algebra liniara sem cti
DESCRIPTION
Algebra Liniara Sem CTITRANSCRIPT
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 1/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 1
1. Matrice
1.1. Operatii cu matrice.
Definitia 1. Se numeste matrice cu m linii si n coloane si cu elemente din R,sistemul de elemente (aij)
i=1,m,j=1,n. Acest sistem este o functie
f : {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , n} → R, f (i, j) = aij.
Not˘ am matricea cu elementele (aij)i=1,m,j=1,n
cu A = (aij)i=1,m,j=1,n si cu Mm×n(R)multimea acestor matrice.
Daca A ∈ Mm×n(R), vom nota matricea A sub forma
A =
⎛
⎜⎜⎜⎝
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
... ... ... ...am1 am2 . . . amn
⎞
⎟⎟⎟⎠ ,
adica printr-un tablou cu m linii si n coloane care contine valorile functiei f .
In cazul m = n, se obtine multimea matricelor patratice de ordinul n, notataMn(R).
Doua matrice A = (aij)i=1,m,j=1,n, B = (bij)i=1,m,j=1,n ∈ Mm×n(R) (matrice de
acelasi tip), sunt egale daca aij = bij , pentru toti i = 1, m, j = 1, n.Daca m = 1 Atunci A se numeste matrice linie si se noteaza A = (a1,...,an).
Dac˘
a n = 1 Atunci A se numeste matrice coloan˘
a si se noteaz˘
a A =
⎛
⎜⎝a1...an
⎞
⎟⎠.
1.2. Operatii cu matrice.
Definitia 2. Pentru orice A = (aij)i=1,m,j=1,n, B = (bij)i=1,m,j=1,n ∈ Mm×n(R)de finim legea de compozitie intern˘ a
A + B = (aij + bij)i=1,m,j=1,n (1)
numit˘ a suma matricei A cu matricea B.
Teorema 1. Multimea (Mm×n(R), +) formeaz a ın raport cu operatia de adunare ungrup aditiv abelian.
Demonstratie. Adunarea este- asociativa, adica oricare ar fi matricele A, B,C ∈ Mm×n(R) : (A + B) + C =
A + (B + C ),
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 2/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 2
- admite element neutru care este matricea ale carei elemente sunt toate egale cu0, notata 0Mm×n(R) si se numeste matricea nula. Pentru orice A ∈ Mm×n(R) avem
A + 0Mm×n(R) = 0Mm×n(R) + A = A- orice element din Mm×n(R) are un simetric, adica oricare ar fi A ∈ Mm×n(R),
exista o matrice notata −A, numita opusa matricei A, A + (−A) = (−A) + A =0Mm×n(R).
- comutativa, adica oricare ar fi matricele A, B ∈ Mm×n(R) avem A+B = B +A.¨
Fie A ∈ Mm×n(R) si B ∈ Mn× p(R).
Definitia 3. Numim produs al matricei A cu matricea B matricea
A · B =
à n
X j=1
aijb jk
!i=1,m,k=1,p
∈ Mm× p(R). (2)
Teorema 2. (Mn(R), ·) are structur a de monoid.
Demonstratie. Produsul astfel definit are proprietatile:-este o lege de compozitie interna asociativa:∀A, B,C ∈ Mn(R) ⇒ (A · B) · C = A · (B · C ).
Folosind relatia (2) avem:
(A · B) · C =
à nPk=1
à nP j=1
aijb jk
!ckh
!i=1,n,h=1,n
=
à nPk=1
nP j=1
aijb jkckh
!i=1,n,h=1,n
,
A · (B · C ) =Ã nP j=1aij
µ nPk=1 b jkckh
¶!i=1,n,h=1,n
=Ã nP j=1aij
nPk=1 b jkckh
!i=1,n,h=1,n
=
=
à nP j=1
nPk=1
aijb jkckh
!i=1,n,h=1,n
=
à nPk=1
nP j=1
aijb jkckh
!i=1,n,h=1,n
.
de unde rezulta asociativitatea deoarece ordinea de ınsumare ın sume duble finitepoate fi schimbata.
-admite element neutru si anume matricea
I n =
⎛⎜⎜⎝
1 0 . . . 00 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . .
0 0 . . . 1
⎞⎟⎟⎠
,
sau I n = (δ ij)i=1,n,j=1,n, unde
δ ij =
½ 1, daca i = j,
0, daca i 6= j,
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 3/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 3
sunt simbolurile lui Kronecker. Matricea I n are proprietatea ca oricare ar fi A ∈
Mn(R), A · I n = I n · A = A. ¨
I n se numeste matricea unitate de ordinul n.Sa mai observam ca daca A ∈ Mn(R) si B ∈ Mn(R), desi au sens produsele A·B si
B ·A, ın general, A · B 6= B ·A, adica ınmultirea matricelor nu este comutativa.
Teorema 3. Inmultirea matricelor este distributiv a ın raport cu adunarea lor, adic a
∀A ,B,C ∈ Mn(R) : A · (B + C ) = A · B + A · C,
∀A ,B,C ∈ Mn(R) : (B + C ) · A = B · A + C · A.
Demonstratie.
Demonstr˘
am distributivitatea la stanga:Fie A,B,C ∈ Mn(R) ⇒ A · (B + C ) = A · B + A · C.
Folosim relatiile (1) si (2) obtinem:
A·(B +C ) =
à nP j=1
aij (b jk + c jk)
!i=1,n,k=1,n
=
à nP j=1
aijb jk +nP
j=1
aijc jk
!i=1,n,k=1,n
=
=
à nP j=1
aijb jk
!i=1,n,k=1,n
+
à nP j=1
aijc jk
!i=1,n,k=1,n
= A · B + A · C
Teorema 4. Multimea (Mn(R), +, ·) este inel cu element unitate.
Demonstratie.Demonstratia afirmatiei rezulta din Teoremele 1, 2 si 3.¨Fie A = (aij)i=1,m,j=1,n ∈ Mm×n(R) si λ ∈ R.
Definitia 4. Numim produs al matricei A cu scalarul λ matricea
λA = (λaij)i=1,m,j=1,n ∈ Mm×n(R).
Inmultirea cu scalari are urmatoarele proprietati:
1. λ(A + B) = λA + λB, ∀λ ∈ R, ∀A, B ∈ Mm×n(R);
2. (λ + μ)A = λA + μA, ∀λ, μ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n(R);
3. (λμ)A = λ(μA), ∀λ, μ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n(R);
4. 1A = A, ∀A ∈ Mm×n(R).
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 4/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 4
Fie A = (aij)i=1,m,j=1,n ∈ Mm×n(R).
Definitia 5. Numim transpusa a matricei A ∈ Mm×n(R) matricea notat˘ a AT = (a ji) j=1,n,i=1,m ∈ Mn×m(R), care are drept linii, respectiv coloane, coloanele,respectiv liniile matricei A.
Operatia de transpunere a unei matrice are urmatoarele proprietati:
1. (A + B)T = AT + BT , ∀A, B ∈ Mm×n(R);
2. (AB)T = BT AT , ∀A ∈ Mm×n(R),∀B ∈ Mn× p(R);
3. (λA)T = λ AT , ∀λ ∈ R, ∀A ∈ Mm×n(R).
Exercitiul 1. Care din urm˘ atoarele matrice se pot aduna?
A =
µ 12
¶, B =
¡ 3 4
¢,
C =¡
3 4¢
, D =
µ 12
¶,
E =
µ 1 −11 −1
¶, F =
µ 1 −11 −1
¶.
Exercitiul 2. Fie matricele
A = µ 1 2
3 4¶ , B = µ 5 6
7 8¶ .
S a se calculeze produsele AB si B A Este adev arat˘ a egalitatea AB = BA?
Exercitiul 3. S a se efectueze produsele
a)
µ 12
¶¡ 3 4
¢,
b)¡
3 4¢µ 1
2
¶
c)
µ 1 −11 −1
¶µ 1 −11 −1
¶.
Ce concluzii desprindeti din relatiile a) si b). Dar din relatia c)?
Exercitiul 4. Demonstrati asociativitatea operatiei de ınmultire a matricelor.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 5/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 5
Exercitiul 5. Fie matricele A, B,C, D
A =⎛⎝
3 0
−1 21 1
⎞⎠ , B =⎛⎝
1 5 2
−1 1 0−4 1 3
⎞⎠ ,
C =
⎛⎝−3 −12 14 3
⎞⎠ , D =
µ 4 −12 0
¶.
Calculati acele matrice dintre cele enumerate mai jos care sunt de finite: A+B, A+C,AB,BA,CD,DC,D2.
Exercitiul 6. Fie matricele
A =
⎛
⎝1 −2−1 1
0 2
⎞
⎠ , B = µ 3 2−
6 −
4¶ , C = µ 5 −4
1 −
2¶ .
Calculati fiecare din urm˘ atoarele relatii, unde este posibil. In cazul ın care evalu-area nu se poate face, explicati de ce.
a) C − 3A, b) C − 3B, c) AB , d) BA, e) B C, f ) CB .
Calculati matricea (AC )T si veri ficati c a (AC )T = C T AT .
Exercitiul 7. Fie A, B ∈ Mn(R). Demonstrati c a (A + B) (A−B) = A2−B2 dac a si numai dac a AB = BA.
Exercitiul 8. Dac a A =
µ a b
c d
¶ atunci A2 − (a + d)A + (ad− bc)I 2 = 0.
Exercitiul 9. Dac a A =
µ 4 −31 0
¶, folosind faptul c a A2 = 4A − 3I 2 si inductia
matematic a, demonstrati c a
An = 3n − 1
2 A +
3 − 3n
2 I 2, n ≥ 2.
1.3. Determinanti. Fie A = (aij)i=1,n,j=1,n ∈ Mn(R) o matrice patratica.
Definitia 6. 1. Fie M = {1, 2,...,n} . Orice bijectie σ : M → M se numeste per-mutare. Multimea tuturor permut˘ arilor lui M formeaz a un grup notat prin S n.
2. Spunem c a permutarea σ are o inversiune dac a exist˘ a i < j pentru care avem
σ(i) > σ( j).3. O permutare se numeste para (respectiv impara) dac a are un num˘ ar par (respectiv impar) de inversiuni.
4. Aplicatia ε : S n → {−1, 1} , ε(σ) =
½ 1 dac a σ este par a,−1 dac a σ este impar a
se numeste
signatura, iar ε(σ) este signatura permut˘ arii σ.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 6/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 6
Definitia 7. Numim determinant al matricei A ∈ Mn(R) elementul det(A) ∈ Rdat de
det(A) =Xσ∈S n
ε(σ)a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n),
unde S n este multimea permut˘ arilor multimii {1, 2, . . . , n}, iar ε(σ) este signatura permut˘ arii σ .
Determinantul matricei A se noteaza
det A =
¯¯¯
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n...
... ...
...an1 an2 . . . ann
¯¯¯
.
Proprietatile determinantilor. 1. Determinantul transpusei unei matriceeste egal cu determinantul acelei matrice: det(AT ) = det(A).
Rezulta ca orice proprietate referitoare la liniile unui determinant este adevaratasi pentru coloane.
2. Daca elementele unei linii se ınmultesc cu un scalar λ, atunci determinantul seınmulteste cu λ.
3. Daca ıntr-un determinant se schimba ıntre ele doua linii, atunci se schimbasemnul determinantului.
Consecinte:. (i) Un determinant este nul daca:
- toate elementele unei linii sunt nule, sau- are doua linii proportionale (deci si daca aredoua linii egale), sau- una dintre linii este o combinatie liniara de alte linii.(ii) Valoarea unui determinant nu se schimba daca la elementele unei linii
adaugam combinatii liniare formate cu elementele altor doua sau mai multe linii.
Calculul determinantilor. In cazul determinantilor de ordin doi calculul seface conform relatiei:¯
¯a11 a12
a21 a22
¯
¯= a11a22 − a12a21.
In cazul determinantilor de ordin trei calculul se face conform relatiei:¯¯ a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
¯¯ = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31 − a12a21a33 −
a11a32a23.
Pentru determinanti de ordin mai mare sau egal cu patru aceste reguli nu sunt
valabile si se aplica pentru calculul lor regula lui Laplace.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 7/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 7
Fie A = (aij)i=1,n,j=1,n ∈ Mn(R) o matrice patratica si p ≤ n, un numar natural.
Definitia 8. Numim minor de ordinul p al matricei A determinantul matricei de ordinul p format cu elementele situate la intersect ia a p linii si p coloane ale matricei A.
Daca i1 < i2 < . . . < i p si j1 < j2 < . . . < j p sunt p linii si respectiv p coloane alematricei A, atunci minorul corespunzator este
M =
¯¯
¯
ai1 j1 ai1 j2 . . . ai1 jp
ai2 j1 ai2 j2 . . . ai2 jp
. . . . . . . . . . . .
aip j1 aip j2 . . . aip jp
¯¯
¯.
Definitia 9. Numim minor complementar al minorului M de ordin p al matricei A determinantul M c de ordinul n − p al matricei extrase din A prin prin suprimarea celor p linii si p coloane corespunz atoare lui M.
Minorii de ordinul 1 ai matricii A sunt elementele sale, aij . Minorii complementariai acestora sunt determinanti de ordinul n− 1.
Definitia 10. Numim complement algebric al minorului M al matricei A elemen-tul din R de finit de C = (−1)sM c, unde s = (i1 + i2 + . . . + i p) + ( j1 + j2 + . . . + j p),adic a suma indicilor liniilor si coloanelor matricei A utilizate ın M .
Determinantul matricei patratice de ordinul n−1 care se obtine din A prin supri-marea liniei i si coloanei j se numeste minorul complementar al elementuluiaij si se noteaza cu M ij . Numarul C ij = (−1)i+ jM ij se numeste complementulalgebric al elementului aij .
Teorema 5. ( Teorema lui Laplace) Determinantul matricei A este egal cu suma produselor minorilor de ordinul p ce se pot construi cu elementele a p linii (coloane)fixate ale matricei A prin complementii lor algebrici.
In particular, pentru p = 1, rezulta ca oricare ar fi i ∈ {1, 2, . . . , n} fixat, are locegalitatea
det(A) = ai1C i1 + ai2C i2 + · · · + ainC in, (3)
numita regula de dezvoltare a determinantului matricei A dupa linia i. Inmod asemanator, pentru orice j ∈ {1, 2, . . . , n} fixat, are loc egalitatea
det(A) = a1 jC 1 j + a2 jC 2 j + · · · + anjC nj, (4)
numita regula de dezvoltare a determinantului matricei A dupa coloana j.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 8/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 8
Exemplul 1. Sa se calculeze valoarea determinantului
D =¯¯
1 1 2 3
1 1 3 42 5 1 −1−1 −2 2 4
¯¯ .
folosind regula lui Laplace si dezvoltandu-l dupa primele doua linii.
D =
¯¯ 1 1
1 1
¯¯ · (−1)1+2+1+2
¯¯ 1 −1
2 4
¯¯+
¯¯ 1 2
1 3
¯¯ · (−1)1+3+1+2
¯¯ 5 −1−2 4
¯¯
+
¯¯ 1 3
1 4
¯¯ · (−1)1+1+2+4
¯¯ 5 1−2 2
¯¯+
¯¯ 1 2
1 3
¯¯ · (−1)1+2+2+3
¯¯ 2 −1−1 4
¯¯
+ ¯1 31 4 ¯ · (−1)2+1+2+4 ¯
2 1−1 2 ¯+ ¯
2 33 4 ¯ · (−1)1+2+3+4 ¯
2 5−1 −2 ¯ = −5
Determinantul produsului a doua matrice.
Teorema 6. Determinantul produsului a dou˘ a matrice A si B p˘ atratice de acelasi ordin este egal cu produsul determinantilor celor dou˘ a matrice, adic a det(AB) =det(A)det(B).
Exercitiul 10. S a se calculeze determinantii:
a)
¯
¯2 1 −3−3 −2 02 1 2
¯
¯b)
¯
¯2 −2 1 11 3 3 21 0 9 1
3 4 2 0
¯
¯c)
¯¯¯
1 1 0 22 1 1 13 0 0 −11 1 2 1
¯¯¯ .
Exercitiul 11. Dac a A ∈ M7(R) si det(A) = 17, calculati det(3A2).
Exercitiul 12. Este det(AB) = det(BA) ın general? a) Este adev arat˘ a sau fals a relatia dac a A, B ∈ Mn(R)?b) Este adev arat˘ a sau fals a relatia dac a A ∈ Mmxn(R), B ∈ Mmxn(R) cu m 6= n?
Justi ficati r aspunsul ın caz a firmativ si dati contraexemple ın cazul ın care a fir-matia este fals a.
Exercitiul 13. S a se exprime determinantul adjunctei lui A cu ajutorul determinan-tului lui A.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 9/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 9
1.4. Tipuri speciale de matrice.. Orice matrice patratica de tipul
⎛⎜⎜⎜⎝
λ1 0 . . . 0
0 λ2 . . . 0...
... . . . ...
0 0 . . . λn
⎞⎟⎟⎟⎠
se numeste matrice diagonala.Fie A = (aij)i=1,n,j=1,n ∈ Mn(R).
Definitia 11. Spunem c a matricea p˘ atratic a A este simetrica dac a AT = A si
antisimetrica dac a AT = −A.
Definitia 12. Spunem c a matricea p˘ atratic a L este inferior triunghiular a dac a este de forma
L =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
l11 0 0 · · · 0l21 l22 0 · · · 0l31 l32 l33 · · · 0· · · · · · · · · · · · · · ·ln1 ln2 ln3 · · · lnn
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
.
Definitia 13. Spunem c a matricea p˘ atratic a U este superior triunghiular a dac a este de forma
U =
⎛⎜⎜⎜⎜⎝
u11 u12 u13 · · · u1n
0 u22 u23 · · · u2n
0 0 u33 · · · u3n
· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · unn
⎞⎟⎟⎟⎟⎠
.
Observatia 1. Determinantul unei matrice triunghiulare inferior respectiv superior este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principal a.
Definitia 14. Spunem c a matricea p˘ atratic a A este ortogonala dac a AT · A =
A · AT = I n.
Exercitiul 14. Demonstrati c a dac a A ∈ Mn(R) este o matrice antisimetric a atunci matricea B = A −AT este antisimetric a.
Exercitiul 15. Demonstrati c a dac a A ∈ Mn(R) este o matrice simetric a atunci matricea B = A + AT este simetric a.
Exercitiul 16. Demonstrati c a produsul a dou˘ a matrice p˘ atratice simetrice este o matrice simetric a dac a si numai dac a matricele comut˘ a. Dati un exemplu de dou˘ a matrice simetrice al c aror produs nu este simetric.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 10/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 10
1.5. Matrice inversabile (nesingulare).
Definitia 15. O matrice p˘ atratic a A al c arei determinant este diferit de zero se numeste nesingulara, iar dac a det(A) = 0 matricea se numeste singulara.
Definitia 16. Spunem c a matricea A ∈ Mn(R) este inversabila dac a exist˘ a o ma-trice notat˘ a A−1 ∈ Mn(R) astfel ıncat
A · A−1 = A−1 · A = I n. (5)
Observatia 2. Matricea A ∈ Mn(R) este inversabila daca si numai daca este nesin-gulara, adica det(A) 6= 0.
Definitia 17. Matricea A−1
se numeste inversa matricei A.
Pentru calculul inversei matricei A se obtine mai ıntai matricea A∗ numita ad- juncta sau reciproca matricei A, ınlocuind fiecare element al matricei AT princomplementul sau algebric. Adica, A∗ =
¡a∗ij¢i=1,n,j=1,n
, cu a∗ij = C ji. Atunci
A−1 = 1
det(A) A∗.
Faptul ca matricea A−1 astfel obtinuta verifica (5) rezulta imediat din (??). Operatiade inversare a matricelor are urmatoarele proprietati
(AT )−1 = (A−1)T , (A−1)−1 = A,
(λA)−1 = 1
λ A−1, λ 6= 0, (AB)−1 = B−1A−1.
Exercitiul 17. S a se calculeze inversele matricelor
A =
⎛⎜⎜⎝
1 1 1 10 1 1 10 0 1 10 0 0 1
⎞⎟⎟⎠ , B =
⎛⎜⎜⎝
1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1
⎞⎟⎟⎠ .
Exercitiul 18. Fie matricea A =
µ 1 24 8
¶singular a. Presupunem c a B =
µ a b
c d
¶este o invers a a lui A. Ce concluzie tragem din conditia AB = I 2.
Exercitiul 19. Este unic a inversa unei matrice? Justi ficati a firmatia.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 11/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 11
Exercitiul 20. Fie A si B dou˘ a matrice p˘ atratice nesingulare de aceeasi dimensiune.Ar atati c a matricea AB este nesingular a si
(AB)−1 = B−1A−1.
Exercitiul 21. Dac a A, B ∈ Mn(R) care satisfac relatiile A2 = B2 = (AB)2 = I n.
Demonstrati c a AB = BA.
Exercitiul 22. Fie
A =
⎛⎝
0 1 00 0 15 0 0
⎞⎠ .
Veri ficati c a A3
= 5I 3, deduceti c a A ete nesingular a si g asiti A−1
.
Exercitiul 23. Fie A ∈ Mn(R) care satisface relatia A2− 3A + I = 0. Demonstrati c a A−1 = 3I −A.
Exercitiul 24. Precizati dac a sunt adev arate sau false urm˘ atoarele a firmatii:a) Inmultirea matricelor este comutativ a: AB = BA,
b) (A + B)−1 = A−1 + B−1,
c) (AB)−1 = A−1B−1,
d) (AB)−1 = B−1A−1,
e) (A−1)−1
= A.
Exercitiul 25. Se consider a matricele A =
µ 1 20 5
¶, B =
µ 3 28 5
¶, C =
µ 0 04 −2
¶.
a) Calculati AC si BC si ar atati c a AC = BC.
b) Ce proprietate trebuie s a aib˘ a matricea C pentru ca AC = BC s a implice A = B?
Rangul unei matrice.
Definitia 18. Matricea A are rangul r dac a exist˘ a ın A cel putin un minor de ordinul r diferit de zero si toti minorii de ordin mai mare decat r, dac a exist˘ a, suntegali cu zero. Not˘ am rangul matricei A cu rang(A).
Propozitia 1. Fie A ∈ Mm×n(K) si B ∈ Mn× p(K) atunci rang(AB) ≤ min {rang(A), rang(B
Consecinta 1. Fie A ∈ Mm×n(K) si B ∈ Mn(K),rang(B) = n. Atunci rang(AB) =rang(A), adic a prin ınmultirea unei matrice cu o matrice nesingular a rangul ei nu se modi fic a.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 12/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 12
1.6. Transformari elementareOrice matrice A ∈ Mm×n(K) se poate scrie ın
una din formele:. A =⎛⎜⎝
L1
...Lm
⎞⎟⎠ , cu ajutorul liniilor Li =¡
ai1 . . . ain
¢, i =
1, m sau
A =¡
C 1 . . . C n¢
, cu ajutorul coloanelor, unde C j =
⎛⎜⎝
a1 j...amj
⎞⎟⎠ , j = 1, n.
Definitia 19. Numim transformari elementare asupra liniilor matricei A:
(1) T 1 transformarea prin care se ınmulteste o linie cu un scalar nenul;
(2) T 2 transformarea prin care se schimba doua linii ıntre ele;(3) T 3 transformarea prin care se aduna la elementele unei linii elementele core-
spunzatoare altei linii ınmultite cu un scalar.Flosind scrierea matricei cu ajutorul liniilor, cele trei transformari elementare se
reprezinta prin schemele:
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
L1...Li
...Lm
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
T 1−→
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
L1...αLi
...Lm
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
, α 6= 0,
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
L1...Li
...L j
...Lm
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
T 2−→
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
L1...L j
...Li
...Lm
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
L1...
Li...L j
...Lm
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
T 3−→
⎛
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
L1...
Li + βL j...L j
...Lm
⎞
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 13/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 13
Definitia 20. Dou˘ a matrice de acelasi tip se numesc echivalente pe linii dac a una se obtine din cealalt˘ a printr-un num˘ ar finit de transform˘ ari elementare ale liniilor.
Observatia 3. Transformarile elementare asupra liniilor se realizeaza ınmultind lastanga matricea A cu una din matricele:
T1. Transformarea prin care se ınmulteste o linie a unei matrice cu un scalar α
diferit de zero se realizeaza ınmultind la stanga matricea A cu matricea
M i(α) = i
⎡⎢⎢⎢⎢⎣
1 0 . . 0 . 0. . . . . . .
0 0 . . α . 0. . . . . . .
0 0 . . 0 . 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎦
det(M i(α)) = α 6= 0T2. Transformarea prin care se schimba ıntre ele doua linii se realizeaza ınmultind
la stanga matricea A cu matricea
M ij =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 . 0 . 0 . 0. . . . . . .
0 . 0 . 1 . 0. . . . . . .
0 . 1 . 0 . 0. . . . . . .
0 . 0 . 0 . 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
det(M ij) = 1 6= 0
T3. Transformarea prin care se aduna la o linie o alta linie (coloana) ınmultitacu un scalar β 6= 0 se realizeaza ınmultind la stanga matricea A cu matricea
M ij(β ) =
⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
1 . 0 . 0 . 0. . . . . . .
0 . 1 . β . 0. . . . . . .
0 . 0 . 1 . 0. . . . . . .
0 . 0 . 0 . 1
⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
det(M ij(β )) = 1 6= 0.
Matricele obtinute din matricea A prin transformari elementare au acelasi rangca si matricea A.
Matricele introduse mai sus M i(α), M ij , M ij(β ) poarta denumirea de matriceelementare.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 14/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 14
Teorema 7. Dac a matricea B se obtine prin aplicarea a k transform˘ ari elementare liniilor lui A, atunci exist˘ a k matrici elementare E 1, E 2,...,E k astfel ıncat s a avem
B = E 1E 2...E kA. (6)
Observatia 4. Dac a matricea A este inversabil a si consider am ın (6) B = I n atunci A−1 = E 1E 2...E k.
Ca o aplicatie a acestei observatii prezentam de a calcula inversa unei matrice.
Exercitiul 26. Folosind transform˘ arile elementare s a se calculeze inversele urm˘ atoarelor matrice, dac a acestea exist˘ a.
a)⎛⎝ 2 2 31 −1 0−1 2 1
⎞⎠;b)⎛⎜⎜⎝
1 1 1 1
1 1 −1 −11 −1 −1 1−1 −1 1 1
⎞⎟⎟⎠
c)
⎛⎝
1 1 10 2 11 0 1
⎞⎠ ;d)
⎛⎜⎜⎝
1 0 1 10 0 1 01 1 1 01 0 0 2
⎞⎟⎟⎠
e)
⎛⎝
1 1 13 5 43 6 5
⎞⎠
Exercitiul 27. Pentru ce valori ale lui k ∈ R matricea ⎛⎝
k 1 12 3 10 −1 1
⎞⎠
este inversabil a?
Exercitiul 28. S a se calculeze rangul matricelor:
a)
⎛⎝
3 2 12 1 16 2 4
⎞⎠ ;b)
⎛⎝
1 −2 1 11 −2 1 −11 −2 1 −5
⎞⎠;
c)
⎛⎜⎜⎝1 1 1 1 13 2 1 1 −30 1 2 2 65 4 3 3 −1
⎞⎟⎟⎠ ;d)
⎛⎜⎜⎝1 −1 −1 1−1 1 1 −1−1 1 1 −11 −1 −1 1
⎞⎟⎟⎠
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 15/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 15
Exercitiul 29. Determinati rangurile matricelor A,AAT si AT A ın cazul ın care
A =⎛⎝
1 1
0 2−1 2
⎞⎠ .
Exercitiul 30. Completati numerele care lipsesc din matricea de mai jos
A =
⎛⎝
? −3 ?1 3 −1? 9 −3
⎞⎠
astfel ıncat matricea A s a aib˘ a a) rangul 1,b) rangul 2,c) rangul 3.
Exercitiul 31. S a se determine matricea X astfel ıncat⎛⎝
1 0 04 1 00 4 1
⎞⎠X =
⎛⎝
1 00 11 1
⎞⎠ .
Exercitiul 32. S a se rezolve, folosind folosind transform˘ arile elementare, urm˘ atoarele sisteme:
a)
⎧⎨
⎩
3x1 + 5x2 = 76x1 + 2x2 + 4x3 = 10−x1 + 4x2 − 3x3 = 0
b)
⎧⎨
⎩
3x1 + x2 + x3 = 4−x1 + 7x2 − 2x3 = 12x1 + 6x2 − x3 = 5
c)
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩
x1 + 2x2 + 3x3 − x4 = 13x1 + 2x2 + x3 − x4 = 12x1 + 3x2 + x3 + x4 = 1
2x1 + 2x2 + 2x3 − x4 = 15x1 + 5x2 + 2x3 = 2
d)
⎧⎨⎩
x1 + x2 + x3 + x4 = 12x1 − x2 + x3 − x4 = 2
x1 − 2x2 − 2x4 = −1
e)
⎧⎨⎩
x1 + x2 + x3 = 22x1 − 3x2 + x3 = 6
4x1 − x2 + 3x3 = 10f)
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 62x1 − x2 − 2x3 − 3x4 = 83x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4
2x1 − 3x2 + 2x3 + x4 = −8
.
Exercitiul 33. S a se discute si, ın caz de compatibilitate, s a se rezolve sistemul:⎧⎨⎩
mx + y + z = 1x + my + z = m
x + y + mz = m2, unde m ∈ R.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 16/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 16
Folosind transformari elementare, matricea extinsa a sistemului se transformaastfel:
(A | B) =
⎛⎝ m 1 1
1 m 11 1 m
1m
m2
⎞⎠L1 ↔ L2−−−−−→
⎛⎝ 1 m 1
m 1 11 1 m
m1m2
⎞⎠
L2 → L2 −mL1
L3 → L3 − L1−−−−−−−−−−−−→
⎛⎝
1 m 10 1−m2 1−m
0 1−m m− 1
m
1−m2
m2 −m
⎞⎠ .
Consideram doua cazuri:1. m = 1 ın acest caz obtinem:⎛⎝
1 1 10 0 00 0 0
100
⎞⎠ ,
adica sistemul este compatibil nedeterminat. Solutiile sistemului sunt:⎧⎨⎩
x = 1− α− β
y = α
z = β
, α , β ∈ R. (7)
2. m 6= 1 ın acest caz avem:⎛⎝
1 m 10 1−m2 1−m
0 1−m m− 1
m
1−m2
m2 −m
⎞⎠ L2 →
11−m
L2
L3 → 11−m
L3−−−−−−−−−−→
⎛⎝
1 m 10 1 + m 10 1 −1
m
1 + m
−m
⎞⎠
L2 ↔ L3−−−−−→
⎛⎝
1 m 1
0 1 −10 1 + m 1
m
−m1 + m
⎞⎠ L1 −mL2 → L1
L3 − (1 + m)L2 → L3−−−−−−−−−−−−−−−−−→⎛
⎝1 0 1 + m
0 1 −10 0 2 + m
m + m2
−m
(m + 1)2
⎞⎠
Avem doua posibilitati:2a) m = −2, deci⎛⎝
1 0 1 + m
0 1 −10 0 2 + m
m + m2
−m
(m + 1)2
⎞⎠→
⎛⎝
1 0 −10 1 −10 0 0
2−21
⎞⎠
ın acest caz sistemul este incompatibil.
2b) m 6= −2 ın acest caz continuam aplicarea transformarilor elementare si obtinem:⎛⎝
1 0 1 + m
0 1 −10 0 2 + m
m + m2
−m
(m + 1)2
⎞⎠L3 →
12+m
L3−−−−−−−−→
⎛⎝
1 0 1 + m
0 1 −10 0 1
m + m2
−m(m+1)2
m+2
⎞⎠
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 17/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 17
L1 → L1 − (m + 1)L3
L2 → L2 + L3−−−−−−−−−−−−−−−−−→
⎛
⎝1 0 00 1 −1
0 0 1
−m+1m+21
m+2
(m+1)2
m+2
⎞
⎠adica sisteml este compatibil determinat a carui solutie este:
⎧⎨⎩
x = −m+1m+2
y = 1m+2
z = (m+1)2
m+2
. (8)
ın concluzie pentru sistemul dat avem urmatoarea discutie:a) daca m ∈ R \ {−2, 1} sistemul are solutie unica data de (8),b) daca m = −2 sistemul este incompatibil,c) daca m = −1 sistemul este compatibil nedeterminat cu solutiile date de (7).
Sisteme omogene.
Definitia 21. Un sistem liniar cu toti bi = 0, i = 1, m, se numeste omogen. El are deci forma
nX j=1
aijx j = 0, i = 1, m.
Un sistem omogen este totdeauna compatibil. El admite cel putin solutia banala:x1 = x2 = . . . = xn = 0.
Un sistem omogen cu n necunoscute si rangul r admite si solutii diferite de solutia
banal˘
a dac˘
a si numai dac˘
a r < n.Un sistem omogen de n ecuatii cu n necunoscute admite si solutii diferite desolutia banala daca si numai daca det(A) = 0.
Exercitiul 34. S a se stabileasc a dac a sistemul de ecuatii de mai jos admite solutii diferite de solutia banal a si ın caz a firmativ s a se a fl e aceste solutii:⎧⎨⎩
x + y − 2z = 02x− y − z − 3u = 0x + 2y − 3z + u = 0
.
Calculam matricea esalon a matricei sistemului. Obtinem:
⎛⎝1 1 −2 02 −1 −1 −31 2 −3 1
⎞⎠ L2 − 2L1 → L2
L3 − L1 → L3−−−−−−−−−−−−→
⎛⎝1 1 −2 00 −3 3 −30 1 −1 1
⎞⎠−13
L2 → L2−−−−−−−−→
⎛⎝
1 1 −2 00 1 −1 10 1 −1 1
⎞⎠ L1 − L2 → L1
L3 − L2 → L3−−−−−−−−−−−→
⎛⎝
1 0 −1 −10 1 −1 10 0 0 0
⎞⎠
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 18/107
SEMINARUL NR.1 ALGEBRA LINIARA 18
Sistemul admite solutii diferite de solutia banala si anume
½ x = z + u
y = z − u .
1.7. Exercitii suplimentare.
Exercitiul 35. Fie A ∈ Mn(C) si A matricea ale c arei elemente sunt aij, conjugatul elementului aij. S a se demonstreze c a
det(A) = det(A) si det(AA) = |det(A)|2 ≥ 0.
Exercitiul 36. Fie A ∈ Mn(C). Dac a aij = a ji,∀i, j = 1, n s a se demonstreze c a det(A) este num˘ ar real.
Exercitiul 37. Fie A ∈ Mn(R). Demonstrati c a det(A2
+ I n) ≥ 0.
Exercitiul 38. Fie A, B ∈ Mn(R) astfel ıncat AB = BA. Demonstrati c a det(A2 +B2) ≥ 0.
Exercitiul 39. Fie A ∈ Mn(R). Demonstrati c a det(A2 + 2A + 2009I n) ≥ 0.
Exercitiul 40. Fie p, q ∈ R astfel ıncat p2 − 4q < 0. S a se arate c a dac a n este num˘ ar natural impar si A ∈ Mn(R) atunci A2 + pA + qI n 6= 0
Exercitiul 41. Dac a U ∈ Mn(R), U = (uij)i,j=1,n, uij = 1, (∀) i, j = 1, n, calculati
(U − I n)−1
.
Exercitiul 42. Fie A, B ∈ Mn(R) astfel ıncat A + B = I n, A2 = A3. Demonstrati c a
a) AB = BA,
b) I n −AB si I n + AB sunt inversabile.
Exercitiul 43. S a se calculeze determinantii:¯
¯1 1 1 ... 11 0 1 ... 11 1 0 ... 1
. . . . .1 1 1 ... 0
¯
¯ ,
¯
¯a1 x x ... x
x a2 x ... x
x x a3 ... x
. . . . .x x x ... an
¯
¯ .
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 19/107
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 20/107
SEMINARUL NR.2. ALGEBRA LINIARA 2
Exercitiul 5. Fie R un corp comutativ al numerelor reale. Notam cu Man (R)
multimea matricelor patratice antisimetrice cu elemente din R si cu Msn (R) multimea
matricelor patratice simetrice cu elemente din R. S a se arate c a ele formeaza subspatii liniare ale lui (Mn (R) , +, ·,R) (multimea matricelor patratice cu elemente din R) si ca orice matrice patratica se poate descompune ın mod unic ca suma dintre doua matrice, una simetrica si una antisimetrica, adica
Mn (R) = Msn (R) ⊕Ma
n (R).Demonstrati c a aceast˘ a descompunere este unic a.
Exercitiul 6. Fie
S 1 =
½A ∈M2×3 (R) ; A=
µ a b c0 0 0
¶,a,b,c ∈ R
¾
si
S 2 =½
B ∈M2×3 (R) ; B=µ
0 0 0 p q r
¶,p ,q ,r ∈ R
¾a) S a se arate c a S 1 si S 2 sunt subspatii liniare ale lui M2×3 (R).b) S a se arate c a M2×3 (R) = S 1⊕S 2.
Exercitiul 7. Sa se precizeze care din submultimile lui Rn de finite mai jos constituie subspatiu liniar al lui Rn, (Rn, +, ·,R) spatiu liniar:
a) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 = 0};b) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 = 1};c) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 = x2} ;d) W = {x / x
∈Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1x2 = 0} ;
e) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 + x2+ ... +xn = 0} ;f) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 = x2 = 0} ;g) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 = 0} ;h) W = {x / x ∈ Rn, x = (x1,x2, ... ,xn) , x1 ≥ x2} .
Exercitiul 8. Fie sistemul liniar omogen de ecuatii :
nX j=1
aijx j = 0, i = 1,...,m.
S ˘ a se arate c
˘ a multimea solutiilor acestui sistem formeaza un subspatiu liniar real al spatiului (Rn, +, ·,R).
Exercitiul 9. Sa se expliciteze subspatiul solutiilor urmatoarelor sisteme liniare si s a se precizeze dimensiunea subspatiului :
a) {x1 + x2 − x3 − x4 = 0 , subspatiu ın (R4, +, ·,R) ;
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 21/107
SEMINARUL NR.2. ALGEBRA LINIARA 3
b)
½ x1 + x2 − x3 − x4 = 0x1
−x2
−x3
−x4 = 0
, subspatiu ın (R4, +, ·,R) ;
c)½
x1 + x2 + 2x3 = 02x1 − x2 + 3x3 = 0
, subspatiu ın (R4, +, ·,R) ;
d)
⎧⎨⎩
2x1 + x2 − x3 + x4 = 0x1 − x2 + x3 + 2x4 = 0x1 + 2x2 − 2x3 − x4 = 0
, subspatiu ın (R4, +, ·,R) ;
e)
⎧⎨⎩
x1 − 2x2 + x3 = 0x2 − x3 + x4 = 0x1 − x2 + x4 = 0
, subspatiu ın (R4, +, ·,R) ;
f)
⎧⎨⎩
x1 − 3x2 + x3 − x4 = 0x1 − 2x2 + x3 − x4 = 0
x1 − x2 + x3 − 2x4 + x5 = 0
, subspatiu ın (R5, +, ·,R) .
Exercitiul 10. Se consider a vectorii v1 =
¡3 +
√ 2, 1 +
√ 2¢ ∈ R2, v2 =
¡7, 1 + 2
√ 2¢ ∈ R2.
S a se arate c a v1 si v2 sunt liniar dependenti dac a se consider a R2 spatiu liniar peste corpul comutativ R si liniar independent i dac a se consider a R2 spatiu liniar peste corpul comutativ Q .
Exercitiul 11. Se dau vectorii liniar independenti (u, v, w) ın spatiul liniar X peste corpul comuativ R si se cere:
a) s a se arate c a vectorii u + v, v + w, u + w sunt liniar independenti;b) s a se arate c a vectorii u + v
−3w, u + 3v
−w, v + w sunt liniar dependenti;
c) s a se arate c a vectorii u− v, v−w, w− u sunt liniar dependenti.
Exercitiul 12. In spatiul liniar R3 se consider a vectorii:x = (1, 2, 3) , y = (2, 3, 1) , z = (a + 3, a + 1, a + 2) , a ∈ R.S a se a fl e valorile parametrului a pentru care acesti vectori sunt liniar dependenti
si s a se scrie relatia de dependent˘ a liniar a.
Exercitiul 13. In spatiul liniar R3 se consider a vectorii:u1 = (1, 1, 0) , u2 = (1, 0, 0) , u3 = (1, 2, 3) , u4 = (1, 0, 1) .S a se analizeze dac a:a) sistemul de vectori (u1, u2) este un sistem de generatori pentru R3; este acest
sistem de vectori liniar independent? b) sistemul de vectori (u1, u2, u3) este un sistem de generatori pentru R3; este acest sistem de vectori liniar independent?
c) sistemul de vectori (u1, u2, u3, u4) este un sistem de generatori pentru R3; este acest sistem de vectori liniar independent?luzii se desprind de aici
Precizati ce concluzii se desprind de aici.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 22/107
SEMINARUL NR.2. ALGEBRA LINIARA 4
Exercitiul 14. Fie sistemul de vectori S = (v1, v2, v3, v4, v5) unde v1 = (1, 0,−1, 1) ,v2 = (
−2, 0, 0,
−2) , v3 = (1, 1, 1, 1) , v4 = (1,
−1,
−3, 1) , v5 = (1,
−1, 1,
−1) . Se
noteaz a multimea [S ] =
©x ∈ R4 : x = α1v1 + α2v3 + α3v3 + α4v4 + α5v5, αi ∈ R, i = 1, 5
ª.
S a se arate c a [S ] este subspatiu liniar al lui ( R4, +, ·,R). S a se determine o baz a ın [S ] .
Exercitiul 15. S a se studieze independenta liniar a pentru sistemele de vectori dinspatiile liniare speci ficate:
a) ((−4,−2, 2), (6, 3,−3), (1,−1,−1), (0, 0, 2)) ın (R3, +, ·,R);
b) ((2, 3,−1), (0,−2, 1), (−1,−1,−1)) ın (R3, +, ·,R);
c) ((1, α, 0), (α, 1, 1), (1, 0, α)) ın (R3, +, ·,R);
d) (8 − t + 7t2, 2− t + 3t2, 1 + t− t2) in (R2[t], +, ·,R);
e)
µA1 =
µ 2 −24 −6
¶, A2 =
µ 1 −45 3
¶, A3 =
µ 0 −44 8
¶¶ın
(M2(R), +, ·,R);f) ((2, 1, 3, 1), (1, 2, 0, 1), (−1, 1,−3, 0)) ın (R4, +, ·,R);
g) ((2, 1, 3, 1), (1, 2, 0, 1), (−1, 1,−3, 1)) ın (R4, +, ·,R).
Exercitiul 16. S a se arate c a vectorii.(1, 0, 0) , (1, 2, 0) , (1, 2, 3) formeaz a o baz a ın(R3, +, ·,R).
Exercitiul 17. Fie
A =
⎧⎨⎩A|A =
⎛⎝
0 0 xy 0 0u z 0
⎞⎠ , x = y + z, x, y,z,u ∈ R
⎫⎬⎭ .
a). Sa se atate ca A este subspatiu liniar real al lui M3×3(R).b). Matricele M,N ,P constituie o baza ın A unde
M =
⎛⎝
0 0 −3−2 0 01 −1 0
⎞⎠ , N =
⎛⎝
0 0 11 0 03 0 0
⎞⎠P =
⎛⎝
0 0 −1−1 0 03 0 0
⎞⎠.
Exercitiul 18. In spatiul liniar (Mm×n (R) , +, ·,R) consideram sistemul de matrice:
S =¡
E ij; i = 1, m , j = 1, n¢
unde E ij sunt de finite prin
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 23/107
SEMINARUL NR.2. ALGEBRA LINIARA 5
j
↓
i →
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
0 . . . · . . . 00 . . . · . . . 0. . . 0 . . .0 . . . 1 . . . 00 . . . 0 . . . 0. . . 0 . . .0 . . . · . . . 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
(E ij are toate elementele nule, cu exceptia celui de la intersectia liniei i cu coloana j ,care este egal cu 1), constituie o baz a, numit˘ a baza canonic a a spatiului (Mm×n (R) , +, ·,R).
Exercitiul 19. S a se arate c a S = (1, x , x2, . . . , xn) este o baz a ın (Rn [x] , +, ·,R),numit˘ a baza canonic a a spatiului.
1. Exercitii suplimentare
Exercitiul 20. S a se rezolve sistemul, utilizand descompunerea ın matrice bloc ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
1 2 1 0 0 02 1 5 0 0 01 −1 3 0 0 0−6 5 3 1 1 21 −3 2 1 −1 −2−9 7 1 1 2 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
x1
x2
x3
x4
x5
x6
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝
4115
135
10
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
Exercitiul 21. S a se calculeze determinantii urm˘ atoarelor matrice bloc:
a) M =
µ A 0n
0n D
¶, A , D ∈Mn(R),
b) M =
µ A B0n D
¶,A,B,D ∈Mn(R),
c) M =
µ A BC D
¶,A,B,C,D ∈Mn(R), det(A) 6= 0 sau det(D) 6= 0.
Exercitiul 22. S a se determine inversa matricei
M =
µ A BC D
¶,A,B,C,D ∈Mn(R)
si s a se stabileasc a ın ce conditii exist˘ a.
Exercitiul 23. Fie A, B ∈Mn(R), A2 + B2 = 0n. S a se demonstreze c a a) dac a n = 4k, k ∈ N ∗ ⇒ det(AB −BA) ≥ 0,b) dac a n = 4k + 2, k ∈ N ∗ ⇒ det(AB − BA) ≤ 0,c) dac a n = 4k + 1 sau n = 4k + 3, k ∈ N ∗ ⇒ det(AB −BA) = 0.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 24/107
SEMINARUL NR.2. ALGEBRA LINIARA 6
Exercitiul 24. Folosind, de exemplu, faptul c a derivata unui determinant este egal cu suma determinantilor care au c ıte o linie (coloan˘ a) derivat˘ a, s a se demonstreze c a ¯¯ sin(x + α) sin(x + β ) sin(x + γ )
cos(x + α) cos(x + β ) cos(x + γ )a b c
¯¯ =
¯¯ sin α sin β sin γ
cos α cos β cos γ a b c
¯¯ , a,b,c,α,β,γ ∈ R,
pentru ∀x ∈ R.
Exercitiul 25. Fie f : R→ R,
f (x) =
¯¯¯¯
x5 x4 x3 15x4 4x3 3x2 020 12 6 01 1 1 1
¯¯¯¯
.
S a se demonstreze c a x = 1 este r ad acin˘ a tripla pentru f (x).
Exercitiul 26. S a se arate c a dac a A, B ∈Mn(R) atunci det(I n −AB) = det(I n −BA).
Exercitiul 27. Fie A ∈M2n(R). S a se arate c a det(A + AT i) = (−1)n det(A−AT i).
Exercitiul 28. S a se arate c a ecuatia AX −XA = B, ın care A, B ∈M p(C) matrice date nu are solutie dac a T r(B) 6= 0.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 25/107
SEMINARUL NR.3. ALGEBRA LINIARA 1
Exercitiul 1. a) S a se determine coordonatele vectorului x ∈ R3ın baza canonic a
dac a ın baza
S 1 = (e01 = (1, 1, 1) , e02 = (1, 1, 0) , e03 = (1, 0, 0))
are coordonatele 1, 2, 3, (x )S 1 = (1, 2, 3).b) Ce coordonate are vectorul y ∈ R3
ın baza S 1 dac a ın baza
S 2 = (e001
= (1,−1, 1) , e002
= (3, 2, 1) , e003
= (0, 1, 0))
are coordontele (y)S 2 = (2, 4,−2) .
Exercitiul 2. Fie sistemul de vectori S = (v1 = (1, 0,−1, 1) , v2 = (1, 1, 1,−1)) .Completati aceast sistem de vectori pan˘ a la o baz a ın (R4, +, ·,R) .
Exercitiul 3. Fie sistemul de vectori S = (v = (1, 2, 3)) .Completati aceast sistem de vectori pan˘ a la o baz a ın (R3, +, ·,R) .
Exercitiul 4. S a se stabileasc a formulele de transformare a coordonatelor cand se trece de la baza S la baza S 0 dac a
a ) S = ((2, 3), (0, 1)), S 0 = ((6, 4), (4, 8)) ın R2;b) S = ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)), S 0 = ((2, 0, 3), (−1, 4, 1), (3, 2, 5)) ın R3;c ) S = (t2, t, 1), S 0 = (3 + 2t + t2, t2 − 4, t + 2) ın R2[x]d ) S = ((1, 2,−1, 0), (1,−1, 1, 1),−1, 2, 1, 1), (−1,−1, 0, 1)),S 0 = ((2, 1, 0, 1), (0, 1, 2, 2), (−2, 1, 1, 2), (1, 3, 1, 2)) ın R4.e ) S = ((1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)),S 0 = ((1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (1, 1, 1, 1)) ın R4.
Exercitiul 5. S a se arate c a sistemul de vectori ((1, 1, 0, 0), (1,−1, 1, 1)) nu este o baz a ın subspatiul solutiilor sistemului ½ −x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 − x2 + x3 + x4 = 0 .
1. Spatii euclidiene
Exercitiul 6. In spatiile liniare precizate se de finesc aplicatiile de mai jos. S a se precizeze care din ele sunt produse scalare :
a) (R2
, +, ·,R
), ∀x = (x1
, x2
), y = (y1
, y2
) ∈R2
:< x, y >= x1
y1
+ 2x1
y2
+ 10x2
y2
;b) ( R2, +, ·,R), ∀x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ R2 :< x, y >= 9x1y1 − 3x1y2 −3x2y1 + x2y2;
c) ( R2, +, ·,R), ∀x = (x1, x2) , y = (y1, y2) ∈ R2 :< x, y >= x2
1y2
1 + x2
2y2
2 .
d) ( R3, +, ·,R),∀x = (x1, x2, x3) , y = (y1, y2, y3) ∈ R3 :< x, y >= 4x1y1+2x1y2+2x2y1 + x3y2 − x2y3 + x3y3
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 26/107
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 27/107
SEMINARUL NR.3. ALGEBRA LINIARA 3
Exercitiul 13. S a se arate c a aplicatia :< ·, · >; R4[x] × R4[x]
→R de finit˘ a prin
∀ p, q ∈ R4[x]; < p, q >=1R −1
p(x)q (x)dx
este un produs scalar. S a se ortogonalizeze baza uzual a din R4[x] (polinoamele bazei ortogonale se numesc polinoame LEGENDRE)
Exercitiul 14. S a se arate c a sistemul de functii S = (f 1, f 2,..,f n) din ( C([0, 1],R), +, ·,R) unde f 1(x) = sin πx,f 2(x) = sin 2πx,..,f n(x) = sin nπx, este ortogonal.
Exercitiul 15. S a se arate c a sistemul de functii S = (f 0, f 1, f 2,..,f n) din ( C([−π, π],R), +, ·,R) unde f 0(x) = 1, f 1(x) = sin x, f 2(x) = cos x,..,f 2n−1(x) = sin nx,f 2n(x) =
cos nx este ortogonal. S ˘
a se ortonormeze sistemul.
Exercitiul 16. S a se ortonormeze, folosind procedeul Gram-Schmidt urm˘ atorele sis-teme de vectori pe spatiile liniare euclidiene cu produsul scalar standard:
a) (v1 = (3, 4), v2 = (−4, 3)) ın (R2, h·, ·i) ,b) (u1 = (2, 1, 2), u2 = (1, 2,−2), u3 = (2,−2, 1)) ın (R3, h·, ·i) ,b) (u1 = (1, 2, 2− 1), u2 = (1, 1,−5, 3), u3 = (3, 2, 8,−7), u4 = (1, 0, 0, 0)) ın
(R4, h·, ·i) .
Exercitiul 17. Se considera spatiul vectorial real (R4, +, ·,R) dotat cu produsul scalar standard. Sa se determine vectorul x ∈ R4 de norma 1, care ımpreuna cu
vectorii a = (1, 0, 1,−1) si b = (0, 1, 1, 1) formeaza un sistem ortogonal.
Exercitiul 18. Folosind procedeul de ortonormare Gram Schmidt sa se ortonormeze sistemele de vectori liniar independenti de mai jos:
a) (v1 = (1, 0, 1), v2 = (2, 1,−3), v3 = (−1, 1, 0)) din R3;b) (v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (0, 1, 0, 1), v3 = (1,−1, 0, 1), v4 = (1, 1, 1,−1)) din R4;c) (v1 = (1,−2, 2), v2 = (−1, 0,−1), v3 = (5,−3,−7)) din R3,(v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0), v3 = (3, 0, 0)) din R3;d) (v1 = (2, 1), v2 = (1, 1)) din R2.
2. Exercitii suplimentare
Exercitiul 19. S a se arate c a [(0, v1, v2,...,vn)] = [(v1, v2,...,vn)] .
Exercitiul 20. Fie (X, +, ·,K) un spatiul liniar si u ∈ X, u 6= θX. Demonstrati c a (u)este un sistem liniar independent.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 28/107
SEMINARUL NR.3. ALGEBRA LINIARA 4
Exercitiul 21. Fie (X, +, ·,K) un spatiul liniar si S = (v1, v2,...,vn) un sistem de vectori din X. Demonstrati c a dac a unul de vectori este vectorul nul, atunci sistemul
S este liniar dependent.
Exercitiul 22. Fie (X, +, ·,K) un spatiul liniar si S 1, S 2 dou˘ a sisteme de vectori dinX, S 1 ⊂ S 2. Demostrati c a
a) dac a S 1 este liniar dependent, atunci S 2 este liniar dependent.b) dac a S 2 este liniar independent, atunci S 1 este liniar independent.
Exercitiul 23. Fie (X, +, ·,K) un spatiul liniar si S = (v1, v2,...,vn) o baz a din X.Orice sistem de vectori care contine mai mult de n vectori este liniar dependent˘ a.
Exercitiul 24. Fie (X, +, ·,K) un spatiul liniar si (V, +, ·,K) un subspatiul liniar a
lui X. Demonstrati c a dimKV ≤dimKX.
Exercitiul 25. Fie (X, +, ·,K) un spatiul liniar si (V, +, ·,K) un subspatiul liniar a lui X. Dac a dimKV =dimKX atunci V = X.
Exercitiul 26. Fie A ∈Mn(R). Urm˘ atoarele a firmatii sunt echivalente:a) A este o matrice ortogonal a,b) liniile matricei A formeaz a un sistem ortonormat,c) coloanele matricei A formeaz a un sistem ortonormat.
Fie A ∈Mm×n(R). Notam cu li, i = 1, m liniile matricei A, li = (ai1, ai2,...,ain) ,
i = 1, m si c j, j = 1, n coloanele matricei A, c j =
⎛⎜⎝ a1 j...amj
⎞⎟⎠ . Subspatiul [(l1, l2,...,lm)]
se numeste subspatiul liniilor matricei A si subspatiul [(c1, c2,...,cm)] se numestesubspatiul coloanelor matricei A.
Exercitiul 27. Demonstrati c a transform˘ arile elementare nu schimb˘ a subspatiul lini-ilor matricei A.
Exercitiul 28. Fie A ∈Mm×n(R). Subspatiul liniilor si a coloanelor matricei A auaceeasi dimensiune.
Dimensiunea subspatiului liniilor sau a coloanelor se numeste rangul matricei.
Exercitiul 29. Demonstrati c a un sistem AX = b, A ∈Mm×n(R), X ∈ Mn×1(R),b ∈Mm×1(R), A, b cunoscuti, este compatibil dac a si numai dac a b ∈ [(c1, c2,...,cm)] .
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 29/107
SEMINARUL NR.4. ALGEBRA LINIARA 1
1. Transformari liniare
Exercitiul 1. Fie spatiul liniar ( R3,+,·R) si functia T : R3 → R3,∀x ∈ R3, x =
(x1, x2, x3) :a) T (x) = a, a ∈ R
3 fixat;b) T (x) = x + a, a ∈ R3 fixat ;
c) T (x) = λa, a ∈ R3fixat; d) T (x) = (x1, x2, x2
3);e) T (x) = (x3, x1, x2 + 3);f ) T (x) = (x1, cos x2, sin x3); x =( x1, x2, x3);g) T (x) = (x1 + 2x2 − 3x3, 3x1 − x2, x3).Care din functiile de mai sus sunt transform˘ ari liniare?
Exercitiul 2. Fie functia T : R3 → R3,de finit˘ a prin ∀x ∈ R3, x = (x1, x2, x3) :
T (x) = (x1 + x2, 2x1 + 3x2 − x3, x1 − x3) .
a) S a se demonstreze c a T este o transformare liniar a.
b) Fie C = (e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1)) baza canonic ˘ a B = (v1 = (1, 1, 0) , v2 = (1, 0, 1) , v3 = (0, 1, 1)) o alt˘ a baz a ın (R3, +, ·,R).
S a se determine matricele transformarei liniare C (T )C
, B (T )B
, C (T )B
, B (T )C
.
c) S a se determine ker (T ) , Im (T ), s a se precizeze o baz a ın ele. S a se studieze injectivitatea si surjectivitatea lui T .
Exercitiul 3. Fie spatiile liniare reale (R3, +, ·,R) si (R4, +, ·,R) .
Se de finesc aplicatiile:T : R3 → R2, ∀x = (x1, x2, x3) , T (x) = (x1 − x2 + x3, x1 + x3) ,
S : R2 → R3, ∀y = (y1, y2) , S (y) = (y1, y1 − y2, y2) .
a) S a se veri fice c a T si S sunt transform˘ ari liniare.
b) S a se determine T ◦ S si S ◦ T si s a se veri fice c a sunt transform˘ ari liniare.c) S a se demonstreze c a :
B(S ◦ T )B =B0 (S )B ·B (T )B0 ;
B0(T ◦ S )B0 =B (T )B0 ·B0 (S )B,
unde ◦ este operatia de compunere a functiilor, iar · este operatia de ınmultire a matricelor, B este baza canonic a din R3, iar B0 este baza canonic a din R2 .
Exercitiul 4. Fie T ∈ L (R4,R4) o transformare liniar a de finit˘ a astfel T (x) = (x2 + x3,−x1 − x2 + x4, x1 + x2 − x4,−x1 + x3 + x4).
S a se arate c a ker(T ) = Im (T ) .
Exercitiul 5. Fie spatiile liniare reale (R3, +, ·,R) si (R4, +, ·,R) .Se de finesc transform˘ arile liniare :T : R3 → R
4, ∀x = (x1, x2, x3) ,
T (x) = (x1 + x2, 2x1 − x2 + x3,−x1 + 2x3, 3x3) ,
S : R4 → R3, ∀y = (y1, y2, y3, y4) ,
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 30/107
SEMINARUL NR.4. ALGEBRA LINIARA 2
S (y) = (y1 + y2 − y3 − y4, 2y2 − 3y4, y1 − y3 + 2y4) .
S a se determine nucleele si imaginile aplicatiilor T si S . S a se determine trans-
form˘ arile compuse T ◦ S si S ◦ T . S a se veri fice c a matricea transform˘ arii compuse este egal a cu produsul matricelor celor dou˘ a transform˘ ari ın bazele canonice core-spunz atoare.
Exercitiul 6. Fie spatiul liniar real (R2, +, ·,R). Se de fineste functia T : R2 → R2, ∀x = (x1, x2) , T (x) = (x1 − 2x2, x2 − x1) ,
a) S a se veri fice c a T este transformare liniar a.b) S a se studieze dac a T este inversabil a si, dac a da, s a se arate c a T −1 este liniar a.c) S a se veri fice dac a B0 (T −1)
B = (B (T )
B0)−1
.
Exercitiul 7. Not˘ am cu (Rn [x] , +, ·,R) spatiul liniar al polinoamelor de grad cel mult n.
Fie spatiul liniar real (R2 [x] , +, ·,R). Se de fineste functia T : R2 [x] → R2 [x] , ∀p(x) = a0+a1x+a2x2, (T p) (x) = a1−(a0+a2)x+(a1+a2)x2.
a) S a se arate c a T este transformare liniar a si s a se determine matricea asociat˘ a transform˘ arii liniare ın raport cu bazele B = (1, x , x2) si B0 = (x + 1, x − 1, x2 + 1) .
b) S a se veri fice c a T este injectiv a si s a se demonstreze c a B 0 (T −1)B
= (B (T )B0)
−1.
Exercitiul 8. Fie spatiile liniare reale (R4 [x] , +, ·,R) si (R3 [x] , +, ·,R) . S a se de-termine matricea asociat˘ a transform˘ arii liniare T : R4 [x] → R3 [x] de finit˘ a prin∀p ∈R4 [x] , T p = p0 (p0 este derivata functiei polinomiale p : R → R atasat˘ a
polinomului p) ın raport cu bazele B = (1, x , x2
, x3
, x4
) ın (R4 [x] , +, ·,R) si B0
=(1, x , x2, x3) ın (R3 [x] , +, ·,R) .
Exercitiul 9. Fie T : R3 [x] → R3 [x], T p = p0 − p, (p0 este derivata functiei poli-nomiale p : R → R atasat˘ a polinomului p). S a se arate c a T este un izomor fism si c a T −1 (p) = −p − p0 − p00 − p000.
Exercitiul 10. Fie f : R3 → R3 o functie liniar a a c arei matrice ın raport cu baza
canonic a din R3 este A =
⎛⎝
−1 1 23 3 42 1 1
⎞⎠ .
a) S a se determine matricea lui f ın raport cu baza S = (f 1 = (1, 1,−1), f 2 = (1, 0, 1), f 3 = (1, 1, 0)).b) S a se a fl e ker(f ), Im(f ),def (f ), rang(f ) si s a se studieze injectivitatea si sur-
jectivitatea.c) S a se veri fice c a def (f ) + rang(f ) = dimR(R3) .
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 31/107
SEMINARUL NR.4. ALGEBRA LINIARA 3
1.1. Exercitii suplimentare.
Exercitiul 11. Fie functiile f : X→ Y, g : Y→ Z. S a se demonstreze c a dac a f, gsunt bijective, atunci g ◦ f este bijectiv a. Dac a f este bijectiv a atunci f −1 este bijectiv a.
Exercitiul 12. S a se determine functia liniar a f : R4 → R2, dac a se cunoaste:
f (e1) = (1, 0), f (e2) = (0, 1), f (e3) = (1, 1), f (e4) = (1,−1), unde {e1, e2, e3, e4} este baza canonic a din R4.
Exercitiul 13. Fie spatiile liniare reale (M2×2 (R) , +, ·,R) si (R3, +, ·,R) . De finimfunctia T : R3 → M2×2 (R) prin ∀x ∈ R
3, x = (x1, x2, x3) ,
T (x) =µ x2 x3
−x1 0¶
.a) S a se demonstreze c a T este o transformare liniar a.b) Fie C = (e1 = (1, 0, 0) , e2 = (0, 1, 0) , e3 = (0, 0, 1)) baza canonic a din spatiul
liniar (R3, +, ·,R) si C 0 =
µE11 =
µ 1 00 0
¶,..., E22 =
µ 0 00 1
¶¶baza canonic a din
spatiul liniar (M2×2 (R) , +, ·,R). S a se determine matricele transformarei liniare ınbazele propuse C (T )
C 0 .
c) S a se determine ker(T ) si Im (T ), s a se precizeze o baz a ın ele. S a se studieze injectivitatea si surjectivitatea lui T.
Exercitiul 14. Pe spatiul liniar real al polinoamelor de grad cel mult n , notat cuRn[x] , se de finesc functiile :
f 1 : Rn[x] → R n+1[x] ,(f 1(p))(x) = xp(x),∀p ∈ Rn[x] .
f 2 : Rn[x] → R1[x], (f 2(p))(x) = x1R 0
tp(t)dt,∀p ∈ Rn[x] .
a) S a se arate c a f 1 si f 2 sunt transform˘ ari liniare.b) S a se arate c a f 1 este injectiv a si f 2 nu este surjectiv a.c) S a se determine ker f 2 si Im f 1.
Exercitiul 15. Fie f : X → Y si g : Y → Z transform˘ arile liniare de finite peste spatiile liniare X,Y,Z peste campul K astfel ıncat g ◦ f = θ . S a se arate c a
a) dac a f surjectiv a atunci g = θ,b) dac a g injectiv a atunci f = θ.
Exercitiul 16. S a se arate c a dac a f ∈ L(X,X) satisface f 2 − f + iX = θ atunci f
este automor fism al lui X.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 32/107
SEMINARUL NR.4. ALGEBRA LINIARA 4
Exercitiul 17. Aplicatie ın criptogra fie. Consider am c a vrem s a trimitem urm˘ atorul mesaj unui prieten: NE INTILNIM LUNI LA NOUA.
Pentru securitate prima codi ficare a alfabetului va fiA B C D E F G H I J K L M N O P Q R 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
S T U V W X Y Z 19 20 21 22 23 24 25 26
mesajul original va fi14 5 9 14 20 9 12 14 9 13 12 21 14 9 12 1 14 15 21 1Il ımp˘ artim ın cinci vectori ⎛
⎜⎜⎝
1459
14
⎞
⎟⎟⎠
⎛
⎜⎜⎝
209
1214
⎞
⎟⎟⎠
⎛
⎜⎜⎝
9131221
⎞
⎟⎟⎠
⎛
⎜⎜⎝
149
121
⎞
⎟⎟⎠
⎛
⎜⎜⎝
1415211
⎞
⎟⎟⎠Il codi fic am a doua orar a mesajul codi ficat anterior conform transform˘ arii liniare
(aleas a arbitrar, dar bijectiv a!!!)T : R4 → R
4
T (x) =
⎛⎜⎜⎝
1 2 3 41 1 2 30 1 2 30 0 1 1
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
x1
x2
x3
x4
⎞⎟⎟⎠ .
A doua codi ficare a mesajului va fi⎛⎜⎜⎝
1 2 3 4
1 1 2 30 1 2 30 0 1 1
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
14
5914
⎞⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎝
107
796523
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
1 2 3 41 1 2 30 1 2 30 0 1 1
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
209
1214
⎞⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎝
130957526
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
1 2 3 41 1 2 30 1 2 30 0 1 1
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
9131221
⎞⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎝
15510910033
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
1 2 3 41 1 2 30 1 2 30 0 1 1
⎞⎟⎟⎠
⎛⎜⎜⎝
149
121
⎞⎟⎟⎠ =
⎛⎜⎜⎝
72503613
⎞⎟⎟⎠
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 33/107
SEMINARUL NR.4. ALGEBRA LINIARA 5
⎛
⎜⎜⎝1 2 3 41 1 2 3
0 1 2 30 0 1 1
⎞
⎟⎟⎠
⎛
⎜⎜⎝1415
211
⎞
⎟⎟⎠=
⎛
⎜⎜⎝11174
6022
⎞
⎟⎟⎠
Putem trimite mesajul 107 79 65 23 130 95 75 26 155 109 100 33 72 50 36 13 111 74 60 22 Destinatarul cunoaste matricea transform˘ arii liniare, calculeaz a inversa sa ⎛⎜⎜⎝
1 2 3 41 1 2 30 1 2 30 0 1 1
⎞⎟⎟⎠
−1
=
⎛⎜⎜⎝
0 1 −1 01 −1 0 −11 −1 −1 2−1 1 1 −1
⎞⎟⎟⎠
si decodi fic a mesajul.Decodi ficati urm˘ atorul mesaj 82 55 36 6 83 51 46 13 167 123 103 39 77 56 35 9 132 88 76 23
1.2. Transformari liniare care apar ın probleme de grafica pe calculator.
Exercitiul 18. S a se scrie transformarile liniare care realizeaz a simetria ın plan a unui punct fat˘ a de axele Ox,Oy si fat˘ a de prima bisectoare.
Exercitiul 19. S a se determine coordonatele simetricului triunghiului cu varfurile ın punctele (−1, 4) , (3, 1) , (2, 6) fat˘ a de axele Ox, Oy si fat˘ a de prima bisectoare.
Exercitiul 20. S a se scrie transformarile liniare care realizeaz a simetria ın spatiu a unui punct fat˘ a de planele Oxy, Oyz, Oxz .
Exercitiul 21. S a se scrie transformarile liniare care realizeaz a proiectiile ortogonale ın plan a unui punct pe axele Ox,Oy.
Exercitiul 22. S a se scrie transformarile liniare care realizeaz a proiectiile ortogonale ın spatiu a unui punct pe planele Oxy,Oyz,Oxz .
Exercitiul 23. S a se scrie transform˘ arile liniare care realizeaz a rotatia ın plan a unui punct ın jurul originii in sens direct trigonometric si ın sens contrar trigonometric.
Exercitiul 24. Fie triunghiul cu varfurile ın punctele (−1, 4) , (3, 1) , (2, 6) S a se determine coordonatele triunghiului rotit ın jurul originii cu un unghi de 90 grade.
Exercitiul 25. Descrieti cum se transform˘ a un p˘ atrat de latura 1 prin aplicarea tuturor punctelor transform˘ arile liniare care au matricele ın baza canonic a date mai
jos:
A =
µ 1 20 1
¶, A =
µ 3 00 3
¶, A =
µ 2 00 1
¶.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 34/107
SEMINARUL NR.4. ALGEBRA LINIARA 6
Exercitiul 26. G˘ asiti transformarea liniar a care realizeaz a transformarea p˘ atratului de latur a1, colorat in galben, ın p˘ atratul colorat ın verde.
Exercitiul 27. G˘ asiti transformarile liniare care realizeaz a trecerea de la p˘ atratele galbene la cele verzi, ilustrate prin figurile de mai jos?
, , .
Exercitiul 28. Analizati cum se modi fic a p˘ atratul de latura 1 dac a aplic am asupra punctelor lui transformarea liniar a T (x) = (x + y, y), x = (x1, x2) .
Exercitiul 29. G˘ asiti transformarea liniar a care realizeaz a trecerea de la p˘ atratele
galbene la cele verzi, ilustrate prin figurile de mai jos.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 35/107
SEMINARUL NR.5-6. ALGEBRA LINIARA 1
1. Valori si vectori proprii
Exercitiul 1. Determinati valorile proprii ala matricelor urm˘ atoare:
A ∈M3(R),A =
⎛⎝
4 −1 −22 1 −21 −1 1
⎞⎠ ; A ∈M3(R),A =
⎛⎝
1 1 00 1 11 0 1
⎞⎠ ;
A ∈M3(C),A =
⎛⎝
1 1 00 1 11 0 1
⎞⎠ ; A ∈M3(Q),A =
⎛⎝
0 1 00 0 14 −17 8
⎞⎠ .
A ∈M3(R),A =
⎛⎝
0 1 00 0 14 −17 8
⎞⎠ .
Exercitiul 2. Se consider a matricea:
A =
⎛⎝
0 1 11 0 11 1 0
⎞⎠ .
a) S a se calculeze valorile proprii si vectorii proprii ai matricei si s a se determine ordinele de multiplicitate si dimensiunile subspatiilor proprii.
b) S a se stabileasc a dac a matricea este diagonalizabil a.c) In caz a firmativ, s a se determine o matrice diagonal a si matricea modal a core-
spunz atoare.
Exercitiul 3. Se consider a matricea:
A =
⎛⎜⎜⎝
0 0 −5 30 0 −3 1−5 3 0 0−3 1 0 0
⎞⎟⎟⎠
a) Calculati polinomul caracteristic al matricei A. Determinati multiplicitatea algebric a a fiec arei valori proprii a lui A.
b) Explicitati subspatiile proprii. Determinati multiplicitatea geometric a a fiec arei valori proprii a lui A.
c) Este matricea A diagonalizabil a?
Exercitiul 4. S a se stabileasc a dac a matricele de mai jos sunt diagonalizabile, iar ın
caz a firmativ s a se determine efectiv forma diagonal a si matricea modal a:
a) A =
⎛⎝
3 2 22 2 1−6 −5 −4
⎞⎠ ; b) A =
⎛⎝
1 0 32 1 23 0 1
⎞⎠ ;
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 36/107
SEMINARUL NR.5-6. ALGEBRA LINIARA 2
c) A =⎛⎝
1 2 −4
2 −2 −2−4 −2 1
⎞⎠ ; d) A =⎛⎝
1 −1 1−2 1 0−1 1 −1
⎞⎠ ;
e) A =
⎛⎝
4 6 0−3 −5 0−3 −6 1
⎞⎠ ; f) A =
⎛⎝
1 2 1−1 2 −11 −1 2
⎞⎠ .
R: b) P =
⎛⎝
−3
2 0 3
2
0 1 23
2 0 3
2
⎞⎠ ; D =
⎛⎝
−2 0 00 1 00 0 4
⎞⎠
c) P =⎛⎝
1 1 0
−4 1
2 2−1 −1 1
⎞⎠; D =
⎛⎝−3 0 0
0 6 00 0 −3
⎞⎠
d) P =
⎛⎝
1 1 11 2 −2−1 1 −1
⎞⎠ ; D =
⎛⎝
−1 0 00 0 00 0 2
⎞⎠ ,
e) P =
⎛⎝
1 1 0−1 −1
2 0
−1 −1 1
⎞⎠ ; D =
⎛⎝
−2 0 00 1 00 0 1
⎞⎠ ,
f) P =
⎛
⎝
1 0 11
3 1 1
−2
3
−1 −
1
⎞
⎠; D =
⎛
⎝
1 0 00 2 0
0 1 2
⎞
⎠.
Exercitiul 5. Fie matricea
A =
⎛⎝
0 1 00 0 12 −5 4
⎞⎠ .
S a se arate c a nu exist˘ a nici o baz a ın R3 ın raport cu care matricea s a aib˘ a forma diagonal a. De ce?
Exercitiul 6. Dac a matricea A ∈Mn(K) este diagonalizabil a, s a se obtin˘ a formula de calcul a lui Ak,∀k ∈ N∗.
Exercitiul 7. S a se calculeze puterea a n−a a matricei
A =
⎛⎝
−1 0 −33 2 3−3 0 −1
⎞⎠ .
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 37/107
SEMINARUL NR.5-6. ALGEBRA LINIARA 3
R: An =
⎛
⎝1 1 0−1 −1 1
1 −1 0
⎞
⎠
⎛
⎝(−4)n 0 0
0 2n 0
0 0 2n
⎞
⎠
⎛
⎝
1
2 0 1
21
2 0 −1
2
1 1 0
⎞
⎠ =
⎛⎝
1
22n + 1
2 (−4)n 0 1
2 (−4)n − 1
22n
1
22n − 1
2 (−4)n 2n 1
22n − 1
2 (−4)n
1
2 (−4)n − 1
22n 0 1
22n + 1
2 (−4)n
⎞⎠
Exercitiul 8. Folosind teorema Cayley-Hamilton s a se calculeze polinomul matriceal P (A) = A4 − 4A3 + 6A2 − 4A + I 4,
P (A) = A4 − 4A3 + 6A2 − 3A + I 4 pentru
A =
⎛
⎜⎜⎝
−2 3 −1 4−4 5 −2 7
−3 3 −2 5−2 2 −2 3
⎞
⎟⎟⎠
Exercitiul 9. Folosind teorema Cayley Hamilton s a se calculeze A−1 si An ın cazurile
a) A =
µ 1 01 1
¶; b) A =
µ −1 0
0 −1
¶;c) A =
⎛⎝
1 0 10 2 00 0 3
⎞⎠ ;
d) A =
⎛⎝
0 0 10 1 10 0 0
⎞⎠ ; e) A =
⎛⎝
2 0 00 1 00 1 1
⎞⎠ .
Exercitiul 10. S a se arate c a dac a este λ valoare proprie a matricei A, atunci λn
este valoare proprie a matricei An. Dac a A este o matrice inversabil a, atunci 1λ este valoare proprie a matricei A−1.
Exercitiul 11. S a se arate c a dac a x este vector propriu al matricei A, iar P este o matrice inversabil a, atunci P x este vector propriu al matricei P AP −1.
Exercitiul 12. S a se ver fice dac a matricele urm˘ atoare
A =
⎛⎜⎝
1√ 3
1√ 2
1√ 6
1√ 3
0 − 2√ 6
1√ 3 − 1√
2
1√ 6
⎞⎟⎠ , A =
⎛⎝
1 1 −11 3 47 −5 2
⎞⎠ ,
A = 1
3
⎛⎝ 2 1 2
1 2 −22 −2 −1
⎞⎠ , A =
⎛⎜⎜⎜⎝
− 1√ 6
2√ 5
0 1√ 30
0 0 1 02√ 6
1√ 5
0 − 2√ 30
1√ 6
0 0 5√ 30
⎞⎟⎟⎟⎠ .
sunt ortogonale.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 38/107
SEMINARUL NR.5-6. ALGEBRA LINIARA 4
2. Exercitii suplimentare
Exercitiul 13. Ar atati c a urm˘ atoarela matrice nu sunt asemenea:
A =
µ 1 22 1
¶, B =
µ 1 11 1
¶.
Exercitiul 14. Calculati vealorile proprii ale matricei identitate de ordin n. Determinati subspatiile proprii.
Exercitiul 15. Fie A, B ∈Mn(R). Demonstrati c a dac a A ∼ B atunci AT ∼ BT si A−1 ∼ B−1.
Exercitiul 16. Fie A, B ∈ Mn(R). Demonstrati c a dac a A este inversabil a, atunci AB ∼ BA, oricare ar fi matricea B ∈Mn(R).
Exercitiul 17. Dac a matricea A ∈Mn(K) este diagonalizabil a, atunci rangul lui Aeste egal cu num˘ arul valorilor proprii nenule.
Exercitiul 18. Matricea A ∈ Mn(K) este diagonalizabil a dac a si numai dac a ma-tricea AT ∈Mn(K) este diagonalizabil a.
Exercitiul 19. Fie A, B ∈Mn(R). Demonstrati c a dac a A ∼ B atunci matricea Aeste diagonalizabil a dac a si numai dac a matricea B este diagonalizabil a.
Exercitiul 20. Dati exemplu de dou˘ a matrice A, B diagonalizabile astfel ıncat A+B
s ˘
a nu fi
e diagonalizabil ˘
a (evident c ˘
aut˘
am matrice 2 × 2).Exercitiul 21. Fie A ∈ Mn(R) o matrice simetric a. Demonstrati c a urm˘ atoarele a firmatii sunt echivalente:
a) A este ortogonal a.b) A2 = I n.
c) σ(A) = {−1, 2} .
Exercitiul 22. Fie P (λ) = λ4(λ + 5)(λ − 3)2 polinomul caracteristic corespunt˘ ator matricei A.
a) Care este dimensiunea lui A?
b) Care sunt dimensiunile posibile ale lui ker(A
)?c) Dac a dimensiune lui ker(A) este 2, este matricea A diagonalizabil a?
Exercitiul 23. Fie A ∈Mn(R). Matricea A se numeste nilpotent˘ a dac a exist˘ a k ∈ Nastfel ıncat Ak = 0n. Demonstrati c a λ = 0 este singura valoare proprie a matricei A.
Demonstrati c a P (λ) = λn.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 39/107
SEMINARUL NR.5-6. ALGEBRA LINIARA 5
Exercitiul 24. Fie A ∈ Mn(C) si det(A) 6= 0 si P (λ) polinomul caracteristic al matricei A. S a se determine expresia polinomului caracteristic al matricei A−1 ın
functie de polinomul caracteristic al matricei A.
Exercitiul 25. S a se deduc a expresia polinomului caracteristic al matricei A∗ ınfunctie de polinomul caracteristic al matricei A, det(A) 6= 0.
Exercitiul 26. Fie A ∈Mn(C) si Q un polinom cu coe ficienti reali de grad n.
a) Exprimati det Q(A) ın functie de polinomul caracteristic P a lui A.
b) Dac a λ1, λ2,...,λn sunt valorile proprii ale lui A, demonstrati c a 1. det Q(A) = Q(λ1)Q(λ2)...Q(λn).
2. Valorile proprii ale lui Q(A) sunt Q(λ1), Q(λ2),...,Q(λn).
c) Demonstrati c a toti vectorii proprii ai lui A sunt si vectori proprii ai lui Q(A).
Exercitiul 27. Fie matricea:
A =
⎛⎜⎜⎝
1 1 1 a
1 1 a 11 a 1 1a 1 1 1
⎞⎟⎟⎠ .
Se cere:a) S a se determine valorile proprii ale aplicatiei liniare T ∈ L(R4) care are matricea
A =C (T )C
, unde C este baza canonic a.b) Precizati dimR(ker(T )) ın raport cu valorile parametrului a.
c) Fie g forma p˘
atratic ˘
a care are pe A ca matrice asociat˘
a. S ˘
a se reduc ˘
a la forma canonic a forma g.
Exercitiul 28. Fie A ∈Mn(R). Demonstrati c a matricele AT A si AAT admit fiecare cate o baz a format˘ a din vectori proprii ortogonali.
Exercitiul 29. a) Demonstrati c a matricea
A =
⎛⎜⎜⎜⎝
a1b1 a1b1 · · · a1b1a1b1 a1b1 · · · a1b1
... ...
...a1b1 a1b1 · · · a1b1
⎞⎟⎟⎟⎠
are rangul ≤ 1.b) Calculati polinomul caracteristic al matricei A.
c) Precizati valorile proprii si multiplicitatea algebric a si geometric a a fiec arei dinaceste valori proprii.
d) Decideti dac a matricea este diagonalizabil a.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 40/107
SEMINARUL NR.5-6. ALGEBRA LINIARA 6
Exercitiul 30. Folosind teorema Cayley-Hamilton s a se calculeze inversa matricei A ın functie de puterile sale,
A =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝
−1 2 −3 4 · · · (−1)nn0 −1 2 −3 · · · (−1)n−1(n − 1)0 0 −1 2 · · · (−1)n−2(n − 2)...
... . . .
...0 0 0 0 · · · −1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
.
Exercitiul 31. Fie U,V si W spatii vectoriale peste acelasi corp comutativ K si T ∈ L(U, V ), S ∈ L(V,W). Atunci
a) rang(S ◦ T ) ≤rang(S ),
b) rang(S ◦ T ) ≤rang(T ),
c) dac a S este izomor fism atunci rang(S ◦ T ) =rang(T ),d) dac a T este izomor fism atunci rang(S ◦ T ) =rang(S ).
S a se transpun˘ a aceste rezultate ın termeni de matrice.
Indicatii.a) Demonstram ca Im(S ◦ T ) ⊆Im(S ).b) Demonstram ca ker(T ) ⊆ ker(S ◦ T ).
c) S ∈ L(V,W), S izomorfism, rezulta ca S −1 ∈ L(W,V) si este izomorfism.Scriem T = S −1◦(S ◦ T ) si conform punctului a) si b), rang(T ) ≤rang(S ◦T ) ≤rang(T ).
d) Scriem S = (S ◦ T ) ◦ T −1 si facem un rationament analog cu cel de la punctulc).
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 41/107
SEMINARUL NR. 7-8-9 ALGEBRA LINIARA 1
Exercitiul 1. Folosind metoda lui Gauss s a se determine forma canonic a si signatura formelor p˘ atratice precum si matricea cu care se obtine aceasta:
a) h : R2 → R, h(x) = x21 − x2
2 − x1x2.b) h : R3 → R, h(x) = x2
1 + 9x22 + 19x2
3 + 2x1x2 + 4x1x3.
c) h : R4 → R, h(x) = −3x4x3 + x1x2 + 2x2x3.
d) h : R3 → R, h(x) = −x21 − x2
2 − x23 + x1x2 + x2x3.
Exercitiul 2. Utilizand metoda lui Jacobi, s a se determine forma canonic a a formelor p˘ atratice de mai jos, precum si matricea cu care se obtine aceasta:
a) h : R3 → R, h(x) = x21 + 7x2
2 + x23 − 8x1x2 − 16x1x3 − 8x2x3.
b) h : R3 → R, h(x) = x21 + 8x2
2 + x23 + 16x1x2 + 4x1x3 + 4x2x3.
c) h : R4 → R, h(x) = x21+ x2
2+ 4x23+ 4x2
4+ 4x1x3+ 2x1x4+ 2x2x3+ 2x2x4+ 6x3x4.
Exercitiul 3. Folosind metoda transform˘ arilor ortogonale (a valorilor proprii) s a se reduc a la forma canonic a formele p˘ atratice de mai jos, indicand matricea ortogonal a cu care se obtine aceasta .
a) h : R3 → R, h(x) = 3x21 + 6x2
2 + 3x23 − 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2x3.
b) h : R4 → R, h(x) = 2x1x2 − 6x1x3 − 6x2x4 + 2x3x4.
c) h : R3 → R, h(x) = x22 − x2
3 + 4x1x2 − 4x1x3.
d) h : R3 → R, h(x) = x21 + x2
2 + x23 + x1x2 + x1x3 + x2x3.
S a se precizeze pentru fiecare din ele signatura si natura formei p˘ atratice .
Exercitiul 4. Se dau urm˘ atoarele forme p˘ atratice:
a) h : R3 → R, h(x) = 3x2
1 + 6x2
2 + 3x2
3 − 4x1x2 − 8x1x3 − 4x2x3,b) h : R3 → R, h(x) = −x21 + x2
2 − 5x23 + 6x1x3 + 4x2x3,
c) h : R3 → R, h(x) = 2x1x2 − 4x1x3 − 4x2x3,
d) h : R3 → R, h(x) = 2x1x2 + 4x1x3.
S a se determine expresia canonic a prin toate metodele cunoscute.S a se veri fice legea de inertie a lui Sylvester.
Exercitiul 5. Se consider a vectorii −→u = 2
−→i − 5
−→ j + 3
−→k ,−→v =
−→i +
−→ j − −→k . Se cere:
a) unghiul dintre vectorii −→u si −→v ;b) ın˘ altimea corespunz atoare bazei −→u a paralelogramului construit pe vectorii −→u
si −→v .
Exercitiul 6. Se dau vectorii −→a =−→
i +−→ j +
−→k ,−→b =
−→i −−→ j , −→c = −−→i +
−→ j +2
−→k ,
unde ³−→
i ,−→ j ,−→k´
este o baz a ortonormat˘ a pozitiv orientat˘ a. S a se calculeze:
a) versorul vectorului −→a ;
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 42/107
SEMINARUL NR. 7-8-9 ALGEBRA LINIARA 2
b)D−→a ,
−→bE
, −→
b ×−→c , hh−→b ,−→a ,−→c ii,−→a × (
−→b ×−→c );
c) aria paralelogramului construit cu vectorii −→a si −→b ;d) volumul tetraedrului construit pe vectorii −→a ,
−→b si −→c ;
e) ın˘ altimile paralelogramului construit pe vectorii −→a si −→c ;
f) ın˘ altimile paralelipipedului construit pe vectorii −→a ,−→b si −→c ;
g) vectorul bisector al unghiului format de vectorii −→a si −→c .
Exercitiul 7. S a se determine al patrulea varf al tetraedrului ABCD cu A(4,−2, 2),
B(3, 1, 1), C (4, 2, 0) stiind c a D ∈ Oz si c a volumul tetraedrului este egal cu 4. S a se determine lungimea ın˘ altimii coborate din D.
Exercitiul 8. Dac a vectorii −→
a ,−→b ,−→c ∈
V3 sunt liniar independenti, s a se deter-mine λ ∈ R astfel ıncat vectorii −→u = λ−→a +
−→b +−→c ,−→v = −→a + λ
−→b +−→c ,−→w = −→a +
−→b + λ−→c
s a fie coplanari.
Exercitiul 9. Se dau punctele A(−1, 2,−2), B(−2, 5, 1), C (−1, 6, 0), D(2, 3,−6). Se cere:
a) s a se veri fice dac a patrulaterul ABCD este plan;b) s a se calculeze aria figurilor determinate de aceste puncte.
Indicatie: a) se verifica coplanaritatea vectorilor AB,AC,AD.
Exercitiul 10. S a se scrie ecuatia planului care trece prin origine si este perpendic-ular pe planele
(P ) : 2x− y + 3z − 1 = 0,
(Q) : x + 2y + z = 0.
Exercitiul 11. Fie planul (P ) : x − y + 2z = 0 si punctul A(1, 0, 1). Se cere:a) s a se determine coordonatele proiectiei punctului A pe planul (P );b) s a se determine coordonatele proiectiei punctului A pe dreapta d(M 1, M 2), unde
M 1(0, 2, 1) si M 2(−2, 0, 1).
Indicatie: a) se scrie ecuatia dreptei care trece prin punctul A si este perpendicu-lara pe planul (P ); care va fi directia dreptei? b) se scrie ecuatia planului care treceprin punctul A si este perpendicular pe dreapta d(M 1, M 2); care va fi normala laplan?
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 43/107
SEMINARUL NR. 7-8-9 ALGEBRA LINIARA 3
Exercitiul 12. Fie dreapta
(d) :½ x
−y
−3z + 2 = 0
2x + y + 2z − 3 = 0si planul (P ) : x + y + z + 1 = 0. Se cere:a) s a se scrie ecuatia planului ce contine dreapta (d) si e perpendicular pe planul
(P );b) s a se scrie ecuatiile dreptei simetrice dreptei (d) fat˘ a de planul (P ).
Exercitiul 13. Se consider a punctul M (2, 1,−3), dreapta (d) : x − 2 = y = 2z + 1si planul (P ) : x + 2y − 3z + 4 = 0.
a) S a se a fl e distantele de la punctul M la (P ) si la dreapta (d).
b) S a se a fl e unghiul dintre dreapt˘ a si plan.
Exercitiul 14. S a se determine conditia ca planele de ecuatii (P 1) : x − cy − bz = 0si respectiv (P 2) : y − az − cx = 0, (P 3) : z − bx − ay = 0 s a treac a prin aceeasi dreapt˘ a.
Exercitiul 15. S a se determine intersectia elipsei 3x2 + 8y2 = 35 cu dreapta x + 2y − 5 = 0.
Exercitiul 16. S a se arate c a ecuatia x2 + y2 − 4x− 4y + 9 = 0
reprezint˘ a ecuatia unui cerc si s a se scrie ecuatiile tangentelor duse din origine la acest
cerc.
Exercitiul 17. S a se determine ecuatiile tangentelor duse prin punctul M (3, 2) la curba de ecuatie x2 + 4y2 − 4 = 0.
Exercitiul 18. Ce valoare trebuie s a aib˘ a λ pentru ca dreapta x − y + λ = 0 s a fie tangent˘ a la curba x
2
4 − y
2
9 + 1 = 0? Dup˘ a determinarea lui λ s a se a fl e coordonatele
punctelor de contact al tangentei.
Exercitiul 19. S a se determine punctele de intersectie al parabolei y2 = 18x cudreapta 6x + y − 6 = 0.
Exercitiul 20. S a se traseze gra ficele conicelor:a) x2 + 4y2 − 8y = 0,
b) x2 − 4y2 + 8y = 0,
c) 4x2 − y2 + 8x + 2y = 1,
d) 4x2 − y2 − 16x + 2y + 15 = 0,
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 44/107
SEMINARUL NR. 7-8-9 ALGEBRA LINIARA 4
e) y2 − 6x− 2y = 0,
f) y2 + 6x + 2y = 0,
g) x2 + 6x− y = 0,h) x2 + 4x + y + 4 = 0,
i) y2 − x− 2y = 0,
j) y2 + x + 2y + 2 = 0.
Exercitiul 21. S a se stabileasc a natura urm˘ atoarelor conice si apoi s a se reprezinte gra fic:
a) 5x2 + 8xy + 5y2 − 18x− 18y + 9 = 0,
b) 7x2 − 8xy + y2 − 6x− 12y − 9 = 0,
c) 3x2 − 6xy + 3y2 + 4x + 4y + 4 = 0,
d) 2x2 + 5xy + 2y2 + 3x + 3y + 1 = 0,
e) x2 − 2xy + y2 + 6x− 6y + 5 = 0,
f) x2 + 4xy + y2 + 4x + 4y − 4 = 0,
g) xy + 2x + y = 0,
h) 2x2 − 2√
3xy + 9 = 0.
Exercitiul 22. S a se reprezinte gra fic urm˘ atoarele domenii:a) D = {(x, y)|x2 + y2 ≤ −2x};
b) D = {(x, y)|x2 + y2 ≤ 4, x2 + y2
4 ≤ 1, x ≥ 0};
c) D = {(x, y)|x2 + y2 ≤ 2, x ≤ y2, x ≥ −y2, y ≤ 0};d) D = {(x, y)|x2
≥y2, x
≤y, 0
≤y
≤1};
e) D = {(x, y)|y2 ≥ x
2
, y ≤ 2x + 3};f) D = {(x, y)|x2 + (y − 1)2 ≤ 1, y ≤ x2, x ≥ 0}.
Exercitiul 23. S a se recunoasc a urm˘ atoarele curbe din plan:x2 + y2 − 2x + 2y = 0, y2 − 9x2 = 0.
2x2 + y2 + 4y − 2 = 0; x2
49 +
y2
9 = 0,
x2
8 − y2 − 1
2 = 0,
x2
8 − y = 0,
x2 + y2 − 2y + 2 = 0, y − 20x2 = 0.
Exercitiul 24. S a se recunoasc a suprafetele ın spatiu:x2
4 +
y2
9 +
z 2
25 − 1 = 0,
x2
4 − y2
9 = z,
x2 + y2 = 2z, x2
4 − y2
9 − 1 = 0,
x2 + y2 − z 2 + 2z = 0, x− z + 2y + 3 = 0,
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 45/107
SEMINARUL NR. 7-8-9 ALGEBRA LINIARA 5
x2 − y2 + z 2 + 2y = 0, x2 − y2 = 2z,
−x2
4 −y2
9 +
z 2
25 − 1 = 0,
x2
4 +
y2
9 = 2z,x2
1 +
y2
16 +
z 2
4 = 0,
x2
9 +
y2
16 − z 2
25 − 1 = 0,
x2
1 +
y2
16 − z 2
4 − 1 = 0,
y2
16 − z 2
25 = 0,
x2
1 +
y2
16 − 2z = 0,
y2
16 − z 2
25 − 1 = 0,
x2 − y2 − z 2 = 0, x2 + y2 = 2z,y2
9 +
z 2
16 = 4− x2,
x2
9 − y2
16 + z 2 + 1 = 0.
EXERCITII SUPLIMENTARE
Exercitiul 25. S a se demonstreze:
h−→a ×−→b ,−→c ×
−→d i =
¯¯ h−→a ,−→c i h−→a ,
−→d i
h−→b ,−→c i h
−→b ,−→d i
¯¯ ,
°°°−→a ×−→b°°°2 = k−→a k
2°°°−→b °°°2 − D−→a ,
−→bE2
.
Exercitiul 26. Fie ABCDEF un hexagon regulat avand lungimea laturii egal a cu1 si R un reper ortonormat cu originea ın punctul C , R = (C,i ,j), ın care vectorul
i este coliniar si are acelasi sens cu −→BC , iar versorul j este coliniar si are acelasi sens
cu −→EC . Fie ınc a R un reper ortonormat cu originea ın punctul F , R0
= (F, i0
, j0
), ıncare versorul i0 este coliniar si are acelasi sens cu F A, iar versorul j este coliniar si
are acelasi sens cu −→DF . S a se g aseasc a:
a) rotatia si translatia care duc reperul R ın reperul R0,b) leg atura dintre coordonatele unui punct ın cele dou˘ a repere,c) coordonatele punctelor A si B ın cele dou˘ a repere.
Exercitiul 27. Fie cubul ABCDA0B0C 0D0 de latura 1. Consider am reperul R =
(A,−→
i ,−→ j ,−→k ) unde
−→AB =
−→i , −→AD =
−→ j , −−→AA0 =
−→k si reperul R = (C 0,
−→i0 ,−→ j0 ,
−→k0 )
unde −−→C 0C =
−→i0 , −−→C 0D0 =
−→ j0 , −−→C 0B0 =
−→k0 .
a) S a se arate c a S =³−→i ,−→ j ,−→k ´
si S 0
=³−→i0
,−→ j0
,−→k0 ´
sunt baze ortonormate.b) S a se determine matricea A de trecere de la baza S la Baza S 0.
c) S a se veri fice c a matricea A este ortogonal a.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 46/107
SEMINARUL NR. 7-8-9 ALGEBRA LINIARA 6
Exercitiul 28. Se dau punctele A(3,−1, 3), B(5, 1, 1), C (0, 4,−3), D(1,−2, 5), dreptele
(d1) :½ x + 2y + 3z
−1 = 0
2x− y − z − 3 = 0 ,(d2) :
©x−4
1 = y+2
0 = z+1
3 ,
(d3) :
⎧⎨⎩
x = 1 + 2t
y = t − 1z = 1 + 3t
si planele (P ) : 2x−y−z −2 = 0, (Q) : x + 2y + 2z +1 = 0, (R) : x + 7y + 7z + λ =0, λ ∈ R. Se cer:
a) ecuatiile carteziene, parametrice si ecuatia vectorial a a dreptelor determinate de punctele A, B si respectiv A, C ;
b) ecuatia cartezian˘ a si vectorial a a planului ce contine punctul C si este perpen-
dicular a pe dreapta determinat˘ a de punctele A, B;c) ecuatia cartezian˘ a a planului ce trece prin punctul C si este perpendicular pe dreapta AB;
d) locul geometric al punctelor egal dep˘ artate de Asi B;e) ecuatia cartezian˘ a si vectorial a a planului ce contine punctul A si este paralel
cu dreptele (d1) si (d2);f) coordonatele simetricului punctului D fat˘ a de dreapta (d4) = (P ) ∩ (Q);g) coordonatele simetricului punctului D fat˘ a de planul (Q);h) ecuatiile carteziene ale proiectiei ortogonale a dreptei (d2) pe planul (P );i) ecuatiile carteziene ale simetricei dreptei (d2) fat˘ a de planul (P );
j) ecuatiile carteziene ale simetricului planului (P ) fat˘ a de planul (Q);
k) distanta dintre planele obtinute la punctele b) si c);l) distanta de la punctul D la planul (Q);m) m˘ asura unghiului dintre dreptele AB si AC ;n) m˘ asura unghiului dintre planele (P ) si (Q);o) m˘ asura unghiului dintre drepta (d1) si planul (Q);
p) valoarea lui λ pentru care (P ), (Q) si (R) se intersecteaz a dup˘ a o dreapt˘ a.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 47/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 1
1. SIRURI NUMERICE
1.1. Definitia sirului. I. Se da expresia termenului general an.
Exemplul 1. an = n + 1
n2 , n ≥ 1.
Exemplul 2. an =
½ (−1)n, n par,
n2, n impar.
II. Se da o relatie de recurenta prin care un termen al sirului se exprima ın functiede k termeni anteriori, k ≥ 1. In acest caz trebuie precizati si primii k termeni aisirului.
Exemplul 3. an+1 = √ 1 + an, n ≥ 1, a1 = √ 2 (k = 1) ,
Exemplul 4. an+2 = a2n − 3an+1 + 2, n ≥ 0, a0 = 1, a1 = 2 (k = 2) .
1.2. Clasificarea sirurilor.
Siruri monotone.
Definitia 1. Un sir (an)n∈N se numeste a) crescator dac a an ≤ an+1, pentru n ∈ N,
a0 ≤ a1 ≤ ... ≤ an ≤ an−1 ≤ ...
b) strict crescator dac a an < an+1, pentru n
∈N,
a0 < a1 < ... < an < an−1 < ...c) descrescator dac a an ≥ an+1, pentru n ∈ N,
a0 ≥ a1 ≥ ... ≥ an ≥ an−1 ≥ ...
d) strict crescator dac a an > an+1, pentru n ∈ N,
a0 > a1 > ... > an > an−1 > ...
Definitia 2. Un sir cresc ator sau descresc ator se numeste sir monoton. Un sir strictcresc ator sau strict descresc ator se numeste strict monoton.
Procedee pentru demonstrarea monotoniei unui sirI. Folosirea definitiei
Exemplul 5. an = n
n + 1,
presupunem an < an+1 ⇔ nn+1
< n+1n+2 ⇔ n (n + 2) < (n + 1)2 ⇔ 0 < 1, ∀n ≥ 0.
II. Calculand diferenta an+1 − an sau an − an+1 si comparand-o cu zero.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 48/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 2
Exercitiul 1. S a se studieze monotonia sirului
xn = 1
2³xn
−1 + a
xn−
1´ , x0 > 0, a > 0.
III. Calcul ınd raportul an+1
ansau
an
an+1si comparandu-l cu 1.
Exercitiul 2. xn = n!
3n,
Exercitiul 3. xn = 1 · 3 · ... · (2n− 1)
2 · 4 · ... · (2n) ,
Exercitiul 4. xn =
2n
n2 .
IV. Inductia matematica
Exercitiul 5. an =√
2 + an−1,∀n ≥ 2, a1 =√
2.
V. Considerand sirul ca o restrictie la multimea N a unei functii.
Exemplul 6. an = −n2 + n − 3, n ≥ 1. Se consider a functia f : R → R, f (x) =−x2+x−3, functia este strict descresc atoare pe [1,∞) ⇒ sirul monoton descresc ator.
Siruri m˘arginite.
Definitia 1. Un sir (an)n∈N se numeste marginit dac a multimea termenilor sirului este m˘ arginit˘ a.
Exemplul 7. an = n
n + 1, 0 <
n
n + 1 < 1, ∀n ≥ 0.
Daca (an)n∈N este monoton crescator atunci el este marginit inferior de primultermen; daca (an)n∈N este monoton descrescator atunci este marginit superior deprimul termen.
Procedee pentru pentru demonstrarea marginirii unui sir
I. Prin majorarea sau minorare
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 49/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 3
Exemplul 8. an = 1 + 1
1! +
1
2! + ... +
1
n!, n ≥ 0.
an = 1 + 11! + 12! + ... + 1n!
> 2,
k! > k (k − 1) ⇒ 1
k! <
1
k (k − 1) =
1
k − 1 − 1
k ⇒
an = 1 + 1
1! +
1
2! + ... +
1
n! < 1 +
1
1! +
1
2 · 1 +
1
3 · 2 + ... +
1
n (n− 1) =
= 1 + 1
1! +
µ1
1 − 1
2
¶+
µ1
2 − 1
3
¶+ ... +
µ 1
n− 1 − 1
n
¶= 3− 1
n < 3,
2 < an < 3.
Exercitiul 6. an = 1 + 1
22 +
1
32 + ... +
1
n2, n ≥ 1.
Exercitiul 7. bn = 1
12 +
1
12 + 22 +
1
12 + 22 + 32 + ... +
1
12 + 22 + ... + n2, n ≥ 1.
II. Folosind monotonia sirului.
Exemplul 9. an =√
2 + an−1, ∀n ≥ 2, a1 =√
2. Din exemplu 5 avem an < an+1 ⇒an <
√ 2 + an ⇒ a2
n − an − 2 < 0 ⇒ an ∈ (−1, 2) , an > 0 ⇒ an ∈ (0, 2) .
Exercitiul 8. xn = 12
µxn−1 +
a
xn−1
¶, x0 > 0, a > 0.
III. Folosind inductia matematica
Exemplul 10. an+1 =¡√
2¢an
, n ≥ 1, a1 =√
2. Evident an > 0, a1 =√
2 < 2.
Presupunem an < 2 ⇒ an+1 =¡√
2¢an
<¡√
2¢2
= 2 ⇒ 0 < an < 2.
IV. Considerand sirul ca o restrict ie la multimea N a unei functii.
Exemplul 11. an = sin π
n2 + 1, n ≥ 0. Se consider a functia f : R → [−1, 1] , f (x) =
sin π
x2 + 1.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 50/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 4
Siruri convergente.
Definitia 2. Un sir de numere (an)n∈N are limita a ∈ R dac a ın orice vecin˘ atate a lui a se a fl˘ a toti termenii sirului cu exceptia unui num˘ ar finit de termeni ai lui, adic a (an)n∈N are limita a dac a ∀V ∈ V (a), ∃nV ∈ N : ∀n ≥ nV ⇒ an ∈ V .
Definitia 3. Un sir de numere (an)n∈N se numeste convergent dac a are limit˘ a ınR. Dac a sirul nu are limit˘ a sau are limit˘ a dar aceasta este ∞ sau −∞ atunci spunemc a sirul este divergent.
Studiul convergentei sirurilorTeorema de caracterizare a sirurilor convergente
Teorema 1. (Teorema de caracterizare a sirurilor convergente) Sirul de nu-
mere (an)n∈N se numeste convergent la a ∈ R dac a si numai dac a ∀ε > 0,∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ nε ⇒ |an − a| < ε.
Exercitiul 9. S a se atate c a sirul an = sin¡
nπ2
¢ nu converge la 1.
Exercitiul 10. S a se calculeze
a) limn→∞
1 + 2 + .. + n
n2 ,
b) limn→∞
C knnk
.
c) limn→∞
22 + 42 + .. + (2n)2
12 + 32 + .. + (2n− 1)2 .
I. Criteriul lui Weiersrass de convergenta: Orice sir monoton si marginit esteconvergent.
Exemplul 12. S a se studieze convergenta sirului an = 54 · 7
7 · 9
10 · ... · 5+2(n−1)
4+3(n−1) .
Rezolvare. Vom studia monotonia si marginirea. Pentru monotonie consideraman − an−1 = 5
4 · 7
7 · 9
10 · ... · 5+2(n−1)
4+3(n−1) − 54 · 7
7 · 9
10 · ... · 5+2(n−2)
4+3(n−2) = 54 · 7
7 · 9
10 · ... ·
5+2(n−2)4+3(n−2)
³5+2(n−1)4+3(n−1) − 1
´= 5
4 · 7
7 · 9
10 · ... · 5+2(n−2)
4+3(n−2) · 2−n4+3(n−2).
Pentru n > 2, an − an−1 < 0, deci sirul este monoton descrescator.
Deoarece sirul este marginit inferior de 0 rezulta ca este convergent.Pentru a calcula limita sa determinam o relatie ıntre an si an+1.
an+1 = 54 · 7
7 · 9
10 · ... · 5+2(n−1)
4+3(n−1) · 5+2n4+3n
= an5+2n4+3n
. Trecand la limita si tinand seamaca lim
n→∞an = lim
n→∞an+1 = a, obtinem
a = 23
a ⇒ a = 0, deci limn→∞
an = 0.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 51/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 5
Exemplul 13. Se consider a sirul an = 1
nk, n ∈ N∗, k ∈ N∗. Atunci lim
n→∞an = 0.
Rezolvare. Deoarece nk > n,∀n ∈ N∗, ∀k ∈ N∗ ⇒ 0 < 1
nk <
1
n si lim
n→∞1
n = 0 ⇒
limn→∞
1
nk = 0.
Exercitiul 11. S a se studieze convergenta sirurilor
a) an = n
2n,
b) an = nn
(n!)2, n ≥ 1,
c) an = 2n
n!, n
≥1,
d) x1 = α
2 (0 < α ≤ 1) , xn =
α
2 +
x2n−12
, n ≥ 2.
e) an = 1
n sin(n!), n ∈ N∗.
II: Criteriul majorarii: Daca (an)n∈N si (bn)n∈N doua siruri, bn ≥ 0, |an − a| ≤bn, ∀n ≥ n0, exista lim
n→∞bn si lim
n→∞bn = 0 atunci lim
n→∞an = a.
Exercitiul 12. Ar atati c a urm˘ atoarele siruri au limita 0:
a) an = 1
1 + 2n, n ≥ 1,
b) an = (−1)n
2n + 1, n ≥ 1,
c) an = sin α
n, n ≥ 1, α ∈ R,
d) an = 1
2 ·
3
4 · ... ·
2n− 1
2n , n ≥ 1.
Indicatie an < 1√ 2n+1
µ2k − 1
2k <
2k
2k + 1
¶.
III. Inmultire cu conjugatul
Exercitiul 13. S a se calculeze limitele a) an =
√ n¡√
n + 1−√ n¢ ,
b) an = 3√
n + 1− 3√
n,
c) an = 3√
n
µ3
q (n + 1)2 − 3
q (n− 1)2
¶.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 52/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 6
IV. Criteriul sirurilor intercalate: Daca an ≤ xn ≤ bn pentru n ≥ n1, exista limn→∞
bn
si si daca limn→∞
an = limn→∞
bn = a atunci limn→∞
xn = a.
Exercitiul 14. limn→∞
à 1
n3/2 +
1
(n + 1)3/2 +
1
(n + 2)3/2 + ... +
1
(2n− 1)3/2
!= 0.
Exercitiul 15. limn→∞
µ 1
(2n)2 +
1
(2n + 1)2 +
1
(2n + 2)2 + ... +
1
(3n− 1)2
¶= 0.
Exercitiul 16. limn→∞
n
√ 6n + 7n = 7
Exercitiul 17. limn→∞n
√ 3n
+ 6n
+ 9n
= 9.
Exercitiul 18. limn→∞
µ 1√ n2 + 1
+ 1√ n2 + 2
+ ... +n1√
n2 + n
¶= 1.
Exercitiul 19. limn→∞
µsin2 π
n + 1 + sin2 π
n + 2 + ... + sin2 π
n + n
¶= 0.
Exercitiul 20. limn→∞
cos π
n + cos
π
n + 1 + ... + cos
π
2nn + 1
= 1.
De retinut inegalitatea n mini=1,2,..,n
xi ≤ x1 + x2 + .. + xn ≤ n maxi=1,..,n
xi.
IV. Teorema cleste: Daca a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b1, existalimn→∞
(bn − an) si limn→∞
(bn − an) = 0, atunci exista limn→∞
bn, limn→∞
an si limn→∞
bn = limn→∞
an.
Exercitiul 21. Se de finesc sirurile
xn = 1 + 1√
2+
1√ 3
+ ... + 1√
n − 2
√ n + 1,
yn = 1 + 1√
2+
1√ 3
+ ... + 1√
n − 2
√ n.
Demonstrati c a cele dou˘ a siruri sunt monotone, m˘ arginite si au aceeasi limit˘ a care
apartine intervalului (−2,−1) .
Exercitiul 22. Se de finesc sirurile a0, b0 ∈ R, a0 < b0 si
an = an−1 + bn−1
2 , bn =
an−1 + 2bn−13
.
S a se arate c a cele dou˘ a siruri sunt convergente si au aceeasi limit˘ a.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 53/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 7
Rezolvare (schematica). Observam ca putem scrie
µ an
bn¶
=µ 1
2
1
213
23
¶µ an−1
bn−1¶
=µ 1
2
1
213
23
¶2µ an−2
bn−2¶
= ... =µ 1
2
1
213
23
¶nµ a0
b0¶µ
12
12
13
23
¶=
µ 1 1−2
3 1
¶µ 16
00 1
¶µ 35 −3
525
35
¶µ
12
12
13
23
¶n
=
µ 1 1−2
3 1
¶µ 16
00 1
¶nµ 35 −3
525
35
¶µ
12
12
13
23
¶n
=
µ 1 1−2
3 1
¶µ ¡16
¢n0
0 1
¶µ 35 −3
525
35
¶=
µ 35
¡16
¢n+ 2
535 − 3
5
¡16
¢n25 − 2
5
¡16
¢n 25
¡16
¢n+ 3
5
¶µ
an
bn
¶=
µ 35
¡16
¢n+ 2
535 − 3
5
¡16
¢n25 − 2
5
¡16
¢n 2
5
¡16
¢n
+ 35
¶µ a0
b0
¶=
µ a0
¡35
¡16
¢n+ 2
5
¢− b0¡35
¡16
¢n − 35
¢b0
¡25
¡16
¢n
+ 35
¢− a0
¡25
¡16
¢n − 2
5
¢
¶
an = a0¡35¡16¢n
+
2
5¢− b0
¡35¡16¢n − 3
5¢
bn = b0¡25
¡16
¢n+ 3
5
¢− a0
¡25
¡16
¢n − 25
¢limn→∞
an = limn→∞
¡a0
¡35
¡16
¢n+ 2
5
¢− b0¡35
¡16
¢n − 35
¢¢= 2
5a0 + 3
5b0
limn→∞
bn = limn→∞
¡b0¡25
¡16
¢n+ 3
5
¢− a0
¡25
¡16
¢n − 25
¢¢= 2
5a0 + 3
5b0
V. Teorema Cesaro-Stolz
Teorema 2. Fie (an)n∈N si (bn)n∈N dou a siruri de numere reale cu propriet at ile:
1. (bn)n∈N este strict monoton si nem arginit ,
2. exist a limn→∞
an+1 − an
bn+1 − bn= A.
Atunci exist ˘ a limn→∞
an
bn = A.
Exercitiul 23. limn→∞
1 +√
2 + 3√
3 + ... + n
√ n
n = 1,
Exercitiul 24. limn→∞
1 + 1√
2+
1√ 3
+ ... + 1√
n√ n
= 2.
Exercitiul 25. limn→∞
1
n
µ 1
ln 2 +
1
ln 3 + ... +
1
ln n
¶= 0.
Exercitiul 26. limn→∞
ln n
nk , k ∈ N.
Exercitiul 27. limn→∞
1 + 1
2 +
1
3 + ... +
1
nln n
= 1.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 54/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 8
Exercitiul 28. limn→∞
1k + 2k + ... + nk
nk+1 =
1
k + 1.
VI. Cosecinte Teorema Cesaro-Stolz
Consecinta 1. Dac a sirul (an)n∈N converge spre a, atunci sirul (S n)n∈N unde
S n = a1 + a2 + ... + an
n ,
converge c atre aceeasi limit a a.
Demonstratie. Aplicam criteriul Cesaro-Stolz sirurilor (S n)n∈N si (n) ,
limn→∞
S n+1− S n
n + 1− n = lim
n→∞an
1 = a.¥
Consecinta 2. Dac ˘ a sirul de numere pozitive (an)n∈N converge spre a, atunci sirul
a1,√
a1a2, ..., n
√ a1a2...an tinde de asemenea c atre a.
Demonstratie. Consideram sirul ln n
√ a1a2...an =
ln a1 + ln a2 + ... + ln an
nAplicam criteriul Cesaro-Stolz sirurilor (ln an)n∈N si (n) ,
limn→∞
ln a1 + ... + ln an + ln an+1 − (ln a1 + ... + ln an)
n + 1− n = lim
n→∞ln an+1
1 = ln a de un-
de rezulta concluzia.¥
Consecinta 3. Dac a sirul de numere µan+1
an ¶n∈N
, converge spre a, an > 0, atunci
si limn→∞
n√ an = a.
Demonstratie. Scriem n
√ an = n
r a1
1
a2
a1· · ·
an
an−1. Aplicand consecinta 2 sirului
b1 = a1
1 , ..., bn =
an
an−1obtinem rezultatul.
Exemplul 14. Sa se calculeze limn→∞
xn, daca xn = un
n , u > 0.
Notam an = un, bn = n. Sirul (bn)n∈N satisface conditiile criteriului lui Cesaro-
Stolz, decilimn→∞
an+1 − an
bn+1 − bn= lim
n→∞un+1− un
n + 1− n = (u− 1) lim
n→∞un,
rezulta
limn→∞
an =
½ 0, daca u ≤ 1,
∞, daca u > 1. .
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 55/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 9
Exercitiul 29. Sa se calculeze limn
→∞
an, daca an =n
√ n!
n .
Rezolvare. Observam ca an = n
r n!
nn. Daca notam bn =
n!
nn, atunci
bn+1
bn=
(n + 1)!
(n + 1)n+1 ·
nn
n! =
nn
(n + 1)n.
Deci
limn→∞
bn+1
bn= lim
n→∞nn
(n + 1)n = lim
n→∞1
(1 + 1n
)n =
1
e.
Conform Consecintei 3 deducem ca limn→∞
an = limn→∞
n
√ bn = lim
n→∞bn+1
bn=
1
e.
Exercitiul 30. Sa se calculeze limn→∞
xn, daca xn = n
√ n.
Rezolvare. Daca notam bn = n, atuncibn+1
bn=
n + 1
n .
Deci
limn→∞
bn+1
bn= lim
n→∞n + 1
n = 1.
Conform Consecintei 3 deducem ca limn→∞
xn = limn→∞
n
√ bn = lim
n→∞bn+1
bn= 1.
Exercitiul 31. S a se calculeze:a) lim
n
→∞
n
√ ln n
b) limn→∞
n
s (n!)2
(2n)!8n,
c) limn→∞
n
√ ln 2 · ln 3 · ... · ln n = ∞,
d) limn→∞
n
q cos1 · cos 1
2 · ... · cos 1n = 1,
e) limn→∞
limn→∞
n
q sin1 · sin 1
2 · ... · sin 1
n = 0.
2. Siruri clasice
Exemplul 15. Fie sirul an = a0nk + a1nk−1 + ... + ak
b0n p + b1n p−1 + ... + b p, a0 6= 0, b0 6= 0, k, p ∈ R+,
b0n p + b1n p−1 + ... + b p 6= 0.
S a se arate c a limn→∞
an =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
a0
b0, dac a k = p,
0, dac a p > k,
∞ sgn a0
b0, dac a p < k.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 56/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 10
Exemplul 16. S a se arate c a
limn→∞
an =⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
0, |a| < 1,
1, a = 1,∞, a > 1,
@, a ≤ −1.
Exemplul 17. S a se calculeze limn→∞
αn + β n
αn+1 + β n+1, α > 0, β > 0.
Exemplul 18. S a se calculeze limn→∞
r 2 · 5n + 3 · 6n
5 · 3n + 6n+1 .
Siruri cu limita e :
Exercitiul 32. an =
µ1 +
1
n
¶n
% e,
an =
µ1 +
1
n
¶n+1
& e,
yn = 1 + 1
1! +
1
2! + ... +
1
n! % e.
Exercitiul 33. limn→∞
¡√ n2 + 2n + 4−√ n2 + 1
¢n−√ n.
Siruri cu limita C .
Exercitiul 34. limn→∞
µ1 +
1
2 +
1
3 + ... +
1
n − ln n
¶= C =constanta lui Euler
Rezolvare. Fie an = 1 + 1
2 +
1
3 + ... +
1
n − ln n.
Monotonia. Folosim rezultateleµ1 +
1
n
¶n
% e,µ1 +
1
n
¶n+1
& e,
deciµ
1 + 1n
¶n
< e <µ
1 + 1n
¶n+1
⇔
n ln
µ1 +
1
n
¶< 1 < (n + 1) ln
µ1 +
1
n
¶⇔
1
n + 1 < ln(n + 1)− ln n <
1
n ⇒
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 57/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 11
n
Xk=1
1
k + 1 <
n
Xk=1
(ln(k + 1) − ln k) <
n
Xk=1
1
k ⇔
nXk=1
1
k + 1 < ln(n + 1) <
nXk=1
1
k ⇒
an+1 − an = 1
n + 1 − ln(n + 1) + ln n =
1
n + 1 − (ln(n + 1)− ln n) < 0 ⇒
an &Marginirea.
0 < ln(n + 1)− ln n <
nXk=1
1
k − ln n = an < 1.
Rezulta sirul este convergent. Notam limn→∞
an = C ∈ (0, 1) . C =consanta lui
Euler.
Exercitiul 35. limn→∞
1 + 1
2 +
1
3 + ... +
1
nln n
= 1.
Exercitiul 36. limn→∞
µ 1
n + 1 +
1
n + 2 +
1
n + 3 + ... +
1
n + n
¶= ln 2.
Indicatie. 1
n + 1+
1
n + 2+
1
n + 3+...+
1
n + n =
µ1 +
1
2 + ... +
1
n +
1
n + 1 + ... +
1
n + n − ln 2n
µ1 +
1
2 +
1
3 + ... +
1
n − ln n¶
+ ln 2
Exercitiul 37. limn→∞
µ 1
n + 1 +
1
n + 2 +
1
n + 3 + ... +
1
kn
¶= ln k.
Indicatie.1
n + 1+
1
n + 2+
1
n + 3+...+
1
kn =
µ1 +
1
2 + ... +
1
kn − ln kn
¶−µ
1 + 1
2 +
1
3 + ... +
1
n − ln n
¶ln k.
2.1. EXERCITII SUPLIMENTARE.
Exercitiul 38. S a se arate c a sirurile an =
µ1 +
1
n
¶n
si bn =
µ1 +
1
n
¶n+1
sunt
descresc ator respectiv cresc ator si au aceeasi limit˘ a.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 58/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 12
Rezolvare. Demonstram ca an = µ1 + 1
n¶n
este crescator. Aplicam inegalitatea
mediilorx1 + x2 + ... + xn+1
n + 1 ≥ n+1
√ x1x2...xn+1
pentru numerele x1 = 1, x2 = x3 = ... = xn+1 = 1 + 1
n ⇒
1 +
µ1 +
1
n
¶+ ... +
µ1 +
1
n
¶n + 1
≥ n+1
s 1 ·
µ1 +
1
n
¶· ... ·
µ1 +
1
n
¶⇒
1 + n + 1
n + 1 ≥ n+1
s µ1 +
1
n
¶n
⇒ 1 + 1
n + 1 ≥ n+1
s µ1 +
1
n
¶n
⇒
µ1 + 1
n + 1
¶n+1
≥ µ1 + 1
n
¶n
⇒ an+1 ≥ an.
Demonstram ca sirul bn =
µ1 +
1
n
¶n+1
este monoton descrescator.
bn+1
bn=
µ1 +
1
n + 1
¶n+2
µ1 +
1
n
¶n+1 =
µn + 2
n + 1
¶n+2
µn + 1
n
¶n+1 =
=
n + 2
n + 1 ·µ
n + 2
n + 1¶n+1
µn + 1
n
¶n+1 =
n + 2
n + 1 ·µn (n + 2)
(n + 1)2¶n+1
=
= n + 2
n + 1 ·
1Ã(n + 1)2
n (n + 2)
!n+1 = n + 2
n + 1 ·
1µ1 +
1
n (n + 2)
¶n+1
Folosim inegalitatea lui Bernoulli (1 + x)n ≥ 1 + nx,∀n ∈ N, ∀x ≥ −1,µ1 +
1
n (n + 2)
¶n+1
≥ 1 + (n + 1) 1
n (n + 2) ⇒
bn+1
bn ≤ n + 2
n + 1·
1
1 + (n + 1) 1n (n + 2)
= n
n + 1
(n + 2)2
n2 + 3n + 1 =
n3 + 4n2 + 4n
n3 + 4n2 + 4n + 1 <
1 ⇒bn+1 ≤ bn.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 59/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 13
Dar an = µ1 + 1
n¶n
≤ µ1 + 1
n¶n
µ1 + 1
n¶ = bn,
a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an ≤ .... ≤ bn ≤ .... ≤ b2 ≤ b1.Rezulta ca sirurile (an) si (bn) sunt convergente si lim
n→∞an = a, lim
n→∞bn = b.
Calculam limn→∞
(bn − an) = limn→∞
õ1 +
1
n
¶n+1
−µ
1 + 1
n
¶n!
=
= limn→∞
µµ1 +
1
n
¶n1
n
¶= lim
n→∞
µ1 +
1
n
¶n
limn→∞
1
n = a · 0 = 0 ⇒
limn→∞
(bn − an) = 0 ⇒ a = b def = e.
Rezulta ca e = supn µ1 +
1
n¶n
= inf n µ1 +
1
n¶n+1
⇒µ1 +
1
n
¶n
< e <
µ1 +
1
n
¶n+1
⇔ n ln
µ1 +
1
n
¶< 1 < (n + 1) ln
µ1 +
1
n
¶⇔
1
n + 1 < ln
µ1 +
1
n
¶<
1
n. (1)
Exercitiul 39. a) S a se demonstreze c a sirul an = 1 + 1
2 +
1
3 + ... +
1
n − ln (n + 1)
este cresc ator.
b) S a se demonstreze c a sirul bn = 1 + 1
2 +
1
3 + ... +
1
n − ln n este descresc ator.
c) S a se demonstreze c a sirurile de la punctele a) si b) sunt convergente si tind c atre aceeasi limit˘ a.
Rezolvare. a) Monotonia
an+1−an = = 1+1
2+
1
3+...+
1
n + 1−ln (n + 2)−
µ1 +
1
2 +
1
3 + ... +
1
n − ln (n + 1)
¶=
= 1
n + 1 − ln (n + 2) + ln (n + 1) =
1
n + 1 − ln
µ1 +
1
n + 1
¶ (1)>
1
n + 1 − 1
n + 1 = 0
⇒ (an) % .
b) Monotonia
bn+1− bn = 1 +
1
2 +
1
3 + ... +
1
n + 1 − ln (n + 1)−µ1 +
1
2 +
1
3 + ... +
1
n − ln n¶
=
= 1
n + 1 − ln (n + 1) + ln n =
1
n + 1 − ln
µ1 +
1
n
¶(1)<
1
n + 1 − 1
n + 1 = 0 ⇒ (bn) & .
c) Demonstram ca sunt siruri intercalate care tind la aceeasi limita.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 60/107
SEMINARUL NR. 10 CTI ANALIZA MATEMATICA 14
an − bn = 1 + 1
2 +
1
3 + ... +
1
n − ln (n + 1) − µ1 +
1
2 +
1
3 + ... +
1
n − ln n¶ =
ln n− ln (n + 1) < 0 ⇒ an < bn ⇒a1 < a2 < ..... < an < ... < bn < .... < b2 < b1,
limn→∞
(an − bn) = limn→∞
ln n
n + 1 = 0 ⇒ lim
n→∞an = lim
n→∞bn = C = 0.577...
Exercitiul 40. S a se studieze convergenta sirului
xn =
s 2 +
3
r 3 + 4
q 4 + 5
p ... + n
√ n, n ≥ 2.
Rezolvare. Monotonia.
n√ n < np
n + n+1√ n + 1 ⇒ xn =
s 2 + 3
r 3 + 4
q 4 + 5
p ... +
n√ n < xn =v uut
2 + 3s
3 + 4r
4 + 5q
xn+1 ⇒ (xn) % .
Marginirea.x2 =
√ 2 < xn.
2n = (1 + 1)n = 1 + n + n (n + 1)
2 + .... ≥ n + 2,∀n ≥ 2 ⇒ 2 ≥ n
√ n + 2 ⇒
n
√ n + 2 ≤ 2
xn =
s 2 +
3
r 3 + 4
q 4 + 5
p ... + n
√ n <
s 2 +
3
r 3 +
4
q 4 + 5
p ... + n
√ n + 2 ≤
v uut
2 + 3
s 3 +
4
r 4
... ≤p 2 + 3√ 3 + 2 ≤ √ 2 + 2 = 2 ⇒√ 2 < xn ≤ 2 ⇒ (xn) convergent.
Exercitiul 41. S a se studieze convergenta sirului xn = xn−1 (2− xn−1) , x0 ∈ (0, 1) .
Rezolvare. Se demonstreaza prin inductie ca xn ∈ (0, 1) si ca este monotoncrecator. Se trece la limita ın relkatia de recurenta si rezulta ca lim
n→∞xn = 1.
Exercitiul 42. S a se studieze convergenta sirului
xn =n
Xk=1
log 1
2
k2 + 2k
(k + 1)2 .
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 61/107
SEMINARUL NR. 11 ANALIZA MATEMATICA 1
1. SIRURI CAUCHY
Definitia 1. Un sir (an)n∈N
se numeste sir Cauchy sau sir fundamental dac a
∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n, m ≥ nε, |am − an| < ε, (1)
sau, ıntr-o formulare echivalent˘ a,
∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ nε si ∀ p ∈ N, |an+ p − an| < ε. (2)
Un sir (an)n∈N se numeste sir Cauchy sau sir fundamental dac a
∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n, m ≥ nε, |am − an| < ε, (3)
sau, ıntr-o formulare echivalent˘ a,
∀ε > 0, ∃nε ∈ N astfel ıncat ∀n ≥ nε si ∀ p ∈ N, |an+ p − an| < ε. (4)
Teorema 1. (Criteriul general al lui Cauchy) Un sir (an)n∈N este convergentdac a si numai dac a este sir Cauchy.
Exercitiul 1. S a se deduc a ın dou˘ a moduri, dintre care unul dup˘ a de finitie, c a sirul xn = 1
n2, n ∈ N
∗, este sir Cauchy.
Rezolvare. Metoda 1 conform definitiei sirurilor Cauchy.
∀ε > 0,
∃nε
∈N astfel ıncat
∀n
≥nε si
∀ p
∈N,|xn+ p
−xn| < ε,
|xn+ p − xn| =¯
1(n+ p)2
− 1n2
¯= 1
n2 · 2np+ p
2
(n+ p)2 < 1
n2 < 1
n ⇒ nε =
£1ε
¤ + 1.
Metoda 2. limn→∞
xn = 0 si orice sir convergent este sir Cauchy.
Exercitiul 2. S a se arate c a sirul xn = 1 + 1√ 2 + 1√
3 + ... + 1√
n nu este sir Cauchy, nu
este convergent ın R si are limit˘ a ın R.
Indicatie. Se arata ca nu este sir Cauchy aratand ca |x2n − xn| = 1√ n+1
+...+ 1√ 2n
>1
n+1 + ... + 1
2n > 1
n+n + ... + 1
2n = n
2n = 1
2, deci nu este convergent ın R.
Sirul este monoton crescator, deci ∃ sup xn ∈ R si limn→∞
xn = sup xn = ∞.
Exercitiul 3. S a se studieze dac a urm˘ atoarele siruri sunt siruri Cauchy.
a) xn =nP
k=0
1k!
, ∀n ∈ N;
b) xn =nP
k=0
ak,∀n ≥ 1, n ∈ N unde a ∈ R, |a| < 1;
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 62/107
SEMINARUL NR. 11 ANALIZA MATEMATICA 2
c) xn =n
Pk=1
sinkak
,∀n ≥ 1, n ∈ N unde a ∈ R, a > 1;
d) xn = nPk=1
coskk(k+1)
,∀n ≥ 1, n ∈ N;
e) xn =nP
k=1
sin(2k)2k(2k+1)
,∀n ≥ 1, n ∈ N ;
f) xn =nP
k=1
12k(k+1)(k+2)
, ∀n ≥ 1, n ∈ N;
g) xn =nP
k=1
2k
3kk2,∀n ≥ 1, n ∈ N.
2. SERII NUMERICE
Exercitiul 4. S a se calculeze termenul general al sirului sumelor partiale si s a se
calculeze suma urm˘ atoarelor serii de numere reale:
a)+∞Pn=0
(−1)n
3n ; b)
+∞Pn=1
1
16n2 − 8n− 3;
c)+∞Pn=1
1
(2n− 1)(2n + 1)(2n + 3), d)
+∞Pn=1
1
n(n + 1)(n + 2),
e)+∞Pn=1
1
4n2 − 1; f)
+∞Pn=2
ln(1− 1
n2);
g)+∞Pn=1
√ 2n + 1−√ 2n− 1√
4n2 − 1;
Exercitiul 5. S a se studieze natura urm˘ atoarelor serii de numere reale folosind cri-teriul comparatiei:
a)+∞Pn=2
arcsin 2n
4n2 − 1; b)
+∞Pn=1
1√ 2n
,
c)+∞Pn=1
an
n√
n!, a > 0 d)
+∞Pn=1
sin2 (an)
n2 ,
e)+∞Pn=1
n + 2
n3 + n + 1, f)
+∞Pn=1
n + 2
n2 + n + 1.
g)+∞
Pn=1
1
3n + a, a > 0.
Exercitiul 6. S a se studieze natura urm˘ atoarelor serii de numere reale folosind cri-teriul raportului sau Raabe-Duhamel:
a)+∞Pn=0
nan
, a > 0,
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 63/107
SEMINARUL NR. 11 ANALIZA MATEMATICA 3
b)+∞
Pn=1
alnn, a > 0,
Rezolvare. an = alnn > 0,∀n ∈ N.
limn→∞
an =
⎧⎨⎩
0, 0 < a < 11, a = 1∞, a > 1
.. Deci pentru a ≥ 1 seria este divergenta. Pentru
0 ≤ a < 1 aplicam criteriul raportului, limn→∞
an+1
an= lim
n→∞aln(n+1)
alnn = lim
n→∞aln(n+1)−lnn =
limn→∞
aln n+1
n = 1. Acest criteriu nu ne furnizeaza informatii asupra naturii seriei.
Aplicam criteriul radacinii limn→∞
n√
alnn = limn→∞
alnn
n = 1, Acest criteriu nu ne
furnizeaza informatii asupra naturii seriei.Aplicam criteriul lui Raabe-Duhamel,
limn→∞
n¡
alnn−ln(n+1)− 1¢
= limn→∞
n³
aln n
n+1 − 1´
= limn→∞
aln nn+1 − 1
ln nn+1
n ln n
n + 1 =
= ln a ln e−1 = − ln a
Daca − ln a > 1 ⇒ ln a < −1 ⇒ a < 1
e ⇒ seria este convergenta, 0 < a <
1
e
Daca − ln a < 1 ⇒ ln a > −1 ⇒ a > 1
e ⇒ a ∈
µ1
e, 1
¶⇒seria este divergenta.
Pentru a = 1
e ⇒ an = e− lnn =
1
n, seria
+∞Pn=1
1n
este divergenta.
c) 2 + (−1)n
2n+(
−1)n
, n
∈N; d)
+∞
Pn=0
n(n + 1)
(−a)n
, a > 0;
e)+∞Pn=1
1
n(−1)n + n; f)
+∞Pn=1
ln(1 + an), a ≥ 0.
Rezolvare. an = ln(1+ an), limn→∞
an =
⎧⎨⎩
0, 0 ≤ a < 11, a = 1∞, a > 1
. Deci pentru a ≥ 1 seria
este divergenta conform conditiei necesare de convergenta a seriilor. Pentru 0 ≤ a < 1
aplicam criteriul raportului, limn→∞
an+1
an= lim
n→∞ln(1 + an+1)
ln(1 + an) =
= limn→∞
ln(1 + an+1)
an+1
an
ln(1 + an)
an+1
an = a.
Exercitiul 7. S a se studieze natura urm˘ atoarelor serii de numere reale folosind cri-teriul r ad acinii sau Raabe-Duhamel:
a)+∞Pn=1
µn2 − 5n + 1
n2 − 4n + 2
¶n2
; b)+∞Pn=1
µn + a
n + b
¶n2
, a 6= b, a, b ∈ R+.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 64/107
SEMINARUL NR. 11 ANALIZA MATEMATICA 4
c)+∞
Pn=1
n
µarcsin
1
n
¶n
; d)+∞
Pn=1
lnnµ
2n + 1
n
¶
e)+∞Pn=1
an+1
n , a ≥ 0;
Exercitiul 8. S a se stabileasc a natura seriilor alternante:
a)+∞Pn=1
(−1)n−1n
2n , b)
+∞Pn=1
(−1)n+1 (n + 1)n+1
nn+2 ,
c)+∞Pn=1
(−1)n−1n
4n + 5 ,
d)∞
Xn=1
(
−1)n
arctg 1n
cos 1
n
,
Rezolvare. Aplicam criteriul lui Leibniz. Demonstram ca sirul an = arctg 1
n
cos 1n
este
monoton descrescator si convergent la zero.
0 < 1
n ≤ 1 ⇒ 0 < arctg
1
n ≤ π
4,
1
n + 1 <
1
n ⇒ arctg
1
n + 1 < arctg
1
n,
cos 1
n + 1 > cos
1
n ⇒ 1
cos 1
n + 1
< 1
cos 1
n
⇒ arctg 1n+1
cos 1n+1
<arctg 1
n
cos 1n
⇒ an+1 < an,
limn
→∞
an = limn
→∞
arctg 1n
cos 1
n
= 0 ⇒seria∞
Xn=1
(−1)narctg 1
n
cos 1
n
este convergenta.
e)+∞Pn=1
h(−1)n
n2 + arctg
(−1)n
n
i;
Rezolvare. Seria se poate scrie ca suma a doua serii si studiem convergenta fiecareiserii ın parte
+∞Pn=1
h(−1)n
n2 + arctg
(−1)n
n
i =
+∞Pn=1
(−1)n
n2 +
+∞Xn=1
arctg (−1)n
n .
Consideram seria+∞Pn=1
(−1)n
n2 . Este o serie armonica alternanta si este convergenta
conform crtiteriului lui Leibniz.
Consider˘am seria
+∞Pn=1 arctg
(
−1)n
n .
Functia arctg este o functie impara, deci arctg (−1)n
n = (−1)n arctg
1
n. Seria
devine+∞Pn=1
arctg (−1)n
n =
+∞Xn=1
(−1)n arctg 1
n, serie alternanta si satisface criteriul lui
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 65/107
SEMINARUL NR. 11 ANALIZA MATEMATICA 5
Leibniz (
µarctg
1
n
¶n
∈N
este monoton descrescaror convergent la zero).
Exercitiul 9. S a se studieze dac a seriile de mai jos sunt absolut convergente, semi-convergente sau divergente:
a)+∞Pn=1
(−1)n+1
√ n
, b)+∞Pn=1
(−1)n−1 3n
(2n− 1)n ,
c)+∞Pn=1
αn
µ1 +
1
n
¶n
, d)+∞Pn=1
sin nx
5n .
Exercitiul 10. (suplimentar)S a se studieze convergenta seriilor:
a)
+∞Pn=1
1
n sin
1
n , b)
+∞Pn=2
1n√ ln n(ln n < n),
c)+∞Pn=1
n!
nn, d)
+∞Pn=1
n!
2nn2,
e)+∞Pn=1
(−1)n n
2n f)
+∞Pn=1
nα
2n , α > 0,
g)+∞Pn=1
an
n , h)
+∞Pn=1
an
n√
n!.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 66/107
SEMINARUL NR. 12 ANALIZA MATEMATICA 1
1. Serii de puteri
Exercitiul 1. S a se determine multimea de convergent˘ a si suma, dac a este posibil,
pentru urm˘ atoarele serii de puteri:
a)+∞Pn=1
2n
n xn, x ∈ R;
Rezolvare. Notam an = 2n
n , n ∈ N, calculam raza de convergenta a seriei
R = limn→∞
|an|
|an+1| = lim
n→∞
2n
n
n + 1
2n+1 =
1
2.
Rezulta ca seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈µ−1
2, 1
2
¶si diver-
genta pentru x ∈ µ−∞,−1
2¶ ∪µ1
2 ,∞¶ .
Pentru x = −1
2 obtinem seria
+∞Pn=1
2n
n
(−1)n
2n =
+∞Xn=1
(−1)n
n care este semiconver-
genta.
Pentru x = 1
2 obtinem seria
+∞Pn=1
2n
n
1
2n =
+∞Xn=1
1
n care este divergenta.
Concluzie: seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈µ−1
2, 1
2
¶, diver-
genta pentru x∈ µ−∞,
−1
2¶ ∪ ∙1
2,∞¶ si semiconvergenta pentru x =
−1
2.
b)+∞Pn=1
1
n2xn, x ∈ R;
Rezolvare. Notam an = 1
n2, n ∈ N, calculam raza de convergenta a seriei
R = limn→∞
|an|
|an+1| = lim
n→∞
(n + 1)2
n2 = 1.
Rezulta ca seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈ (−1, 1) si divergentapentru x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞) .
Pentru |x| = 1 obtinem seria+∞
Pn=1
1
n2 care este convergenta.
Concluzie: seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈ [−1, 1] , divergentapentru x ∈ (−∞,−1) ∪ (1,∞) .
c)+∞Pn=1
n!
3nxn;
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 67/107
SEMINARUL NR. 12 ANALIZA MATEMATICA 2
d)+∞
Pn=1
an2
xn, a > 0;
Rezolvare. Notam an = an2 ⇒ np
|an| = n√ an2 = an.
Pentru 0 < a < 1 ⇒ limn
n
p |an| = 0 ⇒ R = ∞
Pentru a > 1 ⇒ limn
n
p |an| = ∞⇒ R = 0
Pentru a = 1 ⇒ R = 1 seria geometrica convergenta pentru ∀x ∈ (−1, 1) .
e)+∞Pn=1
2n+1
n (x + 1)n, x ∈ R;
Rezolvare. Notam an = 2n+1
n , n ∈ N, calculam raza de convergenta a seriei
R = limn→∞
|an|
|an+1| = lim
n→∞
2n+1
n
n + 1
2n+2 =
1
2.
Rezulta ca seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈µ−3
2,−1
2
¶ si
divergenta pentru x ∈µ−∞,−3
2
¶∪µ−1
2,∞¶
.
Pentru x = −3
2 obtinem seria
+∞Pn=1
2n+1
n
(−1)n
2n =
1
2
+∞Xn=1
(−1)n
n care este semicon-
vergenta.
Pentru x = 1
2 obtinem seria
+∞Pn=1
2n+1
n
1
2n =
1
2
+∞Xn=1
1
n care este divergenta.
Concluzie: seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈ µ−32
,−12
¶, di-
vergenta pentru x ∈µ−∞,−3
2
¶∪∙−1
2,∞¶
si semiconvergenta pentru x = −3
2.
f )+∞Pn=1
1
n2(x− 2)n, x ∈ R;
g)∞Xn=1
(x− 1)n
ln (n + 1);
h)∞
Xn=1
n + 1√ 1 + 2n
xn;
i)∞Xn=1
n!xn;
j)∞Xn=1
3−nµ
n + 1
n
¶n2
(x + 1)n
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 68/107
SEMINARUL NR. 12 ANALIZA MATEMATICA 3
k)∞
Xn=1
nn
n!xn;
l)∞Xn=1
(x− 1)n
ln (n + 1).
Exercitiul 2. S a se g aseasc a suma seriilor:
a)+∞Pn=1
n2xn.
Rezolvare. Tinem seama ca n poate sa apara ın fata lui xn prin operatie dederivare. Astfel, stiind ca
1 + x + x2 + ... + xn + ... = 1
1− x
,
∀x
∈(−
1, 1)
prin derivare termen cu termen obtinem:
1 + 2x + 3x2 + ... + nxn−1 + ... = 1
(1− x)2, ∀x ∈ (−1, 1)
Pentru a aparea drept coeficient ınca un n, este suficient sa efectuam o ınmultirea relatiei precedente cu un x si o deivare,
x + 2x2 + 3x3 + ... + nxn + ... = x
(1− x)2,∀x ∈ (−1, 1)
1 + 22x + 32x2 + ... + n2xn−1 + ... =
µ x
(1− x)2
¶0
,∀x ∈ (−1, 1)
1 + 22x + 32x2 + ... + n2xn−1 + ... = 1 + x
(1−
x)3,
∀x
∈(
−1, 1)
Amplificand iar cu x se obtine sume seriei cautate:
x + 22x2 + 32x3 + ... + n2xn + ... = x (1 + x)
(1− x)3 , ∀x ∈ (−1, 1) .
Studiem daca egalitatea este adevarata ın capetele intervalului de convergenta.
Pentru x = 1 seria devine+∞Pn=1
n2 care este divergenta (termenul general nu converge
la zero). La fel ın x = −1.
b)+∞Pn=1
x4n−3
4n− 3;
c)+∞
Pn=1
n3xn;
d)+∞Pn=1
(−1)n (n + 1)2 xn.
Exercitiul 3. S a se reprezinte sub forma unei serii de puteri functiile:
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 69/107
SEMINARUL NR. 12 ANALIZA MATEMATICA 4
a) f (x) = arcsin x.
Rezolvare. Observ˘
am c˘
a (arcsin x)
0
=
1
√ 1− x2 .Consideram seria binomiala:
(1+x)α = 1+ α
1!x+
α(α− 1)
2! x2+ ...+
α(α− 1)...(α− n + 1)
n! xn+..., ∀x ∈ (−1, 1) .
Consideram α = −1
2 si obtinem
1√ 1 + x
= 1− 1
2 · 1!x +
1 · 3
222!x2− 1 · 3 · 5
233! x3 + ... + (−1)n
1 · 3 · 4 · ... · (2n− 1)
2nn! xn +
....,∀x ∈ (−1, 1) .
Pe de alta parte trecem x →−x2 si obtinem:1√
1
−x2
= 1 + 1
2 · 1!x2 +
1 · 3
222!x4 +
1 · 3 · 5
233! x6 + ... +
1 · 3 · 4 · ... · (2n− 1)
2nn! x2n +
....,∀x ∈ (−1, 1) .Teorema de integrare a seriilor de puteri ne conduce la
arcsin x = x+ 1
2 · 1! · 3x3+
1 · 3
222! · 5x5+
1 · 3 · 5
233! · 7x7+...+
1 · 3 · 4 · ... · (2n− 1)
2nn! · (2n + 1) x2n+1+
....,∀x ∈ (−1, 1) ,
adica reprezentarea ın serie de puteri a functiei arcsin x.
Luand x = 1
2, obtinem:
π
6 =
1
2 +
1
24 · 1! · 3 +
1 · 3
272! · 5 +
1 · 3 · 5
233! · 7x7 + ... +
1 · 3 · 5 · ... · (2n− 1)
23n+1n! · (2n + 1) + ....
cu ajutorul careia se poate afla valoarea lui π cu aproximatie.
b) f (x) = 1
1 + x,
c) f (x) = 1
x2 − 3x + 2,
d) f (x) =√
1 + x3,
d) f (x) = arcsin x.
Exercitiul 4. Fie seria logaritmic a +∞Pn=1
(−1)n−11
nxn. S a se determine multimea de
convergent˘ a si suma ei.
Rezolvare. Determinam raza de convergenta R = limn→∞
|an|
|an+1|
= limn→∞
n + 1
n
= 1.
Seria este absolut convergenta pentru x ∈ (−1, 1) si divergenta pentru x ∈ (−∞,−1)∪(1,∞) . In x = 1 seria este seria armonica alternanta si este convergenta, iar ın x = −1obtinem seria armonica care este divergenta.
Concluzie: seria de puteri este absolut convergenta pentru x ∈ (−1, 1) , divergentapentru x ∈ (−∞,−1) ∪ [1,∞) si semiconvergenta pentru x = −1.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 70/107
SEMINARUL NR. 12 ANALIZA MATEMATICA 5
Pentru a calcula sume seriei consideram seria geometrica
1−
x + x2
−x3 + ... + (
−1)nxn + ... =
1
1 + x,∀
x∈
(−
1, 1) .
Integram seria pe intervalul [0, x] ⊂ (−1, 1) ⇒ x− 1
2x2 + 1
3x3− ... + (−1)n−1
1
nxn +
... = ln(1 + x), ∀x ∈ (−1, 1] .
Exercitiul 5. Fie seria exponential a +∞Pn=0
1
n!xn. S a se determine multimea de convergent˘ a
si suma ei.
Rezolvare. Determinam raza de convergenta R = limn→∞
|an|
|an+1| = lim
n→∞
(n + 1)!
n! =
∞. Seria este absolut convergenta pentru x
∈R
Pentru a calcula sume seriei consideram s(x) =+∞Pn=0
1
n!xn. Derivam seria termen
cu termen s0(x) =+∞Pn=1
n
n!xn−1 =
+∞Xn=1
1
(n− 1)!xn−1 =
+∞Xn=0
1
n!xn = s(x).
Rezulta s0(x)
s(x) = 1 ⇒ ln s(x) = x + C 0 ⇒ s(x) = Cex, unde C = eC
0
. Dar
s(0) = 1 ⇒ C = 1 ⇒ s(x) = ex, deci+∞Pn=0
1
n!xn = ex.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 71/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 1
1. Limite de siruri ın Rk
Exercitiul 1. S a se studieze convergenta sirurilor si s a se calculeze limita sirurilor cu termenul general:
a) (xn, yn) =
µ n
n− 1,
n
2 + (−1)n
¶,
b) (xn, yn) =
Ã3n
nn,
nXk=0
1
k!
!,
c) (xn, yn, z n) =
µ1
n!, (−1)n
n2 ,
µ n
n + 1
¶n¶,
d) (xn, yn, z n) =
µ 1
2n + (−1)n,
n2
n + 1, 1
n − n
¶
2. Limite de functii ın R
Exercitiul 2. Folosind de finitia limitei unei functii ıntr-un punct, s a se arate c a a) lim
x→2(2x + 1) = 5,
b) limx→0
x cos 1
x = 0,
c) f (x) = sign x nu are limit˘ a ın x = 0.
d) f (x) = sin 1
x nu are limit˘ a ın x = 0
e) limx→2
(2x2 + 1) = 9,
f) limx→1
1
x2 = 1,
g) limx→∞
x2 + 1
x + 2 = ∞.
Rezolvare.a) Demonstram ca pentru orice sir (xn)
n∈N ⊂ R, cu xn → 2, xn 6= 2, existalimn→∞
f (xn) si aceasta este egala cu 5.
Fie (xn)n∈N ⊂ R, cu xn → 2, xn 6= 2 ⇒ |f (xn)− 5| = |2xn + 1 − 5| = |2xn − 4| =2 |xn − 2|→ 0 folosind cunostinte legate de operatii cu limite de siruri.
c) Vom arata ca exista subsiruri (x0n)n∈N ⊂ R, cu x0n → 0, xn 6= 0 si (x00n)n∈N ⊂ R,
cu x00n →
0, xn 6= 0 astfel ıncat f (x0n) = 1 s i f (x00n) =
−1 de unde va rezulta ca
f (x) = sign x nu are limita ın x = 0.Alegem x0n & 0 si x00n % 0 ⇒ f (x0n) = sign x0n = −1 si f (x00n) = sign x00n = 1 Rezulta
ca f nu are limita ın x = 0.
g) Demonstram ca pentru orice sir (xn)n∈N ⊂ R, cu xn →∞, exista lim
n→∞f (xn) si
aceasta este egala cu ∞.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 72/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 2
Fie (xn)n∈N ⊂ R, cu xn → ∞⇒ |f (xn)| = ¯x2n + 1
xn + 2 ¯ > ¯x2n
xn + 2 ¯ >xn
→∞⇒ ∃n1 ∈ N a.ı.
∀n ≥ n1 : xn > 2
>
¯¯ x2
n
xn + xn
¯¯ =
¯xn
2
¯→∞.
Exercitiul 3. S a se stabileasc a dac a urm˘ atoarele functii au limit˘ a ın punctul x0
indicat:
a) f : R\ {0}→ R, f (x) = 1
x, x0 = 0,
b) f : R\ {0}→ R, f (x) = 1
x2, x0 = 0,
c) f : R\ {0}→ R, f (x) =
⎧⎪⎨⎪⎩
1x2
pentru x < 0
− 1
x3 pentru x > 0
, x0 = 0,
c) f : R→ R, f (x) =
½ 3x + 2 pentru x ≤ 35x + 1 pentru x > 3
, x0 = 3,
d) f : R→ R, f (x) =
( x +
|x|
x pentru x 6= 0
1 pentru x = 0, x0 = 0.
2.1. Limite clasice.
Observatia 1. Amintim c a prin functie elementar a ıntelegem una din urm˘ atoarele functii:
-functiile polinomiale,-functiile putere xα, α ∈ R,
-functiile rationale (caturi de functii polinomiale),-functii exponerntiale ax, a > 0,
-functii logaritmice loga x, a > 0, a 6= 1,
-fjnctiile trigonometrice fundamentale sin, cos,tg,ctg,
-functiile trigonometrice inverse arcsin, arccos, arctg, arcctg.
Limitele functiilor elementare, limite care nu conduc la cazuri de nedeterminare,
se calculeaz ˘ a ˆ
ınlocuind pe x cu x0.
Reamintim cateva limite importante1. lim
x→∞ax, a > 0, a 6= 1
Cazul I. Daca a > 1 ⇒ graficul lui f (x) = ax este (Fig. 13.1.)2x
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 73/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 3
-4 -2 0 2 4
10
20
30
x
y
Observam ca functia este strict crescatoare si limx→∞
ax = ∞Cazul II. Daca a ∈ (0, 1) ⇒ graficul lui f (x) = ax este (Fig. 13.2.)
-3 -2 -1 0 1 2 3
10
20
x
y
Fig. 13.2.
Observ˘
am c˘
a functia este strict descresc˘
atoare si limx→∞a
x
= 0.2. Limita unei functii logaritmice la ∞ si la 0, lim
x→∞loga x , a > 0, a 6= 1 s i
limx→0
loga x, a > 0, a 6= 1.
Cazul I. Daca a > 1 ⇒ graficul lui f (x) = loga x este (Fig. 13.3.)
2 4 6
-1
0
1
2
x
y
Fig. 13.3.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 74/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 4
Observam ca functia este strict crescatoare si
limx→∞
loga x = ∞ iar limx→0
loga x = −∞.
Cazul II. Daca a ∈ (0, 1) ⇒ graficul lui f (x) = loga x este (Fig. 13.4.)
1 2 3 4 5
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
x
y
Fig. 13.4.
Observam ca functia este strict descrescatoare silimx→∞
loga x = −∞ iar limx→0
loga x = ∞.
3. Limitele unor functii trigonometrice a) directe sau b) inverse.a) @ lim
x→∞sin x si @ lim
x→∞cos x (functiile periodice neconstante nu au limita la ∞
pentru ca ele pot lua, ın vecinatatea lui ∞ oricare din valorile f (x) cu x ∈ [0, T ] , T fiind perioada principala a lui f ).
Graficul functiei f (x) = sin x (Fig. 13.5.)
-4 -2 2 4
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
Fig. 13.5.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 75/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 5
Graficul functiei f (x) = cos x (Fig. 13.6.)cos x
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
Fig. 13.6.
Graficul functiei f (x) = tgx (Fig. 13.7.)
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
x
y
Fig. 13.7.
Observam ca limx%π
2
tgx = ∞, limx&π
2
tgx = −∞.
Graficul functiei f (x) = ctgx (Fig. 13.8.)
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 76/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 6
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
x
y
Fig. 13.8.
Observam ca limx%0
ctgx = −∞, limx&0
ctgx = ∞.
b) arctg : R→³−π
2, π
2
´.
-4 -2 2 4
-1.5-1.0
-0.5
0.5
1.0
1.5
x
y
Fig. 13.9.
limx→∞
arctgx = π
2, limx→−∞
arctgx = −π
2,
Limitele se pot observa din graficul functiei tgx sau a functiei arctgx (Fig. 13.9.).arcctg : R→ (0, π) .
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 77/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 7
-6 -4 -2 0 2 4 6
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
y
Fig. 13.10.
limx→∞
arctgx = 0, limx→−∞
arctgx = π,
Limitele se pot observa din graficul functiei tgx sau a functiei arctgx (Fig. 13.10.).
2.2. Limite remarcabile.
1. limx→0
sin x
x = 1, lim
x→a
sin u(x)
u(x) = 1 daca lim
x→au(x) = 0,
2. limx→0
tg x
x = 1, lim
x→a
tg u(x)
u(x) = 1 daca lim
x→au(x) = 0,
3. limx→0
arcsin xx = 1, lim
x→aarcsin u(x)u(x) = 1 daca lim
x→au(x) = 0,
4. limx→0
arctg x
x = 1, lim
x→a
arctg u(x)
u(x) = 1 daca lim
x→au(x) = 0,
5. limx→0
µ1 +
1
x
¶x
= e, limx→a
µ1 +
1
u(x)
¶u(x)
= e daca limx→a
u(x) = ±∞,
6. limx→0
ln(1 + x)
x = 1, lim
x→a
ln(1 + u(x))
u(x) = 1 daca lim
x→au(x) = 0.
Exercitiul 4. S a se calculeze urm˘ atoarele limite:
a) limx→∞
x + 1
2x2 − 3x, b) lim
x→−∞
−x3 + 1
2x2 − 3x,
c) limx→∞
x2 + 1
2x2 + 3x, d) lim
x→1
4
log 1
2x,
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 78/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 8
e) limx→3
log 1
2x, f) lim
x&0lg x,
g) limx→∞ ln x, h) limx→0 sinx
+ sin 2x
x ,
i) limx→π
2
1− sin x
(π − 2x)2, j) lim
x→0
sin(x sin(2x sin3x))
x3 ,
k) limx→−1
sin π(x + 1)3√
x + 1 , l) lim
x→3
arcsin(x2 − 9)
arctg(x2 − 4x + 3),
m) limx→1
3
arcsin(1− 3x)
tg(9x2 − 1) , n) lim
x→0
sin(tg 2x)
tg(arcsin 3x),
o) limx→0
ln(1 + arctg 2x)
ln(1 + tg 3x) , p) lim
x→−1
ln(1 + tg(x + 1))
ln(1 + arcsin 3(x + 1)),
q) limx→0
etg 3x
−1
2x , r) limx→0
earcsin3x
−1
2x ,
s) limx→0
23x − 2x
24x − 23x, t) lim
x→1
xm − 1
xn − 1,
u) limx→0
htg³π
4 + x
´i 1
sinx
, v) limx→0
µsin x
x
¶ sinx
x−sinx
,
w) limx→π
6
¡√ 3 tg x
¢tg 3x, x) lim
x&0xx,
y) limx→0
1
x2 ln(cos x), z) lim
x→∞x2³
e1x − e
1x+1
´.
3. Limite de functii ın Rk
Exercitiul 5. Folosind de finitia limitei unei functii ıntr-un punct, s a se arate c a a) lim
(x,y)→(1,3)(3 + 2xy) = 9,
b) lim(x,y)→(3,2)
x
y2 =
3
4,
c) lim(x,y)→(1,1)
x2y
x2 + y2 =
1
2,
d) lim(x,y)→(2,5)
x2
y =
4
5.
Rezolvare.
a) Observam ca functia a carei limita se calculeaza este definita pe R, deci (1, 3)apartine multimii de definitie. (! este suficient sa fie punct de acumulare).
Pentru ∀ (xn, yn) → (1, 3), (xn, yn) 6= (1, 3) |f (xn, yn)− 9| = |3 + 2xnyn − 9| =|2xnyn − 6| = 2 |xnyn − 3|→ 0
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 79/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 9
Exercitiul 6. S a se stabileasc a dac a exist˘ a limitele iterate si limita global a ın origine pentru urm˘ atoarele functii:
a) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = xyx2 + y2
,
b) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = xy2
x2 + y4,
c) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = (x + y)2 cos 1
y cos
1
x,
d) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = x3y2 sin y + x2y3 sin x
x4 + y4 ,
e) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = 3x2y
x2 + y2,
f) f : R2
\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) =
xy2 + x2y
x2 + y2 ,
h) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = y cos 1
x,
i) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = x2 + y2
|x| + |y|,
j) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = x2 sin2 y
x2 + 2y2,
h) f : R2\ {(0, 0)}→ R, f (x, y) = xy cos y
3x2 + y2.
Rezolvare.
a) Observam ca (0, 0) este punct de acumulare pentru R2\ {(0, 0)} . Calculamlimita ın (0, 0) de-a lungul axelor de coordonate.
De-a lungul axei Ox,y = 0: astfel limx→0
f (x, 0) = limx→0
0
x2 = 0.
De-a lungul axei Oy,x = 0 : astfel limy→0
f (0, y) = limy→0
0
y2 = lim
y→0y = 0.
Limitele exista si sunt egale, dar nu rezulta ca limita globala ın zero exista.Este posibil ca functia sa aiba limita ın punctul (0, 0) .
Calculam limita de-a lungul dreptelor care trec prin origine. Ecuat ia unei dreptecare trece prin origine este y = mx.
lim(x,mx)→(0,0)
xy
x2 + y2
= limx→0
mx2
x2 + m2x2
= limx→0
m
1 + m2
= m
1 + m2
.
Concluzie: valoarea limitei depinde de directia dupa care punctul (x, y) se apropiede origine, deci functia nu are limita ın (0, 0) .
d) Observam ca (0, 0) este punct de acumulare pentru R2\ {(0, 0)} . Calculamlimita ın (0, 0) de-a lungul axelor de coordonate.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 80/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 10
De-a lungul axei Ox,y = 0 : astfel limx→0
f (x, 0) = limx→0
0
x4 = 0.
De-a lungul axei Oy,x = 0 : astfel limy→0
f (0, y) = limy→0
0y4 = lim
y→0y = 0.
Limitele exista si sunt egale, dar nu rezulta ca limita globala ın zero exista.Este posibil ca functia sa aiba limita ın punctul (0, 0) si anume egala cu 0.
Obervam ca putem face majoraari care sa ne conduca la calculul limitei
0 ≤ |f (x, y)− 0| ≤¯¯x3y2 sin y + x2y3 sin x
x4 + y4
¯¯ ≤ |x3y2 sin y + x2y3 sin x|
x4 + y4 ≤
≤ x2y2 |x| + x2y2 |y|
x4 + y4
x4+y4≥2x2y2
≤ x2y2 |x| + x2y2 |y|
2 (x2 + y2) ≤ 1
2 (|x| + |y|) .
Pentru ∀ (xn, yn) → (0, 0), (xn, yn) 6= (0, 0) obtinem0
≤ lim
(xn,yn)→
(0,0)
|f (xn, yn)|
≤ lim
(xn,yn)→
(0,0)
12 (|xn| + |yn|) = 0.
Concluzie: functia are limita 0 ın origine.
Exercitiul 7. Fie campul scalar f : R2\ {(1, 0)}→ R, f (x, y) = (x− 1)y2
(x− 1)2 + y2. S a se
studieze existenta limitei functiei f ın punctul (1, 0).
Rezolvare. Observam ca (1, 0) este punct de acumulare pentru R2\ {(1, 0)} . Cal-culam limita ın (1, 0) de-a lungul axei y = 0 si a dreptei x = 1.
De-a lungul axei Ox,y = 0: astfel limx→1
f (x, 0) = limx→1
0
(x− 1)2 = 0.
De-a lungul dreptei x = 1 si astfel limy→0 f (1, y) = limy→0
0
y2 = 0.Limitele exista si sunt egale, dar nu rezulta ca limita globala ın zero exista.Este posibil ca functia sa aiba limita ın punctul (1, 0) si anume egala cu 0.
Obervam ca putem face majoraari care sa ne conduca la calculul limitei
0 ≤ |f (x, y)− 0| ≤¯¯ (x− 1)y2
(x− 1)2 + y2
¯¯ ≤
¯¯ y2
(x− 1)2 + y2(x− 1)
¯¯ ≤ |x− 1|
deoarece
¯¯ y2
(x− 1)2 + y2
¯¯ ≤ 1.
Pentru ∀ (xn, yn) → (1, 0), (xn, yn) 6= (1, 0) obtinem0 ≤ lim
(xn,yn)→(1,0)|f (xn, yn)| ≤ lim
(xn,yn)→(1,0)|xn − 1| = 0.
Concluzie: functia are limita 0 ın (1, 0).
Exercitiul 8. S a se studieze limitele ın origine pentru functiile:
a) f (x, y) = tg (x3 + y5)
x2 + y4 , b) f (x, y) =
1
xy tg
xy
1 + xy,
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 81/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 11
e) f (x, y) = x2y
p x2y + 2−√
2, f) f (x, y) = x2 + y2,
g) f (x, y) = (1 + x2 |y|)1
x2+y2 , h) f (x, y) = (x2 + y2)x2y
.
Indicatii. La calculul acestor limite vom folosi limite fundamentale de la funct iide o variabila.
a) Observam ca (0, 0) este punct de acumulare pentru R2\ {(0, 0)} .
Vom scrie tg (x3 + y5)
x2 + y4 =
tg (x3 + y5)
x3 + y5
x3 + y5
x2 + y4.
Calculam pe r ınd lim(x,y)→(0,0)
tg (x3 + y5)
x3 + y5 si lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y5
x2 + y4.
I. lim(x,y)→(0,0)
tg (x3 + y5)
x3 + y5
Notam u(x, y) = x3 + y5, lim(x,y)→(0,0)
u(x, y) = 0 deoarece daca (xn, yn) → (0, 0),
(xn, yn) 6= (0, 0) obtinem u(xn, yn) = x3n + y5
n → 0 si deoarece limu→0
tg u
u = 1 ⇒
lim(x,y)→(0,0)
tg (x3 + y5)
x3 + y5 = 1.
II. lim(x,y)→(0,0)
x3 + y5
x2 + y4.
Calculam limita ın (0, 0) de-a lungul axelor de coordonate).
De-a lungul axei Ox,y = 0 si astfel limx→
0
f (x, 0) = limx→
0
x3
x2
= limx→
0
x = 0.
De-a lungul axei Oy,x = 0 si astfel limy→0
f (0, y) = limy→0
y5
y4 = lim
y→0y = 0.
Limitele exista si sunt egale, dar nu rezulta ca limita globala ın zero exista.Este posibil ca functia sa aiba limita ın punctul (0, 0) si anume egala cu 0.
Obervam ca putem face majoraari care sa ne conduca la calculul limitei
0 ≤¯¯x3 + y5
x2 + y4
¯¯ ≤ |x|3
x2 + y4+ |y|5
x2 + y4 ≤
x2+y4≥ x2⇒ 1x2+y4
≤ 1x2
,
x2+y4≥ y4⇒ 1x2+y4
≤ 1y4
|x|3
x2 +
|y|5
y4 ≤ |x|+|y| ,
Pentru ∀ (xn, yn) → (0, 0), (xn, yn) 6= (0, 0) obtinem
0 ≤ ¯x3
n
+ y5
nx2n + y4
n
¯ ≤ |xn| + |yn| →(xn,yn)→(0,0) 0.
Rezulta ca
lim(x,y)→(0,0)
tg (x3 + y5)
x2 + y4 = lim
(x,y)→(0,0)
tg (x3 + y5)
x3 + y5
x3 + y5
x2 + y4 =
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 82/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 12
= lim(x,y)→(0,0)
tg (x3 + y5)
x3 + y5 · lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y5
x2 + y4 = 1 · 0 = 0.
4. Continuitate ın Rk
Exercitiul 9. S a se studieze continuitatea functiilor:
a) f : R2 → R, f (x, y) =
⎧⎨⎩
x4 + y4
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0),
b) f : R2 → R, f (x, y) =
⎧⎨⎩
sin(x3 + y3)
x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0),
c) f : R2
→R, f (x, y) =
⎧
⎨⎩e− 1
x2+y2
sin(x2
+ y2
)
, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0)
,
d) f : R2 → R, f (x, y) =
⎧⎨⎩
sin x− sin y
x− y , y 6= x
g(x), y = x,
e) f : R2 → R, f (x, y) =
½ xy ln (x2 + y2) , (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0) ,
f) f : R2 → R, f (x, y) =
⎧⎨⎩
cos xy − 1
x2y2 , (x, y) 6= (0, 0)
a, (x, y) = (0, 0),
g) f : R2 → R, f (x, y) =⎧⎨⎩
ex2+y2
−1
x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)a, (x, y) = (0, 0)
,
h) f : R2 → R, f (x, y) =
⎧⎨⎩
arctg (x2 + y2)
x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)
a, (x, y) = (0, 0),
i) f : R2 → R2, f (x, y) =
⎧⎨⎩
µ1− cos(x3 + y3)
(x2 + y2)2 ,
y2 sin x
x2 + y2
¶, (x, y) 6= (0, 0)
(a, b) , (x, y) = (0, 0),
j) f : R2
→R2, f (x, y) =
⎧⎨⎩ µ
ln (1 + x2y2)
x2 + y2 , ¡1 + sin ¡x2y2
¢¢1
x2+y2
¶ , (x, y) 6= (0, 0)
(a, b) , (x, y) = (0, 0)
,
Rezolvare. Functiile sunt continue cu exceptia originii ca fiind o functie rationalaın x si y. Studiem continuitatea ın (0, 0).
a) Demonstram ca este 0 cu ajutorul caracterizarii continuitatii cu siruri. Fie(xn, yn) → (0, 0). Folosind majorarea |f (x, y)− f (0, 0)| ≤ x2 + y2.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 83/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 13
0 ≤ lim(xn,yn)→(0,0)
|f (xn, yn)− f (0, 0)| ≤ lim(xn,yn)→(0,0)
(x2n + y2
n) = 0. Rezulta h este
continu˘a ˆ
ın (0, 0) .b) Functia este continua cu exceptia originii ca fiind un raport de doua functii
continue. Studiem continuitatea ın (0, 0).
Observam casin(x3 + y3)
x2 + y2 =
sin(x3 + y3)
x3 + y3 ·
x3 + y3
x2 + y2.
Studiem continuitatea functiilor g(x, y) = x3 + y3 si
h(x, y) =
⎧⎨⎩
x3 + y3
x2 + y2, (x, y) 6= (0, 0)
0, (x, y) = (0, 0). Daca demonstram ca g este continua pe R,
rezulta ca lim(x,y)→(0,0)
(x3 + y3) = 0 si deci lim(x,y)→(0,0)
sin(x3 + y3)
x3 + y3
= 1.
Continuitatea lui g. Fie (a, b) un punct oarecare din R. Demonstram continuitateacu siruri. Fie un sir oarecare (xn, yn) → (a, b). Atunci
|g(x, y)− g(a, b)| = |x3 + y3 − (a3 + b3)| ≤ |x3 − a3| + |y3 − b3| ≤≤ |(x− a) (x2 − ax + a2)| + |(x− b) (x2 − bx + b2)|0 ≤ lim
(xn,yn)→(a,b)|g(xn, yn)− g(a, b)| ≤
≤ lim(xn,yn)→(a,b)
|(xn − a) (x2n − anx + a2)| + |(xn − b) (x2
n − bxn + b2)| = 0,
deci lim(xn,yn)→(a,b)
g(xn, yn) = g(a, b)
Rezulta g este continua pe R.
Continuitatea lui h(x, y). Studiem continuitatea ˆın (0, 0) . Observ
˘am c
˘a pentru
(x, y) = ( 1n
, 1n
) → 0 ⇒ h( 1n
, 1n
) =1n3
+ 1n3
1n2
+ 1n2
= 1
n → 0. Deci s-ar putea ca limita cautata
sa fie 0.Demonstram ca este 0 cu ajutorul caracterizarii continuitatii cu siruri. Fie (xn, yn) →
(0, 0). Folosind majorarea|h(x, y)− h(0, 0)| ≤ |x| + |y|⇒ 0 ≤ lim
(xn,yn)→(0,0)|h(xn, yn)− h(0, 0)| ≤
≤ lim(xn,yn)→(0,0)
(|xn| + |yn|) = 0. Rezulta h este continua ın (0, 0) iar ın rest este
continua ca un raport de functii rationale continue , deci h pe R2.
Atunci lim(x,y)→(0,0)
sin(x3 + y3)
x2 + y2 = lim(x,y)→(0,0)
sin(x3 + y3)
x3 + y3 ·
x3 + y3
x2 + y2 =
= lim(x,y)→(0,0)
sin(x3 + y3)
x3 + y3 · lim
(x,y)→(0,0)
x3 + y3
x2 + y2 = 1 · 0 = 0. Rezulta f este continua pe R2.
e) Scriem f (x, y) = xy
x2 + y2
¡x2 + y2
¢ln¡
x2 + y2¢
= g(x, y)h(x, y), unde g(x, y) =
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 84/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 14
xy
x2 + y2 si h(x, y) = (x2 + y2) ln(x2 + y2) .
Dar |g(x, y)| =¯
xyx2 + y2
¯ ≤ 12
deoarece x2 + y2 ≥ 2 |xy| ⇒ 1x2 + y2
≤ 12 |xy|
⇒|xy|
x2 + y2 ≤ |xy|
2 |xy| =
1
2, deci este o functie marginita pe R2\ {(0, 0)} , iar
lim(x,y)→(0,0)
(x2 + y2) l n (x2 + y2) = lim(x,y)→(0,0)
ln (x2 + y2)(x2+y2) = 0 deoarece daca
notam cu u(x, y) = x2 + y2 atunci u → 0 daca (x, y) → (0, 0) ⇒ limu→0
u ln u = 0 ⇒lim
(x,y)→(0,0)f (x, y) = 0.
Concluzie: daca a = 0 atunci f este continua pe R2. Daca a 6= 0 atunci f estecontinua pe R2\ {(0, 0)} .
Exercitiul 10. S a se determine a, b astfel ıncat campurile scalare:
a) f : R2 → R, f (x, y) =
⎧⎨⎩
sin(x2y2)
x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)
a, (x, y) = (0, 0),
b) f : R2 → R, f (x, y) =
⎧⎨⎩
ln(1 + x2y2)
x2 + y2 , (x, y) 6= (0, 0)
b, (x, y) = (0, 0),
s a fie continue ın (0, 0) .
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 85/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 1
1. Derivabilitate
Exercitiul 1. S a se calculeze derivata functiei
f : R+ → R+, f (x) = √ x.
Rezolvare. f (x) − f (x0)
x − x0=
√ x − √
x0
x − x0=
√ x − √
x0
x − x0·
√ x +
√ x0√
x +√
x0=
= x − x0
(x − x0)¡√
x +√
x0
¢ = 1√ x +
√ x0
.
Rezulta ca
f 0(x) = limx→x0
f (x + h) − f (x)
x − x0= lim
x→x0
1√ x +
√ x0
= 1
2√
x0.
Observam ca panta tangentei ın orice punct al graficului este pozitiva.
0 1 2 3 4 50
1
2
3
x
y
¨
Functia f (x) =√
x, nu este derivabila ın punctul x = 0, deoarece ın acest punct
limx→0
f (x) − f (0)
x − 0 = lim
x→0
√ x
x = lim
x→0
1√ x
= ∞.
Functia are ınsa derivata ın punctul x = 0, anume derivata sa este ∞
.¨
Exercitiul 2. Fie functia f : R+ → R+, f (x) = √
x. S a se scrie scrie ecuatia tan-gentei la gra ficul functiei ın punctul (4, 2).
Rezolvare. Asa cum am vazut ın exercitiul 1, f 0(x) = 1
2√
x. Astfel,
f 0(4) = 1
4. Ecuatia tangentei ın punctul (4, 2) va fi
y − 2 = 1
4(x − 4).¨
Exercitiul 3. S a se studieze derivabilitatea functiilor de mai jos ın punctul x = 1:a) f : R → R, f (x) =
½ x2, x ≤ 1,12
x + 12
, x > 1.
b) f : R → R, f (x) =
½ x2, x ≤ 1,2x − 1, x > 1.
.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 86/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 2
a) f 0s(1) = limx%1
f (x) − f (x0)
x
−x0
= limx%1
x2 − 1
x
−1
= limx%1
(x − 1) (x + 1)
x
−1
=
= limx%1 (x + 1) = 2,
f 0d(1) = limx&1
12
x + 12 − 1
x − 1 = lim
x&1
12 (x − 1)
x − 1 =
1
2.
Deoarece aceste limite sunt diferite, rezulta ca functia f nu este derivabila ınpunctul x = 1. Punctul x = 1 este punct unghiular. Graficul acestei functii este deforma:
-2 2 4
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Figura 4.6Observam ca graficul ısi schimba directia abrupt si nu admite tangenta ın acest
punct.
b) f 0s(1) = limx%1
f (x) − f (x0)
x − x0= lim
x%1
x2 − 1
x − 1 = lim
x%1
(x − 1) (x + 1)
x − 1 =
= limx%1
(x + 1) = 2,
f 0d(1) = limx&1
2x − 1 − 1
x − 1 = lim
x&1
2 (x − 1)
x − 1 = 2.
Deoarece derivatele laterale sunt egale, functia este derivabila ın punctul x = 1.
-2 2 4
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
Figura 4.7Obsevam ca, ın acest caz, graficul nu ısi schimba directia abrupt.¨Exemple de functii derivabile
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 87/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 3
1. Functia constantaf : R
→R, f (x) = c
este derivabila si f 0(x) = 0.Fie x0 ∈ R oarecare. Calculam
limx→x0
f (x) − f (x0)
x − x0= lim
x→x0
c − c
x − x0= 0.
2. Functiaf : R → R, f (x) = x
este derivabila si f 0(x) = 1.Fie x0 ∈ R oarecare. Calculam
limx→x0
f (x) − f (x0)
x − x0= lim
x→x0
x − x0
x − x0= 1.
3. Functia
f : R → R, f (x) = xn
este derivabila si f 0(x) = nxn−1.Fie x0 ∈ R oarecare. Calculam
limx→x0
f (x) − f (x0)
x − x0= lim
x→x0
xn − xn0
x − x0=
= limx→x0
(x − x0)¡
xn−1 + xn−2x0 + xn−3x20 + ... + xxn−2
0 + xn−10
¢x − x0
=
= limx→x0
¡xn−1 + xn−2x0 + xn−3x2
0 + ... + xxn−20 + xn−1
0
¢ = nxn−1
0 .
4. Functiaf : [0, ∞) → R, f (x) =
√ x
este derivabila pe (0, ∞) si f 0(x) = 1
2√ x.
Fie x0 ∈ (0, ∞) oarecare. Calculam
limx→x0
f (x) − f (x0)
x − x0= lim
x→x0
√ x − √
x0
x − x0= lim
x→x0
1√ x +
√ x0
= 1
2√
x0.
5. Functiaf : R → R, f (x) = sin x
este derivabila si f 0(x) = cos x.Fie x0 ∈ R oarecare. Calculam
limx→x0
f (x) − f (x0)
x − x0= lim
x→x0
sin x − sin x0
x − x0=
= limx→x0
2sin x
−x0
2 cos x + x
02
x − x0=
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 88/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 4
= limx→x0
sin x − x0
2
x − x02
cos x + x0
2
= cos x0,
deoarece limx→x0
sin x − x0
2x − x0
2
= limy→0
sin y
y = 1, unde am notat y =
x − x0
2 .
6. Functiaf : R → R, f (x) = cos x
este derivabila si f 0(x) = − sin x.7. Functiaf : (0, ∞) → R, f (x) = ln x
este derivabila si f 0
(x) =
1
x.Fie x0 ∈ (0, ∞) oarecare. Calculam
limx→x0
f (x) − f (x0)
x − x0= lim
x→x0
ln x − ln x0
x − x0= lim
x→x0
1
x − x0ln
x
x0=
= limx→x0
1
x − x0
ln
µ1 +
x
x0− 1
¶ =
= limx→x0
ln
⎡⎢⎣µ
1 + x − x0
x0
¶ x0
x − x0
⎤⎥⎦
x − x0
x0·
1
x − x0
= ln e
1
x0 = 1
x0,
deoarece limx→x0
ln
µ1 +
x − x0
x0
¶ x0
x − x0 =
= ln limx→x0
µ1 +
x − x0
x0
¶ x0
x − x0 = ln e.
Exercitiul 4. Functia f : R → R, f (x) = axn este derivabil a pe R si f 0(x) =(axn)0 = a (xn)0 = anxn−1.¨
Exercitiul 5. Dac a a > 0, a 6= 1, functia f : (0, ∞) → R, f (x) = loga x este deriv-
abil ˘
a si f
0
(x) =
1
x ln a.
Scriem loga x = ln x
ln a =
1
ln a ln x. Rezulta f 0(x) =
µ 1
ln a ln x
¶0=
1
ln a (ln x)0 =
1
x ln a.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 89/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 5
Exercitiul 6. Functia f : RÂ
©(2k + 1) π
2 | k ∈ Z
ª→ R, f (x) = tg x este derivabil a
pe tot domeniul ei de de finitie si
f 0(x) = (tg x)0 =µ
sin xcos x
¶0
= cos2 x + sin2 xcos2 x
= 1cos2 x
.¨
Exercitiul 7. Functia f : RÂ {2kπ | k ∈ Z } → R, f (x) = ctg x este derivabil a pe tot domeniul ei de de finitie si
f 0(x) = − 1
sin2 x.¨
Aplicand formula de derivare a functiilor compuse ın cazul functiilor elementare,se obtin urmatoarele formule de derivare:
1. µ d
dxun¶
0
= n un−1du
dx
2.
µ d
dx
√ u
¶0=
du
dx2√
u
3.
µ d
dx sin u
¶0= cos u ·
du
dx
4.
µ d
dx cos u
¶0= − sin u ·
du
dx
5.
µ d
dx tg u
¶0=
1
cos2 u
du
dx, u(x) 6= (2k + 1)
π
2 pentru x ∈ E.
6.µ
ddx
ctg u¶0
= − 1sin2 u
dudx
, u(x) 6= 2kπ pentru x ∈ E.
7.
µ d
dx ln u
¶0=
1
u
du
dx, u(x) > 0 pentru x ∈ E.
Exemplul 1. Functia F (x) =
µx +
1
x
¶−4este de finit˘ a pe R\ {0} , este derivabil a
pe R\ {0} .
In acest caz avem g(y) = y−4 si f (x) = x + 1
x. Aplicam fomula de derivare a
functiei compuse:
F 0(x) = d
dx
õx +
1
x
¶−4! = −4
µx +
1
x
¶−5 d
dx
µx +
1
x
¶ =
= −4
µx +
1
x
¶−5µ1 − 1
x2
¶.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 90/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 6
Exemplul 2. S a se calculeze derivata de ordinul 100 a functiei f (x) = x2e2x, x ∈ R,aplicand formula lui Liebniz de derivare.
f (100)(x) = (x2e2x)(100)
= (e2xx2)(100)
=
= (e2x)(100)
x2 + C 1100 (e2x)(99)
2x + C 2100 (e2x)(98)
2 = = 2100e2xx2 +100 · 299e2x · 2x +100·99
2 298 · e2x · 2 == 2100e2x (x2 + 100x + 25 · 99)
Exemplul 3. S a se demonstreze, folosind metoda inductiei, formulele derivatelor de ordin n
(sin x)(n) = sin(x + nπ2
), ∈(cos x)(n) = cos(x + nπ
2 ),
(ln x)(n) = (−1)n+1
(n − 1)!xn .
Exercitiul 8. Exemplu de functie care nu este derivabil a ın nici un punct x0 ∈ R :
f : R → R, f (x) =
½ −1, x ∈ Q
1, x ∈ R \Q .
Dac a ar exista un punct x0 ∈ R ın care functia ar fi derivabil a, atunci f ar ficontinu˘ a ın x0. Se demonstreaz a, ca ın exercitiul 2, punctul c), seminarul 13, c a functia nu este continu˘ a ın nici un punct.
Exercitiul 9. Folosind teorema lui Rolle sa se demonstreze ca p(x) = 2x3 + 5x − 1are exact o singura radacina reala.
Deoarece p este polinom de gradul trei, rezulta ca ın mod cert are o radacina reala.Presupunem ca p are mai mult de o radacina reala. In particular fie a si b, a 6= b,a > bastfel ıncat p(a) = p(b) = 0. Conform teoremei lui Rolle exista c ∈ (a, b) astfel ıncat
p0(c) = 0. Dar p0(x) = 6x2 + 5 ≥ 5 > 0 pentru orice x, deci p0 nu poate fi zero.Presupunerea ca p are mai mult de o radacina a condus la o contradictie. Deci p areo singura radacina reala.
Exemplul 4. Functia f (x) =√
1 − x, −1 ≤ x ≤ 1 satisface conditiile teoremei luiLagrange: este continua pe [−1, 1] si este derivabila pe (−1, 1) . Conform teoremei lui
Lagrange, rezulta ca exista un c ∈ (−1, 1) astfel ıncat f 0(c) = f (1)
−f (
−1)
1 − (−1) = −√
2
2 .
Sa se determine c ın acest caz. Calculam f 0(x) = − 1
2√
1 − x. Din conditia f 0(c) =
−√ 2
2 rezulta − 1
2√
1 − c=
−√ 2
2 ⇒ c =
1
2.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 91/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 7
Exemplul 5. Presupunem ca f este continua pe [1, 4] si este derivabila pe (1, 4) sif (1) = 2. Stiind ca 2
≤f 0(x)
≤3,
∀x
∈(1, 4) , care este cea mai mica valoare pe care
o poate lua f ın 4? Dar cea mai mare valoare pe care o poate lua f ın 4?
Conform teoremei lui Lagrange, rezulta ca exista un c ∈ (1, 4) astfel ıncat f (4) −f (1) = f 0(c)(4 − 1) = 3f 0(c) ⇒ f (4) = f (1) + 3f 0(c).
Dar 2 ≤ f 0(x) ≤ 3 ⇒ 6 ≤ 3f 0(x) ≤ 9 ⇒ f (1) + 6 ≤ f (1) + 3f 0(x) ≤ f (1) + 9.f (1) = 2, f (4) = f (1) + 3f 0(c) ⇒ 8 ≤ f (4) ≤ 11.
Exercitiul 10. Fie functia f : [−2, ∞) → R,f (x) = 1
4
¡x3 − 3
2x2 − 6x + 2
¢.
S a se determine punctele de extrem si s a se stabilesc a natura lor.
Rezolvare. Pentru a determina punctele critice calculam derivata ıntai si stabilimpunctele ın care ea se anuleaza.
f 0(x) = 14
¡3x2 − 6
2x − 6
¢ = 3
4 (x + 1) (x − 2) .
f 0(x) = 0 ⇒ x = −1 sau x = 2. −1 si 2 sunt puncte critice. Determina semnulderivatei.
−2 −1 2 ∞semnullui f 0
+ + + ++ 0 −−−− 0 + + + + + +
comportlui f
0 % 118
& −2 %
f (−2) = 14¡
(−2)3
− 32 (−2)
2
− 6 (−2) + 2¢
= 0 minim localf (−1) = 1
4
¡(−1)3 − 3
2 (−1)2 − 6 (−1) + 2
¢ = 11
8 maxim local
f (2) = 14
¡(2)3 − 3
2 (2)2 − 6 (2) + 2
¢ = −2 minim local
Deoarece limx→∞
f (x) = ∞ nu exista maxim absolute. x = 2 este punct de minim
absolut. Graficu functiei este
-2 2 4
5
10
15
x
y
¨
Exercitiul 11. S a se studieze natura punctelor critice ale functiei f : R → R, f (x) = x4 − 2x3.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 92/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 8
Rezolvare. Calculam derivata functieif 0(x) = 4x3
−6x2 = 2x2(2x
−3).
Stabilim punctele critice f 0(x) = 0 ⇒ x = 0, x = 32 .
Determinam semnul derivatei
semnul lui f 0 −−−− 0 −−−− 32
+ + ++comportarea lui f descresc 0 descresc 0 crescatoare
Deoarece f 0 pastreaza semn constant la dreapta si la stanga lui 0, 0 nu este punctde extrem. Punctul x = 3
2 este punct de minim. Graficul este prezentat ın figura de
mai jos:
-1 1 2 3
5
10
15
20
25
x
y
Figura 15.4
Exercitiul 12. S a se studieze natura punctelor critice ale functiei
f : R
→R, f (x) = ½ 1 + 2x, x ≤ 1
5 − x, x > 1.
Rezolvare. Graficul functiei este
-2 2
-2
2
4
x
y
Figura 4.10
Observam ca f 0(x) > 0, ∀x ∈ (−∞, 1) si f 0(x) < 0, ∀x ∈ (1, ∞) . Nu rezulta cax = 1 este punct de maxim local. Functia este discontinua ın 1 si de aceea testulprimei derivate nu poate fi aplicat. ¨
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 93/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 9
Exercitiul 13. S a se studieze natura punctelor critice ale functiei f : R
→R, f (x) = cos2 2x.
Rezolvare. f 0(x) = −4cos2x sin2x = −2sin4xf 0(x) = 0 ⇒ x = kπ
4 .
f 00(x) = −8cos4x, f 00(kπ4
) = −8cos kπ = −8(−1)k
Daca numarul ıntreg k este impar, x = (2i+1)π4
este punct de minim.Daca numarul ıntreg k este par, x = iπ
2 este punct de maxim.
-3 -2 -1 0 1 2 3
1
x
y
Figura 15.5¨
Determinarea punctelor de extrem pentru o functie continua f .Pasul 1. Se determina punctele critice, punctele interioare ın care derivata ıntai
se anuleaza. Se determina punctele ın care derivata ıntai nu exista.Pasul 2. Daca functia este definita pe un interval sau pe o reuniune de intervale, se
examineaza semnul derivatei ın vecinatatea punctelor care sunt capetele intervalelor.Pasul 3. Se utilizeaza testul primei derivate sau a derivatei a doua pentru a stabili
care puncte critice sunt puncte de extrem si natura lor.Pasul 4. daca domeniul este nemarginit la dreapta sau la stanga se studiaza
comportarea functiei la stanga sau la dreapta.Pasul 5. Se stabilesc care din punctele de extrem local sunt puncte de extrem
global.
Exercitiul 14. Fie functia f : [0, 2π] → R,f (x) = sin x
−sin2 x.
S a se determine punctele de extrem si s a se stabilesc a natura lor.
Rezolvare. Pentru a determina punctele critice calculam derivata ıntai si stabilimpunctele ın care ea se anuleaza.
f 0(x) = cos x − 2sin x cos x = cos x(1 − 2sin x).
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 94/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 10
f 0(x) = 0 ⇒ cos x(1 − 2sin x) = 0 ⇒ cos x = 0 sau 1 − 2sin x = 0.cos x = 0, x
∈[0, 2π]
⇒x = π
2, 3π
2
1 − 2sin x = 0, x ∈ [0, 2π] ⇒ x = π6 , 5π6 .
0 π6
π2
5π6
3π2
2πsemnul
lui f 0 + 0 − 0 + 0 − 0 +
comport
lui f 0 % 1
4 & 0 % 1
4 & −2 % 0
f (0) = 0,f (π
6) = sin π
6 − sin2 π
6 = 1
2 − 1
4 = 1
4,
f (π2
) = sin π2 − sin2 π
2 = 0,
f (5π
6 ) = sin 5π
6 −sin2 5π
6 = 1
4,
f (3π2
) = sin 3π2 − sin2 3π
2 = −2,
f (2π) = sin 2π − sin2 2π = 0.f (5π
6 ) = f (π
6) = 1
4 este valoarea maxima absoluta, punctele x = π
6, 5π
6 sunt puncte
de maxim absolut, x = π2
, 3π2
sunt puncte de minim, x = π2
este minim local, iarx = 3π
2 este punct de minim absolut.
1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
x
y
1.1. Studiul functiilor cu ajutorul derivatelor.
Determinarea intervalelor de monotonie si a punctelor de extrem. Fieo functie f definita pe o multime E, care este reuniunea finita sau infinita de intervale.Fie E 0 ⊂ E multimea pe care f este derivabila.
Reamintim proprietatile:
-dac˘
a derivata f
0
este strict pozitiv˘
a pe intervalul I ⊂ E
0
, atunci functia f estestrict crescatoare pe I ;-daca derivata f 0 este strict negativa pe intervalul I ⊂ E 0, atunci functia f este
strict descrescatoare pe I ;-daca functia f 0 nu se anuleaza pe intervalul I ⊂ E 0, atunci f 0 pastreaza semn
constant pe ıntreg intervalul I .
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 95/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 11
Din aceste proprietati deducem ca functia f este strict monotona pe aceleasiintervale pe care derivata f 0 nu se anuleaza.
Rezulta de aici calea de urmat pentru a determina intervalele pe care funct ia f este strict monoton a.
Pasul 1. Se determina multimea E 0 pe care functia f este derivabila si se calculeazaderivata f 0 pe multimea E 0.
Pasul 2. Se determina punctele din E 0 ın care derivata f 0 se anuleaza (radacinilederivatei), adica se rezolva ecuatia
f 0(x) = 0, x ∈ E 0.Pasul 3. Se descompune multimea E ın intervale disjuncte astfel ıncat pe nici un
astfel de interval derivata f 0 nu se anuleza. Aceste intervale se obtin din intervalelemultimii E pe care functia este definita, ımpartindu-le mai departe prin puncte ın
care functia nu este derivabil˘a si prin puncte ˆ
ın care derivata se anuleaz
˘a (presupunˆ
ındca derivatele nu se anuleaza pe un interval ıntreg).
Pasul 4. Pe fiecare interval I pe care derivata nu se anuleaza, ea pastreaza semnconstant. Se determina semnul derivatei I , calcul ınd valoarea derivatei ıntr-un singurpunct din I .
Pasul 5. In functie de semnul derivatei f 0 pe un interval I , se determina dacafunctia f este strict crescatoare sau descrescatoare pe I . Daca f 0 are semnul +, f este strict crescatoare, daca f 0 are semnul −, f este strict descrescatoare.
Rezulta si punctele de extrem : fie x0 un punct interior al multimii E ın care functiaeste continua si fie I intervalul din E care-l contine pe x0 si astfel ıncat derivata f 0
nu se anuleaza pe I , cu exceptia lui x0 (daca functia este derivabila ın x0 ).
Daca pe I, f este strict crescatoare la stanga lui x0 (derivata potitiva) si strictdescrescatoare la dreapta lui x0 (derivata negativa), atunci x0 este punct de maximal functiei.
Daca pe I, f este strict descrescatoare la stanga lui x0, (derivata negativa) sistrict crescatoare la dreapta lui x0 (derivata potitiva), atunci x0 este punct de minimal functiei.
Daca derivata are acelasi semn de o parte si de alta a lui x0, atunci x0 nu estepunct de extrem al functiei.
Daca x0 este extremitatea stanga a unui interval I ⊂ E, ın interiorul caruiaderivata nu se anuleaza, si daca pe I , la dreapta lui x0 derivata are semnul −, atuncix0
este punct de maxim. Daca pe I , la dreapta lui x0
derivata are semnul +, atuncix0 este punct de minim.
Daca x0 este extremitatea dreapta a unui interval I ⊂ E, ın interiorul caruiaderivata nu se anuleaza, si daca pe I , la stanga lui x0 derivata are semnul +, atuncix0 este punct de minim. Daca pe I , la stanga lui x0 derivata are semnul −, atuncix0 este punct de maxim.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 96/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 12
Puncte critice
Punct unghiular al graficului este punctul ın care graficul admite seitangente
diferite.Punct de ˆ ı noarcere al graficului este punctul ın care graficul adite semitangente
care se suprapun.
Exercitiul 15. S a se studieze natura punctului π4
pentru functia f :
£0, π
2
¤ → R,
f (x) =
½ cos x, x ∈ £
0, π4
¤sin x, x ∈ ¡
π4
, π2
¤ .
Exercitiul 16. S a se studieze natura punctului −3 pentru functia f : R
→R, f (x) = p |x + 3|.
1.2. Studiul functiilor cu ajutorul derivatei a doua. Rezulta modul ın careputem determina intervalele pe care functia este (strict) convexa sau (strict) concava.
Pasul 1. Se determina multimea E 00 ⊂ E pe care functia f este derivabila de douaori si se calculeaza derivata a doua f 00 pe multimea E 00.
Pasul 2. Se determina punctele din E 00 ın care derivata a doua se anuleaza, adicase rezolva ecuatia
f 00(x) = 0, x ∈ E 00.Pasul 3. Se descompune multimea E ın intervale disjuncte, astfel ıncat, pe nici un
asemenea interval, derivata f 00 sa nu se anuleze. Ele se obtin din intervalele multimii E
pe care functia f este definita, ımpartindu-le mai departe prin puncte ın care functianu este derivabila de doua ori si prin puncte ın care derivata a doua se anuleaza.Pasul 4. Pe fiecare interval I pe care derivata a doua f 00 nu se anuleaza, ea
pastreaza semn constant. Se determina semnul derivatei a doua pe I calculand val-oarea ei ıntr-un singur punct din I .
Pasul 5. Daca f 00 are semnul +, f este strict convexa, iar daca f 00 are semnul −,f este strict concava.
Definitia 1. Se spune c a un punct x0 ∈ E este punct de inflexiune al functiei f , dac a functia are derivat˘ a ( finit˘ a sau infinit˘ a) ın punctul x0 si dac a functia este convex a de o parte a lui x0 si concav a de cealalt˘ a parte.
Geometric, a spune ca M 0(x0, f (x0)) este punct de inflexiune al graficului ınseamnaca graficul admite tangenta ın punctul M 0 (paralela sau neparalela cu axa Oy) si cade o parte a lui M 0 graficul este o curba convexa, iar de cealalta parte este o curbaconcava.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 97/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 13
Exercitiul 17. S a se determine concavitatea si punctele de infl exiune ale functiei:f : R
→R,
f (x) = x3 − 6x2 + 9x + 1.
Rezolvare. f 0(x) = 3x2 − 12x + 9 = 3 (x − 1) (x − 3) ,f 00(x) = 6x − 12 = 6 (x − 2) , f 00(x) = 0 ⇒ x = 2,
x −∞ 2 ∞semnul
lui f 00 −− − − − 0 + + + ++
graficul
lui f concav pct inflex convex
-2 -1 1 2 3 4 5
-40
-20
20
x
y
¨
Exercitiul 18. S a se determine concavitatea si punctele de infl exiune ale functiei:
f : [0, 2π] → R,f (x) = x + cos x.
Rezolvare. Pentru x ∈ [0, 2π] obtinem f 0(x) = 1 − sin x,f 00(x) = − cos x, f 00(x) = 0 ⇒ x = π
2, 3π
2 .
x 0 π2
3π2
2πsemnul
lui f 00 − − − − 0 + + ++ 0 − − − −
graficul
lui f 1 concav pct inflex convex pct inflex concav
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 98/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 14
0 1 2 3 4 5 6
2
4
6
x
y
Exercitiul 19. S a se studieze natura punctului 2 pentru functia
f : R → R, f (x) =
½ √ x − 2, x ≥ 2
−√ x − 2, x < 2.
.
1.3. Determinarea asimptotelor la graficul unei functii. Fie o functie f definita pe o multime E , care este reuniunea finita sau infinita de intervale. In cazulın care functia f este nemarginita sau multimea E este nemarginita, graficul functieieste o multime nemarginita de puncte din plan.
Spunem ın acest caz ca f are ramuri nemarginite.Daca o ramura nemarginita a graficului se apropie necontenit ( ıntr-un sens care va
fi precizat) de o anumita dreapta, spunem ca acea dreapta este asimptota la graficulfunctiei.
Asimptotele se ımpart ın doua categorii:-asimptote verticale (paralele cu axa Oy)
-asimptote oblice (neparalele cu axa Oy).Asimptotele verticale se definesc pentru funct ii nem arginite , chiar dac a sunt
de fi nite pe mult imi m arginite.
Daca x0 este punct de acumulare al multimii E si cel put in una din limitele lateralef (x0 − 0) si f (x0 + 0) exista si este infinita, spunem ca dreapta x = x0, paralela cuaxa Oy, este asimptota verticala la graficul functiei f .
Deoarece cel putin una din limitele laterale f (x0 − 0) si f (x0 + 0) exista si esteinfinita, asimptotele verticale trebuie cautate printre punctele de discontinuitate despeta a doua ale functiei f si ın punctele de acumulare ale lui E care nu apartin luiE.
Exemplul 6. Studiati asimptotele verticale ale functiei:f : R\ {−2, 4} → R,
f (x) = 3x + 6
x2 − 2x − 8.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 99/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 15
Rezolvare. Observam ca
f (x) = 3x + 6
x2 − 2x − 8 =
3(x + 2)
(x − 4)(x + 2).
Calculamlimx%4
f (x) = −∞, limx&4
f (x) = ∞.
Dreapta x = 4 este asimptota verticala.Calculamlimx%−2
f (x) = limx&−2
f (x) = 3−6 = −1
2.
Dreapta x = −2 nu este asimptota verticala.¨
Asimptote oblice se definesc pentru functii definite pe mult imi nem arginite chiar
dac a funct iile sunt m arginite .
Daca E este nemarginita la dreapta, atunci ∞ este punct de acumulare al multimiiE.
Spunem ca dreapta y = mx + n este asimptota (oblica) la ramura ∞ a graficuluidaca
limx→∞
[f (x) − mx − n] = 0.
Daca E este nemarginita la stanga, atunci −∞ este punct de acumulare al multimiiE.
Spunem ca dreapta y = mx + n este asimptota (oblica) la ramura −∞ a graficuluidaca
limx→−∞
[f (x) − mx − n] = 0.
Studiem asimptota la ∞.Deoarece limx→∞
[f (x) − mx − n] = 0 rezulta ca
f (x) − mx = [f (x) − mx − n] + n si deci limx→∞
[f (x) − mx] = n. Apoi, pentru x > 0,avem
f (x)
x − m =
f (x) − mx
x ,
deci
limx→∞
∙f (x)
x − m
¸ = lim
x→∞
∙f (x) − mx
x
¸ = 0,
si, deoarecef (x)
x
= ∙f (x)
x −m¸ + m,
rezulta
limx→∞
f (x)
x = m.
Asadar, daca dreapta y = mx +n este asimptota (oblica) la ramura ∞ a graficuluiatunci
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 100/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 16
m = limx→∞
f (x)
x , n = lim
x→∞[f (x) − mx] .
Exemplul 7. Studiati asimptotele oblice ale functiei:f : R\ {2} → R,
f (x) = x2
x − 2.
Rezolvare. Observam ca functia este definita pe un interval nemarginit, deci sepune problema existentei asimptotelor oblice.
limx→∞
f (x)
x = lim
x→∞
x2
x (x − 2) = 1 ⇒ m = 1
limx→∞
[f (x)−
mx] = limx→∞∙
x2
x − 2 −x¸ = lim
x→∞
2x
x − 2
= 2.
asimptota oblica la ∞ este y = x + 2.Analog se obtine asimptota oblica la −∞.Graficul functiei este
-10 -5 5 10
-8-6-4-2
2468
1012
x
y
¨
Observatia 1. Dac a limx→∞
f (x)
x nu exist˘ a sau este infinit˘ a, gra ficul functiei nu are
asimptot˘ a la ∞.
Exemplul 8. Studiati asimptotele oblice ale functiei:f : R\ {2} → R,
f (x) = x3
x − 2.
Rezolvare. Observam ca functia este definita pe un interval nemarginit, deci se
pune problema existentei asimptotelor oblice. Deoarece
limx→∞
f (x)
x = lim
x→∞
x3
x (x − 2) = ∞,
limx→−∞
f (x)
x = lim
x→−∞
x3
x (x − 2) = −∞
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 101/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 17
functia nu are asimptote oblice.
-6 -4 -2 2 4 6
-20
20
40
x
y
.
Observatia 2. Dac a exist˘ a limx→∞
f (x)
x = m si este finit˘ a, dar lim
x→∞[f (x) − mx] nu
exist˘ a sau este infinit˘ a, gra ficul functiei nu are asimptot˘ a la ∞.
Exemplul 9. Studiati asimptotele oblice ale functiei:f : [0, ∞) → [0, ∞) ,f (x) =
√ x.
Rezolvare. Observam ca functia este definita pe un interval nemarginit, deci sepune problema existentei asimptotelor oblice. Deoarece
limx→∞
f (x)
x = lim
x→∞
√ x
x = 0 ⇒ m = 0,
limx→∞
[f (x) − mx] = limx→∞
[√
x − 0 · x] = limx→∞
√ x = ∞
functia nu are asimptote oblice.
0 2 4 6 8 100
2
x
y
Observatia 3. Dac a exist˘ a limx→∞
f (x) = a si este finit˘ a, atunci dreapta y = a este
asimptot˘ a la ∞, paralel a cu axa Ox.
De aici rezulta pasii de parcurs pentru determinarea asimptotei la ∞.Pasul 1. Se calculeaza lim
x→∞f (x).
Daca exista limx→∞
f (x) = a si este finita, atunci dreapta y = a este asimptota la∞.
Daca exista limx→∞
f (x) si este infinita, atunci:
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 102/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 18
Pasul 2. Se calculeza limx→∞
f (x)
x .
Daca exista limx→∞
f (x)x
= m si este finita, atunci
Pasul 3. Se calculeaza limx→∞
[f (x) − mx] .
Daca exista limx→∞
[f (x) − mx] = n si este finita, atunci dreapta y = mx + n este
asimptota (oblica) la ramura ∞ a graficului.
Daca multimea E este neminorata, prezentam pasii de parcurs pentru deter-
minarea asimptotei la −∞.Pasul 1. Se calculeaza lim
x→−∞f (x).
Daca exista limx
→−∞
f (x) = a si este finita, atunci dreapta y = a este asimptota la
−∞.Daca exista lim
x→−∞f (x) si este infinita, atunci:
Pasul 2. Se calculeza limx→−∞
f (x)
x .
Daca exista limx→−∞
f (x)
x = m si este finita, atunci
Pasul 3. Se calculeaza limx→∞
[f (x) − mx] .
Daca exista limx→−∞
[f (x) − mx] = n si este finita, atunci dreapta y = mx + n este
asimptota (oblica) la ramura −∞ a graficului.
1.4. Reprezentarea grafica a unei functii. 1. Determinarea domeniului dedefinitie, comportarea functiei la capetele intervalelor sau la ±∞ si a asimptotelor.2. Determinarea intersectiei cu axele.3. Simetria graficului.Daca f este para, f (−x) = f (x), graficul este simetric fata de axa Oy.Daca f este impara, f (−x) = −f (x), graficul este simetric fata de origine.Daca f este periodica, adica exista T > 0 astfel ıncat f (x + T ) = f (x), atunci
graficul se prelungeste prin periodicitate.4. Se studiaza continuitatea functiei, se stabilesc punctele de discontinuitate, daca
exista.5. Se calculeaza derivata ıntai, se determina punctele critice, se stabileste semnul
derivatei ıntai, punctele ın care nu este derivabila. Se stabilesc punctele de extrem,daca exista.
6. Se calculeaza derivata a doua si se stabileste concavitatea si punctele de inflex-iune.
7. Se realizeaza tabelul derivatei ıntai, a functiei si derivatei a doua.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 103/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 19
8. Se traseaza graficul.
Exercitiul 20. S a se traseze gra ficul functiei:f : R → R,f (x) = 1
4x4 − 2x2 + 7
4..
Rezolvare.
1. Domeniul de definitie este R, limx→∞
f (x) = limx→−∞
f (x) = ∞.
limx→∞
f (x)
x = ∞, lim
x→−∞
f (x)
x = −∞ ⇒ functia nu admite asimptote oblice.
2. Intersectia cu axele14
x4 − 2x2 + 74.
= 0 ⇒ 14 (x − 1) (x + 1) ¡x − √
7¢ ¡x +√
7¢ = 0 ⇒ x = ±1, x =
±√ 7Intersectia cu axa Ox :¡−√ 7, 0
¢, (−1, 0) , (1, 0) ,
¡√ 7, 0¢
.Intersectia cu axa Oy : f (0) = 7
4.,¡
0, 74.
¢.
3. Paritatea si imparitateaf (−x) = 1
4 (−x)4 − 2 (−x)2 + 7
4. = 1
4x4 − 2x2 + 7
4. = f (x), deci functia este para.
Este suficient sa se straseze graficul pe [0, ∞) .Nu este functie periodica.4. Este o functie continua pe R deoarece este o functie polinomiala.5. f 0(x) =
¡14
x4 − 2x2 + 74.
¢0= x3 − 4x = x (x − 2) (x + 2)
f 0(x) = 0 ⇒ x = 0, x = ±2.
6. f 00(x) = 3x2
−4 = 3³x
− 2
√ 3´³x + 2
√ 3´ .
f 00(x) = 0 ⇒ x = ± 2√ 3
.7.
x 0 1 2√ 3
2√
7 ∞semn
f 0 0 −− − − − − 0 + + + +
comp. f 74.
& 0 & −1736
& −94
% 0 % ∞semn
lui f 00 − − − − 0 + + + + + +
concavit con-
cav
pct
infl
con-
vex
f ( 2√ 3
) = 14
³ 2√ 3
´4 − 2
³ 2√ 3
´2
+ 74.
= 14169 − 24
3 + 7
4. = 4
9 − 8
3 + 7
4 = −17
36
f (2) = 14
24 − 2 · 22 + 74.
= −94
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 104/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 20
-3 -2 -1 1 2 3
5
10
15
x
y
¨
Exercitiul 21. S a se traseze gra ficul functiei:f : [−1, 5) → R,f (x) = x4 − 4x2 + 4.
Rezolvare.
1. Domeniul de defi
nitie este [−1, 5) , nu studiem comportarea functiei la ±∞deoarece f este definita doar pe [−1, 5) .Functia nu admite asimptote oblice.2. Intersectia cu axelex4 − 4x2 + 4 = 0 ⇒ x = −√
2, x =√
2, −√ 2 /∈ [−1, 5)
Intersectia cu axa Ox :¡√
2, 0¢
.Intersectia cu axa Oy : f (0) = 4, (0, 4) .3. Paritatea si imparitateaf (−x) = (−x)4 − 4 (−x)2 + 4 = x4 − 4x2 + 4 = f (x), deci functia este para.Nu este functie periodica.4. Este o functie continua pe R deoarece este o functie polinomiala.
5. f 0(x) = (x4 − 4x2 + 4)0
= 4x3 − 8x = 4x¡
x − √ 2¢ ¡x + √ 2¢f 0(x) = 0 ⇒ x = 0, x = ±2, −2 /∈ [−1, 5)
6. f 00(x) = 12x2 − 8 = 12³
x −q
23
´³x +
q 23
´.q
23
= 0.81650
f 00(x) = 0 ⇒ x = ±q
23
7.
x −1 −q
23
0q
23
√ 2 5
semn
f 0 4 ++ + + 0 − − − 0 + +
comp. f 74.
% 169
& 4 & 169
& 0 % 529semn
lui f 00 + + 0 − − − 0 + + + +
concavit con-
vex
pct
inflex
con-
cav
con-
cav
pct
inflex
con-
vex
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 105/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 21
f (−q 23
) = ³−q 23´
4
− 4³−q 23´
2
+ 4 = 169 ,
f (q
23) =
³q 23
´4
− 4³q
23
´2+ 4 = 16
9 ,
f (√
2) =¡√
2¢4 − 4
¡√ 2¢2
+ 4 = 0limx%5
(x4 − 4x2 + 4) = 54 − 4 · 52 + 4 = 529,
-1 0 1 2 3 4 5
100
200
300
400
500
x
y
Mai clar, pe intervalul [−1, 3] graficul este
-1 0 1 2 3
20
40
x
y
1.5. Calcul diferential pentru functii de mai multe variabile.
Exercitiul 22. Fie functia f : R2 → R, f (x, y) = x3y2 + y Sa se calculeze derivatelepartiale ın punctul (1, 1) .
Rezolvare. ∂f (1, 1)
∂x = lim
x→1
f (x, 1) − f (1, 1)
x + 1 = lim
x→1
x3 + 1 − 2
x + 1 = lim
x→1
¡x2 + x + 1
¢ =
3.
Sau calculam direct, tinand seama ca y este constant, ∂f (x, y)
∂x
= 3x2y2, ∂f (1, 1)
∂x
=
3.∂f (1, 1)
∂y = lim
y→1
f (1, y) − f (1, 1)
y − 1 = lim
y→1
y2 + y − 2
y − 1 = lim
y→1(y + 1 + 1) = 3.
Sau ∂f (x, y)
∂y = 2x3y + 1,
∂f (1, 1)
∂y = 3.¨
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 106/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 22
Exemplul 10. Fie functia f : R2 → R, f (x, y) =
p x2 + y2 Sa se calculeze derivatele
partiale ın punctul (1, 1) .
Exemplul 11. Fie functia f : (0, ∞) × (0, ∞) → R, f (x, y) = xln y Sa se calculezederivatele partiale ın punctul (e, e) .
Exercitiul 23. S a se calculeze derivatele partiale de ordin ıntai ale functiei
Exemplul 12. a) f : R3 → R, f (x,y,z) = x3y2z + sin(xy),b) f : R2 \ {(0, 0)} → R, f (x, y) = ln(x2 + y2),c) f : (0, ∞) × (0, ∞) × R → R, f (x, y) = xyz
Rezolvare. a)
∂f (x,y,z)
∂x = 3x2
y2
z + y cos(xy) ,∂f (x,y,z)
∂y = 2x3yz + x cos(xy) ,
∂f (x,y,z)
∂z = x3y2.¨
Exercitiul 24. S a se veri fice teorema lui Schwarz pentru functia f : R2 \ {(0, 0)} → R, f (x, y) = ln(x2 + y2).
Exercitiul 25. S a se veri fice teorema lui Schwarz pentru functia f : R3 → R, f (x,y,z) = xey sin(πz) .
Exercitiul 26. S a se calculeze derivatele partiale de ordin doi ın punctul (1, 1) pentrufunctiile:
a) f : (0, ∞) × R → R, f (x, y) = xy ln xb) f : R3\ {(0, 0, 0)} → R, f (x,y,z) =
p x2 + y2 + z2,
c) f : R \ {0} × R → R, f (x, y) = arctg y
x,
d) f : R2 → R, f (x, y) = arctg(xy).
Exemplul 13. S a se scrie diferentialele functiilor 1. f : R2 → R, f (x, y) = x + y,
2. f : R2Â {(x, y)∈R2 : y = 0}
→R, f (x, y) =
x
y
,
3. f : R2Â {(x, y) ∈ R2 : x ≤ 0} → R, f (x, y) = xy.
7/21/2019 Algebra Liniara Sem CTI
http://slidepdf.com/reader/full/algebra-liniara-sem-cti 107/107
SEMINARUL NR. 13 ANALIZA MATEMATICA 23
Rezolvare. 1. ∂f (x, y)
∂x = 1,
∂f (x, y)
∂y = 1, df (x, y) =
∂f (x, y)
∂x dx +
∂f (x, y)
∂y dy =
dx + dy.2.
∂f (x, y)
∂x =
1
y, ∂f (x, y)
∂y = − x
y2, df (x, y) =
∂f (x, y)
∂x dx +
∂ f (x, y)
∂y dy =
1
ydx −
x
y2dy.
3. ∂f (x, y)
∂x = yxy−1,
∂f (x, y)
∂y = xy ln x, df (x, y) =
∂f (x, y)
∂x dx +
∂f (x, y)
∂y dy =
yxy−1dx + xy ln xdy.
Exemplul 14. Se consider a functia f (x, y) = ln(ax + by), ax + by > 0.
S a se calculeze derivatele partiale de ordin ıntai si doi si diferent ialele de ordinunu si doi.
Rezolvare. ∂f (x, y)
∂x =
a
ax + by, ∂f (x, y)
∂y =
b
ax + by,
df (x, y) = ∂f (x, y)
∂x dx +
∂ f (x, y)
∂y dy =
adx + bdy
ax + by ,
∂ 2f (x, y)
∂x2 = − a2
(ax + by)2, ∂ 2f (x, y)
∂x∂y = − ab
(ax + by)2, ∂ 2f (x, y)
∂y2 = − b2
(ax + by)2,
d2f (x, y) = ∂ 2f (x, y)
∂x2 dx2 + 2
∂ 2f (x, y)
∂x∂y dxdy +
∂ 2f (x, y)
∂y2 dy2 =
= −a2dx2 + 2abdxdy + b2dy2
(ax + by)2 = −(adx + bdy)2
(ax + by)2 .
Exercitiul 27. S a se determine operatorul Laplace
∆ : A∆ → R,∆f (x, y) = ∂ 2f
∂ 2 (x, y) +
∂ 2f
∂ 2 (x, y) ,dac a exist˘ a, pentru