aktuarska matematika iv dio-p
DESCRIPTION
modeli zivotnog osiguranjaTRANSCRIPT
-
AKTUARSKA MATEMATIKA
IV dio
Dr.sc. eljko ain
Sarajevo, 2009.
-
5. Modeli ivotnog osiguranja na osnovu viekratne premije
5.1. Uvodni dio
- Formalni dio- Sutinski dio
-
Mogu biti:
Sa stajalita iznosa: jednake i varijabilne Sa stajalita frekvencije u vremenu:
godinje i ispodgodinje Sa stajalita vremenske duine uplata:
privremene (temporarne) i doivotne
-
5.2. Jednake neto premije
5.2.1. Godinje neto premije5.2.1.1. Neposredna doivotna neto premija
za osiguranje kapitala za sluaj smrti ( ( )xP A
-
5.2.1.1. Neposredna doivotna neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrti
Formulacija problema:Osoba ivotne dobi x godina eli osigurati
kapital od K novanih jedinica za sluaj svoje smrti osobi naznaenoj u polici osiguranja plaajui doivotno jednaku godinju premiju. Koliko iznosi jedna godinja neto premija?
-
5.2.1.1. Neposredna doivotna neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrti
Princip ekvivalencije:
2 31 2 3
2 3 41 2 3
( ) ( ) ( ) ( )
( ...) /x x x x x x x x
xx x x x
l P A l P A v l P A v l P A v
K d v d v d v d v v+ + +
+ + +
+ + + +
= + + + +
-
Primjer
Osoba ivotne dobi 55 godina eli osigurati kapital od 100.000,00 n.j. za sluaj smrti plaajui godinju doivotnu jednaku anticipativnu premiju. Koliko iznosi jedna godinja neto premija?
-
Primjer
55 5555
55 55
55
( )
( ) 100.000 100.000
( ) 3.449,20 . .
xx
x
MP A KN
M MP AN N
P A n j
=
= =
=
-
5.2.1.2. Privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj doivljenja
Formulacija problema:Osoba ivotne dobi x godina eli osigurati
kapital od K novanih jedinica za sluaj doivljenja x+n-te godine plaajui godinju anticipativnu (dekurzivnu) jednaku premiju. Koliko iznosi jedna godinja neto premija?
-
5.2.1.2. Privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj doivljenja
( ) x nxx x n
DP E KN N
+
+
=
-
Primjer
Osoba ivotne dobi 60 godina eli osigurati kapital od 100.000,00 novanih jedinica za sluaj doivljenja 70-te godine plaajui godinju anticipativnu premiju
a) u toku cijelog obligacionog odnosab) u toku prvih 6 godina obligacionog
odnosaKoliko iznosi jedna godinja neto premija?
-
Ad a)
( ) x nxx x n
DP E KN N
+
+
=
7060
60 70
( ) 100.000 6.117,24 . .DP E n jN N
= =
-
Ad b)
7060
60 66
( ) 100.000 8.850,21 . .DP E n jN N
= =
-
5.2.1.3. Privremena neto premija za osiguranje odgoene doivotne line rente
Formulacija problema:Osoba ivotne dobi x godina eli osigurati
od svoje x+k-te godine doivotnu godinju prenumerando (postnumerando) rentu u iznosu od R novanih jedinica. Koliko iznosi jedna godinja anticipativna (dekurzivna) neto premija?
-
5.2.1.3. Privremena neto premija za osiguranje odgoene doivotne line rente
( / ) x kxx x n
NP k a RN N
+
+
=
-
Primjer
Lice ivotne dobi 45 godina eli osigurati od svoje 65. godine doivotnu godinju anticipativnu rentu u iznosu od 1.000,00 n.j. Koliki iznosi godinja anticipativna neto premija:
a) plativa od dana potpisivanja ugovora do dana poetka primanja rente?
b) plativa u toku prvih 10 godina obligacionog perioda?
-
Primjer
6520 45
45 65
6545
45 55
( / )
) (20 / ) 1000 213,28 . .
) (20 / ) 1000 328,88 . .
x km x
x x n
NP k a RN N
Na P a n jN NNb P a n j
N N
+
+
=
= =
= =
-
5.2.1.4. Privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrti
Formulacija problema:Osoba ivotne dobi x godina eli osigurati
kapital za sluaj smrti plaajui godinju anticipativnu (dekurzivnu) jednaku premiju u toku prvih n godina od dana potpisivanja ugovora o osiguranju. Kolika je godinja neto premija?
-
5.2.1.4. Privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrti
( ) xxx x n
MP A KN N +
=
-
Primjer
Lice ivotne dobi 55 godina eli osigurati kapital od 100.000,00 n.j. za sluaj smrti plaajui jednaku godinju anticipativnu premiju u toku 10 godina. Kolika je godinja neto premija?
-
Primjer
5555
55 65
( )
( ) 100.000 5.542,09 . .
xx
x x m
MP A KN N
MP A n jN N
+
=
= =
-
5.2.1.5. Privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj doivljenja i smrti odnosno
mjeovito osiguranje kapitala
Formulacija problema:Osoba ivotne dobi x godina eli osigurati
kapital od K novanih jedinica da joj se isplati ako doivi x+n-tu godinu ivota, aako umre ranije da se isplati njenim nasljednicima na kraju godine u kojoj osiguranik umre. Kolika je godinja neto premija?
-
5.2.1.5. Privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj doivljenja i smrti odnosno
mjeovito osiguranje kapitala
( ) x x n x nxn
x x n
M M DP E A KN N
+ +
+
+ =
-
Primjer
Osoba ivotne dobi 40 godina eli osigurati kapital od 100.000,00 n.j. da joj se isplati ako doivi 65.godinu ivota, a ako umre ranije da se isplati njenim nasljednicima na kraju godine u kojoj umre. Izraunati godinju neto premiju ako se ona plaa:
a) u toku cijelog obligacionoh odnosa ib) u prvih 10 godina obligacionog odnosa
-
Primjer
40 65 654025
40 65
40 65 654025
40 50
) ( )
( ) 100.000 2.497,84 . .
) ( ) 100.000 4.335,24 . .
x x n x nxn
x x n
M M Da P E A KN N
M M DP E A n jN N
M M Db P E A n jN N
+ +
+
+ =
+ = =
+ = =
-
5.2.2. Ispodgodinje neto premije
5.2.2.1. Neposredna doivotna neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrti
Formulacija problemaOsoba ivotne dobi x godina eli osigurati
kapital za sluaj smrti od K n.j. plaajui jednaku doivotnu ispodgodinju anticipativnu premiju. Koliko iznosi ta ispodgodinja neto premija?
-
5.2.2.1. Neposredna doivotna neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrti
( )
( )
1( )( )2
2( ) 2 ( 1) 2 ( 1)2
m x xx
x x
x
m x xx
x x x x
x
N MmP A m KD D
KMD MP A KmN m D mN m DD
=
= =
-
Primjer
Osoba ivotne dobi 55 godina eli osigurati kapital za sluaj smrti od 100.000,00 n.j. plaajui jednaku doivotnu mjesenu anticipativnu premiju. Koliko iznosi jedna mjesena neto premija?
-
Primjer
( )
(12) 5555
55 55
2( )2 ( 1)
2( ) 100.000 298,67 . .2 12 (12 1)
m xx
x x
MP A KmN m D
MP A n jN D
=
= =
-
5.2.2.2. Neposredna privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrti
Formulacija problema: Osoba ivotne dobi x godina eli osigurati
kapital za sluaj smrti plaajui jednaku ispodgodinju neposrednu prenumerando privremenu premiju. Koliko iznosi jedna takva neto premija?
-
5.2.2.2. Neposredna privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrti
( )
( )
1( ) 122
22 ( ) ( 1)( )
x x n x nm x
x x
m x
x x n x n x
mm N N D MmP KD D
MP Km N N m D D
+ +
+ +
+ =
= +
-
Primjer
Osoba ivotne dobi 50 godina eli osigurati kapital od 100.000,00 n.j. za sluaj smrti plaajui jednaku tromjesenu neposrednu anticipativnu premiju u toku narednih 10 godina. Koliko iznosi jedna takva neto premija?
-
Primjer
(4) 50
50 60 60 50
2100.000 1.174,03 . .2 4( ) (4 1)( )
MP n jN N D D
= =
+
-
5.2.2.3. Neposredna privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj doivljenja
Formulacija problema:Osoba ivotne dobi x godina eli osigurati
kapital za sluaj doivljenja plaajui jednaku ispodgodinju neporednu anticipativnu (dekurzivnu) privremenu premiju do x+n-te godine.Koliko iznosi jedna takva neto premija?
-
5.2.2.3. Neposredna privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj doivljenja
( )
1( ) 122
x x n x nm x n
x x
mm N N D DmP KD D
+ ++
+ =
-
Primjer
Osoba ivotne dobi 40 godina eli osigurati kapital od 100.000,00 n.j. za sluaj doivljenja 50-tog roendana. Kolika je jedna mjesena anticipativna neto premija koja se plaa:
a) u toku svih 10 godina ib) u toku prve 4 godine?
-
Primjer
50
44
( )
(12) 50
40 50 40
(12) 50
40 44 40
22 ( ) ( 1)( )
2) 100.000 621,96 . .2 12( ) (12 1)( )
2) 100.000 1.333,92 . .2 12( ) (12 1)( )
p x np
m x n
x x n x
DP Km N N m D D
Da P n jN N D D
Db P n jN N D D
+
+
+
=
+
= =
+
= =
+
-
5.2.2.4. Neposredna privremena neto premija za osiguranje odgoene doivotne line rente
Formulacija problema:Osoba ivotne dobi x godina eli osigurati
od svoje x+k-te godine doivotnu ispodgodinju anticipativnu (dekurzivnu) rentu od R novanih jedinica. Koliko iznosi jedna ispodgodinja anticipativna (dekurzivna) neto premija plativa u toku n godina?
-
5.2.2.4. Neposredna privremena neto premija za osiguranje odgoene doivotne line rente
( )
1( ) 122
12
p px x n x nm
x
x k x k
x x
mm N N D mPD
m N DmRD D
+ +
+ +
+ =
=
-
Primjer
Osoba ivotne dobi 30 godina eli osigurati od svoje 60-te godine doivotnu mjesenu anticipativnu linu rentu od 1.000,00 n.j. Za ovo osiguranje eli uplaivati anticipativnu tromjesenu jednaku premiju u toku:
a) prvih 30 godina obligacionog odnosa ib) prvih 10 godina obligacionog odnosaKoliko iznosi jedna tromjesena neto premija pod a) i pod b)
-
Rjeenja:
(4)
(4)
) 376,98 . .) 723,42 . .
a P n jb P n j
=
=
-
5.2.2.5. Neposredna privremena neto premija za mjeovito osiguranje kapitala (za sluaj doivljenja
ili smrti)
Formulacija problema:Osoba ivotne dobi x godina eli osigurati
kapital od K n.j. da joj se isplati ako doivi x+n-tu godinu ivota, a ako umre ranije da se isplati njenim nasljednicima na kraju godine u kojoj osiguranik umre. Kolika je ispodgodinja neto premija?
-
5.2.2.5. Neposredna privremena neto premija za mjeovito osiguranje kapitala (za sluaj doivljenja
ili smrti)
( )
1( ) 122
p px x n x nm
x
x x n x n
x
mm N N D mPD
M M DKD
+ +
+ +
+ =
+=
-
Primjer
Osoba ivotne dobi 35 godina eli osigurati kapital od 100.000,00 n.j. da joj se isplati ako doivi 60-tu godinu ivota, a ako umre ranije da se isplati njenim nasljednicima na kraju godine u kojoj osiguranik umre. Kolika je dvomjesena anticipativna neto premija koja se isplauje:
a) u toku cijelog obigacionog odnosa?b) u toku prvih 5 godina?
-
Rjeenja
(6)
(6)
) 400,37 . .) 1.245,52 . .
a P n jb P n j
=
=
-
HVALA NA PANJI!
AKTUARSKA MATEMATIKA 5. Modeli ivotnog osiguranja na osnovu viekratne premijeMogu biti:5.2. Jednake neto premije5.2.1.1. Neposredna doivotna neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrti 5.2.1.1. Neposredna doivotna neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrtiPrimjerPrimjer5.2.1.2. Privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj doivljenja5.2.1.2. Privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj doivljenjaPrimjerAd a)Ad b)5.2.1.3. Privremena neto premija za osiguranje odgoene doivotne line rente5.2.1.3. Privremena neto premija za osiguranje odgoene doivotne line rentePrimjerPrimjer5.2.1.4. Privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrti5.2.1.4. Privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrtiPrimjerPrimjer5.2.1.5. Privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj doivljenja i smrti odnosno mjeovito osiguranje kapitala5.2.1.5. Privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj doivljenja i smrti odnosno mjeovito osiguranje kapitalaPrimjerPrimjer5.2.2. Ispodgodinje neto premije5.2.2.1. Neposredna doivotna neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrtiPrimjerPrimjer5.2.2.2. Neposredna privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrti5.2.2.2. Neposredna privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj smrtiPrimjerPrimjer5.2.2.3. Neposredna privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj doivljenja5.2.2.3. Neposredna privremena neto premija za osiguranje kapitala za sluaj doivljenjaPrimjerPrimjer5.2.2.4. Neposredna privremena neto premija za osiguranje odgoene doivotne line rente5.2.2.4. Neposredna privremena neto premija za osiguranje odgoene doivotne line rentePrimjerRjeenja:5.2.2.5. Neposredna privremena neto premija za mjeovito osiguranje kapitala (za sluaj doivljenja ili smrti)5.2.2.5. Neposredna privremena neto premija za mjeovito osiguranje kapitala (za sluaj doivljenja ili smrti)PrimjerRjeenja