LEGI DE COMPOZIŢIE

DEF. Fie M o mulţime nevidă. Se numeşte operaţie algebrică binară (sau lege de compoziţie internă sau simplu lege de compoziţie) definită pe M o aplicaţie f:MMM, care asociază fiecărei perechi (x;y)MM unicul element f(x;y) )M. Elementul f(x;y) se numeşte compusul lui x cu y.

DEF. Fie H o submulţime a lui M. Dacă pentru orice x,yH, compusul xy aparţine tot lui H, atunci spunem că H este parte stabilă a lui M în raport cu operaţia .

PROPRIETĂŢI ALE LEGILOR DE COMPOZIŢIE

1. DEF. Legea se numeşte asociativă dacă: (xy)z=x(yz), x,y,zM. PROP. Dacă H este o parte stabilă a lui M în raport cu legea şi dacă este asociativă pe M, atunci rămâne asociativă şi pe H.

2. DEF. Legea se numeşte comutativă dacă: xy=yx, x,yM. PROP. Dacă H este o parte stabilă a lui M în raport cu legea şi dacă este comutativă pe M, atunci rămâne comutativă şi pe H.

3. DEF. Un element eM se numeşte element neutru pentru legea dacă pentru orice xM avem xe=ex=x. TEOREMĂ. Dacă o lege de compoziţie admite element neutru, atunci acesta este unic. DEF. Un element esM se numeşte element neutru la stânga pentru legea dacă pentru orice xM avem esx=x. DEF. Un element edM se numeşte element neutru la dreapta pentru legea dacă pentru orice xM avem xed=x.

4. DEF. Fie (M,) o structură algebrică cu element neutru eM şi xM. Spunem că un element xM este un simetric al lui x în raport cu legea dacă xx=xx=e. TEOREMĂ. Fie (M,) o structură algebrică asociativă şi cu element neutru e. Dacă xM are un element simetric, atunci acesta este unic. TEOREMĂ. Fie (M,) o structură algebrică asociativă şi cu element neutru e. Dacă elementele x,yM sunt simetrizabile, atunci compusul lui x cu z este simetrizabil şi mai mult (xy)=yx. TEOREMĂ. Fie (M,) o structură algebrică asociativă şi cu element neutru e. Dacă xM este simetrizabil atunci simetricul său xeste de asemenea simetrizabil şi (x)=x. TEOREMĂ. Fie (M,) o structură algebrică asociativă şi cu element neutru e. Dacă xM este simetrizabil, iar yM nu este simetrizabil , atunci xy, yxM nu sunt simetrizabile. DEF. Fie (M,) o structură algebrică cu element neutru la dreapta edM şi xM. Spunem că un element xdM este un simetric la dreapta al lui x în raport cu legea dacă xxd=ed. DEF. Fie (M,) o structură algebrică cu element neutru la stânga esM şi xM. Spunem că un element xsM este un simetric la stângaa al lui x în raport cu legea dacă xsx=es.

5. Fie şi două legi de compoziţie definite pe aceeaşi mulţime M. Se spune că operaţia este distributivă la stânga faţă de operaţia dacă: x(yz)=(xy)(xz), x,y,zM.

1

Se spune că operaţia este distributivă la dreapta faţă de operaţia dacă: (yz)x=(yx)(zx), x,y,zM. Se spune că operaţia este distributivă faţă de operaţia dacă este distributivă la dreapta şi la stânga.

2