � 1, kFk1 � 1, y de forma que la sucesi�on converja.

6. Considere el sistema de ecuaciones3x1 � x2 + x3 = 1;

3x1 + 6x2 + 2x3 = 0;

3x1 + 3x2 + 7x3 = 4:

12

a) Escriba la matriz FJ de iteraciones para Jacobi y el vector fJ .

b) Calcule x (1) por Jacobi utilizando la forma matricial, tomando como aproximaci�on inicial

x (0) =#»0 .

c) Calcule una cota del error normado (seg�un norma 1) utilizando las aproximaciones x (0)

y x (1).

d) >Puede asegurar la convergencia del m�etodo de Jacobi en este caso? Justi�que.

7. Repita el ejercicio anterior utilizando el m�etodo de Gauss-Seidel.

8. a) Calcule por Jacobi, la soluci�on del sistema del ejercicio 6, con una tolerancia de

10�3. Para ello utilice la funci�on Jacobi

b) Calcule por Gauss-Seidel, la soluci�on del sistema del ejercicio 6, con una tolerancia

de 10�3. Para ello utilice la funci�on GaussSeidel

9. Los siguientes sistemas lineales Ax = b tienen soluci�on x . Obtenga la aproximaci�on x median-

te los m�etodos de Jacobi y Gauss-Seidel con una tolerancia de 10�3. Luego calcule kx � xk1,

kx � xk1, kAx � bk1 y kAx � bk1

a)

{12x +

13y = 1

63 ;13x +

14y = 1

168 ;

x = (17 ;�16).

b)

x + z = 2;

�x + y = 0;

x + 2y � 3z = 0;

x = (0;�7; 5).

10. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones,

a)

{�x + 3y = 1;

6x � 2y = 2: b)

x + z = 2;

�x + y = 0;

x + 2y � 3z = 0:

c)

5x � y + z = 10;

2x + 8y � z = 11;

�x + y + 4z = 3:

a) Calcule kFJk1. >Puede concluir algo sobre la convergencia del m�etodo de Jacobi?

En caso negativo, calcule el radio espectral de FJ y concluya.

b) Si es posible, resuelva el sistema con matlab, utilizando Jacobi.

11. Repita el ejercicio anterior pero con el m�etodo de Gauss-Seidel.

12. Si se aplica el m�etodo iterativo de Jacobi al sistema A #»x =#»

b , donde kFJk1 < 1, el

proceso iterativo resulta convergente. Utilizando dicho argumento, explique la a�rmaci�on:

Si la matriz de coe�cientes A es diagonal estrictamente dominante, el proceso

iterativo de Jacobi converge.

13

6. Sistemas de ecuaciones no lineales

1. Sea el campo escalar f (x; y) = xe�x2�y2 . Gra�que f en el dominio [�2; 2] � [�2; 2]mediante los comandos meshgrid y mesh. Realice otra gr�a�ca que muestre las curvas de

nivel de f para distintos niveles entre -0.5 y 0.5. Ambas gr�a�cas deben estar en la misma

�gura (usar el comando subplot).

2. Resuelva gr�a�camente las siguientes desigualdades sobre R2:

a) y � x2 + x � 1.

b) xy + sen y � 3px .

c) cos x + jy j � 2�√x2 + y2.

3. Determine anal��ticamente los puntos �jos de cada una de las siguientes generatrices:

a)

{g1(x; y) = x � y2

g2(x; y) = �x + 6yb)

{g1(x; y) = sen(y)

g2(x; y) = �6x + yc)

g1(x; y ; z) = 9� 3y � 2z

g2(x; y ; z) = 2� x + z

g3(x; y ; z) = �9 + 3x + 4y � z

4. Determine anal��ticamente los ceros de cada uno de las siguientes funciones y eval�ue la

matriz Jacobiana de cada sistema en el cero correspondiente:

a)

{f1(x; y) = 2x + y � 6

f2(x; y) = x + 2yb)

{f1(x; y) = 3x2 + 2y � 4

f2(x; y) = 2x + 2y � 3c)

f1(x; y ; z) = x2 + y2 � z

f2(x; y ; z) = x2 + y2 + z2 � 1

f3(x; y ; z) = x + y

5. Determine una regi�on del plano xy tal que la iteraci�on de Punto Fijo aplicada al siguiente

sistema no lineal sea convergente para cualquier punto inicial (p0; q0):{x = g1(x; y) = (x2 � y2 � x � 3)=3;

y = g2(x; y) = (x + y + 1)=3:

6. Dado el siguiente sistema no lineal:{x = (8x � 4x2 + y2 + 1)=8;

y = (2x � x2 + 4y � y2 + 3)=4:

a) Usando la aproximaci�on inicial (p0; q0) = (1.1; 2.0), calcule tres iteraciones mediante

la iteraci�on de Punto Fijo.

b) Realice lo mismo pero utilizando el esquema iterativo de Punto Fijo Seidel.

c) Compare sus aproximaciones utilizando puntofijo.m y puntofijoseidel.m.

7. Dado el siguiente sistema no lineal:{x = g1(x; y) = (y � x3 + 3x2 + 3x)=7;

y = g2(x; y) = (y2 + 2y � x � 2)=2:

a) Gra�que y analice condiciones de convergencia para Punto Fijo usando MATLAB.

Indique si los procesos iterativos ser�an convergentes, divergentes o no puede asegurar

nada en cada caso. De ser posible, halle las soluciones usando puntofijo.m.

b) Proponga otras dos generatrices distintas y realice lo mismo anterior.

14

c) Intente hallar las soluciones con PuntoFijoSeidel.m y compare con lo anterior.

8. Considere la siguiente sucesi�on de Punto Fijo Seidel:p0 = �;

q0 = �;

pk+1 =13 (pk + qk) ;

qk+1 =32 cos(pk+1)� 1

5 :

a) Convierta la sucesi�on anterior a una de Punto Fijo (sustituyendo pk+1 por la primera

funci�on en la segunda funci�on) y luego determine una regi�on de convergencia.

b) Obtenga el punto �jo utilizando PuntoFijoSeidel.m para valores � y � adecuados.

9. Considere el sistema de ecuaciones no lineales:{x2 � y = 0:2;

y2 � x = 0:3:

a) Calcule dos iteraciones del m�etodo de Newton-Rahpson comenzando en (p0; q0) =

(1:2; 1:2)

b) Repita lo mismo anterior pero comenzando en (p0; q0) = (0:2;�0:2):c) Modi�que la funci�on newSNL.m de modo que se impriman por pantalla las sucesivas

aproximaciones y compruebe los resultados anteriores.

10. Dado el siguiente sistema no lineal:{x = 0:7 sen(x)� 0:2 cos(y);

y = 0:7 cos(x) + 0:2 sen(y):

Gra�que las curvas de nivel de modo de obtener una aproximaci�on de las ra��ces y halle las

soluciones utilizando newSNL.m.

11. Considere el siguiente sistema no lineal:{f1(x; y) = x2 + y2 � 2 = 0;

f2(x; y) = xy � 1 = 0:

a) Veri�que que el sistema admite las soluciones (x; y) = (1; 1) y (x; y) = (�1;�1).b) Aplique newSNL.m para hallar dichas ra��ces comenzando en un punto cercano. Ex-

plique los resultados obtenidos.

15

7. Interpolaci�on

1. Determine el t�ermino independiente del polinomio P que interpola los puntos (�1; 16), (1; 6)y (2; 10) de las siguientes dos formas:

a) resolviendo el sistema de ecuaciones correspondiente;

b) hallando el valor de P (0) mediante la interpolaci�on de Lagrange.

2. Para la siguiente tabla de datos:

x 0.0 0:1 0:2 0:3 0:4 0:5

y 0:00 0:03 �0:11 �0:26 �0:41 �0:54

a) Determine el polinomio de Lagrange de grado m��nimo que interpola los puntos.

b) Gra�que el polinomio y los puntos de la tabla en una misma ventana.

3. Sea la funci�on f (x) = x + 2=x .

a) Use el polinomio interpolador de Lagrange cuadr�atico con nodos en x0 = 1, x1 = 2

y x2 = 2:5 para aproximar f (0:75) y f (1:5).

b) Repita el ejercicio pero con nodos en x0 = 0:5, x1 = 1, x2 = 2 y x3 = 2:5.

c) Calcule para ambos casos, los errores relativos correspondientes.

d) Explique las discrepancias entre los errores relativos obtenidos en el apartado anterior.

4. Sea f (x) = 2x .

a) Determine el polinomio interpolador de Lagrange cuadr�atico con nodos en x0 = 1,

x1 = 1:25 y x2 = 1:5.

b) Halle una cota del error que se produce al aproximar f mediante dicho poliniomio en

el intervalo [1; 1:5].

5. Considere un polinomio p que interpola a la funci�on f (x) = ex en los nodos f0; 0:3; 0:4; 0:6g.Obtenga una cota del error de interpolaci�on cometido al aproximar el valor 3

pe con p (1=3).

6. Aproxime la funci�on seno en el intervalo [0; 2�] mediante un polinomio interpolante de

grado menor o igual que 4 utilizando 5 puntos equiespaciados.

a) En una misma �gura, gra�que la funci�on seno, el polinomio interpolante y los 5

puntos equiespaciados (marcados con *).

b) En otra �gura, gra�que los polinomios L4;k utilizando coeflagran.m y veri�car que

se cumplan sus propiedades.

c) En otra �gura, gra�que el error cometido y una cota del mismo.

7. Sea la funci�on f (x) =1

x1:2y S una cercha c�ubica que interpola a f en los puntos enteros

1; 2; : : : ; 8.

a) Determine el valor de S(3:5). >Cu�al es el error relativo cometido respecto a f (3:5)?

b) Gra�que S en el intervalo [1; 8] y marque los puntos que interpola con asteriscos.

16

8. Investigue cu�al es la diferencia entre las cerchas naturales, sujetas y not-a-knot (MATLAB).

>Qu�e condiciones se rigen para cada una?

9. Considere una cercha c�ubica natural S que interpola los puntos (0; 0), (1;�1), (3; 4).Escriba las 8 condiciones necesarias para calcular los coe�cientes de S (es decir, S1(0) = 0,

S001(0) = 0, S1(1) = �1, S2(1) = �1, S01(1) = S02(1), : : :). Resuelva con MATLAB el

sistema de 8 inc�ognitas resultante. Finalmente, calcule S(2).

10. Las siguientes funciones son cerchas c�ubicas que interpolan 4 puntos. Determine en cada

caso los nodos interpolados y si la cercha es natural o no.

a)

Sa(x) =

� 2

15(x � 2)3 + 1715(x � 2)� 1; 2 � x < 3

445(x � 3)3 � 2

5(x � 3)2 + 1115(x � 3); 3 � x < 6

� 215(x � 6)3 + 2

5(x � 6)2 + 1115(x � 6) + 1; 6 � x � 7:

b)

Sb(x) =

730(x � 1)3 � 27

20(x � 1)2 + 9760(x � 1) + 1

2 ; 1 � x < 2730(x � 2)3 � 13

20(x � 2)2 � 2360(x � 2) + 1; 2 � x < 3

730(x � 3)3 + 1

20(x � 3)2 � 5960(x � 3) + 1

5 ; 3 � x � 4:

17

8. M��nimos cuadrados

1. Dada la muestra de datos f(xk ; yk)gnk=0, deduzca las ecuaciones normales de Gauss para:

a) determinar la ecuaci�on de la recta que pasa por el origen y = Ax que mejor se ajusta

en el sentido de m��nimos cuadrados.

b) determinar la ecuaci�on de la par�abola con v�ertice en el eje de ordenadas y = Ax2 + B

que mejor se ajusta en el sentido de m��nimos cuadrados.

2. Usando ajustepoly.m, encuentre el polinomio de aproximaci�on por m��nimos cuadrados

de grados 1, 2, 3 y 4 de la siguiente tabla de datos:

x 0:00 0:15 0:31 0:50 0:60 0:75 1:00

y 1:000 1:004 1:031 1:117 1:223 1:422 1:600

Gra�que los puntos datos y los polinomios. >Qu�e polinomio da la mejor aproximaci�on?

3. Considere la siguiente tabla de datos:

x �5 �4 �3 �2 �1 0 1 2 3 4 5

y 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0

a) Interpole dichos puntos usando lagran.m y gra�que el polinomio interpolante.

b) Ajuste dichos puntos usando ajustepoly.m con un polinomio de grado 7 y gra�que

la soluci�on. Gra�que tambi�en los puntos con un *.

c) >Qu�e conclusiones puede obtener de las gr�a�cas?

4. Escriba una funci�on de nombre ecm.m que calcule el error cuadr�atico medio.

5. Considere la funci�on de ajuste por m��nimos cuadrados F (x) = Aex . Determine A para el

siguiente conjunto de datos: f(1:0; 1:5); (1:5; 2:8); (2:0; 4:2); (2:5; 6:0)g y calcule el ECM.

6. Dado el conjunto de puntos f(0:0; 0:1); (1:0; 1:2); (1:5; 2:8); (2:0; 4:2)g, calcule la funci�onde ajuste por m��nimos cuadrados utilizando la base fx; exg. Luego gra�que la funci�on de ajustey los puntos (con *) en un mismo sistema de ejes coordenados.

7. a) Usando ajusebase.m, determine los coe�cientes de la funci�on:

g(x) = C1 + C2x + C3 sen x + C4xex

que mejor ajusta los datos de la siguiente tabla:

x 0:1 0:4 0:5 0:6 0:7 0:9

y 0:61 0:92 0:99 1:52 1:47 2:03

En un mismo gr�a�co represente los puntos dados y la gr�a�ca de la funci�on g.

b) Agregue a la gr�a�ca una cercha c�ubica que interpole los puntos dados como dato.

8. Utilizando la forma matricial, determine los coe�cientes de la funci�on f (x) = Ax2 + B

que mejor ajusta los puntos (1; 3), (2;�3), (4; 0).

18

9. Cuadraturas num�ericas

1. Calcule utilizando el m�etodo de trapecios utilizando exactamente 5 puntos∫ 1

01 + e�x sen(4x) dx:

2. Calcule utilizando el m�etodo de trapecios∫ 1:5

0x3 dx:

Calcule el error de truncamiento cometido. Repita lo mismo utilizando el m�etodo de Simpson.

>Cu�al fue el error cometido en este caso? Justi�que.

3. Considere el problema de aproximar la integral∫ �

0 sen x dx con el m�etodo de Simpson.

Calcule una cantidad m��nima de intervalos necesarios para asegurar un error absoluto menor

que 10�5 y aproxime con esa cantidad el valor de la integral.

4. Sabemos que ln 2 =∫ 21

1xdx .

a) Calcule la aproximaci�on de ln 2 usando Simp_N.m y Trap_N.m con distintos pasos.

Compare el valor absoluto del Error Global de Truncado cometido en cada caso.

b) Determine una cantidad de subintervalos necesaria de manera que el EGT sea menor

que 10�6 con ambas f�ormulas (de ser posible, acote el error usando Matlab).

5. Un tanque de agua esf�erico con radio de 5 m est�a lleno hasta el tope. Se va a drenar

agua por un agujero de radio b = 0:1 m en el fondo comenzando en t = 0 s. Considerando

que no hay fricci�on, se quiere calcular cu�anto tiempo tardar�a el nivel de agua en llegar a 0:5

m. Para ello, calcule la integral

t =

∫ R

�0:9R

R2 � z2√2g(z + R)

dz;

con R = 5, g = 9:81, b = 0:1 utilizando la regla de Trapecios y una cantidad de subintervalos

adecuada para asegurar un error menor a 10�2.

6. Dos formas conocidas de calcular el n�umero � son mediante las integrales

I1 =

∫ 1

0

4

1 + x2dx I2 =

∫ 0:5

0

6p1� x2

dx:

a) Calcule cada integral utilizando el m�etodo de los Trapecios con 20 subintervalos y

determine cu�al es la que obtiene la aproximaci�on m�as exacta de �.

b) Determine la cota del Error Global de Truncado de la aproximaci�on m�as exacta,

usando una cota de la derivada segunda de la funci�on integrando.

7. Resuelva los problemas de aplicaciones 1, 2, 5 y 7 propuestos en el apunte de Cuadraturas

Num�ericas (�nal del apunte).

19

10. Resoluci�on de ecuaciones diferenciales y Optimizaci�on

1. Aplique el m�etodo de Euler para aproximar las soluciones de los siguientes problemas de

valor inicial.

a) y 0 = te3t � 2y , t 2 [0; 1], y(0) = 0, h = 0:5.

b) y 0 = cos(2t) + sen(2t), t 2 [0; 1], y(0) = 1, h = 0:25.

2. Dado el problema de valor inicial y 0 = 2ty + t2et , t 2 [1; 2], y(1) = 0, con la soluci�on

exacta y(t) = t2(et � e

).

a) Use el m�etodo de Euler con h = 0:1 para aproximar la soluci�on y compararla con los

valores reales de y .

b) Use las respuestas obtenidas en la parte 2a y la interpolaci�on lineal para aproximar los

siguientes valores de y y comp�arelos con los valores reales.

1) y(1:04).

2) y(1:55).

3) y(1:97).

c) Calcule el valor de h necesario para que jy (ti)� wi j � 0:1.

3. Utilice la funci�on MetEuler visto en la clase de teor��a para resolver los siguientes problemas

de valor inicial.

a) y 0 = x ln y , y(1) = 1.

b) y 0 = x=y , y(1) = 0.

c) y 0 =px � y , y(2) = 1.

d) y 0 = x2 � y2, y(0) = 1.

4. El comando quiver se utiliza para gra�car campos vectoriales y resulta de utilidad cuando

se resuelven ecuaciones diferenciales. Sea el problema de valor inicial y 0 = y�sen x , y(0) = 0,

del que se sabe la soluci�on es y = 12 (cos x + sen x � ex).

[x,y]=meshgrid(-3:0.3:3,-3:0.3:3);

dy=y-sin(x);

dx=ones(size(dy));

dxu=dx./sqrt(dx.^2+dy.^2);

dyu=dy./sqrt(dx.^2+dy.^2);

quiver(x,y,dxu,dyu);

En este caso gra�camos el campo de direcciones correspondiente a la ecuaci�on diferencial

propuesta. Como normalizamos los diferenciales, el campo muestra ((solo las direcciones)) y

no las magnitudes de cada vector en cada punto. Incluimos ahora la gr�a�ca de la funci�on

soluci�on del problema de valor inicial.

hold on

a=-2:.1:2;

b=0.5*(cos(a)+sin(a)-exp(a));

plot(a,b,'r');

Agregue al gr�a�co con un asterisco, el punto (0; y(0)) que corresponde al problema de valor

inicial.

20

5. En los ejercicios que siguen, gra�que el campo de direcciones de la ecuaci�on diferencial

dada. Resuelva la ecuaci�on diferencial con el m�etodo de Euler y gra�que la soluci�on y la

condici�on inicial en el mismo gr�a�co.

a) y 0 = �y � sen x , y(0) = 1.

b) y 0 = x + y , y(0) = 0.

c) y 0 = xy , y(1) = 1.

d) y 0 = ye�x , y(0) = 2.

e) y 0 = ln(1 + y2), y(1) = 1.

6. Un m��nimo de una funci�on f en un intervalo [a; b] es un valor m tal que m � f (x) para

todo x 2 [a; b]. Una funci�on f es unimodal en el intervalo [a; b] si existe un �unico n�umero

p 2 [a; b] tal que f es decreciente en [a; p] y es creciente en [p; b] (de�nici�on en p�ag. 436 del

libro). Pruebe que si f es una funci�on unimodal en [a; b] entonces p es el �unico m��nimo de f

en [a; b] (f puede incluso no ser continua).

Sugerencia: Asuma que m es un m��nimo de f y pruebe que si p 6= m llega a una contradicci�on.

Luego asuma que m0 es otro m��nimo de f y llegue a la conclusi�on que m = m0 (para probar

la unicidad).

7. Sea f : (0; 2] �! R tal que f (x) =xx

2x+ 2 sen(x). Gra�que f en su dominio y halle

un subintervalo [a; b] donde f sea unimodal. Luego lea el m�etodo de minimizaci�on mediante

derivadas en las p�ags. 445-447 y realice una rutina que halla una aproximaci�on del m��nimo

de f calculando 10 iteraciones. Considere como valor inicial p0 = (a + b)=2 (es decir, en el

punto medio del intervalo).

8. Lea el m�etodo del gradiente en las p�ags. 447-448, implemente el Programa 8.4 de las

p�ags. 455-458 y resuelva los siguientes problemas de optimizaci�on:

a) Minimizar f (x; y ; z) = 2x2 + 2y2 + z2 � 2xy + yz � 7y � 4z sujeto a (x; y ; z) 2 R3.

b) Minimizar f (x; y ; z; u) = 2(x2+ y2+ z2+ u2)� x(y + z � u)+ yz � 3x � 8y � 5z � 9u

sujeto a (x; y ; z; u) 2 R4.

c) Minimizar f (x; y ; z; u) = xyzu +1

x+

1

y+

1

z+

1

usujeto a (x; y ; z; u) 2 R

4, x 6= 0,

y 6= 0, z 6= 0, u 6= 0.

21