alati za izradu proračunskih tablicaweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/rnm/zadaci-excel.pdf · učenike...

ICT U NASTAVI STATISTIKE- alati za izradu proračunskih tablica -

PROBLEMSKI CIKLUS

POSTAVLJANJE PROBLEMA

I PLANIRANJE

PRIKUPLJANJE PODATAKA

OBRADAI PRIKAZ

PODATAKA

INTERPRETACIJAI DISKUSIJAREZULTATA

NOVA PITANJA PROIZAŠLA IZ

INTERPRETACIJE I DISKUSIJE

PROBLEMSKI CIKLUS (2)

Četiri etape ciklusa rješavanja problema analizom podataka:

1. postavljanje problema i plana njegovog rješavanja

– postavljanje pitanja koji su podaci potrebni

– razmatranje koji se zaključci mogu izvući iz pojedinih podataka

– odluka o tome koje podatke prikupiti (uključivo i određivanje veličine uzorka te formata podataka) i koja je statistička analiza potrebna

2. prikupljanje podataka

– podaci iz raznovrsnih izvora, primarnih i sekundarnih

PROBLEMSKI CIKLUS (3)

3. statistička obrada i prikaz podataka

– pretvaranje sirovih podataka u upotrebljive informacije koje pružaju bolji uvid u problem i njegovo razumijevanje

4. interpretacija i diskusija rezultata

– rješenje problema i odgovor na postavljeno pitanje na temelju izvođenja zaključaka iz obrađenih podataka

KORISNI IZVORI PODATAKA

Neki korisni izvori statističkih podataka na internetu:

Republika Hrvatska – Državni zavod za statistikuwww.dzs.hr

Mape svijetawww.sasi.group.shef.ac.uk/worldmapper

CILJEVI NASTAVE STATISTIKEPRIMJENA STATISTIČKE OBRADE PODATAKA

Učenike treba osposobiti za:

• rješavanje problema primjenom statističke analize podataka

– izvođenje sve četiri etape ciklusa rješavanja problema primjenom statističke analize podataka

– identificiranje koje su dodatne informacije potrebne za analizu pojedinog problema

– odabir i organizaciju matematičkih i drugih resursa (npr. ICT) potrebnih za rješavanje problema

– prezentiranje napredovanja u rješavanju problema, te provjeru i vrednovanje rezultata

CILJEVI NASTAVE STATISTIKE (2)

• komunikaciju

– interpretiranje, diskusiju i sintetiziranje informacija prikazanih u različitim oblicima

– komuniciranje matematičkim jezikom, upotrebu dijagrama i pripadnih tekstualnih podataka

– kritički pristup izboru matematičke prezentacije problema vezanih uz obradu i analizu podataka te argumentaciju tog izbora


• rasuđivanje (mišljenje)

– primjenu matematičkog načina mišljenja, te argumentaciju svojih zaključaka

– istraživanje povezanosti različitih matematičkih sadržaja te traženje uzroka i posljedica pri analizi podataka (pitanja: Odakle? Zašto? Što ako?)

– prepoznavanje ograničenja svake postavljene pretpostavke (ulazni podaci i sl.) te utjecaja koji promjena pretpostavki može imati na rezultate i zaključke analize podataka

CILJEVI NASTAVE STATISTIKE (4)POSTAVLJANJE PROBLEMA I PLANIRANJE


• razumijevanje nepredvidivosti slučajnih procesa

• identifikaciju pitanja na koja se može odgovoriti statističkim metodama

• diskusiju o utjecaju podataka na problem

– identifikaciju mogućih izvora poteškoća i planiranje njihove minimizacije

• identifikaciju koje je podatke potrebno prikupiti i u kojem formatu

– identifikaciju potrebe za grupiranjem podataka

• planiranje toka i postupka rješavanja problema


PRIKUPLJANJE PODATAKA


• dizajniranje i upotrebu obrazaca za prikupljanje podataka u različitim oblicima

• prikupljanje podataka različitim metodama

– iz primarnih izvora: praćenjem pojave, kontroliranim eksperimentom, bilježenjem podataka, upitnicima (anketama) i dr.

– iz sekundarnih izvora: tablice, liste i dr.


OBRADA I PRIKAZ PODATAKA


• crtanje i izradu, na papiru i uz pomoć ICT, kružnih, stupčastih, slikovnih, linijskih i drugih vrsta dijagrama koji na pravi način prikazuju podatke

• računanje aritmetičke sredine, raspona i medijana malog skupa podataka te velikog skupa grupiranih podataka

• razumijevanje i upotrebu koncepta vjerojatnosti (teorijski koncept –vjerojatnosna mjera; eksperimentalni koncept – relativne frekvencije)

CILJEVI NASTAVE STATISTIKE (7)INTERPRETIRANJE I DISKUSIJA REZULTATA


• povezivanje dobivenih podataka s početnim postavljenim pitanjem

• čitanje i interpretaciju širokog raspona grafova i dijagrama te izvođenje zaključaka na temelju njih

• analizu podataka s ciljem uočavanja pravilnosti ili izuzetaka

• evaluaciju i provjeru rezultata, odgovaranje na postavljena pitanja, te izmjenu pristupa u slučaju potrebe


• upotrebu vokabulara vezanog uz vjerojatnost, slučajnost i nepredvidivost

• usporedbu eksperimentom dobivenih podataka s teorijskim vjerojatnostima

• razumijevanje da ponavljanje slučajnog eksperimenta uglavnom daje drugačije rezultate te da veličina uzorka utječe na zaključke

UPOTREBA ICT

Iz navedenog se vide mogućnosti primjene ICT u nastavi statistike:

• ICT kao izvor podataka

– internetski servisi (www)

• ICT alati kao sredstvo i pomoć pri spremanju i čitanju podataka

– proračunske tablice, baze podataka

• ICT za statističku obradu i grafički prikaz prikupljenih podataka

– ICT alati za izradu proračunskih tablica

• ICT kao medij za komuniciranje rezultata

– internetski servisi – www, e-mail; alati za izradu prezentacija

CRTANJE DIJAGRAMA

Primjer 1.

U 7b. razredu među učenicima je provedena anketa o boji razrednih majica na maturalnom putovanju. Ponuđene su bile crvena, žuta, plava i zelena boja, a rezultati ankete dani su tablicom. Prikažite ih grafički.

BOJA plava crvena zelena žutaBROJ

UČENIKA 10 4 7 9

CRTANJE DIJAGRAMA (2)

Rješenje.Moguća su dva adekvatna prikaza podataka:• stupčastim dijagramom• kružnim dijagramom

ODABIR BOJA

10

4

7

9

0

2

4

6

8

10

12

plava crvena zelena žuta

plavacrvenazelenažuta

ODABIR BOJA - RELATIVNI PRIKAZ

plava. 34%žuta. 30%

zelena. 23%crvena. 13%

plava

crvena

zelena

žuta


Daljnja pitanja za analizu i provjeru razumijevanja koncepta stupčastog i kružnog dijagrama:

• Što se dešava sa stupčastim dijagramom ukoliko udvostručimo broj učenika koji su odabrali plavu boju? Zašto?

10

4

79

20

4

79

0

5

10

15

20

25

plava crvena zelena žuta


• Što se dešava s kružnim dijagramom u tom slučaju? Zašto?

50,0%

10,0%

22,5%

17,5%

plavacrvenazelenažuta

ODABIR BOJA - RELATIVNI PRIKAZ

plava. 34%žuta. 30%

zelena. 23%crvena. 13%

plava

crvena

zelena

žuta


Daljnja pitanja za analizu i provjeru razumijevanja koncepta stupčastog i kružnog dijagrama:

• Što se sa svakim od dijagrama dešava ukoliko udvostručimo broj učenika kod svake boje? Zašto?

• Što se dešava ukoliko broj učenika kod svake boje upola smanjimo? Zašto?

• Što se dešava ukoliko broj učenika kod svake boje smanjimo za 3? Zašto?

Učenike nakon toga treba potaknuti da samostalno kreiraju pitanja oblika Što će se s dijagramom dogoditi ako...?


Primjer 2.

U tablici je dan pregled prodaje rashladnih uređaja u jednom velikom dućanu tokom godine. Prikažite ove podatke odgovarajućim grafikonom.

Što zaključujete?

MJESEC PRODAJA

siječanj 75

veljača 80

ožujak 90

travanj 150

svibanj 120

lipanj 150

srpanj 200

kolovoz 180

rujan 150

listopad 100

studeni 90

prosinac 200


Rješenje.

PRODAJA KROZ GODINU

75 80 90

150120

150

200180

150

100 90

200

0

50

100

150

200

250

siječa

nj

veljača

ožuj

ak

trava

nj

svib

anj

lipan

j

srpa

nj

kolo

voz

ruja

n

listo

pad

stud

eni

pros

inac

prodaja


U čemu je problem s ovakvim dijagramom u istom zadatku?

LINIJSKI GRAF?!

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

mjesec

prod

aja

CRTANJE DIJAGRAMA (9)Primjer 3.

Na slici su prikazani podaci o broju pročitanih knjiga u prvom polugodištu. Pogledajte sliku i odgovorite na pitanja:

(a) Tko je pročitao najviše knjiga i koliko?

(b) Tko je pročitao najmanje knjiga i koliko?

(c) Koliko knjiga ste vi pročitali tokom ovog polugodišta?

(d) Koji su mogući razlozi da je neka osoba pročitala više ili manje knjiga?

PROČITANE KNJIGE

FILIP TEA MATIJA KLARA

= JEDNA PROČITANA KNJIGA

CRTANJE DIJAGRAMA (10)Rješenje.Ovakav grafički prikaz podataka zove se piktogram ili slikovni dijagram.

Učenici podatke prikazane piktogramom trebaju naučiti pretvoriti u tablicu i analizirati ih.

UČENIK/CA FILIP TEA MATIJA KLARA

BROJ PROČITANIH KNJIGA 9 12 2 6

PROČITANE KNJIGE

0

2

4

6

8

10

12

14


PROČITANE KNJIGE

0

2

4

6

8

10

12

14


PROČITANE KNJIGE

FILIP31%

KLARA21%

MATIJA7%

TEA41%

Koji od danih grafičkih prikaza je pogodan za ove podatke?


Primjer 4.

Pogledajte sliku na kojoj se nalaze podaci o prodaji automobila u jednom autosalonu u prvoj polovini 2006. godine. Svaki nacrtani automobil predstavlja 10 prodanih automobila. Nacrtajte pripadajuću tablicu i popunite ju te dopunite sljedeće rečenice:

U veljači je u autosalonu prodano ____ automobila, a u travnju njih ____. U mjesecu ________ prodano je najviše automobila, a u mjesecu _________ najmanje automobila.

Opet imamo piktogram ili slikovni dijagram!

BROJ PRODANIH AUTOMOBILA

SIJEČANJ

VELJAČA

OŽUJAK

TRAVANJ

SVIBANJ

LIPANJ


Rješenje.

Iz piktograma se može procijeniti broj prodanih automobila u svakom mjesecu. Učenike treba pustiti da podatke procijene samostalno! U donjoj tablici dani su točni podaci (na temelju kojih je nacrtan piktogram).

MJESEC SIJEČANJ VELJAČA OŽUJAK TRAVANJ SVIBANJ LIPANJ

BROJ PRODANIH

AUTOMOBILA34 10 42 25 29 37

NAJLOŠIJA PRODAJA NAJBOLJA PRODAJA

CRTANJE DIJAGRAMA (13)BROJ PRODANIH AUTOMOBILA

34

10

42

25

29

37

SIJEČANJ

VELJAČA

OŽUJAK

TRAVANJ

SVIBANJ

LIPANJ


Još neki prikladni grafički prikazi

PRODAJA AUTOMOBILA

34

10

42

2529

37

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

SIJEČANJ VELJAČA OŽUJAK TRAVANJ SVIBANJ LIPANJ

PRODAJA AUTOMOBILA

34

10

42

2529

37

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

SIJEČANJ VELJAČA OŽUJAK TRAVANJ SVIBANJ LIPANJ

STUPČASTI DIJAGRAM MJEŠOVITI STUPČASTO - LINIJSKI

DIJAGRAM

ANALIZA PODATAKA

Primjer 5. Imaju li Japanci dovoljno šuma?!

Japan je poznat kao zeleno otočje, što znači da je bogat šumom. Što mislite, je li ta tvrdnja točna usporedimo li podatke o pošumljenim površinama u Japanu, SAD i Francuskoj?! Poredajte države s obzirom na “dovoljnost” šuma.

POVRŠINA POD ŠUMOM U km2

JAPAN 247282

SAD 2651880

FRANCUSKA 145940

ANALIZA PODATAKA (2)

JAPAN FRANCUSKA


SAD


Rješenje.

Uočimo: Japan nema najviše šuma od ove tri zemlje!

S druge strane: Budući da je Japan mala zemlja, gotovo bi cijeli mogao biti pod šumama!

Učenici trebaju uočiti da sami podaci o pošumljenim površinama nisu dovoljni za razumijevanje problema!

POŠUMLJENA POVRŠINA

247282

2651880

145940

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

JAPAN SAD FRANCUSKA

km2

ANALIZA PODATAKA (5)Učenici trebaju pronaći (npr. putem interneta) dodatne podatke o navedenim

državama, i prezentirati ih u obliku tablice.

Dajemo primjer dodatnih podataka!

UKUPNA POVRŠINA U km2

POVRŠINA POD ŠUMOM U km2 STANOVNIŠTVO

JAPAN 372313 247282 119259000

SAD 9372614 2651880 233700000

FRANCUSKA 547026 145940 54346000

Uz ove podatke pitanje možemo postaviti opet:

Imaju li Japanci dovoljno šuma? Usporedite podatke o dane tri zemlje i poredajte ih prema dovoljnosti šuma.


Prvi kriterij: usporedba s obzirom na udio pošumljene u ukupnoj površini

UKUPNAPOVRŠINA U

km2

POVRŠINA PODŠUMOM U km2

UDIO ŠUMA UUKUPNOJPOVRŠINI

UDIONEPOŠUMLJENOG UUKUPNOJ POVRŠINI

JAPAN 372313 247282 66,4% 33,6%

SAD 9372614 2651880 28,3% 71,7%

FRANCUSKA 547026 145940 26,7% 73,3%

ANALIZA PODATAKA (7)Poredak država prema prvom kriteriju:

Japan (najbolji), SAD, Francuska

UDIO POŠUMLJENIH POVRŠINA U UKUPNOJ POVRŠINI

66,4%

28,3% 26,7%

0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

70,0%

JAPAN SAD FRANCUSKA

ANALIZA PODATAKA (8)Usporedba prema prvom kriteriju: još neki pogodni grafički prikazi

UDIO ŠUMA U UKUPNOJ POVRŠINI

66,4%

28,3% 26,7%

33,6%

71,7% 73,3%

0,0%

10,0%

20,0%

30,0%

40,0%

50,0%

60,0%

70,0%

80,0%

90,0%

100,0%

JAPAN SAD FRANCUSKA

JAPAN

33,6%

66,4%

UDIO ŠUMA U UKUPNOJPOVRŠINI

UDIO NEPOŠUMLJENOGU UKUPNOJ POVRŠINI

SAD

28,3%

71,7%


UDIO NEPOŠUMLJENOG UUKUPNOJ POVRŠINI

FRANCUSKA

26,7%

73,3%


UDIO NEPOŠUMLJENOGU UKUPNOJ POVRŠINI


Drugi kriterij: usporedba s obzirom na pošumljenu površinu po stanovniku

POVRŠINA PODŠUMOM U km2 STANOVNIŠTVO m2 ŠUME PO

STANOVNIKU

JAPAN 247282 119259000 2073

SAD 2651880 233700000 11347

FRANCUSKA 145940 54346000 2685


Poredak država prema prvom kriteriju:

SAD (najbolji), Francuska, Japan

POVRŠINA ŠUME PO STANOVNIKU

2073

11347

2685

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

JAPAN SAD FRANCUSKA

m2 ŠUME POSTANOVNIKU


• Učenici mogu osmisliti i neke svoje, drukčije kriterije prema kojima će poredati ove tri države.

• Učitelj(ica) uspoređuje učenička rješenja i u njima otkriva ideje koje stoje iza njihovog načina razmišljanja.

• Važno je da učenici razumiju proces dolaska do rješenja i razloge zašto su se u diskusiji pojavila različita rješenja.

• Učitelj(ica) usustavljuje sve ideje za rješavanje ovog problema koje su predložili učenici.

• Domaća zadaća: Svaki učenik neka napiše kratki esej o tome što je naučio na ovom satu.

NAPOMENA: Ovo je primjer zadatka otvorenog tipa !

PROBLEM (ZADATAK) OTVORENOG TIPA je problemski zadatak koji ima više (nekoliko ili mnogo) rješenja i/ili više načina rješavanja.

PROBLEM

RJEŠENJE

STUPČASTI DIJAGRAM - SKALIRANJEPrimjer 6.Sljedeća tablica prikazuje prosječnu godišnju plaću u kompaniji KOMPA d.o.o. u zadnjih 15 godina. Novinari Podnevnog lista zamolili su gđu Kompić, predsjednicu uprave ove kompanije, da za njihovu poslovnu kolumnu pripremi stupčasti dijagram koji prikazuje ove podatke. Da ste gđa Kompić, kako biste postavili vertikalnu skalu na dijagramu da naglasite:

(a) da prosječna plaća u kompaniji raste,(b) stabilnost kompanije?

Kako biste vertikalnu skalu postavili da ste nepristrani novinar koji želi što preciznije prikazati promjenu prosječne plaće u kompaniji KOMPA d.o.o?

GODINA PLAĆA (u tisućama kn) GODINA PLAĆA (u

tisućama kn)

1996. 55,8

57,8

53,48

60

59,5

1997.

1998.

1999.

2000.

GODINA PLAĆA (u tisućama kn)

1991. 52,5 2001. 56,1

1992. 53,25 2002. 55,4

1993. 53,35 2003. 57,5

1994. 57,4 2004. 58

1995. 52 2005. 56,9

STUPČASTI DIJAGRAM –SKALIRANJE (2)

Rješenje.Vertikalnu skalu prilagođavamo zahtjevu.

PROSJEČNA GODIŠNJA PLAĆA U KOMPA d.o.o.

48

50

52

54

56

58

60

62

1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005.

GODINA

PRO

SJEČ

NA

PLA

ĆA

(U T

ISUĆ

AM

A k

n)

dijagram nepristranog novinara(“bez namještanja”)


PROSJEČNA GODIŠNJA PLAĆA U KOMPA d.o.o.

40

60

80

1991. 1992. 1993. 1994. 1995. 1996. 1997. 1998. 1999. 2000. 2001. 2002. 2003. 2004. 2005.

GODINA

PRO

SJEČ

NA

PLA

ĆA

(U T

ISUĆ

AM

A k

n)

vertikalno skaliranje smanjuje razlike u visinama(stabilnost kompanije)


RAST PLAĆA U KOMPA d.o.o.

152154156158160162164166168170172174

1991. - 1993. 1994. - 1996. 1997. - 1999. 2000. - 2002. 2003. - 2005.

RAZDOBLJE

PLAĆ

A (u

tisuća

ma

kn)

ovako plaće rastu(grupiranje podataka)


PLAĆE U KOMPA d.o.o.

255

260

265

270

275

280

285

290

1991. - 1995. 1996. - 2000. 2001. - 2005.

RAZDOBLJE

PLAĆ

E ( u

tisu

ćam

a kn

)nije baš svako grupiranje poželjno

STUPČASTI DIJAGRAM –MANIPULIRANJE PODACIMA

Primjer 7.Policijska uprava jedne županije želi pokazati efikasnost primjene zakona o sigurnosti u prometu (odredba o 0.0 promila). Kako da prikaže prikupljene podatke?

MJESECBROJ NESREĆA

POD UTJECAJEM ALKOHOLA

MJESECBROJ NESREĆA

POD UTJECAJEM ALKOHOLA

srpanj 5

4

1

travanj 3 listopad 2

1

3

kolovoz

rujan

studeni

prosinac

siječanj 2

veljača 1

ožujak 1

svibanj 4

lipanj 5

STUPČASTI DIJAGRAM –MANIPULIRANJE PODACIMA (2)

Rješenje.Neke od mogućnosti su:

- skaliranje vertikalne osi- grupiranje podataka (podaci po npr. tromjesečjima)- prikazivanje selekcije podataka (npr. podatke za svaki treći mjesec)

NIZOVI

Primjer 8.Istražite niz (an)nœN zadan sa a1 = 1, an+1 = an + 8n, n œ N, i prikažite ga grafički. Odredite eksplicitni izraz za an.

Rješenje.an+1 = (2n - 1)2, n = 1, 2, ... .

NIZ (an)

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

NIZOVI (2)

Primjer 8. - nastavakOdredite niz prvih i drugih podijeljenih razlika niza (an)nœN . Što primjećujete?

Rješenje.Dan je niz parova podataka (xi, f(xi)), i = 1, ... , n. Niz prvih podijeljenih razlika dan je sa (xi, f [xi, xi+1]), i = 1, ... , n – 1, gdje je

Niz drugih podijeljenih razlika dan je sa (xi, f [xi, xi+1, xi+1]), i = 1, ... , n – 2, gdje je

[ ] 11

1

( ) ( ), .i i

i ii i

f x f xf x x

x x+

++

−=

−

[ ] [ ] [ ]1 2 11 2

2

, ,, , .i i i i

i i ii i

f x x f x xf x x x

x x+ + +

+ ++

−=

−

NIZOVI (3)U našem je slučaju niz podataka (i, ai), i = 1, 2, ... .

Prve podijeljene razlike:

Druge podijeljene razlike:

[ ] 11, .i i ia i i a a++ = −

[ ] [ ] [ ]1 2 11 2

2, ,

, , .i

a i i a i ia i i i

+ + − ++ + =

PRVE PODIJELJENE RAZLIKE

0

50

100

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

i

a[i,i

+1]

DRUGE PODIJELJENE RAZLIKE

00,5

11,5

22,5

33,5

44,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

i

a[i,i

+1,i+

2]

NIZOVI (4)Primjer 9.Istražite niz (an)nœN zadan sa a1 = 5, an+1 = an + 3, n œ N, i prikažite ga grafički. Odredite eksplicitni izraz za an.

Rješenje.Pogledajmo niz prvih podijeljenih razlika. Zaključujemo: niz ima linearni rast.

an = 3n + 2, n = 1, 2, ... .

PRVE PODIJELJENE RAZLIKE

00,5

11,5

22,5

33,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29i

a[i,i

+1]

NIZOVI (5)

NIZ (a n )

020406080

100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 1314 15 16 1718 19 2021 22 23 2425 26 27 2829 30

n

a n

NIZOVI (6)

Primjer 10.Istražite sljedeće nizove (an)nœN :

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

3 1 1 22 1

, , ,...nna nn+

= =−

2

2

3 1 21

, , ,...nna n

n−

= =+

2

1 1 21

, , ,...nn na n

n n

+ += =

+ +

3 4 5 1 22 6

, , ,...n n n

n n na n+ += =

+

2 2 1 2sin ( ) , , ,...nna nn+

= =

NIZOVI (7)Primjer 11.U prethodnom primjeru promatrali smo niz (an)nœN zadan sa

Od njega smo napravili niz (bn)nœN s dva gomilišta, 1.5 i -1.5, kao

3 1 1 22 1

, , ,...nna nn+

= =−

3 11 1 22 1

( ) , , ,...nn

nb nn+

= − =−

NIZ S DVA GOMILIŠTA

-3

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

n

b n

NIZOVI (7)Pomoću istog niza (an)nœN, kreirajte niz sa:

(a) tri

(b) četiri

(c) deset

gomilišta.

Rješenje.

(a)

(b)

(c)

3 1 1 22 1

, , ,...nna nn+

= =−

3 1 3 1 22 1

( mod ), , ,...nnb n nn+

= ⋅ =−

3 1 4 1 22 1

( mod ), , ,...nnb n nn+

= ⋅ =−

3 1 10 1 22 1

( mod ), , ,...nnb n nn+

= ⋅ =−

NIZOVI (8)NIZ S TRI GOMILIŠTA

-3

-2,5

-2-1,5

-1

-0,50

0,5

1

1,52

2,5

3

3,54

4,5

55,5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

n

b n

NIZ SA ČETIRI GOMILIŠTA

-3-2,5

-2-1,5

-1-0,5

00,5

11,5

22,5

33,5

44,5

55,5

66,5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

n

b n

NIZ SA DESET GOMILIŠTA

-5-4,5

-4-3,5

-3-2,5

-2-1,5

-1-0,5

00,5

11,5

22,5

33,5

44,5

55,5

66,5

77,5

0 102030405060708090100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

200

210

220

230

240

250

260

270

280

290

300

310

320

330

340

350

360

370

380

390

400

410

420

430

440

450

460

470

480

490

500

n

b n

NIZOVI (9)

Primjer 12.Proučite niz (xn)nœN, zadan sa za različite .

Rješenje.Uzmite npr. x1 = 0.4. Što primjećujete za različite k?

Primjer 13.Proučite niz (xn)nœN, zadan sa za različite .

Rješenje.Uzmite npr. x1 = 0.4. Što primjećujete za različite k?

21 1 1 2, , ,...n nx kx n+ = − = ]1 2,k ⎡∈ ⎣

1 1 1 2( ), , ,...n n nx kx x n+ = − = ]1 4,k ⎡∈ ⎣

NIZOVI (10)Primjer 12. - kaotično ponašanje niza

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

-100 100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

-100 100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

-100 100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900

-1,2

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

-100 100 300 500 700 900 1100 1300 1500 1700 1900

PASCALOV TROKUT

Primjer 14. Pascalov trokut

(a) Generirajte prvih 100 redova Pascalovog trokuta.

(b) Iz dobivenog Pascalovog trokuta generirajte novi trokut u kojem se na mjestima članova Pascalovog trokuta nalaze njihovi ostatci pri dijeljenju s 3. Sve članove novog trokuta koji su jednaki 0 sakrijte (tj. obojite bijelom bojom). Što primjećujete?

(c) Što dobivamo sakrijemo li umjesto nula samo jedinice, a što sakrijemo li samo dvojke?

(d) Vrijedi li isto i za trokut ostataka pri dijeljenju sa 7? Što je s trokutima drugih ostataka?

PASCALOV TROKUT (2)

Rješenje.

11 1

1 2 11 3 3 1

1 4 6 4 11 5 10 10 5 1

.........................................

Pascalov trokut = trokut binomnih koeficijenata

, 0,1,2,..., 0,1,...,n

n k nk⎛ ⎞

= =⎜ ⎟⎝ ⎠

PASCALOV TROKUT (2)

Binomni koeficijenti = koeficijenti u razvoju po potencijama od a i b izraza (a + b)n

Vrijedi:

Dakle, imamo dvočlanu rekurziju za generiranje Pascalovog trokuta.

(1

)n

n n k k

k

na b a b

k−

=

⎛ ⎞+ = ⎜ ⎟

⎠⎝∑

11

n n nk k k+⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

PASCALOV TROKUT (3)

1 0

1 1 0

1 2 1 0

1 3 3 1 0

1 4 6 4 1 0

FIBONACCIJEVI BROJEVI

Primjer 15. – prikladan uskršnji

Na pusti je otok donesen par novorođenih zečeva. Koliko će parova zečeva na otoku biti za godinu dana, ako par prvi podmladak dobije dva mjeseca nakon rođenja i nakon toga svakog mjeseca okoti novi par zečeva?

Rješenje.

• Problem je prvi postavio talijanski matematičar Leonardo iz Pise - Fibonacci (Bonaccijev sin = figlio di Bonacci = Fibonacci) u svojoj knjizi Liber Abaci iz 1202.

• Problem modeliramo dvočlanom rekurzijom Fibonaccijevih brojeva.

• Označimo:

Fn = broj parova zečeva na otoku na početku n – tog mjeseca

FIBONACCIJEVI BROJEVI (2)

Fibonaccijevi brojevi Fn, n Œ N

F1 = F2 = 1

Fn+1 = Fn + Fn-1, n = 2, 3, ...

Godina ima 12 mjeseci, dakle trebamo F13.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233


Primjer 16. – istražimo Fibonaccijeve brojeve

Pomoću MS Excela odredite:

(a) F1 + F2 + ... + Fn

(b) F1 + F3 + F5 + ... + F2n-1

(c)

(d)

2 2 2 21 2 3 ... nF F F F+ + + +

1lim n

n n

FF+

→∞


Rješenje.

Dobijemo redom:

F1 + F2 + ... + Fn = Fn+2 - 1

F1 + F3 + F5 + ... + F2n-1 = F2n

omjer zlatnog reza

2 2 2 21 2 3 1... n n nF F F F F F ++ + + + = ⋅

1 1 5 1.61803lim 2n

n n

FF+

→∞

+= ≈

APROKSIMACIJA VERIŽNIM RAZLOMCIMA

Primjer 17.Izračunajte približne vrijednosti sljedećih beskončnih verižnih razlomaka:

(a) (c)

(b) (d)

1112 12 12 12

2 ...

++

++

++

1111 12 11 12 11

2 ...

++

++

++

+11

11 11 11 111 ...

++

++

++

1111 22 33 44

5 ...

++

++

++

APROKSIMACIJA VERIŽNIM RAZLOMCIMA (2)

Rješenje.Osnovna ideja – krenuti rečunati odozdo prema gore!

(a) Dobijemo jednočlanu rekurziju V1 = 2, Vn+1 = 2 + 1/Vn, n = 1, 2, ...

U zadnjem koraku treba pripaziti: dodali smo 2 a treba 1!

Dakle, nakon iteracija, od rezultata treba oduzeti 1.

12 112 12 12 12

2 ...

= ++

++

++


(b) Dobijemo jednočlanu rekurziju V1 = 1, Vn+1 = 1 + 1/Vn, n = 1, 2, ...

Rješenje je omjer zlatnog reza!

1 5 11 1.6180312 1 11 11 11

1 ...

φ += = + ≈

++

++

+


(c) Paziti: ovdje mijenjamo vrijednost koju dodajemo u svakom koraku -ona je naizmjence 1 ili 2. Dakle, treba kreirati pomoćni niz (Pn)nœNjedinica i dvojki koje naizmjence dodajemo.

V1 = 1, Vn+1 = Pn + 1/Vn, n = 1, 2, ...

U zadnjem koraku treba pripaziti što smo dodali (1 ili 2)!

13 111 12 11 12 11

2 ...

= ++

++

++

+


(d)

Još jedan primjer:

1111 22 33 44

5 ...

e = ++

++

++

411 43 95 167 259

11 ...

π =+

++

++

+

MODELIRANJE SITUACIJE

Primjer 18.

Za kupovinu novog automobila Aleksandra je podigla zajam od 12000 €. Otplaćivat će ga u jednakim obrocima od 500 €, uz mjesečnu kamatu od 1.5% na neotplaćeni dio duga. Za koliko će mjeseci zajam biti otplaćen?Proučite kako otplata duga teče za različite iznose:

(a) mjesečnog obroka,(b) mjesečne kamate.

Što primjećujete?

MODELIRANJE SITUACIJE (2)

Jedna nova ideja:

Rješenje dobijemo jednočlanom rekurzijom.

Oznaka:Dn = preostali dug nakon n mjeseci

D0 = 12000

Dn+1 = Dn.1.015 – 500, n = 0,1,2...


Generalizacija:

Oznaka:

Dn = preostali dug nakon n mjeseci

D0= podignuti zajamk = kamatnjak r = mjesečni obrokDn+1 = (1+k)Dn – r, n = 0,1,2...

MODELIRANJE SITUACIJE (4)LIHVARSKE KAMATE!!!


Primjer 19.

Telekomunikacijska tvrtka odlučila je na uzorku od 1000 korisnika isprobati svoja dva nova tarifna modela – TARIFA A i TARIFA B. Slobodnim izborom,400 korisnika izabralo je TARIFU A, a njih 600 TARIFU B. Korisnici su tarifni model mogli slobodno promijeniti svaki tjedan. Pokazalo se da svaki tjedan 20% korisnika mijenja TARIFU A u TARIFU B, a njih 30% TARIFU B u TARIFU A. Koji će se tarifni model pokazati uspješnijim?

Analizirajte ovaj model za različite postotke prijelaza iz jedne tarife u drugu. Što primjećujete?


I opet nova ideja:

Problem rješavamo sustavom od dvije jednočlane rekurzije.

Oznake:An = broj korisnika TARIFE A u n-tom tjednuBn = broj korisnika TARIFE B u n-tom tjednu

A1 = 400, B1 = 600

An+1 = 0.8An + 0.3 Bn

Bn+1 = 0.2 An + 0.7 Bn


Generalizacija:

Oznake:An = broj korisnika TARIFE A u n-tom tjednu

Bn = broj korisnika TARIFE B u n-tom tjednu

pAB = prijelaz iz TARIFE A u TARIFU B

pBA = prijelaz iz TARIFE B u TARIFU A

A1, B1 su zadani

An+1 = (1 - pAB)An + pBA Bn

Bn+1 = pABAn + (1 – pBA)Bn

FREKVENCIJE I VJEROJATNOSTPrimjer 20.Klara i Filip za domaću su zadaću dobili zadatak da 40 puta bacaju igraću kocku i za svako bacanje zabilježe koji se broj pojavio na gornjoj strani kocke. Tablica prikazuje njihove rezultate.

(a) Je li se svaki od brojeva 1, 2, ... , 6 pojavio isti broj puta?(b) Koliko se puta na gornjoj strani kocke pojavio broj 3?(c) Nacrtajte odgovarajući dijagram za prikupljene podatke.

BROJ NA GORNJOJSTRANI KOCKE

FREKVENCIJAPOJAVLJIVANJA

1 6

2 4

3 10

4 8

5 5

6 7

FREKVENCIJE I VJEROJATNOST (2)

FREKVENCIJSKI DIJAGRAM

6

4

10

8

5

7

0

2

4

6

8

10

12

1 2 3 4 5 6

broj na gornjoj strani kocke

broj

poj

avlji

vanj

a

FREKVENCIJA

Oprez! Uočite da frekvencije nisu jednake!razlika između teorijskog i empirijskog koncepta

Rješenje.


RELATIVNE FREKVENCIJE

0,150,1

0,250,2

0,1250,175

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 2 3 4 5 6

broj na gornjoj strani kocke

rela

tivna

frek

venc

ija

MS Excel može poslužiti za lakše generiranje većeg broja slučajnih pokusa.

Ponovite ovaj slučajni pokus 1000 puta. Što primjećujete?

funkcije RANDBETWEEN(1;6)

iCOUNTIF()

FREKVENCIJE I VJEROJATNOST (4)Teorijski koncept vjerojatnosti elementarnog događaja:

vjerojatnost da se na gornjoj strani kocke pojavi bilo koji od brojeva 1, 2, ..., 6 jednaka je 1/6 ≈ 0,167

USPOREDBA EMPIRIJSKOG I TEORIJSKOG KONCEPTA

0,150,1

0,250,2

0,1250,1750,167 0,167 0,167 0,167 0,167 0,167

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

1 2 3 4 5 6broj na gornjoj strani kocke

rela

tivna

frek

venc

ija /

vjer

ojat

nost

vjerojatnost elementarnog događaja

FREKVENCIJE I VJEROJATNOST (5)Što je veći broj ponovljenih pokusa, relativna frekvencija bliža je 1/6 ≈ 0,167.

OVISNOST RELATIVNE FREKVENCIJE POJAVLJIVANJA BROJA 1

O BROJU SLUČAJNIH POKUSA

0,000

0,050

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

0,350

0,400

0,450

0,500

0,550

0,600

0,650

0,700

0,750

0,800

0,850

0,900

0,950

1,000

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 1000

BROJ PONAVLJANJA POKUSA

REL

ATI

VNA

FR

EKVE

NC

IJA

PO

JAVL

JIVA

NJA

BR

OJA

1

POKUSIVJEROJATNOST

FREKVENCIJE I VJEROJATNOST (6)prosječna relativna frekvencija za 20 grupa od 50 nezavisnih pokusa

PROSJEČNA RELATIVNA FREKVENCIJA POJAVLJIVANJA BROJA 1 (20 x 50 POKUSA)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

1- 50

51 - 1

00

101 -

150

151 -

200

201 -

250

251 -

300

301 -

350

351 -

400

401 -

450

451 -

500

501 -

550

551 -

600

601 -

650

651 -

700

701 -

750

751 -

800

801 -

850

851 -

900

901 -

95095

1 - 100

0

POKUSI

RE

LATI

VNA

FR

EKE

NCI

JA P

OJA

VLJI

VA

NJA

BRO

JA 1

prosječna relativna frekvencija(aritmetička sredina)


prosječna relativna frekvencija za 10 grupa od 100 nezavisnih pokusa

PROSJEČNA RELATIVNA FREKVENCIJA POJAVLJIVANJA BROJA 1 (10 x 100 POKUSA)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

1 - 100 101 - 200 201 - 300 301 - 400 401 - 500 501 - 600 601 - 700 701 - 800 801 - 900 901 - 1000

POKUSI

REL

ATI

VNA

FRE

KVE

NCI

JAPO

JAVL

JIV

ANJA

BRO

JA 1

prosječna relativna frekvencija


Primjer 21.

Bacajte 3 igraće kocke 40 puta i za svako bacanje zabilježite zbroj brojeva koji su se pojavili na gornjim stranama.

(a) Koje vrijednosti može poprimiti zbroj?

(b) Sastavite tablicu s frekvencijama pojavljivanja pojedinog zbroja.

(c) Nacrtajte pripadni frekvencijski dijagram i dijagram relativnih frekvencija.

(d) Usporedite empirijske rezultate s teorijskim konceptom vjerojatnosti elementarnog događaja.

(e) Što primjećujete ponovite li bacanje 3 kocke 100 puta, a što kada pokus ponovite 1000 puta?


Rješenje.Opet koristimo RANDBETWEEN(1;6) i COUNTIF() funkciju!

FREKVENCIJE - ZBROJ NA 3 KOCKE

1 1

0

6

1

7

2

8

4

2

3

2 2

0 0

1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18


TEORIJSKI KONCEPT VJEROJATNOSTI - ZBROJ NA 3 KOCKE

13

6

10

15

21

2527 27

25

21

15

10

6

31

0

5

10

15

20

25

30

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Teorijski izračun daje sljedeći frekvencijski dijagram:(sustavna lista ili račun s elementarnim vjerojatnostima)


sustavna lista(početak)

1. kocka 2. kocka 3. kocka zbroj

1 1 1 3

1 1 2 4

1 1 3 5

1 1 4 6

1 1 5 7

1 1 6 8

1 2 1 4

1 2 2 5

1 2 3 6

1 2 4 7

1 2 5 8

1 2 6 9

1 3 1 5

1 3 2 6

1 3 3 7

1 3 4 8

1 3 5 9

1 3 6 10

listu analogno nastavljamo dalje


VJEROJATNOST - ZBROJ NA 3 KOCKE

0

5

10

15

20

25

30

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

zbroj

frekv

enci

ja p

ojav

ljiva

nja

FREKVENCIJE I VJEROJATNOST (13)VJEROJATNOST - ZBROJ NA 3 KOCKE

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

zbroj na 3 kocke

vjer

ojat

nost

vjerojatnosti pojavljivanja pojedinog zbrojabrojeva na gornjoj strani igraće kocke


Primjer 22.

U kutiji se nalaze kartice na kojima su napisana slova P, A, T, A, K. Kartice su ispremiješane i bez gledanja je izvučena jedna od njih. Odredite vjerojatnost da je izvučena kartica na kojoj je slovo:

(a) P,

(b) A,

(c) K.

Rješenje.

Opet možemo izvršiti slučajne pokuse (empirijski koncept) da uočimo pravilnost, a nakon toga ispisati listu mogućih događaja (teorijski koncept).

primjena LOOKUP funkcije

FREKVENCIJE I VJEROJATNOST (15)Empirijski koncept - 1000 slučajnih pokusa

FREKVENCIJSKI DIJAGRAM

421

186 191 202

050

100150200250300350400450

A K P T

kartice

frekv

enci

je

DIJAGRAM RELATIVNIH FREKVENCIJA

0,404

0,2 0,191 0,205

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

A K P T

kartice

rela

tivne

frek

venc

ije

uočimo visinu stupca

uočimo visinu stupca

alati za izradu proračunskih tablicaweb.math.pmf.unizg.hr/nastava/rnm/zadaci-excel.pdf · učenike...

Documents