algebra linear 02 aula 01-03-produto misto
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PRODUTO MISTOPRODUTO MISTO
Definimos o produto misto de dois Definimos o produto misto de dois vetores e dados por vetores e dados poru
v
kfjeidfedv
kcjbiacbau
...),,(
...),,(
como :como :
) wx v.(uw , v , u
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Pelo Produto Vetorial Pelo Produto Vetorial já estudado já estudado anteriormente , temos :anteriormente , temos :
Pelo Produto Vetorial Pelo Produto Vetorial já estudado já estudado anteriormente , temos :anteriormente , temos :
hg
fed
kji
w x v
Pela Regra de Sarrus , temos :Pela Regra de Sarrus , temos :Pela Regra de Sarrus , temos :Pela Regra de Sarrus , temos :
k.hg
edj.
g
fdi.
h
fe
hg
fed
kji
w x v
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k.hg
edj.
g
fdi.
h
fe
hg
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kji
w x v
) wx v.(uw , v , u
hg
ed.c
g
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h
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fed
kji
)w x v.(u
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hg
ed.c
g
fd.b
h
fe.a
hg
fed
kji
)w x v.(u
hg
fed
cba
)w x v.(uw , v , u
Pelas Propriedades dos Pelas Propriedades dos Determinantes, temos :Determinantes, temos :Pelas Propriedades dos Pelas Propriedades dos Determinantes, temos :Determinantes, temos :
w. )vx u()w x v.(uw , v , u
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) ux v .(w) vx u .(ww. )vx u(
cba
fed
hg
cba
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hg
hg
fed
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hg
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w. )vx u()w x v.(uw , v , u
Logo :Logo :
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INTERPRETAÇÃO INTERPRETAÇÃO
GEOMÉTRICAGEOMÉTRICA
INTERPRETAÇÃO INTERPRETAÇÃO
GEOMÉTRICAGEOMÉTRICA
u
w
v
wx v
hh
cos.uh
wx vSb
Veja que :Veja que :
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Lembre-se que todo paralelepípedo é Lembre-se que todo paralelepípedo é um prisma.um prisma.
cos.uh
wx vS ; b
cos.u.wx vh.SV b
w , v, uu). wx v(h.SV b
w , v, u V
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V E T O R E S V E T O R E S C O P L A N A R E SC O P L A N A R E S
u
v
w
São vetores que estão contidos no São vetores que estão contidos no mesmo plano.mesmo plano.
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uv
w
Repare que vetores que estão Repare que vetores que estão contidos no mesmo plano, não contidos no mesmo plano, não formam paralelepípedo.formam paralelepípedo.
Digamos então que o que seria um Digamos então que o que seria um paralelepípedo é um sólido de volume paralelepípedo é um sólido de volume igual a zero. Então :igual a zero. Então : 0w , v , u
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VOLUME DO VOLUME DO TETRAEDROTETRAEDRO
u
w
v
wx v
hh
O Paralelepípedo pode O Paralelepípedo pode ser dividido em dois ser dividido em dois Prismas Triangulares Prismas Triangulares de mesmo volume.de mesmo volume.
Da Geometria Espacial, Da Geometria Espacial, temos que o volume de temos que o volume de uma Pirâmide, vale uma Pirâmide, vale 1/3 do volume do 1/3 do volume do Prisma. Prisma.
Assim, temos : Assim, temos :
.paral.tetr V.
2
1.
3
1V
w , v, u .6
1V
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