2014年12月8日（月） 数理人セミナー@ 早稲田大学西早稲田キャンパス63号館102号室

友枝 明保 （Akiyasu Tomoeda）武蔵野大学 / JST CREST

共同研究者： 杉原 厚吉 （明治大学/JST CREST)小野 隼 （明治大学卒業生）

錯視現象を計算する：幾何計算による現象の理解から錯視作品の創作へ

講演概要

「計算錯覚学（Computational Illusion）」– 錯視現象を計算する意義

– 錯覚美術館

– 錯視と渋滞 （縦断勾配錯視）

“ホロウマスク錯視”と同じ効果を持つ錯視立体の数理設計法

– 回転速度計算による錯視現象の理解

– 幾何計算を用いた立体の設計法

– 陰影計算による無照明下での実現

“フットステップ錯視” アート– 観察される錯視効果の条件計算と分類

– Best illusion of the Year Contest

まとめ

計算錯覚学の紹介

JST CREST 「計算錯覚学の構築」

視覚における錯覚：錯視

– 対象が実際とは異なるように見えてしまう現象

– 錯覚は理性で答えがわかっていても，必ずまた起こる．

錯視現象を計算する意義

– 錯視の仕組みを理解し，錯視効果を数量化することで，

錯視（量）を制御する・予測することが可能となる．

»錯視量の最小化

→ 錯視の解消

• 交通事故防止

• 渋滞緩和

»錯視量の最大化

→ 錯視の利用

• 目をひく標識や看板広告の設計

錯視と渋滞

サグ(sag) = ドライバーが気がつかない程度の上り坂

上り坂を正しく上り坂と認識できていない

傾斜の誤認：「縦断勾配錯視」と呼ばれる錯視現象

データ図：NEXCO東日本HP http://www.e-nexco.co.jp/activity/safety/detail_07.html より

縦断勾配錯視の例（屋島ドライブウェイ，下り）

ホロウマスク錯視と同じ効果を持つ錯視立体の数理設計法

ホロウマスク錯視（マスクの回転速度）

ホロウマスク錯視の視線は観測者を追い越していく．

– 観測者：点Eから点P（点P’）を見る．

– Pの周りに一様な密度の模様が書かれているとする．

– 正面から見たときの模様密度：

– 見かけの密度

– 観測者の視点移動による

見かけの密度変化

D

0

cos

DD

0

2

sin

cos

DdD

d

(b) Illusion

(a) Real

マスク面

P

P

E

0D

ホロウマスク錯視（マスクの回転速度）

観察者が面に向かって右に動く

(a) Real

（実際のマスク面の場合）

– 見かけの密度の変化

→ 見かけの密度は増加する

0

2

sin0

cos

D

0

0

2

sin

cos

DdD

d

密度変化

(a) Real

マスク面

P

E

ホロウマスク錯視（マスクの回転速度）

観察者が面に向かって右に動く

(b) Illusion

（錯視の状態のマスク面の場合）

– 見かけの密度の変化

→ 見かけの密度は減少する

0

2

sin

cos

DdD

d

密度変化

(b) Illusion

マスク面

E

P

0

0

2

sin0

cos

D

減少するはずが，実際は増加！

ホロウマスク錯視（マスクの回転速度）

期待していた密度変化と実際の密度変化の差

– (a) 実際の密度変化

錯覚に気付かない観察者

– 壁面が回転して向きを変えているために，観察された密度の変化が生じている．と解釈

0

2

sin

cos

D

(b) 錯視の状況での密度変化

– (a)と(b)の差

0

2

sin

cos

D

0

2

sin2

cos

D

0 0

2 2

sin sin2

cos cos

D D

2

視点の二倍で回転

（回転角 とする）

【作成立体】 立体俯瞰図

底面の形状を与えて，立体を作成する（線分ボロノイ図, Straight Skeleton）

ボロノイ図（Voronoi Diagram）

直感的説明

ボロノイ図は一種の「なわばり」図

領域の境界は二点の垂直二等分線の一部

母点

ボロノイ点

ボロノイ領域

線分ボロノイ図

線分ボロノイ図 (Voronoi diagram for line segments)

– 線分を生成元とするボロノイ図

– Straight skeleton (ex. 屋根の設計)» 各生成元からの直線距離(Straight line distance)で勢力圏を分割

» 得られるボロノイ境界は全て直線で表される．

[O. Aichholzer, et al. (1995), D. Eppstein, et al. (1999), Huber, et al. (2010). ]

l

lEuclid distanceStraight line distance

等しい傾斜壁を持つくぼみ構造の作り方

傾斜壁を持つくぼみ構造

– 立体表面は広い観察角度から完全に見えるように作成

– 深さも必要

: 線分で囲まれた二次元閉領域

: 境界の線分の集合

: xy平面と傾斜壁とのなす角

: くぼみ構造の高さ

P

1 2, ,p nE e e e

h

1. 多角形の境界を外側にのばしていき，長さが になったところで止める．

2. 長さが になる前に壁同士が交差した場合，その交差部で止める．

3. xy平面上で得られた座標に対して，Z座標を追加する．

coth

coth

z h

Straight line Voronoi diagram

Straight line Voronoi diagram

– ボロノイ領域 の集まり

» は に対して，直線距離で定義されるボロノイ領域ie

iR e

iR e

» 得られたボロノイ領域はxy平面から傾斜 α を持った傾斜壁となる．

» 任意の多角形底面Pに対して，くぼみ構造を作成することが可能．

P

立体形状の計算（イメージ）

0z z h

1 1 1 1, ,V x y z

【作成立体：再掲】 立体俯瞰図

立体の展開図

「矢印の幻惑」

矢印は両方ともくぼんでいて，左は正しくくぼんで見えるが，右の矢印は出っ張って見える．

矢印立体から目を離さずに左右に移動すると，矢印がずっと追いかけてくるように見える．

1. A. Tomoeda, K. Sugihara, (ISVD 2012), pp. 144–147 (2012), doi:10.1109/ISVD.2012.26.

2. 日本応用数理学会年会2012 予稿集 稚内

3. (Wikipedia) http://en.wikipedia.org/wiki/Straight_skeleton

作：友枝明保，杉原厚吉 (2012)

「矢印の幻惑（照明透過ver）」

錯視立体に光を裏から当てた状況

（ケント紙ではなく，3Dプリンタで作成した錯視立体）

作：友枝明保，杉原厚吉 (2012)

「駐車場マーク」作：友枝明保，杉原厚吉 (2012)

「矢印の幻惑」 照明による比較

下からの照明上からの照明

照明によって凹凸が反転 （陰影の効果）

→ クレーター錯視

クレーター錯視

– 画像を回転させると，凹部が凸部に見える．» 陰影による形状(立体)復元：Shape from Shading

» 「地球上では光が上から来る」 → 知覚の学習という説

Fieandt, K. von (1938). Helsinki, Finland: Psychologisches Itistitut Universitat Helsinki.Fieandt, K. von (1949). Ada Psychologica, 6, 337-357.

「はぐれ矢印」の作成に向けて

【アイデア】

• 錯視立体の各面に予め陰影を付けておけば，照明ナシでも立体に見えるハズ

→ 実用化における照明設置のコスト削減につながる．

• 平面矢印であっても，適切な陰影を付ければ立体に見えるハズ．

→ ある視点から見ると，平面矢印と錯視立体を同一に見せることができる．

• 複数の平面矢印の中に，一つだけ「矢印の幻惑」を紛れ込ませる．

→ 錯視立体だけが視点移動に伴って回転する錯視効果により，

目を惹く看板を作成できる．

【作成手順】

1. 錯視立体に対して，ある視点で見た場合の投影面の頂点座標を求める．

立体 → 平面

2. 投影面の平面矢印に対して，出っ張って見えるような陰影を与える．

平面 → 立体に見せる

3. その色を元に，「拡散反射」を仮定して立体面の陰影計算を行う．

立体に見える平面 → 同一に見える立体

平面 立体

平面 平面

「はぐれ矢印」

投影変換

視点O(0,0,f)となるように平行移動したのち，P(x,y,z)をZ=0に射影した座標P0

0 : :x f x f z

0,0,O fZ

Y

X

0 0 0, ,0P x y , ,P x y z

0

fxx

f z

0

fy

f z

同様に，y

【手順】 1. 平面矢印の頂点座標を求める．

2. 平面矢印の各面に陰影を与える．

3. 拡散反射を仮定して，立体面の陰影を求める．

平面矢印に与える色

面：{A,B,C,D,E,F,G,H}

【手順】 1. 平面矢印の頂点座標を求める．

2. 平面矢印の各面に陰影を与える．

3. 拡散反射を仮定して，立体面の陰影を求める．

【仮定する条件】

各面は色の大小関係を保てばよく，0(黒)-255(白)のとき，

F<D<B=E=G(=H)<C<A

である．

面HはB=E=Gと同じである

必要はないが，鉛直方向の陰影が重要なので，ここでは同じ色とした(B=E=G=H) ．

0Z

Z d

AB

C

DE

F

G H

平面矢印に与える色

仮定に基づいて設定した色

0(黒)-255(白)

A:180 B:115

C:150 D:90

E:115 F:60

G:115 H:115

F<D<B=E=G(=H)<C<AProcessingによる表示

（平行光線，拡散反射）

【手順】 1. 平面矢印の頂点座標を求める．

2. 平面矢印の各面に陰影を与える．

3. 拡散反射を仮定して，立体面の陰影を求める．

拡散反射

ランバートの余弦則

– 拡散反射光は見る方向によって明るさは変わらない．

– 明るさは面の法線方向と入射光のなす角の余弦に比例

【手順】 1. 平面矢印の頂点座標を求める．

2. 平面矢印の各面に陰影を与える．

3. 拡散反射を仮定して，立体面の陰影を求める．

0 cosdL x I C

0I

n

ランバートモデル

：光源の強度

x

C

：面の反射率(0~1)

：色の値

面Xの輝度

立体面の色計算

面Xの輝度

色つき平面と色つき立体面が同じ色に見える

【手順】 1. 平面矢印の頂点座標を求める．

2. 平面矢印の各面に陰影を与える．

3. 拡散反射を仮定して，立体面の陰影を求める．

0 cosXd X XL xI C 0 cosXd X XL xI C

cos

cos

XX X

X

C C

cos X

n L a b L

n L a b L

0 0cos cos

Xd a Xd a

X X a X X a

L L L L

xI C L xI C L

XX X

a b La b LC

a b La b

a b La bC C

a b bL a L

n a b

ab

XC

L

Processingによる表示

(視点距離) f=200の場合，平行光線，拡散反射

平面に色付けした矢印 立体面に色付けした矢印

「陰影付き矢印の幻惑」

陰影付き平面矢印 陰影付き立体矢印

作：友枝明保，小野隼，杉原厚吉(2013)

「はぐれ矢印」作：友枝明保，小野隼，杉原厚吉(2013)

矢印の一つが「矢印の幻惑」（錯視立体）で構成され，他の矢印は平面矢印で構成された作品．

視点角度の変化（回転）に伴って，錯視立体矢印だけが変化（回転）して見える．

フットステップ錯視アート

フットステップ錯視

二つの長方形（オブジェクト）が等速に動いているが背景が縞模様だと、まるで交互に動いているように見える。

S. Anstis, Footsteps and inchworms: Illusions show that contrast affects apparent speed, Perception, 30, 785-794, (2001).

コントラスト差が要因

オブジェクトの大きさ（幅）による錯視の変化

間欠運動（フットステップ錯視）

伸び縮み（インチワーム錯視）

エッジが隠れている時間の計算

フットステップ錯視：両エッジが同時に隠れるとき

→ ストライプ幅の偶数倍のとき

最も長い時間両エッジが隠れる．

x

x

22

xx

　

3

2 32

xx

　

3 x

x

エッジが隠れている時間の計算

インチワーム錯視：両エッジが交互に隠れるとき

→ ストライプ幅の奇数倍のとき

最も短い時間両エッジが隠れる．

x

x

3 x

3x 3

3 42

xx

　

3

2 32

xx

　

フットステップ錯視の見え方の分類

オブジェクトの設定で８パターンに分類

width Apparent motion

x1 x2 d O1 O2 Timing

1 even even even Footstep Footstep synchronously

2 even even odd Footstep Footstep alternately

3 odd odd even Inchworm Inchworm alternately

4 odd odd odd Inchworm Inchworm synchronously

5 even odd even Footstep Inchworm synchronously

6 even odd odd Footstep Inchworm alternately

7 odd even even Inchworm Footstep alternately

8 odd even odd Inchworm Footstep synchronously

フットステップ錯視アートの実用化に向けて

時計のデザイン技術

– 特願2012-173418，特願2013-110085

CGによるデモ 試作によるデモ

フットステップ錯視アートの実用化に向けて

パターンの組み合わせによるデザイン

Best Illusion of the Year Contest 2013

Best Illusion of the Year Contest 2013 ―概要―

錯覚の新作を競う世界コンテスト– Vision Science Society（視覚科学協会）年会のサテライトイベント

– 応募作品から、専門家による１次審査でベストテンが選ばれ、それがファイナリストとして決勝戦に臨み、１位から３位を競う．

– 決勝戦の結果は、NatureやScientific Americanなどに紹介され、速報HP

には、数百万回のアクセスが殺到するなど、視覚科学の分野で大変注目されている大イベント．

Best Illusion of the Year Contest 2014

Best Illusion of the Year Contest 2014

Top 10 Finalist “Pigeon-Neck Illusion”

「行ったり来たりする動きを錯視で表現」Contents : “Tag”, “UFO”, “Clock”

まとめ

計算錯覚学の紹介

– 錯視現象の数理モデリング

»錯視（量）を制御する・予測することを目指す

– 錯視の解消：錯視量の最小化

»環境誤認からくる事故防止や渋滞緩和

（縦断勾配錯視）

– 錯視の利用：錯視量の最大化

»新しいエンタテイメント・芸術表現

（ホロウマスク型錯視立体の数理設計）

（フットステップ錯視アート）