Algebra Booleana

lgebra BooleanaLuis PrezCRI

lgebra de BooleEllgebra booleanaes la teora matemtica que se aplica en la lgica combinatoria. Las variablesbooleanasson smbolos utilizados para representar magnitudes lgicas y pueden tener slo dos valores posibles: 1 (valor alto) 0 (valor bajo).

Es la herramienta fundamental para el anlisis y diseo de circuitos digitales.

Aplicacin Los circuitos electrnicos se dividen en dos categoras: Digitales.Analgicos.

La electrnica digital utiliza magnitudes digitales que toman valores discretos.

La electrnica analgica emplea magnitudes analgicas que toman valores continuos.

En las aplicaciones electrnicas, los datos digitales se pueden procesar de forma ms fiable que los datos analgicos.

Seales Digitales La informacin binaria que manejan los sistemas digitales aparece en forma de seales digitales que representan secuencias de bits.

Cuando la seal est a nivel ALTO, se representa con 1 binario, mientras que si la seal est a nivel BAJO, lo indica un 0 binario.

Cada bit dentro de una secuencia ocupa un intervalo de tiempo definido denominado periodo del bit.

En los sistemas digitales, todas las seales se sincronizan con una seal de temporizacin bsica de reloj.

El reloj es una seal peridica en la que cada intervalo entre impulsos (el periodo) equivale a la duracin de 1 bit.

Seales Analgicas Representadas por una onda continua que pasa por un medio de comunicacin (utilizadas en particular para transmitir la voz). Las seales analgicas son producto de la conversin de una forma de onda fsica en una seal elctrica. Son un anlogo que representa las ondas de sonido originales. Por lo tanto, son variables y variantes en forma continua.

Surgen cuando una forma de orden fsica, tal como la onda acstica o lumnica, se convierte en una seal elctrica.

Funciones Lgicas Funciones Lgicas Las operaciones lgicas pueden representarse a travs de smbolos grficos y de tablas de verdad.

Las lneas conectadas a la izquierda de cada smbolo son las entradas (input) y las lneas a la derecha son las salidas (output).

Funciones LgicasEl funcionamiento de las puertas, operaciones y funciones lgicas se describe con las tablas de verdad.

Son representaciones tabulares que especifican la salida de la puerta o funcin lgica para todas las posibles combinaciones de entradas.

Puerta Lgica Circuitos que aceptan valores lgicos a la entrada y producen valores lgicos a la salida. Un circuito que realiza una operacin lgica determinada (NOT, AND, OR) se llama puerta lgica.

Lgica Combinatoria

Cuando en un circuito lgico el estado de las salidas depende slo del estado de las entradas, es decir combinaciones de diferentes valores lgicos a la entrada de un circuito lgico hacen que aparezcan distintos valores lgicos a la salida.

Lgica Secuencial

Si el estado de la salida depende del estado de las entradas y tambin del estado anterior del circuito. Esta lgica no se tratar.

Puerta NOT o Inversor Realiza la operacin denominada inversin o complementacin, cambia el nivel lgico al nivel opuesto.

En trminos de bits cambia:

Funcionamiento:

Cuando la entrada est a nivel BAJO, la salida est a nivel ALTO. Cuando la entrada est a nivel ALTO, la salida est a nivel BAJO.

Un 1 por 0Un 0 por 1Puerta AND La puerta AND es una de las puertas bsicas con la que se construyen todas las funciones lgicas.

Tiene dos o ms entradas y una nica salida. Realiza la operacin que se conoce como multiplicacin lgica.

Funcionamiento

En una puerta AND de dos entradas: La salida AB es un nivel ALTO si A y B estn a nivel ALTO. La salida AB es un nivel BAJO si:

A es un nivel BAJO B es un nivel BAJO o si A y B estn a nivel BAJO

Puerta OREs otra de las puertas bsicas con las que se construyen todas las funciones lgicas. Tiene dos o ms entradas y una nica salida. Realiza la operacin que se conoce como suma lgica. Smbolo lgico estndar

Funcionamiento

En una puerta OR de dos entradas: La salida es un nivel ALTO si cualquiera de las entradas, A o B, o ambas, estn a nivel ALTO. La salida es un nivel BAJO si ambas entradas, A y B, estn a nivel BAJO.

Postulados El lgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto B, el cual contiene dos o ms elementos y entre los cuales se definen dos operaciones denominadas operacin OR ( + ) y operacin AND ( *)

Cumplen propiedades

CerradoConmutativoAsociativoDistributivoIdentidadInversoSuma booleana La suma booleana es equivalente a la operacin OR. El trmino suma es 1 si al menos uno de sus entradas es 1. El trmino suma es cero solamente si cada entrada es 0.

0+0 = 0 0+1 = 11+0 = 11+1 = 1Multiplicacin booleanaLa multiplicacin booleana es equivalente a la operacin AND. El producto de las entradas forma un trmino producto. El trmino producto ser 1 solamente si todas las entadas son 1.

0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1

Leyes del lgebra de Boole Leyes conmutativas

Las leyes conmutativas se aplican a la suma y la multiplicacin.

Para la suma la ley conmutativa declara: En trminos del resultado, el orden en el cual se suman (OR) las variables es indiferente.

Para la multiplicacin la ley conmutativa declara: En trminos del resultado, el orden en el cual se multiplican (AND) las variables es indiferente.

Leyes asociativas Las leyes asociativas se aplican tambin a la suma y la multiplicacin.Para la suma la ley asociativa declara: Cuando de suman (OR) ms de dos variables, el resultado es el mismo a pesar del agrupamiento de las variables. Para la multiplicacin la ley asociativa declara: Cuando se multiplican (AND) ms de dos variables, el resultado es el mismo a pesar del agrupamiento.

Ley distributiva La ley distributiva es la ley de factorizacin. Una expresin que contiene factores comunes se puede factorizar tal como en el algebra ordinaria.

Reglas del lgebra booleana A continuacin, se enumeran las doce reglas bsicas, muy tiles, para lamanipulacin y simplificacin de expresiones booleanas.1. A + 0 = A2. A + 1 = 13. A . 0 = 04. A . 1 = A5. A + A = A7. A . A = A6. A + A = 18. A . A = 09. A = A10. A + AB = A 11. A + AB = A + B 12. (A + B)(A + C) = A + BCEjercicio

(A + B)(A + C) = A + BCsolucin(A + B)(A + C) = A + BC (A + B)(A + C) = AA + AC + AB + BC Ley distributiva = A + AC + AB + BC Regla 7: AA = A = A + BC Regla 10: A + AB = A (aplicada 2 veces)