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Sistemaisolado:2corposm1em2
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1)ParDculas–consideradaspuntuais
2)Sóforças,F12eF21,conservaHvasecentrais
3)AsforçaspodemserobHdasdeumpotencialU(r1,r2) 4)De2):U(r1,r2)=U(|r1–r2|)=U(r)
Sistemaisolado:2corposm1em2
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Qualoproblema? Resolveradinâmicadedoiscorpos:acharomovimento.
Sistemaisolado:2corposm1em2
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r=|r|=|r1–r2|
Sistemaisolado:2corposm1em2
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Escolhemos:sistemaderef.doCM
6 EquaçãodeEuler-Lagrange:
Onde:
Problemadeumcorpo!
MomentoAngular:conservação
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Sistemaisolado Simetriaesférica
Omomentoangulartotaléconservado!
Noref.deCM:
OMovimentoé,então,em2D
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Duasequaçõesdemovimento(variáveisreθ)
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Primeiraintegraldemovimento
AoutraequaçãodeEuler-Lagrange:
2ªleideKepler:velocidadearealéCTE
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Vetorr(t)varreaáreadotriangulo:
Conservaçãodeenergia:2ªctedemov.
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ComonãoháforçasdissipaHvas
Mas
Daconservaçãodeenergia:eqs.demov.
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Mas,eθ(t)?
Daconservaçãodeenergia:eqs.demov.
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Naverdade,θ(t)nãoéinteressante,massimθ(r)...
Mesmacoisa,masdaeq.deEuler-Lagrange
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ou
Deverdecasa:estudaradeduçãodaseguinteequação:
Órbitasemumcampocentral
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Asraízesdoradicalindicamospontos,r,taisque:ou
Emgeral,háduas raízes:rMINerMAX. Istoé,omovimentoéconfinadonaregião:
QuandoE,U(r)el,sãotaisquesóháumaraiz, ,levaaumasoluçãodoHpor=CTE,quesignificaórbitacircular.
Órbitasemumcampocentral:mov.periódico
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Considereocaso:
Aórbitapodeserperiódicaouaberta. SeráperiódicoseapósumnúmerofinitodeexcursõesentrerMINerMAX,omovimentoserepeHrexatamente.
EnergiacentrífugaepotencialefeHvo
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Nasexpressõesanterioresparadr/dteΔθ,oseguintetermoaparecia:
Onde a força FC é chamada (inapropriadamente) de “forçacentrífuga”eUCde“energiapotencialcentrífuga”.
Se interpretarmos o termo “a mais” dentro da raiz comouma“energiapotencial”:
EnergiacentrífugaepotencialefeHvo
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Doestudodomov.em1D:
Comparando as expressões acima, vemos que podemosdefinirumaenergiapotencialefeBvaV(r):
EnergiacentrífugaepotencialefeHvo
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Paraocasodaforçacentraldaleidoinversodoquadradodadistância:
EnergiacentrífugaepotencialefeHvo
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EnergiacentrífugaepotencialefeHvo
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Movimentoplanetário–problemadeKepler
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Quando a força central é do Hpo da lei do inverso doquadradodadistância:
Aintegralpodeserfeitaescolhendotransformaçãodevariá-veisderparau=l/r.(exercício2dalista,temqueprovarqueaCTE=-π/2).Impõeacondiçãoqueθ=0quandor=rMIN.O“soluHons”nãofazessaúlHmaparte...
Movimentoplanetário–problemadeKepler
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Quando a força central é do Hpo da lei do inverso doquadradodadistância:
Movimentoplanetário–problemadeKepler
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Definindoasconstantesαeεacima,aequaçãor(θ)ouθ(r)fica:
Essaéumaequaçãodeumaseçãocônicacomumdosfocosnaorigem.
Movimentoplanetário–problemadeKepler
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Movimentoplanetário–problemadeKepler
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Movimentoplanetário–problemadeKepler
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Uma seção cônica é o lugargeométrico dos pontos P cujadistância a um ponto fixo F(chamado fóco da cônica) éuma constante (chamadaexcentricidadeε=r/r’)vezesadistânciadePaumalinhafixa(chamada diretriz da cônica).Se 0 < ε < 1, obtemos umaelípse,seε=1aparábola,eseε>1,ahipérbole.
Movimentoplanetário–problemadeKepler
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Movimentoplanetário–problemadeKepler
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Movimentoplanetário–problemadeKepler
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os casos em que 0 < ε < 1correspondem aos movimentosplanetários(órbitaselípHcas):
PeP’sãoosfocosdaelipse
Movimentoplanetário–problemadeKepler
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Distâncias apsidais (rMIN e rMAXmedidasaparHrdosfocos):
Movimentoplanetário–problemadeKepler
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PeríododomovimentoelípHco:
Deverdecasa
A3aLeideKepleré100%correta?
Dinâmicaorbital
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Dinâmicaorbital
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Eq.8.42
Porquê-?
Energia de órbita em tornodoSolcomraio=raioTERRA
Dinâmicaorbital
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v1: velocidade de ór-bitaigualadaTerra
vt1: velocidadedeór-bita elítpHca que in-terceptaMarte
Dinâmicaorbital
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Ida
Volta onde: