Introduzione alla Ricerca Operativa

Alberto CapraraD.E.I.S. - Università di Bologna

acaprara@deis.unibo.it

Settembre 2003

Intro.2A. Caprara

Ricerca Operativa ?

• applicazione di metodi scientifici a problemi decisionali che si presentano in strutture organizzate complesse

Matematica Informatica

Ricerca Operativa (Operations Research)Scienza della Gestione (Management Sc.)

Scienza delle Decisioni (Decision Sc.)

Intro.3A. Caprara

Sistemi Organizzati

• Sistema: insieme di elementi legati da forme di interazione

Es. Reparto di produzione

Decisioni• layout impianto• tipo di macchine• sequenza lavorazioni

Prestazioni

Intro.4A. Caprara

Origini della Ricerca Operativa

• Seconda Guerra Mondiale in Inghilterra• Battaglia di Inghilterra:

• prevenzione degli attacchi di bombardieri tedeschi:⇒ radar (risorsa scarsa)raggio d’azione, definizione ...

• Dove localizzare i radar per massimizzare la probabilità di intercettazione ?

• Come coordinare le operazioni (radar, radio, pattuglie aeree …) per facilitare l’identificazione dei nemici e degli amici ?

Intro.5A. Caprara

Origini della Ricerca Operativa (2)

• Gruppi di lavoro misti (matematici, fisici, ingegneri, militari … )

• Research on military Operations• messa a punto di

• metodi quantitativi di analisi • metodologie di soluzione (algoritmi)

• notevole contributo nel miglioramento dell’efficacia dell’avvistamento radar

• numerose applicazioni in altri settori (logistica …)

Intro.6A. Caprara

Evoluzione

• Dopo la guerra: diffusione della disciplina in• Industria• Pubblica amministrazione• Università

• 1940-60: Sviluppo di modelli ed algoritmi di R.O.• programmazione lineare• teoria dei grafi• simulazione numerica …

• 1960-70: Diffusione degli elaboratori • grande impulso alla R.O. • teoria della complessità

Intro.7A. Caprara

Sistemi e Modelli

• Modello:rappresentazione semplificata di un sistema reale,progettata per rispondere, mediante analisi sperimentali, a domande specifiche (risposta agli ingressi/decisioni).

ModelloUscite

(Prestazioni)Ingressi

(Decisioni/Controlli)

Intro.8A. Caprara

Classificazione

• Modello Fisico:riproduzione in scala (similitudine o analogia)

• Modello Matematico:insieme di relazioni logico/matematiche che descrivono il comportamento del sistema

• Statico: sistema in equilibrio• Dinamico: sistema in evoluzione (nel tempo)• Analitico: descritto mediante equazioni/diseq.• Numerico: descritto mediante algoritmi di calcolo

Intro.9A. Caprara

Classificazione (2)Modelli Modelli MatematiciFisici analitici numerici

Mezzo Riproduzione in scala

Formule Teoria dei grafiOttimizz. LineareSimulazione ...

Campo ArchitetturaIdraulica

Fisica Scienze

Problemi decisionali e gestionali

Metodo di sol.

Esperimenti Matematica classica

Algoritmi e computer

Intro.10A. Caprara

Costruzione di un modello

• Sistema reale:

Magazzini ClientiFabbriche

Intro.11A. Caprara

Modello schematico (astratto)

F1

F2

Ma

Mb

Mc

C1

C2

C3

C4

C5

m1

m2

Capacità

c1a

c1b

Costi

ta1

Costi

d1

d2

d3

d4

d5

Domanda

Intro.12A. Caprara

Modello Matematico

• Variabili decisionali:x flussi tra fabbriche e magazzini

y flussi tra magazzini e negozi

F1

F2

Ma

Mb

Mc

C1

C2

C3

C4

C5

m1

m2

Capacità

c1a

c1b

Costi

ta1

Costi

d1

d2

d3

d4

d5

Domanda

Intro.13A. Caprara

Modello matematico (2)(obiettivo)

min c1a x1a + c1b x1b + … ta1 ya1 + ta2 ya2 + …

(vincoli di produzione)x1a + x1b + … ≤ m1

x2a + x2b + … ≤ m2

(vincoli sulla domanda)ya1 + y b1 + … ≥ d1

ya2 + y b2 + … ≥ d2F1

F2

Ma

Mb

Mc

C1

C2

C3

C4

C5

m1

m2

c1ac1b

ta1 d1

d2

d3

d4

d5

Intro.14A. Caprara

Modelli e realtà

• Proprietà di un modello: • astrazione• sintesi (solo le caratteristiche rilevanti)

• Un modello può migliorare il grado di comprensione della realtà:

• individuazione delle componenti importanti• relazioni di causa effetto

⇒Può migliorare le decisioni

Intro.15A. Caprara

I sette ponti di Königsberg

• Problema di Eulero (1707-1783)

Pregel

È possibile effettuare una passeggiata, ritornando al punto di partenza, dopo aver attraversato tutti i ponti una sola volta ?

Intro.16A. Caprara

Modello del problema dei ponti

• Rappresentazione astratta del problema:nascita della Teoria dei Grafi

• Grafo equivalente alla mappa:

Pregel B

A

C

D

Intro.17A. Caprara

Soluzione del problema

• Esiste un percorso chiuso che attraversa tutti gli archi del grafo una ed una sola volta ?(Circuito Euleriano)

B

A

C

D

Cond. necessaria e sufficiente(Eulero, 1736): Il circuito esiste se e solo se in ogni nodo ha un numero pari di lati incidenti

⇒ Il problema di Königsbergnon ha soluzione !!

Intro.18A. Caprara

Metodologia della R.O.

• Dimensionamento ottimale di una filiale di banca:• n. di sportelli per tipologia di servizio• n. di impiegati per tipo• layout …

• Obiettivi:a) contenimento dei costi (n. di sportelli)b)buon livello di servizio (tempi di servizio)⇒obiettivi a) e b) in contrasto tra loro !

• … formulazione vaga

Intro.19A. Caprara

I. Formulazione del Problema (1)

• Definizione degli obiettivi e dei vincoli:i) minimizzare il costo totale (n. di sportelli) con …

• tempo medio di attesa non superi i K minuti• non più del p% dei clienti aspetti oltre K minuti⇒ a) obiettivo, b) vincolo

ii)minimizzare il tempo di attesa con … • costo annuo non superiore a Q milioni (n. sportelli)⇒ b) obiettivo, a) vincolo

Intro.20A. Caprara

I. Formulazione del Problema (2)

• Raccolta di informazioni e dati sul sistema:a) tasso di arrivo dei clienti (λ)

• il ritmo varia nel corso della giornata ?

b) n. di clienti serviti in un’ora da uno sportello (µ )• il ritmo varia nel corso della giornata ?

c) scelta dello sportello • dipende dal n. di clienti in coda ? (es. coda più corta)• se una coda si accorcia, i clienti si spostano ?• meglio code separate o una unica ?

Indagini statistiche o analogie rispetto ad altri sistemi

Intro.21A. Caprara

II. Definizione del modello (1)

• Scelta del paradigma di rappresentazione del problema, in base a:• natura del sistema (statico, dinamico, …)• obiettivo/i e vincoli• tipo e qualita’ dei dati disponibili

• Es. Dati λ, µ, s (n. di sportelli), calcolare:W = tempo medio di attesa in codaP = probabilità che un cliente attenda più di K minuti

Intro.22A. Caprara

II. Definizione del modello (2)

• Definizione del problema di ottimizzazionesi esprimono obiettivo e vincoli mediante funzioni di:• s, … (variabili decisionali)• λ, µ, … (parametri)• W, P, … (prestazioni)

min f (s, λ, µ, W, P, …)

con s∈ S, tale che:g1 (s, λ, µ, W, P, …) ≥ a1

g2 (s, λ, µ, W, P, …) ≥ a2…

Intro.23A. Caprara

II. Definizione del modello (2)

• Modello Analiticose è possibile esprimere W, P, …

mediante funzioni di s,λ, µ, … (casi semplici)Es. (teoria delle code) se s = 1 ⇒ W = λ / µ (µ − λ)

• Modello di Simulazione Numerica (normalmente)se non è possibile esprimere W, P, … mediante funzioni di s,λ, µ, …

(sistema complesso, fenomeni di saturazione, code …)• Programma che riproduce il funzionam. del sistema• dati s,λ, µ … si “misurano” W, P …

Intro.24A. Caprara

III. Verifica del modello

• Calibrazione dei parametri del modello:• si determinano i valori dei parametri caratteristici in

modo che il modello fornisca risposte (valori misurati) aderenti alla realtà

• esperimenti sul modello e confronto dei risultati con valori osservati nella realtà

• Eventuale revisione del modello

127 1000 127 ~1000Modello

Intro.25A. Caprara

IV. Determinazione delle soluzioni

• Si generano soluzioni alternative (Es. diversi s) e si sceglie la “migliore” (miglior compromesso)

• Es. obiettivo: min W, P e costi (prop. ad s)s W P5 15’ 30%

10 1’ 2%⇐7 5’ 10%

Intro.26A. Caprara

V. Presentazione dei risultati

• Modello e risultati vengono sottoposti ai decisori:• verifica delle ipotesi sul modello• esame dell’obiettivo e delle soluzioni• se insoddisfacente:

revisione del modello e nuove soluzioni

• Implementazione della soluzione • Monitoraggio del sistema nel tempo

Intro.27A. Caprara

Metodologia della R.O.

I. Formulazione

II. Modello

III. Verifica

IV. Soluzione

V. Presentazione

Realizzazione

Intro.28A. Caprara

Applicazioni della R.O.

• Problemi decisonali• Scelta di investimenti• Localizzazione sul territorio (impianti, servizi…)• Dimensionamento (impianti, personale …)• Attivazione di rotte aeree (linee di autobus)• Attribuzione di compiti al personale• …

Intro.29A. Caprara

Applicazioni della R.O. (2)

• Problemi Gestionali• organizzazione della produzione• sequenziamento di lavori• pianificazione dei lavori• instradamento di veicoli• turnazione del personale• controllo del traffico aereo• caricamento di containers, pallets• taglio ed impaccamento di oggetti• …

Intro.30A. Caprara

Le tre dimensioni dei modelliGrado di incertezza

N. DecisoriN. Obiettivi

1

1Progr. Matematica

Progr. Stocastica

Teoria dei Giochi

Progr. Multicriteri

Intro.31A. Caprara

Ottimizzazione della Produzione

• 2 prodotti:• Sedia in Legno (SL)• Sedia in Alluminio (SA)

• 3 reparti:• Lavorazione parti in Legno (RL)• Lavorazione parti in Alluminio (RA)• Lavorazione parti in Tessuto (RT)

RTRL

RA

Intro.32A. Caprara

Ottimizzazione della Produzione (2)

• Tempi di Produzione (min. per pezzo)RTRL

RA• Ricavo netto (Lire per pezzo)• Disponibilità reparti (min. per periodo)

RL RA RTSL 10 - 30SA - 20 20

Ricavo3.0005.000

D. 40 120 180

Intro.33A. Caprara

Ottimizzazione della Produzione (3)

• Supponendo di poter vendere tutta la produzione quante sedie di ciascun tipo devono essere prodotte per massimizzare il ricavo ?

• Variabili decisionali:x1 = n. di sedie di legno prodotte in una settimanax2 = n. di sedie di alluminio prodotte in una settimana

x1 ed x2 possono essere frazionarie

Intro.34A. Caprara

Modello matematico (PL)

• Funzione obiettivo (max ricavo)max 3.000 x1 + 5.000 x2

• Vincoli di capacità dei reparti:RL) 10 x1 ≤ 40RA) 20 x2 ≤ 120RT) 30 x1 + 20 x2 ≤ 180

• Vincoli di non negatività:x1, x2 ≥ 0

Intro.35A. Caprara

Assegnazione di incarichi

• n persone ed n incarichi• aij = tempo/costo ass. incarico j alla pers. i

Determinare l’assegnamento delle persone agli incarichi di costo complessivo minimo

• Es. n= 2lavoro

pers. 1 21 20 402 30 20

Costo = 40

Intro.36A. Caprara

Assegnazione di incarichi (2)

• n = 3 lavoropers. 1 2 3

1 20 60 302 80 40 903 50 70 80

6 soluzioni

Costo = 120

• N. soluzioni = n (n-1) (n-2) … = n!• se n = 20 ⇒ n! ≈ 2.4 * 1018

• enumerazione su PC 486/33 (≈1 Mflop/sec.): 4.6M anni !

Intro.37A. Caprara

Variabili decisionali

{1 se la persona i esegue l’incarico j0 altrimenti

xij =

lavoropers. 1 2 3

1 20 60 302 80 40 903 50 70 80

variabili1 2 3

1 0 0 12 0 1 03 1 0 0

Matrice di permutazione: un solo 1 ∀ riga e colonna

Intro.38A. Caprara

Modello matematico (PLI)

• Funzione obiettivo (min. costo)

min Σi=1,n Σj=1,n cij xij

• Un solo lavoro per persona:

Σj=1,n xij = 1 (i = 1, …, n)• Una sola persona per lavoro:

Σi=1,n xij = 1 (j = 1, …, n)xij ∈ {0, 1} (i,j = 1, …, n)

variabili1 2 3

1 0 0 12 0 1 03 1 0 0

Intro.39A. Caprara

Sequenziamento di lavorazioni

• n lavorazioni• pj = tempo di processamento lavorazione j• no preemption = una volta iniziata la lavorazione

non può essere interrotta• m macchine identiche• una sola lavorazione alla volta per ogni macchina

assegnare le lavorazioni alle macchine in modo tale che il tempo totale di processamento sia minimo

Intro.40A. Caprara

Sequenziamento di lavorazioni (2)

• n = 5, m = 2, pj = {90, 50, 30, 40, 20}

m1

m2

t

J1

90

J5

11

0

J2

50

J4 J3

120

Intro.41A. Caprara

Variabili decisionali

{1 se la macchina i esegue lavorazione j0 altrimenti

xij =

lavorazionimacch. 1 2 3 4 5

1 1 0 0 0 12 0 1 1 1 0

z = massimo tempo di lavorazione (makespan)

Intro.42A. Caprara

Modello matematico (PL mista)

• Funzione obiettivo (min. makespan)min z

• definizione makespan:

Σj=1,n pj xij ≤ z (i = 1, …, m)• Ogni lavorazione su una sola macchina:

Σi=1,m xij = 1 (j = 1, …, n)

xij ∈ {0, 1} (i, j = 1, …, n)z ≥ 0

Intro.43A. Caprara

Commesso viaggiatore

• n luoghi da visitare• dij distanza tra i luoghi i e j

Determinare un percorso chiuso che visiti una ed una sola volta tutti i luoghi ed abbia lunghezza complessiva minima

• soluzione = permutazione di {1, 2, … , n}• Es. n = 5 1 → 3 → 2 → 4 → 5 → 1• n. di soluzioni = n. di permutazioni = (n-1)!

Intro.44A. Caprara

Modello di teoria dei grafi

• Grafo:

Intro.45A. Caprara

Altre applicazioni (1)

• Perforazione circuiti stampati:• nodi: fori da eseguire• distanza: tempo di spostamento utensile

• Sequenza di plotting di segmenti:• nodi: segmenti da disegnare• distanza: tempo di spostamento tra la fine di un

segmento e l’inizio di un altro• Sequenza di taglio di lastre:

• nodi: tagli da eseguire• distanza: tempo di spostamento tra la fine di un

taglio e l’inizio di un altro

Intro.46A. Caprara

Altre applicazioni (2)

• Sequenziamento dei movimenti per una pista:• nodi: movimenti (decollo, atterraggio)

dei diversi aerei• distanza: tempo che deve intercorrere tra due

movimenti • es. att. aereo piccolo dopo att. aereo grande: 5 miglia

att. aereo piccolo dopo att. aereo piccolo: 3 miglia