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CÁLCULO DE PARÁMETROS DE MODELOS NO LINEALES MEDIAN TE SIMULATED ANNEALING

F. Sánchez Mares y R. Lara Colón

Departamento de Ciencias Básicas, Instituto Tecnológico de Pabellón de Arteaga, Carretera a la estación de Rincón km 1, Pabellón de Arteaga, Aguascalientes, México, fsanchez96@hotmail.com

RESUMEN

La necesidad de simular la relación no lineal existente entre dos o más variables mediante un modelo matemático en diversas áreas del conocimiento es una actividad importante. Existe una gran cantidad de metodologías propuestas para determinar los parámetros óptimos de modelos no lineales, la mayoría disponibles en software estadístico. Sin embargo, los métodos numéricos empleados para calcular las constantes del modelo son dependientes de estimaciones iniciales y pueden no llegar a converger a la solución óptima. Por lo tanto, en este trabajo se presenta una alternativa de cálculo que emplea como estrategia el método de optimización global Simulated Annealing. Para verificar la eficiencia de la técnica se obtuvieron las constantes de ecuaciones cinéticas, de la curva de sorción del iodo, de la curva de tenacidad-alargamiento y de la ecuación de Antoine. Los resultados muestran que la optimización global converge siempre a las constantes que muestran el mejor ajuste de los datos y en algunos casos mejora las funciones reportadas por los autores. Por lo tanto, esta metodología puede ser aplicada de manera satisfactoria para calcular los parámetros óptimos de modelos matemáticos no lineales comunes en las diversas áreas de la investigación.

1. INTRODUCCIÓN Después de que el investigador ha obtenido los datos experimentales procede a determinar el modelo matemático que represente mejor el fenómeno bajo análisis. La expresión que relaciona las variables contiene términos constantes que deben minimizar el error entre el valor calculado y el resultado práctico. Para este fin existen diversas metodologías propuestas. Sin embargo, los métodos numéricos empleados son de convergencia local y la determinación del valor óptimo depende de la estimación inicial. Por lo tanto, el objetivo de este trabajo es calcular los parámetros óptimos de modelos matemáticos mediante el empleo de una técnica eficiente como Simulated Annealing (SA). Simulated Annealing es una técnica que determina estadísticamente el óptimo global de una función. En este trabajo se utilizó el algoritmo propuesto por Corana y col.1. En este algoritmo, un punto de prueba es generado en forma aleatoria con una longitud de paso, almacenada en un vector VM, partiendo de un valor inicial. La función objetivo es evaluada en ese punto de prueba y su valor es comparado con el obtenido para el punto inicial. El criterio de Metropolis2 es utilizado para aceptar o rechazar el punto de prueba, con una probabilidad de aceptación definida por

( ) min 1,

NEW OLD

SA

f f

T

SAM T e

−−

=

(1)

2

donde fNEW y fOLD son los valores de la función objetivo en el punto de prueba y en el punto inicial; TSA es una variable del SA que representa, hipotéticamente, al proceso de enfriamiento del sistema. Si el punto de prueba es aceptado, se continúa con una búsqueda a partir de ese valor mientras que, en caso de rechazo, otro punto es seleccionado. Cada elemento del vector VM es ajustado en forma periódica considerando la cantidad de funciones evaluadas que son aceptadas. El parámetro TSA es modificado después de realizar un conjunto de NT*NS*nv perturbaciones, siendo NT el número de iteraciones antes de la reducción de TSA, NS el número de ciclos para el ajuste de VM y nv el número de variables consideradas en el proceso de optimización, respectivamente. La actualización del parámetro TSA se realiza a través de la siguiente expresión

( )1SAj SAjT T RT+ = (2)

donde j es el contador de iteraciones y RT es el factor para reducir a TSA, respectivamente. Si TSA decrece, las perturbaciones que ocasionan incrementos en la función objetivo, para el caso de minimización, tiene menor probabilidad de ser aceptadas. Esto ocasiona que los componentes del vector VM se reduzcan y el método se enfoca en la región más prometedora para la optimización de la función objetivo3. 2. METODOLOGÍA El programa se implemento en el lenguaje de programación FORTRAN empleando la subrutina proporcionada por W. L. Goffe4. La cédula de enfriamiento utilizada fue T = 1000, RT = 0.85, NT = 20 y NS = 20. La función objetivo a minimizar fue la siguiente

( )

2

1

número de datos

objetivo i i

i

F Vc Ve=

= −∑ (3)

donde Vci es el valor calculado por el modelo matemático y Vei es el valor obtenido de manera experimental. La Figura 1 presenta el algoritmo de cálculo para obtener los parámetros óptimos de los modelos matemáticos.

Figura 1. Algoritmo básico empleado en este trabajo para calcular los parámetros óptimos.

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3. RESULTADOS Y DISCUSIÓN Debido a la brevedad del documento se presentan cuatro modelos matemáticos empleados en diferentes áreas de la ingeniería, en los cuales sus parámetros óptimos fueron calculados con SA. Caso 1: Ecuación de Antoine. La ecuación de Antoine es un modelo simple y muy usado en termodinámica para calcular presiones de vapor en condiciones ideales. Sin embargo, mediante un ajuste adecuado de los datos puede realizar predicciones confiables en situaciones no ideales. Como caso de estudio se analizó la presión de vapor de la acetona, los valores experimentales fueron tomados de B. E. Poling y col.5. La expresión (4) representa el modelo matemático de la acetona con sus constantes óptimas.

2974.91442

exp 10.1251335.23276

PT

= − − + (4)

donde P es la presión de vapor en bares y T es la temperatura absoluta en Kelvin. A continuación la Tabla 1 presenta la comparación entre los valores calculados empleando las constantes optimizadas con SA y los valores experimentales reportados por B. E. Poling y col.5.

Tabla 1. Comparación entre los valores experimentales y los calculados mediante la Ec. (4).

Valores experimentales T (K) P (bar) P calculada (bar) 178.2 2.31E-5 2.29261E-5 209.55 0.000944 0.00096733 237.04 0.009965 0.0098899 259.175 0.04267 0.042461 285.623 0.1748 0.17273 320.47 0.74449 0.73750 390.32 5.655 5.73821 446.37 17.682 17.98092 470.61 26.628 26.90122 499.78 41.667 41.31514 508.1 47 46.24274

Caso 2: Sorción del iodo en fibras de poliéster. Para este caso se tomaron los datos experimentales reportados por G. Guillen y col.6. Estos autores ajustan la curva de sorción mediante un modelo que emplea el método de Gauss-Newton. El procedimiento reportado por los autores es mencionado como robusto. Sin embargo, requiere un desarrollo matemático que demanda un tiempo considerable. La Ecuación (5) presenta el modelo matemático, mientras que la Tabla 2 muestra los datos experimentales y la predicción de la sorción empleando la expresión optimizada con SA.

[ ]{ }20.656744exp 0.0115155 exp( 0.0355715 )SI T T= − (5) donde SI es la sorción de iodo en mg I2/g y T es la temperatura de ensayo en ºC.

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Tabla 2. Comparación entre los valores experimentales y los calculados mediante la Ec. (5). Valores experimentales

Temperatura de ensayo (ºC)

Sorción de iodo (mg I 2/g)

Sorción de iodo (mg I 2/g) calculada

20 10.60 6.30229 25 15.30 12.64437 30 22.80 23.21099 35 35.60 38.14381 40 52.00 55.72074 45 74.50 72.54190 50 90.10 84.88892 55 86.70 90.35910

Los parámetros óptimos calculados para la expresión (5) coinciden perfectamente con los reportados por los autores. Sin embargo, el modelo matemático reportado por G. Guillen y col.6 como se puede observar no es el más adecuado. Por lo tanto, en trabajos posteriores se deberá buscar una expresión con la que se logre un mejor ajuste. Cabe recordar que el objetivo de este trabajo es calcular los valores óptimos del modelo, no establecer las ecuaciones que describan el fenómeno. Caso 3: Modelo de Zurek para modelar la curva de tenacidad-alargamiento de hilo poliéster. Las constantes paramétricas para este modelo son determinadas a partir de datos experimentales por A. M. Islas y col.7 mediante la técnica de mínimos cuadrados, la cual conduce a un sistema de ecuaciones no lineales que es resuelto mediante un método de Newton-Raphson (NR). Como se podrá observar esta metodología requiere la inversión de un tiempo considerable en el desarrollo, más la limitante de que el método NR es totalmente dependiente de estimaciones iniciales. La Ecuación (6) presenta los parámetros óptimos calculados con SA, mientras que la Tabla 3 muestra la comparación entre los valores predichos y los experimentales.

( ) ( )0.29846 11.42557 4.14343 11.42557 exp 0.71827A A Aσ = + + − − (6) donde σ es la tenacidad en cN/tex y A es el por ciento de alargamiento.

Tabla 3. Comparación entre los valores experimentales y los calculados mediante la Ec. (6). Valores experimentales

Alargamiento A (%) Tenacidad σ (cN/tex)

Tenacidad σ (cN/tex) calculada

0.01 0.500 0.12589 0.10 0.9014 1.20735 1.20 9.190 9.05811 1.67 10.510 10.56614 2.80 12.260 12.28481 8.60 14.070 14.04259 22.5 18.100 18.14092

30.96 20.690 20.66589 Para este caso también se obtuvieron los mismos valores de las constantes que reportan los autores. Sin embargo, la metodología propuesta en este trabajo se implementa más fácilmente que la reportada por A. M. Islas y col.7.

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Caso 4: Ecuación cinética. Este problema es abordado en el texto de Fogler8 y es resuelto por el autor mediante mínimos cuadrados. La ecuación (7) presenta los parámetros óptimos de la ecuación, los cuales se calcularon mediante SA y la Tabla 4 muestra la comparación de los resultados obtenidos contra los reportados por el autor.

1.4014330.0184HBr HBrr C− = (7) donde -rHBr es la velocidad de reacción del ácido bromhídrico en mol HBr/m2h y CHBr es la concentración del ácido bromhídrico en mol HBr/dm3.

Tabla 4. Comparación entre los valores experimentales y los calculados mediante la Ec. (7). Valores experimentales

CA0 (mol HBr/dm 3) -rA0 (mol HBr/m 2h)

-rA0 (mol HBr/m 2h)

0.1 0.00073 0.00073 0.5 0.0070 0.00696 1.0 0.0184 0.0184 2.0 0.0486 0.04860 4.0 0.1284 0.12839

Como se puede observar en la tabla 4 el ajuste de los datos es adecuado, cabe mencionar que los valores calculados coinciden perfectamente con los reportados por el autor.

4. CONCLUSIONES Se ha presentado en este trabajo una metodología eficiente e independiente de las estimaciones iniciales para calcular los parámetros óptimos de diversos modelos matemáticos empleados en la ingeniería. En los casos analizados el método no presentó problemas de convergencia, se implementó de manera simple y puede ser aplicado de manera satisfactoria en cualquier área del conocimiento. BIBLIOGRAFÍA

1. A. Corana, M. Marchesi, C. Martini y S. Ridella, “Minimizing multimodal functions of continuos variables with the Simulated Annealing algorithm”. ACM Trans Math Software, Vol.13, 1987, pp. 262-280.

2. N. Metropolis, A. W. Rosenbluth, M. N. Rosenbluth, A. H. Teller, y E. Teller., “Equation of state calculations by fast computing machines”. J. Chem. Phys., Vol. 21, 1953, pp. 1087-1092.

3. F. Sánchez-Mares. y A. Bonilla-Petriciolet, “Cálculo de puntos críticos empleando una estrategia de optimización global estocástica”. Afinidad, Vol. 525, 2006, pp. 396-403.

4. W. L. Goffe, G. D. Ferrier y J. Rogers, “Global optimization of statistical functions with Simulated Annealing”. Journal of Econometrics, Vol. 60, 1994, pp. 65-99.

5. R. C. Reid, J. M. Prausnitz y B. E. Poling, “The properties of gases and liquids”, (Mc Graw Hill, Fourth Edition, New York, NY, 1987), Chapter 7, pp. 208-217.

6. G. Guillén, A. M. Islas, M. Olvera y L. E. Mercado, “Memorias de la XVI Semana Regional de Investigación y Docencia en Matemáticas”, 2006, pp. 62-69.

7. A. M. Islas, M. Olvera y G. Guillén, “Memorias de la XVI Semana Regional de Investigación y Docencia en Matemáticas”, 2006, pp. 70-75.

8. H. S. Fogler, “Elementos de ingeniería de las reacciones químicas”, (Pearson Education, Tercera edición, México, D. F., 2001), Capítulo 5, pp. 250-261.