algebra

Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolum

enAmarilloCelesteVerde

“Escondido”Morado

LilaRojo

amarillocelesteverde

lilamarrónmorado

rojoEJERCICIOS DE APLICACIÓN

K = 3Observa esta otra forma del Binomio al

Cubo ………..Identidad que ya conoces

yRectángulo

xÁrea = x . yÁrea = x2

xx

Cuadradoa + b

abababbabaBDCA

En Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban

algebraicamente.POLINOMIOS

POLINOMIOSSuma limitada de monomios, no semejantes.Ejm.: 4x2y3 + 2x4y2 – x3y

x5 + x3 + 2x + 1

NOTACIÓNUn polinomio cuya única variable es x puede ser representado así: P(x)

Lo cual se lee: “P de x” o “P en x”y significa: polinomio cuya única variable es x.

En general, un polinomio de (n + 1) términos puede ser expresado así:P(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ………….. +

a0x0

Donde: x es la variable cuyo mayor

exponente es n. an, an-1, an-2, ……… a0 son los

coeficientes de P(x).

an: coeficiente principal; an 0

a0: término independiente.

GRADO ABSOLUTO (G.A.)Esta representado por el monomio de mayor grado.

P(x) = x7 + x5 + 4GA = 7

P(x, y) = x12y5 + x4y + 4GA = 17

GRADO RELATIVO (G.R.)Esta representado por el mayor exponente de la variable referida.

P(x, y) = 2x3y5 – 4x4y3 – 1y5

GR(x) = 4 , GR(y) = 5

Ejm.:En el siguiente polinomio:

P(x) = xa+1 + 2xa-3 + 7xa-5

Calcular el valor de “a” si GA = 14

Solución:El grado absoluto es:

a + 1 = 14a = 13

Ejm.: En el polinomio:P(x, y) = 7x2yb+4 – 5x3yb-1 –x2yb+7

Calcular el valor de “b” GRy = 10

Solución:El grado relativo con respecto a “y” es:

b + 7 = 10b = 3

88

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 3 TERCER AÑO

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

I BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO

1. Colocar verdadero o falso según corresponda:P(x) = 4x4 – 5x6 + 2x2 + 6

I. El polinomio es de grado 4. ( )II. El término independiente es 6. ( )III. La suma de coeficientes es 7. ( )

2. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas?I. es un monomio de grado 4.

II. P(x) = 5 + 3x2 + x-3 es un polinomio.

III. es un polinomio en Q.

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) Todas

3. En el siguiente polinomio:P(x) = x2a+1 + 6x2a+3 – 5x2a+4

Calcular el valor de “a”. Si: GA = 14

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

4. En el siguiente polinomio:P(x) = 2xa-2 + 6xa-4 + 8xa-6

Calcular el valor de “a”. Si: G.A. = 13

a) 15 b) 14 c) 13d) 10 e) 12

5. En el polinomio:P(x, y) = x2ay4 – 3x2ay6 – x2a

Calcular el valor de “a” G.A. = 20

a) 7 b) 8 c) 10d) 11 e) 14

6. En el polinomio:P(x, y) = x2a+4y – 7xa-5y2 – 8xa-3y2

Calcular el valor de “a” si GRx = 10

a) 4 b) 5 c) 3d) 9 e) 10

7. En el polinomio:P(x, y) = 5x3yb+6 – 4x2yb+2 – x2yb+3


92


a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

8. En el polinomio:P(x, y) = axa-4 + 3xay3 + 2ya

Calcular la suma de sus coeficientes. Si GA = 12

a) 10 b) 12 c) 14d) 15 e) 16

9. Indicar la suma de coeficientes del polinomio:P(x, y) = axa-4yb-2 + bxa+2yb – 4xa-2yb+3

Siendo: GA = 8

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10. Calcular el valor de “n” en:

siendo n < 8

a) 6 b) 8 c) 4d) 5 e) 2

11. Determine el GA del polinomio:

Sabiendo que 9 < GR(x) < 14

a) 9 b) 13 c) 16d) 19 e) 21

12. En el siguiente polinomio:P(x, y) = xa+1y2b+3 – xa+3y2b+1 + xa+5y2b-1 – xa+7y2b-3

De donde: GR(x) = 9; GR(y) = 9Calcular el G.A. del polinomio.

a) 3 b) 5 c) 12d) 9 e) 18

13. Determine el mayor grado relativo de una de sus variables:P(x,y) = x3k-1yk+1 + x2k+3y2k+5 + xk+2y3k-4

Sabiendo GA del polinomio es 16.

a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 13

93


14. En el siguiente polinomio:

Calcular: “n”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15. Del problema anterior señalar la suma de coeficientes:

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 11

TAREA DOMICILIARIA

1. Colocar verdadero o falso según corresponda:P(x) = 3x5 – 2x3 + 3x2 + 7

I. El polinomio es de grado 5. ( )II. El término independiente es 3. ( )III. La suma de coeficientes es 15. ( )

2. La suma de coeficientes del polinomio:P(x) = 4x5 + 5x4 – 6x3 + (7 - n)x + 3n es de 16Señalar el término independiente.

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 9

3. En el siguiente polinomio:P(x) = xa+1 + 2xa-3 + 7xa+4


a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

4. En el polinomio:P(x, y) = x2ya + 2x3ya – 5a+5


a) 2 b) 3 c) 1d) 0 e) 4

94


5. En el polinomio:P(x, y) = x3ay2 – 2x3ay3 – x3a

Calcular el valor de “a” GA = 9

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

6. En el polinomio:P(x, y) = x7 – 4x2yb + byb+3

Calcular la suma de coeficientes si GRy = 10

a) 0 b) 1 c) 2d) 6 e) 4

7. En el polinomio:P(x, y) = 6x2yb+3 + 2x3yb+4 + x4yb+5


a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14

8. En el polinomio:P(x, y) = nxn-3 + 2xny2 + 4yn

Calcular la suma de sus coeficientes si GA = 8

a) 10 b) 11 c) 12d) 14 e) 15

9. Indicar la suma de coeficientes del polinomio:P(x, y) = axa-2yb + bxa+3yb+1 + 3xa-1yb-2

Siendo: GA = 10

a) 3 b) 5 c) 1d) 9 e) 12

10. Calcular el valor de “n” en:

Siendo: n < 15

a) 10 b) 12 c) 13d) 14 e) 9

95

SUMA DE MONOMIOS Y POLINOMIOS


11. Señalar la suma de coeficientes del polinomio:

a) 19 b) 17 c) 15d) 13 e) 11

12. En el polinomio:

Determine “n”

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 11

13. Determine el mayor grado relativo de una de sus variables:P(x, y) = x2k+4yk+2 + x2k-1yk+1 + 4xk+2y2k-1

Sabiendo GA del polinomio es 15.

a) 6 b) 8 c) 10d) 12 e) 13

14. En el siguiente polinomio:

Calcular: “n”a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 7

15. Del problema anterior señalar la suma de coeficientes:

a) 10 b) 11 c) 12d) 14 e) 16

LA NOCIÓN CLÁSICA DEL POLINOMIO

96



Un ejemplo sencillo : Situémonos en el conjunto R, que es del álgebra elemental, y denominemos “x” un número real cualquiera (lo cual, como recordamos, se escribe x R). He aquí un ejemplo de cálculo susceptible de ser efectuado sobre los números como x.

Supongamos que x designa una longitud indeterminada (medida en metros); entonces x2

designará la superficie de un cuadrado de lado x y x3 el volumen de un cubo de arista x.

Imaginemos que una persona compra : Una curda cuya longitud equivale tres veces a la longitud de x, es decir 3x metros y cuyo precio es de 2 soles el metro; esta cuerda cuesta pues :

3x . 2 = 6x soles

Un tablero de contrachapado de superficie 2x2 (en metros cuadrados), al precio de 12 soles el metro cuadrado; por lo tanto, este tablero cuesta 2x2 . 12 = 24x2 soles.

Un tonel de vino de capacidad igual a x3 (en metros cúbicos), al precio de 2 soles el litro (de 2000 soles el metro cúbico, puesto que en un metro cúbico hay 1000 litros); cueste 2000x3 soles.

Después de estas compras, le quedan 50 soles se pide expresar la suma que esta persona tenía inicialmente. Es perfectamente evidente que esta suma depende de x y que no se puede conocer, puesto que x es indeterminado; sin embargo puede expresarse en soles bajo la forma :

50 + 6x + 24x2 + 2000x3 (1)

Una expresión como (1) se denomina polinomio de una indeterminada (la indeterminada es x); se representa con frecuencia por P(x), que se lee “P de x” (P es la inicial de la palabra “polinomio”). Las compras de una segunda persona llevarían a establecer, por ejemplo, el polinomio : P1(x) = 30 + 2x - 15x2 + 50x3

El signo “-” delante de 15x2 significa una deuda equivalente a la suma de 15x2 soles. Para otra persona podría tenerse : P2(x) = 15 – 2x + 2x2, etcétera.

Lo que distingue de los polinomio P, P1, P2, ……, no es la presencia de la indeterminada x a la potencia 1, a la potencia 2, etc., sino el conjunto de coeficientes :

(50 , 6 , 24 , 2000) para el primer polinomio (30 , 2 , -15 , 50) para el segundo polinomio (15 , -2 , 3) para el tercer polinomio

Para terminar, es posible realizar, por supuesto, operaciones con los polinomios como P + P 1 o P . P1.

Estas observaciones no llevarán a una definición algo más general de los polinomios. En lo que sigue, x definirá siempre la magnitud indeterminada sobre la que se calcula, y los coeficientes se indicarán mediante letras minúsculas como a, b, c, … o -para no agotar demasiado aprisa el alfabeto- mediante minúsculas afectadas por un índice, es decir, por un número entero (0, 1, 2, …). Escrito en caracteres pequeños en la parte inferior y a la derecha de una letra : a1 se lee “a uno” o “a índice 1”.

La notación por medio de índices, que ya nos es familiar, atemoriza a veces a los no matemáticos. Sin embargo, no tiene nada de misterioso : simplemente es un medio cómodo de ordenar las letras del alfabeto.

97


SUMA Y RESTA DE MONOMIOS Y POLINOMIOS

La Suma o Adición : Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma).Así, la suma de a y b es a + b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones algebraicas dadas : a y b.La suma de a y –b es a – b, porque esta última expresión es la reunión de las dos expresiones dadas : ay – b.

Carácter General de la Suma Algebraica : En Aritmética, la suma siempre significa aumento, pero en Álgebra la suma es un concepto más general, pues puede significar aumento o disminución, ya que hay sumas algebraicas como la del último ejemplo, que equivale a una resta en Aritmética.Resulta, pues, que sumar una cantidad negativa equivale a restar una cantidad positiva de igual valor absoluto.Así, la suma de m y –n es m – n, que equivale a restar de m el valor absoluto de –n que es n.La suma de -2x y -3y es -2x – 3y, que equivale a restar de -2x el valor absoluto de -3y que es 3y.

REGLA GENERAL PARA SUMAR Para sumar dos o más expresiones algebraicas se escriben unas a continuación de las otras con sus propios signos y se reducen los términos semejantes si los hay.

I. SUMA DE MONOMIOS

1. Sumar : 5a, 6b y 8cLos escribimos unos a continuación de otros con sus propios signos, y como 5a = +5a , 6b = +6b y 8c = +8c la suma será:

5a + 6b + 8cEl orden de los sumandos no altera la suma. Así, 5a + 6b + 8c es lo mismo que 5a + 8c + 6b o que 6b + 8c + 5a.Esta es la Ley Conmutativa de la suma.

2. Sumar : 3a2b , 4ab2 , a2b , 7ab2 y 6b3 Tendremos :

3a2b + 4ab2 + a2b + 7ab2 + 6b3

Reduciendo los términos semejantes, queda :

4a2b + 11ab2 + 6b3

3. Sumar : 3a y -2b

Cuando algún sumando es negativo, suele incluirse dentro de un paréntesis para indicar la suma; así :

3a + (-2b)La suma será :

3a – 2b

4. Suma : 7a , -8b , -15a , 9b , -4c y 8Tendremos :7a + (-8b) + (-15a) + 9b + (-4c) + 87a – 8b – 15a + 9b – 4c + 8-8a + b – 4c + 8

La Resta o Sustración : Es una operación que tiene por objeto, dada una suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta o diferencia).Es evidente, de esta definición, que la suma del sustraendo y la diferencia tiene que ser el minuendo.Si de a (minuendo) queremos restar b (sustraendo), la diferencia será a – b. en efecto : a – b será la diferencia si sumada con el sustraendo b reproduce el minuendo a, y en efecto : a – b + b = a.

Regla General para Restar : Se escribe el minuendo con sus propios signos y a continuación el sustraendo con los signos cambiados y se reducen los términos semejantes, si los hay.

I. RESTA DE MONOMIOS 1. De -4 restar 7

Escribimos el minuendo -4 con su propio signo y a continuación el sustraendo 7 con el signo cambiado y la resta será :

-4 – 7 = -1

En efecto : -11 es la diferencia porque sumada con el sustraendo 7 reproduce el minuendo -4 :

-11 + 7 = -4

2. Restar 4b de 2aEscribimos el minuendo 2a con su signo y a continuación el sustraendo 4b con el signo cambiado y la resta será :

2a – 4b

En efecto : 2a – 4b es la diferencia, porque sumada con el sustraendo 4b reproduce el minuendo :

2a – 4b + 4b = 2a

3. Restar 4a2b de -5a2b

98


Escribo el minuendo -5a2b y a continuación el sustraendo 4a2b con el signo cambiado y tengo :

-5a2b - 4a2b = -9a2b-9a2b es la diferencia, porque sumada con el sustraendo 4a2b reproduce el minuendo :

-9a2b + 4a2b = -5a2b

4. De 7 restar -4Cuando el sustraendo en negativo suele incluirse dentro de un paréntesis para indicar la operación, de este modo distinguimos el signo – que indica la resta del signo – que señala el carácter negativo del sustraendo. Así :

7 – (-4) = 7 + 4 = 11

El signo – delante del paréntesis está para indicar la resta y este signo no tiene más objeto que decirnos, de acuerdo con la regla general para restar, que debemos cambiar el signo al sustraendo -4. Por eso a continuación del minuendo 7 escribimos +4.

5. De 7x3y4 restar -8x3y4

Tendremos :7x3y4 – (-8x3y4) = 7x3y4 + 8x3y4

= 15x3y4

6. De - ab restar - ab

Tendremos :

- ab – (- ab) = - ab + ab

= ab

Carácter General de la Resta Algebraica : En Aritmética la resta siempre implica disminución, mientras que la resta algebraica tiene un carácter más general, pues puede significar disminución o aumento.Hay restas algebraicas, como las de los ejemplos 4 y 5 anteriores, en que la diferencia es mayor que el minuendo.Los ejemplos 4, 5 y 6 nos dicen que restar una cantidad negativa equivale a sumar la misma cantidad positiva.

16. Si el polinomio es de 4º grado. Hallar “m” : P(x) = x1+m + x2+m + x3+m

a) 0 b) 2 c) 1d) 3 e) 4

17. Sumar los siguientes monomios : M(x, y) = ax2y3z5

N(x, y) = bx2y3z4 Indicar su coeficiente :

a) a + b b) az5 + bz c) a – bd) az5 – bz4 e) az5 + bz4

18. Indicar cuál de las siguientes sumas de monomios es correcta :I. 3x2 + 2x2 + bx2 = 7x2 , b > 30II. 7x2 + 2x2 + 5x3 = 14x3

III. 3x2 + 5x3 + 7x4 = 15x9

a) Sólo I b) Sólo II c) I y IId) I y III e) Ninguna

19. Si al sumar los siguientes monomios ax2y3 + bx2y3 resulta 2cx2y3. Indicar :

A =

a) 1 b) 2 c) cd) 3 e) 2c

20. Se tiene : M(x) = 3x2 + 2x + 1 N(x) = 7x2 + 2x + 3Se sabe que : 2M(x) + 3N(x) = ax2 + bx + c. Indicar : a + b + c

a) 10 b) 28 c) 38d) 48 e) 58

21. Del grafico, relacionar A con B

99


ax3y2 + 7x3y2

8x2 + mx2 + nx2

2x3y3 + px3y3

A

x2

3x3y3

ax3y2

B


22. Indicar la suma de cada una de las siguientes sumas de monomios :

I. 3x2y + 5xy2 + 7x2y + 5x3 + 20xy2 + 3xy2 + 7x2y

II. 8ab + 7a2b + 22ab2 + 50ab + 3a2b + 4ab2 + 3ab

III. 3m3 + 3k2 + 5pm2 + 20m3 + 32k2 + 7mp2 + 8pm2 + 2m3

IV. 3p2y + 5px2 + 7p2y + 5x2p + 10px2

+ 13p2y + 7x2p

23. Dados los polinomios : P(x) = 3x + 2 Q(x) = 5x + 3Hallar :

E =

a) 10 b) 20 c) 30d) 40 e) 50

24. Sean los términos : t1 = 7 x2m-5 , t2 = 5 xm+3 , se sabe que : t1 + t2 =

pt2. Indicar el calor de 2m + 1

a) 15 b) 16 c) 17d) 18 e) 19

25. Si al polinomio : P(x) = 3x2y3 + 5xm+3y4

se le resta 2x8y4 el grado disminuye. Indicar el valor de “m”.

a) 0 b) 1 c) 2d) 6 e) 5

26. Se realizan las siguientes sumas de términos semejantes : pxa + qxb + rxc =

5pqrxb. Indicar M =

a) 3 b) 5 c) 7d) 9 e) 6

27. Hallar la expresión equivalente más simple de :A =

a) x + y b) x/y c) x – yd) 1 e) 1/5

28. En la siguiente adición de monomios :

mxa + x4-a = bxb-3. Indicar :

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

29. Indicar la suma de los siguientes monomios y polinomios :

a. x3 + xy2 + y3 , -5x2y + x3 – y3 , 2x3 – 4xy2 – 5y3

b. -7m2n + 4n3 , m3 + 6mn2 – n3 , -m3 + 7m2n + 5n3

c. x4 – x2 + x , x3 – 4x2 + 5 , 7x2 – 4x + 6

d. a4 + a6 + 6, a5 – 3a3 + 8 , a3 – a2 – 14e. x5 + x – 9 , 3x4 – 7x2 + 6 , -3x3 – 4x +

5f. a3 + a , a2 + 5 , 7a2 + 4a , -8a2 – 6g. x4 – x2y2 , -5x3y + 6xy3 , -4xy3 + y4 ,

-4x2y2 – 6h. xy + x2 , -7y2 + 4xy – x2 , 5y2 – x2 +

6xy , -6x2 – 4xy + y2

i. a3 – 8ax2 + x3 , 5a2x – 6ax2 – x3 , 3a3 – 5a2x – x3 , a3 + 14ax2 – x3

j. -8a2m + 6am2 – m3 , a3 – 5am2 + m3 , -4a3 + 4a2m – 3am2 , 7a2m – 4am2 – 6

k. x5 – x3y2 – xy4 , 2x4y + 3x2y3 – y5 , 3x3y2 – 4xy4 – y5 , x5 + 5xy4 + 2xy5

l. a5 + a6 + a2 , a4 + a3 + 6 , 3a2 + 5a - 8 , -a5 – 4a2 – 5a + 6

m. a4 – b4 , -a3b + a2b2 – ab3 , -3a4 + 5a3b – 4a2b2 , -4a3b + 3a2b2 - 3b4

n. m3 – n3 + 6m2n , -4m2n + 5mn2 + n3 , m3 – n3 + 6mn2 , -2m3 – 2m2n + n3

o. ax – 3ax-2 , 5ax-1 + 6ax-3 , 7ax-3 + ax-4 , ax-1 – 13ax-3

p. ax+2 – ax + ax+1 , -3ax+3 – ax-1 + ax-2 , -ax + 4ax+3 – 5ax+2 , ax-1 – ax-2 + ax+2

q. a2 + ab - b2 , a2 - ab +

b2 , - a2 + ab - b2

r. x2 - y2 + xy , - xy - x2 +

y2 , xy - x2 + y2

100


s. a3 - ab2 + b3 , a2b - ab2 – 2b3 ,

a3 – a2b - b3

TAREA DOMICILIARIA

1. Si el polinomio es de 5º grado. Hallar “p” : P(x) = x1+p + x2+p

+ x4+p

a) 0 b) 2 c) 3d) 1 e) 4

2. Sumar los siguientes monomios : M(x) = 3x3y3 N(x) = 5x3y2

a) 8 b) 3y + 5y2 c) 3x3 + 5y2

d) 5y3 e) 3y2

3. Indicar cuál de las siguientes sumas de monomios es correcta :

I. 3x5 + 6x5 + 7x5 = 16x15

II. ax3y2 + bx3y2 + cx3y2 = (a + b + c)x3y2

III. mx2 + nx3 + px3 = (m + n + p)x8

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo IIId) I y II e) Ninguna

4. Si al sumar los siguientes monomios mx2

+ nx2 resulta px2. Calcular : E =

a) 1 b) 2 c) 3d) p e) 2p

5. Se tiene : P(x) = 3x + 2 Q(x) = 5x + 3Se sabe que : P(x) + 2Q(x) mx + n. Hallar : m + n

a) 1 b) 2 c) 10d) 20 e) 21

6. En el siguiente grafico, relacionar las sumas de A con los resultados de B.

7. Indicar la suma de cada una de las siguientes sumas de monomios.

I. 3ab + 5a2b + 7ab + 3a2b + 4ab2 + 7ab2 + 21a2b

II. mn2 + mn + m2n + 3mn + 4mn2 + 5n2m + 7nm2

III. 4pq + 7p2q + 10pq2 + 8p3 + 33p2q + 16pq + 18p3

IV. 3p2y + 22xy2 + 21xy + 3xy2 + 22p2y + 35xy

8. Dados los polinomios : M(x) = 3x + 27 N(x) = 18x + 3

Hallar : E =

a) 50 b) 51 c) 52d) 53 e) 54

9. Sean los términos : t1 = x5+n , t2 =

x12 se sabe que : t1 + t2 3t1. Indicar el valor de n + 1

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

10. Si al polinomio : Q(x) = 5x2 + 7x3 + 8xm+5

se le resta 2x10 el grado absoluto disminuye. Indicar el valor de : E =

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

11. Se realizan las siguientes sumas de términos semejantes : axm + bxn + cxp =

7abcxp. Indicar E =

a) 2 b) 4 c) 6d) 7 e) 9

12. Hallar la expresión equivalente más simple de : E =

101

3mx2 + 5x2

5xy + mnxyax2y + bx2y

A

2xy8x2y7x2

B


a) 2y/x b) 2 c) 1d) 3x/y e) 2x/y

13. En la siguiente adición de monomios :

xa + x6-a = bxb-2. Hallar : (a + b + c)

a) 14 b) 12 c) 10d) 20 e) 24

14. Sumar :

a. m , nb. m . –nc. -3a , 4bd. 5b , -6ae. 7 , -6f. -6 , 9g. -2x , 3yh. 3x + x3 , -4x2 + 5 , -x3 + 4x2 – 6i. x2 – 3xy + y2 , -2y2 + 3xy – x2 , x2 +

3xy – y2

j. a2 – 3ab + b2 , -5ab + a2 – b2 , 8ab – b2 – 2a2

k. -7x2 + 5x – 6 , 8x – 9 + 4x2 , -7x + 14 – x2

l. a3 – 4a + 5 , a3 – 2a2 + 6 , a2 – 7a + 4m. –x2 + x – 6 , x3 – 7x2 + 5 , -x3 + 8x – 5n. a3 – b3 ,5a2b – 4ab2 , a3 – 7ab2 – b3

o. x2 + xy , xy + y2

p. a2 + ab , - ab + b2 , - ab - b2

q. x2 + xy , - xy + y2 , - xy + y2

r. x2 - y2 , - xy + y2 , xy +

y2

102

POLINOMIOS

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” I BIM – ÁLGEBRA – 1ER. AÑO

1. POLINOMIOEs una suma limitada de monomios no semejantes. En esta suma se puede incluir alguna constante.

Ejemplos:Ejemplos: 5x + x2 4xy – 5xz + 4 – 3x2

3xw + x 4x2y + yz4 – 3 2w2 + 5 3x2y3 – 8xy3

-3y5 + 2x – 1 -5 – 10x2 – x

2. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOSPara sumar o restar polinomios debemos recordar que:

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 138

NIVEL: SECUNDARIA SEMANA Nº 6 PRIMER AÑO

RecuerdaRecuerdaUn monomio es una expresión que une parte variable y parte

constante mediante la multiplicación.

Y ¿Qué es un polinomio?

SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN

Cuando un signo (+) precede a un signo de colección la expresión interior no

cambia de signo. Cuando un signo (-) precede a un signo de colección la

expresión interior cambia de signo.


Ejemplos:Ejemplos:

(3x + 2) + (2x + 5) = 3x + 2 + 2x + 5 = 5x + 7

polinomio polinomio términos semejantes

(8x + 4) - (5x + 2) = 8x + 4 - 5x - 2 = 3x + 2

términos semejantes

(2x + 3) - (5x - 1) = 2x + 3 - 5x + 1 = -3x + 4

(-5xy + 3) - (5xy – 1 – x2) = -5xy + 3 - 5xy + 1 + x2 = x2 + 4

¡ Ahora tu !¡ Ahora tu !

(4x + 5) + (3x + 2) =

(5x - 5) + (4x - 7) =

(3w - 7) – (w - 1) =

(x2 + 5x) – (x2 – 4x) =

(2x + 3x3y) + (4x + 2x2 y + y3) =

(3x2 + xy + z4) – (-3x2 + 4xy – z4) =

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”139


¿Sabías que?¿Sabías que?El prefijo poli significa

varios, es decir, polinomio significa varios monomios.


I. Opera (suma o resta) los siguientes polinomios

16. (x + 2) + (2x + 1) =

17. (3w + 5) + (4w + 4) =

18. (4x2 + 2) + (5x2 + 3) =

19. (5z2 + 4z) + (2z2 + 3z) =

20. (9y3 + y) + (3y3 + y) =

21. (3x + 2) – (x + 1) =

22. (5w + 4) – (2w + 2) =

23. (8z2 + 5) – (4z2 + 2) =

24. (7y3 + 9y) – (2y3 + 4y) =

25. (10x4 + 3x) – (5x4 + 2x) =

II. Opera los siguientes polinomios:

26. (2x2 + 3x) + (3x2 - x) =

27. (5x2 – 4x) + (2x2 – 3x) =

28. (3w2 + w - 4) + (-2w2 – 4w + 2) =

29. (4z3 – 4z + 3) + (-3z + 2) =

30. (8y4 + 3y) + (4y2 – 8y4 – 2y) =

31. (3x2 + 4x) – (2x2 - x) =

32. (4w2 – 5w) – (3w2 – 2w) =

33. (5z2 – 3z + 8) – (-3z2 – 3z - 4) =

34. (9y5 – 3y2 + 4y) – (3y2 + 9y5) =

35. (-10x2 - 4) – (-3x2 + 4x - 4) =

III. Resuelve los siguientes problemas

36. Si: A = 3x2 + x – 7B = 8x2 – 5x – 10C = 5x2 + 3x - 1

Hallar: A + B – C

a) 6x2 – 7x - 16 d) 6x2 – 7x b) 6x2 – 7x – 15 e) 6x2 + 7x - 16c) 6x2 – 7x + 16

37. Si: A = w3 – 8w + 4B = 2w2 – 4w

Hallar: A – 2B

a) w3 + 4w2 - 4 d) w3 – 4w2 – 2 b) w3 – 4w2 + 4 e) w3 + 4w2 + 4 c) w3 – 4w2 – 4

38. Si: A = -8x2y + 3xy – 3y3

B = 4y3 – 7x2y + 2xyHallar: 2A – 3B

a) 5x2y + 18y3 d) 5x2y – 18y3

b) 5x2y – 18y2 e) 5xy – 18y3

c) 5xy2 – 18y3

39. Si: (3x + 4) + (5x - 2) = mx + nHallar: m – n

a) 9 b) 8 c) 6d) 7 e) 5

40. Si: (mx + n) – (-3x - 2) = 10x – 2Hallar: m + n

a) 4 b) 5 c) 7d) 8 e) 3

TAREA DOMICILIARIA Nº 6

I. Opera los siguientes polinomios

1. (2x + 4) + (3x + 7) =

2. (4w + 3) + (2w + 1) =

3. (5z2 + 4) + (4z2 + 2) =

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” 140


4. (7y4 + 3y) + (8y4 + 4y) =

5. (3x + 4) – (2x + 1) =

6. (4w + 8) – (3w + 2) =

7. (10z2 + 3) – (5z2 + 2) =

8. (9y3 + 4y) – (8y3 + 2y) =

9. (3x2 + 4x) + (2x2 – 2x) =

10. (5w2 – 3w) + (w2 - w) =

11. (-3z3 + z - 1) – (2z3 – 2z - 1) =

12. (8y3 + 2y + 4) – (-7y3 – 2y) =

13. (-5x4 – x2) – (2x4 – x2 + 4) =

“SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”141

DIVISIÓN ALGEBRAICA

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO

II. Resuelve los siguientes problemas

14. Si: (2x + 4) + (3x - 8) = mx + nHallar: m + n

a) -1 b) 1 c) 0d) 5 e) 4

15. Si: A = -2x – 5B = 4x2 – 3x + 2

Hallar: 3A - 2B

a) -8x2 - 19 d) 8x2 + 19b) -8x2 + 19 e) -8x - 19c) 8x2 - 19

VEREMOS LOS CASOS:

1 Monomio entre monomio

Para dividir dos monomios solo dividimos parte constante entre parte constante y parte variable entre parte variable.

Así:

Ejemplo 1

Efectuar: 15x4y5 2x2y

= 7 . 5 x2y4

Obs.:

i)

ii)

Ejemplo 2

Calcular:

p – 2 8n – 2n (4k + 3) – (2k + 5) p – 2 6n 4k + 3 – 2k +

5 p – 2 6n 2k + 8

exp. “x” exp. ”y” exp. ”z”

2 Polinomio entre monomio

COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA” Dpto. de Publicaciones 200395


Recuerda:

Los exponen- tes

quedarían


Para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio. Así:

Ejemplo 1 Efectuar:

Cada:

i)

ii) = -5x3z-2

iii)

Luego:La Rpta. será:

Ejemplo 1

Calcular:

i)

ii)

iii)

Luego:La Rpta. será:

-7x4y-nz3-q – 6x4-2py2nz8-2q + x7y5zq+2

3 POLINOMIO ENTRE POLINOMIO

Para poder dividir un polinomio entre polinomio. Generalmente de una variable (División Euclidiana) se utilizan métodos prácticos como Horner, Ruffini con la finalidad que verifique la siguiente identidad.

D(x) d(x) . q(x) + R(x)

Grado D(x) > Grado d(x)

Donde:i. D(x) : Dividendoii. d(x) : Divisoriii. q(x) : Cocienteiv. R(x) : Residuo o Resto

Nota:v. R(x) = 0 División Exactavi. R(x) 0 División Inexacta

MÉTODO DE HORNERSe sigue los siguientes pasos:

a) Se completan y ordenan los polinomios dividendo y divisor.

b) Si dibujas dos líneas. Una horizontal, otra vertical que se corten a un extremo.

c) Sobre la línea horizontal se colocan los coeficientes del dividendo con todo su signo (obviar el +).

d) En el casillero intersección se coloca el primer coeficiente del divisor.

e) El lado de la línea vertical se colocan los demás coeficientes del divisor, pero cambiado de signo.

f) Se cierra el diagrama con una línea horizontal.

ESQUELETO


96

Observa que se divide

cada término del polinomio

entre el monomio.

Se conoce

Se desea calcular

Ojo: Para poder dividir los polinomios dividendo (D(x)) y divisor (d(x))

deben estar completos y ordenados y si falta

algún término se completa con ceros.

Nota: La cantidad de lugares que tiene el residuo es igual al grado del divisor contar de derecha a izquierda.

Cociente Residuo

(-1)


Ejemplo 1

Dividir:

D(x) = 9x4 + 0x3 + 2x2 + 6x – 8

d(x) = 3x2 + x – 2

q(x) = 3x2 – x + 3 R(x) = x - 2

DIVISIÓN D(x) y d(x)

D(x) =d(x) =

D(x) =d(x) =

D(x) =d(x) =

D(x) =d(x) =

I. En los siguientes casos dividir e indicar el coeficiente resultante:

41.

Rpta.: ………………………………………

42.

Rpta.: ………………………………………

43.

Rpta.: ………………………………………



2 lugares porque el grado del divisor es 2

3 9 0 2 6 -8

-1 -3 6

2 1 -2

-3 6

3 -1 3 1 -2

x2 x T.I x T.I


44.

Rpta.: ………………………………………

45.

Rpta.: ………………………………………

II. En los siguientes casos dividir e indicar la suma de coeficientes:

46.

Rpta.: ………………………………………

47.

Rpta.: ………………………………………

48.

Rpta.: ………………………………………

49.

Rpta.: ………………………………………

50. Dividir: 3x2m+3n+4py2q+3p-4+5x2m+4n-3py5p+4q

Entre: 5xm+2yp+q+3

Rpta.: ………………………………………

III. Dividir (utilizando Método de Horner) indicar el cociente [q(x)] y el resto [R(x)]

51.

q(x) = ………………………………………

R(x) = ………………………………………

52.


98


q(x) = ………………………………………

R(x) = ………………………………………

53.

q(x) = ………………………………………

R(x) = ………………………………………

54.

q(x) = ………………………………………

R(x) = ………………………………………

55.

q(x) = ………………………………………

R(x) = ………………………………………


I. Dividir los siguientes monomios:

30.

Rpta.: ………………………………………

31.

Rpta.: ………………………………………

32.



Rpta.: ………………………………………

33.

Rpta.: ………………………………………

34.

Rpta.: ………………………………………

II. Hallar el cociente en cada uno de los siguientes casos:

35.

Rpta.: ………………………………………

36.

Rpta.: ………………………………………

37.

Rpta.: ………………………………………

38.

Rpta.: ………………………………………

39.

Rpta.: ………………………………………

III. Dividir utilizando Método de Horner e indicar el cociente y el residuo.

40.

q(x) = ………………………………………

R(x) = ………………………………………


100

DIVISIÓN EUCLIDIANA

COLEGIO PRE-UNIVERSITARIO “TRILCE” II BIM – ÁLGEBRA – 3ER. AÑO

41.

q(x) = ………………………………………

R(x) = ………………………………………

42.

q(x) = ………………………………………

R(x) = ………………………………………

43.

q(x) = ………………………………………

R(x) = ………………………………………

44.

q(x) = ………………………………………

R(x) = ………………………………………

Como estudiamos en la semana anterior la División Euclidiana es aquella que se realiza con polinomios de una variable. Así teníamos los métodos de división:

4 MÉTODO DE HORNER

Ejemplo:

Dividir:

q(x) = 3x2 – 2x + 2R(x) = 10x - 11


100


4 12 -17 17 2 -9

3 9 -3

-1 -6 2

6 -2

3 -2 2 10 -11

x2 x T.I x T.I


5 MÉTODO DE RUFFINI

Se utiliza cuando el divisor es mónico y de primer grado.

d(x) = x + b b 0

Ejemplo

Dividir:

q(x) = 2x4 – 6x3 + 3x2 – 9x + 7R(x) = -13

6 TEOREMA DE RENÉ DESCARTES(TEOREMA DEL RESTO)

Este teorema tiene por finalidad hallar el resto de una división sin efectuar la división.

Se siguen los siguientes pasos:i) Se iguala el divisor a cero.

ii) Se despeja una variable.iii) Se reemplaza el valor o equivalente

de esta variable en el dividendo cuantas veces sea necesario.

Ejemplo 1

i) x + 1 = 0ii) x = - 1iii) Se reemplaza:

R = 8(-1)2003 + 13(-1)2 + 1999R = -8 + 13 + 1999R = 2004

Ejemplo 2

i) x2 + 1 = 0ii) x2 = - 1

iii) Observo que:D(x) = 2(x2)2x + 3(x2)(x) + 3x – 6Reemplazando: x2 = - 1R(x) = 2(-1)2x + 3(-1)(x) + 3x – 6R(x) = 2x – 3x + 3x – 6R(x) = 2x - 6

56. Al efectuar la siguiente división:

Indicar su cociente.

a) x2 – 2x – 3 b) x2 + 2x + 3 c) x2 - 1d) x2 + 2x e) x2 + x - 3

57. Indicar la suma de coeficientes del cociente de dividir:



Dividendo

Cociente

1 Lugar

Resto

x + b = 0

-b

x4 x3 x2 x T.I


a) 2 b) -4 c) 8d) 0 e) -2

58. Calcular m + n si la división:

Es exacta:

a) 5 b) 37 c) -21d) -12 e) -20

59. Calcular A + B si al dividir:(12x4 – 7x3 – 2x2 + Ax + B) entre (3x2 – x + 3)

El residuo es 4x + 3.

a) -4 b) 8 c) -6d) 4 e) 5

60. Hallar A/B si al dividir:

El residuo es 7x + 44

a) 4 b) 5 c) 6d) 12 e) 9

61. Si la división es exacta en:

Determinar: m – n

a) 18 b) 20 c) 22d) 25 e) 26

62. Luego de dividir, indicar el coeficiente del término independiente del coeficiente:

a) -6 b) 8 c) 2d) 10 e) 23

63. Hallar la suma de coeficientes del cociente de dividir:

a) -2 b) 5 c) 2d) 1 e) 4

64. Indicar la suma de coeficientes del cociente de efectuar:

a) -40 b) -10 c) -22


102


d) -52 e) 22

65. Encuentra el término independiente del cociente de dividir:

a) b) c) d) e) 1

66. Calcular “m” si la división es exacta:

a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2

67. Si el residuo de la división (3x6 – x2 + 3x - a) entre (x - 1) es 2. ¿Cuál debe ser el valor de “a”?

a) 0 b) 2 c) 3d) -1 e) -2

68. Hallar el resto:

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 10

69. Hallar el resto en:

a) 6x b) 0 c) 4xd) 2x e) 3x + 7


a) 3 b) 5 c) 2d) 6 e) 19


45. El residuo de dividir:(8x5 + 5x2 + 6x + 5) entre (4x2 – 2x + 1)

a) 2x + 1 b) 2x – 1 c) 8x + 4d) 4x + 1 e) 3x + 2



46. Indicar el término independiente del cociente de dividir:(2x4 – 7x3 + 10x2 – 4x - 3) entre (2x2 – x + 3)

a) 1 b) 2 c) 4d) 3 e) N.A.

47. Calcular (A + B) si la división es exacta:

a) 2 b) 0 c) 5d) 4 e) N.A.

48. Hallar m + n + p si la división es exacta:

a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) N.A.

49. Calcular (a – b) si la división:

Deja como resto: 4x + 5

a) 33 b) 16 c) 15d) 10 e) 23

50. Si al dividir:(12x4 + Ax3 + Bx2 + Cx + D) entre (2x2 – x + 3)

Se obtiene un cociente cuyos coeficientes disminuyen en 1 y arroja un residuo R(x) = 7x + 9Calcular: A + B + C + D

a) 70 b) 62 c) 64d) 68 e) 82

51. Efectuar:

Dar como respuesta el término independiente de cociente.

a) 203 b) 100 c) 205d) 200 e) 202

52. Indicar el cociente al dividir:

a) 2x3 + 3x2 – 4x + 5b) 2x3 + 3x2 – 4x - 5c) 2x3 - 3x2 + 4x - 5d) 2x3 - 3x2 – 4x + 5


104


e) 4x3 + 6x2 – 8x + 10

53. En el siguiente cuadro de Ruffini calcula la suma de los números que debemos escribir en los casilleros.

a) 33 b) 32 c) 26d) 31 e) 27

54. Indicar el término independiente del cociente luego de dividir:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

55. Calcular “m” si la división:

Es exacta:a) 6 b) 3 c) 8d) 9 e) -5

56. Calcular el resto al dividir:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5


a) 3 b) 5 c) 2d) 6 e) 9

58. Al dividir:

Da como resto:

a) -6 b) 7 c) 1d) 4 e) 9

59. Si: R(x) es el resto de dividir:

Hallar: R(-1)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.


PRODUCTOS NOTABLES IINIVEL: SECUNDARIA

SEMANA Nº 3

TERCER AÑO


Lo calculaban usando áreas:

Para demostrarlo debemos recordar.

En el cuadrado: su área será:Área = (a + b)2 …………. 1

CuadradoPero además:

Área = A + B + C + D CuadradoPor recordatorio:

A = a2 C = abB = b2 D = ab

Área Cuadrado = a2 + b2 + ab + ab

De 1

(a + b)2 = a2 + b2 + ab + ab

ORDENANDO Y REDUCIENDO

Veamos algunos Productos Notables mas:

7 BINOMIO AL CUBO

Ejemplo: (x + 2)3 = (x)3 + 3(x)2(2) + 3(x)(2)2 +

23

= x3 + 6x2 + 12x + 8

(x - 5)3 = (x)3 – 3(x)2(5) + 3(x)(5)2 – (5)3

= x3 – 15x2 + 75x - 125

a B a3 3a2

b3ab

2 b3 a3+3a2b+3ab2

+b3

x Y x3 x3+3x2y+3xy2

+y3

2m N2 n3

3x2 Y

2c D2

(a + b3) = a3 + b3 + 3ab (a + b)


106

PRODUCTOS NOTABLES II

Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”

MoradoLila

Rojoamarillocelesteverde

lilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesy

RectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2

xx

Cuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS


MoradoLila




xx



MoradoLila




xx



MoradoLila




xx



MoradoLila




xx



MoradoLila




xx



MoradoLila




xx



MoradoLila




xx



MoradoLila




xx



MoradoLila




xx



MoradoLila




xx



MoradoLila




xx



MoradoLila




xx



MoradoLila




xx


Cuerp

o GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarill

oCelest

eVerde“Escondido”Morad

oLilaRojo

amarillo

celeste

verdelila

marrónmorad

orojo

EJERCICIOS DE

APLICACIÓN


Cubo ………..

Identidad que

ya conoc

esy

Rectángulo

xÁrea =

x . yÁrea =

x2

xx

Cuadrado

a + babababbabaBDCA

En Egipto ya conocían los

producto

s notables, pero no lo calculaba

n algebraicamente.POLINOMIO

S

Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde

“Escondido”

MoradoLilaRojo


lilamarrónmorado

rojoEJERCICIOS DE

APLICACIÓNK = 3

Observa esta otra

forma del

Binomio al

Cubo ………..Identidad

que ya conoces

yRectángu

lox

Área = x . y

Área = x2

xx

Cuadradoa + b

abababbabaBDCA

En Egipto

ya conocían los produc

tos notabl

es, pero no lo

calculaban

algebraicame

nte.POLINOMI

OS

Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCelesteVerde“Escondido”MoradoLilaRojoamarillocelesteverdelilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conocesyRectánguloxÁrea = x . yÁrea = x2

xxCuadradoa + babababbabaBDCAEn Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS



Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenA

marilloCelesteVerde


LilaRojo


lilamarrónmorado

rojoEJERCICIOS DE

APLICACIÓN

K = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad

que ya conoces

yRectángulo


xx

Cuadradoa + b

abababbabaBDCA

En Egipto ya

conocían los

productos

notables, pero no

lo calculaba

n algebraicamente.POLINOMIOS


marilloCelesteVerde

“Escondido”

MoradoLilaRojo


lilamarrónmorado

rojoEJERCICIOS DE

APLICACIÓNK = 3

Observa esta otra

forma del

Binomio al

Cubo ………..Identidad

que ya conoces

yRectángul

ox

Área = x . y

Área = x2

xx

Cuadradoa + b

abababbabaBDCA

En Egipto

ya conocía

n los product

os notables, pero no lo

calculaban

algebraicamen

te.POLINOMIO

S






marilloCelesteVerde


LilaRojo


lilamarrónmorado

rojoEJERCICIOS DE

APLICACIÓN

K = 3Observa esta otra forma del Binomio al Cubo ………..Identidad

que ya conoces

yRectángulo


xx

Cuadradoa + b

abababbabaBDCA

En Egipto ya

conocían los

productos

notables, pero no

lo calculaba

n algebraicamente.POLINOMIOS

Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVol

umenAmarilloCelesteVerde


LilaRojo


lilamarrónmorado

rojoEJERCICIOS

DE APLICACIÓN


Cubo ………..Identidad que ya

conocesy

Rectángulox

Área = x . yÁrea = x2

xx

Cuadradoa + b

abababbabaBDCA


algebraicamente.

POLINOMIOS

Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumen

AmarilloCelesteVerde


LilaRojo


lilamarrónmorado


K = 3Observa esta otra forma del

Binomio al Cubo ………..Identidad que ya

conocesy

Rectángulox

Área = x . yÁrea = x2

xx

Cuadradoa + b

abababbabaBDCA

En Egipto ya conocían los productos

notables, pero no lo

calculaban algebraicamen

te.POLINOMIO

S

Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarillo

CelesteVerde


LilaRojo


lilamarrónmorado



Binomio al Cubo ………..

Identidad que ya conoces

yRectángulo


xx

Cuadradoa + b

abababbabaBDCA

En Egipto ya conocían los productos

notables, pero no lo calculaban algebraicamente

.POLINOMIOS


(a – b3) = a3 – b3 – 3ab (a – b)

Se denominan semidesarrolladas.Se utiliza generalmente para problemas tipo:

Ejemplo 1

Si: a + b = 4 ab = 5Calcular: a3 + b3

(a + b)3 = (4)3 (Se eleva al cubo)a3 + b3 + 3ab (a + b) = 64a3 + b3 + 3(5)(4) = 64a3 + b3 + 60 = 64a3 + b3 = 4

Ejemplo 2

Si:

Calcular:

(Se eleva al cubo)

8 BINOMIO POR TRINOMIO

Es de la forma.

Ejemplo:

(x + 2)(x2 – 2x + 4) = x3 + 23

= x3 + 8

(x + 5)(x2 – 5x + 25) = x3 + 53

= x3 + 125

(a + b) (a2 – ab + b2) = a3 + b3

x + y x2 – xy + y2 =

=

=

=

x2 + y3 x4 – x2y3 + y6 =

Ejemplo: (x - 3)(x2 + 3x + 9) = x3 - 33

= x3 - 27

(x - 7)(x2 + 7x + 49) = x3 - 73

= x3 – 343

a – b) (a2 + ab + b2) = a3 - b3

x – y x2 + xy + y2 =

=

=

=

a2 - b3 a4 + a2b3 + b6 =

Si: a + b + c = 0a3 + b3 + c3 = 3abc

Ejemplo:

Reducir: , si: a + b + c =

0

como a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc


Cuerpo

GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCeles

teVerde“Escondido

”MoradoLilaRojo

amarillo

celeste

verdelila

marrón

moradorojoEJERCICIOS

DE APLICACIÓN

K = 3Observa

esta otra forma del

Binomio al

Cubo

………..

Identidad que ya

conocesy

Rectángulo

xÁrea = x .

yÁrea = x2

xx

Cuadradoa + b

abababbabaBDCA

En Egipto ya conocía

n los productos notable

s, pero no

lo calculaban

algebraicamente.

POLINOMIOS


a + b + c = 0 a3 + b3 + c3 = 3abc

x + y + z = 0 =

=

(a - 1) + b + c = 0 =

(a - b)+(b - c)+(c – a) = 0 =

=

=

=

71. Si: a + b = 4 ab = 5Calcular: a3 + b3

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

72. Si:

Calcular:

a) 10 b) 20 c) 18d) 12 e) 11

73. Si: a – b = 2 y ab = 1Hallar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

74. Si: a2 + b2 = 6; ab = 1. (a > b)Calcular: N = a3 – b3

a) 7 b) 12 c) 13d) 8 e) 14

75. Multiplicar:

a) x3 b) x4 c) x6

d) x9 e) x10

76. Efectuar:

a) 1 b) 10 c) 2d) 8 e) 1

77. Si: ab = 3; a3 + b3 = 28Hallar: a + b

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

78. Reducir la expresión K si:K = (x + 2)(x2 – 2x + 4) – (x - 3)(x2 + 6x +

9)

a) 37 b) 36 c) 38d) 35 e) 39

79. Si: a + b + c = 0Reducir:

a) 1 b) 3 c) -3d) -1 e) 4

80. Si: a + b = 5 ab = 6Hallar: a3 + b3

a) 35 b) 30 c) 45d) 50 e) 100

81. Reducir:


108

Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAl

turaVolumenAmarilloCelesteVerde


LilaRojo


lilamarrónmorado



Binomio al Cubo ………..Identidad que ya conoces

yRectángulo


xx

Cuadradoa + b

abababbabaBDCA

En Egipto ya conocían los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.

POLINOMIOS


a) 1 b) x + y c) x6 – y6

d) -1 e) 3

82. Si se cumple que:(3n - 1) (9n + 3n + 1) = 728

Indicar el valor de: n

a) 5 b) 2 c) 3d) 6 e) 1

83. Si:

Calcular:

a) 100 b) 120 c) 116d) 110 e) 135

84. Hallar el valor numérico de:E = (x2 + 3)(x4 – 3x2 + 9) – (x4 + 3x2 + 9)

(x2 - 3)Para:

a) 50 b) 51 c) 52d) 54 e) 58

85. Si: a + b + c = 0Hallar:

a) 3 b) 0 c) 2d) 4 e) 1


60. Si: a + b = 3 ab = 3Calcular: a3 + b3

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) N.A.

61. Si:

Calcular:

a) 40 b) 50 c) 52d) 49 e) N.A.

62. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

63. Multiplicar:M = (x3 + 1) (x6 + x3 + 1) (x3 - 1) (x6 – x3 +

1) + 1

a) x3 b) x4 c) x6

d) x9 e) x18

64. Efectuar:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

65. Si: xy = 3 ; x3 – y3 = 170Calcular: “x - y”a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

66. Reducir:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

67. Si: x + y + z = 0Reducir:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) N.A.

68. Si: a + b = 6 ab = 3

Reducir:



a) 1 b) 5 c) 4d) 3 e) N.A.

69. Hallar el valor numérico de:E = (x4 + 5)(x8 – 5x4 + 25) – (x4 + 4)(x8-

4x4+16)Para:

a) b) c) 60d) 61 e) N.A.

70. Si:

Calcular:

a) -1 b) -2 c) 2d) 1 e) N.A.

71. Reducir:

a) -1 b) a + b c) a6 – b6

d) 1 e) N.A.

72. Si: (2n + 1) (4n – 2n + 1) = 65Calcular: “n”

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) N.A.

73. Si:

Calcular:

a) 0,5 b) 1 c) 3d) -2 e) N.A.

74. Si: a3 + b3 = 1Reducir: K = (a6 + b6) – (a9 + b9)

a) (a + b)3 b) ab c) a3b3

d) –ab e) –(a + b)3

El poliedro de la derecha es un cubo. Recuerda que las aristas de un cubo son iguales. ¿Cuál es

la expresión algebraica que representa a sus aristas?

La expresi

ón algebraica que corresponde a su volumen es:V = _________ x _________ x _________ .V = _________ .

El cubo está formado por varios cuerpos geométricos.¿Cuántos son? (No olvides contar el que está escondido)

Completa el cuadro con las dimensiones de los cuerpos geométricos y sus respectivos volúmenes.


110

Cuerpo GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumen

AmarilloCelesteVerde


LilaRojo


lilamarrónmorado



Cubo ………..Identidad que ya conoces

yRectángulo


xx

Cuadradoa + b

abababbabaBDCA


algebraicamente.POLINOMIOS

Cuerp

o GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAma

rilloCelesteVerde“Escondido”

MoradoLilaRojo

amarillo

celesteverde

lilamarrónmorado



Cubo ………..

Identidad que

ya conoce

sy

Rectángulo

xÁrea =

x . yÁrea =

x2

xx

Cuadrado

a + babababbabaBDCA


productos notables, pero no lo calculaban algebraicament

e.POLINOMIO

S

Cuerp

o GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAma

rilloCelesteVerde“Escondido”

MoradoLilaRojo

amarillo

celesteverde

lilamarrónmorado



Cubo ………..

Identidad que

ya conoce

sy

Rectángulo

xÁrea =

x . yÁrea =

x2

xx

Cuadrado

a + babababbabaBDCA


productos notables, pero no lo calculaban algebraicament

e.POLINOMIO

S

Cu

erp

o G

eom

étri

coD

ime

nsio

nes

Lar

goAn

choA

ltu

raV

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cele

ste

verd

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mar

rón

mor

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Área

=

x . y

Área

=

x2

x xCu

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ba b a b a b b a b a B D C A En

Eg

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ya

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cían

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nota

bles

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ro

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ca

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alge

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cam

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e.PO

LIN

OM

IO S


MoradoLilaRojo

amarillo

celesteverde

lilamarrónmorado

rojoEJERCICIOS

DE APLICACIÓ

NK = 3

Observa

esta otra

forma del

Binomio al

Cubo ………

..Identidad que

ya conoce

sy

Rectángulo

xÁrea =

x . yÁrea =

x2

xx

Cuadrado

a + babababbabaBDCA

En Egipto ya

conocían los

productos

notables, pero no lo calculaban algebraicament

e.POLINOMIOS


MoradoLila




xx


Cuerpo

GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarilloCeleste

Verde“Escondido”

MoradoLilaRojo

amarillo

celesteverdelilamarrónmoradorojoEJERCICIOS DE APLICACIÓNK = 3

Observa esta

otra

forma

del Binomio al Cubo ………..

Identidad que ya conocesy

Rectángulox

Área = x . y

Área = x2

xx

Cuadradoa + babababbabaBDCA

En Egipto ya conocían

los productos notables, pero no lo calculaban algebraicamente.POLINOMIOS

Cuerpo

GeométricoDimensionesLargoAnchoAlturaVolumenAmarillo

Celeste

Verde“Escondido

”Morad

oLilaRojo

amarillo

celeste

verdelila

marrón

moradorojo

EJERCICIOS DE

APLICACIÓNK = 3Observa esta otra form

a del

Binomio al

Cubo

………..

Identidad que ya

conocesy

Rectángulo

xÁrea = x .

yÁrea = x2

xx

Cuadrado

a + babababbabaBDCA

En Egipto ya conocía

n los

producto

s notables

, pero no lo

calculaban

algebraicamente

.POLINOMIOS

FACTORIZACIÓN I


Hallar la suma de los volúmenes, reduce los términos semejantes y compara el volumen hallado con el producto notable llamado “cubo de una suma”.

Es el proceso que consiste en transportar un polinomio racional entero en una multiplicación de dos o mas polinomios de grados mayores o iguales a uno, llamado factores:

(x + 1) (x + 3) = x2 + 4x + 3

Y si estos factores no se pueden descomponer en más factores se les denomina factores primos.

Ejemplo 1P(x) = x2 – 5x – 14

P(x) = (x - 7) (x + 2)

Tiene 2 factores primos son: x – 7; x + 2

Ejemplo 2Q(x, y) = x4y3 – x2y5

Q(x, y) = x2y3 (x2 – y2)Factorizando

Tiene 2 factores primos son: x – 7; x + 2Son: x; y; x + y; x - y

POLINOMIO FACTORIZADO# DE

FACTORES PRIMOS

P(x, y, z) = (x + y)(x - y)z2x3

P(x, y, z) = x2y3w5

P(x, y) = (x + y)(x2 – xy + y2)x4

P(x) = (x - 2)(x + 3)(x - 4)x

P(x, y) = x3y4(x - 2)(x - y)

P(x, y, z) = (xyz)2

P(x) = x3(x4 + 1)

P(x, y, z) = (x + y)(x + y)(y + z)xyz

P(x, y) = (x + a)(y + b)(x + b)(y + a)



multiplicación

factorización

Factorizando

Factorizando


MÉTODO DE FACTORIZACIÓN

A. FACTOR COMÚN MONOMIO Factor común monomio es el monomio

cuyo coeficiente es el máximo común divisor de los coeficientes del polinomio dado y cuya parte variable esta formada por las variables comunes con su menor exponente.

Ejemplo 1 Factorizar:

25x4 – 30x3 + 5x2

25 – 30 – 5 5 5 - 6 - 1

x4 x3 x2

x2

5x2

5x2(5x2 – 6x + 1)

POLINOMIO FACTORIZACIÓN

MONOMIO COMÚN

P(x, y) = 15x + 25y

P(x) = abx2 – acx

P(x) = 2x2 – 4x + 6x3

P(x, y) = x2y3 – x4y + x3y3

P(x, y) = 5x3y4 – 15x4y5 + 2ax5y5

P(x) = abx2 – ax3 + bx

P(x, y) = x4 – x3 + x

P(x) = 2xn + xn+1 + xn+2

P(x) = 3xn + 6xn-2 – 12xn-1

P(x, y) = 12nxayb + 4nxa-

1yb-2 – 8nxa+1yb+2

B. FACTOR COMÚN POLINOMIO Factor común polinomio es un polinomio

que se repite como factor en cada uno de los términos de un polinomio.

Ejemplo 1 P(x) = 2x2y(m + n) – 3z4(m + n) +

5(m + n)

Observa que un polinomio (m + n) se repite en todos los términos. El cual lo extraemos y queda:

(m + n) (2x2y – 3z4 + 5)

Ejemplo 2 P(x, y) = (x2 + y2)x – (x2 + y2)y – 2(x2

+ y2)

El polinomio que se repite es: x2 + y2

Queda:(x2 + y2) (x – y - 2)

POLINOMIO FACTORIZACIÓN POLINOMIO


112

Se halla el máximo común divisor de los coeficien-tes M.C.D. (25; 30; 5) = 5

Se sacan las variables comunes de todos los términos.

Se escoge el que tiene menor exponente.

Se multiplica el M.C.D. por la variable común.

La factorización queda así:


COMÚN

(a - 2)x2 – (a – 2)

y2(x + y - z) + m2(x + y - z)

x4(2ª – 5b) + x(2a – 5b) – 5(2a - 5b)

a(p + q) + b(p + q) + c(p + q)

a(a + b - c) + c(a + b - c) + b(a + b - c)

C. FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Cuando TODOS los términos de un polinomio no tienen la misma parte variable, se agrupa los términos que si lo tienen y se hallan los respectivos factores comunes.

Ejemplo 1 a2x + 5m2x – a2y2 – 5m2 – y2

Para factorizar se agrupa los que tenga parte variable común. Entonces:

a2x + 5m2x – a2y2 – 5m2y2

x(a2 + 5m2) – y2(a2 + 5m2)

(a2 + 5m2) (x – y2)

Ejemplo 2 mx + m2 + xy + my

m(x + m) + y(x + m)

POLINOMIO FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN

m2y2 – 7xy2 + m2z2 – 7xz2

5a – 3b – 3bc5 + 5ac5

6x3 – 1 – x2 + 6x7mnx2 – 5y2 – 5x2 + 7mny2

d2m – 13c2n2 – d2n2 + 13c2m

D. IDENTIDADES Aquí utilizamos dos diferentes

productos notables ya estudiados.

Ejemplo 1 x2 – y2 = (x + y)(x - y) (por diferencia de

cuadrados) x2 + 2xy + y2 (por trinomio cuadrado

perfecto)x2 y2

x y x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

xy

2xy

x3 – y3 = (x - y) (x2 + xy + y2) (Diferencia de cubos)

Ejemplo 2 Factorizar:a) 4x2 – 9 (parece diferencia de

cuadrados)Le damos forma:4x2 – 9 = (2x)2 – 32 = (2x + 3)(2x - 3)4x2 – 9 = (2x + 3)(2x - 3) (Por diferencia de cuadrados)

b) 25x2 – 40xy + 16y2 (Parece trinomio cuadrado

perfecto)

5x 4y 25x2 – 40xy + 16y2

= (5x – 4y)2


Observa que en todos los términos no hay expresión común:

a2x + 5m2x – a2y2 – 5m2y2

Tienen común x

Tienen común y2 y se puede

sacar el (-)

Por monomi

ocomún

Por monomi

ocomún

Monomio

Común

Monomio

ComúnPolinomio

Común(m + y) (x + m)

a2 – b2 = (a + b)(a - b)a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab +

b2)a3 – b3 = (a - b)(a2 + ab +

b2)a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

a2 – 2ab + b2 = (a - b)2

Recuerda

Trinomio Cuadrado Perfectox 2

x


20xy

40xy

c) 27x3 + 8 (Parece suma de cubos)Le damos forma:27x3 + 8 = (3x)3 + (2)3 = (3x + 2) [(3x)2 – (3x)(2) + (2)2]

= (3x + 2) (9x2 – 6x + 4)27x3 + 8 = (3x + 2) (9x2 – 6x + 4)

POLINOMIO FACTORIZACIÓN IDENTIDADES

c2 – b2

x2 + 10x + 2564 – x3

64x2 – 2549x2 – 14x + 125m2 – 36n2

36n2 + 48xy + 16y2

36x2 + 84xy + 49y2

E. ASPA SIMPLE Es un método que permite factorizar

trinomios de la forma:

ax2 + bxy + cy2

Su método es:ax2 + bxy + cy2

Ejemplo 1 x2 + 5x + 6

x +3x +2Observa que los factores son (x + 3)(x+2) x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

Ejemplo 2 x2 - 5x - 6

x -6x +1 x2 - 5x - 6 = (x - 6)(x + 1)

Ejemplo 3 6x2 - 7xy – 20y2

3x +42x -5 6x2 - 7xy – 20y2 = (3x + 4)(2x - 5)

TRINOMIO FACTORIZACIÓN ASPA SIMPLE

x2 + 7x + 12x2 – 2x - 15

X2 + 8xy + 7y2

x2 + 2xy – 35y2

4x2 – 12xy + 5y2

12x2 - 8xy – 15y2

86. Indique el número de factores primos:

F(a, b) = 5a9b3 + 15a6b7

a) 3 b) 9 c) 10d) 1 e) 18

87. Factorizar:T(a, b) = a3 + a2b + ab2 + b3

a) (ab + 1) (a + 1) (b + 1) d) (a + b)2 (a2 + b)b) (a2 + 1) (b2 + 1) e) (a2 + b) (a + b2)


114


x 2

Los factores se escriben en forma horizontal

Se descom-ponen en

los factores

Se realiza un producto en aspa y los resultados se

adicionan, dicho resultado debe ser idéntico al término

central del trinomio dado.


c) (a2 + b2) (a + b)

88. Factorizar:P(x) = x5 + x2 – x - 1

a) (x - 1)(x + 3)2 d) (x - 1)2 (x + 1)b) (x + 1)2 (x - 1) e) x(x + 1)2

c) (x + 1) (x - 1)

89. Señale un factor primo de segundo grado:G(a, b) = a(1 – b2) + b(1 – a2)

a) 1 + a2 b) 1 + ab c) ab - 1d) a2 + b2 e) 1 - ab

90. Indique el factor primo que mas se repite en:E(x) = (x - 3)(x - 2)(x - 1) + (x + 2)(x - 1) + 1 - x

a) x – 3 b) x – 2 c) x - 1d) x + 2 e) x + 4

91. Factorizar:P(a, b, c) = a(b2 + c2) + b(c2 + a2)

Dar como respuesta la suma de coeficientes de un factor primo:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

92. ¿Cuántos factores primos presenta la siguiente expresión?P(x, y, z, w) = wy + wz – wyz – xy – xz + xyz

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

93. Luego de factorizar:F(a) = a2 + 2a + ab + b + 1;

indique el término independiente de un factor primo.

a) b + 1 b) a + 1 c) a + bd) a + b + 1 e) a – b + 1

94. Un factor de:a2x2 – 8acx + 16c2 – 25b2 es:

a) ax + 4c + 5b d) x + acb) ax – 4c + 5b e) ax – c - 4bc) ax – c + 4b

95. Factorizar: P(x, y) = (x + 1)2 – (y - 2)2

Hallar un factor primo:

a) x + y – 1 b) x – y – 2 c) x – y - 3d) x – y – 4 e) x – y - 7

96. Factorizar:R(x) = 8x3 + 27;

indique el factor primo de mayor suma en sus coeficientes.

a) 2x – 3 b) 3x + 2 c) 2x + 3d) 9x2 – 6x + 4 e) 4x2 – 6x + 9

97. Calcular la suma de los factores primos de:T(x, y) = (xy + 1)2 – (x + y)2

a) 4 b) x + y c) 2d) 2(x + y) e) x - y



98. Indique el número de factores primos en:P(x) = 1 + x(x + 1)(x + 2)(x + 3)

a) 5 b) 4 c) 3d) 2 e) 1

99. Indique un factor de:P(a, b) = 3 + 2a2b + 4ab2 + 8b3

a) a2 + b2 b) a2 + 2b2 c) a + bd) a + 2b e) a + 4b

100. Indique un factor de:P(a, b, c, d) = a2 + b2 + 2ab – c2 – d2 – 2cd

a) a + b – c + d b) a + b + c + d c) a – b + c - dd) a + b + c - d e) a – b – c - d


75. Factorizar:P(a) = a3 + 2a2 – a – 2;

e indicar el factor primo con mayor término independiente.a) a + 1 b) 3a + 1 c) a + 2d) a – 1 e) 2a + 5

76. Factorizar:P(x) = x7 + c3x4 – c4x3 – c7;

indicar cuántos factores primos se obtienen:a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

77. Indicar un factor de:P(x, y) = a2 – b2 + x2 – y2 + 2(ax - by)

a) a + b + x – y d) a – b – x + yb) a + b – x – y e) a – b – x - yc) a – b + x - y

78. Factorizar:H(x, y) = 4x4 + 81y4

a) 2x2 – 6xy + 9y2 d) 9x2 + 6xy + 2y2

b) 9x2 – 6xy + 2y2 e) N.A.c) 2x2 – 6xy – 9y2

79. Factorizar:P(a, b, c) = 4a(a + b) + b(b - c) – 2ac;

y señalar la suma de coeficientes de un factor primo y obtenido.a) 1 b) 3 c) 4d) -1 e) 0

80. Factorizar:N(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 2)(x - 1) + 3;

indicar el término independiente de un factor obtenido.a) 5 b) 2 c) -5d) 4 e) 7

81. Indicar un factor de:P(a, b) = a(b2 + b + 1) + b(a2 + a + 1) + a2 + b2

a) a + b + 1 b) a2 + 1 c) b2 + 1


116

FACTORIZACIÓN II


d) a + 1 e) a2 + b2

82. Factorizar:A(x) = x4 + 2x2 + 9;

luego indique algún termino de un factor primo.

a) x b) 8x c) 7xd) x2 e) 9

83. Indicar la suma de factores primos:F(a, b) = a3 – b3 + a2b – ab2

a) 2a b) 2b c) a + bd) 1 e) 0

84. Factorizar:M(x, y) = x4 + 14x2 + 49 + y4;

indique la suma de coeficientes de un factor primo.a) 9 b) 6 c) 11d) 4 e) 8

85. Reconocer un factor de:mn4 – 5m2n3 – 4m3n2 + 20m4n

a) m + 2n b) 5n – m c) n + 5md) m(m – 2n) e) (n – 2m)n

86. Factorizar:P(x, y, z) = x2 + y2 + x(y + z) + y(x + z);

indicar un factor primo.a) x + y b) x + y + z c) x + zd) y + z e) Mas de una es correcta

87. Factorizar:P(x) = 4x4 + 15x2 + 36;

indique un factor primo.

a) 2x2 -3x + 6 d) 2x2 + 3x - 6b) 6x2 – 3x + 2 e) 6x2 + 3x + 2c) 2x2 – 3x - 6

88. ¿Cuántos factores primos tiene el siguiente polinomio?P(x) = x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

89. Dado el polinomio:P(x) = x20(x27 + x20 + 1) + x7(x20 + 1) + 1;

indicar un factor:

a) 2x10 + x5 + 1 d) x25 + x5 + 1b) x10 – x5 – 1 e) x18 + 3x15 + 5c) x20 – x10 + 1




Veremos los siguientes casos:

F. ASPA DOBLEEs un método que sirve para factorizar

polinomios de la forma:

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dy + Ex + F

Se sigue el siguiente procedimiento:1. Se descompone los términos (Ax2) y

(Cy2)De tal manera que cumpla aspa simple con Bxy.

Ax2 + Bxy + Cy2

2. Se decompone (F), con la descomposición de Cy2 se verifique aspa simple con Dy.

Cy2 + Dy + F

3. Se comprueba la siguiente aspa:Ax2 + Ex + F

Ejemplo: Factorizar:

3x2 – 5xy – 2y2 – 8y + 11x + 103x +y 5 x -2y 2(3x + y + 5) (x – 2y + 2)

5x2 – 6xy + y2 – 5y + 13x + 65x -y

( ) ( )

G. método del aspa doble especialEste método se emplea para factorizar

polinomios de cuarto grado de la forma:

Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E

Para factorizar se procede:1. Se adecua al polinomio a la forma

general, si faltase uno de los términos se completa con ceros.

2. Se descompone conveniente el último (E) y el primer (Ax4) término, luego se

efectúa el producto en aspa y se calcula la suma de dichos productos en aspa.

3. El resultado anterior se compara con el término central (Cx2) y la expresión que sobre o falta se descompondrá debajo del término central.

4. Luego la expresión descompuesta realizará un aspa simple hacia el lado izquierdo con (Ax4) y hacia el lado derecho con (C) verificando (Bx3 y Dx) concluyendo que los factores serán las sumas horizontales de los términos resultantes de las descomposiciones.

Ejemplo: P(x) = x4 – 4x3 + 10x2 – 11x + 10

x2 -3x 5 5x2

x2 -x 2 2x2

7x2 +3x2

P = (x2 – 3x + 5) (x2 – x + 2)

F(x) = x4 – 3x3 + 8x2 – 7x + 51

( ) ( )

F(x) = x4 – 4x3 + x2 – 8x – 35+5

( ) ( )

H. método de lOs divisores binómicosSe emplea para factorizar polinomios

de cualquier grado que admitan por lo menos un factor binómico de la forma (ax + b) o transformable a ella.

Cero de un polinomio es el valor o valores que anulan a un polinomio.


118


Ejm.: Sea:P(x) = x2 – 4x + 3

Para: x = 3P(3) = 32 . 4 . 3 + 3

P(3) = 03 es un cero de P(x)

Para factorizar indicaremos lo siguiente:1. Determinaremos los posibles ceros de

un polinomio dividiendo los divisores del termino independiente entre los divisores del coeficiente principal (incluir los negativos).

2. Se evalúa con el posible cero utilizando la regla de división por Ruffini, si dicha división resulta exacta entonces hemos hallado un factor del polinomio y el cociente será el otro factor.

Ejemplo: P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 2

i) x = ±1; ±2 (posibles ceros).ii)

iii) (x - 1) es factor(x2 – 2x + 2) es el otro factor

P(x) = (x - 1)(x2 – 2x + 2)

Factorizar:P(x) = x3 + x2 + x + 6

i) x = ±1; ±2; ±3; ±6

101. Indicar un factor de:

6x2 – 13xy + 2y2 + 5y – 8x + 2

a) x – 2y – 1 d) x + 2y - 1b) 6x + y + 2 e) N.A.

c) 6x + y - 2

102.Factorizar:2x2 + 3y2 + 7xy – y + 3x - 2



1 -3 4 -21 -2

1 -2 2x = 1

0

x2 x T.I.

1 1 1 6

-2


a) (x – 3y + 2) (x + y - 1)b) (x + 3y + 2) (2x + y - 1)c) (x – 2y + 3) (3x – y - 1)d) (x + 3y - 2) (2x – y + 1)e) N.A.

103.Factorizar:x2 – y2 + 10y - 25

a) (x – y + 5) (x + y - 5)b) (x + y - 5) (x + y - 5)c) (x – 2y - 5) (x – y - 5)d) (x + y + 5) (x + y + 5)e) N.A.

104.Factorizar:x2 + 6y2 – 5xy – x - 6

a) (x + 2y - 3) (x – 3y - 3)b) (x + 3y + 3) (x –y - 9)c) (x – 2y + 2) (x – 3y - 3)d) Faltan datose) Todas

105.Factorizar:2x2 – 24y2 + 2xy – 2x + 34y - 12

a) (x + 4y - 3) (2x – 6y + 4)b) (x – 4y + 3) (3x + 6y + 9)c) (7x – 2y + 3) (3x – 6y + 4)d) (4x – 2y + 3) (x – y - 1)e) N.A.

106.Factorizar:x3 + 5x2 – 18x + 8

a) (x - 2) (x2 + 7x - 4)b) (x + 2) (x2 + 7x - 4)c) (x - 2) (x2 – 7x + 4)d) N.A.e) Todas las Anteriores

107. Indicar un factor de:x3 + 6x2 + 14x + 15

a) (x - 3) b) (-x + 3) c) (x + 3)d) x – 21 e) x + 2

108. Indicar un factor:x3 – 4x2 – 13x - 8

a) x + 1 b) x + 2 c) x + 3d) x + 4 e) x + 5

109. Indicar un factor de:x3 – 14x2 + 47x + 8

a) x + 8 b) x + 9 c) x - 8d) x – 10 e) x + 12

110. Indicar un factor:x4 – x3 – x2 – 5x + 6

a) x2 – 3x + 2 b) x2 + 3x + 2 c) x2 – 3x - 2d) 2x2 – 3x – 2 e) N.A.

111. Indicar un factor:x4 + 8x3 – x2 – 62x + 36

a) x2 + 2x – 9 d) x2 – x - 4b) x2 – 9x – 3 e) N.A.c) 3x2 – 10 – 2x

112.Factorizar e indicar un factor:2x4 – 3x3 + 16x2 – 8x + 7

a) x2 – x + 7 b) 2x2 + x – 1 c) x2 – 3x - 7d) 2x2 – 2x – 9 e) 3x2 – x - 2

113. Indicar un factor:x4 – x2 – 2x - 1

a) x2 – x – 1 b) x2 + x + 1 c) x2 – x + 1d) 2x2 – 3x + 2 e) x2 + 3x - 2

114. Indicar un factor:6x4 + x3 – 2x - 1

a) 2x2 + x + 1 d) 2x2 – x - 1b) 3x2 + x + 1 e) N.A.c) 3x2 + 2x + 1

115. Indicar un factor:10x4 + 13x3 + 15x2 – 7x - 4

a) 5x2 – x – 1 b) 5x2 + x – 1 c) 5x2 – x + 1d) 6x2 – x – 1 e) x2 – 3x + 4


90. Factorizar: x2 – 5xy – 14y2 – 41y + 2x – 15;indicar un factor:

a) x + 7y + 3 d) x – 7y + 3b) x – 7y – 3 e) N.A.c) x + 7y - 3

91. Indicar un factor de:x2 – 4xy + 3y2 – 8y + 4x + 4


92. Indicar un factor de:2x2 – 5xy + 2y2 – 8y + x - 10


93. Indicar un factor de:3x2 + 8xy + 5y2 + 7y + 5x + 2

a) 3x – 5y + 2 d) 3x + 5y + 2b) 3x + 5y – 2 e) N.A.c) 3x – 5y - 2


120


94. Indicar un factor de:8x2 + 10xy + 3y2 – 9y – 14x + 6

a) 2x + y – 2 b) 2x + y + 2 c) 2x – y + 2d) 2x – y – 2 e) N.A.

95. Factorizar e indicar un factor:x3 – 2x2 + 3x + 6

a) x2 – 2x - 3 b) x2 + 3x + 6 c) x + 1d) x + 2 e) N.A.

96. Factorizar: G(x) = x3 + 6x2 + 3x – 10;e indique el número de factores primos lineales.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

97. Factorizar: S(x) = 4x3 + 19x2 – x – 1;indique un factor primo.

a) x2 – 5x + 1 b) x2 + 5x + 1 c) x2 – 5x - 1d) x2 + 5x – 1 e) 2x + 1

98. Factorizar: F(x) = x3 + 2x2 – 4x – 8;indique un factor:

a) x + 1 b) x - 1 c) x + 2d) x - 3 e) N.A.

99. Después de factorizar:M(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6;

se iguala a cero uno de los factores se obtiene entonces:

a) x = 2 b) x = 4 c) x = 3d) x = -3 e) x = -4

100. Indique un factor primo:P(x) = x4 + x3 + 2x2 + 2x + 4

a) x2 + 2x + 2 b) x2 + 2x + 1 c) x2 – x + 3d) x2 + x + 2 e) x2 – 2x + 1

101. La suma de coeficientes de un factor primo de:

T(x) = x4 – 4x3 + 11x2 – 14x + 10;es:

a) 1 b) -6 c) 2d) -2 e) 8

102.Factorizar:A(x) = 2x4 + 5x3 + 10x2 + 9x + 6;

indique un factor primo:

a) 2x2 + 3x + 2 d) 2x2 + 3x + 3b) x2 + x – 2 e) 2x2 + x + 2c) x2 + 3x + 3

103.Factorizar: x4 – 4x3 + 11x2 – 4x + 10;el factor cuadrático es:

a) x2 + 4x – 10 b) x2 – 2 c) x2 + 2d) x2 – 4x + 10 e) x2 + 4x + 10

104.Luego de factorizar:x4 + 5x3 + 10x2 + 10x + 4;

indicar el término independiente de un factor primo:

a) 1 b) 2 c) 4d) -1 e) N.A.


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