Álgebra lineal

7/17/2019 Álgebra Lineal

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Algebra Lineal

Jose Luis Camarillo Nava

Julio de 2015



2



Indice general

1. Sistemas de ecuaciones lineales 5

2. Espacios vectoriales 7

2.1. Espacios vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2. Subespacios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3. Bases y dimension. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4. Coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3. Transformaciones lineales 11

3.1. Definiciones basicas y ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2. Algebra de las transformaciones lineales. . . . . . . . . . . . . 14

3.3. Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4. Transformaciones lineales y matrices . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Anillos de polinomios 25

5. Determinantes 27

6. Diagonalizacion 29

6.1. Origen del concepto de valor propio. . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2. Operadores diagonalizables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.3. Polinomios anuladores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

6.4. Operadores triangulables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486.5. Teorema de los Cırculos de Gershgorin. . . . . . . . . . . . . . 58

6.6. Subespacios independientes. Proyeccion . . . . . . . . . . . . . 58

6.7. Descomposicion de un espacio vectorial en sumas directas in-variantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

7. Formas racional y de Jordan 65

8. Espacios con producto interno 67

3



4 ´ INDICE GENERAL

9. Operadores sobre espacios con producto interno 69

10.Formas bilineales 71



Capıtulo 1

Sistemas de ecuaciones lineales

5



6 CAP ITULO 1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES



Capıtulo 2

Espacios vectoriales

2.1. Espacios vectoriales.

2.2. Subespacios.

2.3. Bases y dimension.

2.4. Coordenadas.

Supongase que F es un cuerpo y que V es un F −espacio vectorial dedimension finita n. Sea B = {α1, α2,...,αn} una base de V sobre F . Ası,cada vector α ∈ V se escribe de forma unica como combinacion lineal de losαi. Es decir, existen escalares unıvocamente determinados, x1, x2,...,xn ∈ F ,tales que:

α = x1α1 + x2α2 + ... + xnαn

A cada vector α ∈ V se le hara corresponder la n−upla (x1, x2,...,xn).A cada xi se le llama la i−esima coordenada de α en la base B. En ciertos

calculos, es conveniente trabajar con la matriz de coordenadas α con respectoa la base B,

αB

, definida por:

αB

=

α1

α2...

αn

Sea ahora B = {α1, α

2,...,αn} otra base de V sobre F y, para cada

α ∈ V , sea:

7



8 CAP ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

αB

=

y1y2...

yn

Se discutira ahora la relacion que existe entre estas dos matrices.Como B es una base de V sobre F , entonces cada vector α

j se escribe deforma unica como combinacion lineal de los αi. Por tanto, existen escalaresunıvocamente determinados P ij ∈ R tales que:

α1 = P 11α1 + P 21α2 + ... + αn1xn

α

2 = P 12α1 + P 22α2 + ... + P n2αn

...

α

n = P 1nα1 + P 2nα2 + ... + P nnαn

Multiplicando por yi ala i−esima ecuacion de esta sistema, se obtiene:

y1α

1 = y1P 11α1 + y1P 21α2 + ... + y1P n1αn

y2α

2 = y2P 12α1 + y2P 22α2 + ... + y2P n2αn...

ynα

n = ynP 1nα1 + ynP 2nα2 + ... + ynP nnαn

Sumando ordenadamente (”por columnas”) se obtiene que:

x = (s1P 11 + s2P 12 + ... + snP 1n)α1 + (s1P 21 + s2P 22 + ... + snP 2n)α2+

... + (s1P n1 + s2P n2 + ... + snP nn)αn

Como los xi son las coordenadas de x en la base B, se deduce que:

y1P 11 + y2P 12 + ... + ynP 1n = x1

y1P 21 + y2P 22 + ... + ynP 2n = x2

...

y1P n1 + y2P n2 + ... + ynP nn = xn

Como F es conmutativo, se puede escribir que:



2.4. COORDENADAS. 9

P 11y1 + P 12y2 + ... + P 1nyn = x1

P 21y1 + P 22y2 + ... + P 2nyn = x2

...

P n1y1 + P n2y2 + ... + P nnyn = xn

Este sistema se puede expresar en forma matricial:

P 11 P 12 . . . P 1nP 21 P 22 . . . P 2n

... ... ...P n1 P n2 . . . P nn

y1y2...

yn

=

x1

x2

...xn

Por tanto, denotando por P a la matriz de escalares P ij, se tiene que:

xB

= P

xB

Analogamente, como B es una base de V sobre F , cada αi se escribede forma unica como combinacion lineal de los α

j; luego, existen escalaresunıvocamente determinados Qij ∈ F tales que:

α1 = Q11α

1 + Q21α

2 + ... + Qn1α

n

α2 = Q12α

1 + Q22α

2 + ... + Qn2α

n

...

αn = Q1nα

1 + Q2nα

2 + ... + Qnnα

n

Sea Q la matriz cuyas entradas son los escalares Qij. Tal y como se de-mostro con la matriz P , de escalares P ij, se demuestra que:

xB = Q

xB

Por tanto, se deduce que:

xB

= P Q

xB

,

xB

= QP

xB

, para todo x ∈ V

Sustituyendo sucesivamente en la primera ecuacion por α = α1, α = α2,...,α = αn, se deduce que P Q = I . Por otro lado, sustituyendo en la segundaecuacion por α = α

1, α = α2,..., α = α

n, se deduce que QP = I .Se ha demostrado el siguiente teorema:



10 CAP ITULO 2. ESPACIOS VECTORIALES

Teorema 2.1. Sea F un cuerpo y V un F −espacio vectorial de dimensi´ on

finita n. Sean B y B dos bases de V sobre F . Entonces, existe una ´ unica matriz inversible n × n, P , con entradas en F , tal que:

xB

= P

xB

, para todo x ∈ M

Adem´ as, la j−esima columna de P es la matriz de coordenadas de α j en

la base B. A la matriz P se le denotar´ a por P B,B y se le llamar´ a la matriz

de paso o cambio de coordenadas de B a B y, se tiene que:

P B,B = P −1B,B

Demostracion:

♠



Capıtulo 3

Transformaciones lineales

3.1. Definiciones basicas y ejemplos.

Definicion 3.1. Sean V, W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo F y T : V −→ W una funci´ on. Se dice que T es una transformaci´ on lineal si, y s´ olo si:

1) T (cα) = cT (α), para todo α ∈ V y para todo c ∈ F .

2) T (α + β ) = T (α) + T (β ), para todo α, β ∈ V .

Ejemplo 1 (Algebra): Sea F un cuerpo y considerense los espacios vecto-riales F n×1 y F m×2. Sea A una matriz m × n sobre F . Entonces, la aplicacionT A : F n×1 −→ F m×1 definida por:

T A(α) = Aα, para cada α ∈ F n×1,

es una transformacion lineal. En efecto, si α, β ∈ F n×1 y c ∈ F , entonces:

T A(cα + β ) = A(cα + β ) = cAα + Aβ = cT A(α) + T A(β )

Observese que, cada elemento de F n×1,es una matriz columna de la forma:

x1

x2

x3...

xn

y su imagen esta definida por:

11



12 CAP ITULO 3. TRANSFORMACIONES LINEALES

T A

x1

x2

x3...

xn

=

A11 A12 A13 . . . A1n

A21 A22 A23 . . . A2n

A31 A32 A33 . . . A3n...

... ...

. . . ...

Am1 Am2 Am3 . . . Amn

x1

x2

x3...

xn

Teorema 3.1. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y B = {α1, α2,...,αn} una base de V sobre F . Sea W otro espacio

vectorial sobre F y β 1, β 2,...,β n ∈ W . Entonces, existe una ´ unica transfor-maci´ on lineal, T : V −→ W , tal que:

T (α1) = β 1, T (α2) = β 2,...,T (αn) = β n

Demostacin:

♠

Teorema 3.2. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo F y T : V −→ W una transformaaci´ on lineal. Entonces:

1) T (0V ) = 0W .

2) El conjunto Ker(T ) definido por:

Ker(T ) = {α ∈ V : T (α) = 0W },

es un subespacio de V .

3) T (−α) = −T (α), para todo α ∈ V .

3) El conjunto Im(T ) definido por:

Im(T ) = {β ∈ W : β = T (α), para alg´ un α ∈ V },

es un subespacio de W .

Al conjunto Ker(T ) suele llamarse el espacio nulo de T o, m´ as frecuen-temente, el n´ ucleo de T . Por otro lado, al conjunto Im(T ) se le suele llamar la imagen de T .



3.1. DEFINICIONES B ASICAS Y EJEMPLOS. 13

Demostacin:

♠

Teorema 3.3. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo F y sea T : V −→ W una transformaci´ on lineal. Si V es de dimensi´ on finita,entonces:

dimF (Im(T )) + dimF (Ker(T )) = dimF (V )

Demostacion: Como V es de dimension finita (por hiptesis), se tiene en-tonces que K er(T ) tambien es de dimension finita. Sea k = dimF (Ker(T )) y

BKert(T ) = {α1, α2,...,αk} una base de Ker(T ). Esta base se puede completara una base de V , es decir, existen vectores αk+1, αk+2,...,αn ∈ V tales queB = {α1, α2,...,αk, αk+1, αk+2,...,αn} es una base de V . Se demostrara ahoraque BIm(T ) = {T (αk+1), T (αk+2),...,T (αn)} es una base de I m(T ). En efecto,si β ∈ I m(T ), entonces existe un α ∈ V tal que :

β = T (α)

Por otro lado, como B es una base de V , entonces existen escalaresc1, c2,...,ck, ck+1, ck+2,...,cn ∈ F tales que:

α = c1α1 + c2α2 + ... + ckαk + ck+1αk+1 + ck+2αk+2 + ... + cnαn

⇒ T (α) = c1T (α1)+c2T (α2)+...+ckT (αk)+ck+1T (αk+1)+ck+2T (αk+2)+...+cnT (αn)

Lo que implica, por ser BKer(T ) una base de Ker(T ), que:

⇒ β = ck+1T (αk+1) + ck+2T (αk+2) + ... + cnT (αn)

Por tanto, BIm(T ) es un conjunto de generadores de Im(T ). Que el conjunto BIm(T ) es linealmente independiente sobre F se sigue de lo siguiente:

Supngase que se tiene una combinacion lineal del tipo:

ak+1T (αk+1) + ak+2T (αk+2) + ... + anT (αn) = 0W

⇒ T (ak+1αk+1 + ak+2αk+2 + ... + anαn) = 0W

⇒ ak+1αk+1 + ak+2αk+2 + ... + anαn ∈ K et(T ),




lo que implica que existen escalares b1, b2,...,bk ∈ F tales que: S

ak+1αk+1 + ak+2αk+2 + ... + anαn = b1α1 + b2α2 + ... + bkαk

⇒ b1α1 + b2α2 + ... + bkαk + (−ak+1)αk+1 + (−ak+2)αk+2 + ... + (−an)αn = 0V

lo que implica, por ser B una base de V , que:

b1 = b2 = ... = bk = −ak+1 = −ak+2 = ... = −an = 0

⇒ ak+1 = ak+2 = ... = an = 0

lo que demuestra que el conjunto BIm(T ) es un conjunto de vectores quees linealmente independientes sobre F .

En consecuencia, se tiene que:

dimF (Im(T )) = |BIm(T )| = n − k = dimF (V ) − dimF (Ker(T ))

⇒ dimF (Im(T )) + dimF (Ker(T )) = dimF (V )

♠

3.2. Algebra de las transformaciones lineales.

Teorema 3.4. ean V, W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo F y H omF (V, W )el conjunto de todas las transformaciones lineales de V en W :

HomF

(V, W ) = {T : V −→ V |T es lineal }

Entonces, se tiene lo siguiente:

1) Si T 1, T 2 ∈ HomF (V, W ), entonces la funci´ on T 1 + T 2 : V −→ W definida por:

(T 1 + T 2)(α) = T 1(α) + T 2(α), α ∈ V

es una transformaci´ on lineal.



3.2. ´ ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES. 15

2) Si c ∈ F y T ∈ HomF (V, W ), entonces la funci´ on c · T : V −→ W

definida por:

(c · T )(α) = cT (α), α ∈ V,

es una transformaci´ on lineal.

3) El conjunto H omF (V, W ) es un espacio vectorial sobre el cuerpo F bajolas operaciones definidas en 1) y 2).

Demostacion:

♠

Teorema 3.5. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo F . Si V y W son de dimensi´ on finita sobre F , entonces HomF (V, W ) tambien lo es y adem´ as:

dimF (HomF (V, W )) = dimF (V ) · dimF (W )

Demostacion: En efecto, como V y W son espacios vectoriales de dimen-sion finita (por hipotesis), se tiene que dimF (V ) = n y que dimF (V ) = m,

con n, m ∈ N. Sean ahora B = {α1, α2,...,αn} una base de V sobre F , yB = {β 1, β 2,...,β m} una base de W sobre F .

Ahora bien, por el Teorema 3.1, existen transformaciones lineales:

T 11, T 12,...,T 1m : V −→ W,

tales que:

T 11(α1) = β 1, T 11(α2) = 0W ,...,T 11(αn) = 0W

T 12(α1) = β 2, T 12(α2) = 0W ,...,T 12(αn) = 0W

...

T 1m(α1) = β m, T 1m(α2) = 0W ,...,T 1m(αn) = 0W

Analogamente, por el Teorema 3.1, existen m transformaciones lineales:

T 21, T 22,...,T 2m : V −→ W,

tales que:




T 21(α1) = 0W , T 21(α2) = β 1,...,T 21(αn) = 0W

T 22(α1) = 0W , T 22(α2) = β 2,...,T 22(αn) = 0W

...

T 2m(α1) = 0W , T 2m(α2) = β m,...,T 2m(αn) = 0W

Siguiendo ası, para cada i ∈ {1, 2,...,n}, al llegar al ındice i = n, se tienenm transformaciones lineales:

T n1, T n2,...,T nm : V −→ W,

tales que:

T n1(α1) = 0W , T n1(α2) = 0W ,...,T n1(αn) = β 1

T n2(α1) = 0W , T n2(α2) = 0W ,...,T n2(αn) = β 2...

T nm(α1) = 0W , T nm(α2) = 0W ,...,T nm(αn) = β m

Observese que, si α ∈ V y si α se escribe en la forma α = n

k=1 ckαk, con

ck ∈ F , entonces:

T ij(α) = ciβ j

Se demostrara que el conjunto formado por estas nm transformaciones li-neales, B = {T ij : 1 i n, 1 j m}, forman una base de H omF (V, W ).

Sea T ∈ HomF (V, W ). Se debe demostrar que T es combinacion linealde las nm transformaciones lineales T ij. Para cada i, sean λi1, λi2,...,λin lascoordenadas de T (αi) en la base B:

T (α1) = λ11β 1 + λ12β 2 + ... + λ1mβ mT (α2) = λ21β 1 + λ22β 2 + ... + λ2mβ m

...

T (αn) = λn1β 1 + λn2β 2 + ... + λnmβ m

Se demostrara que:

T =

1in,1 jm

λijT ij



3.2. ´ ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES. 17

En efecto, si α ∈ V y si α se escribe en la forma α = n

i=1 ciαi, entonces:

T (α) =ni=1

ciT (αi)

⇒ T (α) =ni=1

ci(λi1β 1 + λi2β 2 + ... + λimβ m)

T (α) =ni=1

(λi1ciβ 1 + λi2ciβ 2 + ... + λimciβ m)

⇒ T (α) =

ni=1

(λi1T i1(α) + λi2T i2(α) + ... + λimT im(α))

⇒ T (α) =

ni=1

(λi1T i1 + λi2T i2 + ... + λimT im)

(α)

⇒ T (α) =

1in,1 jm

λijT ij

(α)

Se demostrara ahora que las T ij son linealmente independientes sobre F .En efecto, supongase que existen escalares cij ∈ F tales que:

1in,1 jm

cijT ij = 0HomF (V,W )

⇒

1in,1 jm

cijT ij

(α) = 0W , para todo α ∈ V

En particular, tomando α = α1, α = α2,...,α = αn, resulta el sistema deecuaciones:

ni=1

(ci1T i1(α1) + ci2T i2(α1) + ... + cimT im(α1)) = 0W

ni=1

(ci1T i1(α2) + ci2T i2(α2) + ... + cimT im(α2)) = 0W

...ni=1

(ci1T i1(αn) + ci2T i2(αn) + ... + cimT im(αn)) = 0W




de donde resulta que:

c11β 1 + c12β 2 + ... + c1mβ m = 0W

c21β 1 + c22β 2 + ... + c2mβ m = 0W

...

cn1β 1 + cn2β 2 + ... + cnmβ m = 0W

Como los β j son linealmente independientes sobre F , resulta que cij = 0para todo i y pra todo j.

♠

Teorema 3.6. Sean V, V , V espacios vectoriales sobre el cuerpo F . Sean T 1 : V −→ V y T 2 : V −→ V dos transformaciones lineales. Entonces, la composici´ on T 2 ◦ T 1 es una transformaci´ on lineal de V en V .

Demostacion:

♠

Teorema 3.7. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F . Para cada T, T 1, T 2 ∈ H omF (V, V ) y, para cada c ∈ F , se tiene que:

1) I ◦ T = T ◦ I = T .

2) T ◦ (T 1 + T 2) = T ◦ T 1 + T ◦ T 2.

3) c(T 1 ◦ T 2) = (cT 1) ◦ T 2 = T 1 ◦ (cT 2)

Demostacion:

♠

Teorema 3.8. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo F y T : V −→ W una transformaci´ on lineal. Entonces, T es inyectiva si, y s´ olo,si Ker(T ) = {0V }

Demostacion:

♠



3.3. ISOMORFISMOS. 19

Teorema 3.9. Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo F y

T : V −→ W una transformaci´ on lineal. Si T es inversible, entonces T −1tambien es una transformaci´ on lineal.

Demostacion:

♠

Teorema 3.10. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensi´ on finita sobre el cuerpo F tal que dimF (V ) = dimF (W ). Sea T : V −→ W una transformaci´ on lineal. Las siguienes condiciones son equivalentes:

1) T es inversible.

2) T es inyectiva.

3) T es sobreyectiva.

Demostacion:

♠

Teorema 3.11. Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensi´ on finita sobre el cuerpo F tal que dimF (V ) = dimF (W ). Sea T : V −→ W una

transformaci´ on lineal. Las siguienes condiciones son equivalentes:

1) T es inversible.

2) T transforma cualquier base de V en una base de W .

Demostacion:

♠

3.3. Isomorfismos.

3.4. Transformaciones lineales y matrices

Sean V y W espacios vectoriales de dimension finita sobre el cuerpo F ,con dimF (V ) = n y dimF (W ) = m. Supongase que T : V −→ W es unatransformacion lineal. Sean B = {α1, α2,...,αn} una base de V sobre F yB = {β 1, β 2,...,β m} una base de W sobre F . Entonces, la accion de T sobrecada vector de V se puede expresar como la multiplicacion por una matriz




fija, A, de dimensiones m × n, con escalares en el cuerpo F . En efecto, la

accion de T esta determinada por la manera en que actua sobre los vectoresde la base B . Cada vector T (α j) es una combinacion lineal de los vectores β i.Mas precisamente, para cada j ∈ {1, 2,...,n}, existen escalares unıvocamentedeterminados, A1 j, A2 j,...,Amj ∈ F , tales que:

T (α j) = A1 jβ 1 + A2 jβ 2 + ... + Amjβ m

Es decir:

T (α1) = A11β 1 + A21β 2 + ... + Am1β m

T (α2) = A12β 1 + A22β 2 + ... + Am2β m...

T (αn) = A1nβ 1 + A2nβ 2 + ... + Amnβ m

Ahora bien, cada vector α ∈ V se escribe de forma unica como combina-cion lineal de los vectores de la base B. Es decir, existen escalares unıvoca-mente determinados x1, x2,...,xn ∈ F tales que:

α = x1α1 + x2α2 + ... + xnαn

Luego:

T (α) = x1T (α1) + x2T (α2) + ... + xnT (αn)

Ahora bien, observese que:

x1T (α1) = x1A11β 1 + x1A21β 2 + ... + x1Am1β m

x2T (α2) = x2A12β 1 + x2A22β 2 + ... + x2Am2β m...

xnT (αn) = xnA1nβ 1 + xnA2nβ 2 + ... + xnAmnβ m

Sumando miembro a miembro las ecuaciones anteriores, se obtiene, alhacerlo ”por columnas”, que:

T (α) = (x1A11 + x2A12 + ... + xnA1n)β 1 + (x1A21 + x2A22 + ... + xnA2n)β 2 + ...+

... + (x1Am1 + x2Am2 + ... + xnAmn)β m

Por tanto, se tiene que:



3.4. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 21

T (α)

B

=

x1A11 + x2A12 + . . . xnA1n

x1A21 + x2A22 + . . . xnA2n...

x1Am1 + x2Am2 + . . . xnAmn

⇒

T (α)B

=

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n...

... ...

Am1 Am2 . . . Amn

x1

x2...

xn

Equivalentemente:

⇒

T (α)B

= A

αB

Observese que la j −esima columna de la matriz A tiene por entradas lascoordenadas del vector T (α j) en la base B.

Se ha demostrado el siguiente:

Teorema 3.12. Sean V y W espacios vectoriales de dimensi´ on finita sobre el cuerpo F , con dimF (V ) = n y dimF (W ) = m. Sup´ ongase que T : V −→ W es una transformaci´ n lineal. Sean B = {α1, α2,...,αn} una base de V sobre F y B = {β 1, β 2,...,β m} una base de W sobre F . Entonces, existe una ´ unica

matriz m × n, A, con escalares en el cuerpo F , tal que:T (α)

B

= A

αB

, para todo α ∈ V

La j −esima columna de la matriz A es la matriz columna (T (α j))B , es decir,la matriz de coordenadas del vector T (α j) en la base B. La matriz A suele llamar´ asele la matriz que representa a T en las bases B y B y ser´ a denotada por

A =

T

B,B

Demostacion:

♠

Corolario 3.1. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F . Sup´ ongase que T : V −→ V es una transformaci´ on lineal. Sea B una base de V sobre F .Entonces, existe una ´ unica matriz n × n, A, con escalares en el cuerpo F , tal que:

T (α)

B

= A

αB





La j −esima columna de la matriz A es la matriz columna (T (α j))B, es decir,

la matriz que tiene por entradas las coordenadas del vector T (α j) en la base B. La matriz A suele llamar´ asele la matriz que representa a T en la

base B y ser´ a denotada por

A =

T B

Teorema 3.13. Sean V y W espacios vectoriales de dimensi´ on finita sobre el cuerpo F , con dimF (V ) = n y dimF (W ) = m. Sup´ ongase que T : V −→ W es una transformaci´ on lineal. Sean B y B bases de V sobre F y, sean C y C bases de W sobre F . Entonces, se tiene que:

T B,C

= P C,C

T B,C

P B,B

Demostacion: En efecto, sea α ∈ V . Entonces, se tiene que:

(T (α))C = (T )B,C (α)B

Ahora bien, aplicando el teorema del cambio de base (a las bases B y B ),se tiene que:

(α)B = P B,B(α)B

Por otro lado, aplicando el teorema del cambio de base (a las bases C yC ), se tiene que:

(T (α))C = P C ,C (T (α))C


P C ,C (T (α))C = (T )B,C P B,B(α)B

⇒ (T (α))C = P −1C ,C (T )B,C P B,B(α)B

⇒ (T (α))C = P C,C (T )B,C P B,B(α)B, para todo α ∈ V

⇒ (T )B,C = P C,C (T )B,C P B,B

♠



3.4. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 23

Corolario 3.2. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el

cuerpo F . Sup´ ongase que T : V −→ V es una transformaci´ on lineal. Sean By B dos bases de V sobre F . Entonces, se tiene que:

T B

= P −1B,B

T B

P B,B

Demostacion:

♠

Teorema 3.14. Sea F un cuerpo y A, A ∈ Mn×n(F ). Sup´ ongase que existe una matriz inversible P ∈ Mn×n(F ) tal que A = P −1AP . Entonces, existe

una transformaci´ on lineal T : F n×1 −→ F n×1 y dos bases de F n×1, B y B,tales que: A = (T )B y A = (T )B.

Demostacion: En efecto, sea B = {e1, e2,...,en} la base canonica deF n×1. Sea T : F n×1 −→ F n×1 la transformacion lineal definida por:

T

x1

x2...

xn

= A

x1

x2...

xn

Entonces, dado que Ae j = j −esima columna de A, es claro que A = (T )B .Supongase ahora que la matriz P tiene la forma:

P =

P 11 P 12 . . . P 1nP 21 P 22 . . . P 2n

... ...

. . . ...

P n1 P n2 . . . P nn

Sea α j la j−esima columna de P :

α1 =

P 11P 21

...P n1

, α2 =

P 12P 22

...P n2

,...,αn =

P 1nP 2n

...P nn

,

Entonces, dado que P es inversible (por hipotesis), se tiene que el conjuntoB = {α1, α2,...,αn} es una base de F n×1. Ademas, es claro que P = P B,B.Por tanto, se tiene que:

(T )B = P −1B,B(T )BP B,B = P −1AP = A




♠



Capıtulo 4

Anillos de polinomios

25



26 CAP ITULO 4. ANILLOS DE POLINOMIOS



Capıtulo 5

Determinantes

27



28 CAP ITULO 5. DETERMINANTES



Capıtulo 6

Diagonalizacion

6.1. Origen del concepto de valor propio.

6.2. Operadores diagonalizables.

Definicion 6.1. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V una transformaci´ on lineal. Se dice que T es diago-nalizable si, y s´ olo, si existe una base ordenada de V , B, tal que la matriz que representa a T en la base B, (T )B, es una matriz diagonal.

Observese que, en tal caso, si B = {α1, α2,...,αn} es una base de V sobreF en la que T es diagonalizable, entonces se tiene que:

T B

=

λ1 0 00 λ2 0...

... ...

0 0 . . . λn

, λ j ∈ F

La definicion de (T )B implica que:

T (α j) = λ jα j, para cada j

Definicion 6.2. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y T : V −→ V una transformaci´ on lineal. Se dice que un vector no nulo, α ∈ V , es un vector propio de T si , y s´ olo, si existe un escalar λ ∈ F tal que:

T (α) = λα

En tal caso, se dice que un tal λ es un valor propio de T asociado a α.

29



30 CAP ITULO 6. DIAGONALIZACI ´ ON

Teorema 6.1. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F , T : V −→ V

una transformaci´ on lineal, y λ ∈ F . Entonces, el conjunto:

W λ = {α ∈ V : T (α) = λα}

es un subespacio de V , se le llama el subespacio de vectores propios

de T asociados a λ.

Demostacion:

♠

Teorema 6.2. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita sobre el cuer-po F , T : V −→ V una transformaci´ on lineal, y λ ∈ F . Las siguientes condiciones son equivalentes:

1) λ es un valor propio de T .

2) El operador lineal T − λI es no inversible.

3) El operador lineal λI − T es no inversible.

4) det(λI − T ) = 0.

5) det(T − λI ) = 0.

Demostacion:

♠

Ahora bien, si V es un espacio vectorial de dimension finita n, la accion deuna transformacion lineal, T : V −→ V , es la multiplicacion por una matrizn × n, A. Ası, si B una base de V sobre F y A = (T )B, entonces un vector nonulo α ∈ V es un vector propio de T si, y solo si, el vector columna (α)B esun vector propio de T A: el operador de F n×1 definido como la muliplicacion

por A. Analogamente, un escalar λ ∈ F es un valor propio de T si, y solo, sies un valor propio de T A.En resumen, para conocer la accion de T , en lugar de trabajar directamen-

te con el F −espacio vectorial V , se trabaja (en esencia) con F n×1. Observeseque la condicion (4) del teorema anterior es equivalente a:

det(λI − A) = 0

El miembro derecho de esta ecuacion es un polinomio monico de grado nespecializado en λ. Concretamente, se tiene el siguiente teorema:



6.2. OPERADORES DIAGONALIZABLES. 31

Teorema 6.3. Sea F un cuerpo y A una matrix n × n con entradas en F .

Para cada x ∈ F , sea f A,F (x):

f A,F (x) = det(xI − A)

Entonces, se tiene que:

f A,F (x) = xn + (−1)n−1T r(A)xn−1 + ... + c1x + (−1)ndet(A)

Demostacion:

♠

Definicion 6.3. Sea F un cuerpo y A una matriz n × n con entradas en F .Un vector no nulo α ∈ F n×1 se dice que es un vector propio de A si, y s´ olo,si existe un escalar λ ∈ F tal que:

Aα = λα

En tal caso, se dice que λ es un valor propio de A asociado al vector α.

Teorema 6.4. Sea F un cuerpo y A una matriz n × n con entradas en F .

Entonces, un escalar λ ∈ F es un valor propio de A si, y s´ olo, si λ es raz de la ecuaci´ on:

det(xI − A) = 0

Tal ecuaci´ on se le llama ecuaci´ on caracterıstica de A y al polino-mio que aparece en el miembro izquierdo,f A,F (x) = det(xI − A), se le llama polinomio caracterıstico de A.

Demostacion:

♠

Teorema 6.5. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita sobre el cuerpoF y T : V −→ V una tarnsformaci´ on lineal. Sup´ ongase que B y B son bases de V sobre F y sean A = (T )B y A = (T )B. Entonces, A y A tienen el mismo polinomio caracterıstico.

Demostacion: En efecto, pues se tiene que:

A = P −1B,B · A · P B,B




⇒ xI − A

= xI − P −1B,B · A · P B,B

⇒ xI − A = P −1B,B · (xI − A) · P B,B

⇒ det(xI − A) = det(P −1B,B · (xI − A) · P B,B)

⇒ det(xI − A) = det(P −1B,B) · det((xI − A)) · det(P B,B)

⇒ det(xI − A) = det(xI − A)

f A,F (x) = f A,F (x)

♠

Por tanto, puede enunciarse la siguiente:

Definicion 6.4. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita sobre el cuer-po F y T : V −→ V una tarnsformaci´ on lineal. El polinomio caracterısticode T es el polinomio caracterıstico de cualquier matriz que represente a T en

una base elegida y se denotar´ a por f T,F (X )

Definicion 6.5. Sea A una matriz n × n sobre el cuerpo F . Se dice que Aes diagonalizable si , y s´ olo, si A representa a alg´ un operador diagonalizable T : F n×1 −→ F n×1.

Es inmediato el siguiente:

Teorema 6.6. Sea A una matriz n × n sobre el cuerpo F . Entonces, A es diagonalizable si, y s´ olo si, existe una matriz inversible n×n, P , con entradas en F , tal que P −1AP es una matriz diagonal.

Demostacion:

♠

Teorema 6.7. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y sup´ ongase que T : V −→ V es una aplicaci´ on lineal. Sean α1, α2,...,αm vectores propios de T , cuyos valores propios son λ1, λ2,...,λm, respectivamente. Si estos valores propios son distintos entre sı, entonces los α j son linealmente independientes sobre F .




Demostacion: Sea hara una demostracion procediendo por induccion

sobre m. Si fuese m = 1, entonces el teorema obviamente se cumple: puescualquier vector propio es no nulo y, por tanto, linealmente independiente.Supongase que m 2 y que existen escalares c1, c2,...,cm ∈ F tales que:

c1α1 + c2α2 + ... + cmαm = 0V (∗)

Se debe demostrar que c1 = c2 = ... = cm = 0. En efecto, multiplicandola ecuacion (∗) por λ1 se obtiene:

c1λ1α1 + c2λ1α2 + ... + cmλ1αm = 0V (∗∗)

Por otro lado, al aplicar T en ambos miembros de (∗) se obtiene:

c1λ1α1 + c2λ2α2 + ... + cmλmαm = 0V (∗ ∗ ∗)

Restando las ecuaciones (∗∗) y (∗ ∗ ∗) se obtiene:

c2(λ1 − λ2)α2 + ... + cm(λ1 − λm)αm = 0V

Ahora bien, como los m − 1 vectores α2,...,αm estan asociados a valorespropios distintos (por hipotesis) entonces se puede aplicar hipotesis inductiva

para concluir que son linealmente independientes sobre F . Luego, la ecuacionanterior implica que c2(λ1 − λ2) = ... = cm(λ1 − λm) = 0 y ası, dado queλ1 − λ2 = 0,...,λ1 − λm = 0 (por hipotesis), resulta que c2 = ...cm = 0 lo queimplica por (∗) y por ser α1 no nulo, que c1 = 0

♠

Teorema 6.8. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y sup´ ongase que T : V −→ V es una aplicaci´ on lineal. Sea λ ∈ F un valor propio de T y r la multiplicidad algebraica de λ como raız del polinomiocaracterıstico de T . Entonces, se tiene que:

dimF (W λ) r

Demostacion: Sea s = dimF (W λ) y Bλ = {α1, α2,...,αs} una base deW λ sobre F . La base Bλ se puede completar a una base de V :

B = {α1, α2,...,αs, αs+1,...,αn}

Ası, la matriz de T en la base B es de la forma:




T B

=

λ 0 . . . 0 A11 A12 . . . A1s0 λ . . . 0 A21 A22 . . . A2s...

... . . .

... ...

... . . .

...0 0 . . . λ As1 As2 . . . As×(n−s)

0 0 . . . 0 B11 B12 . . . B1s

0 0 . . . 0 B21 B22 . . . B2s...

... . . .

... ...

... . . .

...0 0 . . . 0 Bs1 Bs2 . . . B(n−s)×(n−s)


f T,F (X ) = (X − λ)sf B,F (X )

Pero, por ser r la multiplicidad algebraica de λ, se sigue que s r

♠

Teorema 6.9. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita sobre el cuerpoF y sup´ ongase que T : V −→ V es una aplicaci´ on lineal. Sean λ1, λ2,...,λklos valores propios distintos de T y sea W = W λ1 +W λ2 + ...+W λk . Entonces:

1) Si Bλ1 , Bλ2,...,Bλk son bases de W λ1, W λ2,...,W λk, respectivamente, en-

tonces Bλ1 ∪ Bλ2 ∪ ... ∪ Bλk es una base de W .

2) dimF (W ) = dimF (W λ1) + dimF (W λ2) + ... + dimF (W λk)

Demostacion:

♠

Teorema 6.10. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita sobre el cuer-po F y sup´ ongase que T : V −→ V es una aplicaci´ on lineal. Sean λ1, λ2,...,λklos valores propios distintos de T . Las siguientes condiciones son equivalen-

tes:

1) T es diagonalizable.

2) W λ1 + W λ2 + ... + W λk = V

3) La dimensi´ on geometrica de cada λ j, dimF (W λj), es igual a su multi-plicidad algebraica.

4) dimF (W λ1) + dimF (W λ2) + ... + dimF (W λk) = dimF (V )




En tales condiciones, el polinomio caracterıstico de T es:

f T,F (X ) = (X − λ1)dimF (W λ1) · (X − λ2)dimF (W λ2) · · · (X − λk)dimF (W λk)

Demostacion: (1) ⇒ (2) : Como T es diagonalizable (por hipotesis)entonces existe una base de V , B = {α1, α2,...,αn}, tal que (T )B es unamatriz diagonal y cada α j es un vector propio de T . Ası, cada vector α ∈ V se escribe en la forma:

α = c1α1 + c2α2 + ... + cnαn, c j ∈ F

Como cada α j esta asociado a algun valor propio λ ji se deduce que cadavector α ∈ V pertenece a la suma W λj1 + W λj2 + ... + W λjn . Por tanto, setiene que V = W λ1 + W λ2 + ... + W λk

(2) ⇒ (3) : En efecto, sea r j la multiplicidad algebraica de λ j. Suponien-do (por reduccion al absurdo) que dimF (W λj) < para algun j, entonces setendrıa que:

dimF (W λ1) + dimF (W λ2) + ... + dimF (W λk) < r1 + r2 + ... + rk

lo que implica (por el Teorema anterior) que

dimF (W λ1 + W λ2 + ... + W λk) < r1 + r2 + ... + rk

⇒ dimF (W λ1 + W λ2 + ... + W λk) < n

lo que implica, por ser V = W λ1 + W λ2 + ... + W λk (por hipotesis) quedimF (V ) < n lo cual es contradictorio.

(3) ⇒ (4) : En efecto, pues la hipotesis de (3) implica que

f T,F (X ) = (X − λ1)dimF (W λ1) · (X − λ2)dimF (W λ2) · · · (X − λk)dimF (W λk)

Al tomar grados en ambos miembros de esta ecuacion, se deduce que

dimF (V ) = dimF (W λ1) + dimF (W λ2) + ... + dimF (W λk)

(4) ⇒ (1) : Sea Bλ1 una base de W λ1, Bλ2 una base de W λ2,..., Bλk unabase de W λk . Sea B = Bλ1 ∪ Bλ2... ∪ Bλk . Entonces, como en la demostracion




del teorema anterior, se tiene que B es una base de W λ1 + W λ2 + ... + W λk .

Ahora bien, observese que :

|B| = |Bλ1| + |Bλ2| + ... + |Bλk |

⇒ |B| = dimF (W λ1) + dimF (W λ2) + ... + dimF (W λk)

lo que implica, por la hipotesis de (4), que |B| = dimF (V ); luego B debeser una base de V y , dado que cada elemento de esta base es obviamente unvector propio de T , se deduce que T es diagonalizable.

♠

Teorema 6.11. Sea A una matriz n × n sobre el cuerpo F . Las siguientes condiciones son equivalentes:

1) A es diagonalizable.

2) A tiene n vectores propios linealmente indendientes sobre F .

En tal caso, si λ1, λ2,...,λn son los valores propios de A y si P una matriz que tiene por columnas cualesquiera n vectores caracterısticos linealmente independientes de A, entonces:

P −1AP =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

... . . .

...0 0 . . . λn

Demostacion: En efecto, sean α1, α2,...,αn vectores caracterısticos de A

linealmente independientes y asociados, respectivamente, a los valores propiosλ1, λ2,...,λn. Escrıbiendo los vectores αi en la forma:

α1 =

P 11P 21

...P n1

, α2 =

P 12P 22

...P n2

,...,αn =

P 1nP 2n

...P nn

,

La matriz P es entonces:

P =

P 11 P 12 . . . P 1nP 21 P 22 . . . P 2n

... ...

... ...

P n1 P n2 . . . P nn



6.3. POLINOMIOS ANULADORES. 37

Observese que, para cada j, se tiene que:

Aα j = λ jα j =

λ jP 1 jλ jP 2 j

...λ jP nj


AP =

λ1P 11 λ2P 12 . . . λnP 1nλ1P 21 λ2P 22 . . . λnP 2n

... ...

... ...

λ1P n1 λ2P n2 . . . λnP nn

Por otro lado, es claro que:

P D =

λ1P 11 λ2P 12 . . . λnP 1nλ1P 21 λ2P 22 . . . λnP 2n

... ...

... ...

λ1P n1 λ2P n2 . . . λnP nn

⇒ AP = P D

P −1AP = D

♠

6.3. Polinomios anuladores.

Definicion 6.6. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal.Sea p(X ) ∈ F [X ] el polinomio definido por:

p(X ) = crX r + cr−1X r−1 + ... + c2X 2 + c1X + c0

Entonces, se define p(T ) por:

p(T ) = crT r + cr−1T r−1 + ... + c2T 2 + c1T + c0I

Es decir, para cada α ∈ V , se tiene que:

[ p(T )](α) = cr[T r](α) + cr−1[T r−1](α) + ... + c2[T 2](α) + c1T (α) + c0α




Definicion 6.7. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y T : V −→ V

un operador lineal. Sea p(X ) ∈ F [X ].Se dice que p(X ) anula a T si, y s´ olo,si p(T ) = 0HomF (V,V ), es decir, si [ p(T )](α) = 0V pata todo α ∈ V .

Teorema 6.12. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal. Sea I T,F el conjunto de todos los polinomios de F [X ] que anulan a T :

I T,F = { p(X ) ∈ F [X ] : p(T ) = 0HomF (V,V )}

Entonces, I T,F es un ideal de F [X ].

Demostacion:

♠

Teorema 6.13. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal. Entonces I T,F es un ideal nonulo de F [X ].

Demostacion: En efecto, se sabe que HomF (V, V ) es un espacio vecto-rial sobre el cuerpo F y , ademas, es de dimension n2. Luego, el conjunto{I , T , T 2, T 3,...,T n

2

} es un conjunto de vectores linealmente dependiente so-

bre F . Por tanto, existen escalares no todos nulos c0, c1, c2,...,cn2 ∈ F talesque:

c0I + c1T + c2T 2 + ... + cn2T n2

= 0HomF (V,V )

Por tanto, el polinomio p(X ) = c0I + c1X + c2X 2 + ... + cn2X n2

es no nuloy anula a T .

♠

Recuerde que, si F es un cuerpo, entonces F [X ] es un dominio de ideales

principales. Concretamente, todo ideal I de F [X ] esta generado por un unicopolinomio monico con coeficientes en F , p I (X ) llamado el polinomio minimalde I pues es el polinomio de menor grado que pertenece a I . En consecuencia,se sigue inmediatamente del teorema anterior el siguiente teorema:

Teorema 6.14. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal. Entonces existe un ´ unico poli-nomio m´ onico pT,F (X ) ∈ I T,F tal que:

1) I T,F =< pT,F (X ) >= { pT,F (X )f (X ) : f (X ) ∈ F [X ]}.




2) deg( pT,F (X )) deg(g(X )), para todo g(X ) ∈ I T,F .

Al polinomio pT,F (X )) se le llama el polinomio minimal de T so-

bre F .

Demostacion:

♠

Si V es un espacio vectorial de dimension finita n sobre el cuerpo F entonces es claro, en virtud del isomorfismo entre H omF (V, V ) y Mn×n(F ),que puede definirse de forma analoga, para cada matriz A ∈ Mn×n(F ), el

conjunto de todos los polinomios con coeficientes en F que anulan a A:

I A,F = { p(X ) ∈ F [X ] : p(A) = 0Mn×n(F )}

Ası, el polinomio mininal de A sobre F es el unico generador monico dellideal I F y sera denotado por pA,F (X ).

Teorema 6.15. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal. Sea B = {α1, α2,...,αn} una base de V sobre F y A = (T )B.Entonces, se tiene que:

1) ( p(T ))B = p(A), para todo p(X ) ∈ F [X ]

2) I T,F = I A,F .

3) pT,F (X ) = pA,F (X ).

Demostacion: (1) : En efecto, supongase que p(X ) se escribe en la forma:

p(X ) = c0 + c1X + c2X 2 + ... + crX r

Entonces, para cada α ∈ V , se tiene que:

([ p(T )](α))B = (c0α + c1T (α) + c2T 2(α + ... + crT r(α))B

⇒ ([ p(T )](α))B = (c0α + c1T (α) + c2T 2(α) + ... + crT r(α))B

⇒ ([ p(T )](α))B = (c0α)B + (c1T (α))B + (c2T 2(α))B + ... + (crT r(α))B




⇒ ([ p(T )](α))B = c0(α)B + c1(T (α))B + c2(T 2(α))B + ... + cr(T r(α))B

⇒ ([ p(T )](α))B = c0(α)B + c1A((α))B + c2A2((α))B + ... + crAr((α))B

⇒ ([ p(T )](α))B = (c0I + c1A + c2A2 + ... + crAr)(α)B

⇒ ([ p(T )](α))B = p(A)(α)B, para todo α ∈ V

⇒ ( p(T ))B = p(A)

(2) : Pues, por lo demostrado en (1), se tiene que:

p(X ) ∈ I T,F ⇐⇒ p(T ) = 0HomF (V,V )

⇐⇒ [ p(T )](α) = 0V , para todo α ∈ V

⇐⇒ ([ p(T )](α))B =

00...0


⇐⇒ p(A)(α)B =

00...0

, para todoalpha ∈ V

⇐⇒ p(A) = 0Mn×n(F )

⇐⇒ p(X ) ∈ I A,F

♠




Teorema 6.16. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y T : V −→ V

un operador lineal. Sean λ ∈ F y α ∈ V tales que T (α) = λα. Entonces, si p(X ) ∈ F [X ], se tiene que:

[ p(T )](α) = p(λ)α


1) Si λ es un valor propio de T asociado a α, entonces p(λ) es un valor propio de p(T ) asociado a α.

2) Si α es un vector propio de T asociado a λ, entonces α es un vector

propio de p(T ) asociado a p(λ).

Demostacion: Al escribir p(X ) en la forma

p(X ) = c0 + c1X + c2X 2 + ... + crX r

se tiene que:

[ p(T )](α) = [c0 + c1T + c2T 2 + ... + crT r](α)

⇒ [ p(T )](α) = c0α + c1T (α) + c2T 2(α) + ... + crT r(α)

⇒ [ p(T )](α) = c0α + c1λα + c2λ2α + ... + crλrα

⇒ [ p(T )](α) = (c0 + c1λ + c2λ2 + ... + crλr)α

⇒ [ p(T )](α) = p(λ)α

♠

Teorema 6.17. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal. Entonces, f T,F (X ) y pT,F (X )tienen las mismas raıces.

Demostacion: En efecto, sea λ una raız de f T,F (X ), es decir, λ es unvalor propio de T . Entonces, existe un vector no nulo, α ∈ V tal que:

T (α) = λα

lo que implica por el teorema anterior que:




⇒ [ pT,F (T )](α) = pT,F (λ)α

⇒ [0HomF (V,V )](α) = pT,F (λ)α

⇒ pT,F (λ)α = 0V

lo que implica, por ser α = 0V , que pT,F (λ) = 0, es decir, que λ es raızdel polinomio minimal pT,F (X ).

Recıprocamente, supongase que λ es raız del polinomio minimal pT,F (X ).Entonces, existe un polinomio q (X ) ∈ F [X ] tal que:

pT,F (X ) = (X − λ)q (X )

Esta igualdad implica obviamente que deg(q (X )) < deg( pT,F (X )); luego,debe ser q (T ) = 0HomF (V,V ) (pues, de lo contrario, q (X ) anularıa a T y ,teniendo grado menor que pT,F (X ), se contradirıa la naturaleza de pT,F (X )como el polinomio de menor grado que anula a T ). Por tanto, existe un vectorno nulo β ∈ V tal que [q (T )](β ) = 0V . Tomando α = [q (T )](β ) se tiene queα = 0V y:

(T − λI )(α) = [(T − λI )]([q (T )](β ))

⇒ (T − λI )(α) = [(T − λI ) ◦ q (T )](β )

⇒ (T − λI )(α) = [ pT,F (T )](β )

⇒ (T − λI )(α) = [0HomF (V,V )](β )

⇒ (T − λI )(α) = 0V

lo que demuestra que λ es un valor propio de T asociado al vector α, esdecir, λ es una raız del polinomio caracterıstico f T,F (X ).

♠

Corolario 6.1. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal. Sup´ ongase que λ1, λ2,...,λk son los distintos valores propios de T . Entonces, f T,F (X ) y pT,F (X ) tienen se escriben en la forma:




f T,F (X ) = (X − λ1)r1(X − λ2)r2 · · · (X − λk)rk

pT,F (X ) = (X − λ1)e1(X − λ2)e2 · · · (X − λk)ek

Demostaci´ on:

♠

Teorema 6.18. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal. Sup´ ongase que λ1, λ2,...,λk son

los distintos valores propios de T . Si T es diagonalizable, entonces:

pT,F (X ) = (X − λ1)(X − λ2) · · · (X − λk)

Demostacion: En efecto, sea p(X ) el polinomio:

p(X ) = (X − λ1)(X − λ2) · · · (X − λk)

Para demostrar este teorema, basta demostrar que:

[ p(T )](α j) = 0V , para todo α j

Ahora bien, como T es diagonalizable (por hipotesis), entonces existe unabase de V , B = {α1, α2,...,αn} formada por vectores propios de T . Si λij esel valor propio asociado a α j se tiene, por el Teorema 6.16, que:

[ p(T )](α j) = p(λij )α j

⇒ [ p(T )](α j) = 0α j

⇒ [ p(T )](α j) = 0V

♠

Teorema 6.19. Teorema de Cayley-Hamilton : Sea V un espacio vec-torial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal. Entonces, T es anulado por su polinomio caracterıstico:

f T,F (T ) = 0HomF (V,V )




Demostacion: Sea B = {α1, α2,...,αn} una base de V sobre F y sea

A = (T )B. Entonces, se tiene que:

T (α1) = A11α1 + A21α2 + ... + An1αn

T (α2) = A12α1 + A22α2 + ... + An2αn

...

T (αn) = A1nα1 + A2nα2 + ... + Annαn

Este sistema se puede escribir en la forma:

(T − A11I )(α1) − A21α2 − ... − An1αn = 0V

−A12α1 + (T − A22I )(α2) − ... − An2αn = 0V ...

−A1nα1 − A2nα2 − ... + (T − AnnI )(α1)αn = 0V

Sea B la matriz del sistema anterior:

B =

T − A11I −A21I ... −An1I

−A12I T − A22I ... −An2I ...

... . . .

...−A1nI −A2nI ... T − AnnI

⇒ B t =

T − A11I −A12I ... −A1nI −A21I T − A22I ... −A2nI

... ...

. . . ...

−An1I −An2I ... T − AnnI

⇒ f T,F (T ) = det(Bt)

⇒ f T,F (T ) = det(B)

Por tanto, para demostrar este teorema, basta demostrar que:

[det(B)](α j) = 0V , para todo α j

Para ello se puede proceder como sigue: sea B la matriz adjunta de B yescrıbanse B y B en la forma:




B =

B11 B12 . . . B1n

B21 B22 . . . B2n...

... ...

...Bn1 Bn2 . . . Bnn

, B =

B11 B12 . . . B1n

B21 B22 . . . B2n

... ...

... ...

Bn1 Bn2 . . . Bnn

,

Recuerde que:

BB =

det(B) 0HomF (V,V ) . . . 0HomF (V,V )

0HomF (V,V ) det(B) . . . 0HomF (V,V )...

... . . .

...

0HomF (V,V ) 0HomF (V,V ) . . . det(B)

Observese que, por la definicion de B, se tiene que:

B11α1 + B12α2 + ... + B1nαn = 0V

B21α1 + B22α2 + ... + B2nαn = 0V ...

Bn1α1 + Bn2α2 + ... + Bnnαn = 0V

Multiplicando la primera ecuacion por B11, la segunda por B12,..., lan−esima ecuacion por B1n (notar que estos escalares son los elementos de laprimera fila de B), se tiene que

B11B11α1 + B11B12α2 + ... + B11B1nαn = 0V

B12B21α1 + B12B22α2 + ... + B12B2nαn = 0V ...

˜B1nBn1α1 +

˜B1nBn2α2 + ... +

˜B1nBnnαn = 0V

Sumando ordenadamente (”por columnas”) y usando el hecho de queBB = det(B)I n×n, se sique que:

[det(B)](α1) = 0V

Analogamente, si se multiplica la primera ecuacion de (∗) por B21, lasegunda por B22,..., y la n−esima por B2n (notar que estos escalares son los




elementos de la segunda fila de B),, se obtiene que [det(B)](α2) = 0V . Este

proceso se repite hasta llegar a demostrar (usando la n−esima fila de B) que[det(B)](αn) = 0V

♠

Definicion 6.8. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F , T : V −→ V un operador lineal y α ∈ V . Entonces, el T − anulador de α sobre F es el conjunto:

I T,α = { p(X ) ∈ F [X ] : [ p(T )](α) = 0V }

Es inmediato entonces que, si V es un espacio vectorial de dimensionfinita sobre el cuerpo F , entonces f T,F (X ) ∈ I T,α y pT,F (X ) ∈ I T,α . Ademas,se tiene el siguiente teorema:

Teorema 6.20. Sea V es un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F , T : V −→ V un operador lineal y α ∈ V . Entonces, el conjunto I T,α es un ideal no nulo de F [X ]. Adem´ as, el ´ unico generador m´ onico de I T,α ser´ a denotado por pα,T,F (X ) y es llamado el polinomio minimal de

α con respecto a T .

Demostacion:

♠

Teorema 6.21. Sea V es un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F , T : V −→ V un operador lineal y sup´ ongase que

pT,F (X ) = X m + am−1X m−1 + ... + a2X 2 + a1X + a0

Entonces, se tiene que:

1) Para cada α ∈ V , entonces el conjunto {α, T (α), T 2(α),...,T m−1(α)}es un conjunto linealmente independiente sobre F .

2 Si B = {α1, α2,...,αn} una base de V sobre F . Entonces, se tiene que:

pT,F (X ) = m.c.m[ pα1,T,F (X ), pα2,T,F (X ),...,pαn,T,F (X )]

Demostacion: (1): En efecto, pues de lo contrario, existirıan escalaresno todos nulos c0, c1, c2,...,cm−1 ∈ F tales que:

c0α + c1T (α) + c2T 2(α) + ... + cm−1T m−1(α) = 0V




Esta ecuacion implicarıa que el polinomio p(X ) = c0 + c1X + c2X 2 + ... +

cm−1X m−1 pertenece al T −anulador de α y es de grado menor que pα,T,F (X )lo cual es imposible.

(2): Sea p(X ) = m.c.m[ pα1,T,F (X ), pα2,T,F (X ),...,pαn,T,F (X )]. Para de-mostrar este teorema basta demostrar que pT,F (X ) y p(X ) se dividen mu-tuamente. En efecto, dado que pT,F (X ) ∈ I αj ,T,F para cada α j, se tiene (porser I αj ,T,F =< pαj ,T,F (X ) >) que pT,F (X ) es un multiplo comun de los poli-nomios pα1,T,F (X ), pα2,T,F (X ),...,pαn,T,F (X ), lo que implica (por la definicionde mınimo comun multiplo) que p(X ) | pT,F (X ).

Recıprocamente, como p(X ) es multiplo de cada pαj ,T,F (X ), entonces se

tiene que p(X ) ∈ I αj ,T,F , para cada α j; luego (por la definicion de I αj ,F )setiene que [ p(T )](α j) = 0V , para cada α j lo que implica que p(T ) = 0HomF (V,V ),lo que implica que p(X ) ∈ I T,F de modo que, por ser I T,F =< pT,F (X ) >,resulta que pT,F (X ) divide a p(X ).

♠

El concepto de T −anulador permite dar otra demostracion del Teorema

de Cayley-Hamilton: En efecto, para cada α ∈ V , el conjunto de vectores{α, T (α), T 2(α),...,T m−1(α)} es un conjunto linealmente independiente sobreF . Luego, puede construirse una base de V de la forma:

B = {α, T (α), T 2(α),...,T m−1(α), β 1, β 2,..,β r}

La matriz de T en la base B es entonces:

(T )B =

0 0 . . . 0 −a0 A11 A12 . . . A1r1 0 . . . 0 −a1 A21 A22 . . . A2r

0 1 . . . 0 −a2 A31 A32 . . . A3r...

... . . .

... ...

... ...

. . . ...

0 0 . . . 1 −am−1 Am1 Am2 . . . Amr

0 0 . . . 0 0 B11 B12 . . . B1r

0 0 . . . 0 0 B21 B22 . . . B2r...

... . . .

... ...

... ...

. . . ...

0 0 . . . 0 0 Br1 Br2 . . . Brr




A la matriz 0 0 . . . 0 −a01 0 . . . 0 −a10 1 . . . 0 −a2...

... . . .

... ...

0 0 . . . 1 −am−1

se le llama la matriz compaera de pα,T,F (X ) y se denotara por C α,T Se tiene entonces que:

f T,F (X ) = f C α,T ,F (X )f N,F (X )

Se puede demostrar que f C α,T ,F (X ) = pC α,T ,F (X ) = pα,T,F (X ). En conse-ciencia, se tiene que:

f T,F (X ) = pα,T,F (X )f N,F (X ), para todo α ∈ V

⇒ pα,T,F (X ) | f T,F (X ), para todo α ∈ V

⇒ f T,F (X ) ∈ I α,T,F , para todo α ∈ V

⇒ [f T,F (T )](α) = 0V , para todo α ∈ V

⇒ f T,F (T ) = 0HomF (V,V )

6.4. Operadores triangulables

Definicion 6.9. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V una transformaci´ on lineal. Se dice que T es trian-gulable si, y s´ olo, si existe una base ordenada de V , B, tal que la matriz que representa a T en la base B, (T )

B

, es una matriz triangular superior.

Observese que, en tal caso, si B = {α1, α2,...,αn} es una base de V sobreF en la que T es triangulable, entonces se tiene que:

T B

=

A11 A12 A13 . . . A1n

0 A22 A23 . . . A2n

0 0 A33 . . . A3n...

... ...

. . . ...

0 0 0 . . . Ann

, Aij ∈ F



6.4. OPERADORES TRIANGULABLES 49

La definicion de (T )B implica que:

T (α1) = A11α1

T (α2) = A12α1 + A22α2

T (α3) = A13α1 + A23α2 + A33α3

...

T (αn) = A1nα1 + A2nα2 + ... + Annαn

Observese que, si

W 1 =< α1 >

W 2 =< α1, α2 >

W 3 =< α1, α2, α3 >

...

W n =< α1, α2,...,αn−1, αn >

entonces se tiene que:

W 1 ⊂ W 2 ⊂ W 3 ⊂ ... ⊂ W n

y ademas, que:

T (W 1) ⊂ W 1, T (W 2) ⊂ W 2,...,T (W n) ⊂ W n

Definicion 6.10. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y T : V −→ V una transformaci´ on lineal. Sea W un subespacio de V . Se dice que W es T −invariante si, y s´ olo, si T (w) ∈ W para todo w ∈ W . Equivalentemente,W es T −invariante si, y s´ olo, si T (W ) ⊂ W .

Teorema 6.22. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finta n sobre el cuerpo F y T : V −→ V una transformaci´ on lineal. Sea B = {α1, α2,...,αn}un base de . Las siguientes condiciones son equivalentes:

1) (T )B es una matriz triangular superior.

2) T (α j) ∈< α1, α2,...,α j−1, α j >, para cada ındice j ∈ {1, 2,...,n − 1, n}.

3) < α1, α2,...,α j−1, α j > es invariante por T , para cada uno de los ındices j ∈ {1, 2,...,n − 1, n}




Demostacion:

♠

Teorema 6.23. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y sup´ ongase que T : V −→ V, S : V −→ V dos operadores lineales tales que T S = ST .Entonces, la imagen y el n´ ucleo de cada uno es invariante bajo el otro.

Demostacion: Se demostrara que S (V ) y Ker(S ) son invariantes bajoT . En efecto, si α ∈ S (V ), entonces:

α = S (β ), β ∈ V

⇒ T (α) = T (S (β ))

⇒ T (α) = T S (β ))

⇒ T (α) = S T (β )

⇒ T (α) = S (T (β ))

⇒ T (α) ∈ S (V )

Por otro lado, si α ∈ K er(S ), entonces:

S (α) = 0V

⇒ T (S (α)) = T (0V )

⇒ T S (α) = 0V

⇒ ST (α) = 0V

⇒ S (T (α)) = 0V

⇒ T (α) ∈ K er(S )

♠




Teorema 6.24. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y T : V −→ V

un operador lineal. Si p(X ) ∈ F [X ], entonces [ p(T )](V ) y Ker( p(T )) son invariantes por T . En particular, si λ es un valor propio de T , el espacio de vectores propios asociado a λ, W λ = K er(T − λI ), es invariante por T .

Demostacion:

♠

Teorema 6.25. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal. Sea W un subespacio de V e invariante por T . Sea T W : W −→ W la aplicaci´ on definida por:

T W (α) = T (α), α ∈ W

Entonces, T W es una transformaci´ on lineal y adem´ as:

1) f T W ,F (X ) | f T,F (X ).

2) pT W ,F (X ) | pT,F (X ).

3) I T W ,F (X ) ⊂ I T,F (X ).

Demostacion: Sea BW = {α1, α

2,...,αr} una base de W . Extiendase

esta base hasta una base de V :

B = {α1, α2,...,αr, β 1, β 2,...,β s}, r + s = n

Entonces, la matriz de T en la base B tiene la forma:

(T )B =

A11 A12 . . . A1r M 11 M 12 . . . M 1sA21 A22 . . . A2r M 21 M 22 . . . M 2sA31 A32 . . . A3r M 31 M 32 . . . M 3s

... ...

. . . ...

... ...

. . . ...

Ar1 Ar2 . . . Arr M r1 M r2 . . . M rs0 0 . . . 0 N 11 N 12 . . . N 1s0 0 . . . 0 N 21 N 22 . . . N 2s...

... . . .

... ...

... . . .

...0 0 . . . 0 N s1 N s2 . . . N ss

Es decir:

(T )B =

(T W )BW

M 0Ms×s(F ) N





f T,F (X ) = f T W ,F (X )f N,F (X )

Por ser (T )B =

(T W )BW

M 0Ms×s(F ) N

, se deduce tambien que:

(T )kB =

(T W )

kBW

M 0Ms×s(F ) N k

, k ∈ N

Por tanto, si el polinomio p(X ) ∈ F [X ] anula a (T )B, entonces tambienanula a (T W )BW

lo que demuestra que I T,F ⊂ I T W ,F lo que demuestra (2) y(3).

♠

Teorema 6.26. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal. Sea W un subespacio de V e invariante por T . Sea T W : V /W −→ V /W la aplicaci´ on definida por:

T W (α) = T (α), α ∈ W

Entonces, T W es una transformaci´ on lineal y adem´ as:

1) f T,F (X ) = f T W ,F (X )f T W ,F (X ).

2) I T W ,F (X ) ⊂ I T,F (X ).

3) pT W ,F (X ) | pT,F (X ).

4) El escalar λ ∈ F es un valor propio de T W si, y s´ olo, si existe un vector α ∈ V tal que:

α /∈ W, (T − λI )(α) ∈ W

5) El vector α ∈ V /W es un vector propio de T W si, y s´ olo, si α /∈ W y existe un escalar λ ∈ F tal que:

(T − λI )(α) ∈ W

Demostacion: En primer lugar, debe demostrarse que T W esta biendefinida pues su definicion depende, en principio, del representante elegidopara cada clase modulo W . Para ello, obervese que si α = α, con α, α ∈ V ,entonces resulta que




α − α

∈ W

lo que implica, por ser W invariante por T , que:

T (α − α) ∈ W

⇒ T (α) − T (α) ∈ W

⇒ T (α) = T (α)

⇒ T W (α) = T W (α)

de modo que T W esta bien definido. Que T W es una transformacion linealse sigue inmediatamente de su definicion. Si α1, α2 ∈ V /W y si c ∈ F ,entonces:

T W (c · α1 + α2) = T W (c · α1 + α2)

⇒ T W (c · α1 + α2) = T (c · α1 + α2)

⇒ T W (c · α1 + α2) = c · T (α1) + T (α2)

⇒ T W (c · α1 + α2) = c · T (α1) + T (α2)

⇒ T W (c · α1 + α2) = c · T W (α1) + T W (α2)

Procediendo tal y como se hizo en el Teorema 2.25, sea BW = {α1, α2,...,αr}una base de W . Extiendase esta base hasta una base de V :

B = {α1, α2,...,αr, β 1, β 2,...,β s}, r + s = n

As, es facil demostrar que el conjunto B = {β 1, β 2,...,β s} es una base deV /W como F −espacio vectorial y que:

(T )B =

(T W )BW

M 0Ms×s(F ) (T W )B

Esta ecuacion demuestra finalmente el teorema.

♠




Definicion 6.11. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y T : V −→

V un operador lineal. Sea W un subespacio de V e invariante por T . El T −conductor de α en W es el conjunto de todos los polinomios de F [X ] que envıan al vector α en W :

I T,F (α : W ) = { p(X ) ∈ F [X ] : [g(T )](α) ∈ W }

Teorema 6.27. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal. Sea W un subespacio de V e invariante por T . Entonces,se tiene que:

1) Si p(X ) ∈ F [X ], entonces W es invariante por p(T ).

2) Si α ∈ V , entonces I T,F (α : W ) es un ideal de F [X ]. Adem´ as, se tiene que:

I T,F (α : W ) = I αT W ,F

3) Si V es un espacio vectorial de dimensi´ on finita sobre el cuerpo F ,entonces I T,F (α : W ) es un ideal no nulo de F [X ], m´ as a´ un, se tiene que:

f T,F (X ), pT,F (X ), pα,T,F (X ) ∈ I T,F (α : W ), para cada α ∈ V

Al ´ unico generador m´ onico de I T,F (α : W ) se le simbolizar´ a por gα,T,F,W (X )y es el polinomio de menor grado en F [X ] que envıa al vector α en W .

Demostacion:

♠

Teorema 6.28. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal tal que pT,F (X ) tiene todas sus raıces en F . Si W es un subespacio piopio de V invariante por T , entonces existe un vector propio de T , α, y un valor propio de T ∈ V , λ ∈ F , tales que:

α /∈ W y (T − λI )(α) ∈ W

Demostacion 1: En efecto, como W es un subespacio propio de V (porhippotesis), entonces existe un β ∈ V tal que β /∈ W . Como β /∈ W , se tieneque gβ,T,W,F (X ) es un polinomio no constante. Por la parte (3) del Teorema




6.27, se tiene que gβ,T,W,F (X ) es un divisor de pT,F (X ). Luego, gβ,T,W,F (X )

es de la forma:

gβ,T,W,F (X ) = (X − λ1)f 1(X − λ2)f 2 · · · (X − λk)f k , con f j > 0 para algun j

⇒ gβ,T,W,F (X ) = (X − λ j)h(X ), h(X ) ∈ F [X ]

Sea α = [h(T )](β ).Por la definicion de gβ,T,W,F (X ), se tiene que α /∈ W .Ademas, se tiene que:

(T − λ j)(α) = (T − λ j)([h(T )](β ))

⇒ (T − λ j)(α) = [(T − λ j) ◦ h(T )](β ))

⇒ (T − λ j)(α) = gβ,T,W,F (X )(β )

⇒ (T − λ j)(α) ∈ W

♠

Teorema 6.29. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y T : V −→ V un operador lineal. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1) T es triangulable.

2) pT,F (X ) tiene todas sus raıces en F

Demostacion 1: (2) ⇒ (1) : Se hara una demostracion por induccionsobre n. Si n = 1, es claro que T es triangulable. Sea entonces n > 1. Sea λ unvalor propio cualquiera de T . Entonces, por definicion de valor propio, existe

un vector no nulo, α ∈ V , tal que: T (α) = λα. Sea W =< α >. Entonces, W es invariante por T y, por el Teorema 6.26, el operador T induce la existenciadel operador T W : V /W −→ V /W . Observese que:

dimF (V /W ) = dimF (V ) − dimF (W ) = n − 1

Ademas, se tiene (por la parte (3) del Teorema 6.27) que pT W ,F (X ) tiene

todas sus raıces en F . Por tanto, puede aplicarse hipotesis inductiva al ope-rador T W de modo que existe una base de V /W , B = {α2, α3,...,αn−1}, talque:




T W (α2) = A22α2

T W (α3) = A23α2 + A33α3

T W (α4) = A24α2 + A34α3 + A44α4

...

T W (αn) = A2nα2 + A3nα3 + ... + Annαn

Por tanto:

T (α2) = A22α2

T (α3) = A23α2 + A33α3

T (α4) = A24α2 + A34α3 + A44α4

...

T (αn) = A2nα2 + A3nα3 + ... + Annαn

Luego:

T (α2) − A22α2 ∈< α1 >

T (α3) − A23α2 − A33α3 ∈< α1 >

T (α4) − A24α2 − A34α3 − A44α4 ∈< α1 >

...

T (αn) − A2nα2 − A3nα3 − ... − Annαn ∈< α1 >

En consecuencia:

T (α2) − A22α2 = A21α1

T (α3) − A23α2 − A33α3 = A31α1

T (α4) − A24α2 − A34α3 − A44α4 = A41α1

...

T (αn) − A2nα2 − A3nα3 − ... − Annαn = An1α1

Demostacion 2: (2) ⇒ (1) : Se hara una demostracion por induccionsobre n. Si n = 1, es claro que T es triangulable. Supongase entonces quen > 1. Sea λ cualquier valor propio de T en F y considerese el subespacio:

W = (T − λI )(V )




Entonces, por el Teorema 6.24, se tiene que W es invariante por T . Sea

T W : W −→ W el operador restriccion. Como dimF (W ) < dimF (V ) y, como pT W ,F (X ) tiene todas sus raıces en F , se tiene por hipotesis inductiva que W tiene una base, BW = {α1, α2,...,αr}, tal que:

T W (α j) ∈< α1, α2,...,α j >, j ∈ {1, 2,...,r}

⇒ T (α j) ∈< α1, α2,...,α j >, j ∈ {1, 2,...,r}

Extiendase BW a una base de V :

B = {α1, α2,...,αr, β 1, β 2,...,β s}Observese que, para cada j ∈ {1, 2,...,s}, se tiene que:

T (β j) = (T − λI )(β j) + λβ j

⇒ T (β j) ∈< α1, α2,...,αr, β j >, j ∈ {1, 2,...,r}

lo que demuestra que T es triangulable.

Demostacion 3: Sea W 0 = {0V }. Como W 0 es invariante por T entonces,por el Teorema 6.28, existe un α1 ∈ V y un valor propio de T , λ1 ∈ F talesque:

α1 /∈ W 0, (T − λ1)(α1) ∈ W 0

⇒ α1 = 0V , T (α1) = λ1α1

Sea ahora W 1 =< α1 >. Como α1 es un vector propio de T , se tiene queW 1 es un subespacio de V invariante por T . Luego, por el Teorema 6.28,existe un vector α2 ∈ V y un valor propio de T , λ2 ∈ F tales que:

α2 /∈ W 1, (T − λ2)(α2) ∈ W 1

⇒ α2 /∈< α1 >, (T − λ2)(α2) ∈< α1 >

⇒ α2 /∈< α1 >, T (α2) = A12α1 + λ2α2

Analogamente, sea ahora W 2 =< α1, α2 >. Es claro que W 2 es un subes-pacio de V invariante por T ; luego, por el Teorema 6.28, existe un vectorα3 ∈ V y un valor propio de T , λ3 ∈ F tales que:




α3 /∈ W 2, (T − λ3)(α3) ∈ W 2

⇒ α3 /∈< α1, α2 >, (T − λ3)(α3) ∈< α1, α2 >

⇒ α2 /∈< α1 >, T (α3) = A13α1 + A23α2 + λ3α3

Se continua de este modo hasta llegar al subespacio W n−1 =< α1, α2,...,αn−1 >.Este subespacio es invariante por T lo que implica, por el Teorema 6,28, queexiste un vector αn ∈ V y un valor propio de T , λn ∈ F tales que:

αn /∈ W n−1, (T − λn)(α3) ∈ W n−1

⇒ αn /∈< α1, α2,...,αn−1 >, (T − λn)(αn) ∈< α1, α2,...,αn−1 >

⇒ αn /∈< α1, α2,...,αn−1 >, T (αn) = A1nα1 + A2nα2 + ... + λnαn

Es claro, por la forma en que se han construıdo, que el conjunto de vec-tores B = {α1, α2,...,αn−1, αn} es linealmente independiente sobre F y, portanto, forman una base de V . Ademas, se tiene obviamente que:

T B

=

λ1 A12 A13 . . . A1n

0 λ2 A23 . . . A2n

0 0 λ3 . . . A3n...

... ...

. . . ...

0 0 0 . . . λn

♠

6.5. Teorema de los Cırculos de Gershgorin.

6.6. Subespacios independientes. Proyeccion

Definicion 6.12. Sean V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y W 1, W 2,...,W ksubespacios de V . Entonces, se dice que los W j son independientes si, y s´ olo,si vale la implicaci´ on:

α1 ∈ W 1, α2 ∈ W 2,...,αk ∈ W k y α1+α2+...+αk = 0V ⇒ α j = 0V para todo j



6.6. SUBESPACIOS INDEPENDIENTES. PROYECCI ON 59

Teorema 6.30. Sean V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y W 1, W 2,...,W k

subespacios de V y W = W 1 + W 2 + ... + W k. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1) Los subespacios W j son independientes.

2) Para cada W j se tiene que:

W j ∩ (W 1 + W 2 + ... + W j−1 + W j+1 + ... + W k) = 0V

3) Cada vector α ∈ W se escribe de forma ´ unica como:

α = α1 + α2 + ... + αk; con α1 ∈ W 1, α2 ∈ W 2,...,αk ∈ W k

Demostacion :

♠

Teorema 6.31. Sean V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y W 1, W 2,...,W ksubespacios de V y W = W 1 + W 2 + ... + W k. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1) Los subespacios W j son independientes.

2) Si B1 es una base de W 1, B2 base de W 2,...,Bk base de W k, entonces B1 ∪ B2 ∪ ... ∪ Bk es base de W .

Demostacion :

♠

Definicion 6.13. Sean V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y W 1, W 2,...,W ksubespacios de V y W = W 1 + W 2 + ... + W k. Entonces, se dice que W es la suma directa de los W j si, y s´ olo, si los W j son independientes. En tal caso,se escribe:

W = W 1

W 2

...

W k

Definicion 6.14. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F . Una proyec-ci´ on de V es toda transformaci´ on lineal, P : V −→ V , tal que:

P 2 = P




Teorema 6.32. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F y P : V −→ V

una proyecci´ on de V . Entonces, se tiene que:

1) P (V ) = {α ∈ V : P (α) = α}.

2) Ker(P ) = (I − P )(V )

3) V = P (V )

Ker(P )

Demostacion : (1) : En efecto, pues cada α ∈ V , se tiene que:

α ∈ P (V ) ⇒ α = P (β ), para algun β ∈ V

⇒ P (α) = P 2(β )

⇒ P (α) = P (β )

⇒ P (α) = α

(2) : Si α ∈ V , entonces:

α ∈ K er(P ) ⇒ P (α) = 0V

⇒ α − P (α) = α

⇒ (I − P )(α) = α

⇒ α ∈ (I − P )(V )

Recıprocamente: si α ∈ (I − P )(V ), se tiene que:

α = (I − P )(β ), para algun β ∈ V

⇒ α = β − P (β )

⇒ P (α) = P (β ) − P 2(β )

⇒ P (α) = P (β ) − P (β ) = 0V




⇒ α ∈ K er(P )

(3) : Observese que, si α ∈ V , entonces:

α = P (α) + (α − P (α))

⇒ α = P (α) + (I − P )(α), para todo α ∈ V

⇒ V = P (V ) + Ker(P )

Finalmente, notese que P (V ) ∩ K er(P ) = {0V }: pues, suponiendo queα ∈ P (V ) ∩ Ker(P ), entonces se tiene que:

P (α) = α y P (α) = 0V

⇒ α = 0V

♠

Recıprocamente, se tiene el siguiente:

Teorema 6.33. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F . Sup´ ongase que W y N son subespacios de V tales que V = W

N . Entonces, existe

una ´ unica proyecci´ on de V , P : V −→ V , tal que:

P (V ) = W y Ker(P ) = N

A la proyecci´ on P se le llama la proyecci´ on de V sobre W paralelamente a N .

Demostacion :

♠

Teorema 6.34. Sea V un espacio vectorial de dimensi´ on finita n sobre el cuerpo F y P : V −→ V proyecci´ on de V . Entonces, se tiene que:

1) pP,F (X ) = X (X − 1)

2) P es diagonalizable.




3) Si r = dimF (P (V )) y s = dimF (Ker(P )), entonces:

f P,F (X ) = X s(X − 1)r

Demostacion :

♠

Teorema 6.35. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F . Sean W 1, W 2,...,W ksubespacios de V tales que: V = W 1

W 2

...

W k. Entonces, existen k

proyecciones de V , P 1, P 2,...,P k, tales que:

1) P iP j = 0HomF (V,V ), si i = j .

2) I = P 1 + P 2 + ... + P k.

3) P j(V ) = W j, para cada P j.

4) Ker(P j) = W 1 + W 2 + ... + W j−1 + W j+1 + ... + W k

Demostacion : Como V = W 1

W 2

...

W k (por hipotesis), enton-ces para cada vector α ∈ V existen vectores unıvocamente determinados,

α1 ∈ W 1, α2 ∈ W 2,...,αk ∈ W k tales que:

α = α1 + α2 + ... + αk

Por tanto, para cada j ∈ {1, 2,...,k}, puede denirse la proyeccion de V sobre W j, P j : V −→ V , por:

P j(α) = α j

Que cada P j es una transformacion lineal es claro pues, si α y α seescriben en la forma α = α1 + α2 + ... + αk y α = α

1 + α2 + ... + α

k, entonces

para cada c ∈ F el vector cα + α

se escribe en la forma:

cα + α = (cα1 + α

1) + (cα2 + α

2) + ... + (cαk + α

k)

⇒ P j(cα + α) = cα j + α

j

⇒ P j(cα + α) = cP j(α) + P j(α)

Por otro lado, para cada α ∈ V se tiene, por la definicion de P j, que:




P 2 j (α) = P j(P j(α)) = P j(α j) = α j = P j(α)

lo que demuestra que cada P j es una proyeccion. La definicion de cadaP j tambien implica, claramente, que P j(V ) = W j y que

Ker(P j) = {α ∈ V : α j = 0V } = W 1 + W 2 + ... + W j−1 + W j+1 + ... + W k

Como α = α1 + α2 + ... + αk es claro (por la definicion de las P j) que:

α = P 1(α) + P 2(α) + ... + P k(α)

⇒ α = (P 1 + P 2 + ... + P k)(α), para cada α ∈ V

⇒ I = P 1 + P 2 + ... + P k

Finalmente, supongase que i = j . Entonces, si α ∈ V , se tiene que:

(P i ◦ P j)(α) = P i(P j(α)) = P i(α j) = 0V

⇒ (P i ◦ P j)(α) = 0V , para cada α ∈ V

⇒ P iP j = 0HomF (V,V ), si i = j

♠

Recıprocamente, se tiene el siguiente:

Teorema 6.36. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo F . Sean W 1, W 2,...,W ksubespacios de V tales que existen k proyecciones de V , P 1, P 2,...,P k, con las siguientes propiedades:

1) P iP j = 0HomF (V,V ), si i = j .

2) I = P 1 + P 2 + ... + P k.

3) P j(V ) = W j, para cada P j.

4) Ker(P j) = W 1 + W 2 + ... + W j−1 + W j+1 + ... + W k

Entonces, se tiene que V = W 1

W 2

...

W k.




Demostacion : En efecto, por la condicion (2), cada vector α ∈ V se

escribe en la forma:

α = (P 1 + P 2 + ... + P k)(α)

⇒ α = P 1(α) + P 2(α) + ... + P k(α), para cada α ∈ V (∗)

lo que demuestra, por la condicion (3), que V = W 1 + W 2 + ... + W k.La expresion (∗) es ademas unica para cada vector α ∈ V : pues supo-

niendo que existan tambien vectores α1 ∈ W 1, α2 ∈ W 2,...,αk ∈ W k tales queα = α1 + α2 + ... + αk, entonces se tendra que:

α1 + α2 + ... + αk = P 1(α) + P 2(α) + ... + P k(α)

Aplicando P j en ambos miembros:

P j(α1) + P j(α2) + ... + P j(αk) = P jP 1(α) + P jP 2(α) + ... + P jP k(α)

♠

lo que implica por la condicion (4) que:

α j = P 2 j (α)

lo que implica, por ser P j una proyeccion, que:

α j = P j(α)

6.7. El Teorema espectral.



Capıtulo 7

Formas racional y de Jordan

65



66 CAP ITULO 7. FORMAS RACIONAL Y DE JORDAN



Capıtulo 8

Espacios con producto interno

67



68 CAP ITULO 8. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO



Capıtulo 9

Operadores sobre espacios con

producto interno

69



70CAP ITULO 9. OPERADORES SOBRE ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO



Capıtulo 10

Formas bilineales

Álgebra lineal

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