Álgebra superior bravo-rincón-rincón

8/10/2019 Álgebra Superior Bravo-Rincón-Rincón

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A LEJANDRO BRAVO MOJICA

HUGO R INCÓN MEJÍA

CESAR R INCÓN ORTA

Á LGEBRA SUPERIOR

F ACULTAD DE CIENCIAS, UNAM

2006



Á LGEBRA SUPERIOR 1ª edición, 2006

Diseño de portada: Laura Uribe

©Universidad Nacional Autónoma de México,

Facultad de Ciencias

ISBN: 968-32-3750-9

Impreso y hecho en México



Índice general

Prefacio ix

1 Lógica proposicional 11.1 Conceptos primitivos. Verdad, falsedad . . . . . . . . . . . . . 11.2 Conectivos lógicos y Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . 51.3 Tautologías y absurdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Sistemas completos de conectivos . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5 Reglas de inferencia, deducciones . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1 Regla del reemplazo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2 Regla de la tautología . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.5.3 Negaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.4 Inferencias no válidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 Reducción al absurdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7 Apéndice. Sistemas formales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7.1 El sistema formal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.8 El Teorema de la deducción y las hipótesis adicionales . . . . 411.9 Valuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.10 Cuantificadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2 Conjuntos y funciones 612.1 Axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.1.1 Pertenencia y contención . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.1.2 Especificación y existencia . . . . . . . . . . . . . . . . 652.1.3 No hay un conjunto de todos los conjuntos . . . . . . . 662.1.4 Intersecciones y complementos . . . . . . . . . . . . . . 672.1.5 Uniones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.1.6 Familias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.1.7 La diferencia simétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

iii



iv ÍNDICE GENERAL

2.1.8 El conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.2 Parejas ordenadas, producto cartesiano y relaciones . . . . . . 79

2.2.1 Axioma de regularidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.2.2 Órdenes parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.2.3 Retículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

2.3 Orden en un producto de conjuntos ordenados . . . . . . . . . 922.4 Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.4.1 Funciones inyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 982.4.2 Funciones suprayectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1012.4.3 Funciones biyectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

2.5 Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.5.1 Axioma del infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072.5.2 Conjuntos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

2.6 Imágenes directas e imágenes inversas . . . . . . . . . . . . . . 1122.7 Relaciones de equivalencia y particiones . . . . . . . . . . . . . 1172.8 La relación de equivalencia generada por una relación . . . . . 1252.9 Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

2.9.1 La restricción de una operación . . . . . . . . . . . . . 1352.9.2 Operaciones asociativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.9.3 Tablas de multiplicar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

3 El conjunto N de los números naturales 1433.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.2 Los axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1443.3 Construcción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.4 Definiciones recursivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.5 Demostraciones inductivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1573.6 Conjuntos transitivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

3.7 Conjuntos infinitos y conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . 1613.8 El conjunto de los naturales es un conjunto infinito . . . . . . 1613.9 El orden en los naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1673.10 Recursión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.11 Las propiedades algebraicas de los naturales . . . . . . . . . . 174

3.11.1 La suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1743.11.2 El producto en N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833.11.3 Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

3.12 Apéndice. Sobre las definiciones recursivas . . . . . . . . . . . 190



ÍNDICE GENERAL v

4 Los números enteros 1974.1 Construcción y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.2 El orden en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014.2.1 Los enteros positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

4.3 Inmersión de los naturales en los enteros . . . . . . . . . . . . 2024.4 El producto en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2034.5 El algoritmo de la división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2084.6 Divisibilidad y congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

4.6.1 Subconjuntos de Z cerrados bajo la resta. . . . . . . . 2104.6.2 El máximo común divisor . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.6.3 El mínimo común múltiplo . . . . . . . . . . . . . . . . 2184.7 El Teorema fundamental de la Aritmética . . . . . . . . . . . 2264.7.1 El conjunto de primos es infinito . . . . . . . . . . . . 230

4.8 El algoritmo de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2314.9 El anillo de los enteros módulo n . . . . . . . . . . . . . . . . 2344.10 Congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2404.11 Sistemas de congruencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

4.11.1 El Teorema chino del residuo . . . . . . . . . . . . . . 2474.12 Ecuaciones diofantinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2554.13 Sistemas de numeración con bases distintas de 10 . . . . . . . 262

4.13.1 Algunos criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . 2674.14 Los números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

4.14.1 La suma en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2734.14.2 El producto en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2744.14.3 El orden en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2754.14.4 Inmersión de Z en Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

5 ¿De cuántas maneras? 2815.1 ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto con elementos? . . 2875.1.1 El principio de la pichoneras . . . . . . . . . . . . . . . 291

5.2 Subconjuntos con k elementos de un conjunto con elementos 2925.3 Permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

5.3.1 Ordenaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3005.4 ¿Cuántas funciones suprayectivas hay de a ? . . . . . . . . 308

5.4.1 Relación de recurrencia para P . . . . . . . . . . . . . 311

5.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313



vi ÍNDICE GENERAL

6 El campo de los números reales 3316.1 Consideraciones generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

6.2 Construcción de R a partir de las cortaduras en Q . . . . . . . 3336.3 Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3396.4 El producto en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3486.5 Supremos e ínfimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356

6.5.1 El principio del supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . 3576.5.2 La recta está completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

6.6 Representación decimal de un número real . . . . . . . . . . . 363

7 El campo C de los números complejos 369

7.1 La inmersión de R en C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3757.1.1 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375

7.2 La conjugación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3777.3 La norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3797.4 La ecuación general de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . 381

7.4.1 Sistemas de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3857.5 Representación geométrica de los números complejos . . . . . 388

7.5.1 Pasar de coordenadas rectangulares a forma polar . . . 3897.6 Raíces

ésimas de un número complejo . . . . . . . . . . . . 395

7.7 El argumento de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . 3987.8 Algunas transformaciones del plano . . . . . . . . . . . . . . . 399

7.8.1 Contracciones y expansiones . . . . . . . . . . . . . . . 3997.8.2 Rotaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4007.8.3 Reflexión sobre el eje . . . . . . . . . . . . . . . . . 4007.8.4 Reflexión respecto al origen . . . . . . . . . . . . . . . 401

7.9 La función exponencial compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . 4017.9.1 Representación geométrica de algunas rectas bajo la

transformación E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4047.9.2 La función logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

7.10 Las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

8 Espacios vectoriales 4118.1 Conceptos preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4118.2 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4208.3 Subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

8.3.1 Dependencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4318.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436



ÍNDICE GENERAL vii

8.4.1 Intersección de subespacios y suma de subespacios . . . 4448.5 Producto punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445

8.6 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4528.6.1 El rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453

8.7 Funciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4568.8 La matriz de una función lineal entre

. . . . . . . 4618.9 Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

8.9.1 Algunas definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4708.9.2 Un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales 4758.9.3 Algoritmo para la solución de sistemas de ecuaciones

lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4808.10 Matrices reducidas y escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . 4888.11 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497

8.11.1 Notaciones para permutaciones . . . . . . . . . . . . . 4978.11.2 La paridad de una permutación . . . . . . . . . . . . . 5028.11.3 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5048.11.4 El desarrollo del determinante respecto a un renglón . 5068.11.5 El determinante de un producto de matrices I . . . . . 5138.11.6 Determinantes y rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5188.11.7 El determinante de un producto de matrices II . . . . . 5228.11.8 Matrices invertibles y determinantes . . . . . . . . . . 5288.11.9 La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5318.11.10Determinantes y funciones multilineales . . . . . . . . . 5328.11.11 Resumen de las propiedades del determinante . . . . . 535

9 Polinomios con coeficientes en R 5399.1 Construcción y definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5409.2 Evaluación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5479.3 Los ideales de R [] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550

9.3.1 Traslación de la gráfica de un polinomio . . . . . . . . 5609.3.2 El método de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565

9.4 Un procedimiento gráfico para resolver algunas desigualdades . 5699.4.1 Procedimiento gráfico para resolver la desigualdad ()

0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5719.4.2 Una aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573

9.5 Reflexión sobre el eje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5749.6 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5749.7 Valores intermedios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578



viii ÍNDICE GENERAL

9.8 Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5829.9 Derivadas y multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591

9.10 El teorema de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5949.11 Regla de los signos de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . 6059.12 Raíces racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6109.13 Coeficientes y raíces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6129.14 Polinomios de tercer grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615

9.14.1 El discriminante y número de raíces reales . . . . . . . 6169.15 Polinomios de grado cuatro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6239.16 Otra construcción de C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625

A Una teoría axiomática para R 629A.1 Los axiomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

A.1.1 Axiomas, Grupo I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629

B Las funciones trascendentes 633B.1 “Un cúmulo de conocimientos previos” . . . . . . . . . . . . . 633B.2 Hipótesis. (Mosaico 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639B.3 La función exponencial (2a. versión) . . . . . . . . . . . . . . 640B.4 Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645



Prefacio

La Matemática es una ciencia viva. Cada año incorpora a su acervo miles de

teoremas. Cada día se producen nuevos resultados. Aparecen nuevas teoríasy se actualizan las que son clásicas. Se mejoran todas. La tecnología apor-ta nuevos puntos de vista; otra manera de enfocar los temas sustantivos deésta, que es la más pura expresión de la inteligencia humana Sin embargo,dentro de esta revolución de nuevas ideas, se distinguen aquellas que porsu trascendencia se conservan incólumes. Apenas tocadas por el maquillajede las nuevas formas de expresión. La Geometría de Euclides, enriquecidacon las precisiones de Hilbert, permanece subyacente en una gran parte delconocimiento científico. Y qué decir del Álgebra, el lenguaje universal con el

que se expresa la Matemática. Las ciencias de la computación han cambia-do sustancialmente el proceso de enseñanza-aprendizaje, pero los conceptosbásicos y la lógica con la que deben manejarse siguen siendo vigentes y suimportante relevancia se reconoce en el énfasis que se pone en los contenidoscurriculares de los primeros cursos de las diferentes licenciaturas que no aban-donan la enseñanza de la Geometría ni del Álgebra.

La idea central que nos motivó para escribir este libro fue la de realizarun intento para reunir algunas partes esenciales de ese conocimiento sobre elque se construye y desarrolla el edificio de la Matemática La experiencia demuchos cursos de álgebra básica que los estudiantes toman en los primerossemestres de sus carreras y que los autores hemos impartido durante variosaños en las facultades de Ciencias y de Química de la UNAM, nos llevaron aseleccionar el contenido, y conscientes de que el problema del rigor es uno delos parámetros más importantes en el proceso de la enseñanza-aprendizaje dela Matemática, decidimos mantener éste en un grado de dificultad adecua-do para buscar el equilibrio -el justo balance- entre el formalismo deseadoy el nivel de conocimientos y habilidades con que -sabemos- ingresan nue-stros alumnos a las licenciaturas. Nos queda claro que el aprendizaje de la

ix



x PREFACIO

Matemática exige la formación de estructuras mentales de la más alta calidad,que obviamente, no pueden generarse de la nada. Para lograr un aprendizaje

significativo, es indispensable ante todo, una buena formación previa y serequiere además un esfuerzo mantenido -constante- por parte del estudiosoque debe “hacer suyo el conocimiento”. Que necesita ir modificando sus mar-cos conceptuales y desarrollando el caudal de habilidades y de herramientasteóricas que le permitan continuar con buen éxito su desarrollo profesional.Enfatizamos aquí la importancia de este esfuerzo, convencidos de que cadaresultado, cada definición, cada concepto que el estudiante ignora produce,cuando aparece en un discurso, un “cono de sombra” que oscurece, ocultao distorsiona una parte significativa del desarrollo posterior de teoría, que

puede en muchos casos, volverse inentendible para él.

AgradecimientosAgradecemos a los árbitros por la cuidadosa lectura del texto, y por sus

valiosos comentarios y sugerencias.Agradecemos a Rolando Gómez Macedo por haber señalado multitud de

errores tipográficos.Agradecemos al Dr. Carlos Velarde por las ilustraciones de la transfor-

mación geométrica producida por la función exponencial compleja.

A todas las personas que contribuyeron de alguna manera a la realizaciónde este libro, les agradecemos su ayuda e interés.



Capítulo 1

Lógica proposicional

Puede decirse que la Lógica matemática es una teoría analítica del arte derazonar, y uno de sus principales objetivos es sistematizar (codificar) losprincipios que rigen los razonamientos válidos. Surge de la forma en queusamos el lenguaje para argumentar y persuadir, y se basa en la identificaciónde las partes esenciales de este lenguaje que se requieren para tal propósito.Es, en este sentido, una Teoría axiomática intuitiva , que tiene como uno desus propósitos fundamentales el de clasificar los razonamientos dentro de dos

clases: los válidos y los no válidos.De una manera informal, diremos que un razonamiento es válido cuan-

do nos permite obtener conclusiones verdaderas si uno ha comenzado conproposiciones verdaderas (las hipótesis). En cambio, un razonamiento quea partir de proposiciones verdaderas produzca conclusiones falsas, no es unrazonamiento válido.

En este texto daremos una pequeña introducción al tema de la LógicaMatemática. El lector que quiera profundizar, puede consultar: [7], [18].

1.1 Conceptos primitivos. Verdad, falsedad

Comenzaremos con los conceptos primitivos de Falso (F ó 0) y de Verdadero(V ó 1). Decimos que ambos conceptos son primitivos porque no los expli-camos en términos de conceptos más elementales.

Es claro que el proceso de “explicar” no puede ser infinito, porque en-tonces nunca podríamos hablar de nada, nos la pasaríamos “explicando”cada concepto usado e inventando nuevos. Para dar una imagen de esto,

1



2 CAPÍTULO 1. LÓGICA PROPOSICIONAL

intenten decir lo que es una casa. Al hacer esto han tenido que usar algunaspalabras, que tendrían que explicarse a su vez, etc.

Por ejemplo, los diccionarios al explicarnos el significado de algo apelana cierto conocimiento (lo correspondiente al concepto “primitivo”) previoque tiene el lector, porque siempre se cae en descripciones que usan algunapalabra que no se ha explicado.

• Persona: un ser humano.

• Humano : que consiste o esta producido por gente.

• Gente: Un grupo de personas con lazos tradicionales comunes.

Ejemplo 1 Otro ejemplo tomado de un conocido diccionario de la Lengua española:

• Aumento: acrecentamiento de una cosa.

• Acrecentamiento: Aumento.

Como vimos en el ejemplo previo, si no supiéramos el significado de algunade las dos palabras, aumento o acrecentamiento, el diccionario nos dejaría enla misma situación.

Así pues, no definiremos lo que significan las palabras falso y verdaderoy supondremos que todos tenemos un concepto primitivo de ellas.

En particular, debemos estar de acuerdo en que una afirmación no puedeser falsa y verdadera a la vez.

Esperamos que todos estemos de acuerdo en que

“Un perro es un mamífero”es una afirmación verdadera y en que

“México es el país con mayor número de habitantes”

es una afirmación falsa.

Definición 1 Diremos que una proposición es cualquier afirmación de la que pueda decidirse si es falsa o verdadera.



1.1. CONCEPTOS PRIMITIVOS. VERDAD, FALSEDAD 3

Así que aceptaremos en que “Un perro es un mamífero” y en que “Méxicoes el país con mayor número de habitantes” son proposiciones.

En cambio, la frase:

“Esta frase es falsa”, (1.1)

que es una frase rara puesto que habla de sí misma, no es una proposiciónya que no se puede clasificar como falsa o verdadera. (Piénsese en lo siguiente:cuando uno declara que es falsa, inmediatamente algo nos dice que resultaverdadera. Pero en el momento en que la va a dar uno por verdadera, sevuelve falsa).

En las siguientes líneas diga si son proposiciones las afirmaciones siguien-tes, en caso afirmativo, diga si la proposición correspondiente es falsa o ver-dadera.

Ejercicio 1

1. Hay un número mayor que todos los demás.

2. Todos los mexicanos hablan español.

3. Todos los españoles hablan en castellano.4. Si un animal pone huevos entonces es un ave o es un reptil.

5. Si un animal tiene ocho patas entonces es una araña.

6. ¡Viva México!

7. (Orwell) Todos los animales son iguales pero hay algunos que son másiguales que otros.

8. En un rincón del patio adonde nadie va, me gusta ir a subirme en labarda a pensar.

9. Todo cambia, pero no cambia mi amor ni el recuerdo de mi gente.

10. (Santa Teresa) Muero porque no muero.

Ejercicio 2 . Esta afirmación no es una proposición.

1. Si 2 + 2 = 4 entonces 3 · 3 = 9




2. Si 3 · 3 = 30 entonces 2 + 2 = 4

3. Si 2 + 2 6= 4 entonces 3 · 3 = 10

4. Si 2 + 2 6= 4 entonces 3 · 3 = 9

Ejercicio 3

1. La afirmación siguiente es verdadera.

2. La afirmación anterior es falsa.

Ejercicio 4

1. La afirmación siguiente es falsa.

2. La afirmación anterior es verdadera.

Ejercicio 5

1. La afirmación siguiente es falsa.

2. La afirmación anterior es falsa.

Ejercicio 6 . (Si encuentra algún inciso difícil, vea el ejercicio 30).1. Sócrates era inteligente.

2. Si Sócrates era griego, entonces Sócrates era inteligente.

3. Si Sócrates era tonto entonces Sócrates era tonto.

4. Si Sócrates era inteligente entonces Sócrates era tonto.

5. Si Sócrates era tonto entonces Sócrates era inteligente.

Para denotar las proposiciones usaremos letras como

Para que no se nos acaben, podemos usar mayúsculas

( )

o índices: 1 2 3



1.2. CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD 5

1.2 Conectivos lógicos y Tablas de verdad

Para formar nuevas proposiciones a partir de otras usaremos los conectivoslógicos:

“ ¬ ” “ ” “ ” “ ” “ ”

De tal manera que si son proposiciones, entonces también lo son:

¬

notemos también que nadie prohíbe tomar = .La calidad de falsa o verdadera que tiene una proposición como las anteri-

ores, depende de la calidad de falso o verdadero que tengan las proposicionesque la componen.

Definimos los conectivos lógicos mediante “tablas de verdad”.

La negación

El conectivo ¬.

Si es una proposición, denotaremos su negación por ¬ . (se lee: no ).

Definición 2 . “ ¬” queda definido por medio de la tabla:

¬ 0 11 0

Esta tabla nos dice que ¬ es una proposición que es verdadera cuando es falsa, o bien es falsa cuando es verdadera.

Por ejemplo, la negación de “Un perro es un mamífero” es la proposición(falsa) “Un perro no es un mamífero”.1

1Cabe mencionar que en nuestro idioma hay veces que una expresión como “no somosnada” está lejos de significar la negación de que somos nada: ¬(somos nada). Sino quesignifica que somos nada, dicho con énfasis.

De la misma manera, “ni nadie” significa “nadie”: “¡Ni tú ni nadie lo van a impedir!”¡Paso!, pidieron los tigres. ¡Ni nunca!, contestaron las mantarayas.




La conjunción

Enseguida definiremos la conjunción de dos proposiciones. Si , son proposi-ciones, su conjunción

(léase: y ) es la proposición que es verdadera cuando tanto como sonverdaderas.

Definición 3 . “ ” se define mediante la tabla:

0 0 0

0 1 01 0 01 1 1

“ ” se llama conjunción.

es falsa si alguna de las dos proposiciones (o ambas) es falsa.

La disyunción

Cuando , son proposiciones, podemos formar su disyunción,

que selee: o

es falsa sólo cuando tanto como son falsas. Así, basta con queuna de las proposiciones sea verdadera para que su disyunción sea verdadera.

En este sentido, la disyunción que se usa en la Lógica difiere del uso quese le da a la disyunción en el lenguaje cotidiano, en el que es frecuente que“o” se use en un sentido excluyente. En lenguaje cotidiano, en una expresióndel tipo “hoy comeremos carne u hoy comeremos verduras” va implícito quesólo sucederá una de las dos posibilidades.

En cambio, en el lenguaje de la lógica ((2 + 2 = 4) (3 · 3 = 9)) es ver-dadera y ambas proposiciones son verdaderas ((2 + 2 = 4), (3 · 3 = 9) ).El conectivo “” se llama disyunción.

Definición 4 “ ” se define mediante la tabla: :

0 0 00 1 11 0 1

1 1 1



1.2. CONECTIVOS LÓGICOS Y TABLAS DE VERDAD 7

es falsa cuando tanto como lo son.

El conectivo implicación

Dadas las proposiciones , , definimos la proposición ( implica )como la proposición que es cierta cuando es falsa o es verdadera. Así que si uno tiene que tanto como son verdaderas, sería porque esverdadera.

Definición 5 . El conectivo “ ”, se define por medio de la tabla:

0 0 10 1 11 0 01 1 1

se lee: “ implica ”,si entonces ;

“ sólo si ”,“ si ”,“ es condición suficiente para ”“ es condición necesaria para ”.

es falsa cuando es verdadera y es falsa.Recuérdese que si es falsa, entonces la proposición es verdadera

(“falso implica lo que sea” o: “de una proposición falsa se puede concluircualquier proposición”).

Recuérdese también que si es verdadera, entonces la proposición es verdadera.Así que

1. Si

2 es racional entonces 5 7.

2. Si 3 = 4 entonces 2 + 2 = 4,

son ambas proposiciones verdaderas.




El conectivo

Definición 6 . tiene la misma tabla de verdad que ( )( ): ( ) ( )0 0 1 1 10 1 1 0 01 0 0 1 01 1 1 1 1

(1.2)

Así que omitiendo dos columnas podemos escribir:

0 0 10 1 01 0 01 1 1

(1.3)

Así que es verdadera cuando los valores de verdad de y de coinciden. se lee:

“ si y sólo si ”

“ es equivalente a ”“ es condición necesaria y suficiente para ”.

1.3 Tautologías y absurdos

Hagamos ahora algunas tablas de verdad:

1. ( ) ( ) ( )

p (q r) (p q) (p r)0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 1 1 0 0 00 0 1 1 0 1 0 0 00 0 1 1 1 1 0 0 01 0 0 0 0 1 0 0 01 1 0 1 1 1 0 1 11 1 1 1 0 1 1 1 01 1 1 1 1 1 1 1 1



1.3. TAUTOLOGÍAS Y ABSURDOS 9

2. ¬( ) (¬ ) (¬ )

¬ ( ) (¬ ¬ )1 0 0 0 1 1 1 11 0 0 1 1 1 1 01 1 0 0 1 0 1 10 1 1 1 1 0 0 0

Notemos en las dos tablas anteriores, que las dos proposiciones siempretienen el valor de verdad 1. Las proposiciones con esta propiedad, que sonverdaderas independientemente de los valores de verdad de sus proposicionescomponentes, se llaman tautologías.En el otro extremo, las proposiciones que son falsas independientemente delos valores de verdad de sus proposiciones componentes, se llaman contradic-cciones o absurdos, frecuentemente las denotamos por

Ejercicio 7 . Verifique que ( ) ( ) ( ) es una tautología.

Ejercicio 8 . Verifique que (¬ ) es una tautología.

Ejercicio 9 . Verifique que [ ( )] es una tautología.

Ejercicio 10 . Verifique que es una tautología.

Ejercicio 11 . Verifique que ¬ es un absurdo.

Ejercicio 12 . Verifique que ³

´ es un absurdo.

Ejercicio 13 . Verifique que (

)

¬ no es ni tautología ni absurdo.

Ejemplos 2 . Algunas otras tautologías importantes son las siguientes:

1. ( ) ( ) ( ) (distributividad de “ ” sobre “ ”).

2. ( ) ( ) ( )(distributividad de “ ” sobre “ ”).

3. ( ) ( ) (asociatividad).

4.

(

)

(

)

(asociatividad).




5. ¬ ( ) (¬ ¬ ). (ley de De Morgan).

6. ¬ ( ) (¬ ¬ ) (ley de De Morgan).

7. ( ) ( ) (conmutatividad).

8. ( ) ( ) (conmutatividad).

9. ¬ ( ) ( ¬ )

10. ( ) (¬ ¬ ) (contrapuesta).

11. ( ) (¬ ¬ )

En vista de las asociatividades de “ ”, y “ ”, se puede preguntar unosi “ ” también lo es. Explícitamente nos preguntamos si

[ ( )] [( ) ]

es una tautología.

Para resolver esto, tenemos dos maneras de proceder: una, haciendo latabla de verdad completa con sus 8 renglones y la otra es tratar de encontrarvalores de verdad que hagan los valores respectivos de ( ) y de( ) distintos.

Por ejemplo, ( ) es falsa si es verdadera, es verdadera y es falsa. Para estos mismos valores de verdad tenemos que ( ) también es falsa.

Veamos ahora si podemos asignar valores de verdad que hagan falsa(

)

pero que hagan verdadera a

(

)

Una posibilidad es con falsa, con falsa y con cualquier valor de verdadpara :

[( ) ] [ ( )]0 1 0 0 0 0 0 1 10 1 1 0 0 0 0 1 0

así vemos que “ ” no es asociativa.

Proposición 1 .

(

) es una tautología.



1.4. SISTEMAS COMPLETOS DE CONECTIVOS 11

Demostración. Obsérvese la siguiente tabla

p ( q p )0 1 0 1 01 1 0 1 10 1 1 0 01 1 1 1 1

Ejercicio 14 . Muestre que ( ) ( Simplificación) es una tautología.

Ejercicio 15 . Muestre que ( ) ( Adición) es una tautología.

1.4 Sistemas completos de conectivos

Revisemos la lista de nuestros conectivos: “ ¬”, “ ”, “ ”, “ ”, “ ”.Algunos de ellos se pueden definir en términos de los demás: por ejemplo,

“ ” se puede definir en términos de “ ” y de “ ”, de la manera siguiente:

··· ( ) ( )

(Con el símbolo

···

indicamos que se está haciendo una definición),Veamos ahora que los demás conectivos también se pueden definir usandosólo “ ¬” y “ ” .

¬[¬( )] ¬[¬ ¬ )]

Por lo que podríamos definir el conectivo “ ” de la manera siguiente:

··· ¬[¬ ¬ )]

Ahora,

( ) ¬[¬( )] ¬[ ¬ ]Así que “ ”, “ ”, “ ” quedan definidos en términos de “ ¬” y de “ ”.

No hemos definido todos los posibles conectivos, ¿cuántos conectivos bi-narios hay? Tantos como tablas de la forma

0 ? 00 ? 11 ? 0

1 ? 1




Es claro que como para cada renglón hay 2 posibles definiciones, se tienen16 posibles conectivos binarios (¡bastantes más que los 4 que hemos usado:

“ ”, “ ”, “ ”, “ ” !).Proposición 2 . No importa como se defina el conectivo , éste se puede describir en términos de “ ¬” y de “ ” :

Demostración. Ya vimos que “ ”, “ ”, “ ” se puede describir entérminos de “ ¬” y de “ ”

Veamos la tabla de verdad de :

p q0 0 00 0 11 0 01 1 1

tiene un 1 en el 4 renglón y ceros en los demás renglones. Análogamente,¬p ¬q tiene un 1 en el primer renglón y 0 en los demás. De manera análogatenemos:

¬p ¬q1 1 1

1 0 00 0 10 0 0

¬p q1 0 0

1 1 10 0 00 0 1

p ¬q0 0 1

0 0 01 1 11 0 0

p q0 0 0

0 0 11 0 01 1 1

p (¬q q)0 0 1 0 0

0 0 0 0 11 0 1 0 01 0 0 0 1

Observando la tabla anterior denotemos 1 2 3 4 5 las proposiciones dela lista.

Consideremos un conectivo Si es absurda, entonces es equivalente a ¬ . Si no lo es y

tiene 1 en los renglones 1 entonces es equivalente con

1

Ejemplo 3 . Por ejemplo, si se definiera

0 0 00 1 11 0 0

1 1 1



1.4. SISTEMAS COMPLETOS DE CONECTIVOS 13

entonces:

2

4

(¬

)

(

)

En efecto,( ¬p q) (p q)

1 0 0 0 0 0 01 1 1 1 0 0 10 0 0 0 1 0 00 1 1 1 1 1 1

En vista de lo anterior, decimos que “ ¬” e “ ” forman un sistema

completo de conectivos, ya que, dada cualquier tabla de verdad con valoresasignados, se puede construir una proposición que corresponda a esa tablade verdad, utilizando únicamente los conectivos “ ¬” e “ ”.

Veamos ahora que “ ¬” e “ ” es un sistema completo de conectivos:

¬(¬ ) ¬[ (¬ )])

¬(¬( )) ¬(¬ ¬ ) ¬(¬[¬ ]) ¬

Ejercicio 16 . Demuestre que “ ¬” y “ ” es un sistema completo de conec-tivos.

Surge de manera natural la siguiente pregunta:¿Habrá un sistema completo que conste de un sólo conectivo?Si lo hubiera, tendría que ser binario. (Pues si es un conectivo unario,

entonces dadas dos proposiciones p, q, podríamos obtener las proposiciones

y por otra parte las proposiciones

pero nunca una proposición del tipo ó ).Ahora, notemos por ejemplo, que “ ” no forma por sí mismo un con-

junto completo de conectivos. Esto se debe a que




es una tautología,(

)

y( )

Notemos que de esta manera, a partir de y de “ ” las únicas proposicionesque podemos obtener son tautologías o proposiciones equivalentes a . Deesta manera, no podemos obtener ¬ .

Ejercicio 17 . Mostrar que “ ” no es un sistema completo de conectivos.

Ejercicio 18 . Mostrar que “ ” no es un sistema completo de conectivos.Intentemos encontrar un sistema completo que conste de un sólo conec-

tivo.Tomemos

p F q0 1 00 1 11 1 0

1 0 1Note que F es equivalente a la negación de pq.

Así pues, F ¬( ) ¬

Vemos que la negación queda definida en términos de FAdemás, como

F ¬( )

entonces:

( F )F( F ) ¬ [( F ) ( F )] ¬ [¬( ) ¬( )] ¬ [¬( )]

Así que “ ” queda definido en términos de F . Como “ ¬” y “ ” es unsistema completo de conectivos, entonces F también lo es.



1.5. REGLAS DE INFERENCIA, DEDUCCIONES 15

Ejercicio 19 . Encontrar otro conectivo que por sí mismo sea un sistema completo de conectivos. (¿O ya no hay otro? ¿Por qué?).

Ejercicio 20 . Construya una proposición compuesta por tal que tenga la siguiente tabla de verdad:

0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 1

1 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Ejercicio 21 . Construya una proposición compuesta por tal que tenga la siguiente tabla de verdad:

0 0 0 10 0 1 00 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 11 1 1 1

1.5 Reglas de inferencia, deducciones

Una regla de inferencia es una sucesión de proposiciones

1 2

tales que(

1

2

)




es una tautología.A las proposiciones 1 2 se les llama premisas y a se le llama

la conclusión. Una regla de inferencia suele esquematizarse de la siguientemanera:

1

2...

(1.4)

Ejemplo 4

Conjunción. (1.5)

Ejemplo 5

, Idempotencia. (1.6)

Ejemplo 6

,

Idempotencia. (1.7)

Ejemplo 7

,

Simplificación. (1.8)

Ejemplo 8

, Adición. (1.9)

Ejemplo 9

¬¬ ,

¬¬

Doble negación. (1.10)




Ejemplo 10

,

Conmutatividad. (1.11)

Ejemplo 11

Modus ponens. (1.12)

Ejemplo 12

¬

Tollendo ponens (negando, afirmo). (1.13)

Ejemplo 13

¬ ¬

Tollendo tollens. (1.14)

Ejemplo 14

¬ ¬ Contrapuesta. (1.15)

Ejemplo 15

Silogismo hipotético. (1.16)

Ejemplo 16

(

)

( ) ( )

(

)

(

)

( ) .“ ” se distribuye sobre “ ”(1.17)

Ejemplo 17

( ) ( )

Dilema constructivo. (1.18)




Ejemplo 18

( ) ( )¬ ¬

¬ ¬

Dilema destructivo. (1.19)

Ejemplo 19

( )

( )

( )

( )

. Exportación. (1.20)

Verifiquemos esto último:

( ) ( ) 0 1 0 1 0 1 0 1 01 1 0 1 0 1 0 1 00 1 1 0 0 1 0 1 01 0 1 0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 1 1 0 1 11 1 0 1 1 1 0 1 10 1 1 1 1 1 0 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

1.5.1 Regla del reemplazo

Proposición 3 . Si en una proposición compuesta , tal que una de sus proposiciones componentes es , entonces al reemplazar por una proposición

equivalente se obtiene una proposición equivalente a .Bosquejo de demostración:Notemos los siguientes casos particulares:

1. Si =: ¬ , y entonces =: ¬

¬ ¬ ¬ ¬ 0 1 0 1 1 11 1 1 0 0 1




2. Si =: , y entonces =:

0 0 1 0 0 0 10 1 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1


0 0 1 0 0 0 10 1 1 1 0 0 11 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1


0 0 1 0 1 1 1

0 1 1 1 0 0 11 0 1 0 1 1 11 1 1 1 1 1 1


0 0 1 0 1 1 10 1 1 1 1 1 1

1 0 1 0 0 0 11 1 1 1 1 1 1

Toda vez que hemos notado los 5 casos anteriores, veamos lo que tienenen común: en aparece solamente un conectivo.

Las proposiciones compuestas con dos conectivos en las que aparece se pueden construir a partir de los casos anteriores:

Por ejemplo, a partir de ¬ , podemos construir

¬ (¬ ) (¬ )

(¬ )

(¬ )

y

(¬ )




Como ya sabemos que en caso de que ¬ ¬ podemos sustituir¬ por ¬ para obtener una proposición equivalente a la original.

Otro caso:Si partimos de ( ), podemos obtener:

1. ¬ ( )

2. ( ) ( )

3. ( ) ( )

4. ( ) ( ).

Además de las que se obtienen si en lugar de ponemos o ponemos Notemos ahora que al sustituir por una proposición equivalente ob-

tenemos (equivalente a ). Entonces podemos sustituir ( )por ( ) para obtener una proposición equivalente a la original (usandoel caso de un solo conectivo).2

De manera análoga podemos analizar todos los casos en donde tiene

dos conectivos.Si tuviera tres conectivos entonces =: ¬ donde tiene sólo dosconectivos y en donde se puede sustituir por , o bien =: =: =: , donde y son proposiciones con menos de tresconectivos. Así que en y se puede reemplazar por

Si tiene 4 conectivos, se puede reducir a los casos anteriores en los quees válido sustituir por

Continuando de esta manera uno puede ver que en se puede sustituir por la proposición equivalente

1.5.2 Regla de la tautología

Proposición 4 (Regla de la tautología) . En una regla de inferencia válida, se puede incluir una tautología dentro de las hipótesis, obteniéndose una regla de inferencia válida.

2Una demostración completamente rigurosa, se puede hacer por inducción matemática.La inducción se verá en el capítulo acerca de los números naturales. En ese momento, ellector podrá adaptar este argumento y podrá hacer una demostración con toda propiedad.




Demostración. Por definición, una regla de inferencia es una sucesiónde proposiciones

1 2

tales que( 1 2 )

es una tautología.Por la observación anterior basta ver que

( 1 2 ) ( 1 2 )

es una tautología si es una tautología. Notemos que

( 1 2 )

es falsa o bien es verdadera. Si es falsa también

( 1 2 )

lo es; si es verdadera, también

( 1 2 )

lo es.

Proposición 5 . Sea ( 1 2 ) una tautología, entonces:

1. Si ( 1 2 ) es una tautología con entonces 1 2 +1 es una tautología.

2. Si 1 2 +1 es una tautología, entonces( 1 2 ) es una tautología.

En otras palabras: en una regla válida de inferencia se puede agregar uomitir, dentro de las hipótesis , una proposición que se obtenga de las ante-riores hipótesis usando una regla válida de inferencia.

Demostración. 1. Supongamos que

( 1

2

)




es una tautología, y sea una proposición. Observemos que

([( 1 2 ) ] ) ( [( 1 2 )] )

( [( 1 2 )] ]) ( |) |

(Con | denotamos una tautología).2. Afirmamos que si

1 2 +1

es una tautología y( 1 2 )

también lo es, entonces

( 1 2 )

es una tautología.Hagámonos la siguiente pregunta, ¿cómo podría suceder que ( 1 2

) no fuera una tautología? Es claro que esto sólo podría pasar si es falsa y 1 2 es verdadera. Ahora, 1 2 es verdaderasi y sólo si cada lo es, en particular las primeras lo serían. Pero si 1 2 son verdaderas, entonces también lo es , en vista de que

[( 1 2 ) ]

es una tautología. Entonces

1 2 +1

sería verdadera y como [ 1 2 +1 ] es una tau-tología entonces también sería verdadera.

El argumento anterior muestra que (( 1 2 ) ) es una tau-tología, tal como queríamos (en caso contrario tendríamos que es unaproposición falsa y verdadera, lo que no hay).




Ejemplo 20 . Consideremos el siguiente argumento:

( ) ( ) ( )¬

¿Es el argumento anterior, un argumento válido? Una manera de ver que este argumento es válido (es decir, es una regla válida de inferencia) sería viendo que la siguiente proposición es una tautología:

(( ( )) ( ( )) ( ( )) (¬))

La tabla completa ocuparía 25 = 32 renglones y más de 16 × 32 = 512, ceros y unos. Hacer esta tabla sería algo fastidioso.En lugar de hacer esto último, veremos que podemos llegar a la conclusión ,partiendo de las hipótesis y usando reglas válidas de inferencia. Como vimos en la observación anterior, este procedimiento está justificado.

Ejemplo 21 . Queremos ver que de las siguientes premisas (hipótesis) se puede inferir

1. ( )

2. ( )

3. ( )

4. ¬

5. ( ) (Exportación 1, reemplazo).6. ¬ ( ) (Tollendo tollens con 4 y 5).

7. ¬ ¬ (De Morgan, 6, reemplazo).

8. (Simplificación, 3).

9. ¬¬ (Doble negación, 8).

10. ¬ (Tollendo ponens, 9,7).




11. ( ) (Simplificación, 3).

12. (Tollendo ponens, 10, 11).13. (Conjunción 8, 12).

14. ( ) (Exportación, 2, reemplazo).

15. (Modus ponens 13, 12).

Observando la lista anterior y usando la observación precedente, podemosconcluir que

(

)

( ) ( )

¬

es una regla válida de inferencia.

Ejercicio 22 . Vuelva a hacer el ejemplo anterior, pero usando menos pa-sos.

Con tal de no hacer toda la tabla de verdad, podríamos hacer lo siguiente:respondamos la pregunta ¿cómo podría ser que

[( ( )) ( ( )) ( ( )) (¬)]

no fuera una tautología?Solamente que fuera falsa y que

( ( )) ( ( )) ( ( )) (¬)

fuera verdadera. Entonces sería falsa, y verdadera Con estas suposicioneshacer una tabla ya no es difícil, pues solamente constaría de 4 renglones deceros y unos:

( ) ( ) ( ) ( ) ¬

0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 10 1 1 0 0 0 0 1 1 1 11 0 1 0 0 1 1 0 0 1 11 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1

Como vemos, no se cumple que todas las hipótesis sean verdaderas. Así queno es posible que la conclusión sea falsa con las hipótesis verdaderas.




Ejercicio 23 . Demuestre que “ ” se distribuye sobre “ ”Es decir que

( ) ( ) ( )

y ( ) ( ) ( )

son reglas válidas de inferencia

Ejercicio 24 . Demuestre que “ ” se distribuye sobre “ ”.

Es decir que

( ) ( ) ( )

y ( ) ( ) ( )

son reglas válidas de inferencia.

Ejercicio 25 . Demuestre que “ ” se distribuye sobre “ ”. Es decir que

( ) ( ) ( )

y ( ) ( ) ( )

son reglas válidas de inferencia.

Ejercicio 26 . Demuestre que “ ” no se distribuye sobre “ ”

Ejemplo 22 . Veamos que el siguiente argumento es válido:

( )¬

1. ( )

2. ¬

3. ¬ ( ) ¬ (Contrapuesta de 1, reemplazo).

4. ((¬ ) (¬)) (¬ ) (De Morgan, 3, reemplazo).

5. (¬ )

((¬)

(¬ )) (Exportación, 4, reemplazo).




6. ¬ ( ) (Contrapuesta, 5, reemplazo).

7. ( ) (Modus ponens, 2, 6, reemplazo).

Ejercicio 27 . Muestre que el siguiente argumento es válido:

1. ¬

2.

3. ¬

4. ( )

5.

1.5.3 Negaciones

Hacemos aquí un resumen acerca de las negaciones acerca de algunas proposi-

ciones.

La negación de

Para empezar, la negación de , ¬ ( ) es equivalente a ¬ .Intuitivamente, uno podría pensar que si significa “si pasa entoncespasa ” es natural que lo contrario es “pasa pero no pasa ”.

Otra manera de recordarlo es la siguiente: único caso en que esfalsa es cuando es verdadera y es falsa. Así que

significa lo mismo

que “no pasa o pasa ” o sea ¬ Luego la negación de debecoincidir con la negación de ¬ que es ¬ (¬ ) ¬¬ ¬ ¬ ,por las Leyes de De Morgan y de la Doble negación.

La negación de es ¬

Ejercicio 28 . Compruebe que en efecto, es equivalente a ¬ .

Ejercicio 29 . Compruebe que en efecto, ¬ (

) es equivalente a

¬ .




La negación de de

Las leyes de De Morgan nos dicen que¬ ( ) ¬ ¬

¬ ( ) ¬ ¬

La negación de

Por definición, (( ) ( ))

así que su negación, de acuerdo con las leyes de De Morgan es

¬ ( ) ¬ ( ) ¬ ( ) ( ¬ ) ( ¬ )

Lo anterior es lo que uno puede esperar si se acuerda de que esverdadera, cuando los valores de verdad de y de coinciden.

Ejemplo 23 . La proposición: “Si F es mexicano entonces habla español”es falsa porque, como sabemos, hay mexicanos que no hablan español, por

ejemplo, muchos indígenas chiapanecos hablan idiomas (que no dialectos)mayances como el zeltal, zotzil, chol. Además los recién nacidos no hablan idiomas.

Ejemplo 24 . La proposición “Si es un entero positivo entonces es el cuadrado de otro entero” es falsa, pues, como veremos más adelante, 2 no es el cuadrado de ningún entero.

Ejercicio 30 . Repita el ejercicio 6, negando cada uno de sus incisos (por ejemplo, la negación de 5. Si Sócrates era tonto entonces Sócrates era in-teligente, es “Sócrates era tonto y Sócrates no era inteligente” que claramente es una proposición falsa).

1.5.4 Inferencias no válidas

Pudiera ser que se nos presentara un razonamiento del que no se sabe sies válido. En ese caso, antes de tratar de demostrar la validez, convienehacer una tabla de verdad para decidir si la conclusión puede ser falsa y laspremisas verdaderas.




Ejemplo 25 . Nos preguntamos por la validez del siguiente argumento:

Veamos si(( ) )

es una tautología.Tratamos de ver si se puede tener la siguiente situación: falsa, ( )

verdadera y verdadera. En esta situación la respuesta es que sí, sin necesi-dad de hacer ninguna tabla.

La tabla es

[( ) ] (( ) ) 1 1 1 0 0

Ejemplo 26 . Consideremos el siguiente argumento

( )

¬

Veamos si es posible tener la conclusión falsa con las hipótesis verdaderas:¿Es posible tener falsa, ¬ verdadera, y ( ) verdadera?Para que ¬ sea verdadera se necesita que sea verdadera y sea

falsa.Veamos ahora lo que sucede con ( ), para estos valores de verdad:

(

)

1 0 0 0 0

Así que el razonamiento debe ser válido y podemos implementar una deduc-ción:

1. ( )

2. ¬

3. ¬ (Simplificación 2).




4. (Tollendo ponens, 1,3).

5. (Simplificación 2).6. (Modus ponens, 4,5).

Ejemplo 27 . Consideremos el siguiente argumento:

1.

2.

Si es falsa, para que sea verdadera necesitamos que sea verdadera,pero entonces ya no puede ser verdadera Así que el razonamiento debeser válido, por lo que daremos una deducción de

1.

2.

3. ¬

(Equivalente a 1, reemplazo).

4. ( ) (¬ ) (conjunción, 2, 3) .

5. ( ¬ ) ( ) (Distributividad, 4).

6. ¬ ( ¬ ) (Tautología).

7. (Tollendo ponens, 5, 6).

Ejercicio 31 . Muestre que el siguiente argumento no es válido

( ) ¬

Ejercicio 32 . Decida si el siguiente argumento es válido. Si no lo es, dé una asignación de valores de verdad que hagan falsa la conclusión pero las hipótesis verdaderas. Si lo es, haga una deducción




1. ( )

2. ¬

3. ( ) (¬ )

4. (¬ ) ( )

Ejercicio 33 . Decida si el siguiente argumento es válido. Si no lo es, dé una asignación de valores de verdad que hagan falsa la conclusión pero las

hipótesis verdaderas. Si lo es, haga una deducción

( ) ¬( ) (¬ )(¬ ) ( )

1.6 Reducción al absurdo

Hagamos la siguiente observación.

Observación 1 . Las siguientes proposiciones son equivalentes:

1.

2. ¬

3. ¬

Antes de dar una demostración de esto, notemos que tiene alguna seme-

janza con el Álgebra elemental (...se pasa al otro lado cambiando de signo...).Demostración.1)2)

1.

2. ( ( )) (Por exportación).

3. (¬ ( )) (Pues ¬ ( ) es equivalente con (

) ver el ejercicio 28).



1.6. REDUCCIÓN AL ABSURDO 31

2)3)

1. ¬

2. (¬ ) (Por asociatividad).

3. ( (¬ )) ( ) (“ ” se distribuye sobre “ ”).

4. ¬¬ ( (¬ )) ( ) (Por doble negación y reemplazo).

5. ¬ ( (¬ )) ( ) (Por el ejercicio 28).

6. ¬ (¬ ) ( ) (Por el ejercicio 29).7. ( ¬) ( ) (Por regla de De Morgan y reemplazo).

8. ( ¬) (Por exportación).

9. ( ¬) (Por idempotencia y reemplazo).

3)1)

1. ¬

2. (¬ ) (Por exportación).

3. (¬¬ ) (Por el ejercicio 28).

4. ( ) (Por la regla de doble negación).

Recordemos ahora que denotamos por > una tautología y por

un

absurdo.

Notemos además que( >)

y que ³

´

son tautologías.

Proposición 6 (Reducción al absurdo) Las siguientes proposiciones son equi-valentes:




1.

2. >

3. ¬

Demostración.La siguiente es una lista de proposiciones equivalentes:

1.

2.

>

(Como acabamos de observar,

>

).

3.

(Por la observación 1).

4. ¬

(Por la observación 1).

La proposición anterior suele enunciarse así:“Para demostrar , una alternativa es la siguiente: supóngase y

lo contrario de lo que se quiere probar (es decir, supóngase ¬ ), y véase queesto lleva a contradicción”.

Corolario 1 . 1

2...

es una regla válida de inferencia si y sólo si

( 1 2 ) ¬

nos lleva a contradicción, mediante reglas válidas de inferencia.

Demostración. Lo anterior se sigue de que

( 1 2 )

es equivalente a( 1

2

)

³

´




lo que a su vez es equivalente a

( 1 2 ) ¬

Por la observación 1

Ejemplo 28 . Repitamos el ejemplo 21, pero por reducción al absurdo.Queremos ver que de las primeras 4 premisas (hipótesis) se puede inferir

1. ( ).

2. ( ) .

3. ( ).

4. ¬.

5. ¬ (Hipótesis adicional reducción al absurdo)..

6. (Exportación, a 2).

7. ¬ ( ) (Tollendo tollens, 5, 6).8. ¬ ¬ (De Morgan, 7).

9. (Simplificación, 3).

10. ¬ (Tollendo ponens, 8,9).

11. (Modus ponens, 1,9).

12. ¬ (Tollendo tollens, 11,4).

13. ¬ ¬ (Conjunción, 10,12).

14. ¬ ( ) (De Morgan 13).

15. ( ) (Simplificación, 3).

16. ¬ ( ) ( ) (Conjunción, 14, 15).

17.

(Equivalente a la anterior).




Ejemplo 29 . Repitamos el ejemplo 22, pero por reducción al absurdo.

( )¬

Demostración. 1. ( )2. ¬ 3. ¬ ( )4. ¬ (Equivalente a 1.6, en vista del ejercicio29)

5. (Simplificación, 1.6).6. ( ) (Modus ponens, 1.6, 1.6).7. ¬ (Simplificación, 1.6).8. (Tollendo ponens, 1.6, 1.6).9. ¬ (Conjunción, 1.6, 1.6).10.

(Equivalente a la anterior).

Convengamos en que

, significa lo mismo que

Con esta convención, ( ) , significa lo mismo que ( )

Ejemplo 30 . “ ” se distribuye sobre “ ”Es decir,

( )

es equivalente a ( ) ( )

Demostración. Para decidir esto, primero veremos que

( ( )) (( ) ( ))

y después veremos que

(

(

))

((

)

(

))




) ( ( )) (( ) ( )) es equivalente a

[( ( )) ¬ (( ) ( ))]

en vista de la observación 1.1. [( ( )) ¬ (( ) ( ))]2. ( ( ))3. ¬ (( ) ( ))4. ¬ ( ) ¬ ( )5. ¬ ¬ 6. ¬

7. ¬ ( )8. ¬ ¬9. ¬ 10. 11. ¬ 12.

Como hemos dicho, esto demuestra que ( ( )) (( ) ( )) ) ( ( )) (( ) ( )) es lo mismo que

(( ) ( )) ( ( ))

La proposición anterior equivale a

[(( ) ( )) ¬ ( ( ))]

en vista de la observación 1.1. [(( ) ( )) ¬ ( ( ))]2. ¬ ( ( ))3. (

)

¬

4. (( ) ( ))5. ( ) ( )6. 7. 8. 9. ¬ 10. ¬ 11.

Entonces hemos demostrado que “

” se distribuye sobre “

”




Ejercicio 34 . Decidir si

(( ) ) (( ) ( ))

Ejercicio 35 . Escribir en cada paso de los argumentos de arriba, la regla válida de inferencia que lo produjo.

Ejercicio 36 . Mostrar que “ ” se distribuye sobre “ ” Es decir, que ( ) es equivalente a ( ) ( )

Ejercicio 37 . Mostrar que “ ” no se distribuye sobre “ ” . Es decir,que ( ) no es equivalente a ( ) ( )

Ejercicio 38 . Mostrar que “ ” se distribuye sobre “ ”

Ejercicio 39 . Mostrar que “ ” no se distribuye sobre “ ”

En los siguientes ejercicios hacer deducciones directas.

Ejercicio 40 = ( = ¬)

¬ ( )

¬ ¬

Ejercicio 41( = ) ( = )( ) = (¬ ¬ )

= ¬

Ejercicio 42[( ) ( )] =

¬

En los siguientes ejercicios úsese reducción al absurdo.

Ejercicio 43 = ( )

= ( = )¬ ¬




Ejercicio 44

= ³ = ´ ¬

Al hacer las siguientes deducciones use la hipótesis adicional adecuada.3

Ejercicio 45

=

= ¬ ¬

= ¬

Ejercicio 46

( = ( )) ( = ( )) =

¬ = (¬ ¬)

Ejercicio 47¬ = ¬ ¬ ¬ ( ) = ¬

( ) = ( = )

Ejercicio 48

¬ = ¬ =

= ¬

3Por la regla de exportación, = ( = ) es equivalente a ( ) = En-

tonces, para demostrar que

= es válida, bastaría ver que

lo es. Así que

uno podría agregar la "hipótesis adicional" (y llegar a , en lugar de llegar a =

)




1.7 Apéndice. Sistemas formales

El concepto de “la verdad” es un problema difícil. La pregunta ¿qué esla verdad?, es un problema que se ha dejado a los filósofos y hay grandesdisertaciones sobre el tema que no conciernen a los matemáticos.

En realidad, a los matemáticos, lo que más nos interesa es razonar cor-rectamente, porque así podemos escoger el punto de partida de nuestrasconstrucciones. A la manera de un juego, el matemático escoge los pricipiosde los que quiere partir (Axiomas) y aplicando las reglas del juego (las Reglasválidas de inferencia) obtiene nuevas afirmaciones (teoremas). Algunos de losteoremas que obtienen los matemáticos se llaman de otra forma, por su im-

portancia relativa dentro de la Teoría (el conjunto de Axiomas y Teoremas).Así, se pueden llamar Corolarios, Lemas, Proposiciones, Observaciones.

Si se procede de esta manera, los conceptos de verdad y falsedad quedande lado. Lo que importa es razonar correctamente.

Es claro que, como en todo juego, uno debe escoger los axiomas ade-cuadamente. Si se escogen los axiomas sin cuidado, puede uno crear un juego insulso y sin gracia. Además, como muchas veces quiere uno que laMatemática corresponda a alguna parte del mundo “real”, uno tiene que sercuidadoso para que haya una correspondencia entre la teoría y la “realidad”.

Muchas veces, los axiomas conducen a callejones sin salida, bien porquelo que uno obtiene no corresponde con lo que se esperaba, o bien porque alescoger los axiomas, se producen absurdos, tales como demostrar simultánea-mente una afirmación y su negación. En este caso, en algún sentido, el juegose ha estropeado, pues desde este momento ya se puede demostrar cualquierafirmación. Es el momento de regresar al principio, y modificar los axiomas,hasta que el juego se desarrolle como es debido (mientras no nos encontremosnuevamente con algún resultado indeseable).

Una teoría se considera más elegante mientras menos axiomas tenga. Anadie se le ocurriría poner como axioma algo que se pueda deducir de losdemás axiomas, pero algunas veces esto se hace con el fin de explicar rápi-damente algún aspecto interesante de la Teoría.

A veces, con propósitos didácticos se parte de algún hecho que no ha sidodemostrado y a partir de él se obtienen consecuencias. Uno debe recordar quelas consecuencias deducidas dependen del resultado que se “tomó prestado”.Así, una teoría no tiene que ser forzosamente desarrollada “desde el principiohasta el final”. Hay personas que dejan huecos y después los rellenan. Enestos casos, se estarán tomando algunos hechos como si fueran axiomas. El



1.7. APÉNDICE. SISTEMAS FORMALES 39

riesgo de proceder así, es que si por alguna razón, se parte de un resultadoque después resulta incorrecto, las consecuencias obtenidas a partir de él no

tienen ningún valor.El método de introducir algunos objetos iniciales, algunos axiomas, al-

gunas reglas de inferencia para deducir o construir nuevos objeto, se llamamétodo formal , y al sistema de dichos objetos, axiomas y reglas de inferencia,se le llama sistema formal .

Enseguida describiremos el sistema formal del Cálculo proposicional.

Definición 7 . Un sistema formal consta de:

1. Un alfabeto de símbolos (letras).

2. Un conjunto de palabras formadas con un conjunto finito de letras.

3. Un conjunto de palabras bien formadas (pbf), llamadas axiomas.

4. Un conjunto finito de reglas de deducción que nos permiten construirnuevas palabras bien formadas (pbf) a partir de otras.

1.7.1 El sistema formal Definición 8 . El sistema formal del Cálculo proposicional. está definidode la manera siguiente:

1. Alfabeto: ¬ ( ) 1 2 3

2. Palabras bien formadas:

(a) Cada es una palabra bien formada.

(b) Si A y B son palabras bien formadas entonces ¬A y A B sonpalabras bien formadas.

3. Axiomas:

Si A, B , C son pbf, entonces son axiomas:

Axioma 1 . A (B A)

Axioma 2 . [A

(B

C )]

[(A

B )

(A

C )]




Axioma 3 . (¬A ¬B ) (B A)

4. Reglas de deducción: sólo hay una regla de deducción en :Modus ponens (MP):

AA B B

Definición 9 . Una demostración en es una sucesión

A 1 A 2 A

tal que cada A es o bien un axioma de , o bien se sigue de dos miembros previos mediante el uso de MP.

Dicha lista se llama una demostración de A en y A se llama unteorema de .

Observación 2 . Por definición, los axiomas de son teoremas de . (Su demostración consiste en la lista que consta únicamente del axioma).

Definición 10 . Sea un conjunto de pbf de . Una sucesión

A 1 A

es una deducción en a partir de si

1. cada A es un axioma de ó

2. es un miembro de ó

3. se deduce de miembros anteriores de la lista usando MP.

En estos casos escribiremos

` A

En caso de que no se necesiten hipótesis adicionales para demostrar A,entonces A es un teorema de y escribimos

` A



1.8. EL TEOREMA DE LA DEDUCCIÓN Y LAS HIPÓTESIS ... 41

Ejemplo 31 . ` A A

1. [A ((A A) A)] [(A (A A)) (A A)] (Axioma 2)2. A ((A A) A) (Axioma 1)

3. (A (A A)) (A A) (MP a las dos anteriores)

4. A (A A) (Axioma 1)

5. (A A) (MP a las dos anteriores).

1.8 El Teorema de la deducción y las hipóte-sis adicionales

Teorema 1 . ` (B A) si y solamente si {B} ` A.

Demostración. ) Sea

A1 A B A

una deducción de B A a partir de Entonces

A 1 A B B A

es una deducción a partir de {B} Podemos alargar esta lista aplicandoMP a los dos últimos elementos de la lista anterior, de tal manera que

A 1 A B B A A

es una deducción de A a partir de

{B}.

) Supongamos que la afirmación es falsa, así que supongamos que existeuna deducción

A 1 A B A +1 A A (1.21)

de A a partir de {B} (es decir, {B} ` A). Pero que ` (B A) Entre todos los ejemplos de la situación anterior podríamos escoger uno conel menor número de palabras (o de “comas”).1. a) Si no hubiera palabras A 1 A antes de B , entonces B sería unaxioma, así que

`

A




por la definición de deducción. Podríamos alargar la deducción después deA agregando el axioma A

(B

A) y después (B

A) por MP. Entonces

` (B A)

contra lo supuesto.Podemos suponer que B no es un axioma y que 2

b) ComoA 1 A B A +1 A

es una deducción más corta que 1.21, por la elección de 1.21 podemos suponerque ` (B

A) Análogamente, podemos suponer que ` (B

A

1)

` ( B A 2) ..., ` (B A 1) A no puede ser una axioma, pues si lo fuera, tendríamos la lista A A (B A) B A, de donde ` B A, en particular, ` (B A) con-tra lo supuesto.Como A no es un axioma, debe ser deducible por MP a partir de miembrosanteriores de la lista.Digamos que de C y de C A pero para ellos tenemos que ` (B C ) y ` B (C A) Entonces tenemos:

deducción en :

( ...B C

deducción en :

( ...

B (C A)

[B (C A)] [(B C ) (B A)] (Axioma)(B C ) (B A) MPB A MP

Que es una deducción de B A a partir de En contra de lo supuesto.

En vista del teorema anterior, si queremos demostrar que B A es unteorema en el sistema , es decir, que

` B A,

basta ver que de B se puede deducir A o sea, basta ver que

{B} `

A.




Esto significa que podemos agregar B como hipótesis adicional.Como a veces se dice, “para demostrar B

A, podemos suponer B y

deducir A”.

Ejemplo 32 . {(A B ) (B C )} ` A C . (A esto también le lla-maremos Silogismo hipotético)

Demostración

1. A B (Hipótesis adicional)

2. B C (Hipótesis adicional)3. [A (B C )] [(A B ) (A C )] (Axioma 2)

4. (B C ) [A (B C )] (Axioma 1)

5. [A (B C )] (MP, 2, 4)

6. (A B ) (A C ) (MP, 5, 3)

7. (A

C ) (MP, 1, 6)

Por el teorema de la deducción tenemos:

{(A B )} ` (B C ) (A C )

y

` (A B ) [(B C ) (A C )]

Ejemplo 33 . {

(¬¬A

)} ` A

.

Demostración

1. (¬¬A) (¬¬B ¬¬A) (Axioma 1)

2. ¬¬A (Hipótesis adicional)

3. ¬¬B ¬¬A (MP a las dos anteriores)

4. (¬¬B

¬¬A)

(¬A

¬B ) (Axioma 3)




5. (¬A ¬B ) (B A) (Axioma 3)

6. (¬¬B ¬¬A) (B A) (Por el Ejemplo 32, que es un teoremade )4

7. (B A) (MP a 3 y 6) Esto pasa para cualquier B , en particulardebe pasar si B es un teorema de , como A A, por ejemplo)

8. (A A) A (Por la nota anterior).

9. A A (Teorema, no hace falta incluir su demostración)

10. A (MP a 8 y 9)

Entonces tenemos el siguiente teorema de :

` ¬¬A A

Ejemplo 34 . {A} ` ¬¬A

Demostración

1. ¬¬¬A ¬A (Por el ejemplo anterior)

2. (¬¬¬A ¬A) (A ¬¬A) (Axioma 3)

3. A ¬¬A (MP a 1, 2)

4. A (Hipótesis adicional)

5. ¬¬A (MP a 3, 4)

En estos momentos podemos introducir las siguientes abreviaturas:

1. Ag B : ¬A B

2. Af B : ¬ (A ¬B )

3. A B : (A B )f (B A)

4Como ya vimos la demostración de este Teorema, no tiene caso que la repitamos aquí




En sentido estricto “g” “ f” “ ” no son parte del sistema formal ,pero su uso nos permitirá hacer más cortas las demostraciones.

Veamos que dentro del sistema formal podemos establecer el resto delas reglas de inferencia que ya conocíamos.

Hasta este momento disponemos de MP, de Silogismo hipotético (ejemplo32), y de Doble negación.

Ejemplo 35 . Tollendo tollens: {A B ¬B} ` ¬ A

1. A B (Hipótesis adicional).

2. ¬¬A A (Teorema).3. ¬¬A B (Silogismo hipotético).

4. B ¬¬B (Teorema).

5. ¬¬A ¬¬B (Silogismo hipotético).

6. (¬¬A ¬¬B ) (¬B ¬A) (Axioma).

7. ¬B ¬A

(MP).

8. ¬B (Hipótesis adicional).

9. ¬A (MP).

Ejemplo 36 . Tollendo ponens: {Ag B ¬B} ` A

1. Ag B := ¬A B (Hipótesis adicional, definición).

2. ¬B (Hipótesis adicional).

3. ¬¬A (TT, ejemplo anterior).

4. ¬¬A A (Teorema).

5. A (MP).

Ejemplo 37 . Conmutatividad de g: {Ag B} ` B gA

1. Ag B := ¬A

B (Hipótesis adicional, definición).




2. B ¬¬B (Teorema).

3. ¬A ¬¬B (SH).4. (¬A ¬¬B ) (¬B A) (Axioma).

5. (¬B A) := B gA (MP, definición).

Dejamos como ejercicio: (Af B ) A (Simplificación). Vea el Ejercicio14).

Ejemplo 38 . ` A f B

B .

1. Af B := ¬ (A ¬B ) (Hipótesis adicional).

2. ¬B (A ¬B ) (Axioma).

3. ¬¬B (TT).

4. ¬¬B B (Teorema).

5. B (MP).

Ejemplo 39 . {B ¬A} ` A ¬B

1. B ¬A (Hipótesis adicional).

2. ¬¬B B (Teorema).

3. ¬¬B ¬A (SH, 2,1).

4. (¬¬B

¬A)

(A

¬B ) (Axioma).

5. (A ¬B ) (MP).

Ejemplo 40 . Conmutatividad de f: {Af B} ` B fA

1. Af B := ¬ (A ¬B ) (Hipótesis adicional, definición).

2. (B ¬A) (A ¬B ) (Ejemplo anterior).

3. (A

¬B )

¬¬ (A

¬B ) (Teorema).




4. ¬¬ (B ¬A) (B ¬A) (Teorema).

5. ¬¬ (B ¬A) ¬¬ (A ¬B ) (SH, 3,4 y 2).6. [¬¬(B ¬A) ¬¬(A ¬B )] [¬(A ¬B ) (¬ (B ¬A))](Axioma).

7. ¬ (A ¬B ) (¬ (B ¬A)) (MP, 5, 6).

8. (¬ (B ¬A)) := B fA (MP, definición).

Ejemplo 41 . Adición: {A} ` Ag B

1. A

(¬B A

) (Axioma).

2. A (Hipótesis adicional).

3. (¬B A) (MP a 1,2).

4. Ag B (De la anterior, por definición de “ g”).

Ejercicio 49 . Muestre que {Ag B} ` A g ¬¬B

Ejemplo 42 . (¬B

A) ` (¬¬¬B

¬¬A)

1. ¬B A (Hipótesis adicional).

2. A ¬¬A (DN).

3. ¬B ¬¬A (SH).

4. ¬¬¬B ¬B (DN).

5. ¬¬¬B ¬¬A (SH).

Ejemplo 43 . De Morgan.

1. (a) {¬ (Af B )} ` ¬A g ¬B

i. ¬ (Af B ) (Hipótesis adicional)ii. ¬ (¬ (A ¬B )) (Por definición de “f”)

iii. A ¬B (Por doble negación)iv. ¬¬A A (Por doble negación)v. ¬¬A

¬B (SH)




vi. (¬¬A ¬B ) (B ¬A) (Axioma)vii. B

¬A (MP, a las dos anteriores)

viii. ¬¬B B (Por doble negación)ix. ¬¬B ¬A (SH)x. ¬B g ¬A (De la anterior, por definición de “ g”).

xi. ¬Ag ¬B (Por la conmutatividad de “ g”).

(b) {¬Ag ¬B} ` ¬ (Af B )

i. ¬Ag ¬B (Hipótesis adicional)ii. ¬¬A ¬B (Por definición de “ g”)

iii. A ¬¬A (Por DN)iv. A ¬B (Por SH)v. ¬ (¬ (A ¬B )) (Por DN)

vi. ¬ (Af B ) (Por definición de “ f”)

c. {¬ (Ag B )} ` ¬Af ¬B

i. ¬ (Ag B ) (Hipótesis adicional)ii. ¬ (¬A

B ) (Por definición de “ g”)

iii. (¬B ¬¬A) (¬A B ) (Axioma)iv. ¬ (¬B ¬¬A) (Tollendo tollens a las dos anteriores)v. ¬B f ¬A (Por definición de “ f”)

d. {¬Af ¬B} ` ¬ (Ag B )

i. ¬Af ¬B (Hipótesis adicional)ii. ¬ (¬A ¬¬B ) (Por definición de “ f”)

iii. (¬¬¬B ¬¬A) (¬A ¬¬B ) (Axioma)

iv. ¬ (¬¬¬B ¬¬A) (TT)v. (¬B A) (¬¬¬B ¬¬A) (Ejemplo anterior)vi. ¬ (¬B A) (TT)

vii. ¬ (B gA) (Definición de “ g”)viii. (Ag B ) (B gA) (Conmutatividad de g)

ix. ¬ (Ag B )

Ejemplo 44 . {A

B} `

(¬B

¬A)




1. ¬¬A A (DN)

2. A B (Hipótesis adicional)3. ¬¬A B (SH)

4. B ¬¬B (DN)

5. ¬¬A ¬¬B (SH)

6. (¬¬A ¬¬B ) (¬B ¬A) (Axioma)

7. ¬B ¬A (MP)Ejemplo 45 . Asociatividad de “ g”. {Ag (B g C )} ` (Ag B )g C

Queremos demostrar {Ag (B g C )} ` ¬ (Ag B ) C Por el teoremade la deducción, da lo mismo demostrar {A g (B g C ) ¬ (Ag B )} ` C

1. Ag (B g C ) (Hipótesis adicional)

2. ¬A

(B g C ) (Definición de “ g”)

3. ¬ (Ag B ) (Hipótesis adicional)

4. ¬Af ¬B (De Morgan)

5. ¬A (Simplificación)

6. B g C (MP)

7. ¬B (Simplificación)

8. C (TP)

Ejercicio 50. Deducir la asociatividad de “ f”. {Af (B f C )} ` { (Af B )f C }.

Ejercicio 51. Mostrar que ` B ((A ¬B ) ¬A)

Sugerencia: Use el teorema de la deducción y muestre que

{B (A

¬B )} ` ¬A




Ejemplo 46.Conjunción: {A B} ` AfB Es decir, {A B} ` ¬ (A ¬B ).

1. B (Hipótesis adicional)

2. B ((A ¬B ) ¬A) (Teorema, por el ejercicio anterior)

3. (A ¬B ) ¬A (MP)

4. A ¬¬A (DN)


6. ¬¬A (MP)7. ¬ (A ¬B )

Ejemplo 47 . “ f” se distribuye sobre “ g” {Af (B g C )} ` (Af B )g(Af C )

Es decir,. {Af (B g C )} ` ¬ (Af B ) (Af C ). Lo que equivale a

{Af (B g C ) ¬ (Af B )} ` (Af C )

O sea,{Af (B g C ) ¬ (Af B )} ` ¬ (A ¬C )

1. Af (B g C )

2. ¬ (A ¬ (B g C ))

3. ¬ (Af B )

4. ¬ (A ¬ (¬B C ))

5. ¬ (¬Ag ¬ (¬B C ))

6. ¬¬Af ¬¬ (¬B C )

7. ¬¬A

8. A

9. ¬ (¬ (A

¬B ))




10. A ¬B

11. ¬B

12. ¬¬ (¬B C )

13. ¬B C

14. C

15. Af C

16. ¬ (A

¬C )

Ejercicio 52 . “ g” se distribuye sobre “ f” {A g (B f C )} ` (Ag B )f(Ag C )

Ejemplo 48 . Dilema constructivo: {(A B )g (C D) A C} ` B gD

Reformulemos con el teorema de la deducción. Como B gD es por defini-ción ¬B D, entonces queremos demostrar que

{(A

B )g (C

D) A C ¬B} ` D

1. (A B )g (C D)

2. A

3. ¬B

4. Af ¬B := ¬(A ¬¬B )

5. (A

B )

(A

¬¬B ) (¡ Compruébelo!)

6. ¬ (A B ) (TT)

7. C D (TP)

8. C

9. D.

Ejercicio 53 . Dilema destructivo: {(A B )g (C D) ¬B ¬D} ` ¬Ag¬C .




Ejemplo 49 . {¬ (A B )} ` A f ¬B .

1. ¬ (A B )

2. (¬B ¬A) (A B ) (Axioma)

3. ¬ (¬B ¬A)

4. ¬ (¬B ¬A) := ¬B fA

5. Af ¬B (Conmutatividad)

Ejercicio 54 . {Af ¬B} ` ¬ (A B )Ejemplo 50 . {A (B C )} ` (Af B ) C

Lo anterior equivale a {A (B C ) (Af B )} ` C

1. A (B C )

2. Af B

3. A (Simplificación)

4. B C (MP)

5. B (Simplificación)

6. C (MP).

Ejercicio 55 . {(Af B ) C} ` A (B C )

Ejemplo 51 . Reducción al absurdo.:

` [(Af ¬B ) (C f ¬C )] (A B )

Esto, que es una parte de lo que debe entenderse por reducción al absurdo,es equivalente a demostrar:

{[(Af ¬B ) (C f ¬C )] A} ` B :

1. C

C (Teorema)



1.9. VALUACIÓN 53

2. C ¬¬C (DN)

3. ¬¬ (C ¬¬C ) (DN)

4. ¬ (C f ¬C ) := ¬¬ (C ¬¬C ) (Por definición de “ f”)

5. (Af ¬B ) (C f ¬C ) (Hipótesis adicional)

6. ¬ (Af ¬B ) (TT)

7. A B (Equivalente al anterior, por definición de “ f”)


9. B (MP).

Ejercicio 56 . Demuestre la otra parte de la reducción al absurdo:

` (A B ) [(Af ¬B ) (C f ¬C )]

Ejercicio 57 . Vea si hay más reglas válidas de inferencia, y muestre que son teoremas en , si se interpretan adecuadamente.

1.9 Valuación

Vamos a colgar etiquetas a las palabras bien formadas de de la manerasiguiente:

1. Las etiquetas son dos: 0 1

2. A los axiomas les colgamos la etiqueta 1.

3. Si A tiene etiqueta 1, entonces ¬A tendrá etiqueta 0. Si A tiene eti-queta 0, entonces ¬A tendrá etiqueta 1.

4. A B tiene etiqueta 1, si B también la tiene o si A tiene etiqueta 0.

5. A

B tiene etiqueta 0, si B tiene etiqueta 0, y A tiene etiqueta 1.




Como la frase “A tiene etiqueta ” es un poco larga abreviemos estoescribiendo (A) =

Con las reglas anteriores se puede calcular cual es la etiqueta de cualquierpalabra bien formada.

Por ejemplo (Af B ) = (¬ (A ¬B )) =

½ 1 si (A ¬B ) = 00 si (A ¬B ) = 1

Ahora (A ¬B ) = 0 si (A) = 1 y (¬B ) = 0es decir si (A) = 1 y (B ) = 1Ahora (A ¬B ) = 1 si (A) = 0 ó (¬B ) = 1es decir si (A) = 1 ó (B ) = 0Si hacemos una tabla tendremos:

A f B 0 0 00 0 11 0 01 1 1

¿Les suena conocido?

Ejercicio 58 . Haga una tabla semejante a la anterior para g recuerde que

por definición Ag B := ¬A B

Observación 3 . Si A B tiene etiqueta 1, y A también la tiene, entonces B tiene etiqueta 1

Esto es una consecuencia de la definición de las etiquetas, si B tuvieraetiqueta 0, entonces por definición, A B hubiera tenido etiqueta 0.

Extendiendo el argumento de arriba, se puede ver que cualquier teorema

en tiene etiqueta 1 (recuérdese que modus ponens es la regla de inferenciade (las demás son abreviaturas)) y recuerde que los axiomas se etiquetaroncon 1. Esto suena bien: “Todos los teoremas tienen 1”, suena como “Todoslos teoremas son V” o a “Todos los teoremas son V(erdaderos)”.

Ahora, ¿será cierto que si una palabra bien formada tiene etiqueta 1,entonces es un teorema de ?

Teorema 2 . Si una palabra bien formada tiene etiqueta 1, entonces es un teorema de



1.9. VALUACIÓN 55

Demostración.Si hubiera una A con etiqueta 1 que no fuera teorema, la podríamos

escoger con el menor número posible de conectivos “¬” y “”. EntoncesA no puede ser un axioma porque los axiomas son teoremas. ¿Por qué

tiene etiqueta 1?

1. Porque A = ¬B donde B tiene etiqueta 0. Pero ¿por qué B tieneetiqueta 0?

(a) Porque B es ¬C , donde C tiene etiqueta 1. Pero entonces C esuna palabra con etiqueta 1 con menos conectivos que A Por laelección de A, B tiene que ser un teorema. Pero si B es un teorema,entonces ¬¬B también lo es (` B ¬¬B ). Este caso quedadescartado.

(b) Porque B es (C D), con C etiquetada con 1 y D con 0. EntoncesA es ¬ (C D). Como ¬D también tiene menos conectivos queA, lo mismo que arriba, concluímos que C y ¬D tienen que serteoremas. Pero entonces también lo es C f¬D (conjunción) y porlo tanto también ¬ (C D) Este caso queda descartado.

2. Debe ser entonces que A es B

C , B etiquetada con 0 ó C con 1.

(a) Si C está etiquetada con 1, como tiene menos conectivos que losque figuran en A entonces C debe ser un teorema de . C (B C ) es un axioma y C es un teorema, aplicando MP vemosque A = B C también es un teorema de Este caso se descarta.

(b) Por el caso anterior, podemos suponer que las etiquetas de B y deC son 0. Ahora pasa uno de los siguientes casos:

i. B es ¬D, con D un teorema. Como D (¬C D) es un

axioma, vemos, aplicando MP, que ¬C D es un teorema,pero entonces también lo son ¬D ¬¬C y ¬D C que esA Así que esto no pasa.

ii. B es G H, G con etiqueta 1 y H con etiqueta 0. Así, Aes (G H) C , donde G, ¬H y ¬C son teoremas, porquetienen etiqueta 1 y tienen menos conectivos que A Pero en-tonces también lo son G f¬H por lo tanto también lo es¬ (G H) de esto y del axioma

¬ (G

H)

(¬C

(¬ (G

H)))




tenemos que ¬C (¬ (G H))es un teorema, por lo tanto(G

H)

C es un teorema.

No hay lugar para una palabra bien formada con etiqueta 1, que no seaun teorema.

En una palabra bien formada es un teorema si y sólo si tiene etiqueta 1.En vista de que las tablas para la etiquetaciones de f g coinciden con lasdefiniciones de “” y “” que se dieron en las secciones anteriores y como lasreglas válida de inferencia tiene su contraparte en el Cálculo proposicional ya podemos confiar en que si al calcular la tabla para una proposición está

resulta una tautología, es porque esta proposición corresponde a un teorema.Hay muchos temas importantísimos de la Lógica, que aquí no hemos nisiquiera esbozado.

Nuestro interés al respecto es proporcionar al lector una herramienta máspara el posterior desarrollo de la Teoría. Nuevamente, sugerimos al lector sedirija a las citas bibliográficas para un mayor estudio.

1.10 Cuantificadores

Como no queremos extendernos demasiado en un Tema que no es propi-amente nuestro asunto, daremos una versión muy elemental acerca de loscuantificadores.

Consideremos una proposición () que una cierta clase de objetos puedao no tener. Por ejemplo, si es un número natural, (ver el capítulo 3), ()podría significar:

“ () es un número par”

Así que () representa más que una proposición, una sucesión de proposi-ciones: (0) (1) (2) o bien:

0 es par, 1 es par, 2 es par,...

La anterior es un ejemplo de lo que se llama una “función proposicional”.Ahora, para decir que todos los objetos en una cierta clase M, tienen

la propiedad , escribiremos,



1.10. CUANTIFICADORES 57

M ()para toda que sea un elemento de tiene la propiedad

“” se llama “cuantificador universal”, y en el sentido en que se usóarriba, podemos considerarla como una abreviatura de “para toda”.

Consideraremos que la anterior es una proposición, que es verdadera enel caso de que todas las de M tengan la propiedad y falsa cuando

existe un miembro de M que no tiene la propiedad (1.22)

Ahora, es natural que si () significa “ tiene la propiedad ”, entonces lanegación de esto se debe escribir ¬ ()

Introducimos el símbolo “”, llamado el “cuantificador existencial”, quese puede considerar como una abreviatura de “existe”.

Así, podemos reescribir 1.22, de la manera siguiente:

M ¬ ()existe elemento de tal que no tiene la propiedad

(1.23)

1. ¬ [ M ()] es: M tal que ¬ ()

2. ¬ [ M tal que ()] es: M ¬ ()

Ejemplo 52

1. La negación de “Todos los hombres son mortales” es “Existe un hombreque no es mortal”.

2. La negación de “Existe un mamífero que vuela” es “Todos los mamífer-os no vuelan”. Claro que aquí la naturaleza de nuestro idioma nosharía expresar la segunda afirmación de la manera siguiente: “Ningúnmamífero vuela”.

3. La negación de “ningún número racional es la raíz cuadrada de 2”( Q 6=

2) es “existe un número racional tal que =

2”.

Ejemplo 53 . Consideremos las siguiente proposiciones:




1. Para cada natural existe un natural (

N) (

N (tal que )) tiene la siguiente negación:

N tal que ¬ ( N tal que ), es decir que N tal que ( N , ( 6 )).Esto último traducido al lenguaje llano, se leería así:“Existe un natural tal que ningún otro natural es mayor que ”

2. Se dice que 0

() = si

0 ( 0 tal que [ ([|| ] [| () | ])])Aquí no nos preocupa qué quiere decir esto. Pero aunque no compren-damos el significado, sí podemos decir cuál es su negación:

0 ¬ ( 0 tal que [ (|| | () | )]), es decir: 0 ( 0 ¬ [ (|| | () | )]), es decir: 0 ( 0 ([ tal que (|| ) | () | 6 ]))

3. Se dice que es el máximo común divisor de y si:( | | ) ( N ([( | ) ( | )] [ | ]))(Se usa el símbolo “ |” para “divide a”).¿Cómo se expresaría con símbolos que no es el máximo común divisorde y ?

Respuesta: no es el máximo común divisor de y si¬ ( | | ) ¬ ( N ([( | ) ( | )] [ | ])) es decir si - - ( N tal que ¬ ([( |) ( |)] [ |]))es decir, si - - ( N ([( | ) ( | )] ¬ [ | ])) o sea - - ( N ([( | ) ( | )] [ - ])) Que en español, se lee: no divide a ó no divide a ( no es undivisor común) ó bien hay una que siendo divisor común de y de

no divide a (esto es, no sería un múltiplo de cualquier comúndivisor, y en consecuencia no sería máximo común divisor).

Ejercicio 59 . Se dice que es el mínimo común múltiplo de y si:

([ | ] [ | ]) ( N [([ | ] [ | ]) ( | )])

Exprese en símbolos: “ no es el mínimo común múltiplo de y ”

Ejercicio 60 . Decida los valores de verdad de las proposiciones en los ejemplos 52 y 53.



1.10. CUANTIFICADORES 59

En los ejercicios siguientes, escribir la negación de los enunciados, sin an-

teponer un “no”.

Ejercicio 61 . ( ()) ( tal que ())

Ejercicio 62 . () ()




Ejercicio 66 . tal que ( )

Ejercicio 67 . R R + = +

Ejercicio 68 . R R = 0

Ejercicio 69 .

R

R tal que + = 0

Ejercicio 70 . R tal que R + = 0 ¿Es cierta?



62 CAPÍTULO 2. CONJUNTOS Y FUNCIONES

que lo determinan. Así, si dos conjuntos tienen los mismos elementos, paranosotros serán iguales aunque alguien pueda apreciar en uno de ellos alguna

característica distintiva.Axioma 4 (de extensión) . Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos.

Para expresar el hecho de que un objeto es un elemento de un conjunto usaremos la notación siguiente:

Y entonces, si y son dos conjuntos, otra manera de expresar que = ,

es: si y sólo si

De igual manera que para decir que dos objetos no son iguales usamos elsímbolo de igualdad cruzado ( 6= ), para decir que un objeto no pertenecea un conjunto usaremos la notación siguiente:

Una forma muy usual de denotar a los conjuntos es simplemente mediantela lista de sus elementos entre llaves, así si:

es el conjunto formado por 0 {0} y {2 3} es el conjunto cuyos elementos son 1, 2 y 3. es el conjunto al que pertenecen {0 2}, 5 y {4}.

Entonces = {0 {0} {2 3}}

= {1 2 3}

= {{0 2} 5 {4}}

0

0 1

2

{0 2}

{0 2}

= {1 3 2} = {2 1 3} = {2 3 1} = {3 2 1} = {3 1 2}

Como se puede ver en los ejemplos anteriores, los elementos de un conjunto pueden tener características comunes o ser de lo más disímbolos.



2.1. AXIOMAS 63

2.1.1 Pertenencia y contención

Para denotar un conjunto en la forma descrita anteriormente lo importante,realmente, es que se alisten todos los elementos del conjunto en cuestión, yno el orden en que ésto se haga. Naturalmente los conjuntos infinitos no sepueden denotar así, a menos que de una pequeña lista de sus elementos sesobreentienda cuáles son los demás, como, por ejemplo, si N es el conjuntode los números naturales:

N = {0 1 2 3}

y si Z es el conjunto de los números enteros:

Z = { 3 2 1 0 1 2 3}

Las dos relaciones básicas en la Teoría de Conjuntos son, la relación depertenencia () que es de objeto (elemento) a conjunto, y la relación decontención (), que es de conjunto a conjunto y describimos a continuación.

Definición 11 . Un conjunto está contenido en un conjunto , si todos los elementos de son elementos de . Lo anterior se denota de la manera

siguiente:A B

En este caso también podemos decir que A es un subconjunto de B, o que Bcontiene a A, y denotarlo, B A

Como ejemplos de contenciones citamos los siguientes:

Ejemplo 54

N = {0 1 2 3} Z = { 2 1 0 1 2}

Ejemplo 55

4 N = {0 4 8 12} 2 N = {0 2 4 6}

Ejemplo 56

6 N = {0 6 12 18}

3 Z = {

9

6

3 0 3 6 9}




Ejemplo 57

10 Z = { 30 20 10 0 10 20 30} 5 Z

Observación 4 . Es inmediato de la definición anterior que:

1. Para cualquier conjunto ,

2. Para dos conjuntos y cualesquiera, = si y sólo si, y ..

Otra manera de describir conjuntos es mediante alguna o algunas propie-dades que todos sus elementos tengan, por ejemplo

{18 15 12 9 6 3 0 3 6 9 12 15 18}

es el conjunto de (todos) los múltiplos de tres entre 20 y 20 y una formade denotarlo es:

{18 15 12 9 6 3 0 6 9 12 15 18} == {| es entero múltiplo de 3 ntre 20 y 20}

que se lee: El conjunto de las tales que es entero múltiplo de 3 entre 20y 20. y también:

{18 15 12 9 6 3 0 3 6 9 12 15 18} =

= {| Z es múltiplo de tres y 19 19}

que se lee: el conjunto de las tales que está en Z, es múltiplo de 3 y esmayor o igual que 19 pero menor igual que 19.

Naturalmente cuando describimos un conjunto de la manera anterior nosreferimos al conjunto de todos los objetos que tienen las propiedades men-cionadas.

Las propiedades “ser un número natural menor que 17” y “ser múltiplode 3 o de 4” determinan el conjunto:

{0 3 6 9 12 15 0 4 8 12 16}



2.1. AXIOMAS 65

La anterior es una forma de escribir el conjunto mencionado, listando losmúltiplos de 3 y luego los de 4, con la restricción de que sean naturales

menores que 17. Claro que una sería mejor denotarlo

{0 3 4 6 8 9 12 15 16}

pero lo importante, realmente, es que aparezcan todos sus elementos en lalista y sólo ellos, ya que un objeto es elemento de un conjunto o no lo es, y silo es, lo es exactamente una vez y no más, aunque lo digamos muchas veces.

2.1.2 Especificación y existencia

Con el fin de precisar cuándo podemos describir conjuntos a partir de propiedades aceptaremos el siguiente axioma.

Axioma 5 (de especificación) . Si es un conjunto y es una propiedad,los elementos de que tienen la propiedad forman un conjunto.

El conjunto mencionado se denota de la siguiente manera:

{

| ()}

y se lee: el conjunto de las en tales que tiene la propiedad . Es decir, () es una forma abreviada de escribir que tiene la propiedad , y tambiénse lee simplemente: “ de ”. Entonces el conjunto anterior también se lee:“el conjunto de las en tales que de ”.

Axioma 6 (de existencia) . Existe algún conjunto.

Si aceptamos el axioma anterior, y más nos vale, ya que de no ser así,no tiene ningún caso desarrollar esta teoría, consideremos cualquier conjunto y la propiedad “ser distinto de sí mismo”. Entonces { | 6= } esun conjunto sin elementos (ningún objeto es distinto de si mismo), y yaque son los elementos de cada conjunto los que lo determinan, este conjuntono depende del conjunto . Llamaremos a este conjunto sin elementos, “elconjunto vacío” y lo denotaremos con la letra

Una propiedad importante del conjunto vacío es que es subconjunto decualquier otro conjunto, así si es un conjunto cualquiera, Mas aún,la propiedad anterior caracteriza al conjunto vacío, es decir, si un conjunto es subconjunto de cualquier conjunto, debe de ser el conjunto vacío.




Ejercicio 71 . Muestre que es un subconjunto de cualquier otro conjun-to (Sugerencia: use las propiedades de la implicación para mostrar que

, es una proposición verdadera. Como segunda posibilidad,respóndase la siguiente pregunta ¿Qué pasaría si fuera falsa?).

Ejercicio 72 . Use el ejercicio anterior para demostrar que sólo hay un conjunto vacío. (Sugerencia: use el ejercicio anterior y el axioma de exten-sión).

2.1.3 No hay un conjunto de todos los conjuntos

Teorema 3 . Para cualquier conjunto A hay un objeto B que no es ele-mento de A.

Demostración. Si A es un conjunto cualquiera, a partir de él y de lapropiedad “no ser un elemento de sí mismo” podemos formar el conjunto

B = {x A| x x}

y es fácil de comprobar que B A. Si suponemos que B A entonces

B B ó B B.Si B B, entonces siendo B un elemento de A que pertenece a sí mismo, tendríamos que B B, por lo tanto, B B

Ahora, como B B y B A entonces B B llegamos a la con-tradicción: B B y B B

Hemos demostrado que B A.Así, no importa qué conjunto se tome, siempre hay un segundo conjunto

que no pertenece al primero.De acuerdo a lo anterior, no hay un conjunto que tenga a todos los objetos

como sus elementos, es decir:

No existe un conjunto que contenga a todos los conjuntos.

La afirmación anterior puede parecerle extraña al lector, ya que posible-mente en sus estudios anteriores haya trabajado con algo a lo que le llamó elConjunto Universal, sin embargo tal término se utiliza, de acuerdo a lo quedijimos al principio de este trabajo, para referirnos a varios objetos a la vez,en cada caso, a todos los objetos necesarios para estudiar alguna situaciónespecífica.



2.1. AXIOMAS 67

Sin ahondar demasiado en esto, diremos que los conjuntos son las colec-ciones que no son demasiado grandes, por ejemplo no es válido hablar del

conjunto de todos los objetos, ya que ellos forman una clase pero no unconjunto. 2

Notemos que las propiedades por sí solas no determinan conjuntos. Laspropiedades determinan conjuntos cuando son las propiedades de los elemen-tos de un conjunto dado. Aplicando el axioma de especificación a un conjunto y alguna propiedad, se obtiene, como ya hemos visto, un subconjuntodel conjunto original, el de los elementos de éste que tienen la propiedad encuestión.

2.1.4 Intersecciones y complementos

A partir de dos conjuntos, el axioma de especificación permite construir unnuevo conjunto de la siguiente manera: si y son conjuntos considerela propiedad “ser un elemento de ”. Los elementos de que tienen esapropiedad forman el conjunto:

{ | }

éste está formado por los elementos comunes a los dos conjuntos, se le conocecomo la intersección de y y se denota Si , y son conjuntos,podemos hacer las afirmaciones siguientes:

Observación 5 .

1. =

2. =

3. ( ) = ( )

4.

2Para hacer más preciso esto, se han introducido los axiomas de la Teoría de Conjuntos.En estos axiomas se incluyen reglas para producir conjuntos a partir de otros. Por ejemplo.el axioma de la potencia (ver Axioma 11, en la página 78) nos permite afirmar que si esun conjunto, entonces hay un conjunto () cuyos elementos son los subconjuntos de

Ahora, aunque en la sucesión de conjuntos () () tengamos cada vez conjuntos más numerosos, podemos estar seguros de que todos ellos son conjuntos porque sehan construido de acuerdo a los axiomas.




5. = si y sólo si

6. =

Naturalmente que otro conjunto que podemos obtener a partir de dosconjuntos y es:

{ | }

que se llama la diferencia de y , o menos y se denota: \ . Si ,, y son conjuntos, las siguientes relaciones son ciertas:

Observación 6 .

1. \ = si y sólo si, . En particular

2. \ =

3. \ = si y sólo si =

4. \ = \ si y sólo si, = .

5. \ ( \ ) = ( \ ) \ si y sólo si, =

6. \

7. ( \ ) =

8. \ =

9. ( ) ( \ ) =

Convencerse de que las proposiciones en las observaciones 5 y 6 son ciertas

no es muy difícil, sin embargo llegar a la conclusión en el inciso 5. de laobservación anterior requiere de un pequeño análisis:Si \ ( \ ) = ( \ ) \ , entonces no puede tener elementos:

Supongamos que . Como \ consta de elementos que no estánen y como entonces \ . Como tendríamos que \ ( \ ) y.por lo tanto ( \ ) \ Como también concluímos que ( \ ) \ Contradiciendo laafirmación anterior. Por lo tanto

=



2.1. AXIOMAS 69

Recíprocamente, si = dado que tanto $ \ ) como ($\ constan de elementos de , para probar que son iguales es suficiente verificar

que cada elemento de está en uno de dichos conjuntos si y sólo si estáen el otro.Entonces para :Si como entonces \ y así \ ( \ ). Como entonces ( \ ) y entonces ( \ ) \ Si entonces \ y por lo tanto, dado que entonces \ ( \ ). Como y entonces \ y como obtenemos, ( \ ) \

Como ya mencionamos anteriormente, en muchas situaciones conside-

ramos que hay un conjunto del cual son elementos todos los objetos queaparecen en ellas, a dicho conjunto se le llama el conjunto universal (paradicha situación) y se le denota con la letra U. Entonces ya que cualquierconjunto (en cuestión) es un subconjunto de U a la diferencia U \ A sele llama el complemento de y se le denota , que con frecuencia se leesimplemente complemento.

Con estas convenciones si y son dos conjuntos tenemos la siguiente:

Observación 7

1. \ =

2. = { | }

Algo que es conveniente aceptar, es que los conjuntos pueden ser, a su vez,elementos de algún otro conjunto, si esto es así, consideremos dos conjuntos y cualesquiera, tales que y la propiedad “ser conjunto”, entonces{ | es conjunto} es un conjunto no vacío y todos sus elementos sonconjuntos, es decir, es un conjunto de conjuntos, para evitar este tipo de frases

se acostumbra llamar a los conjuntos de conjuntos, familias de conjuntos.Ejercicio 73 . Muestre que =

2.1.5 Uniones

Siguiendo la idea de que los conjuntos son las colecciones “no muy grandes”3,si F es una familia de conjuntos, la colección de los objetos que pertenecen

3Esto más que una idea, es una manera de hablar. Una colección es ”grande” cuandono podemos asegurar que sea un conjunto mediante la aplicación de los axiomas de la




a algún elemento de la familia, esperamos que no sea “muy grande”. Demanera más precisa, aceptemos el siguiente :

Axioma 7 (de la unión) . Si F es una familia de conjuntos, entonces

{| para algún conjunto F}

es un conjunto.

El conjunto anterior se llama la unión de F y se denota: F

Observación 8 =

De alguna manera, la unión de una familia de conjuntos es el resultadode reunir en un solo conjunto a los elementos de todos los conjuntos de lafamilia en cuestión, de hecho, en francés se usa el término reunión en vez deltérmino unión que usamos en México.

Para tener derecho a hablar de la unión de dos conjuntos es convenientetener el siguiente:

Axioma 8 (de la pareja) . Si y son conjuntos, entonces { } es un conjunto.

Es decir, existe un conjunto cuyos elementos son precisamente y .Como consecuencia de los dos axiomas anteriores, si A y B son dos con-

juntos cualesquiera,

{ } = {|

}

es el conjunto formado por los elementos de junto con los elementos de .Dicho conjunto se denota también:

y se le llama la unión de y .

teoría de conjuntos.En cambio, cuando la aplicación de los axiomas nos permite asegurar que una colección

es un conjunto decimos que la colección ”no es grande”.



2.1. AXIOMAS 71

Observación 9 . Para cualesquiera tres conjuntos , y , se pueden demostrar las siguientes afirmaciones:

1. {} = .

2. = .

3. = .

4. ( ) = ( )

5. ( )

6. = si y sólo si

7. ( ) = ( ) ( ).

8. ( ) = ( ) ( )

9. \ ( ) = ( \ ) ( \ )

10. \ ( ) = ( \ ) ( \ ).

11. = ( ) ( \ ).Una manera de demostrar que dos conjuntos son iguales es, como ya

sabemos, (ver el Axioma de extensión) comprobando que tienen los mismoselementos, y para hacer esto es conveniente considerar uno a uno todos di-versos casos posibles en los que pueden ocurrir los elementos. Por ejemplo,para demostrar que

( ) = ( ) ( )

un elemento tiene 8 posibilidades: ó ó ó ó ó ó ó

.




Una forma más cómoda de expresar lo anterior es mediante una tablacomo la siguiente:

1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 1

0 0 0

en donde cada uno de los renglones de la tabla expresa cada una de lasposibilidades mencionadas, en el mismo orden, así por ejemplo en el renglóntercero el uno, el cero y el uno significan está, no está y está, en , en yen C respectivamente. Con la misma notación podemos completar la tablapara convencernos de la veracidad de la igualdad en cuestión:

( ) ( ) ( ) =

( = ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 0 1 0 10 1 0 0 0 1 0 0 10 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 1 1 11 0 1 0 1 1 1 1 1

1 1 0 0 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

Como se puede ver en la tabla, los elementos considerados en cada renglónpertenecen a ( ) si y sólo si pertenecen a ()( ) Es decir,las dos columnas de los conjuntos que estamos probando que son iguales,coinciden.

Mediante tablas como las anteriores podemos probar también igualdadescondicionadas como: \ ( \ ) = ( \ ) \ si y sólo si

=

:



2.1. AXIOMAS 73

0 0 0 00 0 0 10 0 1 00 0 1 10 1 0 00 1 0 10 1 1 00 1 1 1

\ \ \ ( \ ) \ ( \ ) = ( \ ) \ = ( \ ) \

0 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 10 1 0 0 0 1 10 0 0 0 0 1 11 0 1 1 0 1 11 0 1 0 1 0 0

0 1 0 0 0 1 10 0 1 0 1 0 0

Como se ve en la tabla, [ \ ( \ ) = ( \ ) \ ] ( = ) esuna tautología.

Observación 10 Cuando se toma A como el conjunto universal en los in-cisos 8) y 9) de la observación 9, las igualdades obtenidas se conocen comolas leyes de De Morgan, y quedan expresadas:

1. ( ) =

2. ( ) =

En lenguaje coloquial, las leyes de De Morgan se expresan de la siguientemanera:

• El complemento de la unión es la intersección de los complementos.

• El complemento de la intersección es la unión de los complementos.




Ejercicio 74 . En un cierto país al 63% de la población le gusta el queso,y al 76% le gustan las manzanas. ¿Qué se puede decir del porcentaje de la

población al que le gustan el queso y las manzanas.

Ejercicio 75 . En un grupo de estudiantes hay 71 alumnos a los que les gusta el Álgebra pero no la Geometría, hay 60 a los que les gusta la Ge-ometría pero no les gusta el Cálculo. A 12 estudiantes les gusta el Álgebra,la Geometría y el Cálculo; hay 30 estudiantes a los que les gusta el Cálculoy no les gustan ni el Álgebra ni la Geometría. Hay 151 estudiantes a los que les gusta el Álgebra o el Cálculo. Hay 135 a los que les gusta la Geometría oel Cálculo. A 32 estudiantes les gusta el Álgebra y la Geometría. Hay nueve

estudiantes a los que no les gusta ninguna de las tres materias.¿A cuántos estudiantes les gusta el Álgebra? ¿Cuántos estudiantes hay que les gusta el Álgebra y la Geometría pero no el Cálculo? ¿Cuántos hay a los que les gusta el Álgebra y el Cálculo pero no la Geometría? ¿Cuántos estudiantes hay?

Denotemos con el conjunto universal. Demuestre las afirmaciones si-guientes:

Ejercicio 76 .

= =

Ejercicio 77 . = =

Ejercicio 78 . ( = ) ( = ) =

Ejercicio 79 . $ = 6= (recuerde que $ denota inclusión propia, es decir que $ significa que pero 6= ).

Ejercicio 80 . $ = 6=

2.1.6 Familias

Algunas de las propiedades de las operaciones finitas entre conjuntos son váli-das también en el caso infinito, sin embargo a fin de simplificar los enunciadoses conveniente tener el concepto de familia indicada de conjuntos.

Axioma 9 (de reemplazo) . Si es un conjunto y para cada , es un conjunto, existe un conjunto, denotado { } cuyos elementos son precisamente los conjuntos



2.1. AXIOMAS 75

Se suele decir que { } es una familia de conjuntos indicada por elconjunto

En las familias indicadas de conjuntos, por ejemplo { } para doselementos en distintos, bien puede suceder que = De hechoesta es una propiedad muy útil de las familias indicadas de conjuntos ya quepermite que un mismo conjunto juegue varios papeles simultáneamente. Loanterior quedará más claro cuando veamos el concepto de función y el deproducto cartesiano de conjuntos.

En la situación anterior podemos entender que cada elemento del conjunto determina o indica un conjunto (justamente a ), así el conjunto se llama el conjunto de índices. Naturalmente toda familia F de conjuntosse puede ver como una familia indicada:para F , tomemos = aún cuando no sean exactamente lo mismo,para muchos efectos { }F juega el mismo papel que F .

Cuando en el contexto no haya lugar a confusión, al referirnos a unafamilia indicada de conjuntos suprimiremos el término “indicada”.

Observación 11 . Si { } es una familia indicada de conjuntos, con no vacío y , entonces

{ | para cada }

es el conjunto de los elementos que pertenecen a cada uno de los conjuntos . De acuerdo con la terminología anterior, lo llamaremos la intersección de { } y lo denotaremos:

{ }

Axioma 10 (de la unión) . Si { } es una familia de conjuntos, en-tonces { | para alguna }

es un conjunto.

El conjunto anterior está formado por todos los elementos de los conjuntosde la familia, se llamará la unión de la familia { } y se denotará:

{

}




Algunas de las propiedades de las operaciones entre conjuntos enunciadasanteriormente son válidas cuando se consideran familias de conjuntos, por

ejemplo:Las leyes distributivas de la unión y la intersección para familias de con-

juntos son:

Observación 12 . Si { } es una familia de conjuntos y es un conjunto entonces,

1. ( { }) = { }

2. ( { }) = { }

Demostración. Para demostrar 1, podemos proceder comprobando quecada elemento del primer conjunto está en el segundo y recíprocamente. quecada elemento del segundo está en el primero:

) Si ( { }) entonces { } y . Por lo tanto,para alguna . Además, por lo que para dicha

de donde concluímos que { } ) Si { } entonces para alguna y por

lo tanto, para dicha Además por lo que y esdecir que

( { })

La demostración de 2, se deja como ejercicio.

Ejercicio 81 . Demuestre que (

{ })

=

{

}.

Las leyes de De Morgan también se pueden enunciar y demostrar parafamilias de conjuntos de la manera siguiente:

Si { } es una familia de conjuntos y es un conjunto entonces,

1) \ ( { }) = { \ }

2) \ ( { }) = { \ }



2.1. AXIOMAS 77

Cuando es el conjunto universal, las dos igualdades anteriores quedanexpresadas:

1) ( { }) =

©

ª

2) ( { }) =

©

ª

Que como dijimos anteriormente se pueden enunciar diciendo que:

1. El complemento de la unión es la intersección de los complementos.

2. El complemento de la intersección es la unión de los complementos.

2.1.7 La diferencia simétrica

Otra operación entre conjuntos es la diferencia simétrica .

Definición 12 . Si y son dos conjuntos, definimos

= ( \ ) ( \ ) = ( ) \ ( )

la diferencia simétrica de y .

Observación 13 . Para cualesquier tres conjuntos y se tienen las

igualdades siguientes:

1. ( ) = ()

2. =

3. = =

4.

( ) = (

)(

)




2.1.8 El conjunto potencia

Otra manera de obtener nuevos conjuntos es mediante el:

Axioma 11 (de las partes) . Si es un conjunto, los subconjuntos de son los elementos de un conjunto.

Al conjunto anterior, la familia de los subconjuntos de (según la maneraque ya mencionamos de referirnos a los conjuntos cuyos elementos son a suvez conjuntos), se le llama la potencia de o las partes de y se le denota( ) o 2 entonces:

( ) = {| }

En los ejercicios siguientes, demuestre la validez de los enunciados, acercade los conjuntos y .

Ejercicio 82 . = () ()

Ejercicio 83 . () () =

Ejercicio 84 . = () = ()

Ejercicio 85

1. () () = ( )

2. () () ( )

Ejercicio 86 . Construya un ejemplo de conjuntos y para los que

() () + ( )

Se dice que un conjunto es transitivo si =

Ejercicio 87 . Muestre que es transitivo y que {} también lo es.

Ejercicio 88 . Use axiomas de la Teoría de Conjuntos para construir, a partir del conjunto vacío, 20 conjuntos que no sean transitivos.



2.2. PAREJAS ORDENADAS , PRODUCTO CARTESIANO Y RE L. 79

Ejercicio 89 . Sea un conjunto. Diga si existe un conjunto cuyos ele-mentos sean los conjuntos de la lista siguiente:

( ) ( ( )) ( ( ( )))

¿por qué? (Ver el ejercicio 2.1, en la página 86).

Ejercicio 90 . Sea = {0 1 2 3 4 5 6 7 8 9} resuelva la ecuación

{0 3 6 7} = {0 7 1 2}

donde denota la diferencia simétrica, y desde luego denota un subcon-

junto de .

2.2 Parejas ordenadas, producto cartesiano yrelaciones

Un concepto importante para el desarrollo posterior de la Teoría de los Con- juntos, así como para el estudio de las funciones, el de las estructuras alge-braicas, los sistemas coordenados y varias cosas más, es el concepto de pareja

ordenada.Con este término queremos referirnos a dos objetos (elementos), no nece-

sariamente de un mismo conjunto, pero que juegan papeles distintos, distin-guiéndolos uno del otro, por ejemplo, especificando de alguna manera cuáles el primero y cuál el segundo.

Así, si y son conjuntos, y , el conjunto

{ } = { | = ó = }

no sirve para nuestros fines, ya que como precisamos anteriormente, los ele-mentos de un conjunto lo determinan totalmente. Es decir,

{ } = { }

Entonces procederemos de la manera siguiente.

Definición 13 . Si y son conjuntos, y la pareja ordenada de y es: ( )

= {{} { }}




Observación 14 . Note que de acuerdo al axioma de especificación,

{} = { | = }

y { } = { | = o = }

son conjuntos. Entonces, por el axioma de la pareja, {} y { } forman un conjunto, precisamente el que llamamos ( ) y ya que

{} ( ) y { } ( )

entonces ( ) ((A B ))

De acuerdo a lo anterior, si y son dos conjuntos, entonces para dos elementos y se tiene que

( ) ((A B ))

Veamos que la definición anterior corresponde a lo que queremos, explíci-tamente verfiquemos el siguiente teorema.

Teorema 4 . Sean , , conjuntos. Son equivalentes:

1. ( ) = ( )

2. ( = ) ( = )

Demostración. Veamos que 1) 2):Supongamos que

{{} { }}

= ( ) = ( )

= {{} { }}

Entonces:

{ } = {{} { }} = {{} { }} = { }

Por lo tanto, { } = { } También

{} = {{} { }} = {{} { }} = {}

Por lo que {} = {}, entonces =



2.2. PAREJAS ORDENADAS, PRODUCTO CARTESIANO Y RE L. 81

Como { } = { } y = entonces

{ } \ {} = { } \ {}

Ahora,si { } \ {} = {} entonces { } \ {} = {} de donde concluímos

que =

si { } \ {} = entonces = y { } \ {} = , por lo que = = = así que también en este caso =

En cualquier caso, = y =

2)

1) Es claro.Las parejas ( ) para las que es un elemento de y es un elemento

de forman un conjunto llamado el producto cartesiano de y , a saber:

× = {( ) ( ( )) | }

× y también se llama, simplemente, el producto de y , o por, o cruz

Observación 15 . Algunas de las propiedades del producto cartesiano de conjuntos y las operaciones mencionadas anteriormente son las siguientes:Si y son conjuntos:

1. × ( ) = ( × ) ( × )

2. ( ) × = ( × ) ( × )

3. × ( ) = ( × ) ( × )

4. ( ) × = ( × ) ( × )

5. ( × ) ( × ) = ( ) × ( )

6. × = si y sólo si = o B =

7. ( \ ) × = ( × ) \ ( × )

Ejercicio 91 . Demostrar los incisos de la observación anterior.




El concepto de producto cartesiano de conjuntos y el de pareja ordenadapermiten tratar en forma precisa el de relación. Por ejemplo si en el conjunto

= {2 3 9} consideramos la relación “ser divisor de ”, dicha relación yel conjunto ½

(2 2) (2 4) (2 6) (2 8) (3 3) (3 6) (3 9)(4 4) (4 8) (5 5) (6 6) (7 7) (8 8) (9 9)

¾proporcionan la misma información.

Generalizando lo anterior podemos aceptar como definición la siguiente:

Definición 14

1. Si y son conjuntos, una relación de en es un subconjuntodel producto cartesiano ×

2. A una relación de un conjunto en sí mismo simplemente le llamaremosuna relación en

3. Al conjunto { | tal que ( ) } se llama el dominio de la relación y al conjunto el contradominio de la misma.

Algunos ejemplos de relaciones son los siguientes:

Ejemplo 58 Ejemplos 59

1. Si es un conjunto, la diagonal de × , () es el conjunto

{( ) | }

Nótese que esta relación no es más que la relación de igualdad en Es decir:

{( ) × | = } = {( ) | }

El nombre diagonal de × se debe a que si es un segmento en laRecta Real, × es un cuadrado en el Plano Cartesiano una de cuyasdiagonales, como segmento geométrico, es precisamente ().



2.2. PAREJAS ORDENADAS, PRODUCTO CARTESIANO Y REL. 83

-4 -2 2 4

-4

-2

2

4

x

y

{( ) R × R | = }

2. Si es un conjunto, la relación de pertenencia de los elementos de

a los subconjuntos de es: {( ) × () | }

3. Si F es una familia de conjuntos, la relación de contención entre loselementos de F es:

{( ) F × F | A B}

4. Si es una relación de en , la relación inversa de denotada 1

es la relación

{( ) × | ( ) }

5. Si es una relación de en , 1 y 1 : entonces

(a) La restricción de a 1 × 1es

{( ) | 1 1}

y se denota |

1|1.

×

|1

|1 1 × 1

(b) A la restricción de a 1× se le llama simplemente la restricciónde a 1 y se le denota con: |1.Entonces:

|1 = {( )

|

1}




(c) A la restricción de a × 1 se le conoce como la correstricciónde a 1 y para referirnos a ella usaremos: |1.

Por lo tanto:|1 = {( ) | 1}

Observación 16 . En cualquier familia de conjuntos F , la relación de contención tiene las siguientes propiedades:

1. La contención es reflexiva, es decir, para cada F

2. La contención es antisimétrica, es decir, para cualesquiera dos conjuntos

y en F , si y , entonces = 3. La contención es transitiva, es decir, para cualesquiera tres conjuntos

, y en F , si y entonces

2.2.1 Axioma de regularidad

El siguiente axioma tiene entre otros, el propósito de evitar que un conjuntopueda ser elemento de sí mismo.

Axioma 12 (de regularidad) . No existe una lista infinita de conjuntos tales que

· · · 3 2 1

Observación 17 . Como consecuencia, si es un conjunto, entonces Pues si podríamos escribir una lista

· · ·

que no termina, pues siempre podríamos agregar otro “ ”.Otra consecuencia, es que

pues si y entonces podríamos escribir una lista

· · ·

que no termina, pues siempre podemos agregar un nuevo “

”




Ejercicio 92 . Use el axioma de regularidad para demostrar que no existe un “conjunto de todos los conjuntos”.

Ejercicio 93 . Demuestre que si son conjuntos tales que

1. = y

2. =

entonces =

Ejercicio 94 . Use el axioma de regularidad para demostrar que un conjuntono puede ser elemento de sí mismo, de la manera siguiente: considere el conjunto {} y ahora use el hecho de que el conjunto anterior debe contener un elemento ajeno con {}. Entonces {} = ®. Concluya.

Ejercicio 95.Use el axioma de regularidad para demostrar que ( ) 6=

Ejercicio 96 . Use el axioma de regularidad para demostrar que ( ) 6=

Definición 15 . Un conjunto es transitivo si

=

Ejercicio 97 . Muestre que un conjunto es transitivo

=

Ejercicio 98 . Muestre que los conjuntos

® {®} {® {®}} {® {®} {® {®}}}

son transitivos.

Ejercicio 99 . Muestre que si es transitivo y entonces {}es transitivo.




Ejercicio 100 . Demuestre que si es un conjunto transitivo entonces el sucesor de ,

() = {} (2.1)es un conjunto transitivo.

Ejercicio 101 . Muestre que {0 1 2 {1 2}} y {0 1 2 {1 2} {0 2}} son conjuntos transitivos.

Ejercicio 102 . Encuentre el menor conjunto transitivo que contiene a

{{2 4} {1} {{1} {2 3}}}

Ejercicio 103 . Demuestre que si y son conjuntos transitivos entonces

y

también son transitivos.

Ejercicio 104 . Encuentre un conjunto transitivo que no sea un númeronatural y con el menor número posible de elementos.

2.2.2 Órdenes parcialesEn realidad la contención entre los conjuntos de un familia no es más que unejemplo de lo que se conoce como orden parcial.

Definición 16 . Diremos que una relación en un conjunto , es un orden parcial (en ), si :

1. La relación es reflexiva, es decir, para cada elemento ,

2. La relación es antisimétrica, es decir, para cualesquiera dos elementos

y en , si y , entonces =

3. La relación es transitiva, es decir, para cualesquiera tres elementos , y en , si y , entonces

Puesto que hemos usado el signo de menor o igual para denotar un ordenparcial, leeremos la expresión de la manera siguiente: “equis menor oigual a ye”.

Para referirnos a un conjunto y a un orden parcial en él, diremos simple-mente: “un conjunto ordenado parcialmente”.




Ejemplo 60 . Un ejemplo de orden parcial en el conjunto de los números naturales es la relación “divide a”.

Observación 18 . La relación inversa de un orden parcial en un conjunto es también un orden parcial, como demostraremos a continuación.También se le llama el orden dual de y se denota

Demostración. es un orden ya que:i) Si , puesto que .ii) Si y , entonces por la definición de , y , y

de la antisimetría de

concluímos que = .iii) Si y , entonces y , por la transitividad de

sabemos que o sea que .

Ejemplo 61 . El orden dual de la relación “divide a” o “ser divisor de” en el conjunto de los Números Naturales es la relación “ser múltiplo de”.

Observación 19 . En cierta manera todo orden parcial es la contención entre conjuntos, en el siguiente sentido: si es un orden parcial en un

conjunto , entonces para cada , consideremos el conjunto de los elementos de menores o iguales a , y denotémoslo con hi, es decir:hi = { | }.Entonces para cualesquiera dos elementos y en , , si y sólo si,hi hi Así, los conjuntos y {hi () | } tienen las mismas propiedades,vistos como conjuntos parcialmente ordenados.

Observación 20 . Si vemos la familia () de los subconjuntos de un

conjunto como un conjunto ordenado parcialmente por la contención entre conjuntos, entonces para cualesquiera dos conjuntos y el conjunto es el conjunto “menor” entre los que son mayores o iguales que y .Es decir:

1. Si () y (), entonces ()

2. y

3. Si

(),

y

entonces,




De igual manera, , es el conjunto “mayor” en () de los que sonmenores o iguales que y que .

A un conjunto ordenado parcialmente y con las propiedades anteriores lellamaremos retícula.

A fin de enunciar lo anterior de una manera más precisa haremos lasdefiniciones siguientes:

Definición 17 . Sea un conjunto parcialmente ordenado y sea

1. Diremos que es una cota superior para si

2. Diremos que es el menor elemento de si

3. Diremos que es el supremo de si es el menor elemento en elconjunto de las cotas superiores de Escribiremos

= sup ()

Observación 21 . Cuando y son elementos de un conjunto ordenadoparcialmente , el supremo de { } es un elemento denotado de , tal que:

1. y y además

2. si y , entonces,

En la misma situación anterior, el ínfimo de { } es un elemento de denotado con las propiedades siguientes:

1. y y

2. si y , entonces,

Proposición 7 . Si R es una relación de orden en y entonces R | = R ( × ) es una relación de orden en

R ×

R

( × )

×




Así pues, cuando hablemos de un subconjunto ordenado de un conjuntoordenado parcialmente , sobreentenderemos que nos referimos a él como

conjunto ordenado parcialmente con dicha restricción.

Ejemplo 62 Si

= = { | es un número real y 0 1}

y ( ) ( ) × entonces

( )

( )

si y sólo si ( ) está en el rectángulo que tiene como vértices opuestos al origen del plano cartesiano (0 0) y al punto ( )

Definición 18 El otro orden al que nos referimos lo denotaremos , y está definido por:

( ) ( ) si ó ( = y )

Para × , ( ) y ( ) como en el ejemplo anterior,

( )

( )




si y sólo si el punto ( ) es el punto ( ) o está a la izquierda o exactamenteabajo de él.

2.2.3 Retículas

Definición 19 . Diremos que un conjunto ordenado parcialmente es una retícula superior si cada par de elementos de tiene supremo en

De forma similar un conjunto ordenado parcialmente es una retículainferior si cualesquiera dos elementos de tienen ínfimo en

Por último, un conjunto ordenado parcialmente que es tanto retícula su-perior como inferior se le llama simplemente una retícula.

Ejemplo 63 . Si es un conjunto con más de un elemento, la familia

{ | 6= }

con la contención es una retícula superior que no es retícula inferior. En la misma situación { | 6= } es una retícula inferior que no es retícula superior.

Definición 20 . es una cota inferior de ( ), si es menor oigual que todos los elementos de .




Definición 21 . Un elemento de un conjunto parcialmente ordenado es el mayor elemento de

si

y

Definición 22 . Un elemento de un conjunto parcialmente ordenado es máximo si = =

Recordemos que a la menor cota superior de (si la hay) se le llama elsupremo de y se denota sup () o bien

W.

Observación 22 . Cuando un conjunto contiene a su supremo, éste es único: ya que si 0 y 0 son ambos supremos de , entonces 0

0 ( 0 es

cota superior para y 0 es la menor de las cotas superiores) pero también 0 0, así que por la antisimetría de un orden parcial tenemos que 0 = 0.

Recordemos que a la mayor cota inferior de , (si la hay) se le llama elínfimo de y se denota

V o inf ()

Observación 23 . 0 es el ínfimo de , si:

1. Para cada

, 0

.

2. Si y para cada , . Entonces, 0.

Como en el caso de los supremos, cuando un conjunto tiene ínfimo, éstees único.

Definición 23

1. Un conjunto ordenado parcialmente es una retícula completa supe-

riormente si cada subconjunto de tiene supremo.2. Es una retícula completa inferiormente si cada subconjunto de tiene

ínfimo.

3. Es una retícula completa si lo es superior e inferiormente.

Ejemplo 64 . Si es un conjunto, la familia de subconjuntos de , ()es una retícula completa con la contención. ya que si S (), entonces

W S =

S y V S =

S .




Ejemplo 65 . Si es un conjunto infinito, la familia de los subconjuntos finitos de , ordenada parcialmente con la contención entre conjuntos,

= { | es finito}

es una retícula pero no es completa, ya que no tiene supremo.

Ejemplo 66 . La familia de subconjuntos infinitos de { | es infinito}es una retícula superior completa pero no es una retícula inferior.

2.3 Orden en un producto de conjuntos or-denados

Cuando y son dos conjuntos ordenados parcialmente, en el productocartesiano de los conjuntos, × , se pueden definir de manera natural dosórdenes parciales. Con el fin de simplificar la notación, mientras no hayalugar a confusión, usaremos el mismo símbolo, , para todos los conjuntosordenados parcialmente con los que estemos tratando.

Para y dos conjuntos ordenados parcialmente se tiene un orden

parcial, en × , definido de la manera siguiente:

Definición 24 . Sean ( ), ( ) × Definimos ( ) ( ) si y Nótese que al decir nos estamos refiriendo al orden en , con al orden en y al escribir ( ) ( ), denota el orden que estamos definiendo en × .

El otro orden al que nos referimos lo denotaremos , y está definido por:

( ) ( ) si ó ( = y )

El orden anterior se llama lexicográfico, o alfabético, en analogía con lasituación de que en un diccionario va antes “casa” que “masa” y a que vaprimero “masa” que “mata”.

1. Decimos que dos elementos , en un conjunto ordenado parcialmente, son comparables, si:

ó



2.3. ORDEN EN UN PRODUCTO DE CONJUNTOS ORDENADOS 93

2. Dos elementos que no son comparables se dice que son incomparableso incompatibles.

Definición 25 . Un subconjunto de es una cadena, si cualesquiera dos elementos de son comparables.

Ejemplo 67 . En el conjunto de los Números Naturales ordenados con la relación “divide a”, el conjunto de las potencias de 2, {1 2 4 8 16}, es una cadena. En general, si es un número primo, el conjunto de potencias de ,

©1 2 3ª

es una cadena con la relación “divide a”.

Definición 26 . Un subconjunto de se llama una anticadena, si cua-lesquiera dos elementos de son incomparables.

Ejemplo 68 . En el conjunto ordenado de los naturales con la relación “di-vide a” del ejemplo anterior, el conjunto de los números primos, {2 3 5 7 11}es una anticadena..

Ejemplo 69 . Si es un conjunto finito con elementos, en la familia,(), de los subconjuntos de ordenados parcialmente con la inclusión, si es un entero y 2 1, la familia de los subconjuntos de con elementos,

{ | tiene elementos }

es una anticadena.

Un conjunto ordenado parcialmente en el que cualesquiera dos de sus ele-mentos son comparables, es decir una cadena, se llama también un conjunto

ordenado linealmente, u ordenado totalmente.Al orden parcial correspondiente se le llama, en este caso, un orden lineal

o total.

Observación 24 . En general un conjunto con una relación es un conjunto ordenado totalmente por si dicha relación es:

1. Total, es decir, si , entonces ó

2. Antisimétrica, o sea, si

,

y

, entonces = .




3. Transitiva, es decir, si , y , entonces .

Ejercicio 105 . Si y son dos conjuntos ordenados totalmente, × está ordenado totalmente por .

Observación 25 . Note que el hecho de que la relación sea total implica que es reflexiva, y que una relación en un conjunto es total si y sólo si 1 = ×

Recordemos las siguientes definiciones.Una relación en un conjunto es reflexiva si y sólo si () (Ver

1, página 82).Una relación en un conjunto es antisimétrica si y sólo si 1

()(ver 4, página 83).Una caracterización de la transitividad, análoga a las anteriores la pode-

mos enunciar en términos de la composición de relaciones, concepto queademás es muy útil en varios temas de la Matemática, en particular en elestudio de las funciones, que como veremos son casos particulares de rela-ciones.

Definición 27 . Si , y son conjuntos, es una relación de en

y es una relación de en la composición de y es la relación

= {( ) | para alguna ( ) y ( ) }

Para referirnos a diremos “erre compuesta con ese” o “erre seguida de ese”.

Observación 26 . Una relación es transitiva si y sólo si

Anteriormente mencionamos que la restricción de un orden parcial, es a

su vez un orden parcial, y al analizar esto podemos hacernos la preguntasiguiente:

¿Las propiedades de una relación, las hereda una restricción de la relación?

Proposición 8 . La restricción de una relación reflexiva es reflexiva.

Demostración. Si es una relación reflexiva en un conjunto y esun subconjunto de , entonces, para cada , se tiene que ( ) pues es reflexiva y .

Por lo tanto ( )

( × ) = |

.



2.3. ORDEN EN UN PRODUCTO DE CONJUNTOS ORDENADOS 95

Proposición 9 . La restricción de una relación antisimétrica es antisimétri-ca.

Demostración. En efecto, sea un conjunto, una relación anti-simétrica en y .

Si ( ) (|) y ( ) (|), entonces ( ) y ( ) ,por lo que = .

Otra manera de verlo es la siguiente:(|) = ( × ) y (|)1 = 1 ( × ) así que

(|)

(|)1

¡

1¢

( × )

() ( × ) = ()

De manera análoga a la anterior se puede demostrar que:

Proposición 10 . La restricción de una relación transitiva es transitiva y la restricción de una relación total es total.

Como consecuencia de lo anterior, la restricción de un orden total esun orden total, y por lo tanto cada subconjunto de un conjunto ordenadototalmente lo consideraremos de manera natural como un conjunto ordenadototalmente.

Definición 28 . Recordemos que si y son conjuntos y es una relación de en , entonces el conjunto de los elementos de que es-tán relacionados con algún elemento de se llama el dominio de la relación . Así, el dominio de es:

() = { | para alguna , ( ) }

Contra lo que podría esperarse, se le llama el contradominio de alconjunto .

En cambio al conjunto de los elementos de que están relacionados conalgún elemento de se le llama la imagen de la relación . Así, la imagende , es:

Im() = {

| para alguna

, ( )

}.




Al lector le puede parecer ocioso hablar de una relación de en parareferirnos a un conjunto de parejas ordenadas, sólo porque cada una éstas

tiene un elemento en y otro en , si lo mismo podemos decir del dominioy la imagen de la relación, (cada una de las parejas en la relación tiene unelemento en el dominio y otro en la imagen) o de cualesquiera dos conjuntos,si uno contiene al dominio y el otro a la imagen. Sin embargo, cuando dosconjuntos tienen estructuras matemáticas similares, algunas relaciones espe-ciales de uno en el otro, permiten comparar dichas estructuras y encontrarpropiedades de una de ellas conociendo algunas de la otra.

2.4 FuncionesPosiblemente las relaciones más importantes en la Matemática sean las fun-ciones, ellas permiten precisar muchos conceptos, relacionar, como dijimosantes, unas estructuras con otras y describir tanto hechos de la Matemáticamisma, como una gran cantidad de fenómenos de la naturaleza. Los ca-sos más sencillos y conocidos de funciones son las fórmulas, para las cuales,cuando se determina el valor de los datos se obtiene un único resultado, porejemplo en la fórmula del área de un triángulo, base por altura sobre dos, los

valores de la base y de la altura determinan el valor del área. Diremos queuna relación es unívoca cuando “el primer elemento de una pareja determi-na al segundo”, es decir cuando ningún objeto es el primer elemento de dosparejas distintas en la relación en cuestión, de manera más precisa:

Definición 29 . Una relación es unívoca si

(( ) ( ) ) =

Definición 30 . Si y son dos conjuntos, y es una relación unívoca de en tal que el dominio de es entonces la terna ordenada ()es una función.

Es decir, ( × ) es una función de en , si:

para cada hay un único elemento tal que ( ) .

Si al elemento del renglón anterior lo denotamos () podemos entendera las funciones de la manera siguiente:



2.4. FUNCIONES 97

Una función de un conjunto en un conjunto es una regla que determinapara cada elemento de un elemento único () de .

En la literatura muchas veces se dice lo anterior así: una función es unaregla que asocia a cada elemento del dominio uno y sólo un elemento delcontradominio. Al elemento () se le llama el valor de la función en ola imagen de bajo , y en el lenguaje verbal se refiere uno a él como “ de”. Con las convenciones anteriores, si () es una función:

= {( ()) | }

Por costumbre, a veces en lugar de escribir (), escribimos simple-

mente para describir la función.

Notación 1 . Se suele escribir 7 para indicar que = ()

Observación 27 . En vista de lo anterior, si y son dos conjuntos y y son dos funciones de en , = , si y sólo si

{( ()) | } = {( ()) | }

es decir, si y sólo si para cada , () = ().

Así pues dos funciones son iguales si y sólo si tienen el mismo dominio,el mismo contradominio, y las reglas de ambas son iguales en todos los ele-mentos del dominio común.

Otra manera de decir lo anterior es la siguiente: dos funciones son igualessi tienen el mismo dominio, el mismo contradominio, y los mismos valores entodos los elementos de su dominio.

Para referirnos a una función de un conjunto en un conjunto ,escribiremos simplemente:

:

o bien,

Ejemplo 70 . Si es un conjunto, la igualdad en es una función de en a la que suele llamársele la identidad en y denotársele 1, con el lenguaje que acabamos de convenir:

1 :

es la función tal que para cada

, 1

() = .




Ejemplo 71 . Cuando un conjunto es subconjunto de un conjunto , se tiene de manera natural una función de en , llamada la inclusión de

en y denotada cuya regla de correspondencia es:Para cada , () =

Nótese que la identidad es un caso particular de la inclusión.

2.4.1 Funciones inyectivas

Las inclusiones forman parte de una familia más grande de funciones, la delas funciones inyectivas. Una función es inyectiva si los valores de la función

son distintos para elementos distintos de su dominio. Otra forma de decir loanterior es:

Definición 31 . Una función : es inyectiva si para cualesquiera dos elementos en ,

( () = ()) ( = )

El hecho de que una función : sea inyectiva lo expresaremosmuchas veces usando la flecha ½, es decir escribiremos : ½ .

Desde el punto de vista conjuntista cada función inyectiva “copia el do-minio en el contradominio”, ya que si : ½ es una función inyecti-va, cada elemento tiene una copia () en y así la imagen de , () = { () | } es una copia de donde “a cada uno de sus elemen-tos, si éste se llamaba ahora se le ha cambiado el nombre por el de por elde ()”.

Con las convenciones anteriores, recordemos que si es un conjunto orde-nado parcialmente hemos definido para cada : hi = { | },entonces mediante la función : ½(A) tal que para cada , () =

hi, obtenemos en () una copia, {hi | }, de Más aún, esta copia no lo es sólo desde el punto de vista conjuntista, yaque como

si y sólo si hi hi

entonces {hi | } es una copia de como conjunto ordenado.

Observación 28 . Si : y : son funciones, y comorelaciones que son, se pueden componer, y su composición es, como ya sabemos, una relación de en , más aún, ( ) es una función ya que:



2.4. FUNCIONES 99

1. Si , como

= ( ) = { | ( ) }

hay una , para la cual ( ) . Como

= () = { | ( ) }

hay una , tal que ( ) .De aquí, podemos concluir que ( ) y por lo tanto ( )

2. Con lo anterior hemos demostrado que ( ) = y puesto que es una relación de en , sólo falta probar que es unívoca.si ( 1) y

( 2) = {( ) × | ( ) y ( ) }

entonces hay una 1 para la cual ( 1) y (1 1) , y tambiénhay una 2 , tal que ( 2) y (2 2) . Ahora el hecho deque sea unívoca obliga a que 1 = 2 y de aquí necesariamente 1 = 2

ya que es unívoca. De donde concluímos que

es unívoca.

Si ya aceptamos que una función de un conjunto en un conjunto es una regla que para cada elemento determina un único elemento () , con este lenguaje podemos rehacer la demostración anterior de lamanera siguiente:

Si : y : son funciones, es una función de en . En efecto si , determina un único elemento () , el cual asu vez determina un único elemento ( ())

Observación 29 . Nótese que de acuerdo a las convenciones que hemos hecho acerca de la notación y la terminología para las funciones, para ca-da el único elemento de que la composición ( ) determina es precisamente ( ()); es decir ( )() = ( ())

Otra manera de decir lo anterior es:Si : y : son funciones, entonces : es la

función cuya regla de correspondencia es,

para cada

(

)() = ( ())



2.4. FUNCIONES 101

Teorema 5 . Si : es cancelable por la izquierda, entonces es inyectiva.

Demostración. Por contrapuesta, si no es inyectiva, es porque existen 6= tales que () = () Tomemos un conjunto con un únicoelemento, por ejemplo {}

Definamos : {} por () = y definamos : {} , por: () =

Las funciones y son distintas pues 6= pero : {} es talque ( ) () = ( ()) = ()

mientras que : {} es tal que ( ) () = ( ()) = ()

Entonces {}

= {}

pero 6= es decir, no es cancelablepor la izquierda.

Hemos demostrado que una función : es inyectiva si y sólo si escancelable por la izquierda. ¿A que corresponderá el hecho de que : sea cancelable por la derecha?

2.4.2 Funciones suprayectivas

Definición 32 . Una función :

es suprayectiva si para cada

existe tal que = ()

Otra manera de decir lo mismo es pidiendo que la imagen de coincidacon su contradominio ( () = ).

Teorema 6 . Una función suprayectiva es cancelable por la derecha.

Demostración. Supongamos que : es suprayectiva, y que

=

con : y : Queremos demostrar que =

Si = entonces × = por lo que = Análogamente,

= ).Supongamos ahora que 6= Tomemos , como es suprayectiva, existe tal que

() = Entonces

() = ( ()) = ( ) () =

z }| { =

( ) () = ( ()) = ()




Como () = () entonces = Veamos ahora que una función cancelable por la derecha es suprayectiva.

Teorema 7 . Si : es cancelable por la derecha, entonces es suprayectiva.

Demostración. Por contrapuesta, si : no es suprayectiva,

definamos las siguientes funciones de a {0 1} : 0 {0 1} tal que 7

0 y {0 1}por 7 0 si () 7 1 si ()

Es claro que

= b0

pero 6= b0 ya que para \ (), () = 1 6= 0 = b0 ()

Definición 33 . Sean y

dos funciones supongamos que

= diremos que es inverso por la izquierda de y que es

inverso por la derecha de

Teorema 8 . Son equivalentes para 6= :

1. es inyectiva,

2. tiene inverso por la izquierda.

Demostración. 1 2) Consideremos = () ( \ ()) Escojamos un elemento ( 6= ), definimos

= () ( \ ())

() 7 7 si ()

Entonces () = ( ()) = = () por lo que

es inverso izquierdo para

2) 1) Supongamos que es inverso por la izquierda de entoncesdados 6= tenemos que

( ()) = () = 6= = () = ( ())

entonces () 6= () Análogamente una función que tiene inverso por la derecha es suprayec-

tiva, porque si tiene inverso por la derecha es cancelable por la derecha.



2.4. FUNCIONES 103

Ejercicio 106 . Demuestre que si : es una función con inversopor la derecha, entonces es cancelable por la derecha.

Axioma 13 . Una función suprayectiva : tiene inverso por la derecha.

El axioma anterior se conoce como “Axioma de Elección”.

Observación 30 . Si {} es una familia no vacía ( 6= ) de conjuntos no vacíos ( 6= ) ajenos dos a dos ( = 6= ) entonces,considerando la función suprayectiva

{}

7 si

el axioma anterior nos asegura la existencia de un inverso derecho para Notemos que si : {} es un inverso derecho para entonces ( ( )) = así que ( ) es un elemento de Puede decirse que es una función que “escoge” un elemento de cada por eso, se llama una

función de elección”.

Teorema 9 . La composición de funciones es asociativa.

Demostración. Sean

y entonces

()

=

( )

pues para cada

(( ) ) () = ( ) ( ()) = ( ( ()))

pero también

( ( )) () = (( ) ()) = ( ( ()))




Teorema 10 . Si y

son funciones inyectivas entonces

también es inyectiva.

Demostración. Sean y

inversos izquierdos de y de

respectivamente. Demostraremos que es inverso por la izquierda de

:

( ) ( ) = ( ( )) =

= (( ) ) = ( ) == =

Ejercicio 107 . Demuestre que la composición de funciones inyectivas es inyectivas

1. Usando directamente la definición de inyectividad.

2. Mostrando que la composición del las funciones inyectivas es cancelablepor la izquierda.

Teorema 11 . Si y

son funciones suprayectivas entonces

también es suprayectivas.

Demostración. Sea como es suprayectiva, existe tal que = () Como es suprayectiva, existe

tal que = ()

Por lo tanto ( ) () = ( ()) = () = Por lo tanto = ( ) ()

Ejercicio 108 . Demuestre que la composición de funciones suprayectivas es suprayectiva.

1. Mostrando un inverso derecho para la composición

2. Mostrando que la composición del las funciones suprayectivas es can-celable por la derecha.



2.4. FUNCIONES 105

2.4.3 Funciones biyectivas

Definición 34 . Una función

es biyectiva cuando es inyectiva y suprayectiva.

Definición 35 . Una función es invertible cuando existe

que es inverso izquierdo y derecho de en este caso decimos que es inversode

Definición 36 . Una función es cancelable cuando es cancelable

por la izquierda y por la derecha.

Teorema 12 . Son equivalentes para :

1. es biyectiva.

2. es invertible.

3. es cancelable.

4. tiene inverso por la izquierda e inverso por la derecha.

Demostración. Como ya sabemos que son equivalentes para una función ser inyectiva, cancelable por la izquierda y tener inverso por la izquierda ytambién que son propiedades equivalentes para una función ser suprayectiva,ser cancelable por la derecha y tener inverso por la derecha, tenemos que 1),2) y 3) son equivalentes.

Es claro que 2) 4).

4) 2) Supongamos que

son tales que es inverso izquierdo

de y que es inverso derecho de entonces

=

=

Entonces

= = ( ) = ( ) = =

Lo que muestra que = es un inverso de .




Ejercicio 109 . Demuestre que si y

son funciones biyecti-vas, entonces

es biyectiva.


1. es invertible.

2. tiene un único inverso izquierdo.

3. tiene un único inverso derecho.

Demostración. 1) 2) Si = = entonces = pues lasfunciones invertibles son cancelables.1) 3). Es análogo a 1) 2).Ahora basta demostrar la equivalencia entre 2) y 3) :2) 3) Supongamos que

= =

digamos que : es el inverso izquierdo de Entonces

= = ( ) == ( ) = = ( ) =

= ( ) = =

por lo que el inverso derecho es único.3) 2). Es análogo a 2) 3)3)= 1). Suponiendo 3), tenemos que tiene inverso derecho. Por 3)

= 2) tenemos que también tiene inverso izquierdo.

Corolario 2 . La inversa de una función cuando existe, es única y se denota

1

Además, como 1 = y 1 = es claro que ( 1)1

= así que 1 también es invertible.

Teorema 14 . Sean

dos funciones. Entonces

1.

suprayectiva

es suprayectiva.



2.5. CARDINALIDAD 107

2. inyectiva es inyectiva.

Demostración. 1. Si es suprayectiva, entonces tiene un inversoderecho : Como

= ( ) = ( )

vemos que es un inverso derecho de . Por lo tanto es suprayectiva.

2. Si es inyectiva, entonces es cancelable por la izquierda.

Ahora,

( = ) ( = ) (( ) = ( ) ) ( = )

Así que también es cancelable por la izquierda, por lo que es inyectiva.

2.5 Cardinalidad

2.5.1 Axioma del infinito

Observemos que si es un conjunto, el axioma de las parejas nos aseguraque hay un conjunto { } = {}

Ahora, el axioma de regularidad nos permite asegurar que 6= {} (pues {} pero )

Nuevamente por el axioma de las parejas tenemos que hay un conjunto{ {}} y el axioma de la unión nos dice que

{ {}} = {}

es un conjunto. Notemos que {} tiene exactamente un elemento másque (a saber: ).

El conjunto {} será importante para nosotros y lo denotaremos ()

Los axiomas de la Teoría de conjuntos nos permiten afirmar la existenciade los siguientes conjuntos:

() = {} = {} ( ()) = { {}} ( ( ())) · · ·en la lista anterior, cada conjunto es elemento del conjunto siguiente,

pero por el axioma de regularidad, ningún conjunto de la lista pertenece a




un conjunto precedente. Esto nos permite afirmar que cada conjunto de lalista es distinto de los que le preceden.

Nos preguntamos si la lista interminable anterior serán los elementos deun conjunto. Como hasta el momento no hay nada que nos lo asegure intro-ducimos la siguiente definición.

Definición 37 . Un conjunto es inductivo si:

1.

2. ()

Axioma 14 (del infinito) . Existe un conjunto inductivo.

La razón de que se llame así al axioma, es porque un conjunto inductivotiene que contener todos los elementos de la lista interminable de elementosdistintos:

() ( ()) ( ( ())) · · ·

Definición 38 . Decimos que y tienen la misma cardinalidad si existe

biyectiva. Expresaremos este hecho escribiendo || = || También diremos que y tienen el mismo número de elementos.

Escribiremos || || si existe inyectiva.

Observemos que esto es equivalente a que haya función suprayec-

tiva.Es un teorema muy importante de la Teoría de Conjuntos (Teorema de

Cantor-Bernstein-Schröeder) que si || || y || || entonces || = || Aunque la notación parece sugerir el teorema anterior, el resultado no es

nada obvio. Se afirma que si hay dos funciones de a , una inyectivay la otra suprayectiva, entonces debe haber una función biyectiva de a

Notación 2 . Escribiremos || || para decir que || || pero || 6=|| Esto sucede cuando hay una función inyectiva de a pero no hay ninguna función suprayectiva de a (Usando el teorema de Cantor-Bernstein-Schröeder).

Ejemplo |

| |{

}|




Teorema 15 . Para cualquier conjunto se tiene que || | ()|

Demostración. La función

()

7 {}

es inyectiva, pues si 6= entonces {} 6= {} Entonces || | ()| pero no puede haber una función suprayec-

tiva : () Si :

() fuera una función suprayectiva, podríamos consid-

erar el conjunto = { | ()} ()

Bajo la hipótesis de que es suprayectiva, existiría un elemento talque = ()

Se tiene que ó ¿Cuál es el caso?Si es porque () = .Por lo tanto Pero ¬ ( ()) Es decir

La contradicción anterior muestra que no puede haber una suprayec-ción de a ()

Por lo que || | ()|

2.5.2 Conjuntos infinitos

Definición 39

1. Se dice que el conjunto es infinito si existe un subconjunto propio

de tal que || = ||

2. Un conjunto que no es infinito se llama finito.

Ejemplo 73 . es finito, ya que no tiene subconjuntos propios.

Ejemplo 74 . Un conjunto inductivo es infinito:Supongamos que es inductivo y consideremos la función




7 () = {}

Observemos primero que la función es inyectiva:pues si {} = {}

entonces {} y {} es contradictorio con el axioma de regularidad (... continúa indefinidamente). = contradice el axioma de regularidad.Por lo tanto por lo que = Entonces

|() ()

es una biyección entre y () Además, () es un subconjunto propiode : \ () ( porque es inductivo y 6= () porque ()tiene como elemento a ).

Observación 31 . Si es infinito y || = || entonces es infinito.

Demostración. Supongamos que ( y que

y

sonbiyecciones. Consideremos

|( )|

( )

( ( ) ( pues si \ entonces () \ ( )

Ahora, son biyecciones

1

1

y

|( )|

( ) Entonces

|( )|

11

( )

es una biyección entre y uno de sus subconjuntos propios. Por lo tanto es infinito.

Teorema 16 . Si es un conjunto finito entonces () también es un conjunto finito.




Demostración. Supongamos que es finito.Si ()

fuera una biyección entre () =

{} y un subconjunto

propio de () podemos considerar

| \{()}| \ { ()}

que es inyectiva y suprayectiva.i) Si \ { ()} es un subconjunto de entonces \ { ()} =

pues es finito.Como

= { ()}

y como ( {}

se sigue que = y que () Pero entonces tenemos una biyecciónentre () y así que () es finito e infinito

.

ii) Entonces \ { ()} no es un subconjunto de . Pero como {} concluímos que (en caso contrario ) y además

() 6= Así que \ { ()}

por lo que = () 6= () con 6= .La función

\ { ()} \ { ()} tal que

7 si 6= ()

() 7 ()es una biyección.

Entonces

| \{()}| \ { ()} \ { ()}

es una biyección entre y \ { ()} = \ {} Resta notar que \ {} (

Como ( () entonces () = {} tal que por loque 6= Entonces




Como \ ( \ {}) entonces

( \ {}) (

y tenemos una biyección entre y un subconjunto propio

La contradicción viene de suponer que () es infinito.

2.6 Imágenes directas e imágenes inversas

Si

es una función, podemos definir una función

() ()

7 ( ) = { | = () }

Observación 32 . Si es una función biyectiva, entonces ()

() también es biyectiva.

Demostración. Es inmediato que () () tiene inversa:

() ( 1)

()

Para ver esto, tomemos () entonces¡ 1

¢ ( ( )) =

¡ 1

¢ ({ | = () }) =

=

© | = 1 () = ()

ª =

= © | = 1

( ()) ª = = () ( ) Por lo que ¡

1¢ = ()

simétricamente ¡ 1

¢ = ()

Así que|| = ||

| ()| = | ()|



2.6. IMÁGENES DIRECTAS E IMÁGENES INVERSAS 113

Teorema 17 . Sea una función, () Entonces ()

() satisface:

1. ( ) ( )

2. ( ) = ( ) ( )

3. ( ) ( ) ( ) y la inclusión puede ser propia.

Demostración. 1. Es claro de la definición.2. Como entonces ( ) ( ) Análogamente

( )

(

) por lo tanto

( ) ( ) ( )

Ahora, ( ) = { () | } = () con ó Por lo tanto = () ( ) ( )

3. ( ) ( ) ( ) análogamente, ( ) ( ) Por lo tanto

( ) ( ) ( )

Mostramos que la inclusión puede ser propia con un ejemplo:Para

{ } {1}

7 1 7 1

tenemos que ({ })

({1}) 7

{} 7 {1}{} 7 {1}{ } 7 {1}

Vemos que

({} {}) = () = ( ({}) ({}) = {1}

Del comportamiento de respecto a uniones e intersecciomes arbitrariaspodemos decir lo siguiente:




Teorema 18 . Sea una función y sea { } una familia de sub-

conjuntos de entonces

1. ¡ { } ¢

= { ( )}

2. ¡ { }

¢ { ( )}

Demostración. 1.

¡ { }

¢ = () para alguna { } = () para alguna para alguna

( ) para alguna

{ ( )}

2.

¡ { }

¢ = () para alguna { } = () con

( ) { ( )}

Por lo tanto ¡ { } ¢ { ( )}


1. es suprayectiva.

2. () () es suprayectiva.

Demostración. 1). 2)

Si

entonces tiene inverso derecho :

veamos que :

() () es inverso derecho para : Sea () entonces ( ( )) = ({ () | }) = { ( ()) | } =

= {( ) () | } = { () | } = = () ( )

2). 1). Supongamos que es suprayectiva. Sea como {} = ( ) para algún subconjunto de , es claro que () = para cada Por lo tanto ( ) para cada .

El teorema anterior hace natural que nos planteemos lo correspondientepara una función inyectiva.



2.6. IMÁGENES DIRECTAS E IMÁGENES INVERSAS 115


1. es inyectiva.

2. () () es inyectiva.

Demostración. 1) 2)

Si es inyectiva entonces tiene inverso izquierdo

Sea entonces

( ) = ({ () |

}) = {( ) () |

} =

= { () | } = = () ( )

2) 1)Supongamos ahora que es inyectiva. Supongamos que 6=

entonces {} 6= {} Por lo tanto { ()} = {} 6= {} = { ()} de donde tenemos que

() 6= ()

Definición 40 .

Si

y , definimos 1 ( ) = { | () }

Notemos que 1 ( ) existe aunque no sea biyectiva, es decir aunqueno exista la función inversa de .

Si es una función podemos definir una función

() ()

7

1 ( )

se comporta mejor que respecto a preservar uniones e intersecciones.

Teorema 21 . Si () () entonces

1. ( ) ( )

2. ( ) = ( ) ( )

3. (

) =

( )

( )




Demostración. 1. Notemos que ( ) () Así que si

y

( ), entonces ()

, por lo que

( )

2. ( ) ( ) Análogamente, ( ) ( ) por lo tanto

( ) ( ) ( )

Recíprocamente, ( ) ( ) es equivalente a () () que equivale a () Por último () ( )

3. ( ) ( ) Análogamente, ( ) ( ) por lo tanto

( ) ( ) ( )

Ahora, ( ) ()

() () ()

Así: () ( )

() ( ) Como resultado, ( ) ( ) ( ) también se comporta bien respecto a uniones e intersecciones arbitraria,

Teorema 22 . Sea una función sea { } una familia de sub-

conjuntos de Entonces

1. ¡ { }

¢ = { ( )}

2. ¡ { }

¢ =

{ ( )}

Demostración. 1. ¡ { }

¢ ( ) { } ( ) ( ) { ( )} 2.

¡ { }

¢ ( ) { } ( ) para alguna ( ) para alguna

{ ( )}

Teorema 23 . Son equivalentes:



2.7. RELACIONES DE EQUIVALENCIA Y PARTICIONES 117

1. es inyectiva.

2. () () es suprayectiva.

Demostración. 1) 2) Supongamos que es inyectiva y supongamosque () veremos que

= ( ( )) :

Es claro que 1 ( ( )) = ( ( )) Por otra parte si 1 ( ( )) entonces () ( ) Esto significa

que () = () para alguna Como es inyectiva, entonces = Por lo tanto

1 ( ( ))

2) 1) Si no fuera inyectiva entonces habrían dos elementos

distintos de tales que () = () pero en ese caso {} ( ()) :Si {} = ( ) con , entonces () Así también

() = () por lo que ( ) = {} contra la hipótesis de que 6= .

2.7 Relaciones de equivalencia y particiones

En esta sección veremos un concepto que es de fundamental importanciadentro de las Matemáticas, el concepto de relación de equivalencia.

Definición 41 . Una relación en un conjunto es de equivalencia si

1. Es reflexiva.

2. Es simétrica, es decir ( ) ( )

3. Es transitiva, es decir que , o lo que es lo mismo: si

( ) ( ) ( )

Notemos que la condición de simetría se puede expresar de la siguienteforma:

1




Notemos que si es simétrica entonces 1 también lo es:

( ) 1

( )

( ) ( )

( ) ( ) 1

Por lo que 1 (1)1

= Así que es lo mismo pedir que 1 a pedir que = 1

Ejemplos 75

1. La relación diagonal () es una relación de equivalencia en

(a) Es reflexiva pues () ()

(b) Es simétrica pues () = ()1

(c) Es transitiva porque () () ()

2. La relación × es una relación de equivalencia en pues

(a) () × : ( ) × (b) ( × )1 = ×

(c) ( × ) ( × ) ×

3. Si es una función definamos × por:

= {( ) | () = ()}

Esta relación es

(a) Reflexiva pues( ) () = ()

(b) Simétrica pues

( ) () = () () = () ( )

(c) Transitiva, pues si ( () = () () = ()) entonces () = ()




4. En ({0 1 2}) definimos la relación por ( ) si || = ||,entonces es una relación de equivalencia porque es un caso particular

del ejemplo anterior tomando

({0 1 2}) | | {0 1 2 3}

Por ejemplo, |{0 2}| = |{1 2}| por lo que ({0 2} {1 2})

Notación 3 . Frecuentemente se emplea la notación para decir que ( ) Además se emplea / para decir que ( )

1. Si es una relación de equivalencia en el conjunto y definimosla clase de equivalencia de [] por

[] = { | }

2. El conjunto de clases de equivalencia se denota

= {[] | } ()

Ejemplos 76

1. Tomemos la relación () en = {0 1 2 3} entonces las clases deequivalencia son

[0]() = {0} [1]() = {1} [2]() = {2} [3]() = {3}

por lo que () = {{0} {1} {2} {3}}

2. El conjunto de clases de equivalencia de la relación × es así que ( × ) = {} (una sola clase de equivalencia).Tomando, = {0 1 2 3} tenemos que

( × ) = {{0 1 2 3}}

[0] = [1] = [2] = [3] = {0 1 2 3}




3. Si consideramos y la relación de equivalencia definida en por

() = ()

entonces la clase de equivalencia de es

[] = { | () = ()}

4. Consideremos la relación :“tener la misma cardinalidad que” en () para = {0 1 2} Entonces

[] = {}(el único subconjunto de sin elementos es ).

[{1}] = {{0} {1} {2}}

[{1 2}] = {{0 2} {1 2} {0 1}}

y[{0 1 2}] = {{0 1 2}}

Observación 33 . Sea una relación de equivalencia en notemos que el conjunto de clases de equivalencia tiene las siguientes propiedades:

1. = {[] | } =

2. ([] 6= [] ) ([] [] = )

3. 6=

Demostración. 1. Notemos primero que cada clase de equivalencia

un subconjunto de : [] por lo que

{[] | }

Recíprocamente [] (cada elemento de pertenece a su propiaclase de equivalencia). Por lo tanto

{[] | }

2. Por contrapuesta:




Si [] [] entonces y así que y . Por transitividadtenemos que . Así que

[]

Tomemos un elemento en [] digamos Entonces Así que y por lo que es decir [] Con esto tenemos que [] []

Intercambiando con en el argumento anterior, tenemos que [] []

3. Si entonces = [] para alguna por lo tanto y así 6=

Definición 42 . Una familia P de subconjuntos de ( P (A)) es una partición de si

1. P = A (Cada elemento de pertenece a un elemento de la familiaP ).

2. 6= P Z Y = (Partes distintas son ajenas).

3. P Y 6= (Cada parte es no vacía).

Ejemplo 77 . Tomemos las particiones de {0 1 2} :En una parte: {{0 1 2}}

En dos partes: {{0} {1 2}} {{1} {0 2}} {{2} {1 0}} En tres partes:{{0} {1} {2}}

Ejemplo 78 . La partición vacía es una partición de :Para empezar, () = 6= = 6=

Ejercicio 110 . Demuestre que la partición vacía es la única partición del conjunto vacío. Así que el número de particiones de es 1

Los conceptos de relación de equivalencia y de partición están estrecha-mente ligados. Ya vimos que el conjunto de clases de equivalencia de ele-mentos de respecto de una relación de equivalencia en forma unapartición de

Recíprocamente, dada una partición P de podemos definir la relaciónP en por:

si

para

P




Es decir, si y están en la misma parte de la partición.Otra manera de describir la relación es

= { × } P ×

Ejemplo 79 . Dada la partición

= {{0 1} {2} {3 4 5}}

de = {0 1 2 3 4 5}

tenemos que

= {{0 1} × {0 1} {2} × {2} {3 4 5} × {3 4 5}} =

=

{(0 0) (0 1) (1 0) (1 1)} {(2 2)} ½

(3 3) (3 4) (3 5) (4 3) (4 4) (4 5) (5 3) (5 4) (5 5)

¾

=

=

½ (0 0) (0 1) (1 0) (1 1) (2 2)

(3 3) (3 4) (3 5) (4 3) (4 4) (4 5) (5 3) (5 4) (5 5) ¾

Denotemos por Eq () el conjunto de relaciones de equivalencia definidasen Note que en efecto es un conjunto, pues dada una relación de equiv-alencia en se tiene que ( × ) así que ( × ) por loque

Eq () = { ( × ) | es una relación de equivalencia en }

Denotemos ahora por Part () el conjunto de particiones de , de nuevo,

notemos que Part () es en efecto un conjunto, pues si P es una particiónen entonces sus elementos son subconjuntos de es decir que P (A)por lo que P ( (A)) así que

Part () = {P ( (A)) | P es una partición de A}

Lema 1 . Si P es una partición de entonces P es una relación de equiv-alencia en Además las clases de equivalencia de P son los elementos de la partición P




Demostración. Comencemos ahora con una partición de P Demostremos que es una relación de equivalencia en :

Como P es una partición de tenemos que dada P tal que (cada elemento de pertenece a una de las partes de P ).Por lo tanto ( ) × { × | P} = P Por lo tanto () P y así P es reflexiva.

( ) P = { × | P} ( ) × para alguna P

Entonces ( ) × por lo que ( ) P ( ) (P )1 Por lo

tanto P (P )1

por lo que P es simétrica.Si ( ) ( ) P entonces existen P tales que y Así, lo que implica que = (en una partición, partesdistintas son ajenas). Entonces = por lo que ( ) × Entonces ( ) P Vemos pues que

( ) ( ) P ( ) P

es decir que P es transitiva.

Por último, si P es una partición de y entonces existe unaúnica P tal que Como si para P es claro que

[] =

donde es el elemento de P que contiene a .

Teorema 24 . La función

Eq ()

Part () 7

es una biyección con inversa

Part () Eq ()

U 7

Demostración. Que es una función se sigue de la observación 33.Veamos que es la función inversa de :




Sea una relación de equivalencia en , entonces

( ()) = () =

Queremos demostrar que = Hemos visto que

= {[] × []}

así pues:( ) [] Por lo tanto ( ) [] × [] de donde se tiene

que ( )

Recíprocamente,( ) {[] × []}

( ) [] × [] para alguna Así

que [] [] es decir que

por lo que por lo que ( )

Con esto hemos demostrado que ( ()) = = Eq () () Ahora, del Lema anterior tenemos que si U es una partición de

entonces ( U ) es una relación de equivalencia en queremos demostrar que ( ( U )) = U

( ( U )) = ( U ) =n

[]( U ) | o

(

U )

= []( U ) si

Por lo tanto = []( U )

( U ) De

donde tenemos que U ( U )

Recíprocamente []( U ) = si con U Por lo tanto

( U ) U

Por lo tanto ( ( U )) = U = Part () ( U )

Con esto hemos demostrado que es inversa de



2.8. LA RELACIÓN DE EQUIVALENCIA GENERADA POR UNA REL. 125

Observación 34 . Si es una relación de equivalencia en entonces

7 []

es una función suprayectiva.

2.8 La relación de equivalencia generada poruna relación

Observación 35 . Si × entonces () es la menor relación reflexiva en que contiene a

Ejercicio 111 . Si × son relaciones de a entonces

1. ( )1 = (1 1) ×

2. ( )1 = (1 1) ×

Observación 36 . Si × entonces 1

es la menor relación simétrica que incluye a

Demostración. Es claro que ( 1) y que 1 es simétrica.Ahora, si y es simétrica, entonces

( ) 1 ( )

( ) ( )

( ) ( ) 1

Ahora, ( 1 ) ( 1) Si × consideremos y hagamos

1 =: ( )

luego hagamos

2 =:

1 (

1

1)




y así sucesivamente, es decir que

() =: ( ) donde () denota el sucesor de Es claro que

1 2 ()

Consideremos = © 1 2 ()ª

mostraremos que es la menor (en el sentido de la contención) relación transitiva en quecontiene a

Proposición 12 . Sean y

como en el párrafo anterior, entonces es la menor relación transitiva en que contiene a

Demostración. Es claro que Además es transitiva, pues podemos notar que :Si ( ) ( ) entonces existe tal que ( ) ( )

pero entonces ( ) y ( ) donde y aparecen en lalista

1 2 ()

supongamos que

aparece primero, entonces

por lo que

( ) ( )

Así que ( ) ()

( )

Es decir que es transitiva.Por último es claro que si y es una relación transitiva en

entonces

por lo que

1 = ( )

de la misma manera2 = 1 (1 1)

y 1 2 ()

por lo que




Observación 37 . Si × × entonces ( )1 =1

1 :

Demostración. ( ) ( )1 ( ) tal que( ) ( ) tal que ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 1

Observación 38 . Si es una relación simétrica, entonces también loes.

Demostración. simétrica 1 es simétrica:

1 = ( ) por lo que1

1 = 1 ( )1 = 1 ¡1 1¢

= ( ) = 1

por lo que 1 es simétrica.Con el mismo argumento, 2 3 · · · son simétricas.

Ahora, ( ) ( ) para alguna en la lista

1 2 ()

como es simétrica, entonces ( ) ( ) ( ) 1

Teorema 25 . Si × es una relación en entonces ¡ () 1

¢

es la menor relación de equivalencia definida en que contiene a

Demostración. Es claro que ( () 1) Además () ( () 1) por lo que ( () 1)

es reflexiva.Como ( () 1)

1=³

()1 1 (1)1´

= () 1 tenemos que () 1 es simétrica, así que por el teoremay la observación previas, tenemos que ( () 1) es simétrica ytransitiva. Es decir,

¡ ()

1¢




es de equivalencia.Para demostrar que ( ()

1)

es la menor relación de

equivalencia que contiene a basta demostrar que si y es deequivalencia, entonces

() 1

() pues es una relación reflexiva en por hipótesis. 1 porque es simétrica,

() 1

Ejemplo 80 . Sea

= {(0 0) (0 1) (1 2) (3 4)} {0 1 2 3 4 5} × {0 1 2 3 4 5}

Entonces 1 = {(0 0) (1 0) (2 1) (4 3)} y

() = {(0 0) (1 1) (2 2) (3 3) (4 4) (5 5)}

Por lo tanto =: () 1 =

{(0 0) (0 1) (1 2) (3 4)} {(0 0) (1 0) (2 1) (4 3)} {(0 0) (1 1) (2 2) (3 3) (4 4) (5 5)}

=

½ (0 0) (0 1) (1 2) (3 4) (1 0) (2 1)

(4 3) (1 1) (2 2) (3 3) (4 4) (5 5)

¾

1 = =

(0 0) (0 1) (0 2)(1 1) (1 2) (1 0) (2 2) (2 1) (2 0)

(3 3) (3 4) (4 4) (4 3)

(5 5)

1 1 =

(0 0) (0 1) (0 2)(1 1) (1 2) (1 0) (2 2) (2 1) (2 0)

(3 3) (3 4) (4 4) (4 3)

(5 5)

entonces 1 = 1 1 y 1 ya es una




relación de equivalencia.Sería más fácil plantear el ejemplo anterior en términos de particiones:

¿Cuál es la partición de {0 1 2 3 4 5} con partes más pequeñas tal que 0 1y 2 están en la misma parte, y 3 está en la misma parte que 4? Planteadoeste problema es claro que la solución es {{0 1 2} {3 4} {5}} y de aquí que la menor relación de equivalencia que contiene a es:

({0 1 2} × {0 1 2}) ({3 4} × {3 4}) ({5} × {5}) =

=

(0 0) (0 1) (0 2) (1 0) (1 1) (1 2)

(2 0) (2 1) (2 2) (3 3) (3 4) (4 3) (4 4)

(5 5)

Ejercicio 112 . Demuestre que si una relación en es reflexiva, entonces .

Ejercicio 113 . Demuestre que si es una relación de orden y una relación de equivalencia en entonces = ()

Ejercicio 114 . Sea {} una familia de relaciones reflexivas en de-muestre que {} es reflexiva.

Ejercicio 115 . Sea {} una familia de relaciones simétricas en demuestre que {} es simétrica.

Sugerencia: demuestre que ¡ {}

¢1=³©1

ª

Ejercicio 116 . Sea {}

una familia de relaciones transitivas en

demuestre que {} es transitiva.Sugerencia: demuestre que

¡ {}

¢ ¡ {}

¢ =¡ {}

¢

Ejercicio 117 . Sea {} una familia de relaciones de equivalencia en demuestre que {} es de equivalencia.

Ejercicio 118 . Use los ejercicios anteriores para dar otra demostración que dada una relación en existe una menor relación de equivalencia en que contiene a




Notación 4 . Denotemos por ( ) el conjunto de relaciones de a Como una relación de a no es otra cosa que un subconjunto de ×

(es decir, un elemento de ( × )), después de todo tenemos que ( ) = ( × )

Así que tenemos definido un orden en ( ) a saber, la contención. Es decir que

Observación 39 . Si ( ) es un conjunto parcialmente ordenado y

es una función biyectiva, entonces podemos definir un orden parcial ¹ en

por: 1 ¹ 2 si 1 (1) 1 (2)

Consideremos () el conjunto de relaciones de equivalencia en el conjunto y () el conjunto de particiones de como ya sabemos que

() ()

7

es una biyección, podemos dotar de orden a () :

1

( ) 1

()

Cuando decimos que es más fina que y la razón es la siguiente:

( ) ()

Por lo tanto si y están en la misma parte de entonces también estánen la misma parte de Esto quiere decir que si y entonces Así que las partes de están formadas por la unión dealgunas de las partes de

Así que la mayor partición de es {} mientras que la menor (“la másfina”) es {{} | }

Ejemplo 81 . Consideremos las dos particiones de {0 1 2 3 4 5} :

{{0 1} {2 3} {4} {5}}

y {{0 1 2 3} {4 5}}

entonces {{0 1} {2 3} {4} {5}} ¹ {{0 1 2 3} {4 5}}



2.8. LA RELACIÓN DE EQUIVALENCIA GENERADA POR... 131

Ejercicio 119 . Sean y dos particiones de demuestre que

¹ ( tal que )

Ejercicio 120. Suponga que ¹ y sea demuestre que { | }es una partición de

Ejercicio 121 . Sean particiones de definamos f como la mayor de las particiones de tales que son más finas que y que Demuestre que

f = { | 6= }

Ejercicio 122 . Consideremos las dos particiones de {0 1 2 3 4 5} :

{{0 1} {2 3} {4} {5}}

y {{0 1 2} {3 4 5}}

Describa {{0 1} {2 3} {4} {5}}f {{0 1 2} {3 4 5}}

Ejercicio 123 . Demuestre que si es una relación de equivalencia en

entonces existe un conjunto y una función suprayectiva

tal que () = ()

Ejercicio 124 . Muestre que si es una función suprayectiva en-

tonces hay una relación de equivalencia en y una función biyectiva

: tal que = donde

7 []

&

Ejercicio 125 . Suponga que es una biyección, entonces

: () ()

es una biyección con inverso

: ()

()




Demuestre que la función

() () 7 { ( ) | }

es una biyección Sugerencia: : () () biyección ( ) : ( ()) ( ())es una biyección con inverso ( ) Note también que () ( ())

Ejercicio 126 . En el ejercicio anterior demuestre que

³( )|()´1

= (( ))|() = ³¡¡ 1¢¢´|()

Notación 5 Sean y conjuntos, denotemos por

=n

| es función

o

Observación 40 Notemos que es un conjunto:

Si

es una función, entonces

( ) = ( × ) luego

= {() {} × ( × ) × {} | () es una función}

Ejemplo 82 . Si = {1 2 3} = {0 1} y

1 7 02 7 03 7 1

entonces = {(1 0) (2 0) (3 1)} ×

por lo que ( × )

Ejemplo 83 . Definamos una relación $ en por $

si () = () Claramente esta relación es de equivalencia.

Se puede ver también de esta manera: si () 7 ()

entonces $ ( ) = ()




Por costumbre, en lugar de ( ) se escribe y también por costum-bre se usan símbolos como

× ÷ +

para denotar operaciones. Así uno

escribe en lugar de ( ) y 2 + 3 en lugar de escribir + (2 3)

1. La conjunción{0 1} × {0 1}

{0 1}(0 0) 7 0(0 1) 7 0(1 0) 7 0(1 1) 7 1

es una operación en {0 1}

2. La intersección es una operación en () :

() × () ()

( ) 7

3. La unión es una operación en () :

() × () ()( ) 7

4. Tomemos el conjunto de las funciones de en entonces la com-posición es una operación en :

×

( ) 7

pues si y

son funciones de en entonces

también es una función de en

5. Si es un conjunto entonces

× ( ) 7

es una operación.



2.9. OPERACIONES 135

6. Si es un conjunto entonces

× ( ) 7

es una operación.

7. Si ( ) es una retícula, entonces

×

( ) 7

y ×

( ) 7

son operaciones en

2.9.1 La restricción de una operación

Notemos que si : × es una operación en y entonces×

×, así podemos considerar la composición de la función inclusión

× ×

con la operación ×

obteniendo × ×

(1 2) 7 (1 2) 7 1 2

notemos que esta composición no es una operación en porque el codominiono es sino Si se tuviera que el producto de dos elementos de fuera otra vez un

elemento de entonces podríamos correstringir (abreviatura de “podríamostomar la correstricción”) la función anterior a y entonces

× ×

(1 2) 7 (1 2) 7 1 2

sí sería una operación en




Definición 44 . Si : × es una operación en y es tal que

(1 2) × 1 2

diremos que es cerrado bajo

Ejemplo 85 . Consideremos la siguiente operación en {0 1 2 3 4 5} de-scrita por la siguiente tabla 4

0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4

Notemos que el subconjunto {0 2 4} es cerrado bajo la operación:

0 0 = 0 0 2 = 2 0 4 = 42

0 = 2 2

2 = 4 2

4 = 0

4 0 = 4 4 2 = 0 4 4 = 2

así que podemos tomar

{0 2 4} × {0 2 4}|{024}|{024}×{024} {0 2 4}

Ejercicio 128 . Sea un conjunto, hemos notado que la composición es una operación en demuestre que

1. El conjunto © | es inyectivaª es un subconjunto de cerradobajo .

4En una tabla de multiplicar, la convención usual es:

· · · · · ·...

. . . ...

. . . · · · · · ·...

. . . ...

. . .




2. El conjunto

© | es suprayectiva

ªes un subconjunto de cer-

rado bajo

.

3. El conjunto © | es biyectivaª es un subconjunto de cerradobajo .

Ejercicio 129. Sea un conjunto y demuestre que { | =}es un subconjunto de () que es cerrado bajo

2.9.2 Operaciones asociativas

Definición 45 . Decimos que la operación

: ×

es asociativa

si ( ) = ( )

En este caso la pareja ordenada ( ) se llama semigrupo .

Ejemplos 86 . Son semigrupos:

1. ( ( ) ),

2. ( ( ) )

3. ({ :

| es una función}

)

1. Denotemos con Z el conjunto de los enteros ( Z )no es un semigrupo:

1 = 1 0 = 1 (1 1) 6= (1 1) 1 = 1

2. Consideremos la operación de diferencia de conjuntos en

({0 1}) = { {0} {1} {0 1}}

observando que

{0 1} = {0 1} \ = {0 1} \ ({0 1} \ {0 1}) 6= ({0 1} \ {0 1}) \ {0 1} =

vemos que ( ({0 1}) \) no es un semigrupo.Definición 46 . La operación : × es conmutativa si 1 2 =2 1 1 2

Ejercicio 130 . Demuestre que si es un subconjunto de cerrado bajola operación entonces

1. : × asociativa ||× : × es asociativa.

2.

: ×

conmutativa

||× : ×

es conmutativa.




2.9.3 Tablas de multiplicar

Definición 47 . Sea una operación en un conjunto finito {1 2} la tabla de multiplicar de , es el arreglo cuadrado

1 2 · · · · · · · · ·

1 1 1 1 1 1

2...

1

... 1

... 1

Ejemplo 87 . En el conjunto {0 1} se puede definir 16 operaciones:

Calculemos el número elementos en

n{0 1} × {0 1}

{0 1} | es una función

o

Notemos lo siguiente: cada uno de los cuatro elementos de {0 1} × {0 1}tiene que ir a dar a 0 ó a 1 bajo una función de las de arriba. Entonces debeser claro que hay 2 222 = 16 elementos en el conjunto de funciones cuyacardinalidad estamos calculando.

De estas 16 operaciones hay 8 asociativas. De las que mencionamos algu-nas:

1.

0 1

0 0 01 0 0

es asociativa.

2. Por la misma razón, 0 10 1 11 1 1

es asociativa.




3. La disyunción lógica

0 1

0 0 11 1 0

es asociativa.

4. La conjunción lógica 0 10 0 01 0 1

es asociativa.5. Definamos por: = {0 1} Es claro que las dos

maneras de poner paréntesis en

nos produce el mismo resultado: La tabla correspondiente es

0 10 0 11 0 1

6. Análogamente, 0 10 0 01 1 1

Hasta este momento hemos escrito 6 de las 8 operaciones asociativas quese pueden definir en {0 1}

Ejercicio 131 . Encuentre las otras dos operaciones asociativas que se pueden definir en {0 1}

Para mostrar una operación que no es asociativa en el conjunto {0 1} tomemos la tabla de la implicación, “ ”:

0 10 1 1

1 0 1




No es asociativa, pues

[0 (0 0)] = [0 1] = 1

mientras que[(0 0) 0] = [1 0] = 0

Definición 48 Sea una operación asociativa en

1. es un neutro izquierdo para si =

2.

es un neutro derecho para

si

=

3. es un neutro para si es un neutro izquierdo y derecho para

Observación 41 . Si es un neutro izquierdo para y es un neutroderecho para la misma operación, entonces =

Demostración. = = La primera igualdad se da porque esneutro derecho y la segunda porque es neutro izquierdo.

Observación 42 . Si son dos neutros izquierdos distintos para una operación , entonces no tiene neutro.

Ejemplo 88 . Un semigrupo con dos neutros izquierdos:

* 0 10 0 11 0 1

Nótese que no hay neutro derecho.Ejercicio 132 . Sea : × una operación en sea entonces {} × × y × {} × por lo que tenemos las funciones

{} × ×

y × {} ×

Demuestre que




1. {} × × es inyectiva ( = = ), ( es

cancelable por la izquierda).

2. × {} × es inyectiva ( = = ), ( es

cancelable por la derecha).

Ejercicio 133 Mantengamos la notación del ejercicio anterior, demuestre que

1. {} × × es suprayectiva

( tal que = )

(esto es algo así como que cada se puede dividir por por la izquierda,por lo que llamaremos a divisor izquierdo).

2. × {} × es suprayectiva

( tal que = )

(esto es algo así como que cada se puede dividir por por la derecha).

Ejemplo 89 . Consideremos la siguiente operación en {0 1 2 3}

0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

encuentre:

1. Los elementos cancelables por la izquierda.

2. Los elementos cancelables por la derecha.

3. Los elementos divisores izquierdos.

4. Los elementos divisores derechos.




Ejercicio 134 . Suponga que en la tabla de la operación sucede que en la columna que tiene hasta arriba todos los elementos son diferentes

· · · · · ·...

. . . ... · · ·· · · · · ·. . .

...· · ·

...

6=

Muestre que esto es equivalente a que sea cancelable por la derecha.

Ejercicio 135 . Describa la condición similar a la anterior que caracterice el hecho de que sea cancelable por la izquierda.

Ejercicio 136 . Suponga que en la tabla de la operación : × se tiene que en la columna tiene hasta arriba aparecen todos los elementos de

· · · · · ·...

. ..

... · · ·· · · · · ·

. . . ... z }| {

en esta columna aparecen todos

los elementos de

muestre que esto es equivalente a que sea un divisor derecho.



Capítulo 3

El conjunto N de los números naturales

3.1 Introducción

En este capítulo se presenta una construcción del conjunto N de los númerosnaturales basada en las propiedades que intuitivamente suponemos para ellosy apoyada en los conocimientos previos de lógica y teoría de conjuntos quese han desarrollado en los capítulos anteriores.

N es el conjunto ordenado {0 1 2} y como sabemos, en él podemosefectuar sumas y multiplicaciones, que son operaciones binarias cuyas pro-piedades son conocidas y queremos formalizar.

Podemos reconocer como características fundamentales en N: primero,la posibilidad de pasar de una manera precisa de cada número “al que lesigue” y que este paso es tal que a números distintos corresponden sucesoresdistintos, es decir, notamos la existencia de una función inyectiva

: N Nque asigna a cada número natural , un único elemento () - también enN- llamado “el sucesor de ”, y segundo, el hecho de que aplicando iterada-mente el proceso de “tomar sucesores” a partir de un elemento distinguido“cero”, se puede alcanzar -teóricamente- cualquier número natural dadode antemano.

Es decir: N es, precisamente, la colección de números que se obtienen apartir de un objeto inicial cero, y pasando de cada número a otro, deter-minado en forma unívoca () llamado el sucesor de .

143



144 CAPÍTULO 3. EL CONJUNTON DE LOS NÚMEROS NATURALES

Estas observaciones -que tienen que estar incluídas en toda teoría ax-iomática para N- constituyen la base sobre la que G. Peano presentó su

teoría, que toma como conceptos no definidos, al conjunto total N, y a suelemento inicial cero. La única relación primitiva que consideró es la funciónsucesor. Los axiomas, que se conocen con su nombre, son los siguientes:

3.2 Los axiomas de Peano

Axioma 15 . 0 es un número natural.

Axioma 16 . Si es un número natural, existe un único número natural () que es el sucesor de .

Axioma 17 . Para todo número natural , () 6= 0.

Axioma 18 . Para todos los números naturales y , si () = ()entonces = .

Axioma 19 . Si es un subconjunto de N tal que 0 y () para

cada , entonces = N.Que pueden resumirse sustituyendo los primeros cuatro por:

: N N \ {0} biyectiva, y

conservando el 5 axioma.Cuando se presupone la existencia de N, y no se desea hacer considera-

ciones sobre lo que sus elementos puedan ser, se puede partir de aquí y pro-ceder a definir las relaciones usuales entre ellos y a demostrar sus propiedades.Posteriormente, con base en este conjunto, por medio de ampliaciones ade-cuadas, pueden construirse los enteros, los racionales, los reales y los complejos. Sin embargo, a la luz de las paradojas de la teoría de los conjuntos queafectan a la mayoría de los sistemas axiomáticos informales se ha intentadocomenzar de otra manera, estableciendo un sistema lógico lo suficientementerico para construir con él una teoría axiomática para los conjuntos y proceder,a partir de ésta, a la formalización de las estructuras numéricas fundamen-tales. Un sistema axiomático informal es el que presupone alguna teoría deconjuntos y algún sistema lógico, sin establecerlos (formalmente).



3.3. CONSTRUCCIÓN 145

Siguiendo este segundo camino, y apoyándonos en el material que hemosconsiderado en los capítulos anteriores, procederemos a construir un mode-

lo para N, en el que -como ya se dijo-, los postulados de Peano resultanconsecuencia de las definiciones, o son teoremas que se demuestran casi triv-ialmente.

Surge aquí el problema de determinar si ambas presentaciones -la axiomá-tica de Peano y la que se deriva de la teoría de conjuntos- son equivalentes enel sentido de producir estructuras comparables. Es un resultado conocido elque asegura que “excepto por isomorfismos, existe un único sistema numéricoque satisface los axiomas de Peano” que por esta razón, resultan categóricosy que por lo tanto muestran que la diferencia entre dos modelos cualesquiera

para N, es simplemente cuestión de representación.

3.3 Construcción

Recordemos:

Definición 49 . Si es un conjunto, el sucesor de es el conjunto

{} =: ()

Observación 43 . Por definición () Además, ()

Si consideramos el conjunto vacío, , entonces su sucesor es

{} = {}

un conjunto con un solo elemento.Si consideramos el conjunto {2 4 {1 3}} entonces su sucesor es

{2 4 {1 3} {2 4 {1 3}}}

un conjunto con cuatro elementos.

Definición 50 . Un conjunto , cuyos elementos son conjuntos, es induc-tivo si y sólo si:

1. y

2.

()

para cada conjunto .




El axioma de infinito que dice que: existe al menos un conjunto inductivo.

Axioma 20 (de infinito) . Existe un conjunto inductivo.Puede verse que si es un conjunto inductivo, entonces cuenta entre sus

elementos con los de la cadena

{ () (())}

y que esta cadena forma, por si sola, un conjunto que es inductivo y quepor ser subconjunto de todo conjunto inductivo resulta mínimo en el sentidode la contención. Finalmente, por su semejanza con la sucesión 0 1 2

observamos que podría ser un buen candidato para modelar N. Una manerade tener un modelo adecuado, consiste en construir un conjunto que siendoinductivo sea mínimo en el sentido de la contención y nos gustaría construirlotomando la intersección de todos los conjuntos inductivos.

Es evidente que la intersección de una familia de conjuntos induc-tivos, es un conjunto inductivo.

En efecto, 0 está en cada intersecando, luego está en Y si es unelemento de la intersección es porque está en cada miembro de la familiay por lo tanto, () también.

Además está contenido en cada y en ese sentido es mínimo, pero comola colección de todos los conjuntos inductivos podría no ser un conjunto, nopodemos basar la construcción en “tomar la intersección de todos ellos” comoera nuestro deseo.

El proceso que seguiremos consistirá en tomar un conjunto inductivo arbitrario, y trabajar con él.

Sea pues un conjunto inductivo dado -que existe en vista del axiomacorrespondiente-. Sea la colección de los subconjuntos de que son in-ductivos, y N la intersección de todos ellos. Observamos que el axioma de

las partes nos asegura que es un conjunto -de conjuntos- y que por lo tantoN está bien definido, es inductivo y está contenido en todo subconjuntoinductivo de . Para hacer ver que es el que se necesita, demostraremos elsiguiente.

Teorema 26 . N está contenido en todo conjunto inductivo.

Demostración. Sea un conjunto inductivo, y considérese

=



3.3. CONSTRUCCIÓN 147

Entonces está contenido en y también está contenido en y es inductivo,luego

N

Corolario 3 . N es el menor de los conjuntos inductivos, y por lo tanto,es el único con esta propiedad es independiente del conjunto con el que principiamos, por lo que, en lo sucesivo suprimiremos el subíndice .

Conclusión: Existe un único conjunto inductivo que está contenido en

todo conjunto inductivo, al que llamaremos N.Teorema 27 . En N valen los axiomas de Peano.

Demostración. En efecto, definiendo al conjunto vacío - cuando seconsidera como número - como “cero” e identificando a la función

: N N 7 {}

con la función “sucesor” de los conjuntos, los axiomas 1 y 2 -cero es unnúmero natural y el sucesor de cada número natural es un número natural -son consecuencias directas de la definición de conjunto inductivo.

El axioma 17 -cero no es sucesor de número natural alguno- se sigue deque cero es vacío, mientras que de la definición, todo sucesor tiene al menosun elemento.

De esta misma definición es inmediato que si el sucesor de es igualal sucesor de ,

{} =

{}

entonces es igual a . (Note que si 6= entonces y , cosaque iría en contra del Axioma de regularidad).

Finalmente, el axioma 19 es consecuencia directa del hecho de que N estácontenido en todo inductivo.

En efecto, las hipótesis de este axioma, N , 0 y () garantizan que es inductivo y por lo tanto N

El axioma 19 es el fundamento del llamado “Primer Principio de Induc-ción” o “quinto postulado de Peano”, que dice que si es una propiedadque cada número natural puede o no tener pero la tiene el cero, y además es




hereditaria -cada vez que la tenga un número, la tiene necesariamente el quele sigue- entonces todo número natural tiene la propiedad .

Recordemos que una propiedad para los elementos de un conjunto es una función

: {0 1}

tal que () = 1 (o simplemente ()) se interpreta diciendo que “ tienela propiedad ” mientras que () = 0 (o también ¬ ()) dice que “ nola tiene”.

El primer principio de inducción asegura que:Si es una propiedad para N tal que

1. (0)

2. N () (())

entonces N ().En efecto, si

= { N | ()}

por (1), 0 y (2) dice que

N ()

y por lo tanto = N .Recuerde que cada propiedad - o función característica- para un con-

junto , define a un subconjunto , a saber el de los elementos de quetienen la propiedad y que recíprocamente, a cada subconjunto de corresponde -al menos- la propiedad de pertenecer a .

Explícitamente, si ,

: {0 1}

es la función (característica) definida por:

() =

½ 0 si 1 si

Observe que si para un conjunto N , su función característica tienelas propiedades

1. (0)



3.4. DEFINICIONES RECURSIVAS 149

2. () (()),entonces, en vista del 5 postulado, resulta igual a N, y que si en

lugar del 5 se postulara esta última afirmación, el mencionado 5 pos-tulado sería un teorema inmediato y en vista de la obvia equivalenciaentre el 5 postulado de Peano y el primer principio de inducción, nosparece justificada la frecuente costumbre de intercambiar sus nombres,-costumbre que en lo sucesivo, usaremos libremente.

El 5 postulado de Peano (o primer principio de inducción) se utilizaprincipalmente para definir expresiones como ó ! que incluyen variablesnuméricas que toman valores en N, así como para demostrar que ciertas

propiedades se cumplen para todos los números naturales. Cuando se usapara definir, las definiciones que resultan se llaman “recursivas” y las de-mostraciones son “demostraciones por inducción”. Dedicaremos los sigu-ientes apartados para cada una de estas aplicaciones:

3.4 Definiciones recursivas

Supongamos que se desea explicar el significado de una sucesión de expre-

siones {()} -una para cada número natural- y ante la imposibilidad dedefinir explícitamente cada una de ellas, deseáramos recurrir al 5 postula-do. Lo que tendríamos que hacer, siguiendo el método canónico (el que usóPeano) sería:

1 ) Precisar el significado (0) (base), y2 ) suponiendo definida la expresión (), diseñar alguna manera de hacer

explícito el significado de (()) (paso inductivo). Podríamos suponer este“diseño” como una función

:

del conjunto de significados en él mismo.Sin embargo, algunas veces no basta saber de que punto se parte (() )

para describir al siguiente punto ( (()) sino que es preciso también tomaren cuenta el orden del paso que se está dando. (Así por ejemplo para lafunción “factorial” una vez que se ha definido. (0) = 0! como 1, se procedea construir (1) = 1! Pasando de 1 a 1. Es decir que si se usara una solafunción : para transformar un significado en otro, tendríamos queaceptar que (1) = 1 pero entonces 2! = (2) sería ((1)) = (1) = 1 lo queevidentemente no es lo que deseamos).




En estos casos puede usarse una función

: (N × )

(que en este caso sería (0 1) = 1, (1 1) = 2 y en general

(() ()) = ()( ))

O bien, una familia de funciones { : }N de modo que (()) = ().

Esta segunda forma, es la que corresponde al Teorema de recursión gene-

ralizada -recursión fuerte- que afirma que :Teorema 28 (Recursión generalizada) . (o recursión fuerte). Para to-do conjunto con un elemento distinguido 0 y toda familia { : }Nde funciones, existe una única función

: N

tal que (0) = 0

y para toda N (()) = (()))

Nótese que lo que se requiere es:

1. Un elemento “distinguido” 0 que se tomará como el significado(0).

2. Una familia { : }N de funciones tal que para toda N ,(()) = (()).

Explícitamente, si (0) = 0, entonces

(1) = 0(0) = 1

(2) = 1(1) = 2

y así sucesivamente.

Daremos la demostración de este teorema al final de capítulo.




A reserva de discutir posteriormente (ver sección 3.10 y apéndice ??)la validez de este procedimiento de definición, daremos dos ejemplos que lo

ilustran.Consideremos en detalle el problema de explicar lo que debe entenderse

por en donde es un elemento cualquiera de un conjunto con una operaciónasociativa con elemento neutro, y es un número natural. podría ser elconjunto R de los números reales diferentes de cero, la operación, en estecaso podría ser la multiplicación usual y por supuesto, el neutro, el uno.

Lo que se tiene en mente es formalizar por medio de una definición re-cursiva, los significados de las expresiones de la forma , tales como 2,que desde luego, queremos interpretar como el producto (en ) de 2 factores

iguales a ; 3 como 2 · , etcétera.Decidamos primero cómo debe definirse 0. De acuerdo a nuestro deseo,

debe corresponder al producto de factores iguales a y, por lo tanto,debemos escoger 0 como el “producto vacío” (resultado de multiplicar entresí, cero factores).

Es fácil convencerse de que en toda estructura algebraica con una opera-ción asociativa con neutro, el producto vacío debe definirse como el neutrode la operación, con objeto de que la asociatividad funcione a ultranza:

(()) = ()() = (()) = = ()() =

= ()( ) = = ()(1)

Así por ejemplo, para los números naturales, la suma vacía es cero y elproducto vacío es 1. Entre los subconjuntos de un conjunto dado , la uniónvacía es y la intersección vacía es el total ( = ).

(Pedimos al lector que se convenza de la conveniencia de aceptar losargumentos anteriores), y en vista de ellos definimos 0 = (el neutro de). Se completa la definición como sigue:

() = ·

En este caso, N es la función : que nos permite pasar deun significado () al siguiente (()) que viene a ser la multiplicación por .

Es decir: () = () = .Como un segundo ejemplo, considérese el problema de construir la tabla

de sumar del 2. Es decir, se desea definir una función 2 : N N (en donde,en lugar de 2 () se usa la conocida expresión 2 + ). Se define:

2 + 0 = 2




2 + () = (2 + )

Entonces 2 + 1 = 2 + (0) = (2 + 0) = (2) = 3

2 + 2 = 2 + (1) = (2 + 1) = (3) = 4

etcétera.Ahora nuestra función de “significados”, también única, es la función

sucesor. En efecto, para precisar el significado de la expresión 2 + (), seaplica esta función -sucesor- al significado 2 + .

Con objeto de continuar nuestro estudio de los números naturales, hace-mos notar que los ejemplos anteriores son casos particulares del uso del Teo-rema de rcursión débil que asegura que para cada conjunto con elementodistinguido 0, y para cada función : , existe una única sucesión

: N X

tal que :(0) = 0 y N (()) = (())

En Álgebra es frecuente utilizar diagramas para representar coleccionesde conjuntos y funciones, así un esquema como el que sigue:

-

?

?

-

es otra manera de decir que

:

:

:

y :

son funciones para las que están definidas las composiciones y Sedice que “el diagrama conmuta” si

( ) () = ( ) ()

-la “llegada de a , es independiente del camino”-. Convención que seconsidera válida para diagramas más complicados.

Se usa el diagrama {·} para designar a la única función de un

conjunto “{·}” con un solo elemento “·”, en , tal que la imagen de · es




Con este acuerdo, el Teorema de recursión débil equivale a afirmar queconmuta el siguiente diagrama:

N N

{0}

-

?

?

¡ ¡ ¡ µ0

@ @ @ R

-

Y el de recursión fuerte:

N N

{0}

N×

N×

( ) | (() ())

-

?

(N)

?

(N)

¡ ¡ ¡ ¡ µ0

@ @ @ @ R(00)

-

-

Como lo indica el diagrama,

( ) = ( () ())

y ( N ) () = ( ())

Que el diagrama conmute significa que

1. (0 (0)) = ( N ) (0) = (0 0) de donde (0) = 0 y

2. ( N ) () = ( ()) = ( () ( ())) =( N ) () = ( () ( ())), es decir

( ()) = ( ())




Ilustramos el uso del primer diagrama con los ejemplos siguientes:

Ejemplo 90 . Sean. = N, 0 = 7, y : N N la función sucesor.Entonces:(0) = 7

(()) = (())

como puede leerse en el dibujo:

N N

{0}7

%&0

N = N

Nótese que en este caso,(0) = 7

(1) = ( (0)) = (7) = 8

(2) = (8) = 9

y que, por lo tanto no es otra cosa que la tabla de sumar del 7

0 7

1

_

N N

N = N

_

7 7 8

7

2

N N

N = N

_

7 9

En efecto si en vez de ( ) se escribe 7 + ( ), se obtiene:

7 + 0 = 7

7 + 1 = 8

7 + 2 = 9

En general,7 + () = (7 + )

que junto con 7+0 = 7 constituye la definición recursiva de la tabla de sumardel siete.

Es obvio que para definir la tabla de sumar de cualquier número natural, puede usarse el procedimiento anterior, definiendo 0 como .

Hemos demostrado el siguiente:




Teorema 29 . Para cada número natural , existe una única función

: N Ntal que

(0) =

y N (()) = (())

Es decir + 0 = y N + () = ( + )

Ejemplo 91 . Supongamos ahora que = N, y : N N es la función

sumar 3. () significa + 3, que suponemos ya conocida.Si escogemos para 0 el valor 0, resulta:

(0) = 0

y N (()) = () + 3

o sea:(0) = 0

(1) = (0) + 3 = 0 + 3 = 3

(2) = (1) + 3 = 3 + 3 = 6

(3) = (2) + 3 = 6 + 3 = 9

que, como se ve, es la tabla de multiplicar del 3.

En efecto, si en vez que ( ) se usa ( ) · 3, resulta:

0 · 3 = 0

1 · 3 = 0

2 · 3 = 6

y en general,() · 3 = · 3 + 3

Como en el ejemplo 91, podemos generalizar el resultado para cada númeronatural , sustituyendo la : N N por la función de sumar de , y eneste caso, (0) = 0 y N ,(()) = () +

Cambiando por “

”, queda demostrado que:




Teorema 30 . Para cada número natural , existe una única función

: N N

-multiplicar por - tal que

(0) = 0

y

N (()) = () +

O bien, · 0 = 0 y N · (()) = · +

Ejemplo 92 . Sea = N, = 5.Tomemos una 0 provisional -a reserva de cambiarla posteriormente- y ha-gamos funcionar nuestra “máquina recursiva”.Así,

(0) = 0 y (()) = () · 5

Entonces:

(0) = 0

(1) = 0 · 5

(2) = (0 · 5) · 5 = 0 · 25

(3) = (0 · 25) · 5 = 0 · 125

Notemos aquí la conveniencia de definir 0 como 1 y en ese caso resulta ser

la “exponencial base 5” o sea

50 = 1 5() = 5 · 5

Como antes, generalizamos para todo natural distinto de cero, usando

=

e insistimos en que

6= 0 0 = 1 por definición.



3.5. DEMOSTRACIONES INDUCTIVAS 157

3.5 Demostraciones inductivas

El 5 postulado de Peano suele utilizarse de manera análoga a la forma enque se usó en las definiciones recursivas, para demostrar proposiciones de laforma:

“todos los números naturales tienen cierta propiedad ”.Supongamos que es una propiedad que cada número natural puede o

no tener. (Ser primo, ser par, ...) y que deseamos comprobar que todos losnúmeros naturales la tienen. Simbolicemos con () la expresión

“ tiene la propiedad ”.

Si ahora demostramos que

1. (0) (cero tiene la propiedad ), y que:

2. N () ( ()) N (La propiedad es “hereditaria”), habre-mos demostrado que

N ()

que es lo que deseábamos hacer.

En efecto, si = { N | ()}

por 1), 0 y por 2),

N ()

y por lo tanto (5 postulado) = N .Observemos una vez más que en 2) lo que se afirma es la veracidad de

una implicación, a saber: () ( ())

lo que no dice que () es cierta ni que ( ()) lo sea sino que asegura quela propiedad “ ” se hereda al pasar de un número cualquiera a su sucesor.No se comete el error de “circularidad” cuando se supone () (hipótesis deinducción) para demostrar ( ()), sino que se está haciendo uso legítimodel meta-teorema de la deducción, (ver sección 1.8).

Queremos repetir aquí, que al igual que en el caso de las definicionesrecursivas, el método propuesto (usar el 5 postulado), en aquel lugar para




“definir”, y en éste para “demostrar”, de ninguna manera es único. SiendoN un conjunto, como lo es, pueden demostrarse algunas propiedades univer-

sales que se refieren a sus elementos, con la técnica usual de la teoría de losconjuntos, a saber:

Se toma un elemento arbitrario del conjunto de que se trate, del cual sóloes válido suponer que tiene la propiedad que lo caracteriza como elementode éste. Si a partir de esta única suposición podemos concluir que el ele-mento considerado tiene la propiedad que nos interesa, aceptaremos haberdemostrado que todos la tienen.

En la aritmética de N, son frecuentes las ocasiones en que se desea de-mostrar alguna proposición (abierta) en la que aparecen dos (o más) números

naturales y , y que debe cumplirse para cualesquiera dos de ellos. ( N ( )). En estos casos se puede utilizar un procedimiento “híbrido” queconsiste en fijar uno de ellos y hacer inducción sobre el otro. En este caso,lo que se está haciendo puede resumirse de la manera siguiente:

Proposición 13 . Para demostrar que

N ( )

se toma

N un número natural arbitrario, (del que sólo suponemos que

es un número natural). Entonces se demuestra por medio de la inducción,que N ( )

Obviamente, este procedimiento, no es inductivo “puro” y sin embargosuele dársele también este nombre y es común verlo aparecer ejemplificandoel uso de la inducción para hacer demostraciones. Por supuesto que en lamayor parte de estos casos, también se puede proceder haciendo una doble(triple o múltiple) inducción, pero queremos enfatizar aquí, que el tratar demantenerse dentro de una única línea de razonamiento (geometría sin álgebra;

topología sin análisis, y en este caso “inducción pura”), lejos de parecernosuna virtud, la consideramos una limitación y como tal, un defecto.

3.6 Conjuntos transitivos

Recordemos la definición ??, de la página ??.

Definición 51 . Un conjunto es transitivo si

=



3.6. CONJUNTOS TRANSITIVOS 159

O equivalentemente

=

Ejemplo 93 . Consideremos el conjunto

3 = {0 1 2}

Note que cada uno de los elementos de 3 es también un subconjunto de 3

No ejemplo 94 . En cambio, {2 3} no es un conjunto transitivo porque 2

{2 3} pero 2 * {2 3} ( 1

2 pero 1

{2 3}).

Ejercicio 137 . Demostrar que el menor subconjunto transitivo que con-tiene a {2 3} es {0 1 2 3}.

Ejercicio 138. ¿Cuál es el menor conjunto transitivo que contiene a {2 {1 3}}?

Teorema 31 . Todo número natural es un conjunto transitivo.

Demostración. Denotemos = {

N | es transitivo}. Veremos

que este conjunto es inductivo.i) Base de la inducción.Como no tiene elementos, la proposición siempre es falsa. Así

que la proposición =

es cierta. Por lo tanto, es transitivo.ii) Paso iInductivo.Supongamos que N es transitivo, queremos demostrar que () es

transitivo también.Si () como () = {} entonces ( ) ( = ) Si entonces y como es transitivo por hipótesis,

tendríamos que Pero como (), entonces () Si = entonces () En cualquier caso, () Es decir que

() = ()

así que () es un conjunto transitivo.




Teorema 32 . El conjunto de los naturales es un conjunto transitivo. (Por favor note la diferencia entre las afirmaciones: N es transitivo, cada elemento

de N es transitivo).

Demostración. Necesitamos comprobar que

N = N N (3.1)

es decir, que los elementos de los naturales son también naturales.Consideremos 3.1 como una proposición que se dice del natural Abre-

viemos esta proposición ()

Notemos que lo que queremos demostrar es que

=: { N | ()}

es todo el conjunto N. (Es decir, con esto demostraremos que el conjunto delos naturales que tienen la propiedad son todos).

i) Base de la inducción.Escribamos la proposición () :

N = N

Esta proposición es verdadera puesto que

N es una abreviatura de ( ) ( N)

que es falsa.ii) Paso inductivo.Queremos demostrar que () =

( ())

N

Supongamos que N a es tal que () Es decir que los elementos de son números naturales. Queremos demostrar que ( ()) es verdadera.

( ()) : () N = N

Supongamos que () queremos demostrar que es un natural. () = {} = ( ) ( = ) Si , entonces N, por hipótesis.Si = , entonces

N pues

N



3.7. CONJUNTOS INFINITOS Y CONJUNTOS FINITOS 161

3.7 Conjuntos infinitos y conjuntos finitos

Definición 52 . Se dice que un conjunto es infinito, si existe una biyec-ción entre y uno de sus subconjuntos propios. ( es infinito si existe

biyectiva, $ ).

Recordemos que un conjunto es finito, si no es infinito.

Ejemplo 95 . El conjunto vacío es un conjunto finito.

Demostración. Simplemente notemos que por definición, para que un

conjunto sea infinito, necesita tener subconjuntos propios. Como notiene subconjuntos propios, entonces no puede ser infinito.

Teorema 33 . Cada número natural es finito.

Demostración. Denotemos

= { N | es finito}

queremos demostrar que = Ni) Base de la inducción.Como hemos demostrado en el ejemplo de arriba, ii) Paso inductivo.Supongamos que es finito, queremos demostrar que () también es

finito. Esto es exactamente lo que se demuestra en el teorema 16, de lapágina 110.

3.8 El conjunto de los naturales es un conjunto infinito

N es infinito en vista del siguiente teorema:

Teorema 34 . La función

: N N \ {0}

es una biyección.




Demostración. Notemos primero que la función es inyectiva:Supongamos que () = () =

{}

Como () entonces () = {} Por lo tanto =

Por simetría, = En la observación 17 notamos que ningún conjunto puede ser elemento de

sí mismo. Por otra parte, no puede suceder que [( ) ( )] puesesto implicaría que pues los naturales como ya vimos, son conjuntostransitivos).

La única posibilidad es = Veamos ahora que la función : N

N \ {0} es suprayectiva.

Para empezar, notemos que 0 Im () :Esto se debe a que 0 = pero () NDemostraremos que {0} Im () = N, demostrando que {0} Im () es

un subconjunto inductivo del conjunto de los números naturales.Base de la inducción: es claro que 0 {0} Im () Paso inductivo: si {0}Im () entonces es obvio que () Im () Por lo tanto, [({0} Im ()) = N ] [Im() N \ {0}] de aquí tenemos

que todo natural 6= 0 pertenece a Im () es decir que N \ {0} Im () Como también tenemos la inclusión recíproca, podemos concluir que

Im () = N \ {0}

Definición 53 . Se dice que el conjunto tiene a lo más tantos elementos como el conjunto si existe una función inyectiva de a En esta situación, escribiremos || ||

Con otras palabras: el cardinal del conjunto || es menor o igual que

el cardinal del conjunto ||.Desde luego, la definición anterior está inspirada en el hecho de que si , es obvio que || ||, y en el hecho de que una función inyectivaes una especie de generalización de la función inclusión.

Recordemos que dos conjuntos tienen el mismo número elementos,si existe una biyección entre ambos conjuntos.

Ejemplo 96 . Un conjunto es infinito cuando tiene el mismo número de elementos que uno de sus subconjuntos propios. Por ejemplo, N y N \ {0}tienen el mismo número de elementos.



3.8. EL CONJUNTO DE LOS NAT URALES ES UN CONJ UNTO INFINITO 163

Como hemos notado antes, una función inyectiva : ½ tiene uninverso derecho : ³ que resulta ser suprayectiva. Recíprocamente,

dada una función suprayectiva : ³ (la doble punta de la flechaanterior expresa que la función es suprayectiva) existe una función inyectiva : ½ que es inverso por la izquierda de . (Como ya hemos notado,esta última afirmación es equivalente al axioma de elección).

De esta manera, tenemos que son equivalentes las afirmaciones:

1. || ||

2. : ½

3. : ³

Proposición 14 . Las siguientes afirmaciones son equivalentes para una función : un conjunto finito.

1. es biyectiva.

2. es inyectiva.

3. es suprayectiva.

Demostración. Obviamente 1) = 2) 3)Debería ser claro que basta demostrar la equivalencia entre 2) y 3).Supongamos 2) Si no fuera suprayectiva, entonces () sería un sub-

conjunto propio de y así

| () : ³ () 7 ()

sería una biyección entre y el subconjunto propio de Esto contradiríael hecho de que es finito.

Esta contradicción muestra que si es inyectiva, entonces también tieneque ser suprayectiva.

Supongamos 3) es decir, supongamos que ³ es suprayectiva. To-

memos ½ un inverso derecho para por el inciso anterior, tiene que

ser suprayectiva, es decir que tiene que ser una biyección. Pero entonces de = se sigue que

= 1 = 1 = 1

donde vemos que es biyectiva.




Lema 2 Si es un conjunto infinito, entonces el conjunto \ {}es infinito también.

Demostración. Tomemos una biyección $ y tomemos

Entonces la restricción

|\{ ()}| \{} en el diagrama

\ {}

|\ ()|\{}

\ { ()}

también es una biyección.Demostraremos ahora que \ { ()} es un subconjunto propio de \ {} Por contradicción, supongamos que \ { ()} = \ {}.Si \ entonces ( \ {}) \ (\ { ()}) En caso contrario,

tendríamos que[ ( \ {})] [ \ { ()}]

Es decir tendríamos que [ ] [ {}] [( 6= ())] Como

\tendríamos que {}

es decir que = Así resulta que el único elemento de \ es Como estamos suponiendo que \ { ()} = \ {} y como es el único

elemento en \ entonces = {} De aquí se sigue que \ { ()} = \ {} = por lo que ()

absurdo.

Como \ {} |\ ()|\{} \ { ()} es una biyección entre \ {} y un

subconjunto propio, concluímos que \ {} es infinito.

Corolario 4 . Si es un conjunto finito y es un objeto (un conjunto)que no pertenece a entonces { } también es finito.

Lema 3 . Si y es infinito, entonces también es infinito.

Demostración. Tomemos = ( \ ) Supongamos que

:



3.8. EL CONJUNTO DE LOS NAT URALES ES UN CONJ UNTO INFINITO 165

es una biyección entre y un subconjunto propio de . Definamos

:

mediante: :

7 si ( \ ) 7 () si

es una biyección entre y ( \ ) que es un subconjunto propio de( \ ) =

Teorema 35 . El conjunto de los naturales es el conjunto infinito más pequeño.

Demostración. Ya hemos visto que N es un conjunto infinito.Supongamos que es un conjunto infinito. Entonces 6= , pues = 0

y ya vimos que todos los naturales son conjuntos finitos.Podemos escoger entonces un elemento 0 y considerar el conjunto

\ {0} Como vimos en el Lema 2, \ {0} sigue siendo infinito, en particular no

es vacío así que contiene un elemento que denotaremos 1Podemos repetir el argumento con el conjunto \ {0 1} para obtenerun elemento 2 \ {0 1}

De esta manera tenemos una sucesión1

0 1 2

de elementos distintos de Podemos pensar esta sucesión como una función inyectiva

N ½ 7

y podemos pensar que el conjunto Im () = (N) es una copia delconjunto de los números naturales.

Así podemos decir que cualquier conjunto infinito contiene una copia delconjunto de los números naturales. Es en este sentido en el que decimos queel conjunto de los números naturales es el menor conjunto infinito.

1Una sucesión es una función cuyo dominio es N

.




Teorema 36 . Si es un conjunto finito, entonces hay un natural tal que | | = ||

Demostración. Si = entonces | | = |0| Si 6= podemos tomar 0 Si \ {0} 6= podemos tomar

1 \ {0} Repetimos este argumento, y notamos que debe terminar,pues en otro caso encontraríamos una sucesión de elementos distintos de :

0 1

lo que nos daría una inyección N ½ contradiciendo que es finito (

contendría una copia de los naturales, que es un conjunto infinito).Si el proceso termina en es porque \ {0 1} = de dondetendríamos que = {0 1} que claramente tiene tantos elementoscomo {0 1} = ()

En los siguientes ejercicios, indicaremos una construcción alternativadel conjunto de los números naturales.

Defina el sucesor de un conjunto de la siguiente manera:

( ) = { }

Diga que un conjunto es inductivo si satisface las siguientes dos condi-ciones:

1.

2. = ()

Introduzca el siguiente axioma de infinito:EXISTE UN CONJUNTO IN-

DUCTIVO.Ejercicio 139 Demuestre que la intersección de una familia de conjuntos inductivos es también un conjunto inductivo.

Ejercicio 140 Considere un conjunto inductivo (que existe por el axioma anterior) y considere el conjunto de los elementos de este conjunto que per-tenecen a cualquier otro conjunto inductivo. Demuestre que este conjuntoes un conjunto inductivo y que es un subconjunto de cualquier otro conjuntoinductivo. Denote por N a este conjunto, defina 0 =:

y demuestre que:



3.9. EL ORDEN EN LOS NATURALES 167

Ejercicio 141 . La función

: N N 7 {}

es inyectiva, y su imagen es N \ {}

3.9 El orden en los naturales

1. si

2. si ( ) ( = )

Observación 44 . 0 N

Demostración. Consideremos la siguiente proposición:

() : 0

Demostrar que todos los naturales tienen la propiedad es lo mismo que

demostrar que{ N | ()}

es todo el conjunto NDemostraremos que el conjunto

{ N | ()}

es inductivo.Base de la Inducción. (0) es cierta, puesto que 0 = 0Paso Inductivo.Supongamos () es decir que 0 Por lo tanto, 0 0 = Si 0 entonces como () tendríamos que 0 () Si 0 = entonces 0 = () En cualquier caso, 0 () es decir, 0 () Por lo tanto ( ()) es cierta.

Lema 4 . =

() ()




Demostración. Consideremos la proposición

= () ()

como una afirmación que se hace acerca de Es decir consideremos

() : = () ()

Demostremos que el conjunto { N | ()} es inductivo.Base de la inducción.

Queremos demostrar que

0 = () (0)

0 = es una proposición falsa, por lo que la implicación es verdadera.Paso inductivo.Supongamos que es cierta () : () : = () () Queremos demostrar que también ( ()) : ( ()) : () =

() ( ()) es cierta.

De no ser así, sucederían:1) = () () 2) () 3) ¬ [ () ( ())] De 3) tendríamos que () ( ()) = () { ()} En particular,

() 6= () (Por lo tanto 6= ).De 2), tendríamos que {} Así que = Como la

segunda posibilidad ha sido descartada, tenemos que Pero entoncesde 1) se sigue que () ()

Así que () () ( ()) y dado que los naturales son conjuntostransitivos, tendríamos que () ( ()) en contradicción con 3).

La contradicción demuestra que () ¬ ( ()) es falsa, por lo que¬ () ( ()) es verdadera. Esto es equivalente a () = ( ())

Lema 5 . N =

()

() =



3.9. EL ORDEN EN LOS NATURALES 169

Demostración. Escribamos

() : = ()

() =

Demostraremos que { N | ()} = N Por este efecto, hasta de-mostrar que { N | ()} es un conjunto inductivo.

Base de la inducciòn.

(0) : 0 =

() 0

() = 0es una proposición verdadera, porque la

proposición 0 es falsa.Paso inductivo.Supongamos que () es cierta. Si ( ()) fuera falsa entonces existiría

N tal que:1) () 2) () () 3) () 6= () () = {} = =

Si entonces por la hipótesis inducción, tendríamos que () () = Lo que implicaría que () () en contra del inciso 2).Nos queda la posibilidad de que = pero implica que () = (),

en contra de 3).Concluimos que si () es cierta, entonces ( ()) también es cierta.

Corolario 5 . N ( ) ¬ ( () ) = () =

Hemos observado que una de las consecuencias del axioma de la teoría deconjuntos que prohíbe la existencia de sucesiones descendentes de pertenen-cias infinitas (no existen sucesiones de la forma: ... 1 1 0)es que un conjunto no puede ser elemento de sí mismo. Tampoco puede pasarque para dos conjuntos se tenga que cada uno es elemento del otro, puesen ese caso uno podría escribir la sucesión infinita

que no puede ocurrir dentro de la Teoría de Conjuntos.




Teorema 37 . N N vale una y sólo una de las siguientes afirmaciones:

1. =

2.

3.

Demostración. Como hemos observado en el párrafo anterior, las proposi-ciones 1), 2) y 3) no pueden ocurrir simultáneamente.

Consideremos la proposición

() : N ( = ) ( ) ( )

Demostraremos que { N | ()} es inductivo.Base de la inducción. Como ya hemos observado, 0 N Por lo

tanto (0) es verdadera.Paso inductivo.Supongamos que () es cierta pero que ( ()) es falsa.

Entonces N tal que:

( () 6= ) ( () ) ( ())

Sin embargo, por hipótesis

( = ) ( ) ( )

Si = entonces = () Esta opción queda descartada.

Si entonces () por lo que () Esta opcióntambién se descarta.Sólo nos queda la posibilidad de que Pero ahora, de y de ( () ) se sigue, en vista del corolario

anterior, que () =

Teorema 38 (Principio del Buen Orden) . Todo subconjunto no vacíode N tiene un primer elemento (es decir un elemento menor que todos los demás).



3.10. RECURSIÓN 171

Demostración. Sea 6= $ N Si no tuviera un primer elemento,podríamos escoger un elemento 0

Como este elemento no es el primero,

existiría otro elemento que va antes, llamémoslo 1Entonces

1 0

como tampoco 1 es el primer elemento de , debe haber un elemento queva antes de 1 llamémoslo 2

Entonces2 1 0

podemos proseguir indefinidamente con este argumento, contradiciendo elaxioma de regularidad.

Ejemplo 97 . 0 es el primer elemento de N

3.10 Recursión

Demostraremos el Teorema de recursión débil:

Teorema 39 . Si y es una función, entonces existe una única función : N X tal que:

1. (0) =

2. ( ()) = ( ())

0 1

2 3

()

() () () () ( ()) = ( ())

Demostración. Consideremos

R = { N × | (0 ) ( ) = ( () ()) }

Demostraremos que R R :Para empezar, es claro que R N × XAdemás, como (0 )

R entonces (0 )

R




Si ( ) R entonces ( ) R Pero entonces

( () ()) R

Es decir que ( () ()) R

Una vez que hemos visto que R R demostraremos que N RX es unafunción.

Denotemos := RNecesitamos demostrar dos cosas: la primera, es que () = N;la

segunda, es que [( ) ( ) ] = [ = ] Veamos que () = N para esto basta ver que () es un conjunto

inductivo.Como (0 ) entonces 0 () Supongamos que () Esto quiere decir que tal que

( ) Pero entonces también ( () ()) , por lo que () () Así, () = N.

Para demostrar que [( ) ( ) ] = [ = ], supongamos lo con-trario, es decir supongamos que N tal que

( ) ( )

con 6=

Por el Principio del Buen Orden, podríamos tomar la menor con lapropiedad anterior, hagámoslo.

Vamos a ver que 6= 0 Pues si (0 ) con 6= entonces \ {(0 )} R :

(0 ) \ {(0 )} pues (0 ) y (0 ) 6= (0 ) Además,

( ) \ {(0 )} = ( () ()) \ {(0 )} ;

pues ( () ()) y ( () ()) 6= (0 ) ya que () 6= 0 (0 no es unsucesor).

Si recordamos la definición de , tendremos que

= R \ {(0 )}

de donde tendríamos que \ {(0 )} =

La contradicción anterior demuestra que 6= 0.Hemos visto que 6= 0



3.10. RECURSIÓN 173

Entonces ( ) 6= ( ) Como 6= 0 entonces = () NComo

()

tal que ( )

Entonces

( () ())

( () ()) tiene que ser distinto de ( ) o de ( ) Supongamos que( () ()) 6= ( )

Entonces () 6= (3.2)

Consideremos \ {( )} veremos que \ {( )} RPara empezar, (0 )

\ {( )} pues (0 )

y 0 6= .

Ahora veamos que

( ) \ {( )} = ( () ()) \ {( )} :

en caso contrario,

( ) \ {( )} ( () ()) = ( ) :

pero entonces

( () ()) = ( ) = ( () ) (3.3)así que () = () por lo que = (recuérdese que es una funcióninyectiva).

Además, ( ) = ( ) Pero ( ) dada la manera en que escogi-mos a , y dado que tenemos que

[( ) ( ) ] = ( = )

Entonces, de la ecuación 3.3, tenemos que

= () = ()

Esto contradice que 6= () (3.2).Esta contradicción termina la demostración del existencia de la función

Para demostrar la unicidad, supongamos que : N es otra función

que satisface:1) (0) = y2) ( ()) = ( ())




usando inducción es inmediato que

() = () N

Notemos que en lugar de

0 1

2

()

()

() ()

( ()) = ( ())

podemos escribir simplemente,

()

() ( ()) = ( ())

pero aquí se ha omitido la información de que (0) = Para completar estainformación, escribimos el diagrama

N N

{0}

-

?

?

¡ ¡ ¡ µ0

@ @ @ R

-

Usaremos el teorema de Recursión para demostrar las propiedades alge-

braicas del conjunto de los números naturales.

3.11 Las propiedades algebraicas de los natu-rales

3.11.1 La suma

Definición 54 . Usaremos el teorema de Recursión para definir la función “sumar ”

:

N N: (piénsese que

() = + ).



3.11. LAS PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NATURALES 175

1. (0) =

2. ( ()) = ( ()) Alternativamente, es la única función N N tal que hace conmuta-

tivo diagrama siguiente:

N N

{0}

N N

-

?

?

¡ ¡ µ0

@ @ R

-

Notemos que para definir se ha aplicado el teorema de Recursión a lafunción : N N y al elemento especial N

Observación 45 . 0 es la función N

Demostración. Por definición, 0 es la única función que hace conmu-

tativo el diagrama N N

{0}

N N

-

?

0

?

0

¡ ¡ µ0

@ @ R0

-

Comparemos este diagrama con el siguiente:

N N

{0}

N N

-

?

N

?

N

¡ ¡ µ0

@ @ R0

-

Por la unicidad en el teorema de Recursión, tenemos que 0 = N Esdecir, que

0 () =

N




Teorema 40 . 1 = : N N

Demostración. Nuevamente, sólo tendremos que comparar dos diagra-mas: por definición, 1 : N N es la única función que hace conmutativoel diagrama siguiente:

N N

{0}

N N

-

?

1

?

1

¡ ¡ µ0

@ @ R¯

1 -

pero tambiénN N

{0}

N N

-

?

?

¡ ¡ µ0

@ @ R1

-

es conmutativo, puesto que (0) = 1 y = Por la unicidad en el teorema de Recursión, tenemos que 1 = Es decir

que 1 () = () (1 + = ()).

Teorema 41 . La suma de naturales es asociativa, es decir que

+ ( + ) = ( + ) + N

Demostración. Lo que queremos demostrar es que

( ()) = + () N

Ahora, por definición de composición de funciones, es claro que lo que que-remos demostrar es que

( ) () = + () N

O bien, que las funciones

y +

son la misma función.




Comparemos el diagrama que define a la función + con el siguientediagrama:

N N

{0}

N N

{0}

N N

-

?

?

¡ ¡ µ0

@ @ R

-

?

?

¡ ¡ µ0

@ @ R

-

o bien:N N

{0} N N

N N

-

?

?

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¸

0

A A A A A A A A A U

+

- -

?

?

?

-

.




El diagrama que define a la función + es:

N N

{0}

N N

-

?

+

?

+

¡ ¡ µ0

@ @ R+

-

es decir que + es la única función de N en sí mismo tal que:

1. + (0) = + y

2. 2) + = +

Pero si observamos, también tiene las dos propiedades:Por una parte, ( ) (0) = ( (0)) = () = + Y además ( ) = ( ) = ( ) == ( ) = ( ) = ( ) Por la unicidad en teorema de Recursión, tenemos que = + lo

que es equivalente a la asociatividad de la suma, como notamos al principiode este argumento.

Teorema 42 . La suma de naturales es conmutativa, es decir que

+ = + N

Demostración. Queremos demostrar que () = () N

Demostraremos esto por inducción sobre .Consideremos la proposición

() : + = + N

demostraremos que esta proposición es cierta para cualquier natural .Explícitamente, demostraremos que el conjunto

=: { N | ()}

es inductivo.




Base de la inducción.Recordemos que 0 = N y que por definición, (0) = Entonces

0 + = 0 () = = (0) Como esto pasa para toda N tenemosque 0

Paso inductivo.Supongamos que + = + N quisiéramos demostrar que

también

() + = + () N

Pero () + = (1 + ) + = 1 + ( + ) = ( + ) = ( + ) =

= 1 + ( + ) = (1 + ) + = () + En las ecuaciones de arriba, se ha usado que = 1, la asociatividadde la suma, y la hipótesis de inducción. Para terminar el argumento bastademostrar que

() + = + ()

que puede expresarse en la forma siguiente:

() () = ( ()) = ( ) ()

De aquí, que basta demostrar que

() =

Nuestro problema se reduce a comparar dos diagramas.

N N

{0}

N N

-

?

()

?

()

¡ ¡ µ0

@ @ R()

-

() es la única función que satisface:1) () (0) = ()

2) ()

=

()




Escribiendo el siguiente diagrama

N N

{0} N N

N N

-

?

?

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¸

0

A A A A A A A A A U

()

-1 -

?

?

?

-

notamos que (

) (0) = (

) (0) = ( (0)) = ()

Además, ( ) = ( ) = ( ) Concluimos que ( ) = () que era lo que nos hacía falta.

Observación 46 . Son equivalentes las siguientes dos afirmaciones:

1. es una función inyectiva.

2. es cancelable (respecto a la suma). (Es decir: + = + = = ).

Demostración. es inyectiva ( () = () = ( = )) ( + = + = ) es cancelable respecto a la suma.

Teorema 43 . N es inyectiva.

Demostración. Demostraremos esto por inducción.Base de la inducción.




Hemos visto que 0 = N, que es una función inyectiva.Paso inductivo.

Si es una función inyectiva entonces también lo es () pues comohemos visto, () = una composición de funciones inyectivas.

Teorema 44 . + = 0 = ( = 0) ( = 0)

Demostración. Por contrapuesta, si 6= 0 6= 0, entonces = (0) = (0) Por lo tanto,

+ =

(0) + = (1 + 0) + = (0 + )

+ (0) = + (1 + 0) = ( + 0)

es distinto de 0 ya que es el sucesor de algún natural.

Teorema 45 . Para N se cumple que:

1. ( N \ {0} + = )

2. ( N + = )

Demostración. 1) =) Por inducción sobre Consideremos la proposición

() : = ( N \ {0} + = )

Demostraremos que = { N | ()} = N Es claro que si 0 entonces 0 + = ; por lo tanto 0

Supongamos ahora que = 6= 0 tal que + = Si tuviéramos que ( ) entonces

( )

por lo que + = , con 6= 0 Así, = (0) para alguna 0 N Entonces

= + (0) = + (1 + 0) = ( + 1) + 0 =

= ( ) + 0




Notemos además que 0 6= 0, porque en caso contrario, = ( ) pero ( )

Entonces, ( ) = 0 N \ {0} tal que ( ) + 0 = . Estocoloca a ( ) como un elemento de

Por lo tanto, es un subconjunto inductivo de N por lo que = N=) Sea () la proposición recíproca de () es decir,

() : ( N \ {0} + = ) = ( )

Demostraremos que el conjunto

=: { N | ()}es todo N Denotemos N+ = N \ {0}

Base de la inducción. 0 + = con N+ = ( = ) (0 ) (0es menor que todo natural distinto de 0 ver la observación 44).

Paso inductivo. Supongamos que Si () , entonces

() + = pero ¬ ( () ) 6= 0

es decir,

(1 + ) + = pero ( () ) 6= 0Como (1 + ) + = + (1 + ) = por hipótesis de inducción tenemos que

pero [( ) ( () )] = () = (lema 5, en la página 169).Pero entonces,

(1 + ) + = () + = = (1 + ) + 0

por lo que = 0

(Recuerde que los naturales son cancelables respecto a la

suma, teorema 43).Esa contradicción muestra que si entonces () Por lo tanto, es inductivo, por lo tanto = NLa parte 2) se sigue inmediatamente de 1).

Ejercicio 142 . Demuestre la parte 2) en el enunciado del teorema anterior.

Lema 6 . { N

| ()} =




Demostración. Por el teorema anterior, N+ tales que + = y + = ()

Entonces1 + = () = + = + +

cancelando tenemos que1 = +

Pero = 1 + 0 = 1 + 0 0 0 NPor lo tanto,

1 = 1 + 0 + 1 + 0

de donde tenemos que 0 = 0 + (1 + 0)

pero esto implica que 1 + 0 = = 0

(Se acaba de usar el teorema 44).

Note que el teorema que acabamos de demostrar es una buena razón paradecir que () es el “ sucesor” de .

3.11.2 El producto en N

Usaremos el teorema de Recursión para definir el producto en el conjunto de

los naturales.

Definición 55 . Definimos la función “multiplicar por ”, : N Npor medio de las dos propiedades siguientes:

1. (0) = 0

2. =

Alternativamente, es la única función que hace conmutativo el diagra-ma:

N N

{0}

N N

-

?

?

¡ ¡ µ0

@ @ R0

-




1. 0 = 0 : N N

2. 1 = : N N Demostración. Demostraremos 1) y dejaremos 2) como ejercicio.Únicamente tenemos que comparar los siguientes dos diagramas:

N N

{0}

N N

-

?

0

?

0

¡ ¡ µ0

@ @ R¯

0 -0

yN N

{0}

N N

-

?

0

?

0

¡ ¡ µ0

@ @ R0

-0

Notemos que ambos diagramas conmutan, por lo tanto 0 = 0 .

Ejercicio 143 . Demuestra el inciso 2) del Lema anterior.

Teorema 46 . El producto de los naturales se distribuye sobre la suma.

Demostración. Lo que queremos demostrar es que

· ( + ) = + N N

Consideremos la ecuación anterior como una propiedad del natural Por inducción sobre Base de la inducción.Si = 0 entonces ambos lados de la ecuación valen Paso inductivo.Suponga la afirmación cierta para y tratemos de probarla para +1 · ( + ( + 1)) == · (( + ) + 1) =

por definición de · ( + ) + =

=por hipótesis de inducción

+ + = + ( + 1)




Teorema 47 . El producto de los naturales es asociativo.

Demostración. Queremos demostrar que( · ) · = · ( · ) N

es decir queremos demostrar que

·() = ( ()) N

esta es equivalente a demostrar que las funciones

· y

coinciden.Comparemos el diagrama que define a · :

N N

{0}

N N

-

?

?

¡ ¡ µ0

@ @ R0

-

con el diagrama

N N

{0} N N

N N

-

?

?

¢

¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ ¸

0

A A A A A A A A A U

0

-0 -

?

?

?

-




.Para ver que el diagrama anterior es conmutativo, basta demostrar que

N N

N N

-

?

?

-

conmuta.Lo anterior es equivalente a decir que N

( ) () = ( ) ()

es decir que · ( + ) = +

Pero esto es la propiedad distributiva.

Teorema 48 . El producto en N es conmutativo.

Demostración. Queremos demostrar que

= N

Consideremos la proposición anterior, como una proposición acerca de () Vamos a demostrarla por inducción.

Base de la inducción.Si = 0 entonces0 = 0 () = 0 Además 0 = 0 por definición de Paso inductivo.Supongamos que la afirmación es cierta para ( = ) Entonces,

queremos demostrar que

(1 + ) = ( + 1)

Como ( + 1) = + = + basta entonces demostrar que paratoda :

() : (1 + ) = +

Base de la inducción. (1 + ) · 0 = 0 = 0 · + 0Paso inductivo.




Supongamos () entonces(1 + ) ( + 1) = (1 + ) + 1 + =

= + + 1 + = ( + ) + ( + 1) == ( + 1) + ( + 1)

Lema 7 . ( ) ¡ N+¢

= ( )

Demostración. Como , N+ tal que + = Entonces = ( + ) = + Como 6= 0, pues es un producto

de naturales distintos de 0, entonces

Lema 8 . ( = )

¡ N+

¢ = ( = )

Demostración. Se sigue inmediatamente del Lema anterior y de lapropiedad de tricotomía (por ejemplo piense que sucedería si ).

Teorema 49 (Segundo principio de inducción matemática) . Sea

N

tal que ( = ) = ( ) N (3.4)

entonces = N

Demostración. Veamos que significa la proposición de arriba para =0 :( 0 = ) = (0 )

( 0 = ) es una proposición verdadera dado que 0 ( )es una proposición falsa. Así que decir que

( 0 = ) = (0 )

es verdadera es lo mismo que decir que 0 Note que [( 0 = ) = (0 )] es equivalente a 0

Si hubiera un natural también habría un elemento menor con lapropiedad de no pertenecer a Supongamos que es el menor natural que no pertenece a De esta manera, todos los naturales menores que pertenecen a . Pero

por hipótesis, esto implica que

Nota 1 . El segundo principio de inducción, es conocido también comoprincipio de inducción transfinita o como principio inducción fuerte. Es muy importante señalar que es necesario demostrar la base de inducción al

hacer uso de este principio.




3.11.3 Potencias

En los siguientes ejercicios, indicaremos como definir potencias.Ejercicio 144 . Use el Teorema de recursión para definir una función me-diante el diagrama siguiente:

N

{0}

N N

-

?

?

¡ ¡ µ0

@

@ R1-

y note que

(0) = 1 (1) = (2) = · (3) = · ·

por lo que tenemos que es natural usar la notación

= ()

Ejercicio 145 . Demuestre que 00 = 1 y que 0 = 0 si 6= 0

Ejercicio 146 . Demuestre que 1 = 1 para toda N

Ejercicio 147 . Muestre con un ejemplo que no vale en general que

=

Ejercicio 148 . Muestre que no vale en general que

() = ()

Ejercicio 149 . Demuestre que

(+) = ·


() = (·)




Ejercicio 151 . Se dice que un número natural es par si = 2 En este caso decimos que es la mitad de y escribimos

=

2

Demuestre que ( + 1) es un número par, para cada N


1 + 2 + 3 + + = ( + 1)

2


( + 1) ( + 2)

es un múltiplo de 3, para cada N


() ( + 1) (2 + 1)

es un múltiplo de 6, para cada N


12 + 22 + 32 + + 2 = () ( + 1) (2 + 1)

6

Ejercicio 156 . Demuestre que si un conjunto tiene elementos en-tonces su conjunto potencia ( ) tiene 2 elementos.

Ejercicio 157 . Demuestre que el número de funciones de un conjunto con elementos a un conjunto con elementos es De tal manera que si denotamos

= { : | es una función }

podemos escribir

¯¯ = ||||




Ejercicio 158 . Demuestre que si el número de elementos del conjunto es igual al número de elementos del conjunto entonces tiene tantos

subconjuntos como subconjuntos tiene Es decir:

|| = || = | ()| = | ()|

Ejercicio 159 . Demuestre que el conjunto de los naturales pares es un conjunto infinito (Por ejemplo, demuestre que hay tantos naturales comonaturales pares.

Ejercicio 160 . Demuestre que si es un conjunto finito entonces ex-

iste un número natural que tiene tantos elementos como En este casodecimos que tiene elementos (por ejemplo 2 tiene 2 elementos).

Ejercicio 161 . Los nombres de los primeros siete naturales son: cero,uno, dos, tres, cuatro, cinco, seis. Demuestre, usando las definiciones que 2 + 2 = 4 y que 2 · 3 = 6

Ejercicio 162 . Demostrar que para toda N 0 :

1. 32+2 + 26+1 es múltiplo de 11.

2. 34+2 + 2 42+1 es múltiplo de 11.

3. 2213+2 + 1 es múltiplo de 11.

4. 32+2 8 9 es múltiplo de 64.

5. 55+1 + 45+2 + 35 es múltiplo de 11.

3.12 Apéndice. Sobre las definiciones recur-sivas

El uso del procedimiento recursivo para definir sucesiones de significados, sebasó aparentemente sólo en el quinto postulado de Peano. En ese momentose afirmó que si se tiene un elemento distinguido 0 que puede considerarsecomo el significado de la expresión () para = 0 (base) y se cuenta conuna manera ( :

) de pasar del significado de cualquier número al



3.12. APÉNDICE. SOBRE LAS DEFINICIONES RECURSIVAS 191

significado del que sigue 0, (paso inductivo) entonces quedará bien definidoel significado de la expresión para cada número natural. Es decir, existe

: N

(0) = 0

(0) = ( ())

En efecto, se dijo, si

= { N | () está definido}

por el paso 1 (base) 0 y como para cada N se puede pasar (mediante ) de () a (0), resulta que si entonces 0 Por lo tanto = N.

En la aparente obviedad del argumento anterior se esconde el hecho deque para justificar ese resultado se necesitaron todos los axiomas de Peanoy no sólo el quinto (el uso de los primeros dos axiomas es muy claro) y parademostrar esta afirmación se construirán ejemplos que prueban que si en unconjunto con un elemento inicial 0 y una función sucesor :

no

se cumple alguno de los otros tres axiomas de Peano, entonces, para algúnconjunto con elemento distinguido 0 y función : puede noexistir la función : con las condiciones básicas requeridas:

(0) = 0

( ()) = ( ())

Esto justificará la necesidad de la demostración que se dio del teorema deRecursión.

Ejemplo 98 . Sean = {0 1}

:

(0) = 1

(1) = 1

En se cumplen todos los axiomas de Peano, excepto el que asegura que es inyectiva.




Ahora para = y 0 = 0 y = , puede verse que entonces no existe ninguna :

tal que (0) = 0 y ( ()) = ( ()) ya que si tal

existiera, se tendría:

(0) = 0 (1) = ( (0)) = ( (0)) = (0) = (0) = 1

y (1) = ( (1)) = ( (1)) = (1) = 0

0 = 1 contradicción.

Ejemplo 99 . Sean = {0 1}

:

(0) = 1

(1) = 0

obviamente en valen los axiomas de Peano efecto el que asegura que 0 noes sucesor.

Ejemplo 100 . Si se definen = 0

= 0 y

:

0 7 1

1 7 1

no existe : tal que (0) = 0 y tal que

( ()) = ( ())

ya que si fuera tal, (0) = 0

(1) = ( (0)) = ( (0)) = (0) = 1

(0) = ( (1)) = ( (1)) = (1) = 1

contradicción.

Ejemplo 101 . Sean = N

{

} y () = ½

1 + si N

si =




En valen los axiomas de Peano excepto el quinto. Si ahora = N 0 =0 y :

es la función sucesor, no existe :

N tal que (0) = 0

y tal que ( ()) = ( ()) (3.5)

ya que para = () N . Pero

() = ( ()) = ( ()) = 1 + ( ()) N

lo que es absurdo, pues se estaría asegurando que existe un número natural

( ()) que es igual a su sucesor.

En los ejemplos que se dieron en el texto puede verse que el procedimientoinductivo que usamos permite construir los significados de tantos números como se quiera -comenzando con cero y prosiguiendo de uno en uno- loque induce a pensar que el método descrito, garantiza la existencia de lasucesión completa de significados (), ya que si es el conjunto de losnúmeros naturales para los cuales la expresión ha quedado definida, la base(definición explícita de (0)) afirma que 0

Y por el paso inductivo que

permite pasar del significado () a (()) se puede asegurar que si estáen entonces () también; y por lo tanto en se cumplen las hipótesisdel 5 postulado de Peano, por lo que debe ser igual a N. Sin embargo,al razonar así, se comete un vicio de circularidad al utilizar una notaciónfuncional () para un conjunto que todavía no existe, que está en proceso deconstrucción y que incluso podría no existir. El 5 postulado asegura que sihubiera una : N X como se prescribe en los pasos 1 y 2, sería única, peropara garantizar su existencia se requiere además, del concurso de los otrospostulados de Peano.

Los ejemplos anteriores demuestran que los axiomas de Peano son indis-pensables para poder asegurar que existe la sucesión completa de significadospara las expresiones que deseamos definir y con objeto de legitimar el pro-cedimiento que hemos usado para construirla, haremos ver que la presenciade tales axiomas es también suficiente. Este argumento está contenido en losaxiomas de recursión, y dado que el primero -que como se verá, resulta equi-valente a los axiomas de Peano- es un caso particular del segundo, (recursiónfuerte), sólo demostraremos este último,

Recordemos:




Teorema 50 (de Recursión Fuerte) . conjunto con un elemento dis-tinguido 0 y

{ }

N familia de funciones de en ,

! : N

X tal que 2

1. (0) = 0, y

2. N (1 + ) = (()).

La demostración de este teorema es efectiva (se construye el objeto queel teorema asegura que existe), en este caso : N -.

Demostración. Sea

= { N × | (0 0) y [( ) (1 + ()]) }(3.6) 6= ya que evidentemente

(N × ) (3.7)

Sea = .Debemos demostrar que:1 ) tiene dominio N .

2

) satisface 1) y 2).3) es función.4) es única con estas propiedades.1. Sea N el dominio de .(0 0) implica que (0 0) por lo tanto 0 .Supongamos que , es decir, tal que ( ) por lo que

( ) , lo que implica que (1 + ()) , por lotanto (1 + ()) , por lo que 1 + , de donde = N .

2 . De la argumentación anterior se sigue obviamente que satisface 1)

y 2).3 . Sea ahora N el conjunto de elementos del dominio de que tienenuna sola imagen.

(0 0) y supóngase que (0 ) , 0 6= . Entonces = \ {(0 )}satisface 1) y 2). En efecto, (0 0) y si ( ) (( ) ) (1 + ()) y como 1 + 6= 0 entonces (1 + ()) no es el que se quitó,por lo que (1 + ()) de donde es un elemento de y como tal,contiene a , pero $ . El absurdo surge de suponer que existe tal .

2

! significa “existe una única ”




Es decir, 0 .Supóngase que

, o sea, ( ) es la única pareja de que tiene

primera coordenada . Entonces (1 + ()) , y supóngase que 6= () tal que (1 + ) . Sea ahora = \ {(1 + )} (0 0) (porque 0 6= 1+). Sea ( ) . Debemos demostrar que (1+ ())

Ahora, si = no hay problema ya que entonces 1 + = 1 + y por lotanto (1 + ()) no es la que se quitó y por tanto está en .

Ahora si 6= entonces = , la pareja que debemos mostrar que estáen es (1 + ()) que no hemos quitado, es decir, satisface: 0 y 1 + , por lo tanto = N .

4 . Sea :

una función que satisface 1) y 2), y sea

= { N | () = ()} (3.8)

Por demostrar que = N .Por 1) 0 . Supóngase que , es decir, () = (),Por 2) (1 + ) = (()) = (()) = (1 + ).



Capítulo 4

Los números enteros

Las ecuaciones de la forma = + no siempre tienen solución en elconjunto N de los números naturales -no siempre pueden resolverse-.

Con objeto de evitar esta limitación, se extiende el conjunto N a otro,en el que todas las ecuaciones de la forma anterior puedan resolverse, quecontenga a N y que sea mínimo -en el sentido de la contención- con estaspropiedades.

Se obtiene así el conjunto Z de los números enteros, con un subconjunto

isomorfo a los naturales, y que tiene una estructura que resultó fundamentalpara la Teoría de los números, básica para la Aritmética, y que sirvió demodelo para los anillos que se conocen como dominios enteros (el adjetivo“enteros” se debe precisamente al modelo).1

1Un anillo es una quinteta ordenada ( + · 0 1) tal que:

1. es un conjunto,

2. + · son operaciones asociativas en con neutros respectivos 0 1.

3. + es conmutativa.

4. se tiene que

(a) · ( + ) = ( · ) + ( · )

(b) ( + ) · = · + ·

Un dominio entero es un anillo donde el producto es conmutativo, donde 1 6= 0 y dondese pueden cancelar factores distintos de 0.

Un campo es un anillo con producto conmutativo en donde 1 6= 0 y en donde cadaelemento distinto de 0 posee inverso multiplicativo.

Los campos son dominios enteros.

197



198 CAPÍTULO 4. LOS NÚMEROS ENTEROS

Los primeros párrafos de este capítulo toman en cuenta las observacionesanteriores y explican porqué se escogió la relación de equivalencia con la que

se construyen los enteros -las clases de equivalencia inducidas por la relación-.

4.1 Construcción y definiciones

Supongamos que , N. Entonces

N+ Ä = +

( Ä se lee: “tal que”). Así que es la solución de la ecuación = +

Dados dos naturales , la ecuación = + , tiene solución en N .

Cuando , la ecuación = + no tiene solución en los naturales.Esto se debe a que

N +

por lo que + 6= N.Por otra parte, 3 es solución de

7 = 4 +

pero también es solución de

16 = 13 +

¿Cuándo pasa que = + tiene las mismas soluciones que = + ?Observemos lo siguiente:Si = + y = + , para la misma N, entonces

= + + =

así que sumando cada lado, tenemos que + + = + + . Cancelando, obtenemos

+ = +



4.1. CONSTRUCCIÓN Y DEFINICIONES 199

Recíprocamente, si + = +

y es solución de = +

entonces = +

Sumando , tenemos + = + + , así que + = + + . Cancelando obtenemos = + . Por lo que

también es solución de = +

Entonces, la solución de = + , es la solución de = + ( , )Podemos observar lo siguiente:

= + y = + tienen la misma solución + = +

Notemos que la ecuación = + está determinada por la pareja ( ).Inclusive podemos pensar que ( ) es una abreviatura para la ecuación.Siguiendo con esta manera de pensar ¿por qué no decir que ( ) está rela-cionada con ( ) ( ( ) ( ) ), en lugar de decir que las ecuaciones

= + y = + tienen la misma solución?Ya sabemos que esto pasa si y sólo si + = + .O bien, comenzando de nuevo, ¿por qué no definir la relación en N×N

por( ) ( ) si y sólo si + = +

Una vez demostrado que es una relación de equivalencia, denotando

[( )] = {( ) | ( ) ( )}

podemos pensar que éste es el conjunto de todas las ecuaciones que tienen lamisma solución, y de hecho podríamos identificar [( )] con la solución de = + .

En vista de lo anterior, hacemos la siguiente definición.

Definición 56

1. Un número entero es una clase [( )] definida por:

[( )] = {( ) | ( ) ( )} = {( )

N × N | + = + }




2. El conjunto de los enteros se denota por Z, y por definición,

Z = N × N Á = { [( ) ] | ( ) N × N }

Vamos ahora a definir la suma de los enteros para que parezca más naturalllamarlos “números”.

Supongamos que y que . Escribamos

= + y = +

Sumando, tenemos que + = + + ( + ). Así que + es la soluciónde

+ = + +

(esta ecuación corresponde a la pareja ( + + ). Esto sugiere que sepuede definir la suma de enteros de la manera siguiente:

Definición 57 . Se define a

+ : Z × Z Z, mediante,

[( )]

a

+ [( )] = [( + + )]

(Hay que ver que esta definición es buena).2

2[( )]a+ [( )] = [( + + )] es una buena definición:

Supongamos que [( )] = [( )] y que [( )] = [( )]


[( )]a+ [( )] = [( )]

a+ [( )]

Tenemos que + = + y que + = + .Entonces,

( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + )

es decir,( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + )

es decir,[( + + )] = [( + + )]



4.2. EL ORDEN EN Z 201

Es una consecuencia de la asociatividad de la suma de los naturales, queesta nueva suma también es asociativa.

También debe ser claro que a+ tiene neutro:

[(0 0)] = [( )]

Por otra parte, si sumamos [( )] con [( )], obtenemos

[( + + )] = [(0 0)]

Por lo que decimos que

[( )] es el inverso aditivo de [( )]

y escribimos[( )] = [( )]

4.2 El orden en Z

4.2.1 Los enteros positivos

En Z definimos el orden definiendo la clase P de los positivos:

[( )] P

Donde es el orden en N.Podemos notar que esta es una buena definición. Es decir que si [( )] =

[( )] entonces = Esto se debe a que por una parte+ = + y por otra = + con N \{0} Entonces ++ = +cancelando tenemos que + = es decir que

Observación 47 . Notemos que es una consecuencia de la tricotomía en el orden de los naturales que para cada Z sucede una y sólo una de las siguientes proposiciones:

1. [( )] P .

2. [( )] = [(0 0)] ( = )

3.

[( )]

= [( )]

P .




Así que hacemos la siguiente definición.

[( )]

[( )]

sii[( )]

[( )]

=: [( )]

a

+ (

[( )]) P

Proposición 15 [( )] [( )] [( )]a

+[( )]=[( + +)]P + + en N

De paso notemos que

[( )] P [( )] [(0 0)]

En lo que sigue, para simplificar la notación escribiremos ( ) en lugarde [( )]

Proposición 16 . Z, pasa una y sólo una de las siguientes afirma-ciones:

1. = ( 0), con N+.

2. = (0 0).

3. = (0 ), con N+.

Lo anterior es una consecuencia de la tricomía del orden en N.

Ejercicio 163 . Demuestre la proposición 16.

4.3 Inmersión de los naturales en los enteros

Observación 48 . Notemos que la función

N

N × N Á

7 [( 0)]

es una función inyectiva que respeta la suma, el neutro aditivo y el orden.

Demostración. Inyectividad) Si 6= , entonces [( 0)] 6= [( 0)],pues + 0 6= 0 +

Se respeta la suma) ( + ) = [( + 0)] = [( 0)] + [( 0)].Se respeta el orden) Si entonces [( 0)] [( 0)], pues +0

0 + Por comodidad de notación, denotaremos ( ) = [( )]



4.4. EL PRODUCTO EN Z 203

Observación 49 . La biyección

N ³ n( 0) | No 7 ( 0)

permite identificar los naturales con los enteros no negativos.

Además,( 0)+(0 ) = ( ) = (0 0)

Así que (0 ) es el inverso aditivo de ( 0) y escribiremos

(0 ) = ( 0)

Si son naturales, y (entonces N+ tal que + = ) yconsideramos la ecuación

( 0) = ( 0)+( ) = ( + )

que es equivalente con

+ = + (una de cuyas soluciones es = y = 0), tenemos que

( 0) = ( 0) + (0 )l l l +

y así la ecuación = +

tiene la solución(0 ) = ( 0) en Z

4.4 El producto en Z

Supongamos que tenemos N tales que

= + (4.1)




(es decir que es solución de = + )

= + (4.2)(es decir que es solución de = + ), entonces, multiplicando la primeraecuación por tenemos que

= +

sumando , + = + + (4.3)

notemos ahora que multiplicando 4.2 por , tenemos que = + , susti-

tuyendo en 4.3, + = + (4.4)

sumemos ahora : + + = + + (4.5)

Notemos ahora que

( + )

z}|{

+ = + + = + + (4.6)

de donde + = + + (4.7)

así que es solución de + = + + . Esto sugiere que debemosdefinir

( ) · ( ) = ( + + )

Definición 58

Z×Z · Z³( ) ( )´ 7 ( + + )

Observación 50 . El producto está bien definido.

Demostración. Supongamos que

( ) = ( ) y que ( ) = ( )

Entonces + = + y + = +




Entonces( )( ) = ( + + )

y( )( ) = ( + + )


( + + ) = ( + + )

Es decir queremos demostrar que

+ + + = + + +

Pero

+ + + = + + + + + + + = + + + +

( + ) + + + = + + + +

( + ) + + + = + + + +

( +) + + + = ( + )+ + +

( +) + + + = ( +)+ + +

+ + = + + ( + ) + = ( + ) + ( + ) + = ( + ) + + = ( + )

Observación 51 . En particular, ( 0) · (0 ) = (0 ), (0 ) · (0 ) =

( 0), ( 0) · ( 0) = ( 0). Además, · es conmutativo.

Ahora podemos demostrar las siguientes propiedades del producto de Z.

Proposición 17 . El producto

Z × Z · Z³( ) ( )

´ 7 ( + + )

tiene las siguientes propiedades:




1. Está bien definido.

2. Es asociativo.3. Es conmutativo.

4. Tiene neutro.

5. Los únicos elementos que tienen inverso multiplicativo son 1 y 1

6. El producto se distribuye sobre la suma.

7. Se pueden cancelar factores distintos de cero.

8. Producto de positivos es positivo.

9. La multiplicación por un positivo respeta el orden.

10. La multiplicación por un negativo (es decir el inverso aditivo de unpositivo) invierte el orden.

En adelante suprimiremos el punto para las multiplicaciones y simplifi-caremos el símbolo de suma en Z denotándola con +.

Demostración. 1) Que el producto en Z está bien definido lo acabamosde ver.

2)

( )³

( ) ( )´

= ( )( + + ) =

= ( ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + )) =

= ( + + + + + + )

Por otra parte,³( )( )

´( ) = ( + + )( ) =

= (( + ) + ( + ) ( + ) + ( + ) ) =




= ( + + + + + + )

3) ( )( ) = ( + + ) y ( )( ) = ( + + ).

Así que la conmutatividad del producto de los enteros es una consecuenciade la conmutatividad de las operaciones en N

4) ( )(1 0) = ( + 0 0 + 1) = ( )

5) (1 0) = ( ) ( ) = ( + + )

+ = 1

+ = 0

tomando en cuenta que N, entonces de + = 0, se tiene que = 0 y = 0 Si = 0 entonces = 1. Por lo que = 1 = Así que( ) = (0 1) = 1Z (aquí, 1Z = (1 0)). Si 6= 0 entonces = 0 así que = 1. Por consiguiente, = 1 = De donde se tiene que = 0 + = + = + = 0. Por lo tanto ( ) = (1 0).

6)

( )³( ) + ( )´ = ( )( + + ) =

= ( ( + ) + ( + ) ( + ) + ( + )) =

= ( + + + + + + )

Por otra parte,

( )( ) + ( )( ) = ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) =

= ( + + + + + + )

7) Supongamos que ( )( ) = ( )( ) y que ( ) 6= (0 0) (que es lo

mismo que decir que 6= ).

Entonces ( + + ) = ( + + ), por lo que + +

+ = +++. Como 6= supongamos que (el caso




es simétrico) (En este caso = + N y denotamos = N).Entonces

+ + + = + + + ( ) + ( ) = ( ) + ( ) ( ) ( + ) = ( ) ( + ) + = +

( ) = ( )

8) Si ( ) P ( ) P , entonces Así que ( )( ) =

( + + ) P .Esto último es porque ( + ) ( + ) pues tenemos que

, 0 y + 0

de donde ( + ) ( + )

9) y 10) Son inmediatas.

4.5 El algoritmo de la divisiónDefinición 59 . Si Z,

|| =

½ si > 0 si 0

Teorema 51 . Si Z y 6= 0, entonces ! ( ) Z × Z, 0 ||,tales que

= +

Lo anterior se lee de la manera siguiente: para cada entero y enterodistinto de cero, existen enteros únicos y ( mayor o igual que cero ymenor que el valor absoluto de ) tales que = + .

Demostración. Como la proposición anterior es un poco larga, es mejorescribir el diagrama siguiente:

0



4.5. EL ALGORITMO DE LA DIVISIÓN 209

Consideremos el subconjunto de los enteros

{ | Z}

Por simplificar, denotemos el conjunto anterior, de la siguiente manera:

Z

Primero veremos que en este conjunto hay enteros positivos.Si

Z { Z | 0}

entonces el conjunto de los inversos de estos enteros estaría incluído en {0}, el conjunto de los enteros no negativos. Es decir,

+ Z {0}

Por el principio del buen orden, en + Z habría un elemento menor, = + , digamos. Pero es claro que + ||

.

Entonces en Z existen elementos > 0.Escojamos el menor elemento no negativo de

Z y llamémosle . Entonces

0 =

Si = 0 entonces hemos terminado. Veamos pues, que en el caso de que 0, sucede también que ||. En caso contrario, tendríamos que = > ||, pero en este caso, restando || tenemos que

0 || = ||

Esta contradicción a la elección de , muestra que si 0, entonces ||.Por lo tanto

0 || y = +

como queríamos.Unicidad.Supongamos que = + y que también = 0 +0, con 0 , 0 ||.

Notemos que basta demostrar que = 0, pues en este caso,

+ = 0 + 0

= 0

= 0




Si los enteros , 0 son distintos, uno de ellos tendría que ser el menor.Supongamos sin perder generalidad que

0

Entonces0 0 0 ||

Pero también

0 0 = 0 + = ( 0) = || |( 0)| > ||

La última desigualdad se sigue de que 0 no es 0 así que tiene que ser> 1.

4.6 Divisibilidad y congruencias

En Z se define la resta de la manera siguiente: = + ()

Ejercicio 164 . Muestre que la resta en Z

no es conmutativa, ni asociativa.

4.6.1 Subconjuntos de Z cerrados bajo la resta.

Nos interesan los subconjuntos no vacíos de Z cerrados bajo la resta.

Observación 52 . Si un subconjunto de Z cerrado bajo la resta tiene algún elemento distinto de 0, entonces también tiene un elemento positivo.

Demostración. Sea 6= Z

cerrado bajo la resta.Sea Z \ {0}, entonces 0 = . Por lo tanto =

0 . Como y están ambas en , entonces contiene un elementopositivo.

Observación 53 . Si un subconjunto de Z es cerrado bajo la resta, en-tonces es cerrado bajo la suma.



4.6. DIVISIBILIDAD Y CONGRUENCIAS 211

Demostración. Si es vacío, no hay nada que demostrar. (¿Por qué?).Sea

6=

Z cerrado bajo la resta. Si 1, 2 son elementos de ,

entonces (como se vió arriba) 2 . Así que

1 + 2 = 1 ( 2)

(Note que 2 + 2 = 0 2 = ( 2)).

Ejercicio 165 . Muestre que la operación vacía ( × ) es asocia-tiva.

En lo que sigue haremos uso de la siguientes notaciones:

Notación 6

1. Z = Z =: { | Z} si es un entero.

2. + Z =: { + | Z} Z

3. Z + Z =: { 1 + 2 | 1 2

Z}

Z 1 + 2 se llama una

combinación entera de y

Observación 54 . Si un subconjunto de Z es cerrado bajo la resta, en-tonces cuando todo múltiplo de también está en . Es decir que

Z

Demostración. Sea 6= Z cerrado bajo la resta.Primero veremos, por inducción, que los múltiplos naturales de pertenecen

a Si es un elemento de , entonces (como se vió arriba) 0 .Si , entonces + .Lo anterior muestra por inducción, que un múltiplo natural de x pertenece

a . Por otra parte, el inverso aditivo de un elemento en también pertenecea . Por lo tanto, todos los múltiplos enteros de pertenecen a .

Observación 55 . Si un subconjunto 6= de Z es cerrado bajo la resta,entonces

N tal que =

Z




Demostración. Si = {0}, entonces = 0 Z Si 6= {0}, entonces, como vimos en la observación de arriba, en hay

un elemento positivo. Así que P 6= , donde P denota el conjunto deenteros positivos. Por el principio del Buen Orden, P tiene un elementomenor, al que llamamos Así que y como vimos en la observaciónanterior, Z .

Tomemos ahora un elemento cualquiera de , apliquémosle el algoritmode la división como en el diagrama

0

es decir que = + , o bien, = . Podemos observar que y son dos elementos de , así que también pertenece a .

Si fuera positivo entonces sería menor que el menor positivo de quees

. Por lo tanto = 0, que es lo mismo que decir que = Por lo

tanto Z

Definición 60 . Un subconjunto de Z no vacío y cerrado bajo la resta se llama un ideal de

Z

Ejercicio 166 . Muestre que son equivalentes para Z :

1. es un ideal.

(a) 0 Z

(b) es cerrado bajo la suma.

(c) = Z

Teorema 52 . Si { } es una familia de subconjuntos no vacíos de Zcerrados bajo la resta, entonces { } también es un subconjunto novacío cerrado bajo la resta.

Demostración. De la última observación se sigue que

0

Por lo tanto0

{

}




Ahora, si

{ } entonces

Así que { }

1. De lo anterior se sigue que para cada subconjunto de Z existe un sub-conjunto no vacío de Z cerrado bajo la resta, mínimo con la propiedadde contener a . A saber:

{ | Z 6= cerrado bajo la resta}

2. Notar que Z es un subconjunto de Z cerrado bajo la resta que contienea cualquier Z .

Notación 7 . Por abreviar, escribamos

h i = { | 6= y cerrado bajo la resta }

1. h{2}i = 2 Z

2. h{0}i = 0 Z = {0}.

3. h{}i = h{}i = Z .

4. hi = {0} = 0 Z .

5. h{15 6}i = 3 Z :Es claro que 15 6 3 Z , y es claro que 3 Z es cerrado bajo la resta,por lo tanto h{15 6}i 3 Z . Ahora, todo subconjunto S de Z cerradobajo la resta debe contener a 3 = 15 (2 · 6), y así debe contenertambién a todo múltiplo entero de 3, es decir, 3 Z S . En particular,3 Z h{15 6}i

6. h{ }i = { · 1 + · 2 | 1 2 Z} Es claro que

{ · 1 + ·

2 |

1

2 Z}




es un subconjunto de Z cerrado bajo la resta que contiene a y a .Por lo tanto3

h{ }i { · 1 + · 2 | 1 2 Z}

Por otra parte, un subconjunto cerrado bajo la resta que contenga tantoa como a , debe contener a los múltiplos enteros de cada una y enconsecuencia, debe contener las sumas de ellos. En particular,

{ · 1 + · 2 | 1 2 Z} h{ }i

Por la observación 55,

h{ }i = Z para alguna > 0

Notemos que = 0 = 0 = .

Veremos algunas propiedades de esta en el teorema 53.

Definición 61 . Definimos la relación “ |” en Z por:

|

Z

(Es decir: divide a sii es un múltiplo de ).

Observación 56 . | Z Z

Demostración. =) | = Z pero como Z es un ideal, Z = Z Z

=) Si Z Z entonces = · 1 Z Así que | .

Proposición 18 . La relación “ |” en Z es

1. reflexiva.

2. transitiva.

3. Z (( | ) ( | )) { }

3Recuérdese que como consecuencia de la definición de h i, h i es el menor subconjuntono vacío de

Z cerrado bajo la resta que contiene a ..




Demostración. 1) = 1 · 2) (( | )

( | ))

( =

= ), para algunas

Z Entonces

= = () = ()

por lo que | .3) ( = = Z) = =

Entonces ½ = 0 y entonces = 0 (0 | = 0) Ó

6= 0 en cuyo caso 1 =

En el segundo caso, {1 1} Ya que

1 0

por lo que 0 + 1 1

Por lo tanto 1 Análoga-

mente, se tiene que 1. Como 6= 0 entonces {1 1} Luego

{ }

Ejercicio 167 . Demostrar que la restricción de la relación “ |” a N, es una relación de orden.

Teorema 53 . Si 6= 0 o 6= 0, y h{ }i = Z ( > 0) entonces tiene las siguientes propiedades:

1. 0

2. | | .

3. ( | ) ( | ) | .Demostración. Como 6= 0 y > 0, entonces 0.Ahora, es claro que

Z |

por lo tanto |

Análogamente, |




Ahora,(( | )

( | ))

((

Z)

(

Z))

también,

(( Z) ( Z)) { } Z Z = h{ }i Z Z |

4.6.2 El máximo común divisor

Definición 62 . El entero 0 tal que

Z = Z + Z (4.8)

se llama el máximo común divisor de y

La razón de esta nomenclatura es el teorema 53

Notación 8 . Denotaremos por (; ) al máximo común divisor de y

Notemos que (; ) 0 si 6= 0 ó 6= 0 y que (0; 0) = 0.

Observación 57 . Z Z tales que (; ) = +

Basta ver la ecuación 4.8, para convencerse.

Definición 63 . Se dice que son primos relativos si (; ) = 1

Observación 58 . son primos relativos si y sólo si Z tales que + = 1.

Demostración. ) Se sigue de la observación previa.) Si + = 1 entonces Z = + Z +m Z Por lo tanto

1 Z = Z = Z + Z




Teorema 54 . Sean Z . Si | y (; ) = 1 entonces | .

Demostración. Escribamos1 = +

entonces = +

como | , entonces = para algún Z . Entonces

= + = + = ( + )

Teorema 55 . Sean Z . Si

1. | | y

2. (; ) = 1

entonces | .Demostración. Escribamos

1 = +

entonces = +

Podemos escribir = 0 = 00 sustituyendo, obtenemos

= 00 + 0 = (00 + 0)

Ejercicio 168 . Encuentre:

1. (121; 33)

2. (78696; 19332)

Ejercicio 169 . Muestre que dos enteros consecutivos son primos relativos.

Ejercicio 170 . Muestre que si (; ) = 1 entonces (; ) = 1

N




4.6.3 El mínimo común múltiplo

Como hemos notado antes, la intersección de subconjuntos de Z cerradosbajo la resta es también cerrada bajo la resta. En particular, si , Z ,tenemos que Z Z = Z , para algún entero que se puede tomar > 0.Si y son cero, entonces = 0. Si alguna de y no es cero, entonces 0. Así que tiene las siguientes propiedades:

Observación 59 . Si 6= 0 o 6= 0, y Z Z = Z , > 0, entonces

• 0.

• es un múltiplo común de y de : | y | (es decir, Zy Z).

• es un mínimo múltiplo común de y de es decir que además deque es un múltiplo común de y de :

[ | y | ] |

Demostración. El primer inciso es claro. Para el segundo, nótese nadamás que

Z = Z Z

Para el tercero:( | y | )

equivale a Z Z = Z

Por lo tanto | .Denotando con [; ] al mínimo común múltiplo de y , podemos escribir

el resultado anterior como Z Z = [; ] Z

Lema 9 . La relación “ |” es una relación de orden en Z+ {0}

Demostración. Tenemos que ver que “|” es reflexiva, antisimétrica ytransitiva.

Reflexividad)

Z

,

Z

+

{0}




Transitividad)

( | ) ( | ) ( Z) ( Z) Z Z Z |

Antisimetría) Si Z+ {0}, | y | , entonces = :

= 1 = 2 = 2 1

1 = 2 1 1 {1 1}

Por lo tanto = ó = . Pero Z+ {0} =

Definición 64 . Z Z := { 1 2 | 1 2 Z}

Lema 10 . Z Z = Z

Demostración. Notemos que Z Zcontiene a y es cerrado bajo laresta, por lo que es un ideal y además Z Z Z

Recíprocamente, 1 2 = ( 1 2) Z .En vista de lo anterior, el producto de dos ideales es un ideal.

Lema 11 . Z ( Z + Z) = Z Z + Z Z.

Demostración. )4

Z ( Z + Z) = Z ((; ) Z) =

= (; ) Z = ( + ) Z =

= ( + ) Z Z + Z =

= Z Z + Z Z Z Z + Z Z

) Z Z Z ( Z + Z)

4Recuérdese que (; )

Z

+ Z




puesto que Z

( Z + Z)

También Z Z Z ( Z + Z)

pues Z ( Z + Z)

es cerrado bajo la suma, así que

Z Z + Z Z Z ( Z + Z)

Teorema 56 . Si 0, , son enteros, entonces (; ) = (; )

Demostración.

(; ) Z = Z (; ) Z =

= Z ((; ) Z) = Z ( Z + Z) =

= Z Z + Z Z = Z + Z =

= (; ) Z

Por lo tanto (; ) | (; )

y recíprocamente.Como (; ) y (; ) son no negativos, entonces

(; ) = (; )

Teorema 57 . Z ( Z Z) = Z Z Z Z.

Demostración. Es claro que 0 pertenece a los dos conjuntos de laecuación.

) Supongamos que para 2 3 Z se tiene que 2 = 3 y supongamosque 1 Z entonces

1

2 =

1

3

Z

Z

Z

Z




) Tomemos un elemento distinto de 0 en Z Z Z Z Digamos quetomamos

1 2 = 3 4 6= 0

entonces 6= 0 así que cancelando, obtenemos

1 2 = 3 4 ( Z Z)

así que 1 2 = 3 4 ( Z Z) Z ( Z Z)

Lema 12 . Si 0, , son enteros, entonces [; ] = [; ].

Demostración. [; ] Z = Z Z = Z ( Z Z) = Z ([; ] Z) =( [; ]) Z .

Observación 60

x | y x | y x | y x | y

Demostración. = () ( ) = () ( ) = () ( ) = .

Como consecuencia de lo anterior, tenemos que el conjunto de divisores(y de múltiplos) de coincide con el de . En particular, podemos hacerla siguiente observación.

Observación 61

(; ) = (; ) = (; ) = (; )

y también [; ] = [; ] = [; ] = [; ]

Notemos que si 6= 0 y | entonces = para alguna única Z .Pues = = 6= 0 = 6= 0 y así =

Por esta razón podemos denotar =

al único entero con la propiedad

de que = (Cuando | y 6= 0).

Teorema 58 . (; ) [; ] =




Demostración. Si = 0 ó = 0, entonces [; ] = 0 = .Supongamos entonces que 6= 0 y 6= 0.

Por la observación 61 podemos suponer que 0 y 0.Como | (; ) [; ]

[; ] | (; )

[; ] | y

[; ] | ( | [; ]

y | [; ]) ( | [; ] y | [; ]).

Por lo tanto tenemos que | (; ) [; ] o lo que es lo mismo: (; ) [; ] Z Z

Por otra parte, como (; ) | , digamos que = (; ) 1 (y que =

(; ) 1).Entonces = (; ) 1 (; ) 1

así que podemos denotar

(; ) = 1 (; ) 1 = 1 = 1

Como se ve,

(; )

es un múltiplo común de y de , por lo tanto también

es múltiplo de [; ]. Así que Z , 0 tal que

(; ) = [; ]

Multiplicando por (; ), tenemos que

= [; ] (; ) Z

(pues como vimos arriba, (; ) [; ] Z). Así,

= = 1 = 1 = [; ] (; )

Observación 62

( Z + Z) + Z = Z + ( Z + Z) = ( Z + Z) + Z

Por lo tanto((; ) ; ) = (; (; )) = ((; ) ; )

Así que denotaremos a este número (; ; ).




Ejercicio 171 . Demostrar que (; ; ) es el mayor divisor común de .

Ejercicio 172 . Tomando = 6 = 10 = 30, compruebe que ((; ) ; ) =(; (; )) = ((; ) ; ).

Observación 63

( Z Z) Z = Z ( Z Z) = ( Z Z) Z

Por lo tanto[[; ] ; ] = [; [; ]] = [[; ] ; ]

Así que denotaremos a este número[; ; ]

Teorema 59 (Propiedad modular). Si Z Z, entonces

Z ( Z + Z) = Z + ( Z Z)

Demostración. )

Z Z y Z Z + Z Por lo tanto

Z Z ( Z + Z)

También Z Z Z y Z Z ( Z + Z)

así que Z Z Z ( Z + Z)

Entonces Z + ( Z Z) Z ( Z + Z)

)Si 1 = 2 + 3, entonces

3 = 1 2 Z + Z = Z

Por lo tanto 3 Z Z , y entonces

1

= 2 +

3

Z + (

Z

Z)




Además, como caso particular tenemos que

( Z + Z) ( Z + Z) = Z + (( Z + Z) Z)

Esto se sigue de que Z + Z = (; ) Z y de que Z (; ) Z .

Teorema 60 . (; [; ]) = [(; ) ; (; )] (Calcular un máximo común divi-sor se distribuye sobre un mínimo común múltiplo).

Demostración. (; [; ]) Z = Z + [; ] Z = Z + ( Z Z)

Si pudiéramos demostrar que Z + ( Z Z) = ( Z + Z) ( Z + Z)

habríamos terminado porque

( Z + Z) ( Z + Z) = (; ) Z (; ) Z = [(; ) ; (; )] Z

Veamos entonces que

Z + ( Z Z) = ( Z + Z) ( Z + Z) :

)Supongamos que

2 = 3, entonces

1 + 2 = 1 + 3 ( Z + Z) ( Z + Z)

)

( Z + Z) ( Z + Z) == (; ) Z ( Z + Z) =

= Z + ((; ) Z Z) =

= Z + [(; ) ; ] Z

5Basta demostrar que

[(; ) ; ] Z + ( Z Z) = Z + ([; ] Z)

5Se usó la observación previa al enunciado de este Teorema.




Recuérdese que el máximo común divisor de dos número es una combinaciónentera de ellos.

Podemos escribir que

[(; ) ; ] =

((; ) ; ) +

((; ) ; )

Observemos ahora que

((; ) ; ) es un múltiplo común de y de , y entonces

también lo es de [; ] Entonces

((; ) ; )

= [; ]

para algún entero . Por lo tanto

[(; ) ; ] =

µ

((; ) ; )

¶+ [; ]

Ahora es fácil demostrar el siguiente teorema.

Teorema 61 . [; (; )] = ([; ] ; [; ]) (Calcular un mínimo común múlti-

plo se distribuye sobre un máximo común divisor).

Demostración. Es claro que | [; ] y | [; ].Por lo tanto

| ([; ] ; [; ])

También(; ) | [; ] y (; ) | [; ]

por lo que

(; ) | ([; ] ; [; ]) Como ([; ] ; [; ]) es un múltiplo común de y de (; ) entonces

[; (; )] | ([; ] ; [; ])

Para demostrar el recíproco, basta ver que

[; (; )] ([; ] ; [; ]) Z =

= [; ] Z + [; ] Z =

= (Z

Z

) + (Z

Z

)




Pero[; (; )] (; ; ) = (; ) = ( + ) = +

Entonces[; (; )] =

(; ; ) +

(; ; )

Es claro que

(; ; ) =

µ

(; ; )

¶ =

µ

(; ; )

¶ Z Z

mientras que

(; ; ) Z Z

4.7 El Teorema fundamental de la Aritmética

Definición 65 . Decimos que Z es primo si tiene exactamente cuatrodivisores.

Observación 64 . 1 (y 1) sólo tiene los divisores 1 y 1:

Demostración. 1 = 1 = | | ||, con | | || > 1

Si | | 1, entonces 1 = | | || || > 1

.

Por lo tanto | | = 1

Observación 65 . En vista de lo anterior, 1 no es primo, ya que sólo tiene

dos divisores: 1 1.Observación 66 . Notemos que si es un primo entonces sus cuatro divi-sores tienen que ser necesariamente 1 1, y :

Demostración. Si fuera primo, y 1 1 y no fueran cuatrodivisores de , sería porque = 1 ó = 1, ninguno de los cuales es primo.

Notación 9 . Denotemos por el conjunto de enteros primos.



4.7. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA 227

Notemos que si , entonces 6= 1 como vimos en el argumento dearriba.

Nótese que 0 tampoco es primo pues 0 tiene una infinidad de divisores

( | 0 Z)

En cambio, 2 es primo (ejercicio), 3 es primo, 5 es primo.En este momento se puede preguntar uno lo siguiente: ¿Cuántos primos

hay? ¿Un número infinito o finito?Para responder esta pregunta, haremos algunas observaciones.

• Si es un número primo y Z , entonces ( ; ) {1 }.Esto se sigue de que ( ; ) es uno de los cuatro divisores de y de que

( ; ) 0.

• Si es un número primo y - Z , entonces ( ; ) = 1

Es claro, por el inciso anterior.

Observación 67 . Si

y | ,

Z, entonces | ó | .

Demostración. Supongamos que y | . Si - , entonces porla observación anterior, ( ; ) = 1. Por lo tanto (teorema 54) | .

Observación 68 . Si = , Z, y 0, entonces = 1 ó = .

Demostración. Como | , entonces ( ; ) = .6 Pero un divisorpositivo de es 1 ó . Por lo tanto = 1 ó = .

Teorema 62 (Fundamental de la Aritmética) . Si a

Z+ 1, en-tonces ! N, ! 1 2 . Tales que = 1 · 2 · · .

Demostración. Existencia.Por inducción sobre .Base.Si = 2, entonces = 1 y

{ 1} = {2}

6Como |

Z

Z

, tenemos que Z

+ Z

Z

+ Z

= Z




Paso inductivo.Supongamos ahora que 2, y suponemos que la afirmación es cierta

para todos los enteros mayores que 1 menores que Si , entonces = 1 y

{ 1} = {}

Si no es un primo, entonces, como es mayor que 1, entonces tiene losdivisores 1 1 y algún otro, digamos, que podemos suponer positivo( también es divisor de ) y que es distinto de 1 y de .

Así pues, = , con 0, dado que y son positivos.

Como no es , entonces no es 1. Por lo tanto > 2 Entonces ([ > y > 2] = > 2

) y también .

Podemos aplicar la hipótesis de inducción a y para concluir que ambosse factorizan como producto de primos. Así que también se factoriza comoproducto de primos.

Unicidad) Supongamos que hay un entero positivo que se factoriza comoproducto de primos de dos maneras distintas. Entonces el conjunto

{ Z

| 1, a tiene dos factorizaciones en primos} 6=

por lo tanto (principio del buen orden) tendría un elemento menor, dig-amos. Entonces = 1 · 2 · · = 1 · 2 · · , con 6= o con 1 2 6= 1 2 , donde suponemos que las y las se escriben enorden no decreciente.

Como 1 | 1 · 2 · ·

entonces 1 | 1 ó ( 1 1) = 1

Ahora, ½ 1 | 1 1 = 1 y

( 1 1) = 1 1 | 2 · ·

7Así que ½ 1 = 1 o

1 | 2 · ·

7Un divisor de un primo es 1 o es el primo . Por lo tanto 1 es 1 o 1. Pero 1 6= 1,pues 1 es primo.



4.7. EL TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA 229

Repitiendo el argumento, tenemos que

1 = 1 o 1 = 2 o

1 | 3 · ·

Al final podemos escribir que

1 = 1 o 1 = 2 o 1 = 3 oo 1 =

Así que 1 es uno de los factores primos en 1 · 2 · · , digamos que 1 = .Por simetría, 1 = Ahora,

1

= 1

Así que 1 = 1 y cancelando en las factorizaciones de , tenemos que

2 · · = 2 · ·

son dos factorizaciones de

1 . Por la elección de , tenemos que

=

y que 2 = 2 3 = 3 =

Además 1 = 1

Contradiciendo que teníamos dos factorizaciones distintas de

Ejercicio 173 . Encuentre la factorización en primos de

1. 100

2. 130

3. 1960.

4. 109.

5. 713.

Ejercicio 174 . Encuentre los conjuntos de divisores positivos para cada número en el ejercicio anterior.

Ejercicio 175 . Hallar el menor múltiplo positivo de 945 que sea un cuadra-do.

Ejercicio 176 . Hallar el número de divisores de 2160 y calcular su suma.




4.7.1 El conjunto de primos es infinito

Teorema 63 . El conjunto de primos es infinito.Demostración. Sean 1 2, los primeros primos y consideremos

el número 1 · 2 · · + 1

notemos que este número no es divisible por ninguno de los primos

1 2

lo que muestra que - 1 · 2 · · + 1

8 Por el teorema fundamental de la Aritmética,

1 · 2 · · + 1

tiene un divisor primo diferente de los de la lista

1 2

Esto muestra que hay más de primos (cualquiera que sea ). Por lo tanto,el número de primos es infinito.

Ejercicio 177 . Muestre que si es un entero mayor que 1 no es un primo,entonces existe un primo positivo tal que 2

Ejercicio 178 . Determine cuáles de los siguientes números son primos:

1. 503.

2. 943.

3. 1511.

8Note que 2

1 1 2 + 11

y

1 1 2 + 10

no pueden ocurrir simultánemente, por la unicidad en el

Teorema 51, en la página 208 (Algoritmo de la división).



4.8. EL ALGORITMO DE EUCLIDES 231

4. 213 1

5. 899.Ejercicio 179 . Demuestre que el único conjunto de 3 impares positivos consecutivos primos es {3 5 7}

1. Demostrar que si 2 1 es primo, con N entonces es impar o es 2.

2. Demostrar que si 2 1 es primo, con N entonces es un primo.

Ejercicio 180 . Demuestre que si es un número natural y 2 + 1 es un primo, entonces tiene que ser una potencia de 2

Ejercicio 181 . Demostrar que si 2 existe primo tal que !

Ejercicio 182 . Demostrar que ningún primo de la forma 4 + 3 es suma de dos cuadrados. (Sugerencia: escriba los cuadrados de Z4)

Ejercicio 183 . 22 + 1 =: se llama el ésimo número de Fermat.

1. Demuestre que ( ; ) = 1 si 6=

2. Use lo anterior para deducir que hay una infinidad de primos. (Re-cuerde el Teorema fundamental de la Aritmética).

4.8 El algoritmo de Euclides

Veamos ahora como calcular el máximo común divisor de dos enteros. Por las

observaciones anteriores, podemos suponer que ambos enteros son positivos, y , digamos.

Lema 13 . Si = + , entonces (; ) = (; )

Demostración.

(; ) Z = Z + Z =

= ( + ) Z + Z Z + Z + Z = Z + Z =

= Z

+ (

)Z

Z

+ Z

= (; )Z




Por lo tanto Z + Z = (; ) Z

Por lo que(; ) Z = Z + Z = (; ) Z

Teorema 64 (Algoritmo de Euclides). Sean 0. Considere la situación,

1

1 0 1

entonces 1 = 1.

Teorema 65 . Si 1 0, hágase la división

21

2 0 2 1

si 2 0, hágase la división 3

2 1

3 0 3 2

continúese de esta manera para obtener una sucesión,

1 2 3 0

Entonces (; ) es el último residuo distinto de cero en la sucesión anterior.

Demostración. Por definición,

+2

+1

+2 0 +2 +1

Así que(

;

+1) = (

+1;

+2)



4.8. EL ALGORITMO DE EUCLIDES 233

Por lo tanto

(; ) = (; 1) = (1; 2) = = (; +1) = (+1; +2) = = (; 0)

Aquí hay que notar que la sucesión

1 2 3

termina (por el principio del buen orden) y termina en 0.Ahora sólo resta notar que si es el último residuo 6= 0, entonces

(; 0) =

Definición 66 . si Z

(Se lee: es congruente con módulo ).

Teorema 66 .

es una relación de equivalencia en Z.

Demostración. Reflexividad)

, pues = 0 Z .Simetría)

Z ( ) Z Z

Transitividad)

( Z y Z) (( ) + ( ) Z) ( Z)




Observación 69 . Si denotamos [], la clase de equivalencia de , en-tonces

[] =n

Z |

o = { Z | Z} =

= { Z | = p. a. Z} = { + | Z} == + Z

Observación 70 . En la situación

0

tenemos que = + , por lo que Z. Así que .

Es decir, un entero es congruente módulo con el residuo que deja al serdividido entre .

4.9 El anillo de los enteros módulo n

Como consecuencia de la observación anterior, tenemos para el conjunto declases de congruencia:

Z Á = {[0] [1] [ 1]}

Como la notación Z Á es algo aparatosa, escribiremos simplemente Z .(Note que se usa aquí como subíndice, no confundir con Z , el conjuntode múltiplos de ).

Enseguida dotamos a Z de suma y de producto.

Definición 67

1. Z × Z + Z se define por [] + []

= [ + ]

2. Z × Z · Z se define por [] · []

= [ · ].

Veamos que las definiciones anteriores son buenas, en el sentido de queno dependen de los representantes escogidos en las clases de congruencia.



4.9. EL ANILLO DE LOS ENTEROS MÓDULO N 235

Demostración. Buena definición de + :

Z Z + Z + ( + ) Z +

+ [ + ] = [ + ]

Buena definición de · :

Z Z · ( ) Z

y

· ( ) Z

·

· + ·

·

Z

· · Z ·

·

Es fácil ver que las operaciones que hemos definido son asociativas, con-mutativas y con neutros respectivos: [0], [1]

Cada elemento []de Z tiene inverso aditivo: []

Además el producto se distribuye sobre la suma:

[] · ([] + []) = [] · ([ + ]) =

= [ · ( + )] =

= [ + ] =

= [] + [] =

= [] [] + [] []

Así que(Z

+ · [0]

[1]

) es un anillo.




Ver nota en la página 197.Veamos ahora cuáles son los elementos invertibles (bajo el producto) de

Z Estos elementos también se conocen como unidades.

Teorema 67 . [] es una unidad de Z si y sólo si (; ) = 1.

Demostración. )Si [] es inverso multiplicativo de [] , entonces

[1] = [] · [] = []

así que

1, es decir, 1 Z Entonces 1 = Z

Luego,

1 = + Z + Z Z = Z + Z = (; ) Z

Por lo que (; ) = 1.)

(; ) = 1 1 = + [1] = [ + ] =

= [] + [ ] =

= [] [] + [] [ ] =

= [] [] + [0] [ ] =

= [] [] + [0 ] =

= [] []

Es decir, [] es una unidad.El conjunto de unidades de Z se suele denotar Z ·

Teorema 68 . Z es un campo si y sólo si es un primo.

Demostración. Como Z es un anillo conmutativo, Z es un camposi y sólo si Z ·

= Z r {[0]} (es decir si todo elemento distinto de 0 tieneinverso multiplicativo).




Esto sucede si y sólo si [] es una unidad, para toda [] 6= [0] es decir,si y sólo si (; ) = 1

{1

1} Lo anterior sucede si y sólo si los

unicos divisores positivos de son 1 y es decir si y sólo si es un primo.

Ejemplo 102 . Z17 es un campo porque 17 es primo. El inverso multiplica-tivo de [12]17 se puede encontrar expresando 1 como combinación entera de 12 y 17 (usando el Algoritmo de Euclides).

1 2 2 12 17 5 12 2 5

5 2 1

entonces

1 = 5 2 · 2 = 5 2 · (12 (5 · 2)) =

= 5 · 5 2 · 12 = 5 · (17 12) 2 · 12 =

= 17 · 5 7 · 12

tomando residuos módulo 17 tenemos que el inverso de [12]17 es

[7]17 = [10]17 Note que en efecto 12 · 10

17

1 :7

17 1201

Ejercicio 184 . Escriba las tablas para las operaciones en Z2 Z3 Z 4 Z5

Ejercicio 185 . Encuentre los inversos multiplicativos de los eleemntos dis-

tintos de 0 en Z7 Ejercicio 186 . Encuentre las unidades de Z 18, encuentre un elemento nonulo que no tenga inverso multiplicativo.

Definición 68

N ( N ) = { : N N | ( ) es finito}

Donde ( ) = {

N | () 6= 0}




Entonces N( N ) es el conjunto de las sucesiones de naturales casi nulas(las sucesiones que eventualmente se anulan).

Definición 69 . Definiremos ¹ en N ( N )por ¹ sii () () N.

Ejercicio 187 . Demostrar que ¹ es reflexiva antisimétrica y transitiva.Es decir, ¹ es una relación de orden en N ( N ).

Como el conjunto de primos positivos es infinito, pero es un subconjuntode N+, podemos numerarlos: 2 3 5 7 11 ... Digamos que 0 = 2 1 =3

2 = 5, ... etc.

Ahora podemos definir

N ( N ) N+

7 (0)0

(1)1

(2)2

Por ejemplo, consideremos

: 2 3 0 5 7 0 0

(la barra sobre 0 indica que este se repite a partir de ahí) Entonces

( ) = 22 · 33 · 50 · 75 · 117 · 130 · 170 N+

El Teorema fundamental de la Aritmética nos garantiza que es suprayec-tiva, y la unicidad de la factorización nos dice que es inyectiva. Es decir es una biyección con inverso 1.

Además, ¹

( ) | ()

De aquí se siguen las dos afirmaciones que dejamos como ejercicios allector:

Ejercicio 188 . Sean N+ demostrar que (; ) = (1 () 1 ()) (Recordar la definición de en la página 91).

Ejercicio 189 . Sean N+ demostrar que (; ) = (1 () 1 ()) (Recordar la definición de

en la página 91).




Ejemplo 103 . Sean

= 23325273 = 617400 = 22355172 = 238140

entonces, según el ejercicio 188,

(; ) = ¡

1 () 1 ()¢

=

= ¡

1¡

23325273¢ 1

¡22355172

¢¢ =

= ((3 2 2 3 0 0) (2 5 1 2 0 0)) =

= ((2 2 1 2 0 0)) = 2

2

3

2

5

1

7

2

= 8820Comprobémoslo usando el algoritmo de Euclides:

2238140 617400

141120

1141120 238140

97020

197020 141120

44100

244100 97020

8820

58820 441000

Ejercicio 190 . Encuentre el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de los siguientes conjuntos:

1. {20 15 22 10}

2. {168 842 252}




4.10 Congruencias

Consideremos la congruencia

(4.9)

El conjunto de todas las soluciones de esta congruencia, es decir el conjuntode todos los enteros que son congruentes con módulo es

{ + | Z} = + Z

Consideremos ahora

(4.10)

Esta congruencia tiene solución si y sólo si

Z tal que sii Z sii + Z

+ Z Z + Z = (; ) Z (; ) |

Ahora, supongamos que en efecto (; ) | y tratemos de resolver .

Escribamos de nuevo esta congruencia en la forma equivalente

= Z

Como (; ) divide a y , entonces podemos escribir

(Á (; )) Á (; ) = (Á (; )) Z (4.11)

que se transforma fácilmente en

(Á (; )) Á(;) Á (; ) (4.12)

Notemos ahora lo siguiente:(Á (; )) (Á (; )) (4.13)

son primos relativos:

(; ) ((Á (; ) ) ; (Á (; ))) = (; ) · 1

así que cancelando (; ), obtenemos

((Á

(; ) ) ; (Á

(; ))) = 1



4.10. CONGRUENCIAS 241

En esta situación, (Á (; )) es una unidad en Z (Á(;))9 y por lo tanto

Z tal que (Á (; ))

Á(;)

1. Por lo tanto obtenemos la congruencia

Á(;) (Á (; )) (4.14)

que tiene las soluciones (Á (; )) + (Á (; )) , Z .Desde luego, todas estas son soluciones de nuestra congruencia original

(4.15)

Pero las soluciones para = 0 1 (; )

1 son incongruentes (no son

congruentes) módulo . La solución para = (; ) es congruente módulo con la que corresponde a = 0. En resumen, escribimos las observacionesanteriores en el siguiente teorema.

Teorema 69 . La congruencia

(4.16)

tiene solución si y sólo si (; ) | . En este caso hay (; ) soluciones

incongruentes módulo , y las soluciones son

= (Á (; )) + (Á (; )) {0 1 (; ) 1}

donde la clase de en Z (Á(;)) es un inverso de la clase de (Á (; )) (en Z (Á(;)))

Ejemplo 104 . La congruencia

15

18

9 (4.17)tiene solución pues

(15; 18) = 3 | 9

Además debe tener 3 soluciones incongruentes módulo 18. En efecto:

15 18 9 (4.18)

9Estrictamente, lo que es una unidad en Z (Á(;)) es la clase de congruencia de

Á(; ) módulo

Á(; ).




es equivalente (tiene las mismas soluciones) que

5 6

3 (4.19)

Como 1 = 6 5, vemos que 1 es un inverso de 5 en Z 6, así que multipli-cando por 1 la congruencia anterior, obtenemos

6 3 (4.20)

de donde obtenemos las soluciones = 3 = 3 = 9La siguiente solución es = 15 pero 15 ya es congruente con 3 módulo 18.

En efecto, 15 (3) = 45 45 9 = 54 = 3 · 18

Y por último,15(3) = 4545 9 = 36 = 2 · 18

Otro ejemplo:

Ejemplo 105

423·5·7 63

tiene solución, pues (42;3 · 5 · 7) = 3 · 7 | 63, además tiene 21 soluciones incongruentes módulo 3 · 5 · 7 = 105En efecto,

42 3·5·7 63

tiene las mismas soluciones que

2 5 3

Multiplicando por 3 esta congruencia, obtenemos

5 9 5 4

Así que las soluciones buscadas son

= 4 + 5 {0 20}

Por ejemplo, tomemos = 17, entonces

= 4 + 5 · 17 = 89



4.11. SISTEMAS DE CONGRUENCIAS 243

Ahora 42 · 89 = 3738 y 3738 3·5·7 63 Es decir, (3738 63) = 35 · (3 · 5 · 7), y

así 3738

3·5·7

63.Si tomamos = 13, entonces

= 4 + 5 · 13 = 69; 42 · 69 = 2898; 2898 63 = 2835; 2835(3 · 5 · 7) = 27

Por lo que 2898 63 = (3 · 5 · 7) · 27, es decir, 2898 3·5·7 63.

Ejercicio 191 . Demostrar que todo entero es congruente módulo 7 con un número en el siguiente conjunto:{191 7 54 31 36 20 765}

Ejercicio 192 . Demostrar que todo primo mayor que 5 es de la forma 30 + con {1 7 11 13 17 19 23 29}

Ejercicio 193 . Muestre que si entonces (; ) = (; )

Ejercicio 194 . Encuentre el residuo de las siguientes divisiones:

1. 15 + 25 + + 10805 dividido entre 7

2. 1! + 2! + 3! + + (1010)! dividido entre 24

3.µ 3

3

¶+µ 4

3

¶+µ 5

3

¶+ +

µ 1023

¶ dividido entre 7

4.11 Sistemas de congruencias

Podemos tratar de encontrar las soluciones de un sistema de congruenciascomo

(4.21)

es decir, queremos saber cuando existe una solución de la primera congruenciaque resuelva también la segunda.

Como las soluciones de la primera congruencia son los enteros en + Z es decir los enteros = + , veamos cuando sucede que una de estassoluciones resuelve la segunda congruencia:

+

(4.22)




Esta congruencia tiene las mismas soluciones que la congruencia

(4.23)Ya sabemos que esta última congruencia tiene solución si y sólo si (; ) |( ), y además tiene las siguientes (; ) soluciones incongruentes módulo:

= (( ) (; )) + ( (; ))

donde es un inverso multiplicativo de (; ) módulo (; ) y seescoge {0 1 (; ) 1}.

Sustituyendo estas soluciones para en 4.22 obtenemos las soluciones

comunes.

Ejemplo 106 . Resolver

3 45 12 (4.24)

5 7 2

El sistema de congruencias anterior tiene el mismo conjunto de soluciones que

15 4 (4.25)

5 7 2

5 que es el coeficiente de x en la segunda congruencia, es una unidad en Z7:1 = 3 · 5 2 · 7. De donde vemos que 3 es inverso de 5 módulo 7 Así, que multiplicando la segunda congruencia en 4.25 por 3, obtenemos el sistema

15

4 (4.26)

7 6

La solución de la primera congruencia es

= 4 + 15 Z (4.27)

ahora veamos cuales de estas soluciones resuelven también la segunda con-gruencia, es decir, resolvamos

4 + 15 7

6 (4.28)




que equivale a 15 7 6 4.

Como 15

7

1, obtenemos la congruencia equivalente

7

2, cuyas soluciones son = 2 + 7, Z. Sustituyendo en 4.27 obtenemos

= 4 + 15 (2 + 7) Z

Es decir, = 34 + 105 Z

o bien,

105

34

En efecto,

34 15 4 (4.29)

34 7 6

Otro ejemplo:

Ejemplo 107

3 6 9 (4.30)

10 35 45

es equivalente con

2 3 (4.31)

2 7

9

que se obtuvo al dividir la primera congruencia entre 3 = (3; 6) y la segunda entre 5 = (10; 35).

La primera congruencia equivale a 2 1, y como 4 es inverso multiplicativo

de 2 módulo 7, si multiplicamos por 4 la segunda congruencia y después reducimos módulo 7, obtenemos

7

36

7

1




Entonces 4.30 es equivalente con

2

1 (4.32)

7 1

Es claro que 1 es una solución de ambas congruencias. Si s fuera otra solu-ción, entonces

2 1 (4.33)

7 1

por lo que 2 | 1 y 7 | 1. Entonces (puesto que 2 y 7 son primos relativos) 14 | 1 es decir,

14 1

nos da todas las soluciones del sistema 4.30, así que el conjunto de soluciones de 4.30 es 1 + 14 Z.Tomemos, por ejemplo, = 7, entonces 1 + 14 · (7) = 97. Así que 97debe ser solución de

3 6

9 (4.34)

10 35 45

3 (97) = 291,291 9 = 300 = 50 · 6.Entonces 97 resuelve la primera congruencia.Ahora, 10 (97) = 970.970 45 = 35 · (29) = 1015. Por lo tanto 97 resuelve también la segunda congruencia.

Podemos resumir la discusión anterior en el siguiente teorema.

Teorema 70 .

1. El sistema de congruencias

(4.35)

tiene solución si y sólo si (; ) |




2. El sistema de congruencias

(4.36)

tiene solución si cada una de las congruencias tiene solución, y si elsistema resultante al dividir la primera congruencia entre (; ) y lasegunda entre (; ) el sistema resultante tiene solución.

Es decir,

tiene solución

( (; )) (;) (; )

( (; )) (;)

(; )

tiene solución

(;) ( (; ))

(;) ( (; ))

tiene solución, (donde es inverso de ( (; ))

en Z(;) y es inverso de ( (; )) en Z(;))

( (; ) ; (; )) | ( ( (; )) ( (; ))) (donde es inverso

de ( (; )) en y es inverso de ( (; )) en Z(;)).

Debemos aclarar aquí que la última condición, aunque correcta, se escribeúnicamente por completar la caracterización. No se pretende ni se recomien-da que se aprenda de memoria, pues siempre es mucho más fácil proceder apartir del sistema original,

(4.37)

simplificándolo, a un sistema donde los coeficientes de sean 1, y una vezhecho esto ya es inmediata la solución del sistema.

4.11.1 El Teorema chino del residuo

Teorema 71 . El sistema de congruencias

1 1

2 2

...

(4.38)




tiene solución si y sólo si cada par de congruencias tiene solución común, es decir, si y sólo si

(; ) | ( ) {1 · · · } (4.39)

Además, cuando el sistema tiene solución, entonces todas las soluciones son congruentes módulo [1; 2; · · · ; ].

Demostración. ) En este sentido de la demostración, veremos que sise cumple la condición 4.39, entonces el sistema tiene solución y que ademástodas las soluciones son congruentes módulo [1; 2; · · · ; ].

Por inducción sobre , el número de congruencias.Base. Si = 1, no hay nada que demostrar, y para = 2, tenemos que(1; 2) | 1 2 y el sistema

1 1

2 2

tiene solución por el teorema 70, resta ver que dos soluciones son congruentesmod [1; 2] Si son soluciones, entonces 1 1 Z , 1 1 Z 2 2 Z , 2 2 Z luego

= ( 1) ( 1) 1 Z y

= ( 2) ( 2) 2 Z

Por lo tanto ( ) 1 Z 2 Z = [1; 2] Z es decir que [1;2] .

Paso inductivo. Supongamos que 2, y que la afirmación se cumplepara sistemas de congruencias con 1 congruencias. Notemos que la condi-ción 4.39 se cumple para las primeras 1 congruencias, si se cumple para

todas.Por hipótesis de inducción, supondremos que hay una solución del sis-tema de las 1 primeras congruencias y que las demás soluciones soncongruentes módulo [1; 2; · · · ; 1], así que el sistema

1 1

2 2

...

1

1

(4.40)




Notemos que este sistema se puede resolver: la primera congruencia (es com-patible con la segunda, es decir, se pueden resolver simultáneamente) pues ¡

2 · 3 · 5 · 7; 22 · 5¢

= 10 divide a 14 24 = 10

La primera congruencia es compatible con la tercera pues (2 · 3 · 5 · 7;25 · 3) =15 divide a 14 29 = 15. La primera congruencia es compatible con la última pues (2 · 3 · 5 · 7; 9 · 5) = 15 que divide a 14 44 = 30

Compatibilidad de lasegunda con tercera: (22 · 5;25 · 3) = 5 | 24 29 = 5segunda con cuarta: (22 · 5; 9 · 5) = 5 | 24

44 =

20

tercera con cuarta: (25 · 3; 9 · 5) = 15 | 29 44 = 15Consideremos el sistema de las dos primeras congruencias:

2·3·5·7 14

22·5 24

Encontrémosle una solución particular: todas las soluciones de la primeracongruencia son de la forma 14 + (2 · 3 · 5 · 7) Z (esto es lo mismoque decir que el conjunto de soluciones de la primera congruencia es 14 +

(2 · 3 · 5 · 7) Z ). Alguna de estas soluciones resuelve también la segunda:

= 14 + 210 22·5 24

o bien,

210 22·5 24 14

es decir,

210 20 10

Como (210; 20) = 10 dividamos entre 10 todos los números de la congruenciaanterior (incluyendo el módulo) para obtener

21 2 1 que equivale a

2 1

por lo tanto, podemos tomar = 1 y vemos que una solución común a lasdos primeras congruencias es 14 + (2 · 3 · 5 · 7) · 1 = 224

Las dos primeras congruencias son equivalentes a

420

224




ya que [2 · 3 · 5 · 7; 22 · 5] = 420

Repitamos el procedimiento para el sistema de las dos últimas congruen-cias:

25·3 29

9·5 44

= 29 + (25 · 3) 9·5 44 75

9·5 (44 29) = 15. Como (75; 9 · 5) = 15dividiendo la última congruencia entre 15 (incluyendo el módulo) obtenemos

5 3 1 si multiplicamos por 2 obtenemos:

3 2 Tomemos = 2 obte-

niendo = 29 + (25 · 3) 2 = 179 Tenemos que el sistema de las dos últimascongruencias equivale a la congruencia

225 179

ya que [25 · 3; 9 · 5] = 225

Por último, resta resolver simultáneamente el sistema

420

224

225 179

= 224 + 420 225 179 420

225 179 224 = 45 como (420; 225) = 15

tenemos que resolver (42015) (22515) (4515), es decir

28 15 3

esta congruencia equivale a 2 15 3, así que 2

15 3 multiplicando por 8

y tomando residuos módulo 15, tenemos que

15 9

tomando = 9, obtenemos la solución = (224 + (420 · 9)) = 4004, entoncesel sistema original es equivalente a la congruencia

6300 4004

pues [210; 20; 75; 45] = 6300




Así que 4004 y 4004 6300 = 2296 son soluciones del sistema

2·3·5·7 14

22·5 24

25·3 29

9·5 44

En efecto:(4004 14) (2 · 3 · 5 · 7) = 3990 210 = 19(4004 24) (22 · 5) = 398020 = 199(4004

29) (25 · 3) = 397525 · 3 = 477

(4004 44) (9 · 5) = 88También:(2296 14) (2 · 3 · 5 · 7) = 11(2296 24) (22 · 5) = 116 .(2296 29) (25 · 3) = 31 .(2296 44) (9 · 5) = 52Notemos que como caso particular del teorema anterior, obtenemos el

Teorema chino del residuo:

Teorema 72 (Teorema chino del residuo). El sistema de congruencias

1 1

2 2

...

(4.43)

tiene solución si cada par de módulos son primos relativos dos a dos, esto es,si (; ) = 1 6= En este caso todas las soluciones son congruentes

módulo 1· 2 · · · · · Demostración. Simplemente observemos que se aplica el teorema an-

terior: (; ) = 1 | 6= Todas las soluciones son congruentesmódulo [1; 2; · · · ; ] = 1· 2 · · · · ·

Ejemplo 109 . Consideremos el sistema de congruencias

83 32

110 70

135

30




1083 es primo, 110 = (2)(5)(11) 135 = (3)3(5). Notemos que no estamos dentro de las hipótesis del teorema Chino, pues (110; 135) = 5 ( (110; 135) =

5(22;27) = 5(2 · 11;33) = 5 · 1 = 5) sin embargo, como las dos últimas congruencias

110 70

135 30

(4.44)

son equivalentes a: = 70 + · 110 135 30 es decir a · 110

135 40 que

tiene las mismas soluciones que · 22 27 8 . Ahora, 16 es el inverso de

22 módulo 27: 16 22 = 352 y 35227 = 13 127

Por lo tanto, multiplicando

· 22 27

8 por 16, obtenemos 27

8 · 16 = 128 27

7 Por lo tanto una solución particular de 4.44 es = 70 + 7 · 110 = 840 En resumidas cuentas,

4.44, es equivalente a la congruencia 2970 84011

Ahora sí, el sistema

83 32

2970 840

satisface las condiciones de Teorema chino del residuo: 83 es primo y 83 - 2970 = (2)(3)3(5)(11)

Resolvamos: = 32 + 83 2970 840 equivale a 83

2970 840 32 = 808.

2147 es el inverso multiplicativo de 83 módulo 2970 (Ahora que, 2147 2970

2147 2970 = 823).12 Multipliquemos 83 2970 808 por 823:

2970 808 · (823) = 664984

664984 2970 296, pues (664984 296) 2970 = 224 Sustituyendo =

296 en = 32 + 83 obtenemos = 32 + 83 · (296) = 24600

Así que una solución particular al sistema es 24600 y el sistema original es equivalente con la congruencia

83·2970 24600

10 Ejemplo de Ch´in Chiu-Shao en su libro de 1247 y por quien se califica de ”chino” alteorema de arriba.

11 2970 = [110; 135] 12 Veámoslo:83 (823) = 68309; 683092970 = 23 + 1

2970 Es decir que 83 (823) = (23)

2970 + 1 2970

1.




o bien

246510

24600

Comprobación: veamos que 24600 resuelve cada una de las siguientes con-gruencias:

83 32

110 70

135 30

En efecto, (24600 32) 83 = 296 (24600 70) 110 = 223 y (24600 30) 135 = 182. Note que la siguiente solución positiva es 24600 +

246510 = 271110Otro caso aún más particular del teorema 72, es el siguiente:

Teorema 73 . Si 1 · · · son primos positivos distintos, entonces el sis-tema de congruencias

1 1

2 2

...

(4.45)

tiene solución y todas las soluciones son congruentes módulo 1 · · · · ·

Ejemplo 110 . Resolvamos el sistema

3 1

5 2

7 3

(4.46)

= 1 + 3 5

2

3

5

1

2 · 3

5

2

5

2. Así que = 1 + 3 · 2 = 7 es

una solución de las dos primeras congruencias. Por lo tanto las dos primeras congruencias son equivalentes a la congruencia

15 7 cuyas soluciones son 7 + 15 Z .

Ahora, = 7 + 15 7 3 15

7 3 7 3 Sustituyendo = 3 en

= 7 + 15 · obtenemos = 7 + 15 (3) = 52 Por lo tanto 4.46 equivale a

105 52

En efecto: (52

1) 3 = 17(52

2) 5 = 10 (52

3) 7 = 7



4.12. ECUACIONES DIOFANTINAS 255

Ejercicio 195 . Una banda de 17 ladrones roba un gran saco de billetes.Tratan de repartir los billetes equitativamente, pero sobran 3 billetes. Dos de

los ladrones empiezan a pelear por el sobrante hasta que uno dispara al otro.El dinero se redistribuye, pero esta vez sobran 10 billetes. De nuevo empieza la pelea y otro ladrón resulta muerto. Cuando el dinero se redistribuye, nosobra nada. ¿Cuál es la menor cantidad posible de billetes que los ladrones robaron?

Ejercicio 196 . Hallar 4 enteros consecutivos que sean múltiplos de 5, 7 9y 11 respectivamente.

Ejercicio 197 . La producción diaria de huevos en una granja es inferior a 75. Cierto día el recolector informa que la cantidad de huvos recogida es tal que contada de tres en tres sobran 2, contandos de cinco en cinco sobran 4 y contando de 7 en 7 sobran 5. El capataz dice que no es posible ¿Quién tiene razón?

4.12 Ecuaciones diofantinas

Una ecuación de la forma

11 + 22 + · · · + = (4.47)

con coeficientes 1 2 · · · Z , Z se llama diofantina. Las solucionesque nos interesan son las soluciones enteras.

La más sencilla de las ecuaciones diofantinas del tipo anterior es

= (4.48)

que tiene solución sólo si | y en este caso, la solución es el entero

.

Consideremos ahora el siguiente caso de ecuación diofantina.

+ = (4.49)

Esta ecuación es tan sencilla que podemos sin más decir cuando tiene solu-ción.

Teorema 74 . La ecuación 4.49 tiene solución

(; ) |




Demostración. ) Si ( ) Z × Z tal que = + Z + Z =(; ) Z , entonces

(; ) Z . Es decir, (; ) |

) Si (; ) | entonces + = tiene las mismas soluciones que

(; ) +

(; ) =

(; ) (4.50)

Ahora, comoµ

(; );

(; )

¶ = 113 entonces Z tal que

(; ) +

(; ) = 1

Multiplicando por

(; ), obtenemos

(; )

(; ) +

(; )

(; ) =

(; )

Así, obtenemos una solución: µ

(; )

(; )¶

Obsérvese que + = tiene solución si y sólo si la congruencia

tiene solución, de donde obtenemos nuevamente el criterio para la existenciade soluciones.

Del teorema anterior, podemos hacer la siguiente afirmación.

Lema 14 . La ecuación diofantina 4.49 tiene las mismas soluciones que 4.50.

Demostración. Nótese que cuando no hay soluciones, entonces (; ) - y la ecuación 4.50 ni siquiera tiene coeficientes enteros.

Ya hemos visto que las soluciones de 4.49 son también soluciones de 4.50.Recíprocamente, si

(; ) +

(; ) =

(; )

13 (; )µ

(; )

;

(; )¶ = µ(; )

(; )

; (; )

(; )¶ = (; ) · 1

µ

(; )

;

(; )¶ = 1




con Z , es claro que multiplicando por (; ) obtenemos

+ =

es decir que ( ) también es solución de 4.49.Por el teorema anterior, basta saber resolver ecuaciones diofantinas re-

ducidas, es decir, con coeficientes primos relativos.

Ejemplo 111 . Resolver

2520 + 1188 = 108

Aplicando el algoritmo de Euclides:2

1188 2520144

8144 1188

36

436 144

0

vemos que el máximo común divisor de 2520 y 1188 es 36.

Ahora 3

36 1080

así que la ecuación

2520 + 1188 = 108

tiene solución y tiene las mismas soluciones que

2520

36 +

1188

36 =

108

36

es decir que 70 + 33 = 3

Ahora queremos expresar 1 como combinación entera de 70 y 33. Nueva-mente, usamos el algoritmo de Euclides:

84 33

1

233 70

4

Entonces 1 = 33 8 · 4 = 33 8 · (70 2 · 33) = 8 · 70 + (17 · 33), así:

8 · 70 + (17 · 33) = 1




Multipliquemos por 3:

24 · 70 + (51 · 33) = 3

Así, obtenemos la solución (24 51) Comprobación:

2520 (24) + 1188 (51) = 60588 60480 = 108.

Lema 15 . Si Z \ {0} son primos relativos entonces las soluciones de

+ = 0

son {( ) Z × Z | Z}

Demostración. + = 0 = . Si ( ) es una solución,entonces

=

Como | y (; ) = 1, entonces | Por lo tanto = , para alguna Z . Entonces

=

por lo que = Vemos pues, que una solución es de la forma ( )con Z .Recíprocamente, tomemos una pareja (), con Z, entonces

(

) =

()

Para poder expresar el siguiente teorema, es conveniente definir una sumaen Z × Z . Esto se ahce de manera natural sumando “coordenada a coorde-nada”: ( ) + ( ) = ( + + )

Ejercicio 198 . Demuestre que la suma anterior es asociativa, conmutativa,con neutro (0 0) y donde cada elemento ( ) tiene inverso aditivo: ( ) De tal manera que ( )

( ) = ( ) + (

( )) = (

)




Teorema 75 . La ecuación

+ = (4.51)

tiene conjunto de soluciones

= ( ) + {( ) | ( ) es solución de + = 0 }

14donde ( ) es una solución particular de 4.51.

Demostración. Denotemos = {( ) | ( ) es solución de + =0}

) Sea ( ) , entonces ( ) = ( ) + (( ) ( )). Basta notarque ( ) ( ) :( ) ( ) = ( ) Ahora

( ) + ( ) = ( + ) ( + ) = = 0

por lo tanto ( ) ( ) ) ( ) + ( ) con + = 0 ( ) + ( ) = ( + + ) satisface:

( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) = + 0 = 0

Por lo tanto ( ) + ( )

Teorema 76 . La ecuación

+ = (4.52)

tiene conjunto de soluciones

= ( ) +{

( ) |

( ) es solución de + = 0 }

donde ( ) es una solución particular y ( ) es solución de

+ = 0 (4.53)

donde =

(; ) y =

(; )

14 Naturalmente, ( ) + {( ) | ( ) es solución de + = 0 } denota el conjuntode sumas {( ) + ( ) | ( ) es solución de + = 0 }




Demostración. Se sigue del teorema anterior y de que

+ = 0

y + = 0

comparten soluciones.

Ejemplo 112 . Encontrar las soluciones de

2 + 3 = 1

Una solución es (1 1) La solución de

2 + 3 = 0

es (3 2 ) Z

Por lo tanto la solución es

(1 1) + (3 2 ) = (1 + 3 + 1 2 ) Z

Por ejemplo, (14 9) es una solución:

2 · 14 + 3 · (9) = 28 27 = 1

Ejemplo 113 . Dos mercancías cuestan respectivamente $ 71 y $ 83 el ki-lo.¿Qué cantidades enteras se pueden comprar con $ 1670?

71 + 83 = 1670

111 12

1

5 12 71

11

171 83

12

por lo que

1 = 12 11 = (83 71) (71 · (5) · 12)

= 83 2 · 71 + 5 · 12 = 83 2 · 71 + 5 · (83 71)

= 6 · 83

7 · 71




Por lo tanto una solución es (7 · 1670 6 · 1670), mientras que la solución de 71 + 83 = 0 es (83

71 )

Z

Las soluciones son entonces

(7 · 1670 + 83 6 · 1670 71 ) Z

Ahora debemos tomar en cuenta que queremos soluciones no negativas, así que:

7 · 1670 + 83 > 0 83 > 7 · 1670 > 1670 · 7

83 140

y

6 · 1670 71 > 0 6 · 1670 > 71 (6 · 1670) 71 = 10020

71 >

141 9

71 > 141 >

La única solución es con = 141

(7 · 1670 + 83 · 141 6 · 1670 71 · 141) = (13 9) En efecto:

71 · 13 + 83 · 9 = 1670

Ejercicio 199 . Hallar 4 enteros consecutivos que sean múltiplos de 5, 7 9y 11 respectivamente.

Ejercicio 200 . Sean enteros tales que 2 + 2 = 2. Demostrar que

1. es par.

2. es múltiplo de 3.

3. o es múltiplo de 4.

4. Un elemento de {} es múltiplo de 5.




4.13 Sistemas de numeración con bases dis-

tintas de 10Notemos que 1999 es una abreviatura para el número

1 · 103 + 9 · 102 + 9 · 101 + 9 · 100

y que en general, el número decimal

1 · · · 10

es una abreviatura para · 10 + 1101 + · · · + 1 · 101 + 0 · 100

donde 1 · · · dígitos, es decir, pertenecen a {0 1 9} Consideremos el número = 1 · · · 10. Supongamos por un mo-

mento que no tenemos a la vista la representación decimal de ¿cómo seobtiene? Notemos que 0 es el residuo al dividir entre 10:

· 101 +

1 · 102 + · · · + 1 · 100

10 0

Ahora, por la misma razón, 1 es el residuo al dividir ( 0) 10 entre 10:

· 102 + 1103 + · · · + 2 · 100

10 · 101 + 1102 + · · · + 1 · 100

1

etc.

Podemos hacer un esquema para este proceso:

· 101 + 1102 + · · · + 1 · 100

· 102 + 1103 + · · · + 2 · 100

... · 10 + 1

0

1

2...

1



4.13. SISTEMAS DE NUMERACIÓN CON BASES DISTINTAS DE 10 263

En lugar de tomar como base del sistema de numeración al número 10,podemos usar cualquier otro número natural mayor que 1, por ejemplo el 2,

el 3 el 7 el 16.Supongamos que queremos expresar 1999 en base dos, es decir queremos

escribir1999 en la forma

2 + 121 + · · · + 121 + 020

con

1 · · · 0 {0 1} el conjunto de dígitos binarios (bits).

Entonces62

2 1240

1242 249

1

2492 499

1

4992 999

1

9992 1999

1

02 1

1

12 3

1

32 7

1

72 15

1

152 31

1

312 62

0

entonces la expresión binaria de 1999 es (leyendo los residuos de izquierda aderecha conforme los fuímos encontrando:

11111001111

otra vez, es más cómodo el esquema

1999999499249124

623115

731

0

11

110011111

,




Podemos hacer otro ejemplo, escribamos 1999 en base siete:

1999285

4050

4555

,

Así, 1999 = 5554 :

5 · 73 · +5 · 72 + 5 · 7 + 4 = 1715 + 245 + 35 + 4 = 1999

Formalicemos un poco.

Teorema 77 . Sea N \ {0 1}. Para cualquier natural 0, existen N 0 1 · · · {0 1 · · · 1} únicos, tales que

= + · · · + 1 + 0

Demostración. Existencia.Usaremos el segundo principio de inducción (sobre ).

Base de la inducción. Si = 1 entonces = 0 y 0 = 1Paso inductivo. Supongamos que 0 y que la afirmación es válida

para naturales menores que .Apliquemos el algoritmo de la división:

0

hagamos 0 = , y como =

(porque 1). Entonces aplicandola hipótesis de inducción a tenemos que

= 1 + 12 + · · · + 2 + 1

con 1 2 · · · {0 1 · · · 1}

Ahora, como = + , entonces

=

+ · · · + 1 +

0




Con 0 = 1 2 · · · {0 1 · · · 1} Unicidad. Si hubiera un natural positivo con más de dos representa-

ciones, entonces por el principio del buen orden habría también un naturalcon esta propiedad menor que todos los demás.

Si este fuera el caso denotemos el menor natural con dos representa-ciones en base :

+ · · · + 1 + 0 = = + · · · + 1 + 0 (4.54)

con 0 1 2 · · · 0 1 2 · · · {0 1 · · · 1} Como ya vimos, 0 y (también 0) es el residuo al dividir entre .

Por lo tanto, 0 = 0. Por otra parte 0

así que 0

tiene

expresión única en base (esto es así por la manera en que escogimos ).Entonces

1 + · · · + 1 =

0

= 1 + · · · + 1

es la misma expresión. Por lo tanto

= y 1 = 1 2 = 2 · · · =

Esto, junto con 0 = 0 muestra que 4.54 no son dos representaciones distintassino que son la misma.

Uno puede hacer operaciones aritméticas con los algoritmos usuales enotras bases. Claro que si va uno a usar bases distintas de 10, convendríahacer primero las tablas de sumar y de multiplicar correspondientes a lasque uno tuvo que aprender en el segundo año de primaria.

Por ejemplo, he aquí las tablas de sumar y multiplicar en base 7:

+siete 0 1 2 3 4 5 60 0 1 2 3 4 5 61 1 2 3 4 5 6 102 2 3 4 5 6 10 113 3 4 5 6 10 11 124 4 5 6 10 11 12 135 5 6 10 11 12 13 146 6 10 11 12 13 14 15




·siete 0 1 2 3 4 5 60 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 62 0 2 4 6 11 13 153 0 3 6 12 15 21 244 0 4 11 15 22 26 315 0 5 13 21 26 34 426 0 6 15 24 31 42 51

Por ejemplo, podemos hacer

2 3 5

× 3 71 6 4 5

+ 7 0 58 6 9 5

en base siete:

23533

4

0

45

4

, así 235 = 454.37

5

0

25

, así 37 = 52

Ahora,4 5 4

× 5 2

1 2 4 1+ 3 2 6 6

3 4 2 3 1

En efecto, 34231siete = 3 · 74 + 4 · 73 + 2 · 72 + 3 · 7 + 1 = 8695.También podemos hacer divisiones:

133215 19990

4990490

4010

pasemos el numerador y el divisor a base 7:




19990 5

2855 6407 158 28 11 10

1520

12

Hagamos ahora la división teniendo a la vista las tablas de sumar y multi-plicar en base 7:

3 6 1 2

2 1 1 1 2 1 6 5- 6 3

1 6 1- 1 5 6

2 6- 2 1

5 5- 4 2

1 3

así que el residuo de la división es 13 = 7 + 3 = 10 El cociente es3612 = 3 · 73 + 6 · 72 + 1 · 7 + 2 = 1332.

4.13.1 Algunos criterios de divisibilidad

Notemos que como 10 9 1 entonces 10 9 1 = 1, para cada N .

Entonces un número que en sistema decimal se escriba

· · · 10

es congruente con1 + · · · + 11 + 0

módulo 9.Así, tenemos la siguiente observación:

Observación 71

· · · 109

+ · · · + 1 + 0




Ejemplo 114

7480287475 9 7 + 4 + 8 + 0 + 2 + 8 + 7 + 4 + 7 + 5 9 52 9 7

En efecto:83114352

9 7480287475 28_______

10______12_____

38____

27___47_

25 7

La observación anterior es la justificación del método para comprobarlas operaciones, que a muchos de nosotros nos enseñaron en la primaria. Enrealidad este método consistía únicamnete en realizar las operaciones módulo9, aprovechando la sencillez del algoritmo para encontrar el residuo módulo9 de un número que está escrito en base 10 He aquí algunos ejemplos:

128× 35

64038404480

2×8

16 9 7

4480 9 16

9 7

Así que podemos estar seguros de que la multiplicación está bien hecha,“módulo 9”.

3840+ 4480

640353

9313

67

+ 12

16 9 7

9313 9

7




Ahora notemos que 10 11 1 entonces 102 11 (1)2 11 1 pero 102+1 11

(1)

2+1 11

1Observación 72

· · · 10

11 (0 + 2 + 4 + ) (1 + 3 + 5 + )

Ejemplo 115

7480287475 11 (5 + 4 + 8 + 0 + 4) (7 + 7 + 2 + 8 + 7) = 10

11 1

En efecto:

6800261411 7480287475 88–––—

028––-67–—

14– 37-45

1

Ejercicio 201 ¿Cuál es el dígito que hace que 748287475 deje residuo

1. 3 al dividirse entre 9?

2. 7 al dividirse entre 11?

3. 72 al dividirse entre 99? ¿o no hay?

Podemos encontrar criterios de divisibilidad parecidos si los números estánescritos en bases distintas de 10 Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 116. 8 7 1 por lo que si un número escrito en base 8 es 1 · · · 21

entonces

1 · · · 210 = · 8 + 1 · 81 + · · · + 1 · 81 + 0 · 80 77 + 1 + · · · 2 + 1 + 0

Por ejemplo 12345677 1+2 +3+ 4+5 +6+ 7 = 28 = 34

7 7 7 0

1 86 + 2 85 + 3 84 + 4 83 + 5 82 + 6 8 + 7 = 342 391

Y en efecto, 342 391 = 7

48 913 7

0




Ejercicio 202 . Encuentre el residuo de 2347 al dividirse entre 7 pasan-do a base 8 y usando el ejemplo anterior.

Ejercicio 203 . Demuestre que como 8 9 1 entonces

· · · 10

9 (0 + 2 + · · · ) (1 + 3 + · · · )

Ejercicio 204 . Encuentre el residuo de 1234567 al dividirse entre 9usando el ejercicio anterior.

Ejercicio 205 . Dado que 104 73 1 hallar un criterio de divisibilidad entre 73.

Ejercicio 206 . Hallar un criterio de divisibilidad por 13 en base 1000.

Ejercicio 207 . Enunciar criterios de divisibilidad entre 14 18 19 y 21

4.14 Los números racionalesEn esta sección daremos una construcción del campo de los números racionales.Definiremos un número racional como una clase de equivalencia de una fun-

ción aditiva y suprayectiva Z Z (la función que manda

6= 0), entre dos ideales de Z. La clase de equivalencia Z Z se

denotará

Con esta definición, la suma de dos números racionales se define como una

suma de funciones (eligiendo adecuadamente los representantes de las clases)y el producto se define por medio de la composición de funciones (tambiéneligiendo de manera adecuada los representantes).

Veremos que esta construcción coincide con la usual, que consiste entomar clases de equivalencia en Z × ( Z \ {0}), donde la relación está da-da por ( ) ( ) sii =

El punto de partida de la construcción presentada aquí es observar que

Z 1 Z

7

(multiplicar por ) está relacionada con el número



4.14. LOS NÚMEROS RACIONALES 271

Sin embargo, 2 Z 22 2 Z

2 7

2también es multiplicar por y de hecho

Z 1 Z

inclusión inclusión

2 Z 22 2 Z

conmuta.

Definición 70 . Z Z 6= 0 es la función que manda a

Z

Proposición 19 . está determinada por la propiedad de ser aditiva,

( + ) = () + ()

y por la de enviar a

Demostración. Demostraremos por inducción, que ( ) = si

1

Base: 1 = 7 = 1Paso inductivo: ( + 1) = + 7 () + () = + =

( + 1) Con esto tenemos que ( ) = para toda 1Ahora, como es aditiva, entonces (0) = (0 + 0) =

(0) + (0) de donde tenemos que (0) = 0Además,

0 = (0) = ( ) = ( + ( )) = ( )+ ( ( ))

de donde tenemos que ( ( )) = ( ) = ( ) = ( ) si 0

En resumen, ( ) = para toda Z

Consideremos ahora el conjunton

Z Z | ( ) Z × (Z \ {0})

o

en el que definiremos la relación de la manera siguiente.

Definición 71 . si coinciden en la intersección de sus dominios, es decir si ( )| Z

Z = ( )| Z

Z




Si denotamos por

a la clase de equivalencia de : Z Z (Notar

que 6= 0, por definición), podemos escribir:

Q =n

| Z Z r {0}

o

Y además se tiene que

=

si y sólo si =

4.14.1 La suma en Q

Queremos definir ahora las operaciones en Q

Para sumar

notemos que las funciones y no comparten do-minios. La intersección de los dominios es Z Z = [; ] en donde ambas

funciones están definidas. Como [; ] =

(; )tenemos que

µ

(; )

¶ =

(; ) mientras que

µ

(; )

¶ =

(; ) la suma es

(; ) +

(; ) =

(; ) +

(; )

Esto sugiere definir

+

como la clase de equivalencia de la función tal

que[; ] 7

(; ) +

(; )

o mejor, multiplicando por (; ) con la clase de equivalencia de la función

7 +

Esta función es +, cuya clase de equivalencia es +

Definición 73 . La suma en Q está dada por:

+

= +

Proposición 20 . La definición anterior es buena, ya que si

=

y

=

entonces

+

=

+

Demostración. Por hipótesis, = y = Ahora ( + ) = + = ( ) + () usando las hipóte-

sis tenemos que ( + ) = () + () = ( + )




Ejercicio 208 . Demuestre la suma definida en Q es conmutativa, asocia-

tiva, con neutro 0

1 y que

es el inverso aditivo de

4.14.2 El producto en Q

Queremos definir el producto en Q mediante la composición de funciones,para esto debemos escoger representantes adecuados.

es la clase de equivalencia de Z

Z por otra parte

es la clase

de equivalencia de Z Z Ahora,

=

(si 6= 0) y

=

y las

funciones se pueden componer:

Z Z

Z 7 7 Z

= Z Z

7 Z

cuya clase de equivalencia es

Esto sugiere definir

como

Definición 74 .

= en Q

Ejercicio 209 . Demuestre que la definición anterior es buena, es decir,que no depende de los representantes.

Observemos que el producto es conmutativo y asociativo. 1

1 es neutro

para el producto (

1

1 =

1

1 =

). Notemos que

=

0

1 si y sólo si = 0

Por último, notemos que si

6= 01 entonces

=

= 11

es decir que es

el inverso multiplicativo de

Teorema 79 .

³

+

´ =

+

Q

Demostración.

³

+

´ =

µ +

¶ = +




Por otra parte,

+

=

+

2

Ahora +

=

+

=

+

2

Las propiedades algebraicas de Q se pueden resumir de la manera si-guiente.

Teorema 80 . Q es un campo.

4.14.3 El orden en Q

Definimos el orden en Q mediante una clase positiva.

Definición 75 . Q+ =n

Q | Z+

o

Donde Z+de nota la clase de los enteros positivos.Observemos que Q + está bien definida, es decir que si

=

y Z+

entonces Z +

En efecto, se tiene que = y 0 Multipicando por obtenemos = 22

que es positivo por ser el producto de dos cuadrados distintos de cero. Así que () ( ) 0 y como 0 entonces ( ) 0 (Ver la Proposición 17,en la página 205).

Teorema 81 . Q+ es una clase positiva.

Demostración. Tenemos que demostrar que Q+ es cerrada bajo lasuma, bajo el producto y la propiedad de tricotomía.

+) Supongamos que

,

Q+

+

=

+

, y queremos ver

que ( + ) Z+ ( + ) = () 2 + 2 () que es una suma de dos positivos,

ya que y son positivos por hipótesis y 2 2 son positivos porque soncuadrados no nulos.




*) Si

,

Q+ entonces su producto

es positivo pues () () =

() () que es el producto de dos enteros positivos.

Tricotomía) Si

Q entonces pasa una y sólo una de las siguientes

posibilidades:i) Z + ii) Z+iii) = 0 (y por lo tanto = 0) cada una de

estas posibilidades se corresponde respectivamente con:

i)

Q+

ii)

Q+

, iii)

=

0

1

Definición 76 .

si

Q+ es decir si ( ) Z+ es

decir, si 2 2

Como siempre se puede escoger el denominador positivo (

=

), basta

considerar que en ese caso,

si y sólo si

Como de costumbre,

y

son proposiciones equivalentes.

es equivalente a

³

´ ³

=

´

Ejemplo 117 . 1

3 1

2 2

3 3

4

Observe que

Q+ significa lo mismo que

0

1


entonces

1

2

³

+

´




Demostración. Podemos suponer 0

Ahora, 12³

+

´

= +

2

= +

2

22

=

=

2

0

1 pues 0

También tenemos que

1

2

³

+

´ =

+

2 =

2

2

+

2

=

2

Como la diferencia entre 1

2

³

+

´ y

es la misma que entre

y

1

2

³

+

´ a

1

2

³

+

´ se le llama el promedio (o punto medio) entre

y

Observación 74 . Note que una consecuencia de la definicion del orden mediante una clase positiva es que cualesquiera dos racionales son compara-bles. Es decir el orden en Q es total.

En contraste con el orden de N el orden en Q no es un buen orden,como se muestra en la siguiente observación.

Observación 75 . La sucesión 1

2

1

4

1

8

1

2

es una sucesión

que no tiene primer elemento.

Teorema 82 . Para todo Q+ para todo N existe N tal que

1

1

Demostración. Hagamos =

con Z + Queremos encontrar

tal que Como 1 entonces Por lo que bastamostrar que existe tal que




En caso contrario, para cada N Podemos tomar elmenor natural positivo tal que

(se hace uso del principio del buen

orden). Como no sucede que + 1 entonces 6= 1 Por la elección de , existe N tal que ( 1) = de aquí que

+

contradicción.

Teorema 83 . N Q+ N+ tal que 1

Demostración. Se quiere mostrar que existe tal que Estose sigue del teorema anterior.

Lema 17 . Q+ N tal que 1

2

Demostración. Se quiere ver que hay un natural tal que 2 1Se puede ver por inducción, que 2 N Escogiendo tal que

1 (ver el teorema 82), tenemos que 2 1

Observemos que todo racional tiene racionales cercanos. Ya que si

Q

y Q+ como existe N tal que 1

1 entonces la diferencia entre

+

1

y

es menor que

Ejercicio 210 . Demuestre que todo racional positivo se puede representar de manera única en la forma

con (; ) = 1 y enteros positivos

4.14.4 Inmersión de Z en Q

Teorema 84 . La función Z Q

7

1

es inyectiva, respeta las opera-

ciones, los neutros y el orden.

Demostración. Inyectividad)

1 =

1 1 = 1 =

+) ( + ) = +

1 Por otra parte, () + () =

1 +

1 =

1 + 1

1 · 1 =

+

1




·) () =

1 =

1

1 = () ()

Orden) Supongamos que son enteros, queremos ver que entonces

1

1 En efecto,

1

1 =

1 con ( ) · 1 Z +

En vista del teorema anterior podemos identificar los enteros con su im-agen en Q Con esta identificación ( se identifica con

1), podemos pensar

que cada entero es un racional.

Ejemplo 118 . No existe un racional

tal que

= 2

En caso de que = 2 entonces 2 = 22 Si 2 es la mayor potenciade 2 que divide a entonces 22 es la mayor potencia de 2 que divide a 2

(es decir que 2 es el número de veces en que 2 aparece en la factorizaciónen primos de 2). Pero por otro lado, si 2 es la mayor potencia de 2 quedivide a entonces 22 es la amyor potencia de 2 que divide a 2 y por lotanto 222 = 22+1 es la mayor potencia de 2 que divide 22 = 2 Entonces

2 = 2 + 1 y así 0 2 1 absurdo.

Ejercicio 211 . Demuestre que un entero no puede ser par e impar. (Sug-erencia: demuestre que 1 no es par).

Ejercicio 212 . Demuestre que no hay un racional tal que 2 = 3



Ejercicio 215 . Demuestre que no hay un racional tal que 3 + 2 = 5

(Sugerencia: suponga que =

con (; ) = 1).



Capítulo 5

¿De cuántas maneras?

En este capítulo estaremos interesados en asuntos acerca de las cardinalidadde los conjuntos finitos. Determinar la cardinalidad de un conjunto finito eslo mismo que “contar los elementos de dicho conjunto”.

Así que empezaremos por aclarar la siguiente pregunta:¿Cuándo dos conjuntos , tienen el mismo número de elementos?

Definición 77 . Se dice que y tiene el mismo número de elementos

cuando hay una función biyectiva

:

Recordemos que una función biyectiva : es

1. Inyectiva (manda dos elementos diferentes en a dos elementos difer-entes en ) y

2. Suprayectiva (cada elemento de proviene de uno de ).

Si nos hiciéramos la imagen de que “reparte los elementos de a loselementos de ” diríamos que es inyectiva cuando elementos distintos de se reparten a elementos distintos de (es decir, a un elemento de no lepueden tocar dos elementos de ) y suprayectiva cuando todo elemento de recibe su elemento de .

Cuando en un salón de clases todos los alumnos están sentados en susilla, y no hay sillas desocupadas, podemos decir que hay el mismo númerode alumnos que de sillas.

281



282 CAPÍTULO 5. ¿DE CUÁNTAS MANERAS?

Recordemos que un conjunto es un conjunto infinito cuando existe unacorrespondencia biyectiva entre y uno de sus subconjuntos propios.

Por ejemplo,N

2·_ 2 N 7 2

es una función biyectiva entre N y uno de sus subconjuntos propios, así queN es infinito.

Definición 78 . Un conjunto es finito si toda función suprayectiva : es biyectiva.

Es una consecuencia del axioma de Elección el hecho de que toda funciónsuprayectiva tiene inverso por la derecha (que es por lo tanto inyectiva). Todafunción inyectiva tiene inverso por la derecha, así que podemos demostrar lasiguiente proposición.

Proposición 21 . Son equivalentes para un conjunto :

1. es finito.

2. Toda función inyectiva : ½ es una biyección.Demostración. 1) 2)Supongamos que : ½ es una función inyectiva. Tomemos un

inverso izquierdo de Como tiene inverso derecho, entonces es suprayec-tiva, entonces, por ) tenemos que es una biyección y como tal es invertible.Así que de la ecuación

= = 1

tenemos, aplicando 1 del lado izquierdo, que

= = 1 = 1 1 = 1 = 1

Entonces tenemos que es una biyección.2) 1) Tenemos que demostrar que toda función suprayectiva :

es una biyección. Tómese : un inverso derecho de esinyectiva puesto que tiene a como inverso izquierdo. Por 2) tenemos que es biyectiva. Como arriba, es fácil ver que = 1 (Dedúzcase de = = 1 , aplicando a 1). Así, = 1 es una biyección.

Recordemos la siguiente consecuencia del Teorema de Recursión:



283

Proposición 22 . es un conjunto infinito si y sólo si : N ½ inyectiva

Demostración. ) Escribamos = ( N) ( \ ( ( N))) Tomemosuna biyección entre N y un subconjunto propio de N digamos : N B,componiendo con la función inclusión B N, obtenemos N B N unafunción inyectiva que no es suprayectiva.

Ahora, del diagrama

N B 6=

N

|B

( N) |B 1

| ( N ) (B) 6=

( N)

tenemos que

=: ( N) |B 1

| ( N ) (B) 6=

( N)

es una función inyectiva que no es suprayectiva. Podemos usarla para definiruna función inyectiva no suprayectiva entre y :

:

7½

() si ( N) si 6 ( N)

nos proporciona una biyección entre y un subconjunto propio de ) Si es un conjunto infinito, entonces : ½ inyectiva pero no

suprayectiva. Tomemos \ ( ) y usemos el Teorema de recursión

N

½ N{0}

0%

&

½

para deducir la existencia de una función que hace conmutativo el diagramaanterior. Resta comprobar que es una función inyectiva.

Tomemos, si no lo fuera, 6= N tales que () = () con mínima posible.




Si = 0 entonces 0 por lo que = ( 1) Entonces

= (0) = () = ( ( 1)) = ( ( 1))Esta sería una contradicción a la elección de que no pertenece a ( )

Entonces 0 0 y

() = () = ( ( 1)) = ( ( 1)) =

= ( ( 1))

Como es inyectiva entonces ( 1) = ( 1) . Se contradice laelección de

Por lo tanto es inyectiva, y hemos terminadoComo consecuencia de la afirmación anterior tenemos la siguiente obser-

vación, aparentemente trivial, pero útil..

Observación 76 . Si es un conjunto finito y N es una función,entonces no es inyectiva y por lo tanto

6= N tales que () = ()

Observación 77 . Si N es finito y transitivo, entonces N

Demostración. Podemos suponer que 6= = 0 N Entonces = 0 ó 0

En cualquier caso,0

(0

0

, pues es transitivo).

Si , entonces Ahora, {} + 1 Por el principio de inducción, y como es finito, existe tal que

+ 1 (si no fuera así, = N). Escogiendo mínima con la propiedad

anterior, tenemos que {0 1} , pero . Por transitividad,ningún elemento de N mayor o igual que pertenece a ( + 1

). Por lo tanto = {0 1} = N

Observación 78 . Si N

es infinito y transitivo, entonces = N



285

Demostración. 6= , pues es finito.(

+ 1

)

= N

Si hubiera tal que + 1 6 , entonces por la transitividad de, tendríamos que . También por la transitividad de tenemos que

para cada + 1 Por lo tanto + 1 = {0} = Pues

todos los naturales son conjuntos finitos.

Lema 18 . Si N es finito entonces N y una biyección entre y .

Demostración. Si no tiene elementos, entonces = y

es

una biyección entre 0 y .Podemos suponer que 6= .Por el principio del buen orden,

0 = ( )

así tenemos una función inyectiva

1 = {0} 1½

0 7 0

Si 1 es suprayectiva, hemos encontrado una biyección entre 1 y En casocontrario, \ {0} 6= es un subconjunto no vacío de naturales, así que,otra vez invocando el principio del buen orden,

1 = ( \ {0})

con lo que tenemos una función inyectiva

2 = {0 1} 2½

0 7 0

1 7 1

Y nuevamente, 2 es biyectiva o \ {0 1} 6= Podemos continua este proceso.Si termina, es porque encontramos una biyección

= {0 1}

½




Si no termina, tenemos una función

N ½ 7 ( ) + 1

está bien definida pues en la sucesión

0 1

cada función extiende a la anterior.

7

( )

= k

7 ( )

es inyectiva, pues si , tomemos Entonces ( ) = ( ) 6= () = ()

En resumen, o bien hay una

N tal que

es una biyección, o

: N ½ en cuyo caso sería infinito, lo que no sucede.¿Qué quiere decir “contar”?Contar un conjunto finito quiere decir establecer una correspondencia

biyectiva entre y algún número natural Para esto haremos uso de lasiguiente observación.

Observación 79 . Si es un conjunto finito entonces

N y :

biyectiva.

Demostración. Supongamos lo contrario.Primero veremos que existen funciones inyectivas

: ½

para cada natural Notemos que 6=

, ya que en otro caso = 0



5.1. ¿CUÁNTOS SUBCONJUNTOS TIENE ...? 287

Tomando un elemento 0 , definimos la inyección

{0} 1½ 0 7 0

Supongamos que tenemos una inyección

{0 1 1} ½

como esta función no es suprayectiva, entonces \ ({0 1 1}) Podemos definir ahora una función inyectiva que extienda la anterior:

{0 1 1 } +1

½ 7 , si 1 7

Ahora es fácil ver, como en la demostración anterior, que

N ½

7

( )

+ 1

es una función inyectiva.

Entonces es infinito La contradicción viene de suponer que no hay

una biyección entre y un natural.

Así, contar los elementos de un conjunto finito es determinar el númeronatural que está en correspondencia biyectiva con .

Las páginas de un periódico normalmente están numeradas 1 2 3 El conjunto de vértices de un triángulo está en correspondencia biyectiva

con3 = {0 1 2} :

5.1 ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjuntocon elementos?

Tomemos = {

1

2

}




Podemos notar que no es necesario cargar con la letra y podemos tomarel conjunto

= {0 1 2 1}

que también tiene elementos.Esto se debe a lo siguiente:

Proposición 23 . Si dos conjuntos tienen el mismo número de elementos,entonces también tienen el mismo número de subconjuntos.

Demostración. Supongamos que es una biyección entre y

. Denotemos, como de costumbre por () el conjunto de los subconjuntosde A. Daremos una biyección entre () y () :

() ()

7 ( )

es inyectiva:Si 6= son subconjuntos de , entonces hay un elemento , tal que

( ) \ ( )

por lo tanto ( ) ( ( ) ( ))

( ( ( ) = () = ()) ( = = ) porque es inyectiva). Pero ( ) ( ) ( )

Por lo tanto

( )

( ( )

( )) \ ( ( )

( ))

Por lo tanto ( ) 6= ( ) 1

es suprayectiva:Si , entonces = ( 1( )), ya que es una función suprayec-

tiva.Por lo tanto,

|()| = |()|

1Recuérdese, del capítulo de conjuntos, que la diferencia simétrica de un conjuntoconsigo mismo es el conjunto vacío.



5.1. ¿CUÁNTOS SUBCONJUNTOS TIENE ...? 2 89

Así que al preguntarnos cuántos subconjuntos tiene un conjunto con

elementos, podemos contar en cualquier conjunto con elementos, por ejem-plo,

= {0 1 1}

Consideremos ahora las adas ordenadas de 0 y 1 tal como

(0 1 0 1 0 0 0)

¿cuántas hay?Para la primer coordenada tenemos dos opciones: 0 y 1.

Para la segunda coordenada también tenemos dos opciones: 0 y 1, así que las dos primeras coordenadas pueden ser

0 00 11 01 1

4 = 2 × 2 posibilidades para las dos primeras coordenadas.Para cada una de las posibilidades anteriores, tenemos dos posibilidades

para escoger la tercera coordenada, así que tendremos 23

posibilidades paralas tres primera coordenadas.Repitiendo el argumento, tenemos 2 -adas de 0 y 1.Escribamos el conjunto de las -adas de 0 y 1 como Z

2 . Veremos quetantos como subconjuntos de

{0 1 1}

Sea

: Z

2 ()

(0 2 1) 7 = { | = 1}

Ejemplo 119 . Si = 4 entonces

: Z42 (4)

(0 1 1 0) =(0 1 2 3)

7 {1 2}

(0 1 0 1) 7 {1 3}(0 0 0 0) 7 (1 1 1 1) 7

{0 1 2 3}




Proposición 24 . : Z2 () es una función biyectiva. 2

Demostración. Inyectividad) Supongamos que = (0 1 1) 6= = (0 1 1)

entonces 6= para alguna . Por ejemplo, supongamos que = 1 y = 0entonces () pero () por lo que () 6= ()

Por lo tanto es una función inyectiva.Suprayectividad) Tomemos ahora un subconjunto de , consideremos

la función

:

2 tal que

( ) = ½ 1 si

0 si (

se llama la función característica de .) Es claro que = (

), pues

() = 1 (

)

Por lo tanto es suprayectiva.Por lo tanto

| Z2 | = | ()|

Así que

Teorema 85| ()| = | Z

2 | = 2 (5.1)

Reflexionemos un poco sobre lo anterior:Z

2 es el conjunto de adas de ceros y unos, que es lo mismo que elnúmero de funciones entre = {0 1 1} y 2 = {0 1}. Si denotamos elconjunto de las funciones de a 2 por {0 1}, tendremos que

¡| {0 1} | = 2!

Denotemos ahora

= { | es una función}

Podemos preguntarnos, igual que arriba, si vale la ecuación siguiente:

¿|| = ||||?

La respuesta es sí, como veremos enseguida,2(

()

() = 1)



5.1. ¿CUÁNTOS SUBCONJUNTOS TIENE ...? 291

Teorema 86 . Si || = y || = entonces || = |||| =

Demostración. Por inducción sobre .Base.Si = 0 entonces es el conjunto vacío y así,

= { | es función} = {

}

es un conjunto con un único elemento.Por lo tanto

|| = |{

}| = 1 = 0

Así que la base de la inducción es válida.Paso inductivo.Supongamos que la afirmación vale si tiene elementos.Sea ahora con + 1 elementos. Un conjunto así se puede formar al

agregar a un conjunto con elementos un elemento nuevo.Supongamos que

=

{}

Cada función da lugar a funciones diferentes de a que

extienden , una función por cada una de las maneras de escoger la imagende .

Como hay funciones de a 3, entonces hay · funciones de a .

Así que

|{}| = · = +1 = |||{}|

5.1.1 El principio de la pichoneras

Este principio no es otra cosa que una manera de decir que si existe

3(por hipótesis de inducción)




inyectiva, entonces||

||

Esto resulta muy natural, pues si a cada elemento de se le puede asignarun elemento de , sin repetir elementos, es claro que debe tener por lomenos tantos elementos como .

En otras palabras.³

inyectiva´

(|| |) |

Si tomamos la contrapuesta de esta proposición (y tomando en cuenta queuna consecuencia del axioma de Elección es que cualesquiera dos cardinales

son comparables), tenemos que

(|| ||) ³

no es inyectiva,

´

Es decir, si tiene más elementos que , entonces una función

le asigna el mismo elemento de a dos elementos de .Hay frases que resumen esta situación:“Si hay más pichones que pichoneras, habrá una pichonera con más de

un pichón (si los pichones están dentro de sus pichoneras)”.“Si se reparten 20 monedas entre 15 personas, habrá alguna persona a la

que se le dá más de una moneda”.

5.2 Subconjuntos con k elementos de un conjunto con elementos

El número de subconjuntos con elementos de un conjunto con elementos

se denota µ ¶ o por en algunos textos.Notemos los siguientes hechos evidentes:

Observación 80

1. Si , entoncesµ

¶ = 0.

2. Si = , entonces µ

¶ = 1.



5.2. SUBCONJUNTOS CON K ELEMENTOS DE UN CONJUNTO ... 293

3. Si = 0, entonces

µ ¶

= 1.

4. Si = 1, entoncesµ

¶ = .

Notación 10 . Denotemos

() = { | | | = }

Es decir, () es el conjunto de los subconjuntos de que tienen elementos.

Vamos a realizar la cuenta de () para un conjunto , tal que || =, de dos maneras distintas, cada una de las cuales nos dará informacióninteresante.

Primera forma.Como hemos notado arriba, basta analiza la situación en que .

Queremos determinarµ

¶.

Escojamos un elemento de (como 0, entonces no es vacío).¿Cuántos subconjuntos de con elementos contienen a ?Es claro para formar un conjunto con k elementos, uno de los cuales es

, basta tomar los 1 elementos de que no son .¿De cuántas maneras se puede escoger un subconjunto con 1 elementos

de los 1 elementos de que no son ?Es claro que de µ

1 1

¶maneras.

Fijémonos ahora en un subconjunto en particular, digamos que = {1}

Pensemos en las maneras de obtener de la manera descrita en el párrafode arriba:

se obtiene empezando con = 1 y después agregando {2}; se obtiene empezando con = 2 y después agregando {1 3}; se obtiene empezando con = 3 y después agregando {1 2 4};...




se obtiene empezando con = y después agregando {1 21};Así que la misma se obtiene de maneras distintas, según se empiece

escogiendo como 1 ó bien como 2, ..., o bien, como .Así que si contamos los subconjuntos con elementos, contando los sub-

conjuntos con elementos que contienen a y haciendo esto para cada de, (hay elementos en ), cada subconjunto con elementos estará tomadoen cuenta veces, así que

µ ¶

=

µ 1 1

¶

=

µ 1

1 ¶

Estamos en condiciones de seguir aplicando la fórmula para obtener

µ

¶ =

µ 1 1

¶ = () ( 1 1)

µ 2 2

¶ =

= · ( 1) · · · · ( ( 1))

· ( 1) · · · · ( ( 1)

µ

0

¶ =

= · ( 1) · · · · ( ( 1))

!

(

) =

= !

!( )!

Desde luego, ! = · ( 1) · 2 · 1.En resumen, tenemos queµ

¶ =

!

!( )!

Segunda forma.Escojamos un elemento de , vamos a partir () en dos conjuntos;

{ () | }

y en

{ () | }

(Es claro que un subconjunto de o bien contiene a o bien no locontiene).




Entonces

() = { () | } { () | }

4De donde vemos queµ

¶ = |{ () | }| + |{ () | }|

Hagámonos ahora la pregunta siguiente: ¿cuántos subconjuntos () no contienen a ?

Es claro que este número esµ \ {}

¶ =

µ 1

¶

(Aquí,µ

\ {}

¶ denota el número de subconjuntos con elementos que

tiene \{} ).Ahora nos preguntémonos por la cardinalidad del conjunto

{ () | }

Otra vez, un conjunto con elementos que contiene a se forma escogiendolos 1 elementos de que no son . Hayµ

1 1

¶ =

µ \ {}

1

¶

de éstos.Por lo tanto, µ

¶ =

µ 1

¶+

µ 1 1

¶ (5.2)

La fórmula anterior es conocida como la fórmula del triángulo de Pascal,un fragmento de él es:

4

denota la unión de y y además dice que y son ajenos.




µ 00 ¶µ 10

¶ µ 11

¶µ

20

¶ µ 21

¶ µ 22

¶µ

31

¶ µ 32

¶... . . .µ 1

1¶ µ 1

¶µ

1

¶ µ

¶Si uno observa el renglón ésimo del triángulo arriba, uno obtieneµ

0

¶

µ 1

¶

µ 1

¶

µ

¶

µ 1

¶

µ

¶que se llaman los coeficientes binomiales, pues cuando uno calcula

( + )

se obtiene

µ 0

¶0 +

µ 1

¶1 + +

µ 1

¶+11 +

+µ ¶ + +µ

1¶ 1 +µ

¶ 0

Esto no es una casualidad, observemos

( + )1( + )2 · · · ( + ) | {z } factores (+)

Este producto se puede realizar escogiendo uno de los dos sumandos dentrode cada paréntesis. Por ejemplo en el primero, en el segundo, en el




tercero, en todos los demás. Se obtiene un término 22. ¿De cuántasmaneras podemos obtener este mismo término?

Para responder esto, notemos que lo que se hace es escoger dos de los paréntesis (escogiendo en los demás). Esto se puede hacer de

µ 2

¶maneras, por lo que el coeficiente de 22 debe serµ

2

¶ =

µ 2

¶

El mismo razonamiento nos dice que el coeficiente de , al calcular

el producto es µ

¶ =

µ

¶

Así, hemos visto que

(+) =

µ 0

¶0 +

µ 1

¶1++

µ

¶ +++

µ

¶0

Notemos, como un caso particular, que

2 = (1 + 1) =

=

µ 0

¶110 +

µ 1

¶111 + +

µ

¶11 + +

µ

¶101 =

=

µ 0

¶+

µ 1

¶+ +

µ

¶+ +

µ

¶

Que se puede interpretar de esta manera: 2 es el número de subconjuntosde un conjunto con elementos, que también se pueden contar así:

subconjuntos con 0 elementos:µ

0

¶+

subconjuntos con 1 elemento:µ

1

¶+

subconjuntos con 2 elementos:µ

2

¶ +

...+ subconjuntos con elementos:µ

¶,




lo que dice otra vez que

2 = µ 0¶+µ

1¶+ + µ

¶+ + µ

¶

5.3 Permutaciones

¿Cuántas funciones biyectivas hay de a ?Una función biyectiva de en se llama una permutación en

Proposición 25 . Si || = ||, entonces hay el mismo número de biyec-ciones entre y que entre y .

Demostración. Denotemos por

() = { | es biyectiva}

Tomemos una biyección entre y (|| = ||). Observando el

siguiente diagrama

1

= 1

podemos notar que 1 es una biyección, ya que es una composiciónde biyecciones.Esto sugiere la siguiente función

() ( )1 ()

7 1

Esta función es biyectiva, pues su inversa es 1 ( ) . Por lo tanto,

|| = || |()| = |()|

Una pequeña modificación al argumento anterior nos da lo siguiente:

Proposición 26 Si || = || = , entonces |()| = |( )|.




5.3.1 Ordenaciones

Sea un conjunto con elementos y un conjunto con elementos, de-notemos

( ) = { | inyectiva}

Como ya es usual, demostraremos la siguiente:

Proposición 28. Si || = | | y || = ||, entonces ( ) = ( ).

Demostración. Tomemos biyecciones

y

.

La asignación

7 1

produce una biyección entre ( ) y ( ) cuya inversa es ( )1.

Corolario 6 . Si || = y || = , entonces |( )| = |( )|.

|( )| =

0 si , por el principio de las pichoneras! si =, pues en este caso una inyección es una biyección

!

( )! si

Demostración. Lo único que tenemos que demostrar es el tercer caso dearriba. Para ello, analicemos las maneras de construir una función inyectiva : .

Esto se puede hacer así:

primero escojamos la imagen de , que es un subconjunto con k elementosdel conjunto . Esto se puede hacer de

µ

¶ maneras.

Una vez que hemos escogido = , respondamos lo siguiente: ¿cuán-tas funciones inyectivas hay de a ?

Como ambos conjuntos tienen k elementos, entonces una inyección entreellos resulta una biyección, por lo que hay ! inyecciones de a .

Por lo tanto hay

µ

¶ !



5.3. PERMUTACIONES 301

funciones inyectivas de a . Es decir que

|( )| = !( )!

Vamos a matizar un poco nuestro lenguaje.

Definición 79

1. Llamaremos alfabeto a un conjunto finito y desde luego, sus elemen-tos se llamarán letras.

2. Una sucesión finita de letras,

12

se llamará “palabra” con letras (también se llama “ordenación conrepetición”).

3. Si la palabra no tiene letras repetidas, la palabra se llamará “orde-nación”.

Notemos que una palabra con letras corresponde a una función{1 2}

(Que manda a ). Si la “palabra no tiene letras repetidas se llamará una“ordenación”.

4. Denotemos con el número de ordenaciones (sin repetición) con

letras tomadas de un alfabeto con letras. Como ya hemos notado,este número es

= |( )| = !

( )!

5. Denotemos con el número de ordenaciones con repetición con

letras tomadas de un alfabeto con letras. Como cada una de estasordenaciones puede pensarse como una función de un conjunto con elementos a un conjunto con elementos, este número es¯

¯nk¯¯ =

(Ver el teorema 86, en la página 291).




Para completar este bosquejo acerca de algunos números que aparecencuando uno hace cuentas, notemos que:

Observación 81

1. Si y son conjuntos ajenos (es decir, de intersección vacía) entonces

| | = || + ||

2. Como consecuencia de lo anterior, tenemos que

|

| = || + ||

|

|

Como se puede ver si uno escribe

( ) = (\ ( )) (\ ( ))

( )

pues entonces

| |=|\ ( )| + |\ ( )| + | | =

=|\ ( )| + |\ ( )| + | | + | | | | =

=(|\ ( )| + | |)+(| \ ()| + | |) | | == || + || | |

3.| × | = || ||

Aquí hay que notar dos cosas:

• La primera, es que si tiene el mismo número de elementos que y

tiene el mismo número de elementos que , entonces| × | = | × |

Pues si y

son biyecciones, entonces

× () ×

( ) 7 ( () ())

es una biyección, cuyo inverso es × ( 11)

×




• La segunda cosa que hay que notar, es que si alguno de los dos conjuntoses infinito, , o entonces

| × | = || ||

es la definición de lo que significa multiplicar el cardinal de por elcardinal de .

En el primer caso, ( y finitos) notemos que

× =

{{} × }

es una unión de conjuntos ajenos dos a dos, cada uniendo con || elementos.Por lo tanto

| × | =X

{{} × } = || ||

Las siguientes proposiciones, aunque no sean precisamente una herramien-ta para el conteo, caben aquí.

Proposición 29

1. Si son conjuntos entonces

|¡

¢

| = | ×|

2. () = .

Demostración. En virtud de la proposiciones anteriormente vistas, bas-ta demostrar 1), pues 2) se sigue tomando con elementos, con

elementos y con elementos.Entonces debemos dar una función¡¢ ×

que tenga inverso.Tomemos ¡

¢ ×

7 ˆ

( ) =: ( )




5

Ahora definamos la función definida por

× ¡¢

7 (())() =: ( )

y veamos que en efecto es el inverso de 6.Tomemos una en

¡¢

,

()( ) = (()( )) =

()( )

queremos ver que esta función coincide con :Queremos demostrar que

()( )() = ()

que es una función de en .Para esto, queremos demostrar que

(()( )())() = ()()

pero

(()( )())() =: ( )(( ))

y( )(( )) = ( ) =: ()()

Por lo tanto,

(()( )())() = ()() Por lo tanto,

(()( )()) = () ( )

5Notemos que es una función de en , es decir que a cada elemento de , leasocia una función () de en , es decir que ()() es un elemento de .

tiene que ser una función de × en , así que debe asociarle a un elemento ( )

de × , un elemento de .¿Qué podría ser más natural que definir ( ) como ()()?6Esta función también es muy natural, pero tenemos que comprobar que es en efecto

el inverso de




Por lo tanto, ()( ) =

Por lo tanto, es la identidad.Además es la identidad:

( ) () = (() ()) = [ ()

queremos ver que esta función es .Sea ( ) × , entonces

[ () (( )) =: (( ()) ()) () = ( ()) () =: ( )

( )

×

Por lo tanto d() = Así, tenemos que y , son cada una la inversade la otra.

Proposición 30 . Si y son conjuntos ajenos, entonces

1.

× =¯

¯

2. · = ( + )

Demostración. Como en la proposición anterior, basta demostrar elinciso 1).

Tomemos y ajenos.Entonces la función

×

( ) 7 g definida por

( g ) () = ½ () si () si

Tiene inversa, que es

×

7 ¡| |

¢

La comprobación de que en efecto son funciones inversas, se deja al lector.

Ejercicio 216 Demuestre que en efecto las dos funciones de la Proposición 30 son inversas una de la otra.




1. Se puede pensar que la realización de un evento es “escoger un elementodentro del conjunto finito de sucesos posibles”. Por ejemplo el evento

de que un dado caiga mostrando dos puntos, lo podemos pensar comoel evento de escoger el 2 dentro del conjunto {1 2 3 4 5 6}.

2. El evento de escoger un placa de automóvil con tres números y tresletras equivale al evento de escoger una palabra con tres letras en elconjunto de las palabras con tres letras

3 = { }

y escoger un número con tres cifras dentro del conjunto Lo anteriorequivale a escoger un elemento del producto cartesiano, lo que se puedehacer de 273103 = 19683000 maneras, más que suficientes para lasplacas de cada automóvil mexicano.

3. Se tiene un librero con niveles, cada uno con un libro de Álgebra,otro de biología y otro de Cálculo. Si se escoge un libro por cada niveldel librero, ¿de cuántas maneras se pueden escoger libros de Álgebra, de Biología y el resto de Cálculo?

Si quisiéramos hacer una elección como se pide, podríamos empezar porescoger los niveles del librero de donde tomaremos un libro de Álgebra

(µ

¶maneras), luego, de los niveles de donde no se ha escogido

un libro, podemos escoger los niveles de donde tomaremos libros de

biología (µ

¶ maneras). De los niveles que quedan, tomamos

los libros de Cálculo.En resumen hay

µ ¶ ·µ

¶maneras.

4. Supongamos que queremos encontrar el coeficiente de en ( + +). Éste, aunque no lo parezca, es el mismo problema que el anterior.Escribamos

( + + ) = ( + + ) • ( + + ) • · · · • ( + + )

| {z }




Al hacer el producto, se escoge un sumando por cada paréntesis.Determinar el coeficiente de es exactamente lo mismo que contar

el número de maneras en que se pueden escoger áes en el productoanterior, y después bes entre los factores restantes. Por lo tantola solución es otra vez:

µ

¶µ

¶

5. Queremos encontrar el coeficiente de 11 2

2 · · en

(1 + 2 + + )

Es claro que la respuesta es

µ 1

¶µ 1

2

¶µ 1 2

3

¶· · ·

µ (1 + 2 + + 2)

1

¶

6. (1 + 2 + 3 + 4)2 = 102 = 100, y se puede escribir como

X()µ 2 ¶µ

2 ¶µ

2 ¶

12 34(2 )




Como se ilustra en la siguiente tabla

µ 2

¶·

·

µ 2

¶·

·

µ

¶ 12 34(2 )

µ 2¶ ·

·

µ 2

¶·

·

µ 2

¶

·

·12 34(2 )

0 0 0 111 16 160 0 1 112 12 +24

0 0 2 111 9 +90 1 0 121 8 +160 1 1 121 6 +120 2 0 111 4 +41 0 0 211 4 +81 0 1 211 3 +61 1 0 211 2 +42 0 0 111 1 +1

100

Ejercicio 217 . Calcular el coeficiente de 23 4 en ( + 2 + )10

5.4 ¿Cuántas funciones suprayectivas hay de a ?

Empezaremos con la siguiente proposición.

Proposición 31 Si || = || y || = ||, entonces el número de funciones suprayectivas de a es el mismo que el de funciones suprayectivas de a .

Demostración. Denotemos

( ) = { :

| es suprayectiva}



5.4. ¿CUÁNTAS FUNCIONES SUPRAYECTIVAS HAY DE A ? 309

Tomemos y

, biyecciones. Definamos

( ) ( )1

( ) 7 1

Vea el siguiente diagrama

1

es decir que si es una función suprayectiva de a , entonces

1

lo es de a (se está usando el hecho de que una composición de funcionessuprayectivas es suprayectiva). La función

( ) ( )1 ( )

es biyectiva (porque su inverso es 1( ))Por lo tanto |( )| = |( )|.Volvamos a hacernos la pregunta:

¿cuántas funciones suprayectivas hay de a ?.

Denotemos este número por . Es claro que si , entonces = 0(si hubiera una función suprayectiva de a , entonces habría una funcióninyectiva de a , y así

.

Notemos ahora que si , y

³

es una función suprayectiva, entonces, dado que = {0 1 1}

podemos considerar los siguientes subconjuntos de :

1(0) = { | () = 0} 1(1) = { | () = 1} 1(2) = { | () = 2}

...

1

( 1) = { | () = 1}




que parten a en partes no vacías7, ajenas dos a dos.Es decir que el conjunto

{ 1(0) 1(1) 1( 1)}

es una partición de , en el sentido usual.Podemos replantear lo que hace la función de la siguiente manera:

envía todos los elementos de 1(0) a 0, todos los elementos de 1(1) a 1,etcétera.

Renombremos los elementos de la partición:

{ 1(0) 1(1) 1(

1)}

denotando = 1( )

Así la partición se denota ahora como { 0 1 1}.¿Habrá otras funciones además de que produzcan la misma partición?Es claro que sí, pues lo que se necesita es que todos los elementos de una

misma parte vayan a dar al mismo elemento pero que elementos en partesdistintas vayan a dar a elementos distintos.

Notemos que en este momento estamos contando el número de biyeccionesentre el conjunto { 0 1 1} y .

Así pues, hay ! funciones de a que dan lugar a la misma partición.Así que si conociéramos el número de particiones de en partes,

tendríamos resuelto el problema, pues debe ser claro de lo anterior que

= !

Es claro que = 0 si ,

y que = 1

8, así que lo más interesante es decir algo de cuando

7Como es suprayectiva, cada elemento de proviene de un elemento de , así quecada

1( ) = { | () = }

no es vacío.8Un conjunto con elementos sólo se puede partir en partes no vacías de una sola

manera: tomando partes cada una con un elemento.



5.4. ¿CUÁNTAS FUNCIONES SUPRAYECTIVAS HAY DE A ? 311

5.4.1 Relación de recurrencia para P

Escojamos un elemento de = {0 1 2 1}

por ejemplo 1. Podemos separar las particiones de en partes en dosclases:

1. Las particiones en las que una parte es { 1} (es decir, 1 estásolitario en su parte). Es claro que las 1 partes restantes formanuna partición de {0 1 2 2} = 1.

Entonces el número de particiones que estamos contando aquí, es 1

1

2. Las particiones en las que 1 no está solitario en su parte. Por ejem-plo, supongamos que la partición es { 0 1 1}, y que 1 con | | 1.¿Qué obtenemos si quitamos 1 de ?Es claro que obtenemos una partición de 1 = {0 1 2 2}, en partes:

{ 0 1 \{ 1} 1}

Si ahora empezáramos con una partición en partes de 1, porejemplo

{ 0 1 1}

En esta partición 1 no aparece en ninguna de las partes, la queremosagregar a alguna parte, para tener una partición de , con la propiedadde que

1 no quede solitaria.

¿Cuántas elecciones podemos hacer? Es claro que . Entonces, esclaro que por cada una de las 1

. maneras de partir 1 en partes, tenemos particiones de en las que 1 no queda sola. Elresultado de nuestra cuenta es

1 ·

Sumando ahora los números en 1) y en 2) tenemos que

= 1

1 + 1

·




Ejemplo 120 . ¿Cuántas funciones suprayectivas hay de {0 1 2 3} a { }?

Por lo que vimos arriba, hay

42 = 2! 42 = 2[ 31 + 32 2] = 2[1 + 2( 21 + 22 2)] =

= 2[1 + 2(1 + 1 · 2)] = 2 · 7 = 14

¿Cuales son las funciones?1) Contemos primero las que mandan únicamente a 3 en su imagen (es decir,las imágenes de 2, de 1 y de 0 son distintas de la de 3). La imagen de 3 sepuede escoger de dos maneras: se escoge ó Como sólo 3 va a su imagen,los demás elementos van a dar al otro elemento de { }, así que la cuentava en dos:

3 7 3 7 2 7 2 7 1 7 1 7 0 7 0 7

2) Contemos ahora las funciones que mandan 3 y otro elemento de {0 1 2 3}al

mismo elemento de { }. Por ejemplo pensemos en que 3 7 . Quitan-do 3 del dominio, contamos ahora el número de funciones suprayectivas de{0 1 2} a { } (hay tantas como 2! 32 ). Pero ¿de cuántas formas se puedepartir un conjunto con tres elementos en dos partes? En una parte debenhaber dos elementos y en la otra uno solo. ¿De cuántas maneras se puedeescoger el que queda solo?, de tres. Por lo tanto

2! 32 = 6

Así que hay 6

funciones suprayectivas que mandan 3

a

, y algún otroelemento también a .

Como también hay 6 funciones suprayectivas que mandan 3 a y a algúnotro elemento a tenemos 12 funciones suprayectivas en las que 3 y otroelemento van a dar al mismo elemento de { }.

Seamos un poco más explícitos en la descripción de las funciones suprayec-tivas de {0 1 2} en { }:

Particiones de {0 1 2} en dos partes:

{{0 1} {2}} {{0 2} {1}} {{1 2} {0}}



5.5. EJERCICIOS 313

De la partición {{0 1} {2}} obtenemos las dos funciones:

0 7 0 7 1 7 1 7 2 7 2 7

De las otras dos particiones obtenemos otras 4 funciones (así que contamos6 en total).

Veamos ahora como usar las funciones de arriba, para construir funcionessuprayectivas de {0 1 2 3} en { } para las que 3 comparte su imagen conotro elemento de {0 1 2 3}:

3 7 3 7 3 7 3 7 0 7 0 7 0 7 0 7 1 7 1 7 1 7 1 7 2 7 2 7 2 7 2 7

Así es como se construyen las 12 funciones del inciso 2.

5.5 Ejercicios

Ejercicio 218 . En una fiesta, había personas que se saludaron de manoun número impar de veces. Demostrar que es par .9

Ejercicio 219 . Si es un cuadrado (demuéstrese que) tiene un númeroimpar de divisores. Si no es un cuadrado entonces tiene un número par de divisores.10

Ejercicio 220 . Un dominó puede cubrir exactamente dos cuadrados adya-centes de un tablero de ajedrez.

9A cada persona pregúntese cuántas manos estrechó. Sumando todos estos númerosobtenemos el doble del número de apretones de manos (es decir, un número par, así queno puede ser impar el número de personas que saludaron un número impar de veces).

10 Sea = 11 22

la factorización en primos de (Teorema fundamental de la Aritmética).Si es un cuadrado, entonces cada exponente es par. ¿Cómo escogemos un divisor

de ? Tomando una sucesión de exponentes 1 2 tales que .Esto se puede hacer de|1 + 1||2 + 1| | + 1| maneras, pues, por ejemplo, 1 puede

escogerse en el conjunto {0 1 2 1}.




1. Muestre que 32 dominóes pueden cubrir exactamente el tablero com-pleto de ajedrez (que es de 8 × 8).

2. Ahora recorte dos cuadrados en esquinas opuestas del tablero. De-muestre que lo que queda no se puede cubrir con 31 dominóes.

Ejercicio 221 . Los ladrillos con forma de L del tipo

que cubren cuatro cuadrados cada uno pueden cubrir un rectángulo de 5 × 8

como se muestra abajo

1. Demuestre que un rectángulo de 5 × 4 o de 6 × 6 no se puede cubrircon estos ladrillos.11

2. Demuestre que si un rectángulo se puede cubrir, entonces el enladrilladousa un número par de ladrillos.12

11 Es claro que esto se sigue del inciso siguiente, pues las cantidades de ladrillos necesariasserían 5 y 9 respectivamente.

12 Observemos un ladrillo:



5.5. EJERCICIOS 315

Figura 5.1:

3. Demuestre que si 8 divide y tanto como son mayores que tres,entonces un rectángulo de × se puede enladrillar.

Ejercicio 222 . Un Senado tiene 100 miembros, así que tiene 21001 sub-comités posibles (quitando el subcomité vacío). ¿Cuál es el mayor número de subcomités que se pueden formar, sujetos a la condición de que cualesquiera dos subcomités tengan por lo menos un elemento en común?

Supongamos que tenemos un rectángulo que se puede cubrir con los ladrillos dados.Como cada ladrillo consta de 4 cuadrados “unitarios”, entonces, si el rectángulo mide unidades entonces es un múltiplo de 4, y ó tiene que ser par. Supongamos que es par, y veamos el rectángulo de manera que la altura mida y la base mida :

Ahora, sombreemos las columnas alternadamente, como en el dibujo anterior. Notemosque hay un número par de cuadros grises y un número par de cuadros blancos. Ahora,coloquemos un ladrillo y notemos que como quiera que se ponga, cubre un número imparde cuadros grises: 1 ó 3. Así que si el rectángulo se puede enladrillar debemos usar unnúmero par de ladrillos para cubrir el número par de cuadros grises.




Ejercicio 223 . En el club cada miembro pertenece a dos comités y cualesquiera dos comités tienen exactamente un miembro en común. Hay

cinco comités ¿Cuántos miembros tiene el club?

Ejercicio 224 . Se tienen pelotas etiquetadas 1 2 3 ¿De cuántas maneras pueden disponerse en un círculo de tal forma que los números de dos bolas adyacentes cualesquiera difieran en 1 ó en 2?

Ejercicio 225 . Una ficha de dominó (o un dominó) es un par de números cada uno en {0 1 6}.

1. ¿Cuántas fichas diferentes de dominó hay si consideramos (a, b) y (b,a) la misma ficha. (éste no es un problema para los que conocen eldominó).

2. ¿De cuántas maneras podemos escoger un par de dominóes que cacen,es decir que compartan un número?

Ejercicio 226 . n un motor de seis cilindros los cilindros pares están a la izquierda y los impares a la derecha. Un buen orden de explosiones es una

permutación de los números del 1 al 6 en que se alternen los lados del motor.1. ¿Cuántos buenos órdenes para explosiones hay?

2. Haga lo mismo para un motor con 2 cilindros.

Ejercicio 227 . Hay nueve libros diferentes en un librero. Cuatro de ellos son rojos y cinco de ellos son negros. ¿Cuántos arreglos se pueden hacer si

1. no hay restricciones?

2. los libros negros tienen que ir juntos?

3. los libros negros tienen que ir juntos y también los libros rojos debenir juntos?

4. los colores deben alternarse?

Ejercicio 228 . Hay 24 tomos de una enciclopedia en un librero. ¿De cuántas maneras se pueden escoger 5 tomos sin escoger tomos consecutivos?



5.5. EJERCICIOS 317

Ejercicio 229 . Se escriben los números desde 1 hasta , hasta que el número total de dígitos que se escribe es 1890? ¿Quién es ?

Ejercicio 230 . Consideremos equivalentes dos números de 10 dígitos si uno se puede obtener del otro permutando sus dígitos. ¿Cuántos números de 10 dígitos no equivalentes hay?

Ejercicio 231 . Demostrar que el número de apareamientos diferentes para la primera ronda de un torneo de tenis con 2 participantes es 13

(1)(3)(5) (2 1)

Ejercicio 232 . Demuestre que el número de maneras diferentes en que números distintos del conjunto {1 2 3 } se pueden colocar en un círculoes

!

( )!

donde arreglos que difieren solamente por una rotación se consideran iguales.

Por ejemplo,2 12

12 3 = 9 29 3

1. ¿De cuántas maneras se pueden escoger tres números del conjunto{1 2 99} tal que su suma sea múltiplo de 3?

2. Generaliza lo anterior para selecciones de tres números del conjunto

{1 3}

Ejercicio 233 . Si se escribieran los números desde 1 hasta 1000000, ¿cuán-tas veces aparecería el número 0?

13 Si se etiquetan los jugadores 1 2 3 2 escojamos el rival de 1, esto se puede hacerde 21 maneras Enseguida hay que hacer la misma cuenta pero con los 22 jugadoresrestantes (quitando a 1 y su rival).




Ejercicio 234. Demuestre que si dados idénticos se lanzan, hay

µ + 5

5 ¶posibles resultados.14

Ejercicio 235. En el parlamento de cierto país hay 201 asientos, y tres partidos políticos. ¿De cuántas maneras se pueden dividir estos asientos de tal manera que ningún partido tenga asegurada la mayoría (es decir, que ninguno tenga más de la mitad de los asientos).

Ejercicio 236 . Muestre que pelotas idénticas se pueden colocar en cajas etiquetadas (

) de tal manera que ninguna caja quede vacía, de µ 1

1¶ maneras.

Ejercicio 237

1. ¿Cuántos triángulos se pueden dibujar de tal manera que todos susvértices sean vértices de un polígono con lados y tales que todos suslados sean diagonales del polígono?

2. Demuestre que el número de k-gonos que se pueden dibujar de estamanera es

µ 1

1

¶

Ejercicio 238 . Cada arreglo de equis en cuatro cajas codifica una cadena creciente de 1 2 3, y 4. Por ejemplo:

codifica a 122244 (escriba una vez 1, escriba tres veces 2, escriba cero veces 3, escriba dos veces 4).

14 Imagínese que se toman 1 dados con el número 1, después agréguese un dado marcadocon una , para separar los dados con 1 de los dados con 2, después de los 2 dados condos, agréguese otro dado marcado con , para separar los dados con 2 de los dados con 3,y así sucesivamente. Tenemos ahora los dados originales más cinco dados separadores.Un resultado posible al lanzar los dados se toma escogiendo las posiciones de los cinco

dados separadores entre los + 5 dados. Es decir, µ + 5

5 ¶ .



5.5. EJERCICIOS 319

Demuestre que el número de palabras crecientes de longitud formadas de un alfabeto con letras es µ

+ 1

¶

(Una palabra es creciente si sus letras, excepto por repeticiones, aparecen en orden alfabético, por ejemplo ).

Ejercicio 239 . Muestre que el número de maneras de colocar 1s y 0s en línea sin que haya 1s adyacentes es

µ + 1

¶

Ejercicio 240 . Muestre que el número de -subconjuntos de {1 2}que no contiene ningún par de enteros consecutivos es µ

+ 1

¶

(Vea el ejercicio anterior).Ejercicio 241 . Dados conjuntos, el primero con 1 elementos, el segundocon 2 y así sucesivamente. Todos los elementos en todos los conjuntos son distintos. Demuestre que el número total de maneras de escoger una muestra de estos conjuntos que no tome más de un elemento de cada conjunto (puede que no se tome ningún elemento en algún conjunto) es:

(1 + 1)(2 + 1) ( + 1)

Ejercicio 242 . Si se factoriza en primos 1 2 en la forma

= 11 2

2 33

demuestre que el número de divisores de es

(1 + 1)(2 + 1) ( + 1)

Usando esta fórmula demuestre que un entero es un cuadrado si y sólo si tiene un número impar de divisores.




Ejercicio 243 . En mecánica estadística, se necesita contar el número de maneras en que partículas se pueden meter dentro de cajas bajo tres tipos

de hipótesis:

• (Maxwell-Boltzmann) Las partículas son diferentes y cualquier númerode ellas se puede meter dentro de una caja.

• (Bose-Einstein) Las partículas son idénticas y se puede meter cualquiernúmero de ellas dentro de una caja.

• (Fermi-Dirac) Las partículas son idénticas pero no puede haber más deuna dentro de una caja.

Encuentre el número de arreglos para cada caso.

Ejercicio 244 . Se tiene un sistema con cuatro partículas que satisface la hipótesis de Bose-Einstein. Cada partícula puede tener nivel de energía 0 2 3 o 4 pero la energía total del sistema es 4 . Una partícula con energía puede ocupar cualquiera de (2 +1) estados diferentes de energía.¿Cuántas configuraciones de estados de energía hay?

Ejercicio 245 . Repita el problema anterior con la hipótesis de Fermi-Dirac excepto porque ahora una partícula de energía puede ocupar cualquiera de 2(2 + 1) estados de energía diferentes, y no hay dos partículas que tengan el mismo estado de energía simultáneamente.

Ejercicio 246 . ¿De cuántas maneras se pueden escoger subconjuntos de un conjunto con elementos tales que sean ajenos dos a dos. Ilustre esto con un conjunto con tres elementos de donde se tomen parejas de subconjuntos ajenos.

Ejercicio 247 . Supongamos que tenemos una provisión ilimitada de pelotas con colores y un número primo . Demuéstrese que el número de arreglos diferentes de pelotas en un círculo es

si quitamos los arreglos en los que todas las pelotas son del mismo color. Estodemuestra que divide a

(Pequeño Teorema de Fermat).



5.5. EJERCICIOS 321

Ejercicio 248 . En una tienda hay clases de tarjetas postales. Queremos enviarlas a amigos. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto? ¿Qué

sucede si queremos enviarles diferentes postales? ¿Qué sucede si queremos enviar dos postales diferentes a cada amigo, pero diferentes amigos pueden tener la misma postal?

Ejercicio 249 . Tenemos tarjetas postales diferentes. Queremos en-viárselas a amigos (un amigo puede recibir cualquier número de tarjetas postales incluyendo como posibilidad a 0). ¿De cuántas manera se puede hac-er? ¿Qué sucede si queremos enviar por lo menos una postal a cada amigo?

Ejercicio 250 . ¿Cuántos anagramas se puede formar de la palabra char-acterization? (Un anagrama de una palabra es otra palabra que tiene las mismas letras que la primera, apareciendo el mismo número de veces. Nohace falta que tenga un significado, es decir que podría no estar en el dic-cionario).

Ejercicio 251

1. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir monedas entre personasde manera que cada persona reciba por lo menos una?

2. Si retiramos la condición de que cada persona reciba alguna moneda,¿de cuántas maneras se puede hacer el reparto?

Ejercicio 252 . Hay clases de postales, pero solamente un número limi-tado de cada clase, hay copias de la ésima. ¿De cuántas maneras se les pueden enviar a amigos? (Podemos mandar más de una copia de la misma

postal a la misma persona).

Ejercicio 253 . Mostrar que el número de particiones de un número en exactamente sumandos es igual al número de particiones de en nomás de sumandos.

Ejercicio 254 . Mostrar que el número de particiones de un número en cualquier número de sumandos distintos es igual al número de particiones de en sumandos impares.




Ejercicio 255 . Tenemos monedas. Cada día compramos exactamente uno de los siguientes productos: taco ( 1 moneda), tamal ( 2 monedas) refresco

( 2 monedas). ¿Cuál es el número de maneras posibles de gastar todo el dinero?

Ejercicio 256 . ¿Cuál es el número de maneras posibles de subir escalones, si podemos subir un escalón o dos en cada paso?

Ejercicio 257 . ¿Cuántas sucesiones de longitud se pueden hacer con de tal manera que y nunca queden juntos?

Ejercicio 258 . ¿Cuál es el número de adas que se pueden escoger de

{1 2 }

que no contengan enteros consecutivos?

Ejercicio 259 . Queremos romper un palo de longitud en piezas de longitud 1. ¿Cuál es el número de maneras para hacer esto? si:

1. en cada paso, rompemos una de las piezas con longitud mayor que 1en dos.

2. En cada paso rompemos cada una de las piezas de tamaño mayor que1 en dos.

Ejercicio 260 . ¿De cuántas maneras se le pueden poner paréntesis al pro-ducto

12

(de manera que cualquier paréntesis incluya un producto de dos factores).

Ejercicio 261 . ¿Cuál es el número de triangulaciones de un gonoconvexo? (Una triangulación es un conjunto de 3 diagonales que no se cruzan y que por lo tanto dividen al gono en 2 triángulos).

Ejercicio 262 . ¿De cuántas maneras se puede dividir un gono convexoen triángulos usando 1 diagonales que no se crucen, de tal manera que cada triángulo tenga una arista en común con el

gono convexo?



5.5. EJERCICIOS 323

Ejercicio 263 . En el salón de clase de una preparatoria hay 30 estudiantes,a 12 de ellos les gustan las Matemáticas, a 14 les gusta la física y 13 la

química, a 5 alumnos les gustan tanto la física como las Matemáticas, a 7les gustan la física y la química a la vez y a 4 les gusta las Matemáticas y la química. Hay 3 a los que les gustan las tres materias. ¿A cuántos alumnos no les gusta ninguna materia?

Ejercicio 264 . Tenemos alcancías, con llaves diferentes. Alguien cierra las alcancías, revuelve las llaves y deposita una llave dentro de cada alcancía.Rompemos alcancías. ¿Cuál es la probabilidad de que podamos abrir las

restantes, con las llaves que obtuvimos?

Ejercicio 265 . A lo largo de un circuito de carreras de autos hay gasolin-eras. La cantidad total de gasolina disponible es la misma que la que nuestroauto necesita para el recorrido. Demuestre que existe una gasolinera en donde se puede empezar con el tanque vacío, de tal forma que podemos completar el recorrido del circuito. Por ejemplo si sólo hay una gasolinera, entonces ésta contiene gasolina para completar todo el recorrido. Si hay dos gasolineras,es seguro que en una de ellas hay suficiente gasolina para llegar a la segunda

(¿por qué?).

Ejercicio 266 . En el primer grupo de la clase «» de un campeonato de futbol participan 17 equipos. Los premios son medallas de oro, de plata y de bronce. ¿De cuántas formas éstas pueden ser distribuidas?

Ejercicio 267 . Hay una sociedad científica formada por 25 personas. Es necesario elegir al presidente de la sociedad, al vicepresidente, al secretario

científico y al tesorero.¿De cuántas formas se puede efectuar esta elección,si cada miembro de la sociedad puede ocupar sólo un cargo?

Ejercicio 268 . ¿De cuántas formas se pueden colocar en el tablero de ajedrez 8 torres de modo que no se puedan comer una a la otra?

Ejercicio 269 . Un domador de fieras quiere sacar a la arena del circo 5leones y 4 tigres. Un tigre no puede ir detrás de otro. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir las fieras?




Ejercicio 270 . Se dan objetos diferentes y cajones. Hay que colocar 1 objetos en el primer cajón, 2 en el segundo, . . ., en el

ésimo,

siendo1 + 2 + + =

¿De cuántas maneras se puede efectuar dicha distribución?

Ejercicio 271 . Tres niños juntaron 40 manzanas de un árbol. ¿De cuántas maneras pueden repartirlas, si todas las manzanas se ven iguales (es decir, si sólo nos interesa cuántas manzanas obtiene cada uno, y no cuáles manzanas le tocan).

Ejercicio 272 . ¿De cuántas maneras se pueden repartir 10 hongos blancos,15 setas y 8 trufas entre 4 niños?

Ejercicio 273 . Quiero enviar a mi amiga 8 fotos distintas. ¿De cuántas maneras puedo hacerlo, utilizando 5 sobres diferentes?

Ejercicio 274

1. Por el envío de un paquete hay que pagar 18 monedas. ¿De cuántas

formas se puede pagar con estampillas de valor de 4, 6 y 10 monedas, sidos formas que se distingan en el orden de las estampillas se considerandiferentes? La reserva de estampillas de distinto valor se considerailimitada. La manera 4 4 10 se considera distinta de la manera 10 4 4.

2. Se dispone de estampillas de valores de 1 2 monedas. ¿Decuántas maneras se puede pagar con ellas una suma de monedas, sidos formas que se distingan en el orden se consideran distintas?.

Ejercicio 275 . ¿Cuántos son los pares diferentes de números enteros e desde 1 hasta 1000, para los cuales

(2 + 2)49

es un número entero?. (Los pares { } y { } son iguales.)

Ejercicio 276 . Partiendo de los números desde 1 a se han compuesto to-da clase de productos, que constan de factores diferentes ( fijo). ¿Cuántos de los productos obtenidos son divisibles por un número primo

?



5.5. EJERCICIOS 325

Ejercicio 277 . En el campeonato de futbol de un país participan 20 equipos.¿Cuál es el número mínimo de partidos que deben jugarse, para que entre

cualesquiera tres equipos haya dos que ya hayan jugado entre sí?.

Ejercicio 278 . Si se colocan en un tablero de ajedrez dos torres (negra y blanca). ¿Qué es lo más probable, que dichas torres pueden comerse una a la otra o que no puedan?

Ejercicio 279 . Un tablero de ajedrez de 6 × 6 de dimensión está cubiertocon 18 fichas de dominó de 2 × 1 de dimensión (de tal modo que cada ficha cubre dos casillas). Demuéstrese que, cualquiera que sea la forma en que las

fichas cubren el tablero, éste puede ser cortado en dos partes, horizontal overticalmente sin perjudicar ninguna ficha de dominó.

Ejercicio 280 . Las casillas (escaques) de un tablero de ajedrez se han enumerado de la siguiente manera: la primera fila horizontal con los números del 1 al 8 de izquierda a derecha; la segunda fila horizontal, con los números del 9 al 16 de izquierda a derecha, etc. En el tablero están colocadas 8 torres de tal modo que no se ataquen una a la otra. ¿Qué valor puede tomar la suma de números de los escaques en los cuales están colocadas las torres?

Ejercicio 281 . En cada escaque de un tablero de ajedrez de dimensión ×se ha puesto un número que indica la cantidad de rectángulos que contienen dicho escaque. ¿Cuánto es la suma de todos los números escritos?

Ejercicio 282 . Demuéstrese que de cualesquiera cinco hongos que crecen en un bosque y que no están dispuestos en una recta, siempre hay cuatrohongos tales que sirven de vértices de un cuadrilátero convexo.

Ejercicio 283 . Cierta comisión se reunió 40 veces. Cada vez había en las sesiones 10 miembros. Además, cualesquiera dos miembros de la comisión presenciaron juntos una sesión a lo más una vez. Demuéstrese que el númerode miembros de la comisión es superior a 60.

Ejercicio 284 . En una oficina hay 25 empleados. Demuéstrese que de dichos empleados no pueden formarse más de 30 comisiones con 5 personas en cada una, de tal modo que ningún par de comisiones tenga más de un miembro común.




Ejercicio 285 . Para pintar una cara de un cubo hacen falta 5 segundos.¿Cuál es el tiempo mínimo en el transcurso del cual 3 hombres pueden pintar

188 cubos? (Se supone que dos hombres no pueden pintar simultáneamente un cubo).

Ejercicio 286 . En un campeonato gimnástico dos equipos contaban con un número igual de participantes. En total la suma general de tantos obtenidos por todos los participantes era igual a 156. ¿Cuál fue el número de partici-pantes, si cada uno de ellos obtuvo notas sólo de 8 y 9 tantos?.

Ejercicio 287 . Se tienen 9 palos de diferente longitud desde 1 hasta 9 cm

¿De cuántos métodos y con qué lados pueden formarse cuadrados; haciendouso de dichos palos? (No es obligatorio que se usen todos los palos; los métodos de formación de un cuadrado se consideran diferentes, si se emplean palos distintos.)

Ejercicio 288 . ¿Qué hay más entre el primer millón de números: aquellos en cuya notación se encuentra 1, o aquellos en cuya notación 1 no está contenido?

Ejercicio 289 . Demuéstrese que si una partida de ajedrez se desarrollara con un número infinito de jugadas, entonces

1. existiría por lo menos una posición se repetiría un número infinito deveces.

2. Demuéstrese que existiría una sucesión de jugadas de longitud tangrande como se quiera, que se repetiría un número infinito de veces.

Ejercicio 290 . Demuéstrese que en cada fracción decimal infinita existe

una sucesión de signos decimales de longitud arbitraria, que en el desarrollode la fracción se encuentra un número infinito de veces.

Ejercicio 291 . ¿Cuántos ceros tiene al final el número ((3!)!)! en notación decimal?

Ejercicio 292 . Los incisos siguientes se refieren a los números enteros del 5 al 200, incluyendo ambos.

1. ¿Cuántos hay?



5.5. EJERCICIOS 327

2. ¿Cuántos números pares hay?

3. ¿Cuántos números impares hay?4. ¿Cuántos son divisibles entre 5?

5. ¿Cuántos son mayores que 72?

6. ¿Cuántos contienen dígitos diferentes?

7. ¿Cuántos contienen el dígito 7?

8. ¿Cuántos no contienen el dígito 0?

9. ¿Cuántos son mayores que 101 y no contienen el dígito 6?

10. ¿Cuántos contienen dígitos en orden estrictamente creciente? (Algunosejemplos son 147, 8.)

11. ¿Cuántos son de la forma , en donde 0 6= y ?

Ejercicio 293

1. ¿De cuántas maneras pueden cinco personas cumplir años en mesesdiferentes?

2. ¿Cuántas posibilidades hay para los meses de cumpleaños de cinco per-sonas?

3. ¿De cuántos modos pueden al menos dos de las cinco personas cumpliraños en el mismo mes?

Ejercicio 294

1. ¿Cuántas manos de bridge hay que tengan exactamente dos palos?15

15 Una mano de bridge consta de 13 cartas. La baraja consta de 52 cartas repartidas encuatro palos o bazas:

Estos palos se llaman tréboles, diamantes, corazones y espadas, respectivamente. Porejemplo hay 13 cartas de tréboles: 2 10 . Nótese que funciona como el11, como el 12 y como el 13. Para algunos propósitos, por ejemplo en el póker, funciona como 14 (“el as mata al rey”) o como 1. Una “corrida” puede tener los números 2 3 4 5 pero también 10 es una corrida.




2. ¿Cuántas manos de bridge hay que tengan los cuatro ases?

3. ¿Cuántas manos de bridge hay que tengan cinco naipes de espadas,cuatro de corazones, tres de tréboles y uno de diamantes?

4. ¿Cuántas manos de bridge hay que tengan cinco cartas del mismo palo,cuatro de otro, tres del tercero y una del cuarto?

5. ¿Cuántas manos de bridge hay que tengan cuatro cartas de cada unade tres figuras diferentes y una de la otra?

6. ¿Cuántas manos de bridge hay que no tengan cartas de cara? (Una

carta de cara es una con la denominación J, Q, K.

Ejercicio 295 . ¿De cuántas maneras pueden colocarse seis llaves difer-entes en una argolla? (Voltear la argolla no cuenta como un arreglo difer-ente.)

Ejercicio 296

1. ¿De cuántas maneras pueden formar una fila cinco rusos y cinco chinos?

(Se considera que todos son diferentes, es decir distinguimos un rusode otro).

2. ¿De cuántos modos pueden formar una fila cinco rusos y cinco chinossi dos rusos no pueden estar juntos?

3. ¿De cuántos modos cinco rusos y cinco chinos pueden sentarse alrededorde una mesa circular?

4. ¿De cuántas maneras cinco rusos y cinco chinos pueden sentarse alrede-

dor de una mesa circular si dos rusos no pueden estar juntos?5. ¿De cuántas maneras pueden formar una fila cinco rusos y ocho chinos

si dos rusos no pueden estar juntos?

6. ¿De cuántos modos cinco rusos y ocho chinos pueden sentarse alrededorde una mesa circular si dos rusos no pueden estar juntos?

Ejercicio 297 . En los incisos siguientes se supone que hay 20 bolas: 6rojas, 6 verdes, 8 moradas.



5.5. EJERCICIOS 329

1. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse cinco bolas si todas las bolasse consideran distintas? (por ejemplo si estuvieran numeradas del 1 al

20).

2. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse cinco bolas si las del mismocolor se consideran idénticas?

3. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse dos rojas, tres verdes y dosmoradas, si las bolas del mismo color son distintas ? (por ejemplo lasrojas están numeradas del 1 al 6, las verdes lo mismo y las moradas del1 al 8).

4. Se sacan cinco bolas, se las repone y se vuelven a sacar cinco. ¿Decuántas maneras es posible hacer lo anterior sí las bolas se considerandistintas?

5. Se sacan cinco pelotas y, sin reponerlas, se vuelven a sacar cinco deellas. ¿De cuántas maneras es posible hacer lo anterior si las bolas seconsideran distintas?

6. Se sacan cinco bolas, con al menos una roja y se las repone; se vuelvena sacar otras cinco con a lo sumo una verde ¿De cuántas maneras esposible hacer la anterior si las bolas se consideran distintas?

7. Se sacan cinco bolas con al menos una roja, y sin reponerlas, se vuelvena sacar otras cinco con a lo sumo una verde. ¿De cuántas maneras esposible hacer lo anterior si las bolas se consideran distintas?

Ejercicio 298 . ¿De cuántas maneras se pueden repartir 15 ejemplares idénticos de un libro de Matemáticas entre seis estudiantes?

Ejercicio 299 . ¿De cuántas maneras se pueden repartir 10 libros difer-entes entre tres estudiantes si el primer estudiante debe tener cinco libros, el segundo tres y el tercero dos?

Ejercicio 300 . Los incisos siguientes se refieren a tres pilas de pelotas iguales rojas, azules y verdes, donde cada pila contiene al menos diez bolas.

1. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar diez pelotas?




2. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar diez pelotas, si debe tenerse,al menos, una bola roja?

3. ¿De cuántos modos se pueden elegir diez bolas, si debe tenerse, almenos, una pelota roja, dos azules y tres verdes?

4. ¿De cuántos modos se pueden elegir diez bolas, si debe tenerse, exac-tamente, una pelota roja?

5. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse diez pelotas, si debe tenerse,exactamente, una pelota roja y, al menos, una azul?

6. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse diez pelotas, si debe tenerse,a lo sumo, una roja?

7. ¿De cuántas maneras se pueden seleccionar diez pelotas, si el númerode bolas rojas debe ser el doble del número de pelotas verdes?



Capítulo 6

El campo de los números reales

6.1 Consideraciones generales

No parece exagerado decir que el conjunto R de los números reales es una delas columnas principales en que se apoya el conocimiento matemático moder-no, cuyas raíces se remontan hasta la Grecia antigua. En efecto, una partefundamental del desarrollo teórico de la Matemática fue el descubrimiento,

atribuido a los pitagóricos, de la inconmensurabilidad de segmentos en la rec-ta, lo que evidenció que la colección de magnitudes de estos, es más numerosaque el conjunto Q de los números racionales.

Quizá la primera de tales inconmensurabilidades fue la relación entre lamagnitud de la diagonal de un cuadrado y la longitud de cualquiera de suslados, hallazgo que planteó graves contradicciones en la concepción pitagóri-ca de la recta, y aunque Eudoxio (408, 355 a.C.) desarrolló su “teoría sobrelos segmentos de recta inconmensurables”, que es el análogo geométrico dela construcción de las cortaduras de Dedekind -a la que precedió por más de2000 años-, para los griegos, los conceptos de longitud y área eran puramentegeométricos. No olvidar que ellos separaban tajantemente la Geometría de laAritmética que “contaminaba al idealismo platónico de los objetos geométri-cos”. El concepto de número real no fue un concepto griego sino que apareciómucho después -en el Renacimiento- como resultado de la notación decimal-másomenos 1600- . Esta notación, que se utiliza actualmente en los cursoselementales, y que resulta ventajosa para un buen número de aplicacionesde la Matemática, tanto prácticas como teóricas, tiene sin embargo el graveproblema de que la construcción rigurosa de

R en términos de sucesiones

331



332 CAPÍTULO 6. EL CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

decimales infinitas conduce a complicaciones técnicas muy inconvenientes.Considere por ejemplo la definición de suma o de producto aunado al he-

cho de no contar con representaciones explícitas -ni siquiera explícitamentedefinidas-.

La falta de claridad de los conceptos básicos del Análisis no impidió eldesarrollo adecuado de las teorías matemáticas que sin embargo, no podíanexplicar razonablemente la validez de las operaciones que realizaban. TantoNewton como Leibniz -considerados por muchos como los padres del Cálculo-fracasaron en su intento de explicar sus resultados. Ellos y sus discípulosal tratar de justificar sus procedimientos, sólo aumentaron la confusión, loque era lógico que sucediera, dado que sus argumentos se apoyaban en unos

misteriosos “infinitésimos”, que -como veremos después- son inexistentes enel campo ordenado de los números reales.

Un avance importante en la conceptualización del Análisis fue la hipótesissobre la existencia de un isomorfismo entre los puntos de la recta y el conjuntode los números reales. Idea que utilizó provechosamente Descartes (1596-1650) para relacionar el Álgebra con las curvas geométricas.

La conveniencia de contar con un campo que permitiera fundamentarrazonablemente todo el edificio que la Matemática había construido apoyán-dose en las ideas intuitivas -vagas- de lo que podía ser el conjunto de losnúmeros reales, obligó a los matemáticos de la época -último cuarto del sigloXIX- a proponer modelos de extensiones de Q que resultaran adecuados parasus propósitos, y así surgieron varias construcciones, cada una de las cuales,con sus ventajas y desventajas, condujo a la misma estructura abstracta del“continuo de los números reales” esto es, cada una proporcionó un modelo deun campo arquimedianamente ordenado y completo a pesar de que en cadacaso, los números reales resultaron de una naturaleza diferente. Queremosenfatizar aquí, 2 cosas:

1. Para el usuario común de la Matemática, lo que en definitiva importa,es el conjunto de propiedades que tienen las operaciones y el orden de Ry no lo que cada número real pueda ser, esto justifica plenamente el usode los modelos axiomáticos para R en los que tanto el conjunto comosus elementos resultan conceptos primitivos -en el sentido de que no sedefinen- y a los que se asignan las propiedades deseadas a través de lospostulados de la teoría, (que son definiciones implícitas de los númerosy de sus relaciones). Recuérdese que -como ya se dijo- la Matemáti-ca se desarrolló considerablemente a pesar de no contar con una base



6.2. CONSTRUCCIÓN DE R A PARTIR DELASCORTADURASEN Q 333

lógicamente correcta en que apoyarse. (La Teoría de las ecuaciones, laGeometría analítica y el Cálculo; la Geometría diferencial, las Ecua-

ciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales no necesitaronsaber a ciencia cierta qué eran en realidad los números sobre los quetrabajaban para desarrollarse en la forma en que lo hicieron).

2. Se puede demostrar que los diferentes modelos que se obtienen de lasconstrucciones que hemos mencionado, son isomorfos , es decir, que sepuede definir entre cualesquiera dos de ellos una biyección bien com-portada con respecto a la estructura - operaciones y orden - de modoque, desde el punto de vista de sus propiedades algebraicas, cada mo-

delo es indistinguible de cualquiera de los otros, por lo que desde estaperspectiva puede considerarse que existe un único campo arquimedi-anamente ordenado y completo, al que llamaremos el campo R de losnúmeros reales y así afirmaremos que la definición axiomática de R escategórica 1.

6.2 Construcción de R a partir de las cor-taduras en Q

Procedamos ahora a ordenar, de alguna manera las consideraciones anteri-ores.

Supongamos que en una recta hemos marcado los puntos y quecorresponden a los racionales y respectivamente, (lo que, según se verámás adelante, siempre es posible). Entonces a

1 = +

2

le corresponde precisamente el punto medio del segmento Podemos considerar ahora los números,

2 = + 1

2 3 =

1 +

2

marcarlos en la recta y proseguir así, indefinidamente el proceso de “tomarmitades”. Es obvio que en esta forma podemos intercalar -teóricamente- en

1Una teoría axiomática es categórica si tiene esencialmente un solo modelo excep-to por isomorfismos, e.d., si es categórica , dos modelos cualesquiera para , resultanalgebraicamente indistinguibles.




tantos puntos correspondientes a números racionales, como deseemos,y por lo tanto demostrar que en cada segmento de extremos racionales, sin

importar que tan pequeña pueda ser su longitud, existe un número infinito,de estos números. Esta observación y la propiedad arquimediana del ordennatural en Q, aseguran que los racionales se extienden densamente a lo largode toda la recta .

Es fácil demostrar que si p es un punto racional y es un “pequeñonúmero” mayor que cero, existe una infinidad de racionales cuya distancia a es menor que . Es decir podemos afirmar que la distancia de a su com-plemento en Q, es cero. Esta sobrepoblación de racionales podría hacernoscreer que en la recta ordenada , una vez colocados todos ellos, no queda

lugar para punto adicional alguno. Sin embargo, la construcción geométricade la diagonal de un cuadrado de lados de medida 1, que de acuerdo con elteorema de Pitágoras debe tener una longitud cuyo cuadrado es 2, muestraque si la recta “no tiene agujeros”, entonces, después de haber asignado lu-gares para cada Q debe quedar alguna vacante, y, en un sentido muypreciso, puede demostrarse que en , la cardinalidad de las “vacantes” es mu-cho mayor que la de los “lugares ocupados”. De hecho puede demostrarse queentre cualesquiera 2 números racionales, existe una infinidad no numerablede puntos no ocupados.

Cuando Euclides construyó su Geometría, utilizó, -sin mención explícita-la propiedad de la recta de “ser completa” pensando que esto era “intuiti-vamente claro”. Para corregir esta omisión, Hilbert, en su axiomática parala geometría del plano, postula los Axiomas de continuidad (grupo V), quegarantizan que:

1. “Los puntos de una recta constituyen un sistema tal que no puedeasignarse ningún punto nuevo a ella, sin que se viole al menos uno denueve postulados anteriores”.

2. Después de definir, para los puntos de un segmento “el origen” y “el extremo”, la relación “ precede a ” ó “ sigue de ”, y decidirque el segmento con esa relación se llama un “segmento ordenado”,el postulado asegura que si los puntos de un segmento ordenado deorigen y extremo se separan en dos clases de manera que:

(a) Cada punto de pertenezca a una y sólo una de las clases,

(b) Los puntos y pertenezcan a clases distintas (que llamó res-pectivamente, la primera y la segunda clase) y



6.2. CONSTRUCCIÓNDE RA PARTIR DELASCORTADURASEN Q 335

(c) Cada punto de la primera clase precede a cada punto de la segun-da.

Entonces existe un punto sobre tal que todo punto de quepreceda a estará en la primera clase y todo punto de que siga de estará en la segunda.

Apuntaremos que con estos axiomas, puede probarse con todo rigor, quela recta está completa, es decir, que en toda recta orientada , a la medida decualquier segmento, le corresponde un punto (y sólo uno) de y que no puede“transitarse continuamente” de un lado a otro de ella sin pasar por alguno desus puntos. Esta última observación -que precisaremos más adelante- justifica

la existencia de los puntos que Euclides supuso en sus construcciones:1. Con centro y radio trácese con el compás una circunferencia,...y

2. ...sea el punto de intersección de ésta con el rayo ,...

Observaciones:

1. Existe una infinidad de racionales positivos, cuya raíz cuadrada no estáen Q.

2. Suponiendo que es completa, en ella se puede construir geométrica-mente el punto que corresponde a la raíz cuadrada (positiva) de todonúmero racional 0

Corolario 7 . El conjunto Q de los números racionales “no llena” comple-tamente a la recta.

Justificaremos nuestra primera observación demostrando que los únicosenteros positivos que tienen raíces ésimas racionales, son los que corres-

ponden a las ésimas potencias de los naturales: De este modo si es iguala 2, se puede ver que sólo tienen raíz cuadrada racional los enteros que sonelementos de

=©

1 4 92ª

y que por lo tanto, basta considerar

Z+ Q+

para encontrar un conjunto infinito de racionales positivos cuya raíz no estáen

Q.




Teorema 87 . Si y son enteros positivos tales que ( ) = 1,() = entonces = 1

Demostración. Sean , y enteros positivos que satisfacen lahipótesis del teorema. Por lo tanto,

=

Ahora bien, si es distinto de 1, entonces existe un número primo tal que | es decir | luego | . Y por lo tanto, | ( )

. Este absurdo se

obtuvo de suponer 6= 1, luego = 1, y

Z .

Procedamos ahora a justificar la observación 2.

Algoritmo 1 . Como dibujar la raíz cuadrada (positiva) de un númeroracional 0

1. Sea una recta cualquiera, en la que asignamos un punto 0 al cero ymarcamos una escala con un punto 6= 0 -que orienta a - y conven-imos que en adelante la longitud será nuestra unidad de medida( = 1). Debe quedar claro que con el uso iterado del compás pode-mos construir en segmentos de longitud para cada entero positivo y por lo tanto, cambiando la orientación cuando sea el caso, tambiénpodemos encontrar los puntos correspondientes, en , a cada entero,positivo o negativo. Estamos ahora en posibilidad de dibujar el puntoque corresponde a cualquier número racional

=

(obviamente bastará considerar el caso en que tanto como son en-teros positivos).En efecto, designemos por al punto de que corresponde a ( = ) y tracemos por cualquier rayo que no esté contenido en . Mar-quemos ahora en los puntos y 1 tales que = , 1 = 1.( 1 ).Tracemos ahora la recta y por 1 una paralela a ella. Si de-notamos por 1 al punto de intersección con esta última paralela, esinmediato que

1

=



6.2. CONSTRUCCIÓN DE R A PARTIR DELASCORTADURASEN Q 337

Figura 6.1:

y que por lo tanto 1 es la representación geométrica de . (ver fig).La discusión anterior muestra que es posible asignar a cada Q unpunto y como 1 = ||, resulta que la asignación es inyectiva(a números racionales distintos, corresponden puntos de distintos).

2. Sea Q+. En la recta orientada constrúyase el segmento , delongitud + 1 y márquese el punto que corresponde a .Sea el punto medio de y trácese la circunferencia con centro en

y radio + 1

2

Por el punto , constrúyase la perpendicular a y sea el punto deintersección de ésta con la circunferencia . Observe que [ es unángulo recto (subtiende un semicírculo) y que, por lo tanto

C C

(En cada uno de ellos, tanto [ como [ son complemento de [ por lo tanto son congruentes ... etc.)Entonces

=

()2 = = ( = 1)




Figura 6.2:

Es decir, la longitud del segmento es la raíz cuadrada de Esinmediato que con el compás podemos construir, en , el segmento congruente con . es el punto que corresponde a

y dado

que este último número fue escogido arbitrariamente, podemos ahoraasegurar que en están todos los puntos que corresponden a cada raízcuadrada de cualquier número racional positivo, independientementede que tal raíz pueda ser racional o no.

Nótese que en todo el argumento anterior hemos supuesto -como Euclides-que la intersección de cada arco trazado con el compás con cada recta que elarco corta, es no vacío (la recta no tiene agujeros), pero que esta hipótesispuede justificarse plenamente utilizando los axiomas de Hilbert para el plano,como mencionamos previamente.

La discusión anterior reafirma que Q es insuficiente para medir los difer-entes segmentos de la recta.

Dedekind, utilizando como guía la concepción geométrica de Descartesque postula una biyección entre los puntos de y los números reales, utilizóal conjunto Q de los números racionales para construir su modelo para R, enel que cada número real resulta ser el resultado de “cortar” la recta racional.

Ejercicio 301 . ¿Para cuáles de los siguientes valores de se puede con-struir un rectángulo con lados de longitud entera y cuya diagonal mida

:

= 2 3 4 5 6 7 8 9 10?



6.3. CORTADURAS DE DEDEKIND 339

6.3 Cortaduras de Dedekind

Daremos a continuación una descripción del modelo de Dedekind, y de lamanera en que se definen en él las operaciones de suma y producto, así comola relación de orden canónica.

Definición 80 . Una cortadura en Q es una pareja de subconjuntos de Q,( ) tal que:

1. 6= 6=

2.

= Q ,

=

.

3. , .

Ejemplo 121 . Si = { | 0} y = { Q | 0} en-tonces ( ) es una cortadura.(Nótese que en este caso, no tiene máximo, y tiene mínimo 0)

Ejemplo 122 . = { Q | 2} = { Q | 2} En este ejemplo tiene máximo, pero no tiene mínimo. Obviamente no

puede darse el caso de que teniendo máximo tuviera mínimo ya que entonces

= +

2

satisface

y por tanto no puede estar ni en ni en violando la condición 2 de la definición. Pero sí puede suceder -sucede- que ni tenga máximo ni mínimo. En este caso se dirá que ( ) define una “hendidura” (“hueco”,

“rajada”, “hiato”) en Q.

Ejemplo 123 . Un ejemplo de esta situación es el siguiente.

=© Q+ | 2 2

ª = Q \

Nótese que consta de todos los racionales negativos más el cero y de los pos-itivos cuyo cuadrado es menor que 2. (el hecho de que para ningún racional se da el caso de que 2 = 2, justifica el uso del “menor estricto” en la caracterización de ).




Teorema 88 . En el ejemplo anterior, no tiene mínimo, ni máximo.

Demostración. En efecto, tal que , y tal que :

1) Sea ( Q+ 2 2 luego

2 2

2

es un racional positivo.Tómese ahora Q tal que

0 ½ 2 22

¾(por ejemplo, la mitad del que sea menor de ellos).

Entonces: 22

2 , luego 2 2 2

2 2 2 22 + 2 = ( )2

y como Q+

(ya que ), entonces( ) ( )

Demostraremos ahora que no tiene máximo.En efecto, sea , Observe que si fuera 0, entonces 1

2 y 1

2

Sea pues Q+ 2 2, 2 2

2 + 1 Q+.

Nuevamente consideramos

0 ½2 2

2 + 1 1¾

Y entonces: 2 2 (2 + 1) = 2 + .

2 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = ( + )2

pues 1 2 ( + ) Q

y obviamente + .




Definidas las cortaduras se vio que conservar la pareja ( ) era redun-dante. Pues en vista de que

= Q , cada conjunto define bien a su

complemento. Por lo que se optó por conservar solamente uno de los conjun-tos, quedando la elección subordinada al gusto del elector. Algunos prefierentrabajar con las “cortaduras inferiores” que tienen la ventaja de asimilarel orden con la contención, sin embargo nosotros usaremos al conjunto o “cortadura superior”, que aun cuando tiene el inconveniente de invertir“orden-contención”, lo que no es trascendente -( )-, permitedefinir la multiplicación de una manera más natural.

Operativamente se vio la conveniencia de eliminar al mínimo de , en elcaso de que lo hubiera, adjuntándolo a su complemento.

Con todo esto en mente procederemos a definir nuestras cortaduras.

Definición 81 . Un conjunto Q es una cortadura de Dedekind (en adelante sólo “cortadura”) si y sólo si:

1. 6= 6= Q.

2. no tiene elemento mínimo.

3. Q (( ) ).

Llamaremos “número real” a cada cortadura y denotaremos con R alconjunto de todas ellas.

Ejemplo 124 . Son ejemplos de cortaduras:

1. Para Q se tiene que = { Q | } es una cortadura.Esta cortadura se identificará posteriormente con De modo que sipara cada racional asignamos el real , tendremos -como se verádespués- una inmersión de Q en R, con lo que -como se ha hecho conanterioridad- podremos considerar a R como una extensión de Q.

2. 2 =

© Q+ | 2 2

ªNótese que en este caso “

2 “ se está usando para designar una cor-

tadura que tiene la propiedad asociada con su nombre o sea:

(

2)(

2) = 2

(Ver ejercicio 312, en la página 356).




Sea R el conjunto de las cortaduras superiores de Q, entonces R es “elcampo arquimedianamente ordenado y completo de los números reales”, y

justificaremos (parcialmente) lo correcto del nombre.Motivada por la observación geométrica obvia, damos la primera defini-

ción:

Definición 82

1. Si y están en R, se dirá que “ es menor que ” ( ) si y sólosi , y 6=

2. Agregamos: sii (( ) ( = )).3. sii

4. sii

Nótese que -como ya se apuntó- la relación que hemos definido inviertela relación de contención. Además, siendo esta última una relación de orden,fuerza a que también lo sea.

En efecto,

R, se cumple:

1. (reflexividad).

2. (( ) ( )) = ( ) ( ) = (anti-simetría).

3. (( ) ( )) ( ) ( ) ( ) (transi-tividad).

Además, no puede suceder que

=

, ya que y no son vacíos ysi y , entonces { } está necesariamente en ambos. Ahorabien, = ó existe Q , tal que está en alguno de ellos y no en el otro,y en ese caso la cortadura en la que está es menor que la otra. En efecto,supongamos que y y por lo tanto, . Entonces , lo que prueba que o sea que .

En resumen, podemos decir que “ ordena linealmente a R”.Para demostrar otras propiedades de , (que es arquimediano, compati-

ble con + y · y completo en el sentido de Dedekind), introducimos en unaestructura de campo, definiendo:




Definición 83 . Si R

+ = { + | }

Definición 84 . Si Q

= { Q | }

y señalamos los casos particulares:

0 = Q+

1 = { Q | 1 }

Ejercicio 302 . Demuestre que Si Q entonces ( 6= 6= )

Definición 85 . R+ = { R | 0 }, es decir: R+ Q+.

Para definir el inverso aditivo de una cortadura , debemos encontrar laque está caracterizada por la propiedad de que + = 0 y por lo tanto,

si debe suceder que

+ 0

e. d. debe ser mayor que . Pero nótese que esta condición nobasta.

Si = = { Q | } y si se define

= { Q | }

entonces sii . Por lo tanto y es evidentemente su primerelemento (es decir es el menor). Luego no es cortadura. Una manera deevitar esta complicación -eliminar el menor elemento de - es definir:

Definición 86 . Si R, entonces

=:©

Q | Q+ tal que + ª

Ejercicio 303 .

Q

R y si

Q entonces + = ( +)




Notación 11 . Si ( ) es un conjunto parcialmente ordenado y denotaremos por el conjunto de cotas superiores de .

Denotaremos por el conjunto de las cotas inferiores de

Ejercicio 304 . Demostrar que Q el conjunto

{} = { Q | }

es una cortadura.

Definición 87 . Si y son cortaduras, entonces

Lema 19 . Si es una cortadura, entonces para toda 0

tales que Demostración. Podemos tomar un elemento 1 y 1 ya que

como es una cortadura, ni es vacía ni es todo QConsideremos ahora su promedio aritmético, es decir

1 + 1

2

Pasa una de las dos posibilidades:

o bien 1 + 1

2 ó

1 + 1

2

En el primer caso, hacemos 2 = 1 + 1

2 2 = 1

en el segundo caso, hacemos 2 = 1 + 1

2 2 = 1

Todavía tenemos que 2 y 2 pero ahora

2 2 = 1 1

2

De la misma manera, podemos definir 3 3 de tal manera que

3 3 = 1 122

inductivamente, podemos encontrar dos sucesiones:

1

1

de tal manera que 1 1

21

Es claro que existe un natural tal que 1 1

21




Ejercicio 305 . Sean y dos racionales positivos, demostrar que existe

N tal que

2

Teorema 89 . Sean R las siguientes afirmaciones se cumplen.

1. + R .

2. + = +

3. ( + ) + = + ( + )

4. ( + 0) =

5. R ( R ( + = 0))

6. (R + 0) es un grupo abeliano2 y note que

0 0

Demostración. 1) Necesitamos demostrar que + es una cortadura,si y lo son.

Como es una cortadura, entonces existe Análogamente,existe Por lo tanto + + Así tenemos que + 6=

Por otra parte, si y entonces es una cota inferior para (y como no es un elemento de , es estrictamente menor que cualquierelemento de ) y es una cota inferior para De esta manera, + es unacota inferior para + Como tenemos que + es estrictamente menorque cualquier elemento de + concluimos que + +

Por lo tanto tenemos que + 6= QVeamos ahora que + no puede tener un elemento menor. Si lo

tuviera, digamos que y que + es el elemento menor de + Sea entonces + + pero de aquí tendríamos que

Como esto sucedería para cualquier entonces sería el menor elementode Contradiciendo que la cortadura no tiene un elemento menor.

Por último, supongamos que + con y En estecaso podemos escribir = + ( ) Es inmediato que Perocomo es una cortadura, tenemos que

2 ( + 0) es un grupo abeliano si + es una operación asociativa y conmutativa conneutro 0 y donde cada elemnto tiene un inverso.




Por lo tanto = + ( ) + Hemos demostrado que + es una cortadura.

2 y 3) Que la suma de cortaduras es conmutativa y asociativa, se siguede la definición y del hecho de que la suma de racionales es conmutativa yasociativa.

4) Demostraremos que {0} = Q+ es el neutro para la suma de cortaduras.Sea una cortadura; por definición

+ Q+ =©

+ | Q+ª

+ = + ya que es una cortadura. Por lo tanto

+ Q+

Recíprocamente, si existe 0 tal que 0 , ya que lascortaduras no tienen elemento menor. Entonces = 0 + ( 0) + Q+Por lo tanto + Q+ = Esto significa que Q+ = O, es el cero real.

5) Afirmamos que

= { Q | 0 + }

es el inverso aditivo de Primero veremos que el conjunto anterior es una cortadura, y luego

veremos que efectivamente tiene la propiedad de que sumado con da OEl conjunto descrito no es vacío:

Sea , Como no es el menor elemento de entonces existe0 tal que 0 Entonces ( 0) 0

Entonces

( 0) + ( 0) + = 0 0

Por lo tanto (

0)

El conjunto propuesto no es todo Q :Es muy fácil notar que = :

= 0 6 0 0

Consecuentemente 6= QVeamos ahora que no tiene elemento menor:supongamos que entonces 0 tal que

+




2. O Q+ = O &

\ Q+

0

0 0 .

3. O O

Ejercicio 306 . Demostrar la observación anterior.

6.4 El producto en RDefinición 88 . Definimos

:

R×

R R de la manera siguiente:

1. Si 1 2 son O entonces

1 2 = { | 1 2}

2. Si 1 O 2 O

1 2 = (1 (2))

3. Si 1 O 2 O

1 2 = ((1) 2)

4. Si 1 O 2 O

1 2 = (1) (2)

Ejercicio 307 . Use la observación 82 para demostrar que un producto de reales positivos es positivo y que el producto de un real positivo por un real negativo es negativo.

Ejercicio 308 . Demuestre que () = ( ) Recuerde que nose puede usar la propiedad distributiva, que no se ha probado todavía. Sin embargo sí se puede usar que () = Por ejemplo, si O y O,entonces () = [( ()) )] = ( )

Lema 20 . O

= O

R



6.4. EL PRODUCTO EN R 349

Demostración. Comencemos suponiendo que O (Por lo tanto

O = Q+ )

En este caso O = { | Q+ } Q+ Q+ Q+ Recíprocamente, si Q+ y entonces

=

Q+

Por lo tanto Q+ Q+ Así que O = OSupongamos ahora que O entonces O = (O ()) = O =

O

Teorema 90 .

El producto está bien definido.Demostración. Lo que queremos demostrar es que el producto dos

cortaduras es una cortadura. En vista de las definiciones, bastará demostrarque el producto de dos cortaduras mayores o iguales que O es una cortadura.

Supongamos que O y que O son cortaduras. Queremosdemostrar que el conjunto

{ | }

es una cortadura.Es claro que el conjunto de arriba no es vacío dado que no lo es, ni

tampoco.Es claro que tanto como constan de racionales positivos por lo tanto

{ | }

consta de sólo elementos positivos. Por esta razón

{ | } 6= Q

Demostraremos ahora que { | } no tiene primer ele-mento.

Sean como y no tienen primer elemento, podemostomar 0 0 con 0 y 0 Entonces 00 y 00

Supongamos ahora que con . Entonces = ³

´(note que 0), ahora

³

´ implica que

Como es una

cortadura, entonces

Por lo tanto =

³

´




Teorema 91 . El producto es conmutativo.

Demostración. Si 1 y 2 son ambas O entonces

1 2 = { | 1 2} =

= { | 1 2} =

= 2 1

Si 1 O y 2 O entonces

1 2 = (1 (2))

Pero2 1 = ((2) (1))

Del caso anterior se sigue que 1 (2) = (2)(1) de aquí que tambiénvalga la igualdad entre 1 2 y 2 1

El caso 2 O y 1 O se sigue del caso anterior.Por último, si 1 O y 2 O tenemos que

1 2 = (1) (2) = (2) (1) = 2 1

Lo anterior termina de establecer la conmutatividad del producto.

Teorema 92 . El producto es asociativo.

Demostración. Es fácil ver que si alguno de los tres factores es elO, entonces el producto dará O, independientemente de como se colocan losparéntesis.

En vista de la conmutatividad, basta verificar los casos siguientes:los tres números reales positivos, dos positivos y uno negativo, uno positivoy dos negativos y por último los tres negativos.

Supongamos para empezar, que 1 2 y 3 son cortaduras O.1 (2 3) = { | 1 2 3} =={ ( ) | 1 2 3} =={() | 1 2 3} == (1 2) 3

Supongamos ahora que 1 O 2 O 3 OEntonces 1 (2 3) = [1 ( (2 3))] ya que 2 3 OAsí que

1 (

2

3) =

[

1 (

(2

3))] =




= [1 ( ((2) 3))] = [1 ((2) 3)]Por otra parte, (1

2)

3 =

[ (1 (2))] 3 = [(1 (2)) 3] (Recuerde que () = ( ) ).Para terminar este caso, simplemente notemos que

1 ((2) 3) = (1 (2)) 3

ya que 1 (2) y 3 son positivos.Consideremos ahora el caso en que 1 O 2 O 3 O

1 (2 3) = 1 [(2) (3)]

Por otra parte,(1 2) 3 = [(1 2) (3)] =

= [ (1 (2)) (3)] =

= [(1 (2)) (3)] =

= [(1 (2)) (3)]

El caso en que los tres números son negativos se deja como ejercicioal lector.

Ejercicio 309 . Demuestre que 1 (2 3) = (1 2) 3, si 1 2 3

son O

Teorema 93 . El producto tiene neutro.

Demostración. Demostraremos que el meutro para el producto es

{1} = { Q | 1}

Sea

O entonces

{ Q | 1}

ya que si y 1 entonces y como es una cortadura, setiene que

Recíprocamente, sea Como las cortaduras no tienen un ele-mento menor, 0 tal que 0

Entonces

= 0

µ

0¶




con 0 y

¡0

¢ 1

Por lo tanto

{

Q | 1}

Si O entonces {1} = (() {1}) == (()) =

Lema 21 . Si O es una cortadura, entonces 1, existe tal

que

Demostración. En caso contrario, dada todos los elementos dela sucesión

µ

¶

= 2

3

pertenecerían a Recuerde que como O entonces existe algún racional positivo

tal que Como todos los elementos de son mayores que todos los elementos

de su complemento, tendríamos que

0

N

Pero

Como 1 entonces = 1 + con 0 Así

que = (1 + ) 1 + (truncando el desarrollo de (1 + ) según el

Teorema del binomio). Así que si 1 +

1

entonces

contradicción.

Teorema 94 . Todo real distinto de O tiene inverso multiplicativo.

Demostración. Nuevamente, basta demostrar que las cortaduras ma-yores que O tienen inverso multiplicativo.Sea O Demostraremos que el conjunto

= ½

Q+ |

1 tal que

1

¾




es el inverso multiplicativo de Primero demostraremos que es una cor-tadura.

no es vacío:Sea 1 y tal que

(Lema anterior). Como no es el primer

elemento de (las cortaduras no tienen primer elemento) entonces existe0 tal que 0

Entonces 0

se tiene que

(todo elemento en una

cortadura es mayor que todo elemento en el complemento de la cortadura).Por lo tanto,

0

0

=

0 1

esto coloca a

0 en el conjunto Por lo tanto 6=

6= Q :

Es claro que si entonces 1

(

1

= 1 6 1).

Veamos ahora que no tiene primer elemento:sean y 1 tales que

= 1 +

Tomemos = 1 +

2 y =

1 +

1 +

2

Así, 1 1 y = Entonces

por lo que

pero

Por último si 3 entonces 1 tal que

Esto coloca a en Lo anterior termina la demostración de que es una cortadura.Veremos ahora que = {1} Por la definición del conjunto tenemos que todo producto con

y

es mayor que 1 Es decir,

{1}




Recíprocamente, si 1 entonces podemos encontrar 0 tal que

0 (véase la demostración de que 6=

unas líneas arriba).

Entonces

00 = Por lo tanto {1}

Teorema 95 . El producto se distribuye sobre la suma.

Demostración. Sean 1 2 3 tres cortaduras, queremos demostrar que

1 (2 + 3) = (1 2) + (1 3)

En vista de que O = O para cualquier cortadura es claro que laigualdad de arriba es verdadera si alguna de las tres cortaduras es O

Podemos suponer que las tres cortaduras son distintas de OSupondremos que 1 O y dejaremos el caso 1 O como ejercicio.

Consideraremos los siguientes casos:i) 2 3 Oii) 2 O 3 O (2 + 3) Oiii) 2 O 3 O (2 + 3) = O iv)

2

O

3

O (

2 +

3)

O

v) 2 3 OCaso i) 1 (2 + 3) = { ( + ) | 1 2 3} =

= { + | 1 2 3} Por otra parte,

1 2 + 1 3 = { + 0 | 0 1 2 3}

Así es claro que 1 (2 + 3) 1 2 + 1 3Recíprocamente, si + 0 con 0

1

2

3 y 0 (el

caso 0 es análogo) entonces + 0 = + ( + (0 )) == + + (0 ) + 1 (2 + 3) Como 1 (2 + 3) esuna cortadura, entonces + 0 1 (2 + 3)

Caso ii) 2 O 3 O (2 + 3) O 1 (2 + 3) = 1 2 + 1 3

1 3 + 1 (2 + 3) = 1 2

Ahora 1

3

=

[1 (

3)] por lo que

1

3 = [

1 (

3)]




Hagamos = 3 = 2 + 3 entonces + = 2 por el caso i)tenemos que

1 ( + ) = 1 + 1

es decir que

1 2 = 1 (3) + 1 (2 + 3) =

= 1 3 + 1 (2 + 3)

es decir que1 2 + 1 3 = 1 (2 + 3)

Caso iii) 2 O 3 O (2 + 3) = O 1 (2 + 3) = 1 O = O Por otra parte 1 (2) = 1 3 = [1 (3)] == [1 ( (2))] = [1 2] Por lo tanto 1 2 + 1 3 = 1 2 [1 2] = O

Caso iv) 2 O 3 O (2 + 3) O 1 (2 + 3) = 1 2 + 1 3

1 2 1 3 = 1 (2 + 3) Hagamos = 2 = 3, entonces

1

+ 1

= 1

( + )

así que1 1 = 1 ( + )

es decir que

1 (2) 1 (3) = 1 (2 3) =

= 1 ( (2 + 3))

por lo que 1

2 + 1

3 = 1

(2 + 3)

Caso v) Si 2 O y 3 O, entonces

1 (2 + 3) = [1 ( (2 + 3))] =

= [1 (2 3)] =

= [1 (2) + (1 (3))] =

= [1 (2)] [1 (3)] =

= 1 2 + 1 3




Ejercicio 310 Demostrar que

1 (2 + 3) = (1 2) + (1 3)

si alguna de las tres cortaduras es O

Ejercicio 311 . Demostrar que

1 (2 + 3) = (1 2) + (1 3)

si 1 O

Ejercicio 312 . Demostrar que 2 =:

© Q+ | 2 2

ªtiene la propiedad de que

2

2 = 2 =:©

Q+ | 2ª

6.5 Supremos e ínfimos

Teorema 96 . Si {}

6=

es un conjunto de cortaduras acotadopor debajo por entonces {} tiene un ínfimo en R

Demostración. es equivalente a decir que Demostraremosque {} es una cortadura:Sea entonces 6= por lo que {} 6= Por otra parte, {} así que 6= (Q\ ) Q \

¡ {}

¢ Es

decir que {} 6= Q {} no tiene elemento menor, ya que si {} entonces para alguna

Como no tiene elemento menor, entonces

0

tal

que 0 Notemos que 0 {} Por último si {} 3 entonces para alguna y como es una cortadura, entonces 3 = = {} Tenemos que {} Por lo tanto {} Es decir que {} es una cota inferior para {} Si es otra cota inferior, entonces que equivale a Por lo tanto {} es decir que {} Con-cluimos que {} es la mayor de las cotas inferiores para {} En resumen,

{

}

= inf ¡{

}

¢



6.5. SUPREMOS E ÍNFIMOS 357

6.5.1 El principio del supremo

Corolario 8 . Como corolario del teorema anterior, demostraremos que todo conjunto de reales acotado por arriba tiene un supremo en R

Demostración. Sea {} un conjunto de cortaduras acotado porarriba por Es fácil ver que en este caso es una cota inferior para{} Si llamamos al ínfimo de {} es inmediato que es elsupremo de {} .

Ejercicio 313 . Verificar con detalle las afirmaciones en la demostración

anterior.Ejercicio 314 . Si Q entonces

Ejercicio 315 . Si Q entonces = ()

Ejercicio 316 . (Recuerde la definición de “clase positiva” en un dominioentero). Demuestre que R+ es una clase positiva y que la definición de “ ´

coincide con la que se obtiene de

R+

que -como se vio- produce una relación de orden ( ) compatible con las ope-raciones, es decir, R,i) + + ii) R+ Concluya que (R +

0 1) es un campo (ver la definición ?? y la nota al

pie de la página ??) ordenado linealmente con un orden compatible con las operaciones (el orden que se deriva de una clase positiva).

Definición 89 . Se define : Q R de modo que () = .

Entonces tenemos que:

1. es inyectiva.

2. ( + ) = () + ().




3. () = ()().

4. () ().

Lo que demuestra que es una inmersión de Q en R es decir: Q esisomorfo a un subcampo (Q) de R , en donde, por supuesto,

(Q) = { R | Q}

y con esta identificación ( ) puede asegurarse que R es una extensión(de campo) de Q .

Mencionemos tres aplicaciones más del teorema de Dedekind (Principiodel Supremo):

Observación 83 . En R no existen los “infinitésimos”.

Observación 84 . El orden canónico de R es arquimediano. (Vease el Corolario 10, en la página 359)..

Observación 85 . La recta está completa.

Para justificar nuestras conclusiones, comenzaremos con una observaciónque no es más que otra manera -equivalente- de definir supremo de un conjunto.

Observación 86 . Dado R 6= , una cota superior de es tal que

=

si y sólo si ningún número menor que es cota superior de y por lo tantodebe suceder que si es positivo, entonces no es cota superior y por lotanto debe existir

tal que

Teorema 97 . N no está acotado superiormente en R.

Demostración. Supongamos lo contrario. Es decir que existe

= N




luego 12 no es cota superior de N y por lo tanto, 0 N0 tal que

12

0, de donde resulta que + 12

0 + 1 + 12

es decir que

+ 1

2 +

1

2

El absurdo se obtuvo de suponer que N está acotado por arriba, luego debeser cierto lo contrario, y con esto termina la demostración del teorema.

Corolario 9 . Dado que ningún real es cota superior de N , R 0 N tal que 0

Corolario 10 . (Propiedad arquimediana del orden en R) Dados R+ 0 N tal que 0 .

Demostración. En efecto, R+ 6= 0 y es un real. Deacuerdo con el Corolario precedente, existe 0 N tal que 0, ymultiplicando por ( 0), se obtiene 0

Observación 87 . Si se define “infinitésimo positivo” como un númeropositivo tal que 1

N (equivalentemente 1

N), el

Corolario anterior asegura que en R los infinitésimos no existen 3.3Cabe mencionar aquí que, como un resultado del “Teorema de compacidad” de la

Lógica matemática, deben existir campos ordenados, que contengan a R como subcam-po, en los que existen los infinitésimos —y por lo tanto, también existen sus inversos:“infinitos”-. Cada uno de estos campos se llama “un campo no estándar”. Las teoríasmatemáticas desarrolladas a partir de estos super-campos corresponden a lo que se conocegenéricamente como “análisis no-estándar” y apuntamos que este análisis ha tenido uncrecimiento considerable en los últimos años.

El teorema de compacidad afirma que si {}N es una colección numerable de axiomastal que cualquier subconjunto finito de ella es consistente, entonces debe existir un modelo

en el que valga la colección completa (Gödel demostró que un sistema axiomático esconsistente sii tiene un modelo, es decir sii los conceptos y relaciones del sistema se puedeninterpretar como elementos de ciertos conjuntos, y esta interpretación es tal que en ella,los axiomas del sistema resultan ser proposiciones ciertas). Considérense los axiomas,

{}N para un campo ordenado , que contiene R.

:

µ tal que 0

1

¶

Y obsérvese que es un modelo en el que vale cualquier colección finita de tales axiomas.Por lo tanto, debe existir un campo 0 ordenado, tal que contiene a R y en el que valentodos los axiomas .

e.d.

+

0

0 1

N




6.5.2 La recta está completa

Uno de los conceptos fundamentales del Cálculo, es el de “continuidad” parauna función, que esencialmente dice que si una función : [ ] R escontinua en algún punto 0 de su dominio, entonces, para cualquier condiciónque se fije arbitrariamente que permita considerar que dos puntos de R están“suficientemente cerca”, se puede encontrar una distancia 0 que garanticeque cualquier punto del dominio de la función, cuya distancia a 0 sea menorque , tiene, bajo , una imagen que está suficientemente cerca de (0).Si como es costumbre, se define la distancia entre dos números reales y como ( ) = | |, y además se denota con 0, la condición impuesta

para aceptar la “cercanía suficiente”, la definición usual de continuidad parauna función en un punto 0 de su dominio es:

Definición 90 . Sea : [ ] R una función, 0 [ ]. es continua en 0 si para cada 0, () 0, tal que [ ] | 0| | () (0)| .

Se extiende la definición de continuidad en un punto a la de continuidaden un intervalo, de la manera natural:

Definición 91 . : [ ] R es continua en [ ] si y sólo si es continua en [ ]

Una consecuencia inmediata de la definición es que si es continua en0 [ ] y (0) 0, entonces un intervalo con centro en 0 tal que

[ ] () 0

(Análogamente si () 0, entonces () 0 [ ]).Aceptadas estas consecuencias, podemos ahora garantizar que los puntos

de la recta la llenan completamente, es decir, que no se puede pasar en formacontinua de un lado a otro de ella sin cortarla en alguno de sus puntos,(resultado que justifica la existencia de los puntos que se requieren en lasconstrucciones geométricas). Explícitamente:

Teorema 98 . Sea : [ ] R. una función continua tal que

() () 0

( cambia de signo de signo de un extremo del intervalo al otro). Entonces

( ) tal que () = 0.




Demostración. Sin pérdida de generalidad podemos suponer

() 0

y () 0

(si () fuera tal que () 0 y () 0, cámbiese, en la forma obvia, elsentido de las desigualdades que aparecen en la demostración).

Definimos: = {

[ ] | () 0}

() 0 , luego no es vacío, y como [ ] esuna cota superior, entonces (Teorema de Dedekind) tiene una cota superiormínima . Entonces: , cota superior de y = implican que

y por tanto, () R .Ahora bien, () no puede ser positivo. En efecto, si () lo fuera, la

continuidad de asegura que existe un intervalo con centro en tal que [ ] () 0

y puesto que () 0, ( ] y entonces tal que ( ] ( [ ]) y como en todo ese intervalo () es positiva (no existe ningúnelemento de en ( ] (+)2 resulta ser una cota superior de y entonces:

( + )2 ( + )2

Este absurdo se obtuvo de suponer () 0 luego () 0De manera análoga se prueba que suponer () 0 conduce a un absurdo,

por lo tanto, concluimos que () = 0 y entonces es diferente de y de osea:

() = 0 ( )

Entre las importantes consecuencias que tiene este teorema, -además delas geométricas que ya apuntamos- mencionaremos las siguientes:




Teorema 99 . Si : [ ] R es continua y para 1 y 2 en [ ] y en R es tal que

(1) (2)

entonces en el intervalo de extremos 1 y 2 existe un tal que () = .

Demostración. En efecto, considérese la función : R definidapor:

() = ()

que cambia de signo en 1 y 2 y es continua y por lo tanto

tal que () = 0 = ()

e. d., () =

Teorema 100 . R+ Z+ ! R+ tal que = (Todo real positivo tiene una única raíz ésima positiva para cada entero positivo ).

Demostración. (Existencia) Sea () = .Entonces (0) = 0 y como

(1 + ) = 1 + + ( 1)

2 2 + +

(1 + ) = (1 + ) es tal que (1 + ) 0

Es decir cambia de signo en los extremos del intervalo [0 1 + ] y es con-tinua (todo polinomio lo es). Entonces, de acuerdo con el teorema 98

(0 1 + ) tal que () = 0

pero () = . Luego = .(Unicidad) si

R+ fuera tal que = ,

entonces

=

se llama “la raíz ésima de y se denota:

=



6.6. REPRESENTACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL 363

6.6 Representación decimal de un número real

En esta sección demostramos que hay una correspondencia entre los númerosreales y sus expresiones decimales.

En primer lugar demostraremos que todo número real tiene una expresióndecimal. Para este propósito basta demostrar que los reales positivos latienen. Pero además, basta demostrar que los reales positivos menores queuno la tienen. Esto se debe a que ya sabemos que todo entero positivo tieneexpresión decimal y a que todo real positivo se encuentra en algún intervalo

[ + 1) donde es natural.Teorema 101 . Si es un número real positivo, entonces existe un natural tal que [ + 1)

Demostración. Hemos visto que N no está acotado en R (principioarquimediano del orden en R). En particular, no es una cota superior paraN por lo que N tal que 6 De esta manera tenemos que Por el principio del buen orden en N podemos escoger la menor con estapropiedad. Note que como es natural positivo (porque 0)

entonces = + 1 para algún natural Por la manera en que escogimos entonces 6 Por la tricotomía del orden de los reales, entonces

Concluimos que + 1 que es lo mismo que decir que [ + 1)

En vista del teorema anterior un número real positivo siempresatisface + 1 p. a. N o lo que lo mismo,

0 1

Como = + (

) para demostrar que tiene una expresión decimal,

basta demostrar que la tiene.

Teorema 102 . Todo número real positivo menor que uno tiene expresión decimal.

Demostración. Sea 0 1 un número real. Queremos encontrar un

dígito 1 tal que

1

10 1 + 1

10

¶ Es decir queremos que

1

10

1 + 1

10

Esto sucede si y sólo si

1 10

1 + 1




Esto sugiere la manera de determinar 1 :tómese 10, es claro que 0 10 10 (simplemente multiplique por 10

la desigualdad 0 1).Los intervalos (0 1) [1 2) [9 10) forman una partición del intervalo

(0 10) Por esta razón, 10 pertenece a uno solo de los intervalos. Llamemos1

10 1 + 1

10

¶ a ese intervalo.

Hemos encontrado la primera cifra adicional de a saber, 1

Como

1

10 1 + 1

10

¶ es claro que entonces

110

0 110¶

Ahora, los intervalosµ

0 1

100

¶

1

100

2

100

¶

9

100

10

100

¶forman una par-

tición del intervaloµ

0 1

10

¶; así que 1

10 pertenece uno solo de ellos,

digamos que a

2

100 2 + 1

100 ¶

con lo que hemos encontrado la segunda cifra decimal de .Notemos que la segunda cifra decimal de es la primera cifra decimal

de10 1

ya que

1

10

2

100 2 + 1

100

¶ 10 1

2

10 2 + 1

10

¶

En general, si ya hemos encontrado las primeras cifras decimalesde es decir que

1

10 +

2

100 + +

10

1

10 +

2

100 + +

+ 1

10

o bien12 12 +

1

10

que equivale a

0

12 1

10




Podríamos seguir de esta manera para tener tantas cifras decimales de

2como quisiéramos.

De manera recíproca, podemos ver que a cualquier expresión decimal

123

le corresponde un número real. ¿A qué real corresponde?Si consideramos el conjunto

n1 =

1

10 12 =

1

10 +

2

100 123

o es

claro que este conjunto está acotado por 1 Por el Principio del Supremo,este conjunto tiene supremo, digamos Es fácil ver que a este número le

corresponden expresión decimal 123

Ejercicio 317 . Respecto al último párrafo, demuestre que la expresión decimal de es precisamente 123

Hemos visto que todo número real tiene una expresión decimal y que cadaexpresión decimal corresponde a un real.

Observación 88 . Un número real es racional si sólo si tiene una expre-sión decimal periódica.

Empecemos por considerar un racional positivo de la forma

con

enteros positivos. Por el algoritmo de la división, = + donde 0

entero. Es claro que

= +

con un entero. En vista de esto, basta

demostrar que

tiene una expresión decimal periódica, en el caso .

La primera cifra decimal de

se obtiene multiplicando por 10 y encon-

trando la cifra decimal correspondiente, según la división

1

101

Para obtener 2 se multiplica 1 por 10 y se divide entre :

1 2

101 10

2



6.6. REPRESENTACIÓN DECIMAL DE UN NÚMERO REAL 367

las demás cifras decimales se obtienen repitiendo el procedimiento. Noteque como los residuos son menores que en el argumento, tiene que ocurrir

una repetición de residuo. Pero si = entonces +1 = +1 además+1 = +1 por lo que +2 = +2 En general, + = + De esta manera,la sucesión de dígitos

+1 1

se repite periódicamente en la expresión decimal de

Recíprocamente, si se tiene que

= 1 1 1 1

es decir si el periodo es 1 entonces

101 = 11 1

Pero entonces 1 10 = 1 1 así que

1 10 1 = 1

de aquí que (10 1) 1 = 1 es decir que

1 =

1

10 1

En resumen, 101 = 11 + 1

10 1de aquí que =

11

101 +

1

(10 1)101 un número racional.

Ejemplo 126 . Consideremos el número 123456456456 veamos que es un racional. Llamémosle , entonces 1000 = 123456, por el argumento de

arriba, 456 = 456

999

en efecto,4 5 6

999 4560 3996

564 0 499 5

64 5 0 59 9 4

4 5 6 0




Note que en la división que estábamos haciendo, la siguiente división es la misma con la que empezamos, así que sin hacerla, ya sabemos que el siguiente

dígito en el cociente es 4, luego 5, luego 6 y así sucesivamente.Por lo tanto 456 =

456

999 así que 1000 = 123 +

456

999 por lo que =

123

1000 +

456

999000

Ejemplo 127 . El número 010010001 (un 0, un 1, dos 0, un 1, tres 0,un 1,..., n 0, un 1, n+1 ceros, un 1 no es racional pues no tiene expresión decimal periódica.

Ejercicio 318 . Encuentre una expresión , con Z para los racionales con las expresiones decimales siguientes:

1. 2101

2. 40001012

3. 00011

Ejercicio 319 Encuentre la expresión decimal de:

1. 3

7

2. 301

999

3. 24

23

Ejercicio 320 . Digamos que se escribe un punto, y después se escriben los

naturales uno tras otro en su representación decimal, de tal manera que las primeras cifras son las siguientes

01234567891011121314151617181920

¿el número anterior será racional? Demuestre su afirmación.

Ejercicio 321 . Demuestre que X

=1

10(!) no es racional.



Capítul o 7

El campo C de los números

complejos

Una característica importante del conjunto R de los números reales, quehemos estudiado en capítulos anteriores, es que tiene una clase positiva R+,que define al orden canónico que por ser compatible con las operaciones (verel Capítulo 6), tiene entre otras, la propiedad de que para toda diferentede cero, 2 es un positivo y por lo tanto la ecuación

2 + 1 = 0 (7.1)

no puede tener solución en R. Como en los casos anteriores- construccionesde Z y de Q - se pensó extender a un campo más grande, en el que lamencionada ecuación pudiera resolverse.

Era necesario construir un campo en el que existiera un número -imaginario-“” que satisficiera la ecuación 2 +1 = 0, que fuera una extensión de R y, porsupuesto, que resultara el más “económico” -en el sentido de la contención-con esas dos propiedades.

En la época en que surgió este problema no se conocía el teorema queasegura que para todo campo y todo polinomio () no constante, concoeficientes en ; existe una extensión de en la que el polinomio tiene almenos una raíz. Teorema que valida la construcción, que resulta más naturaly que la hubiera librado de las objeciones -injustificadas- que en su momentose hicieron y que se referían al invento de los números imaginarios.

Es pertinente observar que en el campo cuya construcción se deseaba, nopuede haber una relación de orden compatible con las operaciones -que es laúnica que interesa al Álgebra- ya que en ese caso, como en el de los reales,

369



370 CAPÍTULO 7. EL CAMPO C DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

los cuadrados tendrían que ser no negativos. Por esta razón, algunos autoresque enfatizan la propiedad, dicen que C es el “desordenado” campo de los

números complejos, a pesar de que una consecuencia del axioma de selecciónasegura que en todo conjunto se puede definir un buen orden. Lo que nopuede asegurarse es que ese orden resulte necesariamente compatible con lasoperaciones.

Puestos a estudiar ese hipotético campo en el que figura esa misteriosa ,se vio que tenían que estar también todas sus potencias ( 2 3) productosde éstas por números reales y sumas de tales productos, es decir que debíanestar consideradas todas las expresiones de la forma

+ 1 + 22 + + R {0} (*)además de sus inversos multiplicativos. Se notó que como:

2 = 1 (7.2)

3 = 2 = (7.3)

4 = 22 = (1)(1) = 1 (7.4)

si es un número natural tal que

= 4 + 0 4 (7.5)

entonces = (4) · = (7.6)

o sea es 1 1 ó . Observación que permite simplificar las expresiones(*) que pueden reducirse a “binomios” de la forma + con R.

1. 3 + 2

72 + 23

4 + 75 = 3 + 2

7 (

1 ) + 2 (

)

1 + 7 = 9 + 7

2. 1 + 3 + 37 204 = 1 + 1 = 0

Ejercicio 322 . Exprese en la forma + las siguientes expresiones:

1. 2 8 + 73 37 + 1620

2. (23)5

3. (2 7)2

1 + 3 22

+ 3

+ 27



371

Tomando en cuenta lo anterior, se procedió a estudiar al subconjuntoformado por los elementos del nuevo campo que pueden expresarse como

binomios: =

© + C | R 2 = 1

ª (7.7)

Como siempre que se define un conjunto nombrando a sus elementosconviene aportar un criterio que permita decidir cuando dos nombres corre-sponden al mismo individuo, hacemos notar que, puesto que es un campo,entonces

( + = + ) (( ) = ( ))

Por lo tanto, (

)2 =

(

)2 que es una igualdad en R lo que implica

que cada uno de los cuadrados debe ser necesariamente 0 Por lo tanto = y = . Es decir que cada elemento tiene una representación única. Así porejemplo si supiéramos que = + , sabríamos que = 0 y que = 1.

Como es un subconjunto de un campo,

( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + ) (7.8)

de donde resulta que la suma -en C- de elementos de , produce un elementode . Así, es cerrado bajo la suma de C . Por lo tanto, la restricción de

esta suma a × es una operación binaria en que por herencia, resultaasociativa y conmutativa. También se tiene que 0 = 0 + 0 pertenece a yque para cada + + () (el inverso aditivo de + ) es unelemento de . Luego ( + 0) es un grupo abeliano.

1. (3 + 4) + (6 + 5) = (3 + 6) + (4 + 5) = 9 + 9

2. (6 14) (10 + 17) = 16 31

Ejercicio 323 . Exprese el resultado las operaciones siguientes en la forma

+ :

1. (5 + 7) + (8 + 2)

2. (5 + 7) (8 + 2)

3. (11 + 2) + (3 14)

4. (19 ) + (2 13)

5. (15 + 2)

(6 + 4)




6.

¡

2 +

3

¢

¡6

2 7

3

¢

7. (19 ) + (2 12)

8. [(2 + 6) + (6 5)] (4 11)

9. (6 + 4) [(18 6) (7 2)]

10. ¡

1 +

3¢ ¡7 + 2

3¢

+¡

7 3¢

El producto -en C- de dos elementos de , está en . En efecto,

( + )( + ) = (

) + ( + ) (7.9)

y por lo tanto, tiene también una multiplicación que por ser la restricciónde la de un campo, es asociativa y conmutativa. Además esta multiplicacióntiene neutro (1 = 1 + 0) y se distribuye sobre la suma por ambos lados.

1. (6 + 3) (2 + 4) = (12 12) + (6 + 24) = 30

2. ¡

2 +

3¢ ¡

5 6

3¢

= (10 + 18) +¡

5

3 12

3¢

= 28 7

3

Finalmente, si +

es 6= 0 + 0, ( 6= 0 ó 6= 0 y por lo tanto

2 + 2 0). Así que

( + )1 =

2 + 2

2 + 2 (7.10)

como puede comprobarse efectuando el producto (+)·

µ

2 + 2

2 + 2

¶

Por lo que resulta que es un campo, donde cada número real = + 0está en así como = 0+1 Obviamente, es el menor campo, en el sentidode la contención, con esos dos propiedades. Luego, =

C es el campo que

se deseaba construir.

Para ver como se obtiene el inverso multiplicativo de + consideremosun número + tal que multiplicado por + nos dé 1 + 0 es decir:

( + ) ( + ) = 1 + 0 (7.11)

efectuando la multiplicación:

(

) + ( + ) = 1 + 0 (7.12)



373

de donde

= 1 (7.13) + = 0 (7.14)

Como + 6= 0 6= 0 ó 6= 0 y por lo tanto 2+2 0 por lo que aplicandola regla de Cramer (ver el teorema 151 en la página 531) se obtiene

=

¯

¯1 0

¯

¯¯

¯=

2 + 2 y (7.15)

=

¯ 1 0

¯¯

¯ =

2 + 2 (7.16)

es decir que

( + )1 =

2 + 2 +

2 + 2 (7.17)

Consideremos el ejemplo siguiente:

Ejemplo 128 . Se desea encontrar (3 + 4)1

De acuerdo con lo anterior, el resultado es 3 4

25 Comprobamos:

(3 + 4)

µ3 4

25 ¶ =

9 + 16

25 = 1 (7.18)

Definamos el conjugado del número complejo = + como = Así si = 3 + 4 su conjugado es 3 4 y entonces, recordando que

la expresión

representa el producto de por el inverso de (

= 1),

encontramos que para efectuar la división de entre , basta multiplicar el

cociente

por

con lo que se tiene el resultado deseado:

=

Ejemplo 129 . Dividiremos (2 ) entre (1 + ) :




2

1 + =

2

1 + ·

1

1

= 1 3

2 =

1

2 3

2

En efecto, (1 + )µ1

2 3

2

¶ =µ1

2 +

3

2

¶+µ1

2 3

2

¶ = (2 )

Ejemplo 130 . 6 + 7

4 3 =

6 + 7

4 3·4 + 3

4 + 3 =

(24 21) + (28 + 18)

25 =

3 + 46

25

Ejemplo 131 .

7 +

5

5 + 7 = Ã

7 +

5

5 + 7 !Ã5

7

5 7! =

=

¡ 35 +

35¢

+ (5 7)

5 + 7 =

2

35 2

12 =

1

6

¡ 35

¢

Ejercicio 324 . Exprese en la forma + el resultado de las siguientes operaciones:

1. (9 + 8) (7 6)

2. (6 + 3) (2 + 5)

3. (6 3) (2 + 5)

4. (6 3) (2 5)

5. (6 + 3) (2 5)

6. (5 3) (7 2)

7. ¡

7

2 6

5¢ ¡

2

2 7

5¢

8. (3 + 2)[(7 8) (2 + 9)]

9. (5 + 3)2

10. (3 2)3

11. (8

3) (9 + 4)



7.1. LA INMERSIÓN DE R EN C 375

12. (2 11) (3 2)

13. 5 (6 7)

14. ¡

3

7¢

¡

2

3 + 3

7¢

15. ¡

8

5 + 21

3¢

¡

2

5 7

3¢

16. ¡

6 + 6

10¢

¡

2

6 3

10¢

17. (2 + 3) (3 4) (4 + 5)

18. (5 + 6)

2

(9 2) 19. (5 + 8) (3 + 2)2

20. 8 + 7

(5 + 6) (5 2)

21. (10 3)(4 + 3)

9 8

22.

(1 + 2) (2 + 3)

(3 + 4) (4 + 5)

23. (3 5) (7 + 4)

(5 + 3) (6 )

7.1 La inmersión de R en CCon objeto de contestar las objeciones que se hicieron a la construcciónanterior -la existencia de números imaginarios-, Gauss, tomando como base

los resultados anteriores, propuso el siguiente modelo:

7.1.1 Modelo

SeaC = {( ) | R} (7.19)

junto con las siguientes propiedades:

1. ( ) = ( )

= (Representación única).




2. ( ) ( ) =: ( + + ). (La suma dentro del último paréntesises la de R.

3. ( ) ¯ ( ) =: ( + )

El neutro para es 0 = (0 0) ( ) = ( ) el neutro para el pro-

ducto es = (1 0) y si ( ) = C \n

0o

, entonces 1 =

µ

2 + 2

2 + 2

¶1

En este modelo, se acostumbra llamar a la primera componente de cadapareja, la parte real y a la segunda la imaginaria. Nótese que ambas partesson números reales, así si = ( ) es un complejo, entonces Re ( ) =

( ) = y esta costumbre queda justificada con la inmersión

: R C 7 ( 0)

(7.20)

(Recuerde que una inmersión de una estructura en otra es una función in-yectiva que “respeta” las relaciones de ambas. Explícitamente, debe serinyectiva y R ( + ) = () + () y () = () () en donde -por supuesto- las operaciones a la izquierda de las igualdades son operaciones

en R y las de la derecha son operaciones en C).En vista de que las operaciones de las parejas -suma y producto- sedefinieron tomando como modelo las de los binomios, estas nuevas opera-ciones tienen -necesariamente- las propiedades de las anteriores, y por lotanto,

C = {{( ); R} ¯ 0 } (7.21)

resulta un campo, como puede comprobarse fácilmente. La inmersión :R C definida por () = ( 0) muestra que puede considerarse C comouna extensión de campo R y definiendo como = (0 1) e identificando

con () = ( 0), puede verse que:

1. 2 = (0 1)(0 1) = (1 0) = 1.

2. ( ) = ( 0) + (0 ) = ( 0) + ( 0)(0 1) = + .

Con lo que se recuperan los binomios de los que se partió en la construc-ción de Gauss.

1 6= 0

2 + 2 6= 0



7.2. LA CONJUGACIÓN 377

La construcción del inverso multiplicativo de un complejo ( ) no cero,( )1 = ((2 + 2)

(2 + 2)) muestra la conveniencia de definir dos

funciones : C C, : C R por medio de las fórmulas:

(( )) = ( ) (7.22)

-la conjugación- y(( )) =

p (2 + 2) (7.23)

-el módulo ó tamaño- .

7.2 La conjugación

Si = ( ) denotaremos

= ( ) = ( ) (7.24)

(Cuando se identifican los complejos como puntos del plano coordenadoR2, ( = ( ) es el punto de abscisa y de ordenada ), la conjugación

puede interpretarse geométricamente como la reflexión sobre el eje ).En adelante usaremos los símbolos + y · para las operaciones en C

La conjugación tiene, entre otras, las propiedades que expresa el siguiente:

Teorema 103 . C,

1. + = + “El conjugado de la suma es la suma de los conjugados”.

2. · = · “El conjugado de un producto es el producto de los conjugados”.

3. = R

4. = .

5. = = .

6. + = 2 Re ( )

= 2 Im ( ).




Demostración. Sean = ( ), = ( ) Entonces:

1) + = (( + ) ( + )) = (( + ) ( + )) = ( ) + ( ) = +

2) · = ( ( + )) = ( )( ) = · .

3) R ( = 0) = ( 0) = ( 0) = . Recíprocamente, si

= entonces ( ) = ( ) Por lo tanto = R de aquí que = 0Por lo tanto = ( 0)

4) = ( ) = ( ) = ( ()) = ( ) =

5) Es claro.6) + = ( ) + ( ) = (2 0) = 2 ( )

= ( ) ( ) = (0 2) = 2 = 2 Im .

Corolario 11 . () : C C es una biyección, pues es su propia inversa.

Demostración. Es 4) en el teorema anterior.

Corolario 12 . Si C \n 0o entonces ³ ´ = ³

´.

Demostración. En efecto, =

· =¡

¢· por lo tanto³

´ =³

´ (7.25)

Nótese que 6= 0 6= 0.Cuando se interpreta la conjugación como una función : C

C, el

teorema anterior prueba que es una función biyectiva que “va bien” conlas operaciones de C y que “deja fijo” a R- en el sentido de la parte (3) delteorema 1032.

Teorema 104 . Si : C C es un automorfismo que deja fijo a R, ( () = R ), entonces es la conjugación ó la identidad en C.

2Las funciones biyectivas que respetan las operaciones (y cuyo inverso también lasrespeta), se llaman isomorfismos y cuando “van” de un campo en él mismo, se conocencomo automorfismos .



7.3. LA NORMA 379

Demostración. Sea = ( ) = + .Entonces

( ) = ( + ) = () + () () = + () (7.26)

( R () = ; () = ).Además, 1 = (1) = () = (())2 y por lo tanto () tiene que ser

una raíz cuadrada de 1 ó sea () { }.Si () = la ecuación 7.26 muestra que es la identidad en C y si

() = , entonces es la conjugación.

Ejemplo 132 . Se desea calcular si + (2 ) = 10 + 6

Entonces sí = + = , por lo tanto +(2 ) = ( + )+(2 ) ( ) = (2 2) 2

Ahora (2 2) 2 = 10 + 6 2 = 6, 22 = 10 y por lo tanto, = 2 = 3.

Ejercicio 325 . Resuelva

1. (1 + ) + (1

) = 4

2. + 3 ( + ) = 7

3.½

+ (1 + ) = 3 + (1 + ) (6 + ) = 4

7.3 La norma

Si = ( ) hacemos k k =: ( ) = (2 + 2)12.

Si se identifican los complejos como puntos del plano, la norma - o tamaño- de puede interpretarse como la distancia euclidiana de ( ) al origen.

La función distancia tiene, entre otras, las propiedades que están enumer-adas en el siguiente:

Teorema 105 . C,

1. k k = ( )12 (O bien, k k2 = ( )).

2. k k

0; k k = 0

= 0




3. kk = k k kk

4. k + k k k + kk

Demostración. 1) ( )12 = (( )( ))12 = (2 + 2)12 = k k 2) Obvia, ya que el tamaño de es la raíz cuadrada de un número no

negativo, y ésta sólo es cero si el radicando (2 + 2) lo es.

3) kk2 = () () = = k k2 kk2 y como los tamaños son

números reales, “se vale” extraer raíces cuadradas. Luego kk = k k kk.

4) Nótese que

k k = k k y que |Re ( )|

k k ; |Im ( )|

k k.

k + k2 = ( + )( + ) = + + + =

= k 2k + 2 Re ( ) + kk2 k 2k + 2 k( )k + kk2 = (k k + kk)2

Es decir k + k2 (k k + kk)2 que es una desigualdad de números

reales no negativos. Por lo tanto k + k k k + kk.

Corolario 13 . De 3) se sigue que

1. si R , entonces, kk = ()12

= (2

)12

= ||

k k = || k k = || k k (7.27)

2. En particular, si = 1 entonces k k = k k

Una función de R2 R2 en con las propiedades 2), 3) y 4) del teoremaanterior, se llama una norma , y permite definir la distancia entre dos puntosde R2 -en este caso dos complejos - como sigue:

Definición 92 . C, ( ) = k k.

De la definición y de las propiedades de la norma, se deducen las propiedadessiguientes que muestran que “” es una métrica (o distancia).

Teorema 106 . C,

1. ( ) 0; ( ) = 0 =

2. ( ) = ( )



7.4. LA ECUACIÓN GENERAL DE SEGUNDO GRADO 381

3. ( ) ( ) + ( ).

Demostración. En efecto:(1) k k 0; k k = 0 = 0 = (2) k k = k k (3) k k = k + k k k + k k (De las propiedades consignadas en el teorema 105 y sus Corolarios).

7.4 La ecuación general de segundo grado

Un teorema cuya importancia le valió el nombre de Teorema fundamental del Álgebra -cuya demostración se sale del nivel de estas notas- asegura que C esalgebraicamente cerrado, es decir que todo polinomio () C [] de grado, tiene raíces -bien contadas- en C 3. Sin embargo vale la pena demostrarla existencia de algunas de éstas. En particular las raíces cuadradas quedeben calcularse cuando se usa la fórmula para resolver la ecuación generalde segundo grado. Veamos:

Se desea resolver la ecuación

2 + + = 0

en donde C 6= 0

• Dividimos la ecuación entre ( 6= 0) y restamos de cada lado:

2 + () =

• Completamos el trinomio cuadrado perfecto por la izquierda, sumando

a cada lado 2

4 2

:

2 +

+

2

42 =

2

42

o sea: µ

+

2

¶2

= 2 4

42

3La demostración de este teorema dentro del Análisis complejo es tan elegante —corta—que justifica plenamente que por ahora, se posponga tal demostración, que a este nivelresulta complicada y larga, y que, por descansar —necesariamente- en la construcción de

R, no puede ser algebraica pura.




• Suponiendo que se puede sacar raíz cuadrada a 2 4 y que la repre-

sentamos como: 2

4 , entonces +

2 = ±

2

4

2 en dondeel doble signo expresa el hecho de que para el caso, sirve tanto la raízcuadrada de 2 4 cuya existencia supusimos, como su inverso.

• Finalmente,

= ±

2 4

2

Queda por justificar la antes mencionada existencia de las raíces cuadradas

de 2

4, que es lo que afirma el teorema siguiente:

Teorema 107 . Para cada complejo = + diferente de cero, existen (exactamente) dos raíces cuadradas complejas, (una inversa aditiva de la otra).

Demostración. Supongamos que = + es tal que 2 = . En-tonces:

( + ) ( + ) = 2 2 + 2 = +

2 2 = 2 =

Elevando al cuadrado cada ecuación y sumando:

4 222 + 4 = 2

422 = 2

4 + 222 + 4 = 2 + 2

(2 + 2)2

= 2 + 2Entonces:

2 + 2 =

2 + 2 (= k k)

2 2 = (= Re ( ))

2 =

2 + 2 +

2 2 =

2 + 2

2




Y como

2 + 2 || cada una de las expresiones de la derecha en estasigualdades tiene raíces cuadradas (reales) de donde resulta que

= ±

s 2 + 2 +

2 = ±

s 2 + 2

2

Para seleccionar la pareja de raíces que satisface nuestro problema -produciruna raíz cuadrada de - debe tenerse en cuenta que como 2 = , si 0deben escogerse e con signos iguales (ambos positivos o ambos negativos)y si 0, e deben tener signos diferentes.

Ejemplo 133 . Se desea encontrar las raíces cuadradas de 512. Entonces si = + es una de ellas:

2 + 2 =

52 + 122 = 13

2 2 = 5

Entonces:2 = 9 = ±3

2 = 4 = ±2

y como es menor que cero, e deben escogerse con signos diferentes.Entonces

1 = 3 2 2 = 3 + 2

son las raíces cuadradas de .

Ejemplo 134 . Se desea obtener las raíces de la siguiente ecuación: 2 3 + 3 = 0

Aquí, = 1 =

3 = 3

y por lo tanto 2

4 = 9

4 (3

) =

3 + 4Las raíces son: 1 =

3 + 3 + 4

2 y 2 =

3 3 + 4

2

Calculemos 3 + 4 Si ( + )2 = 3 + 4 entonces

2 + 2 = 52 2 = 3

= ±1 = ±2 y como 2 = 4 0 las raíces resultan 1 + 2 y 1 2

Por lo tanto 1 = 3 + 1 + 2

2 y 2 =

3 1 2

2 es decir, 2 + y 1

En efecto, 213 1+3 = (2 + )23 (2 + )+3 = 4+4163+3 =0 y 2

2 3

2+3

= (1

)2

3 (1

) +3

= 1

2

1

3 +3 +3

= 0




Ejemplo 135 . Encontremos las raíces de 2 2 9 6 = 0 :

una raíz es 1 =2 +q(

2)2

4 (

9

6)

2 = 2 + 32 + 24

2 .Resolvamos ahora ( + )2 = 32 + 24 :

Entonces 2 + 2 = 40 =

322 + 242

2 2 = 32 = ±6 = ±2 Y como 2 =

24 0 entonces las raíces resultan 6+2 y 62 Entonces 1 = 2 + 6 + 2

2 =

3 + 2, la otra raíz, 2 = 2 6 2

2

=

3

En efecto, 21 2 1 9 6 = 5 + 12 + 4 6 9 6 = 0 y

22 2 2 9 6 = 9 + 6 9 6 = 0

Ejercicio 326 . Encuentre las raíces cuadradas de

1. 1 +

3

2. 1 3

3. 2

4. 16

5. 2

6. 1

7. 24 10

8. 2 + 2 3

9. 8

10. 5 12

11. 3 4

12. 3 + 4

13.

3 + 4




14. 3 4

15. 12 + 5

16. 15 + 8

17. 40 + 42

Ejercicio 327 . Resuelva las ecuaciones siguientes:

1. 2 3 + 3 = 0

2. 2

2 9 6 = 0

3. 2 3 (1 + ) + 5 = 0

4. (1 + ) 2 + (1 + 2) 2 = 0

5. 2 2 + 1 = 0

6. 52 +

2 1 = 0

7. 2

(4 + ) + 2

6 = 0

8. 2 (5 3) (5 + 5) = 0

9. 2 + (2 3) (5 + 5) = 0

10. 6 + 3 + 1 = 0

7.4.1 Sistemas de ecuaciones

Ejemplo 136 . Se desea resolver el sistema

+ (1 + ) = 3

(1 + ) (6 + ) = 12 + 3

Observemos que las incógnitas en la segunda ecuación son las conjugadas de la primera, así que si la conjugamos el sistema queda:

+ (1 + ) = 3

(1

)

(6

) =

12

3




Multiplicando la primera ecuación por y la segunda ecuación por 1 + obtenemos

+ (1 ) = 3

2 (1 + ) (6 ) = (1 + ) (12 3)

es decir

+ (1 ) = 3

2 (7 + 5) = 9 15

Restando el doble de la primera ecuación a la segunda tenemos:

(9 3) = 15 15

así que = 15 15

9 3 = 2 + Entonces + (1 ) (2 + ) = 3 por lo que

= 3 (1 ) (2 + ) =

Ejemplo 137 . Se desea resolver el sistema:

+ 2 = 3 + 4 (7.28)

2 = 5 3 (7.29)

Calcúlese

=

¯ 22

¯ = 3 (7.30)

Por lo tanto el sistema tiene solución única, y

= ¯ 3 + 4 25 3 ¯ = 6 + 3 = 6 + 33 = 2 (7.31)

=

¯ 3 + 42 5 3

¯ = 3 3 =

3 3

3 = 1 + (7.32)

Comprobación:

(2 ) + 2 (1 + ) = 3 + 4 (7.33)

2 (2

)

(1 + ) = 5

3 (7.34)




Ejemplo 138 . Se desea resolver el sistema

+ + = 4 + 2 (7.35) + 2 2 = 4 2 (7.36)

2 2 = 5 + 5 (7.37)

Indicaremos las operaciones usando: 2´ (léase el nuevo renglón 2)2 1 (léase renglón 2 menos renglón 1)La matriz aumentada es:

1 1 1 4 + 2

1 2 2 4 22 2 1 5 + 5

(7.38)

ahora, si 02 = 2 1 y 0

3 = 3 21 obtenemos 1 1 1 4 + 2

0 1 3 8 40 4 3 13 +

(7.39)

ahora, si 0

1 = 1 2 y 0

3 =

3 + 42

15 obtenemos 1 0 4 12 + 6

0 1 3 8 40 0 1 3 +

(7.40)

Por último, si 01 = 1 43 y 0

2 = 2 33 obtenemos

1 0 0 20 1 0 1

0 0 1 3 +

(7.41)

Por lo tanto = 2 = 1 = 3 +

Ejercicio 328 . Resuelva:

1. 3 ( + ) =

2. 2

= 4

2




3.

2 + 3 = 10 5

6 = µ37

2 ¶+

4.½

3 + = 4 + 22 = 3 + 2

5.½

(1 + ) + (1 ) = 0(1 ) + (1 + ) = 4

6.

1 + 2 + 3 = 6 + 4

1 + (1 + ) 2 + (1 ) 3 = 7 + 4 1 + 2 3 = 2

7.

1 + 2 2 + 3 3 = 1 24 1 + 5 2 + 6 3 = 2 + 7 1 + 8 2 + 93 = 3 + 4

7.5 Representación geométrica de los números

complejosTal como se ha mencionado en párrafos anteriores, todo número complejo + puede hacerse corresponder con el punto del plano cuyas coordenadas son y . Cuando se usa esta representación, el eje se conoce como el eje real y el es el imaginario. Cada número complejo puede considerarse como la suma +, la pareja ( ), el punto del plano = ( ), o el vector apoyado en elorigen de extremo , y si la longitud del segmento es y el ángulo que formacon el eje es , el complejo puede expresarse también en coordenadas

polares ( ) en donde, por supuesto, = cos() = (). El cambioinverso -rectangulares a polares- está dado por las relaciones:

=

2 + 2

=

arctan () si 6= 02

si = 0 0

2 si = 0 0

no está definido si = = 0



7.5. REPRESENTACIÓNGEOMÉTRICADELOSNÚMEROSCOMPLEJOS 389

2

3

3,1

Figura 1

Figura 7.1:

Equivalentemente, se define como el ángulo cuyo coseno es 2 + 2

y

cuyo seno es 2 + 2

no está definido si 2 + 2 = 0, es decir si = 0.

Puede verse que esta manera de definir el argumento de , permite laposibilidad de que dos ángulos 1 y 2 sean argumentos de si 1 y 2 difierenen un múltiplo entero de 2 y sólo entonces, (ver “Argumento de un númerocomplejo” más adelante). Observación que resultará conveniente en lo quesigue. ( (1) = (2) y (1) = (2) 2 = 1 + 2 Z).

7.5.1 Pasar de coordenadas rectangulares a forma polar

Notación 12 . () es abreviatura de () + ()

Así (60) = (60) + (60)

Ejemplo 139 . Considérese el vector (en el plano) de módulo 2 y argumento3, y calculemos sus formas rectangular y polar.

Entonces sus coordenadas rectangulares son 1 y

3. Por lo tanto su formarectangular es 1 +

3 y su forma polar es 2 (3) ó 2 (60).

Ejemplo 140 . Calcular las formas rectangular y polar de de tamaño 4 y argumento 4 (ó 45 ). Entonces la forma rectangular es 2

2 + 2

2 y la

forma polar es 44.




2

3,1

Figura 2

120°

Figura 7.2:

Ejemplo 141 . Pasar de 4

3 + 4 a forma polar. (También se sugiere em-

pezar con un dibujo). Como se puede ver, el tamaño resulta q¡

4

3¢2

+ 42 = 6 4 = 8 y el argumento 6 (ó 30 ) y entonces, la forma polar queda:

= 8 30 = 8(cos 30 + 30)

Ejemplo 142 . Pasar de 2 120 a forma rectangular.Entonces, comopuede verse, las coordenadas de son (1

3) y por lo tanto = 1 +

3

Ejercicio 329 . Calcular las coordenadas de los puntos del plano cuyo mó-dulo es y cuyo argumento es :

1. = 3

2 = 225

2. = 2 = 30

3. = 3 = 90

4. = 2 = 270

5. =

2 = 45

6. = 4 = 120

7. = 2 = 300

Ejercicio 330 . Expresar en coordenadas polares:



7.5. REPRESENTACIÓNGEOMÉTRICADELOSNÚMEROSCOMPLEJOS 391

1. 7 + 7

2. 3

3. 5 + 5

4. 1

3

5. 4 + 2

6. 6 6

3

7. 4

8. 8

Ejercicio 331 Calcule las potencias siguientes:

1. (1 + )8

2. (3 + 4)3

3. (5 12)2

Una de las ventajas que tiene la representación geométrica de los númeroscomplejos es que permite estudiar la geometría del plano a través del álgebrade C.

La suma de dos complejos 1 2 como la diagonal del paralelogramo cons-truído sobre los sumandos Además la multiplicación se interpreta en la formaque expresa el siguiente

Teorema 108 . Sean = ( + ) {1 2} dos números com-plejos (que por comodidad denotaremos (algunas veces) en forma abreviada como

= ( )

Entonces 1 2 = 12(1 + 2)

(Este teorema dice que para multiplicar dos complejos, se multiplican sus tamaños y se suman sus argumentos).




Figura 3

Z1 +Z2

Z1

Z2

Figura 7.3:

Demostración.

(11 + 11)(22 + 22) =

= 1212 12 + (12 + 21) =

= 12((1 + 2) + (1 + 2)) = 12(1 + 2)

Ejercicio 332 . Muestre que si C \ {0}, entonces ( )1 = Z

Corolario 14 (teorema de De Moivre) . Si = es un número

complejo, entonces Z = ().

Demostración. (Inducción sobre ).La base, = 1, es obvia.Paso inductivo: () ( + 1).Supóngase que el teorema vale para = e. d. = () y

aplíquese el teorema anterior. Entonces +1 = = () · () =+1(( + 1))

Paso inductivo aumentado: ()

(

) :



7.5.REPRESENTACIÓNGEOMÉTRICADELOSNÚMEROSCOMPLEJOS 393

= (

)1

= k k2

=

= (() ())

2 =

= (() + ()) =

= ()

Ejemplo 143 . 2(cos 25 + 25) · 5(cos 75 + 75)

= 10(cos 100 + 100) = 10 100

Ejemplo 144 . (15 140) · (4 280) = 60 · (420) = 60 (60)

Ejemplo 145 . (1+)5 = (

2 45)5 = 252 (5 · (45)) = 4

2 (225)

Ahora lo hacemos desarrollando el binomio:

(1 + )

5

= 1 + 5 + 102

+ 103

+ 54

+ 5

= (7.42)= 1 + 5 10 10 + 5 + = (7.43)

= 4 4 (7.44)

Pasando a forma polar este resultado:

k k =

16 + 16 = 4

2 y = 225 (7.45)

es decir que (1 + )5 = 4

2 (225)

En este ejemplo se nota que es mucho más corto sacar potencias de unnúmero complejo en forma polar usando el teorema de De Moivre que de-sarrollando el binomio en forma rectangular (trate de calcular (1 + )200 enforma rectangular).

Ejercicio 333 . Realice las operaciones indicadas. En el caso de los ejer-cicios que están en forma rectangular, primero habrá que reducirlos a forma polar.

1. 2(25 + 25)5(cos 75 + 75)




2. 8(18 + 18)6(cos 24 + 24)

3. 15(140 + 140)4(cos 280 + 280)

4. (1 +

3)(4 + 4)

5. (6 6)(7 + 7

3)

6. 2(cos 15 + 15)3(cos 70 + 70)4(cos 65 + 65)

Ejercicio 334 . Use el teorema de De Moivre para elevar a la potencia indicada

1. [4 (cos 12 + 12)]3

2. [3 (cos 18 + 18)]4

3. £

3 (cos 25 + 25)¤6

4. [2 (cos 20 + 20)]8

5. (1 )10

6. ¡

1 +

3¢9

7. ¡2

3 + 2

¢8

8. ¡

3 ¢12

9. [5 (cos 16 + 16)]4

10. £

7 (cos 20 + 20)¤8

11. [cos(10) + (10)]6

12. (10 + 10)6

13. (

3 + )10

14. (

1

)12



7.6. RAÍCES ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO 395

7.6 Raíces ésimas de un número complejo

Supóngase que se desea encontrar todos los complejos tales que = , yque = · () Supongamos además que 0 = () es uno de ellos.Entonces, por el teorema de De Moivre,

0 = () = () =

(la raíz real)

y

=

Es decir

0 = µ ¶

Considerando que si es un argumento de , los números + 2 Z ,también lo son, se encuentran las otras 1 raíces de , sumando a , losnúmeros 2

= 1 1.

Así por ejemplo si = 1 (= 1 (0)), sus raíces cúbicas (que son tres),son:

1 = 3 1µ0

3¶ = 1

2 = 1 3

1

µ0 +

2

3

¶ = 1

2 +

3

2 =

3 = 1 (0 + 2 · 23) = 1

2

3

2 = 2

Por ejemplo = 32150 sus raíces quintas son:1 = 2 150

5 = 230

2 = 2¡

30 + 25

¢ = 2 (30 + 72) = 2102

3 = 2 [30 + 2(72)] = 2174

4 = 2 [30 + 3(72)] = 2246

5 = 2 [30 + 4(72)] = 2318

Justificamos las afirmaciones anteriores con el siguiente:




120°

240°

Figura 4

Figura 7.4:

Teorema 109 . Sea = () un número complejo diferente de cero.Entonces para cada entero positivo, tiene exactamente raíces ésimas,que están dadas por la fórmula:

=

() = + 2

{0 1 1}

(Para fines prácticos, los ángulos pueden expresarse en grados, y en este caso, = +360

{0 1 1}).

Demostración. Sea

= {01}

el conjunto formado por los valores de la fórmula que corresponden a = 0 1 1 Entonces:

1) Cada es raíz ésima de y2) Si 6= entonces 6= ( tiene exactamente elementos).En efecto:



7.6. RAÍCES ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO 397

Figura 7.5:

1) () = () ¡ +2¢ = ( + 2) =

2) Supóngase = 0 .Entonces

() =

¡

¢ y por lo tanto y difieren, nece-

sariamente, en un múltiplo entero de 2 es decir:

= 2 = + 2

+ 2

= 2

Por lo tanto = , que debe ser entero, dice que | pero 0

= 0 = En resumen, = = y, por contrapuesta,

6= 6=

Luego la cardinalidad de es y dado que la ecuación = 0 no puedetener más de raíces en C, entonces consta de todas las raíces ésimasde .

Ejercicio 335 . Obtenga las raíces que se indican.




1. Raíces cúbicas de 8(cos 72 + 72)

2. Raíces cúbicas de 216(cos27 + 27)

3. Raíces cuadradas de (1

3)

4. Raíces cúbicas de (1

3)

5. Raíces cuadradas de (1

3)

6. Raíces cúbicas de 1



9. Raíces cúbicas de

10. Raíces cúbicas de (3 + 4)

11. Raíces cuartas de 16

2(1 + )

12. Raíces quintas de 1

13. Raíces sextas de 27

14. Raíces quintas de 16

2(1 + )

7.7 El argumento de un número complejo

Cuando se cambian las coordenadas polares a rectangulares en un complejo = ( ) estas últimas quedan bien determinadas por las expresiones =

cos() y = () pero el cambio inverso, de rectangulares a polares(en el que si = ( ), entonces resulta ser = (2 + 2)

12 ), sólo determina

módulo 2 Es decir: si satisface sen() =

cos =

, ( 6= 0, por

supuesto), entonces satisfará las mismas relaciones si y sólo si = +2,Z Es decir si y solamente si y difieren en un múltiplo entero de 2Para evitar la ambiguedad que esta situación ocasiona, se conviene en definir = como el único real con las propiedades:

= cos =

( 6= 0) (7.46)



7.8. ALGUNAS TRANSFORMACIONES DEL PLANO 399

Se sabe (Teorema de De Moivre) que para multiplicar 2 complejos, se

multiplican (en R) sus tamaños y se “suman sus argumentos”, pero para sercongruentes con la convención anterior, a esta suma se le debe aplicar unacorrección para el caso en que no caiga dentro del rango acordado ( ].De modo que si :

= ( ( ) = ) = 1 2 (7.47)

se tiene que :

( 1 2) = 1 + 2 + 2( 1 2) (7.48)en donde :

( 1 2) =

1 1 + 2 0 1 + 2

1 1 + 2 (7.49)

Así por ejemplo si

1 = 2 =

1;

1 = 1 (7.50)

entonces ( 1 2) = 1 y

(1)(1) = 1 = 1(2 2) = 1 (0) (7.51)

7.8 Algunas transformaciones del plano

Sea C debe ser claro que la función + _ : C C C 7 + corre-

sponde con una traslación (la que envía a + ).

7.8.1 Contracciones y expansiones

Es claro que multiplicar por un número real produce una expansión si estenúmero es mayor que uno y una contracción si el número real es menor queuno.




7.8.2 Rotaciones

Por lo que vimos, multiplicar por el complejo (), produce una rotaciónpor un ángulo alrededor del origen.

Ejercicio 336 . Demuestre que una rotación por un ángulo alrededor del complejo está dada por

( + _) ( () · _) ( + _)

4De tal manera que el efecto sobre el complejo es

7

+ ( () · (

+ ))

7.8.3 Reflexión sobre el eje

Es claro que tal reflexión se tiene mediante la conjugación. Ahora supon-gamos que queremos reflejar sobre una línea que pasa por el origen y quehace un ángulo con el eje Para producir el efecto de reflejar sobre estalínea podemos primero aplicar una rotación por un ángulo (es decir,multiplicando por () luego conjugamos (es decir, aplicamos () ) y porúltimo, multiplicamos por ()

Para entender mejor lo que hemos hecho, apliquemos las transformacionesanteriores al complejo :

· ( () · ) = ·³

() · =

= · ( () · ) = (2) ·

Por lo que = ( (2)) · () Es decir, la operación de reflejar sobre lalínea es equivalente a: primero conjugar seguida de rotar por un ángulo de2

Ejercicio 337 . Describa el efecto de reflejar sobre una línea que pasa por el punto ( 6= (0 0) ), usando traslaciones, reflexiones sobre líneas que pasan sobre el origen y rotaciones.

Ejercicio 338 . Demuestre que la composición de dos reflexiones sobre líneas que pasan por el origen es una rotación. Describa el ángulo de la rotación en términos de los ángulos que hacen las líneas que definen las reflexiones, con el eje

4 () · _ denota la multiplicación por ()



7.9. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA 401

7.8.4 Reflexión respecto al origen

Es claro que la función que manda un complejo a su inverso aditivo, sepuede interpretar como una reflexión respecto al origen.

Ejercicio 339 . Demuestre que multiplicar por un complejo 6= (0 0) es una operación que manda círculos en círculos. Diga explícitamente en qué círculo se convierte el círculo que tiene centro en y tiene radio

Ejercicio 340 . Encuentre la condición que describe cuando dos complejos y están en el mismo círculo junto con 0 y 1

Ejercicio 341 . Encuentre una condición para que cuatro puntos estén en el mismo círculo.

7.9 La función exponencial complejaUna observación importante:

Observación 89 Sea : [ ] C la descripción de una trayectoria en R2.Entonces, interpretando la variable como “el tiempo”, () = () + ()muestra que tanto la parte real como la imaginaria de son funciones que dependen de , y entonces, la derivada de con respecto a , debe definirse como:

= () + () (7.52)




Así por ejemplo si () = () + () (7.53)

( describe una rotación alrededor del origen, con radio uno), la velocidaddel movimiento -la derivada de con respecto a - es

() = () + () (7.54)

y del mismo modo, la aceleración resulta:

00() = () + () (7.55)

Se desea extender : R R a : C C de manera que se conservenlas propiedades básicas de la exponencial. Explícitamente se desea que tenga las propiedades siguientes: (Ver apéndice al final).

1. () = () R

2. C ( + ) = ( ) ()

3. ( ) = ( ) ·

En vista de esto, si = + , R , debe suceder que

( ) = ( + ) = () () = () (7.56)

y por lo tanto, nuestro problema -encontrar la forma correcta de definir ( )- se reduce a decidir la manera en que debe interpretarse () queobviamente es un complejo cuyas partes real e imaginaria dependen de . Esdecir () = () + () y se debe encontrar funciones y que resulten

adecuadas para nuestro propósito (conseguir que tenga las propiedadesdeseadas 1), 2) y 3)).Entonces:

1. () = () + () por definición.Derivando, en el supuesto de que satisface 3,

2. () = () = 0() + 0() (en donde 0 y 0 son derivadas conrespecto a su variable ).Derivando una vez más:




3. 00() = () = 00() + 00() = () () resultado quemuestra que tanto como son funciones que satisfacen la ecuación

00 + = 0.Haciendo = 0 en (1) y(2), se obtiene:

4. 1 = (0) + (0) (0) = 1; (0) = 0

5. = 0(0) + 0(0) 0(0) = 0; 0(0) = 1y como la solución de cada problema de valores iniciales es única, en-tonces y tienen que ser, necesariamente, () y () respec-tivamente. Luego:

( + ) = ( () + · ()) = · () (7.57)

Teorema 110 . La función : C C así definida tiene las propiedades (1) (2) y (3).

Demostración. 1) () = () R :Si R entonces = + 0 y ( ) = ()(0) pero (0) = 1

( ) = () = ()

2) ( 1 + 2) = ( 1) + ( 2) :Sea = + {1 2} Entonces:

1 + 2 = (1 + 2) + (1 + 2)

( 1 + 2) = (1 + 2) ((1 + 2)) =

= 12(1 + 2) = (1 (1)) (2 (2)) = ( 1) ( 2)

3) ( ) = ( ) :

Sea () = () + ()

( ) = ( () + ())

( ) = ( () + ()) + ( () + ())

Haciendo () = 2 (),

( ) = ( + )(0 + 0) = ( ) ·




Teorema 111 . La función exponencial es periódica, y cada período es de la forma: 2

Z

Demostración. Sea un período de , luego, C, ( ) = ( +).Haciendo = 0 entonces 1 = ().Si = + entonces () = () así que

= 1 ( = 0) () = 1

es decir () = 0, entonces = 2

Z luego = 2

Z

Una consecuencia de la demostración es que

( ) = 1 = 2 Z

7.9.1 Representación geométrica de algunas rectas bajo la transformación E

Consideremos la transformación: : C

C

Obsérvese que el origen de C, va a dar al punto (1 0).A medida que la variable recorre el eje alejándose del origen en el

sentido positivo, aumenta -exponencialmente-, pero se mantiene igual acero, luego la imagen de [0 ) es [1 ), mientras que ( 0) es (0 1).De la misma manera puede analizarse la imagen bajo la transformación de cualquier recta horizontal ( = ). Se encuentra que la imagen de lasemirrecta cuyos puntos tienen abscisa positiva, es la parte que queda afueradel círculo unitario, del rayo que parte del origen y cuyo argumento es la dela recta. La semirrecta de puntos con negativa tiene por imagen la porción

del rayo que queda dentro del círculo.Nótese que como ( ) · ( ) = 1 C, el origen del plano C no es

imagen de ningún complejo bajo la transformación “exponencial”, y por lotanto ( ( ) 6= 0 C).

Las rectas verticales = (tamaño fijo y argumento de a ),van a dar a circunferencias de radio y las rectas que parten del origense “retratan” como espirales que “arrancan” de (1 0). (Las imágenes vanaumentando tanto de tamaño como de argumento, a medida que la variablese va alejando del origen).




Figura 7.6:

Figura 7.7:




7.9.2 La función logaritmo

Con el deseo de definir la función inversa de la exponencial, -el logaritmocomplejo- observamos que si = + , ( ) = (), (por supuesto,k ( )k = ( ( )) = ). Por lo tanto debe definirse:

( ) = ln k k + ( ( ))




Nótese que si = R+ ( ) = || + 0 = () e. d., es unaextensión de . (si =

( ) = || + .

Nótese también que siendo la exponencial una función periódica, debeescogerse una “banda” del plano de ancho 2 para seleccionar en ella losargumentos de los logaritmos complejos.

En efecto, si, por ejemplo escogemos la región

{( ) C | } (7.58)

entonces, la función exponencial definida en ella, la “mapea” biyectivamenteen todo el plano menos el origen.

Otra vez: Si se define

= { + C | }

entonces : C \ {0}

es biyectiva y su inversa es

: C

\ {0}

En efecto, = + ( ) = ();

( ()) = () + = +

y si = + es un complejo no cero de tamaño y argumento ( = = ) entonces ( ) = + y por lo tanto (( ) =() () = () + () = + =

Obsérvese que la función : C \ {0}

está bien definida (en el sentido

de que 6= 0 ( ) ya que, según convinimos, el argumento de ( )debe pertenecer al intervalo ( ] .

Ejemplo 146 . () = ln kk + () = (2) (1) = k1k + (1) =

Teorema 112 . Si 1 = 11 2 = 22 entonces

( 1 2) = ( 1) + ( 2) + 2( 1 2) (7.59)




Demostración.

( 1 2) = (12(1 + 2 + 2( 1 2)) = (7.60)

= (12) + ((1 + 2 + 2( 1 2)) = (7.61)

= 1 + 1 + 2 + 2 + 2( 1 2) = (7.62)

= ( 1) + ( 2) + 2( 1 2) (7.63)

Definición 93 . Si 6= 0

C = (( )).

En el caso de que = R+ y = R entonces = (()) = ( ()) = ( ()) por lo que, como puede verse, la definición anteriorextiende a la que se tenía para R.

1. 6= 0 1 2 C 1+2 = 1 · 2.

2. ( 1)2 = 12

3. Si 1 y 2 son distintos de cero,

C, ( 1 2) = 1

2

(2( 1 2)):

Demostración. 1) 1+2 = ((1 + 2)( )) = (1( ) + 2( )) == (1( )) (2( )) = 1 2

2)

( 1)2 = (2( 1)) = (2 ( (1( )))) == (2 · 1( )) = 12(7.64)

3)

( 1 2) = (( 1 2)) = [(( 1) + ( 2) + 2( 1 2)] = (7.65)= [( 1) + ( 2) + 2( 1 2)] = (7.66)

= (( 1)) (( 2)) (2( 1 2)) = (7.67)= 1 2 (2( 1 2)) (7.68)

1. (1)12 = ((12) (1)) = ((12) ) = (2) = cos 2+2 =.



7.10. LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 409

2.

1 = [(1)(1)]12

= (1)12

(1)12

((12) 2(1 1)) = (7.69)= 2 () = 1() = (1)(cos () ()) = (1)(1) = 1

(7.70)

3. 4 = (4)12 = (1 · 4)12 = (1)12412 (2

1

2(1 4)) (7.71)

pero (

1 4) = 0

4 = 2

4. ( ) = ( (( ))) = ( )

7.10 Las funciones trigonométricas

Basados en la observación de que si R , entonces

+ = 2 () (7.72)

= 2 () (7.73)y que, por lo tanto, () =

+

2 ; () =

2

Definimos:

( ) = +

2 ( ) =

2 (7.74)

de donde resulta que las funciones : C C -que extienden alas correspondientes funciones de variable real -tienen entre sus propiedades

básicas, las siguientes, cuya demostración se hace simplemente aplicando lasdefiniciones.

Ejercicio 342 . Demostrar que C,

1. 2 ( ) + 2 ( ) = 1

2. ( + ) = ( ) () ( ) ()

3. ( + ) = ( ) () + ( ) ()



Capítulo 8

Espacios vectoriales

El estudio del Álgebra lineal, que ha tenido un extraordinario desarrollo enlos últimos años, puede considerarse como una teoría de las transformacioneslineales, funciones que para definirse requieren del conocimiento previo de losconjuntos sobre los que actúan y, por supuesto, de la estructura de éstos.

El propósito de este capítulo es dar una explicación lo más clara posi-ble, del significado de conceptos tales como “espacio vectorial”, “vector” y“transformación lineal”. Así como desarrollar, en forma elemental, una he-

rramienta que permita al estudiante entender algunos resultados, teoremasy aplicaciones de la teoría.

Se enfatiza el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales y se incluyeuna breve introducción al estudio de los determinantes.

8.1 Conceptos preliminares

Recordemos del capítulo 2 los siguientes conceptos acerca de las operaciones.

Definición 94 . Una operación en un conjunto es una función

: ×

A veces, en lugar de una letra, usaremos signos como + ÷ paradenotar una operación, y también escribiremos en lugar de ( )

Definición 95 . Una operación × es asociativa si

(

) = (

)

411



412 CAPÍTULO 8. ESPACIOS VECTORIALES

Ejemplos 147 . Algunas operaciones asociativas que se definen en el conjunto {0, 1}

0 10 0 01 0 0

0 10 1 11 1 1

0 10 0 11 0 1

0 10 0 01 1 1

+ 0 10 0 11 0 0

0 10 0 01 0 1

0 10 0 11 1 1

Ejercicio 343 . Demuestre que las siete operaciones definidas arriba son asociativas.

Ejercicio 344 . Proporcione otro ejemplo de una operación asociativa que se puede definir en el conjunto {0 1}.

Ejercicio 345 . Demuestre que las demás operaciones que se pueden definir en {0 1} no son asociativas.

Definición 96 . Una operación × es conmutativa si

=

Definición 97 . Sea × una operación en el conjunto Un

elemento es:

1. neutro derecho para

si

=

.

2. neutro izquierdo para si = .

3. neutro, si es neutro izquierdo y neutro derecho.

Definición 98 . Un semigrupo es una pareja ordenada ( ) formada por un conjunto y una operación asociativa definida en .

Definición 99 . Un monoide es una terna ordenada ( ) tal que ()es un semigrupo y

es un neutro para la operación

.




Ejemplo 149 . En el monoide

³N N=

nN N | es función

o N

´la

función multiplicar por dos: N 2·_

N tiene inverso izquierdo pero no tiene inverso derecho (es decir, es una función inyectiva que no es suprayectiva.

Ejercicio 346 . En el ejemplo anterior, encuentre un elemento que tenga inverso derecho pero que no tenga inverso izquierdo.

Ejercicio 347 . Muestre que si es un conjunto finito entonces son equiv-alentes para :

1. tiene inverso.

2. tiene inverso derecho.

3. tiene inverso izquierdo.

Definición 101 . Un grupo ( ) es un monoide en el que cada ele-mento tiene inverso.

Definición 102 . Un grupo es abeliano o conmutativo si su operación es conmutativa.

1. Los enteros con la suma y con 0.

2. El conjunto de los subconjuntos de un conjunto con la diferenciasimétrica (el neutro es el conjunto vacío)

3. Los racionales distintos de 0 con el producto (el neutro es el 1).

Observación 94 . En un grupo ( ) las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. = 1

2. =

3.

=



8.1. CONCEPTOS PRELIMINARES 415

Demostración. Es claro que 1) = 2) y que 1) = 3), ya que uninverso es un inverso derecho e izquierdo.

2) = 1) El inverso de es un inverso izquierdo de La condición 2)dice que es inverso derecho de Como un inverso izquierdo de coincidecon un inverso derecho de concluimos que = 1

3) = 1) Se sigue de manera análoga que en el argumento anterior.

Observación 95 . En un grupo ( ) :

1. ( )1 = 1 1

2. (1

)1

=

Demostración. 1) Como

( ) ¡1 1¢

=¡

( ) 1¢ 1 =

¡ ¡ 1

¢¢ 1 =

= ( ) 1 = 1 =

Tenemos que (1 1) es un inverso derecho de ( ). Por la observaciónanterior, un inverso derecho es lo mismo que un inverso, en un grupo.

2) Como 1

= tenemos que es un inverso izquierdo de 1

Porla observación anterior tenemos que es el inverso de 1.

Ejemplo 150 . Si es un conjunto, entonces

( ) =©

| es biyectiva ª

es un grupo. Esto se debe a que el inverso de una función biyectiva de a es también una función biyectiva de a (ya sabemos que una composi-ción de funciones biyectivas es biyectiva, que la composición de funciones es asociativa y que es neutro para la composición de funciones de a ).

Ejemplo 151 . Consideremos ({1 2 3}) el conjunto de las permuta-ciones de {1 2 3} Sus seis elementos son:

{1 2 3} {1 2 3}

1 7 22 7 3

3 7 1

{1 2 3} 1 {1 2 3}

1 7 32 7 1

3 7 2




Figura 8.1:




{1 2 3} 1 {1 2 3}

1 7

1

2 7 33 7 2

{1 2 3} 2 {1 2 3}

1 7

3

2 7 23 7 1

{1 2 3} 3 {1 2 3}

1 7

2

2 7 13 7 3

Notemos que 1 : 1 17 1

7 2 mientras que 1 : 1

7 2

17 3por lo que 1 6= 1 Esto muestra que el grupo ({1 2 3}) no esconmutativo.

Ejercicio 348 . Haga la tabla de la composición en ({1 2 3})

Observación 96 . Si ( ) es un grupo entonces:1. Las funciones

_ y

_

(multiplicar por por la izquierda y multiplicar por por la derecha,respectivamente, son ambas la función identidad.

2. Dada la función

_

es biyectiva, pues su inverso es

1_

3. Dada la función

_

es biyectiva, pues su inverso es

_1

4. Recuérdese la definición de tabla de multiplicar. Note que si esun grupo finito, en cada renglón de su tabla de multiplicar, todos loselementos son distintos (esto es porque _ es una función inyectiva).Note también que todos los elementos de aparecen en cada renglón(esto se debe a que

_ es una función suprayectiva).




5. Observe que si es un grupo finito, cada elemento de aparece unasola vez en cada columna de la tabla de multiplicar de

Ejercicio 349 . Construya la tabla de multiplicar para un grupo con tres elementos.

Ejemplo 152 . Si es un grupo abeliano, entonces también es un grupo abeliano.

Demostración. (Bosquejo) = { : | es una función} Llamémosle suma a las operaciones. La suma en se define de la manera

usual:Si entonces

( + ) () = : () + ()

Esta operación es conmutativa, y asociativa. Si es el neutro entonces lafunción constante

b :

7

es el neutro para la operación en

El inverso de es la función

7 ()1

Ejercicio 350 . Demostrar las afirmaciones hechas en el bosquejo de demos-tración de arriba.

Ejemplo 153 . Como los reales R con su suma y el 0 son un grupo, entonces RR el conjunto de las funciones reales de variable real, junto con la suma usual de funciones y la función constante b0 forman un grupo.

1. (N + 0) no es un grupo abeliano (¿por qué?).

2. (Z · 1) no es un grupo abeliano (¿por qué?).

3. (R · 1) no es un grupo abeliano (¿por qué?).




1. Los racionales sin el 0, con el producto, con el uno.

2. Los reales sin el 0, con el producto, con el 1.

Definición 103 . Un campo es una quinteta ordenada ( + 0 · 1) tal que

1. ( + 0) Es un grupo abeliano.

2. ( \ {0} · 1) es un grupo abeliano.

3. · ( + ) = · + ·

Observación 97 . Aunque el conjunto en un semigrupo puede ser vacío, el conjunto en un monoide es distinto del vacío. ¿Por qué?

Observación 98 . 0 6= 1 en un campo. (¿Por qué?, observe la definición).

Observación 99 . En vista de la observación anterior, en un campo debe haber por lo menos dos elementos. Por otra parte, hay un campo con exac-tamente dos elementos:

({0 1} + 0 · 1)

donde las operaciones están dadas por las tablas

+ 0 10 0 11 1 0

· 0 10 0 0 1 0 1

Para entender la tabla de la multiplicación, hagamos la siguiente obser-vación.

1. · 0 = 0 un campo.2. ( + ) · = · + ·

3. 1 · =

4. () =

5. () · = ( · )

6. (

) · (

) =




Demostración. 1) · 0 = · (0 + 0) = · 0 + · 0 Sumando de cadalado el inverso aditivo de · 0, obtenemos

0 = · 0

2) ( + ) · = · ( + ) = · + · = · + · 3) + (1) · = 1 · + (1) · = (1 + (1)) · = 0 · = 0 Así que

(1) · = 4) Es claro que de + = 0 se sigue que = (sume de cada lado).

Como + = 0 entonces = () 5) · + () · = ( + ()) · = 0 · = 0 Por lo tanto () · es el

inverso (aditivo) de · .

6) () · () = ( · ()) = (() · ) = ( ( · )) = · = ·

Definición 104 (La restricción de una operación). Sea : × una operación en un conjunto . Supongamos que , entonces × × así que podemos considerar la situación

×

%|×

×

De tal forma que tenemos una función |× : × (dos elementos de se multiplican como elementos de que son). Desde luego ésta no es una operación en porque el codominio no es necesariamente .Si se puede escoger como el codominio de |× diremos que es cerradobajo la operación . (Debe ser claro que esto pasa si y sólo si = )

Observación 100 . Si es una operación asociativa en (o conmutativa)

y es un subconjunto de cerrado bajo la operación, entonces la restricción |×también es asociativa (conmutativa).

8.2 Espacios vectoriales

Definición 105 . Un espacio vectorial es una quinteta ordenada ³ +

0 · : ×

´tal que



8.2. ESPACIOS VECTORIALES 421

1.

³ +

0

´ es un grupo abeliano.

2. es un campo.

3. La función · : × tiene las siguientes cuatro propiedades:

(a) 1 =

(b) () = ( )

(c) ( + ) = +

(d) ( + ) = +

Observación 101 . Si ³ +

0 · : ×

´es un espacio vectorial, entonces

1. 0 =0

2. 0 =

0

3. (1) =

4. =0 =

³( = 0)

³ =0´´

Demostración. 1) 0 = (0 + 0) = 0 + 0 sumando 0 :0 = 0

2) 0 =

³0 +

0´

= 0 +

0 sumando

0 :

0 =

0

3) +(

1)

= 1

+(

1)

= (1 + (

1))

= 0

=

0 (

1)

=

4) Si 6= 0 =

0 , tenemos

= 1 = 1

=

1

( ) =

1

0 =

0

Notación 14 . Si

³ +

0 · : ×

´ es un espacio vectorial,

llamaremos vectores a los elementos de y escalares a los elementos de




Estrictamente, un espacio vectorial sobre un campo, es una quinteta or-denada (véase la definición). Sin embargo es mucho más cómodo usar la

notación , en donde denota el grupo abeliano y denota el campo.Los elementos de se llamarán vectores, y los elementos de se llamaránescalares.

Cuando es el campo R de los números reales, se dice que es un espaciovectorial real, (si F es C, es un espacio vectorial complejo, etcétera).

Ejemplos 154

1. Si = {0} con 0 + 0 = 0, y , 0 = 0, entonces es un espacio

vectorial sobre cualquier campo , y se llama “el espacio vectorial cero”o “trivial”.

2. Todo campo es un espacio vectorial sobre cualquiera de sus sub-campos. (C es un espacio vectorial real, o un espacio vectorial sobreQ,...).1

3. Denotamos por R 2 el conjunto de parejas ordenadas de números reales:

R2 = {( ) | R}

Por otra parte, 2 = {0 1} así que

R{01} =n

{0 1} R | es función

o

Notemos que R2 y R{01} se pueden identificar mediante la función

biyectiva que envía la pareja ( ) a la función{0 1} R

0 7 1 7

.

Como sabemos que R es un grupo abeliano con la suma de funciones

acostumbrada y con la función constante b0Es fácil ver que la suma en R2 debe estar dada por la siguiente regla(inducida por la manera en que se suman dos funciones)

( ) + ( ) = ( + + )

1Si son campos y se dice que es un subcampo de cuando las opera-ciones de son las restricciones de las operaciones de y los neutros de las operacionesde pertenecen a

De esta manera, se suman y se multiplican dos elementos de tal como se suman ymultiplican en



8.2. ESPACIOS VECTORIALES 423

Figura 8.2:

Por otra parte, una manera de definir el producto de un real por unafunción es la siguiente:

( · ) () = ( ()) | {z } producto de dosnúmeros reales

Lo anterior sugiere que el producto de un real por una pareja ordenadade reales se debe definir de la manera siguiente:

· ( ) = ()

Ejercicio 351 . Demuestre que R2 es un espacio vectorial sobre el campode los números reales, con las operaciones como las definimos arriba.



8.3. SUBESPACIOS 425

8.3 Subespacios

Definición 106 . Sea Diremos que es un subespacio de (y escribiremos ) si ³

+| × 0 ·| × : ×

es un espacio vectorial.Notemos que para que pueda ser un subespacio vectorial de se necesita que la restricción de la suma a × , sea una operación en , es decir,se necesita que sea cerrado bajo la suma.

Notemos también que el producto de una escalar por un elementos de debe ser un elemento de

Teorema 113 . Supongamos que Son equivalentes:

1. es un subespacio de (Escribiremos ).

2. (a) es cerrado bajo la suma.

(b) El vector0 pertenece a

(c) es cerrado bajo la multiplicación por escalares.

Demostración. 1)= 2) Ya hemos notado que si es un subespaciode , es cerrado bajo la suma y bajo la multiplicación por escalares. Porotra parte, como

³ +

0´

es un grupo, entonces

0

2)= 1) Por hipótesis,³

+0´

es un monoide (véase la observación

100). Falta demostrar que el inverso de cada elemento de está tambiénen Sea

bastará notar que por la observación 101

(1) · =

Por lo tanto,³

+ 0´

es un grupo abeliano.Por otra parte, tenemos lo siguiente:

1 = 1 =

() = () = ( )




( + ) = + ( + ) = +

(1 + 2) = 1 + 2 1 2 ( 1 + 2) = 1 +

2 1 2

Ejemplo 158 .n

0o

:

Es claro que n

0o

contiene a

0 y que es cerrado bajo la suma. Demostrar que es cerrado bajo multiplicación por escalares, es lo mismo que demostrar que

· 0 = 0 En efecto,

·0 = ·

³0 +

0´

= ·0 + ·

0

sumando ³

·0´

obtenemos

0 = ·

0

Ejemplo 159 .

Lema 22 . Si entonces el conjunto de todos los múltiplos de :{ | } =: es un subespacio de :

Demostración. a)

0 = 0 b) + = ( + ) c) ( ) = ()

Lema 23 . Si 1 2 son subespacios de , entonces

{ 1 + 2 | 1

1 2

2}

es un subespacio de :

Demostración. a)

0 =0 +

0

0 1

0 2

b) Si 1 1 1 2 2 2 entonces

( 1 + 2) + ( 1 + 2) = ( 1 + 1) + ( 2 + 2)

con 1 + 1 1 y 2 + 2 2c) Si , 1 1 2 2 entonces (1+) = 1 + 2 con

1

1 y

2

2.




Ejemplos 160

1. El conjunto de los números reales es un subespacio del conjunto de lospolinomios con coeficientes reales;

2. El conjunto de los polinomios con coeficientes reales es un subespaciodel conjunto de las funciones reales de variable real que tienen todaslas derivadas;

3. El conjunto de las funciones reales de variable real que tienen todas lasderivadas es un subespacio del conjunto de las funciones derivables;

4. El conjunto de las funciones reales derivables es un subespacio del conjunto de las funciones continuas;

5. El conjunto de las funciones reales de variable real continuas es unsubespacio de las funciones reales de variable real.

6. RR es un espacio vectorial, como ya hemos visto. (Es de la forma ).

Teorema 114 . La intersección de una familia de subespacios vectoriales de es un subespacio.

Demostración. Supongamos que { } es una familia de subespaciosde Para demostrar que { } es un subespacio de necesitamosverificar que contiene al vector

0 que es cerrado bajo la suma, y que es

cerrado bajo la multiplicación por escalares. En efecto,0 pues cada es un subespacio. Por lo tanto

0

{ } Si { } entonces como cada es

cerrado bajo la suma, entonces +

Por lo tanto +

{ } Si y { } , entonces y por lo tanto

Esto quiere decir que

{ }

Teorema 115 . Si entonces { | } es el menor subespacio de

, que contiene a




Demostración. Deben ser claras dos cosas: la primera es que

{ | }

es un subespacio de (Teorema anterior).Por otra parte, { | } claramente.Ahora, si y , entonces es uno de los intersectandos, por

lo que { | }

(Note que los elementos de

{

|

} son los elementos que

pertenecen a cada uno de los intersectandos).

Notación 15 . Denotaremos por h i o por S ( ) al menor subespaciode que contiene a Este subespacio se llama el subespacio (de )generado por

Ejemplo 161 . El subespacio generado por Por lo visto anteriormente,

S () = { | } = { | } n0o

puesto que n

0o

es uno de los subespacios de

Por otra parte, y en vista de que S () es un subespacio, entonces 0 S ()

que es lo mismo que decir que n

0o

S ()

Por lo tanto,

S () = n0 o

Ejercicio 354 . Demuestre que S ³n

0o´

=n

0o

Definición 107 . Si 1 2 son subespacios de , definimos 1 + 2como S ( 1 2)

Observación 102 .

=

S ( )

S ( )




Demostración. Por definición, S ( ) Por lo tanto

S ( )

Entonces S ( ) es un subespacio de que contiene a por lo tanto debecontener también al subespacio generado por :

S ( ) S ( )

Teorema 1161. Si 1 2 son subespacios de entonces

1 + 2 = { 1 + 2 | 1 1 2 2}

2. Para subconjuntos de :

S ( ) = S ( ) + S ( )

Demostración. 1) Hemos visto en un ejemplo anterior que

{ 1 + 2 | 1 1 2 2}

es un subespacio de . Debe ser claro que contiene tanto a 1 como a 2(Por ejemplo, 1 = 1 +

0 ). Entonces { 1 + 2 | 1 1 2 2}

es un subespacio de que contiene a 1 2 Por lo tanto debe contenertambién al subespacio generado por 1 2 :

S ( 1 2) { 1 + 2 | 1 1 2 2}

Recíprocamente, como S ( 1 2) es un subespacio que contiene tanto a 1 como a 2 entonces debe contener la suma de cada elemento de 1 concada elemento de 2

2) Como , entonces S ( ) S ( ) Análogamente,S ( ) S ( ) Por lo tanto,

S ( )

S ( )

S (

)




Recíprocamente, si tomamos un elemento 1 1 + 2

2 + +

C ( ) donde cada

y cada

, entonces cada

S ( ), ya

que S ( ) es un subespacio que contiene a Como S ( ) es cerrado bajola suma entonces

1 1 + 2

2 + + S ( )

Por lo tanto,C ( ) S ( )

Definición 108 . Un vector de la forma 1 1+2 2++ S ( ) con {1}, se llama combinación lineal (de elementos) de .

Ejemplo 162 . Como ya hemos visto, el subespacio generado por { } tiene por elementos los múltiplos de En particular, si R2 estos múltiplos se corresponden con los puntos sobre la recta que pasa por y por el origen:(0 0).

Ejemplo 163 . El espacio generado por dos vectores y es:S ({ }) = S ({ } { }) =

S ({ }) + S ({ }) = { + | }

Ejemplo 164 . Considerando el ejemplo anterior, si tomamos dos vectores no colineales en R3 el subespacio generado por ellos es el conjunto de puntos en el plano que pasa por el origen y por ellos dos.

8.3.1 Dependencia lineal

Definición 109

1. Se dice que es linealmente dependiente si tal que S ( \ { })

2. Se dice que es linealmente independiente si no es linealmentedependiente.




Ejemplo 165 . El conjunto

n0

o es linealmente dependiente porque

0 S ³n0 o \n0 o´ = S () = n0 o (8.1)

Ejemplo 166 . Un conjunto con un único vector es linealmente independi-ente si y sólo si su vector es distinto del vector

0 . Una parte está dada por

el ejemplo anterior.Ahora, si 6=

0 entonces { } es linealmente independiente pues en caso

contrario,

S ({ } \ { }) = S (

) = n

0 o

contradiciendo que 6=0

Teorema 118 . Si y es un conjunto linealmente dependi-ente, entonces también es un conjunto linealmente dependiente.

Demostración. Si linealmente dependiente es porque existe un el-emento en tal que es combinación lineal de los demás elementos de :

S ( \ { })

como es claro que S ( \ { }) S ( \ { }) entonces tenemos que

S ( \ { })

por lo que es un conjunto linealmente dependiente.


0 entonces linealmente dependiente.Dicho de otra manera: un conjunto linealmente independiente no puede con-tener al vector 0

Corolario 15 . Si y es linealmente independiente, en-tonces también es linealmente independiente.

Demostración. Se sigue inmediatamente del teorema anterior.

Lema 24 . Un conjunto finito es linealmente dependiente si y sólo si unode sus vectores es combinación lineal de los anteriores.




Demostración. =) Supongamos que = { 1 2 } es unconjunto linealmente dependiente de vectores.

{1 2} tal que

S ( \ { })

Entonces podemos escribir = P 6=

o bien

0 =

X

+

X

Hagamos = max { | 6= 0} notemos que ( = 1 6= 0)Entonces

0 =X

=1

con 6= 0Podemos reescribir esto de manera siguiente:

1X =1

( ) =

multiplicando por el recíproco de :

1X =1

µ

¶ =

de donde vemos que es una combinación lineal de los vectores anteriores.Si | | = 1 entonces estaríamos diciendo que el único elemento es

combinación lineal de los elementos de

\ { } = { } \ { } =

Como hemos visto, esto pasa sólo si = 0 Por lo tanto = n0 o quecomo ya vimos, es linealmente dependiente.

=) Supongamos que en el conjunto = { 1 2 } hay un vec-tor que es combinación lineal de los anteriores. Si 1 es el vector que escombinación lineal de los anteriores, es porque 1 =

0 y en ese caso el

conjunto es linealmente dependiente, como ya vimos.Si 1 y S ({ 1 2 1}) entonces, por definición, el

conjunto { 1 2 } es linealmente dependiente. Consecuentemente elconjunto también es linealmente dependiente.




Corolario 16 . Un conjunto finito { 1 2 } es linealmente inde-pendiente sí y sólo si ninguno de sus elementos es combinación lineal de los

anteriores.

Ejemplo 167 . Consideremos el siguiente subconjunto de R3

{(1 2 2) (3 1 0) (1 1 1)}

veamos que es linealmente independiente:(1 2 2) no es combinación lineal de los anteriores, porque no es el vector

0 ;

(3

1 0) no es combinación lineal de los anteriores, porque el único múltiplode (1 2 2) que tiene 0 en su última coordenada es (0 0 0) Por último, si

(1 2 2) + (3 1 0) = (1 1 1)

entonces se podría resolver el sistema de ecuaciones siguiente:

+3 = 12 = 12 = 1

que tiene las mismas soluciones que el sistema

+3 = 17 = 16 = 1

pero este sistema no se puede resolver porque la segunda ecuación nos dice que = 1

7 mientras que la tercera ecuación nos dice que = 1

6 es una

contradicción.

Teorema 119 . Un conjunto es linealmente dependiente sí y sólosi contiene un subconjunto finito que es linealmente dependiente.

Demostración. =) Si es linealmente dependiente y entonces es linealmente dependiente.

=) Si es linealmente dependiente, entonces existe un elemento que es combinación lineal de los demás elementos de Si =

0 entonces

n0 o es un subconjunto finito de que es linealmente dependiente.




Si 6=

0 entonces podamos escribir =

P=1

, con \ { }

y 6= 0 Pero entonces debe ser claro que el conjunto

{ 1 2 }

es linealmente dependiente y es finito.

Corolario 17 . Un conjunto es linealmente independiente si y sólo si todos sus subconjuntos finitos son linealmente independientes.

Teorema 120 . Un conjunto es linealmente independiente si y sólo si Ã X=1

=

0 con { }

=1

! = = 0 {1}

Demostración. =) SiP

=1

=

0 , pero 6= 0 entonces

X6=

=

de donde tendríamos que

=X

6=

por lo que el conjunto { }=1 sería linealmente dependiente, y consecuente-

mente también lo sería =) Si no es linealmente independiente entonces existe en él un vector

que es combinación lineal de los demás, así que podríamos escribir

=X

=1

\ { }

de donde tenemos0 = (1) +

X=1

una combinación lineal de elementos de con por lo menos un coeficientedistinto de 0.




Corolario 18 . Un conjunto es linealmente dependiente sí y sólo si 0 se

puede escribir como combinación lineal de elementos de , con coeficientes

distintos de 0.

Demostración. Se sigue directamente del teorema anterior.

Ejercicio 355 . Demuestre que el conjunto de los polinomios ©1 2

ªes linealmente independiente.

Ejercicio 356 . Demuestre que el conjunto {sen(x), cos(x)} es un subcon-

junto linealmente independiente del espacio de las funciones reales de variable real.

Ejercicio 357 . Demuestre que el conjunto {e (), e (2)} es un subconjuntolinealmente independiente del espacio de las funciones reales de variable real.

8.4 Bases

Definición 110 . Se dice que genera S ( ). En particular, se dice que

el conjunto genera el espacio vectorial , cuando S ( ) =

Definición 111 . Una base para el espacio vectorial es un subconjunto tal que

1. es linealmente independiente y

2. genera

Ejemplo 168 . Por ejemplo,

{(1 0) (0 1)}es una base para R2 ;

{(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)}

es una base para R3 ; y en general,

{1 }

es una base para R es el vector que tiene 1 en su coordenada i-ésima y tiene 0 en sus demás coordenadas.



8.4. BASES 437

Ejemplo 169 . {1 2 3 4} es la base canónica de [].

Definición 112 . Un espacio vectorial es finitamente generado si algunode sus subconjuntos finitos lo genera.

Ejemplo 170 . Los espacios R son finitamente generados puesto que tienen bases finitas.

Teorema 121 . Si es tal que S ( \ {}) entonces

S ( ) = S ( \ {})

Demostración. Como \ {} entonces S ( \ {}) S ( ) Por otra parte \ {} S ( \ {}) pero como también S ( \ {})

entonces = ( \ {}) {} S ( \ {}) por lo tanto

S ( ) S ( \ {})

Teorema 122 . Un subconjunto linealmente independiente tiene a lo más

tantos elementos como un conjunto generador finito.Demostración. Sea = {1 2} un subconjunto generador finito

del espacio vectorial , y sea un conjunto linealmente independiente.Notemos que si es el conjunto vacío, entonces no tenemos nada que

demostrar (0 N).Podemos suponer, que = {1 2} y que

1 = 1 2 = 2 =

reenumerando si hiciera falta.Notemos que si ya tendríamos que | | || por lo tantopodemos suponer que * Así que podríamos tomar un elemento +1 \

Si consideramos el conjunto

{+1 1 2}

notaremos que es linealmente dependiente puesto que cualquier vector escombinación lineal de .




Pero entonces en el conjunto

{+1 1 2}

existe un elemento que es combinación lineal de los anteriores, y que no esninguno de los elementos de {+1 1 2} = {+1 1 2} pueseste es linealmente independiente siendo un subconjunto de . Llamem-os 1 al vector que es combinación lineal de los anteriores. Por el teore-ma precedente, {+1 1 2} \ {1} genera el mismo subespacio que{+1 1 2} que genera

Podemos repetir el argumento con 1 = {+1 1 2} \ {1} (que

sigue siendo un conjunto generador con elementos) y Si " 1 podemos repetir el argumento tomando un elemento +2

\1 y encontrando un elemento 2 tal que

{+2 +1 1 2} \ {1 2}

es un conjunto generador con elementos.Este proceso tiene que terminar porque en cada paso quitamos un nuevo

elemento de que es finito. El proceso termina cuando todos los elementos

de han sido sustituidos por elementos de Pero esto quiere decir que| |

Ejemplo 171 . Consideremos el conjunto de vectores en R3

{(1 2 3) (1 1 1) (0 2 3)}

Notemos que el primer vector no es combinación lineal de los anteriores porque no es el vector

0 Notemos también que el segundo vector no es un

múltiplo del primero (¿por qué?). Si el tercer vector fuera combinación lineal de los dos anteriores, entonces podríamos resolver la ecuación

(1 2 3) + (1 1 1) = (0 2 3)

que se puede transformar en el sistema de ecuaciones

+ = 02 = 2

3 + = 3



8.4. BASES 439

eliminando de las ecuaciones 2 y 3 obtenemos

+ = 03 = 22 = 3

que claramente no tiene solución porque implicaría que

2

3 = =

3

2

Esto muestra que el conjunto {(1 2 3) (1

1 1) (0 2 3)} es linealmente in-

dependiente. Por otra parte, sabemos que la base canónica de R3 genera R3.Si tomamos el conjunto {(1 2 3) (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)} podemos estar seguros de que es linealmente dependiente. Entonces en él debe haber un vec-tor que es combinación lineal de los anteriores, note además que el vector que es combinación lineal de los anteriores no puede ser ninguno de los tres primeros (convénzase usted mismo). Por lo tanto el vector que es combi-nación lineal los anteriores es el último. Consecuentemente

{(1 2 3) (1 0 0) (0 1 0)}

es un conjunto generador.Ahora,

{(1 1 1) (1 2 3) (1 0 0) (0 1 0)}

es un conjunto linealmente dependiente, así que debe contener un elementoque es combinación lineal de los anteriores; pero éste no puede ser el primeroni el segundo.Si (1 0 0) = (1 1 1) + (1 2 3) poniendo atención en las coordenadas segunda y tercera, tendríamos que

+2 = 0 +3 = 0

por lo que +2 = 0

+5 = 0

lo que implica que = 0 = 0 Lo que es imposible.Por lo tanto (1 0 0) no puede ser combinación lineal de los dos vectores




anteriores. Así que otra vez es el último vector el que es combinación lineal de los anteriores. Consecuentemente el conjunto

{(1 1 1) (1 2 3) (1 0 0)}

es un conjunto generador.Por último, el conjunto

{(0 2 3) (1 1 1) (1 2 3) (1 0 0)}

es linealmente dependiente y como en los otros, el vector que es combinación

lineal de los anteriores es el último, por lo que el conjunto

{(0 2 3) (1 1 1) (1 2 3)}

es un conjunto generador de R3 Como ya habíamos observado que también es un conjunto linealmente independiente, entonces es una base para R3

Corolario 19 . Cualquier subconjunto de R con más de vectores es linealmente dependiente. Por ejemplo, un conjunto de cuatro vectores en R3

es linealmente dependiente.

Teorema 123 . Si un espacio vectorial es finitamente generado, cualesquiera dos bases tienen el mismo número de elementos.

Demostración. Sea un conjunto finito que genera . Si y son dos bases de entonces por ser conjuntos linealmente independientesambas bases tienen a lo más tantos elementos como | | En particular, tanto

como son conjuntos generadores finitos.Como es un conjunto linealmente independiente y como es un conjunto generador finito, entonces | | | |

Por simetría, | | | |

Definición 113 . La dimensión de un espacio vectorial finitamente gener-ado es el número de elementos en cualquiera de sus bases.

Teorema 124 . Un espacio vectorial finitamente generado tiene base.



8.4. BASES 441

Demostración. Tomemos un conjunto generador del espacio Si es linealmente independiente, entonces ya es una base.

En caso contrario, tal que S ( \ { }) = S ( ) = Es decir, se podría quitar un elemento a y seguir teniendo un conjunto

generador.Podemos repetir el argumento con \ { } que tiene un elemento menos

que El argumento se repite tantas veces como se requiera, el proceso tiene

que terminar, dado que es finito. El proceso termina cuando encontramosun conjunto que genera y que es linealmente independiente, es decir, cuandoobtenemos una base para

Teorema 125 . En un espacio vectorial finitamente generado, cualquier subconjunto linealmente independiente puede extenderse a una base.

Demostración. Tomemos un subconjunto finito linealmente indepen-diente del espacio Por ejemplo, podemos tomar =

Si genera , entonces ya es una base para . En caso contrario, \ S ( ) de aquí que { } es linealmente independiente (considere quelos elementos de van antes que

entonces note que en

{ } ningún

vector es combinación lineal de las anteriores.Podemos repetir el argumento con el conjunto { } Repetimos el argumento tantas veces como sea necesario. Este proceso

tiene que terminar ya que un conjunto linealmente independiente no puedetener más elementos que un conjunto generador, y el espacio tiene un conjunto generador, por hipótesis.

Cuando el proceso termina, es porque hemos encontrado un conjuntolinealmente independiente que ya genera .

Ejemplo 172 . {(1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)} es una base para R3 Tomemos el conjunto = {(1 2 3) (1 1 1)} que es linealmente in-dependiente porque ninguno de sus elementos es combinación lineal de los anteriores. El conjunto no puede ser una base de R3 ya que sólo tiene dos elementos. Algún elemento de la base canónica no pertenece al espaciogenerado por ya que no genera R3 Veamos si (1 0 0) es combinación lineal de , es decir, veamos si se puede resolver

(1 0 0) = (1 2 3) + (

1

1

1)




esta ecuación produce el sistema

= 12 = 0

3 = 0

podemos eliminar de la segunda y de la tercera ecuación:

= 1

= 2

2 =

3

con lo que se ve que el sistema no tiene solución.Por lo tanto, {(1 0 0)} es linealmente independiente, y es una base para R3 (Véase el siguiente teorema).

Observación 104 . Para un espacio vectorial es lo mismo decir que es finitamente generado, a decir que es de dimensión finita. Esto se debe a que un conjunto generador finito de contiene una base. Por otra parte una base ya es un conjunto generador de

Teorema 126 . Son equivalentes para un subconjunto de un espacio vec-torial de dimensión finita :

1. es una base de y | | =

2. es linealmente independiente y | | =

3. es un conjunto generador de y | | =

Demostración. Es claro que 1) =

2) y que 1) =

3)

Debería ser claro también que basta demostrar la equivalencia entre 2) y3).

2)= 3) Supongamos que es linealmente independiente y que tiene el-ementos. Si no fuera un generador de existiría un elemento \ S ( ) Pero entonces {} sería linealmente independiente (si se piensa que loselementos de van antes que entonces en {} ningún vector es com-binación lineal de los anteriores). Entonces hay un conjunto linealmenteindependiente con + 1 elementos. Esto no puede ser porque como la di-mensión de es entonces debe haber un conjunto generador (una base)



8.4. BASES 443

con elementos. Ya vimos que un conjunto linealmente independiente tienea lo más tantos elementos como un conjunto que genera. La contradicción

demuestra que genera 3) = 2)Supongamos ahora que es un conjunto con elementos, que genera

Si no fuera linealmente independiente, tal que es combinaciónlineal de los demás elementos de Pero entonces \ {} genera lo mismoque lo que genera Es decir que \ {} es un conjunto generador con 1elementos. Como una base de es un conjunto linealmente independientecon elementos, y que un conjunto linealmente independiente tiene a lomás tantos elementos como un conjunto generador, obtenemos la siguiente

contradicción: 1

Teorema 127 . Son equivalentes para 6=n

0o

:

1. es una base para

2. \n 0o existen únicos 1 y 1 2 \ {0} talesque

= 11 + +

Demostración. 1)=2) Si \n

0o

entonces existen1

y 1 2 \ {0} reales que

= 11 + +

pues genera Resta ver que esta expresión es única, supongamos, reorde-nando los términos si es necesario, que

= 11 + +

+ +1+1 +

donde 6= 0 y {+1 } \ {1 } entonces

0 = =

= (1

1)

1 + + (

)

+

+1

+1 + +

+1

+1




como es linealmente independiente, entonces = = (si entonces = 0, contra las hipótesis acerca de los coeficientes). Además tenemos que

= 0 para cada {1} 2)=1) Si vale 2) es claro que genera Si fuera linealmente dependi-

ente existiría un elemento de que es combinación lineal de otros elementosde digamos = 1

1 + +

que serían dos maneras distintas de expresar como combinación lineal deelementos de

8.4.1 Intersección de subespacios y suma de subespa-cios

Como ya hemos visto, la intersección de la familia de subespacios de sigue siendo un subespacio.

Teorema 128 . Sean 1, 2 dos subespacios del espacio de dimensión finita Entonces: dim ( 1 + 2) = dim ( 1)+dim( 2) dim( 1 2)

Demostración. Sea una base para 1

2 se puede extender auna base 1 de 1 y también se puede extender a una base 2 de 2Demostraremos que 1 2 es una base para 1 + 2

Como 1 2 = ( 1) ( 2), entonces

S ( 1 2) = S (( 1) ( 2)) =

= S ( 1) + S ( 2) =

= 1 + 2

Por lo tanto

1

2 genera 1 + 2

Como 1 es una base para 1 en particular es linealmente independi-ente. Veamos ahora que ningún elemento en 1 2 es combinación linealde los anteriores. En caso de haberlo, sería un elemento 2 entonces

=X

+X

1

+X

2

por lo que

X2

=

X

+

X 1

1



8.5. PRODUCTO PUNTO 445

por otra parte,

P2

S (2) 2 Por lo que

X2

1 2 = S ( )

De lo anterior, tenemos queX

+X

1

S ( )

de aquí que P1

S ( ). Digamos que P 1

= P

de dónde

obtenemos X 1

X

= 0

pero como 1 es linealmente independiente, la ecuación anterior implicaque todos los coeficientes son 0 En particular, cada = 0 Por lo que de laecuación original

= X

+ X1

+ X2

tenemos que =

X

+X

2

pero esto contradice que 2 es linealmente independiente.Esta contradicción demuestra que 1 2 es una base para 1 + 2Por lo tantodim( 1 + 2) = |

1

2| =

= | 1| + |2| = | 1| + | | + |2| | | == dim( 1) + dim ( 2) | | == dim( 1) + dim ( 2) dim( 1 2)

8.5 Producto punto

Definición 114 . Se define el producto punto

· : R

× R

R




de la manera siguiente: si

= (1 2) y = (1 2)

entonces · = 11 + 22 + +

Observación 105 . El producto punto así definido tiene las siguientes propiedades:

1. · = · (Esto se sigue de la conmutatividad de la suma y del

producto en R)

2. · ( 1 + 2) = · 1 + · 2 (Consecuencia de la distributividad enR)

3. () · = ( · ) = · ( )

4. · 0 y ( · = 0 = 0).

Nota 2 . Si · : × satisface las cuatro propiedades anteriores, se dice que · es un producto interior en (el campo es )

Definición 115 . y en R son ortogonales si · = 0 (Escribimos ).

Así, por ejemplo,(1 0) (0 1) en R2 y (1 0 0) (0 1 0) en R3.

Nota 3 . La definición de ortogonalidad puede extenderse a espacios que tengan asociado cualquier producto escalar no degenerado (uno que satisfaga que 6= 0 = · 6= 0) pero en estas notas sólo nos interesan los espacios R y la Geometría euclidiana, por lo que no abundaremos en el tema.

Definición 116 . La norma (euclidiana) de R es:

k k: R R+ {0} 7

·




Observación 106

k k: R

R+

{0}

satisface:

1. kk 0 y (kk = 0 = 0).

2. kk = || kk R R

3. k + k kk + k k (Desigualdad del triángulo).

Para comprobar 3) calculemos ( + ) · ( + ) :( + ) · ( + ) = · + 2 ( · ) + ·

así quek + k2 = kk2 + 2 ( · ) + k k2

Basta ahora demostrar que 2 ( · ) 2 kk k k pues en este caso ten-dremos que

k + k2 (kk + k k)2

Esto es lo que afirma el Lema de Schwarz:

Lema 25 . 2 ( · ) 2 kk k k

Demostración. Notemos que la afirmación se cumple cuando = 0Supongamos ahora que 6= 0Notemos que existe kRk tal que ( ) :simplemente de

( ) · = 0

despejemos :

( · · = 0) =µ

= ·

k k2

¶

Para esta tenemos que

0 k k2 = ( ) · ( ) =

= ( ) ·

= kk2

( · )




Así que0

kk2

( · )

de donde ( · ) kk2

como

= ·

k k2

tenemos que( · )2 kk2 k k2

de aquí que

· | · | kk k k

Ejemplo 173 . Para el caso = 2, la definición de ortogonalitad reproduce el Teorema de Pitágoras. (Si son ortogonales, es decir, si · = 0entonces

k + k2 = ( + ) · ( + ) = · + 2 · + · =

= kk2 + k k2

Es decir, k + k =q

kk2 + k k2

Nota 4 . Apuntamos aquí, que también existen otras normas, (en las que tampoco estamos interesados). Los espacios que tienen alguna norma se lla-man espacios normados.

Definición 117 . En un espacio normado, un vector es unitario si su norma es 1.

Ejemplo 174 . En kRk, para cada {1}

=

00...1...

¾

ésima coordenada

es unitario.




Figura 8.3:

Ejemplo 175 . En R3 µ 1

3

1 3

1

3

¶también es unitario.

Definición 118 . {1 2 } R es un conjunto ortonormal si

1. kk = 1 {1 2} y

2. si 6= .

Nota 5 . Observe que todo conjunto finito ortonormal es linealmente inde-pendiente. En efecto, si

11 + 22 + + = 0

entonces para cada = 1 se tiene que

0 = · 0 = · 11 + 22 + + = kk2 =




Teorema 129 . Todo espacio vectorial real de dimensión finita , tiene bases ortogonales y todo subconjunto ortogonal, linealmente independiente

puede completarse a una base ortogonal.

Demostración. Supongamos que = {1 2} es un conjuntoortogonal linealmente independiente, demostremos que se puede extendera una base ortogonal de , por inducción sobre

Notemos primero que por lo que 0Base. Si = 0, entonces = y el conjunto ya es una base pues

es un conjunto linealmente independiente con elementos.Supongamos que 0 Así que y por lo tanto no

puede generar Que la dimensión de sea significa que existe una base{1 2} de con elementos. Si cada perteneciera al subespaciogenerado por entonces generaría

Por lo tanto, existe tal que S ( ) Esto significa que

{}

es linealmente independiente, y dim (S ( {})) = + 1Hagamos

+1 = Ã X =1

·

k k2 !

Usando la ortogonalidad del conjunto podemos notar que

+1 {1 2}

Entonces { +1}

es un conjunto ortogonal, pero además +1 no es combinación lineal de los

elementos de , pues si lo fuera también sería combinación lineal de loselementos de Por lo tanto

{ +1}

es un conjunto ortogonal linealmente independiente con +1 vectores, como ( + 1) podemos usar la hipótesis de inducción para concluirque

{ +1}

se puede completar a una base ortogonal de Esta base contiene a




Definición 119 . Sea un subespacio de un espacio vectorial real de dimensión finita. El complemento ortogonal de , es:

{ | }

Ejemplo 176 . Si = {( 0) | R}, entonces

=©

() R3 | + = 0 Rª

Ejemplo 177 . Si

= {( ) R3 | 2 + 3 = 0}

entonces

=

R3 | =

2

31

R

Observación 107 . Si es un subespacio de V y es un subconjunto

de tal que cada es combinación lineal de ( genera ), entonces

=

Demostración. Es claro que como entonces cualquier vectorortogonal a cualquier elemento de es, en particular, ortogonal a cualquierelemento de Es decir Por otra parte, si y entonces = 1

1 + + con y

por lo tanto

· = 1 ( · 1) + + ( · ) = 0 + + 0 = 0

por lo que

Teorema 130 . Si y es un espacio de dimensión finita con producto punto entonces es un subespacio de y

+ dim =




Demostración.

0 · =

³00

´· = 0

³0 ·

´ = 0 por lo

que 0 Si 1 2 entonces (1 + 2 ) · = 1 · + 2 · = 0 + 0 = 0Por lo tanto (1 + 2 )

Si , entonces ( ) · = ( · ) = 0 = 0Supongamos ahora que es una base ortogonal de extendámosla a

una base ortogonal de Digamos que

= 0

Entonces 0

= por la observación anterior. 0 es linealmente

independiente en y por lo tanto también es un subconjunto linealmenteindependiente de

Si escribamos = + donde es una combinación linealde elementos de y lo es de 0

Entonces

0 = · = ( + ) · = · = k k2

ya que y De aquí se sigue que =

0 Por lo tanto,

cualquier elemento de es combinación lineal de

0

Por lo tanto

0

es unabase de Así que

dim( ) = | | = | 0| = | | + | 0| = dim ( ) + dim¡

¢

8.6 Matrices

Definición 120 . Una función : {1} × {1} R

se llama matriz de renglones y columnas con coeficientes reales. En lugar de escribir ( ) escribiremos

Se suele describir una matriz de por por medio del arreglo rectan-gular

11 12 1

21 22 2...

... ...

1 2



8.6. MATRICES 453

denotaremos el i-ésimo renglón del arreglo, por la ésima columnadel arreglo.

Notación 16 . Denotaremos por (R) al conjunto de todas las matri-ces de por con coeficientes en R

Ejercicio 358 . Demuestre que (R) es un conjunto.

8.6.1 El rango de una matriz

Definición 121 . Sean

= () (R)

= {1}

el conjunto de los renglones de la matriz, sea el subespacio de R generadopor . El rango (de renglones) de es dim( ) y se denota

()

Teorema 131 . Sea (*H) un sistema homogéneo de ecuaciones lineales, y sea

= ()

la matriz de sus coeficientes. Definamos = {1}, en donde =(1) es el i-ésimo renglón de y sea el subespacio generado por . Entonces el conjunto

0 R

de soluciones de (*H) es precisamente el complemento ortogonal de , es

decir: 0 =

(Ver la sección 8.9, más adelante).

Demostración. En efecto,

= (1) 0 para cada {1 2}

· = 1

1 + +

= 0




es decir

0

De aquí se sigue que 0 =

Se tiene que

= dim¡

¢

+ dim ( ) = dim 0 + ()

O sea:

dim 0 = ()

y esta última igualdad permite decir que 0 es un espacio vectorial (subespa-cio de R) con () parámetros (o grados de libertad).

La dimensión de , coincide con el número máximo de vectores lineal-mente independientes que pueden formarse con los elementos de , que es,a su vez, el orden del determinante diferente de cero de mayor orden, quepuede obtenerse del conjunto de submatrices cuadradas de la matriz .

La observación anterior tiene como consecuencia inmediata el hecho deque para una matriz , el espacio generado por sus renglones tiene la mismadimensión que el espacio que generan sus columnas a pesar de que el primeroes un subespacio de R mientras que el segundo lo es de R.

Esto se sigue de que si es una matriz de renglones y columnasentonces considerando el sistema de ecuaciones

· = 0

donde

=

1

2...

notamos que esto se puede reescribir de la siguiente manera:

11 + 22 + + = 0 (8.2)

donde {1} es el conjunto de las columnas de la matriz



8.6. MATRICES 455

Supongamos que

©1

ª es una base para el subespacio de R

generado por las columnas de

Podríamos reescribir la ecuación 8.2 de la siguiente manera:

11 + 22 + + = X

{1}

(8.3)

Notemos ahora que para cualquier elección de las en el campo, existenúnicos elementos del campo 1 tales que satisfacen 8.3 al hacer lassustituciones. Esto es una consecuencia de que

©1

ª es una base

para el espacio generado por las columnas de Sin perder generalidad, y para simplificar la notación, supongamos que

las primeras columnas de general el espacio de las columnas. (Si esto nofuera así, podríamos reordenar las incógnitas y las columnas).

Con esta simplificación podemos escribir

11 + 22 + + = X

(8.4)

Como habíamos hecho notar, hay una solución para cada R. Sean

1 = (111 1 0 0)

2 = (122 0 1 0)

... = (1 0 0 1)

Podemos notar que estas soluciones son linealmente independientes,pues si

P

= 0 note que las coordenada + ésimas son = 0También es claro que si (1) es una solución es porque

11 + 22 + + = X

Como también

+11 + +2

2 + + = (1 +1)

es una solución entonces

11 + 22 + + = X




Como la expresión de cada vector en términos de una base es única, tenemosque

(1) = (1 +1) = +11 + +2

2 + +

así que {1 2 } es una base para el conjunto de soluciones.Por lo tanto, dim( 0) = donde es la dimensión del espacio de

columnas de Por lo tanto, la dimensión del espacio generado por las columnas de es

dim( 0)

que como ya vimos también es la dimensión del espacio generado por losrenglones de

Si llamamos rango de columna de la matriz a la dimensión del espaciogenerado por las columnas de y llamamos rango de renglón la dimensióndel espacio generado por los renglones de podemos hacer la siguiente con-clusión.

Proposición 32 . El rango de renglón de una matriz coincide con su rango de columna.

Notación 17 . En vista de la proposición anterior hablaremos simplemente del rango de una matriz.

8.7 Funciones lineales

Definición 122 . Una función : es lineal si:

1. respeta la suma, es decir que

( + ) = () + ()

2. respeta multiplicación por escalares, es decir que

() = ()

Ejemplos 178



8.7. FUNCIONES LINEALES 457

Figura 8.4:




Figura 8.5:

1. Rotaciones. Consideremos la función

: R2 R2

que rota cada vector por un ángulo alrededor del origen. Una rotación

en R2 es una función lineal.

2. Reflexiones. Tomemos una línea recta que pase por (0 0) en R2 Lafunción que envía un vector a su imagen reflejada sobre la línea es una función lineal ( () tiene el mismo tamaño que y el ánguloentre () y es el mismo que el ángulo entre y ).

3. Proyecciones. Consideremos la función :

R

R que envía el



8.7. FUNCIONES LINEALES 459

vector

1

2...

a su -ésima coordenada es una función lineal.

4. Homotecias. Multiplicar por un escalar

· _ :

7

es una función lineal

Lema 26 . Si es una base del espacio vectorial entonces cada vec-tor de se puede expresar de manera única como combinación lineal (con coeficientes no nulos) de elementos de

Demostración. Como la bases generan, cada vector de es combinaciónlineal de elementos de .

Si

11 + + = 11 + +

con \ {0} entonces

11 + +

11

= 0 (8.5)

Como es linealmente independiente y los coeficientes en la ecuación anteriorson distintos de 0, entonces debe coincidir con alguna pues en casocontrario {1 1 } sería un subconjunto linealmente dependientedel conjunto linealmente independiente lo que no es posible. De la mismamanera, cada debe pertenecer al conjunto {1 }

Por simetría, también tenemos que {1 } {1 } Deesta manera tenemos que {1 } = {1 } por lo que podemossuponer, reenumerando, que = y que = Entonces podemos escribir8.5 como

(1 1) 1 + + ( ) = 0

de donde tenemos que 1 = 1 = Es decir que cada combinación lineal de elementos de con coe-

ficientes distintos de 0 tiene expresión única, excepto por el orden de lossumandos.




Teorema 132 . Para definir una función lineal basta definirla en una base del dominio.

Demostración. Sea una base del espacio vectorial Si : es una función, en vista del lema precedente, podemos definir : mediante la regla:

(11 + +

) = 1 (1) + +

()

Que el dominio de es es consecuencia de que genera Quela definición es una buena definición es consecuencia de que es linealmente

independiente.Notemos que ³ 0´

= 0 ya que una suma sin sumandos es igual a 0por convención (ver la página 151). En efecto,

³

0´

=

ÃX

! =X

() = 0

donde las dos sumas son sumas “vacías” (sin sumandos).Resta notar que es lineal, pero esto es una consecuencia inmediata

de la definición, que el lector puede comprobar como un ejercicio.

Ejercicio 359 . Compruebe que la función del teorema anterior es lineal.

Para poder hacer el ejercicio siguiente se supone que todo subconjuntolinealmente independiente de un espacio vectorial se puede completar a unabase. Este resultado no se demuestra en este curso para espacios de dimensióninfinita, pero se puede encontrar en casi cualquier texto de Álgebra Lineal.

Ejercicio 360 . Suponga que tiene la propiedad de que para cada función : existe una única función lineal : tal que su restricción a es Demuestre que tiene que ser una base de (Sugerencia: demuestre que tiene que ser linealmente independiente y generador de Suponga, por reducción al absurdo, que no es linealmente independiente, tome una expresión de 0 como combinación lineal de elemen-tos de con coeficientes distintos de 0 digamos que 0 = 1

1 + + con

, tome : 7 (01 0) = R y contradiga que

³ 0

´ = 0

Con esto se tendrá que es linealmente independiente tome ahora una base




De tal manera que obtenemos un arreglo con entradas (coeficientes). Elcoeficiente en el

ésimo renglón y en la -ésima columna del arreglo es la

ésima coordenada del vector ( ) El arreglo de números se poneentre paréntesis y se llama la matriz de

Si llamamos a la matriz de , entonces es la i-ésima coordenadade ( )

En resumen, para construir la matriz × (R) que corresponde auna transformación lineal : R R dadas las bases canónicas de R

y deR tómese para cada columna de la imagen ( ) de bajo latransformación

Así por ejemplo si : R3

R2 es la transformación definida por

( ) = ( + 2 3 7), entonces (1 0 0) = (1 3) (0 1 0) =

(2 7) y (0 0 1) = (1 0) Por lo tanto =

µ 1 2 13 7 0

¶es la matriz

asociada. Nótese ahora que para R3 () es

Ejemplos 179

1. La matriz de una rotación. Si consideramos

: R2 R2

notando que

µ 10

¶ =

µ cos() ()

¶y que

µ 01

¶ =

µ ()cos()

¶

tenemos que[] =

µ cos() ()

()cos()

¶

2. La matriz de una reflexión sobre una línea que pasa por el origen de R2

Si reflejamos el vectorµ

10

¶ sobre una línea que pasa por

µ 00

¶ y

que hace un ángulo con el eje obtenemos un vector que hace un án-

gulo 2 con el eje Por lo tanto, sus coordenadas son µ cos(2)

(2) ¶



8.8. LA MATRIZ DE UNA FUNCIÓN LINEAL ENTRE 463

Figura 8.6:




Si reflejamos el vector

µ 01 ¶

sobre la línea obtenemos el vector que

hace un ángulo

2 2

³

2

´ = 2

2

con el eje Por lo tanto, sus coordenadas sonµ

cos¡

2 2

¢

¡2

2

¢ ¶ De

la siguiente figura, vemos que

cos() = ³

2

´ =

³

³

2

´´

de aquí que

³2

2

´ = cos(2)

Además () = cos

³

2

´ = cos

³

2

´

por lo que

cos³

2

2

´ = (2)

3

Así que la matriz de la reflexión esµ cos(2) (2)

(2) cos(2)

¶

Ejercicio 367 . Calcule la matriz la proyección 2 : R3 R que envía un vector en R3 a su segunda coordenada.

Ejercicio 368 . Calcule la matriz de la homotecia.R3 ·_ R3 (multiplicar por ).

Definición 123 . Sea (R) queremos definir una función lineal

R ·_ R

3Hemos usado que () = () y que cos() = cos () Recuerde que esuna función par mientras que es impar.




Figura 8.7:




(multiplicar por ) Quisiéramos hacer esto de tal manera que la matriz de · _ sea misma. Entonces la

ésima columna de la matriz de · _ debe

ser = ( · _) ( ) = ·

En este caso

·

1

2

= · (1

1 + + ) = 1 ( · 1 ) + + ( · ) =

= 11 + +

Para tener linealidad.

Definición 124 (Producto de matrices). Sean (R) y ( R) entonces

R ·_ R R ·_ R

son funciones lineales de la manera que se definió arriba. Por lo tanto su composición es una función lineal

R (·_)(·_) R

como tal, tiene matriz y llamamos a su matriz.

Observación 108 . Por definición la ésima columna de es

() = ( · _) ( · _) ( ) = (( · _) ( )) = · =

= 11 + + R

Si nos fijamos en la i-ésima coordenada de este vector obtenemos

() = 11 + + = 11 + + =

= ·

Lo que nos puede servir como una guía para definir el producto de dos ma-trices.

Observación 109 . El producto de matrices es asociativo.




Demostración. Supongamos que es una matriz de por , que esuna matriz de por y que es una matriz de por

Entonces para ver que ( ) = ()

basta ver que para cada

( ( )) = (() )

en efecto,

( ( )) = · ( ) = X

( ) = X

¡ · ¢ =

=X

ÃX

! =X

ÃX

( )

! =

=X

X

( ) =X

X

( ) =

= X ÃX

() ! = X ³() ´= (() )

Observación 110 . Si : R R y : R R son funciones lineales, entonces

: R R

es una función lineal y su matriz es el producto de las matrices respectivas,

es decir [ ] = [ ] [ ]

Demostración. Denotemos = [ ] y = [ ] entonces

[ ] = [ ] = ( ( )) = ¡

¢

=

= ÃX

! = X

( ) = X




La ésima coordenada de este vector es:

[ ] = X

X

= ·

= ()

Por lo tanto [ ] = = [ ] [ ]

Ejemplo 180 (La matriz de una composición de rotaciones). Considere-mos rotaciones en el plano R2 por ángulos y . Denotemos y

dichas rotaciones entonces

= +

por lo tanto[+] = [] []

así que µcos( + ) ( + ) ( + cos ( + )

¶ =

µcos() () (cos ()

¶µcos() () () co s()

¶ =

=

µ cos()cos() () () cos() () ()cos() ()cos() + cos () () cos ()cos() () ()

¶De donde tenemos

cos( + ) = cos()cos() () ()

y

( + ) = ()cos() + cos () ()

Definición 125 . La matriz identidad de por es la matriz de

: R R

1 0 00 1 0

0 0 1

=



8.9. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 469

Definición 126 . Se dice que una matriz cuadrada tiene inverso se existe una matriz cuadrada tal que

= =

Ejemplo 181 . Es claro que la operación de reflejar sobre una línea que pasa por el origen de R2 es autoinversa, por lo tantoµ

1 00 1

¶ = [] = [ ] =

= µ cos(2)

sin (2)

sin(2)

cos(2) ¶µ cos(2)

sin (2)

sin(2)

cos (2) ¶

de aquí que 2 (2) + 2 (2) = 1

o bien 2 ( ) + 2 ( ) = 1

8.9 Sistemas de ecuaciones linealesCuando utilizamos el lenguaje matemático para modelar situaciones (quepueden referirse a la Matemáticas mismas, pero que también puede salirde la física, de la química, o de la biología, por ejemplo), se presentan confrecuencia los Sistemas de ecuaciones lineales, cuyas soluciones, en general,admiten interpretaciones importantes en el problema original. En estos casos,resulta de interés el tener criterios efectivos que permitan decidir cuandotales sistemas tienen solución, y en este caso, cuantas y como encontrarlas.

Consideremos un sistema de ecuaciones con incógnitas, al que eti-quetaremos () y que deseamos a resolver:

111+ +11 = 1...

... ...

111+ + =

((*))

Encaminados a este propósito, nuestra primera pregunta podría ser:

• ¿Qué debemos entender por resolver un sistema ?




Aceptemos que un sistema queda resuelto cuando hemos encontrado todassus soluciones.

Aquí surgen de inmediato las siguientes cuatro preguntas:

• ¿Qué es una solución de ()?

• ¿Cuando un sistema tiene solución?

• ¿Cuántas soluciones hay?

• ¿Cómo podemos encontrarlas, ya sea explícitamente o bien caracter-izándolas por medio de expresiones adecuadas?

En esta parte se describe una manera de responder a estas preguntas y almismo tiempo se pretende discutir brevemente los fundamentos teóricos enlos que se basa el algoritmo.

Como se verá más adelante, en el caso de los sistemas ecuaciones lineales,las preguntas 3, 4 y 5 se responde simultáneamente, lo que no es comúnen problemas de las Matemáticas. En efecto, la existencia de soluciones,la unicidad de estas, y la manera de encontrarlas son en general problemasindependientes.

8.9.1 Algunas definiciones

Definición 127 . Se llama sistema de ecuaciones lineales reales de × con coeficientes reales o bien sistema de ecuaciones lineales con incóg-nitas a una expresión (conjunto de igualdades) de la forma:

111 + + 1 = 1...

...

...11 + + =

((*))

en donde cada (coeficiente) y cada (término independiente), son números reales. Las incógnitas (las ) son variables que deberán representar también números reales.

Nos referiremos a un sistema como el anterior simplemente como a unsistema de ecuaciones y sólo seremos más explícitos cuando la situación par-ticular lo requiera.




Definición 128 . En el caso en que cada sea cero, ser el sistema es homogéneo. A cada sistema (

) se le puede asociar de manera natural un

sistema de ecuaciones homogéneo que se conoce como el sistema homogé-neo asociado ( )

Definición 129 . Para cada la expresión

11 + + = ((i))

se llama la i-ésima ecuación del sistema .

Definición 130 . Una -ada ordenada = (1 2) R es una solución de la ecuación ésima de () si

11 + + =

lo que también se expresa diciendo que satisface ()

Una vez convenido que los coeficientes y los términos independientes son

números reales, y que las variables quedan restringidas a tomar como valorestambién números reales, a cada ecuación se le asocia el conjunto

= {(1) R | 11 + + = }

de sus soluciones, que en los casos en que 3 tiene la interpretacióngeométrica usual.

Así por ejemplo si la -ésima ecuación es: 2 = 4, y = 2 entonces resulta ser el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuyas coor-

denadas satisfacen la ecuación () que en este caso es la recta de pendiente2 que tiene ordenada al origen 4

Aquí resulta conveniente considerar la situación en que para alguna ecuacióndada, todos los coeficientes sean 0 y entonces distinguir los dos casos extremossiguientes:

1. = 0 y

2. 6= 0




Explícitamente, si = 3, en el primer caso, la ecuación queda:

0 + 0 + 0 = 0

cuyo conjunto de soluciones es, evidentemente, todo R3 Para el segundo, la situación es la siguiente:

0 + 0 + 0 = 6= 0

que no es satisfactible por ninguna terna en R3 y por lo tanto su conjuntosolución es vacío.

Observación 111 . En vista de que algunos coeficientes pueden ser cero, y en ese caso puede omitirse la escritura del término correspondiente,debe recordarse cuál es el número de incógnitas con el que está trabajando, y que se fija al definir el sistema. Si, por ejemplo, la i-ésima ecuación de algún sistema fuera: = 1, entonces las soluciones serían:si = 1 {1} un solo número,si = 2 {(1 ) | R} una recta vertical;y si = 3 {(1 ) | R} un plano paralelo al ,

lo que simplemente reitera el hecho de que para describir un conjunto, (en ese caso es de las soluciones de la ecuación), no basta dar una condición, (la ecuación misma), sino que es preciso señalar el conjunto del cual la condición escoge elementos ( R).

Definición 131 . R es una solución de () si satisface cada una de sus ecuaciones, es decir, si {} Al conjunto se le llama el conjunto solución de () o el conjunto de todas sus soluciones, dependiendo de que se desee enfatizar: al conjunto mismo, por sus elementos. Remarcamos

aquí que entonces el conjunto solución de () es

=

=1{ }

En efecto, desde el punto de vista de la lógica, el sistema () es un predica-do compuesto por la conjunción de sus operaciones, que cuando se interpretaen la teoría de conjuntos, corresponde a la intersección.

Por esa razón, si se da alguno de los casos extremos analizados con ante-rioridad:




1. 01 + 02 + + 0 = 0la ecuación puede omitirse ya que el conjunto que es el universo, es

el idéntico con respecto a la intersección.

2. 01 + 02 + + 0 6= 0en este caso se dice el sistema no tiene solución, lo que corresponde elhecho de que está contenido en cada , uno de los cuales es vacío.

Cuando = (() no tiene soluciones) se dice que el sistema es incon-sistente.

Si 6= (existe al menos una solución), el sistema es consistente.Cuando consta de un solo elemento, se llama determinado.Así por ejemplo, si () es

1. + = 2 + = 3

entonces =

2. + = 2

+ = 3

entonces

= {(6 4)}

3. + = 10

2 + 2 = 20 entonces es infinito

(En este caso suele decirse que el sistema es indeterminado).

Observación 112 . Aunque con frecuencia se dice que “resolver una ecuación”(o resolver un sistema de ecuaciones) es encontrar todas sus soluciones, no

quisimos emplear esta expresión debido a que las “soluciones”de todo el sis-tema (y en particular las de cada ecuación) forman un conjunto (el conjuntode sus soluciones) y como tal puede describirse o “encontrarse” de muchas maneras. ¡De hecho, los sistemas mismos son descripciones implícitas de sus soluciones!

Observación 113 . Como se verá más adelante, siempre que no sea vacío, resultará ser el trasladado de un subespacio, (una variedad lineal), y por lo tanto se podrá entender que está definido en forma explícita cuandose diga que es vacío (y lo sea), o cuando no siéndolo se dé una representación




paramétrica de él, o bien se describa en términos de base y punto de apoyo; forma a la que también llamaremos “expresión vectorial paramétrica de la

solución”; es decir, cuando se dé la solución general del sistema homogéneoasociado por medio de una base, más una solución particular del sistema completo (punto de apoyo).

Consideremos los siguientes ejemplos.

Ejemplos 182

1. Las soluciones de la ecuación 2 5 + 6 = 0 son los elementos del

conjunto {2 3} que puede describirse igualmente como:(a) { Z+ | es primo, y 5} o bien como

(b) { R | 2 5 + 6 = 0} entre muchas otras formas.

2. La solución general del sistema

+ + = 3

+ = 2

(

)

es =©

(1 2 3) R3 | 1 = 1 2 + 3 = 2ª

que corresponde tam-bién a las siguientes descripciones:

(a) =

R3 | =

1

20

+

0

11

R

(b) = ©(1 2 ) R3 | Rª

(c) = ©( ) R3 | = 1 = 2 = Rª

(d) es = 1 = 2 = R

Que son distintas (?) versiones de la llamada descripción paramétrica.En este caso, suele decirse que “las incógnitas están despejadas”. De hecholo están, pero en función de sus parámetros (la ), si esto justifica el que enmuchas ocasiones se afirme que resolver un sistema de ecuaciones es “despejarsus incógnitas”.

Otras formas de describir podrían ser:




3 es la intersección de los planos cuyas ecuaciones son:

+ + = 3 y + = 2

4 =©

( ) R3 | + + = 3 y + = 2ª

.

Definición 132 . Resolver un sistema de ecuaciones es escribir su solución general en forma explícita.

Lo que se trata de conseguir aquí, es una descripción de efectiva, en elsentido de que permita encontrar soluciones particulares fácilmente.

8.9.2 Un método para resolver sistemas de ecuacioneslineales

Uno de los métodos que aprendimos en la escuela secundaria para resolversistemas ecuaciones lineales es el de suma y resta que consiste esencialmenteen ir eliminando en cada ecuación a todas las incógnitas menos una, demanera que se termine con un sistema de la forma:

1 = 1

2 = 2...

=

(8.6)

cuya solución general salta la vista. (Ver la observación 111).La eliminación de las incógnitas se hace por medio de las operaciones

elementales que se efectúan en las ecuaciones del sistema y que son:

1. Cambiar el orden en que aparecen las ecuaciones.

2. Multiplicar cada término de una ecuación por cualquier constante no0.

3. Sustituir una ecuación por resultado de sumarle otra.

El resultado final, aunque no siempre queda de la forma 8.6, sí es to-talmente satisfactorio en cuanto que contestan las últimas preguntas de lapágina 470.




Para fijar ideas comenzaremos suponiendo que debemos resolver el sis-tema

+ = 10 (1) + = 2 (2)

que geométricamente corresponde encontrar a la intersección de las rectas 1

y 2 que se ven en la figura siguiente:

Transformamos el sistema sumando la primera ecuación a la segunda yluego dividiendo cada término de la suma así obtenidas entre 2

+ = 10 (1) = 6 ( 0

2)

el dibujo correspondiente esFinalmente, restando la segunda ecuación de laprimera, obtenemos

= 4

= 6




Terminaremos diciendo que la solución del sistema es (4 6) y para estar

seguros comprobamos:4 + 6 = 10 (8.7)

4 + 6 = 2 (8.8)

Seguramente lector habrá notado que en cada paso de la construcciónanterior, hemos ido cambiando el problema.

En el ejemplo comenzamos con rectas inclinadas, una de las cuales 8.7 setransforma en la recta horizontal = 6. Sin embargo, el conjunto soluciónde cada sistema es el mismo los tres casos.

Esta situación de cambio de problema, se repite cada vez que usamos elmétodo de eliminación de las incógnitas por suma y resta. Por supuesto quetendrá que demostrarse que a pesar de estos cambios, el conjunto soluciónal que se llegue al concluir el proceso, es el mismo que el que nos interesaconocer desde el principio. Al final de este capítulo, daremos la justificaciónrequerida.

Podríamos esquematizar un poco lo que hemos hecho, comenzando conuna matriz en la que pondremos sólo los coeficientes y los términos indepen-dientes. Al ir cambiando el sistema por medio de las operaciones elementales




que geométricamente consiste en buscar de intersección de tres planos y quecorresponde en el método esquemático a

1 2 3 6

4 5 6 157 8 9 24

2=

2 41

37

3=3 71

6

1 2 3 6

0 1 2 30 1 2 3

1=1227

3=32

(8.13)

1 2 3 6

0 1 2 30 0 0 0

1227

1 0 1 0

0 1 2 30 0 0 0

(8.14)

Esta última matriz representa el sistema = 0

+ 2 = 30 + 0 + 0 = 0

(8.15)

Hagamos las siguientes observaciones:

Observación 114 . No es posible llevar más adelante el proceso de elim-inación. Por supuesto se puede eliminar de las ecuaciones primera y se-

gunda, pero a costa de introducir en la primera o en la segunda.Observación 115 . Nótese que en esta situación (imposibilidad de eliminar “bien” las incógnitas) corresponde al caso en que la última matriz tiene menos renglones distintos de 0, que el número de incógnitas ( ).

Observación 116 . La tercera ecuación dice que

0 + 0 + 0 = 0 (8.16)

y por lo tanto, como se dijo antes, se cumple para cualquier terna ordena-da de números reales es decir, su solución parcial es todo R 3 así que al intersectarla con las soluciones de la primera y de la segunda ecuaciones,simplemente quedan las soluciones de éstas, por lo que la tercera ecuación se puede desechar.

Las dos primeras ecuaciones se pueden reescribir como sigue:

= (8.17)

= 3

2 (8.18)




y puestas así, permiten observar que la es libre de tomar cualquier valorreal que se ocurra y que cada vez que se seleccione alguno para ella, la y la

quedan fijas . Esto nos permite expresar la solución general de 8.12 como

= = 3 2

= ( R) (8.19)

Cada valor (arbitrario) que la tome permite encontrar una solución partic-ular. se denotará por “”, (el parámetro), y se acostumbra entonces decirque se trata de un sistema con un grado de libertad. la solución general de

8.12 también puede describirse la manera siguiente:

=

R3 | =

0

30

+

1

21

R

(8.20)

que es la recta en R3 que pasa por

0

30

y está generada por

1

21

4

8.9.3 Algoritmo para la solución de sistemas de ecua-ciones lineales

Para resumir, concluimos con un algoritmo (receta) para resolver sistemasecuaciones lineales por el método matricial y damos algunos ejemplos.

Algoritmo 2 . Para resolver sistemas de ecuaciones lineales.

1. Escriba el sistema cuidando de respetar el orden en el queaparecen las incógnitas en cada ecuación ( debajo de , debajo de , etc.).(Si en alguna ecuación falta alguna incógnita, incorpórela con un coe-ficiente 0).

4Como se apuntó en el comienzo de este capítulo, la solución que un sistema de ecua-ciones admite diferentes interpretaciones. En este caso, dentro de la cinemática, tam-bién puede interpretarse como un modelo del movimiento (rectilíneo) de un móvil que semueve con velocidad constante (1 2 1) y que parte del punto (0 3 0) ( = 0). En estecaso, representa el "tiempo", por supuesto.




Así por ejemplo, si el sistema es

3 2 + = 4 +3 = 0 + = 2

se debe cambiar por

3 2 + = 4 + +3 = 0 +0 + = 2

2. Escriba la matriz de coeficientes aumentada con los términosindependientes.(Cuando convenga, cambie el orden de las ecuaciones. En el ejemplo: 3 2 1 4

1 1 3 61 0 1 2

se puede cambiar a

1 0 1 2

1 1 3 63 2 1 4

).

3. Diagonalice por medio de operaciones elementales en los ren-glones (llévela a su forma escalonada reducida).(Si al estar ejecutando este paso aparece algún renglón en el que laúnica componente diferente de cero es la última, que por lo tanto re-presenta una ecuación de la forma 01 + 02 + + 0 = 6= 0, queobviamente no puede ser satisfecha, suspenda el proceso y declare queel sistema es inconsistente (el conjunto de las soluciones es vacío)).

4. Terminado el proceso de diagonalización, identifique las in-cógnitas “fijas”(también llamadas “principales”) -que son lasque corresponden a los pivotes que encabezan cada renglón

distinto de 0 (que debe ser 1 en cada caso)- y llame “paráme-tros” o “incógnitas libres” a las demás y desígnelas 1

(Si por ejemplo

=

1 3 0 2 1 0 3

0 0 1 3 1 0 40 0 0 0 0 1 6

y las incógnitas son 16 entonces los parámetros son 2 4 y 5Hágase

2 =

1

4 =

2 y

5 =

3).




5. Reinterprete cada renglón de la matriz como ecuación y des-peje cada incógnita fija. Escriba la “solución paramétrica”.

1 = 3 31 22 3

2 = 1

3 = 4 32 + 3

4 = 2

5 = 3

6 = 6

(Remarque la condición de ser parámetro, especificando quecada uno puede tomar libremente cualquier valor real: 1 2 3 R).

6. Escriba la solución en forma “vectorial paramétrica”.En el ejemplo anterior,

=

30

400

6

+ 1

31

0000

+ 2

20

3100

+ 3

10

1010

Nota 6 Cuando se escribe la solución en forma vectorial paramétrica, el vector de los términos independientes, que es el que no está multiplicado por ningún parámetro, es una solución particular del sistema original (completo).

Los vectores que corresponden a los parámetros, son soluciones del sistema homogéneo asociado y además, toda solución del sistema homogéneo es una combinación lineal de estos últimos. En el último ejemplo, si llamáramos

=

30400

6

1 =

31000

0

2 =

20

310

0

3 =

10101

0




entonces

resuelve = 0 ( {1 2 3}) y si es una solución del sistema, entonces existen

R tales que

= + 1 +

2 +

3

y en este sentido se dice que el conjunto de soluciones del sistema completo,es un trasladado del espacio de soluciones del sistema homogéneo, una de cuyas bases es

n 1

2

3o

Recuérdese que en este caso también se dice que el conjunto solución tiene tres grados de libertad, tres parámetros, o que es una variedad lineal de “dimensión” 3.

Ejemplos 183

1. Consideremos el sistema

2 + 3 = 6

2 + + = 5

+ 3 + = 6

cuya matriz aumentada es 1 2 3 6

2 1 1 51 3 1 6

Se efectúan las operaciones que se indican y resultan las matrices de laderecha:

02 = 2 21

03 = 3 1

1 2 3 60 5

7 17

0 5 2 12

01 = 1 +

2

52

03 = 3 2

1 0 1

5

4

50 5 7 170 0 5 5

01 = 1 1

53

03 =

1

53

1 0 0 10 5 7 170 0 1

1




02 = 2

1 0 0 10 5 0 10

0 0 1 1

02 =

1

52 + 73

1 0 0 1

0 1 0 20 0 1 1

Finalmente = 1 = 2 = 1 y 0 =

1

21

2.

+ 2 = 4

2 + 4 2 = 5

2 + = 1

La matriz asociada es

1 2 1 42 4 2 51

2 1 1

Nuevamente, anotamos las operaciones realizadas a la izquierda y lasmatrices obtenidas a la derecha:

02 = 2 21

1 2 1 4

0 0 0 31 2 1 1

El proceso termina. El sistema es inconsistente.

3.

+ 2 + 3 = 6

4 + 5 + 6 = 15

7 + 8 + 9 = 24

que tiene la matriz asociada

1 2 3 64 5 6 15

7 8 9 24




02 = 2 41

0

3 =

3 7

1

1 2 3 60

3

6

9

0 6 12 18

02 = 1

32

03 = 1

63

1 2 3 6

0 1 2 30 1 2 3

01 = 1 22

03 = 3 2

1 0 1 0

0 1 2 30 0 0 0

Las incógnitas fijas son el parámetro es = Entonces:

= = 3 2 =

o bien, =

0

30

+

1

21

R

Para cada valor de , se obtiene una solución particular, así si:

= 0 =

03

0

; si = 1 =

11

1

, ... etc.

31 + 92 + 3 + 4 + 35 + 26 = 7

21 + 62 + 3 4 + 35 = 2

1 + 32 + 24 + 55 26 = 3

1 + 32 + 24 + 5 + 26 = 1

Entonces la matriz asociada es

3 9 1 1 3 2 72 6 1 1 3 0 21 3 0 2 5 2 31 3 0 2 1 2 1

01 = 4

04 = 17

1 3 0 2 1 2 12 6 1 1 3 0 21 3 0 2 5 2 3

3 9 1 1 3 2 7




02 = 2 21

03 = 3

1

04 = 4 317

1 3 0 2 1 2 1

0 0 1 5 1 4 00 0 0 0 4 4 20 0 1 5 0 4 1

03 =

1

44

04 = 4 2

7

1 3 0 2 1 2 10 0 1 5 1 4 0

0 0 0 0 1 1 1

20 0 0 0 1 0 1

01 = 1 + 4

02 = 2 + 4

03 = 3 + 4

04 = 4

7

1 3 0 2 0 2 20 0 1 5 0 4 1

0 0 0 0 0 1 3

20 0 0 0 1 0 1

03 = 4

04 = 3

7

1 3 0 2 0 2 20 0 1 5 0 4 10 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 1 3

2

01 = 1 24

02 = 2 + 44

7

1 3 0 2 0 0 50 0 1 5 0 0 50 0 0 0 1 0 1

0 0 0 0 0 1

3

2

Por lo tanto 2 = 1; 4 = 2 y así,

1 = 5 31 22

2 = 1

3 = 5 + 52

4 = 2

5 = 1

6 =

3

2

o bien =

50

50

1

3

2

+1

310000

+2

205100

, 1 2 R




En los siguientes ejercicios, resuelva los sistemas cuyas matrices estándadas.

Ejercicio 369 .

1 1 2 2

2 1 1 23 0 2 5

; = 3

Ejercicio 370 .

1 2 3 4 02 5 1 2 13 2 5 1 31 3 4 2 1

; = 4

Ejercicio 371 .

1 1 2 0 4 0 0 30 0 0 1 2 0 0 20 0 0 0 0 1 0 70 0 0 0 0 0 1 0

; = 7

Ejercicio 372

1 2 1 6 5 13

1 3 1 4 2 21 2 1 4 1 1

; = 5.

Ejercicio 373

3 2 0 2 3

2 1 1 6 75 1 1 4 9

; = 4

En los siguientes ejercicios balancee las siguientes ecuaciones que repre-sentan reacciones químicas:

Ejercicio 374 . + 2 + 2

Ejercicio 375 . 3 9 + 2 2 + + + 2

Ejercicio 376 . 2 + 3 + 3 + + 2

Ejercicio 377 . 3 + ( 3)2 + 2 + + 2

Ejercicio 378 . ( 4)2 4 4 + 2

Ejercicio 379 . + 24 + 2

4




Ejercicio 380 . +3 (3)2+ 2+ 43+ ( 3)2+ + 2

Ejercicio 381 . Un móvil parte de (3 5 3) con una velocidad (2 1 1)y al mismo tiempo otro sale de (5 3 1) con una velocidad (3 3 0) ¿Se cruzan sus trayectorias? ¿Chocan?

Ejercicio 382 . Igual que el anterior pero el segundo móvil con velocidad (1 1 0)

Ejercicio 383 . En un espectáculo los hombres pagan $2.00, las mujeres $5.00 y los niños $0.10. Si hay 100 personas y la recaudación fue de $100.00 ¿Cuántos espectadores hay de cada clase?

8.10 Matrices reducidas y escalonadas

Definición 133 . Si (1) es un vector distinto de 0, diremos que su coeficiente principal (o pivote) es su primer coeficiente distinto de 0 : si es el coeficiente principal de (1) entonces

= { | 6= 0} Definición 134 . Una matriz con m renglones y n columnas está re-ducida y escalonada si

1. El coeficiente principal de cada renglón distinto de 0 es 1

2. Si el coeficiente principal del i-ésimo renglón es (= 1) entonces la j-ésima columna de la matriz es

3. Si

son renglones distintos de 0 y entonces el coeficiente

principal de está a la derecha del coeficiente principal de

4. Los renglones de puros ceros van debajo de los renglones 6= 0

Definición 135 . Una matriz con renglones y columnas está escalon-ada si satisface 2) y 4) de la definición anterior.

1.

1 2 0 00 0 1 0

0 0 0 1

está reducida y escalonada.



8.10. MATRICES REDUCIDAS Y ESCALONADAS 489

2.

1 2 0 00 0 2 0

0 0 0 1

está escalonada pero no reducida.

3. .

1 2 3 0

0 0 1 00 0 0 1

está escalonada pero no reducida.

4. .

1 2 3 00 0 1 00 0 0 1

0 0 1 0

no está escalonada.

5.

0 0 0 01 2 0 00 0 1 00 0 0 1

no es reducida y escalonada.

6.

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 0

está reducida y escalonada.

Definición 136 . Una operación elemental de renglón es una operación de los siguientes tres tipos:

1. Intercambiar dos renglones de una matriz, que es una operación delprimer tipo.

2. Multiplicar un renglón de una matriz por un escalar 6= 0 que es unaoperación del segundo tipo.

3. Sumar a un renglón un múltiplo de otro, que es una operación elementaldel tercer tipo.

Teorema 133 . Toda matriz se puede reducir y escalonar mediante un número finito de operaciones elementales de renglón.

Demostración. Notemos primero que una matriz de ceros ya está re-ducida y escalonada. Demostraremos la afirmación para matrices distintasde 0 por inducción sobre el número de renglones de la matriz.




Base. Si la matriz sólo tiene un renglón, entonces

= ¡111¢ 6= (0 0)

Supongamos que el coeficiente principal es 1 Si este coeficiente principales 1 entonces la matriz ya está reducida y escalonada, si nó, multiplicando

por 1

1obtenemos una matriz reducida y escalonada.

Paso Inductivo. Supongamos que la matriz tiene renglones, con 1 y la afirmación cierta para matrices con 1 renglones.

Entre los renglones de la matriz, escoja un renglón que tenga su co-

eficiente principal lo más a la izquierda que sea posible (si es el coefi-ciente principal del renglón i-ésimo y es el coeficiente principal del renglónésimo, entonces ).

Multipliquemos el i-ésimo renglón por 1

para obtener una matriz cuyo

renglón i-ésimo tiene coeficiente principal 1.Intercambiemos los renglones 1 e si 6= 1Hemos hecho a lo más 2 operaciones elementales y tenemos una matriz

de la forma

0 0 1 1+1 1

0 0 2 2+1 2...

... ...

...0 0 +1

Si al segundo renglón le sumamos (2) veces el primer renglón, altercer renglón le sumamos (3) veces el primer renglón,..., al ésimorenglón le sumamos () veces el primer renglón obtenemos una matriz

0 0 1 1+1 1

0 0 0 2+1 2...

... ...

...0 0 0 +1

(8.21)

Denotemos =

2+1 2...

+1

como esta matriz tiene 1 ren-




glones, se puede reducir y escalonar por medio de un número finito de o-peraciones elementales renglón, obteniéndose una matriz . Aplicando las

operaciones correspondientes a la matriz en 8.21, obtenemos una matriz

=

0 0 1 1+1 1

0 0 0 11 2 ...

... ...

...0 0 0 11 1

que está escalonadas, y donde la submatriz

11 2

...

11 11

está

reducida y escalonada. Si no estuviera reducida sería porque la columna

de un coeficiente principal de es

1

0...

1 =

0...

0

6=

00...10...

0

Si éste fuera

el caso, sumando (1) veces el renglón de al primer renglón, yhaciendo lo correspondiente para cada coeficiente principal de obtenemosuna matriz reducida y escalonada.

Ejercicio 384. Demuestre el teorema anterior por inducción sobre el númerode columnas.

Ejemplo 184. Para la matriz

0 0 1 2 30 2 0 1 23 0 6 0 3

el renglón que tiene su coeficiente principal más a la izquierda es el tercero.

Multiplicando este renglón por 1

3 obtenemos

0 0 1 2 30 2 0 1 2

1 0 2 0 1




Intercambiando los renglones primero y tercero obtenemos

1 0 2 0 10 2 0 1 20 0 1 2 3

Ahora tenemos que obtener una matriz reducida y escalonada a partir de la submatriz µ

2 0 1 20 1 2 3

¶

El proceso es µ 2 0 1 20 1 2 3

¶ ; µ 1 0 1

2 10 1 2 3

¶

Así 1 0 2 0 1

0 2 0 1 20 0 1 2 3

;

1 0 2 0 1

0 1 0 12

10 0 1 2 3

;

1 0 0 4 7

0 1 0 12

10 0 1 2 3

Observación 117 . Recordemos que un sistema de ecuaciones con

incógnitas se puede representar como

=

donde es la matriz de coeficientes del sistema, es decir la ecuación anterior es una forma sucinta de escribir el sistema de ecuaciones

111 + + 1 = 1

211 + + 2 = 2

...11 + + =

Definición 137 . Si a la matriz del sistema le agregamos al final la colum-

na

1

2...

obtenemos la matriz aumentada del sistema de ecuaciones

³ |

´




Observación 118 . Podemos hacer operaciones elementales en un sistema de ecuaciones, haciendo las operaciones a la matriz aumentada del sistema.

Por ejemplo, intercambiar dos renglones de la matriz aumentada, equivale a intercambiar las ecuaciones correspondientes del sistema.

Observación 119 . Consideremos el sistema de ecuaciones con incóg-nitas

= 0

Recordemos que las soluciones de este sistema son los elementos

{1}

donde denota el ésimo renglón de la matriz (Ver el teorema 131)

Observación 120 . Las operaciones elementales no alteran las soluciones del sistema. = 0

Demostración. 1) Intercambiar dos renglones no altera las solucionespues es claro que

{1}

no cambia si se cambia el orden en que se enlistan los elementos.2) Notemos que si es una escalar distinto de 0 entonces

( · = 0 · = ( · ) = 0). Por lo tanto multiplicar un renglónpor un escalar distinto de 0, no altera las soluciones.

3) Notemos que

{ } = { + } :

es claro que

{ } y ( + )

Con el mismo argumento,

{ ( + )} = (() + ( + )) =

Por lo tanto una operación elemental del tercer tipo no cambia las soluciones.




Teorema 134 . Las operaciones elementales de renglón, no alteran el rangode una matriz.

Demostración. Hemos visto que para una matriz con renglones y columnas se tienen que

() + dim ( 0) =

donde 0 es el conjunto de soluciones de = 0 Si aplicáramos una opera-ción elemental R obtendríamos una nueva matriz R () pero el sistema

R () = 0

tendría las mismas soluciones, como vimos en la observación anterior. En-tonces

(R ()) + dim ( 0) =

Por lo que () = (R ())

Teorema 135 (De existencia de soluciones de un sistema de ecuaciones).

El sistema de ecuaciones con incógnitas

=

( una matriz de renglones con columnas y coeficientes en un campo)tiene solución si y sólo si

() = ³

| ´

Demostración. Como ya hemos notado antes, el sistema = sepuede reescribir como:

11 + + = ( es la -ésima columna de )

así que el sistema tiene solución si y sólo si es una combinación lineal de lascolumnas de Esto último sucede sí y sólo si el subespacio de R generadopor

©1ª




coincide con el espacio generado por

n1

o. Como el rango de una

matriz es también la dimensión del espacio generado por sus columnas en-tonces nuestra condición necesaria y suficiente para que = tenga solu-ción es que

() =

= dim¡

S ¡©

1ª¢¢

= dim³

S ³n

1 o´´

=

= ³

| ´

Teorema 136 . Consideremos el sistema = como en el teorema an-terior, denotemos por el conjunto de sus soluciones, y denotemos 0 el conjunto de soluciones de = 0 entonces

= + 0 = { + | 0}

donde es una solución de =

Demostración. Si =

1

2

0 entonces

11 + + = 0

como además11 + + =

donde =

1

2

entonces

= 0 + =¡

11 + + ¢

+¡

11 + + ¢

=

= (1 + 1) 1 + + ( + )

Por lo que

1 + 1

2 + 2

+

= +




Por lo tanto, + 0

Recíprocamente, si

1

2

= entonces = + ( ) como

queremos ver que + 0 basta demostrar que 0 pero

11 + + =

y también11 + + =

así que

0 = =¡

11 + + ¢ ¡11 + +

¢ =

= (1 1) 1 + + ( )

Es decir, =

1 1

0

En resumen, para resolver un sistema =

hay que saber hacer dos cosas:

1. Reducir y escalonar matrices.

2. Resolver sistemas =

cuya matriz aumentada ya esté reducida y escalonada.

La demostración de los siguientes teoremas se deja al lector como unejercicio.

Teorema 137 . · _ es inyectiva las columnas de son linealmente independientes = 0 tiene únicamente la solución 0

Ejercicio 385 . Demuestre el teorema anterior.



8.11. DETERMINANTES 497

Teorema 138 . ·_ es suprayectiva las columnas de generan

= tiene solución para cada

.


Teorema 139 . ·_ es biyectiva las columnas de son una base

para = tiene solución única para cada . (Note que en este caso, = número de columnas de = dim( ) = por lo que la matriz es cuadrada).


8.11 Determinantes

8.11.1 Notaciones para permutaciones

Una permutación de un conjunto finito es una función biyectiva .

Denotamos con al conjunto de todas las permutaciones de Comoya notamos en el capítulo 5, página 298, si tiene elementos, entonces tiene ! elementos. Cuando = {1} escribiremos en lugar de

{1}Para denotar una permutación en podríamos usar la notación

=

1 2 (1) (2) ()

¸que incluye toda la información acerca de Sin embargo sería mucho máseconómico escribir simplemente

=

£ (1) (2) ()

¤(nótese el uso de corchetes).Según lo anterior, [2 4 3 6 1 5] denota la permutación en 6 tal que

1 7 2 2 7 4 3 7 3 4 7 6 5 7 1 6 7 5

Definición 138

1. Una transposición es una permutación que intercambia los el-ementos {1 2} y que deja fijos todos los demás elementos.Explícitamente, () = ( ) = y () = si { } Denotare-mos = ( ) (note el uso de paréntesis, en lugar de corchetes).




2. Llamaremos inversión a una transposición que intercambia con + 1

{1

1}

Por ejemplo [2 1 3 4 5] es una inversión en 5 ya que es la transposiciónque intercambia 1 y 2

Observación 121 . Toda transposición coincide con su inversa.

Lema 27 . Toda permutación es una composición de inversiones.

Demostración. Consideremos la composición de

= £ (1) (2) () ¤con la inversión

=£

1 2 + 1 ¤

intercambia con + 1Tomando en cuenta que se aplica primero y después , tenemos que

1 7 (1)

7 ( + 1) + 1

7 ()

7

es decir que

= £ (1) (2) ( + 1) () () ¤

Donde se han intercambiado ( + 1) con () respecto de la notación para

Notemos ahora, que si (1) 6= 1, es decir si 1 = () con 1entonces

1 = ( 1 ) (1 2) = [1]

es una permutación que manda 1 en 1 Si 1 no fijara 2 entonces (pre)componiendo

con algunas cuantas inversiones, podemos obtener una permutación 2 quemanda 2 en 2. Repitiendo el argumento, es claro que podemos encontrarinversiones 1 tales que

1 = [1 2] = {12}

entonces debe ser claro que

= {12} 1 = 1

ya que = 1




Teorema 140 . Toda permutación se puede expresar como un producto de transposiciones.

Demostración. Es inmediato del Lema anterior.

Definición 139 . Sean 1 2 {1}diremos que la permutación tal que

1 7 2 7 7 7 1 y tal que () = {1} \ {1 2}

es un ciclo y la denotaremos = (1 2) (Note el uso de paréntesis).

Notación 18 . Si denotaremos

Mov () = { | () 6= } y Fij () = { | () = }

Notemos que Fij() = {1} \Mov()

Notación 19 . Por comodidad, denotaremos (1) a la permutación identi-dad.

Definición 140 .

Sean y diremos que es ajena con si Mov () Fij ( )

Notemos que la definición anterior es simétrica pues: es ajena con esequivalente a Mov() = Fij( ), cuya contrapuesta es Mov( ) = Fij(), es decir, es ajena con .

Observación 122 . Si es ajena con , entonces =

Demostración. Comprobaremos que (

) () = (

) ()

{1} 1) Si Mov() entonces Fij( ) así que

( ) () = ( ()) = ()

Notemos ahora que en este caso () Mov() (ya que no puede pasar que 7 () y () 7 () dado que es inyectiva y () 6= ). Entonces () Fij( ) por lo que

(

) () = ( ()) = ()




2) El caso Mov( ) es simétrico del anterior.3) Si

Fij()

Fij( ) entonces

( ) () = ( ()) = () = = () = ( ()) = ( ) ()

Teorema 141 . Toda permutación es un producto de ciclos ajenos dos a dos, de manera única excepto por el orden de los factores.

Demostración. Existencia)

Por inducción sobre |Mov ()| Base.Si |Mov ()| = 0 entonces es la permutación identidad y la única manera

de expresarla como producto de ciclos, es como el producto vacío.Supongamos ahora que |Mov ()| 0 y que lo que se afirma vale para

permutaciones que mueven menos elementos que los que mueve . Supong-amos que () 6= hagamos 2 = () 3 = () etc. Tomemos = { | = } que existe ya que en la lista

2 3

hay a lo más elementos distintos (note que = con = 1 () = 1 () = () = ), entonces

2 3

son elementos distintos y el ciclo

= ( 2 3)

coincide con en los elementos 2 3Consideremos ahora 1 Notemos que si Mov( 1 ) entonces¡

1 ¢

( ) 6=

por lo que Mov() o Mov( 1) Si Mov( 1) entonces { 2 3}

pero entonces ( 1 ) ( ) = ( 1 ) ( ) = contradicción.




Por lo tanto Mov( 1 ) Mov() Además

{ 2 3} = () Â ¡ 1 ¢

pues como vimos para una así tenemos que ( 1 ) ( ) = ( 1) (() ( )) =( 1) (( ) ( )) = Esto quiere decir que es ajena con 1

Aplicando la hipótesis de inducción a 1 tenemos que

1 = 2

| {z } ciclos mutuamente ajenos

Además, Mov( ) Mov( 1 ) Fij( ), por lo que es ajena con cada entonces = 2 | {z }

ciclos mutuamente ajenos

Unicidad) Por inducción sobre |Mov ()|

Base: si |Mov ()| = 0 entonces = y ya notamos que la únicamanera de expresarla como producto de ciclos ajenos es con la factorizaciónvacía.

Paso inductivo. Si |Mov ()| 0 y

= 1 2 | {z } =ciclos ajenos

1 2 | {z } ciclos ajenos

supongamos sin perder generalidad que 1 y 1 mueven ambos a 1 Entonces

1 (1) = (1) = 1 (1) 1 ( 1 (1)) = ( (1)) = 1 (1 (1)) etcétera.

Entonces

1 = (1 1 (1) ) = (1 (1) ) = (1 1 (1) ) = 1

Entonces tenemos que 11 = 2 = 2 mueve menos elementos

que (ya que fija los elementos movidos por 1 = 1) Por hipótesis deinducción tenemos que { 2 }6= = {2}6=

5por lo que tenemos que = y como además tenemos que 1 = 1 hemos establecido la unicidad dela factorización.

5{ 2

}6=

significa que los elementos son distintos.




8.11.2 La paridad de una permutación

Definición 141

1. Si es un ciclo tal que |Mov ( )| = diremos que ( ) = (1)+1

2. Si = 1 | {z } ciclos ajenos

entonces () =

=1

( )

3. Diremos que una permutación es par si su signo es 1 diremos que esimpar si su signo es 1

Notemos que la definición anterior es buena, debido al Teorema de fac-torización única. Notemos también que (( )) = (1)2+1 = 1 por lo

que una transposición es impar.

También notemos que ((1)) = () =

( ) = 1 dado que

la identidad es un producto vacío de ciclos y dada la convención acerca deproductos vacíos. Consecuentemente, (1) es una permutación par.

En el siguiente teorema mostraremos que componer con una transposicióncambia el signo de una permutación. En términos más precisos, tenemos elsiguiente teorema.

Teorema 142 . ( ) = (), si es una transposición.

Demostración. Supongamos que = ( ) y que la factorización de en ciclos ajenos es

= 1

Consideramos los siguientes casos:1) es ajena con En este caso, es ajena con cada , por lo que la

factorización de en ciclos ajenos es precisamente

= 1 | {z } ciclos ajenos

entonces, es claro que ( ) = () ( ) = () 2) Mov()

Mov( ) consta de un solo elemento.




Sin perder generalidad, supongamos que es un elemento movido por y por y que además el ciclo de que mueve a es = ( () ()).

Es fácil ver que = ( () ()) ya que

7

7 7

7 () () 7 ()

7

por lo tanto ( ) = (1)+2+1 = (1)+2 = ( ). Por lo tanto ( ) = () en este caso.

3) Mov() Mov( ) = { } Distinguimos dos subcasos:a) están movidos por el mismo ciclo de que sin perder genera-

lidad supondremos es = ¡ () ( )¢. Entonces ( ) =(1)+1++1+1 = (1)++1

Por otra parte,

=¡

( ) ( )¢ ( () ())

como se comprueba fácilmente. Entonces

( ) =

¡¡ ( ) ( )

¢¢ (( () ())) =

= (1)+1+1 (1)+1+1 = (1)+ (8.22)

De donde tenemos que ( ) = (1)+ = ( ) = (1)++1 b) Supongamos que y son movidos por ciclos distintos de Sin perder

generalidad, supongamos que

1 = ( ()) =¡ ( )

¢

entonces

¡ 1¢

= (1)+2 y ( ) = (1)+2 por lo que

¡ 1 ¢ = (1)+

Ahora, 1 = ( ( ) ( ) () ())

de donde tenemos que

¡

1 ¢

= (1)+1++1+1 = (1)++1 = ¡

1 ¢

En cualquier caso (

) =

()




Ahora, como cualquier permutación es un producto de transposiciones,

= 1 | {z } transposiciones

= (1) 1

entonces () = (1) =

½ 1 si es par1 si k es impar.

Así tenemos el siguiente teorema.

Teorema 143 . Si = 1 | {z } transposiciones

entonces paridad () =paridad ()


2 entonces el número de permutaciones pares

en coincide con el número de permutaciones impares.Demostración. Denotemos = { | es par} sea = (1 2).

Entonces la función

_ Â

7

es una biyección cuyo inverso es

Â_

7

Ejercicio 388 . Demuestre que si son permutaciones, entonces ( )= () ( )

8.11.3 Determinantes

En la siguiente definición denota un campo, por ejemplo R pero tambiéntiene sentido si es un anillo conmutativo.

Definición 142 . Si × ( ) definimos

det() =X

Ã ()

Ã Y=1

()

!!

6

6Usamos también la notacióndet() = || (8.23)




Ejemplos 185

1. Por ejemplo si = 1 entonces 1 = {(1)} así que

det((11)) = ((1)) 11 = 11

2. Si = 2, entonces 2 = {(1) (1 2)} y si =

µ 11 12

21 22

¶entonces

det() = ((1)) 1122 + ((1 2)) 1221 =

= 1122 1221

3. 3 = {(1) (1 2 3) (1 3 2) (1 2) (1 3) (2 3)}. Aquí el conjunto dela permutaciones pares es = {(1) (1 2 3) (1 3 2)} por lo que

det

11 12 13

21 22 23

31 32 33

=

= ((1)) 112233 + ((1 2 3)) 122331 +

+ ((1 3 2)) 132132 +

+ ((1 2)) 122133 +

+ ((1 3)) 132231 +

+ ((2 3)) 112332

= 112233 + 122331 + 132132

122133 132231 112332

Recordemos que una matriz es una submatriz menor de si se obtuvotachando (no todos los) renglones y (no todas las) columnas de La matriz \ {1}{ 1} es la matriz que se obtiene al tachar de los renglones

1 y las columnas 1 Escribiremos d en lugar de \ {}{ }

Ejemplo 186 . Si =

4 5 4

1 9 72 6 8

entonces d21 =

µ 5 46 8

¶ y

\ {12}{3} = ¡ 2 6 ¢




8.11.4 El desarrollo del determinante respecto a unrenglón

Obtendremos otra descripción del determinante, que se llama “desarrollo deldeterminante respecto al primer renglón”.

Sea tal que (1) = a esta permutación le asociaremos otrapermutación en 1de la manera siguiente:

como {1} {1} entonces

{2} |{2} {1} \ { } es una biyección

considerando las biyecciones

{2} |{2} {1} \ { }

{1 1} {1 1}

donde:

() =

1 y () = ½

si

1 si

podemos definir 0 1 por

0 = |{2} 1

Entonces el diagrama

{2} |{2} {1} \ { }

{1 1} 0 {1 1}

conmuta.Note que por definición

0 () = ¡

|{2} ( + 1)¢

=

½ |{2} ( + 1) si |{2} ( + 1) |{2} ( + 1) 1 si |{2} ( + 1

Haremos ahora algunas observaciones importantes:




Observación 124 . La función

{ | (1) = } 1

7 0 = |{2} 1

es una biyección.Pues note que

1 ({2} {1} \ { })

7 1

1

se puede extender de manera única a una permutación 1

simplemente definiendo³ 1 ´ (1) =

Ahora la función

1 { | (1) = }

7 1

es la inversa. de la función {1 1} 0 {1 1}

Ejercicio 389 . Verifique que

1 { | (1) = }

7 1

es la inversa de la función

{1 1} 1() {1 1}

7 0 = 1 ()

Observación 125 .

Respecto a la notación de la observación anterior, ten-emos que () = (1) +1 (0)

Demostración. 0 1 se puede extender a 00 mandando a, entonces (0) = (00) (simplemente note que sus factorizaciones enciclos ajenos son idénticas. De la definición de 0

{2}|{2} {1} \ { }

_ 1

{1 1}

0

{1 1}




tenemos que {2} _1 {1 1} 7se puede extender a una permutación

en S enviando 1 a También

{1} \ { } {1 1}

se puede extender a una permutación definiendo ( ) = . Entonces

{1 2} {1 2}

- %

º {2}

|{2}

{1} \ { }

_1

{1 1} 0 {1 1}

º

. &

{1 2} 00 {1 2}

de aquí que 00 = es decir que 00 = 1 Por lo tanto (00) = () () ( )

Calculemos () expresada como producto de ciclos ajenos es:( 1) por lo que () = (1) +1+1 = (1)

Por otra parte, = ( 1 1) por lo que ( ) = (1)+1

Entonces

(00) = () (1) (1)+1 = () (1)2 +1 = () (1) +1

(8.24)Así, () = (1) +1 (0)

Lema 28 . det() =X

=1

(1) +1 det³d

´

Demostración. Por definición, det() =X

Ã ()

Ã Y=1

()

!!.

7Desde luego {2} _1

{1

1} es la función "restar 1”.




Separaremos esta suma en varios sumandos, según la imagen de 1 :

det() =X

Ã ()

Ã Y=1

()!!

=

=X

=1

X

(1) =

Ã ()

Ã Y=1

()

!!

Consideremos ahora uno de los sumandos:

X

(1)=

Ã ()

Ã Y=1

()

!!

=

X (1) =

1

Ã ()

Ã

Y=2

()

!!

Recordando que

{2}|{2} {1} \ { }

_ 1

{1

1}

0

{1

1}

(8.25)

donde () =

½ si 1 si

tenemos que 0 () = ( ) ( + 1) y

0 1

Así tenemos que () =

³d1

´1()

si 2, () ³d1

´1()1

si 2, () es decir

que () = ³d1´1 ()

= ³d1´10

(1)

si

2




Entonces podemos escribir

Y=2

() =

1Y=1

³d´0()

Ahora usaremos las relaciones entre () y (0) dadas en las dos Ob-servaciones anteriores.

Regresando a 8.11.4,

1

X (1) =

Ã ()

Ã

Y=2

()

!!

= (1) +1 1

X0 1

Ã (0)

Ã1Y=1

³d1

´0()

!!

= (1) +1 1 det³ \ (1)

´

Donde hemos usado que

{ | (1) = } 1

7 0

es una biyección.

Entonces det () =X

=1

(1) +1 1 det³ \ (1)

´

Recordemos que denotamos por I la operación elemental que intercam-bia el renglón con el renglón en una matriz

Lema 29 . det( I ()) = det()

Demostración. Sea = ( ) entonces

det( I ()) =X

()Y

=1

( I ())()

Ahora,( I

())

() =

() =

( ( ))




en virtud del cambio de renglón y de que ( ) = También

( I ()) ( ) = ( ) = ( ())

y si { }( I ())() = () = ( ())

por lo tanto

det( I ()) =X

()Y

=1

()( ())

Notemos ahora que () = ( ) y que como _

es unabiyección, entonces ( ) “corre sobre cuando corre sobre ”, por loque haciendo = tenemos que

det( I ) =X

()Y

=1

()( ()) =

X (

)

Y=1

()( ()) =

ÃX

( )Y

=1

() ()

! =

= det()

Ahora podemos encontrar una fórmula para desarrollar el determinanterespecto de cualquier renglón.

Teorema 144 . Si es una matriz en × ( ) entonces

det() =X

(1)+ det³d

´

Demostración. Recordemos que denota el renglón de la matriz Mediante

1 intercambios de renglón podemos llevar el renglón -ésimo de




a ocupar el primer lugar de los renglones. Obtenemos una matriz talque

1 = 2 = 1 = 1 +1 = +1 =

Entonces det () = (1)1 det() y también

det() =X

(1) +1 1 det³d1

´ =

=X

(1) +1 det³d

´

Pues es inmediato que d1 = dEntonces (1)1 det() = det() =

X

(1) +1 det³d

´ es decir

quedet() =

X

(1)+ +11 det³d

´

Como consecuencia de este resultado, podemos demostrar lo siguiente.

Lema 30 . Si × ( ) es una matriz con dos renglones iguales,entonces det() = 0

Demostración. Por inducción sobre Base. Si = 1 no hay nada que demostrar.

Si = 2 entonces det

µ

¶ = = 0

Si 3 y los renglones iguales son y desarrollando el determinanterespecto del -ésimo renglón, con { } entonces

det() =X

(1)+ det³d

´ = 0

pues d 1×1 ( ) tiene dos renglones iguales, así que su determinantees 0 por hipótesis de induccción.

Recordemos que la matriz transpuesta de es la matriz definida por() =

Teorema 145 . det() = det ()

×

( )




Demostración. det() =

X ()

Y()() =

X ()

Y()

Como : {1}

{1} es una biyección, cuando corre sobre{1} entonces () también. Si hacemos = () entonces = 1 ()y Y

{1}

() =Y

{1}

1()

puesto que ambos productos tienen los mismos factores (reordenados).

Entonces det() =X

()

Y

{1}

1()

. Además tenemos

que () = (1

) y que

7 1

es una biyección, por lo que

det

¡

¢ =

X1

¡1

¢

Y

{1}

1()

=

= det ()

Teorema 146 . det() =X

(1)+ det³d

´

Demostración. Se deja como ejercicio.En vista de que det () = det (), entonces para cada teorema sobre los

determinantes formulado respecto de los renglones de una matriz, tenemosun teorema correspondiente respecto de las columnas de una matriz.

Por ejemplo, el determinante de una matriz que tenga dos columnasiguales vale 0 el efecto de intercambiar dos columnas en el determinantees un cambio de signo, etc.

8.11.5 El determinante de un producto de matrices I

El propósito de esta sección es demostrar que el determinante de un pro-ducto de matrices es el producto de sus determinantes. Esta demostración




puede parecer difícil de seguir, pero en la sección 8.11.7, presentaremos otroargumento.

El argumento que sigue tiene el mérito de que vale para matrices concoeficientes en un anillo conmutativo y no necesariamente en un campo, loque podría ser importante en algunas situaciones. Por ejemplo cuando seconsideran polinomios característicos de una matriz, que son determinantesde matrices con coeficentes en un anillo de polinomios. Pero el resultado valetambién, por ejemplo, para matrices con coeficientes enteros.

Pero si el lector está interesado por el momento en matrices con coefi-cientes sobre un campo, puede ver la demostración de la sección 8.11.7.

Teorema 147 . det() = det ()det()

Demostración.

det() =X

()

" Y=1

()()

# =

=

X

()

"

Y=1

µ

P=1

()

¶#

Ahora para una fija

Y=1

µ P=1

()

¶ =

=X

{ :{1}{1}| es función}

1 (1) (1)(1)2 (2) (2)(2) () ()()

Para convencerse de lo anterior, hagamos una lista de los factores en

Y=1

µ P=1

()

¶ :

111(1) + 122(1) + + 1(1)

211(2) + 222(2) + + 2(2)

1

1()

+ 2

2()

+ +

()




el producto de las sumas anteriores es una suma de productos. Es decir,consta de los productos que se pueden formar escogiendo un sumando en

cada una de las listas anteriores y después multiplicándolos. Por ejemplopodríamos escoger el sumando 122(1) en la primera suma, el sumando211(2) en la segunda hilera, el sumando 311(3) en la tercera hilera,...,el sumando ()y multiplicándolos obtendríamos

122(1)211(2)311(3)()

La elección anterior corresponde a la función 1 7 2 (se escogió el segundo

sumando de la primera hilera), 2 7

1 (se escogió el primer sumando de

la segunda hilera), 3 7 1 (se escogió el primer sumando de la tercera

hilera),..., 7 (se escogió el enésimo sumando de la enésima hilera).

Para esta particular, podemos reescribir 8.11.5 como

1 (1) (1)(1)2 (2) (2)(2)3 (3) (3)(3) () ()()

Lo anterior debe dejar claro que

Y=1µ P=1 ()¶ =

=X

{ :{1}{1}| es función}

1 (1) (1)(1)2 (2) (2)(2) () ()()

Entonces

det()

=X

() X{ {1}:{1}| es función}

1 (1) (1)(1)2 (2) (2)(2) () ()()

=X

X{ :{1}{1}| es función}

()1 (1)2 (2) () (1)(1) (2)(2) ()()

=X

X es biyectiva

() 1 (1)2 (2) () (1)(1) (2)(2) ()() +

+

X X no es biyectiva

() 1 (1)2 (2) () (1)(1) (2)(2) ()()




Mostraremos que

X

X{ :{1}| es biyectiva}

() 1 (1)2 (2) () (1)(1) (2)(2) ()()

es det()det() Mientras queX

X{ :{1}| noes biyectiva}

()1 (1)2 (2) () (1)(1) (2)(2) ()()

es 0 Comencemos por esto último:

X

Ã X no es biyectiva

() 1 (1)2 (2) () (1)(1) (2)(2) ()()

!=

=X

noes biyectiva

ÃX

() 1 (1)2 (2) () (1)(1) (2)(2) ()()

!Tomemos una función : {1} {1} que no sea biyectiva. En-tonces no es inyectiva, para fijar ideas, supongamos que (1) = (2)

Definamos la matriz tal que = () ()entonces

=

1 (1) (1)1 1 (1) (1)2 · · · 1 (1) (1)

2 (2) (2)1 2 (2) (2)2 · · · 2 (2) (2)...

... ...

() ()1 () ()2 · · · () ()

observemos que determinante de esta matriz es precisamente

ÃX

() 1 (1) (1)(1)2 (2) (2)(2) () ()()!

Por otro lado, como (1) = (2) entonces

det( )=1 (1)2 (2) det

(1)1 (1)2 · · · (1)

(2)1 (2)2 · · · (2)...

... ...

() ()1 () ()2 · · · () ()

= 0




pues los dos primeros renglones de la matriz anterior son iguales.Ahora tenemos que ver queX

ÃX

() 1 (1)2 (2) () (1)(1) (2)(2) ()()

!= det ()det()

Notemos que

X

ÃX

() 1 (1)2 (2) () (1)(1) (2)(2) ()()

! =

=X

ÃX

() 1 (1)2 (2) () (1)(1) (2)(2) ()()

! =

X

1 (1)2 (2) ()

ÃX

() (1)(1) (2)(2) ()()

!

Ahora

(1)(1) (2)(2) ()() =

Y=1

()() =

Y =1

( 1( ))

Además ( 1)= () ( ),porloque ()= ( 1) ( )de esta manera,X

() (1)(1) (2)(2) ()()

=

X

¡ 1

¢ ( ) 1 1(1) 2 1(2) 1()

Como _ 1

es una biyección podemos hacer la sustitución = 1enla ecuación de arriba para escribir:X

() (1)(1) (2)(2) ()()

= ( )P

( ) 1 (1) 2 (2) ()

= ( )det()




Entonces

X

1 (1)2 (2) ()ÃX

() (1)(1) (2)(2) ()()! =

=X

¡1 (1)2 (2) ()

¢( ( )det()) =

= det ()

ÃX

( )¡

1 (1)2 (2) ()

¢! =

= det ()det()

8.11.6 Determinantes y rango

Recordemos que el rango de una matriz es la dimensión del espacio generadopor sus renglones (= dimensión del espacio generado por sus columnas).

Lema 31 .

× ( ) es invertible si y sólo det() 6= 0

Demostración. Si no es invertible, entonces el conjunto de sus ren-glones es linealmente dependiente, y alguno de sus renglones es combinaciónlineal de los anteriores. Si el primer renglón es 0 entonces ya sabemos quedet() = 0 Si =

X

, entonces

X

= 0

por lo que por medio de operaciones elementales de renglón del tercer tipo(que no alteran el determinante) podemos llevar la matriz a una matriz quetiene su renglón de ceros, como esta matriz tiene determinante 0, entoncestambién se tiene que det () = 0

Si es invertible, podemos proceder por inducción sobre Base. Si = 1la afirmación es claramente cierta: (11) es invertible

11 6= 0 det(11) = 11 6= 0).Paso inductivo. Como el rango de es entonces todas sus columnas

son linealmente independientes, y en particular la primera columna de




no es 0 Entonces 1 6= 0 intercambiando los renglones 1 e (operaciónque cambia el signo al determinante, ver la página 522) podemos supon-

er que el coeficiente 11 es distinto de 0. Multipliquemos ahora el primerrenglón por

1

11, es decir apliquemos la operación elemental M 1

111 8 Como

det³

M 111

1 ()´

= 111

det(), para demostrar que det() 6= 0 basta ver

que det³

M 111

1 ()´

6= 0 Con la ventaja de que³

M 111

1 ()´

11= 1

³M 111

1 ()´ =

1

... ... . . . ...

Ahora, restando múltiplos adecuados del primer renglón a los demás (op-eraciones elementales del tercer tipo que no alteran el determinante ni elrango), podemos obtener que haya 0 en cada coeficiente de la matriz debajodel primer coeficiente (pivote) del primer renglón:

1

0 ... ... . . .

...0

=:

el rango de sigue siendo así que el rango de d11 = 1Por otra parte, si desarrollamos el determinante de respecto de la

primera columna, obtenemos

det() = 1 · det³d11´ 6= 0

por hipótesis de inducción.Ahora podemos establecer un criterio para encontrar el rango de una

matriz, usando el determinante de matrices menores.

Teorema 148 . Sea × ( ) \ {0} con un campo. Entonces

() = max { | det() 6= 0 de × submatriz de }

8 M denota la operación elemental que consiste en multilpicar el renglón i-ésimo deuna matriz por




Demostración. Supongamos que de × es una submatriz cuadradade con determinante distinto de 0 Entonces es invertible y por lo tanto

sus renglones son linealmente independientes. Entonces los renglones de que corresponden a los renglones de son linealmente independientes. 9

En vista de lo anterior, () Por lo tanto

() max { | det() 6= 0 de × submatriz de }

Por otra parte, supongamos que = () así que el espacio derenglones de tiene una base formada por de sus renglones. Denotemos

al conjunto de los renglones de que no están en La matriz [ tienerango pues sus renglones son linealmente independientes. Reduciendo yescalonando esta matriz, obtenemos una matriz con renglones distintosde 0 Esta matriz contiene una submatriz identidad de × (simplementetache las columnas que no contengan un pivote de un renglón), entonces

[ =

para algún conjunto de columnas de

Entonces existen matrices elementales 1 tales que

· · 1 · [ =

Observemos ahora que

1 ·

d = \ ( 1 · )

10(en general 1 · [ = \ ( 1 · ) )

9Suponga que = [ se obtuvo tachando en los renglones en y las columnas en Lo que estamos afirmando es que [ tiene sus renglones linealmente independientes:si así no fuera, alguno de sus renglones sería combinación lineal de los renglones anteriores,pero entonces un renglón de sería combinación lineal de los anteriores, contradiciendola elección de .

10 ya que tachar una columna y hacer una operación elemental de renglón es lo mismoque primero hacer la operación elemental de renglón y después tachar la columna:




Entonces

· · 1 · [ =

· · 1 ·

µ \ ³ [

´

¶ =

\ ³ · · 1 ·

³ [

´´

=

[ =

=

esto quiere decir que [ × ( ) es invertible y por lo tanto det³ [ ´ 6=0

Por lo tanto

() max { | det () 6= 0 de × submatriz de }

Como ya demostramos la desigualdad inversa, tenemos que

() = max { | det () 6= 0 de × submatriz de }

Note que en la demostración del teorema anterior, () denota elrango de renglón de Usando que el rango de columna de es el rangode renglón de el teorema anterior nos dice que rango de columna de coincide con el rango de renglón de Además

rango de columna de =

= rango ¡

¢ =

= max© | det() 6= 0 de × submatriz de ª == max

© | det

¡¢

6= 0 de × submatriz de ª

=

= max { | det () 6= 0 de × submatriz de } =

= rango ()

(donde hemos usado que una submatriz de es la transpuesta de una subma-triz de y que el rango de una matriz concide con el rango de su transpuesta)entonces tenemos una nueva demostración de que el rango de renglón de unamatriz coincide con su rango de columna.




Corolario 20 . El rango de renglón de una matriz es igual a su rango de columna.

Demostración. Discusión anterior.

Ejercicio 390 . Refiriéndonos a la demostración del teorema anterior.

1. Demuestre que 1 · d = \ ( 1 · ). (Sugerencia use que () =

).

2. Demuestre que · · 1 · [ = \ ( 1 · ) un subconjunto

propio del conjunto de las columnas de .

Ejercicio 391 . Demuestre que un menor de la matriz es la transpuesta

de un menor de . Explícitamente demuestre que [ =

³ [

8.11.7 El determinante de un producto de matrices II

Hagamos las siguientes observaciones acerca de como cambia el determinante,al efectuar una operación elemental de renglón (ver página 489).

• Hemos visto que un intercambio de renglones cambia el signo de undeterminante.

• Si uno multiplica un renglón por una constante, aplicando la defini-ción de det, se tiene que el determinante de la nueva matriz quedamultiplicada por el escalar.

• Por último, si uno cambia el renglón por + 6= tenemos

que det( ()) = det () 11

Es decir, una operación elemental del tercer tipo no cambia el determi-nante, como lo muestra el siguiente cálculo:

det( ()) = X

(1)+ ( + )det³

\ ( + )

´

11 denota la operación elemental que consiste en sumar veces el renglón -ésimoal -ésimo.




Notemos ahora que \ ( + ) = \ () entonces

X

(1)+ ( + )det³ \ ( + )´=X

(1)+ det³

\ ( + )

´+

+X

(1)+ det³

\ ( + )

´

Observemos que

X

(1)+ det

³ \ ( + )´

es el determi-

nante de la matriz que se obtiene al sustituir el renglón de por el renglón . De tal manera que = y = entoncesdet( ) = · 0 = 0 (Recuerde que una matriz con dos renglones igualestiene determinante 0, y que al multiplicar un renglón por el determi-nante también se multiplica por ).Entonces

det( ()) =

X

(

1)+

det³ \ (

+

)´ =X

(1)+ det³

\ ()

´ =

= det ()

Ejemplo 187 . Si una matriz tiene un renglón cero, entonces se determi-nante es 0 esto se puede comprobar de varias maneras, por ejemplo, desar-rollando el determinante respecto del renglón 0

Ejercicio 392 . El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su diagonal.

Sugerencia; Inducción sobre el número de renglones y desarrollo respectoal primer renglón (o columna).

Definición 143

1. Se dice que es una matriz elemental si se obtiene al aplicarle unaoperación elemental a la matriz identidad.




2. Se dice que la matriz elemental es del mismo tipo que el de la op-eración elemental que se aplicó a la matriz identidad para producirla.

Realizar una operación elemental de renglón a una matriz equivale amultiplicarla por una matriz elemental:

R () = (R ( ))

donde estamos suponiendo que = número de renglones de es la matrizidentidad de × y R es una operación elemental.

Ejercicio 393 . Demuestre la afirmación anterior. (Sugerencia: proceda por casos, según el tipo).

Observación 126 . Toda matriz invertible es un producto de matrices ele-mentales.

Demostración. Como una matriz de × invertible entonces tienerango Al reducirla y escalonarla por medio de operaciones elementales de

renglón obtenemos la matriz Es decir:

= R R 1 () = (R ( )) · · (R 1 ( )) · ()

entonces

= ((R ( )) · · (R 1 ( )))1 = (R 1 ( ))1 · · (R ( ))1

que muestra que , es un producto de matrices elementales.

Veamos ahora como es el determinante de una matriz elemental.

1. det(( )) = 112

2. det(M ( )) =

3. det(S ( )) = 1

12 I es la operación elemental que consiste en intercambiar los renglones -ésimo y -ésimo de una matriz.




Demostración. 1) Nótese que det ( ) = 1 (usando la definición, o porinducción sobre ).

I ( ) es la matriz que se obtiene intercambiando dos renglones en lamatriz identidad. Por lo tanto su determinante es 1

2) Ya hemos observado que al multiplicar un renglón por un escalar , eldeterminante también se multiplica por .

3) Esto porque sumar a un renglón un múltiplo de otro renglón, el deter-minante no cambia.

Corolario 21 . Si es una matriz elemental de × , y es una matriz de × entonces det () = det ( )det()

Demostración. Comprobaremos la igualdad anterior, según el tipo de

Si es de tipo 1, entonces su determinante es 1. Por otra parte esuna matriz que se obtiene al intercambiar dos renglones de , por lo que

det() = det() = det ( )det()

Si es de tipo 2 entonces = M ( ), así que su determinante es Por otra parte, det M () = det() pues M () se obtiene al

multiplicar por el renglón de Por último, si es de tipo 3, entonces su determinante es 1 y por otra

parte una operación elemental del tercer tipo no cambia el valor de un de-terminante. Por lo tanto,

det() = det () = det ( )det()

Observación 127 . Si = 1 ·

·

es un producto de matrices elemen-tales, entonces det() = det ( 1) · · det( )

Demostración. Por inducción sobre La base es trivial.Si 1 podemos usar el corolario anterior para escribir

det() = det ( 1 · ( 2 · · ))

= det ( 1)det( 2 · · )

= det ( 1)det(

2) · · det(

)




en donde hemos usado que

det( 2 · · ) = det ( 2) · · det( )

por hipótesis de inducción.

Observación 128 . () = Es decir: el -ésimo renglón de se obtiene multiplicando el -ésimo renglón de por .

Demostración.

() =¡

1 2¢

donde es la columna de y

= (1)

1...

=

X

Pero también =

¡

1 2¢

Estamos en condiciones de demostrar que det() = det ()det()

Teorema 149 . det() = det ()det() si × ( )

Demostración. Analizaremos dos casos:1) Si no es invertible, entonces su rango es menor que Así

que uno de sus renglones es combinación lineal de los anteriores. Usando elresultado anterior, tenemos que

() =

así que si el primer renglón de es 0 entonces también le primer renglón de también es 0, y si el renglón ( 1) de es combinación lineal de los




anteriores, =

X

entonces

() =

=

ÃX

!

=X

= X

()

Entonces un renglón de es combinación lineal de los anteriores, porlo que el rango de es menor que Por lo tanto

det() = 0 = 0 · det() = det ()det()

2) Si es invertible, podemos expresar como producto de matriceselementales:

= 1 · ·

Entonces

det() =

= det ( 1 · · · )

= det ( 1) det( )det()

= det ()det()

en donde hemos usado el Corolario 21 y la observación 127.

Ejercicio 394 . Demuestre que la columna de es

() =

Ejemplo 188 . Una operación elemental de columna de tipo 3 no cambia el determinante.




Demostración. Sea una matriz de × , denotemos S la op-eración que consiste en sumar a la columna veces la columna . En-

tonces S () = (S ()) Pues para efectuar la operación de colum-na, podemos hacer la operación de renglón correspondiente a y despuéstransponemos. Entonces

det¡

S ()¢

= det³¡

S

¡¢¢´

= det¡

S

¡¢¢

= det¡¡

¢¢

= det ()

donde se usó dos veces que el determinante de una matriz es igual al deter-

minante de su transpuesta.Ejercicio 395 . Demuestre que una operación elemental de columna de tipo1, cambia el signo de un determinante.

Ejercicio 396 . Enuncie y demuestre la proposición correspondiente para operaciones elementales de columna del tipo 2.

8.11.8 Matrices invertibles y determinantes

Consideremos la fórmula para el desarrollo del determinante respecto delrenglón :det() =

X

(1)+ det³d

´Definamos ahora el cofactor de ,

= (1)+ det³d

´

y esto define la matriz de cofactores de .Notemos que

det()

=X

(1)+ det³d

´=

X

=X

( )

= ( )




Así que

=

det()

det() ...

... . . .

... det()

Veamos que todo coeficiente fuera de la diagonal en la matriz anterior es 0.¡

¢

=X

=X

=

= X

(

1) + det³d ´

Esta última expresión es el desarrollo respecto a la -ésimo renglón de lamatriz que se obtiene al cambiar el renglón por así que

=

½

1...

...

...

note también que d = d y que tiene dos renglones iguales.Por lo tanto ¡

¢

= det() = 0

Resumimos nuestras observaciones en le siguiente teorema.

Teorema 150 . = det () ·

Corolario 22 . × ( ) es invertible 1 = 1

det()

Demostración. Si es invertible, entonces su determinante es distintode 0 ahora podemos usar el teorema 150, para obtener

µ 1

det()

¶ =




Así que

µ 1

det()

¶ es inverso derecho de . Como es invertible, en-

tonces1 = =

µ 1

det() ¶

1 =

µ 1

det() ¶

Notemos también que

det()det

µµ 1

det() ¶¶

= 1

así que tenemos que

det ¡ ¢µ 1det()

¶

det() = 1

ydet( ) = det

¡ ¢

= (det ())1

Si denotamos la matriz de cofactores de ( invertible) entonces

µ 1

det( )

¶ = =

µ 1

(det())1

¶

Entonces 1

=

1

(det ())1

tomando transpuestas tenemos que¡ 1

¢=

1

(det())1

es decir que = (det ())1 ¡ 1

¢ (8.26)

Por otra parte, 1 =

µ 1

det() ¶

tenemos que

= µ 1det()

¶1

= det () ¡ ¢1 = det () ¡ 1¢ (8.27)

(simplemente realice el producto:1

det() det()

¡ 1

¢=

¡ 1

¢=¡

1 ¢

= ).

De las expresiones 8.26 y 8.27 tenemos que

= (det ())1

¡ 1

¢

= (det ())2

que relaciona la matriz de cofactores de la matriz de cofactores de con .




8.11.9 La regla de Cramer

Supongamos que = (8.28)

es un sistema de ecuaciones con incógnitas con coeficientes en el campo . Si es invertible, el sistema anterior tiene la solución única 1 = =

1

2...

Teorema 151 (Regla de Cramer). Sea =

1

2...

la solución de 8.28.

Entonces

=

det

z }| { 1

det()

donde

z }| { 1

es la matriz que se obtiene al sustituir la

-ésima columna de por

Demostración. Que sea solución de 8.28, también se puede expresarde la manera siguiente:

= 11 + + +

Entonces

det

z }| { 1 11 + + +

= det

z }| { 1




Demostración.

0 = ((1 + +1 + +1 ))= ((1 + +1)) + ((1+1 + +1 ))

= ((1 )) + ((1 +1 )) +

+ ((1+1 )) + ((1+1 +1))

= 0 + ((1 +1 )) + ((1+1 )) + 0

Donde se ha usado la alternancia y la -linealldad de

Corolario 23 . Si es paralelo a y es alternante, entonces

(1 ) = 0Corolario 24 . (1 ) = (1 + )

Ejercicio 397 . Demuestre los dos corolarios anteriores.

Teorema 152 . Sean : × ×× alternante y = { 1 }una base para (supongamos que =

X

) entonces

(1 )

= ³X1X X X´=

X

() (1 )Y

()

Demostración. Al desarrollar (usando linealidad)

ÃX

1 X

X

!anulando cada sumando que resulte con columnas paralelas (y que por lo

tanto vale 0), se ve que sólo quedan ! sumas, una por cada :

ÃX

1X

X

!=X

1(1)() ¡

(1) ()

¢=

X

1(1)() () (1 )




Corolario 25 . Si × × × es alternante y si (1) = 1

entonces

ÃX

1() X

()X

()!

=X

1(1)() ()

Observemos que si = entonces hay un isomorfismo

× × × × ( )

(

1

) 7

(1

)

(8.29)

( 1 ) es la matriz cuyas columnas son 1 El diagrama

× × ×

k × ( )

permite reinterpretar una función -lineal como una función × ( )

Note que si × × ×

es lineal, alternante y si (1 2) = 1 entonces el corolario anterior muestra que

11

12

1

21

22

2

1

2

=

=X

()¡

1(1)()

¢ =

= det

1121

1

1222

2

12

=

= det

11

12

1

21

22

2

1

2

Por lo tanto, podemos enunciar el siguiente teorema:




Teorema 153 Una función : × ( ) que interpretada como fun-ción de sus columnas sea -lineal, alternante y tal que ( ) = 1 es el deter-

minante.

Desde luego, también se tiene que det es una función -lineal alternantecuando se piensa como función de × × .

8.11.11 Resumen de las propiedades del determinante

• Son equivalentes para : × ( )

1. = det

2. () =X

Ã ()

Ã Y=1

()

!! × ( )

3. () =X

(1)+ det³d

´ × ( )

4. () =X

(1)+ det³d

´ × ( )

5. pensada como : × × es -lineal, alternante y

10...0

01...0

00...1

= 1

Otras posibilidades que no hemos demostrado son:

6 (a) es multiplicativa: () = () () × ( )

(b) es una función aditiva respecto de la primera columna de cualquiermatriz.

(c) ( ) = 1 para toda matriz elemental del tercer tipo.

7 (a) es multiplicativa.




(b) () =

Y=1

para cualquier matriz triangular (inferior o supe-

rior).• El determinante de una matriz con dos renglones (o columnas) iguales

es 0

• Intercambiar dos renglones (o dos columnas) cambia el signo del deter-minante.

• Sumar a un renglón un múltiplo de otro no cambia el valor del deter-minante.

• Sumar a una columna un múltiplo de otra no cambia el valor del de-terminante.

• El determinante de una matriz y el determinante de su transpuesta soniguales.

• El determinante de un producto de matrices es el producto de los de-terminantes respectivos.

• Una matriz es invertible si y sólo si su determinante es distinto de 0(en el caso de que los coeficientes se tomen en un campo.

• Una matriz es invertible si y sólo si su determinante tiene inverso mul-tiplicativo en (en el caso de que los coeficientes se tomen en un anilloconmutativo).

• det(1) = (det ())1

• Si × ( ) es invertible y es un campo, entonces 1 =1

det() donde es la matriz de cofactores de

• El rango de una matriz no nula es

max { | det() 6= 0 si es submatriz de }

• La regla de Cramer.

Ejercicio 398 Demuestre que las condiciones 6 y 7 anteriores caracterizan la función det.




1. Demuestre que si es un anillo conmutativo, entonces × () definidode la manera natural es un anillo.

2. Defina det() de manera adecuada para × ()

3. Demuestre que × () es invertible si y sólo si det() es inver-tible en



Capítulo 9

Polinomios con coeficientes enR

El estudio de los polinomios comienza muy frecuentemente definiéndolos co-mo expresiones de la forma 0 + 1 + + . Así, el conjunto R [] ={0 + 1 + + | N R} en donde cada es un “coeficiente”real y es una “indeterminada”. Los elementos del conjunto anterior -lospolinomios- se conocen como “sumas formales” porque su expresión tiene la

forma de suma; sin embargo no queda claro lo que significa la o cualquierade sus potencias. ¿Cómo se multiplica una indeterminada -o una de suspotencias- por un elemento del campo de los coeficientes? ¿Cómo se sumanlos “productos” resultantes de esas multiplicaciones?

Con objeto de responder a estas preguntas y a otras que surgen en elestudio de los polinomios, se hace una serie de definiciones de éstos, de laigualdad entre ellos y de la forma en que se suman y multiplican. En esencia,lo que se hace es identificar cada suma formal 0 + 1 + + con lasucesión -casi nula- (0 1 0) y se construye una inmersión de loscoeficientes en los polinomios 7 ( 0) y luego se describe la mane-ra de recuperar las expresiones originales, que ahora sí representan sumasauténticas.

Se enfatiza la diferencia entre polinomios y funciones polinomiales, y sehace notar que la forma en que se definieron las operaciones entre los primerospermite construir un homomorfismo de anillos entre ambos, que cuando estándefinidos en campos infinitos, se convierte en isomorfismo, justificando así elque en el Álgebra elemental, no se haga distinción alguna entre ellos y setransite libremente entre las dos estructuras. (Ver por ejemplo el teorema

539



540 CAPÍTULO 9. POLINOMIOS CON COEFICIENTES EN R

del residuo).Se justifica el nombre “anillo de los polinomios” haciendo notar que se

trata en efecto de un dominio entero (anillo conmutativo sin divisores depropios de cero) al igual que los enteros, y se describen algunos resultadosque son consecuencia de su estructura.

El capítulo termina con una discusión de la teoría de las ecuaciones yde sus temas centrales, como el teorema del residuo, del factor, el teoremade Sturm, las raíces múltiples, raíces racionales y derivadas entre otras, así como una breve incursión a las desigualdades.

9.1 Construcción y definicionesDenotemos con R el campo de los números reales, y con N al conjunto de losnaturales, definimos

R [] = R ( N ) =©

R N | () 6= 0 en un subconjunto finito de Nª

1

Así, los elementos de R [] son sucesiones de casi puros 0, que los podemos

escribir también en forma de lista: : (0) (1) (2) · · · () 0 0 · · ·

A partir de algún momento ya sólo aparecerán 0 en la lista lo que podríamosindicar poniendo una barra sobre el primer 0 de la lista infinita de 0 :

: (0) (1) (2) · · · () 0 · · ·

y si () lo denotamos como la expresión de cada polinomio puede ser

(0 1 0)

Definición 146 . Los elementos de R [] se llaman polinomios con coefi-cientes reales.

Definición 147 . Si es un elemento de R [], denotaremos

( ) =: { N | () 6= 0}

1El uso de esta notación se aclarará después.




Ejemplo 189 .

¡1 2 0

2 0 1 0 ···

¢es un polinomio con soporte {0135}

Definición 148 . La suma de polinomios que se define de manera natural:R [] × R [] R []

está dada por ¡

+¢

() = () + ()

Observación 130 . Esta definición de suma es buena porque

¡

+¢ () + () 6= 0

() + () 6= 0

( () 6= 0

() 6= 0)

( () 6= 0 () 6= 0) ( ) ()

Así tenemos que ¡

+¢ ( ) () Por lo que

¡ +

¢ es un

conjunto finito al ser un subconjunto de la unión de dos conjuntos finitos.

Ejercicio 399 . Sume los siguientes polinomios ¡ 85 0 37 35 97 50 0¢

y : ¡ 56 49 0 57 0 ¢Observación 131 . + es asociativa y conmutativa, pues:

1. ¡

+¡

+¢¢

() = () + ( () + ()) = ( () + ()) + () =¡¡ +

¢ +¢

()

2. ¡

+¢

() = () + () = () + () =¡

+ ¢

()

Observación 132 . + tiene neutro:

0 : N R 7 0 N

Observe que ¡

0¢

= que es finito.

Observación 133 . Cada polinomio tiene inverso respecto a + :

[ ( )] () = ()

Note que (

) = ( )




Enseguida vamos a definir en R [] una multiplicación.

Definición 149R [] × R []

R []

se define por ( ) () =

X+ =

() ( )

Proposición 33 . es una operación asociativa, con neutro, en R [] :

Demostración. 1. ( ) 0 6= ( ) () = P+ =

() ( ) ( ) () para alguna y alguna tales que + = . Co-mo ( ) y () son finitos, también es finito el conjunto de productos () ( ) que sean distintos de 0 Por lo tanto ( ) es finito.

2. es asociativa:

(( ) ) () =X

+ =

( ) () ( )

=X

+ =

[( ) ()] ( ) =X

+ =

"X+=

() ()

# ( )

=X

++ =

( () ()) ( )

Por otra parte si calculamos ( ( )) () obtendremos

X++ =

() ( () ( ))

3. El neutro es la función 1 : N R tal que 1 (0) = 1 1 () = 0 para todo 0 En efecto¡

1 ¢

() =X

+ =

1 () ( ) = 1(0) () = () =¡

1¢

()




Ejercicio 400 . Multiplique los polinomios :

¡ 2 0 3 0 2 1 0 ¢y : ¡

0 1 0 0 2 0 ¢

Proposición 34 . se distribuye sobre la suma de R []

Demostración.

(

( + )) () = X+ =

() ( + ) ( )

=X

+ =

() ( ( ) + ( )) =

" X+ =

() ( ) + () ( )

# =

=X

+ =

() ( ) +X

+ =

() ( ) =

= ( ) () + ( ) () = [ + ] ()

Por lo tanto ( ( + )) = + Podemos resumir las propiedades de la suma y del producto de polinomios

que hemos visto en la siguiente proposición.

Proposición 35 .¡

R [] + 0 1¢

es un anillo, el anillo de polinomios con coeficientes en R

Definición 150 . =: (0 1 0 · · · )

Observación 134 . Como consecuencia de la definición anterior, se tiene que

2 =: (0 0 1 0 0 · · · ) =: (0 0 1 | {z } +1 lugares

0 0 · · · )

Además 0 = 1 =: (1 0 0 · · · )

Observación 135 . Si : (0) (1) · · · () 0 0 entonces

= (0) 1 + (1) + · · · + ()




Es esta propiedad, la que hace que un polinomio se pueda escribir en laforma

= 0 + 1 + · · · +

Por costumbre, se escribe ()

Definición 151 . ( ) =: max { | () 6= 0}. Notemos que esta definición no incluye al polinomio 0

Lema 32 . Si R [] \©

0ª

entonces 6= 0

Demostración. Basta ver que (

) = ( ) + () :Si grad( ) = y () = , entonces () 6= 0 y ( ) = 0

Además () 6= 0 y ( ) = 0 Entonces

( ) ( + ) =X

+ =+

() ( ) = () () 6= 0, ya que ó

Además si +, entonces ( ) () = P+ =

() ( ) = 0, ya que

ó

Teorema 154 . La función : R R [] definida por () = , la función ( 0 0) es una función que respeta la suma, el producto el uno, y además es inyectiva. Es decir:

1. ( + ) = () + () para cualesquiera R

2. ( · ) = () () para cualesquiera R

3. (1) = 1

4. () = () =

Por lo que es una inmersión, lo que permite considerar a R como unsubconjunto de C .

Demostración. 1. Sean R entonces

( + ) = ] + = ( + 0 0) = ( 0 0) + ( 0 0) =

= + = () + ()




2. Sean R entonces

( ) = g = ( · 0 0) = ( 0 0) ( 0 0) =

= = () ()

3. (1) = 1 = 1 R []4. () = () ( 0 0) = ( 0 0) =

Proposición 36 .¡

R [] + 0 1¢

es un dominio entero.

Demostración. Basta ver que ¡R [] \©0ª

1¢ es un monoide con

cancelación.Supongamos que

= R [] \©

0ª

Entonces ( ) = 0 Como 6= 0 tenemos que = 0, por el Lema32.

Proposición 37 . En ¡R [] + 0

1¢hay algoritmo de la división:

Si () () R [] y () 6= 0, entonces

! () ! () R []

tales que

0 = () ó ( ()) () ,y () = +

Como la proposición anterior es un poco larga, es mejor escribir el dia-

grama siguiente: ()

() ()

() 0 = () ó ( ()) ( ())

Demostración. Podemos suponer que () 6= 0 pues en caso contrario, () = 0 = () sirven.

Ahora, podemos hacerlo por inducción sobre grad( ()) :Base.




Si ( ) = 0 = () entonces

0 0 = ()

Si ( ) () entonces

0

= () grad( ) ()

Paso inductivo:

Si ( ) () entonces

0

= ()

Si grad( ) (), escribamos

= 0 + 1 + 22 + +

y = 0 + 1 + 22 + +

Multipliquemos por. Entonces = ˆ0 ógrad( ) ( ) En el primer caso tenemos

0 0 = ()

y en el segundo tenemos que por hipótesis de inducción

() 0 = () ó grad() ()

En este último caso, = + es decir que

+

() 0 = () ó grad() ()

La demostración de la unicidad se deja como ejercicio.



9.2. EVALUACIÓN 547

Ejercicio 401 vEfectúe las siguientes divisiones:

1. 3 + 32 + 3 + 1 6 + 45 + 23 + 3 ,2. 33 + 2 + 3 + 4 276 + 545 + 1624 + 543 + 812 + 81 + 54

9.2 Evaluación

Observación 136 . Dada R existe una única función : R [] R, a la que llamaremos “evaluación en ”, tal que:

1. () = , R

2. () =

3. respeta la suma, el producto y el uno.

Demostración. Se deja como ejercicio.Observemos que

¡1 + 42 + 3¢ = (1) + ¡42¢+ 3 =

= 1 + (4) ·

¡2¢

+ ( ())3 =

= 1 + 4 · 2 + 3

Notación 20 . De aquí en adelante, escribiremos () en lugar de

( ())

Lo anterior permite asociar a un polinomio una función polinomial

( ) ( ) : R R 7 ( ())

Por costumbre, se identifican los conceptos de polinomio y de función poli-nomial y para no contravenir esta costumbre, de aquí en adelante, a menosque indique otra cosa, pensaremos en () de la siguiente manera:

: R R

en lugar de pensarla como la sucesión de sus coeficientes, : N R

.




Ejemplo 190 . Para aclarar la diferencia entre polinomio y función polino-mial, imagínese que el campo es Z2 en lugar de ser R, tomemos el polinomio

3 + 2

salta a la vista que este polinomio no es el polinomio 0 () ya que tiene grado3 Sin embargo la función polinomial asociada es

Z2 Z2

0 7 03 + 02 = 01 7 13 + 12 = 1 + 1 = 0

que sí es la función 0.

Proposición 38 . R R [] :

1. 1 · =

2. () · = · ( · )

3. ( · ) = ( ) = ()

Ejercicio 402 . Si R está incluído en un anillo (como subanillo, es decir que las operaciones de extienden a las de R) y , entonces ! :R [] tal que el siguiente diagrama conmuta

R []

% ª &

&

Es claro que () = R [] tal que = 0, o () = 0Además

() = () · () = · () = ·

Así que

(0 + 1 + + ) = (0 + 1 + + )

(Ver el ejercicio siguiente).



9.2. EVALUACIÓN 549

Ejercicio 403 . Demuestre que R [] respeta la suma, el producto y

1

Sugerencia: para demostrar que respeta productos, es decir, para ver que

( () ()) = ( ()) · ( ())

mostrar primero que se cumple para () = 0luego para () = · Y después hacerlo por inducción sobre el grado de 6= 0.

Teorema 155 (del residuo). Sea R []. Entonces

() = () (

) + ()

Demostración.

()

() 0 = () ó () ( )

Entonces () es una constante, y () = () ( ) + . Evaluando en, obtenemos la conclusión deseada.

Definición 152 . Sean () () R [] diremos que divide a ( | ) si () R [] tal que = .

Definición 153 . Si () = 0 decimos que es una raíz de ()

Teorema 156 (del factor). Sea R []. Entonces

() = 0 ( ) | ()

Demostración. Por el Corolario anterior, tenemos que ()= ()()+ () Recordando que los elementos de R pueden identificarse con elementos

de R [] definiremos un producto de R × R [] en R [], de manera quecoincida con el producto en R []

Definición 154

· : R × R [] R []( ) 7

b ·




Ejemplo 191 . Si = (0 1 0) y R, entonces

=: b = ¡0 1 0¢

De las definiciones y proposiciones antes demostradas, concluímos quepara R [] con = (0 1 0) se tiene que () = 01 + 1 + +

Así que

R [] =: {0 + 1 + + | N R}

(El anillo de los polinomios con coeficientes en R).

9.3 Los ideales de R []

Definición 155 . Un subconjunto de R [] se llama ideal de R [] si

1. 0 .

2. + .

3. R []

1. El coeficiente principal de un polinomio es si () = 0 + +

y 6= 0

2. Se dice que un polinomio () distinto de cero es mónico si su coefi-ciente principal es 1.

Teorema 157

6 R [] = R [] () =:

= { () () | R [] para alguna () R [] () mónico}

Demostración. )0 = 0 · + = ( + ) R [] () = () R [] )Si = {0} entonces =

R[] · 0



9.3. LOS IDEALES DE R [ ] 551

Si 6= {0} sea

= { N | tal que ( ) = }

Notemos que 6= Escojamos el menor elemento de (haciendo uso delprincipio del buen orden) y llamémoslo Después tomemos una talque () = (Nótese que se puede escoger con coeficiente principal 1multiplicando por el recíproco del coeficiente principal, si fuera necesario).

Demostraremos que = (R []) .) Sea . Por el algoritmo de la división, = + con = 0

ó () (). Si fuera distinto de 0 entonces = y

grad() = () Por lo tanto = 0 y así (R []) ) (R []) 6 .Escribiremos 6 R [] para indicar que es un ideal de R []

Ejercicio 404 . Sea R demuestre que { R [] | () = 0} es un ideal de R [].

Teorema 158 . Sean 6 R [], entonces:

1. 6 R [].

2. + = { + | } 6 R [].

3. + es el menor ideal de R [] que incluye a

Demostración. 1. a.Como y son ideales, entonces 0 0 ,por lo que 0 .

1.b.

( ) ( ) ( + ) ( + ) +

1.c.

R [] ( R [] ) ( ) ( )

2.a. 0 0 0 = 0 + 0 + 2.b. + +

+

( + ) + ( + ) = ( + ) + ( + )

+ .




2.c. R [] + + ( + ) = + + .3.a.

+ ya que

= +0

+ . Análogamente,

+ .

Por lo tanto +

3.b. Veamos ahora que + es el menor ideal que incluye a :Si 6 R [] entonces Como es un ideal, + Por lo tanto, + .

Definición 156 . R [] es el máximo común divisor de y si

1. | | (es decir, es un divisor común).2. | | | (cualquier otro divisor común divide a ).

3. es mónico.

Corolario 26 . Dados R [] (R []) + (R []) = (R []) , para alguna R [] mónico. Además es el máximo común divisor de y .

Demostración. A la vista de los resultados anteriores, lo único que

requiere demostración es la afirmación de que es el máximo común divisorde y .

1. R [] = , para alguna en R []. Es decir, | .Análogamente | . Con esto vemos que es un divisor común de y de .

2. Ahora, si es otro divisor común, | y | digamos que

= y que =

con y

R [] Como también tenemos que

= +

entonces = + = ( + )

Así que | . Por lo tanto es el máximo común divisor de y .

Notación 21 . Denotemos ( ; ) el máximo común divisor de y de Note el punto y coma en lugar de la coma.




Ejercicio 405 . Demuestre que el máximo común divisor de dos polinomios se puede encontrar mediante el Algoritmo de Euclides.

1. Primero demuestre que dados dos polinomios () y () 6= 0, entoncesdado

= 0 ( () ())

se tiene que ( ; ) = (; )

2. Termine la demostración imitando la demostración correspondiente paralos enteros.

Ejemplo 192 . Encontraremos el máximo común divisor de

4 + 53 42 2 y 34 + 3 42 :

34 + 53 42 2 34 + 3 42

(34 + 153

122

6)

143 + 82 + 6

114

3998143 + 82 + 6 4 + 53 42 2

¡4 4

73 3

72¢

397 3 25

7 2 2

¡397 3 156

49 2 117

49 ¢

1949

2 + 1949

Multiplicando

19

492 + 19

49 por

49

19 : 2

14 62 143 + 82 + 6

(143 + 142)62 + 6

(62 + 6)0

Entonces el máximo común divisor es 2




Ejemplo 193 . Usaremos el Algoritmo de Euclides para escribir el máximocomún divisor de 4

23

2 + 2 y 3

32 + 2 + 1 como combinación

de ellos.

+ 1 2 4 + 6 + 11 + 1 3 32 + 2 + 1 4 23 2 + 2

0 (3 + 2) (4 33 + 22 + )42 + 2 + 1 3 32 + (42 4) (3 32 + 2 + 1)

6 + 1 1 (6 + 6)

5

Entonces el máximo común divisor es 1 y

5 =¡

3 32 + 2 + 1¢ ¡2 4 + 6

¢( + 1) =

5 =¡

3 32 + 2 + 1¢

+¡

2 4 + 6¢

( ( + 1)) =

=

¡3 32 + 2 + 1

¢+

¡2 4 + 6

¢µ

(4 23 2 + 2) ( + 1) (3 32 + 2 + 1)

¶ =

=¡

2 4 + 6¢ ¡

4 23 2 + 2¢

+

+¡3 + 32 2 5

¢ ¡3 32 + 2 + 1

¢

No hace falta decir que entonces

1 =

µ1

5

¶¡2 4 + 6

¢ ¡4 23 2 + 2

¢+

+µ1

5¶¡3

+ 32

2 5¢ ¡3

32

+ 2 + 1¢

Ejercicio 406 . Encuentre el máximo común divisor de los siguientes poli-nomios:

1. 23 + 32 8 + 3 33 + 42 13 + 6

2. 3 2 2 4 3 42 + 4

Observación 137 . R

[] = R

[] ( · )

R

\ {0}.




Demostración. = 1 ( · ) R [] · R [] R [] · .Análogamente, ( · )

R []

R [] ·

R []

Observación 138 . El máximo común divisor de dos polinomios es único.

Demostración. Sean ´ dos máximos divisores comunes de y de . divisor común y ´ máximo común divisor | ´.Por simetría, ´ | | ´ = ´, para alguna R [].´| = para alguna R [].Entonces = = . Luego 0 = ( ) = () + ( )

Por lo que y son polinomios constantes.Como y ´ son mónicos y = tienen coeficiente principal 1 y ,

tenemos que = 1, así que = ´ .

Definición 157 . Decimos que dos polinomios R [] son primos relativos si su máximo común divisor es 1

Ejercicio 407 . Demuestre que dos polinomios son primos relativos existen () () R [] tales que 1 = () () + () ()

Ejercicio 408 . Encuentre el máximo común divisor de

3 + 2 + 2 + 3 y ¡

4 + 3 + 22 + 6¢

escriba 19 como combinación de dichos polinomios.

Definición 158 . () R [] es el mínimo común múltiplo de y de (se escribe () = [ ; ]) si

1. () es un múltiplo común de y de : () R [] , () R [] .

2. Si () es otro múltiplo común entonces () es múltiplo de () : () R [] , () R [] () | ()

3. () es mónico.

Denotaremos [ ; ] el mínimo común múltiplo de y Note el punto ycoma.




Observación 139 . Dados R [] entonces (R []) (R []) =(R []) , p. a.

R [], mónico. Además es el mínimo común múltiplo

de y .

Demostración. Tenemos que (R []) (R []) es un ideal de R [] por el teorema 158, ahora, por el teorema 157, tenemos que (R []) (R []) = (R []) y podemos suponer que es mónico.

Veamos que es el mínimo común múltiplo de y : (R []) (R []) = =

| |

es un múltiplo común de y de

Si () es un polinomio tal que | |

entonces (R []) (R [])

(R []) (R []) = (R []) | Por lo que es el mínimo múltiplo común de y de .

Proposición 39 . El mínimo común múltiplo de dos polinomios mónicos en R [] es

· ( ; )

Demostración. Notemos primero que

·

( ; ) =

( ; ) · = ·

( ; )

es un múltiplo común de y de por lo que

[ ; ] | · ( ; )

Recíprocamente,

·

( ; ) | [ ; ] ·

[ ; ] | ( ; )

µ ·

[ ; ] |

¶µ

·

[ ; ] |

¶¸

[( · | [ ; ]) ( · | [ ; ])]

( | [ ; ])

( | [ ; ])




pero eso es exactamente lo que sucede, pues [ ; ] es un múltiplo común de y de

Como µ[ ; ] |

·

( ; )

¶ yµ

·

( ; ) | [ ; ]

¶tenemos que

·

( ; ) = [ ; ]

pues tanto [ ; ] como ·

( ; ) son polinomios mónicos.

Definición 159 . R [] es irreducible si:

1. ( ) 0.

2. = · ( () = 0 o () = 0).

Una consecuencia del Teorema del Valor intermedio del Cálculo, es quetodo polinomio de grado impar tiene alguna raíz. Esto se debe a que los

polinomios son funciones continuas (tienen derivada) y a que un polinomiode grado impar tiene valores de signo contrario si se evalúa “muy a la derecha”y “muy a la izquierda”.

-1 1

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

5 2

Por el teorema 156 si es una raíz de () entonces

| ()




De lo anterior, debe ser claro que ningún polinomio de grado impar esirreducible.

Un polinomio () R []de grado par 4 tampoco es irreducible.Esto se debe al Teorema Fundamental del Álgebra y a que la operación deconjugación compleja preserva sumas, productos y reales. Veámoslo: si Ces una raíz compleja de

() = 0 + 1 + · · · +

entonces

0 = ( ) = 0 + 1 + · · · +

conjugando:

0 = 0 = ( ) = 0 + 1 + · · · + = 0 + 1 + · · · + =

= 0 + 1 + · · · + = 0 + 1 + · · · + ( ) =

= ( )

De donde también es raíz de () pero entonces

( ) ( ) | ()

2y ( ) ( ) = 2 ( + ) + k k2 R []

Ejercicio 409 . Demuestre que si C. Entonces 2 ( + ) + k k2 R []

2Notar que y son polinomios primos relativos en C [] Ya que ( ) ( ) = R \ {0} cuando C \ R Entonces 1 =

µ 1

¶( )

µ 1

¶ (

)




-1.6 -1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6

5

10

15

20

25

x

y

26 + 65 + 134 + 163 + 142 + 7 + 2

Si () = 26 + 65 + 134 + 163 + 142 + 7 + 2, entonces una de sus raíceses 1 +

2

y otra es

1

2

por lo que µ (1 + )

2

¶µ (1 )

2

¶ | () :

en efecto: µ (1 + )

2

¶µ (1 )

2

¶ = 2 + +

1

2

y ¡26 + 65 + 134 + 163 + 142 + 7 + 2¢ =

=

µ2 + +

1

2

¶¡24 + 43 + 82 + 6 + 4

¢

Observación 140 . Por lo anteriormente dicho, tenemos que los únicos polinomios irreducibles en R [] son de grado 1 ó 2. Los polinomios irre-ducibles de grado 2 son de la forma

2 + +




con 2

4 0

Pues ya sabemos que si 2 4 0 entonces

¡ +

2 4

¢2

sería un factor propio de 2 + +

9.3.1 Traslación de la gráfica de un polinomio

Sea : R R comparemos las gráficas de () y de

( ) = ( (_ )) ()

Desde luego,(_ ) : R R R

7

puede interpretarse como una traslación (a la derecha si 0).

-6 -4 -2 2 4

-4

-2

2

x

y

()

-4 -2 2 4

-4

-2

2

x

y

( 1) ( 1)

Supongamos que un polinomio tiene una raíz entre 3 y 4, por ejemplo () =( 35) ( + 3) : 2 5 105

-4 -2 2 4

-10

10

x

y




entonces ( + 3) = 2 + 5 5 30

-8 -6 -4 -2 2

-10

10

x

y

tiene una raíz entre 0 y 1.

Para encontrar un cifra decimal para la raíz mayor de uno tendría quecalcular sucesivamente

(3) (31) (32) · · · (39) (4)

o lo que es lo mismo, calcular

(3 + )(0) (3 + ) (01) (3 + ) (02) · · · (3 + ) (09) (3 + )(1)

y estar pendiente del cambio de signo.Para cálculos con lápiz y papel es mucho mejor evaluar un polinomio

alrededor de 0 que de otro número. Por ejemplo, es más fácil calcular (02)5

que (102)5 Calcular ¡

4 + 32 + + 10¢

(72)

es lo mismo que calcular

¡( + 7)4

+ 3 ( + 7)2

+ ( + 7) + 10¢ (02)

Tenemos que ¡( + 7)4 + 3 ( + 7)2 + ( + 7) + 10

¢ =

= 4 + 283 + 2972 + 1415 + 2565

Ahora, calcular (4 + 32 + + 10) (72) es equivalente a encontrar el residuoen la división

72 4 + 32 + + 10




Hagámoslo con el siguiente formato:

dividendo divisor cociente4 + +32 + + 10 72 3 + 722 + 54 84 + 395854 + 723

723 + 32 + + 10 (7 23 51 842)

54 842 + + 10 (54 842 394 85)

39585 + 10

(395 85

2850 1)

2860 1

Comparemos con

dividendo divisor cociente4 + 283 + 2972 + 1415 + 2565 2 3 + 282 + 302 6 + 1475 5 (4 2)283 + 2972 + 1415 + 25652

(283

5 62)

302 62 + 1415 + 2565 2 (302 62 60 52)

1475 5 + 2565 2 (1475 5 295 1)

28601

Notemos que en

dividendo divisor cociente

+ 11 + · · · + 0 1 + (1 + ) 2 + · · ·1 ( )(1 + ) 1 + · · · (1 + ) 2 ( )(2 + 2) 2 + · · ·

...

sería mucho más económico poner sólo los coeficientes, cambiar el signo de en la columna del divisor para no tener que restar y además podemos hacer




la operaciones en una sola línea.

1 2 · · · 0 · (1 + ( · )) · · · 1 + ( · ) 2 + (1 + ( · )) · · · z }| {

coeficientes del cociente

Volvamos a hacer la división

4 + 283 + 2972 + 1415 + 2565 0.2

1 28 297 1415 2565 .2.2 28.2*.2=5. 64 302.64*.2=60. 528 1475.5*.2=295.1

1 28.2 302.64 1475.5 2860. 1

Escribir un polinomio () en la forma ( ) + · · · + 1 ( ) + 0

es la misma cosa que escribir un número en representación decimal, exceptoporque aquí la base es ( ) Note que 0 es el residuo de la división

()

digamos que 1 ()

()0

es decir que

() = ( ) 1 () + 0 = ( ) + · · · + 1 ( ) + 0

por lo que 1 () = (

)1 + · · · + 1

de donde se tiene que 1 es el residuo en

2 () 1 ()

1

repitiendo el argumento (o mediante una sencilla inducción sobre el grado de ()), tenemos que los coeficientes

0

1 · · ·




se obtienen al hacer las divisiones

1 () ()0

2 () 1 ()1

· · · +1 () ()

· · ·

Para este propósito conviene el formato

()

1 () 0

2 () 1

3 () 2...

...

que permite hacer las divisiones una tras otra.

Ejemplo 194 . Queremos expresar

3

+ 5

2

+ + 6en la forma

3 ( + 5)3 + 2 ( + 5)2 + 1 ( + 5)1 + 0 ( + 5)0

Entonces dividendos divisor

1 5 1 65 0 5

1 0 1 15 251 5 26

51 10

5

Así que 0 = 1 1 = 26 2 = 10 3 = 1

y 3 + 52 + + 6 = ( + 5)3

10 ( + 5)2 + 26 ( + 5) + 1




Notemos ahora que ( 5) = 3 102 + 26 + 1 tiene la gráfica de () pero trasladada a la derecha:

-6 -4 -2 2 4

50

100

150

x

y

3 + 52 + + 6

2 4 6 8

50

100

150

x

y

3

102 + 26 + 1

Ejercicio 410 . 3 102 + 26 + 1 vale 1 en 0. Calcule cuánto vale en 1 y en 1dividiendo entre ( + 1) y ( 1) ¿En qué intervalo está la raíz de 3 102 + 26 + 1? ¿En [1 0] o en [0 1]?

9.3.2 El método de Horner

En el pasado reciente, se acostumbraba encontrar las raíces de un polinomiopor el Método de Horner que consistía en lo siguiente:

Supongamos que queremos calcular la expresión decimal de la raíz123

de () R [] Para empezar, supongamos que ya sabemos que la raízestá entre y + 1 (por ejemplo si hubiésemos encontrado que ( ) y ( + 1) tienen signos contrarios).

Entonces expresaríamos () en la forma

(

) + · · · + 1 (

) + 0

y consideraríamos () = + · · · + 1 + 0 Notemos que

( ) = ()

Por lo que (0) = ( ) = ( ) así que si tiene una raíz entre y + 1 () la tiene entre 0 y 1

La siguiente cifra decimal de la raíz se calcula evaluando () en

01 02 03 · · · 09




para detectar un cambio de signo. Digamos que la raíz está entre 1 y 2

Ahora, se expresa () en la forma

( 1) + · · · + 1 ( 1) + 0

y se considera 1 () = () + · · · + 1 () + 0 que tiene la raíz entre 0 y10 después se evalúa 1 () en

001 002 003 · · · 009

y el proceso se repite tantas veces como se quiera.En el proceso anterior, se usaba el método de división abreviado (“sin-

tética”) que se describió antes.El método es eficaz, pues cuando 0, los valores de que cuentanmás son los de pequeña.

Por ejemplo, tomemos

4 + 3 + 2 + + 1

Consideremos la siguiente tabla

4 3 2 1 4 + 3 + 2 + + 1

1 1 1 1 1 1 50.1 .000 1 .001 .01 .1 1 1.1111.01 .00000001 .000001 .000 1 .01 1 1.010 10101

como podemos apreciar, la contribución relativa de las potencias grandes alvalor del polinomio es cada vez menor, conforme vamos evaluando en valoresmenores de .

El método de Horner ya no es de utilidad práctica dado que disponemosde computadoras y calculadoras, sin embargo tiene aspectos interesantes, porejemplo, a pesar de su sencillez, nos proporciona uno tras otro, los dígitos delas raíces.

Ejemplo 195 . Mostraremos como funciona el Método de Horner para cal-cular algunas cifras de

2.

El polinomio a considerar es 2 2

1 0 21 1

1 1 1

1




1 0 22 4

1 2 2

2

Como 2 2 cambia de signo entre 1 y 2 entonces tenemos una raíz en el intervalo [1 2] Expresemos ahora 2 2 como combinación de potencias de 1 :

1 0 21 1

1 1 11

1 2

1

2 2 = ( 1)2 + 2 ( 1) 1

Tomamos () = 2 + 2 1

evalúamos en .1.2 · · · :

1 2 -1 .1.1 .21

1 2.1 -. 79

1 2 -1 .2.2 . 44

1 2.2 -. 56 1 2 -1 .3

.3 .69 1 2.3 -. 31

1 2 -1 4.4 . 96

1 2.4 -.04

1 2 -1 .5 .5 1. 25

1 2.5 .25

El cambio de signo nos dice que hay una raíz para () entre 4 y 5. Por loque una aproximación a raíz de 2 es 14

2 + 2 1 = ( 0.4)2 + 1 ( 0.4) + 0

se calcula así:1 2 1 0.4

.4 .96 1 2.4 -.04

.4

1 2.8




Así que 1 () = 2 + 2.8

.04

que evaluaremos en .01, 02, · · ·

1 28 04 .0101 0281

1 281 0119

1 28 04 0202 0564

1 282 0164

El cambio de signo nos dice que 1 () tiene una raíz entre 01 y 02Por lo tanto 141 es una aproximación a

2

Ejercicio 411 . Calcule 3

2 con dos cifras decimales.

Observación 141 . Desde luego, también se puede expresar un polinomio () como

() () + · · · + 1 () () + 0

para cualquier polinomio de grado 0 donde los coeficientes son poli-nomios en R [] de grado menor que el grado de

Ejercicio 412 . Demuestre la existencia y la unicidad de los coeficientes en la observación anterior.

Ejemplo 196 . Expresaremos 4

+ 3

+ 2

+ + 1 en términos de potencias de 2 + 2 + 1 :

2 + 22 + 2 + 1 4 + 3 + 2 + + 1

4 23 2

3 + + 13 + 22 + 2 2 + 2 + 1-2 (2 + 2 + 1)

2 1

12 + 2 + 1 2 + 2

2 2 13 + 1

Entonces 4 + 3 + 2 + + 1 =

= ¡2 + 2 + 1¢2

+ (

3 + 1) ¡2 + 2 + 1¢+ (

2

1)



9.4. UN PROCEDIMIENTO GRÁFICO PARA RESOLVER ... 569

9.4 Un procedimiento gráfico para resolver

algunas desigualdadesSe desea encontrar la solución del problema siguiente:

Problema. Dado un polinomio () R [], determinar

0 = { R | () 0}

(ó () 0 ó () 0 ó () 0).Para describir una manera de proceder, aceptaremos provisionalmente

(ver “complejos”) que todo polinomio ()

R [] se puede expresar comoproducto de una constante por el producto de una colección -posiblementevacía- de polinomios mónicos irreducibles, y que está factorización es únicaexcepto por el orden en el que puedan aparecer los factores. (En R [] sonirreducibles todos los polinomios de grado uno así como aquellos que siendode grado dos, tienen discriminante negativo y sólo esos).

Recordemos que si () = 2 + +

su discriminante es el número 2

4, y que ()

R [] es mónico si y sólo

si su coeficiente principal es 1.Obsérvese finalmente que si () es mónico e irreducible de 2 grado,

entonces R () 0.En efecto,

() = 2 + + = 2 + + 2

4 2

4 + =

=

µ +

2¶2

+ 4 2

4

y como = 2 4 es 0, entonces 4 2

4 0 luego tiene raíz cuadrada

positiva, entonces () =

µ +

2

¶2

+

Ãr 4 2

4

!2

y por lo tanto, ()

0.Sea

() = (

1)1(

2)2 (

)

1

1 ()

()




una factorización de (), en donde, {1} () es un mónicoirreducible de 2 grado,

1 = 1

1 = 1

y 1 2 .Supóngase que se desea resolver alguna de las desigualdades del problema,

para ().Sin pérdida de generalidad podemos suponer 0 (si fuera 0,

multiplicando por 1 todo el polinomio, nuestro problema consistiría enresolver la nueva desigualdad que resulta, y que, como es evidente, transforma

el problema en otro del mismo tipo).Hagamos las observaciones siguientes:

1. Cada {1 } es raíz de () luego la gráfica de toca el eje en cada una de ellas. ( () = 0 {1 }).

2. En vista de la observación que se hizo con anterioridad, cada factor

() es positivo por lo que, en el análisis que haremos, podemos bau-

tizar el producto de todos ellos como () que es mayor que 0, R .Luego

() = () [( 1)1( )]

y entonces, el signo de () queda determinado exclusivamente por elsigno del producto dentro del paréntesis rectangular.

3. Para cada {1 1}, si ( +1), todos los factores ( )son negativos si y positivos si . En efecto, de

+1

se sigue que si , entonces +1

0 y si 0 y por lo tanto cada vez que la cambia de un intervalo al anterior, hay un único factor en

{( 1) ( )}

que cambia de signo y por lo tanto () cambiará de signo también siy sólo si el exponente correspondiente al factor afectado es impar.

El resultado final de estas observaciones justifica el procedimiento quedetallamos enseguida.




9.4.1 Procedimiento gráfico para resolver la desigual-dad () 0

1. Factorice () como producto de mónicos irreducibles y agrupe los de2 grado: Sea

() = ( 1)1( )()

en donde 0, () 0 R .

2. Obsérvese que si , cada factor ( ) es positivo, por lo tanto () 0 (el dibujo de su gráfica va por arriba del eje ).

3. En cada () = 0 y al pasar del intervalo que empieza con , alque termina con , () cambia de signo si y sólo si es impar. (Si es impar, () “cruza” el eje si pasa por y “rebota” en si es par).

4. Recordando (o suponiendo) que los polinomios tienen gráficas “suaves”(continuas y sin “picos”), y aún cuando la información que se haadquirido hasta aquí es incompleta (sólo afirma que () está arri-

ba, abajo o sobre el eje ), basta para bosquejar su gráfica y proceder,a partir de ella, a definir el conjunto que resuelve la desigualdad.

Ejemplo 197 . Supóngase que se desea resolver: () 0 cuando

() = 3 ( + 4)2 ( + 1)34( 2)(2 + + 1)3(2 + + 2)2

= 3()( + 4)2( + 1)34( 2)

en donde () = (2 + + 1)3(2 + + 2)2, que es positivo

R .Las raíces de () son: 4 1 0 2 por lo tanto:

• Si 2 entonces () 0.

• La observación de los exponentes de los factores lineales dice que

en = 2 () cruza el eje en = 0 rebotaen = 1 cruza

en = 4 rebota




Luego la gráfica (cualitativa) es

• Se determina, observando la gráfica, que

0 = { R | () 0} = ( 1] {0} [2 )

Ejemplo 198 . Sea

() = 7( + 6)3( + 2)2( 3)5(2 + 1)7

y se desea resolver () 0.

• Multiplique por 1, para hacer 0, y defínase () = (2 + 1)7 que es positiva R.

• Nótese que las raíces reales -ordenadas - son; 6 2 y 3, y que en = 3y en = 6 la gráfica cruza y que en 2 rebota. Luego la gráfica de () es aproximadamente:




• Por lo tanto

0 = { R | () 0} = { | () 0} = ( 6) (3 )

9.4.2 Una aplicación

Es frecuente encontrar el problema de resolver desigualdades en donde apare-cen fracciones polinomiales que, por supuesto no están definidas en los puntos que anulan a los denominadores. En estos casos, luego de eliminar estospuntos prohibidos, se acostumbra proceder a resolver por partes, lo que, engeneral, complica el procedimiento a los estudiantes que enfrentan el proble-

ma de determinar signos y manejar uniones e intersecciones de intervalos.Una manera alternativa, consiste en multiplicar arriba y abajo de cada

fracción por su denominador -que es multiplicar por 1, y que produce nuevasfracciones equivalentes a las anteriores cuyos denominadores, por ser cuadra-dos de polinomios diferentes de cero, son necesariamente positivos, por loque pueden “transitar” libremente de un lado a otro de las desigualdades,sin alterar el sentido de éstas, y transformar el problema en una desigual-dad de polinomios para cuya resolución puede aplicarse el método que hemosdescrito con anterioridad

Ejemplo 199 . Se desea resolver:

1 + 1

+ 2

Eliminamos = 1 y = 2.

Se multiplica el lado izquierdo de la desigualdad por 1

1, y el derecho

por + 2

+ 2, con lo que se obtiene

( 1)( 1)2 ( + 1) ( + 2)

( + 2)2

Se multiplica cada miembro de (9.4.2) por ( 1)2( + 2)2 y se obtiene:

( + 2)2( 1) ( + 2)( + 1)( 1)2

Se suma a cada lado de (9.4.2), ( + 2)2( 1) y resulta:0 ( + 2)( + 1)( 1)2 ( + 2)2( 1) y se factoriza:0

( + 2)(

1)[( + 1)(

1)

( + 2)]




0 ( + 2)( 1)(2 1 2 2) = ( + 2)( 1)(2 1).0

(

2)( + 2)( + 12)(

1) se multiplica por

1 y se obtiene:

0 2( +2)( + 12)( 1), cuya solución es ( 2] [12 1] ycomo 2 y 1 estaban eliminados desde el principio, concluímos que la soluciónde (199) es ( 2) [12 1).

9.5 Reflexión sobre el eje

Observación 142 . Si es un polinomio, entonces () = ( ( )) es un polinomio tal que su gráfica es la reflexión sobre el eje de la gráfica de

Es decir, ( ()) pertenece a la gráfica de mientras que ( ()) =( ( ())) pertenece a la gráfica de ()

3 + 52 + + 6

-6 -4 -2 2

-20

20

40

x

y

3 + 52 + + 6

-2 2 4 6

-30

-20

-10

10

20

30

x

y

3 + 52 + 6

9.6 Continuidad

Definición 160 . Diremos que () es creciente en ( ) si ( ) () ()

Teorema 159 . Si () es un polinomio tal que (0) 0 entonces 0 tales que (( )) (0 )

Demostración. Sea () = + 11 + · · · + 1 + 0 entonces (0) = 0 0.

Ahora,

| ()

0| = ¯

+ 1

1 + · · · + 1¯



9.6. CONTINUIDAD 575

|| +

¯11

¯+ · · · + |1|

Ahora || 0

si

|| 0

||

es decir si

µ

r 0

|| r

0

||

¶

Análogamente ¯¯ 0

6= 0

si

µ

r 0

|| r

0

||

¶

Si = 0 es claro que ¯

¯

0

Si 6= 0 tomemos ahora la intersección de estos intervalos abiertos:

½µ

r 0

|| r 0

||

¶¾{1··· }

= ( )

Ahora, es claro que ( ) se tiene que

|| +¯11

¯+ · · · + |1|

³0

´ = 0

Entonces | () 0| 0, ( )

Si () 0 para alguna ( ) entonces0 () = | () 0| 0

Pero entonces 0 = 0 0 ()

Por lo tanto, () 0 ( )

Ejercicio 413 . Demuestre que la intersección de una familia finita novacía de intervalos abiertos que comparten un elemento R es un intervaloabierto.




Definición 161 . Sea () : R {0 1} una función proposicional.Interpretaremos () = 1 como “ tiene la propiedad ” y () = 0 como

“ no tiene la propiedad ”.Diremos que es localmente cierta, alrededor de si 1. () = 1 y 2. Existen tales () = 1 para toda ( )

Ejemplo 200 . En el teorema 159, se demuestra que la propiedad “ () 0”, es localmente cierta, alrededor de 0 para cada polinomio () tal que (0) 0

Teorema 160 . Si () es un polinomio tal que (0) 0 entonces es menor que 0, localmente alrededor de 0

Esto quiere decir que podemos encontrar R tales que

0 y (( )) ( 0)

Demostración. Apliquemos el teorema anterior al polinomio () = ()

Que () sea localmente positivo, alrededor de 0 es lo mismo que decirque () es localmente negativa alrededor de 0.

Corolario 27 . Sea () un polinomio tal que () para R.Entonces es localmente mayor que alrededor de

Demostración. Queremos demostrar que existen R tales que ( ) ( )

Consideremos el polinomio

() = ( + )

notemos que (0) = () 0

Por el teorema 159, tenemos que es localmente mayor que 0 alrededor de0 por lo que existen 0 0 0 tales que (0 0) (0 )

Así que( ( + ) ) (0 0) (0 )

( + ) (0 0)

(

)



9.6. CONTINUIDAD 577

Figura 9.1:

(( + 0 + 0))

(

)

Tomemos = + 0 = + 0 y notando que

hemos terminado la demostración.

Ejercicio 414 . Demuestre que si () es un polinomio tal que () entonces es localmente menor que alrededor de

Teorema 161 . Si () es un polinomio que tal que () entonces es localmente (menor que y mayor que ), alrededor de .

Demostración. Por el ejercicio anterior es localmente menor que alrededor de , así que existen 0 0 tales que ((0 0)) ( )

Por el teorema anterior, es localmente mayor que alrededor de, es decir que existen 00 00 tales que ((00 00)) ( )

Tomemos (000 000) = (0 0) (00 00) y entonces en ((000 000)) ( )




El teorema anterior se puede expresar así: Si () es un polinomio tal que ()

( ) entonces () está localmente contenido en ( ) alrededor

de Lo anterior se puede expresar así:

() ( ) ( ) tal que ( ) y ( ) 1 ( )

Esta propiedad es la propiedad de que es continua en Así que si quisiéramosutilizar este concepto, diríamos que lo que se demostró arriba es que cualquierfunción polinomial es continua en cualquier punto, o más brevemente:

Toda función polinomial es continua.

9.7 Valores intermedios

Teorema 162 . Los valores de una función polinomial están acotados por arriba en un intervalo cerrado [ ]

Demostración. Supongamos que Haremos uso del principio del supremo.Si una función polinomial () no estuviera acotada por arriba en [ ],

entonces

B = { [ ] | no está acotada por arriba en [ ]} 6=

pues B . Por otra parte B y es claro que es una cota inferior paraB .

Como B es un conjunto no vacío acotado por abajo, tiene que tenerun ínfimo = inf (B )

Consideremos () y un valor () Entonces es localmente menorque alrededor de Tomemos tales que (( )) ( ) Como es la mayor de las cotas inferiores para B y , entonces B por lo que está acotada por arriba en

[ ]



9.7. VALORES INTERMEDIOS 579

Figura 9.2:

Como está acotada por arriba en [ ] y también en ( ) entonces está acotado por arriba en [ ] así, es claro que es una cota inferior

para B , con

Esta contradicción muestra que B es vacío, es decir que [ ] está acotada por arriba en [ ]

En particular está acotada por arriba en [ ].

Ejercicio 415 . Demuestre que los valores de una función polinomial están acotados por debajo.

Ejercicio 416 . Demuestre que si un polinomio esta acotado en [ ] con , entonces está acotada en [ ] si .

Una vez que sabemos que un polinomio está acotado en un intervalocerrado, podemos demostrar que asume su valor máximo en un intervalocerrado.




Figura 9.3:

Teorema 163 . Una función polinomial () asume su máximo en un intervalo cerrado.

Demostración. Supongamos que R Ya sabemos que ([ ])está acotado por arriba, como además es un conjunto no vacío de reales,entonces tiene un supremo que supondremos distinto de () y de () (porque en caso contrario no habría nada que demostrar).

ConsideremosB = { [ ] | = sup {( () | [ ])}}

Como sup {( () | [ ])} = tenemos que B . Por otra parte, B , pues () Es claro que es una cota inferior para B

Podemos considerar

= inf (B

[ ])



9.7. VALORES INTERMEDIOS 581

Demostraremos que ( ) = Si ( ) escojamos un número

( ( ) ), entonces es lo-

calmente menor que alrededor de entonces existen [ ] talesque

y ( ) ( ) Como 6 entonces B por lo que { () | [ ]} =: es

menor que Entonces es una cota superior para en [ ] y es una cota

superior para en ( ) por lo tanto max { } es una cota superior

para en [ ] Por lo tanto B y ningún elemento de [ ] pertenecea B . Esto significa que es una cota inferior para B

, pues era lamayor de la cotas inferiores para B .

Por lo tanto ( ) , pero ( ) no puede ser mayor que , por ladefinición de

Por lo tanto ( ) =

Ejercicio 417 . Haga un esquema para ilustrar la demostración del teorema anterior.

Ejercicio 418 . Demuestre que un polinomio asume su ínfimo en un inter-valo cerrado.

Ejercicio 419 . Dé un ejemplo de un polinomio que no asuma su máximoen un intervalo abierto.

Teorema 164 . Un polinomio () : R R tiene la siguiente propieda d:

R ([ ]) = [ ]

para algunos elementos R

El teorema anterior dice sencillamente que un polinomio manda un inter-valo cerrado en un intervalo cerrado. Este teorema, a pesar de su aparentesencillez, tiene consecuencias interesantes.

Demostración. Es claro que

= sup { () |

[ ]}




y que = inf { () |

[ ]}

Que son valores asumidos por en el intervalo [ ].Resta ver que cualquier valor intermedio también es asumido por

Dicho de otra manera, queremos demostrar que

[ ] |[] [ ]

es suprayectiva.Sea ( ) y consideremos B = { [ ] | () }

Es claro que si () = entonces B Tomemos = sup (B ) Si ( ) tomemos tal que ( ) sería localmentemenor que alrededor de .

Entonces existen y [ ] tales que y (( )) ( ) Pero entonces ( ) con pero por definición, es cota superior

para los elementos de B , por lo que

Por lo tanto ( ) Si ( ) entonces sería localmente mayor que alrededor de

Entonces existen y en [ ] tales que ( ) y (( )) ( )

veamos que también es cota superior para B : de no ser así, B tal que . Por definición de tendríamos que así que

pero entonces ( ) porque B , pero ( ) porque [ ] .

Esta contradicción muestra que es cota inferior para B . Como = sup (B )

tenemos que . Esta contradicción demuestra que ( ) =

Corolario 28 . Sea () un polinomio, si y (), () tienen signos contrarios, entonces tiene una raíz en [ ]

Ejercicio 420 . Demuestre el Corolario anterior.

9.8 Derivadas

Usaremos la palabra “polinomio”, en el sentido de función polinomial de Ra

R.



9.8. DERIVADAS 583

Definición 162 . Definimos

R [] R []

mediante:

1. es aditiva, es decir que ( + ) = ( ) + ()

2. ( · ) = · 1 R N \ {0}

3. ( b) = b0 donde b denota el polinomio constante .

Usaremos también la notación 0 = ( )

Ejemplo 201 . (3 + 2 + 5 + 2)0

= 32 + 2 + 5

Ejercicio 421 . Demuestre que si R y () es un polinomio entonces ( · ) = · ( )

Observación 143 . Para un polinomio se tiene que ()0

= + 0

Demostración. :Digamos que

= + · · · + 1 + 0 (9.1)

entonces = +1 + · · · + 12 + 0

así, ()0 = ( + 1) + · · · +2 1 + 0 (9.2)

Por otra parte, 0 = 1 + · · · + 0así que

0 = + · · · + (9.3)

sumando las ecuaciones 9.1 y 9.3 obtenemos 9.2

Teorema 165 . Si son polinomios entonces ()0 = 0 + 0




Demostración. Si es el polinomio cero, 0, es claro que ambas expre-siones dan b0

Supongamos pues, que tiene grado y hagamos la demostración porinducción sobre el grado de

Base.Si ( ) = 0 entonces = b, por lo que = así que

()0 = (0) = 0 + b0 = 0 + 0 = 0 + 0

Paso inductivo.Supongamos que ( ) 0 y haciendo la división

0

podemos escribir = + b0

donde ( ) = ( ) 1Por lo que = + 0 y entonces

( )0 =

= ( ())0 + (0)0 =

= z }| { hipótesis de i.

()0 + 0 () + 00

Por la observación precedente,

()0 = + 0

Así que

( )0 = ()0 + 0 () + 00 =

= ( + 0) + 0 () + 00 =

= 0 ( + 0) + ( + 0) =

= 0 + 0

La última igualdad se dá porque 0 = ( + 0)0 = ()0 = + 0 usandonuevamente la observación precedente.



9.8. DERIVADAS 585

Teorema 166 . Para un polinomio y un R se tiene que

( ( + )) = ( ( )) ( + )

Demostración. Si es el polinomio b0, la afirmación es evidente.Supongamos que 6= b0, haremos la demostración por inducción sobre el

grado de Base.Si el grado de es cero, entonces se obtiene b0 en ambos lados de la

ecuaciónPaso inductivo.

Si ( ) 0 escribamos = + donde ( ) ( ) Entonces ( + ) = ( + ) ( + ) + por lo que

( ( + )) = ( + ) ( ( + )) + ( + ) =

= z }| { hip. de induc.

( + ) ( ( )) ( + ) + ( + )

Por otra parte,

( ) ( + ) = ( + ) ( + ) =

= ( + ) ( ) ( + ) + ( + )

Ejemplo 202 . (23 + 42 + 5 + 1) ( 1) = 23 22 + 3 2(Note que el polinomio de la izquierda se evalúa en 1 no se confunda con un producto).

Por lo que

¡¡23 + 42 + 5 + 1¢ ( 1)¢ ==

¡23 22 + 3 2

¢ =

= 62 4 + 3

Por otra parte (23 + 42 + 5 + 1) = 62 + 8 + 5 y ¡62 + 8 + 5

¢( 1) =

= 6 ( 1)2 + 8 ( 1) + 5 =

= 62

4 + 3




Definición 163 . Diremos que tiene un máximo local en si existe ( ) que contenga a y tal que ()

() para cada

( ).

Teorema 167 . Si tiene un máximo local en , entonces 0 () = 0

Demostración. Mediante el algoritmo de la división escribamos

() = ( ) () + ()

Supongamos que ( ) y que () es el valor máximo de () en ( ) Si

( ) entonces ()

() por lo que (

) ()

() con

( ) 0 Por lo tanto

() 0 en ( )

En cambio, para ( ) tenemos que ( ) () 0 con ( ) 0,por lo que

() 0 en ( )

Vemos pues que () cruza el eje al pasar por . Si () 0

entonces sería localmente mayor que 0 alrededor de , así que no cruzaríael eje Por lo tanto () 0 y de nuevo, no puede ser menor que 0 Porlo tanto

() = 0

Ahora,

0 () = (( ) () + ())0 () =

= ( () + (

) 0 ()) () =

= () + ( ) 0 () = 0

Ejercicio 422 . Demuestre que si tiene un mínimo local en , entonces 0 () = 0

Teorema 168 . Si () = () para , entonces ( ) tal que 0 ( ) = 0



9.8. DERIVADAS 587

Demostración. Si es constante en [ ], entonces () = [ () ( () () tiene una infinidad de raíces). Entonces su derivada es 0

Si no es constante, entonces o bien el máximo de en [ ] es mayorque () o bien el mínimo de en [ ] es menor que () Supongamosque se dá el primer caso (si no fuera así sustituyamos por para seguir elargumento). Digamos que este valor máximo ocurre en es claro que ( )es un máximo local de Por el teorema anterior, 0 ( ) = 0.

Ejercicio 423 . Muestre que si un polinomio tiene una infinidad de raíces entonces es el polinomio 0 (Use el Teorema Fundamental de Álgebra).

Teorema 169 . Sea () un polinomio tal que (0) = 0 y sea R+

entonces existe (0 ) tal que

0 () = ()

Demostración. Si () también es 0, usando el teorema anterior ten-

emos que (0 ) tal que 0 () = 0 = 0

.

Supongamos entonces que () 6= 0 y supongamos además que ()

0 (en caso contrario, podríamos seguir argumentando con ).Tomemos ahora el polinomio

() = () ()

este polinomio vale 0 tanto en 0 como en así que por el teorema anterior (0 ) tal que

0 () = 0

Es decir que0 () ()

= 0

Teorema 170 (del valor medio) . Sean R y () un polinomio,entonces existe ( ) tal que

0 () = () ()




Figura 9.4:



9.8. DERIVADAS 589

Figura 9.5:

Demostración. Consideremos el polinomio

() = ( + ) ()

este polinomio tiene la propiedad de que (0) = 0 así que aplicando elteorema anterior, tenemos que existe (0 ) tal que

0 () = ( )

Pero entonces 0 ( + ) = ( )

=

() ()

Hagamos = ( + ) y notemos que

+

Teorema 171 . Sea un polinomio tal que (0) = 0 si 0 (0) 0 entonces es creciente en un intervalo abierto alrededor de 0




Demostración. El polinomio 0 es localmente mayor que 0 alrededorde 0 Sean 0 tales que 0 () 0 en ( ) El teorema anterior nos

permite asegurar que si entonces

() () = 0 () ( ) 0 para alguna ( )

Entonces () () es decir, es creciente en ( )

Teorema 172 . Sea un polinomio tal que 0 () 0 entonces es cre-ciente en un intervalo abierto alrededor de

Demostración. Consideremos el polinomio () = ( + )

() entonces (0) = 0 y 0 (0) = 0 (0 + ) = 0 (), por lo que podemos aplicarel teorema anterior para concluir que es creciente en un intervalo abiertoque contiene a 0 Esto es lo mismo que decir que es creciente en un intervaloabierto que contiene a

Ejercicio 424 . Sea un polinomio tal que 0 () 0 entonces es decre-ciente en un intervalo abierto alrededor de

Ejercicio 425 . Demuestre que son equivalentes:

1. () = ( + ) (), es creciente en un intervalo abierto que con-tiene a 0

2. es creciente en un intervalo abierto que contiene a

Teorema 173 . Si el polinomio es tal que 0 (0) = 0 y 00 (0) 0 entonces tiene un máximo local en 0

Demostración. (Bosquejo, se deja al lector como ejercicio escribir losdetalles). 00 (0) 0 implica que 0 () es decreciente en un intervalo abiertoalrededor de 0 ( ) digamos. Por lo tanto 0 () es positiva en ( 0) ynegativa en (0 ) Por lo tanto crece en ( 0) y decrece en (0 ) entonces (0) es un máximo local.

Ejercicio 426 . Escribir los detalles en la demostración anterior.

Ejercicio 427 . Demostrar que si el polinomio es tal que 0 (0) = 0 y 00 (0) 0 entonces tiene un mínimo local en 0



9.9. DERIVADAS Y MULTIPLICIDAD 591

9.9 Derivadas y multiplicidad

1. Se dice que es una raíz de multiplicidad ( N) del polinomio () si ( ) | () pero ( )+1 - ()

2. Se dice que es una raíz múltiple de si la multiplicidad de es 1.

3. Se dice que una raíz es simple si su multiplicidad es 1

Ejemplo 203 . La multiplicidad de 3 como raíz de ( 3)2 ( 1) es 2, la multiplicidad de 1 es 1.

Teorema 174 . es una raíz múltiple de () ( ) | ( ; 0)

Demostración. )Supongamos que es una raíz múltiple de (), con multiplicidad

Entonces podemos escribir

() = ( ) ()

con () 6= 0 (que es lo mismo que decir que ( ) - ()).

Entonces por el teorema 165, tenemos que 0 () = (( ))

0 () + ( ) 0 ()

Por otra parte, por el teorema 166, tenemos que (( ))0

= ()0 ( ) =(1) ( ) = ( )1

Por lo tanto

0 () = ( )1 () + ( ) 0 () =

= (

)1 ( () + (

) 0 ())

Así tenemos que la multiplicidad de como raíz de 0 es 1 Note que( ) - ( () + ( ) 0 ()) pues

() + ( ) 0 () = () 6= 0

Entonces( ) | ( )1 | ( ; 0)

)




Supongamos que ( ) | ( ; 0) entonces es raíz de y de 0 Escri-bamos () = (

) () donde () 6= 0

Como arriba,

0 () = ( )1 ( () + ( ) 0 ())

Por hipótesis,

0 = 0 () = ( )1 ( () + ( ) 0 ())

por lo que 1 (si = 1 entonces 0 () = () 6= 0).

Observación 144 . ( ; 0)

tiene las mismas raíces que pero no tiene

raíces múltiples.

Demostración. Como hemos visto en la demostración del teorema 174,si la multiplicidad de como raíz de es entonces su multiplicidad comoraíz de 0 () es 1. Por lo tanto la multiplicidad de como raíz de ( ; 0)es 1 Como

( ; 0) = (

)1 () | () = (

) ()

con () 6= 0 6= () entonces

() | ( ) ()

por lo que () | ()

( es irreducible y - () por lo que ( () ; ( )) = 1).Entonces

()( ; 0)

= ( ) () ()

Pero ademásµ

()

()

¶() 6= 0 pues en caso contrario, () = 0 (

()

() |

() por lo que las raíces de ()

() son raíces de ()).

Por lo tanto si es una raíz de entonces raíz de ()

( ; 0) de multiplicidad

1



9.9. DERIVADAS Y MULTIPLICIDAD 593

Por otra parte, debemos notar que como ()

( ; 0) divide a () entonces

todas las raíces de ()( ; 0)

son raíces de

Ejercicio 428 vSi es una raíz de () de multiplicidad y es también una raíz de () de multiplicidad demuestre que es una raíz de multiplicidad min { } de ( ; ).

Ejercicio 429 . Encuentre la multiplicidad de 3 como raíz de () = 4 83 + 182 27 encontrando la multiplicidad de 3 como raíz de ( ; 0).

Ejercicio 430 . Considere () = ( 1)1 · · · · · ( ) como

()

( ; 0) = ( 1) · · · · · ( )

demuestre que 0 () = ( 1)11 · · · · · ( )1 (), para alguna R y () es un polinomio mónico de grado 1 que no tiene ninguna raíz en común con Encuentre estimando el coeficiente principal de ()

Ejercicio 431 . Compruebe lo afirmado en el ejercicio anterior, con el polinomio

( 1)3 · ( 2) · ( 3)3

La observación 144 nos permite, al estimar las raíces de un polinomio,suponer que las raíces son simples. En particular, se puede suponer que( ; 0) = 1

Lema 33 . Si () es un polinomio de grado mayor que 0 y de coeficiente principal positivo, entonces dada existe tal que

()

si ( )

Demostración. Por inducción sobre ( ).Base.Si ( ) = 1, entonces () = + con 0. Es claro que

+




Se puede tomar = en este caso.

Paso inductivo.

Supongamos que

() = + 11 + · · · + 1 + 0

con 1

() + 11 + · · · + 1 0

¡

1

+ 1

1

+ · · · + 1¢ 0

Por hipótesis de Inducción 1 tal que

1 + 11 + · · · + 1 1 si ( 1 )

y 0 si | 0| Tomemos = max { 1 | 0|} y es claro que

() si

Ejemplo 204 . Consideremos 22 + 5 3 queremos encontrar tal que 22 + 5 3 10 si 22 + 5 3 10 22 + 5 13 (2 + 5) 132 +5 1 2 4 2 Como max {2 13} = 13 podemos tomar = 13También podemos proceder resolviendo 1 y (2 + 5) 13 :

(2 + 5) 13 2 8 4

Lo que nos permite tomar = 4

9.10 El teorema de Sturm

Consideremos un polinomio () R [] sin raíces múltiples y con raícesordenadas por tamaño

1

2 · · ·



9.10. EL TEOREMA DE STURM 595

Supongamos por simplificar, que el coeficiente principal de () es positivo.Notemos que por la hipótesis de que no hay raíces múltiples entonces

( ; 0) no tiene raíces así que debe ser 1).Recordemos que al aplicar el algoritmo de Euclides, en la división

() 0 () ()

()

se tiene que ( ; 0) = ( 0 ) por lo que tampoco 0 y tienen raíces comunes.Notemos ahora que

() = + 11 + · · · + 1 + 0

es creciente en ( ) :

Tenemos que () = 0 y que es la mayor raíz de Como y 0 () no comparten raíces, entonces 0 (

) 6= 0 Si 0 (

) 0, entonces




Figura 9.6:

sería decreciente en , por lo que tendría valores negativos a la derechade y como es la raíz mayor de , entonces () 0 ( ) contradiciendo el Lema 33.

Por lo tanto 0 () 0 y así 0 () sería localmente positiva alrededorde Así que existen tales que 1 y tales que 0 () 0 para ( ) Esto significa que es creciente en ( ) por loque es negativa en (

) y positiva en (

)




Consideremos la siguiente tabla

0 +

0 + + +no. de cambios de signo 1 0

Imagínese que no conocemos el valor de pero que conocemos .Tomemos ¿está a la izquierda o a la derecha de ? La respuesta

depende de si hay cambio de signo o nó en ( ()) ( 0 ()) (Claro quebasta observar ( ()) pero por favor, siga el argumento.

¿Podemos usar el argumento del cambio de signo para valores a la izquier-da de o a la derecha de ?

Supongamos que es la mayor raíz de 0 () y, para fijar ideas, supon-gamos que supongamos que es un mínimo de () (ver figuraanterior). A la izquierda de hay valores para los que 0 () sería menor que0 y a la derecha de hay valores con 0 () mayor que 0 así que repitiendola tabla

tal que y

tal que y

+ + + 0 0 +

no. de cambios de signo 1 0

Observando la columna de la izquierda notamos que la raíz “nos ha metidoruido”.

Para que el valor de la derivada no altere la cuenta de los cambios designo antes y después de la raíz agreguemos un renglón más a la tabla,consideremos un renglón para

1 () donde

1 0

1

¿Por qué funciona esto? Note que = 1 0 + 1 así que en una raíz de 0, y 1 tienen el mismo signo (recuerde que y 0 no tienen raíces en común).Por lo tanto, en una raíz de 0, y 1 tiene signos contrarios así que y

1 tienen signos contrarios localmente alrededor de las raíces de 0 y la




tabla anterior se convierte en

tal que y tal que + + + 0 0 +

1 cambios de signo 1 1 1

Como se vé, el número de cambios es 1 independientemente de la ubicaciónrespecto a la raíz de 0

¿Que pasa a la izquierda de ?

0 +

0 + + +1 ? ?

no. de cambios de signo 1 ó 2 0 ó 1

Ahora hay una ambigüedad producida por el comportamiento de 1 (1 puedecambiar de signo), para eliminar el efecto de las raíces de 1 agreguemos unrenglón más a la tabla, incluyendo el signo de 2, donde

21 0

2

La introducción de este nuevo renglón a la tabla elimina el efecto de las raícesde 1 pero introduce el efecto producido por las raíces de 2. Para eliminarlo,introducimos el renglón correspondiente al signo de 3, donde

3

2

13

¿Por qué 3 y no 3?Pues porque en la tabla tomamos 2 así que si

1 = 32 + 3

entonces 1 = 3 (2) 3 así que en una raíz de 2 1 y 3 tienen elmismo signo, y tomamos 3 para que tenga signo contrario que 1 en unaraíz de

2




Notemos que este proceso de agregar renglones a la tabla termina, pues

( ) ( 0) (1) · · ·

termina (de la misma manera que termina el Algoritmo de Euclides).

Definición 164 . Sea () un polinomio distinto de 0 sin raíces múltiples sean

0 1 2 · · · ( ; 0)

los polinomios que se obtienen aplicando el algoritmo de Euclides. Para Rdefinamos la sucesión

() 0 () 1 () 2 () 3 () 4 () 5 () 6 () · · ·

Note la colocación de los signos

+ + + + · · ·

Definamos ahora () =: número de cambio de signo en la sucesión (tome () = + si 0 () = si 0 ignórense los ceros).

La demostración del siguiente teorema es la formalización de los párrafosprecedentes.

Teorema 175 (de Sturm). Sea () un polinomio no nulo sin raíces múlti-ples tomemos como se definió arriba. Si entonces el número de raíces de en ( ) es () ()

Demostración. Numeremos las raíces de

1 2 · · ·

Basta demostrar que () = ( ) + 1 si ¡1

¢ y ¡ +1

¢.

Como () = 0 entonces 0 () 6= 0 así que () cambia de signoal transponer

1) Supongamos que no hay raíces de 0 1 2 3 ( 0) enel intervalo

¡1 +1

¢

Entonces las funciones 0 1 2 3 ( 0) no cambiarían de signo en elintervalo ¡

1

+1¢ así que las sucesiones




( ())( 0 ())(1 ()) (2 ()) (3 ()) ¡1 ¢y

( ())( 0 ())( 1 ()) (2 ()) (3 ()) ¡ +1

¢coinciden, excepto por los primeros elementos que son opuestos.

1a) Si ( ()) = + en ¡1

¢ es porque decrece para tomar

el valor 0 en entonces ( 0 ()) = así que la sucesión de signos en

¡

1 ¢ es

+ (1 ()) · · ·

y en ¡

+1

¢ es

(1 ()) · · ·

Así que () = () + 1 si ¡1

¢y ¡ +1

¢1b) Si ( ()) = en ¡1

¢ es porque crece para tomar el

valor 0 en entonces ( 0 ()) = + así que la sucesión de los signos en

¡1

¢ es

+ (

1 ()) · · ·

y en ¡ +1¢ es

+ + (1 ()) · · ·

De nuevo note que () decrece en 1 al transponer de izquierda a derecha.2) Veamos que el valor de () en

¡1 +1

¢\ {} no se altera

por la presencia de raíces de 0 1 2 · · · en ¡

1 +1

¢ Supongamos que

¡1 +1

¢\ {} es raíz de algunas de las funciones 0 1 2 . no

puede ser raíz de dos funciones consecutivas en la lista 0 1 2 · · ·(porque no tiene raíces múltiples). Lo que significa que al evaluar en

un 0 de la sucesión resultante está flanqueado por dos elementos de signocontrario. Esto se debe a que

+2

+1

+2

y a que a +2 se le antepone el signo contrario que el que se le antepone a, así que = +2+1 (+2) por lo que si +1 se anula en , entonces

y

+2 tienen signos opuestos.




Entonces se tendría una sucesión de la forma

· · · + 0 · · · 0 + · · · (9.4)

Si es tal que en ( ) no hay raíces de ninguna de las funciones,entonces para ( ) tendremos la misma sucesión 9.4, excepto porque los0 serían sustituídos por + ó por . Note que ninguna de estas posibilidadesaltera la cuenta de los cambios de signo, pues si originalmente teníamos uncambio en

+ 0

y el 0 se sustituye por + tendremos

+ +

(otra vez un cambio), y si 0 se cambia por tendremos

+

de nuevo un cambio.Como vemos, la presencia de raíces de las funciones auxiliares 0 1 · · ·

no altera el valor de () Simplemente se pueden ignorar los 0.El resultado se sigue ahora del hecho de que los valores de dismi-

nuyen en 1 al transponer una raíz de izquierda a derecha.

Ejemplo 205 . Usaremos el teorema de Sturm para ubicar las raíces de 3 + 52 + + 6 :

(6 + + 52 + 3) = 1 + 10 + 32

3

44 587

1936

1

3 +

5

944 + 49 32 + 10 + 1 3 + 52 + + 630699

1936 10

3 2 1

3

5

32 +

2

3 + 6

44

9 +

49

9




Entonces y 0 son primos relativos, la sucesión de polinomios auxiliares para calcular es (excepto por factores positivos):

() = 3 + 52 + + 6

1 () = 32 + 10 + 1

1 () = 44 49

1

Hagamos una tabla

0

+ = (6) + = (1) 0 + = (1) + = (3)

1 = 44 49 = (49) + = (44)2 = 1 = (1) = (1)cambios 1 1

3Lo que dice que no tiene raíces positivas. Agrandando la tabla a

0 + = (6) + = (1) 0 + + = (1) + = (3)

1 = 44 49 = (49) + = (44)2 = 1 = (2) = (1)cambios 2 1 1

de la nueva columnavemos que hay una raíz, y que esta es negativa.Agreguemos más columnas:

2

1 0

16 9 6 1 0 + 7 6 1 3

1 = 44 49 137 93 49 + = (44)2 = 1 1 1 = (1) 2 1 1 1 1

3Desde luego el símbolo de en la tabla no es un valor en el se evalúa el polinomio,corresponde al comportamiento eventual del polinomio y al signo del coeficiente principal,como sabemos si es positivo el coeficiente principal de un polinomio de grado mayor que0 el polinomio eventualmente será positivo (

tal que [( )

( () 0)])




de donde vemos que la raíz negativa es menor que 2Otros valores:

10 5 0 504 1 6 0 + 201 26 1

1 = 44 49 391 269 492 = 1 1 1 1cambios 2 2 1 1

de lo anterior, se vé que la raíz negativa está en (10 5).

Ejemplo 206 . Acorralemos la raíz negativa en el ejemplo anterior,

() =: () = 3 + 52 + 6

0 () = 32 + 10 1

1 () = 44 + 49

2 () = 1

Como (5) = 1 y (6) =

36 hay una raíz entre 5 y 6 Podemos proseguir,

usando el Método de Horner.Se puede trasladar los polinomios para que la raíz esté en (0 1) para simplificar las estimaciones de los signos: () = 3 + 52 + 6 = ( 5)

1 5 1 6 +55 0 5

1 0 1 1

5

25

1 5 265

1 10

Entonces ( + 5) = 3 102 26 + 1 = () Evalúemos:

1 10 26 1 00 0 0

1 10 27 1

1 10 26 1 11 11 37

1 11 37 36




1 10 26 1 5

05

5 5

15 75

1 105 31 5 14 75

1 10 26 1 2

02

2 04

5 68

1 102 284 4 68

1 10 26 1 101 101 2701

1 101 2701 1701

1 10 26 1 05005 5025 1 3252

1 1005 26503 3252

1

10

26 1 03

003 3009 789 031 1003 26 301 21097

1 10 26 1 04004 4016 1 0561

1 1004 26402 0561

La raíz es 5.03 · · · .

Corolario 29 . Sea () un polinomio sin raíces múltiples y sean

0 1 2 3 4 · · ·

los polinomios que se usan para definir la función El número de raíces del polinomio es () () 1. () es el número de cambios de signo en los coeficientes principales de

0 1 2 3 4 · · ·

2. () es el número de cambios de signo en los coeficientes principales de

() 0 () 1 () 2 () 3 () 4 () · · · 3. (0) (si 0 no es raíz de ) es el número de cambios de signo en los términos independientes de

0 1 2 3 4 · · ·

que se obtiene con los signos, el número de raíces positivas, el número de raíces negativas.4. (0) () es el número de raíces positivas.5. (

)

(0) es el número de raíces negativas.



9.11. REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES 605

Ejercicio 432 . Use el teorema de Sturm para determinar el número de raíces del polinomio

4 + 122 + 5 9

9.11 Regla de los signos de Descartes

Definición 165 . Sea () un polinomio de grado , consideremos la sucesión

0 00 · · · ()

En el punto

R definimos () como el número de cambios de signo en la sucesión

() 0 () 00 () · · · () ()

Se ignoran los ceros que puedan aparecer.

Lema 34 . Sea () un polinomio de grado y R, que no son raíces de . Entonces

1. el número de raíces de en ( ) es 2

()

() además

2. el número de raíces de en ( ) es () ().

Lema 35 Una raíz de multiplicidad cuenta como raíces.

Demostración. Inducción sobre ( ) Base.

Si = entonces () = 0 por lo que número de raíces de

en ( ) es 0

0 = 0

2

0

Si = + entonces 0 () = + 0 supongamos que 0, entonces

Por lo tanto ( + ) 0 si

Por lo tanto

() = 1 si

() = 0 si




De aquí se sigue la afirmación.Si 0 entonces + 0

() = 0 si

() = 1 si

Paso inductivoSupongamos que ( ) 1Consideremos una raíz de Tomemos un intervalo abierto ( ) tal

que la única raíz de y de 0 que contiene sea

Consideremos los dos casos: ( 0

) () 6= 0 Entonces 0

no tiene raícesen ( ), así que permanece con el mismo signo en ( ). Por lo tanto, essiempre creciente o siempre decreciente en ( ) En cualquier caso, cambiade signo al transponer de izquierda a derecha supongamos que

( ) ( ) () + 0 0 ()

número decambios

1 0

Como 0 no tiene raíces en ( ) podemos aplicar hipótesis de inducción a 0 para concluir que 0 tiene la misma paridad en ( ) Además podemossuponer que 0 ( ) 0 ( ) Por lo que podemos concluir de la tablade arriba, que cambia de paridad al transponer en sentido creciente yque además

( ) ( )

Así que ( ) ( ) 2 1 que es la multiplicidad de como raíz de

al no ser raíz de 0

Supongamos ahora que 0 () = 0Consideremos dos posibilidades: cambia de signo al cruzar en sentido

creciente y el otro caso, que es que no cambie de signo. Consideremos amboscasos en las dos tablas siguientes;

( ) ( ) () 0 + 0 () + 0 +

número de

cambios

1 0

( ) ( ) () 0 0 () + 0

número de

cambios

1 0




Aplicando hipótesis de Inducción a 0 concluímos que

0 () 0 () 2 multiplicidad de , como raíz de 0

si ( ) ( ) y

0 () 0 () 0

Por lo tanto, de

() = 0 () + 1 para ( )

() = 0 () para ( )

tenemos que

Si ( ) ( ) entonces

() () = ( 0 () + 1) 0 () 2

2 (multiplicidad de , como raíz de 0) + 1

= (multiplicidad de , como raíz de )

Además, () () = ( 0 () + 1) 0 () 1

Hemos demostrado que al transponer una raíz de , la paridad

decrece en un número 2 (multiplicidad de )

Corolario 30 (Regla de los signos de Descartes).

1. El número de raíces positivas de un polinomio () y tal que (0) 6= 0

es 2 (0) = número de cambios de signo en la sucesión de términosindependientes de 0 00 · · · Además, el número de raíces positivas de un polinomio () y tal que (0) 6= 0 es mayor o igual que

(0) =

número de cambios de signoen la sucesión de términos

independientes de 0 00 · · ·

=número de cambios de signo

en los coeficientes de 0 00 · · ·




2. El número de raíces negativas de un polinomio () y tal que (0) 6= 0

es 2

(

)

(0) donde (

) es el número de cambios designo en la sucesión de los coeficientes principales de

(1) ¡11

¢ 0¡12

¢ 00 · · ·

Es lo mismo que el número de cambios de signo en

+ + · · ·

| {z } +1 símbolos

es decir

3. El número de raíces de un polinomio () es 2 () = ( )

Demostración. Todo lo que hay que notar es que si

() = +

11 + · · · + 1 + 0

entonces

0 () = 1 +¡

1¢

11 + · · · + 1

Así que eventualmente (para todos los valores mayores que una cierta R) tendrá el mismo signo que 0 () tendrá el mismo signo que etc.Eventualmente () = 0 y esto se expresa simbólicamente como () =0

Claramente la sucesión

(0) 0 (0) ( 00 (0)) · · ·

es

0 1 2 · · ·

Por último para los valores menores que para alguna suficien-temente pequeña, () tendrá el mismo signo que (1) () 0 ()tendrá el mismo signo que (

1)1 (

) etc.




Ejemplo 207 . 3 72 7 (

) = 0 (0) = 1 (

) = 3 entonces

número de raíces negativas

2 2 2 0

número de raíces positivas

2 1

número de raíces

2 3 2 1

posibilidades:

0 negativa y 1 positivas,2 negativas, 1 positivas,0 negativa, 3 positivas.

Con el teorema de Sturm, decidimos la cuestión:

3 72 732 14

989 + 7

1Entonces

() = 1 (0) = 2

() = 2

Es decir, 3 72 7 tiene una sola raíz, que es positiva.

Ejemplo 208 . ( 2)2 ( 1) (2 + + 1) = 5 44 + 43 2 + 44

Número de raíces positivas:

2

5Número de raíces negativas:

2 5 5 2 0

Ejemplo 209 . ( + 2)2 ( 1) (2 + + 1) = 5 + 44 + 43 2 44

Número de raíces positivas: 2 1

Número de raíces negativas: 2 5 1

2 4

Corolario 31 . Si () es un polinomio, entonces el número de raíces de es congruente con ( ) módulo 2.




Ejercicio 433 . Encuentre las raíces de 3 + 62 24 + 160, que tiene 2

2

3 como raíz.

Ejercicio 434 . Encuentre las raíces de 3 + (1 2) 2 (1 + 2) 1,que tiene una raíz doble.

Ejercicio 435 . Encuentre las raíces de 5 34 + 42 4 4 que tiene 1 + como raíz doble.

Ejercicio 436 . Encuentre las raíces de 3 2 9 + 9, que tiene una raíz que es el inverso aditivo de otra.

Ejercicio 437 . Encuentre las raíces de 3 + 22 2, si una raíz es el doble de la otra.

Ejercicio 438 . Encuentre las raíces de 33522+10730, si el productode dos de sus raíces es 5

9.12 Raíces racionales

Supongamos que () = + 11 + · · · + 1 + 0 es un polinomiocon coeficientes racionales, es decir que

=

Z Z \ {0} para {0 · · · }

Multipliquemos por [0; 1; · · · ; ] y hagamos

= [0; 1; · · · ; ]

notemos ahora que los coeficientes de son de la forma

[0; 1; · · · ; ] =

[0; 1; · · · ; ]

Z

Además es claro que () y () tienen las mismas raíces.Entonces tenemos que para encontrar las raíces de un polinomio con coe-

ficientes racionales, basta saber encontrar las raíces de polinomios con coefi-cientes enteros.




Corolario 32 . Si un polinomio con coeficientes enteros es mónico, en-tonces sus raíces racionales son enteras.

Demostración. Si

Z Z \ {0} es una raíz racional, el teoremaanterior nos dice que | 1.

Corolario 33 . Sean N, entonces

Q

Z

Demostración.

es solución de = es decir es raíz de Concluímos del Corolario anterior que si

es racional entonces es entero.

Ejemplos 2111. No hay un entero cuyo cuadrado sea 2 Obsérvese la sucesión de los

enteros cuadrados0 1 4 9 16

luego

2 no es racional.Por la misma razón,

3

5

6

7

8

10 · · · son irracionales.

2. Obsérvese la sucesión de los enteros que son cubos (de enteros) positivos

0 1 8 27 64 125 · · ·

entonces 3

2 3

3 3

4 3

60 3

100 son todos números irracionales.

9.13 Coeficientes y raíces

Sea () = + 11 + · · · + 1 + 0 un polinomio con raíces1 2 · · · entonces

( 1) ( 2) · · · ( ) | ()

debe ser claro de la coincidencia de los grados y de los coeficientes que

( 1) ( 2) · · · ( ) = ()

Es claro que el coeficiente de es

X{{12··· }|||=}

Y

( )

(9.6)



9.13. COEFICIENTES Y RAÍCES 613

En están los índices de los factores de donde se toma Por ejemplo, en

3 ( 1) ( 2) ( 4) ( 5) = ()

calculemos el coeficiente de grado 2 el número de subconjuntos {1 2 3 4}

con dos elementos esµ

4

2

¶ = 6 a saber:

{1 2} que contribuye con 3 (4 · 5)

{1 3} que contribuye con 3 (

2 ·

5)





Por lo tanto el coeficiente de 2 en 3 ( 1) ( 2) ( 4) ( 5) :es

µ 3 (

4 ·

5) + 3 (

2 ·

5) + 3 (

2 ·

4) + 3 (

1 ·

5) +

+3 (1 · 4) + 3 (1 · 2) ¶ = 147

Ejercicio 439 . Encuentre los coeficientes de y de 3 en el polinomio

3 ( 1) ( 2) ( 4) ( 5)

usando 9.6.

Ejercicio 440 . Muestre que 9.6 es correcta aunque haya raíces repetidas,

en particular compruebe que el coeficiente de

en ( )

es ¡

¢ ()

Ejercicio 441 . Encuentre el coeficiente de en ( ) ( ) 6=

De esta manera vemos que las raíces de un polinomio de grado de-terminan los coeficientes (salvo un factor constante, correspondiente al coe-ficiente principal).

Es muy natural el problema inverso ¿los coeficientes de un polinomio de-terminan las raíces? Desde luego, si los coeficientes determinan al polinomio,seguramente determinan sus raíces. Pero la pregunta debiera precisarse más.




Notemos que para obtener los coeficientes conociendo las raíces, las opera-ciones que hacemos son sumas, restas, productos, divisiones y potencias,

además solamente se efectúan un número finito de operaciones que ademáspuede expresarse en una fórmula tal como 9.6.

Con estas apreciaciones la pregunta que nos hacemos es ¿existe una fór-mula que involucre un número finito de operaciones de sumas, productos,restas, divisiones y extracción de raíces, que aplicada a los coeficientes de unpolinomio produzcan sus raíces?

Note que en el problema anterior es de crucial importancia la petición definitud.

Este problema fascinó a la humanidad. Es un hecho sorprendente queuna fórmula así existe para polinomios de grados 2 3 y 4 Pero que no hayuna fórmula que funcione para cualquier polinomio de grado para 5.

La fórmula para las raíces de un polinomio de grado 2 era conocida porlos babilonios:

2 + +

tiene las raíces

+

2 4

2

2 4

2

Las fórmulas para encontrar las raíces de los polinomios de grado 3 y 4 fueronencontradas hasta el Renacimiento italiano, por Scipio del Ferro, Tartaglia,Cardano, Ferrari.

Este hecho, fué verdaderamente un renacimiento para las Matemáticas,pues fue el primer descubrimiento importante desde la época de los griegosantiguos y de los árabes, quienes habían intentado la solución, obteniendosolamente resultados parciales, véase [44].

La no solubilidad del polinomio de grado 5 (y de los de grado mayor que5) fué descubierta hasta el siglo XIX por Runi, Abel y Galois.

Hay exposiciones sencillas sobre como encontrar las fórmulas para lasraíces de los polinomios de 3y 4 grado véanse [43], [2], aquí seguimos lade Anglin y Lambek.



9.14. POLINOMIOS DE TERCER GRADO 615

9.14 Polinomios de tercer grado

Tomemos el polinomio () = 3 + 2 + + con coeficientes en R Mediante una “traslación” podemos eliminar el coeficiente en 2 :

( ) = 3 + ( 3) 2 +¡2 + 32 +

¢ +

¡ + + 2 3¢

así que tomando tal que 3 = 0 es decir, tomando =

3 tenemos

³

3´ = 3 +

µ 1

32

¶ +

µ1

3 + +

2

273

¶

Que podemos escribir en la forma

() = 3 +

µ 1

32

¶ +

µ1

3 + +

2

273

¶

= 1

32 =

µ1

3 + +

2

273

¶

Basta pues, saber encontrar las raíces de polinomios de la forma4 de

4Por otro lado, cualquier polinomio () = 3 + + proviene de un polinomio dela forma de al eliminar el coeficiente de grado 2 mediante una traslación:

Si tomamos el sistema de ecuaciones

1

32 = µ

1

3 + +

2

273¶

=

1

32 = =

1

32 +

Sustituyendo = 13

2 + enµ1

3

µ1

32 +

¶ + +

2

273¶

=

obtenemos 1

273 1

3 + =

es decir que

= 1

273 +

1

3 +

Por lo tanto los valores de y de están determinados por los de , y , se toma comoun parámetro libre (para cada valor de se obtienen los de y de ).




Encontremos las raíces de

() = 3 + +

Hagamos = + entonces

( + ) = 3 + 32 + 3 2 + 3 + + + =

= 3 + 3 ( + ) + ( + ) + 3 + =

= 3 + 3 + (3 + ) ( + ) +

De la última ecuación, vemos que si 3 + = 0, es decir si hacemos

= 1

3

entonces la ecuación resulta muy sencilla:

( + ) =

µ1

3

¶3

+ 3 + = 1

27

3

3 + 3 + Multiplicando por 3

obtenemos: 6 + 3 1

273

que es una ecuación cuadrática en 3 de aquí que

3 = ±

r 2 +

4

273

2 =

±

r 4

4 2 +

4

273

2 =

= ± 2

r 2

4 +

3

272

=

2 ±

s 2

4 +

3

27

de aquí obtenemos de = 13

obtenemos y por último, = +

9.14.1 El discriminante y número de raíces reales

Llamaremos a 2

4 +

3

27 (o equivalentemente a 27 2 + 43), el discriminante

de () = 3 + + .Usaremos el teorema de Sturm, para ver que tiene que ver el discriminante

con el número de raíces reales.




Si aplicamos el algoritmo de Euclides a () y 0 () y colocamos lossignos como se indica en el teorema de Sturm, obtenemos los polinomios

3 + + 32 + 2

3 43 27 2

donde puede ser que no aparezca 43 27 2 si resulta cero.Los casos discriminados son los siguientes:

1. 27 2 + 43 0 y 0

3 + + +32 + + +

23

+43 27 2 + +

3 0

Tres raíces reales.

2. 27 2 + 43 0 y 0 entonces

3 + + - +

32 + + +2

3 + -

43 27 2 + +V 1 2.

No es posible.

3. 27 2

+ 43 0 y 0 entonces

3 + + +32 + + +

23

+ 43 27 2

2 1

Una raíz real.




4. Si 27 2 + 43 0 y 0 entonces

3 + + +32 + + +

23

+43 27 2

2 1

Una raíz real.

5. 27 2 + 43 = 0 6= 0

Como en este caso 23 + = ( () ; 0 ()) tenemos que la raíz de2

3 + , = 3

2

es una raíz de multiplicidad 2 la otra raíz la

obtenemos de ()µ

+ 3

2

¶2

6. = 0 = en este caso () = 3tiene 0 como raíz triple.

En resumen:

Proposición 40 . Sea () = 3 + + R [x] 6= 0, entonces

1. 27 2 + 43 0 () tiene 3 raíces reales.

2. 27 2 + 43 0 () tiene 1 raíz real (y dos complejas).

3. 27 2 + 43 = 0 () tiene una raíz doble (3

2

) y otra raíz real.

Ejemplo 212 . () = 3 + 32 2 5

-3 -2 -1 1

-4

-2

2

x

y

3

+ 32

2 5




( + ) = 3 + (3 + 3) 2 +

¡6 + 32 2

¢ 2 5 + 32 + 3

así que tomamos = 1

( 1) = 3 5 1

-3 -2 -1 1 2 3

-20

-10

10

x

y

3 5 1

El discriminante es 27 2 +43 = 27 (1)2 +4 (5)3 = 473 que es negativo,por lo que hay 3 raíces reales Hagamos () = 3 5 1 y hagamos = + entonces

( + ) = 3 + 32 + 3 2 + 3 5 5 1 =

=

3

+

3

+ (3 5) ( + ) 1Tomamos 3 5 = 0, así que = 5

3 sustituyendo:µ

5

3

¶3

+ 3 +

µ3

µ 5

3

¶ 5

¶µµ 5

3

¶+

¶ 1 =

= 125

27 3 + 3 1

Así que debemos resolver 6

3 +

125

27 = 0 de donde

3 =1 ±

r 1 4 125

272

Por lo tanto 3 = 12 ± 1

18

1419, una solución es:

= 1

6

3r ³108 + 12

1419´




entonces

= 53 1

63q¡

108 + 12

1419¢ = 10

3q¡

108 + 12

1419¢

por lo que

= 10

3

q¡108 + 12

1419

¢ + 1

63

r ³108 + 12

1419

´ =

= 1

660 +µ 3q¡108 + 12 1419¢¶

2

3

q¡108 + 12

1419

¢es una raíz de ( 1) de donde

1

6

60 +

µ 3

q¡108 + 12

1419

¢¶2

3q¡108 + 12

1419¢ 1

que es aproximadamente 13301 es una raíz de Teniendo esta raíz reduci-mos el polinomio a uno de grado 2

Ejemplo 213 . () = 3 7 7.El discriminante es 27 (7)2 + 4 (7)3 = 49, así que debe haber tres raíces reales.Hagamos = + , entonces

( + ) = 3 + 32 + 3 2 + 3 7 7 7 =

= 3 + 3 + (3 7) ( + ) 7

Hagamos = 73µ

7

3

¶3

+ 3 +

µ3

µ 7

3

¶ 7

¶µµ 7

3

¶+

¶ 7 =

= 343

27 3 + 3

7




Así que hay que resolver 6 7 3 + 343

27 , de donde

3 =7 ±

q49 4 343

27

2 =

7

2 ±

7

18

3

3 = 7

2 +

7

18

3, una solución es 16

3

q¡756 + 84

3¢

luego

= 7

3

1

6

3q¡756 + 84

3¢

luego

1

63

r ³756 + 84

3´

+ 7

3 16

3

q¡756 + 84

3¢ =

= 1

6

µ 3

q¡

756 + 84

3

¢¶2

+ 84

3q¡756 + 84 3¢este valor, aproximadamente 30489 es muy cercano a una raíz de (). Dehecho, (30489) es 00036218

Ejemplo 214 . Si 3 3 + 2 entonces 27 2 + 43 = 27 · 22 + 4 · (3)3 = 0,

-2 -1 1 2-1

1

2

3

4

x

y

3 3 + 2

y

3

2

=

3

2

2

3

= 1




es una raíz doble. La otra es la raíz de

3 3 + 2( 1)2 = + 2

es decir, la otra raíz es 2

Ejemplo 215 . () = 3 15 4 hagamos

= +

( + ) = 3 + 32 + 3 2 + 3 15 15 4 =

= 3 + 3 + (3 15)( + ) 4

Hagamos = 5

,

µ5

¶3

+ 3 +µ3µ5

¶

15¶µµ

5

¶+ ¶4 =

125

3

+ 3

4

Obtenemos 6 4 3 + 125

3 = 4 ±

16 500

2 = 2 + 11

una solución es = 3

2 + 11, por lo que = 5

3

2 + 11y así =

53

2 + 11+

3 2 + 11 =

5 + ³ 3p (2 + 11)´2

3p

(2 + 11)es una raíz de .

Otra solución de 3 = 2 + 11 es 2 + así que

5

2 + + 2 + = 4

es una raíz de Por último, la tercera raíz de es el conjugado de la primera que encontramos, es decir: 2

11.



9.15. POLINOMIOS DE GRADO CUATRO 623

9.15 Polinomios de grado cuatro

Consideremos4 + 3 2

Queremos resolver

4 + 3 2 = 0

que equivale a resolver

4 + 3 = 2 + +

Completemos a un cuadrado en el lado izquierdo: 3 = 22 , así que =

12 , entonces sumamos de cada lado ¡12 ¢2

, obtenemosµ2 +

1

2

¶2

= 2 +

µ1

2

¶2

+ + =

=

µ +

1

42

¶2 + +

Sumemos 2¡

2 + 12

¢

+ 2 de cada lado para obtener

µ2 + 1

2 + ¶

2

= 2 +µ1

2¶

2

+ + + 2µ2 + 1

2¶ + 2 =

=

µ1

42 + + 2

¶2 + ( + ) + 2 + =

= 2 + +

2 + + es un cuadrado si 2 4 = 0 es decir si

0 = ( + )2 4

µ1

42 + + 2

¶2 + =

=

83

42 + 2 + 2 +

83 + 42 2 2

que es una ecuación de grado 3 que ya sabemos resolver. Supongamos que es una raíz de la ecuación anterior entonces tenemos queµ

2 + 1

2 +

¶2

=

µ

2

¶2

=

= µ1

42 + + 2 ¶Ã ( + )

2 ¡1

42 + + 2 ¢!

2

=




Así que hay que resolver

µ2 + 12

+ ¶ = s µ14

2 + + 2 ¶Ã ( + )2¡

14

2 + + 2 ¢!

es decir, hay que resolver

2 +

µ1

2

p (2 + 4 + 8 ) +

1

2

¶ + +

1

2

p (2 + 4 + 8 )

+ 12

2 + 2 + 4

que es una ecuación de segundo grado.

Ejemplo 216 . Resolver 4 + 23 122 10 + 3 = 0 equivale a resolver

4 + 23 = 122 + 10 3

Para completar un cuadrado del lado izquierdo, sumamos 2 de cada lado :

4 + 23 + 2 = 132 + 10 3

Por lo tanto

¡2 + ¢2

= 132 + 10

3

Sumamos 2 + 2 (2 + ) de cada lado:¡2 + +

¢2= 132 + 10 3 + 2 + 2

¡2 +

¢ =

= (13 + 2) 2 + (2 + 10) 3 + 2

Para que el lado derecho (2 + + ) resulte un cuadrado, pedimos que 2 4 = 0, es decir que

0 = (2 + 10)2

4 (13 + 2) ¡3 + 2

¢así que 0 = 83 + 482 64 256

o bien 0 = 3 + 62 8 32

Es fácil ver que 2 es una raíz del polinomio anterior (que ya sabemos re-solver, por lo que proseguimos nuestro ejemplo). Sustituyamos 2 en

¡2 + + ¢2= (13 + 2) 2 + (2 + 10)

3 + 2



9.16. OTRA CONSTRUCCIÓN DE C 625

para obtener

¡2

+ + (2)¢2

= (13 + 2 (2)) 2

+ (2 (2) + 10) 3 + (2)2

== 92 + 6 + 1 = (3 + 1)2

Por lo tanto ¡2 + + (2)

¢ = (3 + 1)

así que 2 2 3 = ( + 1) ( 3)

Cuyas raíces son 1 y 3. De aquí que las otras dos raíces son las raíces de

4 + 23 122 10 + 32 2 3

= 2 + 4 1

cuyas raíces son 2 +

5 y 2 5. El conjunto de raíces es n

1 3 2 +

5 2

5o

Ejercicio 442 . Encontrar las raíces de 4 + 3 22 + 3 1

Ejercicio 443 . Encontrar las raíces de 4 + 3

62

+ 1

9.16 Otra construcción de CObservación 146 . Sean R [], irreducible y mónico. Entonces ( ; ) = o ( ; ) = 1.

Demostración. = ( ; ) para alguna R [] Entonces ( ; ) =0 o () = 0.

Si () = 0, entonces es el coeficiente principal de ( ; ) que esel coeficiente principal de que es 1 así = 1 y = ( ; ) Si ( ; ) = 0, análogamente al argumento anterior, concluímos que

= .

Corolario 34 . 2 + es irreducible en R [] si R+.

Demostración. Supóngase que 2+ = · con ( ) = () = 1(supongamos que = + ). Entonces + | 2 + () (2 + ) =

0

2 + = 0

(la suma de dos reales positivos es un real positivo).




Corolario 35 . 2 + 1 es irreducible en R []

-6 -4 -2 0 2 4 6

10

20

30

40

x

y

2 + 1

Definición 166 . En R [] definimos la relación de “congruencia módulo2 + 1” por:

2+1 si

¡2 + 1

¢ | ( )

( ( ) R [] (2 + 1)).

Proposición 41 . La relación 2+1 es de equivalencia en R [].

Demostración. Reflexividad)

2+1

, ya que = 0 () R [] (2

+ 1) Simetría)

2+1 ( ) R [] (2 + 1) ( ) R [] (2 + 1)

( ) R [] (2 + 1) ( ) R [] (2 + 1) 2+1

Transitividad) 2+1

2+1 ( ) R [] (2 + 1) ( ) R [] (2 + 1)

( ) + ( ) R [] (2 + 1) ( ) R [] (2 + 1) 2+1



9.16. OTRA CONSTRUCCIÓN DE C 627

Definición 167

C = R [] 2+1

= n () | () R []o

Donde () denota la clase de congruencia de ()

Definición 168 . Dotamos a C de suma y de producto mediante las defini-ciones siguientes

+ : C × C C¡

¢ 7 +

· : C × C

C¡ ¢ 7 ·

Ejercicio 444 . Demostrar que las operaciones recién definidas están bien definidas, es decir, no dependen de la elección de los representantes en las clases de congruencia.

Proposición 42 .¡

C + 0 · 1¢

es un anillo conmutativo (el anillo de los complejos).

Demostración. 1. ¯

˜+

¯0 = + 0 = = 0

˜+ , C

2. +¡

+¢

= +¡

+ ¢

= + ( + ) = ( + ) + =

=¡

+ ¢

+ =¡

+¢

+ C

3. + = + = + = + C

4. + = + ( ) = 0 por lo tanto = , C.

5. ·¡

·¢

= ·¡

· ¢

= · ( · ) =

= ( · ) · = ¡ · ¢ · = ¡ ·¢ · C

6. ·1 = · 1 = = 1· , C

7. · = · = · = · C

8. ·¡

+ ¢

= ·¡

+ ¢

= · + · =

= · + · = ·+ · C




Proposición 43 . La función : R C definida por () = , respeta la suma, el producto, el uno y es inyectiva.

Demostración. Sean R entonces:1. ( + ) = + = + = () + () 2. ( · ) = · = · = () · () 3. (1R) = 1R = 1C

4. () = () = 2+1 (2 + 1) | ( )

Pero como es 0 o su grado es cero, entonces = 0 Por lo tanto = .

Observación 147 . En C, 2

= 1

Demostración. 2 +1 2+1 0 0 = 2 + 1 = 1+2 = 1+2 2 = 1

Proposición 44 . Denotando con tenemos que C, = + con R.

Demostración. Aplicando el algoritmo de la división a y a 2 + 1 :

()2 + 1 () () 0 = () ó grad( ()) (2 + 1) = 2

como 0 = () o bien grad( ()) 6 1 en cualquier caso podemos escribir () = + , con R Entonces

= · (2 + 1) + +

ahora, notando que (2 + 1) = 0 que se puede identificar con para R ,

podemos escribir = + = +

Teorema 176 . C es un campo.

Demostración. Sea C \©

0ª

, entonces 2 + 1 - (2 + 1; ) =

1 1 = () (2 + 1) + ()

() = 1

= 1



Apéndice A

Una teoría axiomática para R

El resultado final de la sección II y de sus proyectos, muestra que R, con lasoperaciones de suma y producto que hemos definido y su clase positiva R+,es un campo arquimedianamente ordenado en el que todo subconjunto novacío acotado por arriba, tiene supremo, y extiende a Q.

Estos son las propiedades que caracterizan -categóricamente- a R y quesirven de base para construir los axiomas de la teoría cuando se escoge estecamino, que evade los problemas de existencia.

En beneficio de los estudiantes que escogen tal manera de proceder (elmétodo axiomático no constructivo para estudiar R), presentamos una listade resultados, que pueden considerarse, en ese caso, como los axiomas de lateoría, remarcando que basta suponerlos ciertos, para que, a partir de ellospueda construirse rigurosamente la mayor parte del Análisis matemático.

A.1 Los axiomas

Sea R un conjunto, cuyos elementos se llamarán números reales, en el queestán definidas dos operaciones binarias + y ·, tales que R secumple:

A.1.1 Axiomas, Grupo I.

Axioma 21

( + ) + = + ( + );

() = ()

629



630 APÉNDICE A. UNA TEORÍA AXIOMÁTICA PARA R

“la suma y el producto son operaciones asociativas”

Axioma 22

+ = + ;

=

“la suma y el producto son operaciones conmutativas”.

Axioma 23

0 R Ä + 0 = ;

1 R 1 6= 0 Ä · 1 =

“existencia de neutros para + y .

Axioma 24

R Ä + = 0; R 6= 0 R Ä = 1

“existencia de inverso aditivo y multiplicativo respectivamente”.

Axioma 25 · ( + ) = ( · ) + ( · )

“La multiplicación se distribuye sobre la suma o la suma distribuye a la mul-

tiplicación o más brevemente: vale la ley distribuitiva”.

Este primer grupo de axiomas corresponde a la estructura de campo quetiene, y permite justificar plenamente las manipulaciones del álgebra elemen-tal -y por supuesto muchas otras- entre las que seleccionaremos algunos amanera de ejemplo.

Aclaramos que aunque las operaciones + y · son binarias, se puedengeneralizar cuando el número de sumandos -o de factores- es diferente dedos, de la manera siguiente:



A.1. LOS AXIOMAS 631

1.

P = 0.1

2.1P

=1

= 1

3.P

=1

=

µ1P=1

¶+ si 2

4. Q

= 1.

5.

1Q=1 = 1

6.Q

=1

=

µ1Q=1

¶· si 2

Ejemplo 217 . Son teoremas R

1. + = + = “En la suma se vale cancelar” y por lo tanto el inverso aditivo de cada

a es único. Se denota “”y entonces se define: + () =

2. Las ecuaciones + = tienen solución única, = “En R vale restar”.

3. En una suma generalizada, el resultado es independiente de la formaen que se agrupen los sumandos. “El cambio en la forma de asociarsumandos, no altera la suma”.

1Cuando se desea que en una operación generalizada valga la ley asociativa “genera-lizada” (a lo bestia), la operación vacía debe ser el neutro de la operación. Así la uniónvacía debe ser y la intersección vacía, el total.

En efecto(1 2 ) = (1 2 ) ( ) =

= (1 2 )

E.d.( ) =:



632 APÉNDICE A. UNA TEORÍA AXIOMÁTICA PARA R

4. = 0 6= 0 = 0“Cero no tiene divisores propios en R”.

= 6= 0 =

“En R vale cancelar factores diferentes de cero”.

5. Para cada R 6= 0, el inverso multiplicativo es único. Se denota1 y se define

1 =

6. Si es distinta de 0, las ecuaciones = tienen solución única ( =).“En R se vale dividir entre números diferentes de cero”.

7. · 0 = 0

8. () = ; ()() = “Vale la regla de los signos”.

9. ·µ P=1¶ =

P=1µ P=1

¶· =

P=1

“vale multiplicar polinomios en la forma usual”.

10. + = ( + ) · = y si 6= 0, entonces : = · = “Los quebrados se suman, restan, multiplican y dividen, como en la

primaria (cuando en la primaria no se equivoca uno)”.



Apéndice B

Las funciones trascendentes

Para redondear el desarrollo del tema de los números reales quisiéramoshablar de algunas de las funciones más importantes del Análisis real en-tre las que se encuentran desde luego la función “logaritmo” (natural), laexponencial y las trigonométricas entre otras, y, como en el caso del conjunto R, podemos postular su existencia y sus propiedades. Sin embargo,decidimos presentar al lector un pequeño mosaico deductivo basado en loque llamaremos “un cúmulo de conocimientos previos” que no corresponden

propiamente al Álgebra, a partir de los cuales se pueden construir las fun-ciones antes mencionadas. El lector que no esté interesado en este desarrollopuede omitir tranquilamente la sección completa. Hacemos notar que las sec-ciones B.1 y B.2 son dos diferentes maneras de definir las mismas funcioneslog y exp y que una tercera -que aquí omitimos- es la que utiliza las seriesde potencias.

B.1 “Un cúmulo de conocimientos previos”

Suponemos al lector familiarizado con algunos de los teoremas del Cálculo-que mencionaremos explícitamente- y así daremos por ciertos:

El teorema del valor medio y sus consecuencias elementales:

Teorema 177 (del valor medio). Si : [ ] R es una función continua en [ ] y derivable en ( ), entonces

( ) tal que () ()

= ()

633



634 APÉNDICE B. LAS FUNCIONES TRASCENDENTES

Observación 148 . ( ) :

1. () = 0, entonces es constante en [ ]

2. () 0, entonces es estrictamente creciente en [ ].

3. () 0, entonces es estrictamente decreciente en [ ]

4. () = () entonces R tal que

() = () +

Teorema 178 . Si : [ ] R es continua, entonces es integrable en cualquier subintervalo [ ] Y si, como es usual, se define:µZ

¶ = 0

µZ

¶ =

µZ

¶

entonces R, si existen dos de las tres integrales siguientes, entonces existe la tercera y además

Z

= Z

+ Z

independientemente del orden en el que aparezcan y sobre la recta real.

Teorema 179 . El primer Teorema fundamental del Cálculo:

Si : [ ] R es continua, y se define : [ ] R como () =R

,

entonces es derivable y [ ] () = ().

Teorema 180 . Regla de la cadena: Si y son funciones derivables tales que la composición está definida, entonces esta composición es derivable,y su derivada es el producto de las derivadas de y de

( )() = ( ()) ()

Definición 169 . Definimos la función : R+ R como

() =

Z

1



B.1. “UN CÚMULO DE CONOCIMIENTOS PREVIOS” 635

Que de acuerdo al teorema 178, está bien definida, ya que R+ 1 escontinua y por lo tanto integrable, y notamos que de acuerdo a las definiciones

previas, (0) puede interpretarse geométricamente como “el área bajo lacurva” de la hipérbola = 1 desde = 1 hasta = 0 si 0 1 y comoel inverso de tal área si 0 0 1.

Entonces puede verse inmediatamente que tiene las propiedades si-guientes:

1. (1) = 0

2. () = 1

R

+

Repetimos que cuando no se desea recurrir al multicitado cúmulo deconocimientos previos, la existencia de la función

: R+ R

junto con sus propiedades 1. y 2., puede agregarse como un axioma máspara R . También podríamos haber supuesto que “el área bajo la curva”

de la hipérbola = 1 es mensurable (puede medirse). Definir entonces(0) como la medida de tal área -o el inverso de la medida si 0 0 1-y entonces deducir las propiedades 1. y 2. a partir de las consideracionesgeométricas obvias.

Teorema 181 . Sea R+ y defínase: : R+ R como sigue: () =(). Entonces

() = 1

=

1

= ()

Por lo tanto () y () difieren en una constante. Es decir:

R Ä R+ () = + ()

Para calcular el valor de , tomamos = 1 y entonces

(1) = () = + (1) =

En resumen:




3. R+ () = () + () de donde, por inducción, resulta que

Z+ () = ()

Nótese que = () () = (() ) = () + () Luego

() = () ()

de donde se sigue que

() = (1) = (1) () = 0 ()

y por lo tanto() = () Z

(Se verá después que el teorema vale R).

Teorema 182 . En vista de que () = 1, () es positiva para todo en su dominio ( R+) y por lo tanto () crece estrictamente. Ahora bien si la gráfica de () se “acuesta” (su pendiente disminuye) a medida que se va alejando del eje , y aumenta muy rápidamente cuando se acerca a cero, a pesar de lo cual, como probaremos, (

R

+) no está acotado ni por arriba ni por abajo, es decir: para cada R+, existen

0 0 R+ Ä (0) (0)

o sea que toma valores arbitrariamente altos o bajos y de aquí, dada la continuidad de , puede concluirse inmediatamente que

(R+) = R

Teorema 183 . (R+

) no está acotado.

Demostración. Sea R En vista de que (1) = 0, y de que crece estrictamente, entonces

(2) 0 y por lo tanto -propiedad arquimediana-

0 N Ä 0 · (2) = (20) ; 0 = 20

y

0· (2) = (20);

0 = 120



B.1. “UN CÚMULO DE CONOCIMIENTOS PREVIOS” 637

Ahora bien, una función estrictamente creciente es inyectiva y por lo

tanto, : R+ R , es biyectiva. Luego existe

1 : R R+

Si se bautiza1 =

habremos demostrando la existencia de una función

: R R+

tal que R ( ()) =

y R+ (()) =

Entonces, de las propiedades de se obtienen las siguientes que correspondena :

1. (1) = 0

1 = (0)

2. () = 1 () = ()

(Sea = () () = () = 1

= 1 = )

3. Sean R = () = ()

Entonces() = () =

() + () = () = +

( (()) = ( + ))O sea

( + ) = = () ()

Por inducción:

Ã

X=1

! =

Y=1

() N




Si se define = (1) resulta que () = 1 lo que justifica -según se verámás adelante- la denominación de como la función “logaritmo base ” o

“logaritmo natural”.En el capítulo correspondiente a los números naturales, se definió lo que

debe entenderse por con y números naturales, y se vió que comoconsecuencia de la definición (recursiva) de estas expresiones, se puedeinterpretar como el producto generalizado de factores iguales a . Con-sideración que permite extender la definición anterior al caso en que R .Pero ¿qué significan expresiones como 2 ó ()

2?

Definamos:

Definición 170 . Sean R 0, entonces

= (())

() = () R

Como consecuencia de esta definición, se tienen los siguientes resultados:

1. La definición 170 extiende a la que ya se tenía. En efecto si R+y

Z+

, entonces = (()) = (() + + () | {z }

sumandos

) =

= (()) (()) (() | {z } factores

) =

=

| {z } factores

2. “Valen las leyes de los exponentes”En efecto, si R+ R , entonces

(a) · = (()) · (()) =

= (() + ()) = (( + ) (())) = +

(b)

¡

¢

=

¡

¡()

¢¢ = ( (())) = (()) =

(c)

R = (()) = ()



B.2. HIPÓTESIS. (MOSAICO 1) 639

Este último resultado justifica el extendido uso de la notación para lafunción exponencial (recuerde que las funciones trigonométricas se represen-

tan como (), (), . . . lo que en rigor introduce una ambigüedad.Así por ejemplo () puede ser tanto la notación para la función “seno”como “el valor que la función seno asigna al número ”, pero la extendidapráctica -usos y costumbres- ha mostrado que el contexto en el que aparecentales expresiones permite precisar la interpretación que deba tomarse)

B.2 Hipótesis. (Mosaico 1)

Supondremos también el siguiente resultado -que se demuestra en los cursosde ecuaciones diferenciales-:

Teorema 184 (Teorema de existencia y unicidad). Dada una ecuación di ferencial

() + 1(1) + + 0(0) = 0 R = 0 (b.1)

para cualquier colección de + 1 números reales

0 0 1

1

! : R R

diferenciable tal que

.) ()(0) = = 0 1 1.

..) R ()() + + 0 () = 0

“Dadas condiciones iniciales

(0 {})

{0

1} existe una única : R

R

solución de b.1 que las satisface”.

Además si

0 = { : R R | es solución de b.1}

entonces 0 es un subespacio del espacio de las funciones diferenciables,de dimensión y por lo tanto si

= {1

}




es un conjunto linealmente independiente de soluciones de b.1, toda 0es combinación lineal de .

Nos referiremos solamente a las dos ecuaciones particulares siguientes:

1. = 0 (b.2)

2. + = 0 (b.3)

Primer caso:

= 0Una observación importante:

Observación 149 . El teorema de existencia y unicidad cuya validez esta-mos suponiendo, garantiza que por cada punto del plano (0 0), pasa una única curva integral que corresponde a la gráfica de la solución : R R tal que (0) = 0, lo que equivale a garantizar que la unión de todas estas cur-vas integrales llena completamente el plano y que cualesquiera, dos de ellas son ajenas. (Si 1 y 2 se cortarán en algún punto (0 0) R2, entonces

ambas satisfarían el mismo problema de valores iniciales, luego no serían.dos, e. d. 1 = 2).

B.3 La función exponencial (2a. versión)

Consideremos, para la primera ecuación b.2, la (única) solución : R Rtal que (0) = 1. Entonces:

() = () (0) = 1

Observando que la gráfica de la función constante cero corresponde al eje , y que ésta también es solución de b.2, concluimos que () no puede sercero para número real alguno, ya que dos soluciones distintas tienen gráficasajenas -como ya se dijo- y por lo tanto,

R () 0

(si para algún 0 (0) fuera negativa, entonces el teorema del valor inter-medio del Cálculo asegura que , necesariamente cortaría al eje , lo queno puede ocurrir, por lo que:



B.3. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL (2A. VERSIÓN) 641

Observación 150 . es estrictamente creciente, es de clase y

Z+ () =

Demostración. En efecto, () 0 y () = () demuestran laprimera parte de la observación - crece estrictamente- y la hipótesis induc-tiva

() =

dice que siendo derivable () también lo es y por lo tanto (+1) = =

Observación 151

0 = { : R R | es solución de b.2 }

es un subespacio de las funciones derivables de Ren R y su dimensión es 1.

Demostración. 1) La función 0 está en 0, obviamente.2) Sean y : tales que

= ´ =

Entonces, sumando miembro a miembro se obtiene:

+ = + = ( + )

luego 0 ( + ) 0

3) Si = y R entonces

= = ( )

por lo tanto 0 y R 0

Conclusión: 0 es un subespacio vectorial.2). = { } es una base de 0..) 6= 0

{ } es linealmente independiente.




..) Si : R R está en 0 y (0) = , entonces 0 satisface lamisma condición inicial

( )(0) = ( (0)) =

y por lo tanto = . Luego genera 0, lo que demuestra que

0 = 1

(Versión alternativa)

Teorema 185 . Toda función : R R que sea solución de b.2, es un múltiplo de .

Demostración. Recuerde que () 6= 0 R () = ()

() está

bien definida en R es derivable (el cociente de funciones derivables lo es),

y 0 () = () 0 () 0 () ()

( ())2 = 0, () = (constante), es decir,

() = ()

Teorema 186 . R ( + ) = () ().

Demostración. Sea R . Defínase

() = ( + )

Entonces = 0 y por lo tanto existe una constante Ä

( + ) = ()

haciendo = 0 obtenemos: () = e. d.

( + ) = () ()

Corolario 36 . Z+ () = ( + + ) = () · · () =( ()).



B.3. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL (2A. VERSIÓN) 643

Se probará -después de definir - que

0 () = ( ()) R

Corolario 37 . : R R+ es biyectiva y por lo tanto tiene inversa

: R+ R

y entonces: R ( ()) =

R+ (()) =

Definición 171 . Se llama al número real (1).

Entonces:

1. () = ( (1)) = 1 y (1) = ( (0)) = 0

2. Si = () entonces () = y derivando:

() = () ´= 1; = 1 ()

o sea:() = 1

3. () = () + ()En efecto:Sea = () = () Entonces () = () =

= () () = ( + )

y tomando logaritmos,

() = ( ( + )) = + = () + ()

Recuérdese que en su momento (ver N) se definió para 6= 0 inducti-vamente:

Definición 172 . 0 = 1 +1 = ·




Se vió que para estos casos, si 6= 0 entonces

= ·

·

| {z } factores

y que N = + () =

Definición 173 . Sean, R 0, defínase = ( · ())

Se tienen ahora los teoremas siguientes:

Teorema 187 . La Definición 173 extiende a la Definición 172 para 0.

Demostración. En efecto, si = y 6= 0,

= (()) = (() + + () | {z } sumandos

) =

= (()) (()) (()) | {z } factores

= · · · | {z } factores

Teorema 188 . () = ( (())) = ().


Teorema 189 . 0 = (0()) = (0) = 1

Ejercicio 446 . Demuestre el teorema anteior.

Teorema 190 . (Leyes de los exponentes). Sea 0. Entonces R

1. = +

2. () =

Demostración.

+

= (( + )()) = (() + ()) == (()) (()) =

y() = (()) = (()) = (()) =

Teorema 191 . = () pues = (()) = ().

Este último resultado justifica el uso de la notación como sinónimo de ().



B.4. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 645

B.4 Funciones trigonométricas

Tomando ahora la ecuación 00 + = 0 sabemos por el teorema 184 que:para cada pareja (1 2) de números reales , existe una única función :

R R que es solución de la ecuación diferencial

+ = 0 (b.3)

y que es tal que (0) = 1; (0) = 2

Tomemos ahora los siguientes acuerdos:

1. 0 = { : R R | es solución de b.3}

2. c : R R es la (única) solución de (b.3) que satisface: c (0) =1; c (0) = 0

3. s : R R : es la (única) solución de (b.3) tal que (0) = 0; (0) = 1

Es importante observar que si 0 entonces = y por tanto la

función es dos veces derivable y como cada vez que se derive -quees igual a - se obtiene una derivada dos órdenes mayor para ella, resultaque todo elemento de 0 (solución de b.3 es de clase . Es decir, tienederivadas continuas de todos los órdenes. En particular, c y s son de clase .

Si hacemos () =(x) se obtiene, derivando, que:

() = s 00 () = s ()

00() = s 0() = ()0

es decir que () = s 0 () 0 y como

(0) = s (0) = 1 (0) = s´(0) = s (0) = 0

entonces satisface las mismas condiciones iniciales que la función c. Elteorema de unicidad de soluciones fuerza a concluir que:

s 0 () = c ()




Análogamente se obtiene:

c 0 () = s ()

De aquí resulta que si () = c 2 + s 2, entonces es una función deR en R y como

0() = 2 c ()( s ()) + 2 s () c () = 0

es una función constante, que se puede evaluar calculándola cuando = 0.En este caso:

(0) = 2(0) + s 2 (0) = 1

de lo que se concluye que:

R c 2 () + s 2 () = 1

Obsérvese que si () = c (), entonces:

0() = 0(); 00() = 00() = () = ()

y, por lo tanto, () 0 Como (0) = 1, y (0) = 0 entonces = , e. d.

R c () = c ()

En otras palabras, c es una función “par”.Análogamente se prueba

s () = s () (B.1)

de lo que se concluye que s es una función “impar”.Demostremos ahora el siguiente teorema:

Teorema 192 . 0 es un espacio vectorial (subespacio de ) de dimensión 2 y = { s } es una de sus bases.

Demostración. i) La función constante 0 : R R : están en 0 que,por lo tanto, no es vacío.

ii) Si 0 entonces + 0 :

En efecto, 0 implica que

00 + = 0




y00 + = 0

por lo que, sumando miembro a miembro,

( + )00 + ( + ) = 0

lo que garantiza que + 0

iii) Si R y 0, de 00 + = 0, se obtiene multiplicando por ,

( 00 + ) = 0 = 0

o sea: ( ) + = 0, lo que dice que también 0 con lo que termina

la demostración de que 0, es un subespacio de .Para probar que c es una base de 0 -que por lo tanto resultará de

dimensión 2-, se debe demostrar que {c s } es linealmente independiente yque todo elemento de 0 es una combinación lineal de c ,.

En efecto, si () + s () = 0(), derivando se obtiene:

() + s () = 0()

por lo que, tomando para el valor 0 en cada caso, resulta:

(0) + s (0) = 0(0)

e. d. · 1 + · 0 = 0 = 0

y

(0) + s (0) = 0(0)e. d.

· 0 + · 1 = 0 = 0

Luego { c } es un conjunto linealmente independiente.Sea ahora 0 y llámese = (0) = (0)Si ahora definimos : R R , por

() = c () + s ()




es fácil ver que 0, ya que es combinación lineal de elementos de 0que es un espacio vectorial. Por supuesto que se llega a la misma conclusión

calculando y notando que + = 0Además (0) = (0) = o sea que satisface idénticas condiciones que

. Por lo tanto, apelando nuevamente al teorema de existencia y unicidad,concluimos que = o sea que:

() = c () + s ()

con lo que termina la demostración del teorema que asegura, entre otrascosas, que toda solución de (b.3)(elemento de 0) es una combinación lineal

de { c }.(Esto justifica la costumbre de describir al conjunto solución de (b.3) 0como:

{() = 1 c () + 2 s ()) | 1

2 R}

Es importante considerar ahora la función : R R , definida paracada como:

() = c ( + )

que, como se comprueba directamente, es un elemento de 0 y es por lo tanto,

combinación lineal de {c }, es decir que existen constantes 1 y 2 tales que R c ( + ) = 1 c () +

2 s ()

Derivando, s ( + ) = 1 s () + 2 c ()

Ahora, si = 0 se obtiene

1 = c () 2 =

s ()

y por esto R c ( + ) = c () c () s () s ()

que en particular, si = , corresponde a la conocida fórmula del coseno dela suma de y .

1.c ( + ) = c () c () s () s ()

Si =

, y recordando que




c (

) = c () s (

) =

s ()

se concluye que:

2.

c ( ) = c () c () s () s () = c () c () + s () s ()

Procediendo de la misma manera, para

() = s ( + ) se llega a:

3.s ( + ) = s () c () + c () s ()

y

4.s ( ) = s () c () c () s ()

Cuando = , (2) se transforma en :

5.

c (2) = c 2 () s 2 () = c 2 () (1 c 2 ()) = 2 c 2 () 1

y, por lo tanto:

6.

c 2 () = 1 + c (2)

2

Si en (5) cambiamos c 2 () por 1 s 2 (), se obtiene:

7.c (2) = 1 2 s 2 ()

y despejando s 2 (),

8.

s 2 () = 1 c (2)

2




Demostraremos ahora el siguiente resultado, por reducción al absurdo yusando el Teorema del valor medio (Teorema 177).

Teorema 193 . Existe R+ tal que c () 0.

Demostración. Supóngase que no. Por lo tanto, dado que c (0) = 1, yc es de clase , debe suceder que R+ c () 0 (en caso contrario,se contradiría el teorema del valor intermedio).

Entonces s, cuya derivada es c, resulta estrictamente creciente enR+ y así, c decrece estrictamente en todo R+.

Si R+ entonces

c (0) c(h) =

es un número positivo.Por el teorema del valor medio,

c () c (0)

= c 0 ( ) (0 )

Como c 0 = s , y como s ( ) s (0) = 0 (por hipótesis, s es creciente.Recordemos además que s es impar, B.4), entonces

=

c () c (0)

= s ( ) (0 )

Análogamente,

c (2) c ()

= s ( ) s ( ) =

0 ( 2)

de donde tenemos quec (2)

c ()

es decir quec () c (2)

Por inducción, obtenemos que

c () c (( + 1)) N

Con otra fácil inducción tenemos que

N c (0)

c ()




Si 0 N es tal que 0 1 (0 existe ya que el orden de R esarquimediano), entonces

c (0) c (0) 1

o sea que c (0) 0 (absurdo).El absurdo (c (0) 0, c (0) 0) se obtuvo de suponer que

R+ c () 0.Entonces lo que afirma el teorema es cierto.

Como resultado, sabemos que si

= ©

R+

| c ()

0ª

entonces es no vacío y obviamente acotado por abajo. Luego tiene ínfimo,que conviene definir.

Definición 174 . Se llama al doble del ínfimo de Entonces ( ) =2

Observación 152 . Como c es una función continua en 2, suponer que c (2) es diferente de cero, contradice la definición de ínfimo:

• c (2) 0 = 0 Ä [2 2 + ] c () 0 luego2 + 2 es cota inferior de . Obviamente, 2 + 2 2

•c (2) 0 = 0 Ä (2 2) c () 0

entonces 2 2 y 2 2 2

Luego c (2) = 0 y entonces s (2) = 1 (la función s, cuya derivada es

c, crece estrictamente a partir de 0 en el intervalo [0 2), y como s 2+c 2 = 1,s (2) no puede ser negativo).

Usando ahora la fórmula (6) se obtiene:(13)...

c () = c (2 + 2) = c 2 (2) s 2 (2) = 1 s () = 0

(14)...

c (2) = c ( + ) = c 2

s 2 = 1; s (2) = 0




y finalmente(15)...

c (2 + ) = c (2) c () s (2) s () = c ()

(16)...s (2 + ) = s (2) c () + c (2) s () = s ()

Las fórmulas (15) y (16), dicen que tanto c como s, son funciones perió-dicas de período 2, y nótese que 2 es el menor real positivo para el queesto pasa, ya que si

R y 0 c ( + ) = c ()

para = 0 se obtienec () = 1 {0 ±2 ±4} Si s ( + ) = s () entonces

s () = s (0) = 0 {± ±2 ±3}

y como para = ,

s ( + ) = s () c () + s () c () = s ()

quedan descalificados los múltiplos impares de como valores posibles para.

A partir de las funciones s y c, se construyen las restantes funcionestrigonométricas, definiendo:

tan = s c ctg = c s

sec = 1 c csc = 1 s

Cuyos dominios constan de todos los números reales que no hacen ceroa los denominadores correspondientes, y con la información que se obtiene,tanto de las definiciones anteriores como de las propiedades de s y c, sepueden justificar las principales identidades trigonométricas y dibujar susgráficas que -como se sabe- resultan de la forma que se ilustra.




-5 5

-4

-2

2

seno

-5 5

-4

-2

2

coseno

-2 2

-5

5

tangente



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Índice de Materias

absurdos, 9algoritmo

de Euclides, 234

de la divisiónpara polinomios, 547

algoritmo de la divisiónpara Z, 210

Anillo, 199anticadena, 93argumento de un número complejo,

403asociatividad, 415

de la composición de funciones,104

Axiomade especificación, 65de extensión, 62de las partes, 78de regularidad, 83del infinito, 108

Axiomas de Peano, 146

base de un espacio vectorial, 440bases

ortogonales, 453

cadena, 93Campo, 199cardinal

de un producto, 305cardinalidad, 109

subconjuntos de un conjunto fini-to, 292

unión, 304

(), 393coeficiente principal de un renglón,

491combinación lineal, 434 , 294comparables, 93complejo

argumento, 403complemento relativo, 68

composiciónde funciones, 100de relaciones, 94

congruenciamódulo n, 235

conjugación, 381conjunción, 6conjunto

finito, 110inductivo, 108, 147infinito, 110, 163potencia, 78transitivo, 161

conmutatividad, 416contención, 63contradominio, 95contradominio de una relación, 81contrapuesta, 17

659



660 ÍNDICE DE MATERIAS

cortadura, 341, 343cota

inferior, 90superior, 87

cuantificadorexistencial, 57universal, 57

dependencia lineal, 435derivada de un polinomio, 584desigualdad del triángulo, 450

determinantecofactor, 531de la transpuesta, 515desarrollo respecto al primer renglón,

508diferencia simétrica, 77dilema constructivo, 18dilema destructivo, 18disyunción, 6

divisibilidad,relación de, 216

dominio, 95dominio de una relación, 81Dominio entero, 199

, 645ecuación diofantina, 257ecuación general de segundo grado,

385escalares, 425espacio vectorial, 424

finitamente generado, 440exportación, 18

familias de conjuntos, 75función, 97

continua, 362lineal, 460

suprayectiva, 101función

exponencial, 642inyectiva, 98polinomial, 549

gradode un polinomio, 546

grupo, 418

Ideal, 214

Igualdadentre conjuntos, véase Axiomade extensión

imagen, 96imagen inversa, 116implicación, 7incomparables, 93independencia lineal, 435Inducción, 146

segundo principio, 189ínfimo, 91intersección, 67inversión, 500inverso aditivo

de un número real, 345

Lema de Schwarz, 450leyes

de los exponentes, 640Leyes de De Morganpara conjuntos, 73

leyes distributivaspara conjuntos, 76

matriz, 456elemental, 526menor de una, 508reducida y escalonada, 491



ÍNDICE DE MATERIAS 661

máximo común divisorde enteros, 218

mayorelemento, 87

menor, 87de una matriz, 508

métodode Horner, 567

mínimo común múltiplo, 220modus ponens, 17modus tollendo ponens, 17monoide, 416

negación, 5neutro, 141, 416

derecho, 141izquierdo, 141

norma euclidiana, 450numeración

base b, 265número

complejoparte imaginaria, 380parte real, 380

de funciones suprayectivasde a , 311

de particionesde un conjunto con elemen-

tos en partes, 312de permutaciones de un conjun-

to finito, 301entero, 201

número primo, 228

, 303

operación, 415asociativa, 138conmutativa, 138

operación elemental de renglón, 492operación en un conjunto, 134

operaciones elementales, 477orden

lexicográfico, 92total, 93

orden en un producto, 92ordenación, 303

con repetición, 303

, 303ortogonalidad, 450

pareja, 70pareja ordenada, 79partes

de un conjunto, véase conjuntopartición, 121permutación, 300

paridad de una, 504signo, 504

, 312relación de recurrencia, 313

polinomiocreciente, 576derivada, 584

polinomios, 542Principio

de las pichoneras, 293del Buen Orden, 172

principiode inducción, 149

productocartesiano, 80de matrices, 468de números complejos, 396de números naturales, 185de números reales, 350de polinomios, 544



662 ÍNDICE DE MATERIAS

de racionales, 276interior, 450

punto, 449proposición, 2

Quinto postulado de Peano, 149

raízmultiplicidad de una, 592

raíz cuadradade un segmento, 338

raíz n-ésima de un número complejo, 401

rango de una matriz, 456reales positivos, 345Recursión, 173

generalizada, 152reducción al absurdo, 31reflexión, 461Regla

de inferencia, 15de la cadena, 636de la tautología, 21de los signos de Descartes, 609del reemplazo, 18

reglade Cramer, 534

relación, 81antisimétrica, 94

relación de equivalencia, 118relación diagonal, 82representación decimal, 365restricción de una operación, 136restricción de una relación, 82retícula, 87, 90retícula completa, 91retícula superior, 90rotación, 460

semigrupo, 138, 416silogismo

hipotético, 17sistema

completo de conectivos, 13sistema homogéneo asociado, 473sistemas de congruencias, 249, 251 , 311soporte, 240

de un polinomio, 542subespacio, 428subspacio generado por un conjun-

to, 432suma

de números naturales, 176de números racionales, 275 de números reales, 345de polinomios, 543

suma de subespacios, 432supremo, 91

Tablas de multiplicar, 139tablas de verdad, 5tautologías, 9Teorema

Chino del residuo, 254de Cantor-Bernstein-Schröeder,

109de De Moivre, 397de existencia y unicidad de solu-

cionespara una ecuación diferencial,

641de la deducción, 41de recursión, 173de Sturm, 601del factor, 551del residuo, 551



ÍNDICE DE MATERIAS 663

del valor intermedio, 364del valor medio, 636

fundamental de la Aritmética,229

fundamental del Álgebra, 385fundamental del Cálculo, 636

tollendo tollens, 17transposición, 500

uniones, 70

valuación, 53vectorunitario, 452

vectores, 425

Z, 236



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Se tiraron 300 ejemplares

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