algebra lineal - determinantes
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Cálculo de Determinante - MétodosTRANSCRIPT
UNIVERSIDAD NACIONAL DE RÍO CUARTOFACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
ÁLGEBRA LINEAL - Año 2012Notas de Cátedra correspondientes a la UNIDAD DOS
DETERMINANTES*
Definición
El determinante de orden n es una función cuyo dominio es el conjunto de
matrices cuadradas con elementos reales y su codominio es el conjunto de
los números reales. Esta función a cada matriz cuadrada le hace
corresponder un número real que se denomina el determinante de la
matriz. En forma simbólica:nxn
nxn
f : R R A A
®
®
Por tanto, f(A) = A es conocido como determinante de la matriz A. El
determinante de una matriz A también puede denotarse por det (A) ó
D(A). Es decir, toda matriz cuadrada tiene asociado un número que es su
determinante.
Al ser una función, a cada matriz cuadrada le corresponde un único número
real. Ahora bien ¿cómo se obtiene ese número real denominado
determinante de A? Este valor surge de realizar una suma algebraica en la
que cada término es un producto entre los elementos de la matriz y cada
factor pertenece a una sola fila y a una sola columna.
Aclaración. No se debe confundir las barras que denotan el determinante de
una matriz cuadrada con las barras utilizadas para denotar el valor absoluto
de un número real.
* Material elaborado en el año 2011 y corregido en el año 2012 por la Prof. Maríadel Carmen REGOLINI. FCE. UNRC.
DETERMINANTES
2
Definición
Si A es una matriz de orden 1x1, es decir, 11A a= é ùë û entonces
11 A a=
Ejemplos
Sean A 5= é ùë û y B 12= -é ùë û entonces los determinantes de las
matrices A y B son respectivamente, A 5 5= = y B = -12 =-12
¿Cómo se obtienen los determinantes de matrices de orden 2x2 y 3x3?. Una
de las posibilidades es a través de la regla de Sarrus.
REGLA DE SARRUS
§ Para matrices de orden 2x2
El determinante de una matriz A de orden 2x2 es la diferencia entre “el
producto de los elementos de la diagonal principal” y “el producto de los
elementos de la diagonal secundaria”. En símbolos
11 122x2 11 22 12 21
21 22
a a A = = a . a - a . a
a a
Ejemplo
El determinante de la matriz2 3
A0 5
é ù= ê úë û
es
2 3 A = 2 . 5 - 3 . 0 = 10
0 5=
§ Para matrices de orden 3x3
El determinante de una matriz A de orden 3x3 es la diferencia entre “la
suma de los productos de los elementos de la diagonal principal y de los
productos de cada una de sus paralelas” y “la suma de los productos de los
elementos de la diagonal secundaria y de los productos de cada una de sus
paralelas”.
DETERMINANTES
3
En símbolos, sea la matriz11 12 13
3x3 21 22 23
31 32 33
a a a A = a a a
a a a
é ùê úê úê úë û
entonces
3x3 11 22 33 21 32 13 31 12 23 13 22 31 23 32 11 33 12 21 A = (a a a +a a a +a a a ) - (a a a +a a a +a a a )
Una sugerencia!!!!!!! Para poder identificar bien los elementos de las
distintas diagonales que intervienen en el cómputo del determinante se
puede armar una matriz con cinco filas siendo las tres primeras las de la
matriz dada y las dos restantes iguales a la primera y segunda
respectivamente, es decir
11 12 13
21 22 23
31 32 33
11 12 13
21 22 23
a a aa a aa a aa a aa a a
é ùê úê úê úê úê úê úë û
Los elementos de la diagonal principal de la matriz A3x3 son: a11, a22 y a33 y,
los elementos de la primera paralela a esta diagonal son: a21, a32 y a13
finalmente, los elementos de la segunda paralela a la diagonal principal son:
a31, a12 y a23. De manera similar se identifican los elementos en la diagonal
secundaria de la matriz A3x3: a13, a22 y a31 y, los elementos de sus paralelas
respectivamente por: a23, a32 y a11; y a33, a12 y a21
A tener en cuenta. Se puede recurrir a este artilugio para identificar cuáles
son los elementos que conforman las diagonales, pero se debe tener
presente que el determinante se calcula a una matriz cuadrada.
Ejemplo
El determinante de la matriz0 1 5
A 3 -6 92 6 1
é ùê ú= ê úê úë û
aplicando la Regla de Sarrus
es
DETERMINANTES
4
0 1 5 A = 3 -6 9 = 0.(-6).1+3.6.5+2.1.9 - 5.(-6).2+9.6.0+1.1.3 =
2 6 1
= 0+90+18+60-0-3 = 165
é ù é ùë û ë û
En definitiva, A = 165
Propiedades del determinante
§ El determinante de una matriz y el de su traspuesta son iguales.nxn t A R A A" Î =
A partir de esta propiedad, cualquier resultado acerca del determinante de
una matriz A que esté relacionado con las filas de A tiene una propiedad
análoga relacionada con las columnas de A y viceversa.
§ Si A tiene una fila nula entonces su determinantes es cero.
§ Si A tiene dos filas paralelas iguales entonces su determinante es
cero.
§ Si una fila de una matriz A es el resultado de alguna operación
efectuada con las restantes filas de la matriz entonces el
determinante de A es cero.
Observación. Esta propiedad por lo general se enuncia: “Si una línea de una
matriz A es combinación lineal de las restantes líneas de A entonces el
determinante de la matriz es cero”.
DETERMINANTES DE MATRICES ESPECIALES
§ Si A es una matriz triangular (superior o inferior) entonces su
determinante es el producto de los elementos de la diagonal
principal. En símbolos:
DETERMINANTES
5
11 12 1n
22 2n11 22 nn
nn
a a ... a0 a ... a
A entonces A a . a . . a
0 0 ... a
é ùê úê ú= =ê úê úë û
L
M M M M
11
21 2211 22 nn
n1 n2 nn
a 0 ... 0a a ... 0
A entonces A a . a . . a
a a ... a
é ùê úê ú= =ê úê úë û
K
M M M M
· Si A es una matriz diagonal entonces su determinante es el producto
de los elementos de la diagonal principal.
11
22nxn 11 22 nn
nn
a 0 ... 00 a ... 0
A entonces A a . a . . a
0 0 ... a
é ùê úê ú= =ê úê úë û
L
M M M M
· Si A es una matriz escalar entonces su determinante es la potencia
n-ésima del escalar. En símbolos
nnxn
k 0 ... 00 k ... 0
A entonces A k
0 0 ... k
é ùê úê ú= =ê úê úë û
M M M M
En particular el determinante de la matriz identidad es uno, es decir,
| In | = 1.
· Sean las matrices A y B matrices cuadradas con n filas y a є R
I. En general | A + B | ≠ | A | + | B |
La demostración de esta propiedad se realiza a través de un contraejemplo.
DETERMINANTES
6
Para las matrices1 2 3 1
A y B2 5 1 3
é ù é ù= =ê ú ê úë û ë û
la matriz suma es
4 3A B
3 8é ù
+ = ê úë û
y sus respectivos determinantes son | A | = 1 | B | = 8 y
| A + B | = 23. Como 1 + 8 ≠ 23 se demuestra la propiedad enunciada.
II. | A . B | = | A | . | B |
III. | a . A | = an . | A |
La validez de las dos últimas propiedades “puede comprobarse” empleando
las matrices A y B anteriores
5 7A . B y A . B 8 = 1 . 8 = A . B
11 17é ù
= =ê úë û
2 23 63 . A y 3 . A 9 = 3 . 1 = 3 . A
6 15é ù
= =ê úë û
OPERACIONES ELEMENTALES Y DETERMINANTE
¿Cómo cada una de las operaciones elementales al determinante de una
matriz? Para comenzar a analizarlo, sin pérdida de generalidad, se tomará
una matriz A genérica de orden 2x2 y a partir de ella, se obtendrán tres
matrices diferentes, cada una de ellas surgirá de la matriz A por la
aplicación de una única operación elemental.
Sea 11 12
21 22
a aA
a aé ù
= ê úë û
· Intercambiando las filas de A se obtiene la matriz 21 221
11 12
a aB =
a aé ùê úë û
DETERMINANTES
7
· Multiplicando la primera fila de A por un escalar no nulo se logra la
matriz 11 122
21 22
. a . aB = con 0
a aa aé ù
a ¹ê úë û
.
· Sumando a la primera fila de A la segunda multiplicada por el escalar
b surge la matriz 21 11 22 123
21 22
. a a . a aB =
a ab + b +é ùê úë û
Calculando los determinantes de estas cuatro matrices se obtiene:
11 1211 22 12 21
21 22
a a A = = a . a - a . a
a a
21 221 21 12 11 22
11 12
a a B = = a . a - a . a
a a
( )11 122 11 22 12 21 11 22 12 21
21 22
a a B = = a . a - a . a = a . a - a . a
a aa a
a a a
( ) ( )21 11 22 123 21 11 22 22 12 21
21 22
21 22 11 22 22 21 12 21 11 22 12 21
a a a a B = = a a a - a a a
a a
a a a a - a a a a a a - a a
b + b +b + b + =
= b + b - =
Comparando los determinantes de las matrices B1, B2 y B3 con el
determinante de la matriz A se pueden establecer las siguientes relaciones
1 B A= - 2 B A= a con 0a ¹ 3 B A= Analizarlo!!!
A partir de esto, el determinante de la matriz A puede ser expresado por:
1 A B= - 2 1 A B=a
con 0a ¹ 3 A B= ¿Por qué?
En general, sea Bnxn la matriz equivalente a la matriz Anxn que surge al
aplicarle a la matriz A una sola operación elemental.
· Intercambiando líneas paralelas el determinante cambia de signo.
Simbólicamente: | B | = - | A |
DETERMINANTES
8
· Multiplicando una línea de la matriz por un escalar distinto de cero, el
determinante se multiplica por dicho escalar. En símbolos,
| B | = a | A |
· Adicionando a una línea otra previamente multiplicada por un escalar
el determinante no varía. Simbólicamente: | B | = | A |
Ejercicio a cargo del lector
a) Obtenga una matriz B equivalente a la matriz0 1 5
A 3 -6 92 6 1
é ùê ú= ê úê úë û
aplicando
dos operaciones elementales diferentes por filas.
b) Calcule el determinante de la matriz B.
c) Exprese el determinante de la matriz B como un producto de números
reales empleando el factor 165 porque corresponde al determinante de la
matriz A.
Ejercicio
Exprese alguna conclusión a partir del resultado obtenido en el inciso c) del
ejercicio anterior y los efectos de las operaciones elementales en el cálculo
del determinante de una matriz.
MENOR COMPLEMENTARIO
Dada una matriz cuadrada A, el menor complementario de cada elemento aij
denotado por aij es el determinante de la submatriz que se obtiene al
eliminar la fila i y la columna j de la matriz A.
Cada elemento de la matriz A tiene un menor complementario y para
calcularlo se debe eliminar la fila y columna del elemento en cuestión para
finalmente calcular el determinante de la submatriz resultante.
DETERMINANTES
9
Para simbolizarlo se considerará una matriz11 12 13
3x3 21 22 23
31 32 33
a a a A = a a a
a a a
é ùê úê úê úë û
El menor complementario del elemento a11 se denota por a11 y se debe
calcular a partir del determinante 22 23
32 33
a aa a
es decir, 22 2311
32 33
a aa a
a =
El valor del determinante se puede obtener aplicando alguna de las
propiedades enunciadas si correspondiera o utilizar la regla de Sarrus dada
anteriormente. Por tanto, 22 2311 22 33 32 23
32 33
a a = = a . a - a . a
a aa
De manera similar, el menor complementario del elemento a21, denotado
por a21 es 12 1321 12 33 13 32
32 33
a a = = a . a - a . a
a aa
Ejercicio
Calcular los menores complementarios de los restantes elementos de la
matriz anterior.
ADJUNTO O COFACTOR DE UN ELEMENTO
El adjunto o cofactor de cada elemento aij de la matriz A se denota por Aij y
se define como Aij = (-1)i+j . aij
Para hallar el adjunto o cofactor de cada elemento de una matriz A se debe
calcular su menor complementario y multiplicarlo por el factor (-1)i+j donde
i+j es la suma de los subíndices que indican la posición del elemento aij.
Analizando que la suma entre i y j puede ser un número par o impar se
tiene
Aij = aij cuando i + j es par
Aij = - aij cuando i + j es impar
DETERMINANTES
10
MATRIZ ADJUNTA
Para toda matriz cuadrada A de orden nxn es posible obtener su matriz
adjunta, denotada por Adj(A), formada por los adjuntos de cada uno de los
elementos de A pero expresados en forma traspuesta.
En forma simbólica, para la matriz
11 12 1n
21 22 2nnxn
n1 n2 nn
a a ... aa a ... a
A
a a ... a
é ùê úê ú=ê úê úë û
M M M M
su matriz
adjunta es
11 21 n1
12 22 n2
1n 2n nn
A A ... AA a ... A
Adj (A)
A A ... A
é ùê úê ú=ê úê úë û
M M M M
MÉTODOS DE CÁLCULO DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZCUADRADA
Es importante tener presente que, antes de utilizar cualquiera de los
métodos que se describen a continuación se debe “tratar” de calcular el
valor del determinante aplicando alguna de las propiedades recientemente
enunciadas.
DESARROLLO DEL DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNALÍNEA
Este método emplea para el cálculo del determinante los adjuntos de cada
uno de los elementos de una determinada línea de una matriz y la relación
que existe entre el adjunto y el menor complementario.
En lo que sigue, se exhibe cómo se expresa en forma simbólica el cálculo
del determinante por los elementos de una línea partiendo del determinante
de una matriz de orden 3x3 obtenido mediante la Regla de Sarrus.
Dada una matriz A de orden 3x3, su determinante obtenido por la Regla de
Sarrus se expresa mediante
3x3 11 22 33 21 32 13 31 12 23 13 22 31 23 32 11 33 12 21 A = a a a + a a a + a a a - a a a - a a a - a a a
DETERMINANTES
11
sacando factor común a11, a21 y a31, la expresión anterior queda
3x3 11 22 33 23 32 21 32 13 33 12 31 12 23 13 22 A = a (a a - a a ) + a (a a - a a ) + a (a a - a a )
En cada término de la suma anterior, lo que está entre paréntesis
corresponde a los menores complementarios de los elementos a11, a21 y a31
respectivamente, es por ello que, la expresión anterior puede reescribirse
como
3x3 11 11 21 21 31 31
1+1 2+1 3+111 11 21 21 31 31
A = a . + a . (- ) + a . =
= a . (-1) . + a . (-1) . + a . (-1) .
a a a
a a a
Tomando en consideración la relación que existe entre el adjunto de cada
elemento y su menor complementario, el determinante de A se expresa
3
3x3 11 11 21 21 31 31 i1 i1i=1
A = a . A + a . A + a . A = a . Aå
¿Por qué, en la expresión anterior, el subíndice j de cada aij y cada Aij son
siempre iguales a uno? Simplemente porque el determinante de la matriz A
se desarrolla por los elementos de la primera columna. ¿Y qué sucede con el
subíndice i en cada término? Analizarlo!!!!!!!!!!!
En definitiva “El determinante se puede calcular como la suma de los
productos de cada elemento de una línea (fila o columna) por su respectivo
adjunto”. Esta forma es la que se conoce como desarrollo del determinante
por los elementos de una línea o fórmula de Laplace.
En general, para una matriz Anxn su determinante se puede calcular
haciendon n
i+jnxn i j i j i j i j
i=1 i=1 A = a . A = a . (-1) . aå å para j fijo cuando se lo
desarrolla por una columna.
DETERMINANTES
12
O tambiénn n
i+jnxn i j i j i j i j
j=1 j=1 A = a . A = a . (-1) . aå å para i fijo cuando se lo
desarrolla por una fila.
Ejemplo
El determinante de la matriz0 1 5
A 3 -6 92 6 1
é ùê ú= ê úê úë û
desarrollado por los
elementos de su primera columna es
1 1 2 1 3 1
0 1 5-6 9 1 5 1 5
A = 3 -6 9 = 0.( 1) 3.( 1) 2.( 1) = 6 1 6 1 -6 9
2 6 1
= 0 + 3.(-1).(1-30) + 2.1.(9-(-30)) = 0 + 87 + 78 = 165
+ + +- + - + -
Luego, ½ A ½= 165
Ejercicio
a) Calcular el determinante de0 1 5
A 3 -6 92 6 1
é ùê ú= ê úê úë û
por los elementos de la
tercera fila.
b) ¿Por qué el resultado obtenido en este ejercicio coincide con el del
ejemplo inmediato anterior? Justificarlo.
Propiedad
La suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos o
cofactores de una paralela es igual a cero.
DETERMINANTES
13
Ejercicio
Demostrar la propiedad anterior para una matriz genérica de orden 3x3.
CÁLCULO DEL DETERMINANTE DE UNA MATRIZ POR REDUCCIÓN A
UNO DE MENOR ORDEN
Este método combina el desarrollo del determinante por los elementos de
una línea con el efecto que produce la aplicación reiterada de las
operaciones elementales por filas en el determinante de una matriz.
Para facilitar su comprensión se comienza con un ejemplo calculando
nuevamente el determinante de la matriz0 1 5
A 3 -6 92 6 1
é ùê ú= ê úê úë û
Inicialmente, se aplicará el método del pivote a la matriz A eligiendo,
arbitrariamente, por pivote el elemento a21 = 3. Como la matriz tiene dos
elementos iguales a uno (a12 = 1 y a33 = 1) cualquiera de ellos se podría
elegir como pivote –lo que facilitaría los cómputos-. Sin embargo, la
elección del elemento a21 como pivote permitirá advertir lo que en realidad
sucede al utilizar este método.
0 1 5
Matriz A 3 - 6 9
2 6 1
0 1 5
Matriz B1 - 2 3
0 10 - 5
Al elegir el elemento a21 = 3 como pivote todos los elementos de la segunda
fila se dividen por él pero, esto es equivalente a indicar que dichos
elementos se multiplican por 13
.
DETERMINANTES
14
Sea B la matriz obtenida luego de aplicar en la matriz A las operaciones
elementales por filas y estableciendo la relación que existe entre los
determinantes de ambas se tiene
0 1 5 0 1 5 1 1 B 1 -2 3 = 3 -6 9 = A3 3
0 10 -5 2 6 1=
Sin embargo, se quiere calcular el determinante de A por lo que,
{
pivote
0 1 5 A 3 B 3 1 -2 3
0 10 -5= =
A continuación, se desarrolla este último determinante por los elementos de
la primera columna.
Retomando el cálculo anterior{
pivote
0 1 5 A 3 1 -2 3
0 10 -5= =
( ) ( )( )
1 1 2 1 3 1
determinante de unamatriz de orden (3-1)x(3-1)
-2 3 1 5 1 53 0.( 1) 1.( 1) 0.( 1)
10 -5 10 -5 -2 3
1 53 0+(-1) 0 = 3 ( 1) 1 5 5 10 = 165
10 -5
+ + +æ ö= - + - + - =ç ÷
è ø
æ öç ÷ç ÷= + - - - +ç ÷ç ÷ç ÷è ø
14444244443
En definitiva, ½ A ½= 165
Para aplicar el método de cálculo del determinante de una matriz A de
orden nxn “por reducción a uno de menor orden” se debe obtener una
matriz equivalente B. A continuación, se debe establecer la relación que
existe entre los determinantes de las matrices equivalentes de acuerdo con
el pivote elegido y se procede a desarrollar el determinante de la matriz B
por aquella columna que tiene la mayor cantidad de ceros -que corresponde
a la columna del pivote elegido-. De esta forma sólo quedará por calcular el
determinante de una matriz orden (n-1) x (n-1). Se reitera el mismo
DETERMINANTES
15
procedimiento hasta que haya que calcular el determinante de una matriz
orden 3x3 o 2x2 y, en cualquiera de estos casos se podría aplicar la Regla
de Sarrus.
Es factible, aplicar este método tantas veces como sea posible. En
numerosos casos, se lo utiliza hasta que el último determinante por calcular
sea el de una matriz de orden 1x1.
Ejercicio
Analizar cuáles son las ventajas de la aplicación de este método.
MATRIZ INVERSA
Una matriz B de orden nxn es la inversa de otra matriz A del mismo orden
si A . B = B . A = In. Habitualmente se simboliza a B como A-1.
Cuando una matriz posee matriz inversa se dice que es regular, no singular
o invertible.
Dadas dos matrices cuadradas del mismo orden, para determinar si son
inversas entre sí se deben multiplicar “en modo conmutado” y comprobar si
el resultado es la matriz identidad.
Teorema
Si una matriz cuadrada tiene inversa entonces la inversa es única.
Demostración
Sea A una matriz de orden nxn y supóngase que posee dos matrices
inversas B y C de órdenes nxn.
De acuerdo con la definición de matriz inversa se cumple que
A . B = B . A = In por ser B inversa de A y además, A . C = C . A = In
por ser C inversa de A.
DETERMINANTES
16
Partiendo de A . B = In
Premultiplicando ambos miembros por la matriz C
C . ( A . B ) = C . In
aplicando en el primer miembro la propiedad asociativa y teniendo en
cuenta en el segundo miembro que la matriz In es elemento neutro para el
producto de matrices cuadradas se obtiene
( C . A ) . B = C
como C es inversa de A
In . B = C
Por ser la matriz In elemento neutro para el producto de matrices
cuadradas, se obtiene que
B = C
Con lo que se concluye que la inversa de A es única. Se supuso que la
matriz A tiene dos inversas B y C, y se llega a la conclusión que B y C son
idénticas.
Propiedades
o La inversa de un producto de dos matrices es igual al producto de las
inversas pero en modo conmutado. Simbólicamente
(Anxn . Bnxn) –1 = B –1 . A -1
Demostración
Se debe demostrar que
( A . B ) . ( B –1 . A –1 ) = ( B –1 . A –1 ) . ( A . B ) = In
Para ello, se calcularán ( A . B ) . ( B –1 . A –1 ) y ( B –1 . A –1 ) . ( A . B )
con el propósito de determinar si son iguales a In.
(A.B).(B–1.A–1) = A.(B.(B–1.A–1)) = A.(( B.B–1).A–1) = A.(In.A–1) = A.A–1 =
= In (1)
DETERMINANTES
17
(B–1.A–1).(A.B) = ((B–1.A–1).A).B) = (B–1.(A–1.A)).B = (B–1.In).B = B–1.B =
= In (2)
como los resultados obtenidos en (1) y (2) son iguales se concluye que
B –1 . A –1 es la inversa de A . B, es decir: ( A . B ) –1 = B –1 . A –1
o Si Anxn es invertible entonces la inversa de la matriz inversa es la
matriz original, en símbolos (A-1 ) –1 = A
Demostración
Surge claramente de la definición de matriz inversa, pues
A-1 . A = A . A-1 = In de donde ( A-1 ) –1 es A.
o La inversa de la traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa.
Simbólicamente (At )–1 = (A-1 )t
Demostración
Se debe demostrar que
At . ( A-1)t = ( A-1 )t . At = In
Se calcularán At . ( A-1)t y ( A-1 )t . At con el propósito de determinar si
son iguales a In.
At . ( A-1)t = ( A-1. A )t = ( In )t = In (3)
( A-1)t . At = ( A . A-1)t = ( In )t = In (4)
como los resultados obtenidos en (3) y (4) son iguales se concluye que
( A-1 )t es la inversa de la matriz At.
o La inversa de un producto de escalar por matriz es igual al reciproco
del escalar por la inversa de la matriz siempre que el escalar sea
DETERMINANTES
18
distinto de cero. En forma simbólica (a . A)-1 = (1/ a) . A-1 para
a ≠ 0
Demostración
Se debe demostrar que ( ) -1n
1 . A . . A = Iæ öa ç ÷aè ø y además que
( )-1n
1 . A . . A = Iæ ö aç ÷aè ø
( ) -1 -1 -11 1 1 . A . . A = A . . A = A . . A =æ ö æ öæ ö æ ö æ öa a aç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷a a aè ø è ø è øè ø è ø
( )-1 -1n n
1 1 = . A . A = . . A . A = 1 . I = Iæ öæ ö æ öa aç ÷ç ÷ ç ÷a aè ø è øè ø(5)
( ) ( )( ) ( )( )-1 -1 -11 1 1 . A . . A = . A . . A = . A . . A =æ ö a a aç ÷a a aè ø
( )( ) ( )-1 -1n n
1 1 = . . A . A = . A . A = 1 . I = Iæ öa aç ÷a aè ø(6)
como los resultados obtenidos en (5) y (6) son iguales se concluye que
( ) 1 -11 . A = . A para 0-a a ¹
a.
o La inversa de la suma no es la suma de las inversas, es decir,
(A + B) –1 ¹ A –1 + B –1
La demostración de esta propiedad se realiza a través del siguiente
contraejemplo
Las inversas de las matrices2 1
A3 2
é ù= ê úë û
y2 3
B0 5
é ù= ê úë û
son,
respectivamente
1 2 1A
3 2- -é ù
= ê ú-ë û y 1
312 10B
10 5
--é ù
ê ú= ê úê úë û
Comprobarlo!!!!!!!!!!!!
DETERMINANTES
19
Sin embargo, ( ) 17 116 4A B
3 116 4
--é ù
ê ú+ = ê ú-ê úë û
es diferente de
1 15 132 10A B
113 5
- --é ù
ê ú+ = ê ú-ê úë û
. Con lo cual, queda demostrado que en general
(A + B) –1 ¹ A –1 + B –1
MÉTODOS PARA LA OBTENCIÓN DE LA MATRIZ INVERSA
Existen dos métodos diferentes para el cálculo de la inversa de una matriz
cuadrada en caso de que exista. Uno de ellos, se basa en las operaciones
elementales por filas y el otro, utiliza el determinante de la matriz.
Ahora bien, ¿cuándo una matriz cuadrada tiene inversa? Para contestar este
interrogante se puede recurrir al rango de la matriz o al determinante de la
misma.
· Rango y matriz inversa
Una matriz cuadrada A tiene inversa cuando su rango es máximo. Es decir,
A tiene inversa cuando la matriz reducida de A tiene todas sus filas no
nulas.
Si se tiene en cuenta el valor del rango para indicar si una matriz posee
inversa, el cálculo de ésta se realiza empleando operaciones elementales
por filas y el método correspondiente es el de Gauss – Jordan.
MÉTODO DE GAUSS – JORDAN
Para obtener la matriz inversa de una matriz A de orden nxn, se forma una
nueva matriz de la forma nxn nxn A Ié ùë û y se aplican operaciones elementales
por filas eligiendo los pivotes únicamente en las columnas de A, si se logra
DETERMINANTES
20
que A se convierta en la In, la matriz que queda al lado es la matriz inversa
de A.
El esquema es el siguiente: nxn n -1
n nxn
A I entonces B = A
I Bé ùê úê úë û
.
¿Cómo se justifica?. Para obtener debajo de A la matriz identidad In se
aplican operaciones elementales por filas. Este procedimiento se lleva a
cabo usando la premultiplicación por matrices elementales en forma
sucesiva, es decir, k k-1 3 2 1E
E . E . . . E . E . E . A = I144444444444424444444444443
por lo que
E . A = I (◊)
Pero estas mismas operaciones elementales se realizan en la I que está en
el ángulo superior derecho, obteniéndose k k-1 3 2 1E
E . E . . . E . E . E . I = B144444444444424444444444443
es decir, E . I = B (Δ).
Teniendo en cuenta (◊) y (Δ) queda: E . A = I y E . I = B como la
matriz I es elemento neutro para el producto de matrices cuadradas se
obtiene E = B reemplazando en (◊) B . A = I por lo que B = A-1.
Una matriz inversa es el resultado de un producto finito de matrices
elementales. Analizarlo!!!!!!!!!!!
Teorema
Toda matriz elemental es invertible y la inversa es también una matriz
elemental.
Ejemplo
Sea2 1
A3 2é ù
= ê úë û
para determinar si tiene matriz inversa se forma una nueva
matriz con la I2 de la siguiente manera:2 1 1 03 2 0 1
é ùê úë û
DETERMINANTES
21
A esta matriz de orden 2x4 se le aplica el Método de Gauss – Jordan. Si se
consigue la matriz I2 debajo de A entonces la matriz que está a su derecha
es la inversa de A.
2 1 1 0
3 2 0 1
2 1 1 0
- 1 0 - 2 1
0 1 - 3 2
1 0 2 - 1
1 0 2 -1
0 1 - 3 2
¿Por qué ha sido necesario utilizar la operación elemental “intercambio de
filas paralelas” en la tabla anterior? Analizar!!!!!!!!!!!!!!
De la forma reducida de A se determina que el rango de A es 2, entonces la
matriz 2 13 2
-é ùê ú-ë û
es la inversa de A, y se expresa como 1 2 1A
3 2- -é ù
= ê ú-ë û
· Determinante y matriz inversa
Una matriz cuadrada A tiene inversa cuando su determinante es distinto de
cero.
Pero, antes de exhibir cómo se calcula la inversa de una matriz regular
empleando su determinante se demuestra la siguiente propiedad
En toda matriz cuadrada Anxn se cumple que:
nxnA . Adj (A) Adj (A) . A A . I= =
Demostración
Sin pérdida de generalidad se considerará una matriz cuadrada de orden
3x3.
DETERMINANTES
22
11 12 13 11 21 31
21 22 23 12 22 32
31 32 33 13 23 33
a a a A A AA . Adj (A) a a a . A A A
a a a A A A
é ù é ùê ú ê ú= =ê ú ê úê ú ê úë û ë û
11 11 12 12 13 13 11 21 12 22 13 23 11 31 12 32 13 33
21 11 22 12 23 13 21 21 22 22 23 23 21 31 22 32 23 33
31 11 32 12 33 13 31 21 32 22 33 23 31 31 32 32 33 33
a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A a A =a A a A a A a A a A a A a A a A a A
A
+ + + + + +é ùê ú= + + + + + +ê úê ú+ + + + + +ë û
= 3x3
0 0 1 0 00 A 0 = A . 0 1 0 A . I
0 0 10 0 A
é ù é ùê ú ê ú =ê ú ê úê ú ê úë ûë û
En todos los elementos de la diagonal principal se encuentra el desarrollo
del determinante por los elementos de una línea –en este caso por filas- y
el resto de los elementos corresponden a la propiedad que establece que “la
suma de los productos de los elementos de una línea por los adjuntos o
cofactores de una paralela es igual a cero”. Analizarlo!!!!!!!!!!!!!
Con lo anterior, se demostró que 3x3A . Adj (A) A . I= pero queda como
ejercicio para el lector demostrar, de manera similar, que
3x3Adj (A) . A A . I=
Ahora sí, se está en condiciones de formular el teorema que permite
obtener la inversa de una matriz regular empleando su determinante.
Teorema
Si el determinante de una matriz es diferente de cero entonces la matriz es
invertible y la inversa de la matriz A es 1 1A . Adj (A) A
- =
Demostración
Si A 0¹ en la relación nxnA . Adj (A) Adj (A) . A A . I= =
se puede dividir cada miembro por | A | ≠ 0 con lo cual
DETERMINANTES
23
nxn A . I A . Adj(A) Adj(A) . A A A A
= =
Reescribiendo lo anterior
nxn 1 1 A . . Adj(A) . Adj(A) . A I
A Aæ ö æ ö
= =ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷è ø è ø
Si el producto de dos matrices cuadradas, en modo conmutado, es igual a
la matriz identidad, las matrices son inversas entre sí, es decir,
1 1A . Adj (A) A
- = .
Esta expresión permite obtener la matriz inversa por el denominado
Método de la matriz adjunta.
En este caso, la inversa de una matriz A cuadrada surge como el producto
de un escalar por la matriz adjunta de A. Analizarlo!!!!!!!!!!!!
Ejemplo
La inversa de la matriz2 3
B0 5
é ù= ê úë û
por el método de la adjunta se obtiene
calculando el determinante de B, la matriz Adj (B) y luego efectuando el
producto de escalar por matriz.
El determinante de la matriz B es2 3
B 100 5
= = y la matriz
5 -3Adj (B)
0 2é ù
= ê úë û
Luego, -1
1 -35 -31 2 10B = =
10 0 2 105
é ùê úé ùê úê úê úë ûê úë û
DETERMINANTES
24
IMPORTANTE
Se solicita que toda persona que lea este texto y detecte algún tipo de error, pormás sencillo que parezca, que lo informe a la autora para que lo analice y lo corrija.De esta manera, lectores y usuarios del material podrán contribuir a lapresentación de un trabajo bien elaborado y además, tendrán la oportunidad deretribuir a quien ha realizado este material con la única intención de facilitar elaprendizaje del Álgebra Lineal.
Muchas gracias.María del Carmen Regolini
La bibliografía utilizada para la realización de estas Notas de Cátedra puede
ser consultada en el Programa vigente de la Asignatura.