ÁLGEBRA ICONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS;FUNÇÕES;FUNÇÃO AFIM;FUNÇÃO QUADRÁTICA;FUNÇÃO MODULAR;FUNÇÃO EXPONENCIAL;LOGARÍTMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA;PROPORCIONALIDADE.

CONJUNTOS E CONJUNTOS NUMÉRICOS

A noção de conjunto. Subconjunto.

Conjunto das partes.Como representar.

Operações. Propriedades.

Representações.Relações.

Reta Numérica.Plano Cartesiano.

Produto Cartesiano.Conjuntos Numéricos.

1Capí

tulo

1.1 A NOÇÃO DE CONJUNTO Qualquer agrupamento de elementos com exceção

do conjunto vazio. Ex: A=( ) unitário: aquele que possui apenas um elemento. Ex: B=( 1 ) finito: aquele que possui um número determinado

de elementos. Ex: C=( 1, 2, 3 ) infinito: aquele que possui um número

indeterminado de elementos. Ex: D=conjunto dos números primos.

1.2 SUBCONJUNTO É um conjunto que está contido dentro de

outro conjunto. Ex: o conjunto B é um subconjunto do

conjunto A.

1 2 5 3 4A B

1.3 CONJUNTO DAS PARTES Se S é o conjunto de três elementos {1, 2, 3} a lista completa de

subconjuntos de S é:• { } (o conjunto vazio);• {1};• {2};• {3};• {1, 2};• {1, 3};• {2, 3};• {1, 2, 3}; e portanto o conjunto de partes de S é o conjunto de 8

elementos: P(S) = {{ }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3},

{1, 2, 3}}.

1.4 COMO REPRESENTAR UM CONJUNTO Um conjunto pode ser representado por duas

formas: Por extensão- enumera-se seus elementos,

escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgula.

Ex: A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Por compreensão- o conjunto é

apresentado por meio de uma propriedade que caracteriza seus elementos.

Ex: A={xЄN|x<10}

1.5 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS União de conjuntos: é o conjunto formado

por todos os elementos que pertencem aos conjuntos envolvidos.

Ex: A U B={x|x ЄA ou x Є B} Intersecção de conjuntos: é conjuntos

formado pelos elementos que são comuns aos conjuntos envolvidos.

Ex: A ∩ B={x|x ЄA e x Є B} Diferença de conjuntos: é o conjunto

formado dos elementos que pertencem um conjunto e a outro não.

Ex: A - B={x|x ЄA e x Є B}

3 4

1 2

1 2 3 4

3 4

2 4

1 3 4

2 3 4

1

4

+ =

=-A

A

A

B

B

B

A-B

AUB

A ∩ B

=

1.6 CONJUNTOS NUMÉRICOS Conjunto dos números naturais(0+positivos); Ex: N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...} Conjunto dos números inteiros(N+negativos); Ex: Z={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} Conjunto dos números racionais(Z+decimais); Ex: Q={...;0;0,1;0,2;0,3;0,4;0,5;0,6;0,7;0,8;0,9;1;...} Conjunto do números irracionais(raízes inexatas); Ex: I={...,} Conjunto dos números reais(racionais+irracionais). Ex: R=Q U I

1.7 REPRESENTAÇÃO DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

Números Naturais= todos os números positivos. Ex: N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...} Números Inteiros=todos os números positivos e

negativos. Ex: Z={...,-2,-1,0,+1,+2,...} Números Racionais=todos que podem ser representados

em forma de fração. Ex: Q={...;-1;-1,1;-1,2;-1,3;-1,4;...} Números Irracionais=todos que não podem ser frações. Ex: I={, , ,...} Números Reais=todos os números existentes. Ex: R={...,0,1,..., ,... ,...,2,3,...}

1.8 RELAÇÕES DOS CONJUNTOS NUMÉRICOS

1.9 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS NUMÉRICOS Efetuar operações dentro do conjunto dos números

naturais quer dizer que o resultando dessa operação deve ser um número natural.Veja: 3+ 20= 23 então, 23  N (23 pertence ao conjunto dos números naturais).

Do mesmo modo nas demais operações: Subtração 35 – 7 = 28  N

Multiplicação 8 * 5 = 45  NDivisão 80 /10 = 8  N

1.9 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS NUMÉRICOS Com o tempo houve a necessidade de ampliar as

representações das quantidades, assim surgiu o conjunto dos números inteiros, sendo o conjunto dos números naturais mais seu oposto, que são os negativos.Z = {… -3, -2, - 1, 0, 1, 2, 3, …}

A adição com números inteiros: -80 + (-20)= -100  Zsubtração 90 - (15) = 75  Zmultiplicação (-8) *(6) = 48  ZDivisão -70/10= -7  Z. Caso tivesse -70/4= 17,5 ∉ Z

1.9 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS NUMÉRICOS Estendendo os conjuntos numéricos temos os números

racionais, que são aqueles que podem ser representados pela razão a/b, onde a  Z e b  Z. Q = { ...-½, 0, ½ …}

Adição 0,5 + 0,5 = 1  QSubtração 4/3 – 2/3= 2/3  QMultiplicação 7/2 * 4= 14  QDivisão 30,5/1000= 0,0305  Q.Por outro lado, √2 * 2 = 2,82...   Q∉

1.9 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS NUMÉRICOS Já o Conjunto dos números Irracionais é formado por

aqueles números que não podem ser representados na forma de fração, como : , √2, √3…Veja as operações:Adição √3 + √2 =3,146...  I Subtração √7 – = -0,494...  IMultiplicação  *2= 6,26...  IDivisão / 3= 1,046...  I.

1.9 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS NUMÉRICOS E, finalmente, o conjunto dos números Reais, que é o

agrupamento dos Racionais e Irracionais R= {Q + I}, como mostra o diagrama dos conjuntos.

Adição dentro do conjunto dos números Reais, - ½ + ½ = 0  RSubtração 3,16 – 1,12= 2,2  RMultiplicação √2 * √2 =  RDivisão 1/7= 0,428...  R

FUNÇÕES

Definição. Domínio.

Contradomínio. Imagem.Gráfico.

Composta.Injetora, Bijetora e

SobrejetoraInversa.

2Capí

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2.1 DEFINIÇÃO Sendo A e B dois conjuntos não vazios e uma

relação f de A em B, essa relação f é uma função de A em B quando a cada elemento x do conjunto A está associando um e um só elemento y do conjunto B.

5 6 7 8

1 2 3 4

A B

2.2 DOMÍNIO O conjunto A é denominado domínio da

função, que indicamos por D “conjunto de partida”.

D={1, 2, 3, 4}

5 6 7 8

1 2 3 4

A B

2.3 CONTRADOMÍNIO O conjunto B é denominado contradomínio

da função, que indicamos por CD “conjunto de chegada” formado por todos os elementos de B.

CD={5, 6, 7, 8, 9}

5 6 7 8 9

1 2 3 4

A B

2.4 IMAGEM O subconjunto de B é denominado imagem

da função, que indicamos por Im formado por todos os elementos de B que estão ligados aos do A.

Im={5, 6, 7, 8}

5 6 7 8 9

1 2 3 4

A B Im

- - - -

- - - - - - - -

- - - - - - - - -

- - - - -

2.5 GRÁFICOx Y=2x y

-2 Y=2.(-2) -4

-1 Y=2.(-1) -2

0 Y=2.(0) 0

1 Y=2.(1) 2

2 Y=2.(2) 4

4

2

0

-2

-4

-2 -1 1 2.. . ...

. . . . . . .

2.6 TIPOS Injetora: cada elemento da imagem está

associado a apenas um elemento do domínio.

Sobrejetora: todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio.

Bijetora: todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do contradomínio de forma um par um e exclusivo.

A

• 1• 2

AB

• 1• 2

• 1• 2

ABC

2.7 COMPOSTA Considerando as funções f:A→B e g:B → C, temos

que a função compostas de g com f é a função g o f:A → C, sendo (g o f) (x) = (g(f(x)).

x

y=f(x)

g({f(x)}

f g o f

g

B

A

C

2.8 INVERSA Chama-se função inversa de f a função g:B→A

quando e somente quando f(m)=n equivaler a g(n)=m, quaisquer que sejam mЄA e nЄB. Indicaremos por.

Ex: f={(1,3);(2,4);(3,5)} ={(3,1);(4,2);(5,3)}

3 4 5

1 2 3

1 2 3

3 4 5

B BA A

FUNÇÃO AFIM

Introdução. Definição.Gráfico.

Constante.Linear.

Crescente.Decrescente.

Zero da função.Estudo do sinal.

Inequação do 1º grau.

3Capí

tulo

3.1 INTRODUÇÃO Chama-se função polinomial do 1º grau, ou

função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado termo constante.

3.2 DEFINIÇÃO Uma função definida por f: R→R chama-se afim

quando existem constantes a, b que pertencem ao conjunto dos reais tais que f(x)= ax + b para todo x ∈ R. A lei que define função afim é:

3.3 GRÁFICO O gráfico de uma função afim é uma reta não

perpendicular ao eixo Ox.

Domínio: D = RImagem: Im = R

São casos particulares de função afim as funções lineares e constante.

3.4 FUNÇÃO CONSTANTE Uma função definida por f: R→R chama-se

constante quando existe uma constante b R tal que f(x) = b para todo x ∈ R. A lei que define uma função constante é:

O gráfico de uma função constante, é uma reta paralela ou coincidente ao eixo Ox q que cruza o eixo Oy no ponto de ordenada b.

3.5 FUNÇÃO LINEAR Uma função definida por f: R→R chama-se linear quando

existe uma constante a ∈ R tal que f(x) = ax para todo x ∈ R. A lei que define uma função linear é a seguinte:

O gráfico da função linear é uma reta, não perpendicular ao eixo Ox e que cruza a origem do plano cartesiano.

Domínio: D = RImagem: Im = R

3.6 FUNÇÃO CRESCENTE Observe o gráfico da função y = 2x + 1 para o

qual foram escolhidos os valores 1 e 2 para x e encontrados seus correspondentes y, que são iguais a 3 e 5:

Regra geral :a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o coeficiente de x é positivo (a > 0); •Justificativa :para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b < ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).

3.7 FUNÇÃO DECRESCENTE Observe agora o gráfico da função y = – x + 2

para o qual foram escolhidos os valores 1 e 2 para x e encontrados seus correspondentes y (1 e 0):

Regra geral : a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando o coeficiente de x é negativo (a < 0);•Justificativa : para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b > ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).

3.8 ZERO DA FUNÇÃO Chama-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau f(x) =

ax + b, a0, o número real x tal que f(x) = 0. Temos:f(x) = 0 ax + b = 0 Vejamos alguns exemplos:Obtenção do zero da função f(x) = 2x - 5: f(x) = 0 2x - 5 = 0 Cálculo da raiz da função g(x) = 3x + 6: g(x) = 0 3x + 6 = 0 x = -2

Cálculo da abscissa do ponto em que o gráfico de h(x) = -2x + 10 corta o eixo das abcissas:

O ponto em que o gráfico corta o eixo dos x é aquele em que h(x) = 0; então: h(x) = 0 -2x + 10 = 0 x = 5

3.9 ESTUDO DO SINAL Estudar o sinal de uma qualquer y = f(x) é

determinar os valor de x para os quais y é positivo, os valores de x para os quais y é zero e os valores de x para os quais y é negativo.

Consideremos uma função afim y = f(x) = ax + b vamos estudar seu sinal. Já vimos que essa função se anula pra raiz . Há dois casos possíveis:

3.9.1 ESTUDO DO SINAL: 1º CASOa > 0 (a função é crescente) y > 0 → ax + b > 0 → x > y < 0 → ax + b < 0 → x < Conclusão: y é positivo para valores de x maiores

que a raiz; y é negativo para valores de x menores que a raiz

3.9.2 ESTUDO DO SINAL: 2º CASOa < 0 (a função é decrescente) y > 0 → ax + b > 0 → x <

y < 0 → ax + b < 0 → x > Conclusão: y é positivo para valores de x menores

que a raiz; y é negativo para valores de x maiores que a raiz.

3.10 INEQUAÇÃO DO 1º GRAU Uma inequação do 1° grau na incógnita x é qualquer

expressão do 1° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas:

ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0. Onde a, b são números reais com a ≠ 0. Exemplos: -2x + 7 > 0 x - 10 ≤ 0 2x + 5 ≤ 0 12 - x < 0

FUNÇÃO QUADRÁTICA

Introdução.Definição.

Zeros da função.Gráfico.

Estudo do sinal.Inequação do 2º

grau.

4Capí

tulo

4.1 INTRODUÇÃO Em Matemática, uma função quadrática, um

polinômio quadrático, um polinômio de grau 2 º ou um polinômio de segundo grau, é uma função polinomial de segundo grau.

Essa função pode ter uma ou mais variáveis, porém este artigo se limita ao estudo das funções quadráticas de uma variável apenas.

4.2 DEFINIÇÃO Chama-se função quadrática, ou função

polinomial do 2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = a+ bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.

Vejamos alguns exemplos de função quadráticas: f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

4.3 ZEROS DA FUNÇÃO Chama-se zeros ou raízes da função

polinomial do 2º grau f(x) = a+ bx + c , a 0, os números reais x tais que f(x) = 0.

Então as raízes da função f(x) = a+ bx + c são as soluções da equação do 2º grau a+ bx + c = 0, as quais são dadas pela chamada fórmula de Bháskara:

4.4 GRÁFICO O gráfico de uma função polinomial do 2º grau,

y = a + bx + c, com a 0, é uma curva chamada parábola.

Exemplo: Vamos construir o gráfico da função y = + x:Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calculamos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os pontos assim obtidos.

4.5 GRÁFICOx y-3 6-2 2-1 0

-1/2 -1/40 01 22 6

4.6.1 ESTUDO DO SINAL Consideramos uma função quadrática y = f(x) = ax2 + bx +

c e determinemos os valores de x para os quais y é negativo e os valores de x para os quais y é positivos.Conforme o sinal do discriminante  Δ= b2 - 4ac, podemos ocorrer os seguintes casos:

1º caso -   Δ> 0 Nesse caso a função quadrática admite dois zeros reais distintos (x1≠  x2). a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos e o sinal da função é  o indicado nos gráficos abaixo:

4.6.2 ESTUDO DO SINAL quando a > 0 y > 0 ↔ (x < x1 ou x > x2) y < 0 ↔ x1 < x < x2

4.6.3 ESTUDO DO SINAL quando a < 0 y > 0 ↔ x1 < x < x2 y < 0 ↔ (x < x1 ou x > x2)

4.6.4 ESTUDO DO SINAL 2º caso -  Δ = 0 quando a > 0

4.6.5 ESTUDO DO SINAL quando a < 0

4.6.6 ESTUDO DO SINAL 3º caso -  Δ < 0 quando a > 0

4.6.7 ESTUDO DO SINAL quando a < 0

4.7.1 INEQUAÇÃO DO 2º GRAU Uma inequação do 2° grau na incógnita x é uma expressão

do 2° grau que pode ser escrita numa das seguintes formas: ax² + bx + c > 0; ax² + bx + c < 0; ax² + bx + c ≥ 0; ax² + bx + c ≤ 0.

Para resolvermos uma inequação do Segundo grau devemos estudar o sinal da função correspondente equação.

1. Igualar a sentença do 2° grau a zero; 2. Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x. 3. Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se como

possibilidades:

4.7.2 INEQUAÇÃO DO 2º GRAU a>0

a<0

FUNÇÃO MODULAR

Módulo.Função modular.

Gráfico.Equação modular.

Inequação modular.

5Capí

tulo

5.1 MÓDULO Inicialmente definimos módulo de um

número real como |x| , ou valor absoluto de x.

Entende-se módulo como: , assim o significado destas sentenças é: i) o módulo de um número real não negativo

é o próprio número. ii) o módulo de um número real negativo é o

oposto do número.

5.2 FUNÇÃO MODULAR Função Modular é aquela que associa a cada

elemento x real um elemento |x| Para que o conceito de função fique claro

adotamos a notação de uma função f(x) = |x|, como sendo:

5.3 GRÁFICO Sendo que o gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao

gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será “refletida” sempre para um f(x) positivo.

5.4 EQUAÇÃO MODULAR Chamamos de equações modulares as equações em que

aparecem módulos de expressões que contêm incógnita.

Exemplos de equações modulares:

|x| = 7

|x + 6| = x + 6

|x – 3| + 4x = 7

|x + 2| = 4

5.5 INEQUAÇÃO MODULAR Inequação modular é toda inequação cuja incógnita aparece

em módulo. Veja alguns exemplos: |x| > 6 |x| ≤ 4 |x + 3| > 7 |4x + 1| ≥ 3 Podemos utilizar as propriedades a seguir para resolver

esse tipo de inequação: |x| > a → x < – a ou x > a. |x| < a → – a < x < a. |x| ≤ a → – a ≤ x ≤ a. |x| ≥ a → x ≤ – a ou x ≥ a. |x – a| ≤ b → – b ≤ x – a ≤ b → a – b ≤ x ≤ a + b

FUNÇÃO EXPONENCIAL

Introdução.Potenciação.

Função exponencial.Gráfico.

Equação exponencial.Inequação

exponencial.

6Capí

tulo

6.1 INTRODUÇÃO Toda relação de dependência, em que uma

incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente. Observe:

y = 2 x

y = 3 x + 4

y = 0,5 x

y = 4 x

6.2 POTENCIAÇÃO

6.3 FUNÇÃO EXPONENCIAL Dizemos que uma função é exponencial quando

a variável se encontra no expoente de um número real, sendo que esse número precisa ser maior que zero e diferente de um. Podemos explicitar tal condição usando a seguinte definição geral:

f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

6.4 GRÁFICO Uma função pode ser representada através de um

gráfico, e no caso da exponencial, temos duas situações: a > 1 e 0 < a < 1. Observe como os gráficos são constituídos respeitando as condições propostas:

6.5 EQUAÇÃO EXPONENCIAL Equações exponenciais são aquelas em que a

incógnita se encontra no expoente de pelo menos uma potência. A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função apresenta características individuais na análise de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente.

Exemplos de equações exponenciais:

10x = 1002x + 12 = 209x = 815x+1 = 25

6.6 INEQUAÇÃO EXPONENCIAL Assim como as equações exponenciais, as

inequações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Confira alguns exemplos:

LOGARÍTMO E FUNÇÃO LOGARÍTMICA

Logaritmo. Função logarítmica.

Gráfico.Equação

logarítmica.Inequação

logarítmica.

7Capí

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7.1 LOGARITMO

7.2 FUNÇÃO LOGARITMICA Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com

a ≠ 1 e a > 0 é denominada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e o contradomínio, o conjunto dos reais.

Exemplos de funções logarítmicas:f(x) = log2xf(x) = log3xf(x) = log1/2xf(x) = log10xf(x) = log1/3xf(x) = log4xf(x) = log2(x – 1)f(x) = log0,5x 

7.3 GRÁFICO Para a construção do gráfico da função logarítmica

devemos estar atentos a duas situações, temos o gráfico da seguinte forma:

Função crescente Função decrescente

a > 1 0 < a < 1,

7.4 EQUAÇÃO LOGARITMICA As equações logarítmicas são as equações em

que temos a incógnita presente no logaritmando ou na base do logaritmando. A resolução é feita utilizando as regras operatórias envolvendo logaritmos.

7.5 INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA As inequações logarítmicas são todas aquelas

que apresentam logaritmos. A incógnita, nesses casos, está no logaritmando e/ou na base.

Para resolver inequações logarítmicas, aplicamos as propriedades operatórias dos logaritmos e os conceitos tradicionais de resolução de inequações. Assim como fazemos com as equações logarítmicas, é importante verificar as condições de existência dos logaritmos (tanto a base quanto o logaritmando devem ser maiores que zero).

PROPORCIONALIDADE

Introdução; Razão;

Razões Especiais;Proporção;

Propriedade Fundamental da Proporção;

Grandezas Proporcionais;Regra de Três Simples;

Regra de Três Composta.

8Capí

tulo

8.1 INTRODUÇÃO A proporcionalidade, para a matemática, a química e a 

física, é a mais simples e comum relação entre grandezas. A proporcionalidade direta é um conceito matemático amplamente difundido na população leiga pois é bastante útil e de fácil resolução através da "regra de três". Quando existe proporcionalidade direta, a razão (divisão) entre os correspondentes valores das duas grandezas relacionadas é uma constante, e a esta constante dá-se o nome de constante de proporcionalidade.

8.2 RAZÃO Existem várias maneiras de comparar duas

grandezas, por exemplo quando se escreve A>B ou A<B ou ainda A=B, estamos a comparar as grandezas A e B. Mas essa comparação, muitas vezes, pouco nos diz. Daí o utilizar-se, no dia a dia, a razão entre duas grandezas, isto é o quociente entre essas grandezas.

Por exemplo : a razão entre 6 e 3 é expressa por 6:3 ou 6/3 .

Se eu pretendo comparar a e b determino a razão  a:b  ou  a/b,  agora se eu disser que a razão entre elas é 2, estou a afirmar que a é duas vezes  maior que b.

8.3.1 RAZÕES ESPECIAIS Escala. Ao compararmos mapas com os lugares a serem

representados por eles, representamos as distâncias em escala menor que a real. O conceito é dado pela seguinte razão:

Escala = medida no mapa/medida real ; (ambos na mesma unidade de medida).

Exemplo: a escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 60 metros foi representado por um segmento de 3 cm é:

Primeiramente, transformamos os 60 m para centímetros, para trabalharmos no mesmo sistema de unidades:60 m=60⋅100 cm=6000 cm

Portanto,Escala= 3cm/6000cm=1/2000=1:2000

8.3.2 RAZÕES ESPECIAIS Velocidade Média. É a razão entre a distância

percorrida e o tempo total de percurso. A velocidade média será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para calcular distância e tempo. Alguns exemplos de unidades para a velocidade média são km/h, m/s, cm/s etc.

Velocidade média = distância percorrida/tempo total de percurso

8.3.3 RAZÕES ESPECIAIS Densidade. A densidade de um corpo é a razão

entre a sua massa e o seu volume. A densidade também será sempre acompanhada de uma unidade, que depende das unidades escolhidas para medir a massa e o volume. Alguns exemplos de unidades para a densidades são g/cm³, kg/m³ etc.

Densidade = massa/volume=m/v

8.4 PROPORÇÃO Chamamos de proporção a igualdade de duas razões. a1/b1=a2/b2=k (também escrito por a1:b1 :: a2:b2), onde a1, a2, b1, b2 são números reais com b1 e b2

diferentes de zero. O número k é o que chamamos de constante da proporção (Lê-se “a1 está para b1 assim como a2 está para b2).

O antecedente da primeira razão (a1) e o consequente da segunda (b2) são chamados de extremos, enquanto o consequente da primeira razão (b1) e o antecedente da segunda razão (a2) são chamados de meios. Os nomes são sugestivos quando consideramos a segunda forma de expressar a proporção (a1:b1 :: a2:b2)

8.5 PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DA PROPORÇÃO O produto dos meios é igual ao produto dos

extremos. O que denotamos por: a/b=c/d⟺b.c=a.d

Pela comutatividade do produto, podemos escrever a mesma proporção de várias maneiras distintas:

a/b=c/d⟺d/c=b/a⟺d/b=c/a⟺a/c=b/d , entre outras.

8.6 GRANDEZAS PROPORCIONAIS Duas grandezas são diretamente

proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é multiplicado por esse mesmo número positivo.

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao se multiplicar o valor de uma delas por um número positivo, o valor da outra é dividido por esse mesmo número positivo.

8.7.1 REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de três simples é um processo prático para resolver

problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

        Passos utilizados numa regra de três simples:         1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da

mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

        2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

        3º) Montar a proporção e resolver a equação.

8.7.2 REGRA DE TRÊS SIMPLES Exemplo: Uma moto percorre um trajeto em 48 minutos em

uma velocidade de 80km/h, se essa mesma moto reduzir a velocidade para 60km/h em quanto tempo ela fará o mesmo percurso?

8.8.1 REGRA DE TRÊS COMPOSTA Uma regra de três é classificada como composta quando

apresentar três ou mais grandezas. Vejamos quatro passos utilizados numa regra de três composta:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas em colunas e relacionando cada valor a sua respectiva grandeza. Começaremos colocando os valores na última linha da tabela e, em seguida, na linha acima.

8.8.2 REGRA DE TRÊS COMPOSTA 2º) Isolar a grandeza cujo valor é desconhecido. As grandezas que não

forem destacadas serão relacionadas, uma de cada vez, com a grandeza que foi destacada para determinar se estas duas são diretamente ou inversamente proporcionais. Caso seja diretamente proporcional, colocaremos um d sobre esta grandeza não destacada; caso contrário, sendo inversamente proporcional, colocaremos uma letra i sobre esta grandeza não destacada;

3º) Montar a equação da seguinte maneira: o valor desconhecido da grandeza destacada será igual ao valor conhecido da grandeza destacada que multiplica as frações das grandezas não destacadas da seguinte maneira: se a grandeza tiver a letra d acima, é só repetir a fração e, caso contrário, tiver a letra i, inverte-se a fração.

4º) Resolver a equação.

8.8.3 REGRA DE TRÊS COMPOSTA

REFERENCIAS http://www.somatematica.com.br/ http://educacao.globo.com/matematica/