Algebr boolean

1. Elemente de algebr booleanOperaii elementarentre dou variabile a i b se definesc operaiile elementare descrise n urmtorul tabel: ab 00 01 10 11

a 1 1 0 0

b 1 0 1 0

a b 0 0 0 1

a+b 0 1 1 1

ab 0 1 1 0

ab 1 0 0 1

a b 1 1 1 0

a+b 1 0 0 0

Tabelul 1. Operaiile elementare n algebra boolean

Observaie: operaiile anticoinciden (ab) i coinciden (ab) se pot scrie cu ajutorul funciilor elementare astfel:a b = ab + ab a b = ab + a b

Reprezentarea funciilor logiceFunciile logice pot fi descrise cu urmtoarele metode: tabel de adevr vezi Tabelul 1; analitic: cu variabile f = a + bc ; cu produse canonice f=P0+P5+P6+P7 ; cu sume canonice f = S0 S5 S6 S7 ;

Observaie: produsele i sumele canonice sunt complementare ( Pi = Si )Problema 1: S se reprezinte funcia f cu trei variabile dat n tabelul urmtor cu toate modalitile amintite mai sus.

Rezolvare: abc 000 001 010 011 100 101 110 111 f 1 0 0 1 1 1 0 0 Cu variabile (nu este forma minim!): f = a b c + abc + a b c + a bc { { { {P0 P3 P4 P5

Cu produse canonice: f = P0 + P3 + P4 + P5 Cu sume canonice: f = S0 S3 S4 S5

1

Algebr boolean

Observaie: n expresia produselor canonice Pi variabilele cu valoare 0 apar negate. n expresia sumelor canonice Si variabilele cu valoare 1 sunt negate. De exemplu: S0 = a + b + c, S3 = a + b + c

Teoreme i proprietiProprietile operaiilor elementare:

0 X = 0 1 X = X SI : X X = 0 X X = X Teorema lui De Morgan:

0 + X = X 1 + X = 1 SAU : X + X = 1 X + X = X

a b = a + b a + b = a b Teorema absorbieia + ab = a + b

Problema 2: S se demonstreze teorema absorbiei.

Rezolvare: a + b = 1 (a + b) = (a + a )(a + b) = aa + ab + a a + ab innd cont de proprietile operaiilor elementare, ultima ecuaie devine: a + b = a + ab + ab = a (1 + b ) + ab = a + ab

AplicaiiProblema 3: S se demonstreze urmtoarea egalitate: a + a b = a + b .

Rezolvare:

a + b = 1 (a + b) = (a + a )(a + b) = a a + a a + a b + a b = = a + a b + a b = a (1 + b) + a b = a + a bProblema 4: S se demonstreze urmtoarea egalitate: a + b + a + b = a .

Rezolvare:a + b + a + b = (a + b)(a + b) = a a + ab + a b + bb = = a (a + b + b) = a (a + 1) = a = aDeM

2

Algebr boolean

Problema 5: S se demonstreze urmtoarea egalitate: a + ab = a + b . Problema 6: S se demonstreze urmtoarea egalitate: a + a b = a + b . Problema 7: S se demonstreze urmtoarea egalitate: ab + bc + ac = a b + b c + a c .

Rezolvare: ab + bc + ac = ab bc ac = (a + b)(b + c)(a + c) = = (a b + b b + a c + b c)(a + c) = = a a b + a bb + a a c + a bc + a bc + bbc + a cc + bcc = = a b + a b + a c + a bc + bc + a c + bc = = a b + a c + b c(1 + a ) = a b + b c + a cProblema 8: S se demonstreze urmtoarea egalitate: abc + a bc + abc = (a + b) c .DeM DeM

Rezolvare:abc + a bc + abc = abc + ac(b + b) = abc + ac = = c(a + ab) = c(a + b)Abs

Problema 9: S se demonstreze urmtoarea egalitate: a(b + c) + (b + d ) + (a + c) + b = a c + b + d . Problema 10: S se demonstreze urmtoarea egalitate: a(b + c + d) + a bc + a c = a . Problema 11: S se minimizeze urmtoarea funcie: f = (a + bc)(a + cd) .

Rezolvare:

(a + bc)(a + cd) = aa + abc + acd + bccd = a + abc + acd + bcd = = a(1 + bc + cd) + bcd = a + bcd

Problema 12: S se minimizeze urmtoarea funcie: f = a + b + c + a bc .

Rezolvare: a + b + c + a bc = a + b + c + a + b + c = a + b + c

3