alcune note di mqr
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Meccanica Quantistica Relativistica, appuntiTRANSCRIPT
Capitolo 1
Bosoni di spin-0: equazione di Klein Gordon
[Greiner WE p.4, Greiner FQ p.75, Landau IV(it) p. 52, Dispense Maiani p.43]
In una teoria relativistica delle particelle, la conservazione della massa non ha senso, perché l'unica grandezza a conservarsiè la norma del quadrimpulso pµpµ = E2 + |p|2. Questo comporta innanzitutto che il numero di particelle in meccanicaquantistica relativistica non si debba conservare (come avviene ad esempio in fenomeni come la creazione di coppie), equindi che la teoria descriva sistemi ad un numero in�nito di gradi di libertà.Come si è visto, il formalismo matematico adeguato a descrivere sistemi con un numero variabile di particelle è il formali-smo della seconda quantizzazione (vedi Greiner FQ, p. 57). In questo formalismo gli operatori associati ai campi svolgonoil ruolo di variabili dinamiche, e agiscono nello spazio di Fock, dove ogni stato è etichettato dal numero di particelle condeterminata energia. Si trattano in ogni caso soltanto particelle libere, le uniche che abbiano senso �sico reale in unateoria quantistica relativistica.Il ruolo di operatore di seconda quantizzazione nel caso di particelle massive (l'analogo di A per i fotoni) è svolto dall'ope-
ratore ψ della funzione d'onda quantizzata. Si pone quindi il problema di trovare l'equazione che descrive lo stato di unaparticella massiva, nel quale interverranno grandezze invarianti di Lorentz e la funzione d'onda ψ, che successivamentedovrà essere considerata come operatore per applicare il metodo della seconda quantizzazione.
1.1 Equazione d'onda per particelle a spin 0
Lo stato di un bosone (particella senza spin) libero può essere determinato completamente con l'assegnazione del suoimpulso p. L'energia della particella E è determinata dalla relazione relativistica1 E2 = m2 + |p|2 dove m è la massa diquiete della particella.
Si è già visto (rif a altra sezione**) che questa legge, dovuta alla conservazione del quadrimpulso, vale per l'invarianzadel sistema in esame sotto traslazioni spazio-temporali p′µ = pµ+δpµ. In meccanica quantistica l'invarianza si manifesterànel fatto che il sistema traslato avrà una funzione d'onda ψ′(x′) = eiθψ(x). Questa richiesta è soddisfatta soltanto da unafunzione d'onda piana, che ha per esponente una grandezza quadridimensionale (che nel caso di particella libera non puòche essere pµ):
ψ(x) ∝ e−ipµxµ
= e−i(Et−p·x) (1.1)
L'equazione d'onda deve quindi ammettere la soluzione (1.1) (!).
Inoltre l'equazione deve essere lineare (!), per soddisfare il principio di sovrapposizione (postulato della meccanica
quantistica), e deve trattare simmetricamente variabili spaziali e temporali (!). Poiché i bosoni hanno spin nullo,
l'invarianza della funzione d'onda sotto l'e�etto di rotazioni è garantita se ψ è uno scalare (!).Le quattro condizioni da imporre, sono soddisfatte da un'equazione come la seguente:
(pµpµ −m2)ψ(x) = −∂µ∂µψ −m2ψ = 0 (1.2)
(� +m2) φ(x) = 0 (1.3)
detta equazione Klein-Gordon. Inserendo la soluzione di particella libera (1.1) si ricava lo spettro:
∂µ∂µe−ipµx
µ
= −pµpµe−ipµxµ
= m2e−ipµxµ
⇒ E2 − |p|2 = m2 ⇒ E = ±√m2 + |p|2 (1.4)
1si usa nel seguito il sistema di unità naturali } = c = 1. In questo sistema [L−1] = [M ] = [E]
1
CAPITOLO 1. BOSONI DI SPIN-0: EQUAZIONE DI KLEIN GORDON 2
Quindi esistono stati di particella libera con energia negativa. Si vedrà in seguito che questi ultimi sono �sicamenteconnessi con l'esistenza di antiparticelle.
A conferma delle considerazioni fatte sul senso �sico della funzione d'onda di una singola particella, cerchiamo l'analogodella densità di probabilità di trovare una particella in x al tempo t. Scriviamo la coniugata della (1.2), e facciamo un pòdi giochini algebrici:
ψ × {(pµpµ −m2)ψ∗ = 0} − ψ∗ × {(pµpµ −m2)ψ = 0}
−ψ(∂µ∂µ +m2) + ψ∗(∂µ∂
µ +m2)ψ = 0 =⇒ ∂µ(ψ∗∂µψ − ψ∂µψ∗) ≡ ∂µjµ = 0 (1.5)
Da cui si evince l'esistenza di una grandezza conservata, una densità di quadricorrente:
jµ =i}2m
(ψ∗∂µψ − ψ∂µψ∗) (1.6)
dove il fattore moltiplicativo è stato inserito per dare le dimensioni di una densità di probabilità, come speriamo chesia, e per garantire che questa equazione restituisca nel limite relativistico quella di Schroedinger. Alla (1.6) tramite la(1.5) è associata una densità di probabilità conservata (per l'annullarsi della funzione all'in�nito, e con V →∞):
∂0j0 − ∂iji = 0 ⇒
�V
∂ρ
∂t=
�V
∇ · j =
�∂V
j · dS = 0 ⇒�V
∂ρ
∂t= 0 ⇒
�V
ρ d3x = cost.
ρ = j0 =i}
2mc2(ψ∗
∂ψ
∂t− ψ∂ψ
∗
∂t) (1.7)
In analogia a quanto si fa nella teoria non relativistica è naturale interpretare questa quantità, costante nel tempo edipendente dalla funzione d'onda, come la densità di probabilità ρ(x) di trovare la particella al tempo x0 nella posizionex, dimenticandoci delle di�coltà relativistiche imposte alla teoria. Purtroppo però ψ e la sua derivata temporale possonoassumere valori arbitrari, quindi ρ(x) non è de�nita positiva e quindi non può essere una densità di probabilità. Laprofonda ragione di ciò è da ricercarsi nel fatto che l'equazione di Klein-Gordon è un'equazione di�erenziale al secondoordine nella variabile temporale, quindi è necessario imporre due condizioni al contorno: una sulla ψ(x0) e una sullasua derivata ∂0ψ(x0) per ottenere la soluzione. La funzione d'onda non descrive quindi completamente lo stato, e non èpossibile sviluppare una teoria analoga a quella di Schroedinger.
Questa di�coltà, aggiunta all'esistenza di stati di particella a energia negativa, fecero sì che per lungo tempo l'equazionedi Klein-Gordon fosse messa da parte ed etichettata come �sicamente insensata.
Limite non relativistico. Mostriamo adesso che nel limite di energie piccole E ' m l'equazione (1.3) si riduce all'e-quazione di Schroedinger per una particella di spin-0. Assumendo si poter separare la dipendenza temporale di φ in unfattore contenente soltanto l'energia a riposo:
φ(x) = ϕ(x)e−imt ,
∣∣∣∣i}∂ϕ∂t∣∣∣∣ ≈ (E −m)ϕ� mϕ
∂φ
∂t=
(∂ϕ
∂t− imφ
)e−imt ≈ −imφe−imt ,
∂2φ
∂t2≈[−im∂ϕ
∂t− im∂ϕ
∂t−m2φ
]e−imt
inserendo nella (1.3):
�φ =
[−i2m∂ϕ
∂t−m2ϕ−∇2ϕ
]e−imt = −m2φ = −m2ϕe−imt
i∂ϕ
∂t= − 1
2m∇2ϕ
si ottiene proprio l'equazione di Schroedinger libera per particelle senza spin (ϕ è scalare). Poiché il tipo di particellanon dipende dal fatto che la descrizione sia relativistica o no, possiamo a�ermare che l'equazione di Klein-Gordon descriveparticelle a spin zero.
CAPITOLO 1. BOSONI DI SPIN-0: EQUAZIONE DI KLEIN GORDON 3
1.2 Campo Scalare reale: Bosoni Neutri
Poichè la funzione d'onda non descrive lo stato di particella, è necessario applicare anche in questo caso l'interpretazionesuggerita dal metodo di seconda quantizzazione, considerando φ come un operatore di campo scalare. De�niamo quindila lagrangiana che ci permette di sviluppare il formalismo canonico utile per la quantizzazione:
L(x) =}2
2
∂φ
∂xµ∂φ
∂xµ− 1
2mc2φ2 =
1
2(∂µφ)(∂µφ)− 1
2m2φ2 (1.8)
Si vede facilmente che questa rappresenta la forma più generale di lagrangiana invariante e quadratica nelle derivatedel campo φ. Si potrebbe aggiungere un termine lineare in φ, ma poiché un eventuale potenziale V (φ), che noi abbiamoposto a zero, dovrebbe presentare un minimo assoluto2 , il termine lineare potrebbe essere facilmente eliminato passandoalla variabile φ′ = φ− φ0 dove φ0 è il punto di minimo di V .
Svolgendo le derivate, si ricava l'equazione di Klein-Gordon:
∂L∂φ
= −m2φ ,∂L
∂(∂µφ)= ∂µφ
∂µ∂L
∂(∂µφ)− ∂L∂φ
= 0 ⇒ (∂µ∂µ +m2)φ = 0
Per costruire l'Hamiltoniana, calcoliamo la densità di momento coniugato:
π =∂L∂φ
= φ ⇒ H = πφ− L =1
2
(π2 + (∇φ)2 +m2φ2
)Peraltro, l'invarianza del campo sotto traslazioni e rotazioni, implica la conservazione degli integrali spaziali del tensore
energia impulso canonico e della parte orbitale del tensore dei momenti:
Θµν =∂L
∂(∂µφ)∂νφ− gµνL = (∂µφ)(∂νφ)− 1
2gµν(∂µφ)(∂µφ)− 1
2gµνm2φ2
Lij = xiΘ0j − xjΘ0l
dai quali possiamo ricavarci il quadrimpulso totale conservato, e il momento angolare orbitale conservato:
Pµ =
�d3x Θ0µ =
�d3x
(φ2 + (∇φ)2 +m2φ2, φ∇φ
)=
(H ,
�d3x π∇φ
)(1.9)
Lij =
�π (x×∇)φ d3x
Quantizzazione del campo. Procediamo adesso secondo il formalismo canonico di quantizzazione. Innanzituttosostituendo i campi φ(x, t) ≡ φ(x) e i momenti coniugati π(x, t) con gli operatori φ(x, t) e π(x, t), per i quali le regole dicommutazione a tempi uguali sono:
[φ(x, t), π(x′, t)] = iδ3(x− x′) (1.10)
[φ(x, t), φ(x′, t)] = [π(x, t), π(x′, t)] = 0 (1.11)
Si sono scelte delle regole di commutazione ordinarie e non di anti-commutazione poiché assumiamo che i quanti delcampo siano particelle descritte dalla statistica di Bose-Einstein3. Mostreremo in seguito (rif a altra sezione***) che leregole di anticommutazione condurrebbero a gravi inconsistenze, e quindi il campo di Klein Gordon può essere quantizzatosoltanto con le regole di commutazione, cioè considerando i suoi quanti come bosoni.
Si noti inoltre che queste regole di commutazione, essendo a tempi uguali, non possono essere Lorentz-invarianti,perché non trattano simmetricamente spazio e tempo; si generalizzeranno al caso di tempi arbitrari nel seguito (rif aaltra sezione***).
Utilizzando l'operatore hamiltoniano, de�nito estendendo l'espressione classica, possiamo calcolare le equazioni delmoto (vedi appendice A a pagina 24):
2poiché l'energia deve essere inferiormente limitata a�nché il sistema ammetta soluzioni stabili3Nel formalismo della seconda quantizzazione si può mostrare che tali regole di commutazione conducono a uno stato nello spazio di Fock,
che proiettato sulla base delle posizioni delle particelle da una funzione d'onda totalmente simmetrica rispetto allo scambio delle particelle:
Φ(n)[n1,n2,...
](x1, ...,xn; t) = 〈x1, ...,xn; t|n1, n2, ...〉 = 1√
n1!n2!...1√n!
∑Permut
[uk1 (x1) · · ·ukn (xn)] dove la uki (xi) è la generica funzione d'onda di
singola particella.
CAPITOLO 1. BOSONI DI SPIN-0: EQUAZIONE DI KLEIN GORDON 4
H =1
2
�d3x
(π2(x, t) + (∇φ(x, t))2 +m2φ2(x, t)
)(1.12)
˙φ(x, t) = −i[φ(x, t), H] = π(x, t)
˙π(x, t) = −i[π(x, t), H] = (∇2 −m2)φ(x, t)
che mostrano che l'operatore di campo della teoria quantistica soddisfa ancora l'equazione di Klein-Gordon; questanon è una conclusione banale, perché ingenerale le equazioni del moto dei campi quantizzati e quelle dei campi classicinon coincidono. Si ha quindi:
¨φ(x, t) = (∇2 −m2) φ(x, t) (1.13)
Adesso possiamo scrivere il campo come sviluppo in serie di Fourier rispetto a una base di soluzioni. Scegliamo le ondepiane, e la normalizzazione ottenuta considerando un volume chiuso V = L3:
up = Npeip·x ⇒ φ(x, t) =
∑p
Np eip·xap(t) dove
∑p
=∑
px,py,pz
con px,y,z =2π
Lnx,y,z , nx,y,z ∈ N (1.14)
dove Np è una costante di normalizzazione, e i coe�cienti di Fourier ap(t) contengono la dipendenza dal tempodell'operatore di campo. Inserendo lo sviluppo (1.14) nell'equazione del moto (1.13) si ottiene facilmente l'equazione delmoto per gli operatori ap(t), e la relativa soluzione generale (vedi Appendice B.1 a pagina 25):
¨ap(t) = −(|p|2 +m2) ap(t) =⇒ ap(t) = a(1)p e−iωkt + a(2)p e+iωkt con ωp =√|p|2 +m2
Inoltre, poiché stiamo considerando un campo scalare reale, gli operatori associati a tale campo avranno autovalorireali, cioè saranno hermitiani, questo implica (vedi Appendice B.2 a pagina 25) che:
φ = φ∗ −→ φ = φ† =⇒(a(1)p
)†= a
(2)−p
e possiamo riscrivere l'operatore di campo ride�nendo i coe�cienti ap:
φ(x, t) =∑p
Np
(a(1)p ei(p·x−ωpt) + a(2)p ei(p·x+ωpt)
)=∑p
Np
(a(1)p ei(p·x−ωpt) + a
(2)−pe
i(−p·x+ωpt))
ap := a(1)p =⇒ φ(x) =∑p
Np
(ape−ipµxµ + a†pe
+ipµxµ)
(1.15)
π(x) =˙φ(x) =
∑p
Np(−iωp)(ape−ipµxµ − a†pe+ipµx
µ)
(1.16)
De�niamo adesso il prodotto scalare di due funzioni d'onda di Klein-Gordon, cioè quello rispetto al quale due soluzionicon impulso diverso sono ortogonali:
(ϕ, χ)KG := i
�ϕ∗(x)
←→∂0 χ(x) d3x = i
�[ϕ(∂tχ)− (∂tϕ
∗)χ] d3x
e a questo punto possiamo ricavare Np, imponendo che(Npe
i(ωpt−p·x), Np′ ei(ωp′ t−p′·x))KG
= δpp′ (vedi Appendice B.3
a pagina 25) :
Np =1√
2ωpL3(1.17)
e proiettando φ(x) su fp(x) = Npe−ipµxµ , otteniamo le espressioni dei coe�cienti ap e le regole di commutazione ad
essi associate (vedi Appendice B.4 a pagina 25):
ap =(fp, φ
)KG
= i
�f∗p(x)
←→∂0 φ(x) d3x
a†p = −(f∗p, φ
)KG
= −i�f∗p(x)
←→∂0 φ(x) d3x
[ap, a†p′ ] = δpp′ , [ap, ap′ ] = [a†p, a
†p′ ] = 0 (1.18)
CAPITOLO 1. BOSONI DI SPIN-0: EQUAZIONE DI KLEIN GORDON 5
A questo punto non resta che calcolare operatore hamiltoniano (1.12) e operatore impulso del campo in funzione diquesti ultimi (vedi Appendice C a pagina 26 e D a pagina 27):
H =1
2
∑n
ωp
(apn a
†pn
+ a†pnapn
)=∑p
ωp
(a†pn
apn +1
2
)(1.19)
P =∑p
p
(apn a
†pn
+ a†pnapn
)=∑p
p a†pap +1
2
∑p
p (1.20)
L'interpretazione di questi operatori è presto fatta: ogni stato con impulso p è occupato da un numero di particelledeterminato dal valor medio dell'operatore np = apa
†p. Ogni termine apporta un quanto di energia di ωp all'energia totale
e un momento pari a p. Inoltre vi è un'energia di punto zero, indipendente dal numero di occupazione. Le (1.18) cipermettono di identi�care ap e a†p come operatori di annichilazione e creazione, e di costruire lo spazio di Fock, nel qualeogni autostato dell'energia |n1,n2, ...〉 è identi�cato dai numeri di occupazione dei modi normali n = (nx, ny, nz) del livellocon impulso p = 2π(nx, ny, nz)/L
3, a partire dallo stato di vuoto de�nito da ap|0〉 = 0, ∀p.Il campo corrisponde quindi a un sistema di in�niti (!) oscillatori armonici quantistici. Ciascun quanto
di oscillazione rappresenta una particella di spin 0 con impulso de�nito. Il campo di Klein-Gordon realedescrive quindi un sistema di in�nite particelle identiche (hanno stessa massa m) senza spin.
Sorge un problema abbastanza grave: poiché vi sono un numero in�nito di oscillatori e quindi di modi normali dioscillazione, l'energia del vuoto (o di punto zero) è fortemente divergente:
E0 =1
2
∑p
ωp = +∞
Fortunatamente da un punto di vista pratico questa non è una di quelle divergenze che mette a rischio l'intera teoria,poiché le osservabili �siche dipendono esclusivamente da di�erenze di energia, e quindi il valore E0 si sempli�ca sempre.Si può quindi formalmente de�nire un'energia utile:
H ′ = H − E0
Un analogo problema non si ha per l'impulso (1.20), in quanto la somma su tutte le direzioni spaziali si annulla perl'isotropia del sistema, e l'impulso di punto zero svanisce.
Osserviamo inoltre che gli stati così costruiti non hanno un momento angolare ben de�nito. E' possibile mostrareche l'operatore momento angolare orbitale (non c'è spin!) non è diagonale nella base dello spazio di Fock costituitadegli autostati di H. Una procedura alternativa a quella di quantizzazione utilizzata si potrebbe ottenere sviluppandol'operatore di campo scalare in onde sferiche invece che piane, ottenendo dei quanti del campo con energia e momentoangolare ben de�niti, ma un operatore impulso con struttura non diagonale e in generale complicata.
Prodotti normali. Un altro modo di risolvere la divergenza delle energie è avvalersi di un trucchetto matematico. Sipuò considerare l'operatore di campo (1.15) separato nelle due parti a frequenza positiva (∼ e−ipx) e a frequenza negativa:
φ(x) =∑p
1√2ωpL3
(ape−ipµxµ + a†pe
+ipµxµ)
=: φ(+)(x) + φ(−)(x)
La prima parte contiene soltanto operatori di annichilazione e la seconda soltanto di creazione. Si de�nisce quindi lanozione di prodotto ordinato o prodotto normale di due operatori generici χ e ϕ. Il prodotto normale è de�nito come unprodotto nel quale le parti a frequenza negativa stanno sempre a sinistra rispetto a quelle a frequenza positiva:
:χϕ:def= χ(−)ϕ(−) + ϕ(−)χ(+) + χ(−)ϕ(+) + χ(+)ϕ(+)
in questo modo possiamo de�nire l'operatore hamiltoniano come il prodotto ordinato degli operatori di campo e deimomenti coniugati:
H ′ :=1
2
�:(π2(x, t) + (∇φ(x, t))2 +m2φ2(x, t)
): d3x =
∑p
apa†p
CAPITOLO 1. BOSONI DI SPIN-0: EQUAZIONE DI KLEIN GORDON 6
1.3 Campo scalare complesso: Bosoni Carichi
Possiamo a questo punto modi�care la de�nizione della Lagrangiana del campo scalare, a�nché descriva un insieme diparticelle non più tutte identiche, ma aventi un grado di libertà interno. Generalizzando al caso di due tipi di particelle,è immediato passare al formalismo di una campo scalare complesso: le due specie di particelle sono descritte dal campocomplesso φ 6= φ∗, ed entrambe hanno massa m. La lagrangiana di un tale sistema sarà:
L = (∂µφ∗)(∂µφ)−m2φ∗φ (1.21)
nella quale φ e φ∗ sono trattati come campi indipendenti. L'assoluta generalità dell'assunzione di indipendenza può es-sere resa manifesta utilizzando un set di campi reali indipendenti φ1 e φ2, funzioni di φ e φ∗, e applicando la trasformazioneinversa alla �ne del calcolo per trovare i risultati che si otterranno in funzione di questi ultimi.
φ1 =1√2
(φ+ φ∗) , φ2 = − i√2
(φ− φ∗)
φ = (φ1 + iφ2) , φ∗ = φ = (φ1 − iφ2)
La lagrangiana (1.21) conduce alle equazioni di Klein-Gordon per i due campi:
∂L∂φ
= −m2φ∗ ,∂L
∂(∂µφ)= ∂µφ∗ ⇒ ∂µ
∂L∂(∂µφ)
− ∂L∂φ
= 0 ⇒ (∂µ∂µ +m2)φ∗ = 0
∂L∂φ∗
= −m2φ ,∂L
∂(∂µφ∗)= ∂µφ ⇒ ∂µ
∂L∂(∂µφ)
− ∂L∂φ
= 0 ⇒ (∂µ∂µ +m2)φ = 0
quindi entrambe le specie di particelle sono bosoni di spin 0 e massa m. I campi coniugati e la densità di hamiltonianasaranno invece:
π =∂L∂φ
= φ∗ , π∗ =∂L∂φ∗
= φ
H = π∗π +∇φ · ∇φ∗ +m2φφ∗ (1.22)
.Anche in questo caso l'invarianza per traslazioni conduce all'energia e all'impulso conservati:
Θµν =∂L
∂(∂µφ)∂νφ+
∂L∂(∂µφ∗)
∂νφ∗ − gµνL = (∂µφ)(∂νφ∗) + (∂µφ∗)(∂νφ)− gµν(∂µφ∗)(∂µφ)− 1
2gµνm2φ2
Pµ =
�d3x Θ0µ =
�d3x
(φφ∗ +∇φ · ∇φ∗ +m2φφ∗, φ∇φ∗ + φ∗∇φ
)=
(H ,
�d3x (π∗∇φ+ π∇φ∗)
)(1.23)
Oltre all'invarianza per rotazioni che ci da il momento angolare conservato (che non scriviamo perché non ci serviràesplicitamente nemmeno stavolta), la Lagrangiana dei campi presenta un'ulteriore invarianza, rispetto a trasformazioni difase:
φ′ = eiαφ , φ∗ ′ = e−iαφ∗ ′ , α ∈ R
L(φ, φ∗, ...) = L(φ′, φ∗ ′, ...)
Questo comporta (per il teorema di Noether) che vi sia un'ulteriore corrente, con rispettiva grandezza conservata:
jµ = −i(∂L∂π∗
φ− ∂L∂π
φ∗)
= −i(φ∗∂µφ− φ∂µφ∗)
Q =
�d3x j0(x) = −i
�d3x (πφ− π∗φ∗) = i
�d3x φ∗
←→∂0φ =
(φ, φ
)KG
(1.24)
Si noti che queste grandezze erano state già trovate nelle (1.6)(1.7) senza ricorrere al formalismo canonico, e ne erastata notata sia la conservazione, sia l'impossibilità di interpretare la Q come probabilità, in quanto evidentemente nonde�nita positiva. Questa grandezza, ci permetterà, tramite i suoi autovalori e autostati, di inserire un grado di libertàinterno che chiameremo carica, e che distinguerà le due specie di particelle.
CAPITOLO 1. BOSONI DI SPIN-0: EQUAZIONE DI KLEIN GORDON 7
Quantizzazione del campo complesso. Procediamo anche in questo caso alla quantizzazione canonica, passandoagli operatori di campo φ e φ† e utilizzando le regole di commutazione bosoniche:
[φ(x, t), π(x′, t)] = [φ†(x, t), π†(x′, t)] = iδ3(x− x′)
[φ(x, t), φ(x′, t)] = [φ†(x, t), φ†(x′, t)] = [π(x, t), π(x′, t)] = [π†(x, t), π†(x′, t)] = 0
Scriviamo lo sviluppo di Fourier di φ , osservando che in questo caso la non-hermitianità dell'operatore non ci permettedi considerare coe�cienti aggiunti fra loro, ma completamente diversi:
φ(x, t) =∑p
1√2ω
pL3
eip·xcp(t) dove∑p
=∑
px,py,pz
con px,y,z =2π
Lnx,y,z , nx,y,z ∈ N
¨cp(t) = −(|p|2 +m2) cp(t) =⇒ cp(t) = c(1)p e−iωpt + c(2)p e+iωpt con ωp =√|p|2 +m2
ap := c(1)p , b†p := c(2)p =⇒ φ(x) =∑p
1√2ω
pL3
(ape−ipµxµ + b†pe
+ipµxµ)
φ†(x) =∑p
1√2ω
pL3
(a†pe−ipµxµ + bpe
+ipµxµ)
(1.25)
Gli operatori ap, a†p, bp, b
†p obbediscono a regole di commutazione analoghe alle (1.18), ricavabili nello stesso identico
modo (vedi Appendice B.4 a pagina 25, sostituendo a†p → bp per φ e così via):
[ap, a†p′ ] = [bp, b
†p′ ] = δpp′
[ap, ap′ ] = [a†p, a†p′ ] = [bp, bp′ ] = [b†p, b
†p′ ] = 0
[ap, bp′ ] = [ap, b†p′ ] = [a†p, bp′ ] = [a†p, b
†p′ ] = 0 (1.26)
Pertanto riconosciamo due diversi sets indipendenti di operatori di creazione e annichilazione, tramite i quali possiamoesprimere l'operatore Hamiltoniano e l'operatore impulso, derivanti dall'estensione delle osservabili classiche (1.23)
[vedi Appendice C a pagina 26 e D a pagina 27, sostituendo ap → (ap + bp)/2]:
H =
�:
(π†π +∇φ · ∇φ† +m2φφ†
): d3x =
∑p
ωp(apa†p + b†pbp) ≡
∑p
ωp(n(a)p + n(b)p ) (1.27)
P =
�: (π†∇φ+ π∇φ†) : d3x =
∑p
p (apa†p + b†pbp) ≡
∑p
p (n(a)p + n(b)p ) (1.28)
La carica classicamente conservata (1.24) diventa anch'essa un operatore esprimibile in termini di operatori di creazionee annichilazione. Anche in questo caso adoperiamo la prescrizione di ordinamento normale per eliminare una carica in�nitae non osservabile:
Q = −i�
: (πφ− π∗φ∗) : d3x =1
2:∑p
(a†pap + apa
†p − b†pbp − bpb†p
): =
∑p
(a†pap − b†pbp) =∑p
(n(a)p − n(b)p ) (1.29)
Si può veri�care inoltre che la carica rimane una quantità conservata anche nella teoria quantistica; infatti inserendo leespressioni (1.27) e (1.29) nell'equazione del moto di Heisenberg si ha facilmente (vedi Appendice A.2 a pagina 24):
˙Q = −i[Q, H] = 0
E' evidente a questo punto che la teoria con il campo complesso descrive due tipi indipendenti di particelle a e b ,aventi la stessa massa m, ma che contribuiscono alla carica totale del sistema con segni opposti. Quest'ultima, comeenergia e impulso, è una quantità quantizzata: può infatti assumere valori discreti, solo in corrispondenza della di�erenzanel numero di particelle dei due tipi.
Finché consideriamo soltanto particelle libere, escludendo ogni interazione fra loro, il senso di tale legge di conser-
vazione resta soltanto convenzionale: si conserva in realtà non solo la somma, ma anche ognuno dei numeri n(a)p e n
(b)p
separatamente. Il problema della conservazione della carica in un'interazione dipende dal carattere dell'interazione. Se Qsi conserva, cioè se Q commuta con l'hamiltoniana di interazione, allora la (1.29) mostra quale limitazione questa legge
CAPITOLO 1. BOSONI DI SPIN-0: EQUAZIONE DI KLEIN GORDON 8
impone sulle possibili variazioni del numero di particelle: si possono creare e distruggere solo coppie di particelle con caricaopposta. Chiamiamo convenzionalmente ciascun elemento della coppia particella e antiparticella.
Nel caso in cui le particelle in esame siano elettricamente cariche, Q determina la carica totale del sistema (misuratain unità di carica elementare e). Tuttavia vi sono particelle strettamente neutre, che non possiedono antiparticelle, e sonoquelle descritte dal campo scalare della sezione precedente. Questo non signi�ca che tutte le particelle elettricamenteneutre sono strettamente neutre, infatti alcune particelle non possiedono carica elettrica ma hanno una corrispondenteantiparticella. Questo accade perché la nozione di carica non è ristretta alla sola carica elettrica: altri tipi di carica possonoconservarsi come conseguenza di simmetrie interne della lagrangiana.
Possiamo quindi costruire lo spazio di Fock, a partire dallo stato di vuoto, de�nito come quello stato che non contienené particelle di tipo a nè b:
ap|0〉 = bp|0〉 = 0 , ∀p
Lo stato generale è caratterizzato da due set di numeri quantici di occupazione {n(a)i } e {n(b)i }. Ciascun numero n
(a),(b)i
indica quante particelle si trovano in un'autostato dell'operatore hamiltoniano (1.27) e dell'operatore impulso (1.28), cioèquante particelle libere hanno impulso p, energia ωp . Il numero di questi possibili stati è in�nito. Sugli stati così
de�niti agiscono gli operatori di creazione e distruzione: sia a†p che b†p creano una particella di energia ωp e impulso p,
l'applicazione di a†p accresce di un'unità la carica dello stato, l'applicazione di b†p la riduce di un'unità:
|α〉 = |n1, n2, ...; m1,m2, ...〉 =1√
n1!n2! · · ·m1!m2! · · ·
(a†p1
)n1(a†p2
)n2
· · ·(b†p1
)m1(b†p2
)m2
|0〉
Qα =∑pi
(n(a)i − n
(b)i
)= n1 −m1 + n2 −m2 + ...
Eα =
(ωp1n1 + ωp2n2 + ...+ ωp1m1 + ωp2m2 + ...
)=∑pi
ωpi
(n(a)i + n
(b)i
)
P = n1p1 + n2p2 + ...+m1p1 +m2p2 + ... =∑pi
p
(n(a)i + n
(b)i
)
L'applicazione degli operatori di campo φ e φ† ha anch'essa l'e�etto di creare e distruggere particelle, poiché neirispettivi sviluppi (1.25) sono contenuti gli operatori di creazione e annichilazione: se convenzionalmente φ distrugge una
particella e crea un'antiparticella, φ† fa il contrario. Si può quindi vedere (vedi Appendice A.2 a pagina 24) che se |α〉 èun autostato dell'operatore di carica Q con autovalore q (diremo che ha carica q), l'applicazione di φ† o φ da:
Qφ†|α〉 = (q + 1)φ†|α〉
Qφ|α〉 = (q − 1)φ|α〉
Cioè l'operatore di campo aggiunto accresce di un'unità la carica dello stato, l'operatore di campo la diminuisce diun'unità.
Capitolo 2
Fermioni di spin 12: Equazione di Dirac
[Wikipedia Eng, Greiner WE p.75, Dispense Piccardi p.34, Greiner FQ p.117]
L'equazione di Klein Gordon non può essere interpretata come estensione relativistica dell'equazione di Schroedinger, comesi è visto, in primo luogo perché descrive soltanto particelle di spin 0, in secondo luogo perché non conduce a una densità diprobabilità ρ de�nita positiva. Inoltre la funzione d'onda non contiene tutta l'informazione sullo stato del sistema, essendol'equazione KG del secondo ordine nelle derivate temporali. Nell'interpretazione di campo quantizzato, si è trovato chel'equazione di KG descrive bene i bosoni di spin 0, e si è interpretata Q =
�ρdx come la carica totale del sistema.
Quando Dirac lavorò alla sua equazione, però, si era già scartata quella di KG, e l'idea di fondo era trovare un'estensionerelativistica dell'equazione di Schroedinger. Come si vedrà questa risulterà perfetta per descrivere nella teoria di campoquantizzato i fermioni di spin 1/2.
L'idea di fondo. Il tentativo di Dirac prende le mosse dall'equazione di Klein Gordon, e consiste nel renderla innanzi-tutto al primo ordine. Cercò quindi di scrivere la radice quadrata dell'operatore d'alambertiano:
� = ∂2t − ∂2x − ∂2y − ∂2z =
[i(Ax∂x +Ay∂y +Az∂z) +B∂t
][i(Ax∂x +Ay∂y +Az∂z) +B∂t
](2.1)
= −A2x∂
2x −A2
y∂2y −A2
z∂2z +B2∂2t +
3∑i=1
AiAj∂i∂j
A�nché quindi la (2.1) sia consistente deve essere:
AiAj +AjAi = 0 , A2i = 1 , B2 = 1 (2.2)
L'intuizione di Dirac fu quella di capire che questi coe�cienti dovessero essere delle matrici quadrate, analoghe a quelleche Pauli aveva usato per far agire gli operatori nello spazio dello spin. Cercando quindi l'equazione lineare al prim'ordinecome: [
i(Ax∂x +Ay∂y +Az∂z) +B∂t
]ψ = Cψ
e applicando due volte l'operatore a sinistra, si riottiene l'equazione di KG a patto che C = mc2/}2. Ponendo Ai = αiβe D = iβ si trova l'espressione più comune dell'equazione di Dirac, scritta nella (2.3).
La funzione d'onda risulta avere in questa teoria più componenti. Occorre trovare la dimensione e l'espressione dellematrici che appaiono (matrici di Dirac) e soddisfano le (2.2), e questo condurrà a delle sorpresone.
2.1 L'equazione di Dirac
Consci della costruzione di Dirac scriviamoci la sua equazione nella forma:
i}∂ψ
∂t=
[− i}c
∑i
αi∂i + βmc2]ψ =
[− i}c α · ∇+ βmc2
]ψ ≡ Hfψ (2.3)
dove i coe�cienti αi, β sono indicati con il segno di operatore per ricordare che sono matrici quadrate N ×N . Quindiψ non può essere un semplice scalare ma sarà uno spinore a N componenti e se ne può costruire una densità de�nitapositiva:
9
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 10
ψ =
ψ1(x)ψ2(x)
...ψN (x)
, ρ(x) = ψ†ψ = (ψ∗1 , ..., ψ∗N )
ψ1
ψ2
...ψN
=
N∑i=1
ψ∗i (x) ψi(x) (2.4)
L'equazione (2.3) rappresenta quindi un sistema di N equazioni di�erenziali accoppiate del primo ordine per le com-ponenti spinoriali ψi. A questo punto richiediamo che l'equazione soddis� tutte le richieste a�nché descriva una particellarelativistica quantistica:
� [KG] La corretta relazione di dispersione energia-impulso per una particella relativistica E2 = |p|c2 + m2c2, cioèche la (2.3) iterata soddis� l'equazione di Klein-Gordon (}2∂2t − }2c2∇2 +m2c4)ψ = 0;
� [Pr] L'equazione di continuità per la (2.4), a�nché possa essere interpretato�ρ(x) d3x come densità di probabilità;
� [Cov] La covarianza relativistica (di Lorentz) della forma dell'equazione (2.3)
[KG] � A�nché la (2.3) soddis� l'equazione di Klein Gordon, applichiamo due volte l'operatore Hf a ψ:
−}2∂2t ψ =
[− i}c
∑i
αi∂i + βmc2][− i}c
∑j
αj∂j + βmc2]ψ
= −}2c23∑ij
αiαj∂i∂j ψ − i}mc33∑i=1
(αiβ + βαi)∂i ψ + β2m2c4ψ
Per il teorema di Schwartz si ha che ∂i∂jψ = ∂j∂iψ, scomponendo in parte simmetrica e antisimmetrica il prodotto
αiαj =1
2(αiαj + αjαi) +
1
2(αiαj − αjαi) =⇒ αiαj∂i∂j =
1
2(αiαj + αjαi)∂i∂j
Quindi possiamo imporre che:
−}2∂2t ψ = −}2c23∑ij
αiαj + αjαi2
∂i∂jψ − i}mc33∑i=1
(αiβ + βαi)∂i ψ + β2m2c4ψKG!= −}2c2∇2ψ +m2c4ψ
da cui si ricavano le relazioni cui devono sottostare le matrici di Dirac:
αiαj + αjαi = 2δij1 , αiβ + βαi = 0 , β2 = α2i = 1 (2.5)
che de�nendo β := α0 possono essere scritte più semplicemente come:
{αµ, αν} = 2δij1 (2.6)
[Pr] � Scrivendo la coniugata della (2.3) e moltiplicandola per ψ a destra e sottraendole la (2.3) moltiplicata per ψ† asinistra, si ottiene:
i}(ψ†∂tψ + ∂tψ
†ψ
)= −i}c
(ψ†αi∂iψ + ∂iψ
†α†iψ
)+mc2
(ψ†β†ψ − ψ†βψ
)(2.7)
nella quale il primo membro è proprio ∂ρ/∂t e resta da imporre che il secondo membro sia e�ettivamente una divergenza;
da questo si ottiene subito che deve essere β† = β per eliminare l'ultimo addendo che, non contenendo derivate non puòcomunque ridursi ad una divergenza; inoltre il primo termine
ψ†αi∂iψ + ∂iψ†α†iψ = ∂i(ψ
†αiψ) ⇐⇒ α†i = αi
Quindi la (2.7) si riscrive come un'equazione di continuità sotto le condizioni di hermitianità delle matrici di Dirac
∂ρ
∂t+∇ · (cψ†αψ) = 0 ⇒
�ρ d3x = i}
�ψ†ψ d3x = cost. (2.8)
α†i = αi , β† = β
che tra l'altro potevano ottenersi semplicemente imponendo l'hermitianità dell'operatore Hf .
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 11
Proprietà delle matrici di Dirac
Oltre all'hermitianità, valgono per le matrici di Dirac le relazioni (2.6) che riscriviamo:
{αµ, αν} = 2δij1 ⇒ αµαν + αν αµ = 2δµν1 , α2µ = 1 (2.9)
ci dicono che le matrici quadrate αµ = (αi, β) e l'identità 1 formano un'algebra che è chiamata algebra di Dirac 1.Possono essere determinare le proprietà di queste matrici:
� hanno traccia nulla; infatti dalla (2.9) con ν 6= µ e usando l'identità Tr(ABC) = Tr(CAB) = Tr(BCA):
αµαν + αν αµ = 0 ⇒ αµ = −αν αµαν
Tr(αµ) = −Tr(−αν αµαν) = −Tr(α2ν αµ) = −Tr(αµ) ⇒ Tr(αµ) = 0
� N = 4. Innanzitutto N deve essere pari, poiché dalla (2.9) per i 6= j:
αµαν = −αν αµ = (−1)αν αµ
det(αµ) det(αν) = det(−1) det(αν) det(αµ) = (−1)N det(αν) det(αµ)
e poiché α2ν = 1 ⇒ det(αν) 6= 0 ⇒ N pari. A questo punto si tratta di trovare per quale N esistono le matrici
di Dirac. Il primo tentativo si può fare per N = 2; in questo caso matrici idempotenti che commutano tra loro sonole matrici σ di Pauli:
σx ≡(
0 11 0
)σy ≡
(0 −ii 0
)σz ≡
(1 00 −1
)e queste sono a traccia nulla ed hermitiane, però si può dimostrare che queste più l'unità formano una base per lematrici 2× 2, cioè data una matrice 2× 2 qualsiasi A , essa può essere scomposta univocamente come:
A = a01 +
3∑i=1
aiσi = a01 + a · σ
se si cerca quindi un'altra matrice σ0 che anticommuti con tutte le σ e ne sia indipendente, otteniamo che deve avereun a0 non nullo, ed allora non può anticommutare perché l'identità non potrà soddisfare mai σ01 = −1σ0 . Quindicon N = 2 non esistono matrici di Dirac, o meglio non esiste una rappresentazione dell'algebra di Dirac. Con N = 4è possibile trovare questa rappresentazione, in particolare si può veri�care (vedi Greiner WE p.79) che le
αi =
(0 σiσi 0
)β =
(1 00 −1
)(2.10)
soddisfano le proprietà (2.9). Evidentemente l'espressione (2.10) non è l'unica possibile. Si può mostrare che unaqualunque trasformazione unitaria S di matrici che soddisfano le (2.9) è ancora una rappresentazione valida, infatti:
α′µα′ν + α′ν α
′µ = Sα′µS
−1Sα′νS−1 + Sα′νS
−1Sα′µS−1 = S(αµαν + αν αµ)S−1 = 2δijSS
−1 = 2δij1
(α′µ)† = (SαµS−1)† = (S−1)†(αµ)†S† = (S−1)†αµS
† = SαµS−1 = α′µ
La condizione di unitarietà di S è necessaria a�nché continui a conservarsi ρ, se S non fosse unitaria l'equazione diDirac rimarrebbe invariata ma ρ non si conserverebbe.
� Trovata la rappresentazione dell'algebra di Dirac per N = 4 , sorge spontaneo il dubbio che ci possano essere altrerappresentazioni signi�cative con N > 4. Si può dimostrare che ci sono rappresentazioni di quest'algebra per ognimultiplo di 4, ma che esse non hanno alcun signi�cato �sico ulteriore, poiché danno luogo ad equazioni disaccoppiateche si riducono a quella con N = 4.
1L'algebra di Dirac è in particolare un'Algebra di Cli�ord, cioè un'algebra C`(V,Q) dotata di identità,associativa che contiene ed è generatada uno spazio vettoriale V dotato di una forma quadratica Q con forma bilineare associata 〈·, ·〉, tale che: uv + vu = 2〈u, v〉 ∀u, v ∈ V
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 12
[Cov] � Covarianza dell'equazione di Dirac
Al �ne di mostrare l'invarianza della forma dell'equazione (2.3) sotto trasformazioni di Lorentz, riscriviamo quest'ultima
in una forma più esplicitamente simmetrica nello spazio e nel tempo, moltiplicando a sinistra per β/c , de�nendo dellenuove matrici e la notazione slash di Feynman:
i}c
(β∂tψ + cβαi∂iψ
)−mcψ = 0
γ0 := β , γi := βαi , /A = γµAµ = γ0A0 − γi (2.11)
[i}(γ0
∂
∂(ct)+ γi∂i
)−mc
]ψ =
(i}γµ∂µ −mc
)ψ = (i}/∂ −mc)ψ = 0 ⇒ /p = mc
Le proprietà delle γµ si ricavano dalla loro de�nizione in termini delle matrici di Dirac de�nite in precedenza e dalleloro proprietà (vedi Appendice F.1 a pagina 29):
{γµ, γν} = 2gµν1 (2.12)
(γµ)† = γ0γµγ0 , (γi)† = −γi , γ0 = (γ0)† (2.13)
γµ = S−1γµS è ancora rappresentazione se SS† = SS−1 = 1
Esistono in�nite rappresentazioni oltre a quelle de�nite dalle (2.10). In questo caso si può anche dimostrare chequalsiasi rappresentazione può essere ottenuta dalla rappresentazione di Dirac tramite una trasformazione unitaria.
Prova della covarianza A questo punto bisogna mostrare che se ψ(x) è lo spinore che descrive una particella in un certosistema di riferimento inerziale O, in un qualsiasi altro sistema di riferimento inerziale O′ si può trovare, con un'opportunalegge di trasformazione, uno spinore ψ′(x′) che dia gli stessi risultati �sici di ψ(x). Quest'ultima richiesta, dettata dalprincipio di relatività, che statuisce che le equazioni base della �sica sono le stesse in ogni sistema di riferimento inerziale,comporta che ψ′(x′) sia soluzione dell'equazione di Dirac:(
i}γµ∂
∂x′µ−mc
)ψ′(x′) = 0
inoltre le γµ devono soddisfare ancora le regole di anticommutazione e le proprietà (2.12), (2.13). Poiché però abbiamomostrato che tutte le matrici γµ che soddisfano le suddette refole sono identiche a meno di una trasformazione unitaria;poiché quest'ultima non modi�ca la �sica del problema, senza perdita di generalità usiamo le stesse γµ in entrambi isistemi di riferimento. Quindi: (
i}γµ∂
∂x′µ−mc
)ψ′(x′) = 0
Costruiamo adesso esplicitamente la trasformazione tra ψ′(x′) e ψ(x). Questa deve essere lineare, poiché sia l'equazionedi Dirac che le Trasformazioni di Lorentz sono lineari nelle coordinate spazio-temporali. Si avrà quindi 2
x′ν = Λνµxµ e ψ′(x′) = S(Λ) ψ(x) (2.14)
dove (Λ)νµ è la matrice della trasformazione di Lorentz e S è una matrice funzione dei parametri di Lorentz che operasulle quattro componenti spinoriali della ψ(x).
Possiamo mostrare alcune proprietà della S: innanzitutto la dipendenza di S da Λ deve rispettare la regola di compo-sizione delle trasformazioni di Lorentz prossime all'identità, deve cioè rispettare la struttura del gruppo di Lorentz proprioS(Λ1Λ2) = S(Λ1)S(Λ2). Inoltre:
ψ(x) = S−1(Λ)ψ′(x′) = S−1(Λ)ψ′(Λx)!= S(Λ−1)ψ′(x′) = S(Λ−1)ψ′(Λx) (2.15)
=⇒ S(Λ−1) = S−1(Λ)
Scrivendo adesso l'equazione di Dirac nel sistema di riferimento O, usando la (2.15):
2Si usa la seguente notazione: l'indice di destra è un indice di colonna, l'indice di sinistra un indice di riga. Dove l'ordine nei prodotti èambiguo si ricordi che si moltiplica sempre riga (con indice che scorre la colonna) per colonna (con indice che scorre la riga), quindi indice didestra per indice di sinistra.
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 13
(i}γµ
∂
∂xµ−mcS−1(Λ)
)S−1(Λ)ψ′(x′) = 0
moltiplicando a sinistra per S(Λ) e poiché
∂
∂xµ=∂x′ν
∂xµ∂
∂x′ν= Λνµ
∂
∂x′ν(i} S(Λ)γµΛνµ
∂
∂x′ν−mc
)S−1(Λ)ψ′(x′) = 0
imponendo l'equivalenza con la forma dell'equazione di Dirac, deve essere:
S(Λ)γµΛνµS−1(Λ) = γν ⇒ Λνµγ
µ = S−1(Λ)γνS(Λ) (2.16)
⇒ S(Λ)γαS−1(Λ)ΛβαΛ νβ = Λ ν
β γβ ⇒ S(Λ)γνS−1(Λ) = Λ ν
β γβ
Questa è l'equazione fondamentale che va risolta per trovare l'operatore di trasformazione S; la (2.16) può inoltreessere usata per una de�nizione rigorosa: si dirà che una funzione d'onda è uno spinore di Lorentz a quattro componenti( o bispinore) se trasforma in accordo con la (2.14) e con la condizione (2.16). Il problema della covarianza si è ridottoquindi a mostrare che esiste e trovare una soluzione della (2.16).
Trasformazioni in�nitesime Restringiamoci a trasformazioni di Lorentz in�nitesime 3:
Λµν = δµν + ∆ωµν con ∆ωµν = −∆ωνµ (2.17)
Adesso espandiamo S(Λ) = S(∆ωµν) in serie di potenze e trascuriamo tutto tranne i termini lineari in ∆ωµν (ride�niticon un fattore conveniente):
S(∆ωµν) = 1− i
4σµν∆ωµν e S−1(∆ωµν) = 1 +
i
4σµν∆ωµν (2.18)
e sostituiamo la (2.17) e la (2.18) nella (2.16):
Λ νµ γ
µ = γµ + ∆ω νµ γ
µ != SγS−1 =
(1− i
4σαβ∆ωαβ
)γν(1 +
i
4σαβ∆ωαβ
)
γµ + ∆ω νµ γ
µ = γν − i
4σαβ∆ωαβγν +
i
4γν σαβ∆ωαβ +
1
16
(σαβ∆ωαβ
)2
i
4∆ωαβ
(γµσαβ − σαβγµ
)= ∆ω ν
µ γµ = ∆ω σ
µ gνσγ
µ = ∆ωµσgνσγµ =1
2∆ωµσ(gνσγµ − gνµγσ)
[σαβ , γµ] = −2i
(gµαγβ − g
µβγα
)(2.19)
Il problema della covarianza è stato ridotto in�ne a trovare le sei matrici σαβ . Poiché devono essere antisimmetriche inentrambi gli indici, è naturale provare un prodotto antisimmetrico delle matrici γµ. Si può veri�care (vedi Appendice F.2a pagina 30) che questo soddisfa la (2.19):
σαβ =i
2[γα, γβ ] (2.20)
Abbiamo perciò risolto il problema per trasformazioni in�nitesime, ricavando l'operatore che trasforma la ψ da unsistema di riferimento all'altro:
S(Λ) = 1− i
4∆ωµν σ
µν = 1 +1
8[γµ, γν ]∆ωµν
Una volta risolto per trasformazioni in�nitesime, il problema si può risolvere in generale con un processo di iterazione:nel caso di ωµν �niti (angoli covarianti), si può dividere ciascun parametro per N e applicare la trasformazione N volte,poi passare al limite per N in�nito, ricadendo nel caso di parametri in�nitesimi, per il quale la forma della trasformazioneè stata ricavata (vedi Greiner WE p.111), ottenendo:
3L'antisimmetria ∆ωµν = −∆ωνµ si può ottenere scrivendo ΛΛT = 1 cioè ΛµνΛ λµ = δλν e trascurando i termini di ordine ∆ω2. A causa
dell'antisimmetria, vi sono soltanto 6 parametri ∆ωµν non nulli che generano le rotazioni spaziali attorno ai tre assi [∆ωij ] e i boost lungoquesti stessi assi [∆ω0i].
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 14
S(Λ) = limN→∞
(1− i
4
ωµν
N
)N= e−
i4 σµνω
µν
Con questo si è dimostrata la covarianza dell'equazione di Dirac e trovata la legge di trasformazione per gli spinoriψ(x), anche se limitatamente alle trasformazioni di Lorentz Proprie, poiché il procedimento di iterazione esseguito portasolo alle trasformazioni connesse con l'identità.
Proprietà delle trasformazioni di spinori Si possono dimostrare alcune proprietà notevoli delle trasformazioniappena ricavate. Tra queste (vedi Appendice F.2 a pagina 30):
(σij)† = σij (σ0i)† = −σ0i
cioè i generatori delle rotazioni tridimensionali sono hermitiani, mentre quelli dei boost sono antihermitiani.Per le trasformazioni si avrà quindi:
S†R =
(e−
i4 σijω
ij
)†= e+
i4 σ
†ijω
ij
= e+i4 σijω
ij
= S−1R , S†B =
(e−
i4 σ0jω
0j
)†= e+
i4 σ
†0jω
0j
= e−i4 σ0jω
0j
= SB
cioè una trasformazione unitaria per le rotazioni spaziali, e una hermitiana per i boost di Lorentz. Si può poi mostrare(vedi Appendice F.2 a pagina 30) che valgono le proprietà:
(σµν)† = γ0σµνγ0 e S−1 = γ0S†γ0 (2.21)
Si noti a questo punto che in generale la grandezza ψψ† non è un invariante di Lorentz, perché la S in generale non èunitaria! Usando l'ultima delle (2.21), si può de�nire un'invariante:
ψψ con ψ := ψ†γ0 = (ψ∗)T γ0
ψ′ = (ψ′)†γ0 = ψ†S†γ0 = ψ†γ0S−1γ0γ0 = ψS−1 =⇒ (ψψ)′(x′) = ψ(x)S−1Sψ(x) = (ψψ)(x) (2.22)
Quadricorrente Veri�chiamo adesso che la quadricorrente che rimane de�nita nell'equazione di continuità (2.8)
jµ = (cρ, j) = (cψ†ψ, ψ†αiψ) = (cψ†γ0γ0ψ, ψ†γ0γiψ) = cψγµψ (2.23)
trasformi appunto come un quadrivettore; usando la (2.22), la (2.21) e la (2.16):
j′µ(x′) = cψ′(x′)γµψ′(x′) = cψ(x)S−1γµSψ(x) = cψ(x)Λµνγνψ(x) = Λµνj
ν (2.24)
Bilineari covarianti In generale lo spazio delle matrici 4×4 ammette una base di 16 matrici indipendenti; evidentementele γµ non coprono tutto lo spazio, e si può mostrare che non lo fa nemmeno l'algebra di Dirac, da esse derivata. Si possonocomunque costruire con le γµ 16 matrici indipendenti che hanno proprietà di trasformazione ben de�nite e costituiscono unabase: poiché il prodotto simmetrico di due matrici γµ è ±1, possiamo limitarci a considerare i prodotti antisimmetrizzatinegli indici di Lorentz. Si trovano così:
ΓS = 1 , ΓµV = γµ , ΓµνT = σµν
ΓP = γ5 = γ5 := iγ0γ1γ2γ3 , ΓµA = γµγ5
Le matrici ΓX , dove indica come trasformano (Scalare, Vettore, Tensore, Pseudovettore, Assiale o Pseudovettore),vengono dette covarianti di Dirac , poiché le forme bilineari negli spinori ψΓXψ sono grandezze covarianti. Sfruttando leleggi di trasformazione delle ΓX (vedi Appendice F.3 a pagina 31):
ψ′ΓSψ′ = ψ′ψ′ = ψΓSψ , ψ′ΓµV ψ
′ = ψ′γµψ′ = Λµν
(ψΓνSψ
), ψ′ΓµAψ
′ = ψ′γ5γµψ′ = (det Λ)Λµν
(ψΓνAψ
)
ψ′ΓµνT ψ′ = ψ′σµνψ′ = ΛµαΛνβ
(ψΓαβT ψ
), ψ′ΓPψ
′ = ψ′γ5ψ′ = (det Λ)
(ψΓPψ
)Le grandezze ψΓXψ , avendo proprietà di trasformazioni ben de�nite sotto trasformazioni di Lorenza, svolgono un ruolo
molto importante: sono infatti gli ingredienti base con cui costruire le grandezze osservabili e la densità di Lagrangianainvarianti.
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 15
2.2 Soluzioni di particella libera
Risolviamo adesso l'equazione (2.3):
i}∂ψ
∂t=
[c α · p + βmc2
]ψ (2.25)
utilizzando il metodo delle trasformate di Fourier, che permettono di trasformare l'equazione di�erenziale in un'equa-zione algebrica; pertanto si cercano le soluzioni in forma di onde piane, cioè con impulso ed energia de�nite, separando ladipendenza dalle coordinate e quella dal tempo:
ψ(x) = u(p) e−ipµxµ/} = u(p) e−i(Et−p·x) (2.26)
dove u(p) è uno spinore costante nel tempo. Con questa de�nizione si può mostrare che pµ viene ad assumere ilsigni�cato di quadrimpulso della particella descritta dalla (2.25); dall'equazione di Klein-Gordon, sostituendovi lo spinore(2.26):
(∂µ∂µ +m2c2)u(p)e−ipµx
µ/} = −p2 +m2 = −E2 + |p|2 +m2c2 = 0
Pµψ(x) = i}∂µ(e−ipµx
µ/}u(p)
)= pµ
(e−ipµx
µ/}u(p)
)= pµψ(x)
Scrivendo adesso la (2.26) come:
ψ(x) = ψ(x) e−iEt/} cioè ψ(x) ≡ u(p) eip·x
l'equazione (2.25) diventa: Eψ(x) = Hfψ(x). Scrivendo l'equazione nella rappresentazione di Dirac con lo spinore ψnella notazione:
ψ(x) =
(ϕχ
)=
ψ1
ψ2
ψ3
ψ4
=⇒ E
(ϕχ
)= c
(0 σσ 0
)· p(ϕχ
)+mc2
(1 00 −1
)(ϕχ
)
{Eϕ = cσ · pχ+mc2ϕ
Eχ = cσ · pϕ−mc2χ=⇒
{(E −mc2) ϕ0(p)− cσ · pχ0 = 0
(E +mc2) χ0(p)− cσ · pϕ0 = 0=⇒ χ0 =
cσ · pmc2 + E
ϕ0 , ϕ0 =cσ · p
E −mc2χ0
∣∣∣∣ (E −mc2)1 −cσ · p−cσ · p (E +mc2)1
∣∣∣∣ = 0 =⇒ (E2 −m2c4)1− c2(σ · p)(σ · p) = 0 =⇒ E2 = m2c4 + c2|p|2
E = ±Ep , Ep = +c√|p|2 +m2c2 (2.27)
dove si è usato che (σ · A)(σ · B) = A ·B1 + iσ · (A × B). Abbiamo trovato due autovalori e quindi due classi disoluzioni: una a energia positiva e l'altra a energia negativa. La (2.27) ci dice che per ogni valore di E solo due dellequattro equazioni del sistema nelle componenti spinoriali sono indipendenti; quindi possiamo �ssare arbitrariamente ilvalore di due componenti (in modo però che siano indipendenti) e determinare tramite il sistema le altre due. Una basedi soluzioni si otterrà quindi scegliendo oculatamente:
E > 0
ϕ =
(1
0
)=⇒ u
(+)1 (p) =
1
0cσ·p
mc2+Ep
0
ϕ =
(0
1
)=⇒ u
(+)2 (p) =
0
1
0cσ·p
mc2+Ep
; E < 0
χ =
(1
0
)=⇒ u
(−)1 (p) =
− cσ·pEp−mc2
0
1
0
χ =
(0
1
)=⇒ u
(−)2 (p) =
0
− cσ·pEp−mc2
0
1
u(−)r (p) =
(− cσ·pEp−mc2 χr
χr
), u(+)
r (p) =
(χr
+ cσ·pEp+mc2
χr
)con χr =
(10
),
(01
)
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 16
Queste sono gli spinori costanti u(p) che appaiono nella (2.26), dove la dipendenza da pµ è discreta in p0 (±) e continuain pi (dipendenza da p). A questo punto dobbiamo fare una precisazione: gli spinori della forma (2.26) sono autostatidell'operatore quadrimpulso con autovalore pµ; questo però crea subito dei problemi: poiché vi sono soluzioni a energianegativa (p0 < 0) bisogna ride�nire le soluzioni dell'equazione di Dirac appena trovate a�nché pµ continui ad avere ilsigni�cato di quadrimpulso della particella. Si vedrà in seguito che in realtà gli stati a energia negativa hanno un signi�cato�sico molto particolare e pµ con p0 < 0 può essere considerato il quadrimpulso di una antiparticella. Intanto de�niamoperò:
v1(p) := u(−)2 (−p) , v2(p) := −u(−)1 (−p) , ur(p) := u(+)
r (p) (2.28)
In questo modo lo spinore ψ diventa:
ψ(+)p (x) = Np ur(p) e−i(Ept−p·x)/} (2.29)
ψ(−)p (x) = u2,1(−p) e−i(−Ept−(−p)·x)/} = Np v1,2(p) e+i(Ept−p·x)/}
e le (2.28) soddisfano le equazioni di Dirac:
(/p−m)ur(p) = 0 , (/p+m)vr(p) = 0 (2.30)
Il fattore di normalizzazione N si può ottenere imponendo che sia:
�dx ψ†p(x)ψp(x) = 1 ⇒ u†r(p)ur(p) = u†r(p)ur(p) = 1/N2
dove le (2.29) sono soluzione della (2.25). Si trova (vedi Appendice G.1 a pagina 32):
Np =
√mc2 + Ep
2Ep(2.31)
Con questa normalizzazione le relazioni di ortonormalità per i quadrispinori si scrivono (vedi Appendice ***):
u†r(p)us(p) = v†r(p)vs(p) = δrs , u†r(p)vs(−p) =
(u(+)r (p)
)†u(−)s (p) = 0
ur(p)us(p) = −vr(p)vs(p) = δrs , ur(p)vs(p) = vr(p)us(p) = 0
Proiettori su stati a quadri-impulso de�nito Al �ne di poter esprimere una soluzione generale dell'equazione diDirac come sovrapposizione di autostati del quadrimpulso, de�niamo i proiettori su questi ultimi. In analogia al proiettorein meccanica quantistica classica:
Λ+(p) = |ψ(+)p 〉〈ψ(+)
p | =2∑r=1
ur(p)ur(p) , Λ−(p) = |ψ(−)p 〉〈ψ(−)
p | = −2∑r=1
vr(p)vr(p) (2.32)
dove tutti i prodotti sono intesi come prodotti tensoriali (colonna per riga)
uu = u⊗ u =
(ϕ0
χ0
)⊗ (ϕ0 χ0) =
(ϕ0ϕ0 ϕ0χ0
χ0ϕ0 χ0χ0
)Con diversi passaggi (vedi Piccardi p.65) si può ottenere:(
Λ+(p)
)αβ =
(/p+mc
2mc
)αβ
,
(Λ−(p)
)αβ = −
(/p−mc
2mc
)αβ
dalle quali si veri�cano facilmente (vedi Piccardi p.67) le proprietà di proiettore:
Λ2±(p) = Λ±(p) , Λ+(p)Λ−(p) = Λ−(p)Λ+(p) = 0 , Λ+(p) + Λ−(p) = 1 , TrΛ±(p) = 2
La terza di queste proprietà implica direttamente la relazione di completezza per l'insieme delle soluzioni:∑r
(ur(p)ur(p)− vr(p)vr(p)
)= 1 o meglio
∑r
((ur)α(ur)β − (vr)α(vr)β
)= δαβ
grazie alla quale la generica soluzione (anche non di particella libera) può essere scritta come sovrapposizione:
ψ(x) =
�dp∑r
[ar(p)ur(p)e−ipx + b∗r(p)vr(p)e+ipx
](2.33)
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 17
2.3 Teoria del mare di Dirac: Particelle e Antiparticelle
L'interpretazione dell'equazione di Dirac (2.3) come equazione d'onda per una singola particelle, conduce a diverseinconsistenze:
� Si può mostrare che l'interpretazione di singola particella descritta dal quadrispinore ψ(x), conduce al risultatoparadossale, mostrato da Breit, che il valore assoluto della velocità di una particella relativistica di spin 1/2 è sempreuguale alla velocità della luce. (vedi Greiner WE p.91)
� L'esistenza di soluzioni ad energia negatica è un enorme problema. Infatti se pure in meccanica relativistica classicasi avevano le due radici E = ±
√c2p2 +m2c4, quella negativa si poteva sempre scartare poiché una particella che
avesse energia positiva avrebbe comunque mantenuto da ferma un'energia positiva e pari a mc2. Non potendosaltare il gap energetico tra mc2 e −mc2. In meccanica quantistica però le variazioni di energia possono essere saltidiscontinui, e una particella per il Principio di Minima Azione tende sempre a transire verso stati a energia inferiore.Quello che accadrebbe con l'interpretazione di singola particella, è che il fermione salterebbe immediatamente aglistati ad energia negativa, e non solo non si potrebbero eliminare questi stati, ma tutte le particelle dovrebberodecadere attraverso di essi verso un'energia E = −∞. Questo fenomeno se applicato al caso di un elettrone inun atomo (vedi Figura 2.3) prende il nome di catastrofe radiativa. L'elettrone nello stato legato (1s) con energiaE < mc2, potrebbere emettere radiazione all'in�nito continuando a transire verso energie negative. Questa instabilitàè ovviamente un paradosso, visto che gli stati atomici legati sono stazionari, e questo permette alla materia di esisterecome la vediamo.
Figura 2.1: Catastrofe radiativa, ipotesi del mare di Dirac, creazione di una coppia e+e−
Soluzione La soluzione fu proposta da Dirac nel 1930, e prende il nome di idea del mare di Dirac. Secondo quest'ipotesiin natura tutti gli stati ad energia negativa sono occupati: il vuoto non è più tale, ma corrisponderebbe alla presenza di(un mare di) particelle in questi stati. Un elettrone, per il principio di esclusione di Pauli, non potrebbe mai cadere in undi essi, e questo restituisce alla teoria la stabilità degli stati ad energia positiva.
Questa soluzione ha conseguenze importantissime. Ad esempio un elettrone ad energia negativa può assorbire radiazioneed essere eccitato in uno stato ad energia positiva. In questo caso si formerà una coppia: un elettrone di carica −e inuno stato a energia E > 0, e un buco (lacuna) nel mare ad energia negativa −E < 0, che si comporta sotto l'azione delcampo elettromagnetico come una particella di carica +e ad energia E > 0. La lacuna è a tutti gli e�etti una particellaprevista dalla teoria (positrone) e questo fenomeno viene detto creazione di coppie elettrone-positrone. Analogamente,in presenza di un positrone, un elettrone di energia positiva può decadere in esso, rilasciando radiazione e creando unostato nel quale non vi è più né lacuna né elettrone, ma solo la radiazione emessa dal fenomeno; questo è il fenomeno diannichilazione di coppie.
A questo punto, quindi, occorre abbandonare l'interpretazione dell'equazione di Dirac come equazione d'onda, poiché lateoria predice l'esistenza di in�nite particelle in qualsiasi stato �sico. Inoltre la non conservazione del numero di particellesuggerisce che anche in questo caso la soluzione de�nitiva e l'interpretazione �sica corretta si possa ottenere solo mediantel'applicazione del metodo di seconda quantizzazione passando al formalismo dei campi. Si vedrà che questo permetterà diinterpretare la quantità conservata j0 = cψψ come densità di carica elettrica e non più di probabilità di localizzazione.
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 18
Un'altra conseguenza è che non si può più scartare a priori l'equazione di Klein-Gordon, come invece fu fatto, perchévenendo meno l'interpretazione probabilistica e la conservazione del numero di particelle, la teoria può essere sviluppata(come si è fatto in precedenza) con il formalismo dei campi e la seconda quantizzazione.
Questo ulteriore passo, che in de�nitiva risolverà ogni questione interpretativa, è dettato anche dal fatto che la teoriadel mare non va assolutamente bene per i bosoni, non valendo in questo caso il principio di esclusione di Pauli.
Fino a questo punto si può comunue considerare un importante risultato, già ottenuto con l'idea di Dirac: si è introdottal'antimateria, il fatto cioè che per ogni particella esiste una antiparticella con la stessa massa e carica elettrica opposta;l'esistenza degli elettroni comporta ad esempio quella dei positroni, e i quadrispinori ψ(x) possono essere visti nel limitenon relativistico come l'unione dei due spinori di Pauli assegnati a particella e antiparticella. Si è de�nita quindi una nuovasimmetria della natura, che viene detta simmetria rispetto alla coniugazione di carica, che ha come conseguenza (vediGreiner WE p.239) il fatto che per ogni soluzione ψ(x) dell'equazione di Dirac per una particella, esiste una soluzioneψC(x) per la relativa antiparticella.
Schematicamente:
� Equazione simmetrica rispetto al gruppo di Poincarè →∀ψ(x) in O ∃ψ′(x′) in O′, ∀O′
� Equazione simmetrica rispetto alla coniugazione di carica →∀ψ(x) con q = −e ∃ψC(x) con q = +e
2.4 Lo spin dell'elettrone
Come si è accennato sopra, il quadrispinore di Dirac ψ(x) sembrerebbe a tutti gli e�etti contenere due bispinori di singolaparticella, di cui uno descriverebbe l'antiparticella. Per veri�care questa ipotesi, e comprendere �nalmente il signi�catoprofondo delle componenti spinoriali della ψ e del loro legame con lo spin, consideriamo l'interazione tra un fermione dispin 1/2 e il campo elettromagnetico.
E�ettuiamo la sostituzione minimale, cioè consideriamo l'interazione tra il campo e la particella solo al primo ordine,trascurando l'ulteriore campo generato dalla particella:
pµ = mvµ +e
cAµ(x) = pµcin +
e
cAµ(x)
e continuerà a valere soltanto l'equazione di Dirac per la parte cinetica:
γµ(i}∂µ −
e
cAµ(x)
)ψ(x) = mcψ(x) ⇐⇒ i}
∂ψ
∂t=
[βmc2 + eφ+ cα ·
(− i}∇− e
cA
)]ψ ≡
[βmc2 + eφ+ cα · π
]con π momento coniugato di A. Sostituiamoci la ψ scritta come:
ψ =
(Φη
)=
(ϕχ
)e−imc
2t/}
i}∂
∂t
(ϕχ
)+mc2
(ϕχ
)=
[β
(ϕχ
)mc2 + eφ+ cα ·
(− i}∇− e
cA
)(ϕχ
)]
=
[(1 00 −1
)(ϕχ
)mc2 + eφ+ c
(1 00 −1
)· π(ϕχ
)]=⇒
{i}∂ϕ∂t = c(σ · π)χ+ eφϕ
i}∂χ∂t = c(σ · π)ϕ+ eφχ− 2mc2χ
A questo punto poniamoci nel limite non relativistico, cioè considerando valori dell'energia cinetica e del potenzialepiccoli rispetto a mc2:
i}∂ϕ
∂tφ,
∂χ
∂t� mc2 =⇒ χ ∼ σ · π
2mcϕ =⇒ i}
∂ϕ
∂t=
[(σ · π)(σ · π)
2m+ eφ
]ϕ
La componente χ viene detta piccola componente poiché p/m ∼ π/m� 1. Adesso usiamo la formula (σ ·A)(σ ·B) =A ·B1 + iσ · (A×B):
(σ · π)(σ · π) = |π|2+iσ ·(π×π) = |π|2+iσ·(−i}∇− e
cA
)×(−i}∇− e
cA
)= |π|2+
e}cσ·(
A×∇+∇×A
)= |π|2+
e}cσ·B
=⇒ i}∂ϕ
∂t=
[(p− eA/c)2
2m+ eφ− e}
2mcσ·B
]ϕ
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 19
Che è l'equazione di Pauli per una particella di carica elettrica −e . Pauli, a suo tempo, per adattare la sua teoria alleosservazioni sperimentali introdusse ad hoc il termine di interazione
Hint = − e}2mc
σ·B =e}mc
σ
2·B
e notando la somiglianza disarmante con l'interazione dovuta al moto orbitale della particella:
Horbint =
e
2mcL ·B =
µb}
L ·B = µ ·B con µb =e}
2mc, µ = gL
µb}
L
dove µb è detto magnetone di Bohr e µ è il momento magnetico orbitale. Il fattore g è detto giromagnetico. In analogiade�nì quindi:
S =}σ2
=⇒ Hint =e}mc
σ
2·B = 2
µb}
S ·B =⇒ gs = 2
Pur supponendo che lo spin fosse il momento angolare della particella in quiete, il fattore giromagnetico doppionon era assolutamente spiegabile dalla teoria classica di Pauli, seppur osservato sperimentalmente. Come è noto questaformulazione dell'interazione minimale, se il campo magnetico è costante nel tempo, da luogo all'hamiltoniana:
H =p2
2m+
e
2m(L + 2S) ·B
che fornisce dei risultati in ottimo accordo con le osservazioni dell'e�etto Zeeman anomalo nelle transizioni in presenzadi campo magnetico statico.
Operatore di Spin e Elicità Possiamo adesso generalizzare l'operatore di Spin de�nendolo come agente su quadrispi-nori come formati da due bispinori di spin 1/2:
S :=
(Sϕ 0
0 Sχ
)=
}2
Σ =}2
(σ 00 σ
)A questo punto l'operatore momento angolare totale sarà:
J = L + S = } x× p +}2
Σ
Si può mostrare che la proiezione lungo un asse del momento angolare totale commuta con l'Hamiltoniana di DiracHf . Utilizzando:
σij =i
2[γi, γj ] = − i
2
([σi, σj ] 0
0 [σi, σj ]
)= εijk
(σk 00 σk
)= εijkΣk =⇒ Σ3 =
i
2(γ1γ2−γ2γ1) = − i
2(α1α2−α2α1)
[H, L3] = − i4
[α1p1 + α2p2 + α3p3, x1p2 − p2x1] = i(α2p1 − α1p2)
1
2[H, Σ3] = − i
4[α1p1 + α2p2 + α3p3, α1α2 − α2α1] = −i(α2p1 − α1p2) = −[H, L3] (2.34)
[H, J3] = 0
Questa relazione di commutazione conferma che l'equazione di Dirac descrive particelle di spin 1/2. Dalla (2.34) sievidenzia che è possibile costruire un'altra grandezza che commuta con Hf : la proiezione dello spin lungo la direzione delmoto, che prende il nome di elicità:
Σ · p =
(σ · p 0
0 σ · p
)⇒ [H, Σ · p] = [Σ · p, p] = 0
La teoria di Dirac da quindi una spiegazione esatta dell'esistenza dello spin e della teoria di Pauli, che deriva unicamentedall'imporre la covarianza relativistica dell'equazione di Schroedinger, e del momento magnetico anomalo dell'elettrone,che deriva anch'essa dalle soluzioni dell'equazione di Dirac covariante.
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 20
2.5 Campo di Dirac nel formalismo canonico
Passiamo adesso alla formulazione che permette di interpretare correttamente il comportamento dei Fermioni. Sviluppiamoquindi la teoria di campo per l'equazione di Dirac. Innanzitutto consideriamo lo spinore ψ(x) non più come funzioned'onda ma come campo �classico� relativistico, e scriviamo l'equazione di Dirac nel formalismo canonico. In unità naturali(} = c = 1) dovremo trovare una densità di lagrangiana che tramite il principio di minima azione conduca all'equazione:
(iγµ∂µ −m)ψ = 0
La densità di lagrangiana corretta deve essere relativisticamente covariante, quindi deve contenere funzioni bilinearidei campi ψ e ψ (che consideriamo come campi indipendenti in analogia alla trattazione del campo di KG), e delle loroderivate. Inoltre deve essere del prim'ordine in ψ, ψ, ∂µψ, ∂µψ, poiché l'equazione di Dirac è del prim'ordine. Scegliamo:
L = ψ(iγµ∂µ −m)ψ = iψ†ψ + iψ†α · ∇ψ −mψ†βψ
∂L∂ψ
= −mψ ,∂L
∂(∂µψ)= iψγµ ;
∂L∂ψ
= (iγµ∂µ −m)ψ ,∂L
∂(∂µψ)= 0
∂µ∂L
∂(∂µψ)− ∂L∂ψ
= 0 ⇒ ψ(iγµ←−∂µ −m) = 0 ; ∂µ
∂L∂(∂µψ)
− ∂L∂ψ
= 0 ⇒ (iγµ∂µ −m)ψ = 0
Per costruire l'Hamiltoniana, calcoliamo le densità di momento coniugato:
πψ =∂L∂ψ
= iψ†, πψ =∂L∂ ˙ψ
= 0 ⇒ H = πψ − L = iψ†ψ − iψ†ψ + iψ†α · ∇ψ −mψ†βψ = ψ†(iα · ∇ −mβ)ψ (2.35)
� L'invarianza del campo sotto traslazioni, implica la conservazione dell'integrale spaziale del tensore energia impulsocanonico, cioè il quadrimpulso totale:
Θµν =∂L
∂(∂µψ)∂νψ +
∂L∂(∂µψ)
∂νψ − gµνL = iψγµ∂νψ − gµνψ(iγσ∂σ −m)ψ
Pµ =
�d3x Θ0µ =
�d3x
(ψ∂µψ − g0µψ(iγσ∂σ −m)ψ
)=
(H ,
�d3x ψ∇ψ
)(2.36)
� L'invarianza per trasformazioni di Lorentz in�nitesime, generate dagli (Iµν)αβ della (??):
(Iµν)αβ = − i2
(σµν)αβ , σij = εijk
(σk 00 σk
)= εijkΣk σ0i = i
(0 σi
σi 0
)= iαi
ci permettono di ricavare il tensore dei momenti e il momento angolare totale conservato (orbitale+spin):
Mµν =
(Θ0νxµ −Θ0µxν +
∂L∂(∂ψ)
Iµνψ
)=⇒ Mµν =
�d3x
(Lµν + Sµν
)
Lµν =
�d3x
(Θ0νxµ −Θ0µxν
)=
�d3x
[iψ†∂νψ − g0νxµψ(iγσ∂σ −m)ψxµ − iψγ0∂µψ − g0µψ(iγσ∂σ −m)ψxν
]
L = (Lij) =
�d3x (iψ†∂jψ − iψγ0∂iψxi) = −i
�d3x ψ†x×∇ψ
Sµν =
�d3x
∂L∂(∂ψ)
Iµνψ =1
2
�d3x ψ†σµνψ =⇒ S =
1
2
�d3x ψ†σijψ =
1
2
�d3x ψ†Σψ
� La Lagrangiana dei campi presenta un'ulteriore invarianza, rispetto a trasformazioni di fase:
ψ′ = eiϕψ , ψ ′ = e−iϕψ ′ , ϕ ∈ R =⇒ L(ψ, ψ, ...) = L(ψ′, ψ ′, ...)
Questo comporta che vi sia un'ulteriore corrente, con rispettiva grandezza conservata:
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 21
jµ = −i(
∂L∂(∂µψ)
ψ − ∂L∂(∂µψ)
ψ
)= ψγµψ
Q =
�d3x j0(x) =
�d3x ψγµψ =
�d3x ψ†ψ (2.37)
Si noti che queste grandezze erano state già trovate nelle (2.8)(2.23) senza ricorrere al formalismo canonico, e ne erastata notata la conservazione, nonostante si fosse tentato di interpretare Q come probabilità, fatto questo che aveva creatodelle inconsistenze nella teoria. Nel formalismo canonico, moltiplicandola per un fattore e può essere interpretata comecarica totale conservata del campo.
2.6 Quantizzazione del Campo di Dirac
La quantizzazione del campo di Dirac può essere e�ettuata sostituendo gli spinori ψ(x) e ψ†(x) con gli operatori ψ(x) e
ψ†(x). In questo caso scegliamo le regole di anticommutazione a tempi uguali:
{ψα(x, t), ψ†β(x′, t)} = δαβδ3(x− x′) (2.38)
{ψα(x, t), ψβ(x′, t)} = {ψ†α(x, t), ψ†β(x′, t)} = 0 (2.39)
dove α e β sono indici spinoriali, e si sono scelte queste regole per descrivere particelle che obbediscano alla statistica diFermi-Dirac. Si osserverà in seguitoche scegliendo regole di commutazione non sarebbe in alcun modo possibile costruireun'espressione per l'energia del campo limitata inferiormente. Inoltre si vedrà che l'assenza di regole di commutazioneordinaria ha come conseguenza il fatto che all'operatore di campo ψ(x) non è possibile associare nessuna osservabile �sica.
Utilizzando l'operatore hamiltoniano, de�nito estendendo l'espressione classica, possiamo calcolare le equazioni delmoto (vedi Appendice B.1 a pagina 25):
H = ψ†(−iα · ∇+ βm)ψ (2.40)
˙ψ(x, t) = −i[ψ(x, t), H] = (α · ∇+ βm) ψ(x, t)
che mostrano che l'operatore di campo della teoria quantistica soddisfa ancora l'equazione di Dirac.A questo punto sviluppiamo l'operatore di campo in una serie di funzioni d'onda classiche, in altre parole consideriamo
lo sviluppo (2.33) in termini delle singole soluzioni, considerando la normalizzazione e la relazione di ortonormalità relativealla con�gurazione di scatola chiusa (p discreto):
ψ(+)pr (x, t) = Npurpe
−ipx ψ(−)pr (x, t) = Npvrpe
+ipx r = 1, 2 (2.41)
u†rpusp = v†rpvsp =1
N2p
δrs ,∑r
((ur)α(ur)β − (vr)α(vr)β
)= δαβ
�d3x ψpr
†(x) ψp′s(x) =
�d3x Np′Np u
†rpusp′ei(p−p
′)x = N2p δpp′ei(ωp′−ωp)tu†rpusp′ = δpp′N2
p u†rpusp = δrsδpp′
ψ(x, t) = ψ(x) =∑p
∑r
[arpurpe
−ipx + b†rpvrpe+ipx
](2.42)
dove il fattore di normalizzazione può essere scelto come nella (2.31) o alternativamente:
Np =
√m
Ep=
(m√
m+ |p|2
)1/2
, Np =
√mc2 + Ep
2Ep
Proiettando la (2.42) su una generica funzione d'onda piana (2.41), possiamo ottenere gli operatori apr e bpr e calcolarcile relazioni di anticommutazione (vedi Appendice H.2 a pagina 33):
apr =
�d3x ψ(+)†
pr (x) ψ(x) , bpr =
�d3x ψ(−)†
pr (x) ψ(x)
{apr, a†p′s} = {bpr, b†p′s} = δpp′δrs , {apr, ap′s} = {bpr, bp′s} = 0
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 22
A questo punto calcoliamoci gli operatori di energia (vedi Appendice H.3 a pagina 34), impulso (vedi Appendice H.5 apagina 35) e carica (vedi Appendice H.4 a pagina 34), inserendo lo sviluppo (2.42) nell'estensione delle espressioni classiche(2.36), (2.40), (2.37):
H =
�d3x ψ†(−iα · ∇+ βm)ψ =
∑p
2∑r=1
Ep
(a†prapr − bpr b†pr
)(2.43)
P = −i�d3x ψ†∇ψ =
∑p,r
p
(a†prapr + b†pr bpr
)
Q = e
�d3x ψ†ψ = e
∑p,r
(a†prapr + bpr b
†pr
)Per gli operatori di Energia e di Carica si incorre ancora una volta nel problema di una carica e di un'energia costante
residue, infatti de�nendo l'operatore numero:
n(a)pr = a†prapr , n(b)pr = b†pr bpr = {b†pr, bpr} − bpr b†pr = 1− bpr b†pr
H ≡∑p,r
Ep
(n(a)pr − 1 + n(b)pr
)=∑p,r
Ep
(n(a)pr + n(b)pr
)−∑p,r
Ep = H ′ + E0 (2.44)
Q = e∑p,r
(n(a)pr + 1− n(b)pr
)= e
∑p,r
(n(a)pr − n(b)pr
)+∑p,r
e = Q′ +Q0
L'energia mostra un grave problema: infatti aumentando il numero di particelle negli stati a frequenza negativa, il valormedio di H e quindi l'energia totale del sistema precipita inde�nitamente verso −∞. Tuttavia, in accordo con l'ipotesidel mare di Dirac (vedi Sezione ), possiamo considerare l'energia delle particelle a frequnza negativa come non osservabilein alcun esperimento, perché dovuta alla presenza di antiparticelle negli stati suddetti, distribuite omogeneamente (inassenza di interazione elettromagnetica). Quindi eliminando E0 e Q0 che interpretiamo come energia e carica del �mare�di antiparticelle non osservabili, otteniamo le espressioni:
H ′ = H − E0 =∑p,r
Ep
(n(a)pr + n(b)pr
)
Q′ = Q+Q0 = e∑p,r
(n(a)pr − n(b)pr
)nelle quali �nalmente l'energia è limitata inferiormente (il che rende la teoria consistente) e particelle e antiparticelle
contribuiscono con carica elettrica opposta alla carica totale del sistema4.
N.B. E' estremamente importante a questo punto osservare che non sarebbe stato possibile quantizzare il campo di Diracusando la statistica di Bose-Einstein e quindi regole di commutazione ordinaria. Infatti se tentassimo di risolvere ilproblema del limite inferiore dell'energia come nella (2.44), usando i commutatori otterremmo:
n(b)pr = b†pr bpr = [b†pr, bpr] + bpr b†pr = 1 + bpr b
†pr
H ≡∑p,r
Ep
(n(a)pr − 1− n(b)pr
)=∑p,r
Ep
(n(a)pr − n(b)pr
)−∑p,r
Ep
che in alcun modo può essere limitata inferiormente, e all'aumentare del numero di antiparticelle fa collassare ilsistema. Questo perché l'idea del mare di Dirac, che conferisce signi�cato �sico allo stato di energia minima e consistenzaa tutta la teoria, è compatibile soltanto con l'applicazione delle regole di anticommutazione. Poiché queste regole, nelmetodo di seconda quantizzazione (vedi Greiner FQ p.65), possono descrivere soltanto particelle con funzione d'ondaantisimmetrica (cioè che obbediscono alla statistica di Fermi-Dirac), ne concludiamo che una particella di spin 1/2 deveavere funzione d'onda antisimmetrica, e obbedire alla statistica di Fermi Dirac. Questo è un caso particolare del teoremaspin-statistica.
4Si noti che anche in questo caso per risolvere il problema delle divergenze della carica e dell'energia totali del sistema, si può ricorrereall'espediente matematico dei prodotti normali, visto nella sezione dedicata alla quantizzazione del campo di Klein-Gordon.
CAPITOLO 2. FERMIONI DI SPIN 12 : EQUAZIONE DI DIRAC 23
Spazio di Fock. Interpretiamo quindi le particelle come soluzioni a energia positiva, e le antiparticelle come soluzioni aenergia negativa e costruiamo lo spazio di Fock, in analogia a quanto fatto per il campo di Klein-Gordon, a partire dallostato di vuoto, de�nito come quello stato che non contiene né particelle né antiparticelle:
ap|0〉 = bp|0〉 = 0 , ∀p
Lo stato generale è caratterizzato da due set di numeri quantici di occupazione {n(a)ir } e {n(b)ir }. Ciascun numero n
(a),(b)ir
indica quante particelle si trovano in un'autostato dell'operatore hamiltoniano e dell'operatore impulso, cioè quante par-ticelle libere hanno impulso p, energia Ep . Il numero di questi possibili stati è in�nito. Sugli stati così de�niti agiscono
gli operatori di creazione e distruzione: sia a†pr che b†pr creano una particella di energia Ep e impulso p, l'applicazione di
a†pr accresce di un'unità la carica dello stato, l'applicazione di b†pr la riduce di un'unità:
|α〉 = |n11, n21, ...; m11,m21, ...〉 =1√
n1!n2! · · ·m1!m2! · · ·
(a†p1r
)n1(a†p2r
)n2
· · ·(b†p1r
)m1(b†p2r
)m2
|0〉
Qα =∑pi,r
(n(a)ir − n
(b)ir
)= n11 −m11 + n21 −m21 + ...
Eα =
(Ep1n11 + Ep2n21 + ...+ Ep1m12 + Ep2m21 + ...
)=∑pi,r
Epi
(n(a)ir + n(b)r
)
P = n11p1 + n21p2 + ...+m11p1 +m21p2 + ... =∑pi
p
(n(a)ir + n
(b)ir
)
Appendice A
KG: Calcolo equazioni del moto
A.1 Campo Scalare
H =1
2
�d3x
(π2(x, t) + (∇φ(x, t))2 +m2φ2(x, t)
)˙φ(x, t) = −i[φ(x, t), H] = − i
2
[φ(x, t),
�π2(x′, t)d3x′
]= − i
2
(�d3x′π(x′, t)
[φ(x, t), π(x′, t)
]+
�d3x′
[φ(x, t), π(x′, t)
]π(x′, t)
)= − i
22i
�d3x′δ3(x− x′)π(x′, t) = π(x, t)
[π(x, t),∇′φ(x′, t)] = ∇′[π(x, t), φ(x′, t)] = −i∇′δ3(x− x′)
˙π(x, t) = −i[π(x, t), H] = −m2 i
2
[π(x, t),
�φ2(x′, t)d3x′
]− i
2
[π(x, t),
�(∇′φ(x′, t))2d3x′
]= −m2φ(x, t)− i
2
�∇′φ(x′, t) [π(x, t),∇′φ(x′, t)] d3x′ +
�[π(x, t),∇′φ(x′, t)] ∇′φ(x′, t) d3x′
= −m2φ(x, t)+i
22i
�∇′φ(x′, t) ∇′δ3(x− x′) = −m2φ(x, t)−
(�∇′(∇′φ(x′, t) δ3(x− x′)
)−�∇′2φ(x′, t) δ3(x− x′)
)= −m2φ(x, t) +
�d3x′ ∇2φ(x, t) δ3(x− x′) = (∇2 −m2)φ(x, t)
A.2 Carica
˙Q = −i[Q, H] ∝
∑p
[n(a)p + n(b)p , n(a)p − n(b)p ] =∑(
[n(b)p , n(a)p ]− [n(a)p , n(b)p ]
)=∑(
[b†pbp, n(a)p ]− [a†pap, n
(b)p ]
)
=∑(
[b†p, n(a)p ]bp + b†p[bp, n
(a)p ]− [a†p, n
(b)p ]ap − a†p[ap, n
(b)p ]
)=∑(
b†p[bp, a†p]ap + b†pap[bp, ap]− a†p[ap, b
†p]bp − a†pbp[ap, bp]
)= 0
Nell'ultimo passaggio si sono usate le (1.26).
24
Appendice B
KG: Operatori ap(t)
B.1 Equazione del moto
¨φ(x, t) = (∇2 −m2) φ(x, t) , φ(x, t) =
∑p
Npeip·xap(t)
∑p
Npeip·x¨ap(t) =
∑p
Np ∂j(ipje
ip·xap(t))−m2
∑p
Npeip·xap(t) =
∑p
Np(−pjpj eip·xap(t)−m2 eip·xap(t)
)Npe
ip·x¨ap(t) = Npeip·x(−|p|2 −m2)ap(t) ⇒ ¨ap(t) = −(|p|2 +m2)ap(t)
B.2 Aggiunti
φ =∑p
Npeip·xap = φ† =
∑p
N−pe−ip·xa†p ⇒ a−p = a
(1)−pe
−iωkt + a(2)−pe
+iωkt = a†p =(a(1)p
)†e+iωpt +
(a(2)p
)†e−iωpt
⇒(a(1)p
)†= a
(2)−p , a
(1)−p =
(a(2)p
)†
B.3 Normalizzazione
Np si può ricavare imponendo la normalizzazione delle up rispetto al prodotto scalare di Klein-Gordon, ricordando che
pl =2π
Ll =
2π
L(nx, ny, nz)(
Npei(ωpt−p·x), Np′ ei(ωp′ t−p
′·x))KG
= NplNpl′
�e−i(ωpt−pl·x) ←→∂t ei(ωp′ t−pl′ ·x) d3x = ∗ ∗ ∗∗ = δplpl′
B.4 Regole di commutazione
Veri�chiamo, utilizzando la regola [φ(x, t), π(x′, t)] = iδ3(x− x′), le seguenti:
[ap, a†p′ ] = δpp′ , [ap, ap′ ] = [a†p, a
†p′ ] = 0
[φ(x, t), π(x′, t)] =
∑p
Np
(ape−ipµxµ + a†pe
+ipµxµ),∑p′
Np′(−iωp)(ap′e−ip
′µx
′µ− a†p′e
+ip′µx′µ)
=∑p′
∑p
NpNp′(−iωp′){
[ap, ap′ ]e−i(px+p′x′) − [ap, a
†p′ ]e−i(px−p′x′) + [a†p, ap′ ]e+i(px−p
′x′) − [a†p, a†p′ ]e
+i(px+p′x′)}
=∑p′
∑p
NpNp′(−iωp′){−δpp′e−i(px−p
′x′) +−δp′pe+i(px−p′x′)
}= i∑p
N2pωp
{e−ip(x−x
′) + e+ip(x−x′)}
!= iδ3(x− x′)
ricordando che t = t′ e se Np =1√
2ωpL3=⇒ i
∑p
2 cos[p·(x− x′)]
2L3= iδ3(x− x′) (B.1)
25
Appendice C
KG: Operatore Hamiltoniano
Ricordiamo le (1.15),(1.16),(1.17), che si riassumono in:
φ(x) =∑p
(ap fp(x) + a†p f
∗p(x)
)(C.1)
π(x) =˙φ(x) =
∑p
(−iωp)(ap fp(x)− a†p f∗p(x)
)fp(x) =
e−ipx√2ωpL3
(C.2)
e calcolando:
∇fp(x) = −ip fp(x) ,
�d3x f∗p′(x) fp(x) =
δpp′
2ωp,
�d3x fp′(x) fp(x) =
δ−p,p′
2ωpe−2iωpt (C.3)
∇φ =∑p
∇(ap fp(x) + a†p f
∗p(x)
)=∑p
(ap ∇fp(x) + a†p ∇f∗p(x)
)=∑p
(−ipap fp(x) + ipa†p f
∗p(x)
)e inseriamole nell'espressione dell'operatore quantistico (1.12) corrispondente all'hamiltoniana classica:
H =1
2
�d3x
(π2(x) + (∇φ(x))2 +m2φ2(x)
)(C.4)
=1
2
�d3x
[−∑p
ωp
(ap fp(x)− a†p f∗p(x)
)∑p′
ωp′(ap′ fp′(x)− a†p′ f
∗p′(x)
)+
+∑p
p
(− ap fp(x) + a†p f
∗p(x)
)∑p′
p′(−ap′ fp′(x) + a†p′ f
∗p′(x)
)
+m2∑p
(ap fp(x) + a†p f
∗p(x)
)∑p′
(ap′ fp′(x) + a†p′ f
∗p′(x)
)]
=1
2
[∑p
∑p′
(ωpωp′ + p · p′ +m2)
( �d3x fp f
∗p′
)apa
†p′ +
∑p
∑p′
(ωpωp′ + p · p′ +m2)
( �d3x f∗p fp′
)a†pap′+
+∑p
∑p′
(−ωpωp′ + p · p′ +m2)
( �d3x fp fp′
)apap′ +
∑p
∑p′
(−ωpωp′ + p · p′ +m2)
( �d3x f∗p f
∗p′
)a†pa
†p′
]e usando le (C.3), ricordando che ωp = ω−p:
=1
2
[∑p
ω2p
2ωp
(apa
†p + a†pap
)+∑p
|p|2 +m2 − ωp2ωp
(− a−pape−2ωpt − a†−pa
†pe−2iωpt
)+∑p
m2
2ωp
(apa
†p + a†pap
)]
H =∑p
ωp2
(apa
†p + a†pap
)
26
Appendice D
KG: Operatore Impulso
L'impulso conservato del campo (1.9) è in una forma che non è estensibile al caso quantistico, perché darebbe luogo a un
operatore non hermitiano, peraltro visto che φ e π quantisticamente non commutano, bisogna generalizzare il prodottotra operatori al caso simmetrico:
P =
�d3x
(π(x) ∇φ(x)
)−→ P = −1
2
�d3x
(π(x) ∇φ(x) +∇φ(x) π(x)
)
π(x) =∑p
(−iωp)(ap fp(x)− a†p f∗p(x)
), ∇φ =
∑p
(−ipap fp(x) + ipa†p f
∗p(x)
)P =
1
2
�d3x
[∑p
(−iωp)(ap fp(x)− a†p f∗p(x)
)∑p′
(−ip′ap′ fp′(x) + ip′a†p f
∗p(x)
)+ scambiati
]
= −1
2
∑p
∑p′
p′ωp
[apap′
( �fpfp′
)− apa
†p′
( �fpf
∗p′
)− a†pap′
( �f∗pfp′
)+ a†pa
†p′
( �f∗pf
∗p′
)+ scambiati
]
ricordando le (C.3) e notando che nell'addendo con i termini scambiati�fp′f∗p ∼ δ−pp′ →
�fpf
∗p′ = δ−p′p
= −1
2
∑p
p ωp2ωp
[(a−pape
−2iωpt − apa†p′ − a†pap + a†−pa
†p e−2iωpt
)+
(apa−pe
−2iωpt − a†p′ ap − apa†p + a†pa†−p e
−2iωpt)]
= −1
2
∑p
p ωp2ωp
[(a−pape
−2iωpt− apa†p′ − a†pap + a†−pa
†p e−2iωpt
)+
(− apa−pe−2iωpt− a†p′ ap− apa†p− a
†−pa
†p e−2iωpt
)]
=1
2
∑p
p
[apa
†p′ + a†pap
]
27
Appendice E
Carica di uno stato
28
Appendice F
Matrici γµ
F.1 Proprietà delle matrici gamma
Le proprietà delle γµ si ricavano dalla loro de�nizione in termini delle matrici di Dirac de�nite in precedenza :
γ0 := β ≡ α0 , γi := βαi
e dalle loro proprietà:{αµ, αν} = 2δij1 ⇒ αµαν + αν αµ = 2δµν1 , α2
µ = 1
� Hermitianità. γ0 = β abbiamo già visto che è hermitiana. Le altre sono antihermitiane:
(γi)† = (βαi)† = α†i β
† = αiβ = −βαi = −γi
� Aggiunte: (γµ)† = γ0γµγ0. Infatti: (γi)† = αiβ = β2αiβ = β(βαi)β = γ0γiγ0
� Anticommutazione:{γ0, γi} = γ0γj + γjγ0 = ββαi + βαiβ = ββαi − ββαi = 0
{γi, γj} = γiγj + γjγi = β(αiβ)αj + β(αj β)αi = −β2(αiαj + αjαi) = 0
(γ0)2 = β2 = 1 , (γi)2 = βαiβαi = −β2α2i = −1
=⇒ {γµ, γν} = 2gµν1 (F.1)
� Rappresentazioni equivalenti:
{γµ, γν} = S−1γµSS−1γνS + S−1γνSS−1γµS = S−1(γµγν + γνγµ)S = 2S−1gµνS = 2gµν1
29
APPENDICE F. MATRICI γµ 30
F.2 I generatori σαβ
� [σαβ , γµ] = −2i
(gµαγβ − g
µβγα
). Ricordando [γµ, γν ] = {γµ, γν} − 2γνγµ = 2gµν1− 2γνγµ, σαβ = i
2 [γα, γβ ]
[γµ, σαβ ] =i
2
[γµ, [γα, γβ ]
]=i
2
[γµ, γαγβ − γβγα
]=i
2
([γµ, γαγβ ]− [γµ, γβγα]
)=
=i
2
([γµ, γαγβ ]− 2[γµ, gβα + 2γαγβ ]
)=i
2
(2[γµ, γαγβ ]− 2[γµ, gβα]
)= i[γµ, γαγβ ] =
= i
(γµγαγβ − γαγβγµ
)= i
(γµγαγβ − γα(2gµβ − γ
µγβ)
)= i
(γµγαγβ − 2γαg
µβ + γαγ
µγβ
)= i
(γµγαγβ − 2γαg
µβ + (2gµα − γµγα)γβ
)= +2i
(gµαγβ − g
µβγα
)� (σµν)† = γ0σµνγ0. Dimostriamola usando (γ0)2 = 1 e la (γµ)† = γ0γµγ0 dimostrata nella sezione precedente:
(σµν)† =i
2[γµ, γν ]† = − i
2
((γν)†(γµ)† − (γµ)†(γν)†
)= − i
2
(γ0γνγ0γ0γµγ0 − γ0γµγ0γ0γνγ0
)=
− i2
(γ0γνγµ − γ0γµγνγ0
)=i
2γ0(γµγν − γνγµ
)γ0 = γ0σµνγ0 (F.2)
� (σij)† = σij . Stavolta usiamo la {γ0, γi} = 0 ⇒ γ0γi = −γiγ0 :
(σij)† = γ0σijγ0 =i
2
(γ0(γiγj − γjγi)γ0
)=i
2
(γ0γiγjγ0 − γ0γjγiγ0
)=
=i
2
(− γiγ0γjγ0 + γjγ0γiγ0
)=i
2
(+ γiγjγ0γ0 − γjγiγ0γ0
)=i
2[γi, γj ] = σij
� (σ0j)† = σ0j . Come la precedente:
(σ0j)† = γ0σ0jγ0 =i
2
(γ0(γ0γj − γjγ0)γ0
)=i
2
(γ0γ0γjγ0 − γ0γjγ0γ0
)=
=i
2
(γjγ0 − γ0γj
)= − i
2[γ0, γj ] = −σ0j
� S−1 = γ0S†γ0. Ricordando che per trasformazioni in�nitesime S = 1− i4∆ωµν σ
µν e usando la (F.2):
γ0S†γ0 = 1 +i
4∆ωµνγ
0(σµν)†γ0 = 1 +i
4∆ωµνγ
0γ0σµνγ0γ0 = 1 +i
4∆ωµν σ
µν = S−1
Per trasformazioni di Lorentz �nite si estende facilmente osservando che (γ0σµνγ0)n = γ0(σµν)nγ0 e scrivendo Scome somma di n trasformazioni in�nitesime.
APPENDICE F. MATRICI γµ 31
F.3 Bilineari Covarianti
Nel seguito per comodità si indicherà S(Λ) ≡ S. ψ′(x′) ≡ ψ′ e ψ(x) ≡ ψ(x). Richiamiamo la de�nizione di S (2.14) e latrasformazione dello spinore aggiunto (2.22):
ψ′(x′) ≡ ψ′ = Sψ , ψ′ = ψS−1
� ψΓSψ = ψ1ψ trasforma come uno scalare, cioè rimane costante. Banalmente, come nella (2.22): ψ′Γsψ′ = ψ′ψ′ =
ψS−1Sψ = ψψ.
� ψΓµV ψ = ψγµψ trasforma come un vettore, come già visto nella (2.24):
(ψΓµV ψ)′ = ψ′γµψ′ = ψS−1γµS = ψΛµνγνψ = Λµν(ψΓµV ψ)
� ψΓµνT ψ = ψσµνψ trasforma come un tensore a due indici contravariante.
(ψΓµνT ψ)′ = ψσµνψ =i
2ψ′[γµ, γν ]ψ′ =
i
2ψS−1(γµγν − γνγµ)Sψ =
i
2ψ(S−1γµγν S − S−1γνγµS)ψ =
=i
2ψ(S−1γµSS−1γν S − S−1γν SS−1γµS)ψ
Usando la (2.16): S−1γµS = Λµνγν :
(ψΓµνT ψ)′ =i
2ψ(Λµδγ
δΛνσγσ − Λνβγ
βΛµαγα)ψ = (rinomino indici muti δ = β, α = σ)
=i
2ψΛναΛµβ(γαγβ − γβγα)ψ = ΛναΛµβψσ
αβψ = ΛναΛµβψΓαβT ψ
� ψΓPψ = ψγ5ψ trasforma come uno pseudo scalare, cioè rimane invariato per trasformazioni di Lorentz proprie ecambia segno per quelle improprie. Per dimostrarlo mostriamo l'equivalenza delle de�nizioni:
γ5 = γ5 = iγ0γ1γ2γ3 ≡ i
4!εαβδσγ
αγβγδγσ (F.3)
dove εαβδσ è il tensore totalmente antisimmetrico di Levi-Civita. Basta notare che i termini della somma con dueindici qualsiasi uguali si annullano, e nella somma rimangono solo i 4! termini con gli indici tutti diversi; ma ciascunodi essi sarà una permutazione pari o dispari della sequenza fondamentale γ0γ1γ2γ3, poiché il segno viene eliminatodalla rispettiva componente del tensore di Ricci, i termini che si sommano sono uguali, e dividendo per il loro numerosi ottiene proprio γ5.A questo punto, inseriamo la de�nizione (F.3) nel bilineare:
ψ′ΓPψ′ = ψS−1γ5Sψ = ψ
(i
4![εαβδσΛαµΛβνΛδλΛσρ]γ
µγνγλγρ)
e a questo punto usiamo la relazione del tensore di Levi-Civita (vedi Piccardi p.8) εαβδσΛαµΛβνΛδλΛσρ = det(Λ)εµνλρ:
ψ′ΓPψ′ = ψ
(i
4!det(Λ)εµνλργ
µγνγλγρ)
= det(Λ)ψγ5ψ = det(Λ) ψΓPψ
� ψΓµAψ = ψγ5γµψ trasforma come uno pseudovettore, cioè come un vettore nel caso di trasformazione propria, comel'opposto del suo trasformato nel caso di trasformazione impropria. Usando le precedenti:
ψ′ΓµAψ′ = ψS−1γ5γµSψ = ψ(S−1γ5S)(S−1γµS)ψ = ψ det(Λ)γ5Λµνγ
νψ = det(Λ)Λµν ψΓµAψ
Appendice G
Soluzioni Equazione di Dirac Libera
G.1 Normalizzazione
Il fattore di normalizzazione N si può ottenere imponendo che sia:
�dx ψ†(x)ψ(x) = 1 ⇒ u†r(p)ur(p) = u†r(p)ur(p) = 1/N2
w := u(+)1 (p) =
10
cσ·pmc2+Ep
0
=⇒ u†r(p)ur(p) = w†w =
10
cσ·pmc2+Ep
0
( 1 0 cσ·pmc2+Ep
0 ) = 1+
(cσ · p
mc2 + Ep
)2
= 1/N2
1 +
(cσ · p
mc2 + Ep
)2
= 1 +c2|p|2
(mc2 + Ep)(mc2 + Ep)=
1
N2
ma poichè le ψ(x) sono soluzioni dell'equazione di Dirac, corrispondono agli autovalori:
E2p = c2|p|2 +m2c4 ⇒ c2|p|2 = E2
p −m2c4
=⇒ 1 +E2p −m2c4
(mc2 + Ep)(mc2 + Ep)=
Ep −mc2
(mc2 + Ep)=
2Epmc2 + Ep
=1
N2=⇒ N =
√mc2 + Ep
2Ep
32
Appendice H
Quantizzazione del Campo di Dirac
H.1 Equazioni del moto
Usando le regole di anticommutazione e l'operatore Hamiltoniano, scriviamo l'equazione del moto nella rappresentazionedi Heisenberg:
H =
�d3x ψ†(−iα · ∇+ βm)ψ (H.1)
{ψα(x, t), ψ†β(x′, t)} = δαβδ3(x− x′) (H.2)
{ψα(x, t), ψβ(x′, t)} = {ψ†α(x, t), ψ†β(x′, t)} = 0 (H.3)
(usando la formula [A,BC] = {A,B}C −B{A,C})
˙ψ(x, t) = −i[ψ(x, t), H] = −i
�d3x [ψ, ψ†(−iα · ∇+ βm)ψ]
= −�d3x
({ψσ(x, t), ψ†α(x′, t)}ααβ · ∇′ψβ(x′, t)− ψ†αααβ · ∇′{ψσ(x, t), ψβ(x′, t)}
+im{ψσ(x, t), ψ†α(x′, t)}βαβψβ(x′, t)− imψ†α(x′, t)βαβ{ψσ(x, t), ψβ(x′, t)})
= −�d3x
(δσαδ
3(x− x′)ααβ · ∇′ψβ(x′, t) + δσαδ3(x− x′)βαβψβ(x′, t)
)= (−α · ∇ − imβ)σβψβ(x′, t)
H.2 Operatori apr e bpr
Ricordando le:
ψ(+)pr (x, t) = Npurpe
−ipx ψ(−)pr (x, t) = Npvrpe
+ipx r = 1, 2 (H.4)
u†rpusp = v†rpvsp =1
N2p
δrs ,
�d3x ψpr
†(x) ψp′s(x) = δrsδpp′
ψ(x, t) = ψ(x) =∑p
∑r
[arpurpe
−ipx + b†rpvrpe+ipx
](H.5)
proiettiamo ψ(x) su ψ(+)pr :
�d3x ψ(+)
pr†(x) ψ(x) =
�d3x
(ψ(+)†pr
∑p′
∑r′
Np(ar′p′ψ(+)p′r′ + b†r′p′vr′p′e+ip
′x)
)=
33
APPENDICE H. QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO DI DIRAC 34
=
�d3x
∑p′,r′
ar′p′ψ(+)†pr ψ
(+)p′r′ =
∑p′,r′
δpp′δrsar′p′ = arp (H.6)
a†rp =
�d3x ψ†(x) ψ(+)
pr (x) (H.7)
e calcoliamo l'anticommutatore, inserendovi le (H.6), (H.7) e usando la relazione {AB,CD} = A{B,C}D−AC{B,D}−{A,C}DB + C{A,D}B:
{arp, a†r′p′} =
�d3x {ψ(+)
pr† ψα , ψ
†β ψ
(+)p′r′} =
�d3x
(ψ(+)pr†{ψα, ψ†β}ψ
(+)p′r′ + ψ(+)
pr†ψ†β{ψα, ψ
(+)p′r′}+ {ψ(+)
pr†, ψ†β}ψ
(+)p′r′ ψα + ψ†β{ψ
(+)pr†, ψ
(+)p′r′}ψα
)=
�d3x ψ(+)
pr†{ψα, ψ†β}ψ
(+)p′r′ =
�d3x ψ(+)
pr†ψ
(+)p′r′δαβδ(x− x′) = δrr′δpp′
dove si è usato il fatto che le ψpr(x) sono funzioni �classiche� e non operatori, e la relazione di anticommutazione (2.38).L'altra regola di anticommutazione si può calcolare facilmente:
{arp, ar′p′} =
�d3x {ψ(+)
pr ψα , ψβ ψ(+)p′r′} =
�d3x ψ(+)
pr†{ψα, ψβ}ψ(+)
p′r′ = 0
E le analoghe per bpr si possono ricavare proiettando su ψ(−)pr invece che su ψ
(+)pr .
H.3 Energia
Ricordiamo l'espressione ottenuta estendendo l'espressione classica dell'energia (H.1) e inseriamoci lo sviluppo (H.5):
H =
�d3x ψ†(−iα · ∇+ βm)ψ =
�d3x
∑p,p′
∑r,r′
[a†rpψ
(+)†pr + brpψ
(−)†pr
](−iα · ∇+ βm)
[ar′p′ψ
(+)p′r′ + b†r′p′ψ
(−)p′r′
]
A questo punto ricordiamoci che le ψ(+),(−)p′r′ risolvono l'equazione di Dirac:
i∂0ψ(+),(−)p′r′ = i∂0Npurpe
∓i(Ept−p·x) = ±Epψ(+),(−)p′r′ = (−iα · ∇+ βm) ψ
(+),(−)p′r′
H =
�d3x
∑p,p′
∑r,r′
[a†rpψ
(+)†pr + brpψ
(−)†pr
][ar′p′Ep′ψ
(+)p′r′ − b
†r′p′Ep′ψ
(−)p′r′
]=
∑p,p′
∑r,r′
Ep′
[a†rpar′p′
�d3x ψ(+)†
pr ψ(+)p′r′ − brpb
†r′p′
�d3x ψ
(−)p′r′ψ
(−)†pr
]=
=∑p,p′
∑r,r′
Ep′
[a†rpar′p′ − brpb†r′p′
]δrr′δpp′ =
∑p
∑r
Ep
[a†rparp − brpb†rp
]
H.4 Carica
Q = e
�d3x ψ†ψ = e
�d3x
∑p,p′
∑r,r′
[a†rpψ
(+)†pr + brpψ
(−)†pr
][ar′p′ψ
(+)p′r′ + b†r′p′ψ
(−)p′r′
]
= e∑p,p′
∑r,r′
Ep′
[a†rpar′p′
�d3x ψ(+)†
pr ψ(+)p′r′ + brpb
†r′p′
�d3x ψ
(−)p′r′ψ
(−)†pr
]
= e∑p,p′
∑r,r′
[a†rpar′p′ + brpb
†r′p′
]δrr′δpp′ = e
∑p
∑r
[a†rparp + brpb
†rp
]
APPENDICE H. QUANTIZZAZIONE DEL CAMPO DI DIRAC 35
H.5 Impulso
P = −i�d3x ψ†∇ψ =
�d3x ψ†∇ψ = −
�d3x
∑p,p′
∑r,r′
[a†rpψ
(+)†pr + brpψ
(−)†pr
]i∇[ar′p′ψ
(+)p′r′ + b†r′p′ψ
(−)p′r′
]i∇ψ(+),(−)
p′r′ = i∂iNpurpe∓i(Ept−p·x) = ∓pψ
(+),(−)p′r′
P = −�d3x
∑p,p′
∑r,r′
p′[a†rpψ
(+)†pr + brpψ
(−)†pr
][− ar′p′ψ
(+)p′r′ + b†r′p′ψ
(−)p′r′
]=
=∑p,p′
∑r,r′
p′[a†rpar′p′
�d3x ψ(+)†
pr ψ(+)p′r′ − brpb
†r′p′
�d3x ψ
(−)p′r′ψ
(−)†pr
]=∑p,p′
∑r,r′
p′[a†rpar′p′ − brpb†r′p′
]δrr′δpp′ =
= e∑p,p′
∑r,r′
p′[a†rpar′p′ − brpb†r′p′
]δrr′δpp′ =
∑p
∑r
p
[a†rparp − 1 + b†rpbrp
]=∑p
∑r
p
[a†rparp + b†rpbrp
]
dove si è usato che {brp, b†rp} = 1 ⇒ +brpb†rp = 1− b†rpbrp e che per isotropia
∑p
p = 0.