alexander carvajal - universidad de granada

Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una

aplicación usando R.

Alexander Carvajal

Universidad de Granada

Departamento de Estadística e Investigación Operativa

Granada, España

2014

Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una

aplicación usando R

Alexander Carvajal

Trabajo de Fin de Máster presentado como requisito parcial para optar al título de:

Máster en Estadística Aplicada

Director:

Doctor, Francisco Javier Alonso Morales

Línea de Investigación:

Análisis de series temporales. Aplicaciones a riesgos financieros

Universidad de Granada

Departamento de Estadística e Investigación Operativa

Granada, España

2014

Dedicatoria

Para mi señora madre, mi sobrino y Mabel

quienes conforman mí muy querida familia.

Más allá del miedo esta la paz.

Saúl Hernández

Agradecimientos

Particularmente deseo agradecer al Doctor Francisco Alonso, docente del Máster y tutor

del presente TFM, por el aporte bibliográfico y los lineamientos que permitieron la

satisfactoria elaboración de este trabajo. También quisiera agradecer a mi compañera de

estudio Carolina Cabrera por el apoyo y trabajo conjunto, lo cual me permitió superar los

obstáculos que se presentaban mientras desarrollaba el Máster.

Resumen y Abstract IX

Resumen

Este trabajo se inicia con una descripción de las series temporales y el método Box-

Jenkins como preámbulo para el estudio de los modelos de heterocedasticidad

condicional y , en estos modelos la varianza condicional depende de las

observaciones en periodos anteriores de la serie temporal. Finalmente se realiza una

aplicación práctica a una serie de retornos de los precios de las acciones del Banco de

Bogotá, dicha aplicación se lleva a cabo empleando el software R-Project.

Palabras clave: Modelos y , Varianza Condicional, heterocedasticidad, R-

Project, Series temporales.

Abstract

This paper starts with a description of time series and the Box-Jenkins method as a

preamble to study the conditional heteroscedasticity models and , in these

models the conditional variance depends of observations in earlier periods of time series.

Finally, it realizes a practice application to series of return of the Banco de Bogotá’s share

price. That application is developed using the software R- Project.

Keywords: Models and , conditional variance, heteroscedasticity, R-

project, time series.

Contenido X

Contenido

Pág.

Resumen ......................................................................................................................... IX

Abstract .......................................................................................................................... IX

Introducción .................................................................................................................... 1

1. Capítulo 1: Fundamentación sobre las series temporales .................................... 3 1.1 Definición e ideas básicas ............................................................................... 3

1.1.1 Objetivos de las series temporales ....................................................... 4 1.1.2 Componentes y clasificación descriptiva de las series temporales........ 4

1.2 Procesos estocásticos ..................................................................................... 5 1.2.1 Procesos estacionarios ......................................................................... 6 1.2.2 Ruido blanco, camino aleatorio y autocorrelación ................................. 7

1.3 Procesos autorregresivos y de media móvil, modelos ARMA y ARIMA .......... 8 1.3.1 Procesos autorregresivos y de media móvil .......................................... 8 1.3.2 Modelos ARMA Y ARIMA. ...................................................................16

2. Capítulo 2: Metodología de Box - Jenkins ............................................................19 2.1 Paso 1: Identificación. ....................................................................................19

2.1.1 Estabilización de la no estacionariedad. ..............................................20 2.1.2 Identificación de órdenes del proceso. .................................................21

2.2 Paso 2: Estimación. ........................................................................................25 2.2.1 Método de los momentos. ....................................................................26 2.2.2 Algoritmo de máxima verosimilitud. ......................................................27 2.2.3 Método de los mínimos cuadrados condicionales. ...............................28 2.2.4 Métodos de optimización no lineal. ......................................................28 2.2.5 Estimadores óptimos. ..........................................................................28

2.3 Paso 3: Diagnóstico del modelo. ....................................................................29 2.3.1 Diagnóstico de los coeficientes estimados ...........................................29 2.3.2 Diagnóstico de los residuos el modelo. ................................................30

2.4 Paso 4: Predicción. ........................................................................................31

3. Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales. ........................................33 3.1 Modelos ..............................................................................................34

3.1.1 Modelo .................................................................................35 3.1.2 Modelo .................................................................................38

3.2 Modelos ............................................................................................39 3.3 Extensiones del modelo ....................................................................46 3.4 Test de Heterocedasticidad Condicional.........................................................48

Contenido XI

3.4.1 Multiplicador de Lagrange ................................................................... 48 3.4.2 Contraste de Portmanteau .................................................................. 48 3.4.3 Contrastes Robustos ........................................................................... 48

4. Capítulo 4: Aplicación usando el Software R .......................................................... 51 4.1 Consideraciones iniciales para la construcción del modelo en R ................... 51 4.2 Estimación del Modelo ...................................................................... 58 4.3 Conclusión ..................................................................................................... 63

Bibliografía .................................................................................................................... 65

ANEXO 1: Código R....................................................................................................... 67

ANEXO 2: Datos Cotización Banco de Bogotá ............................................................ 71

Introducción

En el estudio de series de tiempo los modelos de alta volatilidad son de amplio interés

puesto que en la realidad existen muchos datos que se comportan de forma muy volátil y

por consiguiente su pronóstico debe involucrar un modelo que tenga en cuenta esa

acelerada volatilidad, es decir no se puede realizar la estimación basándose en un

modelo de serie estacionaria.

Los Modelos (AutoRegressive Conditional Heteroscedastic) y (Generalized

AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity) toman en cuenta que la varianza

condicional de la serie temporal no es constante, convirtiéndose así en modelos

apropiados para estudios de la alta volatilidad, normalmente estos modelos se aplican al

estudio de los retornos series financieras y en general para variables económicas donde

la incertidumbre del pronóstico es elevada.

Con este trabajo se busca dar a conocer la teoría existente sobre los modelos y

y realizar una aplicación a una serie de retornos de las acciones del Banco de

Bogotá, Para esto el trabajo se divide en cuatro capítulos, en el primero de ellos se

realiza una introducción a las series temporales, explicando su concepto, sus objetivos,

su utilidad y sus componentes, posteriormente se estudian los procesos estocásticos

llegando al definición de estacionariedad y ruido blanco, el capítulo termina con una

explicación teórica de los procesos autorregresivos y de media Móvil

(AutoRegressive Moving Average) y (AutoRegressive Integrated Moving Average)

los cuales muestran estructuras lineales asociadas a una serie temporal de datos.

En el segundo capítulo se estudia la metodología Box-Jenkins, la cual busca crear una

secuencia de pasos que permiten modelar una serie temporal y obtener una predicción a

corto plazo bajo un modelo o . Los pasos de la metodología son:

identificación, estimación, diagnóstico del modelo y predicción.

2 Introducción

En el capítulo tercero se estudian los principales modelos heterocedásticos

condicionales, como lo son los modelos , y sus extensiones como

, o y , además se introduce al tema de los contrastes de

heterocedasticidad condicional.

Finalmente en el capítulo cuarto se realiza una aplicación práctica de los modelos

estudiados utilizando el software R Project, dicha aplicación se realiza a una serie de

retornos de las cotizaciones, en la Bolsa de Valores de Colombia, de la acción del Banco

de Bogotá.

1. Capítulo 1: Fundamentación sobre las series temporales

En este capítulo se plantea el los conceptos básicos de las series temporales partiendo

de un modelo general para luego estudiar los procesos estocásticos que serán la base

para comprender los modelos , , y , procesos que se discuten en

forma introductoria.

1.1 Definición e ideas básicas

Para lograr una aproximación a la definición de series temporales es necesario conocer

su utilidad, la cual es obtener patrones de comportamiento de una variable mediante la

observación de sus datos en el transcurso de un periodo de tiempo.

De lo anterior se puede afirmar que dada una sucesión de observaciones, en distintos

instantes de tiempo, se tiene una serie temporal. En el estudio práctico de las series

temporales se mide el tiempo en periodos aproximadamente equidistantes, como por

ejemplo minutos, horas, días, meses, años etc. Esto a pesar de que el tiempo es una

variable continua.

El estudio de las series temporales permite conocer una variable a lo largo del tiempo y

con ello realizar predicciones. Los comportamientos en la variable estudiada pueden

obedecer a patrones deterministas o a patrones aleatorios.

Las formas de obtener los datos en una serie temporal son básicamente el muestreo y la

agregación (muestreo temporal), el muestreo consiste en observar directamente el valor

de la magnitud en el instante dado y en la agregación se obtienen los valores de la

magnitud observando el valor acumulado durante cierto intervalo de tiempo.

4 Series temporales: Modelos heterocedásticos condicionales. Una aplicación

usando R.

1.1.1 Objetivos de las series temporales

El objetivo general de las series temporales es estudiar el comportamiento evolutivo de

una o varias magnitudes en el tiempo; como objetivos particulares se enuncian los

siguientes:

Describir mediante medidas estadísticas y mediante gráficos las características

principales de la serie.

Predecir mediante métodos sofisticados estimaciones de los valores de las

magnitudes en instantes futuros.

Explicar el efecto de los valores de una magnitud sobre otra en el tiempo.

Controlar los valores de parámetros que puedan influir en el comportamiento de la

serie.

El cumplimiento de estos objetivos permiten a ciencias como la Economia y las Finanzas

a crear modelos que buscan realizar pronosticos de corto y largo plazo en temas de

precios, macroeconomicos, sistemas de inversión entre otros.

1.1.2 Componentes y clasificación descriptiva de las series temporales

En el análisis clásico de las series temporales se supone que los valores que toma la

variable en observación son consecuencia de las componentes tendencia, estacional y

aleatoria, a saber:

Componente tendencia: Se identifica con movimientos suaves de la serie a largo

plazo, es decir cambios a largo plazo de la media. Este tipo de tendencias es muy

apreciable en temas económicos y temas financieros, como los precios, las

exportaciones, las importaciones entre otras.

Componente estacional: Se identifica con variaciones de cierto periodo (anual,

mensual, diario etc.), en estos casos se procede a desestacionalizar la serie, en

otras palabras corresponde a movimientos de una variable que ocurre

reiteradamente durante una frecuencia homogénea de tiempo, para series de

tiempo cuya periodicidad es diaria, semanal, mensual, trimestral o semestral. Este

elemento se caracteriza por aparecer en un periodo desvanecerse en el siguiente

(Morales, Urrego, Perdomo, & Rosales, 2013)

Capítulo 1: Fundamentación sobre las series temporales 5

Componente aleatoria: La serie se muestra como resultado de factores fortuitos

que le inciden de forma aislada. Esta componente es de naturaleza aleatoria, ya

que su movimientos no vienen definidos es decir son irregulares.

Existen algunas clasificaciones para las series de tiempo en función de criterios

particulares, algunas de estas clasificaciones son:

Deterministas o aleatorias: dependiendo del patrón de comportamiento de la

variable observada, sea este fijo o no lo sea.

Discretas o continuas: dependiendo del tiempo en que se recogen las

observaciones de la serie, sean momentos determinados o de forma continua en

el tiempo.

Univariantes o multivariantes: dependiendo si la serie estudiada se encuentra en

función de su propio pasado o se estudian varias series temporales a la vez para

analizar las interacciones dinámicas entre varias series.

1.2 Procesos estocásticos

Un proceso estocástico se entiende como una secuencia de datos que evolucionan en el

tiempo, siendo así las series temporales un caso particular de los procesos estocásticos

(Villavicencio, 2014). De manera más formal se puede definir un proceso estocástico

como una colección de variables aleatorias ordenadas en el tiempo (Gujarati, 2004)

Definición 1.2.1 Un proceso estocástico es una familia de variables aleatorias {

} definidas sobre un espacio de probabilidad , donde el conjunto paramétrico T

es un subconjunto de .

El conjunto suele ser un intervalo o un conjunto de valores discretos, por consiguiente

el proceso estocástico depende de los argumentos, el tiempo y el suceso

elemental . Para cada fijo, es una variable aleatoria y, para cada fijo,

es una realización proceso, por consiguiente una serie temporal es considerada

como una realización de un proceso estocástico.

En síntesis en cada instante existirá una variable aleatoria distinta , por tanto en un

proceso estocástico las características de las variables aleatorias varían en el tiempo


usando R.

1.2.1 Procesos estacionarios

Un proceso estocástico estacionario, débil o de segundo orden, se define como aquel en

que su media y su varianza son constantes en el tiempo y si el valor de la covarianza

entre dos periodos depende solamente de la distancia o retardo entre estos dos periodos

de tiempo y no del tiempo en el cual se ha calculado la covarianza (Gujarati, 2004).

Formalmente se tiene la siguiente definición:

Definición 1.2.2 (Estacionariedad estricta) Un proceso estocástico { } se dice

estrictamente estacionario si, para cualquier { } y para cualquier tal

que{ } , las distribuciones conjuntas de ( ) y

( )coinciden.

La estacionariedad en sentido fuerte se debe contrastar por medio de distribuciones

conjuntas para cualquier selección de variables del proceso, por ello se procede a definir

la estacionariedad débil, la cual es de fácil comprobación.

Definición 1.2.3 (Estacionariedad débil) Un proceso estocástico { } de segundo

orden se dice débilmente estacionario o estacionario en sentido amplio si, y

tal que , se verifica:

1. [ ] (es constante)

2. Cov( (depende de sólo de ).

Un proceso estrictamente estacionario y con momentos de segundo orden finitos es

débilmente estacionario. El recíproco no es cierto, debido a que la estacionariedad débil

no impone restricción alguna sobre la distribución de las variables ni los momentos de

orden superior a dos, sin embargo en el caso de los procesos Gausianos los dos tipos

de estacionariedad equivalen.


1.2.2 Ruido blanco, camino aleatorio y autocorrelación

Ruido Blanco

Dentro de los procesos estocásticos se encuentra un caso simple llamado ruido blanco,

donde los valores son independientes e idénticamente distribuidos a lo largo del tiempo

con media cero e igual varianza, se notan como , esto es:

( )

Camino aleatorio

Se define camino aleatorio como un proceso estocástico , donde y al

obtener su primera diferencia se tiene es decir , siendo este

resultado un ruido blanco.

Definición 1.2.3 Sea { } un proceso estocástico de segundo orden. Se define la

función de autocovarianzas de como:

[ ]

Se define la función de autocorrelación de como:

√

La función de autocorrelación es una medida adimensional de la dependencia lineal entre

variables aleatorias de un proceso estocástico. En el caso estacionario las dos funciones

dependen de y la función de autocorrelación presenta las siguientes propiedades:

1. .

2.

3. , es una función par.


usando R.

1.3 Procesos autorregresivos y de media móvil, modelos ARMA y ARIMA

Existen modelos que tratan de estructuras estocásticas lineales y su asociación con una

serie temporal de datos. Usualmente este tipo de procesos se presentan como

combinación lineal de variables aleatorias. Si estos procesos siguen una distribución

normal con media cero se presenta la serie como combinación lineal de valores

anteriores infinitos de la misma serie más un ruido blanco.

1.3.1 Procesos autorregresivos y de media móvil

Para la correcta identificación de estos procesos es necesario conocer el teorema de

descomposición de Wold y la siguiente definición de un proceso estocástico lineal:

Teorema 1.3.1 (Teorema de descomposición de Wold) Cualquier proceso estacionario

∑ en donde , es una función determinística y

∑

.

Definición 1.3.1 (Proceso estocástico lineal) Un proceso estocástico es un proceso

lineal si para todo puede ser representado como:

∑

Donde es un proceso de ruido blanco y { } es una sucesión de constantes

reales absolutamente sumable, es decir, verifica ∑ | | .

Para la interpretación de estos procesos primero se define el operador de retardos así:

Definición 1.3.2. (Operador de retardos) El operador de retardo de una función del

tiempo en un instante proporciona la función en el instante anterior.

Y presenta las siguientes propiedades:

1. con una constante.


2.

3.

4. , operador de retardo de orden .

El primer proceso a trabajar son los modelos autorregresivos de orden conocidos

como , estos modelos parten del supuesto de que el valor presente de la serie

se explica en función de valores previos así , siendo el número de

retardos necesarios para pronosticar .

El proceso general de se puede modelizar bajo la siguiente ecuación:

,

donde:

representa las vv.aa concebidas como realizaciones de un proceso estocástico

en los momentos de tiempo los cuales se caracterizan por

y la varianza del proceso son los parámetros que definen el modelo y

que deben ser estimados. Reescribiendo en términos del operador de retardos se

tiene:

( )

Proceso Autorregresivo de orden 1:

Un proceso solo está determinado por el valor pasado más un ruido y se define

mediante la siguiente ecuación:

Este modelo debe ser estacionario en media y en varianza, por tanto se deben probar

estas condiciones.


usando R.

La estacionariedad en media implica que y además la

media debe ser constante finita en el tiempo por tanto ; de lo anterior se

tiene que:

Por tanto cuando el proceso es estacionario.

La estacionariedad en covarianza se cumple si la varianza es constante y finita en el

tiempo, tenemos así , dada la

autocorrelación del proceso se tiene [ ]

y suponiendo que el proceso es estacionario se tiene .

De donde , entonces:

Por tanto si | | existirá varianza constante y finita.

Dada la función de autocovarianza de orden , ( )( )

[ ] es decir:

Por lo anterior se tiene:

Por lo que un proceso es estacionario si y solo si | | .

Tenemos además para el proceso :

Función de autocovarianza:


{

Coeficientes de autocorrelación

Función de autocorrelación

{

Siendo la función de autocorrelación de una función exponencial

De donde

Proceso Autorregresivo de orden 2:

Este proceso está determinado por el valor pasado y el anterior a este. El modelo es una

representación autorregresiva de segundo orden y es modelizado por la

ecuación:

Siendo un ruido blanco. También la ecuación se puede reescribir de forma más

general como

Además, si se asume estacionariedad para este proceso, se tiene:

Media


usando R.

[ ]

De lo anterior se puede ver la expresión con media

Función de autocovarianza

Siendo y quienes proporcionan las dos primeras autocovarianzas en función de los

parámetros y de la varianza del ruido blanco .

Autocovarianzas de orden , para todo


{

Coeficientes de autocorrelación

Escritos de forma general

{

Las condiciones de estacionariedad para los dos procesos son las siguientes:

Condición de estacionariedad para el modelo :

| | |

| entonces | |


Condición de estacionariedad para el modelo

| | | √

| | |

√

Si el radicando las raíces son reales y si el radicando

las

raíces son complejas (Villavicencio, 2014).

Proceso de medias móviles

Una serie temporal de medias móviles de orden se representa mediante la

ecuación:

Dónde:

es una variable aleatoria concebida como realización de un modelo estocástico en los

momentos de tiempo , presentando la característica de

.

y la varianza del modelo , representan los parámetros del modelo a estimar.

representa la variable aleatoria ruido blanco.

La característica fundamental de estos modelos suponen que el valor presente de la

serie vienen determinados por una fuente externa. La representación de este modelo

en términos del operador de retardos viene dada así:

Proceso de medias móviles de orden 1:

La serie temporal para este proceso se modeliza mediante la ecuación:

Asumiendo estacionariedad para este proceso se tiene:


usando R.

Media:

Si la esperanza de viene dada por :

Y como

Por la condición de estacionariedad en media la cual exige que no sea función del

tiempo y también que sea finita y determinada, esto se cumple si es finito . Por

tanto:

Además si se supone que se tiene que:

La estacionariedad en varianza se cumple automáticamente pues la varianza de un

finito será siempre finita.

Función de autocovarianza:

{

La función de autocovarianza es finita y depende solo de y no del tiempo, esto es para

cualquier valor del parámetro . Esto implica que no es necesario poner restricciones al

parámetro para que el se estacionario (Villavicencio, 2014). Además el proceso

siempre es estacionario.

Función de autocorrelación:


{

Proceso de medias móviles de orden 2:

Una serie temporal se puede representar como un si se puede modelizar por

medio de la siguiente ecuación:

Estacionariedad en media:

La estacionariedad en media se cumple si es finito y Teniendo que

y si se tiene . Así un modelo es estacionario en media y

varianza si es finito o determinado y además




usando R.

Condiciones de invertibilidad

Invertir un modelo consiste en transformarlo en su modelo equivalente. El

requisito para que se pueda invertir un modelo es que las raíces del polinomio

característico, en modulo, sean menores que la unidad (Cabrer, 2004).

, se parte de de donde . Por tanto el polinomio de

medias móviles viene dado por y resolviendo la ecuación se

tiene

. Así la condición de invertibilidad en este modelo viene dada por | | |

|

o | |

, se parte de , de donde Por tanto

el polinomio de medias móviles viene dado por , y resolviendo la

ecuación se tiene:

| | | √

| | | |

√

|

Estas condiciones, se puede apreciar, son similares a las de estacionariedad pero con el

operador aplicado .

1.3.2 Modelos ARMA Y ARIMA.

Una serie de tiempo , que presente las características y de manera conjunta,

seguirá un proceso , con términos autorregresivos y términos de media

móvil, estos modelos permiten aproximar la estructura de covarianza de un proceso

estacionario hasta el nivel que se fije previamente. Los modelos son una

extensión de los que se utiliza para modelizar algunos procesos no estacionarios.

Definición 1.3.3. (Modelos ARMA) Se dice que la serie estacionaria tiene estructura

si admite una representación del tipo:

( )

La definición anterior la podemos escribir por medio del operador de retardos así:

Definiendo los polinomios:


El modelo toma la forma:

Definición 1.3.4. (Modelos ARIMA) se dice que un proceso tiene estructura

ARIMA(p,q,d) si existen dos polinomios y de grado y , respectivamente,

verificando que

Estacionariedad e invertibilidad

En los modelos ARMA la estacionariedad se representa así:

∑

Siendo y ∑ | | Lo que equivale a que las raíces de la ecuación

sean en modulo mayores que .

La invertibilidad es una propiedad similar. Para un proceso una estructura es

invertible si existe una sucesión de constantes { } , tal que ∑ | |

y

además:

∑ ( ) .

Se puede comprobar que el proceso será invertible si los ceros de la ecuación

tienen todos módulo mayor que 1.


Donde

Presentando esta función de autocorrelación un decaimiento exponencial o sinusoidal

amortiguado a partir del retardo .


usando R.

Función de autocorrelación parcial:

Definición 1.3.5. Se define la función de autocorrelación parcial como aquella función

que para un valor entero nos proporciona la autocorrelación entre y eliminando

la información que ,… contienen ambas es decir,

Por convenio .

Siendo esta definición análoga a:

Pues los residuos de la regresión son ortogonales con todas las variables regresoras, la

función de autocorrelación es par y por tanto la varianza del residuo de la regresión de

una variable sobre las variables sobre el pasado es la misma que la varianza del

residuo de la regresión de una variable sobre las variables más próximas hacia el

futuro.

Para los procesos la función de autocorrelación parcial se anula para valores

superiores a , se observa como el coeficiente de una regresión sobre

variables, al comparar con la estructura de la serie:

Y con la estructura de la regresión:

Esto verifica que para valores de superiores a , por consiguiente será

nulo. Para los modelos o donde hay correspondencia entre los modelos

y los coeficientes decaerán hacia cero.

2. Capítulo 2: Metodología de Box - Jenkins

En este capítulo se estudiara la metodología de Box – Jenkins la cual fue desarrollada en

los años 70 por George Box y Gwilym Jenkins, en la actualidad esta metodología ha

adquirido gran relevancia por la aplicabilidad que tenido gracias al desarrollo de los

sistemas de computación.

La idea principal del enfoque Box - Jenkins es proponer un conjunto de procedimientos

para escoger entre los modelos , y el que se ajuste a los

datos de una serie temporal observada y con ello realizar pronósticos sobre ésta. Este

procedimiento plantea cuatro pasos a saber:

1. Identificación: Este primer paso busca establecer los valores apropiados para

.

2. Estimación: Luego se deben estimar los parámetros incluidos en el modelo.

3. Verificación de diagnóstico: Al seleccionar el modelo particular se debe

comprobar si el modelo se ajusta a los datos (puede existir otro modelo

que presente mejor ajuste). La prueba más simple de ajuste es comprobar si los

residuos obtenidos son ruido blanco.

4. Predicción: El último plazo consiste en la elaboración de los pronósticos de la

serie temporal en particular.

Como desarrollo de la temática para el presente capitulo se procede a estudiar, de forma

más precisa, cada uno de los pasos que comprende el Box - Jenkins

2.1 Paso 1: Identificación.

Este paso comprende identificar la estructura no estacionaria, realizar las

transformaciones a que haya lugar para obtener varianza y media constantes y

finalmente determinar las órdenes del modelo .


usando R.

Este análisis nos permite identificar en la serie temporal características como la alta

frecuencia (característica intrínseca de la serie que no es corregible), el comportamiento

no estacionario y la presencia de estacionalidad en los datos.

2.1.1 Estabilización de la no estacionariedad.

Para la estabilización de la no estacionariedad es posible realizar transformaciones de

Box-Cox diferenciaciones, entre otras.

Transformaciones de Box-Cox

Para una serie temporal , el proceso que se obtiene luego de realizar una

transformación Box-Cox de parámetro se encuentra definido por:

{

Box-Cox además incluye una familia infinita de funciones como logaritmos raíz cuadrada

etc. También se utiliza esta transformación para solucionar problemas de normalidad de

los datos.

Diferenciación

Este procedimiento implica identificar si la serie temporal tiene un centro de gravedad o si

carece de éste, es decir si se presentan tendencias (para lo cual se usara, sobre todo, el

grafico de la serie) y además se busca identificar en la función de autocorrelación

muestral un decaimiento lento.

Para estabilizar la media se toman diferenciaciones del tipo:

En este caso los instrumentos gráficos son muy útiles, se utilizan el grafico de la

serie, el grafico de autocorrelación y el de autocorrelación parcial, con ellos se puede

realizar una diferenciación regular o una diferenciación en la parte estacional .

Capítulo 2: Metodología de Box - Jenkins 21

En la diferenciación en el grafico presentará una tendencia clara, la función de

autocorrelación muestral decaerá de forma lenta y lineal y la función de autocorrelación

parcial muestral presentara un coeficiente de primer retardo cercano a 1. Se debe tener

presente que las tendencias lineales se eliminan con y las tendencias cuadráticas

con . Para la diferenciación en se mostrara un gráfico con pautas repetidas de

periodo y se observara que la función de autocorrelación simple muestral mostrara

coeficientes altos que decrecen de manera lenta en los retardos múltiplos de periodo .

Nota: La diferenciación, a veces, también estabiliza la varianza de la serie

2.1.2 Identificación de órdenes del proceso.

Se proceden a estimar los órdenes y , para ello se compara las funciones

estimadas de autocorrelación simple y parcial con sus respectivas funciones teóricas, se

debe seleccionar un conjunto de modelos que se supongan adecuados.

Los coeficientes de autocorrelación muéstrales se estiman mediante la ecuación:

∑

∑

Donde que representa la serie estacionaria. Para la obtención de se

debe primero calcular la covarianza muestral del retardo , y la varianza muestral,

definidas como (Gujarati):

∑

∑

donde es la media muestral y el tamaño de la muestra, por tanto

. Para

identificar los órdenes del modelo es necesario apoyarse en la función de autocorrelación

parcial ya que (coeficiente de correlación parcial de orden ) mide el grado de

asociación lineal existente entre variables habiendo ajustado el efecto lineal de todas las

variables intermedias, el cálculo se realiza mediante la regresión lineal entre variables

como en que representada seria


usando R.

La función de autocorrelación parcial se estima basándose en los datos de la serie y

como función de . Es claro que si , la serie es ruido blanco, si por el contrario

, la serie no es ruido blanco, por lo anterior se emplea una prueba de significancia

conjunta que determina si los coeficientes estimados estadísticamente equivalen a cero,

pruebas soportadas por los test de Q de Box y Pierce y por la prueba Ljung- Box

(Morales, Urrego, Perdomo, & Rosales, 2013) que se estudian en la sección 2.3.2.

VS

Para identificar órdenes en un proceso estacional se sigue un proceso similar con la

diferencia que se deberán observar los coeficientes en los retardos específicos que

muestren estacionalidad ya que indicaran en la función de autocorrelación y la función de

autocorrelación simple los ordenes y .

Como ilustración de cómo interpretar correlogramas de la FAC y de la FACP en la

identificación de las órdenes del proceso se presentan los siguientes casos

(Morales, Urrego, Perdomo, & Rosales, 2013):

La FAC decrece de manera exponencial y simultáneamente el primer retardo FACP está

por fuera de su intervalo de confianza para sus valores positivos.

La FAC presenta movimientos sinusoidales y simultáneamente el primer retardo de la

FACP está por fuera de su intervalo de confianza para sus valores negativos


Figura 2.1 Correlogramas de Identificación AR(1)

La FAC decrece de manera exponencial y simultáneamente los dos primeros retardos de

la FACP están fuera de su intervalo de confianza para sus valores positivos.

La FAC tiene movimientos sinusoidales y simultáneamente los dos primeros retardos de

la FACP están fuera de su intervalo de confianza, intercalándose en su valor positivo y

negativo o solamente hacia el lado de los negativos.

Figura 2.2 Correlogramas de Identificación AR(2)

La FACP tiene movimientos sinusoidales y simultáneamente el primer retardo de la FAC

está fuera de su intervalo de confianza para sus valores positivos.

La FACP no tiene movimientos (o puede presentar un crecimiento exponencial en sus

valores negativos) y el primer retardo de la FAC está fuera de su intervalo de confianza

para sus valores negativos


usando R.

Figura 2.3 Correlogramas de Identificación MA(1)

La FACP crece de manera exponencial desde los valores negativos hacia los positivos y

los dos primeros retardos de la FAC están fuera de su intervalo de confianza para sus

valores negativos.

La FACP no tiene movimientos o tienen forma sinusoidal y simultáneamente los dos

primeros retardos de la FAC están fuera de su intervalo de confianza para sus valores

negativos.

Figura 2.4 Correlogramas de Identificación MA(2)

La FAC y la FACP decrecen o crecen exponencialmente de manera simultánea desde los

valores positivos hacia los negativos o viceversa, y el primer retardo de ambas está fuera

de su intervalo de confianza para sus valores positivos o negativos.

La FAC y la FACP tienen movimientos sinusoidales y su primer retardo está fuera de su

intervalo de confianza, intercalando sus valores negativos y positivos o solamente hacia

alguno de estos lados.


Figura 2.5 Correlogramas de Identificación ARMA(2)

El modelo se puede identificar teniendo en cuenta que para la FAC la caída a

cero puede ser oscilatoria a partir del retardo y para la FACP la caída a cero puede ser

oscilatoria a partir del retardo

2.2 Paso 2: Estimación.

En este paso se realiza la estimación de los parámetros que constituyen el modelo ,

, y (si es el caso), esta estimación se obtiene por diferentes métodos a

saber:

Método de los momentos

Algoritmo de máxima verosimilitud

Método de mínimos cuadrados condicionales

Métodos de optimización no lineal

Estimadores óptimos

Estos métodos son de complejo cálculo y de manera enunciativa se presentan en este

apartado.


usando R.

2.2.1 Método de los momentos.

Este método realiza la estimación de los parámetros sustituyendo momentos teóricos por

momentos muéstrales y luego resolviendo las ecuaciones correspondientes.

Normalmente se emplean las ecuaciones de Yule- Walker y al solucionarlas se sustituyen

las autocorrelaciones por las estimaciones.

Para una serie temporal que responda a una estructura como en las

ecuaciones de Yule-Walker se obtienen mediante la estimación de las covarianzas o

correlaciones de con si , de donde se tienen las ecuaciones en diferencias.

Las ecuaciones de Yule- Walker son de la forma:

(

)

Donde y son estimadores de y respectivamente, además se

tiene que

y . Para muestras grandes, los estimadores

Yule-Walker siguen distribuciones normales y se aproxima al verdadero valor

poblacional y además, se pueden construir intervalos de confianza para los valores

estimados. Para ello se utiliza la varianza de ,

(

)

para . Para tamaños muéstrales grandes la distribución del estimador obtenido es

, donde de donde un intervalo de confianza para

vendría dado por:

√

Siendo el elemento de .


Este método se utiliza en modelos y genera peores estimaciones, sin embargo

se utiliza para el cálculo de valores iniciales y luego proceder con estimaciones más

complejas.

En síntesis este método proporciona estimaciones de los parámetros bajo la hipótesis de

que la función de autocorrelación estimada coincida con la teórica para los primeros

retardos.

Normalmente se resuelve haciendo uso de algoritmos como el algoritmo de Burg,

algoritmo de las innovaciones y el algoritmo de Hannan- Rissanen.

2.2.2 Algoritmo de máxima verosimilitud.

Con este método se busca que los estimadores de los parámetros maximicen la función

de verosimilitud con respecto a la varianza del error. Por ello el algoritmo se basa en la

función de verosimilitud en modelos planteada por Newbold en 1974:

(( ) ) (

) {

( )}

donde representa la función dependiente de los parametros y

( ) ∑ [

]

donde la esperanza condicional de se representa [ ] dado

y {

donde es función lineal de los valores iniciales no observables ( ) y

( ) .

La utilización de representaciones de los procesos ARMA como modelos en el espacio

de estados y del filtro de Kalman permite calcular de manera exacta la función de

verosimilitud. Al maximizar se logran obtener las predicciones.


usando R.

2.2.3 Método de los mínimos cuadrados condicionales.

Con esta técnica se busca minimizar la suma de cuadrados condicionales ( )

∑

suma que se obtiene de la suma de cuadrados no condicionales, donde

son la base de los cálculos de igualados a cero que corresponde a

su valor esperado.

Para un modelo la estimación viene dada por al siguiente ecuación:

( ) ∑

De donde se plantean las ecuaciones normales siendo:

[

]

( ) y ( ) y por tanto .

2.2.4 Métodos de optimización no lineal.

Los métodos de suma de cuadrados condicional y máxima verosimilitud exacta, al

utilizarse en modelos que contiene términos de medias móviles, generan funciones no

cuadráticas lo que obliga a realizar estimaciones no lineales en la maximización de

y la minimización de la suma de cuadrados condicionales ( ), principalmente se

utiliza el algoritmo de Gauss-Newton, el cual resulta de una variación del método de

optimización de Newton sin el uso de segundas derivadas, este procedimiento es

iterativo por lo cual parte de una estimación inicial del parámetro.

2.2.5 Estimadores óptimos.

Para los modelos los estimadores de máxima verosimilitud, mínimo

cuadráticos condicionales y no condicionales que se basan en el método de los

momentos, permiten obtener buenos estimadores para sus parámetros


. El modelo debe presentar las características de

estacionariedad e invertibilidad y venir dado por:

Donde y representan polinomios conocidos cuando , √

donde presenta distribución normal multivariante con vector de medias y una matriz

de covarianzas de dimensión y que se representa así:

[

]

Siendo:

donde representa el valor de la función de autocorrelación

simple en el retardo para un proceso de la forma .

donde representa el valor de la función de autocorrelación

simple en el retardo para un proceso de la forma .

( ) ; donde representa la covarianza cruzada

de los modelos autorregresivos dados por y , por consiguiente

[ ].

2.3 Paso 3: Diagnóstico del modelo.

En este paso se busca verificar que tan adecuado es el modelo, es decir se debe

comprobar que:

Las condiciones de estacionariedad e invertibilidad de los coeficientes

estimados del modelo se cumplan, así como determinar que estos parámetros

estimados sean significativos.

Los residuos se comporten como ruido blanco.

2.3.1 Diagnóstico de los coeficientes estimados

Para los modelos se plantean los siguientes contrastes de hipótesis:


usando R.

Siendo la constante media. Para los coeficientes los cuales

presentan distribución asintótica ( ) esto donde la inversa de la matriz de

información permite estimar la varianza, el estadístico de contraste con distribución

normal viene dado por:

√ ( )

La hipótesis nula con se rechaza cuando: |

√ ( )|

.

Las condiciones de estacionariedad e invertibilidad se comprueban calculando las raíces

del polinomio autorregresivo, y las raíces del polinomio de medias móviles

, si alguna se encuentra cercana a 1 se puede presumir falta de estacionariedad

o invertibilidad. Por otra parte la matriz de covarianzas permite detectar presencia de

factores comunes al modelo valiéndose de los niveles de correlación entre los modelos.

2.3.2 Diagnóstico de los residuos el modelo.

Para el modelo se debe comprobar que los residuos presentan un

comportamiento de ruido blanco, media cero, varianza constante y autocorrelaciones

nulas.

Para el contraste de media cero se plantean las hipótesis

El estadístico viene dado por:

√

√


Donde y representan la media y al varianza muestral de los residuos estimados.

También se puede usar el análisis grafico de los residuos que junto con el de dispersión

nos podrá indicar la existencia de varianza constante.

Para determinar la no existencia de correlaciones entre los residuos se utiliza el

estadístico de Ljung-Box el cual viene dado por:

∑

Siendo el coeficiente de autocorrelación de los residuos estimados, representa el

número de valores de la serie y representa el número de parámetros estimados. El

estadístico se distribuye como una Chi-cuadrado, donde el número de grados de

libertad es igual a , siendo el número de coeficientes utilizados en la suma.

Las hipótesis a probar con este test son:

Gráficamente se pueden observar los coeficientes de las funciones de autocorrelación

muestrales (simple y parcial) que no deberán ser significativos para considerar la

independencia entre residuos (comparados con las bandas de confianza).

Nota: Alguno puede ser significativo debido al azar.

Si los residuos presentan comportamiento de ruido blanco se procede a calcular las

predicciones, de no cumplirse esto se debe repetir el proceso y proponer un nuevo

modelo en la fase de identificación.

Como conclusión se puede decir que en esta etapa se selecciona la mejor especificación

del modelo para realizar el pronóstico, el cual se estudia en el paso 4.

2.4 Paso 4: Predicción.

Una vez que se cuenta con un modelo estimado que cumpla los criterios de validez

anteriores, este puede ser utilizado para realizar pronósticos (Morales, Urrego, Perdomo,

& Rosales, 2013) para instantes observados la predicción a realizar es del tipo y

viene dada a partir de la ecuación de diferencias:


usando R.

Como suma infinita ponderada de los valores :

∑

Como suma infinita ponderada de los valores previos más un ruido

∑

Si la predicción de la observación se denomina predicción de pasos hacia el

futuro y se representa por y que se expresa como combinaciones lineales de

valores pasados y presentes, siendo además función de los valores pasados y presentes

del proceso ruido.

∑

Donde representa los pesos que minimizan el error cuadrático medio de la

predicción, luego el error de la predicción se expresa como:

La varianza de la predicción se representa por:

[ ]

Asumiendo que el ruido blanco sea Gaussiano se tiene el siguiente límite de confianza

para un :

√

3. Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales.

En este capítulo se continua con una introducción teórica de la series de tiempo, pero

abarcando los modelos y , esto es indispensable para comprender los

procedimientos a trabajar en la aplicación a los datos que se realizara en el último

capítulo de este trabajo.

En series financieras lo normal es observar como el precio de algunos activos se

comportan establemente durante un periodo de tiempo determinado para luego presentar

una alta volatilidad y finalmente retomar la estabilidad previa.

Los periodos de alta volatilidad son propios de dichas series de tiempo financieras,

siendo la volatilidad una característica no constante, implicando que los modelos de

series de tiempo clásicos, donde se supone varianza homocedástica, no son idóneos en

la modelación de series financieras.

Los modelos de series de tiempo clásico se refieren a los estudiados en el capítulo 2

(Box-Jenkins) donde se parte de un proceso estocástico estacionario y se supone media

y varianza constantes.

Estos procesos estocásticos, que no siguen un patrón Box-Jenkins, se denominan

modelos heterocedásticos condicionales y con ellos se busca determinar un patrón

estadístico que defina el comportamiento de la varianza.

En este capítulo se estudian los principales modelos heterocedásticos condicionales a

saber:

El modelo planteado por Engle en 1982 en el cual la varianza condicionada

a la información pasada no es constante, y depende del cuadrado de las

innovaciones pasadas (Casas Monsegny, 2008).


usando R.

El modelo planteado por Bollerslev en 1986 el cual resulta de una

generalización del modelo y donde la varianza condicional no solo depende

de los cuadrados de las perturbaciones, sino además, de las varianzas

condicionales de periodos anteriores (Casas Monsegny, 2008).

También se estudiaran las familias resultantes de las extensiones del modelo

como por ejemplo Modelos , o y entre

otros.

En la parte final del capítulo se enuncian los principales contrastes de heterocedasticidad

condicional a saber: los multiplicadores de Lagrange, el test de Portmanteau y los

contrastes robustos.

3.1 Modelos

En un modelo se supone que en la serie de tiempo se permiten tener procesos

de ruido blanco formados por variables dependientes, tenemos por tanto:

Los modelos normalmente se utilizan para modelar series de retornos de activos

financieros, los retornos de cada periodo representan la variación del precio del activo

para cada periodo, si se denota al retorno para cada periodo como , se tiene:

Donde representa el precio del activo en el periodo . Si se elimina el 1 y se toman

logaritmos, se define el que se expresa mediante la ecuación:

Entonces podemos reemplazar , por lo cual:

Como y son procesos estacionarios independientes entre sí; representa un ruido

blanco normal formado por variables independientes con media cero y varianza unitaria,

Capítulo 3: Modelos heterocedásticos condicionales 35

también es estacionario pero presenta una estructura dinámica en función de los

valores previos que se notara como .

La media marginal cero de la serie se garantiza por la independencia entre y y

como se muestra en (Contreras, 2007) esto se explica ya que:

La media condicional también es nula ya que:

Y al ser un proceso estacionario, se tendrá una varianza marginal constante , la cual

se calcula así:

Que es igual a la varianza del proceso puesto que , pero presenta una

varianza condicionada no constante:

Además que

, se puede ver que representa la varianza

condicionada de la serie en cada instante, que va variando en el tiempo con cierta

estructura estacionaria (Contreras, 2007).

Para el estudio financiero de estos modelos es también importante tener claro que la

varianza condicional se conoce como volatilidad. Dentro de los modelos se

estudiaran los modelos

3.1.1 Modelo

Para analizar este modelo se supone que se tiene una serie temporal de retornos , la

cual normalmente es una secuencia de correlación serial con media cero, esto es cierto

aun cuando presente algunos periodos de volatilidad, por tanto la varianza condicional de

, dada la rentabilidad pasada, no es constante.


usando R.

La varianza condicional de se denota por

, es decir el condicionamiento se refiere

al periodo . Al elevar al cuadrado, se pude obtener un estimador insesgado de

.

En el modelo se supone que la varianza condicional tiene una estructura

y que depende del último valor observado. Este modelo asume que la serie de retornos

se genera así:

Donde y son parámetros desconocidos y es una secuencia de variables aleatorias

independientes e idénticamente distribuidas cada una con media cero y varianza 1,

además es independiente de y si el valor de es alto, la varianza

de la siguiente observación condicionada a este valor será alta, por lo cual,

probablemente, el valor siguiente de será alto (Cryer y Chan, 2008).

Como se presume de varianza unitaria, la varianza condicional de es igual

por consiguiente:

( | ) ( |

| )

|

|

|

|

Si bien es cierto que el modelo es similar a un modelo de regresión, su utilización

no es igual ya que la varianza condicional unitaria no es directamente observable

(variable latente). Por ello si en reemplazamos la varianza condicional por un valor

observado |

, donde la innovación representa una serie incorrelada con

media cero y también es incorrelada con el retorno pasado, al sustituir |

,

se tiene que:


Lo que indica que la serie de retornos al cuadrado satisface un modelo bajo el

supuesto de una serie de retornos con modelo ; como debe ser no negativo,

es lógico que y sean también no negativos, Además, si la serie de retorno es

estacionaria con varianza unitaria , reemplazando los retornos en ambos lados de la

ecuación , se tiene:

Lo que es igual a con , condición necesaria y suficiente para la

estacionariedad débil del modelo .

La varianza es constante en un proceso débilmente estacionario, la condición

implica que existe una distribución inicial de de tal forma que como en y

para sea débilmente estacionario. Por tanto para el modelo la

estacionariedad débil no excluye el proceso de varianza condicional, es decir el modelo

es de ruido blanco y admite un proceso de varianza condicional no constante

que varía con el retardo de uno de los procesos al cuadrado (Cryer y Chan, 2008).

En un modelo , si la innovación tiene distribución normal, su distribución

estacionaria con es de cola gruesa, es decir su curtosis es mayor

que cero (Cryer y Chan, 2008).

El principal uso de los modelos es predecir las varianzas condicionales futuras, por

ejemplo se pueden predecir los futuros pasos de la varianza condicional mediante:

| (

| )

Cuando

|

Lo que representa un promedio ponderado de la varianza a largo plazo y el retorno

cuadrado actual. Usando la esperanza iterada (véase (Cryer y Chan, 2008)) se tiene:

| (

| )

|


usando R.

Por tanto |

. Siendo otra forma de calcular el futuro paso de la

varianza condicional.

3.1.2 Modelo

El análisis de la sección anterior se puede generalizar para permitir una dependencia de

la varianza condiciona con retardos. Las fórmulas de predicción derivadas en la

sección anterior muestran las fortalezas y debilidades de un modelo como la

previsión de las futuras varianzas condicionales donde sólo se involucra el último retorno

al cuadrado. En la práctica, se puede esperar que la precisión de la predicción mejore

mediante la inclusión de todos los últimos retornos al cuadrado con menor peso de las

volatilidades más distantes.

En 1982 Engle propone el modelo cuyo enfoque consiste en incluir los retornos

al cuadrado más rezagados en el modelo. Este modelo generaliza la ecuación así:

|

representa el orden del modelo . Este modelo implica que las posibilidades de

rachas de alta volatilidad dependerán de los últimos valores. Para este modelo se tiene

que:

[ ( |

)] ∑

De donde

con la restricción de ∑

. Al igual que en el modelo

se introduce la innovación y si se sustituye tenemos |

, de

donde:

La innovación presenta las mismas propiedades que en el modelo a saber:

Variables incorreladas de media cero, varianza constante e incorreladas con los

regresores. Por otro lado, estas variables no son independientes entre sí, ni con los

regresores, ya que la positividad de exige que

(Contreras, 2007).


3.2 Modelos

El modelo presenta dificultades de estimación al aplicarse a estructuras

dinámicas en los cuadrados de las series, tal es el caso de las series financieras donde el

número de retardos a utilizar es muy alto, lo cual llevaría a un gran número de iteraciones

para alcanzar la solución al sistema planteado, incluso podría no encontrarse una

solución (Rafael de Arce y LL Klein, 1998). Partiendo de la ecuación y aplicando el

enfoque propuesto por Bollerslev (1986) y Taylor (1986) que introducen retardos de la

varianza condicional, se tiene que representa el orden del modelo , al combinar

el modelo se tiene el modelo llamado heterocedasticidad condicional

autorregresiva generalizada, modelo que representa una fórmula ampliada del modelo

donde la varianza condicional depende de los valores previos de la variable y de

sus propios valores anteriores (Cryer y Chan, 2008), se expresa así.

| |

|

Para este modelo las varianzas condicionales deben ser no negativas, por tanto los

coeficientes presentan la restricción de no negatividad, sin embargo es conveniente

aclarar que las limitaciones de no negatividad de los parámetros no son necesarias para

que el modelo tenga varianzas no negativas con probabilidad 1. Para el

desarrollo de este capítulo supondremos la restricción de no negatividad de los

parámetros del modelo .

Para el ajuste del modelo se deben seguir los pasos previstos en la metodología

Box-Jenkins, es decir identificación, estimación, diagnóstico y predicción.

La identificación del modelo de órdenes permite expresar el modelo para las

varianzas condicionales en función de los retornos al cuadrado. Retomando la definición

|

. Como en el modelo se puede demostrar que { } es una

secuencia no correlacionada en la serie, además no presenta correlación con los

retornos cuadrados pasados. Si se sustituye la expresión |

en la ecuación

se obtiene:


usando R.

Donde para todos los enteros y para todo . Lo que demuestra

que el modelo para la series de retornos al cuadrado es un modelo

, lo que implica que se pueden aplicar las técnicas de identificación

de modelos utilizadas en los modelos de retornos al cuadrado y así identificar y

Cuando primero se obtiene un modelo y luego se procede a

estimar examinando la significancia de las estimaciones de los coeficientes resultantes

en el modelo .

Para demostrar la condición de estacionariedad débil se supone que el proceso de

retornos toma un modelo y además que este proceso es débilmente

estacionario. Al tomar esperanzas en ambos lados de la ecuación se obtiene una

ecuación para la varianza no condicional .

∑

de donde

∑

que es finito si

∑

condición necesaria y suficiente para la estacionariedad débil en un modelo

Se supone que y , además, en adelante se supondrá

que .

Para el pronóstico del pasos de la varianza condicional | se toma la fórmula

recursiva en donde .

| ∑

|

Generalizando para un valor arbitrario , la formula se torna más compleja


| ∑ |

|

donde

|

y

| {

|

|

El cálculo de las varianzas condicionales puede ilustrarse más claramente con el modelo

. Si se supone que se tienen observaciones y

|

|

Para el cálculo de las varianzas condicionales cuando se debe establecer el

valor inicial | . Lo anterior se puede ajustar a la varianza estacionaria no condicional

bajo la suposición de estacionariedad o simplemente como , de

lo cual se puede calcular | por la fórmula que define el modelo , se puede ver

que:

|

|

Se puede ver que la estimación de un paso por delante de la volatilidad condicional es un

promedio ponderado de la varianza de largo plazo, el retorno cuadrado actual y la

estimación actual de la volatilidad condicional. Además la representación , de la

varianza condicional implica que:

|

Siendo una media móvil infinita de los retornos al cuadrado pasados, en la formula se

puede ver que los retornos pasados más distantes reciben pesos exponencialmente

decrecientes. En el caso en que el modelo es no estacionario y

se denomina un modelo , donde se supone que y

entonces:


usando R.

|

La estimación se basa en el método de máxima verosimilitud de donde la función de

probabilidad del modelo se puede derivar de manera sencilla para el caso de las

innovaciones normales. Particularmente para el modelo se parte de tener

dados los parámetros , y de donde se pueden calcular las varianzas condicionales

por la fórmula:

|

|

Para con valor inicial de | , se asume el supuesto de estacionariedad en la

varianza no condicional estacionaria , e incluyendo la función de

densidad de probabilidad pdf:

|

√ |

[

| ]

Y para la pdf conjunta:

|

Por iteración se obtiene la fórmula para la función de :

∑{ |

|

}

No hay una solución analítica para los estimadores de máxima verosimilitud , y pero

se pueden calcular maximizando la función numérica de . Los

estimadores de máxima verosimilitud se distribuyen normalmente y se aproximan a los

valores de la media de los parámetros reales. Sus covarianzas pueden verse en una

matriz identificada por y que se obtiene como se muestra a continuación:

[

]

El vector anterior representa el vector de parámetros, donde se escribe el

componente de como , de modo que , y . Los elementos


diagonales de representan las varianzas aproximadas de los estimadores y los

elementos por fuera de la diagonal representan sus covarianzas aproximadas. Así el

primer elemento diagonal de es la varianza aproximada de . El elemento de

es la covarianza aproximada de y ; y así sucesivamente. Para el desarrollo

matemático en el cálculo de revisar el capítulo 12 de Time Series Analysis (Cryer y

Chan, 2008)

Para la estimación del modelo se suponen innovaciones normales, la función de

verosimilitud que resulta con este supuesto se conoce como la verosimilitud de Gauss, y

los estimadores que maximizan esta verosimilitud se conocen como los estimadores de

verosimilitud cuasi máximos (QMLEs) por sus siglas en ingles. Se puede demostrar que,

bajo ciertas condiciones de regularidad leve, incluyendo la estacionariedad, los QMLEs

son aproximadamente normales y con valores medios aproximados a los de los

parámetros verdaderos, además su matriz de covarianzas es igual [

] , donde es la

curtosis de las innovaciones y es la matriz de covarianza, asumiendo que las

innovaciones se distribuyen normalmente. Si no se puede mantener el supuesto de

innovaciones normales, se deben ajustar los errores estándar de los QMLEs

multiplicando los errores estándar de la verosimilitud Gaussiana (basada en el supuesto

de innovaciones normales) por √ , donde se puede sustituir por la curtosis

muestral de los residuos estandarizados (Cryer y Chan, 2008).

La desviación estándar condicional estimada se denota por | el residuo

estandarizado se define como:

|

El residuo estandarizado del modelo ajustado sustituye las innovaciones y permite

identificar la manera en que se distribuyen dichas innovaciones.

En el paso de diagnóstico se comprueba que el modelo proporciona un ajuste adecuado

a los datos, para ello se debe comprobar la correcta especificación del modelo, esto es,

si los datos apoyan los supuestos del modelo.

Se toma como base la ecuación que define los residuos estandarizados, los

cuales son aproximadamente independientes e idénticamente distribuidos, si se ha


usando R.

especificado correctamente el modelo. Los residuos estandarizados son muy útiles para

controlar la especificación del modelo, la hipótesis de normalidad se puede contrastar

con los graficos QQ de probabilidad normal, además, la prueba Shapiro-Wilk y la prueba

Jarque-Bera son útiles para probar formalmente la normalidad de las innovaciones.

El supuesto de que las innovaciones están independiente e idénticamente distribuidas se

comprueba examinando su función de autocorrelación simple (acf) muestral, en este

caso es útil el estadístico de Portmanteau (conocido como estadístico de Box-Pierce y,

en una versión modificada, el estadístico de Ljung-Box) que se define como

∑

, donde es la autocorrelación del retardo de los residuos

estandarizados y representa el número de valores de la serie y el número de

parámetros estimados. Además se puede demostrar que el estadístico de prueba

presenta una distribución con grados de libertad, donde indica que el modelo

se ha especificado correctamente. Este resultado se basa en el hecho de que las

autocorrelaciones muestrales de los retardos distintos de cero, de una secuencia

independiente e idénticamente distribuida, son aproximadamente independientes y

normalmente distribuidos con media cero y varianza , resultado que se mantiene para

las autocorrelaciones muestrales de los residuos estandarizados, si los datos son

realmente generados por un modelo con las mismas ordenes que las del modelo

ajustado.

Otro test para la detección de estructuras no lineales es el Test de Keenan (1985) el cual

es similar al test de Tukey (1949) de no aditividad con un grado de libertad, la prueba de

Keenan está justificada por la aproximación de la expansión de Volterra (Wiener 1958) de

una serie estacionaria de segundo orden (Cryer y Chan, 2008)

∑

∑ ∑

Con el estadístico:

donde √∑

, RSS representan los residuos al

cuadrado ajustados y es el coeficiente de regresión. Bajo la hipótesis nula de

linealidad, el estadístico de prueba se distribuye, aproximadamente, con distribución F

con y grados de libertad.


Para los residuos estandarizados absolutos se utiliza el estadístico de prueba de

Portmanteau generalizado:

∑∑

Los dependen del número de retardos y son específicos para el verdadero modelo

subyacente, por tanto se deben estimar a partir de los datos. Para los residuos al

cuadrado toma valores diferentes, los y representan las estimaciones de las

autocorrelaciones y de los residuales estandarizados absolutos .

El modelo estudia el cumplimiento de las condiciones para lo no negatividad de las

varianzas condicionales puesto que esto genera que los parámetros del modelo

presenten la restricción de no negatividad, sin embargo esta restricción no implica que se

deba cumplir la no negatividad de las varianzas condicionales. Considerando el caso de

un modelo , la varianza condicional viene dada por:

|

Suponiendo retornos consecutivos pueden tomar cualquier conjunto arbitrario de

valores dentro de los números reales. Si uno de los es negativo, por ejemplo ,

lleva a que | puede ser negativa si

es suficientemente grande y el otro es

suficientemente cercano a cero, de donde resulta evidente que todo deben ser no

negativos para que las varianzas condicionales sean no negativas. Al igual, si se permite

que los retornos estén cercanos a cero, debe ser no negativo para que la varianza

condicional no pueda ser negativa.

Para el caso de un modelo se estudia expresando el modelo como

un modelo de orden infinito. La varianza condicional del proceso { | } es un

modelo , donde los retornos al cuadrado cumplen el papel del proceso de

ruido. Un modelo se puede expresar como un modelo , por lo cual si

se asume que las raíces de

tienen una magnitud mayor

que 1, las varianzas condicionales satisfacen:

|


usando R.

donde

[ ∑

]

donde las varianzas condicionales son no negativas si y solo si y para todos

los enteros . Los coeficientes del se refieren a los parámetros del modelo

a través de la igualdad:

Si entonces se puede comprobar que para , de donde

para todo si y solo si y . Para las modelos de orden

superior véase el capítulo doce al capítulo de Time Series Análisis de Cryer y Chan.

3.3 Extensiones del modelo

En algunos casos se pueden usar un modelo que mejore el modelo , esto es que

compile de forma más exacta las características y la dinámica de una serie temporal, en

ese caso se utiliza lo que se conoce como extensiones del modelo .

El supuesto del modelo de media condicional cero no siempre se cumple en las

series de tiempo, normalmente se utiliza una modelización de un , incluido el

ruido blanco, con algún modelo Representado una serie de tiempo

cualquiera con se tendría:

|

|

|

|

]

Las partes del modelo se muestran después del signo más (+). La identificación de

los órdenes se realiza sobre la base de la serie temporal, mientras que los

órdenes se identifican con los residuos al cuadrado del modelo ajustado.

La estimación de máxima verosimilitud para el modelo completo ( + ) se

realiza maximizando la función de probabilidad establecida en la ecuación ,

reemplazando en la notación por . La independencia de los estimadores de máxima


verosimilitud de los parámetros y se cumple si las innovaciones se

distribuyen simétricamente y sus errores estándar vienen dados por el modelo

puro, de igual manera se cumple para los estimadores de los parámetros donde

sus resultados presentan una distribución similar a la del modelo puro, sin

embargo, si las innovaciones presentan distribución asimétrica indica que los

estimadores y están correlacionados.

Otra generalización del modelo se da cuando el proceso de volatilidad no es

lineal, esto se puede modelar con los llamados modelos de una variante (umbral

desconocido y distinto de cero) (Zarraga, 2011), esto es una configuración de un modelo

con modelación de asimetría según la siguiente especificación:

|

Existen otras extensiones del modelo que estudian el llamado “efecto

apalancamiento” efecto que consiste en incorporar al modelo el impacto asimétrico de la

información externa sobre la serie temporal, tomando la información externa como

innovaciones, se puede decir que existen innovaciones positivas e innovaciones

negativas, las extensiones que estudian esto se conocen como , y .

Modelo este modelo fue propuesto por Nelson (1991) y se conoce como el

modelo (García Centeno & Ibar Alonso, 2008), el log de su varianza

condicional viene dado por la ecuación:

| ∑

| |

∑

|

Modelo , este modelo fue propuesto por Ding, Granger y Engle (1993) y se

conoce como modelo , su varianza condicional viene dada por al

ecuación:

| ∑ | |

∑ |

Donde es un exponente positivo y representa los coeficientes del efecto

apalancamiento


usando R.

3.4 Test de Heterocedasticidad Condicional

La detección de la heterocedasticidad condicional se realiza utilizando el análisis gráfico

y unos contrastes formales, en series de tiempo los principales test destinados a esto

son:

3.4.1 Multiplicador de Lagrange

Este contraste fue propuesto por Engle (1982) y busca detectar modelos (aunque

Lee en 1991 demostró que este contraste es el mismo para procesos ) y

viene dado por donde representa el tamaño muestral y es el coeficiente de

determinación del cuadrado de las observaciones, para el caso de los retornos,

. Se contrasta vs , el estadístico

se distribuye asintóticamente como una variable con grados de libertad (Carnero

Fernandez, 2003).

3.4.2 Contraste de Portmanteau

Este test fue enunciado previamente en la sección 3.2, propuesto por McLeod y Li (1983)

basado en el estadístico ∑

, se busca contrastar la hipótesis nula

, se distribuye con una con grados de libertad.

3.4.3 Contrastes Robustos

Van Dijk (1999) propusieron un contraste robusto que logra diferenciar entre efectos

verdaderos y los espurios que son causados por la presencia de rachas atípicas,

cuestión que el contraste de los multiplicadores de Lagrange no lograba solucionar.

El estadístico usado es el mismo que el contraste de los multiplicadores de Lagrange,

, pero representa el coeficiente de determinación de la regresión

sobre

una constante y

y donde viene dada por:

( | | ) | | ( | | ) | |

Siendo y constantes de ajuste, y , es

la función signo y es un polinomio de orden 5 que hace que sea dos veces


continuamente diferenciable y vendría dada por:

, donde es un

estimador robusto de escala , en este caso el MAD (Mediana de las observaciones

absolutas con respecto a la mediana) y que viene dada por

.

Siendo la función definida en y la distancia de Mahalanobis

| |

donde es una medida robusta de localización de la mediana y .

(Carnero Fernandez, 2003).

4. Capítulo 4: Aplicación usando el Software R

4.1 Consideraciones iniciales para la construcción del modelo en R

Los datos a trabajar corresponden a los a los valores que tomó la acción del Banco de

Bogotá a precio de cierre en la Bolsa de Valores de Colombia. Los datos pertenecen al

periodo comprendido entre 16 de enero de 2012 al 17 de enero de 2014, aunque la Bolsa

de Valores de Colombia no opera fines de semana se supone que la distancia entre los

diferentes datos es la misma, es decir se consideran datos de días seguidos.

El Banco de Bogotá es uno de los Bancos más tradicionales de Colombia con sedes de

operación en casi todos los municipios del país, presta servicios de ahorro y crédito y es

un fuerte participante del mercado público de valores.

Para trabajar series de tiempo en R se pueden instalar los siguientes paquetes: ‘forecast’,

‘lmtest’; ‘timsac’; ‘tseries’; TSA’.

Para iniciar el estudio de la serie se procede a ejecutar la lectura de los datos y realizar

la gráfica respectiva utilizando el software R

Figura 4.1. Precio de Cierre de la acción Banco de Bogotá desde el 16/01/2012 hasta 17/01/2014

Precio de cierre de la acción de Banco de Bogotá

16 de Enero de 2012 al 17 de Enero de 2014

Tiempo en días

Pre

cio

de

cie

rre

de

la A

cció

n

0 100 200 300 400 500

50

00

05

50

00

60

00

06

50

00

70

00

0


usando R.

Se observa en la figura 4.1, como varían los precios de las acciones del Banco de Bogotá

a lo largo del tiempo. Se evidencian algunos picos altos y algunos picos bajos que

corresponden a alzas y caídas en el valor de dichas acciones.

Es necesario comprender que los retornos (rendimientos) de los precios tienen

propiedades estadísticas que facilitan el trabajo analítico. Por tanto, en lugar de trabajar

con los precios directamente, se recomienda trabajar con los retornos de estos1.

Se procede a calcular el valor de los retornos y realizar su grafica respectiva en R:

De donde se obtiene la figura siguiente:

Figura 4.2 retornos Banco de Bogotá

La figura 4.1 muestra que la serie de tiempo de los precios de cierre de las acciones del

Banco de Bogotá presenta un comportamiento con tendencia creciente, donde después

del dato 400 la volatilidad se incrementa, también se debe resaltar el dato 135 que es

bastante atípico en la serie. La figura 4.2 permite ver que los retornos de la serie se

comportan de forma volátil, incrementándose la variabilidad sobre el final de la serie.

1 Se trabaja con la diferencia de los

Rendimientos Diarios Banco de Bogotá 2012-2014

Tiempo

Re

nd

imie

nto

s

0 100 200 300 400 500

-50

5

Capítulo 4: Una aplicación usando R 53

En la figura 4.2 se observa que esta serie presenta los hechos estilizados

frecuentemente vistos en las series financieras: períodos de alta y baja volatilidad, saltos

de precios discontinuos.

Se obtiene la función de autocorrelación (ACF) y la función de autocorrelación parcial

(PACF) en R, los cuales son una buena ayuda gráfica para detectar si hay correlación

serial entre los retornos, y también si hay independencia entre ellos.

Figura 4.3 ACF retornos Banco Bogotá

Figura 4.4 PACF retornos Banco de Bogotá

Las figuras 4.3 y 4.4, de ACF y PACF, tienen su primer retardo fuera del intervalo de

confianza, además los correlogramas ACF y PACF decrecen sinusoidalmente, por lo cual

0 5 10 15 20 25

-0.1

5-0

.05

0.0

50

.15

ACF para Rendimientos

Rezagos

AC

F

0 5 10 15 20 25

-0.1

5-0

.05

0.0

00

.05

0.1

0

Rezagos

PA

CF

PACF para Rendimientos


usando R.

se puede pensar que es un modelo o , es de tener presente que el retardo

17 en los dos correlogramas está por fuera del intervalo de confianza.

Construcción y Estimación del Modelo:

Ahora interesa construir un modelo de series de tiempo capaz de explicar las

características de la serie. Estas características, como se dijo anteriormente,

corresponden a las de una serie financiera: elevado exceso de curtosis, saltos de precios

discontinuos, períodos de alta y baja volatilidad.

Modelo para la media

El primer paso en esta labor, es construir un modelo para la media, el cual tenga la

capacidad de eliminar toda la dependencia lineal entre los retornos.

Como se vio anteriormente, las correlaciones seriales entre los retornos son muy débiles,

por esto, se presume que un modelo muy simple es suficiente para explicar el

comportamiento medio de los retornos.

Para identificar el modelo para la media, haremos uso de la EACF,

Figura 4.5 EACF retornos Banco de Bogotá

La figura 4.5 indica que el modelo sugerido para la media es el


Se calcula el modelo

Resumiendo el proceso de estimación:

Parámetro Estimación Error Estándar Valor-p

Tetha1 -0.1888 0.0460 4.055427e-05

Intercepto 7e-04 4e-04 1.038091e-01

El modelo se encuentra sobre especificado ya que el valor del intercepto no es

significativo dado su por tanto se estima nuevamente el modelo

seleccionado eliminando este parámetro. Es de resaltar que esta decisión se toma con

una confianza del 95%

Resumiendo el proceso de estimación:

Parámetro Estimación Error Estándar Valor-p

Tetha1 -0.1822 0.0457 6.68034e-05

De esta forma, un posible modelo econométrico para la media de los retornos sería

modelo , tomando la ecuación a saber y al ser el

coeficiente negativo, quedaría de la siguiente forma:

Se proceden a obtener los residuos de este modelo, estandarizándolos y calculando los

gráficos ACF Y PACF, se tiene:


usando R.

Figura 4.6 ACF y PACF residuos MA(1)

En la figura 4.6 se observa que los correlogramas ACF y PACF del modelo no

muestran correlaciones importantes, por tanto se puede pensar que es ruido blanco, lo

anterior se comprueba con el test de Ljung-Box que presenta un mayor que

5%, con lo cual se puede aceptar que se trata de ruido blanco, como se puede ver a

continuación:

Es decir:

VS

y como

Resultado test Ljung-Box

Estadístico df Valor-p

39.5876 30 0.1131

Siendo el criterio de rechazo que , .

Para comprobar la normalidad de los datos se realiza el test de Shapiro Wilk, de donde

se tiene.

0 5 10 15 20 25

-0.0

5ACF Residuales Estandarizados

Rezagos

AC

F

0 5 10 15 20 25

-0.0

50

.15

Rezagos

Pa

rtia

l A

CF

PACF Residuales Estandarizados


Shapiro-Wilk normality test

data: resid

W = 0.872, p-value < 2.2e-16

Los residuales del modelo no vienen de una distribución normal, el modelo se ajusta bien

a los datos, sin embargo se debe tener en cuenta que la distribución tiene colas por fuera

de la distribución normal. En este punto se transformaron los datos de la serie mediante

una transformación de precios, obteniendo un de 2.2E-16, es decir,

tampoco se cumple el supuesto de normalidad, es de considerar que en los modelos

, comúnmente se emplean tres distribuciones de probabilidad sobre la distribución

del error: la distribución Normal; la distribución t-student, o, la distribución generalizada

del error GED (Montenegro, 2010), en este trabajo se asumirá una distribución t-student.

Se realiza la prueba de Dickey. Fuller Aumentada (ADF) para descartar la

estacionariedad de la serie, en R se tiene:

Augmented Dickey-Fuller Test

data: resid

Dickey-Fuller = -8.453, Lag order = 7, p-value = 0.01

alternative hypothesis: stationary

El test ADF indica que se debe rechazar la hipótesis nula de que la serie no sea

estacionaria.

Sabiendo ya que los residuos del modelo son ruido blanco (figura 4.6) se grafican

los correlogramas ACF y PACF de los residuales al cuadrado y se realiza el test de

Ljung-Box:

Box-Ljung test

data: resid^2

X-squared = 87.1323, df = 30, p-value = 1.775e-07


usando R.

Figura 4.7 ACF y PACF de los residuos al cuadrado

Se puede observar en la figura 4.7 que los residuos al cuadrado del modelo no

son ruido blanco, como confirmación de lo anterior el test de Ljung-Box tiene un

menor que 5% con lo cual se rechaza que se trata de ruido blanco, además se

observa que para el retardo 1 los coeficientes, en la ACF y en la PACF, son significativos;

se hace necesario aplicar un modelo heterocedástico , lo cual se realiza en la

siguiente sección.

4.2 Estimación del Modelo

Para la estimación de los parámetros del modelo se utilizara la librería

rugarch2, y para identificar los parámetros del modelo para la varianza, haremos uso de

la EACF de los residuos al cuadrado:

2 Para el estudio de esta librería véase:

http://cran.r-project.org/web/packages/rugarch/vignettes/Introduction_to_the_rugarch_package.pdf

0 5 10 15 20 25

-0.1

0.2

ACF Residuales Estandarizados Cuadrados

Rezagos

AC

F

0 5 10 15 20 25

-0.1

0.3

Rezagos

Pa

rtia

l A

CF

PACF Residuales Estandarizados Cuadrados

http://cran.r-project.org/web/packages/rugarch/vignettes/Introduction_to_the_rugarch_package.pdf


Figura 4.8 EACF residuos al cuadrado del modelo para la media

De la figura 4.8, se observa que el modelo sugerido para la varianza es el , de la

forma:

donde

;

Se realiza la estimación conjunta de las ecuaciones de media y varianza, de donde se

obtiene:

Parámetro Estimación Valor p

ma1 -0.139293 0.004115

omega 0.000099 0.002696

alpha 0.999000 0.003975

Se puede observar que todos los parámetros del modelo son significativos, de esta forma

un posible modelo econométrico para la varianza de los retornos seria de la siguiente

forma:


usando R.

Validación del Modelo:

Con el fin de validar el modelo , se estudia la significación de los parámetros en

los modelos y .


obtiene:


ma1 -0.131156 0.007808

omega 0.000100 0.004848

alpha1 0.986985 0.003654

alpha2 0.012015 0.891953

Se puede observar que el nuevo parámetro incluido en el modelo no es significativo.


obtiene:


ma1 -0.129293 0.011088

omega 0.000094 0.012543

alpha1 0.978297 0.003596

beta1 0.020703 0.853733

Se puede observar que el nuevo parámetro incluido en el modelo no es significativo.


Los resultados anteriores permiten corroborar que el mejor modelo sigue siendo el

.

Correlación Serial:

Para probar la hipótesis de no correlación entre los retornos, se usa el test de Ljung y

Box sobre los residuos estandarizados. La prueba muestra si las primeras

autocorrelaciones son iguales a cero, es decir, si los retornos no están correlacionados

con sus últimas realizaciones. Esta prueba es hecha para varios valores de . Si el

respectivo es mayor que el nivel de significancia , entonces se concluye que

las primeras correlaciones son iguales a cero. Esta prueba es hecha de manera

conjunta. Además se realizan las gráficas ACF y PACF de los residuos.

Los resultados para este modelo son:

Retardo Estadístico Valor P

10 0.4478 0.5034

15 1.2151 0.2703

20 3.2010 0.6690

Figura 4.9 ACF y PACF de los residuos del modelo- Correlación serial

0 5 10 15 20 25

-0.0

50

.05

0.1

5

Lag

AC

F

Series res_est

0 5 10 15 20 25

-0.0

50

.05

0.1

5

Lag

Pa

rtia

l A

CF

Series res_est


usando R.

De esta manera, el modelo es adecuado porque elimina la correlación serial entre los

retornos.

Heteroscedasticidad Condicional:

Para probar la hipótesis de no existencia de heteroscedasticidad condicional, se usa el

test de Ljung y Box sobre los residuales estandarizados al cuadrado. La prueba es hecha

para varios retardos . La prueba también es conjunta y tiene un nivel de significancia

dado (en este caso igual a 0.05). Además se realizan las gráficas ACF y PACF de los

residuos al cuadrado.

Los resultados para este modelo son:

Retardo Estadístico Valor P

10 0.1669 0.6829

15 0.3346 0.5630

20 2.3999 0.7915

Figura 4.10 ACF y PACF de los residuos al cuadrado - Heterocedasticidad condicional

De esta manera, el modelo de volatilidad es adecuado porque elimina la

heteroscedasticidad condicional en la serie de retornos.

0 5 10 15 20 25

-0.0

50

.05

Lag

AC

F

Series res_est^2

0 5 10 15 20 25

-0.0

50

.05

Lag

Pa

rtia

l A

CF

Series res_est^2


Distribución t de Student Simétrica:

Esta es la distribución que se especificó en el modelo que finalmente fue estimado.

Haciendo un gráfico de probabilidad donde se comparan los cuantiles teóricos de la

distribución con los cuantiles muestrales, se tiene:

Figura 4.11 Grafico QQ de Normalidad residual ajustada con la distribución t student

En la figura 4.11 se puede observar que las observaciones no están demasiado alejadas

de la recta diagonal. Por tanto esta distribución parece ser la adecuada para modelar el

comportamiento de las innovaciones de la serie.

4.3 Conclusión

El modelo escogido para la diferencia del logaritmo de los retornos del precio la acción

del Banco de Bogotá a precio de cierre en la Bolsa de Valores de Colombia es un

- , de donde, como modelo en la media fue el modelo sin intercepto; y

como modelo en varianza fue el modelo .

Sobre la utilidad e importancia de este modelo es necesario tener en cuenta que

depende del agente económico interesado en usarlo, por un lado estos modelos no son

una herramienta útil para la medición del riesgo en el sector real, ya que no se pueden

pronosticar suficientes datos para llevar a cabo una predicción que proporcione

información relevante para gestionar de manera efectiva el riesgo al que el sector privado

-20 -10 0 10 20

-0.0

6-0

.04

-0.0

20

.00

0.0

20

.04

0.0

6

qt(ppoints(residuo), 2)

so

rt(r

esid

uo

)


usando R.

está expuesto (Montenegro, 2010); sin embargo, para el caso particular del modelo

obtenido es un modelo útil en el corto plazo, pues existen algunas áreas

financieras donde la medición del riesgo debe incorporar información reciente, siendo un

modelo con la capacidad de realizar estimaciones muy acertadas sobre la variabilidad

observada en los del precio de la acción del Banco de Bogotá para el

periodo estudiado. El resultado obtenido es el más adecuado a la estructura de la serie

financiera en consideración.

Bibliografía

Alonso J.C, Semaán, P. (Marzo 2010). Calculo del VAR con volatilidad no constante en

R. Cali: Universidad ICESI.

Arce, Rafael de y LL Klein. (Diciembre de 1998). Universidad Autonoma de Madrid.

Obtenido de Introducción a los modelos autorregresivos con heterocedasticidad

condicional: http://www.uam.es/otroscentros/klein/doctras/doctra9806.pdf

Cabrer, B. (2004). Universidad de Valencia- Econometria Empresarial II. Recuperado el

17 de Febrero de 2014, de http://www.uv.es/:

http://www.uv.es/~cabrer/Espanyol/material/Tema8/Tema8.pdf

Carnero Fernandez, M. A. (2003). Heterocedasticiad Condicional, Atipicos y Cambios de

Nivel en Series Temporales Financieras. Getafe: Universidad Carlos III de Madrid.

Casas Monsegny, M. (2008). Cuadernos de Economia V, XXVII,. En Modelos ARCH,

GARCH y EGARCH: Aplicaciones a Series Financieras (págs. 287-319). Bogotá.

Contreras, J. (2007). Universidad de Castilla La Mancha. Recuperado el 15 de Marzo de

2014, de Modelos de Heterocedasticidad Condicional Predicción en sistemas de

energía eléctrica: http://www.uclm.es/area/gsee/aie/doctorado/Javier/tema7.pdf

Cryer y Chan, J. (2008). Time Series Analysis With Applications in R. New York: Springer

Science + Business Media LLC.

García Centeno, M. C., & Ibar Alonso, R. (2008). www.uv.es. Obtenido de Estimación de

modelos de volatilidad estocástica. Departamento Métodos Cuantitativos para la

Economía.Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales.Universidad San

Pablo-CEU.: http://www.uv.es/asepuma/XI/28.pdf

Gea, J. y Uriel. E. (1986). Identificación automatica mediante la función de

autocorrelación extendida . Valencia: Universidad Literaria de Valencia.Obtenido

de http://www.uv.es/uriel/publicaciones/EU392.pdf

González Casimiro, M. P. (2009). Análisis de Series temporales: Modelos ARIMA .

Universidad del País Vasco, Sarriko. Obtenido de http://www.sarriko-

online.com/cas/fichas/2009/04-09.pdf

Gujarati, D. N. (2004). Econometria. México DF: McGraw-Hill Interamericana.


usando R.

Montenegro, R. (2010). Medición de la volatilidad en series de tiempo financieras.

Finanzas y Política Económica. Universidad Catolica de Colombia, 125-132.

Mauricio, J. A. (2007). Introducción al analisis de series Temporales. Madrid: Universidad

Complutense de Madrid. Obtenido de https://www.ucm.es/data/cont/docs/518-

2013-11-11-JAM-IAST-Libro.pdf

Morales, C. A., Urrego, J., Perdomo, J. A., & Rosales, R. (2013). Fundamentos de

Econometria Intermedia. Bogotá: Ediciones Uniandes.

Novales, A. y Gracia Diez, M (1993). Guía para la estimación de modelos ARCH. Madrid:

Universidad Complutense de Madrid.

Rodriguez Hernández, J.A. (Mayo de 2001). Una introducción a los modelos de series

temporales no lineales. Madrid: Universidad del Rey Juan Carlos.Obtenido de

http://www.jgabriel.net/mnolineales_wp1.pdf

Villavicencio, J. (2014). Instituto de Estadísticas de Puerto Rico. Introducción a Series de

Tiempo. Obtenido de

http://www.estadisticas.gobierno.pr/iepr/LinkClick.aspx?fileticket=4_BxecUaZmg%

3D&tabid=100

Zarraga, A. (2011). Universidad Complutense de Madrid. Obtenido de Modelos de

Heterocedasticidad Condicionada:

http://pendientedemigracion.ucm.es/info/ecocuan/anc/ectriaqf/ARCH%20Ainhoa.p

df

Zea Castro, J. F. (2012). Usos de modelos de volatilidad estocástica para valoración de

riesgo cambiario. Bogotá D.C: Comunicaciones en Estadística Universidad Santo

Tomas. Obtenido de

revistas.usta.edu.co/index.php/estadistica/article/download/153/132

Bibliografía y Anexos 67

ANEXO 1: Código R

#Librerías library(lmtest) library(forecast) library(TSA) library(timsac) library(tseries)

#Lectura y definicion de datos

BancoBogota<-read.table(file.choose(),header=F)

BancoBogota<-ts(BancoBogota, frequency=1)

BancoBogota <-ts(BancoBogota,frequency=1)

BancoBogota

#Gráfico para la serie de precios

plot(BancoBogota,type='l',xlab='Tiempo en días',ylab='Precio de cierre de la

Acción',col='red',main='Precio de cierre de la acción de Banco de Bogotá', sub='16 de

Enero de 2012 al 17 de Enero de 2014')

#Definición de retorno

r.BancoBogota<-diff(log(BancoBogota))

#Gráfico de la serie de retornos

ts.plot(r.BancoBogota,main='Rendimientos Diarios Banco de Bogotá 2012-2014',ylab='Rendimientos',xlab='Tiempo')

#ACF rendimientos

acf(r.BancoBogota,xlab='Retardos',ylab='ACF',main='ACF para Rendimientos') acf(r.BancoBogota^2,xlab='Retardos',ylab='ACF',main='ACF para Rendimientos al Cuadrado')


usando R.

acf(abs(r.BancoBogota)) pacf(r.BancoBogota,xlab='Retardos',ylab='PACF',main='PACF para Rendimientos') pacf(r.BancoBogota^2,xlab='Retardos',ylab='PACF',main='PACF para Rendimientos') #Dickey. Fuller Aumentada Test

adf.test(resid)

## escogiendo el modelo, aunque también se podría utilizar

eacf(r.BancoBogota) ajuste=auto.arima(r.BancoBogota)

###especificando el modelo de media

#Estimación modelo de media

(modelo_M1=arima(r.BancoBogota, c(1, 0, 1), method = c("ML"))) (modelo_M2=arima(r.BancoBogota, c(0, 0, 1), method = c("ML"))) (modelo_M0=arima(r.BancoBogota, c(1, 0, 0), method = c("ML"))) (modelo_M3=arima(r.BancoBogota, c(0, 0, 0), method = c("ML"))) (modelo_M4=arima(r.BancoBogota, c(0, 0, 1), ,include.mean=FALSE,method = c("ML"))) summary(modelo_M2) est=cbind(Estimacion=modelo_M4$coef, s.e=sqrt(diag(modelo_M4$var.coef))) z0=est[,1]/est[,2] vp=pnorm(abs(z0),lower.tail=FALSE)+pnorm(-abs(z0))

##residuos del modelo

resid<-residuals(modelo_M4) par(mfrow=c(2,1)) acf(resid,main='ACF Residuales Estandarizados',xlab='Retardos') pacf(resid,main='PACF Residuales Estandarizados',xlab='Retardos') par(mfrow=c(2,1)) acf(resid^2,main='ACF Residuales Estandarizados Cuadrados',xlab='Retardos') pacf(resid^2,main='PACF Residuales Estandarizados Cuadrados',xlab='Retardos') ##supuestos del error

Box.test(resid,30,type="Ljung") Box.test(resid^2,30,type="Ljung") shapiro.test(resid) qqnorm(resid);qqline(resid) plot(qt(ppoints(resid),2),sort(resid))

qqt2linea(resid)


#Especificación de modelo (sin tener en cuenta heteroscedasticidad)

library(rugarch) eacf(resid^2) ##este es el modelo escogido ARCH(1)

modelo<-ugarchspec(variance.model=list(model='sGARCH',garchOrder=c(1,0)),

mean.model=list(armaOrder=c(0,1),include.mean = FALSE, arfima = F),distribution.model

= "std")

reta=as.vector(r.BancoBogota)

(fit1=ugarchfit(modelo, reta ,out.sample=20))

plot(fit1) residuo<-residuals(fit1) #par(mfrow=c(2,1))

#acf(residuo,main='ACF Residuales Estandarizados',xlab='Retardos')

#acf(residuo^2,main='ACF Residuales Estandarizados Cuadrados',xlab='Retardos')

#par(mfrow=c(2,1))

#pacf(residuo,main='PACF Residuales Estandarizados',xlab='Retardos')

#pacf(residuo^2,main='PACF Residuales Estandarizados Cuadrados',xlab='Retardos')

##supuestos del error

#Box.test(residuo,30,type="Ljung")

#Box.test(residuo^2,30,type="Ljung")

shapiro.test(residuo) qqnorm(residuo);qqline(residuo) plot(qt(ppoints(residuo),2),sort(residuo)) qqt2linea(residuo) Box.test(residuo^2,30,type="Ljung") ##funcion para la construccion del grafico de cuantil

de la distribucion t


usando R.

qqt2linea <-function (y, ...)

{

y <- quantile(y[!is.na(y)], c(0.25, 0.75))

x <- qt(c(0.25, 0.75),2)

slope <- diff(y)/diff(x)

int <- y[1] - slope * x[1]

abline(int, slope, ...)

}

plot((fitted(fit1))^2,type='l')

coefic=coef(object=fit1)

fit1_series=as.data.frame(fit1)

res_est=as.ts(fit1_series[,3]/fit1_series[,4])

par(mfrow=c(2,1))

acf(res_est)

acf(res_est^2)


ANEXO 2: Datos Cotización Banco de Bogotá3

Fecha Cotización

16/01/2012 49400

17/01/2012 49400

18/01/2012 49140

19/01/2012 48300

20/01/2012 48320

23/01/2012 48200

24/01/2012 48500

25/01/2012 48480

26/01/2012 48040

27/01/2012 48380

30/01/2012 48980

31/01/2012 48960

01/02/2012 48000

02/02/2012 48000

03/02/2012 49000

06/02/2012 49000

07/02/2012 48980

08/02/2012 49000

09/02/2012 48900

10/02/2012 48900

13/02/2012 49100

14/02/2012 49860

15/02/2012 50280

3 Banco de Bogotá: Precio de Cierre. Fuente: Bolsa de Valores de Colombia (BVC).


usando R.

16/02/2012 51500

17/02/2012 52060

20/02/2012 51500

21/02/2012 51000

22/02/2012 50980

23/02/2012 50860

24/02/2012 50500

27/02/2012 50000

28/02/2012 50400

29/02/2012 50500

01/03/2012 50020

02/03/2012 50680

05/03/2012 50500

06/03/2012 49900

07/03/2012 50400

08/03/2012 51000

09/03/2012 50700

12/03/2012 50200

13/03/2012 50880

14/03/2012 51400

15/03/2012 51400

16/03/2012 51700

20/03/2012 51400

21/03/2012 51500

22/03/2012 51000

23/03/2012 51000

26/03/2012 51000

27/03/2012 50800

28/03/2012 50400

29/03/2012 50100

30/03/2012 49800

02/04/2012 50380

03/04/2012 51000

04/04/2012 51000

09/04/2012 51000

10/04/2012 50200

11/04/2012 50700


12/04/2012 50600

13/04/2012 50700

16/04/2012 50300

17/04/2012 50400

18/04/2012 50200

19/04/2012 50300

20/04/2012 50580

23/04/2012 50160

24/04/2012 50300

25/04/2012 50200

26/04/2012 50000

27/04/2012 50080

30/04/2012 50100

02/05/2012 51000

03/05/2012 51480

04/05/2012 51240

07/05/2012 51100

08/05/2012 51000

09/05/2012 51020

10/05/2012 51580

11/05/2012 51620

14/05/2012 51780

15/05/2012 51300

16/05/2012 51500

17/05/2012 51000

18/05/2012 51000

22/05/2012 51000

23/05/2012 51000

24/05/2012 50820

25/05/2012 50800

28/05/2012 50620

29/05/2012 50520

30/05/2012 50600

31/05/2012 50340

01/06/2012 50340

04/06/2012 50040

05/06/2012 50000

06/06/2012 50340


usando R.

07/06/2012 50500

08/06/2012 50300

12/06/2012 50000

13/06/2012 49900

14/06/2012 50000

15/06/2012 50060

19/06/2012 50160

20/06/2012 50020

21/06/2012 50000

22/06/2012 50460

25/06/2012 49700

26/06/2012 49800

27/06/2012 49900

28/06/2012 50100

29/06/2012 50300

03/07/2012 50000

04/07/2012 50000

05/07/2012 50340

06/07/2012 50000

09/07/2012 50000

10/07/2012 50000

11/07/2012 50000

12/07/2012 49700

13/07/2012 50000

16/07/2012 49700

17/07/2012 50000

18/07/2012 50500

19/07/2012 50500

23/07/2012 50700

24/07/2012 51300

25/07/2012 50280

26/07/2012 50780

27/07/2012 51300

30/07/2012 50800

31/07/2012 50500

01/08/2012 50020

02/08/2012 50680


03/08/2012 50240

06/08/2012 50020

08/08/2012 50600

09/08/2012 50000

10/08/2012 50580

13/08/2012 50000

14/08/2012 49880

15/08/2012 49880

16/08/2012 49780

17/08/2012 50000

21/08/2012 53800

22/08/2012 50000

23/08/2012 49500

24/08/2012 49140

27/08/2012 49700

28/08/2012 49980

29/08/2012 50000

30/08/2012 49980

31/08/2012 49960

03/09/2012 49800

04/09/2012 49500

05/09/2012 49660

06/09/2012 49620

07/09/2012 49640

10/09/2012 49700

11/09/2012 49920

12/09/2012 50000

13/09/2012 50000

14/09/2012 50520

17/09/2012 50500

18/09/2012 50500

19/09/2012 50600

20/09/2012 50460

21/09/2012 50500

24/09/2012 50940

25/09/2012 51040

26/09/2012 51460

27/09/2012 51000


usando R.

28/09/2012 50720

01/10/2012 50700

02/10/2012 50680

03/10/2012 50700

04/10/2012 50840

05/10/2012 51480

08/10/2012 50700

09/10/2012 50700

10/10/2012 51000

11/10/2012 50760

12/10/2012 51380

16/10/2012 52000

17/10/2012 51800

18/10/2012 52940

19/10/2012 52900

22/10/2012 53000

23/10/2012 53600

24/10/2012 54500

25/10/2012 54200

26/10/2012 54200

29/10/2012 54000

30/10/2012 54000

31/10/2012 54500

01/11/2012 54800

02/11/2012 54080

06/11/2012 53480

07/11/2012 51800

08/11/2012 53000

09/11/2012 52840

13/11/2012 52000

14/11/2012 52780

15/11/2012 54000

16/11/2012 53800

19/11/2012 53800

20/11/2012 53000

21/11/2012 52000

22/11/2012 52400


23/11/2012 52300

26/11/2012 52400

27/11/2012 52400

28/11/2012 53000

29/11/2012 53000

30/11/2012 53300

03/12/2012 52980

04/12/2012 52980

05/12/2012 53100

06/12/2012 53480

07/12/2012 53480

10/12/2012 53500

11/12/2012 54000

12/12/2012 54400

13/12/2012 54700

14/12/2012 54500

17/12/2012 54400

18/12/2012 54700

19/12/2012 54740

20/12/2012 54740

21/12/2012 54000

24/12/2012 54500

26/12/2012 54500

27/12/2012 54500

28/12/2012 54500

02/01/2013 54400

03/01/2013 54180

04/01/2013 54480

08/01/2013 54480

09/01/2013 54500

10/01/2013 54440

11/01/2013 54440

14/01/2013 54500

15/01/2013 55260

16/01/2013 55140

17/01/2013 55660

18/01/2013 55720

21/01/2013 55980


usando R.

22/01/2013 56000

23/01/2013 56000

24/01/2013 56000

25/01/2013 56000

28/01/2013 56000

29/01/2013 56000

30/01/2013 55820

31/01/2013 55820

01/02/2013 56000

04/02/2013 56420

05/02/2013 57940

06/02/2013 57700

07/02/2013 57940

08/02/2013 58000

11/02/2013 58500

12/02/2013 59000

13/02/2013 59420

14/02/2013 59180

15/02/2013 58520

18/02/2013 58040

19/02/2013 58580

20/02/2013 58000

21/02/2013 58000

22/02/2013 58580

25/02/2013 58500

26/02/2013 58500

27/02/2013 58800

28/02/2013 58600

01/03/2013 58600

04/03/2013 58500

05/03/2013 58520

06/03/2013 58040

07/03/2013 58000

08/03/2013 58020

11/03/2013 58380

12/03/2013 58280

13/03/2013 58280


14/03/2013 58060

15/03/2013 58100

18/03/2013 58120

19/03/2013 58000

19/03/2013 58500

20/03/2013 58200

21/03/2013 57500

22/03/2013 58000

26/03/2013 58000

27/03/2013 58000

01/04/2013 57720

02/04/2013 57700

03/04/2013 57700

04/04/2013 58000

05/04/2013 57800

08/04/2013 57800

09/04/2013 57800

10/04/2013 57900

11/04/2013 58000

12/04/2013 58220

15/04/2013 58220

15/04/2013 58300

16/04/2013 58500

16/04/2013 58480

17/04/2013 59000

18/04/2013 59000

19/04/2013 58980

22/04/2013 58800

23/04/2013 59000

24/04/2013 59980

25/04/2013 61600

26/04/2013 63000

29/04/2013 63500

30/04/2013 63000

02/05/2013 63300

03/05/2013 64000

06/05/2013 63980

07/05/2013 65000


usando R.

08/05/2013 66400

09/05/2013 65500

10/05/2013 65400

14/05/2013 65400

15/05/2013 66000

16/05/2013 66200

17/05/2013 66200

20/05/2013 66340

21/05/2013 66500

22/05/2013 65500

23/05/2013 68100

24/05/2013 70000

27/05/2013 70000

28/05/2013 70000

29/05/2013 70000

30/05/2013 70000

31/05/2013 70000

04/06/2013 69980

05/06/2013 69000

06/06/2013 69480

06/06/2013 69000

07/06/2013 67000

11/06/2013 66000

12/06/2013 66000

13/06/2013 66000

14/06/2013 65960

17/06/2013 68800

18/06/2013 69980

19/06/2013 69960

20/06/2013 69760

21/06/2013 69400

24/06/2013 68980

25/06/2013 68880

26/06/2013 69000

27/06/2013 69000

28/06/2013 69000

02/07/2013 69000


03/07/2013 69000

04/07/2013 69000

05/07/2013 69000

08/07/2013 67840

09/07/2013 67800

10/07/2013 67800

10/07/2013 67300

11/07/2013 67500

12/07/2013 67480

12/07/2013 67500

15/07/2013 67300

16/07/2013 66600

17/07/2013 66980

18/07/2013 66780

18/07/2013 66960

19/07/2013 66680

22/07/2013 66500

23/07/2013 66300

24/07/2013 68040

25/07/2013 70880

26/07/2013 69760

29/07/2013 70000

30/07/2013 70220

31/07/2013 70980

01/08/2013 70400

02/08/2013 70360

05/08/2013 70400

06/08/2013 70300

08/08/2013 70300

09/08/2013 70480

12/08/2013 70280

13/08/2013 70200

14/08/2013 70200

15/08/2013 70000

16/08/2013 70000

20/08/2013 70100

20/08/2013 69900

21/08/2013 69880


usando R.

22/08/2013 69880

23/08/2013 69260

26/08/2013 69300

27/08/2013 70000

28/08/2013 69920

29/08/2013 70000

30/08/2013 69980

02/09/2013 69900

03/09/2013 69900

04/09/2013 69000

05/09/2013 69500

06/09/2013 69300

09/09/2013 69400

10/09/2013 69480

11/09/2013 69060

12/09/2013 69480

13/09/2013 69160

13/09/2013 69400

16/09/2013 69060

17/09/2013 69060

18/09/2013 69300

19/09/2013 69860

20/09/2013 72000

23/09/2013 71780

24/09/2013 70720

25/09/2013 69500

26/09/2013 70000

27/09/2013 69940

30/09/2013 67600

01/10/2013 68020

02/10/2013 68020

03/10/2013 68000

04/10/2013 68080

07/10/2013 69000

08/10/2013 69920

09/10/2013 70000

10/10/2013 70000


11/10/2013 69940

15/10/2013 69900

16/10/2013 69920

17/10/2013 70000

18/10/2013 69900

21/10/2013 70000

22/10/2013 69200

23/10/2013 69960

24/10/2013 69900

25/10/2013 68600

28/10/2013 69560

29/10/2013 69020

30/10/2013 69000

30/10/2013 68800

31/10/2013 67020

01/11/2013 68520

01/11/2013 68820

05/11/2013 68500

06/11/2013 68480

07/11/2013 66960

08/11/2013 67020

12/11/2013 66100

13/11/2013 66600

14/11/2013 66620

15/11/2013 66400

18/11/2013 67300

19/11/2013 68360

20/11/2013 65000

21/11/2013 67980

22/11/2013 65800

25/11/2013 65120

26/11/2013 65460

26/11/2013 65040

27/11/2013 67840

27/11/2013 65500

28/11/2013 67840

28/11/2013 67840

02/12/2013 66980


usando R.

02/12/2013 67000

03/12/2013 65100

04/12/2013 65220

05/12/2013 66000

06/12/2013 65740

09/12/2013 64220

10/12/2013 65000

10/12/2013 64900

11/12/2013 67000

12/12/2013 67000

13/12/2013 66800

16/12/2013 65500

17/12/2013 66000

18/12/2013 66040

18/12/2013 66780

19/12/2013 66780

20/12/2013 69000

23/12/2013 68940

24/12/2013 69000

26/12/2013 68900

27/12/2013 69000

30/12/2013 71500

07/01/2014 70000

08/01/2014 68440

09/01/2014 68400

10/01/2014 68400

10/01/2014 68500

13/01/2014 68480

14/01/2014 68440

15/01/2014 68320

16/01/2014 68000

17/01/2014 69000

alexander carvajal - universidad de granada

Documents