Alef uno

En matemticas, se define 1 (primera letra del alfabetohebreo llamada alef) como el menor cardinal mayor que0 , es decir, el menor cardinal mayor que el cardinal delconjunto de los nmeros naturales, N .

1 Relacin con 0El teorema de Cantor afirma que el cardinal de P(N)es mayor que 0 , donde card(P(N)) = card(R) es elconjunto potencia de los nmeros naturales, que es exac-tamente el mismo que el cardinal de los nmeros reales.As pues,

0 < card(R),

lo que, considerando que card(R) = 20 , puede escri-birse tambin as:

0 < 20

En la teora ZFC, el axioma de eleccin permite probarque

1 20 ,

mientras que la hiptesis del continuo, algo que no puedeser demostrado ni infirmado en ZFC, afirma que

1 = 20

es decir, que el cardinal de los nmeros reales es exacta-mente 1 .

2 Ms all de 1El teorema de Cantor sobre el conjunto potencia afirmaque para cualquier conjunto A se cumple que:

card(A) < card(P(A))

Lo cual abre la posibilidad a que existan cardinales trans-finitos mayores que 1 . La hiptesis del continuo gene-ralizada de hecho permite ordenar los cardinales trans-finitos de manera sencilla ya que en esencia afirma que:

n 0 : (card(A) = n card(P(A)) = n+1)

3 Vase tambin Alef cero

Funcin alef

Teora de conjuntos

Primer ordinal no numerable

Hiptesis del continuo

Infinito

Georg Cantor

1

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