Álgebra linear e geometria analítica
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Álgebra Linear e Geometria Analítica. 6ª aula. DETERMINANTES. Uma permutação = ( p 1 , p 2 , p 3 , … , p n ) dos elementos do conjunto {1, 2, 3, … , n} é um arranjo dos n números em alguma ordem sem repetições ou omissões. Permutações. = ( 6, 1, 4, 5, 3, 2) - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
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Álgebra Linear e
Geometria Analítica
6ª aula
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DETERMINANTES
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PermutaçõesUma permutação
= ( p1, p2, p3, … , pn) dos elementos do conjunto
{1, 2, 3, … , n}é um arranjo dos n números em alguma ordem sem repetições ou omissões
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EXEMPLO:
= ( 6, 1, 4, 5, 3, 2) é uma permutação dos elementos do conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
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EXEMPLO:
= ( 1, 2, 3, 4, 5, 6) é a permutação identidade dos elementos do conjunto
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
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Paridade de uma permutaçãoNúmero de trocas de dois elementos que é necessário efectuar para voltar a pôr os números por ordem.
Permutação par número de trocas parPermutação ímpar número de trocas ímpar
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Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.
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Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.
Exemplo: = (4, 1, 3, 2)
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Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.
Exemplo: = (4, 1, 3, 2)4: 1, 3, 2 31: 03: 2 12: 0
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Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.
Exemplo: = (4, 1, 3, 2)4: 1, 3, 2 31: 03: 2 12: 0 (3+0+1+0) = 4
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Como determinar a paridade rapidamente?
Para cada elemento contam-se os números menores que ele que ficam depois dele.
Exemplo: = (4, 1, 3, 2)4: 1, 3, 2 31: 03: 2 12: 0 (3+0+1+0) = 4
é par
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Sinal de uma permutação
ímparése
parése
1
1)sgn(
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Exemplos:
= (6, 5, 3, 1, 2, 4)paridade: 5 + 4 + 2 + 0 + 0 + 0 = 11sgn() = -1
= (1, 3, 2, 4, 6, 5)paridade = 0 + 1 + 0 + 0 + 1 + 0 = 2sgn() = +1
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Produtos elementares:
A é uma matriz quadrada nnChama-se produto elementar da matriz A a um produto de n entradas da matriz A que contenha uma entrada de cada linha e de cada coluna de A.a1p1
a2p2 a3p3
… anpn
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Exemplos:
= (6, 5, 3, 1, 2, 4)Produto elementar correspondente:a16 a25 a33 a41 a52 a64
= (1, 3, 2, 4, 6, 5)Produto elementar correspondente:a11 a23 a32 a44 a56 a65
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Produtos elementares assinalados:
A é uma matriz quadrada nnChama-se produto elementar assinalado da matriz A a um produto elementar com o sinal da permutação correspondente:sign()a1p1
a2p2 a3p3
… anpn
Com = (p1, p2, …, pn )
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Exemplos:
= (6, 5, 3, 1, 2, 4)Produto elementar assinalado correspondente:- a16 a25 a33 a41 a52 a64
= (1, 3, 2, 4, 6, 5)Produto elementar assinalado correspondente:+ a11 a23 a32 a44 a56 a65
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Determinante de uma matriz:
Determinante da matriz A é a soma de
todos os produto elementares assinalados
de A.
Representa-se por det(A) ou por |A|
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Matrizes 22
Produtoelementar
Permutação associada
Paridade Produto elementar assinalado
a11a22 (1, 2) par a11a22
a12a21 (2, 1) ímpar - a12a21
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Matrizes 22
Produtoelementar
Permutação associada
Paridade Produto elementar assinalado
a11a22 (1, 2) par a11a22
a12a21 (2, 1) ímpar - a12a21
det(A) = a11a22 - a12a21
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Matrizes 33Produto elementar Permutação
associadaParidade Produto elementar
assinalado
a11a22a33 (1, 2, 3) par + a11a22a33
a12a23a31 (2, 3, 1) par + a12a23a31
a13a21a32 (3, 1, 2) par + a13a21a32
a13a22a31 (3, 2, 1) ímpar - a13a22a31
a12a21a33 (2, 1, 3) ímpar - a12a21a33
a11a23a32 (1, 3, 2) ímpar - a11a23a32
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Matrizes 33Produto elementar Permutação
associadaParidade Produto elementar
assinalado
a11a22a33 (1, 2, 3) par + a11a22a33
a12a23a31 (2, 3, 1) par + a12a23a31
a13a21a32 (3, 1, 2) par + a13a21a32
a13a22a31 (3, 2, 1) ímpar - a13a22a31
a12a21a33 (2, 1, 3) ímpar - a12a21a33
a11a23a32 (1, 3, 2) ímpar - a11a23a32
det(A) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – – a13a22a31 – a12a21a33 – a11a23a32
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Determinantes de matrizes especiais
Se A é diagonal:det(A) = a11 a22 … ann
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Determinantes de matrizes especiais
Se A é diagonal:det(A) = a11 a22 … ann
Em particular:det(I) = 1det(O) = 0
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Determinantes de matrizes especiais
Se A é diagonal:det(A) = a11 a22 … ann
Em particular:det(I) = 1det(O) = 0
Se A é escalar e o elemento da diagonal é k então:det(A) = kn
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Determinantes de matrizes especiais
Se A é triangular (superior ou inferior):
det(A) = a11 a22 … ann
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Propriedades dos determinantes:
1. det(A) = det(AT)2. Se A tem uma linha (ou coluna) nula
então det(A) = 03. Se A’ é obtida de A trocando 2 linhas
(ou colunas) então det(A’) = - det(A)4. Se A tem duas linhas (ou colunas)
iguais então det(A) = 0
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Propriedades dos determinantes:
5. Se A’ é obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por então det(A’) = det(A)
6. Se A tem uma linha (ou coluna) múltipla doutra então det(A) = 0
7. det(A) = n det(A)
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Propriedades dos determinantes:
8. Se L1, …, Li, …, Ln são as linhas de A e Li = L’i + L’’i então
det(A) = det + det
n
i
L
L
L
'
1
n
i
L
L
L
''
1
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Propriedades dos determinantes:
9. A mesma propriedade para as colunas10. det(AB) = det(A) det(B)11. A é invertível se e só se det(A) 0
(e se e só se car(A) = n)12. Se A é invertível então det(A-1)=
)det(
1
A
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Efeitos das operações elementares no determinante:• Operações tipo I
Trocando duas linhas o determinante muda o sinalEXEMPLO
162
510
963
det
162
963
510
det
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Efeitos das operações elementares no determinante:• Operações tipo II
Multiplicar uma linha por um escalar não nuloEXEMPLO
162
321
510
det3
162
963
510
det
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Efeitos das operações elementares no determinante:• Operações tipo III
Adicionar a uma linha outra multiplicada por um escalarEXEMPLO
133 2
5100
510
321
det
162
510
321
det
LLL
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Cálculo do determinante por condensação da matriz:
165553
5500
510
321
det3
5100
510
321
det3
162
510
321
det3
162
321
510
det3
162
963
510
det
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Cálculo do determinante pelo teorema de Laplace:• Chama-se Menor (i,j) da matriz A ao
determinante da matriz que se obtém de A retirando a linha i e a coluna j. Representa-se por Aij
• Chama-se Complemento Algébrico de aij ao número (-1)i+j Aij e representa-se por ijA
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EXEMPLO
722
281
532
A
341ˆ3428
53det
31ˆ372
21det
3113
3131
1221
1212
AAA
AAA
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Teorema de Laplace
• Para cada linha k:
• Para cada coluna j:
knknkkkk AaAaAaA ˆˆˆ)det( 2211
njnjjjjj AaAaAaA ˆˆˆ)det( 2211
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Observações
• O Teorema de Laplace determina o determinante de uma matriz de ordem n através do cálculo de determinantes de ordem n-1;
• Deve-se escolher a linha ou coluna com mais zeros;
• Usar primeiro operações elementares sobre linhas para obter uma coluna com mais zeros e só depois o Teorema de Laplace sobre essa coluna.
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EXEMPLO:
1211
1121
1112
1111
det
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EXEMPLO:
0320
2210
1130
1111
det
1211
1121
1112
1111
det
![Page 41: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062301/56814fa0550346895dbd5df7/html5/thumbnails/41.jpg)
EXEMPLO:
032
221
113
det11
0320
2210
1130
1111
det
1211
1121
1112
1111
det 11
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EXEMPLO:
032
113
221
det
032
221
113
det11
0320
2210
1130
1111
det
1211
1121
1112
1111
det 11
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EXEMPLO:
470
770
221
det
032
113
221
det
032
221
113
det11
0320
2210
1130
1111
det
1211
1121
1112
1111
det 11
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EXEMPLO:
032
221
113
det11
0320
2210
1130
1111
det
1211
1121
1112
1111
det 11
47
77det11
470
770
221
det
032
113
221
det 11
![Page 45: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062301/56814fa0550346895dbd5df7/html5/thumbnails/45.jpg)
EXEMPLO:
032
221
113
det11
0320
2210
1130
1111
det
1211
1121
1112
1111
det 11
214928
47
77det11
470
770
221
det
032
113
221
det 11
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Inversa de uma matriz usando determinantes• Matriz dos co-factores ou dos complementos
algébricos:
• Matriz adjunta da matriz A:
• Matriz inversa de A:
ijAA ˆˆ
TAAAdj ˆ)(
)(det
11 AAdjA
A
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EXEMPLO:
11det1ˆ22det1ˆ
33det1ˆ44det1ˆ
43
21
2222
1221
2112
1111
AA
AA
A
12
34A
![Page 48: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062301/56814fa0550346895dbd5df7/html5/thumbnails/48.jpg)
EXEMPLO:
11det1ˆ22det1ˆ
33det1ˆ44det1ˆ
43
21
2222
1221
2112
1111
AA
AA
A
13
24ˆ)(12
34ˆ TAAadjA
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EXEMPLO:
11det1ˆ22det1ˆ
33det1ˆ44det1ˆ
43
21
2222
1221
2112
1111
AA
AA
A
13
24
2
1
264)det(
13
24ˆ)(12
34ˆ
1A
A
AAadjA T
![Page 50: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062301/56814fa0550346895dbd5df7/html5/thumbnails/50.jpg)
EXEMPLO:
11det1ˆ22det1ˆ
33det1ˆ44det1ˆ
43
21
2222
1221
2112
1111
AA
AA
A
2
1
2
312
13
24
2
1
264)det(
13
24ˆ)(12
34ˆ
1A
A
AAadjA T
![Page 51: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062301/56814fa0550346895dbd5df7/html5/thumbnails/51.jpg)
Regra prática para determinantes 33
211
112
121
det
![Page 52: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062301/56814fa0550346895dbd5df7/html5/thumbnails/52.jpg)
Regra prática para determinantes 33
112
121
211
112
121
121112211
211
112
121
det
![Page 53: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062301/56814fa0550346895dbd5df7/html5/thumbnails/53.jpg)
Regra prática para determinantes 33
112
121
211
112
121
111111222
121112211
211
112
121
det
![Page 54: Álgebra Linear e Geometria Analítica](https://reader035.vdocuments.pub/reader035/viewer/2022062301/56814fa0550346895dbd5df7/html5/thumbnails/54.jpg)
Regra prática para determinantes 33
112
121
211
112
121
4106111111222
121112211
211
112
121
det