LGEBRA LINEAL

CONCEPTOS

Magnitudes Cuantitativas: Aquellas que pueden expresarse a travs de un nmero. Ejm: peso.

Magnitudes Cualitativas: Aquellas que no pueden expresarse con un nmero. Ejm: belleza.

Magnitudes Semicuantitativas: Presentan caractersticas cuantitativas y cualitativas. Ejm: el infinito.

Pensamiento Lgico

El pensamiento lgico, racional o directo se caracteriza porque a una pregunta correcta le corresponde una sola

respuesta correcta. Ejm: 5+4=9

Pensamiento Alternativo

El Pensamiento alternativo, divergente o mgico es aquel al que a una pregunta correcta, le corresponden varias

respuestas correctas. Ejm: Es Mara fea?

Definicin de Matriz Real

Una matriz es un arreglo rectangular o tabla de nmeros en filas y columnas. Pueden ser nmeros reales o complejos.

A las matrices no se les asigna valor numrico. Son tablas.

Las matrices se denotan con las letras maysculas A,B, C, y sus correspondientes partes con minsculas: a,b,c.

A= [a ij] m x n

Donde m es el nmero de filas y n es el nmero de columnas.

Clasificacin de las Matrices

Se clasifican en 10 distintas categoras:

Matriz Cuadrada, en donde m=n.

Matriz Rectangular, en donde mn.

Vector fila, en donde A = [ 1 2 4 1] 1x4

Vector columna, o llamado simplemente VECTOR

B=[

]3X1

Matriz Nula, en donde todos sus elementos son cero. Se representa por un 0.

Matriz Identidad, es una matriz cuadrada en donde la diagonal principal tiene un valor de 1 y el resto tiene un valor

de cero. Se representa por una I.

Ejemplo:

I=[

]3

a ii= 1

Matriz Simtrica, es aquella donde a ij=a ji

Ejemplo:

A=[

]3

a21= a 12 =2

a13= a31= 1

Matriz Antisimtrica, en donde se verifica que a ij= -a ji

Ejemplo:

A=[

]3

Matriz Traspuesta, en donde dada una matriz A su traspuesta se obtiene cambiando sus filas por sus columnas.

Matriz Escalar, una matriz escalar es una matriz cuadrada del tipo:

A=[

]3, donde alfa es diferente de cero.

IGUALDAD DE MATRICES

2 matrices A= [aij] mxn y B=[b ij] pxq se dicen iguales si son de igual orden, y sus elementos correspondientes son

iguales.

a) mxn=pxq :. m = p y n = q

b) a ij = b ij

SUMA DE MATRICES

Dadas dos matrices A y B ( donde A= [aij] mxn y B=[b ij] mxn) se dice que son conformes a la suma o sumables si

son de igual orden y el resultado es = A+B = [a ij + bij] mxn.

MULTIPLICACIN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR

El producto de la matriz A= [a ij] mxn por el escalar C se define como CA= [Ca ij] mxn.

PRODUCTO DE DOS MATRICES

Dadas dos matrices A= [a ij] mxp y B=[b ij] pxn se dice que son conformes al producto o multiplicables si el nmero

de columnas de la matriz que pre-multiplica (p) es igual al nmero de filas de la matriz que pos-multiplica.

A mxp X B pxn= C mxn

Donde p=p

Cabe recalcar que el PRODUCTO NO ES CONMUTATIVO.

POTENCIACIN DE MATRICES

Dada una matriz cuadrada A, definimos como potenciacin a la funcin A m = AXAX x A m veces

A m= [A-1]m = A-1XA-1 X A-1 m veces

Donde A a la menos 1 es la MATRIZ INVERSA.

COMBINACIN LINEAL DE MATRICES

Definimos como la combinacin lineal de las matrices A, B, C y D de igual orden C1 A + C2 B + C3 C +C4 D donde

C1, C2, C3, C4 son escalares.

La matriz idntica es la matriz neutra del producto (que si se multiplica por la idntica, el resultado es el

mismo de la matriz original).

La matriz nula es la matriz neutra de la suma (si se suma la matriz nula, el resultado es la matriz original).

TRAZA DE UNA MATRIZ CUADRADA

Sea A= [a ij]n una matriz cuadrada. La traza es la suma de los elementos de la diagonal principal.

RANGO DE UNA MATRIZ

Definimos como el rango de una matriz al nmero mximo de lneas (filas o columnas) linealmente independientes.

LI: Linealmente independiente.

LD: Linealmente dependiente.

Se dice que dos lneas paralelas son linealmente independientes si no se puede obtener una a partir de la otra, y en

general, una lnea es independiente de otras paralelas si no puede obtenerse como combinacin lineal de ellas.

Si el det (A)= 0 :. LD y 0 :. LI.

Se lee: Si el determinante de A es igual a cero significa que la matriz es linealmente dependiente, caso contrario, es

linealmente independiente.

INVERSA DE UNA MATRIZ CUADRADA

Sea A= [a ij]n. Supongamos que |A| 0, matriz regular no singular, por lo tanto, invertible. Hay casos donde la

determinante de A = 0, siendo por lo tanto, no invertible.

Se dice que la matriz An tiene inversa si AnxAn-1=An-1 x An =In (la inversa es conmutativa y se verifica as).

Mtodos

Mtodo de adjunta sobre determinante.

Mtodo de transformaciones elementales.

CMO CALCULAR EL DETERMINANTE?

Se escoge el nmero y se elimina su fila y su columna. Se desglosa y se resuelve la determinante de la matriz interior.

MATRIZ ESCALN

Definimos como matriz escaln a una matriz en la que cada fila siguiente tiene al menos un cero ms que la anterior

contando de izquierda a derecha.

Importancia de la matriz escaln

La importancia de la matriz escaln radica en que se utiliza fundamentalmente en la solucin de sistemas de

ecuaciones lineales con coeficientes.

TRANSFORMACIONES ELEMENTALES

Las transformaciones elementales a las lneas (filas o columnas) de una matriz son aquellas conversiones que no le

alteran ni su orden ni su rango a la matriz. En el sentido amplio esta es la definicin.

Vamos a trabajar con operaciones fundamentales a las filas para convertir la matriz dada en una matriz escaln.

Son operaciones fundamentales:

1. El intercambio de 2 filas paralelas.

2. Multiplicacin de los elementos de una fila por un escalar diferente de cero.

3. Suma a los elementos correspondientes de otra fila, multiplicados por un escalar.

RANGO DE UNA MATRIZ ESCALN

El rango de una matriz escaln est dado por el nmero de filas con elementos no nulos.

INTRODUCCIN A LAS DETERMINANTES

Las determinantes aparecen asociadas a patrones de solucin de sistemas lineales. PATRONES DE SOLUCIN.

Los patrones de solucin son los siguientes:

Dadas las ecuaciones:

a11x1 + a12x2=b1

a21x1 + a22x2=b2

x1=

x1=

Los matemticos relacionaron las determinantes a las matrices.

DETERMINANTES DE ORDEN 1 Y 2

Determinantes de orden 1: Se relacionan con escalares y se representan as:

||= det () en donde R

5 = |5|

Determinantes de orden 2:

|

|= a11 a22 a21a12 R

Se multiplica en cruz, empezando en a11.

Los determinantes de orden mayor a 1 y 2 se pueden calcular con determinantes de orden 1 y 2.

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA

Las determinantes se consideran objetos matemticos asociados a las matrices cuadradas.

[ ] Incorrecto

| | Correcto

MENORES Y COFACTORES DE UNA MATRIZ

Sea An una matriz cuadrada que se puede expresar de esa manera. El menor Mij asociado a un elemento a ij de la

matriz An se obtiene eliminando la fila i y la columna j.

El cofactor Cij de la matriz se obtiene de la siguiente forma: Cij= (-1) 1+j

Mij

Si i+j da par, entonces el cofactor es igual al menor, pero si el resultado es impar, entonces cambia de signo el menor.

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

Propiedad #1

Si una fila tiene todos sus elementos con un mltiplo comn, este nmero mltiplo se puede extraer fuera de la

determinante.

Propiedad #2

Si usted tiene un determinante con 2 lneas paralelas iguales, usted puede aseverar que el resultado ser cero (0).

Propiedad #3

Un determinante con 2 lneas paralelas proporcionales, se puede asegurar que da cero (0).

Propiedad #4

Si usted cambia 2 lneas paralelas, el determinante cambia de signo.

Propiedad #5

Si se multiplica la lnea central por 2, y se la suma a la primera lnea y tercera lnea, colocndose el resultado en la

3era. lnea, el resultado de la determinante no cambia con respecto a la matriz original.

Propiedad #6

Si un determinante de cualquier orden que tenga 1 fila o 1 columna de ceros, esta automticamente da como resultado

cero (0).

INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definimos como a una ecuacin lineal a a11 x1 + a12 x2+ a1n xn =b1, donde las a son iguales a constantes y las

x estn elevadas a potencias 1. Esto es una ecuacin lineal.

El nmero de ecuaciones puede ser igual al nmero de incgnitas, o simplemente desigual.

Las ecuaciones pueden denotarse como Amxn Xnx1 = Bmx1

Todo esto sigue las reglas del producto de matrices.

Se pueden presentar tres casos:

1. Solucin nica (cortan en un solo punto).

2. Infinitas soluciones (son la misma lnea).

3. No hay solucin (paralelas).

SOLUCIN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema de ecuaciones lineales con m ecuaciones y n incgnitas puede representarse de manera matricial y

vectorial.

Mtodos

1. Mtodo de Adjunta sobre Determinante

2. Mtodo de Cramer

3. Mtodo de Gauss

Los dos primeros mtodos sirven para matrices cuadradas de igual nmero de incgnitas que de ecuaciones.

El mtodo de Gauss de solucin de sistemas de ecuaciones lineales es completamente general. Es decir, se aplica a

cualquier nmero de ecuaciones m y a cualquier nmero de ecuaciones n.

FORMA CUADRTICA

Definimos como una forma cuadrtica a una funcin escalar V(x) que puede ser expresada como un polinomio

homogneo de segundo grado en cada uno de sus trminos o monomios, que pertenece a los nmeros reales.

V(X)= a11 x12+a12 x1x2+ a23 x2x3+ + ann xn2 perteneciente a los nmeros reales.

Toda forma cuadrtica verifica:

V(x)0 x0

V(x)=0 x=0

Podemos agregar que toda forma cuadrtica puede ser escrita en forma vectorial matricial como V(x)=xT Ax donde

Amxn es la matriz asociada a la forma cuadrtica V(x).

A mxn no es nica para una forma cuadrtica V(x).

Esto quiere decir que para una forma cuadrtica hay ms de una A.

FORMA BILINEAL

Definimos como una forma bilineal V(x,y) a una expresin escalar en la que cada trmino o monomio es el producto

de dos variables diferentes, es homogneo y de segundo grado.

CLASIFICACIN DE LAS FORMAS CUADRTICAS

Habamos dicho que una forma cuadrtica nos daba un nmero real. V(x) pertenece a los nmeros reales.

En funcin al valor que toman las formas cuadrticas se realiza la clasificacin.

CLASIFICACIN DE LAS FORMAS CUADRTICAS

1. V(x) se dice definida positiva si V(x)>0, x0. 2. V(x) se dice semidefinida positiva si V(x)0, x0. 3. V(x) se dice definida negativa si V(x)0, A2>0. A3>0 V(x) es definida positiva.

2. Si A10. A30, A2>0. A3>0 y An=0 V(x) es semidefinida positiva.

4. Si A10. A3

1=a1

2=a2

Siendo estas anteriores nmeros reales

n-1 = an-1 jbn -1

n-2 = an-2 jbn -2

donde j = i =

Siendo estas anteriores nmeros complejos

DIAGONALIZACIN DE MATRICES CUADRADAS

Decimos que una matriz cuadrada An es diagonalizable si es posible encontrar otra matriz o una matriz Pn o

invertible (|Pn|0) de tal forma que D = P -1 A P, donde Dn es una matriz diagonal.

Si dado 2 matrices cuadradas An y Bn es posible escribir a Bn como P -1

A P decimos que las matrices son

semejantes.

TEOREMA: 2 matrices semejantes A y B tienen iguales valores propios

| I B| = | I A| = 0

COROLARIO DEL TEOREMA: Si A y D son semejantes, entonces | I A| = | I D| = 0 implica que los

valores propios son iguales.

MATRIZ ORTOGONAL

Se dice que una matriz cuadrada Pn invertible (|Pn| 0) es ortogonal si su inversa es igual a su traspuesta.

VALORES PROPIOS DE UNA MATRIZ ORTOGONAL

Concluimos que los valores propios de una matriz diagonal son los valores de la matriz en su diagonal principal.

Propiedad Importante: En la matriz diagonal, D = DT

DIAGONALIZACIN ORTOGONAL DE UNA MATRIZ SIMTRICA REAL

Teorema: Toda matriz simtrica real es diagonalizable ortogonalmente

Demostracin: Tenemos que D = PTAP

1. Premultiplico P a D y lo mismo al otro miembro

PD=PPTAP

2. Posmultiplico ambos miembros por PT.

PDPT=PP

TAPP

T

3. Si P es ortogonal, por lo tanto PT = P-1

PPT=I entonces P D P

T= IAI

Por lo tanto

A = PDPT (ECUACIN 1)

Aplicando la propiedad (BC)T = CTB

T

(B mxp C pxn) T = C

T nxp B pxm

T

Ambas son conformes al producto.

4. Por lo tanto, aplicamos la propiedad a ambos miembros

AT = (PDP

T)

T

AT = (P

T)

T (PD)

T por la propiedad se mueven

Quedando AT= P

TD

TP

: . DT= D

Y AT=PDP

T (ECUACIN 2)

5. Comparamos la ecuacin 1 y la ecuacin 2, llegando a la conclusin de que A = AT, lo cual implica que A es

una matriz simtrica real.

6. Concluimos que toda matriz simtrica real es diagonalizable ortogonalmente.

CLASIFICACIN DE UNA FORMA CUADRTICA A PARTIR DE LA DIAGONALIZACIN DE LA

MATRIZ SIMTRICA ASOCIADA

Esta solucin se encuentra sustentada en:

1. La clasificacin de una forma cuadrtica a partir de la forma cuadrtica cannica.

2. En que los valores propios de 2 matrices semejantes o similares A y D son iguales (teorema demostrado).

3. En que los valores propios de una matriz diagonal son los propios valores que aparecen en la diagonal

principal en la matriz.

4. En que toda matriz simtrica real es diagonalizable ortogonalmente.

MATLAB

>> % Diagonalizacin ortogonal de una matriz simtrica,

>> A = XXXX

>> [PD]= eig (A) + ENTER

INTRODUCCIN A LOS VECTORES EN R2 Y R3

Las magnitudes se clasifican en:

Variables escalares: definidas por un nmero

Variables vectoriales: definidas por las siguientes caractersticas:

1. Direccin

2. Sentido

3. Punto de aplicacin

4. Mdulo de aplicacin v

Una magnitud vectorial requiere de 2 tratamientos complementarios:

1. ALGEBRACO

2. GEOMTRICO

Un vector de posicin es aquel que se da respecto a un sistema de referencia de eje de coordenadas.

PRODUCTO ESCALAR

Dados 2 vectores A y B en R3

A = axi + ayj + azk que pertenece a un vector

B = bxi + byj + bzk que pertenece a un vector

Definimos como producto escalar o producto punto entre los vectores A y B.

Forma algebraica

A B = axbx + ayby + azbz que pertenece a los nmeros reales

Forma geomtrica

A B = |A||B| cos

< A y B

= 0 donde A B = |A||B|

= 90 donde A B = 0

= 180 donde A B = - |A||B|

ECUACIN DEL PLANO EN R2 Y R3

P1P = (x x1)i + (y y1)j + (z +z1)k

A = ax1 + ayj + azk

El vector A es paralelo a P1P por lo tanto = 90

A P1P = ax (x-x1) + ay(y y1) + az (z z1)= 0

Esto es la ecuacin de un plano

ECUACIN DE LA RECTA

Construimos un vector P1P

P1P que est en A

P1P = +A y puede obtenerse a partir de t E R donde t es un parmetro

(x x1) i + (y- y1) j + (z z1) k = t (axi + ayj + azk)

Si ambos vectores son iguales, entonces sus componentes son iguales y viceversa.

x = x1 + axt

y = y1 + ayt

z = z1 + azt

Lo resaltado es la ecuacin de la recta.

Si ax0 ay0 az

x- x1 / ax = y- y1 / ay = z- z1/az

Esta es la forma simtrica de la ec. De la recta.

PRODUCTO VECTORIAL (o producto cruz)

A x B = i j k

ax ay az

bx by bz

|AXB| = |A||B| sen

Donde theta es el ngulo entre los vectores A y B

PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

Propiedad 1: El vector producto vectorial AXB es perpendicular al plano determinado por los vectores factores

concurrentes de A y B.

Comprobando se da que (A X B) (A+B) = 0 demostrando que AXB es perpendicular al plano.

Propiedad 2: El mdulo del vector producto vectorial AXB es igual al rea de los vectores factores concurrentes

(rea del paralelogramo)

Queda que el rea del tringulo es = |A X B|