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ALGEBRE II

(SMPC)

Mohamed LAABISSI & Abdelfattah HAILY

Département de Mathématique

Fa ulté des S ien es

Université Chouaib Doukkali-El Jadida

ii

M. Laabissi & A. Haily Algèbre 2 (SMPC)

Table des matières

0 Espa es Ve toriels (Rappels) 1

0.1 Dé�nitions et Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Sous espa es Ve toriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.3 Bases et Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

0.4 Exer i es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Appli ations Linéaires 11

1.1 Dé�nitions et Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Théorème du Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Appli ations Linéaires Parti ulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.1 Formes Linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.2 Homothéties Ve torielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3 Proje tion Ve torielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.4 Symétrie Ve torielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Exer i es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Cal ul Matri iel 23

2.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.2 Opérations sur les Matri es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.1 Égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.2 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2.3 Multipli ation par un s alaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.4 Multipli ation des Matri es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2.5 Matri e Transposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Matri es Carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.4 Matri es Parti ulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.1 Matri es daigonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.2 Matri es triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4.3 Matri es Symétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 Rang d'une Matri e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.6 Matri e d'une Appli ation Linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7 Changement de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.8 Exer i es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


iv TABLE DES MATIÈRES

3 Déterminants 45

3.1 Dé�nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Déterminants d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.2 Déterminant d'ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.3 Déterminants d'ordre n ≥ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Déterminant d'un Endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Méthode de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5 Exer i es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Diagonalisation et Trigonalisation 59

4.1 Valeur Propre et Ve teur Propre d'un Endomorphisme . . . . . . . . . 59

4.2 Valeur Propre et Ve teur Propre d'une Matri e . . . . . . . . . . . . . 61

4.3 Diagonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.4 Trigonalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.5 Appli ations aux Systèmes Linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5.1 Cas de Matri e Diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.6 Cas de Matri e Trigonalisable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.7 Exer i es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


Chapitre 0

Espa es Ve toriels (Rappels)

Dans tout e ours K désigne R ou C.

0.1 Dé�nitions et Exemples

Dé�nition 0.1.1. Un ensemble non vide E muni d'une loi interne + et d'une loi

externe .. On dit que (E,+, .) est un espa e ve toriel sur K si pour tous u, v, w ∈ Eet α, β ∈ K :

1. Stabilité de l'addition + : u+ v ∈ E,

2. + est ommutative : u+ v = v + u,

3. + est asso iative : (u+ v) + w = u+ (v + w),

4. + admet un élément neutre 0E : u+ 0E = 0E + u = u,

5. Tout élément u admet un opposé −u,6. Stabilité pour la multipli ation par un s alaire : αu ∈ E,

7. α.(u+ v) = α.u+ αu,

8. (α+ β).u = α.u+ β.v,

9. α.(β.u) = (α× β).u,

10. 1.u = u.

Remarque 0.1.1. Un espa e ve toriel sur R est dit aussi un espa e ve toriel réel ou

R-espa e ve toriel.

Un espa e ve toriel sur C est dit aussi un espa e ve toriel omplexe ou C-espa e ve -

toriel.

Exemple 0.1.1. 1. On onsidère l'ensemble E = R2muni des deux lois suivantes :

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2), (loi interne)

α(x1, y1) = (αx1, αy1), (loi externe)

est un R -espa e ve toriel.


2 Espa es Ve toriels (Rappels)

2. Plus généralement pour n ≥ 1, l'ensemble E = Rnmuni des deux loi suivantes :

(x1, x2, . . . , xn) + (y1, y2, . . . , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, . . . , xn + yn),

α(x1, x2, . . . , xn) = (αx1, αx2, . . . , αxn),


3. L'ensemble des fon tions polynomiales réelles de degrés inférieur ou égal à 4

P4 = {a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + a4x4 : a0, a1, a2, a3, a4 ∈ R}


4. L'ensemble des matri es arrés d'ordre 2 à oe� ient réels M2(R) muni des

deux lois suivantes :

(a bc d

)

+

(x yz t

)

=

(a+ x b+ yc+ z d+ t

)

(loi interne)

λ.

(a bc d

)

=

(λa λbλc λd

)

(loi externe)


Exer i e 0.1.1. En pré isant les lois interne et externe, montrer que les ensembles

suivants sont des R -espa es ve toriels.

1. L'ensemble des fon tions réelles à valeurs réelles F(R) muni de l'addition des

fon tions et la multipli ation par un s alaire.

2. L'ensemble des fon tions trigonométrique T = {acos(x) + bsin(x) : a, b ∈ R}muni des deux lois suivantes :

[(acos(x) + bsin(x)] + [a′cos(x) + b′sin(x)] = (a+ a′)cos(x) + (b+ b′)sin(x),

α.[(acos(x) + bsin(x)] = (αa)cos(x) + (αb)sin(x).

3. E = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y − 2z + 3t = 0}.

Exer i e 0.1.2. Les ensembles suivants sont -ils des espa es ve toriels :

1. Le er le de entre l'origine et de rayon 1 :

C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1},

muni de l'addition et de la multipli ation externe de R2

2. L'ensemble

E = {f ∈ F(R) : f(1) = 1}.muni de l'addition et de la multipli ation externe de F(R).

Soient (E,+, .) et (F,+, .) deux espa e ve toriels sur K. On muni le produit artésien

E × F deux loi suivantes :

� Addition : (x, y) + (z, t) = (x+ z, y + t) pour tous (x, y), (z, t) ∈ E × F ,� Multipli ation par un s alaire : λ(x, y) = (λx, λy) pour tout λ ∈ K, (x, y) ∈

E × F .

Proposition 0.1.1. Soient (E,+, .) et (F,+, .) deux espa e ve toriels sur K. Alors

(E × F,+, .) est un espa e ve toriel sur K.


0.2 Sous espa es Ve toriels 3

0.2 Sous espa es Ve toriels

Dé�nition 0.2.1. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K et F ⊂ E. On dit que Fest un sous espa e ve toriel de E si (F,+, .) est un espa e ve toriel sur K.

Exemple 0.2.1. 1. Si (F,+, .) est un espa e ve toriel sur K, alors {0E} et E sont

des sous espa es ve toriels de E.

2. L'ensemble des fon tions polynomiales réelles de degrés inférieur ou égal à 4

P4 = {a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3 + a4x4 : a0, a1, a2, a3, a4 ∈ R}

est un sous espa e ve toriel de (F(R),+, .).

3. L'ensemble des fon tions trigonométrique T = {acos(x) + bsin(x) : a, b ∈ R}muni des deux lois suivantes :

[(acos(x) + bsin(x)] + [a′cos(x) + b′sin(x)] = (a+ a′)cos(x) + (b+ b′)sin(x),

α.[(acos(x) + bsin(x)] = (αa)cos(x) + (αb)sin(x).

est un sous espa e ve toriel de (F(R),+, .).

4. L'ensemble E = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x + y − 2z + 3t = 0} est un sous espa e

ve toriel de (R4,+, .).

Proposition 0.2.1. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K et F ⊂ E. Alors F est

un sous espa e ve toriel de E si et seulement si

1. 0E ∈ F ,

2. F est stable par l'addition : ∀u, v ∈ F , on a u+ v ∈ F ,

3. F est stable par la multipli ation par un s alaire : ∀α ∈ K, ∀u ∈ F , on a

αu ∈ F .

Exemple 0.2.2. 1. V = {(x, y) ∈ R2 : x + 5y = 0} est un sous espa e ve toriel

de R2. En e�et, il est lair que (0, 0) ∈ V . De plus, si u = (x, y) ∈ V et

v = (z, t) ∈ V . On a u+ v = (x+ z, y + t) et

(x+ y) + 5(z + t) = (x+ 5y) + (z + 5t) = 0.

e qui implique que u+ v ∈ V . On a aussi si α ∈ R :

αu = α(x, y) = (αx, αy),

de plus, αx + 5(αy) = α(x + 5y) = α.0 = 0. Ce qui donne que αu ∈ V . On on lut alors que V est un sous espa e de R2

.

2. F1 = {(0, y) ∈ R2 : y ∈ R} et F2 = {(x, 0) ∈ R2 : x ∈ R} sont deux sous espa es

ve toriels de R2.

3. L'ensemble des fon tions réelles à valeurs réelles et paires

{f ∈ F(R) : f(x) = f(−x), ∀x ∈ R}

est sous espa e ve toriel de F(R).



Remarque 0.2.1. La proposition pré édente est équivalente à : F est un sous espa e

ve toriel de E si et seulement si

1. 0E ∈ F ,

2. αu+ v ∈ F, ∀u, v ∈ F et ∀α ∈ K.

Exer i e 0.2.1. Re onnaître les sous espa es ve toriels parmi les ensembles suivants :

1. {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z}2. {(x, y, z, t) ∈ R4 : x ∈ Z}3. {f ∈ F(R) : f est dérivable }4. {f ∈ F(R) : f(0) = 0}5. {f ∈ F(R) : f(0) = 3}6. l'ensemble des suites réelles onvergentes.

Proposition 0.2.2. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K et F et G deux sous

espa es ve toriels de E alors

1. l'interse tion F ∩G est un sous espa e ve toriel de E.

2. la somme de F et G

F +G = {f + g : f ∈ F et g ∈ G}

est un sous espa e ve toriel de E.

Dé�nition 0.2.1. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K et F et G deux sous

espa es ve toriels de E. On dit que E est la somme dire te de F et G et on note

E = F ⊕G si

1. F ∩G = {0E},2. E = F +G.

On dit que les deux sous espa es ve toriels F et G sont supplémentaires.

Dé�nition 0.2.2. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K et A une partie non vide

de E. On appelle sous espa e ve toriel engendré par A et on note vect(A), l'ensemble :

vect(A) = {x ∈ E : x =

n∑

i=1

λiai ave n ∈ N∗, ai ∈ A, λi ∈ K}

∑n

i=1 λiai s'appelle une ombinaison linéaire des ve teurs a1, . . . , an.

Remarque 0.2.2. 1. V ect(A) est l'ensemble des ombinaisons linéaires d'éléments

de A.

2. A ⊂ V ect(A).

3. Si A est un sous espa e ve toriel alors V ect(A) = A.

4. Si A ⊂ B alors V ect(A) ⊂ V et(B).


0.3 Bases et Dimension 5

Exer i e 0.2.2. 1. Montrer que vect(A) est un sous espa e ve toriel de E.

2. Montrer que vect(A) est le plus petit espa e ve toriel qui ontient A. i.e. si Fest un sous espa e ve toriel de E tel que A ⊂ F , alors vect(A) ⊂ F .

Exemple 0.2.3. 1. E = R2, A = {(1, 0)} :

vect((1, 0)) = {(x, 0) : x ∈ R} = R× {0}.

2. E = R2et A = {u = (1, 2), v = (3, 1)} :

vect({u, v}) = {(x+ 3y, 2x+ y) : x, y ∈ R}.

3. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K et {v1, v2, . . . , vn} une famille de ve -

teurs de E. Alors

vect({v1, v2, . . . , vn}) = {λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn : λ1, λ2, . . . , λn ∈ K}.

4. Soient F et G deux sous espa es ve toriels de d'un espa e ve toriel E, alorsF +G = V ect(F ∪G).

0.3 Bases et Dimension

Dé�nition 0.3.1. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K et {v1, v2, . . . , vn} une

famille de ve teurs de E.

1. On dit que {v1, v2, . . . , vn} est une famille génératri e de E si

vect({v1, v2, . . . , vn}) = E. i.e.

∀x ∈ E, ∃λ1, λ2, . . . , λn ∈ K tels que x = λ1v1+λ2v2+· · ·+λnvn : λ1, λ2, . . . , λn =

n∑

i=1

λivi.

2. On dit que {v1, v2, . . . , vn} est une famille libre de E si

n∑

i=1

λivi = 0E =⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

on dit aussi que les ve teurs v1, v2, . . . , vn sont linéairement indépendants.

3. une famille qui n'est pas libre est dite une famille liée.

Exemple 0.3.1. 1. SoientE = R4et ei = (1, 0, 0, 0), e2 = (0, 1, 0, 0), e3 = (0, 0, 1, 0), e4 =

(0, 0, 0, 1). La famille génératri e de R4. En e�et, pour tout (x, y, z, t) ∈ R4

on a

(x, y, z, t) = xe1 + ye2 + ze3 + te4.

2. E = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 3y + 4z = 0}. Si (x, y, z) ∈ E alors x = −3y − 4z. Oné rit alors

(x, y, z) = (−3y − 4z, y, z) = y(−3, 1, 0) + z(−4, 0, 1).On en déduit que la famille {(−3, 1, 0), (−4, 0, 1)} est une famille génératri e de

E.



3. La famille {(1, 2, 3), (1, 0, 1)} est libre de R3. En e�et, si x(1, 2, 3) + y(1, 0, 1) =

(0, 0, 0) alors x+ y = 0, 2x = 0, 3x+ y = 0. Ce qui implique que x = y = 0.

Exer i e 0.3.1. Trouver les familles génératri es des sous espa es suivants :

1. F = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− 2y + 3z = t}2. G = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x− 2y = 0, 3z − t = 0}

Montrer que les familles suivantes sont libres :

1. {(1, 0, 1), (2, 1, 3)} de R3.

2. {f(x) = (x− 1), g(x) = (x− 1)2, h(x) = (x− 1)3} de F(R).

Proposition 0.3.1. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K, F et G deux sous

espa es de E et A et B deux parties de E. Alors

1. Si A est génératri e de F et B est génératri e de G alors A∪B est génératri e

de F +G.

2. V ect(A ∪B) = V ect(A) + V ect(B).

Exer i e 0.3.2. Trouver une famille génératri e de F + G des deux sous espa es

ve toriels F et G de l'exer i e 0.3.1 ? Cette famille est elle libre ?

Proposition 0.3.2. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K et A et B deux parties

de E. Alors

1. Si A ⊂ B et A génératri e de E alors B est aussi génératri e de E.

2. Si A ⊂ B et B est libre alors A est aussi libre.

3. Si {0E} ⊂ A alors A est liée.

4. ∀x ∈ (E \ {0E}) alors {x} est libre.

Dé�nition 0.3.2. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K et B une partie de E.

On dit que B est une base de E si B est libre et génératri e de E.

Exemple 0.3.2. 1. Soit E = Rnet ei = (0, . . . , 0, 1

omposante i

, 0, . . . , 0) pour

i = 1, 2, . . . , n.Alors B = {e1, e2, . . . , en} est une base de Rn

. Cette base s'appelle la base

anonique de Rn.

2. Soit E = {(x, y, z) ∈ R3 : x = 2y}. Pour tout (x, y, z) ∈ E, on peut é rire

(x, y, z) = (2y, y, z) = y(2, 1, 0) + z(0, 0, 1).

On en déduit que B = {(2, 1, 0); (0, 0, 1)} est une famille génératri e de E. Deplus, on a

α(1, 2, 0) + β(0, 0, 1) = (0, 0, 0)

Ce qui implique que α = β = 0 et B est don libre. Comme B est à la fois libre

et génératri e de E, alors B est une base de E.


0.3 Bases et Dimension 7

Dé�nition 0.3.3. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K et B une base de E. On

appelle dimension de E le ardinal de B. On note dimK E = |B|.On dit que E est de dimension �nie si dimKE est �nie.

Exemple 0.3.3. Pour les les espa es de l'exemple0.3.2, on a

1. dimR Rn = n.

2. dimR E = 2.

Proposition 0.3.3. Soit (E,+, .) un espa e ve toriel sur K de dimension �nie n.Alors

1. le ardinal d'une famille libre est inférieur ou égal à n.

2. le ardinal d'une famille génératri e est supérieur ou égal à n.

3. Toute les base de E ont le même ardinal n.

4. de toute famille génératri e on peut extraire une base.

Proposition 0.3.4. Soient (E1,+, .) et (E2,+, .) deux espa es ve toriels sur K de

dimensions �nies E. Alors

dimK(E1 × E2) = dimK E1 + dimK E2.

Proposition 0.3.5. Soit (E,+, .) un espa e ve toriel sur K de dimension �nie n et

F et G deux sous espa es ve toriels de E. Alors

dimK(F +G) = dimK F + dimKG− dimK(F ∩G)

Dé�nition 0.3.4. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K et {v1, . . . , vm} une fa-

mille de ve teurs de E. On appelle rang de {v1, . . . , vm} la dimension du sous espa e

engendré par {v1, . . . , vm}. On note

rang({v1, . . . , vm}) = dimK vect({v1, . . . , vm}).

Exemple 0.3.4. On reprend l'exemple 0.3.2, on a

1. rang(e1, . . . , en) = n.

2. rang((2, 1, 0), (0, 0, 1)) = 2.

3. si B est une base de E, alors rang(B) = dimK E.

Proposition 0.3.6. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K et {v1, . . . , vm} une

famille de ve teurs de E.

1. rang({v1, . . . , vm}) ≤ m.

2. rang({v1, . . . , vm}) = m si et seulement si {v1, . . . , vm} est libre.



0.4 Exer i es

Exer i e 0.1. On onsidère l'ensemble des matri es arrés d'ordre 2 à oe� ients réels

M2(R) muni de lois suivantes :

(a bc d

)

+

(x yz t

)

=

(a+ x b+ yc+ z d+ t

)

λ

(a bc d

)

=

(λa λbλc λd

)

Montrer que (M2(R),+, .) est un espa e ve toriel sur R.

Exer i e 0.2. Soit F(R) l'ensemble des fon tions réelles. On dé�nit les lois suivantes :

(f + g)(x) = f(x) + g(x), ∀x ∈ R,

(λf)(x) = λf(x) ∀λ, x ∈ R

Montrer que (F(R),+, .) est un espa e ve toriel sur R.

Exer i e 0.3. Soit S(N,R) l'ensemble des suites réelles. On dé�nit les lois suivantes :

(u+ v)n = un + vn, ∀n ∈ N,

(λu)n = λun ∀λ, n ∈ N

Montrer que (S(N,R),+, .) est un espa e ve toriel sur R.

Exer i e 0.4. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K, u ∈ E et λ ∈ K. Montrer que

1. 0.u = 0E

2. λ0E = 0E

3. (−1).u = −u4. λu = 0E ⇔ λ = 0 ou u = 0E .

Exer i e 0.5. Soient (E,+, .) un espa e ve toriel sur K, u, v, w ∈ E et α, β ∈ K.

Montrer que

1. Si u+ w = v + w alors u = v.

2. Si α 6= 0 tel que αu = αv alors u = v.

3. Si u 6= 0E tel que αu = βv alors α = β.

Exer i e 0.6. Montrer que les ensembles suivants sont des sous espa es ve toriels

1. l'ensemble des suites réelles qui onverges vers 0.

2. l'ensemble des fon tions réelles ontinues.

3. l'ensemble des fon tions réelles de la forme f(x) = acos(x) + bsin(x) pour toutx ∈ R et a, b ∈ R.

4. l'ensemble des fon tion réelles dérivables telles que

df

dx(1) = 0.

5. F = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ 2y + 3z + 4t = 0}.


0.4 Exer i es 9

6. G = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ 2y + 3z = y + 2z + 3t = 0}Exer i e 0.7. Dans l'espa eM2(R), on onsidère la famille

A = {(

1 22 1

)

,

(2 1−1 2

)

,

(0 11 2

)

}.

1. la famille A est - elle génératri e.

2. la famille A est - elle libre.

Exer i e 0.8. Montrer que les famille suivantes sont libres :

1. {f(x) = x, g(x) = ex, g(x) = e−x} dans l'espa e des fon tions réelles à variables

réelles.

2. {(1, 1, 1), (a, b, c), (a2, b2, c2)} est une famille libre de R3où a, b, c sont tros réels

distin ts.

3. Soient E un espa e ve toriel et u, v, w trois ve teurs de E. Montrer que si

{u, v, w} est libre alors la famille {u+ v, v + w,w + u} l'est aussi.Exer i e 0.9. Soit F le sous ensemble de l'espa e ve toriel réelM2(R) dé�ni par

F = {(

a bc d

)

: 2a− 3b+ 4c− d = 0}

1. Montrer que F est un sous espa e ve toriel deM2(R).

2. Donner une famille génératri e de F

3. Donner une base de F .

Exer i e 0.10. On onsidère les deux sous espa es ve toriels de R3donnés par :

F = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ y + z = 0}

G = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y = z}

Montrer que R3 = F ⊕G.

Exer i e 0.11. On onsidère les sous espa e de R3suivants

F = vect{(1, 1, 1, 0), (0,−4, 1, 5)}G = vect{0,−2, 1, 2), (1,−1, 1, 3)}

1. Déterminer les dimensions de F et G

2. Donner F ∩G et sa dimension

3. Donner F +G est sa dimension.

Exer i e 0.12. On onsidère les sous espa es ve toriels deM2(R)

F = {(

a −a + b0 b

)

: a, b ∈ R}

G = {(

x 0y x

)

: x, y ∈ R}

Déterminer une base de ha un des sous espa es ve toriels suivants : F,G, F ∩ G et

F +G.



Exer i e 0.13. Dans l'espa e ve toriel réel R4, on onsidère les sous espa es ve toriels

F = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ 2y + z = −x− y + 3t = 0}

G = vect({(2, 0, 0, 1), (3,−2,−2, 0)})

1. Véri�er que (5,−2,−1, 1) ∈ F ∩G.

2. Véri�er que F ∩G 6= G.

3. Cal uler les dimensions de F,G, F ∩G et F +G.

Exer i e 0.14. Dans l'espa e ve toriel réel R4, on onsidère les sous espa es ve toriels

F = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x+ y + 2t = 2x+ y − z = 0}

G = vect({(1, 1, 1, 0), (1, 3, 1, 0)})

Donner une base de F ∩G et une base de F +G.


Chapitre 1

Appli ations Linéaires

Dans tout e hapitre (E,+, .), (F,+, .) et (G,+, .) désignent trois espa es ve torielssur K ave K = R ou C.

1.1 Dé�nitions et Propriétés

Dé�nition 1.1.1. Un appli ation de l'espa e ve toriel E vers l'espa e ve toriel F est

dite appli ation linéaire si

1. f(u+ v) = f(u) + f(v) pour tout u, v ∈ E.

2. f(λu) = λf(u) pour tout λ ∈ K et u ∈ E.

Exemple 1.1.1. 1. Soit a ∈ R. f : R → R par f(x) = ax pour tout x ∈ R. f est

une appli ation linéaire de E = R vers F = R

2. Soient a, b ∈ R. f : R2 → R par f(x, y) = ax + by pour tout (x, y) ∈ R2. f est

une appli ation linéaire de E = R2vers F = R.

3. Soient E l'espa e ve toriel des fon tion réelles dérivables et F l'espa e des fon -

tion réelles. On dé�nit D : E → F par D(f) = f pour tout f ∈ E. D est une

appli ation linéaire de E dans F .

4. Soient E et F deux espa es ve toriels. L'appli ation nulle

f : E → F

u → 0F

est une appli ation linéaire.

5. L'appli ation identité de E, dé�nie sur l'espa e ve toriel E par

idE : E → E

u → u

est une appli ation linéaire


12 Appli ations Linéaires

Proposition 1.1.1. f est une appli ation linéaire de E dans F si et seulement si

f(αu+ βv) = αf(u) + βf(v), ∀u, v ∈ E, ∀α, β ∈ K.

Exemple 1.1.2. On onsidère l'appli ation dé�nie de R3dans R2

, par

f(x, y, z) = (x+ 2z, x+ 3y) ∀(x, y, z) ∈ R3.

f(α(x, y, z) + β(u, v, w)) = f(αx+ βu, αy + βv, αz + βw),

= ((αx+ βu) + 2αz + βw), (αx+ βu) + 3(αy + βv))

= α(x+ 2z, x+ 3y) + β(u+ 2w, u+ 3v)

= αf(x, y, z) + βf(u, v, w).

Remarque 1.1.1. Si f E → F une appli ation linéaire, alors

1. f(0E) = 0F

2. f(−x) = −f(x) pour tout x ∈ E

3. f(∑n

i=1 αixi) =∑n

i=1 αif(xi) pour tous n ∈ N, xi ∈ E et αi ∈ K pour

i = 1, . . . , n.

Dé�nition 1.1.2. Soient E et F deux espa es ve toriels sur K.

1. Un isomorphisme de E dans F est une appli ation linéaire de E dans Fbije tive ( inje tive et surje tive ).

2. Un endomorphisme de E est une appli ation linéaire de E dans E.

3. Un automorphisme de E est un endomorphisme de E bije tif.

Exemple 1.1.3. On onsidère l'appli ation linéaire f de R3dans R3

par

f(x, y, z) = (x+ z, y − z, z).

1. f est inje tive :

f(x, y, z) = f(u, v, w) ⇔ (x+ z, y − z, z) = (u+ w; v − w,w)

⇔ x+ z = u+ w, y − z = v − w, z = w

⇔ x = u, y = v, z = w.

2. f est surje tive : Soit (u, v, w) ∈ R3.

f(x, y, z) = (u, v, w) ⇔ (x+ z, y − z, z) = (u; v, w)

⇔ x+ z = u, y − z = v, z = w

⇔ x = u− w, y = v + w, z = w.

En parti ulier, f est un automorphisme de R3.


1.1 Dé�nitions et Propriétés 13

Proposition 1.1.2. Soient E , F et G trois espa es ve toriels sur K.

1. Si f et g sont deux appli ations linéaires de E dans G et λ ∈ K alors f + g et

λf sont des appli ations linéaires de E dans G.

2. Si f est une appli ation linéaire de E dans F et g est une appli ation linéaire

de F dans G, alors g ◦ f est une appli ation de E dans G.

3. Si f est un isomorphisme de E dans F alors f−1 est un isomorphisme de Fdans E.

On rappelle que l'appli ation f−1 n'est dé�nie que si f est une bije tion. Néanmoins

l'image ré iproque d'un ensemble est toujours dé�nie. Pour f : E → F une appli ation

(linéaire ou non ) et B ⊂ F , l'image ré iproque de B est le sous ensemble de E

f−1(B) = {x ∈ E : f(x) ∈ B}.

Si A ⊂ E, l'image de A est

f(A) = {f(x) ∈ F : x ∈ A}.

Proposition 1.1.3. Soient E et F deux espa es ve toriels sur K et f E → F une

appli ation linéaire. Alors

1. Si E ′ un sous espa e ve toriel de E alors f(E ′) est un sous espa e ve toriel de

F .

2. Soit F ′ un sous espa e ve toriel de F alors l'image ré iproque de F ′

f−1(F ′) = {x ∈ E : f(x) ∈ F ′}

est un sous espa e ve toriel de E.

3. f−1({0F}) et f(E) sont des sous espa es ve toriels de E et F respe tivement.

4. Si A ⊂ E alors f(vect(A)) = vect(f(A)).

Remarque 1.1.2. 1. Si A est une famille génératri e d'un sous espa e ve toriel

E ′ alors f(A) est une famille génératri e de f(E ′).

2. L'image par une appli ation linéaire d'une famille libre n'est pas en général libre.

3. L'image par une appli ation linéaire d'une base n'est pas en général une base.

Dé�nition 1.1.3. Soient E et F deux espa es ve toriels sur K et f E → F une

appli ation linéaire.

1. Le sous espa e de E, f−1({0F}) est appelé le noyau de f et l'on note Ker(f) :

ker(f) = {x ∈ E : f(x) = 0F}.

2. Le sous espa e de F , f(E) est appelé l'image de f et l'on note Im(f) :

Im(f) = {f(x) ∈ F : x ∈ E}.



Exemple 1.1.4. On onsidère l'appli ation dé�nie de R3dans R2

, par

f(x, y, z) = (x+ 2z, x+ 3y) ∀(x, y, z) ∈ R3.

1. Le noyau de f :

f(x, y, z) = (0, 0) ⇔ x+ 2z = 0 et x+ 3y = 0,

⇔ z = −x2et y = −x

3.

(x, y, z) ∈ Ker(f) ⇔ (x, y, z) = (x,−x3,−x

2) = x(1,−1

3,−1

2).

Don Ker(f) = vect({(1,−13,−1

2)})

2. L'image de f :

f(x, y, z) = (x+ 2z, x+ 3y)

= (x+ 2z)e1 + (x+ 3y)e2

Don Im(f) = vect({e1, e2}) = R2.

Proposition 1.1.4. Soient E et F deux espa es ve toriels sur K et f E → F une

appli ation linéaire.

1. f est inje tive si et seulement si Ker(f) = {0E},2. f est surje tive si et seulement si Im(f) = F .

1.2 Théorème du Rang

Dé�nition 1.2.1. Soient f une appli ation linéaire de l'espa e ve toriel E dans l'es-

pa e ve toriel F . On appelle rang de f et on note rg(f) la dimension de Im(f).

rg(f) = dim(Im(f)).

Exemple 1.2.1. Dans l'exemple 1.1.4, on a Im(f) = R2. On en déduit que rg(f) = 2.

Théorème 1.2.1 (Théorème du rang ). Soit f une appli ation linéaire d'un espa e

ve toriel de dimension �nie E dans un espa e ve toriel F . Alors

dim(E) = dim(Im(f)) + dim(Ker(f)) = rg(f) + dim(Ker(f)).

Corollaire 1.2.1. Soit f une appli ation linéaire d'un espa e ve toriel de

dimension �nie E dans un espa e ve toriel F . ALors

1. rg(f) ≤ dim(E),

2. f est inje tive si et seulement si rg(f) = dim(E).

3. Si f est surje tive alors F est de dimension �nie et dim(F ) ≤ dim(E).

4. f est surje tive si et seulement si F est de dimension �nie et rg(f) = dim(F ).

5. Si F est de dimension �nie alors

(a) rg(f) ≤ dim(F )

(b) f est bije tive si et seulement si dim(E) = dim(F ) = rg(f).


1.3 Appli ations Linéaires Parti ulières 15

Corollaire 1.2.2. Soit f un endomorphisme d'un espa e ve toriel de dimension �nie

E. Alors

f est bije tive⇔ f est inje tive ⇔ f est surje tive.

1.3 Appli ations Linéaires Parti ulières

1.3.1 Formes Linéaires

Dé�nition 1.3.1. Soit E un espa e ve toriel sur K. Une appli ation linéaire de Edans K est appelée une forme linéaire.

Le noyau d'une forme linéaire est appelé un hyperplan.

Remarque 1.3.1. 1. Si f et g sont deux formes linéaires de E alors αf + βg est

aussi une forme linéaire de E pour tous α, β ∈ K.

2. Les formes linéaires de Knsont de la formes suivante :

f : Kn −→ K

(x1, x2, . . . , xn) 7−→n∑

i=1

aixi = a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn

ave a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Knun ve teur donné. Le noyau de f est

H = {x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Kn : a1x1 + a2x2 + . . . anxn = 0}.

H est alors un hyperplan de Kn. L'équation de H est

a1x1 + a2x2 + . . . anxn = 0.

3. Pour K = R,

(a) Les hyperplans, de R2, ont pour équation générale

ax+ by = 0.

Ce sont don les droites de R2.

(b) Les hyperplans, de R3, ont pour équation générale

ax+ by + cz = 0

Ce sont don les plans de R3.

1.3.2 Homothéties Ve torielles

Dé�nition 1.3.2. Soient E un espa e ve toriel sur K et λ ∈ K. On appelle homothétie

ve torielle de rapport λ, l'appli ation linéaire

hλ : E −→ E

x 7−→ λx.

Remarque 1.3.2. 1. hλ = λidE.

2. hλ est inversible si et seulement si λ 6= 0. Dans e as, (hλ)−1 = hλ−1

.

3. Une appli ation linéaire est une homothétie si et seulement si la famille {x, f(x)}est liée pour tout x ∈ E.



1.3.3 Proje tion Ve torielle

Soient E un espa e ve toriel et F et G deux sous espa es ve toriels de E tels que

E = F ⊕G.

En parti ulier, pour tout x ∈ E il existe un (y, z) ∈ F ×G tels que

x = y + z.

On dé�nit alors les deux appli ations p et q suivantes :

(p : E −→ E

x 7−→ y.

) (q : E −→ E

x 7−→ z.

)

Dé�nition 1.3.3. 1. p s'appelle la proje tion sur F parallèlement à G.

2. q s'appelle la proje tion sur G parallèlement à F .

Théorème 1.3.1. 1. p et q sont des endomorphismes de E.

2. p+ q = idE et q = idE − p.

3. p2 = p ◦ p = p et pq = qp = 0.

4. F = Im(p) = {x ∈ E : p(x) = x} = Ker(IdE − p).

5. G = Ker(p) = Im(IdE − p).

1.3.4 Symétrie Ve torielle

Soient E un espa e ve toriel et F et G deux sous espa es ve toriels de E tels que

E = F ⊕G.

En parti ulier, pour tout x ∈ E il existe un (y, z) ∈ F ×G tels que

x = y + z.


1.3 Appli ations Linéaires Parti ulières 17

On dé�nit l'appli ation S par

S : E −→ E

x = y + z 7−→ y − z

Dé�nition 1.3.4. L'appli ation S s'appelle la symétrie ve torielle par rapport F pa-

rallèlement G.

Exemple 1.3.1. On onsidère l'espa e ve toriel E = R3. Soient

F = {(x, y, z) ∈ E : x+ y + z = 0}G = {(x, x, x) ∈ E : x ∈ R}

On a alors F = V ect({−1, 1, 0), (−1, 0, 1)}) et G = V ect({(1, 1, 1)}). De plus E =F ⊕G.Pour tout (x, y, z) ∈ E, on a

(x, y, z) =1

3(2x−y−z,−x+2y−z,−x−y+2z)+

1

3(x+y+z, x+y+z, x+y+z) = u+v

Il est lair que u = 13(2x − y − z,−x + 2y − z,−x − y + 2z) ∈ F et v = 1

3(x + y +

z, x + y + z, x + y + z) ∈ G. On en déduit que la symétrie ve torielle par rapport Fparallèlement G est

S(x, y, z) = u− v =1

3(x− 2y − 2z,−2x+ y − 2z,−2x− 2y − z)

Théorème 1.3.2. 1. S = p − q = 2p − idE et p = 12(S + idE ).

2. S est un endomorphisme de E.

3. S 2 = idE

4. S est un automorphisme de E.

5. F = {x ∈ E : S (x ) = x}6. G = {x ∈ E : S (x ) = −x}.



1.4 Exer i es

Exer i e 1.1. Étudier la linéarité des appli ations suivantes :

1. f1 : R3 → R2, et (x, y, z)→ (x+ 7y + 2z, y − z)

2. f2 R3 → R2. et (x, y, z)→ (x+ 7y + 2z, y − z + 1)

3. f3 R3 → R2. et (x, y, z)→ (x+ y, yz)

4. f4 R3 → R

+, et (x, y, z)→ (x2, y2).

5. f5 : R2 → F(R). et (a, b)→ acos(x) + bsin(x).

Exer i e 1.2. On onsidère l'appli ation suivante :

f : R3 → R

4

(x, y, z, t) → (x− y, y − z, z − t, t− x)

1. Montrer que f est linéaire

2. Cal uler Ker(f)

3. Cal uler f(ei) ave {e1, e2, e3, e4} est la base anonique de R4

4. Donner Im(f)

5. f est elle inje tive, surje tive ?


f : R3 → R

4

(x, y, z, t) → (x, x+ y, x+ y + z, x+ y + z + t)


2. Cal uler Ker(f)

3. Cal uler f(ei) ave {e1, e2, e3} est la base anonique de R3

4. Donner Im(f)

5. f est elle inje tive, surje tive ?


f : M2(R) → M2(R)(

a bc d

)

→(

0 bc 0

)


2. Cal uler Ker(f) et en donner une base. En déduire la dimension de Ker(f).

3. Donner Im(f) et en déduire une base de Im(f) et le rg(f).

4. Montrer queM2(R) = Ker(f)⊕ Im(f).


1.4 Exer i es 19

Exer i e 1.5. Soit B = (e1, e2, e3) la base anonique de R3. On dé�nit l'endomor-

phisme f de R3par :

f(e1) = 2e1 + e2 + 3e3; f(e2) = e2 − 3e3; f(e3) = −2e2 + 2e3.

1. Cal uler f(x) pour tout x ∈ R3.

2. Soient E = {x ∈ R3 : f(x) = 2x} er F = {x ∈ R3 : f(x) = −x}Montrer que E et F sont deux sous espa es de R3

.

3. Donner une base de E et une base d F .

4. A t-on R3 = E ⊕ F .

Exer i e 1.6. On onsidère l'espa e ve toriel R3[X ] des polyn�mes à oe� ients réels

et de degrés inférieurs ou égal à 4.

Soit l'appli ation f dé�nie par

f : R3[X ] → R3[X ]

P → XP ′ − 2P


2. Cal uler Ker(f) et en donner une base. En déduire la dimension de Ker(f).

3. Donner Im(f) et en déduire une base de Im(f) et le rg(f).

4. Cal uler Ker(f) ∩ Im(f). A- t-on R3[X ] = Kef(f)⊕ Im(f).

Exer i e 1.7. Soient F et G deux sous espa es ve toriels de R3donnés par :

F = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 4y + z = 0},

G = {(x, y, z) ∈ R3 : y = −x et z = x}

1. Donner une base de F et une base de G

2. Montrer que F ⊕G = R3

3. Donner l'expression de p la proje tion ve torielle sur F parallèlement à G. Endéduire l'expression de q la proje tion ve torielle sur G parallèlement F .

Exer i e 1.8. Soit H l'hyperplan de E = R3dé�nit par l'équation

x+ y + z = 0.

Soit B = (e1, e2, e3) de E.

1. Donner une base (u1, u2) de H .

2. Soit u3 = (1, 1, 2). Montrer que (u1, u2, u3) est une base de E.

3. Soit p la proje tion de E sur H parallèlement à D = V ect(u3). Donner l'expres-sion de p.

4. Soit s la symétrie ve torielle par rapport à H parallèlement à D = V ect(u3).Donner l'expression de s.



Exer i e 1.9. On onsidère l'appli ation suivante

f : R4 −→ R3

(x, y, z, t) 7−→ (x− y, y + z, z − t)

1. Montrer que f est une appli ation linéaire.

2. Donner Ker(f) et al uler sa dimension.

3. Donner Im(f) et al uler sa dimension.

Exer i e 1.10. Soit E = R3[X ] l'espa e des polyn�mes de degré inférieur à 3 et à

oe� ients réels. On onsidère l'appli ation

f : E −→ E

P 7−→ X2P ′′ −XP ′ +X

1. Montrer que f est une appli ation linéaire.

2. Donner Ker(f) et al uler sa dimension.

3. Donner Im(f) et al uler sa dimension.

Exer i e 1.11. Soit f un endomorphisme sur R3tel que

f(e1) = e1 +me2

f(e2) = me2 + e3

f(e3) = e1 +me3

1. Donner l'expression de f .

2. Donner ker(f), Im(f).

3. Pour quel valeur de m, f est bije tive.

Exer i e 1.12. On onsidère l'appli ation de R3dans lui même donnée par

f(x, y, z) = (y − z, x+ z, z)

1. Montrer que f est un endomorphisme.

2. Cal uler f ◦ f et en déduire que f est un automorphisme.

3. En déduire alors Ker(f) et Im(f).


f : R2[X ] −→ R2[X ]

P 7−→ (X2 −X + 1)P ′ − (2X − 1)P +X2P (1)

Montrer que f est un automorphisme de R3[X ].


1.4 Exer i es 21

Exer i e 1.14. Soit f l'endomorphisme de R3dé�ni par

f(e1) = −2e1 + 2e3

f(e2) = 3e2

f(e3) = −4e1 + 4e3

où (e1, e2, e3) est la base anonique de R3.

1. Donner l'expression de f

2. Donner une base de Ker(f). f est elle inje tive ?

3. Donner une base de Im(f). E déduire le rang de f .

4. Montrer que R3 = Ker(f)⊕ Im(f).

5. Donner la dé omposition d'un élément (x, y, z) suivant la somme Ker(f) ⊕Im(f).

6. Donner l'expression de la proje tion sur Ker(f) parallèlement à Im(f).

7. Donner l'expression de la symétrie par rapport à Im(f) parallèlement à Ker(f).

Exer i e 1.15. OOn onsidère les sous espa es ve toriels de E = R3suivants :

F = {(x, y, z) ∈ E : x = y = z}G = {(x, y, z) ∈ E : x+ y = 0}

1. Donner une base de F et une base de G.

2. Montrer que E = F ⊕G.

3. Donner l'expression de la proje tion p sur F parallèlement à G.

4. Donner l'expression de la proje tion q sur G parallèlement à F

5. Donner l'expression de la symétrie S par rapport F et parallèlement à G.


Chapitre 2

Cal ul Matri iel

Dans tout e hapitre K désigne R ou C.

2.1 Dé�nitions

Dé�nition 2.1.1. On appelle matri e de m lignes et de n olonnes un tableau re -

tangulaire de la forme

A =

a11 a12 . . . a1j . . . a(1(n−1) a1na21 a22 . . . a2j . . . a2(n−1) a2n.

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ai1 ai2 . . . aij . . . a(i(n−1) ain.

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a(m−1)1 a(m−1)2 . . . a(m−1)j . . . a(m−1)(n−1) a(m−1)nam1 am2 . . . amj . . . am(n−1) amn

ave aij ∈ K pour tout 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n.Les aij sont appelés les oe� ients de la matri e.

L'ensemble des matri es de m lignes et de n olonnes à oe� ients dans K est noté

Mm×n(K) ou simplement Km×n. La matri e M est souvent notée A = (aij)1≤i≤m,1≤j≤n.

Si m = n la matri e M est dite une matri e arrée d'ordre n. L'ensemble des matri es

arrées d'ordre n est noté parMn(K)

Exemple 2.1.1. 1. La matri e nulle est la matri e dont toutes les oe� ients sont

nulles : aij = 0 pour tout 1 ≤ i ≤ m et 1 ≤ j ≤ n.

la matri e nulle =

0 0 0 . . . 0 0 00 0 0 . . . 0 0 0.

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0 0 0 . . . 0 0 0.

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0 0 0 . . . 0 0 00 0 0 . . . 0 0 0


24 Cal ul Matri iel

2. Matri e ligne 'est une matri e d'une seule ligne m = 1 :

L =(a11 a12 . . . a1j . . . a(1(n−1) a1n

)

3. Matri e olonne est une matri e d'une seule olonne n = 1 :

C =

a11a21.

.

.

ai1.

.

.

a(m−1)1am1

4. Si m = n, on appelle matri e identité d'ordre n la matri e suivante :

In =

1 0 0 . . . 0 0 00 1 0 . . . 0 0 0.

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0 0 0 1 0 0 0.

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0 0 0 . . . 0 1 00 0 0 . . . 0 0 1

On a alors aii = 1 et aij = 0 si i 6= j ave 1 ≤ i, j ≤ n.

2.2 Opérations sur les Matri es

2.2.1 Égalité

Soient A,B deux matri es de m lignes et de n olonnes :

A = (aij)1≤i≤m,1≤j≤n, B = (bij)1≤i≤m,1≤j≤n

. On dit que A et B sont égales si aij = bij pour tout 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

2.2.2 Addition

Soient A,B deux matri es de m lignes et de n olonnes :

A = (aij)1≤i≤m,1≤j≤n, B = (bij)1≤i≤m,1≤j≤n

. On dé�nit la somme de A et B et on note A+B la matri e

A+B =

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n

.

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ai1 + bi1 ai2 + bi2 . . . ain + bin.

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am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

= (aij + bij)1≤i≤m,1≤j≤n.


2.2 Opérations sur les Matri es 25

2.2.3 Multipli ation par un s alaire

Soient λ ∈ K et A une matri e de m lignes et de n olonnes :

A = (aij)1≤i≤m,1≤j≤n.

La multipli ation de A par λ est la matri e :

λA =

λa11 λa12 . . . λa1j . . . λa1nλa21 λa22 . . . λa2j . . . λa2n.

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λai1 λai2 . . . λaij . . . λain.

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λa(m−1)1 λa(m−1)2 . . . λa(m−1)j . . . λa(m−1)nλam1 λam2 . . . λamj . . . λamn

= (λaij)1≤i≤m,1≤j≤n.

Proposition 2.2.1. (Mm×n(K),+, .) est un espa e ve toriel sur K de dimension m×n.

Remarque 2.2.1. Soit Eij la matri e suivante

Eij =

Colonne j0 0 . . . 0 . . . 0.

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0 0 . . . 1 . . . 0 ligne i.

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0 0 . . . 0 . . .0 0 . . . 0 . . . 0

Alors {Eij : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} est une base deMm×n(K).

2.2.4 Multipli ation des Matri es

Dé�nition 2.2.1. Soient

A = (aij)1≤i≤m,1≤j≤n ∈ Mm×n(K), B = (bij)1≤i≤n,1≤j≤p ∈Mn×p(K)

le produit de la multipli ation de A par B est la matri e

AB = (cij)1≤i≤m,1≤j≤p ave cij =n∑

k=1

aikbkj.

La matri e AB ∈Mm×p(K)

Remarque 2.2.2. Pour que le produit AB soit dé�nie il faut que le nombre de olonnes

de la première matri e A soit égal au nombre de lignes de la deuxième matri e B.


26 Cal ul Matri iel

Exemple 2.2.1. 1. A =(1 2 3

)i i m = 1 et n = 3 et B =

456

i i n = 3

et p = 1. Alors

AB =(1 2 3

)

456

= 1× 4 + 2× 5 + 3× 6 = 32.

2. C =

4 75 86 9

i i n = 3 et p = 2. Alors

AC =(1 2 3

)

4 75 86 9

=(1× 4 + 2× 5 + 3× 6 1× 7 + 2× 8 + 3× 9

)

=(32 60

)

3. D =

(10 1211 13

)

i i n = p = 2.

CD =

4 75 86 9

(10 1211 13

)

=

4× 10 + 7× 11 4× 12 + 7× 135× 10 + 8× 11 5× 12 + 8× 136× 10 + 9× 11 6× 12 + 9× 13

=

114 139138 164159 189

Remarque 2.2.3. 1. Dans l'exemple 2.2.1 Les produit BA, CA DC ne sont pas

dé�nis. (Pourquoi ?)

2. Ave les notations de la Dé�nition 2.2.1, pour que les deux produits AB et BAsoient dé�nis à la fois il faut que m = p.Dans Ce as, on n' a pas toujours AB = BA.

AB =

4 75 86 9

(10 12 1411 13 15

)

=

114 139 161138 164 190159 189 219

BA =

(10 12 1411 13 15

)

4 75 86 9

=

(184 292199 316

)

Il est lair que AB 6= BA.

Proposition 2.2.2. Soient A ∈Mm×n(K), B ∈ Mm×n(K) et C ∈ Mn×p(K). ALors

(A +B)C = AB +BC.

Soient R ∈Mm×n(K), S ∈Mn×p(K) et T ∈Mn×p(K). Alors :

R(S + T ) = RS +RT.


2.2 Opérations sur les Matri es 27

2.2.5 Matri e Transposée

Dé�nition 2.2.2. Soit la matri e

A = (aij)1≤i≤m,1≤j≤n ∈Mm×n(K)

On appelle matri e transposée de A et on note ATla matri e

AT = (bij)1≤i≤n,1≤j≤m ∈Mn×m(K) telle que bij = aji.

On peut illustrer la dé�nition omme

A =

a11 a12 . . . a1j . . . a1na21 a22 . . . a2j . . . a2n.

.

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ai1 ai2 . . . aij . . . ain.

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am1 am2 . . . amj . . . amn

→ AT =

a11 a21 . . . ai1 . . . am1

a12 a22 . . . ai2 . . . am2.

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a1j a2j . . . aji . . . amj

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a1n a2n . . . ain . . . amn

Exemple 2.2.2.

A =(1 2 3 4

)→ AT =

1234

.

B =

12345

→ BT =(1 2 3 4 5

)

C =

4 75 86 9

→ CT =

(4 5 67 8 9

)

D =

1 0 2 15 8 3 06 9 0 11

→ DT =

1 5 60 8 92 3 01 0 11

Proposition 2.2.3. 1. Pour toute matri e A, on a (AT )T = A.

2. Soient A ∈Mm×n(K), B ∈Mm×n(K) et α, β ∈ K. Alors

(αA+ βB)T = αAT + βBT

3. Soient M ∈Mm×n(K), N ∈Mn×p(K). Alors :

(MN)T = NTMT .


28 Cal ul Matri iel

2.3 Matri es Carrées

On rappelle que l'espa e des matri es arrées d'ordre n est Mn(K). On note i i

qu'une matri e arrée est une matri e dont le nombre de lignes est égal au nombre de

olonnes.

Proposition 2.3.1. Soient A,B,C ∈Mn(K) trois matri es :

A(BC) = (AB)C.

On dé�nit les puissan es su essives d'une matri e non nulle A ∈Mn(K) par :{

A0 = In,Ak+1 = AkA, ∀k ≥ 0.

En parti ulier, on note :

Ak = A× A× · · · × A.︸︷︷︸

k fa teurs

Pour la matri e nulle on a évidemment 0k = 0 pour tout k ≥ 0.

Exemple 2.3.1. 1. Ikn = In pour tout k ≥ 0.

2. Pour tout k ≥ 0.(

2 00 3

)k

=

(2k 00 3k

)

.

3. on onsidère la matri e

B =

0 1 00 0 10 0 0

,

B2 =

0 1 00 0 10 0 0

0 1 00 0 10 0 0

=

0 0 10 0 00 0 0

B3 = B2B =

0 0 10 0 00 0 0

0 1 00 0 10 0 0

=

0 0 00 0 00 0 0

,

Bk =

0 0 00 0 00 0 0

, pour tout k ≥ 3.

Proposition 2.3.2 (Formule du bin�me). Si A,B ∈ Mn(K) deux matri es telles que

AB = BA, alors pour tout k ≥ 0

(A+B)k =

k∑

i=0

C ikA

iBk−i,

ave C ik =

k!i!(k−i)! pour tout i ≤ k.


2.3 Matri es Carrées 29

Exemple 2.3.2. On al ule les puissan es su essives de

A =

1 1 00 1 10 0 1

.

On remarque que A = B + I3 ave B est la matri e de l'exer i e pré édent. Il est lair

que BI2 = I2B = B. Don pour tout k ≥ 3,

Ak = (B + I2)k =

k∑

i=0

C ikB

iIk−i2

=

k∑

i=0

C ikB

i ar Ik−i2 = I2

= C0kB

0 + C1kB + C2

kB2 ar Bi = 0∀i ≥ 3,

= I2 + kB +k(k − 1)

2B3

ar C0k = 1, C1

k = k et C2k =

k(k − 1)

2,

=

1 k k(k−1)2

0 1 k0 0 1

On remarque l'expression est aussi valable pour k = 0, k = 1 et k = 2.

Exer i e 2.3.1. Cal uler les puissan es su essives de

A =

2 −1 00 2 −10 0 2

.

Dé�nition 2.3.1. Une matri e A ∈Mn(K) est dite inversible s'il existe une matri e

B ∈Mn(K) telle que AB = BA = In. La matri e B est appelée l'inverse de A et l'on

note A−1.

Exemple 2.3.3. 1. Soient les matri es

A =

(1 20 1

)

et B =

(1 −20 1

)

Il esf fa ile de véri�er que AB = BA = I2. Don A est inversible et A−1 = B.

2. On her he l'inverse de la matri e

A =

1 2 11 2 00 1 1

Lorsque A est inversible, grâ e aux opérations élémentaires, on fait un tableau

de la forme

(A I3

)−→

(I3 B

)⇒ A−1 = B.


30 Cal ul Matri iel

( )1 2 1 1 0 02 1 1 0 1 01 0 1 0 0 1

−→( )1 2 1 1 0 00 −3 −1 −2 1 0 L2 − 2L1

0 −2 0 −1 0 1 L3 − L1

−→( )1 2 1 1 0 00 1 1/3 2/3 −1/3 0 L2/(−3)0 −2 0 −1 0 1

−→( )1 2 1 1 0 00 1 1/3 2/3 −1/3 00 0 2/3 1/3 −2/3 1 L3 + 2L2

−→( )1 2 1 1 0 00 1 1/3 2/3 −1/3 00 0 1 1/2 −1 3/2 (3/2)L3

−→( )1 0 1/3 −1/3 2/3 0 L1 − 2L2

0 1 1/3 2/3 −1/3 00 0 1 1/2 −1 3/2

−→( )1 0 0 −1/2 1 −1/2 L1 − (1/3)L3

0 1 0 1/2 0 −1/2 L2 − (1/3)L3

0 0 1 1/2 −1 3/2

A−1 =

−1/2 1 −1/21/2 0 −1/21/2 −1 3/2

. En e�et, on a :

1 2 12 1 11 0 1

−1/2 1 −1/21/2 0 −1/21/2 −1 3/2

=

−1/2 1 −1/21/2 0 −1/21/2 −1 3/2

1 2 12 1 11 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1


2.4 Matri es Parti ulières 31

Proposition 2.3.3. Soient A,B ∈Mn(K) deux matri es inversibles. Alors,

1. A−1 est inversible et (A−1)−1 = A.

2. la matri e transposée ATest inversible et (AT )−1 = (A−1)T .

3. AB est inversible et (AB)−1 = B−1A−1.

4. Pour toutes matri es C,D ∈Mn×p(K), on a

AC = AD ⇒ C = D.

5. Pour toutes matri es M,N ∈ Mm×n(K), on a

MA = NA⇒ M = N.

2.4 Matri es Parti ulières

On distingue plusieurs types de matri es. On ite i i quelles que matri es parti u-

lières très onnues :

2.4.1 Matri es daigonales

Soit D = (dij) ∈Mn(K) une matri e arrée. On dit que D est diagonale si dij = 0pour tout i 6= j.

D =

d11 0 0 0 . . . 00 d22 0 0 . . . 0.

.

. 0 d33 0 . . . 0.

.

.

.

.

.

0 . . . . . . . . . 0 dnn

la matri e D est inversible si et seulement si dii 6= 0 pour tout i.

2.4.2 Matri es triangulaires

Soit T = (tij) ∈ Mn(K) une matri e arrée. On dit que T est matri e triangulaire

supérieure si tij = 0 pour tout i > j.

T =

t11 t12 t13 t14 . . . t1n0 t22 t23 t24 . . . t2n.

.

. 0 t33 t34 . . . t3n.

.

.

.

.

.

0 . . . . . . . . . 0 tnn


32 Cal ul Matri iel

On dit que T est matri e triangulaire inférieure si tij = 0 pour tout i < j.

T =

t11 0 0 0 . . . 0t21 t22 0 0 . . . 0t31 t32 t33 0 . . . 0

.

.

.

.

.

.

.

.

. 0tn1 tn2 . . . . . . tn(n−1) tnn

Une matri e triangulaire est inversible si et seulement si tii 6= 0 pour tout i.

Exemple 2.4.1. Soit

A =

1 2 10 1 −20 0 2

.

A est triangulaire supérieure. Ses oe� ients diagonaux sont non nuls, don A est

inversible.

On her he A−1 en résolvant le système linéaire (S) : AX = Y , où

X =

x1

x2

x3

Y =

y1y2y2

On obtient le système :

(S) :

x1 + 2x2 + x3 = y1x2 − 2x3 = y2

2x3 = y3

dont la solution est donnée par :

x3 =1

2y3

x2 = y2 + 2x3 = y2 + y3

x1 = (y1 − 2x2 − x3) =1

2(2y1 − 4y2 − 5y3)

D'où : x1 =1

2(2y1 − 4y2 − 5y3) ; x2 =

1

2(2y2 + 2y3) ; x3 =

1

2y3

Par onséquent on a : A−1 =1

2

2 −4 −50 2 20 0 1

2.4.3 Matri es Symétriques

Soit S = (sij) ∈Mn(K) une matri e arrée. O dit que S est symétrique si ST = S,Ce qui équivalent à

sij = sji pour tout i 6= j.


2.5 Rang d'une Matri e 33

S =

s11 s12 s13 s14 . . . s1ns12 s22 s23 s24 . . . s2ns13 s23 s33 s34 . . . s3n

s14 s24 s34 s44 s45.

.

.

.

.

.

s1n s2n s3n . . . sn(n−1) snn

On remarque une symétrie de la matri e par rapport à sa diagonale.

2.5 Rang d'une Matri e

Dé�nition 2.5.1. Soit la matri e A = (aij)1≤i≤m,1≤j≤n ∈Mm×n(K). On appelle rang

de A et on note rg(A), le rang des olonnes de A dans l'espa e ve toriel Kn.

On peut é rire alors que

rg(A) = dimKV ect({ olonnes de A})

où les olonnes de A sont vus omme des ve teurs de Km.

Exemple 2.5.1. 1. Le rang de la matri e nulle est 0.

2. rg

(1 00 1

)

= 2

3. rg

(1 11 1

)

= 1

4. rg

(1 0 20 1 1

)

= 2.

Proposition 2.5.1. Le rang d'une matri e ne hange pas si l'on e�e tue les opérations

élémentaires suivantes :

1. Permutation : ette opération élémentaire onsiste à permuter une ligne Li par

une ligne Lj.

2. Multipli ation : Consiste à rempla er une ligne Li par αLi ave α 6= 0 un

s alaire.

3. Combinaison : ette opération onsiste à rempla er une ligne Li par la ligne

Li + αLj ave α 6= 0 un s alaire et i 6= j.

Exemple 2.5.2. 1.

rg

(1 0 20 1 1

)

= rg

(0 1 11 0 2

)

. L1 ←→ L2

2.

rg

1 2 30 1 11 5 6

= rg

12

1 32

0 1 11 5 6

. L1 ←→1

2L1


34 Cal ul Matri iel

3.

rg

1 2 34 5 67 8 9

= rg

5 7 94 5 67 8 9

, L1 ←→ L1 + L2

Dé�nition 2.5.2. Une matri e A est dite é helonnée selon les lignes si

1. toute ligne non nulle de A ommen e ave stri tement plus de zéros que la

ligne pré édente

2. pour une ligne nulle , les lignes suivantes sont aussi nulles.

Exemple 2.5.3. La matri e suivante est é helonnée

A =

1 0 2 50 1 1 40 0 2 30 0 0 00 0 0 0

.

Mais la matri e suivante n'est pas é helonnée :

B =

1 0 2 50 1 1 40 0 2 30 0 0 00 0 1 0

.

Proposition 2.5.2. Le rang d'une matri e é helonnée en lignes est égal au nombre

de ses lignes non nulles.

On peut é helonner (en lignes ) une matri e grâ e à la méthode d'é helonnement de

Gauss en e�e tuant les opérations élémentaires. Si on é helonne une matri e A, ontrouve une matri e é helonnée E. La matri e E s'appelle la matri e é helonnée de A.

Proposition 2.5.3. Le rang d'une matri e A est égal au rang de sa matri e é helonnée

E.

Exemple 2.5.4.

rg

1 2 31 1 11 5 6

= rg

1 2 30 −1 −20 3 3

L2←→ L2 − L1, L3 ←→ L3 − L1

= rg

1 2 3−1 −2

0 1 1

L3 ←→1

3L3

= rg

1 2 30 1 10 0 −1

L3 ←→ L3 + L2

= 3.


2.6 Matri e d'une Appli ation Linéaire 35

Proposition 2.5.4. Soient A ∈Mm×n(K) et M,P ∈Mn(K) trois matri es.

1. rg(A) ≤ min(m,n).

2. rg(A) = rg(AT ).

3. Si P est inversible alors rg(M) = rg(PMP−1).

4. M est inversible si et seulement si rg(M) = n.

Dé�nition 2.5.3. Soient A,B ∈ Mn(K). On dit que A et B sont semblables s'il

existe une matri e inversible P ∈Mathcaln(K) telle que

B = P−1AP.

2.6 Matri e d'une Appli ation Linéaire

Soient E et F deux espa es ve toriels sur K de dimensions �nies, dimKE = n et

dimKF = m. Soient aussi B = (e1, . . . , en) une base de E et C = (f1, . . . , fm) une basede F . On onsidère l'appli ation linéaire f dé�nie de (E,B) dans (F,C) par :

f(e1) = a11f1 + a21f2 + · · ·+ am1fm,

f(e2) = a12f1 + a22f2 + · · ·+ am2fm,.

.

. =.

.

.+.

.

.+.

.

.+ · · ·+ .

.

.

f(ei) = a1if1 + a2if2 + · · ·+ amifm,.

.

. =.

.

.+.

.

.+.

.

.+ · · ·+ .

.

.

f(en) = a1nf1 + a2nf2 + · · ·+ amnfm.

Dé�nition 2.6.1. On appelle matri e de l'appli ation linéaire f ∈ L(E, F ) relative-ment aux bases B de E et C de F la matri e notée M(f, B, C) suivante :

M(f, B, C) =

f(e1) f(e2) . . . f(ej) . . . f(en)

a11 a12 . . . a1j . . . a1n f1a21 a22 . . . a2j . . . a2n f2.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

ai1 ai2 . . . aij . . . ain fi.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

am1 am2 . . . amj . . . amn fm

La matri e M(f, B, C) ∈Mm×n(K). Le nombre de ligne orrespond à la dimension de

l'espa e d'arrivée F et le nombre de olonnes orrespond à la dimension de l'espa e

de départ E. En fait les olonnes de la matri es M(f, B, C) sont les omposantes des

ve teurs f(e1), . . . , f(en) dans la base C.

Exemple 2.6.1. On onsidère l'appli ation linéaire suivante :

f : R3 → R2

(x, y, z) 7−→ (x+ 2y, x+ 3z)


36 Cal ul Matri iel

Soient B = (e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) la base de R3et C = (f1 =

(1, 0), f2 = (0, 1)) la base de R2. On a

f(e1) = (1, 1) = f1 + f2,

f(e2) = (2, 0) = 2f1,

f(e3) = (0, 3) = 3f2

Ce qui donne que la matri e de f relativement aux bases B et C est

M(f, B, C) =

f(e1) f(e2) f(3)↓ ↓ ↓(

1 2 01 0 3

)← f1← f2

On onsidère aussi l'appli ation identité idE d'un espa e ve toriel E de dimension �nie

n. Si B = (e1, e2, . . . , en) une base de E, alors

M(idE , B, B) = In

Attention si idE : (E,B)→ (E,C) ave C une autre base de E di�érente de B, alors

M(idE , B, C) 6= In.

Proposition 2.6.1. Soient E et F deux espa es ve toriels sur K de dimensions �nies,

dimKE = n et dimKF = m. Soient aussi B = (e1, . . . , en) une base de E et C =(f1, . . . , fm) une base de F et f et g deux appli ations linéaires de (E,B) dans (F,C). Alors

1. M(λf,B, C) = λM(f, B, C) pour tout λ ∈ K.

2. M(f + g, B, C) = M(F,B, C) +M(g, B, C).

3. rg(f) = rg(M(f, B, C)).

Soient f : (E,B)→ (F,C) une appli ation linéaire et u ∈ E un ve teur. On a alors

u = x1e1 + x2e2 + · · ·+ xnen,

f(u) = yf1 + y2f2 + · · ·+ ymfm.

On appelle ve teur de oordonnées de u dans la base B la matri e olonne

X =

x1

x2.

.

.

xn

De même on a le ve teur de oordonnées de f(u) dans la base C est la matri e olonne

Y =

y1y2.

.

.

ym

.

Quelle est la relation entre X et Y .


2.6 Matri e d'une Appli ation Linéaire 37

Proposition 2.6.2. Soient E un espa e ve toriel de dimension n et de base B =(e1, . . . , en) et F un espa e ve toriel de dimension m et de base C = (f1, . . . , fm).Alors, on a

Y = M(f, B, C)X.

Exemple 2.6.2. On onsidère l'espa e ve toriel E = R2[X ] l'espa e des polyn�mes

de degrés inférieur ou égal à 2 muni de sa base anonique B = (1, X,X2). Soit fl'appli ation linéaire de E dans E par f(P ) = (X + 1)P + P . On a

f(1) = 1

f(X) = 1 + 2X

f(X2) = 2X + 3X2

La matri e de f est

M(f, B,B) =

1 1 00 2 20 0 3

On onsidère le polyn�me P = 1+2X+3X2. Son ve teur de oordonnées dans la base

B est

123

.

On aussi f(P ) = (X +1)(2+ 6X) + (1+ 2X +3X2) = 3+ 10X +9X2. Son ve teur de

oordonnées dans la base B est

3109

.

Il est fa ile de véri�er que

3109

=

1 1 00 2 20 0 3

123

.

�

Soient E, F,G trois espa e ve toriels surK de dimensions respe tivesm, n et p. Les troisespa es sont munis respe tivement des bases B,C et D. On onsidère deux appli ations

linéaires f : (E,B)→ (F,C) et g : (F,C)→ (G,D).

(E,B)f //

��

(F,C)g // (G,D)

// g ◦ f //

OO

Proposition 2.6.3. La matri e de l'appli ation linéaire g ◦ f relativement à la base

B de E et à la base D de G est

M(g ◦ f, B,D) = M(g, C,D)M(f, B, C).


38 Cal ul Matri iel

Une onséquen e de ette proposition est la matri e de l'inverse d'une appli ation

linéaire bije tive. Si f est bije tive alors f−1 est bien dé�nie et 'est une appli ation

linéaire dé�nie de (F,C) dans (E,B). Comme f−1 ◦ f = idE alors a

In = M(f−1 ◦ f, B,B) = M(f−1, C, B)M(f, B, C).

Ce qui implique que M(f, B, C) est une matri e inversible et que

M(f, B, C)−1 = M(f−1, C, B).

Proposition 2.6.4. Soient E, F deux espa e ve toriels sur K de dimensions res-

pe tives m et n. Les deux espa es sont munis respe tivement des bases B et C. Si

f : (E,B)→ (F,C) est une appli ation linéaire , alors

1. f est bije tive si et seulement si sa matri e M(f, B, C) est inversible.

2. Si f est bije tive alors la matri e de f−1 relativement à la base C de F et à la

base B de E est l'inverse de la matri e f relativement à la base B de E et à

la base C de FM(f, B, C)−1 = M(f−1, C, B).

2.7 Changement de bases

Dé�nition 2.7.1. Soient E un espa e ve toriel sur K de dimension n et B et B′ deuxbases de E. On appelle matri e de passage de B à B′ la matri e

PB′

B = M(idE , B′, B).

On note la base B = (e1, e2, . . . , en) et B′ = (e′1, e

′2, . . . , e

′n). On a alors

e′j = p1je1 + p2je2 + · · ·+ pnjen, ∀1 ≤ j ≤ n.

PB′

B =

e′1 e′2 . . . e′j . . . e′n↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

p11 p12 . . . p1j . . . p1np21 p22 . . . p2j . . . p2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

pi1 pi2 . . . pij . . . pin.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

pn1 pn2 . . . pnj . . . pnn

← e1← e2.

.

.

← ei.

.

.

← en

Exemple 2.7.1. Soient B = (e1, e2, e3) la base anonique de R3. On onsidère B′ =

(e′1 = e1, e′2 = e1 + 2e2, e

′3 = e1 + e2 + 3e3) une autre base de R3

. On a alors

PB′

B =

e′1 e′2 e′3

1 1 10 2 20 0 3

← e1← e2← e3

�


2.7 Changement de bases 39

Proposition 2.7.1. La matri e de passage de la base B à la base B′ de E,PB′

B est

inversible. De plus, on a

(PB′

B )−1 = PBB′ .

Considérons u ∈ E et X le ve teur olonne des oordonnées de u dans la base B et X ′

le ve teur olonne des oordonnées de u dans la base B′. la proposition suivante donne

la relation entre X et X ′.

Proposition 2.7.2. Soit PB′

B la matri e de passage de B à B′. Alors, on a

X ′ = (PB′

B )−1X = PBB′X.

En e�et, on a

(E,B′)idE //

��

(E,B)

��u

idE //

��

u

��X ′ // X

D'après la proposition 2.6.2, on a

X = M(idE , B′, B)X = PB′

B X ⇔ X ′ = (PB′

B )−1X = PBB′X

Théorème 2.7.1 ( hangement de base). Soient E un espa e ve toriel sur K de di-

mension �nie ayant les deux bases B et B′ et F un espa e ve toriel sur K de dimension

�nie ayant les deux bases C et C ′. Si f est une appli ation linéaire de E dans F , alors

M(f, B′, C ′) = (PC′

C )−1M(f, B, C)PB′

B .

En e�et, on peut é rire

(E,B′)f //

idE��

(F,C ′)

(E,B)f // (F,C)

idF

OO

Don on a

f = idF ◦ f ◦ idE .

Ce qui permet d'é rire en matri es que

M(f, B′, C ′) = M(idF , C, C′)M(f, B, C)M(idE , B

′, B)

= PCC′M(f, B, C)PB′

B

= (PC′

C )−1M(f, B, C)PB′

B

En parti ulier, si E = F et C = B et C ′ = B′, on a le orollaire suivant


40 Cal ul Matri iel

Corollaire 2.7.1. Soient E un espa e ve toriel sur K de dimension �nie ayant les

deux bases B et B′. Alors

M(f, B′, B′) = (PB′

B )−1M(f, B,B)PB′

B .

Exemple 2.7.2. Soient B la base anonique de R3et B′ = (e′1, e

′2, e′3) une famille de

R3. On donne e′1 = e1 + e3, e

′2 = e2 + e3 et e

′3 = e1 + e2. On montre fa ilement que B′

est une base de R3.

La matri e de passage de B à B′ est

PB′

B =

e′1 e′2 e′3

1 0 10 1 11 1 0

← e1← e2← e3

Pour al uler l'inverse de PB′

B , on résout le système suivant :

1 0 10 1 11 1 0

xyz

=

x′

y′

z′

.

Ce qui s'é rit omme

x+ z = x′

y + z = y′

x+ y = z′⇔

x+ z = x′

y + z = y′

y − z = z′ − x′ ←− L3 − L1

⇔

x+ z = x′

y + z = y′

−2z = z′ − x′ − y′ ←− L3 − L2

On a alors z = 12(x′+ y′− z′), y = 1

2(−x′+ y′+ z′) et x = 1

2(x′− y′+ z′). Ou en ore que

xyz

=1

2

1 −1 1−1 1 11 1 −1

x′

y′

z′

.

Don

(PB′

B )−1 =1

2

1 −1 1−1 1 11 1 −1

.

Soit maintenant l'endomorphisme de R3donné par

f(e1) = e1 + e2 + e3

f(e2) = 2e1 + e2 + 2e3

f(e3) = 3e1 + e2 + 3e3


2.8 Exer i es 41

Sa matri e dans la base B est

M(f, B,B) =

1 2 31 1 11 2 3

.

Aussi on a la matri e de f dans la base B′ est

M(f, B′, B′) = (PB′

B )−1M(f, B,B)PB′

B

=1

2

1 −1 1−1 1 11 1 −1

1 2 31 1 11 2 3

1 0 10 1 11 1 0

=

3 4 21 1 11 1 1

2.8 Exer i es

Exer i e 2.1. On onsidère les matri es suivantes

A =(1 0 1

)B =

21−1

C =

1 02 14 12

D =

(1 0 1 02 1 3 −1

)

E =

3 42 1−11 9

F =

(0 0 1 93 3 2 1

)

Cal uler les matri es suivantes lorsqu'elles sont dé�nies :

1. A+B, B + C, C + E, D + F , E + F .

2. AB, BA, BC, CD, DC, CE, AE, EF .

3. Donner la matri e transposée de A,B,C,D,E, F .

Exer i e 2.2. Soit

E = {(

cos(θ) −sin(θ)sin(θ) cos(θ)

)

: θ ∈ R}.

1. Montrer que si A,B ∈ E alors AB ∈ E. A-t-on AB = BA.

2. Pour A ∈ E, al uler ATA.

3. Pour A ∈ E, al uler A2et A3

. En déduire une expression de An, pour tout

entier n.

Exer i e 2.3. On onsidère les matri es

J =

1 1 11 1 11 1 1

, A =

2 1 11 2 11 1 2


42 Cal ul Matri iel

1. Cal uler J2et en déduire une expression de Jk

pour tout entier k.

2. Cal uler Anpour tout entier n.

Exer i e 2.4. Soit la matri e

A =

(1 10 2

)

.

Cal uler Anpour tout entier n. ( On pourra é rire que A = I2+J où J est une matri e

à déterminer.)

Exer i e 2.5. Résoudre le système linéaire suivant :

x+ y + 3z = x′

2x− y + z = y′

x− y − z = z′

Puis en déduire l'inverse de la matri e

A =

1 1 32 −1 11 −1 −1

.


A =

0 1 11 −1 11 0 1

.

1. Montrer que A3 − 3A− I3 = 0

2. En déduire l'inverse de A.

Exer i e 2.7. Cal uler le rang de la matri e suivante :

A =

1 1 2 1 02 1 1 0 13 2 1 0 11 0 1 2 3

Exer i e 2.8. Cal uler le rang de la matri e A selon la valeur du paramètre m :

A =

1 −1 0 1m 1 −1 −11 m −1 01 −1 m 2

Exer i e 2.9. On onsidère l'endomorphisme f de R3donné par

f(e1) = e1 + 3e2 + 3e3

f(e2) = −32e1 +

5

2e2 −

3

2e3

f(e3) =3

2e1 −

9

2e2 −

1

2e3

où B = (e1, e2, e3) est la base anonique de R3.


2.8 Exer i es 43

1. Donner la matri e A de f dans la base B.

2. Déterminer (u1) une base de Ker(f − idR3).

3. Déterminer (u2) une base de Ker(f + 2idR3).

4. Déterminer (u3) une base de Ker(f − 4idR3).

5. Montrer que C = (u1, u2, u3) est une base de R3.

6. E rire la matri e de passage P de B à C.

7. Cal uler P−1.

8. Donner la matri e M de f dans la base C.

9. En é rivant A en fon tion de M et de P donner les puissan es Anpour tout

n ∈ N

Exer i e 2.10. Soient les matri es

A =

(1 2 0 10 1 2 3

)

, B =

1 20 34 23 5

C =

9 2 13 1 45 2 1

, D =(1 2 3 4

)

1. Cal uler, lorsque 'est possible, les produits suivants : AA, AB, AC, AD, BA,BB, BC, BD, CA, CB, CC, CD, DA, DB, DC, DD.

2. Cal uler AT, BT

, CT, DT

.


A =

2 0 10 2 00 1 2

1. On pose B = A− 2I. Cal uler B2, B3

2. Cal uler Anpour tout entier n.

Exer i e 2.12. On onsidère les matri es suivantes

A =

(1 23 1

)

B =

1 0 11 2 21 0 2

, C =

1 0 22 1 00 2 1

1. Montrer que A2 − 2A− 5I2 = 0 et en déduire l'inverse de A.

2. Résoudre le système BX = Y et en déduire l'inverse de B.

3. En utilisant les opérations élémentaires ( méthode d'élimination de Gauss ),

al uler l'inverse de C

Exer i e 2.13. Cal uler le rang des matri es suivantes :

A =

1 2 1 00 1 2 34 1 3 1

, B =

1 2 3 5 11 1 1 2 23 3 1 2 14 2 3 1 0

, C =

0 0 0 1 02 0 0 3 06 0 0 4 9


44 Cal ul Matri iel

Exer i e 2.14. On onsidère la matri e

A =

m 2 11 2 m2 m 1

ave m ∈ R.

Cal uler le rang de A. Pour quelles valeurs de m la matri e A est inversible.

Exer i e 2.15. On onsidère l'appli ation linéaire suivante

f R3 −→ R

4

(x, y, z) 7−→ (x+ y, y + 2z, z, x + y + z)

Soient B = (e1, e2, e3) et C = (f1, f2, f3, f4) les bases anoniques de R3et R4

respe ti-

vement.

1. Donner la matri e de f relativement aux bases B et C.

2. Soient u = x1e1 + x2e2 + x3e3. Soit X le ve teur olonne de oordonnées de u.Donner le ve teur olonne Y des oordonnées de f(u).

3. Cal uler le rang de f .

4. Soient e′1 = e1, e′2 = e1 + e2, e

′3 = e1 + e2 + e3. Montrer que B′ = (e′1, e

′2, e′3) est

une base de R3.

5. Cal uler la matri e de passage de B à B′.

6. Cal uler la matri e de f relativement aux base B′ et C.

Exer i e 2.16. Soit E = R3[X ] l'espa e des polyn�mes de degré inférieur à 3 et à

oe� ients réels. On onsidère l'appli ation

f : E −→ E

P 7−→ X2P ′′ −XP ′ +X

Soit B = (1, X,X2, X3) la base anonique de E

1. Donner la matri e de f relativement à la base B : M(f, B,B).

2. Montrer que B′ = (1, X − 1, (X − 1)2, X3) est une base de E.

3. Donner la matri e de passage de B à B′.

4. Donner la matri e de f dans la base B′ : M(f, B′, B′).


Chapitre 3

Déterminants

3.1 Dé�nitions

3.1.1 Déterminants d'ordre 2

Soit A ∈M2(K) une matri e arrée d'ordre 2, ave

A =

(a bc d

)

.

On rappelle le déterminant de A et on note det(A) ou

∣∣∣∣

a bc d

∣∣∣∣le s alaire

det(A) =

∣∣∣∣

a bc d

∣∣∣∣= ad− bc ∈ K.

Exemple 3.1.1. ∣∣∣∣

1 52 6

∣∣∣∣= 1× 6− 2× 5 = −4

3.1.2 Déterminant d'ordre 3

Soit A ∈M3(K) une matri e arrée d'ordre 3, ave

A =

x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

.

Le déterminant de A suivant la première ligne est dé�ni par

det(A) =

∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+1x1

∣∣∣∣

y2 z2y3 z3

∣∣∣∣+ (−1)1+2y1

∣∣∣∣

x2 z2x3 z3

∣∣∣∣+ (−1)1+3z1

∣∣∣∣

x2 y232 y3

∣∣∣∣


46 Déterminants

Le déterminant de A suivant la première olonne est dé�ni par

det(A) =

∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+1x1

∣∣∣∣

y2 z2y3 z3

∣∣∣∣+ (−1)2+1x2

∣∣∣∣

y1 z1y3 z3

∣∣∣∣+ (−1)3+1x3

∣∣∣∣

y1 z1y2 z2

∣∣∣∣

= x1

∣∣∣∣

y2 z2y3 z3

∣∣∣∣− x2

∣∣∣∣

y1 z1y3 z3

∣∣∣∣+ x3

∣∣∣∣

y1 z1y2 z2

∣∣∣∣

On peut aussi al uler suivant n'importe qu'elle ligne et n'importe qu'elle olonne. Le

résultat ne dépend pas du hoix de la ligne ou du hoix de la olonne.

Exemple 3.1.2. on al ule le déterminant suivant la première ligne

∣∣∣∣∣∣

1 0 11 2 32 1 1

∣∣∣∣∣∣

= 1×∣∣∣∣

2 31 1

∣∣∣∣− 0×

∣∣∣∣

1 32 1

∣∣∣∣+ 1×

∣∣∣∣

1 22 1

∣∣∣∣

= −4.

Maintenant, on al ule le déterminant suivant la deuxième ligne

∣∣∣∣∣∣

1 0 11 2 32 1 1

∣∣∣∣∣∣

= (−1)2+1 × 1×∣∣∣∣

0 11 1

∣∣∣∣+ (−1)2+2 × 2×

∣∣∣∣

1 12 1

∣∣∣∣+ (−1)2+3 × 3×

∣∣∣∣

1 02 1

∣∣∣∣

= −∣∣∣∣

0 11 1

∣∣∣∣+ 2×

∣∣∣∣

1 12 1

∣∣∣∣− 3×

∣∣∣∣

1 02 1

∣∣∣∣

= −4.

Exer i e 3.1.1. Cal uler le déterminant de A suivant :

1. la deuxième olonne.

2. la troisième ligne.

Remarque 3.1.1. Règle de Sarrus :

∣∣∣∣∣∣

x1 y1 z1x2 y2 z2x3 y3 z3

∣∣∣∣∣∣

=x1 y1 z1 x1 y1x2 y2 z2 x2 y2x3 y3 z3 x3 y3

−x1 y1 z1 x1 y1x2 y2 z2 x2 y2x3 y3 z3 x3 y3

= (x1y2z3 + y1z2x3 + z1x2y3)− (z1y2x3 + x1x2y3 + y1x2z3)


3.1 Dé�nitions 47

3.1.3 Déterminants d'ordre n ≥ 3

On onsidère une matri e arrée d'ordre n, A = (aij)1≤i,j≤n ∈Mn(K).

A =

a11 a12 a13 . . . a1j . . . a1n

a21 a22 . . . . . . a2j.

.

. a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. . . . . . ..

.

.

ai1 ai2 . . . . . . aij.

.

. ain.

.

.

.

.

. . . . . . ..

.

. . . ..

.

.

an1 an2 . . . . . . anj.

.

. ann

Pour tout i, j ∈ {1, . . . , n}, On dé�nit la matri e Aij ∈ Mn−1(K) omme étant la

matri e A dont on a supprimé la ligne i et la olonne j.

Aij =

a11 a12 a13 . . . a1j . . . a1n

a21 a22 . . . . . . a2j.

.

. a2n.

.

.

.

.

. . . ..

.

. . . . . . ..

.

.

ai1 ai2 . . . . . . aij . . . ain.

.

.

.

.

. . . . . . . . . . . . ..

.

.

an1 an2 . . . . . . anj . . . ann

Dé�nition 3.1.1. 1. det(Aij) s'appelle le mineur de A d'indi es (i, j).

2. le s alaire (−1)i+jdet(Aij) s'appelle le ofa teur de A d'indi e (i, j).

3. la omatri e de A est la matri e notée Acou com(A) donnée par

Ac =((−1)i+jdet(Aij)

)

1≤i,j≤n.

Théorème 3.1.1. Le déterminant de A suivant la i ième ligne est

det(A) =n∑

j=1

(−1)i+jaijdet(Aij).

Le déterminant de A suivant la j ième olonne est

det(A) =n∑

i=1

(−1)i+jaijdet(Aij).


48 Déterminants

Exemple 3.1.3. On al ule suivant la première ligne

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 2 12 1 1 21 0 1 02 1 0 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

= (−1)1+1 × 1×

∣∣∣∣∣∣

1 1 20 1 01 0 1

∣∣∣∣∣∣

+ (−1)1+2 × 1×

∣∣∣∣∣∣

2 1 21 1 02 0 1

∣∣∣∣∣∣

+(−1)1+3 × 2×

∣∣∣∣∣∣

2 1 21 0 02 1 1

∣∣∣∣∣∣

+ (−1)1+4 × 1×

∣∣∣∣∣∣

2 1 11 0 12 1 0

∣∣∣∣∣∣

= −1 + 3 + 2− 1 = 3

Maitenant on al ule la omatri e de

A =

1 2 34 5 67 8 9

Ac =

(−1)1+1

∣∣∣∣

5 68 9

∣∣∣∣

(−1)1+2 ×∣∣∣∣

4 67 9

∣∣∣∣

(−1)1+3 ×∣∣∣∣

4 57 8

∣∣∣∣

(−1)2+1 ×∣∣∣∣

2 38 9

∣∣∣∣

(−1)2+2 ×∣∣∣∣

1 37 9

∣∣∣∣

(−1)2+3 ×∣∣∣∣

1 27 8

∣∣∣∣

(−1)3+1 ×∣∣∣∣

2 35 6

∣∣∣∣

(−1)3+2 ×∣∣∣∣

1 34 6

∣∣∣∣

(−1)3+3 ×∣∣∣∣

1 24 5

∣∣∣∣

=

−3 6 −36 −12 6−3 6 −3

3.2 Propriétés

Soit A ∈Mn(K) une matri e arrée. On note A sous la forme

A =(C1 C2 . . . Cj . . . Cn

)

où Cj est la j ième olonne de A ( ave 1 ≤ j ≤ n). On note aussi

det(A) =∣∣C1 . . . Cj . . . Cn

∣∣ .

Proposition 3.2.1.

det(A) = det(AT ).

Exemple 3.2.1.

∣∣∣∣∣∣

1 2 10 1 22 1 0

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

1 21 0

∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣

2 11 2

∣∣∣∣= −2 + 6 = 4 suivant la première olonne

∣∣∣∣∣∣

1 0 22 1 11 2 0

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣

1 12 0

∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣

2 11 2

∣∣∣∣= −2 + 6 = 4 suivant la première ligne


3.2 Propriétés 49

Remarque 3.2.1. Comme le det(A) = det(AT ), alors tous les résultats ( i-dessous )exprimés pour les olonnes de A sont aussi valables pour les lignes de A.

Proposition 3.2.2. Si deux olonnes ( ou deux lignes ) sont permutées, le déterminant

est multipliée par (-1). Pour i 6= j, on a

detA =∣∣C1 . . . Ci . . . Cj . . . Cn

∣∣ = −

∣∣C1 . . . Cj . . . Ci . . . Cn

∣∣

Exemple 3.2.2. ∣∣∣∣

1 23 4

∣∣∣∣= −2,

∣∣∣∣

2 14 3

∣∣∣∣= 2,

∣∣∣∣

3 41 2

∣∣∣∣= 2

Proposition 3.2.3. Si on multiplie une olonne ( ou une ligne ) de A par α ∈ K,

alors

∣∣C1 C2 . . . αCj . . . Cn

∣∣ = α

∣∣C1 C2 . . . Cj . . . Cn

∣∣ ,

En parti ulier

1. det(αA) = αndet(A).

2. Si une olonne (ou une ligne ) de A est nulle alors det(A) = 0.

Exemple 3.2.3.

∣∣∣∣∣∣

1 0 22 1 11 2 0

∣∣∣∣∣∣

= 4, on multiplie la première olonne par 5, le nouveau déterminant est

∣∣∣∣∣∣

5 0 210 1 15 2 0

∣∣∣∣∣∣

= 5

∣∣∣∣

1 12 0

∣∣∣∣+ 2

∣∣∣∣

10 15 2

∣∣∣∣= −10 + 30 = 20 suivant la première ligne

Proposition 3.2.4. Soit C un ve teur olonne de Kn. On a

∣∣C1 . . . Cj + C . . . Cn

∣∣ =

∣∣C1 . . . Cj . . . Cn

∣∣+∣∣C1 . . . C . . . Cn

∣∣ .

Ce résultat aussi valable pour les lignes.

Exemple 3.2.4. ∣∣∣∣∣∣

5 0 + 11 21 1 + 12 13 2 + 13 0

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

5 0 21 1 13 2 0

∣∣∣∣∣∣

+

∣∣∣∣∣∣

5 11 21 12 13 13 0

∣∣∣∣∣∣

.

Proposition 3.2.5. Si deux olonnes (ou deux lignes ) de A sont liées alors

det(A) = 0.En parti ulier, une matri e qui deux olonnes ( ou deux lignes ) égales, son détermi-

nant est nulle.

Exemple 3.2.5. ∣∣∣∣∣∣

5 15 41 3 13 9 0

∣∣∣∣∣∣

= 0←− ar C2 = 3C1.


50 Déterminants

Proposition 3.2.6. Si on ajoute à une olonne ( respe tivement à une ligne ) une

ombinaison linéaire des autres olonnes ( respe tivement des autres lignes ) le déter-

minant ne hange pas :

∣∣C1 . . . Cj +

∑

i 6=j αiCi . . . Cn

∣∣ =

∣∣C1 . . . Cj . . . Cn

∣∣ .

Exemple 3.2.6.

∣∣∣∣∣∣

5 1 41 3 13 2 0

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

5 15 41 6 13 8 0

∣∣∣∣∣∣

←− ar C ′2 = C2 + 2C1 + C3.

Proposition 3.2.7. Si A et B sont deux matri es arrées d'ordre n, alors

det(AB) = det(A)det(B).

Remarque 3.2.2. En général : det(A+B) 6= det(A) + det(B). En e�et, on prend

A =

(1 00 0

)

et B =

(0 00 1

)

.

Il est lair que det(A) = det(B) = 0. D'autre part, On a bien A + B = I2 et alors

det(A+B) = 1 alors que det(A) + det(B) = 0

Théorème 3.2.1. Si A est une matri e arrée alors

A est inversible ⇔ det(A) 6= 0.

Dans e as

det(A−1) =1

det(A), et A−1 =

1

det(A)

(Ac)T

.

3.3 Déterminant d'un Endomorphisme

Dé�nition 3.3.1. Soient E un espa e ve toriel sur K de dimension �nie, B un base

de E et f ∈ L(E). On appelle déterminant de l'endomorphisme f le déterminant de

sa matri e dans la base B :

det(f) = det(M(f, B,B)).

Remarque 3.3.1. le déterminant de f ne dépend pas du hoix de la base B.

D'après les propriétés sur les déterminants des matri es, on en déduit les propriétés

suivantes sur les déterminants des endomorphismes :


3.3 Déterminant d'un Endomorphisme 51

Proposition 3.3.1. Soient f, g ∈ L(E) et λ ∈ K. On a

1. det(IdE) = 1.

2. det(λf) = λndet(f).

3. det(f ◦ g) = det(f)× det(g).

4. f est inversible si et seulement si det(f) 6= 0. Dans e as

det(f−1) =1

det(f).

On suppose que dimKE = n, B = (e1, e2, . . . , en) une base de E et (u1, u2, . . . , un) unefamille de ve teurs de E.On note Xi le ve teur olonne des oordonnés de ui dans la base B. ( pour i = 1, . . . , n).

Exemple 3.3.1. Soit E = R2[X ] l'espa e des polyn�mes de degrés inférieur ou égal à

2 de base anonique (1, X,X2).

P1 = 2 + 3X +X2 −→ X1 =

131

P2 = 2X +X2 −→ X2 =

021

P3 = 1 +X +X2 −→ X3 =

111

Dé�nition 3.3.2. On appelle déterminant de la famille (u1, u2, . . . , un) dans la base

B = (e1, . . . , en) le s alaire

detB(u1, u2, . . . , un) =∣∣X1 X1 . . . Xn

∣∣ .

Exemple 3.3.2. 1.

detB(B) = detB(e1, e2, . . . , en) = det(In) = 1.

2.

detB(P1, P2, P3) =

∣∣∣∣∣∣

1 0 13 2 11 1 1

∣∣∣∣∣∣

L1←−L1−L3=

∣∣∣∣∣∣

0 −1 03 2 11 1 1

∣∣∣∣∣∣

= 2.

Proposition 3.3.2. Soit (u1, u2, . . . , un) une famille de ve teurs de E. Alors :

(u1, u2, . . . , un) est une base de E si et seulement si detB(u1, u2, . . . , un) 6= 0.


52 Déterminants

Exemple 3.3.3. On onsidère B′ = (Q1 = 1, Q2 = X − 1, Q3 = (X − 1)2) une famille

de R2[X ]. On a

detB(Q1, Q2, Q3) =

∣∣∣∣∣∣

1 −1 10 1 20 0 1

∣∣∣∣∣∣

= 1.

Par suite B′ = (Q1, Q2, Q3) est une base de R2[X ].

Proposition 3.3.3. Si B′ est une autre base de E alors

detB′(u1, u2, . . . , un) = detB′(B)× detB(u1, u2, . . . , un).

En parti ulier,

detB(B′)× detB′(B) = 1.

Exemple 3.3.4. On onsidère B′ = (Q1 = 1, Q2 = X − 1, Q3 = (X − 1)2) une famille

de R2[X ]. On sait que B′ est une base. Les ve teurs de oordonnées de P1, P2 et P3

dans la base B′ sont

P1 = 2 + 3X +X2 = 6 + 5(X − 1) + (X − 1)2 −→

P1( )Q1 6

Q2 5Q3 1

P2 = 2X +X2 = 3 + 4(X − 1) + (X − 1)2 −→

P2( )Q1 3

Q2 4Q3 1

P3 = 1 +X +X2 = 3 + 3(X − 1) + (X − 1)2 −→

P3( )Q1 3

Q2 3Q3 1

On en déduit que

detB′(P1, P2, P3) =

∣∣∣∣∣∣

6 3 35 4 31 1 1

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

3 0 05 4 31 1 1

∣∣∣∣∣∣

= 3 (L1 ←− L1 − 3L3).


3.4 Méthode de Cramer 53

Pour Cal uler detB′(B), on her he les ve teurs oordonnées de B dans B′.

1 = Q1 −→

1( )

Q1 1Q2 0Q3 0

X = 1 + (X − 1) −→

X( )Q1 1

Q2 1Q3 0

X2 = 1 + 2(X − 1) + (X − 1)2 −→

X2

( )Q1 1Q2 2Q3 1

Ce qui implique que

detB′(B) = detB′(1, X,X2) =

∣∣∣∣∣∣

1 1 10 1 20 0 1

∣∣∣∣∣∣

= 1.

On on lut que

detB′(B)× detB(P1, P2, P3) = 1× 3 = 3 = detB′(P1, P2, P3).

Proposition 3.3.4. Soient f ∈ L(E) et (u1, u2, . . . , un) une famille de ve teurs de

E. On a

detB(f(u1), . . . , f(un)) = det(f)× detB(u1, . . . , un).

3.4 Méthode de Cramer

Soient A ∈Mn((K) une matri e arrée et b ∈ Kn. On souhaite résoudre le système

linéaire suivant

AX = b

On suppose que

A =(C1 C2 . . . Cn

), b =

b1b2.

.

.

bn

X =

x1

x2.

.

.

xn

.

Les Ci(i = 1 . . . n) sont les olonnes de A. On dé�nit les nouvelles matri es :

∆i =(C1 C2 . . . Ci−1 b Ci+1 . . . Cn

), ∀i = 1 . . . n.

La matri e ∆i est obtenue de A en remplaçant la olonne Ci par le se ond membre b.


54 Déterminants

Théorème 3.4.1 (Formules de Cramer). Si A est inversible (det(A) 6= 0), alors le

système AX = b admet une solution unique donnée par

xi =det(∆i)

det(A), ∀i = 1 . . . n.

Exemple 3.4.1. Résoudre le système suivant

x+ 2y + z = 22x+ y − z = 1x+ y + 2z = −1

On a la matri e du système et son se ond membre ainsi que le ve teur des in onnues

sont :

A =

1 2 12 1 −11 1 2

, b =

21−1

, X =

xyz

det(A) =

∣∣∣∣∣∣

1 2 12 1 −11 1 2

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

−1 2 11 1 −10 1 2

∣∣∣∣∣∣

←− C1 ←− C1 − C2

=

∣∣∣∣∣∣

0 3 01 1 −10 1 2

∣∣∣∣∣∣

←− L1 ←− L1 + L2

= −6

det(∆1) =

∣∣∣∣∣∣

2 2 11 1 −1−1 1 2

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

0 0 31 1 −1−1 1 2

∣∣∣∣∣∣

←− L1 ←− L1 − 2L2

= 6

det(∆2) =

∣∣∣∣∣∣

1 2 12 1 −11 −1 2

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

−1 2 11 1 −12 −1 2

∣∣∣∣∣∣

←− C1 ←− C1 − C2

=

∣∣∣∣∣∣

0 3 01 1 −12 −1 2

∣∣∣∣∣∣

←− L1 ←− L1 + L2

= −12

det(∆3) =

∣∣∣∣∣∣

1 2 22 1 11 1 −1

∣∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∣

−3 0 02 1 11 1 −1

∣∣∣∣∣∣

←− L1 ←− L1 − 2L2

= 6.

On a alors

x =det(∆1)

det(A)= −1, y =

det(∆2)

det(A)= 2, z =

det(∆3)

det(A)= −1.


3.5 Exer i es 55

3.5 Exer i es

Exer i e 3.1. Cal uler les déterminants suivants :

a =

∣∣∣∣∣∣

3 −1 26 −2 41 7 3

∣∣∣∣∣∣

, b =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 −31 1 −3 11 −3 1 1−3 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

, c =

∣∣∣∣∣∣

sin2(x) sin2(y) sin2(z)cos2(x) cos2(y) cos2(z)

1 1 1

∣∣∣∣∣∣

(Réponse a = b = c = 0)

Exer i e 3.2. Cal uler les déterminants suivants

a =

∣∣∣∣∣∣

2 3 −40 −4 21 −1 5

∣∣∣∣∣∣

, b =

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 −1 −11 1 −1 −11 1 1 −11 1 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

, c =

∣∣∣∣∣∣

3 0 4−1 0 −37 2 5

∣∣∣∣∣∣

(Réponse a = −46, b = 8, c = 10.)

Exer i e 3.3. Pour quelles valeurs de x le déterminant est nul :

A =

1 2 12 0 12 3 x

( Réponse x =7

4

B =

4− x −4 −42 −2− x −43 −3 −4 − x

( Réponse x = 0, 2,−4)

Exer i e 3.4. Soient les matri es suivantes :

A = digonal(d1, d2, . . . , dn) =

d1 0 0 . . . 00 d2 0 . . . 0.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 0 . . . 0 dn

B =

t11 t12 t13 . . . t1n0 t22 t23 . . . t3n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. t(n−1)n0 0 . . . 0 tnn

Cal uler detA) et det(B).

Exer i e 3.5. Cal uler le déterminant

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 −1 0 1m 1 −1 −11 −m 1 01 −1 m 2

∣∣∣∣∣∣∣∣

Pour quelles valeurs dem e déterminant est nul. ( réponse det = 0⇔ m3+m2+2 = 0).


56 Déterminants

Exer i e 3.6 (Déterminant de Vandermonde). Soient x0, . . . , xn−1, xn ∈ K ave n ≥ 2un entier. On dé�nit

V an(x0, . . . , xn−1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 . . . 1x0 x1 x2 . . . xn−1x20 x2

1 x22 . . . x2

n−1.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xn−10 xn−1

1 xn−12 . . . xn−1

n−1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Soient P ) = Xn +∑n−1

k=0 λkXkave λk ∈ K.

1. Montrer que

V an(x0, . . . , xn−1, xn) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 . . . 1 1x0 x1 x2 . . . xn−1 xn

x20 x2

1 x22 . . . x2

n−1 x2n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

xn−10 xn−1

1 xn−12 . . . xn−1

n−1 xnn

P (x0) P (x1) P (x2) . . . P (xn−1) P (xn)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Indi ation, on pourra rempla er Ln+1 par Ln+1 +∑n−1

k=0 λkLk.

2. On prend P (X) = Πn−1k=0(X − xk) En déduire que

V (x0, . . . , xn) = Πn−1k=0(xn − xk)V an(x0, . . . , xn−1).

3. Cal uler V (x0, x1)

4. Montrer que

V (x0, x1, . . . , xn) = Π1≤i<j≤n(xj − xi).

Exer i e 3.7. Cal uler l'inverse A et elui de B :

A =

1 1 12 −1 34 1 9

, , B =

1 −1 0 10 1 −1 −11 0 1 01 −1 0 2

Exer i e 3.8. On onsidère l'appli ation linéaire suivante

f : R3 −→ R

3

(x, y, z) 7−→ (x+ 2y + z, x− y − z, x+ y + z)

(B = (e1, e2, e3) la base anonique de R3.

1. Cal uler de(f).

2. f est elle bije tive ?

3. On donne la famille u1 = (1, 2, 4), u2(1,−1, 1), u3 = (1, 3, 9). Montrer que la

famille B′ = (u1, u2, e3) est une base.


3.5 Exer i es 57

4. Cal uler detB(u1, u2, u3)

5. Cal uler detB′(B)

6. Cal uler detB′(f(u1), f(u2), f(u3)).

7. Résoudre le système

x+ 2y + z = 1x− y − z = 2x+ y + z = 3

Exer i e 3.9. Cal uler les déterminants suivants :

∣∣∣∣

1 53 7

∣∣∣∣,

∣∣∣∣∣∣

1 1 02 1 23 2 1

∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 1 22 1 0 23 1 0 14 2 1 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

,

∣∣∣∣∣∣

3 2 42 3 11 2 3

∣∣∣∣∣∣

,

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

6 3 2 1 08 4 2 1 19 3 3 1 27 1 1 7 15 1 2 5 2

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

Exer i e 3.10. Cal uler le déterminant suivant

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 1 01 2 1 21 3 1 21 4 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣

En déduire les déterminants suivants (sans faire de Cal ul) et justi�er votre réponse :

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 3 01 2 3 21 3 3 21 4 6 4

∣∣∣∣∣∣∣∣

,

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 2 1 01 4 1 21 5 1 21 7 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 1 01 2 1 21 3 1 22 4 1 4

∣∣∣∣∣∣∣∣

,

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 1 1 10 2 3 41 1 1 20 2 2 4

∣∣∣∣∣∣∣∣

Exer i e 3.11. Cal uler les omatri es de

A =

1 1 02 1 23 2 1

, B =

3 2 42 3 11 2 3

En déduire les inverses A−1 et B−1.

Exer i e 3.12. Soient m ∈ R et la matri e

A =

m 0 1 2m1 m 0 00 2m+ 2 m 1m 0 0 m

Cal uler le déterminant de A et en déduire le rang de A. Pour quelle valeur de m, la

matri e A est inversible.


58 Déterminants

Exer i e 3.13. Soient E = R2[X ] l'espa e ve toriel des polyn�mes de degré inférieur

ou égal à 2 et B = (1, X,X2) sa base anonique. On onsidère l'appli ation linéaire

suivante

f : E −→ E

P 7−→ P (X + 1) + P (X − 1)

1. Cal uler le déterminant de f . f est elle un automorphisme ?

2. On onsidère la famille B′ = (1, (X−1), (X−1)2). Montrer que B′ est une basede E.

3. Cal uler detB′(B)

4. Cal uler detB(X2 − 1, X2 + 1, X2 + 3) et detB′(X2 − 1, X2 + 1, X2 + 3)

Exer i e 3.14. Résoudre les système suivants

x+ y − z = 23x+ y + 3z = 5−x+ y + 3z = 1

x+ y − z = 1−x+ y + z = 2x− y + z = 3


Chapitre 4

Diagonalisation et Trigonalisation

Dans e hapitre E désigne un espa e ve toriel de dimension n sur K de base

B = (e1, . . . , en). Soit aussi f un endomorphisme de E.

4.1 Valeur Propre et Ve teur Propre d'un Endomor-

phisme

Dé�nition 4.1.1. On dit que λ ∈ K est dite une valeur propre de f s'il existe v ∈ Eet v 6= 0E tel que

f(v) = λv.

Le ve teur v est dit un ve teur propre de f asso ié à la valeur propre λ. l'ensemble

des valeurs propres de f s'appelle le spe tre de f .

Exemple 4.1.1. On onsidère f : R3 −→ R3telle que

f(x, y, z) = (x+ y, y + z, z + x)

On pose v = (1, 1, 1). On a f(v) = 2v. On en déduit que 2 est une valeur propre de fet v est un ve teur propre asso ié à la valeur propre 2.

Dé�nition 4.1.2. Soit λ une valeur propre de f . On appelle sous espa e propre de fasso ié à λ

Eλ = Ker(f − λidE) = {v ∈ E : f(v) = λv}.

Exemple 4.1.2.

Ker(f − 2idR3) = {(x, y, z) ∈ R3 : f(x, y, z) = 2(x, y, z)}.

f(x, y, z) = 2(x, y, z) ⇔ (x+ y, y + z, z + x) = (2x, 2y, 2z)

⇔ x = y = z

On en déduit que (x, y, z) = x(1, 1, 1) = x(e1 + e2 + e3) et alors Ker(f − 2idR3) =V ect{e1 + e2 + e3}.


60 Diagonalisation et Trigonalisation

Proposition 4.1.1. Si λ et µ sont deux valeurs propres distin tes de f alors

Ker(f − λidE) ∩Ker(f − µidE) = {0E}.

Le nombre de valeurs propres de f est inférieur ou égal à la dimKE = n.

Théorème 4.1.1. Soient f ∈ L(E) et λ ∈ K. Les assertions suivantes sont équiva-

lentes

1. λ est une valeur propre de f .

2. Eλ 6= {0E}.3. det(f − λidE) = det(M(f, B,B)− λIn) = 0.

Exemple 4.1.3. Pour l'endomorphisme f : R3 −→ R3telle que

f(x, y, z) = (x+ y, y + z, z + x)

On a la matri e de f est

M(f, B,B) =

1 1 00 1 11 0 1

.

On a don

det(M(f, B,B)− λI3) =

∣∣∣∣∣∣

1− λ 1 00 1− λ 11 0 1− λ

∣∣∣∣∣∣

= (1− λ)

∣∣∣∣

1− λ 10 1− λ

∣∣∣∣+

∣∣∣∣

1 01− λ 1

∣∣∣∣

= (1− λ)3 + 1

Don det(M(f, B,B) − λI3) = 0 est équivalent à (1 − λ)3 + 1 = 0. Ce qui donne que

λ = 2.

Exer i e 4.1.1. Trouver les valeurs propres de f : C3 −→ C3telle que

f(x, y, z) = (x+ y, y + z, z + x)

Indi ation : (λ− 1)3 − 1 = (λ− 2)(1− λ+ λ2) = 0.

Dé�nition 4.1.3. Soient f ∈ L(E). On appelle polyn�me ara téristique de f

Pf(X) = det(f −XidE) = det(M(f, B,B)−XIn).

Exemple 4.1.4. Pour l'exemple 4.1.3,

Pf(X) = −X3 + 3X2 − 3X + 2.


4.2 Valeur Propre et Ve teur Propre d'une Matri e 61

Proposition 4.1.2. Les valeurs prorpes d'un endomorphisme sont les ra ines de son

polyn�mes ara téristique.

On termine ette se tion par la dé�nition suivante qui sera très utile dans la suite

Dé�nition 4.1.4. On dit qu'un polyn�me de K[X ] est dit s indé sur K s'il est le

produit de polyn�mes de degré 1 de K[X ].

Exemple 4.1.5. 1. X2 − 1 = (X − 1)(X + 1) est s indé sur R et sur C.

2. X2 + 1 n'est pas s indé dans R.

3. X2 + 1 = (X + i)(X − i) est s indé dans C.

4. Tout polyn�me de C est s indé.

4.2 Valeur Propre et Ve teur Propre d'une Matri e

Soit A ∈Mn(K) une matri e arrée d'ordre n ≥ 1.

Dé�nition 4.2.1. On dit que λ ∈ K est dite une valeur propre de A s'il existe un

ve teur olonne V ∈ Knet V 6= 0 tel que

AV = λV.

Le ve teur V est dit un ve teur propre de A asso ié à la valeur propre λ. l'ensemble

des valeurs propres de A s'appelle le spe tre de A.On appelle polyn�me ara téristique de A le polyn�me

χA(X) = det(A−XIn).

Exemple 4.2.1. Soit

A =

(1 23 3

)

.

On a

χA(X) =

∣∣∣∣

1−X 23 3−X

∣∣∣∣= (1−X)(3−X)− 6 = X2 − 4X − 3.

Proposition 4.2.1. Les valeurs propres de A sont les ra ines de son polyn�me a-

ra téristique χA(X).Deux matri es semblables ont les mêmes valeurs propres.

Exemple 4.2.2. Pour

A =

(1 23 3

)

.

On a χA(x) = x2 − 4x − 3 = 0. Ce qui implique que les valeurs propres de A sont

λ1 =4+3√3

2et λ2 =

4−3√3

2.



Remarque 4.2.1. Les valeurs propres d'un matri es triangulaire sont les termes dia-

gonaux de la matri es.

Proposition 4.2.2. Soient f ∈ L(E) et λ ∈ K.

λ est une valeur propre de f si et seulement si λ est une valeur propre de sa matri e

M(f, B,B).

4.3 Diagonalisation

Dé�nition 4.3.1. Un endomorphisme f ∈ L(E) est dit diagonalisable s'il existe une

base B de E telle la matri e de f , M(f, B,B), est diagonale.Une matri e A ∈ Mn(K) est diagonalisable si il existe une matri e P inversible telle

que P−1AP est une matri e diagonale.

Proposition 4.3.1. f ∈ L(E). On a

1. f est diagonalisable si et seulement si E admet une base B′ formée par des

ve teurs propres de f .

2. f est diagonalisable si et seulement si sa matri e M(f, B,B) est diagonalisable.Dans e as P = PB′

B la matri e de passage de B à B′.

3. Une matri e A ∈M(K) est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme

f : Kn −→ K

n

X 7−→ AX

est diagonalisable.

4. f est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous

espa es propres est égale à n = dim(E).

5. Une matri e A ∈ M(K) est diagonalisable si et seulement si la somme des

dimensions de ses sous espa es propres est égale à n = dim(E).

Exemple 4.3.1. Soient B = (e1, e2, e3) la base anonique de R3et f l'endomorphisme

de R3donné par

f(e1) = −3e1 + 2e2 + 3e3

f(e2) = −2e1 + e2 + 3e3

f(e3) = −2e1 + 2e2 + 2e3


4.3 Diagonalisation 63

Pour déterminer les valeurs propres de f , on va al uler son polyn�me ara téristique :

det(f − λidR3) =

∣∣∣∣∣∣

−3− λ −2 −22 1− λ 23 3 2− λ

∣∣∣∣∣∣

= (−3− λ)

∣∣∣∣

1− λ 23 2− λ

∣∣∣∣− 2

∣∣∣∣

−2 −23 2− λ

∣∣∣∣+ 3

∣∣∣∣

−2 −21− λ 2

∣∣∣∣

= −(λ+ 3)(λ2 − 3λ− 4)− 2(2λ+ 2) + 3(−2λ− 2)

= −(λ+ 1)2(λ− 2).

Les valeurs propres de f sont λ1 = (−1) et λ2 = 2.On al ule les sous espa es propres E−1 et E2. Soit v un ve teur et V = (x, y, z)T la

olonne des oordonnées de v dans la base anonique

f(v) = −v ⇔ M(f, B,B)V = −V

⇔

−3 −2 −22 1 23 3 2

xyz

=

−x−y−z

⇔

−3x− 2y − 2z = −x2x+ y + 2z = −y3x+ 3y + 2z = −z

⇔ x+ y + z = 0

Pour v = xe1 + ye2 + ze3. Comme x = −y − z, on a alors v = y(e2 − e1) + z(e3 − e1)et E−1 = V ect({e′1 = −e1 + e2, e

′2 = −e1 + e3}).

f(v) = 2v ⇔ M(f, B,B)V = 2V

⇔

−3 −2 −22 1 23 3 2

xyz

=

2x2y2z

⇔

−3x− 2y − 2z = 2x2x+ y + 2z = 2y3x+ 3y + 2z = 2z

⇔ y = −x, z =−32x

Ce qui donne que v = xe1 + ye2 + ze3 = x(e1 − e2 − 32e3) et alors E2 = V ect({e′3 =

e1 − e2 − 32e3}).

Après on montre que B′ = (e′1, e′2, e′3) est une base de R3

formée de ve teurs propres

de f . On en déduit que f est diagonalisable. De plus, on a

f(e′1) = −e′1f(e′2) = −e′2f(e′3) = 2e′2



Ce qui donne que la matri e de f dans la nouvelle base B′ est

M(f, B′, B′) =

f(e′1) f(e′2) f(e′3)( )−1 0 0 e′1

0 −1 0 e′20 0 2 e′3

4.4 Trigonalisation

Dé�nition 4.4.1. Un endomorphisme f ∈ L(E) est dit trigonalisable s'il existe une

base B de E telle la matri e de f , M(f, B,B), est triangulaire supérieure.

Une matri e A ∈ Mn(K) est trigonalisable si il existe une matri e P inversible telle

que P−1AP est une matri e triangulaire supérieure.

Soit A une matri e triangulaire supérieure donnée par

A =

a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 . . . 0 ann

.

Son polyn�me ara téristique est

χA(X) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

a11 −X a12 . . . a1n0 a22 −X . . . a2n.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

0 . . . 0 ann −X

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

= Πnk=1(akk −X)

On remarque que le polyn�me ara téristique de A est le produit de n polyn�me de

premier degrés. Il est don s indé sur K.

Proposition 4.4.1. Soient f ∈ L(E) un endomorphisme et A ∈ Mn(K) une

matri e. On a

1. f est trigonalisable si et seulement si son polyn�me ara téristique est s indé

sur K.

2. Une matri e A ∈M(K) est trigonalisable si et seulement si l'endomorphisme

f : Kn −→ K

n

X 7−→ AX

est trigonalisable.

3. A est trigonalisable si et seulement si son polyn�me ara téristique χA est

s indé sur K.

En parti ulier si K = C, tout endomorphisme sur l'espa e omplexe E est trigonali-

sable et toute matri e omplexe est trigonalisable.


4.4 Trigonalisation 65

Exemple 4.4.1. On onsidère l'endomorphisme de R3donné par sa matri e dans la

base anonique

A =

0 1 0−4 4 0−2 1 2

.

On al ule le polyn�me ara téristique de A

χA(λ) =

∣∣∣∣∣∣

−λ 1 0−4 4− λ 0−2 1 2− λ

∣∣∣∣∣∣

= (2− λ)

∣∣∣∣

−λ 1−2 4− λ

∣∣∣∣= −(λ− 2)[λ(λ− 4) + 4]

= −(λ− 2)(λ− 2)2 = −(λ− 2)3.

Le polyn�me est s indé sur R et par suite A est trigonalisable.

La matri e A admet une seule valeur propre λ = 1. Cal ulons maintenant E1.

AX = X ⇔

0 1 0−4 4 0−2 1 2

xyz

=

2x2y2z

⇔

y = 2x−4x+ 4y = 2y−2x+ y + 2z = 2z

⇔ x = 2y

On en déduit que X = (x, 2x, z)T = x(1, 2, 0)T + z(0, 0, 1) et alors

E2 = V ect{e′1 = (1, 2, 0)T , e′2 = (0, 0, 1)T} 6= R3.

Don A n'est pas diagonalisable. On omplète la famille {e′1, e′2} en une base de R3. On

her he un ve teur e′3 6∈ E2 tel que la matri e de f dans la base B′ = (e′1, e′2, e′3) soit de

la forme

2 0 a0 2 b0 0 2

.

Cal ulons alors a et b. Ce qui s'é rit omme (e′3 = xe1 + ye2 + ze3)

f(e′3) = ae′1 + be′2 + 2e′3f(e′3)− 2e′3 = ae′1 + be′2

(f − 2idR3)e′3 = ae′1 + be′2(f − 2idR3)2e′3 = 0



On al ule la matri e de (f − idR3)2 qui est

(A− 2I3)2 =

−2 1 0−4 2 0−2 1 0

−2 1 0−4 2 0−2 1 0

=

0 0 00 0 00 0 0

Don le noyau de (A− I3)2est R3

. Il su�t de prendre e′3 6∈ Ker(A− 2I3) don on doit

avoir x 6= 2y. On pren par exemple x = 1, y = 0, z = 1. On a e′3 = e1 + e3 et la famille

B′ = (e′1, e′2, e′3) est une base. En e�et,

∣∣∣∣∣∣

1 0 12 0 00 1 1

∣∣∣∣∣∣

= −2∣∣∣∣

0 11 1

∣∣∣∣= 2

On al ule f(e′3) = f(e1) + f(e3) = −4e2 − 2e3 + 2e3 = −4e2 = −2(e′1 + e′2 − e′3)Finalement, on a

T = M(f, B′, B′) =

2 0 −20 2 −20 0 2

.

On a aussi

P−1AP = T ave

P = PB′

B =

1 0 12 0 00 1 1

.

4.5 Appli ations aux Systèmes Linéaires

On souhaite résoudre le système AX = b ave A ∈Mn(K) et b ∈ Kn. Aussi X ∈ Kn

un ve teur in onnu.

4.5.1 Cas de Matri e Diagonalisable

Il existe alors une matri e inversible P ∈ Mn(K) et une matri e diagonale D ∈Mn(K) telles que A = PDP−1. On pose Y = P−1X , le système AX = b est équivalentà

DY = c, ave c = P−1b.

On résout e dernier système et on trouve la valeur de Y et on déduit alors

X = PY


4.6 Cas de Matri e Trigonalisable 67

Exemple 4.5.1. On résous le système suivant

−3x− 2y − 2z = 12x+ y + 2z = 23x+ 3y + 2z = 3

On a la matri e

A =

−3 −2 −22 1 23 3 2

.

Cette matri e a été diagonalisé dans l'exemple 4.3.1. On a alors

D =

−1 0 00 −1 00 0 2

, P =

−1 −1 11 0 −10 1 −3

2

.

On al ule P−1 :

P−1 =

−23

13

−23

−1 −1 0−23

−23

−23

.

On a aussi

c = P−1b =

−2−3−4

.

La solution du système DY = c est don

Y =

23−2

.

Par suite la solution du système AX = b est

X = PY =

−746

.

Exer i e 4.5.1. 1. Montrer que An = P−1DnP pour tout n ≥ 0.

2. En déduire la valeur de Anpour tout n ≥ 0.

4.6 Cas de Matri e Trigonalisable

Il existe alors une matri e inversible P ∈Mn(K) et une matri e triangulaire supé-

rieure T ∈ Mn(K) telles que A = PTP−1. On pose Y = P−1X , le système AX = best équivalent à

TY = c, ave c = P−1b.

On résous e dernier système et on trouve la valeur de Y et on déduit alors

X = PY.



Exemple 4.6.1. On résout le système suivant :

2x+ 2y − 3z = 15x+ y − 5z = 2−3x+ 4y = 3

On a la matri e

A =

2 2 −35 1 −5−3 4 0

.

Le polyn�me ara téristique de A est

det(λI3 − A) = (λ− 1)3.

Le polyn�me ara téristique de A est s indé sur R. On en déduit que A est trigo-

nalisable. Déterminons maintenant une base sur la quelle la matri e est triangulaire

supérieure : On ommen e par al uler le noyau de A− I3

AX = X ⇔

2x+ 2y − 3z = x5x+ y − 5z = y−3x+ 4y = z

⇔ x = y = z

On onsidère l'appli ation linéaire f, X ∈ R3 7−→ AX ∈ R3. AlorsE1 = V ect{(1, 1, 1)T}

et don A n'est pas diagonalisable (Pourquoi ?). On prend e′1 = (1, 1, 1)T . Compétant

{e′1 = (1, 1, 1)T} en une base B′ = (e′1, e′2, e′3) de R3

telle que la matri e dans ette

nouvelle base est de la forme

T =

1 a b0 1 c0 0 1

.

On a alors f(e′2) = ae′1 + e′2 e qui implique que (f − idR3)(e′2) = e′1 et alors (f −idR3)2(e′2) = 0. On her he le noyau de (f − idR3)2. Pour ela, on a

(A− I3)2 =

2 −1 −12 −1 −12 −1 −1

.

X = (x, y, z)T ∈ Ker(f − idR3)2 est équivalent à (A − I3)2X = 0. Ce qui donne alors

que 2x− y − z = 0. On prend

e′2 =(1 2 0

).

On al ule f(e′2) = (6, 7, 5)T = 5e′1+e′2. (a = 5). Il su�t de ompléter la famille {e′1, e′2}en une base . Pour ela, on prend e′3 = e3. On a f(e′3) = (−3,−5, 0)T = −e′1− 2e′2 + e′3.(b = −1, c = −2) et la matri e

T =

1 5 −10 1 −20 0 1

.


4.7 Exer i es 69

La matri e de passage est

P = PB′

B =

1 1 01 2 01 0 1

, P−1 =

2 −1 0−1 1 0−2 1 1

, c = P−1b =

013

.

On résout le système �nal TY = c :

x+ 5y − z = 0y − 2z = 1

z = 3

Ce qui donne que Y = (−32, 7, 3)T et alors la solution de AX = b est donnée par

X = PY =

−25−18−29

.

4.7 Exer i es

Exer i e 4.1. Cal uler les valeurs propres des matri es suivantes

A =

−1 1 02 0 −20 0 −2

, B =

1 0 ii 1 00 i 1

.

Exer i e 4.2. Soit E = R2[X ] l'espa e des polyn�mes de degrés inférieur ou égal à 2.

On onsidère l'endomorphisme de E donné par

f E −→ E

P 7−→ (X − 1)P ′ + P

1. Cal uler les valeurs propres de f

2. Cal uler les sous espa es propres de f

3. Montrer que f est diagonalisable

4. Diagonaliser f .

5. Montrer que g P ∈ E 7−→ 2P ′ + P ∈ E n'est pas diagonalisable.

(Reponse : valeurs propres de f sont 0, 1 et 3.)

Exer i e 4.3. Soient E un espa e ve toriel de dimension �nie sur K et f un automor-

phisme de E.

1. Trouver lle polyn�me ara téristique d f−1 en fon tion de elui de f .

2. Montre que si λ est une valeur propre de f alors λ 6= 0

3. Montre que λ est une valeur propre de f si et seulemnt si λ−1 est une propre def−1.



Exer i e 4.4. Soient a, b, c trois réels tels que b 6= 0 et c > 0. On onsidère la matri e

A =

(a cbb a

)

.

1. Montrer que le polyn�me ara téristique de A est χA(λ) = (λ − a + b√c)(λ −

a− b√c).

2. Trouver les valeurs propres et les sous espa es propres.

3. En déduire que A est diagonalisable puis diagonaliser A.

Exer i e 4.5. Montrer que la matri e suivante

12

12

12

14

12

014

0 12

est diagonalisable puis diagonaliser la matri e. (Reponse : D =

0 0 00 1

20

0 0 1

)

Exer i e 4.6. En utilisant la diagonalisation des matri es, résoudre le système sui-

vant :

−x+ 4y − 2z = 2−4x+ 7y − 2z = 3−4x+ 4y − z = 4

Exer i e 4.7. On onsidère l'endomorphisme f de E = R3donné par

f(x, y, z) = (x+ y, y, y)

Soit B = (e1, e2, e3) la base anonique de E.

1. Cal uler le polyn�me ara téristique de f .

2. Cal uler les valeurs propres et les sous espa es propres de f en donner aussi une

base de haque sous espa e propre.

3. Trigonaliser f .

Exer i e 4.8. Trigonaliser les matri es suivantes :

A =

−2 2 −1−1 1 −1−1 2 −2

, B =

2 0 11 1 0−1 1 3

.

Résoudre les systèmes AX = b et BX = b′. On donne

b =

103

, b′ =

031

.


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