ElementosdeAlgebraLogica, Conjuntos, Relaciones, Funcionesy algo mas...Dr. CarlosLizamaDepartamentodeMatematicayC.C.FacultaddeCienciasUniversidaddeSantiagodeChilePrefacioEste texto de estudio esta dirigido a estudiantes de primer ciclo de ense - nanza en la Universidad de Santiago de Chile. En el se abordan los aspectosbasicosdematematica, comosonsusfundamentosaxiomaticosapartirdelalogicaylateoradeconjuntos. Sehanescritolosprimeroscaptulosdeeste libro en la conviccion que una buena base formativa en el primer a no deense nanzauniversitariasonfundamentalesparael buenavanceyprogresodel estudianteensutrayectoenlauniversidad. Deestamaneraseabordadesde unprincipiolaideade lademostracionopruebamatematicaperodeunamanerasimpleygradual, avanzandohaciaformas mas abstractashacia el nal del segundo captulo. En el tercer captulo se aborda un clasicotema: InduccionMatematica. Seesperaqueconunabuenacomprensionyejercitacion de los contenidos previos, el estudiante pueda abordar este topicoconmenorgradodedicultadqueelquetradicionalmenteocurre.Los captulos siguientes sonunaeleccionarbitrariadel autor. Sepre-tende cubrir materias que requieren de un manejo uido y que son el mnimonecesario para tratar de asegurar el exito posterior del estudiante. Es com unencontrar jovenes con falencias cuya causal es motivo de discusion y preocu-pacionendiversosestamentos. Sinembargoelobjetivoaquesocuparsedelproblema, eintentardarloselementospararesolverlo. Paraello, el cuar-toyquintocaptuloscomienzanabordandoconceptosbasicosdegeometraanaltica. Laideadegraco, rectayfunciones cuadraticas soncubiertoscongrandetalle. El sextocaptulocubreel material defuncionexponen-cial ylogaritmo. Escom unencontrarfallasenelestudiantecuandoocupapropiedadesbasicasdeestasfuncionesquesonfundamentalesenalgebraycalculo avanzado. Sin embargo un adecuado estudio mediante la visualizaciongracay,apartirdeello,elestudiodesusprincipalespropiedadessubsananotablementeelproblema. Finalmente,elseptimocaptulointroducelano-2ciondesistemasdeecuacionesymatrices,andeprepararelcaminoparauncursoposteriorsobreteoradematricesyalgebralineal.Noesfacilescribiruntextodematematicaanivelelementalcuandoyasehanescritomuchosydemuybuenacalidad. Esfactible, sinembargo,reorganizar el material yaexistente enuntextoque este orientadoalascondicionesparticularesdelosestudiantesdeunauniversidadodeunpro-gramaparticular. Estoes precisamenteloquesehapretendidohacer deestosapuntes.El autoragradecedesdeyaaaquelloslectoresquepuedancontribuiralamejoradeestosapuntesyalaense nanzadelamatematicamediantesusopinionesysugerencias.Especiales agradecimientos a Maricel Caceres, quien escribio en Latex, entiemporecordyconmuchadedicacionypacienciaelmaterialdeestetexto.Dr. CarlosLizamaSantiago,2002.3IndiceGeneral1 Logica 61.1 Tablasdeverdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 ImplicacionyBicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Tautologas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Argumentosyelprincipiodedemostracion. . . . . . . . . . . 181.5 Cuanticadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.6 MetodosdeDemostracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 Conjuntos,RelacionesyFunciones 362.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.2 Conjuntosdevalidezdefuncionesproposicionales . . . . . . . 442.3 Relaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.4 Particionesyrelacionesdeequivalencia . . . . . . . . . . . . . 592.5 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763 Induccionmatematica 803.1 Formasequivalentesdeinduccion . . . . . . . . . . . . . . . . 853.2 ElbinomiodeNewton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94454 Funcionesygracas 984.1 Gracasdeecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.2 Rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1084.3 Gracadeunafuncionreal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.4 Funcionescuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1264.5Algebradefunciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1315 SeccionesConicas 1365.1 Par abolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1365.2 Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1395.3 Hiperbolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1425.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1466 FuncionesExponencialesyLogartmicas 1506.1 Funcionesexponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1506.2 Funcioneslogartmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.3 Propiedadesdeloslogartmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1586.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1627 SistemasdeEcuacionesyMatrices 1667.1 Sistemasdeecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1667.2 Sistemasdeecuacioneslineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1717.3 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1737.4Algebradematrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1787.5 Inversadeunamatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1827.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Captulo1Logica1.1 TablasdeverdadLa construccion de la logica se realiza medianteproposiciones. Una proposi-cionesunasentenciadeclarativalacual puedeserverdaderaofalsa, peronoambasal mismotiempo, por ejemplo, 2esmayor que3ytodos lostriangulos equilateros son equiangularesson proposiciones, mientras que x 7.c)3 + 5 7.d)x23x + 2 = 0noesunaecuacioncuadratica.e)Noesverdadquex23x + 2 = 0noesunaecuacioncuadratica.f)x23x + 2 = 0esunaecuacioncuadratica.Observemosque(b)y(c)sonnegacionesde(a);(e)y(f)sonnegacionesde(d). Sinembargo,(c)y(f)sepreerensobre(b)y(e)respectivamente.Seusaralamismaconvenci onpara quecomopara enalgebra,estoes, seaplicasoloal smbolosiguiente, queennuestrocasorepresentaunaproposicion. As p qsignica (p) qen vez de (p q), tal como 3 +4representa1yno 7.Laconvencionanterior noes siempre facil de entender enel lenguajehabitual. Supongamos que p representa 2+2 = 4y qrepresenta 3+2 < 4. EntoncesNoesel casoque2 + 2=4o3 + 2 0p3(x) : x 2 < 0p4(x) : x 1 < 0Entoncesp(x)esequivalentea:[p1(x)yp2(x)] o [p3(x)yp4(x)].2.3. RELACIONES 47Observemosahoraque(ennotaciondeintervalos):P1= (2, )P2= (1, )P3= (, 2)P4= (, 1).Entonces,elconjuntodevalidezparap(x)es:(P1 P2) (P3 P4),estoes:[(2, ) 1, )] [(, 2) (, 1)] = (2, ) (, 1) = R [1, 2].(Vericaci on: Ejercicio).2.3 RelacionesSabemos que un conjunto esta determinado por sus elementos; esto es, {a, b} ={b, a}yqueelordenenelcualloselementosaparecennohacediferencia.Enocasiones, deseamos distinguir cuandolos mismos elementos estanpuestosenordendiferente. Parahacerestointroducimoselconceptodeparordenado.Es posible realizar lo anterior en terminos de conjuntos (ver lista de ejer-cicios), sinembargoestadenicionnoesmuy util, demaneraqueconside-raremos unpar ordenadocomounterminoindenido. Lanotacionseraestandar:(a, b)48 CAPITULO2. CONJUNTOS,RELACIONESYFUNCIONESdondeaeselprimerelementoybeselsegundoelemento. Lapropiedadenlacualestamosrealmenteinteresadoses:Denicion13Sean(a, b), (c, d)paresordenados. Entonces(a, b)=(c, d)siysolosia = cyb = d.Notequeladenicionanteriordistingueorden: (a, b) =(b, a)amenosquea = b.Conel conceptodeparordenado, sepuededenirunanuevaoperacionentreconjuntos: Elproductocartesianodedosconjuntos:Denicion14SeanA, Bconjuntos. El productocartesianodeAconB,denotadoA B; es el conjuntode todos los pares ordenados conprimerelementoenAysegundoelementoenB. Ensimbolos:A B= {(a, b) : a Ayb B}.Ejemplo: SiA = {1, 2, 3},B= {a, b},C= entonces:A B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}B A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}A C = B C = .SepuedegracarA Benunarreglorectangular:b (1, b) (2, b) (3, b)Ba (1, a) (2, a) (3, a)1 2 3AObserve en este ejemplo que AB = BA y que AC= BCno implicaqueA = B.2.3. RELACIONES 49Denicion15SeanA, Bconjuntos. UnarelaciondeAaBes unsub-conjuntodeA B. Si ResunarelaciondeAaBentoncesunelemento(a, b) Rseradenotadocomo:aRb.El dominiode R(denotadoDom(R))esel conjuntodetodoslosprimeroselementosde R;ensimbolosDom(R) = {a: (a, b) R} = {a: aRb}.La imagen de R (denotado por Im(R)) es el conjunto de todos los segundoselementosde R;ensimbolosIm(R) = {b: (a, b) R} = {b: aRb}.ObservequeDom(R) AyIm(R) B.SiA = Bsediceque ResunarelacionenA.Ejemplo: SeaA= {1, 2, 3}y Rlarelacionmenor queenA; estoes:aRbsiysolosia < b. Sepuedeilustrarloanteriorconundiagrama:3 (1, 3) (2, 3) (3, 3)A 2 (1, 2) (2, 2) (3, 2)1 (1, 1) (2, 1) (3, 1)1 2 3Adonde cada elemento de este arreglo es un elemento deAA y, (1, 3),(2, 3)y(1, 2)sonlosparesordenadosdelarelacion R.Enesteejemplo: Dom(R) = {1, 2},Im(R) = {2, 3}.50 CAPITULO2. CONJUNTOS,RELACIONESYFUNCIONESAntes de seguir adelante con la teora, veremos una serie de ejemplos parajarideas.a) SeaAel conjuntode todas las personas (vivas) del mundo. Parax, y Adenimos:xRysiysolosiyeselpadredex.Entonces Res unarelacionenA. Los pares ordenados sondelaforma:(x, padredex)yDom(R) = {x: unodelospadresdexestavivo }.Ejercicio: EncuentreIm(R).b)SeaA = R. Parax, y RdenimosxRysiysolosiy= x2.Entonces Res una relacion en R y los pares ordenados son de la forma (x, x2).Notequeloanteriorcorrespondeanuestrafamiliarparabola. Dom(R) = R,Im(R)= {x: x 0}. Engeneral todaslasfuncionesqueconocemossonrelaciones.c)SeaAcualquierconjunto. Parax, y AsedenexRysiysolosix = y.Entonces R es una relacion en A. Los pares ordenados son de la forma (x, x),Dom(R) = AyIm(R) = A.d)SeaAcualquierconjunto. SiB,CsonsubconjuntosdeAsedene:BRCsiysolosiB C.Entonces Res unarelacionenP(A) yDom(R) =Im(R) =P(A). Enparticular,siA = {1, 2},entoncesR = {(, ), (, {1}), (, {2}), (, A), ({1}, {1}), ({1}, A), ({2}, {2}), ({2}, A), (A, A)}2.3. RELACIONES 51e)SeaAelconjuntodetodosloschilenosyseaBelconjuntodeenterospositivosmenorque100.000.000. Parax Ayy BdenimosxRysiysolosiyeseln umerodecarnedex.Entonces R es una relacion de A en B. Los pares ordenados son de la forma:(persona, n umerodecarnedelapersona),Dom(R) = {x: xesunapersonaquetieneunn umerodecarne} y Im(R) ={x: xesalg unn umerodecarne }.f)SeaA= {1, 2, 3}, B= {1, 2}. Entonces R= {(3, 1), (3, 2)}, S= ,T = A BsontodasrelacionesdeAenB.Dom(R) = {3}, Im(R) = {1, 2}Dom(S) = , Im(S) = Dom(T ) = A, Im(T ) = B.Notequelas relaciones nonecesariamentetienensentido, oposeenunaparticularregladeformacion.g)SeanA,Bconjuntosdeproposicionesyparap A,q Bsedene:pRqsiysolosip qesunatautologa. Entonces ResunarelaciondeAenByunparordenado(p, q) Rsiysolosiqesunaconsecuencialogicadep.Ejercicio: EncuentreIm(R).h) SeaAel conjuntodetodos los triangulos enel plano. Si s, t AdiremosquesRtsiysolosisessimilar(semejante)at. Entonces ResunarelacionenAyDom(R) = Im(R) = A(Vericaci on: Ejercicio).52 CAPITULO2. CONJUNTOS,RELACIONESYFUNCIONESi)Parax, y RsedenexRysi ysolosi x y. Entonces Resunarelacionen RconDom(R) = Im(R) = R.j) Para x, y Z se dene xRysi y solo si x divide a y(lo cual se denota:x|y)ysedenecomo:x|y z Zy= xz.As: 3|6, 2|8, 3|6, 3| 9, 2|0 y 2 no divide a 9, que se escribe 2 /| 9. EntoncesRes una relacion en Z, con Dom(R) = Im(R) = Z (ya que cada entero se di-vide a si mismo). Elementos tpicos de Rson: (1, 3), (7, 21), (1001, 1001), (1, 3).k)Parax, y NsedenexRysiysolosi5|(x y). Entonces Resunarelacionen NconDom(R) = Im(R) = N(Vericacion: Ejercicio).Existenciertaspropiedadesqueunarelacionpuedeonoposeer;algunasdelasmasimportantessonlassiguientes:Denicion16Sea Runarelacionenel conjuntoA. Diremosque:a) Resreexivasiysolosi a A,aRa.b) Ressimetricasiysolosi a, b A,aRb bRa.c) Restransitivasiysolosi a, b, c A,(aRb bRc) aRc.d) Resantisimetricasiysolosi a, b A,(aRb bRa) a = b.e) Resirreexivasiysolosi a A, (aRa)(oa / Ra).f ) Rescompletasiysolosi a, b A,a = b (aRb bRa).g) Resasimetricasiysolosi a, b A,aRb (bRa).h) Resunarelaciondeequivalenciasiysolosi Resreexiva,simetricaytransitiva.i) Res unordenparcial si ysolosi Res reexiva, transitivayanti-simetrica.j) Resunordenparcialestrictosiysolosi Resirreexivaytransitiva.k) Resunordentotal siysolosi Resunordenparcial ycompleta.2.3. RELACIONES 53l) Resunordentotal estrictosiysolosiesunordenparcial estrictoycompleta.Ejemplo: SeaA = {1, 2, 3, 4}yR = {(1, 2), (2, 3)}S = {(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1), (3, 4)}T = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)}.Entonces:Rnoesreexiva, noessimetrica, noestransitiva, esantisimetrica, esirreexiva,noescompleta,esasimetrica.Sno es reexiva,no es simetrica,es transitiva,no es antisimetrica,no esirreexiva,noescompleta,noesasimetrica.Tes reexiva, es simetrica, es transitiva, es antisimetrica, no es irreexiva,noescompleta,noesasimetrica.Sepuedetambientenerunaideagracadelaspropiedadesanteriores.Por ejemplo, si A= {1, 2, 3, 4}, entonces paraque Rseareexiva, debeconteneral menosladiagonalprincipal.4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4)3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3)2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2)1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1)1 2 3 4ASi Ressimetrica, entoncessugracodebesersimetricoconrespectoaladiagonal principal: As, si (2, 3)y(4, 2)sonelementosde Rentonces(3, 2)54 CAPITULO2. CONJUNTOS,RELACIONESYFUNCIONESy(2, 4)debentambienestaren R.4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4)3 (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3)2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2)1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1)1 2 3 4AAlgunos de los ejemplos dados (a)-k)) tambien satisfacen algunas propiedadesdeladenicion16. Porejemplo:=: esunarelaciondeequivalencia.y : sonordenesparciales.r bloqueesunacontradiccion(puesresmenorelementodeS). As,r < b.Como un ejemplo de un resultado usando principio de induccion completa,consideremoselsiguiente.Teorema48Sean N. Entoncesn = 1,nesunn umeroprimoonesunproductoden umerosprimos(recuerdequeunn umeroprimoesunn umeronatural cuyos unicosfactoresson1yel mismon umero).Demostracion. Si se dene p(n) como la proposicion n = 1 o n es un primoonesunproductodeprimosentoncesdeseamosprobarque n N,p(n).SeaS= {n N: p(n)esverdadero }.90 CAPITULO3. INDUCCIONMATEMATICAClaramente1 S.Ahorasupongamosque1, 2, . . . , ksontodoselementosdeSyconsidere-mosk + 1.Sik + 1esunprimo,lapruebaestaconcluida.Supongamosquek + 1noesprimo.Yaquek+ 1noes unprimoestedebetener factores menores queelmismo(ymayoresque1),digamosrys;estoes,k + 1 = r s.Ahora,ryssonamboselementosdeS(puessonmenoresquek + 1)yassonprimosobienproductosdeprimos.Peroentoncessehaescritok + 1comounproductodeprimos, yluegok + 1 S. Porelprincipiodeinduccioncompleta,setieneS= N.3.2 ElbinomiodeNewtonComo una aplicacion adicional del principio de induccion matematica, vamosaprobarenestaseccionelconocidoTeoremadel binomiodeNewton.Ande enunciar el resultado, requerimos denir el siguiente objetomatematico: Dadosn, k Ntalesquek ndenotamos_nk_=n!k!(n k)!donde p! = 1 2 p (p N) corresponde al llamado factorial de un n umeronaturalp. As,porejemplo,1! = 12! = 1 2 = 23! = 1 2 3 = 6.3.2. ELBINOMIODENEWTON 91El simbolo_nk_se lee n sobre k y posee las siguientes propiedades, entreotras.(1)_n0_=_nn_= 1(2)_n + 1k_=_nk_+_nk 1_Lademostraciondelasidentidadesanterioresnosondifcilesysedejancomoejercicioparaellector.Recordemosqueelsimbolon

k=1akdondeak Rparacadan N,denotalasuma:a1 + a2 + a3 + + an.Conlasnotacionesprecedentes,podemosenunciaryprobarelsiguiente.Teorema49Dadosa, b Ryn Nsetiene(a + b)n=n

k=0_nk_ankbk.Demostracion. Cuandon = 1,setiene(a +b)1=1

k=0_1k_a1kbklocualesclaramenteverdaderoyaquelasumadelladoderechoesiguala:_10_a10b0+_11_a11b1.92 CAPITULO3. INDUCCIONMATEMATICASupongamos ahora que el teorema es verdadero para n. Debemos probar que(a + b)n+1=n+1

k=0_n + 1k_an+1kbk.Paraesten,escribimos:(a + b)n+1= (a + b)n(a + b)= (a + b)na + (a + b)nb=_n

k=0_nk_ankbk_a +_n

k=0_nk_ankbk_b=n

k=0_nk_an+1kbk+n

k=0_nk_ankbk+1=_n0_an+1b0+n

k=1_nk_an+1kbk+n

k=0_nk_ankbk+1.Desarrollamoseltercersumando,haciendot = k + 1. Luegon

k=0_nk_ankbk+1=n+1

t=1_nt 1_an+1tbt.Comotesunavariablejaperoarbitrariapodemosescribirn

k=0_nk_ankbk+1=n+1

k=1_nk 1_an+1kbk.Luego,queda:(a + b)n+1=_n0_an+1b0+n

k=1_nk_an+1kbk+n+1

k=1_nk 1_an+1kbk=_n0_an+1b0+n

k=1_nk_an+1kbk+n+1

k=1_nk 1_an+1kbk+_nn_a0bn+1=_n0_an+1b0+n

k=1__nk_+_nk 1__an+1kbk+_nn_a0bn+1().3.2. ELBINOMIODENEWTON 93Usandolapropiedad(2) vistapreviamente, obtenemos queloanterior esiguala_n0_an+1b0+n

k=1_n + 1k_an+1kbk+_nn_a0bn+1.Ahora,noesdifcilver,pordenicion,que_n0_=_n + 10_= 1 y_nn_=_n + 1n + 1_= 1.Luego,laexpresion()eslomismoque_n + 10_an+1b0+n

k=1_n + 1k_an+1kbk+_n + 1n + 1_a0bn+1=n

k=0_n + 1k_an+1kbk,queesloquequeramosprobar.94 CAPITULO3. INDUCCIONMATEMATICA3.3 Ejercicios1. Pruebeusandoinduccion:a) n N,n

i=1i2=n(n + 1)(2n + 1)6.b) n N,n

i=1i3=_n(n + 1)2_2.c) n N,n

i=11(2i + 1)(2i 1)=n2n + 1.d) n N,n

i=1(3i 1) =n2(3n + 1).e) n N,n

i=13i1=3n12.f) n N,n

i=112i(i + 1) =n(n + 1)(n + 2)6.g) n N,n

i=1i2i1= 1 + (n 1)2n.h) n N,n

i=1(3i 2) =n(3n 1)2.i) n N,12+ 32+ 52+ + (2n 1)2=n(2n 1)(2n + 1)3.j) n N,14+ 24+ + n4=n(n + 1)(2n + 1)(3n2+ 3n 1)30.k) n N,15+ 25+ + n5=n2(n + 1)2(2n2+ 2n 1)12.l) n N,16+ 26+ + n6=n77+n62+n52n36+n42.m) n N,1 2 + 2 3 + + n(n + 1) =n(n + 1)(n + 2)3.3.3. EJERCICIOS 95n) n N, 1 2+3 4+5 6+ +(2n1)(2n) =n(n + 1)(4n 1)3.o) n N, 1 2 3 + 2 3 4 + 3 4 5 + + n(n + 1)(n + 2)=n(n + 1)(n + 2)(n + 3)4.p) n N,x2ny2nesdivisiblepor(x y).q) n N,x2n1+ y2n1esdivisiblepor(x + y).r) n N,n3+ 2nesdivisiblepor3.s) n N,2n + (1)n+1esdivisiblepor3.t) n N,10n+ 3 4n+1+ 5esdivisiblepor9.u) n N,52n+ (1)n+1esdivisiblepor13.v) n N,72n+ 16 1esdivisiblepor64.w) n N,2304|(72n48n 1).x) n N,1/1 + 1/2 + + 1/n 2n 1.y) n N,1k+ 2k+ + nk nk+1.z) n N,(1 + x)n 1 + nx,six 1.2. Encuentreelmenorenteropositivojparaelqueelenunciadoesver-dadero; con el principio extendido de induccion matematica pruebe quelaformulaesverdaderaparatodoenteromayorquej.a) n + 12 n2.b) n2+ 18 n3.c) 5 + log2n n.d) n2 2n.e) 2n + 2 2n.f) nlog2n + 20 n2.96 CAPITULO3. INDUCCIONMATEMATICA3. Expreselasumaenterminosden.a)n

k=1(k2+ 3k + 5).b)n

k=1(3k22k + 1).c)n

k=1(2k 3)2.d)n

k=1(k3+ 2k2k + 4).4. Eval uelaexpresion.a) 2!6!b) 7!0!c)8!5!d)_55_e)_75_f)_134_5. Reescribalassiguientesexpresionessinfactoriales.a)(2n + 2)!(2n)!b)(3n + 1)!(3n 1)!6. Utiliceelteoremadelbinomioparaexpandirysimplicar.3.3. EJERCICIOS 97a) (4x y)3b) (a + b)6c) (a b)6d) (3x 5y)4e) (13x + y2)5f) (1x2+ 3x)6g) (x 1x)57. Sinexpandir por completo, encuentre los terminos indicados enlaexpansiondelaexpresion.a) (3c2/5+ c4/5)25; primerostresterminos.b) (4b13b)15; ultimostresterminos.c)_3c+c24_7; sextotermino.d)_13u + 4v_8; septimotermino.e) (x1/2+ y1/2)8; terminodelmedio.f) (2y + x2)8; terminoquecontienex10.g) (3b32a2)4; terminoquecontieneb9.h)_3x 14x_6; terminoquenocontienex.8. Demuestreque:a)_n1_=_nn 1_;paran 1.b)_n0_=_nn_;paran 0.Captulo4FuncionesygracasEnestecaptuloestudiamoslaspropiedadesdefunciones,paralocualusa -mosmetodosalgebraicosygracosqueincluyenlalocalizaciondepuntos,determinaciondesimetrasydesplazamientoshorizontalesyverticales.Introducimosunsistemadecoordenadasrectangularesocartesianasenunplanopor mediodos rectascoordenadasperpendicularesllamadas ejescoordenados, quesecortanenel origenO(vergura). Larectahorizontalrecibeelnombredeejexylaverticaleldeejey;seindicanconXeYrespectivamente. Con lo anterior, se trata de un plano coordenado o plano xy.Los ejes coordenados lo dividen en cuatro partes llamadas primero, segundo,terceroycuartocuadrantes(vergura;I,II,III,IV).Lospuntosdelosejesnopertenecenacuadrantealguno.XI IIO`YIVIII9899A cada punto Pde un plano xy se le puede asignar un par ordenado (a, b),seg unseapreciaenlagurasiguiente. Elprimerelementodelparordenadoesllamadolacoordenadax(oabsisa)dePyel segundoelementodel parordenadoesllamadolacoordenaday(uordenada)deP. DecimosquePtienecoordenadas(a, b)ynosreferimosalpunto(a, b)oalpuntoP(a, b). Ala inversa, todo par ordenado (a, b) determina al punto Pcon coordenadas ayb.X (a, b)bO`YaPodemosutilizarel teoremadePitagorasparadenirladistanciaentredospuntosdeunplanocoordenado.Denicion50La distancia d(P1, P2) entre dos puntos cualesquiera P1(x1, y1)yP2(x2, y2)deunplanocoordenadoesd(P1, P2) =_(x2x1)2+ (y2y1)2.La formula anterior para deninir la distancia entre dos puntos del plano noesla unica. Otradeniciones:d(P1, P2) = max{|x2x1| , |y2y1|}.100 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICASPodemos hallar el punto medio de unsegmento de recta de P1(x1, y1) aP2(x2, y2)como:_x1 + x22, y1 + y22_.Notesequelacoordenadaxdelpuntomediocorrespondealpromediodelascoordenadasx. Analogamenteparalacoordenaday.Ejemplo: El punto medio Mdel segmento de recta de P1(2, 3) a P2(4, 2)esM=_2 + 42, 3 + (2)2_=_1, 12_observemos, adicionalmente, que la distancia de P1 a Mes igual a la distanciadeP2aMyaque:d(P1, M) =_(1 + 2)2+ (12 3)2=_9 +254yd(P2, M) =_(1 4)2+ (12+ 2)2=_9 +254.As,d(P1, M) = d(P2, M).4.1 GracasdeecuacionesEnocasiones, dos cantidades se relacionanpor mediode unaecuacionoformulacondos variables. Por ejemploy =x2oy2=5x 1. Enestaseccion, analizaremos comorepresentar geometricamente tal ecuacionconunagracaenunplanocoordenado. Lagracapuedeservirparadescubrirpropiedadesdelascantidadesquenoeranevidentesenlasimpleecuacion.4.1. GRAFICASDEECUACIONES 101Cadasolucion(a, b)deunaecuacionenxyytieneunpuntoP(a, b)enunplano coordenado. Elconjunto de todos estos n umeros es la graca de laecuacion.Paratrazar lagracadelaecuacion, ilustramos las caractersticas re -levantesdelagracadeunplanocoordenado. Encasossencillossetrazalocalizandounoscuantospuntos, si loshay. Conunaecuacioncomplicada,la ubicacion de puntos puede dar muy poca informacion sobre la graca. Entalescasos,convieneutilizarmetodosdecalculo.Ejemplo: Trazarlagracadelaecuaciony= 2x 1.Deseamos encontrar los puntos (x, y) de un plano coordenado que corres -pondanalassolucionesdelaecuacion. Es util anotarlascoordenadasdevariosdetalespuntosenunatabla, dondeparacadaxobtenemosel valordeyparay= 2x 1:x -3 -2 -1 0 1 2 3y -7 -5 -3 -1 1 3 5Es evidente que los puntos con estas coordenadas se encuentran en una rectaporloquetrazamoslasiguientegraca: ////////////////////// (3, 5) (2, 3) (1, 1) (0, 1) (1, 3) (2, 5)`102 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICASEsimposibletrazartodalagracadel ejemplo, puessepuedenasignarvalores a x tan grandes como se desee. En general, el trazo de una graca hadeilustrarsuscaractersticasesenciales,demaneraquelaspartesrestantes(nodibujadas)seanevidentes.Ejemplo: Dibujarlagracadelaecuaciony= x23.Al sustituir los valores de x y hallar los valores correspondientes de ycony=x2 3, llegamosaunatabladecoordenadasconvariospuntosdelagracax -3 -2 -1 0 1 2 3y 6 1 -2 -3 -2 1 6Localizarlospuntosdadosporlatablaydibujarunacurvasuavequepaseporestospuntosnosdaelsiguientetrazo:`Lagracaanterioresunaparabola,yelejeyeselejedelaparabola. Elpunto mas bajo (0, 3) es el vertice de la parabola y decimos que la parabolaabrehaciaarriba. Siinvertimoslagraca,laparabolaabrehaciaabajoyelverticeeselpuntomasaltodelagraca.4.1. GRAFICASDEECUACIONES 103Engeneral,lagracadecualquierecuaciondelaformay= ax2+ c,a = 0es una parabola con vertice (0, c) que abre hacia arriba si a > 0 o hacia abajosi a0estaformadoportodoslospuntosdelplanoqueestanaunadistanciardeC. As,laecuacionestandardeuncrculoconcentro(h, k)yradiorestadadaporlaformula(x h)2+ (y k)2= r2.Sih = 0yk= 0,estaecuacionsereduceax2+ y2= r2,queeslaecuaciondeuncrculoderadiorconcentroenel origen. Si r=1, lagracaesuncrculounitario[x2+y2= r2](0,r)(0,-r)8796`(r, 0)(r, 0)Ejemplo: EncontremoslaecuaciondeuncrculoquetienecentroC(2, 3)ycontieneelpuntoD(4, 5).PuestoqueDestaenelcrculo,elradioresd(C, D). Porlaformuladeladistancia,r =_(4 + 2)2+ (5 3)2=36 + 4 =40.Escribiendo la ecuacion estandar de un crculo con h = 2, k = 3 y r =40,obtenemos(x + 2)2+ (y 3)2= 40,equivalentemente,x2+ y2+ 4x 6y 27 = 0.106 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICASObservese del ejemplo anterior que al elevar al cuadrado los terminos de unaecuacion de la forma (xh)2+(yk)2= r2y simplicar lleva a una ecuaciondeltipox2+ y2+ ax + by + c = 0dondea,b,csonn umerosreales.A la inversa, si comenzamos con esta ecuacion es posible, al completar loscuadrados,obtenerunaecuaciondelaforma(x h)2+ (y k)2= d.Ejemplo: Encontremoselcentroyradiodelcrculocuyaecuaciones3x2+ 3y312x + 18y= 9.En vista de que es mas facil completar el cuadrado si los coecientes de x2yy2son1,comencemosdividiendolaecuacionentre3:x2+ y34x + 6y= 3.Enseguidareescribimoslaecuacioncomosigue(losespaciossubrayadosre -presentann umerospordeterminar):(x24x + ) + (y2+ 6y + ) = 3 + + .Luego, completamos los cuadrados para las expresiones dentro de parentesis,cuidando de sumar los n umeros adecuados a ambos lados de la ecuacion. A ndecompletarelcuadradoparaunaexpresiondelaformax2+ax,a nadimosel cuadrado de la mitad del coeciente de x (esto es_a2_2) a ambos lados delaecuacion. Enesteejemplo,a = 4,luego(a2)2= (2)2= 4ya = 6llevaa(a2)2= (3)2= 9. Estasoperacionesllevana:(x24x + 4) + (y2+ 6y + 9) = 3 + 4 + 94.1. GRAFICASDEECUACIONES 107equivalentemente(x 2)2+ (y + 3)2= 16.Al comparar la ultima ecuacion con la ecuacion estandar de un crculo, vemosqueh = 2yk= 3. Concluimosqueelcrculotienecentro(2, 3)yradio16 = 4.Enalgunas aplicaciones es necesariotrabajar consololamitaddeuncrculo; es decir, unsemicrculo. El proximoejemploindicacomohallarecuacionesparasemicrculosdecrculosconcentroenelorigen.Ejemplo:Encontremos ecuaciones para las mitades superior, inferior, derechaeizquierdadelcrculox2+ y2= 81.Notemos que la graca de x2+y2= 81 es un crculo de radio 9 con centroen el origen. Despejemos yen terminos de x con objeto de hallar ecuacionesparalamitadsuperioreinferior.x2+ y2= 81 y2= 81 x2 y= 81 x2.Puestoque81 x20,sededucequelamitadsuperiordelcrculotienelaecuaciony=81 x2(yespositiva)ylamitadinferiorestadadapory= 81 x2(yesnegativa). `96y=81 x2 `87y= 81 x2108 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICASDel mismomodo, andehallarecuacionesparalasmitadesderechaeizquierda, sedespejaxenterminosdeydelaecuacionx2+ y2=81yseobtienex = _81 y2.Dadoque_81 y2 0,sededucequelamitadderechadelcrculotienelaecuacionx=_81 y2(xespositiva)ylamitadizquierdaestadadaporx = _81 y2(xesnegativa). `8x = _81 y2 `7x =_81 y24.2 RectasUnode los conceptos basicos enalgebraes el de recta. Enestaseccionlimitaremosnuestroestudioalasrectasdeunplanocoordenado,loquenospermitiraelusodemetodosalgebraicosparaestudiarsuspropiedades.Elconceptoquesigueesfundamentalparaelestudiodelasrectas.Denicion51SealunarectaquenoesparalelaalejeyyseanP1(x1, y1),P2(x2, y2)puntosdiferentesdel. Lapendientemdel esm =y2y1x2x1.4.2. RECTAS 109En la gura siguiente la pendiente es positiva y decimos que la recta se levantaosube.l

`En la gura siguiente la pendiente es negativa y diremos que la recta bajaocae.l``````````Al hallar lapendientedeunarectanoimportaquepuntomarquemoscomoP1yP2. Asimismo, laelecciondelosdospuntosqueseescojanenlnoafectanladeniciondependiente.Ejemplo: Trazar larectaque pasapor P1(1, 4) yP2(3, 2) yencontrarsupendiente.Usamosladeniciondependienteyencontramosm =2 43 (1)= 24= 12,110 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICASungracoes:`````````Acontinuaci onencontramosunaecuaciondelarectal quepasaporunpuntoP1(x1, y1)conpendientem.SiP(x, y)escualquierpuntoconx = x1,entoncesPestasobrelarectalsiysolosilapendientedelarectaquepasaporP1yPesm;esdecir,siy y1x x1= m.Estaecuacionsepuedeescribirenlaformay y1= m(x x1).Estaecuacionparalseconocecomoformadepunto-pendiente.Laformaanterioressolounaposibilidadparaunaecuaciondeunarec-ta. Haymuchasecuacionesequivalentes. Avecessimplicamoslaecuacionobtenidausandolaformadepunto-pendienteaax + by= c o ax + by + d = 0dondea,bycsonenterossinfactorcom un,a > 0yd = c.Ejemplo: EncontrarlaecuaciondelarectaquepasaporP(2, 1)ytienependiente53.4.2. RECTAS 111Usandolaformapuntopendiente,encontramosy =52(x 2) + 1=53x 103+ 1=53x 73Ejemplo:Encontrar una ecuacion de la recta que pasa por P1(1, 7) y P2(3, 2).Laformuladelapendientemnosdam =7 21 (3)=54.PodemosusarlascoordenadasdeP1oP2para(x1, y1)enlaformapunto-pendiente. ConP1(1, 7)tendremosy 7 =54(x 1)equivalentemente 4(y7) = 5(x1) o 4y28 = 5x5, que tambien podemosescribircomo5x 4y= 23.La ultima ecuacion es una de las formas deseadas para la ecuacion de unarecta. Otraes5x 4y + 23 = 0.La forma de punto-pendiente para la ecuacion de una recta se puede reescribircomo: y= mx mx1 + y1,queesdelaformay= mx + bconb= mx1 + y1. El n umeroreal beslainterseccioneny(oabscisaalorigenoordenadaal origen)delagracacomomuestralasiguientegura: (0,b)

`112 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICASDado que la ecuacion y= mx+b muestra la pendiente m y la intersecci onigual abenydel; sellamaformadependienteinterseccionopendiente-ordenada al origen para la ecuacion de una recta. A la inversa, si comenzamoscony= mx + b,podemosescribiry b = m(x 0).Al compararestaecuacionconlaformadepunto-pendiente, vemosquelagracaesunarectaconpendientemquepasaporelpunto(0, b).Ejemplo: Escribamos laecuacion2x 5y =8enformade pendiente-interseccion. Nuestro objetivo es despejar y de la ecuacion dada para obtenerlaformay= mx + b. Tenemos:2x 5y = 8 5y = 2x + 8 y =_25_x +85 y =25x + 85La ultimaecuacionesdelaformapendienteintersecciony=mx + bconpendientem =25yordenadaalorigenigualab = 85.Delaformadepunto-pendiente,sededucequetodarectaesunagracadeunaecuacionax + by= c,dondea, bycsonn umerosrealesya, bnosonceroambos. Estaecuacionsedenominaecuacionlinealenxey.Porlovistoanteriormente, resultaclaroquelagracadeunaecuacionlinealax +by= cesunarectay,recprocamente,todarectaeslagracadeunaecuacionlineal.4.2. RECTAS 113Ejemplo: Trazarlagracade2x 5y= 8.Por nuestro analisis anterior sabemos que la graca es una recta, de modoquebastahallardospuntosdelagraca. Encontremoslasinterseccionesenxyysustituyendoy=0yx=0, respectivamente, enlaecuaciondada,2x 5y= 8.Intersecci onx: Siy= 0,entonces2x = 8,obienx = 4.Intersecci ony: Six = 0,entonces 5y= 8,obieny=85.Gracamos las intersecciones (4, 0) y (0, 85), tendemos una recta que paseporellos,yllegamosalagracasiguiente: (0, 85)(4,0)

`El resultadoacontinuacionespecicalarelacionentrerectas paralelas(rectasenunplanoquenosecortan)ypendiente.Teorema52Dos rectas noverticales sonparalelas si ysolosi tienenlamismapendiente.Lademostraciondelteoremaanterioresunejercicioparaellector.Ejemplo: Encontremos unaecuacionde larectaque pasapor P(5, 7)queesparalelaalarecta6x + 3y= 4.Primeroseexpresalaecuaciondadaenformapendiente-interseccion:y= 2x +43.114 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICASDeducimosquem= 2. Puestoquelasrectasparalelasposeenlamismapendiente,larectalarectarequeridatambientienependiente 2.ConelpuntoP(5, 7)usamoslaformapunto-pendienteyobtenemosy (7) = 2(x 5) y + 7 = 2x + 10 y = 2x + 3.Unagracaescomosigue: P`````````2x + 3`````````6x + 3y= 4`El resultadoquesiguenos dainformacionsobrerectas perpendiculares(rectasquesecortanenangulosrectos).Teorema53Dosrectasconpendientesm1ym2sonperpendicularessi ysolosim1 m2= 1.Demostracion. Por simplicidad, consideremos el caso especial de dos rectasquesecortanenelorigenO. Lasecuacionesdeestasrectassony=m1 xyy=m2 x. Escojamos,comoenlagurasiguiente,puntosA(x1, m1 x1)yB(x2, m2 x2).4.2. RECTAS 115O`````````B(x2, m2x2)

A(x1, m1x1)y = m1x y = m2x`EntonceslasrectassonperpendicularessiysolosielanguloAOBesunangulo recto. Con el teorema de Pitagoras vemos que el angulo AOB es rectosiysolosi[d(A, B)]2= [d(O, B)]2+ [d(O, A)]2obien,porlaformuladeladistancia,(x2x1)2+ (m2x2m1x1)2= x22 + (m2x2)2+ x21 + (m1x1)2.Alelevaralcuadradolosterminos,simplicaryfactorizar,obtenemos2m1m2x1x22x1x2= 02x1x2(m1m2 + 1) = 0.Dadoquex1yx2nosonceroambas, podemosdividir ambosladosentre2x1x2,conlocualobtenemosm1 m2 + 1 = 0;porlotanto,lasrectassonperpendicularessiysolosim1 m2= 1.Ejemplo: Encontrarlaformapendiente-interseccionparalarectaquepasaporelpuntoP(5, 7)perpendicularalarecta6x + 3y= 4.Reescribiendo 6x +3y= 4,obtenemos y= 2x +43. Luego,la pendientees 2. Por lo tanto, la pendiente de la recta requerida es el recproco negativo116 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICAS(1(2)),osea,12. ConP(5, 7)llegamosa:y (7) =12(x 5) y =12x 192.La ultimaecuacionestaenformapendiente-intersecci onpedida.4.3 GracadeunafuncionrealRecordemos que unafuncioncondominioDes unconjuntoWde paresordenadostalesque, paracadax D, hayexactamenteunparordenado(x, y) Wconxenprimeraposicion.Por ejemplo, los pares ordenados (x,x 1) establecen la funcion f(x) =x 1.Enestaseccionlafrasef esunafuncionsignicaquedominioyran-gosonconjuntosden umerosreales. Si unafuncionsedenepormediodeunaexpresion, comoenel ejemploanterior, yel dominioDnoseexpresa,entoncesconsideramosqueDeslatotalidadden umerosrealesxtalesquef(x)esreal. Avecesestorecibeelnombrededominioimplcitodef. Parailustrarloanterior,sif(x) =x 1,eldominioimplcitoeselconjuntoden umerosrealesxtal quex 1esreal; estoes, x 1 0ox 1; porlotanto, el dominioesel intervaloinnito[1, ). Si xestaenel dominio,decimos que festa denida en x o que fexiste. El concepto fno estadenidaenxquieredecirquexnoestaeneldominiodef.Ejemplo: Seag(x) =4 + x1 x. Laexpresionanterior es unn umerorealsi ysolosi el radicando4 + xesnonegativoyel denominador1 xnoesiguala0;porlotanto,g(x)existesiysolosi4 + x 0 y 1 x = 04.3. GRAFICADEUNAFUNCIONREAL 117obien,loqueesigual,x 4 y x = 1.Podemosexpresareldominioenterminosdeintervaloscomo[4, 1) (1, ).Sifesunafuncion,podemosemplearunagracaparaindicarelcambiodef(x)amedidaquexvaraentodoeldominiodef.Denicion54Lagracadeunafuncionfeslagracadelaecuaciony=f(x)paraxenel dominiodef.Confrecuenciacolocamoslaleyenday=f(x)enundibujodelagraca.SiP(a, b)esunpuntodelagraca,coordenadayigualabeselvalordelafuncionf(a),seg unseilustraenlagurasiguienteXy= f(x)`YaRango def___ .. Dominio de fP(a, b) Laguramuestraeldominiodef(conjuntodevaloresposiblesdex)yel rango de f(valores correspondientes dey). A un cuando hemos trazado eldominioyelrangocomointervaloscerrados, puedenserintervalosinnitosuotrosconjuntosden umerosreales.Puestoquehayexactamenteunvalorf(a)paracadaaeneldominiodef, solounpuntodelagracadef tieneunacoordenadaxigual aa. Enconsecuencia, la graca de un conjunto de puntos de un plano coordenado es118 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICASla graca de una funcion si toda recta vertical corta la graca a lo mas en unpunto. As,lagracadeunafuncionnopuedeserunaguracircular,puesunarectaverticalpodracortarlaenmasdeunpunto.Lasinterseccionesxdelagracadeunafuncionfsonlassolucionesdela ecuacion f(x) = 0. Estos n umeros se llaman ceros de la funcion. La inter-seccionydelagracaesf(0),siexiste.Ejemplo: Seaf(x) =x 1ytracemoslagracadef.Por denicion, la graca de fes la graca de la ecuacion y=x 1. Laproximatablaenumeralascoordenadasdevariospuntosdelagraca.x 1 2 3 4 5 6y=f(x) 0 12 1.43 1.7 25 2.2Altrazarlospuntosseobtieneeldibujodelagurasiguiente:X`Yy=x 11Dominio: [1, )Rango: [0, )Al consultarlaguraanteriorvemosqueel dominiodef estaformadoportodoslosn umerosrealesxtalesquex 1o, loqueesequivalente, elintervalo[1, ). Elrangodefeselconjuntodetodoslosn umerosrealesytalesquey 0o,loqueesequivalente,[0, ).Lafuncionraz cuadrada, denidapor f(x) = x, tiene unagracasimilar a la gura anterior pero el punto extremo esta en (0, 0). Esta relaciongracapuedeayudarnosarecordarque9es3yque9noes 3.4.3. GRAFICADEUNAFUNCIONREAL 119Enel ejemploanterior, amedidaque xaumenta, igual ocurre conlafuncionf(x)ydecimosquelagracadef sube. Consideremosqueunafunciondeestetipoescreciente.Para ciertas funciones, f(x) disminuye a medida que x aumenta. En estecaso la graca caey fes una funcion decreciente. Las deniciones precisassonlassiguientes:Denicion55UnafuncionsedicecrecienteenunintervaloI si f(x1)f(x2)siemprequex1< x2.X`Yx1x2120 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICASUn ejemplo de funcion creciente es la funcionidentidad, cuya ecuacion esf(x)=xycuyagracaeslarectaquepasaporel origenconpendiente1.Unejemplodefunciondecrecienteesf(x)= x, ecuaciondelarectaquepasaporelorigenconpendiente 1. Sif(x)=cparatodon umerorealx,entoncesfsellamafuncionconstante.Utilizaremos enformaindistintalas frases f es crecienteyf(x) escreciente,aligualquelosterminosdecrecienteyconstante.Ejemplo: Seaf(x)=9 x2. Pordenicion, lagracadefeslagracadelaecuaciony=9 x2. Pornuestrotrabajoconcrculosenlaseccionanteriorsabemosquelagracadex2+ y2=9esuncrculoderadio3concentroenel origen. Al despejar ydelaecuacionx2+ y2=9obtenemosy = 9 x2. Deducimos que lagracade f es lamitadsuperior delcrculocomoenlagurasiguiente:`96333Alconsultarlaguraanterior,vemosqueeldominiodefeselintervalo[3, 3]yelrangodefeselintervalo[0, 3].La graca sube a medida que x aumenta de 3 a 0, as que fse incrementaenel intervalocerrado[3, 0]; porlotanto, si x1 0Paray=f(x) cconc>0, serestacdecadacoordenaday, locualcorre la graca de funa distancia c hacia abajo. Estos cambios se llamandesplazamientosverticalesdegracas.Tambienpodemos considerar desplazamientos horizontales de gracas.Enparticular,sic > 0,consideremoslasgracas dey= f(x) yy= f(x c)trazadas en el mismo plano coordenado seg un se ilustra en la gura siguiente124 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICAS `y= f(x) y= f(x c)a c > 0 a + cPuestoquef(a)=f([a + c] c)el puntoconcoordenadaxigual aaenlagracadey =f(x) tienelamismacoordenadayqueel puntoconcoordenadaxigualaa + cenlagracadey= f(x c). Estosignicaquelagracadey=f(x c)seobtienedesplazandolagracadey=f(x)aladerechaunadistanciac. Enformaanaloga,lagracadey=f(x + c)seobtienecorriendolagracadefalaizquierdaunadistanciac > 0.Los desplazamientos horizontales y verticales tambien se denominan trasla-ciones.Con el objeto de obtener la graca de y= cf(x) para alg un n umero real c,multiplicamos por c las coordenadas y de los puntos de la graca de y= f(x).Porejemplo, si y=2f(x), duplicamoslascoordenadasy; osi y=12f(x),multiplicamos por12cada coordenada y. Este procedimiento se conoce comoalargarverticalmente la graca de f(si c > 1),o comprimirverticalmente lagraca(si0 < c < 1).X`Yy= cf(x)y= f(x)c > 14.3. GRAFICADEUNAFUNCIONREAL 125Podemosobtenerlagracadey= f(x)multiplicandopor 1lacoor-denadaydecadapuntodelagracadey= f(x);porlotanto,todopunto(a, b) de la graca de y= f(x) que se encuentre arribadel eje x, determinaunpunto(a, b)delagracadey= f(x)queestaabajodel ejex. Lagracadey= f(x)esunareexiondelagracadey= f(x)enelejex.y= x2`y= x2Aveceses util compararlasgracasdey=f(x)yy=f(cx)si c =0.Enestecasolosvaloresdelafuncionf(x)paraa x bsonlosmismosquelosdelafuncionf(cx)paraa cx bobienac x bc.Esto signica que la graca de festa horizontalmentecomprimida (si c > 1)uhorizontalmentealargada(si0 < c < 1). `y= f(x)y= f(cx)c > 1126 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICASSi c 0, el punto(h, k)esel masbajodelaparabola, ylafuncionftieneunvalormnimof(h) = k.Sia < 0,laparabolaabrehaciaabajoysupunto(h, k)eselpuntomasalto. Enestecaso,lafuncionftieneunvalormaximof(h) = k.Ejemplo: Expresemosf(x) = 3x2+ 24x + 50enformaestandar.Paraello,antesdecompletarelcuadrado,esesencial factorizarel coe-cientedex2delosprimerosdosterminosdef(x),deestamaneraf(x) = 3x2+ 24x + 50= 3(x2+ 8x + ) + 50Ahora completamos el cuadrado para la expresion x2+8x dentro del parentesis,sumando el cuadrado de la mitad del coeciente de x, esto es, (82)2, o sea 16.f(x) = 3(x2+ 8x + 16) 3 16 + 50= 3(x + 4)248 + 50= 3(x + 4)2+ 2.La ultima expresion tiene la forma a(x h)2+kcon a = 3, h = 4 y k = 2.Ejemplo: Encontremos laecuacionde unaparabolaconvertice V (2, 3)yquepasaporelpunto(5, 1).Conlaecuacionestandary= a(x h)2+ kconh = 2yk = 3obtenemosy= a(x 2)2+ 3.Parahallara,aprovechamosque(5, 1)estaenlaparabola. Aspues,esunasoluciondela ultimaecuacion;porlotanto,1 = a(5 2)2+ 34.5.ALGEBRADEFUNCIONES 129oa = 29. Enconsecuencia,unaecuacionparalaparabolaesy= 29(x 2)2+ 3.4.5AlgebradefuncionesAmenudolasfuncionessedenenenterminosdesumas, diferencias, pro-ductosodivisionesdevariasexpresiones;porejemplo,sih(x) = x2+5x + 1,podemosconsiderarh(x)comounasumadevaloresdelasfuncionesfygdadasporf(x) = x2y g(x) =5x + 1.Nosreferimosahcomolasumadefygyladenotamosf+ g. As,h(x) = (f+ g)(x) = x2+5x + 1.Observe que la posibilidad de denir esta operacion depende de que ella estepresenteenelrangodelafuncionf(enestecasolosn umerosreales). Unadenicionprecisaescomosigue:Denicion61Seanfygfunciones. Sedenelasumadefyg,denotadaf+ g,como(f+ g)(x) = f(x) + g(x)paracadaxenundominiocom undefyg.Analogamentesedene: Ladiferenciadefyg,denotadaf g,como(f g)(x) = f(x) g(x),130 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICASyelproductodefyg,denotadof g,como(f g)(x) = f(x) g(x).Finalmente,denimoselcuocientedefyg,denotadofg,como_fg_(x) =f(x)g(x),dondexperteneceaundominiocom undefyg,ysiemprequeg(x) = 0.Ejemplo: Seanf(x)=4 x2yg(x)=3x + 1. El dominiodef eselintervalocerrado[2, 2], yel dominiodeges R. Laintersecci ondeestosdominioses[2, 2],queeseldominiodef+g,f gyf g. Paraeldominiodefgse excluye todo n umero x en [2, 2] tal que g(x) = 3x+1 = 0 (es decirx = 13);porlotanto,tenemos:(f+ g)(x) =4 x2+ (3x + 1) , 2 x 2(f g)(x) =4 x2(3x + 1) , 2 x 2(f g)(x) =4 x2 (3x + 1) , 2 x 2_fg_(x) =4 x23x + 1, 2 x 2 y x = 13.Unafuncionfpuedeser:a)Polinomial,estoessif(x) = anxn+ an1xn1+ + a1x + a0,dondeloscoecientesa0, a1, . . . , ansonn umerosrealesylosexponentessonenterosnonegativos. Unafuncionpolinomialpuedeconsiderarsecomounasuma de funciones cuyos valores son del tipo c xk, donde c es n umero real y4.6. EJERCICIOS 131kesunenterononegativo.b) Algebraica, estoes unafuncionque es unacombinaci onde sumas,diferencias,productos,cocientesoracesdefuncionespolinomiales.Ejemplo: f(x) = 5x423x +x(x2+5)x3+x.c)Trascendentales,estoesaquellasfuncionesquenosonalgebraicas.Ejemplos: f(x) = exy f(x) = log(x).Lasfuncionestrascendentalesseranel objetodeestudiodeuncaptuloposterior.4.6 Ejercicios1. Describa el conjunto de todos los puntos (x, y) de un plano coordenadotalquey/x < 0.2. Demuestre que el triangulo con vertices A(3, 1), B(5, 3) y C(4, 1)esuntriangulorectanguloyencuentresuarea.3. DadosP(5, 9)yQ(8, 7),hallara) Ladistanciad(P, Q).b) ElpuntomediodelsegmentoPQ.c) UnpuntoRtalqueQseaelpuntomediodePR.132 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICAS4. Encuentre todos los puntos del eje ylocalizados a una distancia 13 deP(12, 6).5. ParaquevaloresdealadistanciaentreP(a, 1)yq(2, a)esmenorde3?6. EncuentreunaecuaciondelcrculoquetengacentroC(7, 4)ypasaporP(3, 3).7. Halleunaecuacionparalamitadizquierdadelcrculodadopor(x +2)2+ y2= 9.8. Determine la pendiente de la recta que pasa por C(11, 5) y D(8, 6).9. DemuestrequeA(3, 1), B(1, 1), C(4, 1)yD(3, 5)sonlosverticesdeuntrapecio.10. EncuentreunaecuaciondelarectaquepasaporA(12, 13)queesa) Paralelaalarecta6x + 2y + 5 = 0.b) Perpendicularalarecta6x + 2y + 5 = 0.11. Exprese8x + 3 + 3y 24 = 0enformadepunto-pendiente.12. Encuentreunaecuaciondelarectaquetieneinterseccionxen 3ypase por el centro del crculo con ecuacion: x2+y24x+10y +26 = 0.13. HallelaecuaciongeneraldelarectaquepasaporP(4, 3)conpen-diente5.14. Encuentreelcentroyradiodelcrculoconlaecuaciondadaa) x2+ y212y + 31 = 0.b) 4x2+ 4y + 24x 16y + 39 = 0.4.6. EJERCICIOS 13315. Sif(x) =xx+3,hallea) f(1)b) f(1)c) f(0)d) f(x)e) f(x)f) f(x2)g) [f(x)]216. Hallarf(a + h) f(a)hsih = 0paralassiguientesfuncionesa) f(x) =3x 4b) f(x) =1x+217. Determinesifespar,imparoningunadelasdosa) f(x) =3x3+ 4x.b) f(x) =33x2x3.c) f(x) =3x4+ 3x2+ 5.18. Trace la graca de la ecuacion y nombre (o etiquete) las interseccionesxyya) 9y + 2x2= 0.b) y=1 x.c) y2= 16 x2.d) x2+ y2+ 4x 16y + 64 = 0.e) x2+ y28x = 0.134 CAPITULO4. FUNCIONESYGRAFICASf) y= (x 3)22.19. Paralassiguientesfuncionestracelagraca, encuentreel dominioyel rangof, yhallelosintervalosenquef escreciente, decrecienteoconstantea) f(x) =13x2.b) f(x) = |x + 3|.c) f(x) = 1 x + 1.d) f(x) = 9 x2.e) f(x) =___x2six < 03x si0 x < 26 six 2.f) f(x) = 1 + 2[x].20. Trace las gracas de las siguientes ecuaciones, usando desplazamiento,alargamientooreexion:a)y= x b)y=x + 4 c)y= x + 4d)y= 44 e)y=14x f)y= x21. Encuentreelvalormaximoomnimodef(x):a) f(x) = 5x2+ 30x + 49.b) f(x) = 3x2+ 30x 82.c) f(x) = 12(x + 1)237.d) f(x) = 3(x + 2)(x 10).22. Exprese la funcion f(x) = 2x2+12x 14 en la forma a(x h)2+k.23. Hallelaecuacionestandar deunaparabolaconunejevertical quetengaverticeV (3, 2)ypasepor(5, 4).4.6. EJERCICIOS 13524. Sif(x) =4 x2yg(x) = x,encuentreeldominiodea)fg b)f/g25. Sif(x) = 8x 1yg(x) =x 2,hallea)(f g)(2) b)(g f)(2)26. Paralassiguientesfuncionesencuentre: (f g)(x)y(g f)(x):a) f(x) = 2x25x + 1 g(x) = 3x + 2.b) f(x) =3x + 2 g(x) = 1/x2.27. Paralassiguientesfunciones, determine: (f g)(x)yel dominiodef g,y(g f)(x)yeldominiodeg f:a) f(x) =25 x2g(x) =x 3.b) f(x) =x3x+2g(x) =2x.28. Encuentreunaformadefuncioncomposicionparay=3x25x.29. f(x) = 2x35esunafuncionbiunvoca?30. Paralassiguientesfunciones,halle: f1(x)ytracelasgracasdefyf1enelmismoplanocoordenado.a)f(x) = 10 15x b)f(x) = 9 2x2,x 0.31. Supongamosquef ygsonfuncionesbiunvocastalesquef(2)=7,f(4) = 2yg(2) = 5. Encuentreelvalor,siesposiblea) (g f1)(7).b) (f g1(5).c) (f1 g1)(5).d) (g1 f1)(2).Captulo5SeccionesConicas5.1 ParabolasLassecciones conicas, tambienllamadas conicas, seobtienencortandounconocircularrectodobleconunplano. Alcambiarlaposiciondelplanosetieneuncrculo,unaelipse,unaparabolaounahiperbola.Lasconicasdegeneradas(odegradadas)seobtienensi el planocortaalconoenunsolopuntooalolargodeunaodosrectassituadasenelcono.Conbaseal trabajodel capituloanterior, si a =0, lagracadey =ax2+ bx + cesunaparabolaconejevertical. Acontinuaci ondaremosunadeniciongeneral deunaparabolayllegaremosaecuacionesdeparabolasquetienenejeverticaluhorizontal.Denicion62Unaparabolaeselconjuntodetodoslospuntosdeunplanoequidistantes de un punto jo F(foco) y de una recta ja l(directriz) situadaenel plano.Supondremos que fno esta en l, si estuviera,tendramos una recta en lugardeunaparabola.1365.1. PARABOLAS 137Si Pesunpuntodel planoyP

esel puntoenl determinadoporunarectaquepasaporPyesperpendicularal (vergura), porladenicionanterior,Pestasobrelaparabolasiysolosid(P, F) = d(P, P

).ElejedelaparabolaeslarectaquepasaporFyesperpendicularaladirectriz.ElverticedelaparabolaeselpuntoV sobreelejequeseencuentraalamitaddeFal.Ejemplo: Andeobtenerunaecuacionsencillaparaunaparabola, con -sideremosF(0, p)comofoco(p = 0)yy= pcomodirectriz.Por la formula de la distancia, un punto P(x, y) esta sobre la parabola siysolosid(P, F) = d(P, P

),estoes,si_(x 0)2+ (y p)2=_(x x)2+ (y + p)2 ` F(0, p) P(x, y)(x, p) y= pElevamosalcuadradoambosladosysimplicamos:x2+ (y p)2= (y + p)2x2+ y22py + p2= y2+ 2py + p2x2= 4py.138 CAPITULO5. SECCIONESCONICASUnaecuacionequivalentees: y=14px2. Si p>0, laparabolaabrehaciaarriba;sip < 0,laparabolaabrehaciaabajo.Si intercambiamos los papeles de x e y, resulta y2= 4px o bien, lo que esequivalentex=14py2. Estaesunaecuaciondeunaparabolaconverticeenel origen, focoF(p, 0)yabrealaderechasi p>0, olaizquierdasi p 0, entonces, como enlagurasiguiente, F

tienecoordenadas(c, 0). LasumadelasdistanciasdeunpuntoP(x, y)desdeFyF

sedenotaracon2a. As, pordenicion,P(x, y)estaenlaelipsesiysolosid(P, F) + d(P, F

) = 2a140 CAPITULO5. SECCIONESCONICASF(c, 0)F

(c, 0) P(x, y)`Porlaformuladeladistancia,loanterioresequivalentea:_(x c)2+ y2+_(x + c)2+ y2=2a_(x c)2+ y2= 2a _(x + c)2+ y2.Elevandoalcuadradolaexpresionanteriorobtenemos(x c)2+ y2= 4a24a_(x + c)2+ y2+ (x + c)2+ y2.Desarrollandolosterminosalcuadradoysimplicandoqueda2xc = 4a24a_(x + c)2+ y2+ 2xcoa_(x + c)2+ y2= a2+ xc.Volviendoaelevaralcuadradoseobtienea2[(x + c)2+ y2] = a4+ 2a2xc + x2c2.Desarrollandoelterminoalcuadradoysimplicandosetieneax2+ a2c2+ a2y2= a4+ x2c2(a2c2)x2+ a2y2= a2(a2c2).5.2. ELIPSES 141Dividiendopora2b2dondeb := a2c2,seobtienelaformaestandardeunaelipse:x2a2+y2b2= 1.Gracamente `'&$%(a, 0)(a, 0)(0, b)(0, b)Observequesix = 0,entoncesy= b. Elsegmentoqueunelospuntos(0, b)y(0, b)delaelipsesellamaejemenor.Analogamente si y= 0, entonces x = a. El segmento que une los puntos(a, 0)y(a, 0)sellamaejemayordelaelipse.Enparticular, los puntos (a, 0) y(a, 0) se denominanvertices de laelipse.Notese que a2b2= (a b)(a +b) = c2> 0 implica a > b. Esto justicalosnombresejesmenorymayorutilizadosanteriormente.Unasituaciondiferenteplanteaelsiguienteejemplo.Ejemplos:a) Consideremos laelipseconecuacion2x2+ 9y2=18yobtengamoslascoordenadasdelosfocos. Paraello, escribimoslaecuacionenlaformaestandarx29+y22= 1.142 CAPITULO5. SECCIONESCONICASSe deduce que a = 3 y b =2. Luego calculamos c de la formula c2= a2b2obteniendoc2= 9 2 = 7oc = 7. Porlotanto,losfocosson(7, 0)y(7, 0).b) Encontremos la ecuacion de la elipse con vertices (4, 0) y focos(2, 0). Paraellousamosnuevamentelaformaestandarx2a2+y2b2= 1,dondea > b.Comolos vertices son(4, 0), concluimos quea=4. Analogamente,comolosfocosson(2, 0), conluimosquec=2. Luego, laformulac2=a2b2nosdab2= a2c2= 16 4 = 12,dedondeb = 12. Obtenemosasquelaecuaciontienelaformaexplcitax216+y212= 1.Finalmente, observemosqueuncrculoesuncasoparticulardeunaelipse(a = b).5.3 HiperbolasLadeniciondeunahiperbolaes semejantealadeunaelipse. El unicocambioesqueenlugardeusarlasumadedistanciasdesdedospuntosjos,usamosladiferencia.5.3. HIPERBOLAS 143Denicion64Una hiperbola es el conjunto de todos los puntos de un plano,tal queladiferenciadelasdistancias, envalorabsoluto, adospuntosjosdel plano(losfocos)seaunaconstante(positiva).Ejemplo: Escojamos un sistema de coordenadas con focos F(c, 0) y F(c, 0)y denotamos la distancia (constante) con 2a. As, un punto P(x, y) pertenecealahiperbolasiysolosi|d(P, F) d(P, F

)| = 2a.Utilizandolaformuladeladistanciayprocediendocomoenel casodelaelipse,obtenemoslaecuacionestandarx2a2 y2b2= 1,dondeb2= c2a2. Lasituaciongeometricaapareceenlagurasiguiente:F(c, 0)F

(c, 0) P(x, y)`Aplicandopruebasdesimetra,observamosquelahiperbolaessimetricaconrespectoaambosejes(xey)yalorigen.Podemos encontrar las intersecciones en x de la hiperbola con y= 0 en laecuacion; deestamanerallegamosax2a2=1,oseax2=a2y,enconsecuen-cia, lasinterseccionesxsonay a. LospuntoscorrespondientesV (a, 0)y144 CAPITULO5. SECCIONESCONICASV

(a, 0)delagracasellamanverticesdelahiperbola. El segmentoderectaqueuneV yV

sellamaejetransverso.V (a, 0)V (a, 0)`La graca carece de intersecci on con eje yporque la ecuacion y2b2= 1 notienesolucionesen R. LospuntosW(0, b)yW

(0, b)sonpuntosextremosdel ejeconjugado WW

. Los puntos Wy W

no pertenecen a la graca peroson utilesparadescribirlagraca. Enefecto, esposibleprobar(Ejercicio)quelasrectasy= _ba_xson asntotasparalahiperbola. Estas asntotas sirven como guas para dibu-jarlagraca.UnaformasencilladetrazarlasasntotasconsisteenencontrarprimerolosverticesV (a, 0),V

(a, 0)ylospuntosW(0, b),W

(0, b).Si se dibujanlas lneas verticales y horizontales que pasenpor estospuntos extremos de los ejes transversoyconjugado, respectivamente, en-tonces las diagonales del rectangulo auxiliar resultante tienen pendientes b/ay b/a; porlotanto, al prolongarestasdiagonalesobtenemoslasasntotasy= (b/a)x.5.3. HIPERBOLAS 145(a, 0)(a, 0) (0, b) (0, b)`Lahiperbolasetrazaentoncesusandolasasntotascomoguas. Lasdospartesqueconformanlahiperbolasellamanramaderechayramaizquierdadelahiperbola.`146 CAPITULO5. SECCIONESCONICAS5.4 Ejercicios1. Encuentreelvertice,focoydirectrizdelaparabola. Tracesugraca,mostrandoelfocoyladirectriz.a) 8y= x2.b) 2y2= 3x.c) (x + 2)2= 8(y 1).d) (y 2)2=14(x 3).e) y= x24x + 2.f) x2+ 20y= 10.2. Encuentreunaecuaciondelaparabolaquesatisfagalascondicionesdadas.a) FocoF(2, 0), directrizx = 2.b) FocoF(6, 4), directrizy= 2.c) VerticeV (3, 5), directrizx = 2.d) VerticeV (1, 0), focoF(4, 0).e) Verticeenel origen, simetricoal ejeyyquepasaporel punto(2, 3).f) VerticeV (3, 5), ejeparaleloal ejexyquepasaporel punto(5, 9).g) VerticeV (3, 2),ejeparaleloalejexeinterseccionyde1.3. Encuentrelosverticesyfocosdelaelipse. Tracesugracaymuestrelosfocos.a)x29+y24= 1.5.4. EJERCICIOS 147b)x215+y2416= 1.c) 4x2+ y2= 16.d) 4x2+ 25y2= 1.e)(x 3)216+(y + 4)29= 1.f) 4x2+ 9y232x 36y + 64 = 0.g) 25x2+ 4y2250x 16y + 541 = 0.4. Encuentreunaecuacionparalaelipseconcentroenel origenyquesatisfagalascondicionesdadas.a) VerticesV (8, 0), focosF(5, 0).b) VerticesV (0, 5), ejemenordelongitud3.c) FocosF(3, 0), ejemenordelongitud2.d) VerticesV (0, 6), quepasapor(3, 2).e) Interseccionesenx = 2, interseccioneseny= 13.f) Interseccionesenx = 1/2, interseccioneseny= 4.g) Ejemayorhorizontaldelongitud8,ejemenordelongitud5.h) Ejemayorverticaldelongitud8,ejemenordelongitud6.5. Encuentre los vertices, focos y ecuaciones de las asntotas de la hiperbola.Tracesugracaymuestrelasasntotasyfocos.a)x29y24= 1.b)y29 x24= 1.c) x2y224= 1.d) y24x2= 16.148 CAPITULO5. SECCIONESCONICASe) 16x236y2= 1.f)(y + 2)29(x + 2)24= 1.g) 144x225y2+ 864x 100y 2404 = 0.h) 4y2x2+ 40y 4x + 60 = 0.6. Encuentreunaecuacionparalahiperbolaquetengasucentroenelorigenysatisfagalascondicionesdadas.a) FocosF(0, 4), verticesV (0, 1).b) FocosF(5, 0), verticesV (3, 0).c) FocosF(0, 5), ejeconjugadodelongitud4.d) VerticesV (3, 0), asntotasy= 2x.e) Interseccionesx = 5, asntotasy= 2x.f) Ejetransversoverticaldelongitud10,ejeconjugadodelongitud14.g) Eje transverso horizontal de longitud 6, eje conjugado de longitud2.7. Encuentrelosverticesyfocosdelaconicaytracesugraca.a) y2= 64x.b) 9y2= 144 16x2.c) x2y24 = 0.d) 25y= 100 x2.e) x29y2+ 8x + 90y 210 = 0.f) 4x2+ 9y2+ 24x 36y + 36 = 0.g) y28x + 8y + 32 = 0.5.4. EJERCICIOS 149h) x29y2+ 8x + 7 = 0.8. a)DetermineAdemodoqueelpunto(2, 3)pertenezcaalaconicaAx2+ 2y2= 4.b) Laconicaesunaelipseounahiperbola?9. Si un cuadrado con lados paralelos a los ejes coordenados esta inscritoenlaelipse(x2/a2) + (y2/b2)=1, expreseel areaAdel cuadradoenterminosdeayb10. Encuentrelaecuacionestandardelcrculoconcentroenelfocodelaparabolay=18x2yquepasaporelorigen.Captulo6FuncionesExponencialesyLogartmicas6.1 FuncionesexponencialesComencemosporanalizarlafuncionfdenidaporf(x) = 2x.Enumerando coordenadas de varios puntos racionales, esto es de la formamn ,n > 0,conmynenteros;yusandolapropiedadalgebraica:2m/n= (n2)m,obtenemos un trazo discreto de puntos como muestra la gura a continuacion1506.1. FUNCIONESEXPONENCIALES 151 (2, 4) (1, 2) (0, 1)(1, 1/2) `A n de ampliar el dominio defa todos los n umeros reales,es necesariodenir2xparatodoexponentexirracional.Hacemosestoporcontinuidad, estoes, requiriendoquelagracarepre-senteunafuncioncontinua. Deestaformaobtenemoslagracasiguiente:`Consideremosenseguidacualquier basea, dondeaesunn umerorealpositivodeiferentede1. Al igual queenel analisis previo, resultaviabledenir unafuncionf cuyodominioesRysurangoesel conjuntodelos152CAPITULO 6. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICASn umerosrealespositivos. Sugracaseindicaenlasgracassiguientes: `f(x) = axa > 1 `f(x) = ax0 < a < 1Las gracas indicanque si a >1, entonces f es creciente enR, ysi0 < a < 1,fdecreceen R. Estoescomprobablemediantecalculo.Lasgracasindicansolamentelaaparienciageneral;esdecir,laformaexactadependedelvalordea. Observesequecomoa0= 1,laintersecci onconelejeyes1paratodaa.Si a>1, conformexdecrecehastavaloresnegativos, lagracadef seaproximaal ejedelasx; porlotanto, decimosqueel ejexesunaasntotahorizontal. Amedidaquexaumentahastavalorespositivos,lagracasubeconrapidez.Cuandoconsideramosaxexcluimosloscasosa 0ya=1. Observeseque si a < 0 entonces a no es un n umero real para muchos valores de x como12,34,113 . Sia = 0,entoncesa0= 00esindenido. Por ultimo,cuandoa = 1,ax= 1paratodaxylagracadef(x) = axesunalneahorizontal.Lagracadeunafuncionexponencialfescrecienteodecrecienteento-dosudominioy,enconsecuencia,fesbiyectiva. Enparticularesinyectiva,esto signica que para n umeros reales x1y x2; si ax1= ax2entonces x1= x2.Estapropiedadesdemuchautilidadpararesolverecuacionesexponencialesenalgebra.6.1. FUNCIONESEXPONENCIALES 153Ejemplo: Resolvamoslaecuacion35x8= 9x+2parax.Primeroexpresamosambosladosconlamismabase:35x8= (32)x+2.Aplicandolaleydelosexponentes:35x8= 32x+4.Usandoquelasfuncionesexponencialessonbiyectivas:5x 8 = 2x + 4.Resolviendoparax:x = 4.Trazando gracas de distintas funciones exponenciales en el mismo planocoordenadonoshaceverque:Si1 < a < b,entoncesax< bxparavalorespositivosdexX`Yy= 3xy=_32_xLagracaanteriormuestratambienque:154CAPITULO 6. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICASSi1 < a < b,entoncesbx< axparavaloresnegativosdex.Enparticular, como32 1esbiyectiva;enconsecuencia,ftieneunafuncioninversaf1. Estainversade lafuncionexponencial conbase ase llamafuncionlogartmicaconbase ayse denotaloga. Sus valores se escribenloga(x),queseleeellogartmodexconbasea. Unadenicionformaleslasiguiente:Denicion65Seaaunn umeroreal positivodiferentede1. El logartmodexconbaseasedenecomoy= loga(x)siysolosix = ayparacadax > 0ytodon umeroreal y.156CAPITULO 6. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICASEjemplos: Lassiguientesformassonequivalentes:log5u = 2 52= ulogb 8 = 3 b3= 8r = logpq pr= qw = log4(2t + 3) 4w= 2t + 3log3x = 5 + 2z 35+2z= x.Yaquelafuncionlogartmicaconbaseaeslainversadelafuncionexpo-nencialconbasea, lagracadey=loga(x)seobtienereejandolagracadey=axconlalineay=x. Lagurasiguientemuestraestagracaparaa > 1:`y= xy= axy= loga(x)Observemos quelaintersecci onxconlagracaes 1, el dominioes elconjuntode los reales positivos, el rangoesRyel eje y es unaasntotavertical.Es claroque, si a>1, loga(x) es crecienteen(0, ) y, por lotanto,biyectiva. En particular, esto muestra la siguiente propiedad algebraica paran umerosrealesx1,x2:Si loga(x1) = loga(x2),entoncesx1= x2.6.2. FUNCIONESLOGARITMICAS 157lapropiedadanteriorseutilizapararesolverecuacioneslogartmicas.Ejemplo: Resolvamoslaecuacionlog6(4x 5) = log6(2x + 1).Paraesto,usamosdirectamentelapropiedadanterioryseobtiene: 4x 5 = 2x + 1ox = 3.El ejemplo anterior muestra una ecuacion logartmica simple; es decir, quecontieneellogartmodeunaexpresionquecomprendeunavariablelineal.Se pueden presentar soluciones extra nascuando se resuelven ecuacioneslogartmicas con variables no lineales (por ejemplo, cuadraticas); por lo tanto,por regla general, debemos comprobar las respuestas para asegurarnos de queestamos tomando logartmos unicamente de n umeros reales positivos; de otramaneranopodremosdenirlafuncionlogartmica.Noesfrecuenteutilizarlogartmosconbasea 0.158CAPITULO 6. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS6.3 PropiedadesdeloslogartmosEnlaseccionanteriorvimosqueloga(x)sepuedeinterpretarcomounex-ponente; enconsecuencia, las leyes delos exponentes sirvenparaobtenerlas correspondientes delos logartmos. Las propiedades fundamentales seresumenenelresultadosiguiente:Teorema66Seanuywn umerosrealespositivos,entonces(1)loga(u w) = loga(u) + loga(w)(2)loga_uw_= loga(u) loga(w)(3)loga(wc) = c loga(w)paratodon umeroreal c.Demostracion. Hagamos: r:=loga(u)ys:=loga(w). Entoncesar=uyas= w.(1)u w = ar as= ar+s. Luego,loga(u w) = r + s = loga(u) + loga(w).(2)uw=aras= ars,luego:loga_uw_= r s = loga(u) loga(w).(3)uc= acr,luego:loga(uc) = c r = c loga(u).Observacion: No hay leyes generales para expresar loga(u+w) o loga(uw)enterminosdelogartmosmassencillos.Algunosejemplosqueilustranlosusosdelasleyesdeloslogartmossonlossiguientes.6.3. PROPIEDADESDELOSLOGARITMOS 159Ejemplos:a)Expresemosloga_x3yz2_enterminosdelogartmosdex, yyz. Paraello,escribimos ycomoy1/2yusandolaspropiedadesobtenemos:loga_x3yz2_= loga(x3 y1/2) loga(z2)= loga(x3) + loga(y1/2) loga(z2)= 3 loga(x) +12 loga(y) 2 loga(z).b) Expresemos13 loga(x2 1) loga(y) 4 loga(z) comounlogartmo.Paraello,usamoslaspropiedades,obteniendo:13 loga(x21) loga(y) 4 loga(z) = loga(x21)1/3loga(y) loga(z4)= loga(3x21) (loga(y) + loga(z4))= loga(3x21) loga(y z4)= loga_3x21y z4_.c)Resolvamoslaecuacionlog2(x) + log2(x + 2)=3. Paraello, usamoslaspropiedadesyobtenemos:log2(x (x + 2)) = 3o,equivalentementex (x + 2) = 23x2+ 2x 8 = 0(x 2)(x + 4) = 0dedondex = 2ox = 4.160CAPITULO 6. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICASObservemosahoraquex=2essolucionpuespertenecealosdominiosdelasfuncioneslog2(x)ylog2(x + 2). Sinembargo, x= 4noessolucionpueslog2(4)noexiste.Supongamosahoraquedeseamosresolverlaecuacion:3x= 21.Claramente,lasoluciones:x = log3(21).Sinembargo, engeneral, noestamosencondicionesdeobtenerel valordelog3(21),por ejemplo,mediante el uso de una calculadora. Este problema loresuelveelsiguienteresultadoquenospermitehallarlogb(u)siu > 0ybescualquierbaselogartmica. Esteresultadoseconocetambiencomoformuladecambiodebase.Teorema67Si x>0ya, bsonn umerosrealespositivosdiferentesde1,entonceslogb(x) =loga(x)loga(b).Demostracion. Escribamosy:=logb(x), o, equivalentemente: by=x. En-tonces;yaquelogaesunafuncion:loga(by) = loga(x),aplicandopropiedadesdeloslogartmostenemos:y loga(b) = loga(x)oy=loga(x)loga(b)loquepruebaelteorema.Corolario68logb(a) =1loga(b).6.3. PROPIEDADESDELOSLOGARITMOS 161Demostracion. Tomar x=aenel teoremaanterior yusar el hechoqueloga(a) = 1.Observacion: El teoremaanteriornodebeconfundirseconlassiguientesidentidadesqueengeneralsonfalsas:loga(x)loga(b) = loga_xb_;loga(x)loga(b) = loga(x b).Los casos especiales mas usados delaformuladecambiodebasesona = 10(logartmoscomunes)ya = e(logartmosnaturales).Corolario69logb(x) =log10(x)log10(b)=log(x)log(b).Corolario70logb(x) =loge(x)loge(b)=ln(x)ln(b).Ejemplos:a)Resolvamoslaecuacion3x= 21. Paraello,reescribimoscomo:x = log3(21) =ln(21)ln(3).b)Resolvamoslaecuacion5x5x2= 3. Paraello,reescribimos:5x5x= 6o5x15x= 6o5x 5x1 = 6 5xo52x6 5x1 = 0162CAPITULO 6. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICASo(5x)26 5x1 = 0.Reconocemosqueestaformadelaecuacionescuadraticaen5x. Luego,5x=6 36 + 42o5x= 3 10.Observeahoraque5x> 0pero3 10 < 0,luego:5x= 3 +10.Tomando logenamboslados:x log(5) = log(3 +10),luego:x =log(3 +10)log(5).6.4 Ejercicios1. Resuelvalassiguientesecuaciones:a) 7x+6= 73x4.b) 32x+3= 3(x2).c) 2100x= (0.5)x4.d) 4x3= 84x.e) e(x2)= e7x12.6.4. EJERCICIOS 163f) e3x= e2x1.g) log4(x) =3_log4(x).h) ex+ln(4)= 3ex.i) log2(x) + log2(x + 2) = 3.j) 2x+ 3(2x+15) = 10.k)5x5x2= 3.l) log9x =32.m) ln x2= 2.n) e2 lnx= 9.o) 25x= 6.p) 25x+3= 32x+1.q) eln(x+1)= 3.r) 102 log x= 5.s) x2(2xex2) + 2xex2= 0.t) i)log x2= log(6 x) ii)2 log x = log(6 x).v) i)ln(ex)2= 16 ii)ln e(xe)= 16.2. Conviertaalaformalogartmica.a) 105= 100000.b) 10x= y + 1.c) eet= 3 x.d) 102= 0.01.e) 10x= 38z.f) e0.1t= x + 2.164CAPITULO 6. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS3. Pasealaformaexponencial.a) log x = 50.b) ln x = 0.1.c) ln(z 2) =16.d) log x = 8.e) ln x =12.f) ln(t 5) = 1.2.4. Expreseenterminosdelogartmosdex,y,zow.a) i)log4(xz) ii)log4(y/z) iii)log43zb) logax3wy2z4c) log3zxyd) ln4x7y5ze) ln x3_y4z5f) x4 3_y2/z5. Escribalaexpresioncomounlogartmo.a) i)log3x + log3(5y) ii)log3(2z) log3x iii)5 log3y.b) logax +13 loga(x 2) 5 loga(2x + 3).c) log(x3y2) 2 log x3y 3 log_xy_.d) ln y3+13 ln(x3y6) 5 ln y.e) ln y 4 ln(1/y) 3 ln(xy).6.4. EJERCICIOS 165f) log(x2/y3) + 4 log y 6 logxy.6. Usar logaritmos naturales pararesolver xenterminos de y enlassiguientesecuaciones:a) y=ex+ exexex.b) y=exex2.c) y=exexex+ ex.7. Usar logaritmos comunes para resolver x en terminos de yen las sigui-entesecuaciones:a) y=110x10x.b) y=10x+ 10x2.c) y=10x10x10x+ 10x.Captulo7SistemasdeEcuacionesyMatrices7.1 SistemasdeecuacionesConsideremos las gracas de dos funciones fy gcomo en la gura siguiente: `y= f(x)y= g(x)PQEnlapractica, enocasiones hayqueencontrar puntos comoP(a, b) yQ(c, d), endonde las gracas se intersectan. ComoP(a, b) estaencadagraca, elpar(a, b)esunasoluciondelasecuacionesy=f(x)yy=g(x);1667.1. SISTEMASDEECUACIONES 167estoes:b = f(a) y b = g(a).Decimos que (a, b) es una solucion del sistemadeecuaciones (o simplementesistema):_y= f(x)y= g(x),dondelallaveseusaparaindicarquelasecuacionesdebentratarseenfor-masimultanea. Del mismomodo, el par(c, d)esunasoluciondel sistema.Resolverunsistemadeecuacionessignicahallartodaslassoluciones.Ejemplo: Consideremoselsistema_y= x2y= 2x + 3.Lasgracasdelasecuacionessonunaparabolayunarecta.Realizandounagraca, es facil ver quelos puntos (1, 1) y(3, 9) sonsoluciones del sistema (Ejercicio para el lector). Sin embargo, deseamos tenerunaestrategiaalgebraicaquepermitaencontrarlassoluciones. Unadeellasesllamadaelmetododesustitucion.Basicamente,elmetododesustitucionconsisteenlossiguientespasos:1. Despejarunavariabledeunadelasecuacionesenterminosdeotra.2. Sustituir en la otra ecuacion la expresion encontrada en el paso anteriorandeobtenerunaecuacionsoloenunavariable.3. Encontrarlassolucionesdelaecuacionenunavariableobtenidaenelpasoanterior.4. Reemplazarlosvaloresencontradosenelpasoanteriorenlaecuaciondelpaso1,parahallarlosvaloresenlaotravariable.5. Comprobar cada par (x, y) encontrado en el paso 4, en el sistema dado.168 CAPITULO7. SISTEMASDEECUACIONESYMATRICESPor ejemplo, si consideramos las ecuaciones y= x2y y= 2x+3 del ejem-plo en la introduccion, podemos sustituir x2por yen y= 2x+3 obteniendo:x2= 2x + 3o(x + 1)(x 3) = 0,dedondeseobtienenlassolucionesx = 1yx = 3.Estodalosvaloresxdelassoluciones(x, y)delsistema. Andehallarlos valores ycorrespondientes, podemos usar y =x2oy =2x + 3. Cony= x2,resultaSi x = 1,entonces y= (1)2= 1Si x = 3,entonces y= 32= 9.Porlotanto,lassolucionesdelsistemason(1, 1)y(3, 9).Ejemplo: Resolvamoselsistema_x + y2= 6x + 2y= 3.Paraello,despejamosxenlasegundaecuacionenterminosdey:x = 3 2y.Sustituimos la expresion de x encontrada, en la primera ecuacion del sistema:(3 2y) + y2= 6oy22y 3 = 0.7.1. SISTEMASDEECUACIONES 169Resolvemosparaylaecuacionanterior. Seobtiene:y= 3 , y= 1.Los anteriores sonlos unicos valores posibles deyparalas soluciones delsistema. Utilizamosahoralaecuacionx = 3 2yandehallarlosvaloresdexcorrespondientes:Si y= 3,entonces x = 3 2 3 = 3Si y= 1,entonces x = 3 2 (1) = 5.Porlotanto,lassolucionesposiblesson(3, 3)y(5, 1).Las gracas de las ecuaciones (parabola y recta) son las siguientes, dondesemuestranlospuntosdeintersecci on:`

Ejemplo: Resolvamoselsistema:_x2+ y2= 25x2+ y= 19.Despejamosx2delasegundaecuacion:x2= 19 y.170 CAPITULO7. SISTEMASDEECUACIONESYMATRICESSustituimosenlaprimeraecuacion,obteniendo:(19 y) + y2= 25.Simplicamosyfactorizamos,obteniendo:y2y 6 = 0o(y 3)(y + 2) = 0.As, los unicos valores posibles de y son: y= 3 y y= 2. Usamos x2= 19yconobjetodehallarloscorrespondientesvaloresdex:Si y= 3,entonces x2= 19 3 = 16.Luego,x = 4Si y= 2,entonces x2= 19 (2) = 21.Luego,x = 21.As,las unicassolucionesposiblesdelsistemason:(4, 3), (4, 3), (21, 2), (21, 2).Notesequelagracadex2+ y2=25esuncrculoconradio5ycentroenelorigen. Lagraca dey= 19 x2es unaparabolaconunejevertical. Lasgracassemuestranenlasiguientegura`87967.2. SISTEMASDEECUACIONESLINEALES 1717.2 SistemasdeecuacioneslinealesPodemos clasicar los sistemas de ecuaciones en lineales y no lineales. De unpuntodevistaalgebraico,seestudianpreferentementelossistemaslineales.Enestaseccionestudiaremosaquelloslinealesconsolodosvariables.Unaecuacionax + by=c(obienax + by c= 0),conaybdiferentesdecero, es unaecuacionlineal endos variables xey. Del mismomodo,ax + by + cz= desunaecuacionlinealcontresvariablesx,yyz.Dos sistemas deecuaciones sonequivalentessi tienenlas mismas solu-ciones. Para hallar las soluciones de un sistema lineal podemos usar tambienel metodode eliminacionque consiste enmanipular las ecuaciones hastaobtenerunsistemaequivalentedeecuacionesmassencillas, paralascualespodemos hallar sus soluciones confacilidad. Algunas manipulaciones (otransformaciones)quellevanasistemasequivalentessonlassiguientes:1. Intercambiardosecuaciones.2. Multiplicar o dividir una ecuacion por una constante diferente de cero.3. Sumarunm ultiploconstantedeunaecuacionaotraecuacion.Seobtieneunm ultiploconstantedeunaecuacional multiplicarcadaterminodelaecuacionporlamismaconstantekdistintadecero.Ejemplo: Resolvamoselsistema:_x + 3y = 12x y = 5.A menudo multiplicamos una de las ecuaciones por una constante que nos daelinverso aditivo delcoeciente de una de las variables enla otra expresion.Estopermitesumarambasecuacionesyobtenerunaterceraconunasolavariable,comosigue:172 CAPITULO7. SISTEMASDEECUACIONESYMATRICESMultiplicamospor3lasegundaecuacion,obteniendo_x + 3y = 16x 3y = 15.Sumamoslaprimeraecuacionalasegunda,yobtenemos:_x + 3y = 17x = 14.Del ultimo sistema vemos que 7x = 14 o x = 2. Para hallar el correspondientevalordey, sustituimosxcon2enx + 3y= 1, conlocual y= 1. Enconsecuencia,(2, 1)esla unicasoluciondelsistema.Las gracas de las ecuaciones son rectas que se cortan en el punto (2, 1)`x + 3y= 1

2x y= 5(2, 1)Observamosque, engeneral, el metododeeliminacionsueleconducirasoluciones conmenos pasos que el metodode sustitucionanalizadoenlaseccionanterior.Hay tres tiposdesituaciones posiblesalresolver unsistema dedos ecua-cionescondosvariables: Hayexactamenteunasolucion,unn umeroinnitodesolucionesonoexistesolucion.Gracamente, la primera situacion, llamado tambien sistema consistente,correspondeadosrectasqueseintersectan.7.3. MATRICES 173Lasegundasituacion,llamadosistemadependienteyconsistente,corres-ponde ados ecuaciones que representanlamismarecta; por ejemplo, elsistema_3x + y = 66x + 2y = 12esdependienteyconsistente(Ejercicio).Latercerasituacion, llamadosistemainconsistente, correspondeadosrectasparalelas. Porejemplo,elsistema_3x + y = 66x + 2y = 20notienesolucionoesinconsistente.Parasistemasdeecuacioneslinealesconmasdedosvariables, podemosusar el metododesustitucionoel metododeeliminacion. El metododeeliminacioneslatecnicamasbreveyfacil parahallarsoluciones. Ademasllevaalatecnicadematricesqueseestudiaenlasiguienteseccion.7.3 MatricesConsideremoselproblemaderesolverelsiguientesistemadeecuaciones___x 2y + 3z = 42x + y 4z = 33x + 4y z = 2,usandoelmetododeeliminacionvistoenlaseccionanterior.Sumando 2veceslaprimeraecuacionalasegunda, setieneel mismo174 CAPITULO7. SISTEMASDEECUACIONESYMATRICESsistemaequivalente___x 2y + 3z = 45y 10z = 53x + 4y z = 2.Sumando3veceslaprimeraecuacionalatercera,setiene___x 2y + 3z = 45y 10z = 52y + 8z = 10.Multiplicamosahorapor15lasegundaecuacionypor 12latercera___x 2y + 3z = 4y 2z = 1y 4z = 5.Sumamos 1vezlasegundaecuacionalatercera___x 2y + 3z = 4y 2z = 12z = 4.Lassolucionesdel ultimosistemaequivalentesonfacilesdehallarahoraporsustitucion: Delaterceraecuacionz= 2. Alsustituirzcon2enlasegundaecuacionobtenemosy= 3. Finalmente,seobtienetambienx = 4.Si analizamos el metodo de solucion del problema anterior, vemos que lossmbolosusadosparalasvariablescarecendeimportancia; debemostomarencuentaloscoecientesdelasvariables. As pues, si utilizamossmbolosdistintosenlasvariables(porejemplor,s,t),obtenemoselsistema___r 2s + 3t = 42r + s 4t = 33r + 4s t = 2.7.3. MATRICES 175Entonces el metododeeliminacionpuedecontinuar sucursoigual queenel ejemplo. Esposibleentoncessimplicarel proceso, introduciendounes-quemaandeseguirloscoecientesenformatalquenohayanecesidaddeescribirlasvariables.Con referencia al sistema anterior, primero comprobamos que las variablesaparezcan en el mismo orden en cada ecuacion y que los terminos sin variablesesten a la derecha de los signos de igualdad. En seguida anotamos los n umerosqueintervienenenlasecuacionescomosigue:____1 2 3 42 1 4 33 4 1 2____Una ordenacion de este tipo se llama matriz. Los reglones o las de la matrizsonlosn umerosqueaparecenunoacontinuaci ondeotroensentidohori-zontal. Las columnas de la matriz son los n umeros que aparecen uno junto aotroensentidovertical.La matriz obtenida del sistema de ecuaciones lineales del modo anterior esla matrizdelsistema. Si borramos la ultima columna, la restante ordenacioneslamatrizdecoecientes. Envistadeloanterior, llamamostambienalamatrizdelsistema,unamatrizcoecienteaumentadaomatrizaumentada.Ejemplo: Sistema:___x 2y + 3z = 42x + y 4z = 33x + 4y z = 2Matrizcoeciente:____1 2 32 1 43 4 1____176 CAPITULO7. SISTEMASDEECUACIONESYMATRICESMatrizaumentada:____1 2 3... 42 1 4... 33 4 1... 2____Notesequeenlamatrizaumentadaintroducimosunsegmentodelneaver-ticalandeindicardondeapareceranlossignosdeigualdadenelsistemadeecuacionescorrespondiente.Andedarunadeniciongeneral dematriz, usaremoslasiguienteno-tacionparaloscoecientesdelamatriz:aijdondeidenotaeln umerodelayjeln umerodecolumna.Denicion71Sean m, n enteros positivos. Una matriz mn es un arreglodemlasyncolumnasdelaformasiguiente:_______a11a12 a1na21a22 a2n.........am1am2 amn_______Laexpresionmnlallamamostama nodelamatriz. Esposibleconsiderarmatricesenquelossmbolosaijrepresentenn umeroscomplejos,polinomiosuotrosobjetosmatematicos. Cadaaijsellamaelementodelamatriz. Sim=n, hablamosdeunamatrizcuadradadeordennyloselementosa11,a22,a33,. . .sonloselementosdeladiagonal principal.Ejemplos:a)Matriz2 3:_ 5 3 17 0 2_7.3. MATRICES 177b)Matriz2 2:_5 12 3_c)Matriz1 3:_3 1 2_d)Matriz3 2:____2 10 18 3____e)Matriz3 1:____405____El metodo de eliminacion para sistemas de ecuaciones nos da la siguientedenicion.Denicion72Diremosquedosmatrices, del mismotama no, sonequiva-lentessiseobtieneunadeotraporunaomasdelassiguientestransforma-cioneselementalesdela:(1)Intercambiardoslas.(2)Multiplicarodividirunalaporunaconstantediferentedecero.(3)Sumarunm ultiploconstantedeunalaaotrala.Lastransformacioneselementalesdela, nospermitenobtener unaformaequivalentemassencillaquelaoriginal. Estasformasmassencillassonde3tipos: triangularsuperior, triangularinferiorydiagonal, comoilustran,respectivamente,lossiguientesejemplosenelcaso3 3:____a11a12a130 a22a230 0 a33________a110 0a21a220a31a32a33________a110 00 a2200 0 a33____178 CAPITULO7. SISTEMASDEECUACIONESYMATRICES7.4AlgebradematricesEn esta seccion analizamos propiedades de las matrices que son importantesencursossuperioresdematematica. Denotaremosporel smbolo(aij)unamatrizAdeordenmn.Denicion73SeanA=(aij), B=(bij), C=(cij) matrices de ordenmn. Entonces(1)A = Bsiysolosiaij= bijparatodaiyj.(2)C= A + Bsiysolosicij= aij + bijparatodaiyj.Ejemplo:_1 0 538 322_=_(1)20252 9 2_Conlanotacionanterior paramatrices, podemos escribir ladeniciondesumacomo:(aij) + (bij) = (aij + bij).As, parasumardosmatrices, sumamosloselementoscorrespondientesdecadamatriz. Dosmatricessepuedensumarsolositienenelmismotama no.Ejemplos:a)____4 50 46 1____+____3 27 42 1____=____7 37 08 2____b)_1 3 20 5 4_+_0 0 00 0 0_=_1 3 20 5 4_7.4.ALGEBRADEMATRICES 179c)_2 34 1_+_ 2 34 1_=_0 00 0_Lamatriz nulam n, denotadapor 0, es lamatriz conmlas yncolumnasenquecadaelementoes0.Elinversoaditivo AdelamatrizA = (aij)eslamatriz(aij)obtenidaalcambiarelsignodacadaelementodeAdiferentedecero.Elsiguienteresultadosededucedeladeniciondesumadematrices.Teorema74SeanA,ByCmatricesmnysea0lamatriznulamn.Entonces:(1)A + B= B + A(2)A + (B + C) = (A + B) + C(3)A + 0 = A(4)A + (A) = 0.Larestadedosmatricesmnestadenidapor:A B:= A + (B).Denicion75El productodeunn umeroreal cyunamatrizA=(aij)demnescA = (caij).Ejemplo:3_4 12 3_=_12 36 9_Sepuedeprobarlosiguiente:Teorema76Sean A y B dos matrices mn y c, d n umeros reales. Entonces(1)c (A + B) = c A + c B(2)(c + d) A = c A + d A(3)(c d) A = c (d A).180 CAPITULO7. SISTEMASDEECUACIONESYMATRICESLaproximadeniciondelproductoABdedosmatricespuedeparecerpococom un, perotienemuchosusosenmatematicayenaplicacionespracticas.En la multiplicaci on A y Bpueden ser de tama nos diferentes pero eln umerodecolumnasdeAhadeserel mismoqueel n umerodelasdeB; porlotanto, si A es mn, entonces Bdebe ser np para alg un p. Seg un veremos,eltama nodeABesentoncesmp.Denicion77SeaA=(aij) unamatriz dem nyseaB=(bij) unamatrizn p. El productoABeslamatrizC= (cij)demptal quecij= ai1b1j + ai2b2j + ai3b3j + + ainbnjparai = 1, 2, . . . , myj= 1, 2, . . . , p.Ejemplo: ConsideremosA =_1 2 34 0 2_yB=____5 4 2 01 6 3 17 0 5 8____.LamatrizAes2 3ylamatrizBes3 4; porlotanto, el productoC= ABestadenidoyes2 4.A n de obtener el elemento cijmultiplicamos, correspondientemente, loselementosdelai-esimaladelamatrizAconloselementosdelaj-esimacolumnadelamatrizB. Luegosumamos.Porejemplo:c23= 4 2 + 0 3 + (2) 5 = 2c12= 1 (4) + 2 6 + (3) 0 = 8As,obtenemos:C=_ 18 8 7 226 16 2 16_.Otros ejemplos de productos de matrices son los siguientes. La comprobacionquedacomoejercicioparaellector.7.4.ALGEBRADEMATRICES 181a)____2 40 15 3_____ 21_=____817____b)_3 1 2_____2 40 15 3____=_4 19_c)_ 23__1 5_=_ 2 103 15_d)_1 5__ 23_=_13_Laoperaciondelproductodematricesnoesconmutativa;porejemplo:siA =_2 21 1_yB=_1 21 2_entoncesAB=_4 82 4_y BA =_0 00 0_Por lo tanto AB = BA. Observemos tambien que la ultima igualdad muestraque el producto de dos matrices diferentes de cero puede ser igual a una matriznula. Otraspropiedadesdematricessonlassiguientes:Teorema78SiAesmn,Besn pyCesp qentoncesA(BC) = (AB)C.Teorema79SiA1yA2sonmnyB1yB2sonn pentoncesA (B1 + B2) = A1 B1 + A1 B2(A1 + A2) B1= A1 B1 + A2 B1.182 CAPITULO7. SISTEMASDEECUACIONESYMATRICESComo caso especial, si todas las matrices son cuadradas, de orden n, entoncessiempresecumplenlaspropiedadesasociativaydistributiva.7.5 InversadeunamatrizEnesta seccionyenadelante, restringiremos nuestro estudio a matricescuadradas. ElsmboloIndenotaralamatrizcuadradadeordennquetiene1 en cada posicion en la diagonal principal y 0 en todas las demas posiciones.Lallamamosmatrizidentidaddeordenn.Ejemplo:I2=_1 00 1_; I3=____1 0 00 1 00 0 1____EsfacilverquesiAescualquiermatrizcuadradadeordenn,entoncesA In= A = In A.Cuandotrabajamosconunn umerorealbdiferentedecero, eln umeropar-ticularb1(el inversomultiplicativodeb)sepuedemultiplicarporbparaobtenerlaidentidadmultiplicativa(eln umero1);esdecirb b1= 1.Tenemosunasituacionsemejanteconmatrices.Denicion80Sea A una matriz cuadrada de orden n. Si existe una matrizBtal queAB= I= BAentoncesBsellamainversadeAysedenotaA1.7.5. INVERSADEUNAMATRIZ 183SiunamatrizcuadradaAtieneunainversa,decimosqueAesinvertible.Ejemplo: SeaA =_3 51 4_;entoncesA1=17_4 51 3_.Podemos calcular A1mediante operaciones elementales la, como sigue:Comenzamosconlamatriz__3 5... 1 01 4... 0 1__A continuacion efectuamos transformaciones elementales de reglon hasta quelamatrizidentidadI2aparezcaenelladoizquierdodelsegmentovertical.Intercambiamoslaprimeralaconlasegunda(f1 f2)__1 4... 0 13 5... 1 0__Multiplicamos por 3 la primera la y la sumamos a la segunda la (3f1+f2 f2)__1 4... 0 10 7... 1 3__Multiplicamospor 17lasegundala(17f2 f2)__1 4... 0 10 1... 1737__Multiplicamos por 4 la segunda la y la sumamos a la primera la (4f2+f1 f1)__1 0...47570 1... 1737__LacomprobacionqueAA1= I= A1Aquedacomoejercicio.184 CAPITULO7. SISTEMASDEECUACIONESYMATRICES7.6 Ejercicios1. Useelmetododesustitucionpararesolverelsistema.a)_y = x2+ 1x + y = 3b)_y2= xx + 2y + 3 = 0c)_x y3= 12x = 9y2+ 2d)_3x 4y + 20 = 03x + 2y + 8 = 0e)_x2+ y2= 16y + 2x = 1f)_x2+ y2= 1y + 2x = 3g)_x = y24y + 5x y = 1h)_25y216x2= 4009y24x2= 36i)___2x 3y z2= 0x y z2= 1x2xy = 0j)___x + 2z = 12y z = 4xyz = 02. Resuelvaelsistema.a)_4x + 5y = 133x + y = 4b)_7x 8y = 94x + 3y = 10c)_9u + 2v = 03u 5v = 17d)_2x + 8y = 73x 5y = 4e)_12t 15v =3223t +14v =512f)_3p q = 712p + 4q = 3g)_x 5y = 23x 15y = 6h)_3x + 7y = 9y = 5i)___2x+3y= 24x 5y= 1j)___3x 1+4y + 2= 26x 1 7y + 2= 37.6. EJERCICIOS 1853. Despejeaybdelsistema.a)_ae3x+ be3x= 0a(3e3x) + b(3e3x) = e3xb)_aex+ be4x= 0aex+ b(4e4x) = 24. Utilicematricesenlasoluciondelsistema.a)___x + 3y z = 33x y + 2z = 12x y + z = 1b)___4x y + 3z = 68x + 3y 5z = 65x 4y = 9c)___x + 3y 3z = 52x y + z = 36x + 3y 3z = 4d)___2x 3y + z = 23x + 2y z = 55x 2y + z = 0e)___2x y + z = 0x y 2z = 02x 3y z = 0f)___x + y 2z = 0x y 4z = 0y + z = 0g)_2x y + 4z = 83x + y 2z = 5h)_5x + 2y z = 10y + z = 3i)___2x 3y = 123y + z = 25x 3z = 3j)___2x + 3y = 2x + y = 1x 2y = 13k)___2x + 3y = 5x 3y = 4x + y = 2l)___4x y = 22x + 2y = 14x 5y = 35. Encuentre,siesposible,A + B,A B,2Ay 3B.a) A =_3 01 2_, B=_3 41 1_186 CAPITULO7. SISTEMASDEECUACIONESYMATRICESb) A =_0 2 75 4 3_, B=_8 4 00 1 4_c) A =_716_, B=_ 119_d) A =_2 1_, B=_3 1 5_6. Encuentre,siesposible,AByBA.a) A =____5 0 00 3 00 0 2____, B=____3 0 00 4 00 0 2____b) A =____2 1 1 03 2 0 52 1 4 2____, B=______5 3 11 2 01 0 40 2 3______c) A =____1 2 32 3 13 1 2____, B=____2 0 00 2 00 0 2____d) A =_4 8_, B=_ 32_e) A =_3 1 4_, B=_ 25_7. SeanA =_1 20 3_, B=_2 13 1_, C=_3 12 0_.Compruebeelenunciado.a) (A + B)(A B) = A2B2,dondeA2= AAyB2= BB.7.6. EJERCICIOS 187b) (A + B)(A + B) = A2+ 2AB + B2.c) A(B + C) = AB + AC.d) A(BC) = (AB)C.8. Encuentrelainversadelamatriz,siexiste.a)_3 24 5_b)_3 16 2_c)____3 0 20 1 04 0 2____d)____1 2 32 1 03 1 1____e)____1 1 12 2 23 3 3____Bibliografa[1] E. W. Swokowski - J. A. Cole,Algebra y Trigonometra con GeometraAnaltica,International ThomsonEditores,1997.188