Álgebra de boole - esi2.us.esjaar/datos/iic/t3s.pdf · – tesis maestría en mit, aplicación...
TRANSCRIPT
JOSÉ ÁNGEL ACOSTA RODRÍGUEZ INFORMÁTICA CURSO 2011/12
INGENIERÍA AEROESPACIAL & CIVIL 1
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
ÁLGEBRA DE BOOLE
APLICACIÓN A CIRCUITOS DIGITALES
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
¿ Dónde estamos ?
• Circuitos electrónicos digitales
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Historia • George Boole, matemático y filósofo, Irlanda 1815/64.
– An investigation into the Laws of Thought (Cambridge), 1854 – Nuevo concepto: Lógica (proposiciones) como Álgebra
• Augustus De Morgan, matemático, India 1806/71 – Induction (Mathematics) (London), 1838 – Leyes de Morgan, 1847 – Tenía 43 años en 1849
• Claude Elwood Shannon, ingeniero y matemático, US 1916/2001 – Tesis maestría en MIT, Aplicación Álgebra de Boole a circuitos, 1938 – A mathematical Theory of Communication (Bell labs), 1948 http://cm.bell-labs.com/cm/ms/what/shannonday/paper.html
• Circuitos – Analógicos y Digitales (ON/OFF) – Variables lógicas: “0” ó “1”: Interruptores
JOSÉ ÁNGEL ACOSTA RODRÍGUEZ INFORMÁTICA CURSO 2011/12
INGENIERÍA AEROESPACIAL & CIVIL 2
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Un poco de Matemáticas
• Elementos: variables binarias x∈{0,1}, a, b, c… • Un cjto A es un Álgebra de Boole si:
– Operaciones: • Suma lógica ⇒
• Producto lógico ⇒
• Complemento ⇒
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Álgebra de Boole
PROPIEDADES AXIOMÁTICAS
Identidad SUMA PRODUCTO
Conmutativa SUMA PRODUCTO
Distributiva SUMA PRODUCTO
Complemento SUMA PRODUCTO
– y además se cumple que∀ a, b, c ∈ A …
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Teoremas - Propiedades PROPIEDADES
Involución
Complemento SUMA PRODUCTO
Asociativa SUMA PRODUCTO
Leyes de Morgan SUMA PRODUCTO
Dualidad
JOSÉ ÁNGEL ACOSTA RODRÍGUEZ INFORMÁTICA CURSO 2011/12
INGENIERÍA AEROESPACIAL & CIVIL 3
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Funciones lógicas de Boole
Tabla de verdad Circuito con interruptores
Expresión analítica:
?
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Puertas lógicas
• Circuitos interruptores (semiconductores): Disipación / Integración / Velocidad
• Estándar: OR AND NOT
XOR Ejercicio:
¿Qué contiene?
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Ejemplos de circuitos
• Circuitos de puertas lógicas: lógica cableada
• Ejemplos:
– Paridad: activa salida si 2 entradas iguales – Comparador de 2 entradas binarias – Mayoría de tres entradas
CIRCUITO
LÓGICO
Entradas
binarias
Salidas
binarias
JOSÉ ÁNGEL ACOSTA RODRÍGUEZ INFORMÁTICA CURSO 2011/12
INGENIERÍA AEROESPACIAL & CIVIL 4
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Circuito de paridad
• Activa la salida si 2 entradas iguales:
CIRCUITO
LÓGICO
a
b
f a b f
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Circuito de paridad
• Activa la salida si 2 entradas iguales:
CIRCUITO
LÓGICO
a
b
f a b f
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Circuito comparador
• Compara 2 entradas:
a b a<b a=b a>b
0 0 0 1 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 1
1 1 0 1 0
CIRCUITO
LÓGICO
a
ba>b a=b a<b
JOSÉ ÁNGEL ACOSTA RODRÍGUEZ INFORMÁTICA CURSO 2011/12
INGENIERÍA AEROESPACIAL & CIVIL 5
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Circuito comparador
• Compara 2 entradas:
a b a<b a=b a>b
0 0 0 1 0
0 1 1 0 0
1 0 0 0 1
1 1 0 1 0
CIRCUITO
LÓGICO
a
ba>b a=b a<b
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Ejercicio: circuito mayoría
• Mayoría de 3 entradas: a b c f 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
CIRCUITO
LÓGICO
a
b
c
f
010101010001010101110101010101010010100101010001001010101010011001010111110101010101010010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110101010100110100101010100101010101001010101010011110101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111100101010101011110111101010101001101001010101001010101010010101010100111101010101010111101111010101010011010010101010010101010100101010101001111010101010101111011 ÁLGEBRA DE BOOLE
Para pensar …
• Problema propuesto por Mcallum & Smith: – Computers and Automata, Shannon C.E.,
Proceedings of the I.R.E., Volume 41, Issue 10, Oct. 1953 Page(s):1234 – 1241
– Pista: (Falso si p=V y q=F)