ÁLGEBRAÁLGEBRA

y y

El poder generalizador de los El poder generalizador de los SIMBOLOSSIMBOLOS

“La edad de mi padre equivale a tres veces, mi edad aumentada en 5 años”

¿Cómo se puede escribir matemáticamente esta situación?

• Conocer conceptos básicos de algebra:

- Término Algebraico:

Coeficiente Numérico

Factor Literal

Grado

Signo

- Expresión Algebraica

• Operar con expresiones algebraicas

• Clasificar expresiones algebraicas

Contenidos

1. Definiciones

1.1 Término algebraico

1.2 Expresión algebraica

2. Operaciones algebraicas2.1 Adición y sustracción (Reducción de Términos

Semejantes)

1.4 Términos semejantes

1.3 Clasificación de las expresiones algebraicas

1.1 Término Algebraico

Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “Coeficiente numérico”, un “factor literal” y el “grado”.Coeficiente Grado Numérico 23x5y8

Factor Literal

1. Definiciones

5 + 8 = 13

Ejemplos:

mn3p, 3a4b,2q

5p,7

Obs:

1x=x1)

Es la relación entre términos algebraicos, separados solo por la adición y/o sustracción.

1.2 Expresión algebraica

Ejemplos:

1) 9x7 – 4 5y

2) 5m2 + 2ab3 – 4p + 3q

3) 6x4y5 + 3pq – 7m 2

1.3 Clasificación:

Monomio

Expresión algebraica que consta de un término algebraico.

Ejemplos:

Polinomio

Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos.

1) 36x5, 3) 73p4q22) 8ab3,

2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos

algebraicos.

Ejemplo: 3a6b2 + 8ab – 5a7

Ejemplo:

1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos.

2m3n4 + 7ab

3) Polinomio o Multinomio: Polinomio que consta de más de tres términos algebraicos.

Ejemplo:3x – 2y + 3yx – 4z + 6

Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales.

Ejemplo:

- Los términos y son semejantes.

- Los términos y NO son semejantes.

1.4 Términos Semejantes

7m3n 2m3n

3p2 9p5

2. Operaciones algebraicas

2.1 Adición y Sustracción

Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes, es decir, se reducen sólo los coeficientes numéricos, el factor literal permanece inalterable.

Ejemplo:

mn5p + 4mn5p – 8mn5p = (1 + 4 – 8) mn5p

= – 3mn5p

Ejercitemos lo aprendido:

Reducir los términos semejantes:

1) 4x + 3x2 + 2x2 + 7x =

2) 3(x + 7) + 2(x + 3) =

6a ∙ 3ab =

2.2 Multiplicación: El producto se hace término a término y (coeficiente con coeficiente

y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales)

Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí.

Ejemplo:

• Monomio por monomio:

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

Ejemplo:

• Monomio por polinomio:

18a2b

5pq3 (2p3q + 4pq5 – 6pq) =

10p4q4 + 20p2q8 – 30p2q4

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.

Ejemplo:

• Polinomio por Polinomio:

(2x + y)(3x + 2y) =

= 6x2 + 7xy + 2y2

6x2 + 4xy + 3xy + 2y2

Coeficiente con coeficiente y factor literal con factor literal y sumando exponente de las variables iguales.

Ejemplo:

(Reduciendo términos semejantes)

¿Cómo se resuelve correctamente?

(x + 7)(x + 3) =x² + 3x + 7x +211.

=x² + 10x + 21

• Producto de binomio con factor común:

Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común.

Ejemplo 1:Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

(ax + b)∙(ax +c) = (ax)2 + (b + c)∙ax + b∙c

(3x + 4)∙(3x + 2) =

= 9x2 + 18x + 8

(3x)2 + (4 + 2)∙3x + 4∙2

Ejemplo 2:Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

(y - 4)∙(y + 2) =

= y2 – 2y - 8

y2 + (-4 + 2)y - 4∙2

2.1 Productos Notables

Son aquellos productos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación.

• Cuadrado de Binomio:

(I +II)2 = I2 + 2*I*II + II2

(I - II)2 = I2 – 2*I*II + II2

Ejemplo:

La fórmula del Cuadrado de Binomio se puede obtener geométricamente:

(5x – 3y)2 = (5x)2 - 2(5x∙3y) + (3y)2

= 25x2 - 30xy + 9y2

bab

a ab2

2

a b

b

a

a b

a

b

• Suma por su diferencia:

Ejemplo: Aplicando la fórmula...

(a + b)∙(a – b) = a2 – b2

(5x + 6y)∙(5x – 6y) = (5x)2 – (6y)2

= 25x2 – 36y2

• Cubo de binomio:

(I + II)3 = I3 + 3*I2*II + 3*I*II2 + II3

(I - II)3 = I3 – 3*I2*II + 3*I*II2 - II3

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando potencias...

Multiplicando...

(3x)3 – 3∙(3x)2∙2y + 3∙(3x)∙(2y)2 – (2y)3

= 27x3 – 3∙(9x2)∙2y + 3∙(3x )∙(4y2)– 8y3

= 27x3 – 54x2y + 36xy2– 8y3

(3x – 2y)3 =

• Cuadrado de trinomio:

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z)

(2x + 3y + 4z)2 = ?

= 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación.

• Factor común:Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos).

Ejemplo:

2∙x∙y + 2∙2∙x∙y∙y – 2∙3∙x∙x∙y

Al descomponer...

(El factor común es : 2xy)

2.4 Factorización

2xy + 4xy2 – 6x2y =

= 2xy(1 + 2y – 3x)

• Factor común compuesto:Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo.

Ejemplo:

Agrupando...

Factorizando por partes...

Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)...

xz + xw + yz + yw =

= (xz + xw) + (yz + yw)

= x(z + w) + y(z + w)

= (z + w)(x + y)

Factorizar:

• Diferencia de cubos:

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2)

8x3 – 64y3 = (2x)3 – (4y)3

= (2x – 4y)((2x)2 + 2x ∙ 4y + (4y)2 )

= (2x – 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )

• Suma de cubos:

Ejemplo:

Aplicando la fórmula...

Desarrollando...

a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3

= (3x + 2y)((3x)2 – 3x ∙ 2y + (2y)2)

= (3x + 2y)( 9x2 – 6xy + 4y2)

• Reconocer productos notables:

Ejemplos:

1)

Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia.

2)

Corresponde a un producto de binomios con un término común..

36a2 – 81y2 = (6a + 9y)(6a – 9y)

x2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

(x + 5)(x – 4)

(x + 5)(x – 5)

2.5 DivisiónPara dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar.

Ejemplos:

1) Si x2 – 25 0, entoncesFactorizando...

Simplificando...

=x2 + x - 20

x2 - 25

(x – 4)

(x – 5)=

Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente:

(x – 4)

(x – 5)

(a + b)

(a – b) 1

a - b= ∙

(a + b)(a – b):

(a + b)(a + b) 1

a - b

2) Si a b y a - b, entonces

Factorizando y simplificando

Dividiendo:

(a + b)2

a2 - b2: 1

a - b=

(a + b)

(a – b)

1

a - b:=

= (a + b)

3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.)

• Entre monomios:Corresponde a todos los factores con su mayor exponente.

Ejemplo 1:

El m.c.m. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3

es: 18x5y3z6

Ejemplo 2:

El m.c.m. entre: x4y2z3 , x2y , xy6z

es: x4y6z3

x2 + 2x +1x2 + x

• Entre polinomios:El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente.

Ejemplo:

Determinar el m.c.m. entre:

y

m.c.m. :

Factorizando... x(x +1) (x +1)2

x(x +1)2

4. Máximo común divisor (M.C.D.) • Entre monomios:

Corresponde a los factores comunes con su menor exponente.

Ejemplo 1:

El M.C.D. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3

es: 3y

Ejemplo 2:

El M.C.D. entre: a4b2, a5bc y a6b3c2

es: a4b

x2 + 2x +1x2 + x

• Entre polinomios:El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente.

Ejemplo:Determinar el M.C.D. entre:

y

M.C.D. :

Factorizando... x(x +1) (x +1)2

(x +1)

Ejercitemos

¿Cómo se resuelve correctamente?

P = 3(Q + 5)

1. “La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q

aumentada en 5 años” se puede expresar como

P: edad de mi padre

Q: mi edad

Luego, el enunciado se puede expresar como

Sea:

Responsables:Prof. Isaías Correa MProf. Rodrigo González P.