algebra - exercitii seminar
TRANSCRIPT
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
1/24
;i
FORMA
CANONICA
JORDAN
A
MATRTCTLOR
3x3
Acest
document contine:
j
1.
Descfierea
problemei.
2. Prezentarea
scurta
a algoritmului
de aducere la forma
canonica
Jordan.
3.
Prezentarea
a doua
exemple
explicite,
comentate,
cu detalii
de
calcul
complete.
4.
O
lista
de matrici,
drept
exemple
propuse
pentru
rezolvare.
1. Descrierea
problemei
Se da
o
matriceA
de numere
complexe,
de dimensiune
nxn.
Orice matrice
B
obtinuta
dinA
cu
formula
B=C^G1)*A"C
se numeste
matrice
echivalenta
cuA.
Aceasta
relatie
intre
matrici
este
o
rctatie de echivalenfa,
adica
este
reflexiva,
simetica
si
tranzitiva.ln
consecinta,
matricile
se
grupeaza
in
c/ase
de
echivalenfa.
Acestea
sunt
multimi disjuncte de matrici, formate din matrici echivalente intre
ele.
Problema
naturala
care
se
pune
deci:
Descrierea
tuturor
acestor
clase de
echivalente.
Putin
mai
concret:
Sa se
gaseasca
in fiecare
clasa
de echivalenta
cate ,,
reprezentant,
care este "cel
mai
simplu",
spre
exemplu
contine
cele mai
multe
0-uri.
Raspunsul
exact
si complet
la
aceasta
problema
este
dat de urmatoarea
teorema:
Teorema
(Jordan):
Orice
matrice
A este
echivalenta
cu o
singura
matrice
D,
care are
o
structura "celulara"
de
urmatorul
tip:
D:=
Jr00 0
0
0 J20
0
0
00OJt_,0
0 00
0
Jt
unde
\. 1000
t
0 \.r
0
0
t
0
0
0x.
r
I
0 000\.
I
O asemnea
matrice
se
numeste
bloc Jordan,
numarul
complex
).r de
pe
diagonala ei
se
numeste
valoare
prcprie,
iar
dimensiunea
blocului
este numarul
de linii
sau
coloane
(matrice patratica).
J.:=
I
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
2/24
t
lata
cum
arata
blocurile
Jordan
de dimensiune
respectiv
1,2,3,
4,
...:
l:= (\)
dimensiunea
1:
dimensiunea
2:
dimensiunea
4:
\,0
0\z
00
00
,,=
()
l)
ln
consecinta,
formele
canonice
Jordan
posibile
ale
matricilorA
de
dimensiune
1,2,3,4,...
sunt:
D:=
(\)
(^,
D:=
I
Io
;)
,I
,'=
()
L)
dimensiunea
3:
(^,
o
',=lo
x?
t-
[0
0
il]
.I
ll
t o\
)lJ
D:=
00
l0
\lo
OX,
Observatii:
1. ln
formulele
de mai
sus valorile
proprii
l,
cu indici
diferiti nu
inseamna
automat si
valori
diferite Daca am impune aceasta conditie, atunci listele
ar
fi
mai lungi (vezi
mai
jos).
De
altfel in
cadrul
problemelor
propuse
vor
figura
matrici
care acopera
toate
aceste situatii
2. ldentificati
structura "celulara"
a acestor forme
canonice
Spre exemplu in
dimensiunea
4,
a doua forma
are
urmatoarea
structura
celulara: o celula
de dimensiune
2
cu
1,1
pe
diagonala,
si doua
celule
de dimensiune
1
cu
?y2
respectiv
1,3
pe
diagonala.
lnca
o
data
atragem atentia
ca aceste valori
prprii
?,,1,
),,2,13
nu
sunt neaparat
distincte.
3. Strucura
canonica
Jordan
este
unica, abstractie facand
de
pozitia
celulelor in
structura
lui
D,
care
nu
este importanta.
De asemenea
numerele
1 deasupra
diagonalei
pot
fi
mutate
dedesubtul
diagonalei,
toate
acestea
insemnind doar
a
permutare
a ordinii
de scriere a
vectorilor
bazei noi,
pentru
aplicatia
liniara definita de
matricea
data.
(Exercitiu)
D:=
00
00
\0
0\o
\ll
oxt
00
00
00
00
xzo
0\:
\rl
o
0\r0
0 0\2
000
D:=
0
0
I
\z
D:=
\, 1
0\,
00
00
(x
r
o
o\
lo
\ r nl
''=
[:
: ]
l]
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
3/24
ln consecinta,
daca la
indici
diferiti
corespund v6lori
diferite,
avem
urmatoarele forme
canonice
in
dimensiunea
2
si 3:
dimensiunea
2:
dimensiunea
3:
vezi
problemele:
1
23
456
2.
Prezentarea
scurta
a algoritmului
de aducere la forma
canonica
Jordan
pentru
matrici
2x2 si 3x3
Preull:
Calculul
polinomului
caracbristic,
p,
si a radacinilor
acestuia
A1, A2,
43. Aceste radacini
sunt valoriilor
propriiale
matricii
A.
Pasul2:
Calculul
vectorilor
proprii
pentru
fiecare raloare
proprie.
Pasul3:
Calculul
vectorilor
auxiliary
(daca
este cazul).
Pasul4:
Scrierea formei
canonice D,
si
a
maticii
de
schimbare
a bazei
C.
Algoritmul
in
detaliu:
Se calculeaza
polinomului
caracbristic,
p,
si
radacinile
acestuia 41,
12,
43.
Cazul
1:
41, 42,
A3 diferite
doua
cate doua.
(A-Al
"l)v=O
-->
v1
(A-42.l)wO
-->
{2
(A-,\3.l)w0
->
v3
Forma
canonica
este D=treicelule
de dimensiune
1,
cu Al, A2
si13
pe
iliagonala, ;"r
g=(vl
v2
v3)
,
=
[:'
i,J
,
=
[:'
;)
,,=(]
l)
(^,
l o')
o'=lo
\,
,
I
[,
o
^r)
(^,0
o
o,=lo
x. o
[,
,'
^,
.IiiJ
/x r
o\
''=
[:
]
l]
(^,oo
o'=lo
\r o
['
o
\z
/x
o
o\
'=[;
]
lJ
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
4/24
Cazul2:A1=42,
diferit
de
A3
(A-tr1
.l)v=O
-->
vl
(adica
avem 1
parametriu)
(A-13
*l)v=vl
-->
{2
(avem
un
vector
auxiliar)
.
(A-43
*l)te0
-->
v3
Forma
canonica
este
D=doua celule,
una de
dimensiune 2,
cu
)r1
pe
diagonala,
si una de
dimensiune
1, cu
A3
pe
diagonala, iar
C=(v1
2 v3).
Cazul
3:
A1=42,
diferit de
r\3
(A-I1
.l)v=0
-->
v1, v2
(linear
independenti,
adica avem
2
parametrii)
(A-43.l)w0
->
v3
Forma
canonica
este D=trei
celule de dimensiune
1, cu A1,
A2
si
A3
pe
diagonala,
,rt.
g=(vl
v2
v3).
Cazul4:.
A1=12=A3
(A-Al
.l)v=0
-.>
v1
(adica
avem 1
parametriu)
(A-Al
.l)v=v1
-->
v2
(primulvectorauxiliar)
(A-ll
.l)wl2
-->
v3
(al
doilea vector auxiliar)
Forma
canonica
este D=o
celula de dimensiune
3, cu
11
pe
diagonala,
'rr
6=(vl v2
v3).
Cazul 5:
A1=42=43
(A-Il
.l)v=0
-->
wl,
w2 (adica
avem
2
parametrii,
doivectori
liniar
independenti)
alegem v2
astfel ca
$/2,
w1, w2) sa fie liniar
independenti.
(v2
vector
duxiliar)
(A-41
.l)v2=vl
-->
vl
(primul
vector
propriu)
v3=wl
sau v3=w2,
daca
{vl,
w1} liniar
independenti
sau
{vl,w2}
sunt
liniar
independenti
(al
doilea vector
propriu)
Forma
canonica
este
D=o
celula de dimensiune
2, cu A'l
pe
diagonala,
si o
celula
de dimensiune
1
tot
cu Al
pe
diagonala, iar
Q=(vl lr2 v3).
Cazul
6:
A1=42=43
(A-Il
.l)v=0
-->
v1
,
tt2,
v3
(adica
avem
3
parametrii,
trei
vectori
liniar
independenti)
A=I1*1,
adica este data
in
forma canonica,
nu
avem ce calcula
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
5/24
3. Prezentarea
de
exemple
explicite,
combntate,
cu detalii
de
catcul
complete
Pregatirea
problemetor:
(t
o o\
(r
lo\
'u,=lr,rl
$,=lo,,l
[r
-zr)
[oo
r)
,Sr:=
u'v
(r
r
o\
(-r
I t\
c=lr
2 t
I .-t=1,
-,-,1
(.,-r
-r)
[*
z t)
I
:=
identiry(3)
====
=
===
=
==
=
==
=
===
=
=
= =
= =
= =
=
= = = = == = =
= =
=
===
=====
=
==
=====
=
==
=.==
Pregatirea
problemei
nr
i:
(z
r
o\
(r
I
o\
o,=lrr,l
"=1,211
\0
o
2/
\r
_1
_t)
(t
t o\
-rll
;f:=C.D.C'
A=l{
5 ll
tt
\s
-3
0)
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
6/24
PROtsLEMA1:
Se da matricea
A. Sa se calculeze
forma canonica
Jordan si
matricea
schimbarii
bazei.
(r l
o\
e=l-+
s r
I
[,
4 o)
SOLUTIE:
Pl:
calculul
polinomului
caracteristic,
p,
si
a
radacinilor
acestuia,
valoriile
proprii
ale lui A
p(\):=
le
-
X.rl factor
-+
-(\ -
2)3
\r:=
2
\.r:=
2
\,
:=
2
\
)
P2:
C
alcu lul vectorilo
r
proprii.
/*\
(
u-* \
(A-2D.|
,l-l
3.y-4.x+z
|
,*uro-2.D=2
\z) \5.*
-
3.y
-
2.2)
Rangulfiind 2,
avem 2 necunoscute
principale,
si o necunoscuta
secundara, deci
un
parametru.
O ecuatie
este secundara, se
poate
omite din sistem.
Given
y-x=0
3.y-4tx+z=0
x=o
/o\
Find(x,y,z)-l"l
tt
\a,/
Punand
q=1,
avem vectorul
propriu:
,
-
[i]
(1a,
v
(A_2r)v,=[l)
(1)
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
7/24
rank(augment(,t
-
z.t,vr))
=
z
P2:
C
alcu hrl
vectorilo
r
auxiliari.
/*\
(
v-x-l
\
(A-rDlrl-,,*l
3.y-4.x
+z-t
I
[.;]
\5.x
s.y
-
z.z
-
t
)
f.)
(
'-*
)
(A-2'D.l
rl-ur-rl
3.y-4.x+z-r
I
(.,J
'
(.r.*-3.y-z.z+z)
Find(x,y,z)
-
[_l
,J
Given
y-x-l=0
3.y
*
4.x +
z-
I
=
0
x=o
Punand
o=0,
avem
vectorulauxiliar:
(A
-
2.t).v,
(2a)
(2)
,,
=[i]
''=[l]
rank(auement(e
-
z'r,vr))
=
z
Given
'Ytx=0
3.y-4.x+z-l=0
xEd.
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
8/24
Punand
q=0,
avem vectorulauxiliar:
',
=
[i]
(3a,
/o\
(A-2'l)'vr-'r=lol (3)
IoJ
P3:
Scrierea formei
canonice
D, si a matricii
de schimbarc
a bazei C.
,1fr:=
augment(u,ur,rr)
(zro\
D:=c-l.A.c
o=lo
r rl
[o
o ,.J
adica
(1), (2),
si
(3)
scrise intr-o forma usor
diferita:
Av1
=
2v1
AUZ=
v1+
2tr2
Av3
=
v2
+
2v3
vor
da
matricea
D
de
mai
sus,
respectiv
(1a),
(2a),
si
(3a)
dau
matricea
Q=(vl
12 v3).
Pregatirea
problemei
nr
2:
(z
ro\
(r
r o\
p'=lorrl
c:=u.v
.=l,
z
t
I
[ooz)
[,-,
r)
/+
-r
-r\
A:=C.D.C-' O=lr'-,
I
/vwll
\2-1 t)
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
9/24
PROBLEMA2:
se
da
makieea
A.
sa
se catculeze forma
canonica
Jordan
si
r
matricea
schimbarii
bazei.
/+
-r
-r\
o=1,
,
-,.1
[z-r
r)
SOLUTIE:
PI:
calculul
polinomului
caracteristic,
p,
si
a radacinilor
acestuia,
valoriile
proprii
ale luiA
,gg(\):=
le
-
X.rl factor
-+
-(\
-
2)3
\, :=
2 \,r:=
2
\r:=
2
P2:
Calcu
lu
vectorilo
r
proprii.
/*)
(2.*
-v -
,\
(A-2.D.1,
l-l
z.*-y-,1
rank(A-2.r)=
1
[,J
[r.,.-
y-,)
Rangul fiind
1,
avem
o necunoscuta
principala,
si
2 necunoscute
secundare,
deci
2
parametrii.
Doua
ecuatii
sunt
secundare
si se
pot
omite din
sistem.
Given
2.x-y-z=0
x=o.
y=0
(
o" \
tt
Find(x,y,z)-+l
0
I
tt
\.z'o
-
9/
Punand
q=1
si
p=0,
apoiq=0
si
B=1,
avem vectorii
proprii(coeficientii
luio
siB
respectiv):
*2=[i]
(A-2r)w,=[l]
-'=[i]
(A-2r)w,=[l]
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
10/24
,
P2:
G alcu
lul vectorilo
r
a
uxiliary si
recatcularea
vectorib
r
proprii.
Se alege
un
vector,
care sa
fie
liniar independent
de
w1
si
w2:
Fie:
"[:]
(1a)
(1)
(2a)
(2)
(3a)
(3)
A_2r)v,=[l]
rank(ausment(*r,*z,u))
=
:
...rangul
este
maxim,
3, deci
alegerea
este
buna.
Acest
vector se ra numi v2.
v2:=
v
v, :=
(A
-
2.1).v,
.,[ij
/o\
(A-2r).v,=[:,J
v3:= wr
"r=
[iJ
Sa observam
ca
v1 este
in subspatiul
generat
de w1
siw2
(v1=w1+w2).
Vom
alege
un vector in
acest
subspatiu liniar independent
de v1.
rank/ausment/v,wr))
=
Z
\"
...rangulfiind
maxim,
2, deciwl
este
liniar
independent
de
v1,
deci alegerea este
buna.
Acesta
va
fi
al
treilea
vector cautat.
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
11/24
P3:
Scderea formei
canonice
D,
si
a
matrlcii
de schimbare
a
bazei
C.
,Srt=
"ugrn"nt(u.
ur,
rr)
(r
ll\
(-z
21\
c=lr,
rl
c-r=lz
-r
-,1
['
oz)
['
-r
o)
(zro\
tt
D:=c-l.A.c
p=lo
z
ol
(.orrJ
adica
(2),
(1),
si
(3)
scrise intro
forma
usor
diferita:
Av1
=
2v1
Au2=v1+2rr2
Av3
=
2v3
vor
da matricea
D
de
mai
sus;
respectiv
(2a), (1a),
si
(3a)
dau matricea
Q=(vl
r,r2
v3).
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
12/24
tt
PROBLEMA{:
Se da
matricea A. Sa
se calculeze forma
canonica
Jordan si
matricea
schimbarii
bazei.
^=[i
Ll]
SOLUTIE:
Pl:
calculul
polinomului
caracteristic,
p,
si a radacinilor
acestuia,
valoriile
proprii
ale lui A
p,{\)
:=
le
-
X'rl factor
+
-(\
+ l).(\
-
2)2
\,
:= 2 \,r:= 2
\, :=
-l
P2: G
alcu
lul vectorilo
r
proprii.
\l=2
/x\ I z.u-x-z \
(^-^,
l[;,J
-[;;:.)
rank(e-x,r)=z
Rangul fiind
2, avem
2 necunoscute
principale,
si o necunoscuta secundara,
deci
un
parametru.
O ecuatie este secundara,
se
poate
omite
din sistem.
Given
2.y'x-z=0
5.y-4tx-z=0
x=0
/o\
Find(x,y,z)-tl"l
tt
\0,/
Punand
o=1,
avem
un
singur vector
propriu
corespunzator valorii
proprii
A1:
.,[iJ
(A_2r)v,=[l]
(1a)
(1)
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
13/24
\r=-,
/x\
(
2.x+2.v-z \
(A.
r.Dl,
|
-,l
z.**ziy
-,
|
.a,rcrn+
r.r)=2
'
\z
)
\5.y
-
4.x +
2.2)
Rangul fiind
2, avem 2 necunoscute
principale,
si o
necunoscuta
secundara,
deci
un
parametru.
O
ecuatie
este
secundam,
se
poate
omite din
sistem.
Given
2.x+2.y-z=0
5'Y
-
4'x
+
2.2=
0
x=0
/o\
Find(x,y,z)-+l
0
I
[,
".J
Punand
o=1,
avem
un
singur vector
propriu
corespunzator
lui
A3:
/r\
,r,=lol
,rr,
[,J
P2:
C
alcu
lul
vectbrilo
r
ad*iltari.
Valoarea
proprie
2
este
radacina
dubla,
dar
ii
corespunde
doar
un
singur
vector
propriu
(A+,r)v,=[l]
De
acea mai
avem
nevoie
de un vector
auxiliar.
(*\ (z.v-x-z-l
\
(^
-
^")
[.
:)-',-
[;;
;
;-',)
Given
(
a \
Find(x,y,z)
-
[.:
,.,l
rank(A-\,.t)=z
rank(auement(a
-
X,'t,v,))
=
z
2.y-x-z-l=0
5.y-4.x-z*l=0
x=o
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
14/24
Punand
q=0,
avem
vectorulauxiliar:
[iJ
,,,
(A-
2'l).v,
",
=
[lJ
(2)
P3:
Scderea forrnei
canonice
D, si
a
matricii
de
schimbarc
a bazei
C.
C:= augment("r,rr,rr)
(t
o l\
(o
I o\
c=lr
o ol
c-r-lr-r
-'l
[' -12)
['-,
o)
(z
l o\
D:=c-l.A.c
,=lo,
o
I
\0
0
-ll
adica
(1),
(2),
si
(3)
scrise
intro
forma
usor
diferita:
Av1
=
2v1
Au2=
v1
+
2tt2
Av3
=
.
-1v3
vor da
matricea
D
d" *"r
aur,
respectiv
(1a),
(2a),
si
(3a)
dau
matricea
Q=(vl
v2
v3).
=
=
=
=====
= =
==
==
= =======
= = =
=====
=
====== ======
==
= = ==
=
= === = = = =
= =
Pregatirea
problemei
nr
4:
(zo
o\
(r
o
l\
g,=lo z
o
I
.=lr
o ol
(o
o
-rJ
[, -,
,)
(-t
3 o\
-rll
$:=C'D'C
^
A=10
201
tt
\-6
6 2)
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
15/24
PROBI-EMAI:
Se
da matricea
A. Sa se
calcuteze
forma
canonica
Jordan
si
matricea
schimbarii
bazei.
(-r
3 o\
e=l
o
, ,l
[-u
u ,.i
SOLUTTE:
Pl:
calculul
polinomului
caracteristic,
p,
si a radacinilor
acestuia,
valoriiltt
proprii
ale
lui A
pd\)
:=
la
-
X.rl factor
-r
-(\
+
l).(\
-
2)2
\, :=
2 \,r:=
2
\r:=
-l
P2:
Galcu lul
vectorilo
r
proprii.
\:= 2
(*)
/:.v
-
r.x\
(A-xr)lrl-l
,
I
rank(A-\.r)=1
\r)
\6.y
-
6.x/
Rangulfiind
1, avem
1
necunoscuta
principala,
si2
necunoscute
secundare,
deci
doi
parametrii.
Doua
ecuatii
sunt
secundare,
se
omit din
sistem.
Given
3.y-3'x=0
Y=o'
z=g
["\
Find(x,y,z)-l"l
t;l
Punand
o=1,
9=0
respectiv
pentru
q=0,
F=1
avem vectorii
proprii
(coeficientii
lui
q
respectiv
ai
lui
B):
/r
\
(o\
,,'=l,l
(1a)
,r,=lil
ea)
[o/
(,J
=[;]
(1)
@-2,)v,=
[lJ
(2)
[r.J
'
l.o
)
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
16/24
X:=
-l
M'
f.)( t't
)
(A-\.D.1
,l-l
,.,
I
ranr
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
17/24
lia
P3:
$cderEa f0rrnei
canonice
D, si
a
matricii
de
schimbarc
a bazei
C.
C
:=
augment(rr,rr,rr)
(t
ol\
(o
I
o\
ll-rll
.=l,ool
"-'=l-rr
rl
\o
t z)
\r
-1
o)
(z
o o\
D:=c-l.A.c
o=lo 2
ol
tt
\0
0
-ll
adica
(1), (2),
si
(3)
scrise intro
forma
usor
diferita:
Av1
=
2v1
Au2=
2\n
Av3
=
-1v3
wr
da
matricea
D
de mai sus,
respectiv
(1a),
(2a),
si
(3a)
dau matricea
C=(vl
12 v3).
=
==
=
=
=
=
==
= = = =
==
=
==
=
=
= = = = = = = = =
=
=
= = =
=
=
= = === =
=
== == =
= =
= = = = = = === =
Pregatirea
problemei
nr
5:
(z
o
o\
(rol\
s,=lo-z
rl
.=l,orl
\00-r)
\012)
(-t
3 o\
-r
I I
A.:=C.D.C
'
A=10
2 0l
wv
l"
^
^l
2
-2
-2)
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
18/24
PROBLEifrAI:
Se da matricea
A. Sa se calculeze
forma
canonica Jordan si
matricea
schimbarii
bazei.
(-t 3
o\
tt
A=lo
2
o
l
lt
t, _"
-r)
SOLUT E:
PI:
calculul
polinomului
caracteristic,
p,
si a
radacinilor
acestuia,
valoriile
proprii
ale luiA
p{\;
:=
le
-
X.{ factor
-+
-(\
-
2).(\ + 2).(\
+
l)
fu:=
2
\,r:=
-2
\r:=
-l
P2: Calcu
lul vectorilo
r
proprii.
\:= 2
/x\
(
3.v
-
3.x \
(A-x.r)lrl-l
o
|
,*uro-\.r;=2
\r)
\2.* -
2.y
-
4.2)
Rangulfiind
1,
avem
1
necunoscuta
principala,
si 2
necunoscute
secundare, deci
doi
parametrii.
Doua
ecuatii sunt secundare,
se omit din
sistem.
Given
3'Y-3'x=0
2'x
-
2'Y
-'4'z=
0
x=0.
/o\
Find(x,y,z)-l"l
[oJ
Punand
q=1
avem vectoriul
propriu
(coeficientii lui
o):
',[:J
(A-2r)v,=[l]
(1a)
(1)
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
19/24
,
\:=
-2
f.)
(,.*'''')
(A-\.D.1
vl-+l
4.y
I
rank(A-\.D=2
't-ttt
\r)
\2.x
-
2.y
)
Rangulfiind
1,
avem 1
necunoscuta
principala,
si2
necunoscute
secundare,
deci
doi
parametrii.
Doua
ecuatii
sunt
secundare,
se omit
din sistem,
Given
x+3'Y=0
4'Y=o
z= o.
/o\
Find(x,y,z)-lr
l
tt
\o/
Punand
o=1
avem vectoriul
propriu
(coeficientii
lui
o):
"'=[iJ
(A+2.I).vr=[;]
/o\
Find(x,y,z)
-
[r:]
(2a)
X:=
-l
(*\
(
t.v
\
to-^.,1.1
,l-l
,,
|
.anr
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
20/24
-\i
Punand
q=1
avem vectoriul
propriu
(coeficientii
lui o):
v
=
t';l
3'=
|
[,,J
,^ ir\ r:l
A+l.I).v3=l
'
[o.J
P2:
G
alcu
lul vectorilo
r
a uxiliari.
Nu avem nevoie
de vectori
auxiliari.
(3a)
(3)
P3:
Scderea formei canonice
D,
si
a
matricii
de
schimbarc
a
bazei
C.
C:=
augment(r'uZ,ur)
(r
ol\
(o
l
o\
ll-rll
C=ll o ol c'=l-2 z tl
tttt
\ot2)
\l
-lo)
(z
o
o\
D:=c-l.A.c
o=1,
-,
o
I
[o
o
-t)
adica
(1),
(2),
si
(3)
scrise intr-o forma usor diferita:
Av'l
=
2v1
Au2=
-2v2
Av3
=
-1v3
vor da matricea
D
de mai sus,
respectiv
(1a), (2a),
si
(3a)
dau matricea C=(v1
12 v3).
============================================================
PROBLEMA6:
Daca
forma
canonica
a matricii A este Al, atunci
matricea insasi este
AI.
I
ntradevar,
daca At
=C^
(-{
)*A*C,
atu
nci A=C*A *C^
(-i
)=A|*C*C^
Gi )=X.
Pentru
A=Al
nu
avem nimic
de calculat,
matricea
este data in forma
sa canonica.
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
21/24
a
4.
O lista
de matrici,
exempte
propuse
pentru
rezolvare.
Mai
jos,
aveti
o
lista
lunga
de matrici,
notate
cu A,
pentru
care
se cere forma
canonica
Jordan..
Lista contine
si
forma
canonica,
matricea
D, deci rezultatul
obtinut
poate
fi verificat
imediat.
Structura celulara
a
matricii
D
pe
care il obtineti din
algoritm trebuie
sa coincida
cu
matricea
D, data
drept rezultat Va
reamintim,
ca
poate
diferi
ordinea celulelor
si acel sir
de
1
deasupra
diagonalei,
care
poate
apara
dedesubtul
diagonalei, in functie
de
preferintele
rezolvitorului
de a
face notatiile
pentru
denumirea
valorilor
proprii
si
a
vectorilor
bazei
noi.
Daca indicii
vectorilor
auxiliar
descresc,
sirul de
unu va
fi
sub diagonala,
daca
indicii
cresc, atunci
sirul de 1 va rezulta
deasupra
diagonalei.
Matricea
C
folosita
in
constructia
luiA
din D
nu
este
unica Matricea
C
obtinuta
din
algoritm
nu
trebuie neaparat
sa coincida
cu cea
folosita
in
constructia
problemei
C:=
U.V
#=
identiU(3)
'[ii:]
"[i:i)
.[i
_i
i]
c
tl
i;,j
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
22/24
^['iir]
t r
o\
*=[:;lJ
0.
^(il
;l
(t
r
o\
'=[:;:]
11.
^[i
I:]
[i:lJ
2.
/r
-r
-r\
^=[;
-i:)
(-t
o
o\
^=[i,
:
:)
[i
;
:]
t8.
^[i
;)
[i
;:]
:l
,)
,)
^[i
(-t
^=[]'
^=
[-i'
(-z
r o\
o=l-o 2 t
I
[,
-,
-r)
.[lii]
(-r,
o\
o,=lo
-t
o
I
[o
o .)
15.
16.
0
J
-2
7
7
4
2
7
4
;f:=
C.D.C-
I
-t
A:=
C.D.C
_l
A:= C.D.C
-,|
A:= C.D.C
-l
A:= C.D.C
_l
A:=
C.D.C
_l
A:= C.D.C
_l
A:= C.D.C
_1
A:=
C.D.C
_t
A:=
C.D.C
(t
o
o\
13
,=[;;:]
(t
o o\
,'=[:
;
I
4.
(-t
r
o\
o'=lo
-t
,
I
[, o
-r)
17.
19.
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
23/24
-l
A:=
C.D.C
_l
A:= C.D'C
,$r:=
C.n.c-
I
-l
A:= C.D.C
Ar:=
C.O.C-
I
_1
A:=
C.D.C
$:=
C.D.C-
I
-t
A:= C.D.C
-l
A:= C.D'C
N
;f:=
C.D.C-
I
0 0\
8 5l
-rc
-7)
(r
,
,'l
^=[;j,
;,l
(zro\
'=[:;;J
0.
^(ir:
,ll
,[l:lJ
1.
(q
-r
-r\
o=l-,
,
o
I
[s
-3
o)
[l:lJ
.[i:l]
(z
o
o\
o'=
lo
, ,
I
\0
0
3)
24,
(-z
r
o\
o,=lo
-2,
I
\0
0
-2)
25.
(-t
r
o\
^=[;
::)
(-z
r
o\'
o'=lo
-2
o I
[o
o
-r)
26.
/o
-r
-r\
e=lz
-,
-,1
(.,
-,
-rj
(-z
r
o\
,'=[:
:
I
^
=
[-,i
(-z
o o\
o'=[;
;
:,J
(-t
z z\
^
=
[;'r'
'"
X)
(r
o
o\
o,=
lo
-r
,
I
\0
0
3)
22.
23.
il
1l
il
(z
o=l-,
[:
(-s
^
=
[;"'
(-e
o=
l-,,
I
t'
0
4
_,,
4
t2
-6
4
t2
-6
27.
28.
29.
-
7/25/2019 Algebra - Exercitii Seminar
24/24
^liii]
tro\
,,=
[:
;
],J
30.
^[;
i;)
^[j,
Ij]
/-r
-r -r\
o=l ,
*
-,
I
\2 -r
-4)
(-z
o=l-,,
\rs
(-t
o o\
o,=l
o
*
o
I
\o
o z)
38.
(-t
z z\
o=l
o
, o
I
[-r
u ,)
(t
o o\
,,=
[;
; :]
-l
A:= C.D.C
Sn:=
C.n.C-
I
,Ar:=
C.n.C-
I
_t
A:= C.D.C
-t
A:=
C.D.C
;$u:=
C.D.C-
I
_t
A:= C.D.C
;5:=
C.D.C-
I
-t
A:=
C.D.C
_t
A:= C.D.C
o
o\
i,
j,l
(zro\
'=[.:;:J
t1 t o\
'=[:;;,J
31.
32.
(z
o o\
o=l , ,
-,
I
[r,
o)
(-z
z z\
o=l-,0 s 61"
[,, -u -t)
(-z
z z\
o=l-,0
s
6l
\ro
-6
4)
/soo\
'=[:;:]
(t
o
o\
,,=
[.: ;
:,j
u.
33.
(-q
r o\
^=[;
:
:,l
(-t
r o\
o,=lo
-3
,
I
[o
o
-r)
(-z
r o\
n'=lo
-3
o
I
[o
o
-r)
35.
36.
37.
(-z
r o\
o'=l
o
-,
o I
[,
o
,)
39.