ajustes de modelos teóricos a datos experimentales: el...
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Ajustesdemodelosteóricosadatosexperimentales:elmétododecuadradosmínimos
LucianoA.Masullo
Laboratorio 1(1erCuatrimestre 2018)Departamento deFísica
FacultaddeCienciasExactasyNaturalesUniversidaddeBuenosAires
Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(
Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(
Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(• Tenemos como hipótesis una relación funcionalentrelasmediciones𝑥 e𝑦delaforma 𝑦 = 𝑓(𝑥).Esteesnuestromodeloteórico.
• Porejemplo:• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞esunarelaciónlineal entre𝑥 e𝑦• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐴sin 𝜔𝑥 + 𝜙 + 𝑐 esunarelaciónno-lineal entre𝑥 e𝑦
Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(• Tenemos como hipótesis una relación funcionalentrelasmediciones𝑥 e𝑦delaforma 𝑦 = 𝑓(𝑥).Esteesnuestromodeloteórico.
• Porejemplo:• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞esunarelaciónlineal entre𝑥 e𝑦• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐴sin 𝜔𝑥 + 𝜙 + 𝑐 esunarelaciónno-lineal entre𝑥 e𝑦
Asumiendounciertomodeloteórico (p.ej.𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞)¿Cómoencuentrolosparámetrosdelmodelo(p.ej.𝑚y𝑞) quemejor explican* mis datosexperimentales?
*Sedicetambién“quemejorajustana”ydeahívienehablarde“ajuste”
Planteo delproblema• Tenemosunconjuntodemediciones {𝑥#}#$%,…,(• Tenemos otro conjuntodemediciones {𝑦# }#$%,…,(• Tenemos como hipótesis una relación funcionalentrelasmediciones𝑥 e𝑦delaforma 𝑦 = 𝑓(𝑥).Esteesnuestromodeloteórico.
• Porejemplo:• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞esunarelaciónlineal entre𝑥 e𝑦• 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝐴sin 𝜔𝑥 + 𝜙 + 𝑐 esunarelaciónno-lineal entre𝑥 e𝑦
Asumiendounciertomodeloteórico (p.ej.𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑞)¿Cómoencuentrolosparámetrosdelmodelo(p.ej.𝑚y𝑞) quemejor explican* mis datosexperimentales?
*Sedicetambién“quemejorseajustana”ydeahívienehablarde“ajuste”
Tiene solución analítica
Tiene solución numérica
• Criterio:quiero encontrar lafunción 𝑓 𝑥 queminimicelasuma delas diferencias alcuadrado entrelapredicción 𝑓 𝑥# ylamedición 𝑦#
• Hipótesis adicionales:lavariablealeatoria𝑦 tienedistribucióngaussianaconvalormedio𝑓 𝑥 .Ademáselerrorrelativoen𝑥 esmuchomenorqueelerrorrelativoen𝑦.
• Cuadradosmínimos casolineal:asumocomomodeloteórico𝑦 = 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞, luego
Método decuadradosmínimos
Datos experimentales
𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞
𝛿#
Método decuadradosmínimos
Método decuadradosmínimos
Minimización deSenfunción demyq
Método decuadradosmínimos
Minimización deSenfunción demyq
Método decuadradosmínimos
Encontramos losparámetros𝑚 y𝑞queminimizan lasuma cuadráticadelas
diferenciasentreelmodelo ylosdatos
Minimización deSenfunción demyq
Método decuadradosmínimos
Detodas las posibles funciones lineales,lafunción 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞es laque minimiza S
Método decuadradosmínimos
Algunas consideraciones importantes:
• ¿Es mejor unajusteque esté contenidodentro delas barras deerrordetodos lospuntos que uno que no?
• ¿Quérelaciónhayentrelacantidaddepuntosdentrodecuyasbarrasdeerrorpasaelajusteyelerrordelasmediciones?
• ¿Cuántospuntosesperodecada“lado”delarecta?¿Porqué?
ParámetrosdeunMRUVporcuadradosmínimos
• Posición enfuncióndeltiempo
• Velocidad enfunción deltiempo
• Aceleración enfuncióndeltiempo
ParámetrosdeunMRUVporcuadradosmínimos
• Posición enfuncióndeltiempo
• Velocidad enfunción deltiempo
• Aceleración enfuncióndeltiempo
𝑥 𝑡 = 𝑥; + 𝑣;(𝑡 − 𝑡;) +12 𝑎(𝑡 − 𝑡;)A 𝑥((𝑡 − 𝑡;)A) = 𝑥; +
12 𝑎(𝑡 − 𝑡;)ASi𝑣;= 0
lineal
𝑣 𝑡 = 𝑣; + 𝑎(𝑡 − 𝑡;)
𝑎 𝑡 = 𝑎
Limitacionesdelmétodoycriterios
Siempreesesencialevaluarcríticamenteelresultadodeunajuste:
• ¿Essiempreelmejormodeloelquemejorseajustaalosdatos?
• ¿Eselmejormodeloelquemenoshipótesishacesobreelproblema?
• ¿Esrazonableplantearunmodeloqueseajustamuybienperoquenopuedopredecirconrazonamientosyargumentosfísicos?
Limitacionesdelmétodoycriterios(ejemplo#1)
¿Quéajusteelegirían?¿Porqué?
Posic
ión(m
m)
Posic
ión(m
m)
Tiempo(ms)Tiempo(ms)
Estosdatosajustan exactamenteigual debien auna misma funciónlineal𝑦 = 3𝑥 + 0,5
Tabladecuatro conjuntosdedatos
Adaptado de F.J. Anscombe, "Graphs in Statistical Analysis," American Statistician, 27 (1973), 17-21
Limitacionesdelmétodoycriterios(ejemplo#2)
Tabladecuatro conjuntosdedatos
Estosdatosajustan exactamenteigual debien auna misma funciónlineal𝑦 = 3𝑥 + 0,5
Loscuatro conjuntosdedatosgraficados
Adaptado de F.J. Anscombe, "Graphs in Statistical Analysis," American Statistician, 27 (1973), 17-21
I II
III IV
Limitacionesdelmétodoycriterios(ejemplo#2)
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:
“Chicuadrado”
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:
“Chicuadrado”
𝑘 = 10
𝜒A
Distribución deprobabilidad de𝜒A
• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:
“Chicuadrado”
Distribución deprobabilidad de𝜒A
𝑘 = 10
𝜒A
• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada
• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:
“Chicuadrado”
Distribución deprobabilidad de𝜒A
𝑘 = 10
𝜒A
• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada
• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)
• 𝐸(𝜒A) = 𝑘
• 𝑉𝐴𝑅(𝜒A) = 2𝑘 ; 𝑆𝐷(𝜒A) = 2𝑘
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:
“Chicuadrado”
Distribución deprobabilidad de𝜒A
𝑘 = 10𝐸(𝜒A)
𝐸(𝜒A) +2𝑆𝐷(𝜒A)
𝜒A
• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada
• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)
• 𝐸(𝜒A) = 𝑘
• 𝑉𝐴𝑅(𝜒A) = 2𝑘 ; 𝑆𝐷(𝜒A) = 2𝑘
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒AConstruyounestadístico(unafuncióndelosdatos)conestaforma:
“Chicuadrado”
• 𝜒A es una variablealeatoria,por lotanto tiene unadistribución deprobabilidad asociada
• 𝑘 eslacantidaddemedicionesdelexperimento(laformadeladistribuciónde𝜒A vaadepender de𝑘)
• 𝐸(𝜒A) = 𝑘
• 𝑉𝐴𝑅(𝜒A) = 2𝑘 ; 𝑆𝐷(𝜒A) = 2𝑘
• Elvalorde𝜒A esunamedida(no laúnica)delaprobabilidad dequelosdatos{𝑦#}provengandeunfenómeno físicoconmodelo teórico𝑦 = 𝑓(𝑥),esdecir,𝜒A esuna medida delaverosimilitud delmodelooajuste
Distribución deprobabilidad de𝜒A
𝑘 = 10𝐸(𝜒A)
𝐸(𝜒A) +2𝑆𝐷(𝜒A)
𝜒A
¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?Posic
ión(m
m)
Tengo 10mediciones yquiero evaluar laverosimilituddemimodelo teórico
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A
Tiempo(ms)
¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?Posic
ión(m
m)
Tiempo(ms)
Tengo 10mediciones yquiero evaluar laverosimilituddemimodelo teórico
𝜒A = 7,42
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A
¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?
𝑘 = 10
𝜒A = 7,42
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A
𝜒A
¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?
𝑘 = 10
𝜒A = 7,42
𝜒A = 7,42 estácontenidoenelintervalo𝐸(𝜒A) ± 𝑆𝐷(𝜒A),eraunresultadoesperable
Resultados poco probables Resultados más probables Resultados poco probables
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A
𝜒A
𝑘 = 10
¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?
𝜒A = 22
𝜒A = 22 estáafueradelintervalo𝐸(𝜒A) ± 2𝑆𝐷(𝜒A),es unresultadopoco esperable dadoelmodelo teórico
Cuantifacióndelaverosimilituddeunajuste:𝜒A
𝜒A
𝜒A reducidoSepuededefinirenformaanálogaal𝜒A ,un𝜒Areducido :
• Sirveparaindependizarelvalormediodelacantidaddemediciones𝑘
• Elprograma Origincomputa 𝜒APQR envezdel𝜒A
• “Cuadradosmínimos”esunmétodo(noelúnico)quesirveparaencontrarlosparámetrosquemejorseajustanalosdatosexperimentalesdadounmodeloteórico
• Sibien es unmétodo poderosoymuyútil,hayque tener cuidado yevaluarlosresultados delosajustes concriterio ysinperder devistalafísica delexperimento
• 𝜒A esunestadístico (yunavariablealeatoria)quedaunamedida(nolaúnica)delaverosimilituddelajusteefectuadoalosdatosexperimentales
Resumen
𝑘 = 10
Extra:Testdehipótesisyp-valor
¿Cuándorechazounmodelo(teoría)ocuándolaacepto?
• Recordemos que laintegraldeladensidad deprobabilidad da1
• Sedefineelvalorpcomo laprobabilidaddeobtener unconjunto demedicionescomo elque obtuve omás extremo(menosprobableaún)dadaunaciertahipótesisomodelo
• Sesuele*tomarvalorp<0,05(que asuvez defineun𝜒A umbral)pararechazarunmodelo (oaceptarelcontrario)
• Elvalorpdeterminaelniveldesignificacióndeladiscrepanciadelmodeloconlosdatos
𝜒A = 22
*Laelección esarbitraria ydehechoactualmente hayunfuertedebateenelámbitodelascienciasbiomédicas, verporejemplo:S.Wellek “Acritical evaluation ofthe current ‘p-value controversy’”, Biometrical Journal, 59,5(2017)
𝜒A
valorp