algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=simralgebra_w… · okrąg hiperbolaelipsa parabola...
TRANSCRIPT
![Page 1: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/1.jpg)
ALGEBRA
Algebra
WYKŁAD 8
![Page 2: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Geometria analityczna
![Page 3: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Geometria analityczna
ALGEBRA 3
Geometria analityczna – dział geometrii zajmujący się
badaniem figur geometrycznych metodami analitycznymi
(obliczeniowymi) i algebraicznymi.
Złożone rozważania geometryczne zostają w geometrii
analitycznej sprowadzone do rozwiązywania układów równań,
które opisują badane figury.
Początki geometrii analitycznej są związane z nazwiskami
Fermata, Pascala oraz Kartezjusza, którzy jako pierwsi
punktom na płaszczyźnie przypisali pary liczb nazywane
ich współrzędnymi, a pewne zależności między współrzędnymi
w danym układzie współrzędnych utożsamili z krzywymi
na płaszczyźnie
![Page 4: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Geometria analityczna
ALGEBRA
Definicja
Układem współrzędnych kartezjańskich nazywamy układ
współrzędnych, w którym zadane są:
punkt zwany początkiem układu współrzędnych, którego
wszystkie współrzędne są równe zeru, często oznaczany literą
O lub cyfrą 0.
zestaw parami prostopadłych osi liczbowych zwanych osiami
układu współrzędnych.
Kartezjusz (René Descartes) x
0 y
z
![Page 5: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/5.jpg)
Na zajęciach będziemy zajmować się głównie obiektami
w przestrzeni trójwymiarowej.
Pierwsze dwa wykłady stanowią przypomnienie
i uzupełnienie pojęć znanych ze szkoły średniej
w przestrzeni dwuwymiarowej (na płaszczyźnie)
ALGEBRA
Geometria analityczna
![Page 6: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/6.jpg)
ALGEBRA
Krzywa stożkowa – zbiór punktów będący częścią wspólną powierzchni stożka obrotowego, i płaszczyzny.
Krzywe stożkowe
okrąg elipsa parabola hiperbola
para prostych punkt prosta
![Page 7: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/7.jpg)
ALGEBRA
Typ krzywej zależy od kąta, jaki tworzy płaszczyzna przecinająca z osią stożka i jego tworzącą:
Gdy płaszczyzna tnąca jest prostopadła do osi stożka i nie przechodzi przez jego wierzchołek otrzymujemy okrąg.
W przypadku, gdy kąt pomiędzy płaszczyzną przecinającą a osią stożka jest większy od kąta między tworzącą a osią stożka, krzywą stożkową jest elipsa.
Jeżeli tworząca jest równoległa do płaszczyzny tnącej, to krzywą stożkową jest parabola.
W szczególnym przypadku, gdy płaszczyzna tnąca pokrywa się z tworzącą, otrzymujemy prostą (nie zaliczaną do krzywych stożkowych).
Krzywe stożkowe
![Page 8: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/8.jpg)
ALGEBRA
Jeżeli kąt pomiędzy płaszczyzną tnącą a osią stożka jest mniejszy od kąta pomiędzy osią stożka a jego tworzącą, to otrzymana krzywa stożkowa jest hiperbolą.
Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca jest równoległa do osi stożka, ale nie obejmuje tej osi.
W szczególnym przypadku, gdy oś stożka jest zawarta w płaszczyźnie tnącej, otrzymujemy parę przecinających się prostych, nie zaliczaną do stożkowych.
Krzywe stożkowe
![Page 9: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/9.jpg)
ALGEBRA
Krzywe stożkowe mogą być definiowane (równoważnie) na kilka sposobów.
Są również nazywane krzywymi drugiego stopnia, gdyż można je w kartezjańskim układzie współrzędnych opisać równaniami algebraicznymi drugiego stopnia względem zmiennych x i y.
Krzywe stożkowe
![Page 10: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/10.jpg)
ALGEBRA
Definicja
Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których
suma odległości od dwóch danych punktów F1 i F2 jest stała i większa
od odległości tych punktów.
Punkty F1 i F2 nazywamy ogniskami elipsy.
Promieniami wodzącymi punktu P nazywamy odcinki PF1 oraz PF2
Środek odcinka łączącego ogniska nazywamy środkiem elipsy.
P’(x,y)
P’’(x,y)
Elipsa
![Page 11: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/11.jpg)
ALGEBRA
Osią wielką elipsy nazywamy odcinek A1A2 (punkty A1 i A2 to punkty
przecięcia prostej wyznaczonej przez ogniska z elipsą).
Osią małą elipsy nazywamy odcinek B1B2 (punkty B1 i B2 to punkty przecięcia
symetralnej osi wielkiej z elipsą).
Odległość ognisk elipsy |F1F2| nazywamy ogniskową elipsy.
Stosunek ogniskowej do długości osi wielkiej nazywamy mimośrodem elipsy
i oznaczamy literą e:
Elipsa
1||
||
21
21 AA
FFe
![Page 12: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/12.jpg)
ALGEBRA
Niech |PF1| +|PF2| = 2a, gdzie a > 0
aycxycx 2)()( 2222
2222 )(2)( ycxaycx
222222 )()(44)( ycxycxaaycx
222 44)(4 acxycxa
42222222 2)2( acxaxcycxcxa
42222222222 22 acxaxcyacaxcaxa
Elipsa
![Page 13: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/13.jpg)
ALGEBRA
22422222 )( caayaxca
)()( 22222222 caayaxca
222 cabNiech 222222 bayaxb
12
2
2
2
b
y
a
xPostać standardowa równania elipsy
a - długość półosi wielkiej
b - długość półosi małej
Elipsa
![Page 14: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/14.jpg)
ALGEBRA
wierzchołki
oś wielka
oś mała
długość półosi wielkiej = a
długość półosi małej = b
Elipsa
12
2
2
2
b
y
a
x
![Page 15: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/15.jpg)
ALGEBRA
Kierownicami elipsy nazywamy proste o równaniach
c
ax
c
ax
22
oraz
Ponieważ mimośród a
ce
równania kierownic można zapisać
w równoważnej postaci
e
ax
e
ax oraz
Uwaga Stosunek odległości punktu elipsy od ogniska do odległości tego punktu od kierownicy (leżącej po tej samej stronie co ognisko) jest stały i równy mimośrodowi.
Elipsa
![Page 16: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/16.jpg)
ALGEBRA
kierownica
Elipsa
![Page 17: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/17.jpg)
ALGEBRA
długość odcinka jest równa
Elipsa
a
bp
222
Parametrem elipsy nazywamy długość cięciwy przechodzącej przez
ognisko i prostopadłej do osi wielkiej. Oznaczamy go przez 2p.
Półparametr p ma wartość
a
bp
2
![Page 18: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/18.jpg)
ALGEBRA
Elipsa
Normalna do elipsy jest dwusieczną kąta między promieniami wodzącymi. Stąd sygnały świetlne, lub dźwiękowe wysłane z jednego ogniska, po odbiciu się od elipsy dochodzą jednocześnie do drugiego ogniska.
![Page 19: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/19.jpg)
ALGEBRA
Równanie elipsy o środku (x0, y0) oraz osiach 2a i 2b, równoległych do osi układu współrzędnych ma postać.
1)()(
2
2
0
2
2
0
b
yy
a
xx
Jej ogniska F1 i F2 maja współrzędne
),(,),( 002001 yxcFyxcF
gdzie 2c jest ogniskową elipsy.
Elipsa
![Page 20: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/20.jpg)
ALGEBRA
Elipsa
Jeżeli odcinek o długości a+b ślizga się jednym końcem po osi Ox, a drugim
po osi Oy, to punkt M dzielący ten odcinek w stosunku a:b zakreśla elipsę o
półosiach a, b gdy a b , lub okrąg gdy a = b.
Każdy punkt przedłużenia tego odcinka również zakreśla pewną elipsę.
Jest to podstawą konstrukcji przyrządu do kreślenia elips – elipsografu.
![Page 21: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/21.jpg)
![Page 22: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/22.jpg)
ALGEBRA
Elipsa
Elipsa jest szczególnym przypadkiem hypotrochoidy, gdy R = 2r;
(na rysunku R = 10, r = 5, d = 1).
![Page 23: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/23.jpg)
ALGEBRA
Orbity planet
![Page 24: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/24.jpg)
Definicja
Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których moduł różnicy
odległości od dwóch danych punktów F1 i F2 jest stały i mniejszy od |F1F2|.
Punkty F1 i F2 nazywamy ogniskami hiperboli.
Odległość między ogniskami hiperboli |F1F2| nazywamy ogniskową hiperboli.
Punkty przecięcia hiperboli i prostej wyznaczonej przez ogniska nazywamy wierzchołkami hiperboli.
Odcinek |A1A2| o końcach w wierzchołkach nazywamy osią rzeczywistą hiperboli.
Mimośrodem hiperboli nazywamy stosunek ogniskowej do długości osi rzeczywistej:
1||
||
21
21 AA
FFe
Hiperbola
![Page 25: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/25.jpg)
Niech | |PF1| - |PF2| | = 2a gdzie a > 0
aycxycx 2|)()(| 2222
2222 )(2)( ycxaycx
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx
222 44)(4 acxycxa
42222222 2)2( acxaxcycxcxa
42222222222 22 acxaxcyacaxcaxa
Hiperbola
![Page 26: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/26.jpg)
42222222 )( acayaxac
)()( 22222222 acayaxac
222Niech acb 222222 bayaxb
12
2
2
2
b
y
a
x Postać standardowa równania
hiperboli
Hiperbola
![Page 27: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/27.jpg)
wierzchołki
oś rzeczywista
oś urojona
Hiperbola
![Page 28: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/28.jpg)
asymptoty
xa
by Równania asymptot :
Hiperbola
![Page 29: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/29.jpg)
ALGEBRA
Kierownicami hiperboli nazywamy proste o równaniach
c
ax
c
ax
22
oraz
Ponieważ mimośród a
ce
równania kierownic można zapisać
w równoważnej postaci
e
ax
e
ax oraz
Uwaga Stosunek odległości punktu hiperboli od ogniska do odległości tego punktu od kierownicy (leżącej po tej samej stronie co ognisko) jest stały i równy mimośrodowi.
Hiperbola
![Page 30: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/30.jpg)
ALGEBRA
Hiperbola
kierownice
![Page 31: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/31.jpg)
ALGEBRA
długość odcinka jest równa
Hiperbola
a
bp
222
Parametrem hiperboli nazywamy długość cięciwy przechodzącej
przez ognisko i prostopadłej do osi wielkiej i oznaczamy 2p. Półparametr ma wartość
a
bp
2
![Page 32: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/32.jpg)
Inna postać hiperboli
12
2
2
2
a
x
b
y
Hiperbola
![Page 33: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/33.jpg)
Jeżeli a = b, wówczas hiperbola jest równoosiowa
222 ayx 12
2
2
2
b
y
a
x
Hiperbola
![Page 34: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/34.jpg)
12
2
2
2
b
x
a
y 222 axy
Hiperbola
![Page 35: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/35.jpg)
Przy obrocie o 45o równanie hiperboli równoosiowej
x2 – y2 = a2 przyjmuje postać 2
2axy
Hiperbola
![Page 36: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/36.jpg)
ALGEBRA
Równanie hiperboli o środku (x0, y0), ogniskowej 2c oraz osi
rzeczywistej 2a, która jest równoległa do osi Ox ma postać
1)()(
2
2
0
2
2
0
b
yy
a
xx
gdzie 22 acb .
Jej ogniska F1 i F2 mają współrzędne
),(,),( 002001 yxcFyxcF
Hiperbola
![Page 37: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/37.jpg)
ALGEBRA
Definicja Parabolą nazywamy zbiór punktów płaszczyzny równo oddalonych od ustalonego punktu F (ogniska) oraz prostej k nieprzechodzącej przez punkt F. Prostą k nazywamy kierownicą paraboli.
Parabola
O F(p/2, 0)
- p/2 x
y
P N
k: x= - p/2
|PF |= |PN|
![Page 38: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/38.jpg)
Z definicji paraboli |PF |= |PN|
2)
2( 22 p
xyp
x
222 )2
()2
(p
xyp
x
44
222
22 p
pxxyp
pxx
pxy 22 standardowa postać rownania
paraboli
Parabola
![Page 39: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/39.jpg)
ALGEBRA
Stała 2p jest nazywana parametrem paraboli, zaś p półparametrem.
Mimośród paraboli jest równy 1.
Parabola
O F(p/2, 0) - p/2 x
y
N
k: x= - p/2
|PF |= |PN|
długość odcinka jest równa 2p
![Page 40: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/40.jpg)
ALGEBRA
Równanie paraboli o wierzchołku (x0, y0), parametrze 2p,
której oś symetrii jest równoległa do osi Ox ma postać
)(2)( 0
2
0 xxpyy
Równanie kierownicy takiej paraboli
20
pxx
Ognisko F ma współrzędne
),2
( 00 yp
xF
Parabola
![Page 41: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/41.jpg)
ALGEBRA
Własności odbiciowe paraboli:
każdy promień "wpadający" do paraboli, prostopadły do kierownicy po odbiciu się od paraboli trafia w ognisko,
promienie wychodzące z ogniska po odbiciu się od paraboli tworzą wiązkę równoległą.
Parabola
O F(p/2, 0) x
y
![Page 42: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/42.jpg)
![Page 43: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/43.jpg)
All rays parallel to the axis are concentrated to a point (the
focus).
All paths from a wavefront to the focus are of equal length.
Parabola: wavefront
![Page 44: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/44.jpg)
Hyperbola:
A
B
• Light converging towards B -> reflecting off the
hyperbola: converges at A
• For an arbitrary point P on the hyperbola,
(AP – BP) = constant
P
![Page 45: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/45.jpg)
Ellipse:
.
Source at one focus.
Rays are reflected by the ellipse to the second focus
And all these paths have the same distance
![Page 46: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/46.jpg)
Correctly focussed antenna:
Equi-length paths from axial
wavefront to the receiver
![Page 47: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/47.jpg)
Signal path:
![Page 48: Algebra - mini.pw.edu.plfigurny/www/?download=SIMRAlgebra_W… · okrąg hiperbolaelipsa parabola punkt para prostych prosta . ... Hiperbola powstaje również, gdy płaszczyzna tnąca](https://reader031.vdocuments.pub/reader031/viewer/2022022418/5a712c537f8b9ab1538c97ce/html5/thumbnails/48.jpg)