Álgebras de clifford

8/9/2019 lgebras de Clifford

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARABA

CENTRO DE CINCIAS EXATAS E DA NATUREZA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MATEMTICA

CURSO DE MESTRADO EM MATEMTICA

lgebras de Clifford: uma introduo Geometria Spin

por

Mnica Paula de Sousa

sob orientao do

Prof. Dr. Napolen Caro Tuesta

Joo Pessoa-PBAgosto de 2013


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UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARABA

CENTRO DE CINCIAS EXATAS E DA NATUREZA

PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM MATEMTICA

CURSO DE MESTRADO EM MATEMTICA

lgebras de Clifford: uma introduo Geometria Spin

por

Mnica Paula de Sousa

Dissertao apresentada ao Departamento de Matemtica da Universidade Federal da

Paraba, como requisito parcial para a obteno do ttulo de Mestre em Matemtica.

rea de Concentrao: lgebra.

Aprovada em 23 de agosto de 2013.

Prof. Dr. Napolen Caro Tuesta(Orientador)

Prof. Dra. Jacqueline Fabiola Rojas Arancibia

Prof. Dr. Ramn Orestes Mendoza Ahumada


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Aos meus amores


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Agradecimentos

A Deus, meu pai... por todo amor.

Minha famlia, que tanto amo... por toda compreenso e est comigo sempre, mesmo

distante...

Minha segunda famlia, me fazendo ainda mais abenoada... tambm compreensiva nos

momentos de ausncia e to cuidadosa...

Minha terceira famlia, essa ganhou sobrenome, PEDREGAL, constituda de amigos...

que DEUS os guarde sempre. Em especial, a Mary, no preciso escrever...

Meus amigos, no s os que ganhei nesses dois anos, mas todos que fazem parte daminha histria...

Meus professores, os do mestrado, e tambm os que me fizeram a aluna que sou hoje,

e a professora, que se DEUS quiser, serei amanh.

A meu orientador, por tudo, e sempre ver em mim muito mais do que consigo ver.

A banca, pela dedicao e cuidado.

A CAPES, pelo auxlio financeiro, realmente importante.


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"Se o Senhor no edificar a casa, em vo

se tm posto ao trabalho os que a edificam;

se o Senhor no guardar a cidade,

inutilmente se desvela o que a guarda."

(Salmo 126, 1)


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Resumo

No presente trabalho abordamos os conceitos e definies que constroem as lge-

bras de Clifford com foco em uma introduo a teoria de Geometria Spin. Isso devido a

ligao desses dois assunto, permitindo conhecer tais lgebras a medida que se auxilia a

compreenso da definio de variedade spin, conceito introdutrio desse tpico especialem Geometria Riemanniana. Iniciamos com a construo das lgebras de Clifford associ-

adas a espaos vetoriais de dimenso infinita, sobre um corpo qualquer, passando quelas

associadas aos de dimenso finita. Vemos os grupos spinores, Pin e Spin, os quais carac-

terizamos e mostramos a relao com a representao adjunta torcida, homomorfismo que,

quando restrita a esses grupos, tem papel importante na definio de uma estrutura spin.

Como tal definio trabalha com representaes das lgebras de Clifford reais, restritas aos

grupos spinores dessas lgebras, as apresentamos para em seguida conceituarmos tais rep-

resentaes. Finalizamos abordando a teoria necessria para mostrarmos que esses gruposso tambm grupos de Lie (onde instigamos uma interseo com a anlise) e recobrimen-

tos duplos, para completar os conceitos algbricos presente na definio de variedade spin.

Palavras-chaves:lgebras de Clifford, grupos Pin e Spin, recobrimentos duplos.


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Abstract

In this work we discuss the concepts and definitions that construct Clifford alge-

bras focusing on a introduction the theory Spin Geometry. Thats because the connection

this two subject, enabling such algebras know the measure that helps to understand the

definition of spin manifold, concept introductory the this special topic in RiemannianGeometry. We begin with the construction of Clifford algebras associated to infinite di-

mensional vector spaces, over any field, passing to associated with finite dimensional. we

see the spinores groups, Pin and Spin, which characterize and show the relation with the

twisted adjoint representation, homomorphism that, when restricted to these groups, has

an important role in defining of a spin structure. As this definition works with represen-

tations of real Clifford algebras, restricted to spinors groups such algebras, we introduced

them for soon afterwards consider such representations. We concluded approaching the

necessary theory for us to show that those groups are also Lie groups (where we urged anintersection with the analysis) and double covering, to complete the concepts algebraic

present in the definition of spin manifold.

Keywords: Clifford Algebras, Pin and Spin groups, double coverings.


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Sumrio

Introduo 2

1 lgebras de Clifford e os grupos spinores 5

1.1 lgebras de Clifford. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Os grupos Spinores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 As classificaes e representaes das lgebras de Clifford 24

2.1 As lgebras de Clifford associadas a Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 Representaes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 P inn e Spinn: grupos de Lie e recobrimentos duplos 35

3.1 Os grupos de Lie nas lgebras de Clifford Reais . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 Os recobrimentos duplos nas lgebras de Clifford Reais . . . . . . . . . . . 38

A Noes de Topologia Algbrica 41

B Noo de Variedade Spin 44

Referncias Bibliogrficas 50

1


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Introduo

As primeiras lgebras no comutativas surgiram entre 1843 e 1844, nos trabalhos

de William Rowan Hamilton (1805-1865), com os quatrnios, e nos de Hermann Gnther

Grassmann (1809-1865), com sua lgebra exterior ([4], pag. 149).

Entre 1850 e 1860, foram introduzidos exemplos novos e mais explcitos, como fezo matemtico britnico Arthur Cayley (1821-1895), quando desenvolveu sua teoria das

matrizes, mesmo que no a considerasse uma lgebra, j se podia ter um primeiro exemplo

de representao linear de uma lgebra.

Houveram outros exemplos, tambm notveis, antes de 1870, mas com foco nas

lgebras de dimenso finita sobre os corpos dos reais ou complexos. E nesse caminho, foi

Benjamin Pierce (1809-1880) que deu os primeiros passos.

a ele que William K. Clifford (1845-1879) atribui a noo de produto tensorial que

usou implicitamente em uma generalizao dos quatrnios de Hamilton, e explicitamentepara o estudo de suas lgebras, nosso objeto de trabalho.

Nascido em Exeter, na Inglaterra, Clifford estudou no Kings College, em Londres,

e depois foi para o Trinity College, em Cambridge. Em 1871, o designaram professor de

matemtica aplicada na University College de Londres.

Influenciado por Riemann (1826-1866) e Lobachevsky (1792-1856) estudou geome-

tria no-Euclidiana. Publicou artigos em formas algbricas e geometria projetiva e um

livro sobre dinmica, mas hoje lembrado por suas lgebras.

Tais lgebras, as lgebras de Clifford, foram criadas em 1876, quando este in-troduziu uma nova multiplicao na lgebra exterior de Grassmann, tendo sua primeira

publicao em 1878. Mas um primeiro exemplo para uma lgebra de Clifford foi dado por

Hamilton, j em 1843 ([16], pag. 320-322).

Essas lgebras foram redescobertas independentemente por R. Lipschitz entre 1880

e 1886, que reconheceu a descoberta anterior de Clifford em seu livro Untersuchungen

ber die Summen von Quadratende 1886 ([16], pag. 322). Tambm apresentou a primeira

aplicao das lgebras de Clifford a Geometria, em 1880.

E como em 1989, ao longo das duas ltimas dcadas, conforme Lawson e Michelsonh([14], pag. 5), a geometria das variedades spin vinham desempenhando um papel cada

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vez mais importante, tanto em matemtica como em fsica matemtica, nossa inteno

contribuir com a compreenso da definio de variedade spin.

Observando essa definio, teramos uma variedade riemanniana orientada, M, com

uma estrutura spin em seu fibrado tangente,T M. E sendo tal estrutura um Spinn-fibradoprincipal do fibrado tangente, PSpin(T M), juntamente com um recobrimento duplo desse

fibrado principal no SOn-fibrado principal,PSO (T M),

:PSpin(T M) PSO (T M),

que depende do recobrimento duplo 0:Spinn SOn,

(pg) =(p)0(g), para todop PSpin(T M)e g Spinn

onde S On o grupo especial ortogonal, precisaramos conhecer os grupos spinores, Pin eSpin, e tal recobrimento.

Para isso apresentamos trs captulo e um apndice, com a definio de variedade

spin, mesmo considerando que o pblico alvo tenha conhecimentos acerca de teoria de

variedade, j que Geometria Spin um tpico especial em Geometria Riemanniana, dando

uma noo de tal definio.

Dessa forma, o primeiro captulo traz os conceitos e definies para construo da

lgebra de Clifford, e a partir da passarmos ao trabalho com os grupos spinores, que so

subgrupos do grupo das unidades dessa lgebra.Abordamos das lgebras de Clifford associadas a espaos vetoriais de dimenso in-

finita quelas associadas aos de dimenso finita, fazendo o mesmo com os grupos spinores,

mostrando que h definies equivalentes destes quando a dimenso do espao infinita

e quando finita.

No segundo captulo, restringimos ao caso real, isto , as lgebras de Clifford

associadas ao Rn. Apresentamos uma classificao, comentando tambm o caso complexo,

e ento falamos nas representaes das lgebras de Clifford.

Isso devido ao fato de que uma variedade spin tambm pode ser vista, a grossomodo, como uma variedade diferencivel de dimenso n orientvel para a qual existe

um levantamento da estrutura de grupo do fibrado tangente desta para o grupo de

recobrimento de tal grupo ([14], pag. 5).

Possibilitando entender que, em termos de calculo tensorial, refinar uma estrutura

diferencivel geral para a spin desse modo no gera nada de novo, pois o grupo de reco-

brimento no tem representaes que no sejam induzidas das representaes do grupo

de estrutura mencionado.

E conclumos, com o terceiro captulo, mostrando que os grupos spinores so gruposde Lie e recobrimentos duplos. Intencionando, por meio disso, auxiliar na compreenso

de que os ganhos surgem ao se inserir uma mtrica riemanniana na variedade.


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J que com isso, a estrutura spin corresponde a existncia de levantamento para o

recobrimento Spinndo grupo especial ortogonal, S On, no existindo diferena topolgica

essencial nessa abordagem e existindo representaes de dimenso finita deSpinnque no

so levantamentos de representaes de SOn ([14], pag. 5).Portanto, como poderemos ver, o presente trabalho aborda as lgebras de Clifford

de modo a fazer uma introduo a Geometria Spin, destacando seus enlaces com as

diversas rea, sejam da matemtica, como geometria e anlise, ou outra, como a fsica1.

1por exemplo, o fsico P.A.M. Dirac, antes de 1928, formulou uma teoria que predisse a existncia do

eletron como partcula de energia negativa. Em essncia, Dirac procurava um operador diferencial de

primeira ordem, que recebeu seu nome, cujo quadrado fosse o laplaciano. Nessa teoria, uma caracterstica

interessante que, na presena de um campo eletromagntico, o Hamiltoniano contm um termo adi-cional com analogia formal e forte ao termo adicional obtido introduzindo um giro interno nas equaes

mecnicas de uma partcula em orbita. Esses giros ou momentos magnticos internos foram chamados

spinores e suas famlia de transformaes, de representaes spinores ([14], pag. ix-x).


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Captulo 1

lgebras de Clifford e os grupos

spinores

Como o objetivo geral do presente trabalho conhecer as lgebras de Clifford para

auxiliar quando se estuda Geometria Spin, iniciemos lembrando alguns conceitos, que so

necessrios a compreenso da definio de tais lgebras, e para isso, no que segue, K

denota um corpo.

Definio 1.1. Sejam U e V K-espaos vetoriais. O produto tensorial de U e V um

par, (UK V , ), onde UKV um K-espao vetorial e : U V UKV umaaplicao bilinear tal que a seguintepropriedade universal satisfeita: para todo K-espao

vetorial We toda aplicao bilinear f : U V W, existe uma nica aplicao linear,

f : UKV W com

f(u v) =f(u, v) u U, v V,

ou seja, o seguinte diagrama

U V UKV

W

..........................................................

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......................

..................................................................................................................................................

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f

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comuta.

Observemos que este existe e nico, no sentido de que se(UKV, )e(UKV, )so produtos tensoriais deUe V, ento existe um isomorfismo linear : UKV UKVtal que

(u v) =uv,para u Uev V ([11], pag. 8-10).

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Alm disso, como consequncia da propriedade universal, o produto tensorial

gerado por {u v :u U e v V}, isto , todo elemento tde UKVpode ser escrito,

de forma no nica, como uma soma finita

t=

i(ui vi),

onde i K, ui U e vi V. Tambm podemos destacar que se U e Vso espaos de

dimenso finita, dimK U=n e dimK V =m, entodimK U V =nm ([11], pag. 18).

Definio 1.2.Uma K-lgebra(associativa) um par(A, ), ondeAdenota um K-espao

vetorial e :A A A uma aplicao bilinear, chamada de multiplicao, que satisfaz

as seguintes propriedades, paraa, be c Ae k K:

i) (ka) b= a (kb) =k(a b);

ii) (a b) c= a (b c);

iii) Existe um elemento 1A A tal que 1A a = a 1A = a, que chamamos elemento

identidadedeA.

Ento, dadas duas K-lgebras (A, ) e (B, ), um K-homomorfismo de lgebras

uma aplicao linear, h : A B, tal que h(a a) = h(a) h(a)e h(1A) = 1B. E assim

uma K-lgebra especial ao nosso propsito a seguinte:

Definio 1.3. Dado qualquer K-espao vetorial V, a lgebra tensorial de V um par

(T(V), i), onde T(V) uma K-lgebra e i : V T(V) uma aplicao linear tal que

dada qualquer K-lgebra A e qualquer aplicao linear f : V A, existe um nico

K-homomorfismo de lgebras, f :T(V) A, que faz o seguinte diagrama

V T(V)

A

..................................................................................................

............

i...............................................................................................................................................................

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f

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f

comutar.

Mostrando sua existncia vemos que esta construda como uma soma direta,

T(V) :=n0

Vn,

onde V0 := K, V1 =V e Vn =V . . . V, n-vezes. Que as aplicaes in : Vn

T(V) so injees naturais, a identidade de T(V) a imagem de 1 K

para n = 0,i0(1) :=1, e todo v T(V)pode ser escrito da forma

v= v1+. . .+vk, vi Vni, ni N, ni=nj , sei =j.


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1.1. lgebras de Clifford 7

E que, com a aplicao bilinear :Vni Vnj V(ni+nj) definida por

(v1 . . . vni) (v1 . . . vnj) =v1 . . . vni v1 . . . vnj

configurando a K-lgebra (V(ni+nj), ), usamos a bilinearidade para definir a multipli-

cao na lgebra tensorial deV.

Com essa caracterizao, podemos notar que k v, com k V0 e v Vi,

o vetor em Vi obtido por kvn1 vn2 . . . vni. Alm disso, se a dim V = 1, a

multiplicao em T(V) no comutativa, pois com u, v Vlinearmente independentes,

usando a contra-positiva, obtemos queu ve v utambm o so, e ento u v=v u

(conforme [11], pag. 61).

1.1 lgebras de Clifford

Definio 1.4. Sejam V um K-espao vetorial, : V V K uma forma bilinear

simtrica e : V K a forma quadrtica associada, isto , (v) = (v, v). A lgebra

de Clifford, Cl(V, ), associada a V e uma K-lgebra associativa com identidade,

juntamente com uma aplicao lineari:V Cl(V, )tal que:

i) (i(v))2 = (v) 1, v V;

ii) (Propriedade universal) Para toda K-lgebra Ae toda aplicao linear f : V A

com (f(v))2 = (v) 1A, v V, existe um nico K-homomorfismo de lgebras,

f :C l(V, ) A, que faz o seguinte diagrama

V Cl(V, )

A

..............................................................................

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i............................................................................................................................................................................

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f

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f

comutar.

natural agora nos assegurarmos que a lgebra de Clifford existe e em que sentido

nica para cada espao vetorial e forma quadrtica a este associada:

Proposio 1.5. Existe uma K-lgebra associativa satisfazendo a definio1.4, que

nica a menos de isomorfismos, ou seja, se Cl(V, ) com j : V Cl(V, ) outra

lgebra de Clifford associada ao espao V e a forma, existe um nico isomorfismo de

K-lgebras, : C l(V, ) Cl(V, ), tal que

i= j.


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Demonstrao: Dado o K-espao vetorialV, consideremos sua lgebra tensorialT(V),

e seja I T(V)o ideal gerado por {v v (v) 1; v V}. Afirmamos que a K-lgebra

procurada T(V)/Ijuntamente comi:= i1, ondei1 : V T(V) a injeo natural

obtida na construo daT(V)e :T(V) T(V)/I a aplicao quociente. Com efeito,temos que

i) i(v))2 = ((i1(v)))2 = (v+ I)2 = (v+ I) (v+ I) =v v+ I= (v) 1T(V)/I,

para todov V, uma vez que nesse caso v v= (v) 1.

ii) Para toda K-lgebra Ae toda aplicao linear f : V Acom (f(v))2 = (v) 1,

v V, como pela propriedade universal da lgebra tensorial, definio1.3, existe

um nico K-homomorfismo de lgebras,f :T(V) Atal quef i1 = f,

obtemos, da propriedade universal do quociente, um nico K-homomorfismo de

lgebras, f :T(V)/I Atal que

f =f ,ou seja,

V T(V) T(V)/I

A

..................................................................................................

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i1.................................................................

............

.............................................................

...................

.................................

................................................................................................................................................................

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i

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....................

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f

f i=f ( i1) = (f ) i1=f i1 = f.

Portanto,Cl(V, ) := T(V)/I uma lgebra de Clifford associada ao espao vetorial V

e a forma.

Agora, para mostramos a unicidade, se Cl(V, )comj :V C l(V, ) outra lgebra

de Clifford associada aV e, da definio,1.4temos

V Cl(V, )

Cl(V, )

..............................................................................

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j.....................................................................................................................................................................

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i

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Da mesma forma para Cl(V, ), segue que

V Cl(V, )

Cl(V, )

..............................................................................

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i.....................................................

................................................................................................................

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j

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Consequentemente,

V Cl(V, )

Cl(V, )

..............................................................................

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j..................................................

...................................................................................................................

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j

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( ) j= ( j) = i= j,

e,

V Cl(V, )

Cl(V, )

..............................................................................

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i.....................................................................................................................................................................

............

i

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......

id

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......

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..

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......

( ) i= ( i) = j=i.

Logo, por unicidade da aplicao identidade, temos queidCl(V,)=eidCl(V,)= ,

donde fazendo:=temos o isomorfismo desejado, concluindo a demonstrao.

Diferente dessa abordagem, na linha de Gallier [9]e Atiyah, Bott e Shapiro [1],

alguns autores, como Lawson e Michelsohn[14], definem as lgebras de Clifford tomando

o idealIgerado por {v v+ (v) 1|v V, 1 K =V0}.

Sendo isso o mesmo que a aplicaoi, chamada deaplicao estrutural, satisfazer

(i(v))2 = (v) 1, pois, como veremos posteriormente, esta uma incluso, observa-se

uma equivalncia entre tais abordagens, j que podemos tomar := . Destacando,como segue, sua dependncia a forma quadrtica.

Exemplo 1.6. Sejam V = R e (x, y) = xy para x, y R. Ento (x) = x2 e

definindo i: R Cpor

x ix

temos que,

i) (i(x))2

= (ix)

2

= x

2

= (x) 1;ii) Sendof : R Aqualquer aplicao linear em uma R-lgebra Atal que (f(x))2 =

(x) 1A, segue que f(x) = x f(1) e a2 = (1) 1A = 1A, fazendo f(1) = a.

Assim definimos f : C Apor

f(x+iy) =x 1A+y a, x, y R,

donde obtemos,

f(i(x)) =f(ix) = 0 1A+x a= x f(1) =f(x).

Logo, C l(R, x2) = C.


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Exemplo 1.7. SejamV = Re (x, y) =xy parax, y R. Ento (x) =x2 e definindo

i: R R Rtal que

i(1) = (0, 1)

temos que,

i) (i(x))2 = (x i(1))2 = x2(1, 0) = (x) 1, observando que a multiplicao em

R R (a, b) (c, d) = (ac+bd, ad+bc), a, b, c, d Re a unidade (1, 0);

ii) Sendof : R Aqualquer aplicao linear em uma R-lgebra Atal que (f(x))2 =

(x) 1A, segue que f(x) =x f(1)e a2 = (1) 1A= 1A, fazendof(1) =a. Assim

definimos f : R R Apor

f(x, y) =x 1A+y a, x, y R,

donde obtemos,

f(i(x)) =x f(i(1)) =x f(0, 1) =x a= x f(1) =f(x).

Portanto,Cl(R, x2) = R R.

Pode-se mostrar que Cl(R, x2)com j : R A, onde A:= R2 com multiplicao

(a, b)(c, d) = (ac, bd), a,b,c,d R, tambm uma lgebra de Clifford associada a Re a, assim : R R Adada por

(1, 0) (1, 1)e (0, 1) (1, 1)

um isomorfismo de lgebras e temos que (i) =j.

Exemplo 1.8. SejamV = R e(x, y) = 0parax, y V. Ento 0e assim o ideal I

gerado por {x x; x R}. Logo, a lgebra de Clifford associada a R e a forma quadrtica

nula e a lgebra exterior de R,(R)([12], pag. 524). Logo, Cl(R, 0) = (R).

Exemplo 1.9. Generalizando os exemplos anteriores, sejam V = Ke (x, y) =dxy para

x, y K e algumd K. Ento(x) =dx2, donde temos Igerado por {x x d 1K; x

K}. Portanto, sabendo que T(K) K[X],Cl(K, dx2) = K[X]/ X2 d.

Exemplo 1.10. SejamV = R2 e(x, y) = x1y1 x2y2parax = (x1, x2),y = (y1, y2)

R2. Ento (x) = x12 x22 e definindo i : R2 H, onde H denota a lgebra dos

quatrnios, tal que

i(x) =x1i +x2j

temos que,


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i) (i(x))2 = (x1i + x2j)2 = x21 x22 = (x) 1, observando que em H tem-se

i2 =j2 =k2 = 1e ij=k,ji = k;

ii) Sendof :R2

Aqualquer aplicao linear em umaR

-lgebra A tal que(f(x))2

=(x)1A, segue quef(x) =x1f(1, 0)+x2f(0, 1)ea2 =f(1, 0)2 = (1, 0)1A= 1A,

b2 =f(0, 1)2 = (0, 1)1A = 1A, fazendof(1, 0) =aef(0, 1) =b. Assim definimos

f : H Apor

f(t+t1i +t2j+t3k) =t 1A+t1 a +t2 b+t3 ab, t, t1, t2, t3 R,

donde obtemos,

f(i(x)) =f(x1i +x2j) =x1 a +x2 b= f(x).

Portanto,Cl(R2, x21 x22) = H.

Agora para mostrarmos a injetividade da aplicao estrutural, que mencionamos

anteriormente, simplificando a notao com a identificao i(V) = V, precisamos con-

hecer um pouco mais dessas lgebras. Comecemos observando que a imagem da aplicao

estrutural,i, geraC l(V, ).

Para isso denotamos por A := Im i a sublgebra gerada por tal imagem e

consideramos a aplicaoi : V A. Comoi(v)2 = (v) 1, da definio1.4, existe

um nico homomorfismo de lgebras f :C l(V, ) Atal que

f i=i.Por outro lado, tomando-se a incluso j :A Cl(V, )temos que

j i=i.Consequentemente,

(j f) i=j (f i) =j i=i,e j que id i = i, por unicidade da aplicao identidade, j f = id, donde j

sobrejetiva. Portanto,Im i =C l(V, ).

Dessa forma, sex Cl(V, ), ento

x=

t1,t2,...,tmi(v1)t1i(v2)

t2 . . . i(vm)tm (1.1)

onde j Ke vi V, sujeito as relaes:

i(v)

2

= (v) 1

e

i(u) i(v) +i(v) i(u) = 2(u, v) 1,


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devido aidentidade polar, parau, v V, quando a caracterstica de K diferente de 2.

Com isso podemos mostrar a seguinte proposio, tambm importante para a

definio dos spinores na prxima seo.

Proposio 1.11. Seja V qualquer K-espao vetorial associado a forma quadrtica .

Existe um nico automorfismo, : C l(V, ) Cl(V, ), tal que

= id e (i(v)) = i(v), v V.

Demonstrao: Considerando 0 : V Cl(V, ) dada por 0(v) = i(v), vemos

que esta linear e (0(v))2 = (i(v))2 = i(v)2 = (v) 1. Assim, pela propriedade

universal das lgebras de Clifford, conforme definio1.4, existe um nico homomorfismo

de lgebras,: C l(V, ) Cl(V, ), tal que

i= 0,

isto ,

(i(v)) = i(v), v V.

E parax Cl(V, ), de (1.1), temos que

(x) =

t1,t2,...,tm(i(v1))t1(i(v2))

t2 . . . (i(vm))tm,

donde,

(x) =

t1,t2,...,tm(i(v1))t1(i(v2))

t2 . . . (i(vm))tm, vi V

obtendo = id e, consequentemente, a bijetividade desta.

O automorfismo chamadoautomorfismo cannico. Usando-o podemos decom-

por a lgebra de Clifford em uma soma direta de dois subespaos,

Cl(V, ) =C l0(V, ) Cl1(V, ),

onde Cli(V, ) = {x Cl(V, ); (x) = (1)ix, para i = 0, 1} e x dito elemento

homogneo de grau i. Como podemos ver que Cli(V, ) Clj (V, ) Cli+j mod 2(V, ),

mostra-se queCl(V, ) umalgebraZ2-graduadaou umasuper lgebra.

Agora observemos que isso nos permite falar na construo da lgebra chamada

produto tensorial Z2-graduada ousuper produto tensorial, que de modo geral, se Ae B

so lgebras Z2-graduadas, definimos o super produto tensorial ABda seguinte forma:como espao vetorial o produto tensorial A Be a multiplicao dada por

(a b) (a b) = (1)grau(b)grau(a)(aa) (bb),

coma, a Ae b, b Belementos homogneos.


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Alm disso, AB uma lgebra Z2-graduada. De fato AB= (AB)0 (AB)1,onde (AB)0 = (A0 B0) (A1 B1)e (AB)1 = (A1 B0) (A0 B1). Permitindoafirmar que, se V = V1 V2 uma decomposio ortogonal de um K-espao vetorial V

associado a forma , (v1+v2) = 1(v1) + 2(v2), onde1 = |V1 , 2 = |V2, v1 V1 ev2 V2, existe um isomorfismo natural de lgebras de Clifford,

Cl(V, ) Cl(V1, 1)Cl(V2, 2). (1.2)Fato que podemos provar considerando a aplicao f :V Cl(V1, 1)Cl(V2, 2)

dada por

f(v) =v1 1 + 1 v2,

v = v1

+ v2, e usando a propriedade universal das lgebras de Clifford para obter o

isomorfismo, cuja inversa seria dada por

u w (u)(w),

ondeu Cl(V1, 1),w Cl(V2, 2),eso tambm obtidas pela propriedade universal

das lgebras de Clifford atravs da aplicao V1 V1 V2 Cl(V, ), bem como da

aplicao V2 V1 V2 Cl(V, ), respectivamente ([14], pg. 11,[5], pg, 57).

Com isso mostremos a injetividade da aplicao estrutural e tambm que se a

dimenso de V finita e {e1, . . . , en} for uma base ortogonal de Vcom respeito a , oprodutoej1ej2. . . ejk com 1 j1 < j2 < . . . < jk n, juntamente com 1, uma base de

Cl(V, ), cuja dimenso 2n.

Proposio 1.12.A aplicao estrutural, i: V Cl(V, ), injetiva.

Demonstrao: Se a forma bilinear associada a for nula, 0, observando que

o exemplo1.8 vale para qualquer V, Cl(V, ) = (V), ento i injetiva, visto que

I

n2

Vn, implica que a aplicao quociente, :T(V) T(V)/I:= (V), restrita a

V1 injetiva ([12], pag. 524) e i= i1 = |V1 , ondei1:V1 T(V).Se a forma bilinear no degenerada, ou seja, sev V e(v, w) = 0para todow V,

entov= 0, temos que sex ker i, paray V, segue que

0 =i(x)i(y) +i(y)i(x) = 2(x, y) 1,

donde x= 0.

Se a forma bilinear qualquer, podemos escreverV =V0 V1, ondeV0 oespao nulo,

V0:= {v V; (v, w) = 0, w V},

eV1 o espao complementar de V0.

Observemos que|V1V1associada a1:= |V1 no degenerada. Com efeito, sev1 V1e


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(v1, v) = 0, para todov V1, temos que(v1, w) =(v1, w0) + (v1, w1),w = w0 + w1

V, w0 V0, w1 V1, implicando, (v1, w) = 0para todo w V, logov1 V0, mas como

V0 V1= {0}, tem-sev1 = 0.

Portanto, pelo que mostramos anteriormente, a aplicao estrutural da lgebra de Cliffordassociada aV1e1, i1 :V1 Cl(V1, ), injetiva.

Consideremos assim, a aplicao

1: V V1 Cl(V1, 1).............................................................................................................................

1............................................................................................................................................

............

i1

onde 1:V V1 a aplicao projeo. Ento,

1(v)2 = 1(v1) 1 = (v) 1,

j que(v) =(v0+v1, v0+v1) =(v1, v1) = 1(v1).

Definamos

: V (V)Cl(V1, 1)v 0(v) 1 + 1 1(v),

onde 0:V V0 aplicao projeo. E notemos que

(v)2 =0(v)2 1 +0(v) 1(v) 0(v) 1(v) + 1 1(v)

2 = (v) 1,

pois (0(v)) = (v0) = v0 = 0(v) e (1(v)) = i(1(v)) = 1(v), donde

grau(1(v)) =grau(0(v)) = 1.

Logo, pela propriedade universal das lgebras de Clifford, definio 1.4,existe um nico

homomorfismo de lgebras f :C l(V, ) (V)Cl(V1, 1), tal quef i= .

Como injetiva, pois(v) = 0, implica0(v) = 0e1(v) = 0, donde sendoi1injetiva,

v= 0, segue que i injetiva como queramos mostrar.

Assim, Cl(V, ) no nula e pode ser vista como uma lgebra gerada por V.

Donde sex Cl(V, ), de (1.1), tem-se

x=

t1,t2,...,tmvt11 v

t22 . . . v

tmm

onde j Ke vi V, com

v2 = (v) 1

eu v+v u= 2(u, v) 1

para u, v V, quando a caracterstica de K diferente de 2.


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Proposio 1.13. Seja{e1, e2, . . . , en} uma base ortogonal de umK-espao vetorial V

com respeito a, ento a lgebraC l(V, )tem base dada pelos produtosej1ej2. . . ejk, onde

1 j1< . . . < jk n, juntamente com1, isto , dim Cl(V, ) = 2n.

Demonstrao: Como(e1, e2, . . . , en) ortogonal, Vadmite uma decomposio orto-

gonal, V =n

i=1

Kei, onde(v) =n

i=1

iv2i para todov =

ni=1

viei V, i, vi K([10], pag.

65). Assim, sendo Vi= Keiei(v) =iv2i , por (1.2), temos que

Cl(V, ) Cl(Ke1, 1) . . .Cl(Ken, n).Como do exemplo1.9, obtemos queC l(Kei, i) = K[X]/ X2 i, temos que cada fator

do lado direito desse isomorfismo tem dimenso igual a 2. Portanto, j que como espao

vetorial um produto tensorial, a dimenso de Cl(V, ) 2n

.Dessa forma, sendo {1, ej1ej2. . . ejk} um conjunto gerador como espao vetorial com 2n

elementos, onde 1 j1 < . . . < jk n, necessariamente uma base de Cl(V, ), como

desejamos mostrar.

Para finalizar a seo, vejamos que as lgebras de Clifford tem um antiautomor-

fismo, ou seja, uma aplicao linear bijetiva em C l(V, )satisfazendot(x y) =t(y) t(x).

Proposio 1.14.SejaV umK-espao vetorial associado a forma quadrtica. Ento

existe um nico antiautomorfismo, t: C l(V, ) Cl(V, ), tal que

t t= id, t(x y) =t(y) t(x) e t(v) =v

para todo v V ex, y Cl(V, ).

Demonstrao: Consideremos a involuoJ :T(V) T(V)dada por

v1 . . . vk vk . . . v1

estendendo por linearidade.

Observemos que I ker( J), onde a aplicao quociente e I como na prova da

proposio1.5. Com efeito,

J(v v (v) 1) =(v v (v) 1) = 0.

Consequentemente, pela propriedade universal do quociente, existe um nico homomor-

fismot: C l(V, ) Cl(V, ), tal que

T(V) T(V) Cl(V, )

T(V)/I

...................................................................................

............

J..........................................................................................................................................

............

.....................................................................................

.............

.

.

..

.

.

.........

.

.

.

.........

........................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................

............

t t = J .

Portanto,


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1.2. Os grupos Spinores 16

i) t(v) =t(i(v)) =t (i1(v)) =J (i1(v)) =J(v) =v;

ii) Como sobrejetiva, dadosx, y Cl(V, ), existemx, y T(V)tais que(x) =x

e(y

) =y . Da t(x y) =t((x

)(y

)) =t (x

y

) =J (x

y

) =J(x y) =y x= J(y)J(x) =J((y)(x)) =t(y)t(x);

iii) ComoJ J =id, donde t J(J ) =t , implicando t J(t ) =t , e por

unicidade da identidade,t J=id, temos quet t(x) =t J (x) =(x) =x.

e assimt um antiautomorfismo como queramos mostrar.

Assim podemos, como segue, conhecer o conceito algbrico que est no cerne da

teoria de Geometria Spin.

1.2 Os grupos Spinores

Como o ttulo da seo indica, precisamos relacionar as lgebras Cl(V, ) com o

conceito de grupo. Para isso, consideremos ogrupo multiplicativo das unidadesna lgebra

de Clifford, isto ,

Cl(V, ) := {x Cl(V); x1 Cl(V)tal que x1x= xx1 = 1}.

Assim, comoCl(V, )contm os vetoresv Vtal que(v) = 0, poisv2 = (v)1,

tomemos o subgrupo deCl(V, )gerado pelos elementosv V com(v) = 0, denotando

por P(V, ). A parti da, podemos especificar os grupos spinores:

Definio 1.15. O grupo P in associado ao K-espao vetorial V e a , denotado por

P in(V, ), o subgrupo

P(V, ) := {v V; (v) = 1} .

E o grupo Spinassociado a V e a, dado por

Spin(V, ) :=P in(V, ) Cl0(V, ).

Observemos que Spin(V, ) realmente um grupo, pois como x P in(V, ),

restaria mostrar que x1 Cl0(V, ), e isso possvel j que (x1) =(x)1.

Porm, nosso trabalho se desenvolve focando as lgebras de Clifford associadas a

certos espaos vetoriais de dimenso finita, e assim passaremos a obter uma definio de

tais grupos nesse contexto.Definio 1.16. Um antiautomorfismo na lgebra de Clifford, : Cl(V, ) Cl(V, ),

dado porx:= t (x) ditoconjugao.


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Aproveitemos para observar que t = t, isso porque sendo a dim V < ,

da proposio1.13, 1, ej1ej2. . . ejk , com 1 j1 < . . . < jk n, formam uma base em

Cl(V, ), donde

t(ej1ej2. . . ejk) =ejkejk1 . . . ej1

e

(ej1ej2. . . ejk) = (1)kej1ej2. . . ejk .

De posse da conjugao, definimos uma outra aplicao que chamamos norma,

N :C l(V, ) Cl(V, ), dada por

N(x) =xx,

ondeN(ej1ej2. . . ejk) = (1)k(ej1)(ej2) . . . (ejk), pelo mesmo argumento do pargrafoanterior e j que ej1ej2. . . ejk = (1)

kejkejk1 . . . ej1.

Definio 1.17. Seja V um K-espao vetorial de dimenso finita. O grupo Clifford

da forma quadrtica , denotado por (V, ), o subgrupo formado pelos elementos

x Cl(V, )para o qual

(x)vx1 V, v V.

Como a aplicao x : V V, dada por x(v) = (x)vx1, linear e injetiva

para cadax (V, ), devido a dim V


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Figura 1.1: w quandoV = R2

J vimos na definio1.15,no incio da seo, a caracterizao geral dos gruposspinores, teremos agora uma definio equivalente, importante ao presente trabalho, que

os caracteriza quando a dimenso de V finita, como j mencionado antes.

Definio 1.19. O grupo P in associado a um K-espao vetorial de dimenso finita V

e a uma forma quadrtica no degenerada, isto , se a forma bilinear simtrica

associada ae (v, w) = 0para todo w V, ento v = 0, denotado por P in(V, ), o

subgrupo

P in(V, ) := {x (V, ); N(x) = 1}

E o grupo Spinassociado a V e, dado por

Spin(V, ) :=P in(V, ) Cl0(V, ).

Para mostrarmos tal equivalncia vejamos que associado ao grupo Clifford, temos

uma importante aplicao chamada por Atiyah, Bott e Shapiro ([1], pag. 7) derepresen-

tao adjunta torcida,

: (V, ) GL(V)

x x:V V

v x(v) =(x)vx1,

que est bem definida, como podemos ver no pargrafo posterior a definio 1.17,cujo

contradomnio oGrupo Linear GeraldeV,

GL(V) := {T :V V; T um K-isomorfismo linear},

e com a qual temos os seguinte resultados:

Lema 1.20. SejaV umK-espao vetorial de dimenso finita euma forma quadrticano degenerada. O ncleo da aplicao o grupo multiplicativo, K 1, dos mltiplos

no nulos da identidade deCl(V, ).


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Demonstrao: Como no degenerada, escolhamos uma base {e1, . . . , en} deV tal

que(ej ) = 0, para todo j, e (ei, ej ) = 0, para todo i =j . Sex ker , ento x =id,

donde,

(x)vx1 =v (x)v=vx, v V.

Observemos que, comoCl(V, ) =C l0(V, ) Cl1(V, ), podemos escrever x= x0+x1,

onde x0 Cl0(V, ) e x1 Cl1(V, ). Assim, de (x0 + x1)v = v(x0 +x1), temos

x1v+x0v= vx1+vx0, e visto que v Cl1(V, ), segue-se,

x1v= vx1 e vx0=x0v, v V (1.3)

Alm disso, da proposio 1.13, podemos escrever x0 e x1 como combinaes lineares

de ej1. . . ejk, 1 j1 < . . . < jk n. Dessa forma, usando sucessivamente ejei =eiej + 2(ej, ei), conseguimos expressar x1 como x1 = a1 + e1a0, onde a1 e a0 so

combinaes lineares de ej1. . . ejk paraji= 1. O mesmo acontece para x0.

Notemos que a1 Cl1(V, ) e a0 Cl0(V, ), pois x1 = (a1) e1(a0), e assim

a1 e1a0=(a1) e1(a0). E parav=e1em (1.3), tem-se

a1e1+e1a0e1= e1a1 e21a0 e1a1+e

21a0= e1a1 e

21a0

e21a0= 0, como(e1) = 0,

a0= 0.

Logo, x1 = a1, e com isso no tem e1 em sua expresso. Podendo expressarx1 = a1 =

b0+e2b1, e assim indutivamente, em seguida fazendo esse mesmos procedimento, chegamos

que x1 no tem e2, . . .,en em sua expresso, ou seja, gerado apenas por 1. Com isso,

x1 Cl0(V, ), mas vimos quex1 Cl1(V, ), portanto, x1= 0.

Analogamente, mostramos que x0 = t1, t K. E conclumos,x= t1, e como x (V, ),

x = 0, o que completa a demonstrao.

Proposio 1.21. Seja V um K-espao vetorial de dimenso finita e uma forma

quadrtica no degenerada. Sex (V, ), ento N(x) K 1.

Demonstrao: Notemos inicialmente que e tinduzem, respectivamente, um auto-

morfismo e um antiautomorfismo em (V, ), j que ((x))v(x)1 = ((x)vx1) =

(x)vx1 Ve, analogamente, (t(x))vt(x1) V, para todo x (V, )e v V.

Assim, sex (V, ), tem-se

t((x)vx1) =(x)vx1 t(x)1vt((x)) =(x)vx1

v= t(x)(x)vx1t((x))1

v= ( t(x)x)v( t(x)x)1,


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donde,xx ker . Comox = (t(x)) (V, ), segue queN(x) =xx= t( t(x))

t(x)) =x x ker , que pelo lema anterior mostra o desejado.

Corolrio 1.22. A norma restrita ao grupo (V, ), N : (V, ) K

1, um homo-morfismo eN((x)) =N(x)para todo x (V, ).

Demonstrao: Vejamos que parax, y (V, ), pela proposio anterior, tem-se

N(xy) =xyxy= xyt (xy) =xyt (y)t (x) =xN(y)x= N(x)N(y).

Da mesma forma,

N((x)) =(x)(x) =(x) t((x)) =(x)(x) =(N(x)) =N(x).

Para o prximo corolrio precisamos do seguinte resultado, conhecido como teo-

rema de Cartan-Dieudonn, cuja demonstrao omitiremos, mas pode ser vista em Bour-

baki ([3], pag. 97, proposio 5).

Teorema 1.23.SejaV umK-espao vetorial de dimenso finita euma forma quadrtica

no degenerada. Todo elemento do grupo ortogonal,f O(V, ), pode ser escrito como

o produto dek reflexes,

f=s1 . . . sk,

ondek dim V eO(V, ) = {T GL(V); (T v) = (v), v V}.

Corolrio 1.24. A imagem da representao adjunta torcida o grupo das aplicaes

ortogonais, ou seja, ((V, )) =O(V, ).

Demonstrao: Observemos que sex (V, )e v V, com(v) = 0, pelo corolrio

anterior,

N(x(v)) =N((x)vx1) =N(x)N(v)N(x)1 =N(v), v V ex (V, ),

donde, (x(v)) = (v), mostrando que x O(V, ).

Agora, sef O(V, ), como no degenerada, pelo teorema de Cartan-Dieudonn,

f=s1 . . . sk.

Tambm por ser no degenerada, V := {v V; (v) = 0} no vazio, e pela

proposio1.18, tem-seV (V, ). Assim podemos considerar o vetor no nulowj V

ortogonal ao hiperplano sobre o qual est definido sj, obtendo

(wj ) =sj.


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Consequentemente, notando que parax1, . . . , xr Cl(V, )tem-se

x1...xr(v) =(x1 . . . xr)v(x1 . . . xr)1 =x1 . . . xr(v), v V,

segue que

f=w1...wk , wj (V, ),

concluindo a demonstrao.

Observao 1.25. Assim temos a seguinte sequncia exata:

1 K 1 (V, ) O(V, ) 1........................................................................................................... ................................................................................................

.......................................................

............

..................................................................................

.

............

.

Agora podemos ver a equivalncia entre as definies 1.15e1.19. Para isso de-notemos o conjunto P in(V, )na definio1.19por

GV,:= {x (V, ); N(x) = 1}

e observemos que este um grupo, j que no degenerada e, do corolrio 1.22,

a norma no grupo Clifford um homomorfismo. Assim basta vermos primeiro que o

conjunto gerador

V = {v V; (v) = 1}

do grupo P in(V, ) est contido em GV,. Com efeito, sev V, tem-se v1 = v e

(v)wv1 = w 2(w, v)v, para todo w V, donde V (V, ) e como N(v) =

v2 = 1, segue queV GV,, e portanto, P in(V, ) GV,.

Para a outra incluso, se x GV,, ento x (V, ), e da prova do corolrio

anterior, existemwj (V, )com (wj) = 0tais que

(x) =w1...wk ,

da,

(xw11 . . . w1k ) =id xw

11 . . . w

1k ker

x= w1 . . . wk, K, = 0.

ComoN(x) = 1segue que = 1 e (wj) = N(wj ) = 1. Portanto, obtemos que

GV, P in(V, ).

Assim, temos a equivalncia desejada e destaquemos que crucial a forma quadrtica

ser no degenerada, visto a necessidade do ker ser igual a K 1. O que no acontece

quando a forma degenerada. No exemplo1.8,onde a forma degenerada,1+e1e2 ker ,

j que(1 +e1e2)1 = 1 e1e2, mas1 +e1e2 / K 1.


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Exemplo 1.26. Quando V = R e (x) = x2 temos que Cl(R, ) = C, conforme o

exemplo1.6. Assim, como a aplicao estrutural injetiva, identificamos Rcom Ri, da

(bi) = bi, e consequentemente,

(R, ) = {a +bi C; (a bi)va bi

a2 +b2 Ri, v Ri,a,b R}

= {a +bi C; b= 0ou a = 0 a,b, R}

=C l0(R, ) Cl0(R, )i,

donde,

P in(R, ) = {a +bi (R, ); a2 +b2 = 1} = {1, 1, i, i}

e

Spin(R, ) = {a +bi P in(R, ); (a +bi) =a +bi} = {1, 1},

isto ,

P in(R, ) Z4 e Spin(R, ) Z2.

Figura 1.2: P in(R, )

Exemplo 1.27. Quando V = Re (x) = x2 temos que Cl(R, ) = R R, conforme oexemplo1.7. Assim, identificamos R comR, onde = (0, 1). Dessa forma o automorfismo

cannico (0, b) = (0, b), e consequentemente,

(R, ) = {(a, b) (R R); (a, b)v( a

b2 a2,

b

b2 a2) R, v R,a,b R}

= {(a, b) (R R); b= 0ou a= 0 a,b, R}

=C l0(R, ) Cl0(R, ),

E, j queN(a, b) = (a, b)(a, b) = (a2 b2) 1, temos

P in(R, ) = {(a, b) (R, ); a2 b2 = 1} = {(1, 0), (1, 0), (0, 1), (0, 1)}


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onde a ordem de seus elementos dois, e

Spin(R, ) = {(a, b) P in(R, );(a, b) = (a, b)} = {(1, 0), (1, 0)},

isto ,

P in(R, ) Z2 Z2 e Spin(R, ) Z2.

Figura 1.3: P in(R, )

Assim, finalizamos a seo obtendo que arepresentao adjunta torcidarestrita aos

gruposP in(V, )e Spin(V, )so homomorfismos sobrejetivos, respectivamente, sobre o

grupo ortogonal,O(V, ), e ogrupo ortogonal especial,

SO(V, ) = {T O(V, ); det(T) = 1}.

caracterstica fundamental para o ltimo captulo desse trabalho, que nos permite, como

veremos, mostrar que tais grupos so recobrimentos duplos. Conceito este utilizado para

abordar a estrutura das variedades spins de modo topologicamente equivalente a como

so definidas, contudo mais ricamente ([14], pag. 5).

Teorema 1.28. As restries de aos grupos spinores, : P in(V, ) O(V, ) e: Spin(V, ) SO(V, ), so homomorfismos sobrejetivos de grupos.

Demonstrao: Como do corolrio1.24temos que ((V, )) =O(V, ), na demons-

trao deste podemos tomarwjunitrio,uj = wj|(wj)|

, e obtemos queu1 . . . uj P in(V, ),

pois N(uj ) = 1, e assim, para qualquer f O(V, ),

f=u1...uk ,

mostrando a sobrejetividade de|P in(V,).Agora, suponhamos por absurdo que (Spin(V, )) = SO(V, ). Ento existe uma f

O(V, )\SO(V, )tal que x =fpara algum x Spin(V, ).


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Notemos que escolhendo uma base {e1, . . . , en} deV comv =e1e (v, ej) = 0paraj 2,

tem-sev(e1) = e1ev(ej) =ej,j 2. Com isso o det v = 1, e consequentemente,

SO(V, ) = {s1 . . . sk; k par}.

Da, fpode ser escrita como f = w1...w2k+1, e assim w1...w2k+1 = x, o que implica

x1w1 . . . w2k+1 K 1, pelo lema1.20.

Dessa forma, para algum K,

x= 1

w1 . . . w2k+1 (x) =

1

(w1) . . . (w2k+1)

(x) = 1

(1)2k+1w1 . . . w2k+1 = x,

o que absurdo, pois x Spin(V, ). Portanto, : Spin(V, ) SO(V, ) tambm

sobrejetiva.

Assim, como j conhecemos os grupos spinores, podemos passar as representaes

das lgebras de Clifford, representaes estas importantes em Geometria Spin, como fare-

mos no prximo captulo.


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Captulo 2

As classificaes e representaes das

lgebras de Clifford

Aqui, se considerarmos que o leitor tenha conhecimentos em teoria das variedades

ou um consulta ao apndice, como j vimos a definio dos grupos spinores, deveremos

seguir buscando compreender as representaes.

Dessa forma, o presente captulo se estrutura com tal finalidade. Iniciando com

as lgebras de Clifford associadas ao espao vetorial Rn, passando, na seo seguinte, as

representaes de modo geral, mas com foco nas representaes dessas lgebras.

2.1 As lgebras de Clifford associadas a Rn

Seria oportuno detalharmos melhor o motivo de foco em um caso particular das

lgebras de Clifford. Esse est nas representaes dessas lgebras restritas aos grupos

spinores, conceito que veremos na prxima seo, no serem induzidas de representaes

dos grupos ortogonais ou ortogonais especiais ([14], pag. 21).

E isso importncia, pois o modo de abordar a estrutura spin das variedades spin,

utilizando levantamento, est relacionado com tais representaes, que por no serem

induzidas como citado, geram novas construes, inexistentes sobre variedades gerais,

mesmo quando se refina a estrutura das variedades diferenciais passando as variedades

spin, sem abordar-la assim ([14], pag. 5).

Ento, iniciemos considerando V como um R-espao vetorial n-dimensional, e

supondo que a forma quadrticaseja no degenerada emV. Com isso, podemos escolher

uma base{e1, . . . , en}paraV, conforme Garling ([10], pag. 64), de forma que

(x) =x21+. . .+x

2p x

2p+1 . . . x

2p+q,

onde p+q=n e 0 p n. Denotamos por p,q a forma quadrtica correspondente ao

par(p, q), chamado deassinaturadep,q.

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2.1. As lgebras de Clifford associadas aRn 26

Aslgebras de Cliffordassociadas as formas quadrticas que tm essa assinatura

recebem, consequentemente, a notao Clp,q, seus grupos Clifford, p,q, bem como seus

grupos spinores,pinp,qespinp,q. Tambm os grupos ortogonais e ortogonais especiais so

convencionalmente escritos comoOp,qeSOp,q.Quando p = 0obtemos casos que so importantes para o presente trabalho, cuja

notao Cln, isto ,

n(x) = x21 . . . x

2n, x R

n eN(x) =x21+. . .+x2n, x n, (2.1)

mostrando que a aplicao norma sempre no negativa para tais lgebras reais e per-

mitindo definir os grupos pinn e spinn tambm da seguinte forma, como fazem Atiyah,

Bott e Shapiro ([1], pag. 8), sendo esta exatamente a definio1.19em tais lgebras:

Definio 2.1. P inn o ncleo de N : n R 1, para n 1, e Spinn o subgrupo

deP innque imagem inversa de SOnsobre: P inn On, paran 1.

Lembremos que alguns autores, por exemplo, Lawson e Michelsohn [14], definem

as lgebras de Clifford com(i(v))2 = (v) 1, assim suas Cln so nossas Cln,0. Mas o

trabalho similar, j que h apenas uma inverso de sinal no decorrer das demonstraes.

Uma classificao dessas lgebras obtida a partir dos seguintes teoremas, onde o

segundo ditoo teorema da 8-periodicidadedevidos a Elie Cartan e Raoul Bott.Teorema 2.2. OsR-isomorfismos de lgebras

Cln,0 Cl0,2=C l0,n+2 (2.2)

Cl0,n Cl2,0=C ln+2,0 (2.3)

Clp,q Cl1,1=C lp+1,q+1 (2.4)

existem para todo n,p,q 0.

Demonstrao: Como o procedimento similar para os trs isomorfismos (ver [14],

pag. 26), faamos o (2.4). Assim, escolhamos {e1, . . . , ep+1, 1, . . . , q+1} uma base or-

togonal para Rp+q+2 tal que p+1,q+1(ei) = 1 e p+1,q+1(j ) = 1, i, j. Ento seja

{e1, . . . , ep,

1, . . . ,

q}uma base para R

p+q Clp,qe{e1, 1}uma base para R

2 Cl1,1.

Dessa forma, definamos f : Rp+q+2 Clp,q Cl1,1estendendo linearmente

f(x) =x e11, x R

p+q, f(ep+1) = 1 1 ef(q+1) = 1 e

1.


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2.1. As lgebras de Clifford associadas aRn 27

Notando que est bem definida, visto a injetividade da aplicao estrutural, e que

f(x+ep+1+q+1)2 = (x e1

1+1

1+1 e

1)

2

= x2 e12

12

+21 e12

+ ( )x e12

1+ ( )x e112

+ ( )1 e11+

21 12

= [p,q(x)1,1(e1)1,1(

1) +

21,1(e1) +

21,1(1)]1 1

= [p,q(x) +2 2]1 1

= p+1,q+1(x+ep+1+q+1)1 1,

obtemos, pela definio 1.4, o homomorfismof : Clp+1,q+1 Clp,q Cl1,1. Como

f((1)k1(1)l1ei1. . . eikj1. . . jl) = e

i1. . . e

ik

j1. . . jl

e11, com 1 i1 < . . .

Álgebras de clifford

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