algebra1, normál - elte algebra és számelmélet tanszék · az első három félév lineáris...

Algebra1, normál 1. előadás 1 / 20

Algebra1, normálELTE Algebra és Számelmélet Tanszék

Előadó: Kiss Emilhttp://ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress

[email protected]

1. előadás

Bevezetés Algebra1, normál 1. előadás 2 / 20

A félév anyaga

Komplex számok


A félév anyaga

Komplex számokMűveletek


A félév anyaga

Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriával


A félév anyaga

Komplex számokMűveletekKapcsolat a geometriávalGyökvonás


A félév anyaga


Polinomok


A félév anyaga


PolinomokA gyökök száma


A félév anyaga


PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggése


A félév anyaga


PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggéseSzorzatra bontás, számelméleti kérdések


A félév anyaga


PolinomokA gyökök számaA gyökök és együtthatók összefüggéseSzorzatra bontás, számelméleti kérdésekA harmad- és negyedfokú egyenlet


A félév anyaga



Lineáris algebra


A félév anyaga



Lineáris algebraLineáris egyenletrendszerek


A félév anyaga



Lineáris algebraLineáris egyenletrendszerekMűveletek vektorokkal és mátrixokkal


A félév anyaga



Lineáris algebraLineáris egyenletrendszerekMűveletek vektorokkal és mátrixokkalDeterminánsok


A félév anyaga




Absztrakt algebrai alapfogalmak


A félév anyaga




Absztrakt algebrai alapfogalmakGyűrűk és testek


Irodalom

ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/faliujsag


Irodalom


Ez a prezentáció, és a nyomtatható változata


Irodalom


Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorok


Irodalom


Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikről


Irodalom


Ez a prezentáció, és a nyomtatható változataA gyakorlatokon szereplő feladatsorokInformációk a vizsgákról, zárthelyikrőlTematikák, oktatási anyagok, ajánlott irodalom


Irodalom



K=Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába - ingyen letölthető:ewkiss.web.elte.hu/wp/wordpress/oktatas/letoltheto-jegyzetek


Irodalom




Komplex számok, polinomok


Irodalom




Komplex számok, polinomokA későbbi félévek anyaga (csoportok, gyűrűk)


Irodalom




Komplex számok, polinomokA későbbi félévek anyaga (csoportok, gyűrűk)A gyakorlatokon szereplő feladatok megoldásai


Irodalom





F=Freud Róbert: Lineáris algebra


Irodalom





F=Freud Róbert: Lineáris algebraAz első három félév lineáris algebra anyaga


Irodalom





F=Freud Róbert: Lineáris algebraAz első három félév lineáris algebra anyagaFeladatok megoldásokkal


Irodalom






További feladatgyűjtemények


Irodalom






További feladatgyűjteményekFagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatok


Irodalom






További feladatgyűjteményekFagyejev-Szominszkij: Felsőfokú algebrai feladatokCzédli-Szendrei-Szendrei: Absztrakt algebrai feladatok


Általános tanácsok

Az előadáson figyelni érdemes, NEM JEGYZETELNI!




Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.




Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.




Ez a prezentáció definiálja a vizsgakövetelményeket.Nyomtatható változat is letölthető.Hivatkozások a két tankönyvre, ahol magyarázatok vannak.





Az anyagot meg is kell érteni!





Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;





Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;





Az anyagot meg is kell érteni!a megértés az alkalmazás képessége;feladatmegoldás a gyakorlaton, megoldások a könyvekben;logikai szabatosság, a matematika nyelvének elsajátítása.






Elméleti matematikából csak kevesen fognak megélni!Hozzá célszerű tanulni mást is, például:







biológia, fizika, kémia, informatika, tanári mesterség;







biológia, fizika, kémia, informatika, tanári mesterség;közgazdasági ismeretek, mérnöki tudományok.








Használjuk a számítógépet!








Használjuk a számítógépet!Account a caesar.elte.hu-n.








Használjuk a számítógépet!Account a caesar.elte.hu-n.Konzultációs gyorssegély: [email protected]








Használjuk a számítógépet!Account a caesar.elte.hu-n.Konzultációs gyorssegély: [email protected], Maple, Mathematica, GAP, C++, Python, Unix.


A számonkérés módja

A gyakorlati jegy:



A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.



A gyakorlati jegy:Csak három hiányzás megengedett.Minden gyakorlaton röpdolgozat (átmenési kritérium);Tematika a gyakorlatvezető döntése alapján:




az előző előadáson elhangzott tételekből, definíciókból;





az előző heti gyakorlaton tanult készségekből;






a házi feladatokból.







Két évfolyamzárthelyi;







Két évfolyamzárthelyi;az elégtelen zárthelyiket ki kell javítani;








javító a félév végén, a gyakorlatvezető döntése alapján.









Ha nem sikerül: gyakorlati jegy utóvizsga.










A vizsgajegy:










A vizsgajegy:Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.










A vizsgajegy:Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.Írásbeli vizsga, az anyag megértését is méri.










A vizsgajegy:Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.Írásbeli vizsga, az anyag megértését is méri.Beugró a röpdolgozatok anyagából.










A vizsgajegy:Csak érvényes gyakorlati jeggyel lehet vizsgázni.Írásbeli vizsga, az anyag megértését is méri.Beugró a röpdolgozatok anyagából.Összesen három alkalom;egyre kell eljönni, kivéve ha az nem sikerül.

Polinomok Algebra1, normál 1. előadás 6 / 20

A polinom szemléletes fogalma

K2.1 (azaz Kiss: Algebra, 2.1. szakasz)

Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amely




Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból,




Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül




Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,




Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás




Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.




Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan




Polinomnak nevezünk egy olyan formális kifejezést, amelyszámokból, és az x betűből készül ismételt összeadás,kivonás és szorzás segítségével.Az x neve határozatlan (vagy változó).





Példa





Példa

4





Példa

4x





Példa

4x x





Példa

4x x2





Példa

(4x − x2)





Példa

(4x − x2) x





Példa

(4x − x2) x 23





Példa

(4x − x2)(x − 23)





Példa

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7





Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2





Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2

+ 43x3 − π





Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2

+ 43x3 − π egy polinom.





Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2


A zárójeleket a disztributivitás segítségével felbonthatjuk,





Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2


A zárójeleket a disztributivitás segítségével felbonthatjuk,majd x hatványai szerint rendezhetünk. Az eredmény:





Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2


A zárójeleket a disztributivitás segítségével felbonthatjuk,majd x hatványai szerint rendezhetünk. Az eredmény:x6 − 54x5 + 909x4 − 4803x3 − 7722x2 + 1260x + 49 − π.





Példa(

(4x − x2)(x − 23) + 2x − 7)2


A zárójeleket a disztributivitás segítségével felbonthatjuk,majd x hatványai szerint rendezhetünk. Az eredmény:x6 − 54x5 + 909x4 − 4803x3 − 7722x2 + 1260x + 49 − π.(MAPLE program!)


A polinom definíciója

DefinícióEgyhatározatlanú polinomnak nevezzük azf (x) = a0 + a1x + a2x

2 + . . .+ anxn formális kifejezéseket,





ahol n ≥ 0 egész szám





ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.





ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan.





ahol n ≥ 0 egész szám és a0, . . . , an számok.Az x neve határozatlan. Az ajx

j a polinom egy tagja,






j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj .






j a polinom egy tagja,az x j együtthatója aj . Az a0 = a0x

0 a konstans tag.







0 a konstans tag.

Definíció (K2.1.1)

Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek







0 a konstans tag.


Két polinom akkor egyenlő, ha együtthatóik megegyeznek(x j együtthatója ugyanaz a két polinomban minden j ≥ 0-ra).







0 a konstans tag.



x2 − 1 ésx3 − 1







0 a konstans tag.



x2 − 1 ésx3 − 1 nem egyenlők,







0 a konstans tag.



x2 − 1 = 0 · x3 ésx3 − 1 nem egyenlők,







0 a konstans tag.



x2 − 1 = 0 · x3 ésx3 − 1 = 1 · x3 nem egyenlők,







0 a konstans tag.



x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 ésx3 − 1 = 1 · x3 nem egyenlők,







0 a konstans tag.



x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 nem egyenlők,







0 a konstans tag.



x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 nem egyenlők,







0 a konstans tag.



x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x nem egyenlők,







0 a konstans tag.



x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x + (−1) ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x nem egyenlők,







0 a konstans tag.



x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x + (−1) ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + (−1) nem egyenlők,







0 a konstans tag.



x2 − 1 = 0 · x3 + 1 · x2 + 0 · x + (−1) ésx3 − 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + (−1) nem egyenlők,mert például az x3 együtthatója más a két polinomban.


A nullapolinom

Definíció (K2.1. szakasz)

A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla.


A nullapolinom


A nullapolinom az a polinom, amelynek minden együtthatójanulla. Ugyanúgy 0 jelöli, mint a 0 számot.


A nullapolinom



Minden c számot polinomnak tekintünk


A nullapolinom



Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,


A nullapolinom



Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c).


A nullapolinom



Minden c számot polinomnak tekintünk(amelyben x j együtthatója nulla minden j ≥ 1 esetén,konstans tagja pedig c). Ezek a konstans polinomok.


A nullapolinom




R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.


A nullapolinom




R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.


A nullapolinom




R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.


A nullapolinom




R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet:


A nullapolinom




R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ],


A nullapolinom




R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ], Z[u].


A nullapolinom




R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ], Z[u].Példa: πy2+3 ∈ R[y ],


A nullapolinom




R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ], Z[u].Példa: πy2+3 ∈ R[y ], de πy2+3 /∈ Q[y ],


A nullapolinom




R[x ]: a valós együtthatós polinomok halmazának jele.Q[x ]: a racionális együtthatós polinomok halmazának jele.Z[x ]: az egész együtthatós polinomok halmazának jele.A határozatlan jele más is lehet: R[y ], Z[u].Példa: πy2+3 ∈ R[y ], de πy2+3 /∈ Q[y ], mert π irracionális szám.

Műveletek polinomok között Algebra1, normál 1. előadás 9 / 20

Polinomok kibővítése nulla tagokkal

A nulla együtthatójú tagokat igény szerint írjuk ki:




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .

Megállapodunk abban, hogy 0 = an+1 = an+2 = . . . .Így bármely két polinomot ugyanannyi taggal írhatunk fel:




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .


f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .


f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .


f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .Példa:

x2 − x + 1

x3 + 1




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .


f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .Példa:

x2 − x + 1 = 0 · x3 + 1 · x2 − 1 · x + 1

x3 + 1




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .


f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .Példa:

x2 − x + 1 = 0 · x3 + 1 · x2 − 1 · x + 1

x3 + 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + 1 .




a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

= a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n + 0 · xn+1 + 0 · xn+2 + . . . .


f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .Példa:

x2 − x + 1 = 0 · x3 + 1 · x2 − 1 · x + 1

x3 + 1 = 1 · x3 + 0 · x2 + 0 · x + 1 .

Így kényelmesebb lesz értelmezni polinomok összegét.


Polinomok összege, különbsége, ellentettje

Definíció (K 35. oldal)

Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .

E polinomok összege és különbsége:




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) =




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0)




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) =




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .

Nyilván f + 0 = 0 + f = f minden f polinomra.




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .


Az f ∈ R[x ] ellentettje h,




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .


Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0.




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .


Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .


Az f ∈ R[x ] ellentettje h, ha f + h = 0. Az ellentett jele h = −f .Az f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n (egyetlen) ellentettje




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .



n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) =




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .



n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0)




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .



n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .



n (egyetlen) ellentettjeh(x) = (−f )(x) = (−a0) + (−a1)x + . . .+ (−an)x

n.




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .




n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f =




Legyen

f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bnx

n .


(f + g)(x) = (a0 + b0) + (a1 + b1)x + . . .+ (an + bn)xn

(f − g)(x) = (a0 − b0) + (a1 − b1)x + . . .+ (an − bn)xn .




n.A kivonás az ellentett hozzáadása: g − f = g + (−f ).


Példa polinomok szorzatára

Kérdés

Hogyan definiáljuk az (a0 + a1x)(b0 + b1x + b2x2) szorzatot?



Kérdés


Például mi legyen x2 együtthatója?



Kérdés



Állítás (K2.1.4. Gyakorlat)

Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredménye



Kérdés




Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege



Kérdés




Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n



Kérdés




Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).



Kérdés




Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon,



Kérdés




Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk,



Kérdés




Az (u1 + u2 + . . .+ un)(v1 + . . .+ vm) eredményeaz nm darab ujvℓ tag összege (1 ≤ j ≤ n és 1 ≤ ℓ ≤ m).A két zárójelből kiveszünk egy-egy tagot az összes lehetségesmódon, ezeket összeszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk.



Kérdés





x2-es tag kétféleképpen keletkezhet:



Kérdés





x2-es tag kétféleképpen keletkezhet: a0(b2x2)



Kérdés





x2-es tag kétféleképpen keletkezhet: a0(b2x2) és (a1x)(b1x).



Kérdés






Ezért x2 együtthatója legyen a0b2 + a1b1.



Kérdés






Ezért x2 együtthatója legyen a0b2 + a1b1. A végeredmény:a1b2x

3



Kérdés







3 + (a0b2 + a1b1)x2



Kérdés







3 + (a0b2 + a1b1)x2 + (a0b1 + a1b0)x



Kérdés







3 + (a0b2 + a1b1)x2 + (a0b1 + a1b0)x + a0b0.


Polinomok szorzatának definíciója

Definíció(a0 + a1x + . . .+ anx

n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen




n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk




n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1




n)(b0 + b1x + . . .+ bmxm)-benxk együtthatója legyen ck = a0bk + a1bk−1 + . . .+ akb0.





Magyarázat

xk -os tag akkor keletkezik (ajxj)(bℓx

ℓ)-ből,





Magyarázat


ℓ)-ből, ha j + ℓ = k .





Magyarázat



Példa

Az xn+m együtthatója





Magyarázat



Példa


a0bn+m





Magyarázat



Példa


a0bn+m + . . .+ an−1bm+1





Magyarázat



Példa


a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm





Magyarázat



Példa


a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm + an+1bm−1





Magyarázat



Példa


a0bn+m + . . .+ an−1bm+1 + anbm + an+1bm−1 + . . .+ an+mb0 .





Magyarázat



Példa



Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0.





Magyarázat



Példa



Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.





Magyarázat



Példa



Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.Tudjuk, hogy j > n esetén aj = 0.





Magyarázat



Példa



Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.Tudjuk, hogy j > n esetén aj = 0. Így az utolsó m tag nulla.





Magyarázat



Példa



Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.Tudjuk, hogy j > n esetén aj = 0. Így az utolsó m tag nulla.Vagyis xn+m együtthatója





Magyarázat



Példa



Tudjuk, hogy ℓ > m esetén bℓ = 0. Így az első n tag nulla.Tudjuk, hogy j > n esetén aj = 0. Így az utolsó m tag nulla.Vagyis xn+m együtthatója anbm.

Polinomok foka Algebra1, normál 1. előadás 13 / 20

Polinom foka

DefinícióHa f (x) = a0 + a1x + . . .+ anx

n,


Polinom foka


n, ahol an 6= 0,


Polinom foka


n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.


Polinom foka


n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ).


Polinom foka


n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla.


Polinom foka


n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.


Polinom foka


n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk ,


Polinom foka


n, ahol an 6= 0, akkor f foka n.Jele: gr(f ). Tehát a fok a legnagyobb olyan kitevő, amelyheztartozó együttható nem nulla. A nullapolinomnak nincs foka.Az f (x) k-adfokú tagja akxk , főtagja anx

n,


Polinom foka



n, főegyütthatója an.


Polinom foka



n, főegyütthatója an.Az f (x) normált polinom, ha főegyütthatója 1.


Polinom foka




Tétel (K2.1.5)

Szorzásnál a fokok összeadódnak:


Polinom foka




Tétel (K2.1.5)

Szorzásnál a fokok összeadódnak: gr(fg) = .


Polinom foka




Tétel (K2.1.5)

Szorzásnál a fokok összeadódnak: gr(fg) = gr(f ) + gr(g).


Polinom foka




Tétel (K2.1.5)


Bizonyítás

f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn


Polinom foka




Tétel (K2.1.5)


Bizonyítás

f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bmxm


Polinom foka




Tétel (K2.1.5)


Bizonyítás


esetén láttuk, hogy xn+m együtthatója anbm.


Polinom foka




Tétel (K2.1.5)


Bizonyítás


esetén láttuk, hogy xn+m együtthatója anbm. Ez nem nulla,ha an és bm nem nulla.


Polinom foka




Tétel (K2.1.5)


Bizonyítás


esetén láttuk, hogy xn+m együtthatója anbm. Ez nem nulla,ha an és bm nem nulla. Magasabb fokú tag nem keletkezik.


A szorzat foka: következmények

Következmények (K2.1.7)

(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,




(1) A polinomok szorzása nullosztómentes,azaz nem nulla polinomok szorzata sem a nullapolinom.





(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött,





(2) Egy f polinomnak pontosan akkor van reciproka polinomokközött, ha nem nulla konstans polinom.






Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla,






Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata),






Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.






Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor






Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor gr(fg) = gr(f ) + gr(g).






Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).






Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).






Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0,






Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0, azaz mindkettő nem nulla konstans.






Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0, azaz mindkettő nem nulla konstans.Megfordítva, ha c 6= 0 konstans,






Bizonyítás

(1): Láttuk, hogy ha f és g nem nulla, akkor fg -nek vannem nulla együtthatója (a két főegyüttható szorzata), így fg 6= 0.(2): Ha fg = 1, akkor 0 = gr(1) = gr(fg) = gr(f ) + gr(g).Ezért gr(f ) = gr(g) = 0, azaz mindkettő nem nulla konstans.Megfordítva, ha c 6= 0 konstans, akkor reciproka,azaz 1/c is (konstans) polinom.






Bizonyítás


HF: fg konstans tagja






Bizonyítás


HF: fg konstans tagja f és g konstans tagjainak szorzata.


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb:


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ .


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)

Két polinom összegének a foka legfeljebb akkora, mint a kétpolinom fokai közül a nem kisebb: gr(f + g) ≤ max(gr(f ), gr(g)).Ha a két polinom foka különböző, akkor egyenlőség áll.


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1)


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x)


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

= 1.


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

= 1.


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

= 1.

Bizonyítás

f (x) = a0 + a1x + . . .+ anxn és g(x) = b0 + b1x + . . .+ bnx

n,


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

= 1.

Bizonyítás


n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla,


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

= 1.

Bizonyítás


n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

= 1.

Bizonyítás


n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n,


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

= 1.

Bizonyítás


n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an,


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

= 1.

Bizonyítás


n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n.


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

= 1.

Bizonyítás


n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n. Ha bn 6= 0,


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

= 1.

Bizonyítás


n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n. Ha bn 6= 0, akkor gr(f ) = gr(g) = n.


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

= 1.

Bizonyítás


n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n. Ha bn 6= 0, akkor gr(f ) = gr(g) = n.Ekkor an +bn = 0 is lehet,


Összeg foka

Tétel (K2.1.2)


Példa

2 = gr(x2 + 1) = gr(−x2 + x) > gr(

(x2 + 1) + (−x2 + x))

= 1.

Bizonyítás


n,ahol feltehetjük, hogy például an nem nulla, azaz gr(f ) = n.Ha bn = 0, akkor gr(g) < n, és f + g főegyütthatója an, azazgr(f + g) = gr(f ) = n. Ha bn 6= 0, akkor gr(f ) = gr(g) = n.Ekkor an +bn = 0 is lehet, mely esetben gr(f +g) < gr(f ) = gr(g).

A szumma és produktum jelölés Algebra1, normál 1. előadás 16 / 20

Összegek tömör alakja

Definíció

Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:



Definíció

Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük: aj .



Definíció

Az a1 + a2 + . . .+ an összeget így rövidítjük:n∑

j=1

aj .



Definíció


j=1

aj .

A szumma jel utáni kifejezéseket kell összeadni a j azon értékeire,amit a jel alatt és fölött megadunk.



Definíció


j=1

aj .


f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n



Definíció


j=1

aj .


f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

n∑

j=0

ajxj



Definíció


j=1

aj .


f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

n∑

j=0

ajxj

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bmxm =

m∑

ℓ=0

bℓxℓ



Definíció


j=1

aj .


f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

n∑

j=0

ajxj

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bmxm =

m∑

ℓ=0

bℓxℓ

esetén (fg)(x) =m+n∑

k=0

ckxk ,



Definíció


j=1

aj .


f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

n∑

j=0

ajxj

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bmxm =

m∑

ℓ=0

bℓxℓ


k=0

ckxk , ahol ck =k∑

j=0

ajbk−j



Definíció


j=1

aj .


f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n =

n∑

j=0

ajxj

g(x) = b0 + b1x + b2x2 + . . .+ bmxm =

m∑

ℓ=0

bℓxℓ


k=0

ckxk , ahol ck =k∑

j=0

ajbk−j =∑

j+ℓ=k

ajbℓ.


A produktum jelölés

DefinícióA∏

produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell.



DefinícióA∏

produktum jelölés hasonló a szumma jelöléshez,csak összeadás helyett szorozni kell. Példák:n∏

j=2

aj =



DefinícióA∏


j=2

aj = a2a3 . . . an.



DefinícióA∏


j=2

aj = a2a3 . . . an.n∏

j=1

j =



DefinícióA∏


j=2

aj = a2a3 . . . an.n∏

j=1

j = 1 · 2 · . . . · n



DefinícióA∏


j=2

aj = a2a3 . . . an.n∏

j=1

j = 1 · 2 · . . . · n = n!



DefinícióA∏


j=2

aj = a2a3 . . . an.n∏

j=1

j = 1 · 2 · . . . · n = n! (n faktoriális).



DefinícióA∏


j=2

aj = a2a3 . . . an.n∏

j=1


Megállapodás

Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.



DefinícióA∏


j=2

aj = a2a3 . . . an.n∏

j=1


Megállapodás

Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.

Példa:3∑

j=3

bj = b3,



DefinícióA∏


j=2

aj = a2a3 . . . an.n∏

j=1


Megállapodás

Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.Az üres összeg értéke 0.

Példa:3∑

j=3

bj = b3,



DefinícióA∏


j=2

aj = a2a3 . . . an.n∏

j=1


Megállapodás


Példa:3∑

j=3

bj = b3,2∑

j=3

bj = 0,



DefinícióA∏


j=2

aj = a2a3 . . . an.n∏

j=1


Megállapodás


Példa:3∑

j=3

bj = b3,2∑

j=3

bj = 0,n∑

j=1

ajxj = 0, ha n = 0.



DefinícióA∏


j=2

aj = a2a3 . . . an.n∏

j=1


Megállapodás

Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.Az üres összeg értéke 0. Az üres szorzat értéke 1.

Példa:3∑

j=3

bj = b3,2∑

j=3

bj = 0,n∑

j=1

ajxj = 0, ha n = 0.



DefinícióA∏


j=2

aj = a2a3 . . . an.n∏

j=1


Megállapodás

Egytagú összeg és szorzat az egyetlen tagjával egyenlő.Az üres összeg értéke 0. Az üres szorzat értéke 1.

Példa:3∑

j=3

bj = b3,2∑

j=3

bj = 0,n∑

j=1

ajxj = 0, ha n = 0.

Magyarázat: K2.2.42. Gyakorlat.

Polinomfüggvény és gyök Algebra1, normál 1. előadás 18 / 20

Behelyettesítés polinomba


Legyen b egy szám.




Legyen b egy szám. Az f (x) = a0 + a1x + a2x2 + . . .+ anx

n

polinom b helyen felvett helyettesítési értéke





n

polinom b helyen felvett helyettesítési értéke(az x helyére b-t írunk).





n

polinom b helyen felvett helyettesítési értékef ∗(b) = a0 + a1b + a2b

2 + . . .+ anbn (az x helyére b-t írunk).





n



Az f -hez tartozó f ∗ polinomfüggvény az az f ∗ függvény,mely minden b számhoz f ∗(b)-t rendel.





n




Állítás (K2.4.2)

Ha f , g ∈ R[x ] és b ∈ R, akkor





n




Állítás (K2.4.2)

Ha f , g ∈ R[x ] és b ∈ R, akkor (f + g)∗(b) = f ∗(b) + g∗(b)





n




Állítás (K2.4.2)

Ha f , g ∈ R[x ] és b ∈ R, akkor (f + g)∗(b) = f ∗(b) + g∗(b)és (fg)∗(b) = f ∗(b)g∗(b).





n




Állítás (K2.4.2)

Ha f , g ∈ R[x ] és b ∈ R, akkor (f + g)∗(b) = f ∗(b) + g∗(b)és (fg)∗(b) = f ∗(b)g∗(b).

A polinomok összeadását és szorzását pontosan azzal amotivációval definiáltuk, hogy ez az állítás igaz legyen.


A gyök és a gyöktényező


A b szám gyöke az f polinomnak, ha




A b szám gyöke az f polinomnak, ha f ∗(b) = 0.





Állítás (a gyöktényező kiemelhetősége, K2.4.6)

A b szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak,ha van olyan q polinom, hogy






A b szám akkor és csak akkor gyöke az f polinomnak,ha van olyan q polinom, hogy f (x) = (x − b)q(x).







Az x − b a b gyökhöz tartozó gyöktényező.








Bizonyítás

Ha f (x) = (x − b)q(x), akkor f ∗(b) =








Bizonyítás

Ha f (x) = (x − b)q(x), akkor f ∗(b) = (b − b)q∗(b) = 0.








Bizonyítás

Ha f (x) = (x − b)q(x), akkor f ∗(b) = (b − b)q∗(b) = 0.A megfordítást legközelebb bizonyítjuk.








Bizonyítás


HF: Vezessük le ezt a megfordítást








Bizonyítás


HF: Vezessük le ezt a megfordítást azan − bn = (a − b)

∑n−1

i=0an−i−1bi azonosságból.

Összefoglaló Algebra1, normál 1. előadás 20 / 20

Az 1. előadáshoz tartozó vizsgaanyag

Fogalmak (K2.1)

Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).



Fogalmak (K2.1)

Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.



Fogalmak (K2.1)

Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.



Fogalmak (K2.1)

Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.Polinomfüggvény (K2.4.1), polinom gyöke (K2.4.5).



Fogalmak (K2.1)

Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.Polinomfüggvény (K2.4.1), polinom gyöke (K2.4.5).Nullosztómentesség (K2.2.27).



Fogalmak (K2.1)

Határozatlan; polinomok, egyenlőségük (K2.1.1).Tag, együttható, főtag, normált polinom, fok, konstans tag.Nullapolinom, összeg, ellentett, szorzat.Polinomfüggvény (K2.4.1), polinom gyöke (K2.4.5).Nullosztómentesség (K2.2.27).A szumma és produktum jelölés.



Fogalmak (K2.1)


Tételek

Összeg és szorzat foka (K2.1.2, K2.1.5).



Fogalmak (K2.1)


Tételek

Összeg és szorzat foka (K2.1.2, K2.1.5).Polinomfüggvények összege és szorzata (K2.4.2).



Fogalmak (K2.1)


Tételek

Összeg és szorzat foka (K2.1.2, K2.1.5).Polinomfüggvények összege és szorzata (K2.4.2).Gyöktényező kiemelhetősége (K2.4.6).

algebra1, normál - elte algebra és számelmélet tanszék · az első három félév lineáris...

Documents