Algorithmesnumeriques pour
lrsquoanalysetopologique
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Calcul parintervalles
Lrsquoarithmetique desintervalles
Calcul par intervalles
Analyse de latopologie drsquounensemble
Motivation
Rappels topologiques
Prouver qursquounensemble est etoile
Discretisation
Bassin drsquoattraction
Systemes dynamiques
Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
Arithmetique des intervalles
DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors
[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]
Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie
[a] + [b] = [a + b a + b]
[a]minus [b] = [aminus b aminus b]
[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]
[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]
R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)
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Arithmetique des intervalles
DefinitionSi isin +minustimesdivide et [a] [b] isin IR alors
[a] [b] = a b a isin [a] et b isin [b]
Remarque si 0 isin [b] alors [a]divide [b] nrsquoest pas definie
[a] + [b] = [a + b a + b]
[a]minus [b] = [aminus b aminus b]
[a]times [b] = [minab ab ab ab maxab ab ab ab ]
[a]divide [b] = [a]times [1b 1b]
R C Young (1931) M Warmus (1956) T Sunaga (1958)R E Moore (1959) Interval Analysis (1966)
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Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si
forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])
Exemple
Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f
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Conclusion
DefinitionSoit f une fonction definie de R a valeur dans R[f ] IR rarr IR est une fonction drsquoinclusion pour f si
forall[x ] isin IR f ([x ]) sub [f ]([x ])
Exemple
Si f est une fonction reelle continue definie sur RLrsquoimage directe f IR rarr IR est une fonction drsquoinclusionpour f
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Conclusion
Exemples
1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]
2radic
([x ]) = [radic
x radic
x ] si 0 le x
3 ([x ])2 =
[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0
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Exemples
1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]
2radic
([x ]) = [radic
x radic
x ] si 0 le x
3 ([x ])2 =
[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0
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Exemples
1 exp([x ]) = [exp(x) exp(x)]
2radic
([x ]) = [radic
x radic
x ] si 0 le x
3 ([x ])2 =
[x2 x2] si 0 le x[0maxx2 x2] si 0 isin [x ][x2 x2] si x le 0
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Exemple
sin R rarr Rx 7rarr sin(x)
La fonction sin etendue aux intervalles
[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]
[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin
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Exemple
sin R rarr Rx 7rarr sin(x)
La fonction sin etendue aux intervalles
[sin1] IR rarr IR[x ] 7rarr [minus1 1]
[sin1] est une fonction drsquoinclusion pour sin
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Proposition
Si [f ] et [g ] sont des fonctions drsquoinclusion pour f et grespectivement alors [f ] [g ] est une fonction drsquoinclusionpour f g
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Conclusion
Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle
Exemple
Soitf R rarr R
x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x
Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty
On definit
[f ] IR rarr IR
[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]
[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1
2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1
2 ]
= (sin[0 12 ]minus [0 1
4 ] + 1) cos[0 12 ]
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Conclusion
Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle
Exemple
Soitf R rarr R
x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x
Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty
On definit
[f ] IR rarr IR
[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]
[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1
2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1
2 ]
= (sin[0 12 ]minus [0 1
4 ] + 1) cos[0 12 ]
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Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle
Exemple
Soitf R rarr R
x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x
Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty
On definit
[f ] IR rarr IR
[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]
[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1
2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1
2 ]
= (sin[0 12 ]minus [0 1
4 ] + 1) cos[0 12 ]
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Exemple drsquoutilisation du calcul par intervalle
Exemple
Soitf R rarr R
x 7rarr (sin x minus x2 + 1) cos x
Montrons que S = x isin [0 12 ] f (x) = 0 = empty
On definit
[f ] IR rarr IR
[x ] 7rarr (sin[x ]minus [x ]2 + 1) cos[x ]
[f ]([0 12 ]) = (sin[0 1
2 ]minus [0 12 ]2 + 1) cos[0 1
2 ]
= (sin[0 12 ]minus [0 1
4 ] + 1) cos[0 12 ]
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Discretisation
Conclusion
= (sin[0 12 ] + [minus1
4 0] + 1) cos[0 12 ]
= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1
2 1]
= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1
2 1]
= [34 cos 12 1 + sin 1
2 ]
[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]
Conclusion0 6isin [f ]([0 1
2 ]) donc S = empty
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Conclusion
= (sin[0 12 ] + [minus1
4 0] + 1) cos[0 12 ]
= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1
2 1]
= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1
2 1]
= [34 cos 12 1 + sin 1
2 ]
[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]
Conclusion0 6isin [f ]([0 1
2 ]) donc S = empty
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Conclusion
= (sin[0 12 ] + [minus1
4 0] + 1) cos[0 12 ]
= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1
2 1]
= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1
2 1]
= [34 cos 12 1 + sin 1
2 ]
[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]
Conclusion0 6isin [f ]([0 1
2 ]) donc S = empty
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Conclusion
= (sin[0 12 ] + [minus1
4 0] + 1) cos[0 12 ]
= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1
2 1]
= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1
2 1]
= [34 cos 12 1 + sin 1
2 ]
[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]
Conclusion0 6isin [f ]([0 1
2 ]) donc S = empty
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Conclusion
= (sin[0 12 ] + [minus1
4 0] + 1) cos[0 12 ]
= ([0 sin 12 ] + [34 1])[cos 1
2 1]
= [34 1 + sin 12 ]times [cos 1
2 1]
= [34 cos 12 1 + sin 1
2 ]
[f ]([0 12 ]) sub [065818 14795]
Conclusion0 6isin [f ]([0 1
2 ]) donc S = empty
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Conclusion
DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si
forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])
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DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si
forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])
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Conclusion
DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si
forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])
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DefinitionSoit f une fonction definie de Rn a valeur dans Rm[f ] IRn rarr IRm est une fonction drsquoinclusion pour f si
forall[x ] isin IRn f ([x ]) sub [f ]([x ])
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Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution
Exemple 2
S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0
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Conclusion
Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution
Exemple 2
S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0
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Motivation
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Conclusion
Demontrer qursquoune equation nrsquoadmet aucunesolution
Exemple 2
S = (x y) isin [minus10 10]2 | f (x y) = x2 + y2 + xy + 10 le 0
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Motivation
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Systemes dynamiques
Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
Autres utilisations du calcul par intervalles
Analyse numerique
1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles
2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier
3 Resolution garantie drsquoODE Moore
Preuve assistee par ordinateur
1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998
2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002
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Autres utilisations du calcul par intervalles
Analyse numerique
1 Optimisation globale ER Hansen Methode deNewton par intervalles
2 Approximation des solutions drsquoun systeme drsquoequationsA Neumaier
3 Resolution garantie drsquoODE Moore
Preuve assistee par ordinateur
1 Preuve de la conjecture de Kepler par Hales en 1998
2 Existence de lrsquoattracteur de Lorentz par Tucker W en2002
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Calcul parintervalles
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Analyse de latopologie drsquounensemble
Motivation
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Systemes dynamiques
Theorie de Lyapunov
Discretisation
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Hypotheses
Le calcul par intervalles permet de verifier
1 S = empty2 (S) = 1 (Newton par intervalles)
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Motivation
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Analyse de la topologie drsquoun ensemble
221515
Fig Robot a 2 degres de liberte
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Motivation
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Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
221515
Contraintes sur A
yA isin [0 y0]
Contraintes sur B
yB le y0
Contraintes sur α et β
α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]
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Calcul parintervalles
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Motivation
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Discretisation
Conclusion
221515
Contraintes sur A
yA isin [0 y0]
Contraintes sur B
yB le y0
Contraintes sur α et β
α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]
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Conclusion
221515
Contraintes sur A
yA isin [0 y0]
Contraintes sur B
yB le y0
Contraintes sur α et β
α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]
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Conclusion
221515
Contraintes sur A
yA isin [0 y0]
Contraintes sur B
yB le y0
Contraintes sur α et β
α isin [minusπ π] β isin [minusπ π]
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Conclusion
221515
Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)
Coordonnees de B
xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)
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Calcul parintervalles
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Calcul par intervalles
Analyse de latopologie drsquounensemble
Motivation
Rappels topologiques
Prouver qursquounensemble est etoile
Discretisation
Bassin drsquoattraction
Systemes dynamiques
Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
221515
Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)
Coordonnees de B
xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)
Algorithmesnumeriques pour
lrsquoanalysetopologique
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Discretisation
Conclusion
221515
Coordonnees de AxA = 2 cos(α)yA = 2 sin(α)
Coordonnees de B
xB = 2 cos(α) + 15 cos(α + β)yB = 2 sin(α) + 15 sin(α + β)
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Discretisation
Conclusion
221515
Espace des configurations admissibles
S =
(α β) isin [minusπ π]2
minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0
2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0
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lrsquoanalysetopologique
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Espace des configurations admissibles
S =
(α β) isin [minusπ π]2
minus2 sin(α) le 02 sin(α) le y0
2 sin(α) + 32 sin(α + β) le y0
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Objectif
Compter le nombre de composantes connexes de
S =s⋃
i=1
ri⋂j=1
x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)
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Rappels topologiques
Definition Espace connexe par arcs
Un espace topologique S est connexe (par arcs) si forallx y isin S existf continuef [0 1] rarr S verifiant f (0) = x et f (1) = y
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Conclusion
Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X
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Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X
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Definition EtoileLe point vlowast est une etoile pour le sous-espace X de Rn siforallx isin X le segment [x vlowast] est inclus dans X
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Conclusion
Proposition 1
Un ensemble etoile est connexe par arcs
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Proposition 1
Un ensemble etoile est connexe par arcs
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Conclusion
Proposition 1
Un ensemble etoile est connexe par arcs
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Conclusion
Proposition 1
Un ensemble etoile est connexe par arcs
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Conclusion
Proposition 2
Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles
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Proposition 2
Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles
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Proposition 2
Si X et Y sont deux ensembles vlowast-etoiles alors X cap Y etX cup Y sont aussi vlowast-etoiles
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Conclusion
TheoremeS = x isin E sub Rn | f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 de Evers R E un convexe vlowast un point de S si
f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E
nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S
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Conclusion
TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si
f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E
nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S
(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0
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Conclusion
TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si
f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E
nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S
(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0
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Conclusion
TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si
f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E
nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S
(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0
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TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si
f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E
nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S
(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0
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TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si
f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E
nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S
(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0
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TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si
f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E
nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S
(1) est inconsistant hArr forallx isin E f (x) = 0 rArrnablaf (x)(x minus vlowast) gt 0
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Conclusion
TheoremeS = x isin E sub Rn f (x) le 0 ou f est une fonction C 1 deE vers R E un convexe vlowast un point de S si
f (x) = 0 nablaf (x)(x minus vlowast) le 0 x isin E
nrsquoadmet aucune solution alors vlowast est une etoile pour S
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Discretisation
Conclusion
Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par
S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0
lArr
f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0
nrsquoadmet aucune solution
hArr
x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0
nrsquoadmet aucune solution
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Discretisation
Conclusion
Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par
S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0
lArr
f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0
nrsquoadmet aucune solution
hArr
x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0
nrsquoadmet aucune solution
Algorithmesnumeriques pour
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Discretisation
Conclusion
Prouvons que vlowast = (06minus05) est une etoile pourlrsquoensemble defini par
S = (x y) isin R2 tel que f (x y) = x2 + y2 + xy minus 2 le 0
lArr
f (x) = 0partf (x)(xminus vlowast) le 0
nrsquoadmet aucune solution
hArr
x2 + y2 + xy minus 2 = 0(2x + y)(x minus 06) + (2y + x)(y + 05) le 0
nrsquoadmet aucune solution
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Lrsquoidee
Diviser S avec un pavage P tel que sur chaque partie pS cap p est etoile
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Conclusion
Lrsquoidee
Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty
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Conclusion
Lrsquoidee
Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty
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Conclusion
Lrsquoidee
Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty
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Lrsquoidee
Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty
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Lrsquoidee
Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty
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Lrsquoidee
Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty
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Conclusion
Lrsquoidee
Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty
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Lrsquoidee
Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty
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Conclusion
Lrsquoidee
Definissons la notion de graphe parseme drsquoetoiles avec larelation S cap [p] cap [q] 6= empty
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Conclusion
TheoremeSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SS est connexe par arcs hArr GS est connexe
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Conclusion
CorollaireSoit GS un graphe parseme drsquoetoiles drsquoun ensemble SGS a le meme nombre de composantes connexes que S ieπ0(S) = π0(GS)
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Motivation
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Discretisation
Conclusion
Espace des configurations admissibles y0 = 23
221515
S =
(α β) isin [minusπ π]2
2 sin(α) le y0
minus2 sin(α) le 02 sin(α) + 3
2 sin(α + β) le y0
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Motivation
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Discretisation
Conclusion
CIA Connected components via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue
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Recapitulatif
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Conclusion
Invariants topologiques
Nombre de composantes connexes par arc
Soit π0 la fonction suivante
π0 Espaces rdquogentilsrdquo rarr NX 7rarr Nombre de composantes
connexes par arcs de X
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Discretisation
Conclusion
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Motivation
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Discretisation
Conclusion
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Motivation
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Systemes dynamiques
Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
Fig π0() est un invariant topologique
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Calcul parintervalles
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Calcul par intervalles
Analyse de latopologie drsquounensemble
Motivation
Rappels topologiques
Prouver qursquounensemble est etoile
Discretisation
Bassin drsquoattraction
Systemes dynamiques
Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
Fig π0() est un invariant topologique
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Conclusion
Fig π0() est un invariant topologique
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Fig π0() est un invariant topologique
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Conclusion
π0() est un invariant topologique car
Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )
Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y
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π0() est un invariant topologique car
Si Xsim=Y alors π0(X )=π0(Y )
Si X et Y deux espaces topologiques tels que π0(X )6=π0(Y )alors X 6sim=Y
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Conclusion
Il existe des ensembles topologiques tels que
X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )
Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort
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Il existe des ensembles topologiques tels que
X 6sim= Y et π0(X ) = π0(Y )
Fig π0() nrsquoest pas un invariant assez fort
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Conclusion
Definition - Homeomorphisme
Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si
1 f est continue
2 f est bijective
3 f minus1 est continue
Definition - Espaces homeomorphes
Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y
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Conclusion
Definition - Homeomorphisme
Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si
1 f est continue
2 f est bijective
3 f minus1 est continue
Definition - Espaces homeomorphes
Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y
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Definition - Homeomorphisme
Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si
1 f est continue
2 f est bijective
3 f minus1 est continue
Definition - Espaces homeomorphes
Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y
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Conclusion
Definition - Homeomorphisme
Soient X et Y des espaces topologiques On dit quef X rarr Y est un homeomorphisme si
1 f est continue
2 f est bijective
3 f minus1 est continue
Definition - Espaces homeomorphes
Deux espaces topologiques X et Y sont dits homeomorphessrsquoil existe un homeomorphisme f X rarr Y
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Conclusion
Exemples drsquohomeomorphismes
Exemple drsquoensembles homeomorphes
On notera X sim= Y sim= Z
homoemorphismeswf
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Conclusion
I Construire une triangulation pour obtenir plus deproprietes topologiques
I type drsquohomotopie groupe fondamental (π1(S))I groupes drsquohomologie (H1(S)H2(S) )I nombres de Betti
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Conclusion
Definition - Fonctions homotopes
Deux fonctions continues f g X rarr Y sont homotopesf sim gsrsquoil existe une fonction continue F X times [0 1] rarr Y telleque
F (x 0) = f (x) et F (x 1) = g(x) forallx isin X
homotopy_de_segmentswf
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Conclusion
Definition du π1 drsquoun ensemble
Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y
π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim
Fig f 1 et f 0
Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)
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Conclusion
Definition du π1 drsquoun ensemble
Soit Y un espace topologique connexe par arcs et y0 isin Y
π1(Y y0) = f S1 rarr Y f continue f (x0) = y0 sim
Fig f 2
Poincare H rsquoAnalysis situsrsquo J Ecole polytech (2)1 1-121(1895)
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Conclusion
Proprietes
π1(Y y0) est un groupe
f 1 times f minus1 sim f 0
homotopy_opposeswf
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Fig π1() est un invariant topologique
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Conclusion
Fig π1() est un invariant topologique
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Fig π1() est un invariant topologique
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Conclusion
Fig π1() est un invariant topologique
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Discretisation
Conclusion
DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y
Fig X Y
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Conclusion
DefinitionDeux espaces X et Y ont le meme type drsquohomotopie srsquoilexiste des applications continues f X rarr Y et g Y rarr Xtelles que g f sim 1X et f g sim 1Y On notera X Y
Fig X Y
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Conclusion
Deux ensembles du meme type drsquohomotopie
ensemble_homotopicswf
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Conclusion
DefinitionUn espace X est contractile srsquoil a le meme type drsquohomotopieqursquoun point
X Y
contractileswf
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Conclusion
Proposition
Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie
X sim= Y rArr X Y
Remarque
La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie
Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )
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Discretisation
Conclusion
Proposition
Deux ensembles homeomorphes sont du meme typedrsquohomotopie
X sim= Y rArr X Y
Remarque
La plupart des invariants topologiques ne permettent pas dedifferencier deux ensembles du meme type drsquohomotopie
Fig X Y rArr π1(X ) = π1(Y )
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Conclusion
Une triangulation
triangulationswf
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Conclusion
Definition drsquoune triangulation abstraite
Soit N un ensemble fini de symboles (a0) (a1) (an)Une triangulation abstraite K est une famille des parties deN qui verifie σ isin K rArr forallσ0 sub σ σ0 isin K
triangulationswf
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Conclusion
K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)
(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)
(a0 a1 a2)
Fig Une realisation de K
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Discretisation
Conclusion
K =empty (a0) (a1) (a2) (a3) (a4)
(a0 a1) (a1 a2) (a0 a2) (a3 a4)
(a0 a1 a2)
On le notera par a0a1a2 + a3a4
Fig Une realisation de K
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Conclusion
TheoremeSi |K1| et |K2| deux realisations drsquoune triangulation abstraiteK alors |K1| et |K2| sont homeomorphes
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Conclusion
DefinitionSoit K une triangulation abstraite et (x) un symbole Onnote C(x K) lrsquoensemble
C(x K) = K cup⋃σisinK
(x σ)
ou (x σ) = (x a1 an) avec σ = (a1 an) isin KC(x K) est le cone de sommet x et de base K
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Discretisation
Conclusion
C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)
(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)
(x a0 a1 a2)
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Discretisation
Conclusion
C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)
(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)
(x a0 a1 a2)
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Discretisation
Conclusion
C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)
(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)
(x a0 a1 a2)
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Conclusion
C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)
(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)
(x a0 a1 a2)
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Conclusion
C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)
(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)
(x a0 a1 a2)
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Motivation
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Discretisation
Conclusion
C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)
(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)
(x a0 a1 a2)
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Conclusion
C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)
(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)
(x a0 a1 a2)
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Conclusion
C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)
(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)
(x a0 a1 a2)
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Conclusion
C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)
(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)
(x a0 a1 a2)
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Conclusion
C(x K) = K cup(x) (x a0) (x a1) (x a2) (x a3) (x a4)
(x a0 a1) (x a1 a2) (x a0 a2) (x a3 a4)
(x a0 a1 a2)
C(x K) = x(a0a1a2 + a3a4)
= xa0a1a2 + xa3a4
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Propriete drsquoun cone
Un cone est contractile
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Objectif
Construire une triangulation du meme type drsquohomotopieque
S =s⋃
i=1
ri⋂j=1
x isin Rn fi j(x) le 0 ou fi j isin C1(Rn R)
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Analyse de latopologie drsquounensemble
Motivation
Rappels topologiques
Prouver qursquounensemble est etoile
Discretisation
Bassin drsquoattraction
Systemes dynamiques
Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que
forallJ sub I ⋂jisinJ
Sj est contractile ou vide
2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS
Algorithmesnumeriques pour
lrsquoanalysetopologique
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Conclusion
1 Creer un recouvrement SiiisinI de S tel que
forallJ sub I ⋂jisinJ
Sj est contractile ou vide
2 Creer un triangulation du meme type drsquohomotopie queS
Algorithmesnumeriques pour
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Conclusion
Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I
⋂jisinJ
Sj est contractile ou vide
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lrsquoanalysetopologique
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Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I
⋂jisinJ
Sj est contractile ou vide
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lrsquoanalysetopologique
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Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I
⋂jisinJ
Sj est contractile ou vide
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Decouper S avec un pavage piiisinI (Si = S cap pi ) tel queforallJ sub I
⋂jisinJ
Sj est contractile ou vide
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Soit F = SJ J sub I tel que SJ est contractile
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Ordonner F avec lrsquoinclusion
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Ordonner F avec lrsquoinclusion
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Ordonner F avec lrsquoinclusion
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Ordonner F avec lrsquoinclusion
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HIA Homotopy type via Interval AnalysisSolveur developpe en c++ disponible viahttpwwwistiauniv-angersfrsimdelanoue
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Conclusion
Calculer le bassin drsquoattraction drsquoun pointasymptotiquement stable
x = f (x)x isin Rn f isin Cinfin(Rn Rn)
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Conclusion
On note par ϕt Rn rarr RntisinR le flot ie
d
dtϕtx
∣∣∣∣t=0
= f (x) et ϕ0 = Id (1)
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Conclusion
DefinitionSoit x isin Rn x est un point drsquoequilibre si f (x) = 0ie ϕt(x) = x forallt isin R
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Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
DefinitionUn ensemble E est stable si
φR+(E ) sub E
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Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi
I φR+(E ) sub E0
I φinfin(E ) = xinfin
Algorithmesnumeriques pour
lrsquoanalysetopologique
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Conclusion
DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi
I φR+(E ) sub E0
I φinfin(E ) = xinfin
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Conclusion
DefinitionUn point drsquoequilibre xinfin est asymptotiquement (E E0)-stablesi
I φR+(E ) sub E0
I φinfin(E ) = xinfin
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Conclusion
DefinitionLe bassin drsquoattraction de xinfin est lrsquoensemble
Axinfin = x isin E | φinfin(x) = xinfinx1x2 x3 x4 x6x7 x8 x9x5
Ax8 = x6 x7 x8 x9
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Objectif
Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin
1
2
3
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Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
Objectif
Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin
1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin
2
3
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Motivation
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Bassin drsquoattraction
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Discretisation
Conclusion
Objectif
Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin
1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin
2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin
3
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Discretisation
Conclusion
Objectif
Calculer le bassin drsquoattraction Axinfin drsquoun point xinfin
1 Montrer lrsquoasymptotique stabilite drsquoun point xinfin
2 Calculer un voisinage de xinfin inclus dans Axinfin
3 Discretiser la dynamique afin de calculer Axinfin
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Conclusion
DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si
1 L(x) = 0 hArr x = xinfin
2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0
3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin
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Conclusion
DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si
1 L(x) = 0 hArr x = xinfin
2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0
3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin
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Discretisation
Conclusion
DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si
1 L(x) = 0 hArr x = xinfin
2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0
3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin
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Discretisation
Conclusion
DefinitionUne fonction L E sub Rn rarr R est de Lyapunov pour(x = f (x)) si
1 L(x) = 0 hArr x = xinfin
2 x isin E minus xinfin rArr L(x) gt 0
3 〈nablaL(x) f (x)〉 lt 0 forallx isin E minus xinfin
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Conclusion
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Theoreme de Lyapunov
Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable
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Analyse de latopologie drsquounensemble
Motivation
Rappels topologiques
Prouver qursquounensemble est etoile
Discretisation
Bassin drsquoattraction
Systemes dynamiques
Theorie de Lyapunov
Discretisation
Conclusion
Theoreme de Lyapunov
Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable
Algorithmesnumeriques pour
lrsquoanalysetopologique
Nicolas Delanoue167 217
Calcul parintervalles
Lrsquoarithmetique desintervalles
Calcul par intervalles
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Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable
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Soit E0 un compact de Rn et xinfin isin E0Si L E0 rarr R est de Lyapunov pour (x = f (x)) alorsil existe un ensemble E (6= xinfin) sub E0 tel que le pointdrsquoequilibre xinfin soit asymptotiquement E E0-stable
Algorithmesnumeriques pour
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Discretisation
Conclusion
Dans le cas lineaire x = Ax (2)
Avec L = xTWx W isin Sn
on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x
Conditions de Lyapunov
1 W isin Sn+
2 minus(ATW + WA) isin Sn+
Algorithmesnumeriques pour
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Conclusion
Dans le cas lineaire x = Ax (2)
Avec L = xTWx W isin Sn
on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x
Conditions de Lyapunov
1 W isin Sn+
2 minus(ATW + WA) isin Sn+
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Conclusion
Dans le cas lineaire x = Ax (2)
Avec L = xTWx W isin Sn
on a 〈nablaL(x) f (x)〉 = xT (ATW + WA)x
Conditions de Lyapunov
1 W isin Sn+
2 minus(ATW + WA) isin Sn+
Algorithmesnumeriques pour
lrsquoanalysetopologique
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Conclusion
TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de
ATW + WA = minusQ
est definie positive
En pratique
1 ATW + WA = minusI
2 Verifier que W isin Sn+
Algorithmesnumeriques pour
lrsquoanalysetopologique
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TheoremeSoit x = Ax lrsquoorigine est asymptotique stable si etseulement si forallQ isin Sn+ la matrice W solution de
ATW + WA = minusQ
est definie positive
En pratique
1 ATW + WA = minusI
2 Verifier que W isin Sn+
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Conclusion
Algorithme
1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]
Algorithmesnumeriques pour
lrsquoanalysetopologique
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Algorithme
1 Montrer que E0 contient un unique point drsquoequilibre2 Trouver [xinfin] sub [x0] tel que xinfin isin [xinfin]
Algorithmesnumeriques pour
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Conclusion
Algorithme
3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙
(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)
Algorithmesnumeriques pour
lrsquoanalysetopologique
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Algorithme
3 Lineariser autour drsquoune approximation xinfin de xinfin ˙
(x minus xinfin) = Df (xinfin)(x minus xinfin)
Algorithmesnumeriques pour
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Algorithme
4 Trouver une fonction de Lyapunov Lxinfin pour Df (xinfin)
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Algorithme
5 Verifier que Lxinfin est aussi de Lyapunov pour le nonlineaire x = f (x)
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Conclusion
On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que
gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0
I gxinfin(xinfin) = 0
I nablagxinfin(xinfin) = 0
nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0
a11 axis
a22 axis
a12 axis
[A]
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On a Lxinfin(x) = (x minus xinfin)TWxinfin(x minus xinfin)Etape 5 Verifier que
gxinfin(x) = minus〈nablaLxinfin(x) f (x)〉 ge 0
I gxinfin(xinfin) = 0
I nablagxinfin(xinfin) = 0
nabla2gxinfin([x0]) sub Sn+ rArr forallx isin [x ] gxinfin(x) ge 0
a11 axis
a22 axis
a12 axis
[A]
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Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn
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Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn
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Methode de PicardSoit x = f (x) cette methode numerique garantie construitune fonction drsquoinclusion pour ϕt Rn rarr Rn
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DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par
iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty
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DefinitionSoit t isin R et SiiisinI un recouvrement de S on note par Rla relation definie sur I par
iRj hArr ϕt(Si ) cap Sj 6= empty