Álgebra dos conjuntos - udesc - cct§ão de conjuntos conjuntos nitos Álgebra dos conjuntos...
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Álgebra dosConjuntos
VivianeMaria Beuter
Conjuntos
RelaçõesentreConjuntos
Operação deConjuntos
Conjuntos�nitos
Álgebra dos Conjuntos
Viviane Maria Beuter
Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC
Centro de Ciências Tecnológicas - CCT
Licenciatura em Matemática
2014
Álgebra dosConjuntos
VivianeMaria Beuter
Conjuntos
RelaçõesentreConjuntos
Operação deConjuntos
Conjuntos�nitos
Conjuntos
Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem de�nição(noção primitiva)::
Conjunto;
Elemento;
Pertinência entre elemento e conjuntos.
Conjuntos são noções primitivas, assim como pontos, retas e pla-nos são para a geometria euclidiana.
Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula:A,B,C , · · · ,X ,Y ,Z .
Denotamos um elemento de um conjunto, em geral, com letrasminúsculas: a, b, c , · · · , x , y , z .
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Operação deConjuntos
Conjuntos�nitos
Pertinência
Para indicar que um elemento x faz parte de um conjunto Ausamos a notação
x ∈ A,
que se lê x pertence a A.
Para indicar que x não é elemento do conjunto A, escrevemos
x /∈ A.
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Operação deConjuntos
Conjuntos�nitos
Descrição de um conjunto
Existem essencialmente duas formas de especi�car um conjunto.Uma opção, quando possível, consiste em listar seu elementos.Por exemplo:
conjunto das vogais: A = {a, e, i , o, u};conjunto dos números primos positivos:B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23, · · · };conjunto dos nomes dos dias da semana:C={domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado};
conjunto dos números inteiros divisores de 100:D = {−100,−50, · · · ,−5,−4,−2,−1, 1, 2, 4, 5, · · · , 50, 100}.
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Conjuntos�nitos
Descrição por uma propriedade
A segunda maneira consiste em enunciar a propriedades que ca-racterizam os elementos dos conjuntos da seguinte forma
A = {x | x que veri�cam a propriedade p(x)}.
Exemplos:
E = {x | x é vogal};F = {x | x é solução da equação x2 − 4 = 0};G = {x | x é inteiro e divisível por 5};H = {x | x é real e 1 < x ≤ 3}.
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Conjuntos�nitos
Conjuntos Numéricos
conjunto dos números naturais:
N = {0, 1, 2, 3, 4, · · · };
conjunto dos números inteiros:
Z = {0,±1,±2,±3, · · · };
conjunto dos números racionas:
Q = { ab| a, b são números inteiros e b 6= 0};
conjuntos dos números irracionas:
I = {x | x é dízima não períodica};
conjunto dos números reais:
R = {x | x ∈ Q ou x ∈ I};
conjunto dos números complexos:
C = {a+ bi | a, b ∈ R}.
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Operação deConjuntos
Conjuntos�nitos
Conjunto vazio e conjuntos unitários
Conjunto vazio: é aquele que não possui elemento algum.Notação: {} ou ∅.
Exemplos:
{x | x + 1 = x} = ∅;
{x | x é um número real e x2 < 0} = ∅;
{x | x 6= x} = ∅.
Conjuntos unitários: são aqueles que possuem um único ele-mento.Exemplos:
{x | 2x − 1 = 3} = {2};{x | x é um número natural e divisor de 1} = {1}.
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Operação deConjuntos
Conjuntos�nitos
Conjunto Universo
Conjunto Universo: Quando vamos desenvolver um determi-nado assunto de Matemática, admitimos a existência de um con-junto U ao qual pertencem todos os elementos utilizados no talassunto. Esse conjunto U recebe o nome de conjunto universo.
Em geometria o Universo é o conjunto de todos os pontos.
O Universo dos números primos é o conjunto dos númerosinteiros.
No universo U, o conjunto A dos elementos x que veri�cam acondição p(x), indica-se pela notação:
A = {x ∈ U | p(x)}.
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Operação deConjuntos
Conjuntos�nitos
Exemplos:
A = {x ∈ N | x divide 6} = {1, 2, 3, 6};B = {x ∈ Z | x divide 6} = {−6,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 6};C = {x ∈ Q | x2 − 2 = 0} = ∅;
D = {x ∈ R | x2 − 2 = 0} = {√2,−√2}.
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Operação deConjuntos
Conjuntos�nitos
Diagrama de Venn
Representa-se um conjunto ou operações com conjuntos atravésde uma �gura geométrica. O conjunto é representado por umaletra maiúscula situada na região externa da �gura e os elementosdo conjunto por pontos internos a �gura.
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Operação deConjuntos
Conjuntos�nitos
Igualdade de conjuntos
Dois conjuntos A e B dizem-se iguais se, e somente se, todoelemento que pertence a um deles também pertence a outro.Notação: A = B ( A é igual a B)Em símbolos,
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A↔ x ∈ B).
Observações:
A ordem em que os elementos são listados em um conjuntoé irrelevante: {
√5,√6,√7} = {
√7,√5,√6}.
A repetição dos elementos em um conjunto é irrelevante:{a, b, c} = {a, b, b, c , c , c}.
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Conjuntos�nitos
Igualdade de Conjuntos
Propriedades da igualdade de conjuntos
Re�exiva: A = A;
Simétrica: A = B −→ B = A;
Transitiva: (A = B) e (B = C ) −→ (A = C ).
Conjuntos diferentes: Dois conjuntos A e B são diferentes seexiste ao menos um elemento de A que não pertence a B ouexiste ao menos um elemento de B que não pertence a A.Notação: A 6= B ( A é diferente de B)Em símbolos,
A 6= B ⇔ ((∃x)(x ∈ A e x /∈ B) ou (∃y)(y ∈ B e y /∈ A)).
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Conjuntos�nitos
Subcojuntos (Inclusão)
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B, se e somentese, todo elemento de A pertence também a B. Nesse caso dize-mos que A está contido em B ou B contém A.Notação: A ⊆ B (A está contido em B) ou B ⊇ A (Bcontém A).Em símbolos:
A ⊆ B ⇔ (∀x)(x ∈ A→ x ∈ B).
Exemplo:
A = {x ∈ R |x2 − 5x + 6 ≤ 0} ⊆ B = {x ∈ R | x − 2 ≥ 0}.
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Conjuntos�nitos
Subcojuntos
A negação de A ⊆ B indica-se por A * B e se lê: A não estácontido em B.Em símbolos:
A * B ⇔ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B).
Observação:
Dois conjuntos são iguais se, e somente se, A ⊆ B eB ⊆ A, ou seja,
A = B ⇔ (∀x)(x ∈ A→ x ∈ B) ∧ (x ∈ B → x ∈ A).
É necessário distinguir a relação pertinência (∈) da relaçãocontinência (⊆). A primeira relaciona elemento comconjunto. A segunda relaciona (sub) conjunto comconjunto.
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Conjuntos�nitos
Propriedades da inclusão
Re�exiva: A ⊆ A;
Transitiva: (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ C )→ (A ⊆ C );
Antissimétrica: (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A)→ (A = B);
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto A:(∀A)(∅ ⊆ A);
Qualquer que seja o conjunto A num universo U, A estácontido em U : (∀A)(A ⊆ U).
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Conjuntos�nitos
Conjuntos comparáveis:
Dois conjuntos A e B são ditos comparáveis se A ⊆ B ouB ⊆ A.
Exemplos:
Os conjuntos A = {x ∈ N | 3 ≤ 5x − 2 ≤ 20} eB = {x ∈ N | 3 ≤ x + 2 ≤ 20} são comparáveis, poisA ⊆ B.
Os conjuntos C = {x ∈ Z | x é primo} eD = {x ∈ Z | x é ímpar } não são comparáveis. De fato,2 ∈ C e 2 /∈ D e, portanto, C * D. Por outro lado,15 ∈ D e 15 /∈ C e, portanto, D * C .
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Conjuntos�nitos
União de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, chama-se união de A e B o conjuntoformado pelos elementos que pertencem a A ou a B.Notação: A ∪ B ( A união B)Em símbolos:
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Exemplos:
Sejam A = {x ∈ R | −√2 < x <
√2} = (−
√2,√2) e
B = {x ∈ R | x2 = 2} = {−√2,√2}. Então
A ∪ B = {x ∈ R | −√2 ≤ x ≤
√2} = [−
√2,√2].
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Conjuntos�nitos
Propriedades da União
Sejam A,B e C subconjuntos num universo U.
Idempotente: A ∪ A = A;
Elemento neutro: A ∪∅ = A;
Comutatividade: A ∪ B = B ∪ A;
Associatividade: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C );
A ∪ U = U.
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Conjuntos�nitos
Propriedades da inclusão e da união
Sejam A,B e C subconjuntos num universo U.
A ⊆ A ∪ B e B ⊆ A ∪ B;
A ⊆ B ⇔ A ∪ B = B;
A ⊆ C e B ⊆ C ⇔ A ∪ B ⊆ C ;
A ⊆ B ⇒ A ∪ C ⊆ B ∪ C .
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Conjuntos�nitos
Interseção de conjuntos
Dados os conjuntos A e B, chama-se interseção de A e B oconjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.Notação: A ∩ B (A interseção B)Em símbolos:
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
Exemplo:
Sejam A = {x ∈ N | x é par} e B = {x ∈ Z | x é primo}.Então A ∩ B = {2}.
Conjuntos disjuntos: Dizemos que os conjuntos A e B sãodisjuntos quando A ∩ B = ∅.
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Conjuntos�nitos
Propriedades da Interseção
Sejam A,B e C subconjuntos num universo U.
Idempotente: A ∩ A = A;
Elemento neutro: A ∩ U = A;
Comutatividade: A ∩ B = B ∩ A;
Associatividade: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C );
A ∩∅ = ∅.
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Conjuntos�nitos
Propriedades da interseção e da união
Sejam A,B e C subconjuntos num universo U.
Leis de absorção:
A ∩ (A ∪ B) = A e A ∪ (A ∩ B) = A;
Distributividade da interseção em relação à união:
A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C );
Distributividade da união em relação a interseção:
A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C );
Leis de Morgan:
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B ′ e (A ∪ B)′ = A′ ∩ B ′.
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Complementar de um subconjunto
Seja A um subconjunto de E . Chama-se complementar de Aem relação a E o conjunto de todos os elementos de E que nãopertencem a A.
Notação: CAE (complementar de A em relação a E)
Em símbolos:CAE = {x | x ∈ E ∧ x /∈ A}.
Exemplos:
Sejam E = {1, 2, 3, 4, 5, 6},A = {1, 3, 5},B = {2, 4, 6} eC = {1, 6}. Então CA
E = B , CCE = {2, 3, 4, 5}.
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Propriedades do complementar
C∅E = E ;
CEE = ∅;
CCAE
E = A;
A ⊆ B → CAE ⊇ CB
E .
Observação: Num dado universo U, pode-se falar simplesmenteem complementar de um conjunto A, �cando subentendido quese trata do complementar em relação a U.
Notação: A′ ou Ac (A′ = CAU )
Para conjuntos quaisquer A e B num universo U, temos:
∅′ = U,
U ′ = ∅,
(A′)′ = A
A ⊆ B ↔ A′ ⊇ B ′.
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Conjuntos�nitos
Diferença de dois conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença entre A e B oconjunto formado pelos elementos de A que não pertencem a B.
Notação: A− B ou A \ B ( A menos B)Em símbolos:
A− B = {x | x ∈ A ∧ x /∈ B}.
Observação: Esta operação pode ser escrita como A − B ={x | x ∈ A ∧ x ∈ B ′} e, assim
A− B = A ∩ B ′.
Exemplos:
Z∗ = Z− {0}, R∗ = R− {0}.{1, 2, 3, 4, 5} − {4, 5, 6, 7, 8, 9} = {1, 2, 3}.
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Propriedades da Diferença
Para conjuntos quaisquer A e B num universo U, temos:
A−∅ = A e ∅− A = ∅;
A− U = ∅ e U − A = A′;
A− A = ∅;
A− A′ = A;
(A− B)′ = A′ ∪ B;
A− B = B ′ − A′;
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Conjuntos �nitos
Um conjunto é dito �nito se contém exatamente m elementosdistintos, onde m denota algum número natural. Caso contrário,o conjunto é dito in�nito. Por exemplo, o conjunto vazio, , e oconjunto de letras do alfabeto são conjuntos �nitos, enquanto oconjunto dos números primos é in�nito.
Notação: n(A),#(A), |A| ou card(A) denotam o número de ele-mentos de um conjunto �nito.
Se A e B são conjuntos �nitos distintos, então A ∪ B é�nito e
n(A ∪ B) = n(A) + n(B).
Se A e B são conjuntos �nitos, então A ∪ B e A ∩ B são�nitos e
n(A ∪ B) = n(A) + n(B)− n(A ∩ B).
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Conjunto das partes de um conjunto
Chama-se conjunto das partes de um conjunto A o conjuntocujos elementos são subconjuntos de A (ou partes de A).
Notação: P(A) (conjunto das partes de A).
Em símbolos:P(A) = {X | X ⊆ A}.
Desta forma,X ∈ P(A)⇔ X ⊆ A.
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Conjuntos�nitos
Partes de um conjunto
Exemplos:
P(∅) = {∅};P({1}) = {∅, {1}};P({a, b, c}) ={∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}};P({∅}) = {∅, {∅}}.
Observação: Se A tem n elementos, então P(A) tem 2n ele-mentos.
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Conjuntos�nitos
Família de conjuntos
Um conjunto cujos elementos também são conjuntos diz-se umafamília de conjuntos ou uma coleção de conjuntos.
Exemplos:
F = {{a, b}, {b, c , d}, {e}};
E = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, · · · };
A = {{−1, 0, 1}, {1, 2, 3}, {0, 2}}.Uma circunferência é um conjunto de pontos e, assim, umconjunto de circunferências é uma família decircunferências.
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Partições
Seja S um conjunto não vazio. Uma partição de S é um família{Ai} de subconjuntos não vazios de S tais que:⋃
i∈λ Ai = S ,
Ai = Aj ou Ai ∩ Aj = ∅.
Exemplos:
{{1, 3}, {2, 4, 6}, {5, 7, 8, 9} é uma partição do conjunto{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},
{{1, 3}, {2, 4, 6}, {3, 5, 7, 8, 9} não é uma partição doconjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
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Conjuntos contáveis
Dois conjuntos A e B são ditos equipotentes, e denotadopor A ∼ B, se, e somemente se, existir umacorrespondência de um-para-um entre os elementos de A eos elementos de B .
Qualquer conjunto equivalente ao conjunto dos númerosnaturais é chamado de enumerável.
Todo conjunto �nito ou enumerável é chamado decontável.
Exemplos:
O conjunto dos números inteiros é enumerável.
O conjunto dos números racionais é enumerável.
O conjunto dos números reais não é enumerável.
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Conjuntos�nitos
BIBLIOGRAFIA
GERSTING, Judith L. Fundamentos matemáticos para aciência da computação. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.
ALENCAR FILHO, Edgard de. Teoria elementar dosconjuntos. 21 ed. São Paulo: Nobel, 1990.
LIPSCHUTZ, Seymour. Matemática Discreta. ColeçãoSchaum. 2.ed. Porto Alegre: Bookman, 2004.