algoritmo twisting continuo aplicado en sistema de orden ...se utilizar an dos algoritmos de...

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Algoritmo Twisting Continuo aplicado en sistema de orden superior con ciertas perturbaciones Lipschitz Ricardo A. Solis. G. * Adolfo Soto Cota ** * Instituto Tecnol´ogico de Sonora, Cd. Obreg´on, Sonora, M´ exico (e-mail: ricardo 56 [email protected]). ** Instituto Tecnol´ogico de Sonora, Cd. Obreg´on, Sonora, M´ exico (e-mail: [email protected]). Resumen: El objetivo del control a dise˜ nar es estabilizar al origen el sistema masa resorte amortiguador torsional en tiempo finito, con una acci´ on de control continua, en presencia de perturbaciones Lipschitz. Una nueva clase de controladores de modos deslizantes que garantiza la convergencia en tiempo finito de una superficie deslizante, a pesar de incertidumbres param´ etricas y perturbaciones acopladas es el control Algoritmo de Twisting Continuo (ATC), donde las propiedades de estabilidad y robustez se verifican con una funci´ on de Lyapunov. Con la implementaci´ on, se logr´ o estabilizar los estados al origen, demostrando la eficacia del ATC de segundo orden para compensar variaciones param´ etricas desconocidas. Keywords: Modos deslizantes, control robusto, funci´ on de Lyapunov, homogeneidad. 1. INTRODUCCI ´ ON Los controladores en los sistemas mec´ anicos deber´ ıan de poder atenuar los efectos de funciones no modeladas discontinuas en el sistema, y para optimizarlos algunos enfoques que se han manejado han sido los controladores de modos deslizantes. Modos deslizantes es una t´ ecnica de control de gran in- ter´ es en el an´ alisis y control de sistemas din´ amicos. En los ´ ultimos a˜ nos se ha desarrollado en (Torres-Gonz´ alez et al.), (Torres-Gonz´ alez et al., 2015), (Torres-Gonz´ alez et al., 2017), una nueva clase de controladores de modos deslizantes homog´ eneos denominado Algoritmo de Twist- ing Continuo (ATC), basado en una generalizaci´ on del Super Twisting (ST). El algoritmo ST presenta una se˜ nal continua para sistemas de grado relativo uno. En el algo- rtimo ATC es homog´ eneo y para sistemas perturbados de segundo orden el algoritmo tiene grado de homogeneidad de menos uno, donde el peso homog´ eneo es 1, 2, 3 para aceleraci´ on, velocidad y posici´ on respectivamente. La planta empleada es un sistema de masa-resorte- amortiguador que se utiliza para investigaci´ on de sistemas de control y se transforma f´ acilmente en plantas de se- gundo, cuarto y sexto orden. En sus diversas configura- ciones, en este sistema se pueden configurar una amplia cantidad de plantas pr´ acticas incluyendo cuerpos r´ ıgidos y sistemas vibrantes discretos acoplados, por lo tanto es una excelente alternativa para validar las caracter´ ısticas de ST y ATC. En la figura 1 se observa que la planta es de un eje vertical con dos discos unidos por un resorte torsional, cada disco con su propio encoder que miden el desplazamiento angular, donde un actuador en el disco 1 proporciona un par de torsi´ on u en la inercia J 1 . El actuador presenta no linealidades variantes en el tiempo (fricci´ on est´ atica, banda muerta), que son dif´ ıciles de mod- elar. El objetivo del control a dise˜ nar es estabilizar al origen el sistema torsional en tiempo finito, con una acci´ on de control continua, en presencia de perturbaciones Lipschitz. Para esto se utilizan los algoritmos de modos deslizantes de Super Twisting y Twisting Continuo, debido a que se desea probar su funcionamiento y comparar sus ventajas y desventajas al implementarlos en el sistema torsional. El documento est´ a estructurado de la siguiente manera: El modelo matem´ atico de la planta es presentado en la secci´ on 2. La metodolog´ ıa empleada para el dise˜ no de los controladores se describe en la secci´ on 3. Los resultados del laboratorio se presentan en la secci´ on 4. Por ´ ultimo, en secci´ on 5 se presentan las conclusiones. 2. MODELO DEL SISTEMA MEC ´ ANICO La din´ amica del sistema torsional (Perks, 2005) es de dos grados de libertad, con una ecuaci´ on diferencial no lineal de cuarto orden, del cual quedan dos ecuaciones de movimiento, tal que cada una de ellas esta relacionada con su disco correspondiente. La figura 1 muestra el diagrama de cuerpo libre del sistema torsional. Se tiene que la din´ amica de la planta es: ¨ θ 1 + c 1 J 1 ˙ θ 1 + l J 1 θ 1 - l J 1 θ 2 = u - l J 2 θ 1 + ¨ θ 2 + l J 2 ˙ θ 2 + c 2 J 2 θ 2 =0 (1) donde ¨ θ i , ˙ θ i i R es la aceleraci´ on, velocidad y posici´ on angular del i-´ esimo disco para i =1, 2, u R es la entrada de control del torque que para este sistema est´ a acotada por u 0.7Nm, l es la constante de resorte, J i es la inercia y c i es el coeficiente de amortiguamiento. Memorias del Congreso Nacional de Control Automático San Luis Potosí, San Luis Potosí, México, 10-12 de Octubre de 2018 136 Copyright©AMCA. Todos los Derechos Reservados www.amca.mx

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Page 1: Algoritmo Twisting Continuo Aplicado En Sistema De Orden ...Se utilizar an dos algoritmos de control, que es el Super Twisting y el Algoritmo de Twisting Continuo, donde se analizar

Algoritmo Twisting Continuo aplicado ensistema de orden superior con ciertas

perturbaciones Lipschitz

Ricardo A. Solis. G. ∗ Adolfo Soto Cota ∗∗

∗ Instituto Tecnologico de Sonora, Cd. Obregon, Sonora, Mexico(e-mail: ricardo 56 [email protected]).

∗∗ Instituto Tecnologico de Sonora, Cd. Obregon, Sonora, Mexico(e-mail: [email protected]).

Resumen: El objetivo del control a disenar es estabilizar al origen el sistema masa resorteamortiguador torsional en tiempo finito, con una accion de control continua, en presenciade perturbaciones Lipschitz. Una nueva clase de controladores de modos deslizantes quegarantiza la convergencia en tiempo finito de una superficie deslizante, a pesar de incertidumbresparametricas y perturbaciones acopladas es el control Algoritmo de Twisting Continuo (ATC),donde las propiedades de estabilidad y robustez se verifican con una funcion de Lyapunov. Conla implementacion, se logro estabilizar los estados al origen, demostrando la eficacia del ATCde segundo orden para compensar variaciones parametricas desconocidas.

Keywords: Modos deslizantes, control robusto, funcion de Lyapunov, homogeneidad.

1. INTRODUCCION

Los controladores en los sistemas mecanicos deberıande poder atenuar los efectos de funciones no modeladasdiscontinuas en el sistema, y para optimizarlos algunosenfoques que se han manejado han sido los controladoresde modos deslizantes.

Modos deslizantes es una tecnica de control de gran in-teres en el analisis y control de sistemas dinamicos. Enlos ultimos anos se ha desarrollado en (Torres-Gonzalezet al.), (Torres-Gonzalez et al., 2015), (Torres-Gonzalezet al., 2017), una nueva clase de controladores de modosdeslizantes homogeneos denominado Algoritmo de Twist-ing Continuo (ATC), basado en una generalizacion delSuper Twisting (ST). El algoritmo ST presenta una senalcontinua para sistemas de grado relativo uno. En el algo-rtimo ATC es homogeneo y para sistemas perturbados desegundo orden el algoritmo tiene grado de homogeneidadde menos uno, donde el peso homogeneo es 1, 2, 3 paraaceleracion, velocidad y posicion respectivamente.

La planta empleada es un sistema de masa-resorte-amortiguador que se utiliza para investigacion de sistemasde control y se transforma facilmente en plantas de se-gundo, cuarto y sexto orden. En sus diversas configura-ciones, en este sistema se pueden configurar una ampliacantidad de plantas practicas incluyendo cuerpos rıgidosy sistemas vibrantes discretos acoplados, por lo tanto esuna excelente alternativa para validar las caracterısticasde ST y ATC. En la figura 1 se observa que la planta esde un eje vertical con dos discos unidos por un resortetorsional, cada disco con su propio encoder que miden eldesplazamiento angular, donde un actuador en el disco1 proporciona un par de torsion u en la inercia J1. Elactuador presenta no linealidades variantes en el tiempo

(friccion estatica, banda muerta), que son difıciles de mod-elar.

El objetivo del control a disenar es estabilizar al origenel sistema torsional en tiempo finito, con una accion decontrol continua, en presencia de perturbaciones Lipschitz.Para esto se utilizan los algoritmos de modos deslizantesde Super Twisting y Twisting Continuo, debido a que sedesea probar su funcionamiento y comparar sus ventajasy desventajas al implementarlos en el sistema torsional.

El documento esta estructurado de la siguiente manera:El modelo matematico de la planta es presentado en laseccion 2. La metodologıa empleada para el diseno de loscontroladores se describe en la seccion 3. Los resultadosdel laboratorio se presentan en la seccion 4. Por ultimo, enseccion 5 se presentan las conclusiones.

2. MODELO DEL SISTEMA MECANICO

La dinamica del sistema torsional (Perks, 2005) es dedos grados de libertad, con una ecuacion diferencial nolineal de cuarto orden, del cual quedan dos ecuaciones demovimiento, tal que cada una de ellas esta relacionada consu disco correspondiente. La figura 1 muestra el diagramade cuerpo libre del sistema torsional. Se tiene que ladinamica de la planta es:

θ1 +c1J1θ1 +

l

J1θ1 −

l

J1θ2 = u

− l

J2θ1 + θ2 +

l

J2θ2 +

c2J2θ2 = 0

(1)

donde θi, θi, θi ∈ R es la aceleracion, velocidad y posicionangular del i-esimo disco para i = 1, 2, u ∈ R es la entradade control del torque que para este sistema esta acotadapor u ≤ 0.7Nm, l es la constante de resorte, Ji es la inerciay ci es el coeficiente de amortiguamiento.

Memorias del Congreso Nacional de Control Automático

San Luis Potosí, San Luis Potosí, México, 10-12 de Octubre de 2018 136 Copyright©AMCA. Todos los Derechos Reservados www.amca.mx

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ISSN: 2594-2492
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Los parametros de la planta utilizados en el modelado delsistema de torsion se consiguieron empleando el algoritmode identificacion parametrica (Davila et al., 2006), loscuales son:

l = 2.327586 Nm

J1 = 0.29462 kgm2

J2 = 0.292045 kgm2

c1 = 0.012195c2 = 0.00272

Figura 1. El sistema torsional

Para facilitar el analisis, el sistema (2) se expresa en ecua-ciones de estados con x = [x1 x2 x3 x4] =

[θ1 θ1 θ2 θ2

].

x1x2x3x4

︸ ︷︷ ︸x

=

0 1 0 0−270 −1.45 270 0

0 0 0 1385 0 −385 −0.45

︸ ︷︷ ︸

A

x1x2x3x4

︸ ︷︷ ︸x

+

011600

︸ ︷︷ ︸

B

u

(2)

3. CONTROLADORES

Se utilizaran dos algoritmos de control, que es el SuperTwisting y el Algoritmo de Twisting Continuo, donde seanalizaran los resultados. A ambos algoritmos les antecedeun procedimiento de diseno que se muestra a continuacion.

3.1 Diseno de controladores continuos por modos deslizantes

Primero es necesario que (2) sea representado en unacadena de integradores. Despues se utiliza uno de loscontroles propuestos.

Para transformar (2) a una cadena de integradores, se usala siguiente matriz de transformacion.

T =

44660 52.2 116 6.741e−15

−1.455e−11 44660 52.2 11644660 0 0 −9.684e−15

−2.910e−11 44660 −3.873e−14 1.805e−14

(3)

A continuacion se aplica la transformacion Ac = T−1ATy Bc = T−1B. El sistema ahora se presenta en terminosde la nueva variable de estado de la siguiente manera:

z1z2z3z4

︸ ︷︷ ︸z

=

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1a1 a2 a3 a4

︸ ︷︷ ︸

Ac

z1z2z3z4

︸ ︷︷ ︸z

+

0001

︸︷︷︸Bc

u(4)

donde a1 = 0, a2 = −666.13, a3 = −655.63, a4 = −1.86.

A continuacion se desarrolla el nuevo sistema con lassiguientes estrategias de control.

3.2 Implementacion con Super-Twisting

A partir de (4) se disena la siguiente superficie deslizantede grado relativo uno.

s = λ1z1 + λ2z2 + λ3z3 + z4

s = λ1z2 + λ2z3 + λ3z4 + [a1 · · · a4] z︸ ︷︷ ︸f(z)

+u (5)

Considerando a la variable z4 como control virtual uv.

uv = −λ1z1 − λ2z2 − λ3z3 (6)

Se puede disenar un controlador lineal de tal manera queel origen del sistema de orden reducido sea un punto deequilibrio asintoticamente estable.

[z1z2z3

]=

[0 1 00 0 10 0 0

]︸ ︷︷ ︸

A13

[z1z2z3

]+

[001

]︸︷︷︸B13

uv (7)

Las parametros λ de (6) se disenaron con la formula deAckerman (8) para la colocacion de polos.

λT13 = [0 0 1] C(A13, B13)−1∆(A13) (8)

donde C es la matriz de Controlabilidad, P (A13) es el poli-nomio caracterıstico deseado. Algunos parametros validosson λ1 = 26, λ2 = 36, λ3 = 11.

Se emplea el algoritmo de Super-Twisting, para observarsu eficacia para convergencia de s al origen. Este enfoque,se denota por:

x1 = s (9)

El sistema se convierte

x1 =−k1dsc1/2 + w (10)

w=−k2dsc0 (11)

Los parametros del control son k1 = 1.5, k2 = 1.1, de(Levant, 1993).

3.3 Implementacion con Algoritmo de Twisting Continuo

A partir de (4) se disena la siguiente superficie deslizantede grado relativo dos.

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s = λ1z1 + λ2z2 + z3s = λ1z2 + λ2z3 + z4

s = λ1z3 + λ2z4 + [a1 · · · a4] z︸ ︷︷ ︸f(z)

+u(12)

Considerando a z3 como controlador virtual uv.

uv = −λ2z1 − λ3z2 (13)

Se puede disenar un controlador lineal de tal manera queel origen del sistema de orden reducido sea un punto deequilibrio asintoticamente estable.[

z1z2

]=

[0 10 0

]︸ ︷︷ ︸A12

[z1z2

]+

[01

]︸︷︷︸B12

uv (14)

Las parametros de ganancia λ de (13) se disenaron con laformula de Ackerman (15) para la colocacion de polos.

λT12 = [0 1] C(A12, B12)−1P (A12) (15)

Algunos parametros validos son λ1 = 1.5, λ2 = 2.5.

Se emplea el algoritmo de ATC, para observar su eficaciapara convergencia de s al origen. Este enfoque, se denotapor:

x1 = s

x2 = s(16)

El sistema se convierte

x1 = x2

x2 = −k1dsc1/3 − k2dsc1/2 + x3

x3 = −k3dsc0 − k4dsc0(17)

El conjunto de ganancias k es seleccionada tal quegarantiza la estabilidad del origen del sistema (2), de-mostrandose con la funcion de Lyapunov de (Torres-Gonzalez et al., 2017) (ver apendice A). Un ejemplo delas ganancias k que satisfacen V y su derivada, son:k1 = 0.7, k2 = 1.1, k3 = 0.2, k4 = 0.1.

4. RESULTADOS EXPERIMENTALES

La posicion de cada inercia se detecta con un encoder de ejeque tiene una resolucion de 4000 impulsos por revolucion,obteniendo la posicion angular θ1 y θ2.

Las figuras 2 y 3 muestran los resultados del controladorSuper-Twisting y el Algoritmo Twisting Continuo con elmetodo de integracion de Euler, con tiempo de muestrode 1ms del sistema (1), con la condicion inicial de x0 =

[4 0 0]>

y donde la perturbacion se presenta en t = 15s enel disco donde esta acoplado el canal de control y t = 30sen el disco 2. En las figuras se observa que se obtuvieronlos resultados esperados, ya que los estados del sistema(1) tienden al origen y compensan las perturbacionesLipschitz. Se comprueba en las figuras 2 y 3 que elalgoritmo ATC tiene mejor comportamiento en el origende la superficie de deslizamiento.

0 5 10 15 20 25 30 35 40-10

0

10

x 1

0 5 10 15 20 25 30 35 40-50

0

50

x 2

0 5 10 15 20 25 30 35 40-10

0

10

x 3

0 5 10 15 20 25 30 35 40-50

0

50

x 4

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.5

0

0.5

Con

trol

u

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo [seg]

-0.04

-0.02

0

0.02

Sup

erfic

ie d

esliz

ante

u

Figura 2. Estados, control y superficie deslizantes en ST

0 5 10 15 20 25 30 35 40-5

0

5

x 1

0 5 10 15 20 25 30 35 40-50

0

50

x 2

0 5 10 15 20 25 30 35 40-5

0

5

x 3

0 5 10 15 20 25 30 35 40-50

0

50

x 4

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Con

trol

u

0 5 10 15 20 25 30 35 40

Tiempo [seg]

-2

0

2

4

Sup

erfic

ie d

esliz

ante

10-3

s

Figura 3. Estados, control y superficie deslizantes en ATCSan Luis Potosí, San Luis Potosí, México, 10-12 de Octubre de 2018 138 Copyright©AMCA. Todos los Derechos Reservados www.amca.mx

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5. CONCLUSION

Los experimentos con el controlador se llevaron a caboutilizando un sistema en tiempo real. Los resultados dela implementacion, muestran que el resultado deseado seobtiene en ambos controles, ya que se logro estabilizar losestados al origen. Los resultados demuestran la eficaciade ATC de segundo orden para compensar variacionesparametricas desconocidas y se observa que es mejor queel ST ya que tiene mejor comportamiento en el origen dela superficie de deslizamiento.

AGRADECIMIENTOS

Los autores agradecen al Instituto Tecnologico de Sonora(ITSON) y la Universidad Nacional Autonoma de Mexico(UNAM), por las facilidades prestadas para el levan-tamiento de datos para la realizacion de este trabajo.

REFERENCIAS

Davila, J., Fridman, L., and Poznyak, A. (2006). Observa-tion and identification of mechanical systems via secondorder sliding modes. International Journal of Control,79(10), 1251–1262.

Levant, A. (1993). Sliding order and sliding accuracy insliding mode control. International journal of control,58(6), 1247–1263.

Perks, T.R. (2005). Manual for model 205/205a torsionalcontrol system. Educational Control Products, Instruc-tor’s Edition.

Torres-Gonzalez, V., Fridman, L.M., and Moreno, J.(????). Algoritmo twisting continuo mediante retroal-imentacion de salida.

Torres-Gonzalez, V., Fridman, L.M., and Moreno, J.A.(2015). Continuous twisting algorithm. In Decision andControl (CDC), 2015 IEEE 54th Annual Conference on,5397–5401. IEEE.

Torres-Gonzalez, V., Sanchez, T., Fridman, L.M., andMoreno, J.A. (2017). Design of continuous twistingalgorithm. Automatica, 80, 119–126.

Apendice A. ANALISIS DE ESTABILIDAD

V (x) y W (x) = −V (x) son funciones homogeneas. Siestos son positivos en alguna esfera que contiene el origen,entonces son positivos para todo x = 0. Una forma visualde verificar la positividad de V (x) y W (x) es graficar lasfunciones sobre una unidad de esfera.

Funcion candidata de Lyapunov:

V (x) =α1|x1|53 + α2x1x2 + α3|x2|

52

+ α4x1dx3c2 − α5x2x33 + α6|x3|5

W (x) =− V (x)

W (x) =α2k1|x1|4/3 + α2k2dx1cdx2c1/2

− 5/3α1dx1c2/3dx2c+ 5/2α3k1dx1c1/3dx2c3/2

+ 5/2α3k2|x2|2 − α2|x2|2 − α2dx1cdx3c+ 2α4k3|x1||x3|+ 2α4k4dx1cdx2c0|x3|− 5/2α3dx2c3/2dx3c − α4dx2cdx3c2

− 3α5k3dx1c0dx2c|x3|2 − 3α5k4|x2||x3|2

− α5k1dx1c1/3dx3c3 − α5k2dx2c1/2dx3c3

+ α5|x3|4 + 5α6k3dx1c0dx3c4

+ 5α6k4dx2c0dx3c4 + 2a4∆(t)dx1c|x3|− 3a5∆(t)dx2c|x3|2 + 5a6∆(t)dx3c4

(A.1)

donde d·eγ = | · |γ(sign)(·).

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Figura A.1. V (x) en esfera unitaria

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

2

4

6

8

10

12

Figura A.2. W (x) en esfera unitaria

San Luis Potosí, San Luis Potosí, México, 10-12 de Octubre de 2018 139 Copyright©AMCA. Todos los Derechos Reservados www.amca.mx