1

Capitulo 1: TRIGONOMETRÍA

1.1. TRIGONOMETRIA PLANA

Se dice que a los antiguos egipcios se les planteó el siguiente problema:¿cómo medir, calcular o estimar la distancia de un barco a un puntodeterminado de la playa? Mandar un bote con una cuerda losuficientemente larga no parece ser una buena solución: ¿y si el barco esun barco de guerra enemigo que se apresta a atacar el puerto? Conocer ladistancia a que se encuentra podría tener como objetivo el poder lanzarlealgún objeto contundente.

Figura 1.1

Existen otros problemas similares, mas cotidianos: ¿cómo calcular o medirla altura de un árbol? Tal como antes, uno podría intentar subir hasta lapunta del árbol con una huincha lo suficientemente larga. Pero el métodotampoco parece muy bueno: aparte de lo trabajoso que es, hay el claropeligro de romper la última rama y precipitarse hasta el suelo.

2

Figura 1.2

Más interesante y difícil aún parece ser el problema de calcular la alturade un cerro, haciendo mediciones desde su base.

Figura 1.3

3

Una solución ingeniosa de todos estos problemas queda ya insinuada enlos dibujos que se han presentado: no es difícil en el terreno losmedirángulos indicados, medir la distancia que es accesible, hacer un dibujo aescala en un papel y medir con una regla la distancia a escala que sebusca. Solo se necesita multiplicar por el factor de escala para obtener ladistancia buscada.Esta solución tiene, al menos, tres desventajas: lentitud del procedimientoñ precisión precaria, sobretodo si las escalas a tomar son muyñ grandes: allí el simple grosor del trazado del lápiz con que se hace el dibujo influye en el resultado final dificultades manuales en realizar el dibujo en un papel.ñ

Por otro lado la solución obtenida dibujando a escala tiene una hipótesisoculta que es necesario esclarecer y discutir:

Figura 1.4

Si , entonces se supone que también con elTV œ 5T V TF œ 5T Fw w w w

mismo factor de escala . Esta hipótesis es correcta pues los triángulos5? ?TVF T V F y son semejantes ya que , por construcción, tienenw w w

todos sus ángulos iguales: ¡Teorema de Thales! Dividiendo las igualdadesanteriores resulta:

TF 5T F T FTV 5T V T Vœ œ

w w w w

w w w w

4

Es decir, las razones entre los lados del triángulo no dependen de laescala. Sólo dependerá de los ángulos y . Si llamamos:α "

3 α "Ð ß Ñ œ TFTV

entonces bastará con conocer el número 3 α "Ð ß Ñ para resolver nuestroproblema. En efecto, la longitud (buscada) será multiplicadaTF Ð ß Ñ3 α "por (medida) : .TV TF œ Ð ß ÑTV3 α "El problema se solucionaría si pudiéramos fabricar de esas razoneslistaspara una gama bastante amplia de ángulos y . Tales listas existen yα "se llaman Sin embargo, tales Tablas yaTablas Trigonométricas. pertenecen a la Historia: el desarrollo de las calculadoras de bolsilloproporcionan con un solo toque los números que se han estado buscandoen las Tablas. Cómo hacer estas listas es un problema cuya solución máscompleta exige un cierto desarrollo del Sincálculo infinitesimal. embargo, en principio se pueden hacer con un despliegue de muchapaciencia, midiendo con acuciosidad los ángulos y los trazos en cuestión.

1.2. DEFINICIONES BÁSICAS (para ángulos agudos)Históricamente surgen las siguientes razones, convencionales, definidaspara un triángulo rectángulo:

Figura 1.5

: es el seno del ángulo ñ =/8 œα α+,

es el coseno del ángulo ñ -9= œ Àα α-,

: es la tangente del ángulo ñ >1 œα α+-

5

Se definen también los inversos multiplicativos de las funcionesanteriores: : es la cosecante de ñ -9=/- œα α,

+

es la secante de ñ =/- œ Àα α,-

: es la cotangente de ñ -9>1 œα α-+

Las funciones coseno, cotangente y cosecante se denominan tambiéncofunciones de las funciones seno, tangente y secante respectivamente.

Es necesario destacar que estas definiciones, tal como han sido hechas,solo tienen sentido si el ángulo es agudo: en un triángulo rectángulo losαángulos, salvo el recto, deben ser agudos. Veremos más adelante la formade extenderlas a ángulos cualquiera.

EJEMPLOS

1. Si tomamos , entonces el ABC de la figura 1.5 es isóceles yα ?œ %&‰

por lo tanto . Luego y por lo+ œ - , œ + - œ #+ œ + #È È È# # #

tanto: ñ =/8 %& œ œ‰ + "

, #È ñ -9= %& œ œ œ‰ - + "

, , #È ñ >1 %& œ œ "‰ +

-

2. Si tomamos , entonces el ABC resulta ser la mitad de unα ?œ '!‰

triángulo equilátero:

Figura 1.6

De aqui se obtiene:

6

ñ =/8 '! œ œ -9= $!‰ ‰$

#

È ñ -9= '! œ œ =/8 $!‰ ‰"

#

ñ >1 '! œ $ œ -9> $!‰ ‰È ñ =/- '! œ # œ -9=/- $!‰ ‰

3. ¿Será una mera casualidad que las co-funciones de un ángulo seanprecisamente las funciones del ángulo complementario? Desde luego queno: basta hacer un dibujo para darse cuenta que el ángulo complementariose encuentra precisamente en el vertice opuesto y la afirmación resultadirectamente de las definiciones:

Figura 1.7

En efecto À =/8Ð*! Ñ œ œ -9= à -9=Ð*! Ñ œ œ =/8 àα α α α- +, ,

>1Ð*! Ñ œ œ -9>1 à =/-Ð*! Ñ œ œ -9=/- Þα α α α- ,+ +

TEOREMA 1

En un ABC (con ángulos agudos) vale:?1. , donde es el radio de la circunferencia+ , -

=/8 =/8 =/8α " #œ œ œ #< <

circunscrita. (Teorema de los senos)2. Teorema de los cosenos o Teorema general+ œ , - #,- -9= Ð# # # αde Pitágoras). Por simple cambio de nombre de lados y ángulos, valentambién : , œ - + #+- -9= à - œ + , #+, -9=# # # # # #" #

7

DEMOSTRACIÓN

Figura1.8

En ADC se tiene: ? α=/8 œ 2,-

En DBC se tiene: ? "=/8 œ 2+-

Luego , de donde . De modo2 œ , =/8 œ + =/8 œ-+ ,

=/8 =/8α " α "

totalmente análogo : . Por otro lado , llamando O al centro de, -=/8 =/8" #œ

la circunferencia circunscrita y prolongando la recta AO , se obtiene elpunto C' . Por el correspondiente Teorema de Thales, el ABC' es?rectángulo en el vértice B y el ángulo AC'B es nuevamente el mismo .t #Por lo tanto , es decir lo que completa la=/8 œ œ #< ß# - -

#< =/8 #

demostración del Teorema de los senos.En DBC se tiene: por el Teorema usual de Pitágoras? + œ 2 ;# # #

-

En ADC se tiene : . Por otro lado: , es decir:? α2 œ , : -9= œ-# # # :

,

: œ ,-9= ; œ - : œ - ,-9=α α y por lo tanto: . Reemplazando enla primera igualdad se obtiene finalmente:+ œ , , -9= Ð- , -9= Ñ œ# # # # #α αœ , , -9= - #,- -9= , -9= œ , - #,- -9=# # # # # # # #α α α α

Con este teorema podemos resolver los tres problemas que planteamos alprincipio:

8

El problema del barco: usando el Teorema de los senos en elñtriángulo ABC de la Figura 1.1 se tiene: , es decir:? EG EF

=/8 =/8Ð")! Ñ" α "œ

EG œ EF=/8=/8Ð")! Ñ

"α " . La distancia AB se encuentra en la playa y se

puede medir. De modo entonces que nuestra razón entre lados : 3 α "Ð ß Ñ

resultó ser =/8=/8Ð")! Ñ

"α "

El problema del árbol resulta más sencillo: en la Figura 1.2 elñlado AB del triángulo se puede medir , pues está sobre el suelo, entoncesla altura BC del árbol se calcula con la definición de la tangente:>1 œ FG œ EF >1α αFG

EF , es decir

El problema de la altura del cerro es un poco más complicada,ñpero igual es elemental: en el OO'B de la Figura 1.3 podemos aplicar el?

Teorema de los senos: Por otro lado, en el OAB,SF SS=/8 =/8Ð")! " α "œ Þ

w

) ?

que es rectángulo en A, se tiene: , por lo tanto, la altura 2SF œ =/8 2#

buscada se expresa: 2 œ SF=/8 œ SS# w =/8 =/8

=/8Ð")! Ñ" #

α "

donde la distancia es medible sobre la base del cerro.SSw

1.3. ALGUNAS EXTENSIONES

Nuestras consideraciones anteriores tienen una limitación muy molesta, nosolo teórica sino completamente práctica: debemos atenernos a ángulosagudos. En particular, los teoremas del seno y el coseno han sidodemostrados bajo esa restricción, sin la cual nuestras definiciones de lasfunciones trigonométricas no tienen sentido. ¿Que ocurre si nuestrostriángulos no son acutángulos? Para ver la necesidad de extender estasnociones a triángulos cualesquiera, supongamos que hay un faro en lo altode un acantilado y que se desea calcular la distancia de un barco quenavega a cierta distancia:

9

Figura 1.9

En el triángulo ABC podrá medirse la altura del faro AC pero tendrá?necesariamente un ángulo obtuso en ."

DEFINICIÓNConsideremos los ángulos dibujados en un sistema de referencia formadopor una recta fija y una semirecta que gira en torno al origen en un sentidou otro. La semirecta podrá girar arbitrariamente en sentido positivo(contrario a los punteros del reloj) o negativo (el sentido de los punterosdel reloj) lo que permite considerar ángulos mayores que 360 o ángulos9

negativos.

Figura 1.10

10

Si dibujamos el círculo unitario, es decir, el círculo de radio 1 centrado enel origen, entonces las semirecta cortará al círculo en un único punto decoordenadas . Se define entonces:ÐBß CÑ ñ =/8 œ C) ñ -9= œ B)Es claro que, si el ángulo es agudo y positivo: , entonces) )! Ÿ Ÿ *!9

las nuevas definiciones coinciden con las antiguas, es decir, estas nuevasdefiniciones las nociones de seno y coseno a ángulosextiendencualesquiera.Las demás funciones trigonométricas se definen:

>1 œ à -9> œ à =/- œ à -9=/- œ) ) )=/8 " " "-9= >1 -9= =/8

)) ) ) )

A estas alturas es conveniente introducir otra medida de los ángulos: larazón entre la longitud del arco medido sobre la circunferencia y su radio,en sentido positivo o negativo. Como la longitud de la circunferenciacompleta es entonces 360 corresponderá a en la nueva# < ß œ #1 19 # <

<1

unidad. Esta unidad se llama , de modo que, por ejemplo, el ánguloradiánrecto tendrá una medida de radianes. Una de las ventajas de esta forma1

#

de medir los ángulos es que ella es , no depende de lasa-dimensionalunidades de medida, puesto que se obtiene por una razón entre longitudes.Resulta muy sencillo demostrar que los teoremas del seno y el coseno sepueden extender a triángulos cualquiera. Lo dejaremos como ejercicio.

Finalmente indiquemos que muchas veces surge la necesidad deconocer aquellos ángulos es un cierto número conocido. Escuyo seno claro que habrá, en general, una infinidad de tales ángulos puesto que, conla extensión que hemos introducido, nuestras funciones trigonométricastienen caracter , es decir, repiten sus valores cuando el ángulo seperiódicodesplaza en una cantidad apropiada. Se denomina de un númeroarco-senoB BÞ a aquellos ángulos cuyo seno es Generalmente se buscan ángulosagudos o, al menos, entre 0 y 180 grados. En las calculadoras de bolsilloes éste tipo de ángulos el que aparece como arco-seno , denotado también=38 B" . Lo mismo puede decirse de los ángulos cuyo coseno es ,denominados y , análogamente, de .arco-coseno x arco-tangente ./ BMás adelante discutiremos estos conceptos con mayor detalle.

Una posibilidad de construir una tabla trigonométrica, sería podercalcular senos y cosenos de ángulos pequeños y poder establecer las

11

funciones trigonométricas de sus sumas. El siguiente teorema permitellevar a cabo este método.

TEOREMA 2

Sean y ángulos cualesquiera. Entonces:α " (a) -9=Ð Ñ œ -9= -9= =/8 =/8α " α " α " Ð,Ñ =/8Ð Ñ œ =/8 -9= -9= =/8α " α " α "

Ð-Ñ >1Ð Ñ œα " >1 >1">1 >1α "α "

DEMOSTRACIÓN.

Haremos la demostración para ángulos agudos por mayor claridad deldibujo. Se invita al lector a extender esta demostración para cualquier tipode ángulos.

Figura 1.11

Los triángulos BOP y AOD son claramente congruentes, pues ambos? ?contienen el ángulo en su vértice O. Por lo tanto las longitudes deα "las cuerdas BP y AD son iguales. Para calcular estas longitudes entérminos de las coordenadas de los puntos respectivos, usamos el teorermade Pitágoras (restringido):

12

Figura 1.12

La distancia PQ será : ÈÐB ?Ñ ÐC @Ñ Þ# #

En nuestro caso las coordenadas del punto B sonÐ-9=Ð Ñ ß =/8Ð ÑÑα " α " , mientras que las del punto A son y las de D : Ð-9= ß =/8 Ñ Ð-9=Ð Ñß =/8Ð ÑÑ œ Ð-9= ß =/8 Ñα α " " " " Finalmente las coordenadas de P son simplemente 1,0). Aplicando laÐfórmula anterior a la igualdad , resulta:FT œ EHÈÒÐ-9=Ð Ñ "Ó =/8 Ð Ñ œα " α "# #

œ ÈÐ-9= -9= Ñ Ð=/8 =/8 Ñα " α "# #

de donde, elevando al cuadrado y utilizando la identidad básica=/8 -9= œ "# #) ) (ver problemas 1.4) se obtiene:

# #-9=Ð Ñ œ # #-9= -9= #=/8 =/8α " α " α " de donde se sigue directamente la fórmula (a)Para demostrar (b) se puede usar la identidad : =/8 œ -9=Ð Ñ) )1

#

y aplicar la fórmula ya demostrada.Finalmente para demostrar la fórmula (c) basta poner:

>1Ð Ñ œ œα " =/8Ð Ñ-9=Ð Ñ -9= -9= =/8 =/8

=/8 -9= -9= =/8α "α " α " α "

α " α "

y dividir el numerador y el denominador por el factor -9= -9=α "

COROLARIOS:1. =/8 # œ #=/8 -9=α α α#Þ -9=# œ # -9= " œ " #=/8α α α# #

$Þ =/8 œ „α α α# # #

"-9=É (signo según cuadrante en que está )

4. (signo según cuadrante en que está )-9= œ „α α α# # #

"-9=É

13

Para demostrar estos corolarios basta aplicar el teorema anterior conα "œ y proceder de modo inverso para las fórmulas del ángulo medio.

Con estos resultados podemos, en principio, calcular las funcionestrigonométricas para, prácticamente , cualquier ángulo. En efecto, puestoque, por ejemplo, y entonces:=/8 $! œ -9= $! œ ß9 9"

# #$È

ñ =/8 "& œ œ9 "-9= $!# #

"É Ê9$

#

È

ñ -9= "& œ œ9 "-9= $!# #

"É Ê9$

#

È

ñ =/8 (ß & œ œ9 "-9= "&# #

"É Ë9"

$#

#Ê È

ñ -9= (ß & œ œ9 "-9= "&# #

"É Ë9"

$#

#Ê È

De este modo, con suficiente paciencia, podemos calcular senos y cosenosde ángulos tan pequeños como sea necesario. Enseguida podemossumarlos apropiadamente y obtener así las funciones trigonométricas quenecesitamos.No podemos ocultar el hecho de que existen otros métodos más prácticos,pero esos métodos requieren cálculo infinitesimal. En ese sentido, esinteresante hacerse la pregunta: ¿cómo calculan estas funcionestrigonométricas las calculadoras electrónicas? ¿ qué precisión puedenasegurar?

1.4. PROBLEMAS

1. Demuestre los teoremas del seno y del coseno para triánguloscualquiera. Para esto demuestre previamente que, si es un ánguloαobtuso, entonces À

=/8Ð Ñ œ =/8 à -9= Ð Ñ œ -9=1 α α 1 α α

2. Sea un ángulo cualquiera. Demuestre:) ñ =/8 -9= œ "# #) ) ñ =/8Ð Ñ œ -9=) )1

#

ñ -9=Ð Ñ œ =/8) )1#

(el seno es una función )ñ =/8Ð Ñ œ =/8) ) impar

14

(el coseno es una función )ñ -9=Ð Ñ œ -9=) ) par ñ =/8Ð # Ñ œ =/8) 1 ) (seno y coseno son funciones )ñ -9=Ð # Ñ œ -9=) 1 ) periódicas

3 Calcule al área de un triángulo en términos de sus lados y ángulos

4. Sobre una colina hay una torre : ¿cómo calcularía Ud. su alturaobservándola desde el valle?

5. Desde la cúspide de un faro de altura situado sobre un acantilado se2mide el ángulo que forma la visual hacia el barco respecto de laαvertical y desde la base se mide el ángulo que forma la visual hacia el"barco respecto de la vertical.(Ver Figura 1.9) ¿A qué distancia seencuentra el barco? Haga el cálculo para el caso: 2 œ (Þ)Ò7Ó ß œ )(Þ*α 9

ß œ *"Þ(" 9

6. Desde un helicóptero que pasa justo al medio de dos iglesias separadaspor una distancia que el piloto conoce, se mide el ángulo que subtienden.las iglesias. Calcule la altura a que vuela el helicóptero. Una vez obtenidauna buena fórmula, póngale estos números: α œ &' ß . œ #&!Ò7Ó9

7. ¿Qué ocurre en el problema anterior si el helicóptero no pasa justo almedio de las iglesias? ¿Debe hacer nuevas mediciones?. Discuta lasituación según diversos casos.

8. Una escala de 3[m] de largo está apoyada sobre la pared de unedificio. Si su base está a 1.3[m] del edificio ¿qué ángulo forma la escaleracon el piso? ¿Qué ocurre si el edificio es la torre de Pisa?

9. Justo frente a la ventana de mi departamento, al otro lado de la calle, seeleva un edificio nuevo en construcción. Por razones personales deseocalcular su altura: mido desde mi ventana el ángulo que forma la visualhacia la punta del edificio con la horizontal : 3 Después bajo hasta la9Þpuerta de calle de mi departamento y hago la misma medición: 5 . Como9

estos datos no son suficientes, mido con una lienza la altura a quesencuentra mi ventana: son 8 metros. ¿Qué altura tenía el edificio? ¿a quedistancia del mío se encontraba?

15

10. Se entiende por un triángulo, el obtener fórmulas explícitas oresolver valores numéricos de los distintos elementos de un triángulo, en funciónde otros elementos dados: resolver un ABC dados:? un lado y dos ángulosñ dos lados y el ángulo comprendido entre ellosñ dos lados y el ángulo opuesto al mayorñ los tres ladosñ

11. La paralaje de la estrella (la más cercana conocida)proxima centauriies de 0,765 segundos de arco. Si la distancia de la Tierra al sol es de,aproximadamente, 150 millones de kilómetros, ¿cuál será la distancia deesta estrella a nuestro sistema solar? Calcúlela también en años-luz,suponiendo que la luz viaja a 300.000 kilómetros por segundo.

12. La torre de Pisa tiene una inclinación aproximada de 8 respecto a la9

vertical. Calcular la altura de la torre, si un observador que se encuentra a29 metros de distancia vé la cúspide con un ángulo de elevación de 38.59Þ¿Le faltan datos? ¿Cuáles?

13. El palo central de una tienda de campaña de forma de un cono circulartiene una altura de 6 metros y su parte superior está sostenida por cuerdade 12 metros de largo amarradas a estacas clavadas en la tierra. ¿A quédistancia están las estacas del pié del mástil? ¿Cuál es la inclinación de loscables con la tierra?

14. El terreno ocupado por un granero es de 2 m] por 1 [m] y la( $inclinación de las alas del techo es de 35 Hallar la longitud de las vigas9Þy el área del techo completo, siendo la proyección horizontal de la cornisade 45[cm]

15. Desde lo alto de una roca de 150 pies de altura los ángulos dedepresión de dos botes situados al sur del observador son de 15 y 759 9ÞDeterminar la distancia que hay entre ellos.

16. Dos vias férreas se cortan en un ángulo de 26 . Del punto de9 w"'intersección parten dos trenes simultáneamente, una por cada vía. Unaviaja a 20 millas por hora. ¿ A qué velocidad debe viajar la otra para queal cabo de tres horas la distancia entre ellas sea de 30 millas? Discuta elrealismo de este problema.

16

17. Obtenga una fórmula explícita y exacta para el seno de un ángulomenor que un grado sexagesimal, usando la fórmula del ángulo mediopara el ángulo de 459

18. Demuestre las identidades (indicando el conjunto de excepciones): ñ " >1 B œ =/- B# #

ñ Ð-9= B "ÑÐ-9> B "Ñ " œ !# #

2ñ -9= Ð Ñ -9= Ð Ñ -9= # -9= # œ# #α " α " α " ñ -9= $B œ % -9= B $-9= B$

ñ œ"=/8 #-9= # ">1

">1αα α

α

1.5 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMO FUNCIONES DE VARIABLE REAL

¿Qué significa un ángulo? A nuestro entender significa podermedirasociarle unívocamente un número real. Con nuestro sistema de asociar acada ángulo, positivo o negativo, la longitud del arco de un círculo deradio unitario que recorre la semirecta que define el ángulo, tenemos unbuen método para medir ángulos. La unidad de medida será en este caso elradián. Si cambiamos de unidad de medida, el número real asociado seráotro. Recíprocamente, para cada número real nos gustaría poder definirun ángulo con esa medida. Aquí tropezamos con una dificultadmatemática no trivial: poder en buena forma la de unadefinir longitudcurva en el plano y poder dicha longitud. ¿Es que cualquier curvacalcular plana tiene longitud? ¿Cuáles curvas tienen longitud y cuales no?En nuestro caso la cosa no es tan complicada: solo tenemos que podercalcular la longitud de un arco de circunferencia, cuya existencia damospor sentada. Aceptando esto, podemos asociar a cada número real,positivo o negativo, un ángulo (positivo si se mide la longitud del arcorecorrido en el sentido contrario a los punteros del reloj, y negativocuando se recorre el arco al revés). Pero a cada ángulo podemos asociarlas funciones trigonométricas, de modo que, combinando ambosprocedimientos, podemos definir las funciones trigonométricas comofunciones reales de variable real:

17

Figura 1.13

Sea un número real, si llamamos al ángulo asociado medido enB ÐBÑ)radianes, entonces podemos definir las funciones reales:

=/8ÐBÑ œ =/8Ð ÐBÑÑà -9=ÐBÑ œ -9=Ð ÐBÑÑ à >1ÐBÑ œ >1Ð ÐBÑß />-Þ) ) )

Podemos bosquejar sus gráficas:

Figura 1.14

Se observa que todas estas funciones son periódicas, es decir, repiten susmismos valores cada cierta distancia fija. En general, una función real0 À !‘Ò‘ 3 se llama si existe un número tal queperiódica 0ÐB Ñ œ 0ÐBÑß aB − Þ3 ‘ 3 El número positivo que realiza estamenor igualdad se llama .período

18

Figura 1.15

Por se entiende la de la diferencia entre el mayor y elamplitud mitad menor valor posible. Por se entiende el desplazamientodiferencia de fasea izquierda o derecha respecto a una posición considerada de referencia("fase cero"). Veamos esto mediante algunos ejemplos:

EJEMPLOS

1. período0ÐBÑ œ =/8B À œ #1 amplitud œ " diferencia de fase œ !

#Þ 0ÐBÑ œ $-9=ÐB Ñ œ #1% : período 1

amplitud œ $ diferencia de fase œ 1

%

( debedesplazarse hacia la izquierda para quedar en la fase cero)B 1%

3. período0ÐBÑ œ #=/8Ð$B "Ñ À œ #$1

amplitud œ # diferencia de fase œ "

$

Notar que, para obtener la diferencia de fase en este caso se ha planteadola ecuación: : o sea, debe desplazarse a la derecha$B " œ ! B œ B" "

$ $

para quedar en la fase cero.

19

Figura 1.16

Todas las funciones anteriores suelen recibir el nombre de , essinusoidesdecir, parecidas al seno.

Consideremos ahora la función seno restringida al intervalo :Ò ß Ó1 1# #

se observa que esta función es biyectiva y por lo tanto posee una inversa,llamada : En la Figura 1.17arco-seno +<-=/8 À Ò "ß "Ó Ò ß ÓÞÒ 1 1

# #

(a) y (b) presentamos las gráficas de estas funciones:

-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

-1.0

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y

-1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2

0.20.40.60.81.01.21.4

x

y

(a) gráfica de seno (b) gráfica de arcoseno

Figura 1.17

Se pueden definir otras del arco-seno, tomando otra serie de valoresramasde que produzcan el mismo seno: basta agregar una constante de laBforma . Se puede definir, para cada número real el :#5 B1 conjunto

E<-=/8ÐBÑ œ Ö − À =/8 œ B×) ‘ )Aquí estamos denotando al conjunto con la inicial mayúscula, mientrasque la rama en la denotamos con minúscula. Es claro que elÒ ß Ó1 1

# #

conjunto será vacío, si E<-=/8ÐBÑ B Â Ò "ß "Ó

20

De forma análoga podemos proceder con las demás funcionestrigonométricas Para el arco-coseno se acostumbra a usar la rama que estáÞen En la Figura 1.18 mostramos el coseno y el arccos:Ò!ß ÓÞ1

Figura 1.18

En la Figura1.19 mostramos la gráfica de la tangente y una rama de lafunción arco-tangente:

-1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

-10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

x

y

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10

-1.5

-1.0

-0.5

0.5

1.0

1.5

x

y

(a) Gráfica de tangente (b) Gráfica de arco-tangente

Figura 1.19

Resulta interesante resolver es decirecuaciones trigonométricas,ecuaciones donde intervienen funciones trigonométricas. Como estasfunciones son periódicas, habrá generalmente infinitas soluciones y el

21

problema consistirá en describir apropiadamente todas ellas. Veámoslo enunos ejemplos:

EJEMPLOS1. Resolver la ecuación:

$=/8B œ " #=/8BDespejando resulta: luego:=/8B =/8B œ "ß

B œ #5 ß 5 −1# 1 ™

Figura 1.20

2. Resolver la ecuación:$=/8B œ " =/8B

de donde por lo tanto:=/8B œ ß"#

B œ #5 ß 5 −

#5 ß 5 −œ 1

1'&'

1 ™

1 ™

22

Figura 1.21

3. Resolver la ecuación:l#=/8B "l l=/8B "l œ !

Aquí debe observarse que ambos sumandos son positivos y por lo tanto laúnica manera que su suma sea 0 es que ambos sean 0. En ese caso setendría: y a la vez lo que es imposible. Luego=/8B œ =/8B œ ""

#

esta ecuación no tiene soluciones.

4. Resolver la ecuación:l#=/8 B "l l=/8B "l œ "

Esta ecuación es muy parecida a la anterior, pero tiene, sin embargo,muchas soluciones. En efecto, primero hay que observar que el término=/8B " es siempre negativo, por lo que la ecuación se simplifica yqueda:

l#=/8 B "l =/8B œ !Para eliminar el valor absoluto, es necesario buscar las soluciones en dosámbitos diferentes:Ð3Ñ #=/8B "   ! ß =/8B   , es decir si , entonces la ecuación es:"

#

#=/8B " =/8B œ ! luego , que pertenece al ámbito de busqueda y por lo tanto=/8B œ "

B œ #51# 1

es una familia infinita de soluciones.Ð33Ñ #=/8B " ! =/8B , es decir si , entonces la ecuación es:"

#

#=/8B " =/8B œ !

23

luego que pertenece al nuevo ámbito de búsqueda y por lo=/8B œ ß"$

tanto tendremos dos familias infinitas de soluciones:

B œ!Þ$% #5#Þ)! #5œ 1

1

De un modo análogo se pueden plantear trigonométricas, esinecuaciones decir, problemas de búsqueda de números reales que satisfacen algunarelación de desigualdad y que contiene funciones trigonométricas.

EJEMPLOS

1. Resolver la inecuación:=/8B Ÿ "

#

Utilizando un gráfico, se puede ver que el conjunto solución en elintervalo es: Ò!ß # Ó Ò ß Ó1 1 1

' '&

Figura 1.22

2. Resolver la inecuación:=/8B -9= B "

Una forma poco inteligente de abordar este problema es hacer unaelaboración algebraica del tipo:=/8B " =/8 B "ßÈ # luegoÈ" =/8 B " =/8B# , elevando al cuadrado" =/8 B " #=/8B =/8 B ß# # y simplificando y factorizando

24

=/8BÐ=/8B "Ñ ! =/8B " y como es siempre negativo, seconcluye=/8B !ß À B # por lo tanto mas las traslaciones debido al1 1período. Pero este resultado se obtiene directamente de la inecuación:

=/8B " -9= Bpuesto que es positivo. Del mismo modo , despejando el" -9= Bcoseno:

-9= B " =/8Blo que se cumple si , es decir, si mas el período.-9= B ! B 1 1

# #$

Luego, la inecuación se cumple en todo el intervalo más lasÓ ß # Ò1# 1

traslaciones debido al período. La pregunta ahora es si acaso estas son lasúnicas soluciones. Para esto hay que investigar que ocurre en el intervaloÒ!ß Ó Þ =/8 B -9= B1

# Pero en ese intervalo y son los lados del triángulorectángulo de hipotenusa de largo 1. Por lo tanto en=/8B -9= B "ese intervalo. Por lo tanto la solución final es:

W œ ÖB #5 À B ß 5 − ×1 ™1 1# #

$

De modo análogo se pueden plantear de ecuaciones , sistemas desistemasinecuaciones y sistemas mixtos, es decir, de ecuaciones e inecuaciones. Enel caso de los sistemas el problema consiste en encontrar aquellosnúmeros que satisfacen las condiciones propuestas. Veamos untodasejemplo:

EJEMPLO

Resolver el sistema mixto:

l" #-9= Bl œ "l B "l Ÿ #

La segunda condición, de desigualdad, es fácil de resolver:" Ÿ B Ÿ $

Para resolver la primera condición, de igualdad, es necesario buscar endos ámbitos diferentes:Ð3Ñ " -9= #B   ! -9= B   En , es decir, donde . Aquí la"

#

ecuación es:

25

" #-9= B œ " -9= B œ !, luego que está en el ámbito de búsqueda, por

lo tanto B œ #5

#5œ 1

1#$#

1

1

Pero debe estar entre 1 y 3 , por lo tanto la única solución en este ámbitoBes 1#Ð33Ñ " -9= #B ! ß -9= B En es decir, donde . Aquí la1

#

ecuación es: " # -9= B œ " -9= B œ ", luego uque está en el ámbito debúsqueda , por lo tanto B œ #51 1Pero debe estar entre 1 y 3 , por lo tanto la única solución en este ámbitoBes Luego, el conjunto-solución del sistema es:1Þ

W œ Ö ß ×1# 1

1.6 PROBLEMAS

1 . Determinar período, amplitud y diferencia de fase de las siguientessinusoides y dibujar sus gráficas: ñ 0ÐBÑ œ #=/8Ð#B Ñ1$ ñ 0ÐBÑ œ #-9=Ð$B Ñ "1

#

ñ 0ÐBÑ œ $ -9=ÐB Ñ1%

2. Escribir la ecuación de una sinusoide con las siguientes características:

período amplitud dif. de faseñ œ à œ " à œ 1 1# #

período amplitud dif. de faseñ œ à œ à œ1 1"#

3. Encuentre : +<--9=Ð=/8ÐBÑÑ

%Þ +<-=/8 + œ +<--9=Ð " + Ñ Demuestre : È #

5. Resolver las siguientes ecuaciones:

Ð+Ñ #-9= $-9= œ ##) ) Ð,Ñ =/- B -9= B œ =/8B Ð-Ñ =/8Ð Ñ œ " -9=BB

#

26

Ð.Ñ +<-=/8B œ +<->1 B Ð/Ñ >1 B $=/-B $ œ !#

Ð0Ñ +<- =/8B +<- =/8 #B œ ! Ð1Ñ +<- =/8B +<--9= B œ 1

#

6. Resolver el sistema:=/8B=/8C œ "

% ¹-9=B-9=C œ $

% ¹7. Resuelva la ecuación:

-9=#B =/8B œ "

¿Cuántas soluciones hay en ? ¿Cuántas soluciones hay enÒ # ß # Ó1 1Ò!ß # Ó1 ? Ubíquelas en un gráfico.

8. Resolver la ecuación:

È" -9= B =/8 Ð' BÑ œ !# 1

*. Resuelva :#-9= #B >1B œ #

Indique en un gráfico aquellas soluciones que están en Ò ß Ó1 1

"!. Resolver las inecuaciones: Ð+Ñ =/8 #B -9= 1

$

Ð,Ñ $ =/8B -9= B   "È""Þ Resolver el sistema mixto (ecuaciones con inecuaciones)

-9= #B =/8B œ " ¹B 'B & Ÿ !# ¹

1#. Resolver:#=/8B &-9= B ! Ó ß Ò en 1 1

# #

27

1$. Resolver el sistema de inecuaciones:

>1 B -9> B >1 1%

¸#B 'B #! Ÿ !# ¹

"%. Resolver:

È%=/8 B " " #=/8B#

lB $l Ÿ ! ¹1&. Resolver el sistema mixto:

-9=/- B -9> B œ $È" B Ÿ 6¹

"'Þ Resolver las ecuaciones:

ñ l" #=/8Bl œ =/8B |ñ " $-9= Bl œ -9= B

"(ЇÑÞ :Resolver la inecuación con parámetro real :

È=/8 B :   " -9= B#

(Aquí debe usted clasificar las posibles soluciones según el valor delparámetro . Distinga en particular los casos y ): : œ ! : œ "

#

1.7 . TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

Se cuenta que, a finales de los años 70, la Gobernación Marítima deValparaíso contrató a dos jóvenes ingenieros para calcular las rutas deacercamiento de los barcos que se dirigían a puerto desde lejanas latitudes.En aquella época recién se estaban difundiendo las computadoraspersonales y su uso se estaba convirtiendo en una moda muy extendida

28

entre los jóvenes profesionales. Haciendo uso de ellas, nuestros ingenieroscomenzaron su tarea con gran entusiasmo. Sin embargo aparecieronerrores reiterados que hacían perder tiempo ( y dinero) a las compañíasnavieras. Pensando que eran errores de redondeo en los cálculos,introdujeron en los programas computacionales. Pero losdoble precisiónerrores persistían. Hasta que un viejo ingeniero naval se percató quenuestros jóvenes profesionales habían programado los cálculos usandoTrigonometría Plana, la única que habían aprendido en la Universidad.Pero la Tierra no es plana y si los barcos estaban bastante lejos, laredondez de la Tierra había que tomarla en cuenta. Si bien la Tierra no es exactamente una esfera, se acerca bastante a esaforma: ¿pero hay versiones de los teoremas del seno y el coseno cuandolos lados del triángulo ya no son rectas sino arcos de círculo? ¿Quérelaciones se pueden establecer entre los elementos de un triángulo cuyoslados son arcos de círculo máximo de una esfera?Hay dos problemas básicos en la navegación: uno es el de determinar ladirección en que se debe navegar para llegar al punto deseado. Este es elProblema del Rumbo. El otro es el problema inverso: partiendo de ciertopunto conocido y con un rumbo dado, después de recorrer una ciertadistancia, ¿ cuál es la ubicación del barco? Este es el llamado Problema deColón. Para resolver estos problemas se necesita un sistema decoordenadas sobre la esfera terrestre ( y , por supuesto, considerar laTierra como una esfera). Además, se necesita desarrollar una versión de laTrigonometría sobre la esfera: la Trigonometría Esférica.Entenderemos por ABC a la figura sobre la superficie

otriángulo esférico ?

de una esfera formada por tres puntos A, B, C sobre ella , llamadosvértices, y los tres arcos de círculo máximo que unen dichos vértices.

29

Figura 1.17

Se van a entender como del triángulo esférico ABC loso

lados +ß , ß - ?ángulos que subtienden los arcos respecto del centro de la esfera. Losángulos , y en los vértices respectivos A, B, C son los α " # ángulosdiedros formados por los planos que pasan por el centro y los vérticesrespectivos. Por ejemplo, será el ángulo diedro formado por los planosαOAC y OBC en la Figura 1.17. Recordemos que el ángulo diedro entredos planos se obtiene trazando perpendiculares a la intersección de losplanos:

Figura 1.18

30

Nótese que en un triángulo esférico la suma de los ángulos α " # puede ser mayor que 180 . Por ejemplo en el triángulo esta9 trirectángulosuma es de 2709

Figura1.19

Dados dos puntos A, B cualquiera sobre la esfera, el arco AB se entenderácomo el arco menor o igual a 180 . Todo arco posee dos que son9 poloslos puntos sobre la esfera que intersecta la recta perpendicular al planoOAB.

Figura 1.20

Si C es el tercer vértice del triángulo esférico ABC , entonces podemoso?

elegir como polo del arco AB aquél que está en el mismo hemisferio queel vértice C. Llamaremos a este polo C' . Lo mismo podemos hacer con los

31

otros dos arcos del triángulo esférico: A' será el polo del arco BC que estáen el mismo hemisferio que A y B' el polo del arco AC que está en elmismo hemisferio que B. De este modo hemos definido un nuevotriángulo esférico: A'B'C' que llamaremos de ABC.

o o? ?triángulo polar

Es útil notar que cualquier arco que vaya desde el polo al planoTdeterminado por el arco AB medirá 90 , es decir radianes.9

#1

Los teoremas básicos de la Trigonometría Esférica hacen uso del triángulopolar y sus propiedades.Demostraremos previamente estas propiedades en forma de Lema:

LEMA Sea A'B'C' el triángulo polar de ABC . Entonces:

o o? ?

Ð+Ñ + œ à , œ à - œ ß + ß , -w w w w w w1 α 1 " 1 # donde y son loslados ángulos del triángulo polar, mientras que , y son los delα " #

triángulo ABCo?

Ð,Ñ El triángulo ABC es el triángulo polar de A'B'C'o o? ?

DEMOSTRACIÓN

Consideremos el arco BC y su polo asociado A' y además el arco AC consu polo B'. Luego, por definición el arco A'C es recto y del mismo modoßel arco B'C también mide Por lo tanto, el vértice C es polo del arco1

# Þ

E F F Gw w w w. De modo análogo, A será el polo del arco y B el polo deE G Þ EFGw w Esto demuestra que el triángulo es el triángulo polar de su

o?

triángulo polar.

32

Figura 1.21

Prolongando el arco se obtienen las intersecciones con el arcoE F Hw w

AC y E con el arco CB. Como es polo del arco CB, el arco mideE E Iw w

también , lo mismo que el arco puesto que es polo del arco AC.1#

w wF H F

Observando el arco completo se tiene:HE F Iw w

# 1 - œ HI E F œ HF E I œ œw w w w w# #1 1

de donde : .- œ w 1 # Si se teme que esta deducción depende de la distribución de los puntosHE F I H Iw w sobre el arco, sería necesario ver que ocurre si los puntos y se encuentran en otros lugares:

Supongamos que la secuencia es : también se cumple:ñ E HF Iw w

HI E F œ HF E Iw w w w

Si la secuencia es, finalmente nuevamente se tiene:ñ E HIF ßw w

HI E F œ HF E Iw w w w

Notar que en todos los casos se está sumando dos veces el arco interior.

Las otras dos relaciones se demuestran solo por cambio de nombre de loselementos.

33

TEOREMA 3 Sea un triángulo esférico. Entonces:?9EFG

1. (Ley de los senos)=/8 + =/8 , =/8 -=/8 =/8 =/8α " #œ œ

2. -9= + œ -9= , -9= - =/8 , =/8 - -9=α -9= , œ -9= - -9= + =/8 - =/8 + -9= " -9= - œ -9= + -9= , =/8 + =/8, -9= # (Ley de los cosenos para los lados)

3. -9= œ -9= -9= =/8 =/8 -9= +α " # " # -9= œ -9= -9= =/8 =/8 -9= ," # α # α -9= œ -9= -9= =/8 =/8 -9= -# α " α " (Ley de los cosenos para los ángulos diedros)

DEMOSTRACIÓN

Consideremos primero el caso particular de un triángulo esféricorectángulo en C, es decir, # œ *! Þ9

Figura 1.22

Tracemos por B un plano perpendicular a OA. Este plano cortará a OA enel punto E y a OC en el punto D. Notar que entonces los ángulos OEB yOED son rectos. Por lo tanto el ángulo BED será el ángulo diedro . Elαplano BED es perpendicular al plano OAC pues éste contiene la recta OA

34

que es perpendicular al plano BED. Por otro lado, ya que el triánguloesférico es rectángulo en C, el plano ODB es perpendicular al plano OAC.Por lo tanto la recta BD es perpendicular al plano OAC, pues es laintersección de dos planos que son perpendiculares a OAC. En particularBD es perpendicular a OC y también BD es perpendicular a DE.Observando la Figura 1.22 y aplicando directamente las definiciones delas funciones trigonométricas pertinentes, se obtiene:

(1) =/8 + œ œ œ =/8 =/8 -FH FH IFSF IF SF α

(2) >1 + œ œ œ >1 =/8 ,FH FH HISH HI SH α

(3) -9= - œ œ œ -9= , -9= +SI SI SHSF SH SF

(4) >1 , œ œ œ -9= >1 -HI HI IFSI IF SI α

Sea ahora ABC un triángulo esférico cualquiera. Por el vértice C y elo?

centro O de la esfera podemos trazar un plano perpendicular al planoAOB, lo que corresponde a la altura :2

Figura 1.23

Este plano corta al arco AB en un punto D determinándose los lados y7- 7 7 - ( o bien si la altura corta fuera de AB). Se determinan asídos triángulos esféricos rectángulos en el vértice D y podemos aplicar lasrelaciones obtenidas más arribaÞ

35

1. Demostremos ahora la ley de los senos À

( usando (1) en ADC )o

=/82 œ =/8 =/8 ,α ?

( usando (1) en DBC )o

=/82 œ =/8 =/8 +" ?

Luego: Bajando la otra altura se completa la igualdad=/8 + =/8 ,=/8 =/8α "œ Þ

con el cuociente =/8 -=/8 #

2. Para demostrar la ley de los cosenos para los lados observamos: (5) usando (2) en ADC )

o>1 2 œ >1 =/87 Ðα ?

(6) (usando (1) en ADC)o

=/82 œ =/8 , =/8α ?

(7) (usando (3) en ADC )o

-9= , œ -9= 2 -9=7 ?

(8) (usando (3) en DBC )o

-9= + œ -9= 2 -9=Ð- 7Ñ ?Luego, usando el teorema del coseno de la suma en (8), tenemos:

-9= + œ -9= 2 Ð-9= - -9=7 =/8 - =/87Ñreemplazando aquí y de (7) y (5) respectivamente:-9=7 =/87-9= + œ -9= 2Ð-9= - =/8 - Ñ œ-9= , =/82 -9=

-9= 2 -9= 2 =/8αα

œ -9= - -9= , =/8 - =/82 -9==/8

αα

reemplazando finalmente de (6) se obtiene la ley del coseno para el=/8 2lado . Las otras dos leyes se obtienen simplemente cambiando el nombre-a los elementos. Aquí conviene notar que, en caso que la altura corte fuerade AB el lado deberá ser reemplazado por y el coseno no- 7 7 -cambia en la relación (8).

3. Para demostrar la ley de los cosenos para los ángulos diedros es precisopasar al triángulo polar Apliquemos el teorema de los cosenos

o?E F G Þw w w

para los lados al triángulo polar :o?E F Gw w w

-9= + œ -9= , -9= - =/8 , =/8- -9=w w w w w wαPero por el Lema, además, como+ œ à , œ à - œ ßw w w1 α 1 " 1 #

? ? 1 αo o

es el triángulo polar de , es decir,EFG EFG + œ ßw

α 1w œ +Þ Sustituyendo estas relaciones en la igualdad anterior:-9=Ð Ñ œ -9=Ð Ñ-9=Ð Ñ 1 α 1 " 1 # =/8Ð Ñ=/8Ð Ñ-9=Ð +Ñ1 " 1 # 1 luego, utilizando la relación de las funciones trigonométricas con losángulos suplementarios, se tiene:

-9= œ Ð -9= ÑÐ -9= Ñ =/8 =/8 Ð -9= +Ñα " # " #

36

es decir:-9= œ -9= -9= =/8 =/8 -9= +α " # " #

que era lo que queríamos demostrar. Las otras dos leyes se obtienennuevamente cambiando el nombre a los elementos.

LOS PROBLEMAS DE LA NAVEGACIÓN

Para resolver los dos problemas clásicos de la navegación, debemosintroducir un sistema de coordenadas apropiado: uno de los "ejes" es elllamado que es el arco de círculo máximo quemeridiano de Greewichpasa por los polos y por la ciudad de Greenwich (cerca de Londres). Elotro es el Ecuador, que es el círculo máximo situado en el planoperpendicular a la recta que pasa por los polos. Un punto A sobre la esferaquedará determinado por el ángulo entre los planos que pasan por losαpolos y A y el plano que contiene al meridiano de Greenwich. Este ángulose llama y se mide entre 0 y 180 hacia el Este o hacia el Oeste.longitud 9

La otra coordenada es la llamada , que es el ángulo sobre ellatitud meridiano que va desde el ecuador hasta el punto A. La latitud se mediráentonces desde 0 a 90 hacia el norte o hacia el sur.9

Figura 1.24

37

Se entiende por de un de un navío que se mueve sobre un arco derumbocírculo máximo sobre la superficie de la tierra, al ángulo que forma sumovimiento medido desde el meridiano que pasa por la posición en que seencuentra. Este ángulo se mide de 0 a 180 hacia el Este o hacia el Oeste.9

Figura 1.25

El rumbo se puede medir también de 0 a 90 hacia el NE (noreste), hacia9

el NO (noroeste), hacia el SE (sureste) o hacia el SO (suroeste). Nóteseque el rumbo depende de la dirección del movimiento y que, a menos quese navegue por un meridiano o por el Ecuador, el rumbo cambiaconstantemente.

38

Figura 1.26

El problema del RumboDados los puntos A y B, determinar el rumbo de salida, el rumbo dellegada y la distancia que los separa. En este caso se forma un triánguloesférico tomando como tercer vértice el polo norte ( o el polo sur):

Figura 1.27

Los datos son: el lado a: 90 latitud de B (se tomará el signo si B señ „ 9

encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si está en el Sur)

39

el lado b : 90 latitud de A (se tomará el signo si A señ „ 9

encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si está en el Sur) el ángulo : la diferencia de longitudes de A y Bñ #Se busca: rumbo de salida : ; rumbo de llegada: 180 y distancia : cα "9 La distancia se obtiene directamente del teorema del coseno parañlos lados:

-9= - œ -9= + -9= , =/8 + =/8 ,-9= #

Para calcular el rumbo de salida usamos el teorema de losñ αsenos:

=/8 œα =/8 + =/8=/8 -

#

donde ya que el ha sido calculado.=/8 - œ " -9= - ß -9= -È #

El rumbo de llegada se calcula análogamente:ñ

=/8 œ" =/8 + =/8=/8 -

#

Apliquemos estos resultados a un problema concreto: partimos de BuenosAires (35 ) y queremos llegar a las Islas Canarias (309 9 96+>ÞW ß '! 6981ÞS6+>R ß #! 6981ÞS9 )

Figura 1.28

Entonces: # œ %! ß + œ *! $! œ '! ß , œ *! $& œ "#&9 9 9 9 9 9 9

Por lo tanto, la distancia será:

40

-9= - œ Ð!Þ&ÑÐ !Þ&(Ñ Ð!Þ)(ÑÐ!Þ)#ÑÐ!Þ((Ñ œ !Þ#'luego millas marinas (una milla marina es- œ (%ß '( œ %%)! œ %Þ%)!9 w

aproximadamente un minuto de arco sobre la esfera terrestre. Como 1kilómetro corresponde a 1,852 millas marinas, la distancia será de,aproximadamente, 8.297 Km.Por otro lado y por lo tanto =/8 - œ =/8 (%Þ'( œ !Þ*' À9

=/8 œ œ !Þ&( ß œ $%ß *) Iα αÐ!Þ)'ÑÐ!Þ'%ÑÐ!Þ*'Ñ

9 Análogamente, resulta " œ $$ß #' IÞ9

El problema de ColónPartimos de un punto dado A con un rumbo de salida dado y recorremosαuna distancia siguiendo un arco de círculo máximo: ¿ cuáles son las-coordenadas (latitud y longitud) del punto B de llegada? Nuevamentepodemos tomar como tercer vértice el polo Norte.Esta vez los datos son (ver Figura 1.27): el ángulo (rumbo de salida)ñ α el lado b : 90 latitud de A (se tomará el signo si A señ „ 9

encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si está en el Sur) el lado (medido en millas marinas nos dará el ángulo enñ -minutos)El lado lo podemos calcular directamente de la ley de los cosenos:+

-9= + œ -9= , -9= - =/8 , =/8 - -9=αLa latitud del punto B será 90 o según resulte serÀ + + *! ß +9 9

menor o mayor que 90 . Si es menor que 90 significa que el punto de9 9+llagada B se encuentra en el hemisferio norte.Usando la ley de los senos, se tiene:

=/8 œ# =/8 - =/8=/8 +

α La longitud de B será igual a la longitud de A más (o menos) el ángulo ,#según sin el rumbo tomado fué Este u Oeste.

Apliquemos estos resultados a un problema concreto: partimos deValparaíso (33 S , 72 O) con rumbo de salida 45 O y9 9 96+>Þ 6981Þrecorremos 200 millas marinas. ¿ dónde nos encontramos?

41

Figura 1.29

En este caso : α œ %& ß - œ #!! œ $ß $$ ß , œ *! $$ œ "#$9 w 9 9 9 9

-9= + œ Ð !Þ&%ÑÐ!Þ**Ñ Ð!Þ)%ÑÐ!Þ!'ÑÐ!Þ("Ñ œ !Þ&!

Luego y por lo tanto la latitud de B será 29,9+ œ ""*ß *# RÞ9 9

=/8 œ œ !Þ!&# Ð!Þ!'ÑÐ!Þ("Ñ!Þ)(

luego y por lo tanto la longitud del punto B será de 74,82 O.# œ #ß )#9 9

1.8. PROBLEMAS

1. El rumbo inicial de un barco que parte desde Nueva York(40 O ) es de Localizar el punto M del9 w 9 w 9 w%# Rà (% "! $! "! RIÞrecorrido que sea el más cercano al polo Norte y calcular las distanciasdesde M al polo y a Nueva York.

42

2. Un barco parte de San Francisco (37 ) con un rumbo9 w 9 w%) Rà "## #% Sinicial de 40 . Calcule la distancia hasta el cruce con el Ecuador.9 w$! WS¿Cuál será la longitud en ese punto? Localice además el punto en que seencuentra el barco después de recorrer 340 millas marinas.

3. Un aeroplano sale de Honolulú (21 ) con rumbo9 w 9 w") R à "&( &# Sinicial de 40 Encuentre el punto más cercano al polo Norte de su9%$RIÞtrayectoria y calcule la latitud en que se encuentra cuando la longitud esde 749 S

4. Un barco parte de Valparaíso (33 con un rumbo inicial de9 9Wà (# SÑ32 ¿ Qué distancia se puede recorrer de modo que el error cometido9 WSÞen el cálculo de la latitud usando Trigonometría Plana sea menor o igual aun grado sexagesimal? Use el Polo Sur como tercer vértice.(Indicación: use el método de ensayo y error)

5. Un barco que navega en la polinesia francesa (15 necesita9 9W à "%! SÑser guiado a Valparaíso (33 : calcule el rumbo de salida. Calcule9 9Wà (# SÑeste rumbo como si la tierra fuese plana (use el polo sur como tercervértice): ¿adónde iría a parar en Chile si se usa ese rumbo erróneo?

6. Un barco parte de un punto A (20 ) con rumbo 30 y9 9 9Rà ! 6981Þ RIrecorre 3000 millas marinas alcanzando el punto B. Calcule latitud y longitud de Bñ Si el capitán no sabe trigonometría esférica y aplica plana,ñencuentre los valores de latitud y longitud calculados de este modoerróneo. La (falsa) posición calculada por este capitán ¿se encuentra másñal Sur o más al Norte, más al Oeste o más al Este de la verdadera? ¿Cuál es el error total cometido? (es decir, la distancia en millasñentre la posición falsa y la verdadera?

7. Un barco parte de Valparaíso con la intención de llegar a Isla de Pascua(27 pero parte con un rumbo levemente equivocado de 86 S .9 9 9Wà "!* SÑ SCalcule la distáncia mínima a Isla de Pascua por la que pasa el barco.¿Cuál debió ser el rumbo (de salida) correcto?

43

8. Dos barcos A y B parten desde un mismo punto a las 12:00 hrs. y sealejan uno de otro según un ángulo de 7 . Si el barco A se desplaza en9

línea recta a 8 nudos y B a 6 nudos, ¿ A qué distancia estará uno de otro alas 16:00 hrs.? Use Trigonometría Plana y Esférica y calcule el errorcometido. Estudie cómo aumenta el error a medida que los barcos sealejan.(1 nudo 1 milla marina por hora 1.852 Km/hora )œ œ

9. Dos submarinos zarpan desde un mismo punto y al mismo tiempo enrumbos que difieren en un ángulo . Uno navega con un a velocidad deα25 nudos y el otro a 23 nudos. Tres horas después de partir distan entre si10 millas. ¿cuál es el ángulo comprendido entre sus cursos? (Haga unanálisis como en el problema anterior). ¿Que puede Ud. concluir ?