Intervalos de confianza para la media poblacional en muestras

pequeñas.

En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango

de valores (calculado en una muestra) en el cual se encuentra el verdadero valor del

parámetro, con una probabilidad determinada.

La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo

construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- . La probabilidad de

equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza. Generalmente se construyen

intervalos con confianza 1- = 95% (o significancia =5%). Menos frecuentes son los

intervalos con = 10% o = 1%.

Intervalos de confianza para medias con muestras pequeñas ( n 30 )

La inferencia de la distribución muestral de la media en muestras grandes es una curva

normal. Con mucha frecuencia la varianza se desconoce ó2 en los problemas de la vida

real.

Cuando se desconoce la varianza el estadígrafo z ya no puede utilizarse para obtener

intervalo de confianza. Parece lógico desarrollar procedimientos en los cuales se utilice S 2

en lugar de ó2 , de esta manera en lugar del estadígrafo z utilizaremos el tn 1 para deducir

inferencias acerca de la media. Si la media de la población es ì la distribución muestral de

n-1 t es una distribución t, teniendo en cuenta que las observaciones, x1, x2, x3,. xn son

elegidas aleatoriamente y extraídas de una población normal.

Entonces, queda claro que cuando las muestras son pequeñas la distribución muestral es la

distribución t. Esta se caracteriza porque es más puntual que la distribución normal,

reuniendo mayor proporción de casos en los extremos de la curva a diferencia de la

distribución normal.

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La distribución t a medida que el tamaño de la muestra "n" aumenta, tal distribución t se va

pareciendo más a la normal, de tal modo que cuando n > 30 no existen diferencias entre la

distribución normal y la distribución t. Entonces, cuando n < 30 existe una curva diferente

para cada valor de "n".

Grados de libertad. Números de elementos en una muestra que pueden variar después de

haber seleccionado cierto número de ellas. Supóngase que existen dos elementos en una

muestra y se conoce la media. Se tiene libertad para especificar sólo uno de los dos valores,

ya que el otro queda determinado automáticamente; queda claro que el total de los dos

valores es dos veces la media.

En general, para la distribución t de Student, se puede decir que el número de grados de

libertad es igual al tamaño de la muestra o número de datos menos uno, es decir: g.l = tn-1

Pasos para la construcción de un Intervalo de confianza para la media ì, muestras

pequeñas.

1. Determinar el nivel de confianza al que vamos a trabajar.

2. Obtener los grados de libertad g. 1 = n - 1

3. Calcular el valor t correspondiente al nivel de confianza fijado con grados de libertad y

con ayuda de la tabla del anexo.

4. La tabla se divide en 10 columnas. La primera indica los grados de libertad, y las

siguientes columnas corresponden a los niveles de significancía que son 0.5,

0.4, 0.2, 0.1, 0.05, 0.025, 0.010, 0.005 y 0.001

5. De esta manera para un valor t correspondiente a un nivel de significancía del 10% y 18

grados de libertad hay que buscar la intersección de la columna del 10% y de la fila 18 g .

1, obteniendo un valor de t = 1.734

6. Calcular el error típico de la media y determinar el error muestral

7. Determinar el intervalo de confianza para la media de la población, sumando y restando

a la media de la muestra ( x ) el error muestral así:

con n . 1 grados de libertad y el valor de t depende del nivel de confianza.