ALGORITAM I PROGRAM ZA PREPOZNAVANJE TAKSONA IGRAČA

U SPORTSKIM IGRAMA

FRANJO PROTFakultet za fizieku kulturu

ZAGREB

SAZETAK

. Prezentiran je algoritam za simultanu taksonomskuanalizu ,objektivnog i konfirmativnog, tipa, pogodan zaprepoznavanje taksona igraea u sporskim igrama. Objektivnutaksonomsku soluciju algoritam određuje ortonormalnomtransformacijom inicijalne ortogonalne baze prostoraobjekata uz maksimizaciju varimax kriterija. a hipotetskusoluciju modificiranom Q-metodom taksonomske analize.Konaene rezultate uspoređuje kosinusima kuteva taksonomskihdimenzija, i kosinusima kuteva koordinata varijabli utaksonomskimprostorima.

An algorithm for' simultaneous taxonomic analyses ofexplorative and confirmative type is presented. Explorativetaxonomic,solution is obtained by orthonormal transformationof initial orthogonal' base of space of objects withmaximization of varimax·criterion. The solution' under thehypothesis is obtained under modification of Q-method oftaxonomic analysis. Final resuitsare compared by cosineangles of taxonomic dimensions and cosine angles ofcoordinates of variables projected in taxonomic spaces.

O. UVOD

Objektivnost postupaka grupiranja objekata jedan je od~uvjeta efikasne primjene metoda taksonomskih analiza. Ovajje zahtijev, u prvi plan istaknuo procedure taksonomskihanaliza za koje se moglo pokazati i u primjeni opravdatinjihova objektivna svojstva. Provedba taksonomizacije

219

objekata na osnovu odabranog skupa relevantnih varijablietapa je koja zahtijeva provjeru.. Provjera efikasnosti tihmetoda u slučajevima kada je alokacija objekata unaprijedpoznata. u pravilu se vr~i nekom od proceduradiskriminativne analize. Simultanom primjenom objektivne ikriterijski orjentirane taksonomske analize moguće jeizvesti postupak grupiranja i istovremeno ocijeniti uspjehgrupiranja i prepoznati varijable koje su dominantnoodredile pozicije objekata u taksonomskom prostoru.

Praktičan problem koji je moguće rije~iti ovakvomprocedurom jeste objektivizacija postupka identifikacijetipova igračih mdesta u sportskim igrama. Osnov jedne takoveprocedure su objektivne Irijere.koje mogu biti antropolo~kevarijable. antropotehničke varijable. uspjeh igrača u nekomskupu simuliranih situacija iz igre ili skup registriranihaktivnos.titokom igre. zajedno sa podatkom o alokaciji

~.: .

igrača u hipotetskom taksonomskomprostoru igraeih mjesta.Podatak o alokaciji· igrača u hipotetskom taksonomskomprostoru igraeihmjesta moguće je dobit kao sud eksperata(trenera. selektora) i kodirati ga u obliku selektorskematrice.

U ovom radu prezentiran je jedan .algoritam za simultanuprimjenu objektivne i kriterijski orjentirane taksonomskeanalize namijenjen prepoznavanju tipova igraea u sportskimigrama. Algoritam je općenitje prirode. i primjenjiv je zataksonomizaciju objekta za koje postoji jedan skupobjektivnih mjera i podatak o pripadanju u jedan oddistinktnih podskupova.

1. ALGORITAM1.1 PRELIMINARNE NAPOMENE

Neka je

'st - { eti; i - 1•...•nt} t - 1•...•sskup igrača iz tima t. jednog od g analiziranih timova,sastavljenih od nt igraea.

Unijomg

~ 11II U ~tt-l .

formirat će se skup svih igrača u analizi, s ukupnim brojemg

n •• E ntt-lNeka je

:Ji. i.{ /1.. v'" 1...., p }vskup aktivnosti ili nekih drugih varijabli koje opisujuigrače.

Neka je3" 11II { tk ; k - 1,..., q }

skup apriorno definiranih tipova igrača, u pravilu određenihulogom u igri.

Kart'ezi.i ev produ){t~ 0:R •• B •• (biJ i-1, ... ,n

rezultira matricom opisa igrača nadvarijablama, a karteziJev produkt

v= l , ... ,pregistriranim

'$ .. 0 3" •• H •• (hiJ<? i-f. ... ,n k=L, ...• q

definira opis igrača nad skupom apriorno definiranih tipovas elementima koji poprimaju vrijednosti 1 i1i O tako, da jeu retku uvjek jedna i samo Jedna vrijednost jednakajedinici .:

•1.2 MJERE SLI~NOSTl

Razlike u metrikamaregistriranih varijabli iz skupa Rnajčesće zahtijevaju prethodnu reparametrizaciju elemenatamatrice 8 nakomparabi Inu metriku. Jedna od čestoprihvatljivih je

p •• 8 ·diag(8T8)V2

normiranje kolona matrice 8.

221.. __ ._----..: ~: ~

Mjere sličnosti objekata.skalarnim produktima vektorareparametriziranim vrijednostima

tada je moguće odreditirezultata igrača na

1.3 OBJEKTIVNA TAKSONOMSKA SOLUCIJA1.3.1 Inicijalni ortogonalni koordinatni sistem

Inicijalni ortogonalni sistem. odnosno baza prostoraobjekata neka je određena dekompozicijom matrice mjerasličnosti

Y*Ty* y* y*T I• •gdje je

*A • (A i) i - 1 •..• , n

dijagonalna matrica svojstvenih vrijednosti. a*Y :I (V i)

matrica svojstvenih vektora matrice mjera sličnosti C. Takodobiveni svojstveni vektori su ujedno i lijevi svojstvenivektori normirane matrice podataka o igračima.

*Neka su svojstvene vrijednosti umatrice A uređene po* *ve Lf etnt , t.j. neka je A_;::A_+1. Rang matrice C je manji11

ili jednak p. pa će najvise prvih p svojstvenih vrijednostibiti razlil!itood nule. Drugim riječima. s najviSe prvih psvojstvenih vrijednosti i njima pridruženih svojstvenihvektora moguće je u potpunosti reproducirati sličnosti u C.Obzirom da su mejre sličnoti igrača izvedene iz realnoregistriranih varijabli koje su opterećene izvjsnim stupnjemgreske. ili su dijelom nevažne za rijesenje taksonomskogproblema, poželjno je, a i potrebno definirati nekuobjektivnu i prihvatljivu mjeru količine validnih

~ informacija u matrici C, tj. odrediti broj svojstvenihvrijednosti l!ijiće svojstveni vektori formirati inicijalnikoordinatni sistem objekta.

iI"

----,

222 ;_

Neka je deko~pozicija mjera sličnosti

- - -TC - Y A yT + Y A. Y - E AoVoV~ + E AoVoV~

0"1 0""(.0)+1

gdje A sadrži prvih (.o) svojstvenih vrijednosti, amatrica ynjima pridružene svojstvene vektore, koji se mogu smatratirelevantnim i dovoljnim za postupak taksonomizacijeobjekata. Irelevantnim neka se smatraju svojstvenevrijednosti iz A i njima pridruženi svojstveni vektori V.

Veličina (.0); na osnovu koje se određuje dimenzionalnostbaze prostora objekata moguće je odrediti prema slijedećimkriterijima:.

n

(1)unaprijed zadani broj, utvrđen pod

hipoteza o broju taksona;- *-p

*(.o) - num (A z E A / p )* ,o 0-1 o

gdje je p broj nenultih svojstvenih vrijednosti,pa će se zadržati svojstvene vrijednosti veće ilijednake prosjeku nenultih;

(.o)

*gdje je (.o)

nekom od

(2)

(3) *co - num (A ~ (A I p - f»o ogdje je f unaprijed zadana vrijednost, pa će sezadržati svojstvene vrijednosti sa f ili viserelativnog doprinosa objasnjenju informacija izmatrice mj era slienosti;(4) * *num ( A . ~ ( E A I p .- f ))o o

unaprijed zadanavrijednost, patoliko svojstvenih vrijednosti da

*relativnih doprinosa dosegnef .

će se(.o) _

*gdje je fzadržati sumanjihovih

Inicijalni koordinatni sistem određen je saK _ y AV2 ,

areprodukcija matrice mQera sličnosti sac* ta K KT _.y A yT . I

iIi____-LL-

223

Kvalitet reprodukcije može se procijeniti analizomreziduala

- - -TE ;II C - C* aa Y A Y I

ili putem stress funkcije_ W *q - 1 - E A / p0-1 o

*gdje je p broj nenultih svojstvenih vrijednosti.

1.3.2 Taksonomija igraea pomoću ortogonalnih transformacija

'Neka se inicijalni koordinatni sistem

K 1:1 (kio)transformira u

i - 1, ... ,n , o - 1, ... ,W

W - K Q- (Wio)uz uvijet ortonormalnosti transformacijeke matrice

QT Q _ Q QT a:. Ii uviJet maksimizacije jedno

n Wod slijedeća dva kriterija:

W n2 2

E ( E "'io )0-1 i-1 -ili

4

41 - nEE "',i-1 0-1 10poznat kao varimax kriterij,-

n W4

42 •• E E "'ioi-l 0-1

poznat kao quartimax kriterij, i formira kosi taksonomskikoordinatni sistem. Ortonormalna matrica Q je ujedno imatrica relacija ortogonalne baze i kose solucije.

Relacije kosih taksonomskih dimenzija suM - ( diag (WTW»-~/2 WTW ( diag (WTW»-~/2

uzA2 _ diag (WTW).

Za interpretaciju taksonomskih dimenzija korisna jematrica ortogonalnih projekc~ja registriranih varijabli na;dobivene taksonomske dimenzije, odnosno, struktura taksona

224I - ,. 1-----------

F - c diag (WTW»-1/2 WTB ( diag (BTB))-1/2_ A-1 WT P ,

a također imatrica koordinata registriranih aktivnosti nakosim taksonomskim dimenzij ama, odnosno, sklop taksona

1.4 TAKSONOMSKA SOLUCIJA PROKRUSTOVOG TIPA'1.4.1 Inicijalna hipotetska solucija

Uvažavanj ehipoteze o pripadnosti igraea jednom odapriornopretpostavlJenih tipova omogućuje da se taksonomskedimenzije odrede na osnovu zapisa o apriornoj klasjfikacijuigrača.

Neka se inicijalna taksonomska solucije odredijednostavnom surnacijom preko vektora binarne matrice opisaigrača nad skupompretpostavljenih tipova

L • pTH = (ook) i - 1, ... ,n , k - 1, ... ,q.1-Relacije tako određenih taksonomskih dimenzija tada su, -", ~~

M'Ir _ Il.-1 HT C H A-1o o . o

gdj e jeA2 IZ diag ( HT eH) .

oOrtogonalne projekcije objekata na sistem taksonomskih

dimenzija dobijenih postupkom surnacije sadržane su u matriciF'Ir _ C H A-1

o o ,.

a koordinate entiteta na dimenzija inicijalne hipotetsketaksonomske solucijesu

1.4.~ Finalna hipotetska solucija

Neka je matrica koordinata objekata na dimenzijehi~otetske/ 'Irinicij elne taksonomske solucie Ao nova

alokacijska matrica koja govori o pripadnosti igračapojedinom taksonu. Pod Q modelom taksonomske analize,

/

225 ~

-

matrica opisa objekata na skupu varijabli određena jemodelom -.~,"

pT _ ~ A *T + No

gdje je ~ matrica koordinata varijabli na taksonomskimdimenzijama. a N je matrica reziduala.

Regresijska matrica za procjenu projekcija objekata nataksonomskim dimenzija određena je

r • A * ( A *T A 11 )-1. •o o o

pa su proj ekcij e varij ab li 'na taksonomske d imenz ij e u

~ • pT rRelacije tako dobivenih taksonomskih dimenzija su

M* • A-1.r" erA-I.

gdj e je

AZ. diag (~T~) _ diag ( r" er).

Ortogonalne projekcije objekata (igraCa) na taksonomskedimenzije finalne hipotetske solucije su

* -I.F - erA •a koordinate igraea. tj. konaeni pokazatelj pripadnostiobjekta hipotetskom taksonu u određene sa

11 * 11_~A - F M

uz strukturu.;f

i sklop - ....A • F M1I

-1.

u prostoru registriranih varijabli.

1.5. RELACIJE OBJEKTIVNIH I HIPOTETSKIH TAKSONOMSKIH DIMENZIJA

Relacije objektivne i hipotetske taksonomske solucije,mogu se odrediti koeficijentima kongruencije taksonomskihdimenzij a

226

i koeficijentima kongruencije sklopova ,taksona, u prostoru," -, ,.' . "

registriranih varijabli

2. PROGRAM

Predloženi algoritam implementiran je u oblikusubmodula unutar kompeksnog prograna za taksonomsku analizuigra~a na osnovu registracija aktivnosti i objektivnomjerenih varijabU TARAS (Prot, 1985) 'i samostalno uprogtramu MINITARAS. Zahtijevi sadržani u nizu primjenjenihalgebarskih operacija nad dobro definiranim algebarskimat.r-ukt.ureme omosucufu brzu implementaclju u bilo kojemjeziku koji operjra pomoću punog seta matri~nih i skalarnihfunkcija (GENSTAT, SAS i sl.). MINITARAS, u oblikuprototipne verzije kodiran je u -naredbama prograsmkog

. .... " ,"

sistema SS (Momirović, Stalec 'i Zakraj~ek, 1982) i dostupanje u 'sistemskoj programoteci FFK*WORK na elektroni~komra~unalu UNIVAC 1100 Sveu~ili~nog ra~unskog centra. U ovojverziji implementacije programom je' moguće analiziratiuzorak od 250 objekata koji su opisani skupom od 250varijabli.

3. LITERATURA1.Momirović, K., J. Stalec i E. Zakraj~ek (1982).A programming language for multivariate data analysis.Compstat '82 Proceedings in computational statistics.Physica Verlag, Wien. 87-95.2. Prot, F. (1985).Algoritam i program za analizu i prepoznavanje taksonaigra~a u sportskim igrama na temelju situacionih testova iregistracija aktivnosti igra~a. Magistarski rad, Fakultet zafizičku kulturu, Zagreb. .

!

___1227