algebra linear boldrini/costa/figueiredo/wetzler objetivo: conceituar espaço vetorial; realizar...
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...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
Espaço Vetorial Algebra LinearBoldrini/Costa/Figueiredo/Wetzler
Objetivo:Conceituar espaço vetorial;Realizar mudança de base;Conhecer e calcular transformações Lineares
• Introdução• Definição de Espaço Vetorial• Subespaço• Combinação Linear• Representação dos vetores no espaço• Dependência Linear• Base de um Espaço Vetorial• Mudança de Base
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
IntroduçãoAntes de definir espaço vetorial vamos reescrever os vetores no espaço em notação matricial.Dado um ponto P(x,y,z) no espaço associado a um vetor
pode ser escrito da seguinte forma.
),,( zyxOPv
v
zyxv
z
y
x
v
x
y
z
v
O
P(x,y,z)
V é um conjunto no espaço.3
321 }/),,{( RRRRRxxxxV i
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
Desta forma:
Vetor nulo no espaço R3
Vetor oposto em R3
Operações com vetores no espaço V=R3
Dados:
e
Soma:
0
0
0
0
z
y
x
v
z
y
x
u
u
u
u
z
y
x
v
v
v
v
zz
yy
xx
z
y
x
z
y
x
vu
vu
vu
v
v
v
u
u
u
vu
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
Produto de um vetor com um escalar:
3
1
2
u
5
1
0
v
2
2
2
vu
Exemplo:
ux
y
v
z
vu
z
y
x
ku
ku
ku
uk Exemplo:
3
2
0
u
2k
6
4
0
3
2
0
2uk u
x
y
z u2
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
Propriedades:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
)()( wvuwvu
uvvu
uuV
0/0
0)(/
uuVu
vauavua
)(
vbvavba
)(
)()( vbavab
uu
1
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
Definição de Espaço Vetorial
É um conjunto V≠ com duas operações VxV V e RxV V, tais que para quaisquer u,v,w Є V e a,b Є R e as propriedades i a viii sejam satisfeitas.
Havendo números complexos, V será um espaço vetorial complexo.O vetor é um elemento do espaço vetorial.Desta forma um vetor poderá ser:
•Vetor n-dimensional•Matriz de qualquer ordem•Polinômio de qualquer grau
Vejamos alguns exemplos:Exemplo1: Conjunto de Vetores no espaço.
RxxxxRV i );,,( 3213
5
3
1
u
4
2
1
v
1
5
0
vu
10
6
2
2u
É espaço vetorial
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
RxxxxRV in );,.....,,( 321
nx
x
x
u
.
.2
1
Exemplo2: considerando n-uplos de nos reais
Ra
nn yx
yx
yx
vu
.
.22
11
nn ax
ax
ax
x
x
x
aua
.
.
.
.2
1
2
1
ny
y
y
v
.
.2
1
n=5 RxxxxxxRV i );,,,,( 543215
5
4
3
2
1
x
x
x
x
x
u
55
44
33
22
11
yx
yx
yx
yx
yx
vu
5
4
3
2
1
5
4
3
2
1
2
2
2
2
2
22
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
u
5
4
3
2
1
y
y
y
y
y
v
Neste caso o vetor nulo é:
0
0
0
0
0
0
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
Exemplo3: V=M(m,n), o conjunto de matrizes mxn com soma e produto por escalar:
Rdcba
dc
baMV ,,,;)2,2(
43
21A
21
31B
22
10BA
63
933B Neste caso o vetor nulo é:
00
000
Exemplo4: V=Pn o conjunto dos polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n incluindo o zero.
n=2 RaxaxaaP i );( 22102
21 21)( xxxf 2
2 43)( xxxf
xxff 64)(21 21 242)(2 xxxf
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•Subespaços VetoriaisSão espaços vetoriais contidos no espaço vetorial maior:
u
x
y
v
vu
W Exemplo:Seja V=R2, plano onde W é uma reta deste plano.
A soma de quaisquer dois vetores de W resulta em outro vetor de W. O mesmo ocorre se multiplicarmos um número por um vetor de W.Nestas condições, W é “fechado” em relação à soma de vetores e o produto de um escalar pelos vetores de W.
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Definição:
Dado um espaço vetorial V, um supconjunto W, não vazio, será subespaço vetorial de V se:
1) Quaisquer u,v Є W tivermos u+v Є W
2) Para qualquer a Є R, u Є W tivermos au Є W.
Obs:
a) Não é necessário verificar as propriedades i a viii pois V V W;
b) Qualquer subespaço W de V precisa conter o vetor nulo para garantir a condição (2) quando a=0;
c) Todo o espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços (subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o próprio espaço vetorial.
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Exemplo1: V=R3
e WTV, é um plano passando pela origem do sistema .
Se W não passar pela origem ele não é um subespaço vetorial.
Exemplo2: V=R5 e
W é um conjunto de vetores do R5 cuja primeira coordenada seja nula:
i)
ii)
RxxxxxW i );,,,,0( 5432
),,,,0( 5432 yyyyv
),,,,0( 5432 xxxxu
Wyxyxyxyxvu ),,,,0( 55443322
Wkxkxkxkxuk ),,,,0( 5432
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
Exemplo3: V=M(m,n) é subconjunto das matrizes triangulares superiores.
W⊂R⇨W é subespaço do V pois a matriz resultante da soma e do produto por um escalar é triangular superior.
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• Combinação Linear
Definição:Seja V um espaço vetorial real (ou complexo)
v1,v2,....,vn ∈ V e a1,a2,......,an X R (ou C)
nnvavavav
......2211
É um elemento de V chamado de combinação linear de v 1,v2,....,vn
Fixando-se v 1,v2,....,vn em V, o conjunto W formado da combinação linear de todos os vetores de V, é subespaço vetorial.
Notação:
nvvvW ,......,, 21
Subespaço gerado pela combinação linear de v 1,v2,....,vn
Formalmente:
niRavavavavVvW inn 1,,......; 2211
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1
1
2
1v
Exemplo5:Dados dois vetores: v1=(1,3), v2=(-5,4) escreva o vetor u=(-13,18) como uma
combinação linear de v1 e v2: W=[v1,v2]
2
4
3
2v
21 2vvr
212 vvu
Solução:
0
6
1
2
4
3
1
1
2
2u
3
9
4
2
4
3
2
1
1
2
r
Exemplo4:Dados dois vetores: e determine os vetores:
Solução:
18
13
43
5
4
5
34
5
3
1
ba
ba
b
b
a
abau
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
18
13
43
5
ba
ba
2
215133.513
3319
57
5719
1841539
184)513(31843
513135
a
a
bb
b
bb
bbba
baba
4
53
3
12u
21 32 vvu
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
• Dependência LinearSeja V um espaço vetoria e v1,v2,....,vn ∈ V . Dizemos que {v1,v2,....,vn } é LI (Linearmente independente se a1v1+a2v2+....+anvn =0 ⇨ a1=a2=....=an=0
Se ai≠0 ⇨ {v1,v2,....,vn } é LD (linearmente dependente)
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
• Base de um Espaço VetorialDefinição: Um conjunto {v1,v2,.....,vn} de vetores de V é uma base de V se:
i) {v1,v2,.....,vn} é LIii) [v1,v2,.....,vn] = V
Exemplo1: , 2RV
)1,0(ˆ)0,1(ˆ 21 eee
21 ˆ,ˆ ee
0
0
0
00
0
0
0
1
0
0
1
0ˆˆ 21
b
a
b
a
b
a
ba
ebea
é base de V, conhecida como base canônica de V=R3
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
Exemplo2: Vamos examinar os vetores: )1,0()1,1( 21 vev
21
21
,0
0
0
00
0
0
1
0
1
1
0
vvb
a
ba
a
ba
a
ba
vbva
é uma base no espaço V
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Exemplo3: Verificar se é base em R2 21,vv
)2,0()1,0( 21 vv
baba
baba
ba
vbva
202
0
0
2
0
2
00
0
0
2
0
1
0
021
Portanto a e b não são necessariamente zero.
é LD e portanto não pode forma uma base. 21,vv
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•Mudança de BaseDadas duas bases:
n
n
bbbB
eaaaA
,.......,,
,.......,,
21
21
Ordenadas de um espaço vetorial V. Dado o vetor vXV, podemos escrevê-lo:
nn
nn
bybybyv
axaxaxv
...
...
2211
22111
Base A
Base B
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
n
A
x
x
x
v
.
.2
1
n
B
y
y
y
v
.
.2
1
Base A Base B
Desta forma podemos escrever os vetores da base B (bi) como combinação linear dos vetores da base A (ai):
nnnnnn
nn
nn
aaaaaab
aaaaaab
aaaaaab
...
......
.....
...
...
2211
22221122
12211111
2
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
Substituindo-se (2) em (1)
)...(
.
.
)...(
)...(
...
2211
22221122
12211111
2211
nnnnnn
nn
nn
nn
aaaaaay
aaaaaay
aaaaaay
bybybyv
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
nnnnnn
nn
nn
nn
ayayaya
ayayaya
ayayaya
axaxax
)...(
....)...(
)...(
...
2211
22222121
11212111
2211
nnnnn
n
n
n y
y
y
aaa
aaa
aaa
x
x
x
.
.
..
..
.
.2
1
11
22121
11211
2
1
Base BBase AMatriz de transformação da base B para base A
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
BBAA VIV
Portanto pode-se escrever simplificadamente
Onde é a matriz de transformação da base B para base A.
A partir desta matriz é possível obter-se a matriz de transformação de A para utilizando-se a álgebra matricial desta forma:
BAI
BBA
BAA
BA VIIVI
11
I Que é a matriz identidade
ABAB VIV
1
E Portanto: 1 BA
AB II
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Exemplo 1:Sejam as bases:
},{)}1,0(),0,1{(
},{)}4,3(),1,2{(
212
211
eeB
iiB
Bases de R2
Determinando-se a matriz de transformação de B2 para B1:
Escreve-se os vetores de B2 momo combinação linear dos vetores de B1:
4
3
1
2
1
0
4
3
1
2
0
1
2212
2111
2221122
2211111
aa
aa
iaiae
iaiae
2
1
BBI
1
2
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
De (1):
11/44410
11/1381321
1121112111
2121212111
aaaaa
aaaaa
De (2):
11/2832
42
3141
11/32
3320
222222
22222212
1222122212
aaa
aaaa
aaaaa
11
2
11
111
3
11
42
1
BBI
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........
Exemplo 2:Determinar v=[5,-8]B2 na base B1
2
2
11 BBBB VIV
1
4
8
5
21
34
11
11B
V
Para passar da base B1 para base B2, basta fazer a inversão da matriz . 2
1
BBI
11
4;
11
3;
11
1;
11
2;
11
1det 22211211
2
1B
BI
41
321
2
2
1
1 BB
BB II
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Outra maneira de se obter é considerar a transformação algébrica inversa:
1
0
0
1
4
3
1
0
0
1
1
2
2212
2111
2221122
2211111
aa
aa
eaeai
eaeai
4;3
;1;2
2212
2111
aa
aa
41
321
2
BBI
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Exemplo 3: Só para verificar o exemplo anteriorDeterminar v=[4,-1]B1 na base B2
8
5
1
4
41
322B
V
Observando as bases graficamente no espaço R2:
2B
1B
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Exemplo 4:Consideremos em R2 a base B1={e1,e2} e a base B2={f1,f2} , obtida
da base canônica B1 pela rotação do ângulo q. Dado o vetor vXR2 de coordenadas:
2B
1B
1e
1f
2f
2e
2
1
1 x
xv B
2
1
2 y
yv B
Pode-se escrever f1 e f2 em função de e1 e e2 :
cos
cos
212
211
esenef
seneef
cos
cos2
1 sen
senI BB
cos
cos1
2 sen
senI BB
Como é ortogonal então: 2
1
BBI
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Considerando:
E q=600
Determinar:
3
21B
v
2B
v
2
1
2
32
3
2
11
2
BBI
2
3232
332
3
2
2
1
2
32
3
2
1
2Bv
...............Unidade 5 Espaço Vetorial........