alg(2) 4° 2 b

37 38COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Secundaria ÁLGEBRA4to Secundaria

06. Al desarrollar la expresión:

x

y

yx

m

n

n n

10

20

Observamos que ésta admite un sólo término central cuya parte literal es : x60

y600. Calcular : “m + n”

a) 41 b) 42 c) 43d) 44 e) 45

OBJETIVOS ESPECIFICOSOBJETIVOS ESPECIFICOS:

Extrae la raíz cuadrada de un polinomio.

Extrae la raíz cúbica de un polinomio.

COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:

La sexta operación, la radicación, se

expresa con el signo: . No todos conocen

que este signo es una variante de la letra latina “r“, primera letra de la palabra latina radix, que significa raíz. En otros tiempos (en el siglo XVI), el signo de raíz, no era la “r“ minúscula si no la mayúscula, la “R“, y junto a ella se escribía la primera letra de las palabras latinas quadratus, la letra “q” o la primera de cubus, la “c“, señalando con ello que la raíz a extraer era cuadrada o cúbica.Escribían por ejemplo: R.q. 4325 ó

R.c.21758 en lugar de la moderna expresión:

ó

CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO:

1. RADICACIÓN.- Es la operación inversa a la potenciación, que consiste en obtener una expresión llamada raíz, de tal manera que al ser elevado a un número llamado índice nos produce una expresión llamada radicando o cantidad subradical.

Donde: b : Raíz enésiman : índiceA : Radicando√ : Signo de la radicación.

2. RAÍZ ENÉSIMA DE POLINOMIOS

Donde: P(X) : Polinomio radicandoR(X) : Raíz enésima r(X) : Residuo de la raíz

enésima.

3. GRADOS DE LA RADICACIÓN

3.1. GRADO DE LA RAÍZ: RO

R0 IN

: Grado del polinomio radicando.

n : Índice de la raíz

3.2. GRADO DEL RESIDUO: ro

Ejemplo:Hallar los grados de los términos de la siguiente radicación:

Resolución:

: 10 ; n = 2, luego:

Ro = 10/2 = 5 (Grado de la raíz)ro ( n – 1) Ro – 1 (Grado del residuo)ro ( 2 – 1) 5 – 1 ro 4

Ro = 5 ; ro 4 ; r máx. = 4

4. RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO

MÉTODO PRÁCTICO

Es condición necesaria que P(x) sea de grado 2 o múltiplo de 2, además de ser ordenado y completo. Así mismo los términos del polinomio deben agruparse de 2 en 2 a partir del término independiente, a continuación se

procederá a la extracción de la raíz cuadrada mediante las siguientes recomendaciones:

5. RAÍZ CÚBICA DE UN POLINOMIO

MÉTODO PRÁCTICO

Es condición necesaria que P(x) sea de grado 3 o múltiplo de 3, además de ser ordenado y completo. Así mismo los términos del polinomio deben agruparse de 3 en 3 a partir del término independiente, a continuación se procede a la extracción de la raíz cúbica mediante las siguientes recomendaciones:

1. Se extrae la raíz cúbica del primer término de P(x), obteniéndose el primer término de la raíz.

2. El término obtenido se eleva al cubo y se resta de su correspondiente término semejante en el radicando.

3. Se bajan los tres términos del siguiente grupo y se divide el primer término con el triple del cuadrado de la raíz hallada hasta ese momento. El cociente obtenido será el segundo término de la raíz cúbica.

4. A continuación se forman tres productos: 4.1. El triple del cuadrado del primer

término de la raíz por el segundo término de la misma.

4.2. El triple del primer término de la raíz por el cuadrado de su segundo término.

4.3. El cubo del segundo término de la raíz. Luego los productos obtenidos se restan de los tres términos que se habían bajado del polinomio.

5. Se baja el siguiente grupo y se procede como en los pasos 3 y 4, hasta obtener un residuo cuyo grado sea una unidad menor que el doble del grado de la raíz ( grado máximo

S4AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."

)()()()( xnxx

nx rRPP

AbbA nn

Ejemplo: Extraer la raíz cúbica de 8x6 + 12x5 – 54x4 – 59x3 + 135x2 + 75x – 125

8x6 + 12x5 – 54x4 – 59x3 + 135x2 + 75x – 125 2x2 + x – 5 raíz cúbica

-8x6 3(2x2)2 = 12x4

12x5 – 54x4 – 59x3 12x5 : 12x4 = x 2do término

-12x5 – 6x4 – x3* 3(2x2)2 (x) = 12x5

- 60x4 – 60x3 + 135x2 + 75x – 125* 3(2x2) (x2) = 6x4

60x4 + 60x3 – 135x2 – 75x + 125 * (x3) = x3

0 -60x4 :

12x4 = -5 3er término

* 3(2x2 + x)2 (-5) = -60x4 – 60x3 – 15x2

* 3(2x2 + x) (-5)2 = 150x2 + 75x* (- 5)3 = -125Sumando-60x4 – 60x3 + 135x2 + 75x – 125

Finalmente: La raíz cúbica es: 2x2 + x – 5 y el residuo es cero.

RADICACIÓN

r0 (n – 1) R0 – 1 ; IN

37 38

Ejemplo: Extraer la raíz cuadrada de 16x5 + 24x5 – 7x4 – 4x3 + x2 – x + 6

16x5 + 24x5 – 7x4 – 4x3 + x2 – x + 6 4x3 + 3x2 – 2x + 1 Raíz cuadrada

-16x6 2(4x3) = 8x3 Hace el papel de divisor.

24x5 – 7x4 24x5 : 8x3 = 3x2 Segundo término

-24x5 – 9x4 (8x2 + 3x2)(-3x2) = -24x5 – 9x4

-16x4 –4x3 + x2 -16x4 : 8x3 = -2x Tercer término

16x4 + 12x3 – 4x2 (8x3 + 6x2 – 2x) (2x) = 16x4 + 12x3 – 4x2

8x3 – 3x2 – x + 6 8x3 : 8x3 = 1 4to término

-8x3 – 6x2 + 4x – 1 (8x3 + 6x2 – 4x + 1) ( - 1) = -8x3 – 6x2 + 4x – 1

Residuo -9x2 + 3x + 5

COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to Secundaria ÁLGEBRA4to Secundaria

PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE

Extraer la raíz cuadrada de los siguientes polinomios.

01.4x6 – 12x3 + 13x4 - 22x3 + 25x2 - 8x + 16

02. 4x4 – 20x3 + 37x2 + 32x2 + 32x - 12

03. 9x6 – 24x5 + 28x4 - 46x3 + 44x2 - 20x + 25

04. 4x6 – 16x4 + 28x3 - 16x2 - 56x + 19

05. 25x4 + 70x3a + 29x2a2 - 28xa3 + 4a4

Extraer la raíz cúbica de los siguientes polinomios:

06. 8x6 + 12x5 - 54x4 - 59x3 + 135x2 + 75x - 125

07. 27x6 + 54x5 + 9x4 - 28x3 - 3x2 + 6x - 1

08. x6 - 6x5 + 15x4 - 20x3 + 15x2 + 6x - 1

Resolver los siguientes ejercicios:

09. Calcular “m” y “n” sí la raíz cuadrada de:9x4 - 42x2 + mx2 - 56x + n, es exacta.

10. Calcular “m + n” si la raíz cuadrada de:mx4 + nx3 + 29x2 + 12x + 4, es exacta.

11. Calcular: ; sabiendo que:

C = x – 1

a) x + 1 b) x – 1 c) xd) 2x e) 2x + 1

TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA

01. Calcular “m + n” si la expresión:49x26 - mx16 + nx13 + 4x6 - 15x3 + 27, tiene raíz cuadrada inexacta, y se obtiene como residuo 5x3 + 2.

02. Calcular “n - m” si la raíz cuadrada de:9x4 + mx3 + nx2 - 70x + 49, es exacta.

03. Calcular “m + n” en: 81x4 - 216x3 + mx + n, para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del residuo correspondiente.

04. Calcular “m” si la raíz cuadrada de:9x30 + 30x18 + 24x15 + 25x6 + mx3 + 16, es exacta.

05. Calcular “m” si la raíz cuadrada de:4x4 + (m + 3)x3 + 5x2 + (m + 1)x + 1, es exacta.

06. Calcular “n - m” si la raíz cuadrada de:9x4 + mx3 + nx2 + 20x + 4, es exacta.

07. Calcular “m” si la raíz cuadrada de:25x40 - 30x25 + 70x20 + 9x10 - mx5 + 49, es exacta.

08. Calcular “m + n” en: 16x4 + 96x3 + 216x2 + mx + n, para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del residuo correspondiente.

09. Calcular “m+n” si la raíz cuadrada de:16x4 + mx3 + nx2 - 60x + 36, es

exacta.

10. Calcular “m+n” si la raíz cuadrada de: 9x4 + mx3 + nx2 - 14x + 1, es exacta.

11. Calcular el menor valor que se le debe asignar a () en: P(x) = 16x4 + 32x3 + 24x2 + x +


1. Se extrae la raíz cuadrada del primer término de P(x)2. El término obtenido se eleva al cuadrado y se resta de su correspondiente término

semejante en el radicando.3. Se bajan los dos términos del siguiente grupo y se duplica la raíz obtenida hasta ese

momento.4. Se divide el primer término del resto obtenido hasta ese momento, entre el doble del

primer término de la raíz, el cociente obtenido es el segundo término de la raíz cuadrada.

5. Este segundo término de la raíz se suma al doble del primer término de la raíz formándose un binomio, éste binomio se multiplica por el opuesto del segundo término, sumándose el producto a los dos términos que se habían bajado.

6. Se procede como en las recomendaciones 3, 4 y 5 hasta obtener un resto cuyo grado sea menor que el grado de la raíz cuadrada.


Para que su raíz cuadrada sea el cuadrado del residuo correspondiente.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11.¿Qué valor de “n” convierte a los polinomios:

I. x4 + mx3 + nx2 + px + 1II. x4 + 4mx3 + 6nx2 + 4px + 1

En cuadrados perfectos?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

12. Calcular la condición que deben cumplir los coeficientes de:(a + bx)2 + (c + dx)2 a fin de que la expresión resulte un cuadrado perfecto.

a) a = b b) a = b = c

c) a = b = c = d d) a = -b = c

e) a = b = c = -d

OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS:

• Opera correctamente con radicales, haciendo uso de las propiedades enunciadas en el presente módulo.

• Transforma radicales dobles a radicales simples, haciendo uso de las fórmulas de transformación demostradas en clase. :

COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:

En el siglo V A. C.., los griegos pitagóricos, buscando la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado uno, descubrieron otra clase de números distintos a los naturales y a los fraccionarios, les pareció tan poco razonable lo que obtuvieron que le llamaron irracional.

Las raíces que no pueden expresarse exactamente mediante números racionales representan números irracionales y reciben el nombre de

radicales. Por ejemplo: ,

son radicales.

CONTENIDO TEÓRICO:CONTENIDO TEÓRICO:

1. CONOCIMIENTOS PREVIOS:

1.1.VALOR PRINCIPAL DE UNA RAÍZ

Ejemplos:

a)

b)

Luego:

c)

1.2.EXPRESIÓN RADICAL: Las raíces de expresiones algebraicas que no pueden expresarse exactamente mediante una expresión algebraica racional, representan expresiones algebraicas irracionales y reciben el nombre de radicales. Ejemplo:

; son

radicales.

1.3.RADICALES HOMOGÉNEOS: Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o índice, sin importar el radicando. Ejemplo:

; Son

radicales homogéneos.

1.4.RADICALES SEMEJANTES: Son aquellos radicales que presentan el mismo orden o índice y la misma cantidad subradical, sin importar la expresión que lo multiplica.

Ejemplo:

;

son radicales semejantes.


0

02

xsix

xsixxx

RADICALE


1.5.HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES: Es la operación que consiste en transformar radicales con diferente índice (radicales heterogéneos), en radicales con igual índice (radicales homogéneos).

Se recomienda tener en cuenta las siguientes; reglas:

(1) Se halla el M.C.M. de los índices de los radicales, que será el índice común.

(2) Se divide el M.C.M. encontrado entre el índice original de cada radical y cada cociente de multiplica por el exponente también original de la cantidad subradical.

Ejemplo: ,

expresarlos como homogéneos.

En primer lugar se debe reconocer que el M.C.M. de 3, 4 y 5 es 60.

(60 3 = 20)

1.6 SIMPLIFICACIÓN DE RADICALES: Se dice que un radical está simplificado al máximo cuando al descomponer en factores primos el radicando todos los factores primos están elevados a exponentes menores que el índice del radical.

Ejemplo : está simplificado

al máximo porque descomponiendo 330 en factores primos tendremos:

330 2165 355 511 11

En cambio, no está simplificando

al máximo porque descomponiendo 384 en factores primos tendremos:

384 2192 296 248 224 212 26 23 31

Para simplificar al máximo

procederemos del modo siguiente.

1.7 PRINCIPIO DE LA EXTRACCIÓN: Consiste en extraer una expresión del radicando; así:

Ejemplos:

a) b)

c)

1.8 PRINCIPIO DE LA INTRODUCCIÓN: Consiste en introducir una expresión en el radicando; así:

Ejemplos:

a) b)

c)

2. OPERACIONES CON RADICALES

2.1. ADICIÓN DE RADICALES

a) Para radicales semejantes

se procede así:

b) En la adición de radicales con distinto índice, la expresión queda indicada.

no son semejantes

Observación.- En las operaciones de adición y sustracción los radicales se simplifican al máximo y a continuación se efectúan las operaciones

2.2. MULTIPLICACIÓN DE RADICALES

a)

b)

2.3. DIVISIÓN DE RADICALES

a)

b)

3. DESCOMPOSICIÓN DE RADICALES DOBLES EN SIMPLES

3.1.PRIMER CASO:

De donde:

Siendo :

En resumen la fórmula para descomponer una raíz doble en raíces simples es:

A BA C A C

2 2

Es decir que, para transformar radicales dobles, en radicales simples: A2 - B, debe ser un número cuadrado perfecto.

3.2.SEGUNDO CASO:

Donde:

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos x, y, z.

Ejemplo: Transformar a radicales simples:

Resolución:

Luego:

Pero:


330 = 2 x 3 x 5 x 11, todos los factores primos están elevados a exponentes menores que 2.

384 = 27 x 3, como se puede observar, no todos los factores primos están elevados a exponentes menores que 2.


3.3 TERCER CASO:

Donde:

siendo: cubo perfecto.

Ejemplo:

Transformar: a radicales

simples.

Resolución:

Cálculo de C:

Siendo:

Cálculo de x:

La igualdad se cumple cuando: x = 2

Cálculo de y:

Luego:

PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE

01. Transforma a radicales simples

A) 9 72

B) 7 24

C) 7 4 34

D) 2 4 42x x

E) 11 6 2

F) 8 2 12

G) 12 140

H) 8 28

I) 8 28

J ) 3 2 7 4 32 n n.

K)

L)

02. Calcula el valor de:

03. Simplificar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

04. Al descomponer en radicales

simples:

se obtiene una expresión de la forma

, dar como resultado el valor de

k.

a) b) c)

d) e) N.a.

05. Reducir:

a) b) c)

d) e) N.a.

06. Si se tiene que:

. Hallar el equivalente de:

a) a – b b) a2 – b c) a – b2

d) E = 0 e) a2 – b2

07. Calcula el valor de:

a) 2 b) 1 c) 0d) -2 e) N.a.

08. Simplifica:

a) 3+2 b) 2 - 3 c) 3d) - 2 e) 2

09. Hallar el valor de “E”

a) + 1 b) 1 – c) - ( 1 +

)d) 0 e) 2

10. Simplificar:

a) 5 b) 7 c) 4

d) 6 e) N.a.

12. Simplificar

13.

dividirlo entre:

14. Efectuar la operación:

15. Simplificar:

TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA

01. Proporcionar el radical

equivalente a:

a) b)

c) d)

e)

02. Transformar radicales simples:



a) 10 5 + 2 b) 10 3 + 5

c) 10 5 +20 d) 5 10 +10

e) 10 5 -20

03. Reduce:

E = + +

a) 2 6 b) 6 c) 2 5

d) 5 e) 0

04. Reduce:

a) 1 b) 0 c) 8 3

d) 12 3 e) 6 3

05.Calcula:

06. Reduce:

07. Transformar:

08. Si:

la relación que cumple es:

a) x < y b) x = y c) x/y =cd) x/y = 3 e) x > y

09. Reducir:

10. Efectuar:

a) 1 b) 2 c) 4d) 2 2 e) 4 2

11. Calcula (a + b) si se cumple:

a) 42 b) 45 c) 47d) 49 e) 51

12. Sí:

Halla el valor de:

a) 1 b) 2 c)

d) +1 e) 3

13. Efectuar las operaciones

indicadas:

14. Al transformar:

Como una suma de radicales simples se obtiene

x > y > z.

Calcular: x + y +z

15. Al transformar la expresión:

se obtiene:

el valor de x + y es:

16. Calcular:

17. Sabiendo que los radicales son homogéneos, reducir:


alg(2) 4° 2 b

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