UVOD U ALGEBARSKE STRUKTUREZadaci za domai (I deo) - 2013/2014 godina

1. Neka je indeksni skup I = {1, 2, . . . , n}. Dokazati da je preslikavaeh : G1 G2 Gn

iIGi definisano sa

((a1, a2, . . . , an) G1 G2 Gn) h((a1, a2, . . . , an)) =(

1 2 . . . na1 a2 . . . an

)izomorfizam grupoida G1 G2 Gn i

iIGi.

2. Neka je R+ = (0,+) i neka su binarne operacije i 4 definisane redom naG1 = R

+ R i G2 = RR+ na sledei naqin:

(a, b) (c, d) = (ac, b+ d), (a, b)4(c, d) = (a+ c, bd).

Dokazati da je f : G1 G2, f((a, b)) = (ln a, eb) homomorfizam grupoida (G1, ) ugrupoid (G2,4). Ispitati da li je f izomorfizam.

3. Neka je (R, ) grupoid sa operacijom definisanom sa: a b = 2a2 4a + 5b.Ispitati da li je (R, ) kvazigrupa.

4. Ispitati da li je struktura (Z\{5}, ), gde je Z skup celih brojeva a operacija definisana sa x y = 20 + xy + 5x+ 5y(a) polugrupa (b) sadri jedinicu(v) ima osobinu da svaki element ima inverz (g) grupa?

5. Neka je G = (G, ) grupa i skup H = {x1, x2, . . . , xn} G takav da je xi xj H akoje i j. Dokazati da je H podgrupa grupe G.

6. Neka je p prost broj i Qp = {ab Q | (n N)b = pn}. Dokazati da je (Qp,+)komutativna grupa.

7. Neka je (G, ) grupoid i S 6= . Na skupu GS definiximo operaciju na sledeinaqin

f g = h, gde je h(s) = f(s) g(s) za f, g GS, s S.Dokazati da je (GS , ) grupa ako i samo ako je (G, ) grupa.

8. Na skupu G = QQ\{0} date su operacije

(m,n) (a, b) = (m+ n+ a, b),

(m,n) (a, b) = (m+ n+ na, nb).(a) Dokazati da (G, ) nije, a da (G, ) jeste grupa. Ispitati da li su operacije i komutativne.

(b) Neka su H = {(m,1) | m Q\{0}}, K = {(1, n) | n Q}, L = {(1, n) | n Q}.Ispitati da li su H, K, L, H K i K L podgrupe grupe (G, ).

9. Neka je K ={[

a b2b a b

]| a, b Z

}. Dokazati da je K u odnosu na sabirae

matrica Abelova grupa. Ispitati da li je K u odnosu na mnoee matrica,grupa.

10. Na skupu G = RR\{(0)} definisana je operacija na sledei naqin (a, b)(c, d) =(b2c+ a, bd).

(a) Dokazati da je (G, ) grupa. Da li je ova grupa Abelova?(b) Ispitati da li su H = {(0, a) | a R\{0}}, K = {(b, 1) | b R} i H K

podgrupe grupe G.

11. Neka su G1 = (RR, ) i G2 = (K, ), gde je operacija drfinisana sa (a, b)(c, d) =(ac+ 2bd, ad+ bc), K =

{[a b2b a

]| a, b R

}i mnoee matrica. Dokazati da su

G1 i G2 grupoidi i f((a, b)) =[a b2b a

]homomorfizam tih grupoida.

12. Neka je dat skup S = {(1 n), (1 2 . . . n)}. Dokazati:(a) (1 2 . . . n)k(i) = i+n k za svaki i {1, 2, . . . n} i za svaki k N.(b) (1 2 . . . n)ni+1(i) = 1, (1 2 . . . n)j(n) = j za svaki i, j {1, 2, . . . n}.(c) S generixe grupu Sn.

13. Nai red ciklusa duine k grupe Sn.

14. Dokazati da je |Dn| = 2n.

15. Dokazati da n | m ako i samo ako je Dn Dm.

16. Neka je G Abelova grupa i neka za elemente a, b G vai r(a) = m, r(b) = n.Dokazati da red elementa a b deli najmai zajedniqki sadrilac za brojeve mi n.

17. Neka je G grupa reda n, H podgrupa grupe G i a G. Neka je k najmai prirodanbroj takav da je ak H. Dokazati da k | n.

18. Neka su svi elementi sem neutralnog konaqne netrivijalne grupe reda 2. Dokazatida je red te grupe jednak 2n za neki prirodan broj n.

19. Ako je n neparan broj, dokazati da Abelova grupa reda 2n ima taqno jedan elementreda 2.