algorítmos e estrutura de dados iii

Algorítmos e estrutura de dados III

Carlos Oberdan Rolim

Ciência da Computação

Sistemas de Informação

Árvores 2-3

Árvores B (B-Trees)

Árvores B+

Árvores de busca com grau maior que 2

Vimos que árvores de busca quando balanceadas, como as árvores AVL, permitem busca em tempo logarítmico.

No caso das árvores AVL, a busca se dá em tempo log2 (n) no pior caso.

Poderíamos tentar melhorar procurando fazer a busca em tempo logk (n), com k > 2.

Árvores 2-3

Similar às árvores AVL, mas - Cada nó interno tem dois ou três filhos e - Todos os nós externos têm a mesma profundidade.

A

C

F

K M

H L O

G

P

T

R X

Q S V Z

Inserção em árvores 2-3

Como nas árvores AVL, a inserção se dá numa folha. Se há espaço para acrescentar o novo elemento, ele entra aí.

Ex: Inserção do elemento G na árvore abaixo.

E

L P

I

T

V X

U W ZG


Se não há espaço para acrescentar o novo elemento, gera-se dois nós com os dois elementos extremos no nó, e promove-se o elemento central, para ser incluído no nível imediatamente superior.

E

L P

I

T

V X

U W ZGN


I N

T

V X

U W Z

Ex: Inserção do elemento N na árvore abaixo.

Como um nó não pode ter três elementos, são criados dois nós com um elemento cada, e o elemento do meio é promovido.

LE G P


Se não há espaço para acrescentar o nó promovido, procede-se da mesma forma que no overflow anterior, até eventualmente achar espaço suficiente ou chegar até a raiz.

I N

T

V X

U W Z

Ex: Inserção do elemento C na árvore abaixo.

LE G PC


Se não há espaço para acrescentar o nó promovido, procede-se da mesma forma que no overflow anterior, até eventualmente achar espaço suficiente ou chegar até a raiz.

N

T

V X

U W Z

Ex: Inserção do elemento C leva à promoção do elemento E.

LC P

E

G

I


I T

V X

U W Z

Ex: Inserção do elemento C leva à promoção do elemento E que por sua vez leva à promoção do elemento I.

C

E

G

N

L P

Árvores B ou B-Tree

Note que a diferença crucial em termos de tempo de acesso entre a árvores binárias e as árvores 2-3 é que agora o acesso pode ser feito em tempo logarítmico, mas com base 3, o que é mais rápido.

Podemos pensar então numa forma de diminuir mais ainda o tempo de acesso, aumentando o número de elementos em cada nó.

Árvores B

Árvores B são uma extensão da noção de árvores 2-3, onde cada nó que não é a raiz pode ter entre m e 2m chaves.

Esta estrutura normalmente é usada em memória externa.

Deve haver um compromisso entre o maior número de elementos por nó e a capacidade de acesso em disco, além de uma técnica de busca dentro do nó.

Árvores B

É um tipo de árvore muito utilizada em banco de dados e sistema de arquivos.

Para inserir ou remover variáveis de um nó, o nó não poderá ultrapassar sua ordem e nem ser menor que sua ordem dividida por dois.

Árvores B não precisam ser rebalanceadas como são freqüentemente as árvores de busca binária com Árvore AVL.

Árvores B

Árvores B têm vantagens substanciais em relação a outros tipos de implementações quanto ao tempo de acesso e pesquisa aos nós.

O criador das árvores B, Rudolf Bayer, não definiu claramente de onde veio o B das árvores B.

Ao que parece, o B vem de balanceamento onde todos os nós da árvore estão em um mesmo nível.

Também é possível que o B tenha vindo de seu sobrenome Bayer, ou ainda do nome da empresa onde trabalhava Boeing, no Boeing Scientific Research Labs.

Árvores B

Definições

Quando existem 2 ou mais nós, passam a ser chamadas de n-árias

Nesses casos, os nós são mais comumente chamados de páginas

Os registros de uma árvore B também são todos ordenados

Árvores B

Supondo uma árvore B n-ária. Em um árvore B de ordem m temos:

Cada página contém:

Registros: no mínimo m e no máximo 2m registros , exceto a raiz, que pode conter entre 1 e 2m registros;

Descendentes: no mínimo m + 1 descendentes e no máximo 2m +1 descendentes

Todas as páginas folhas aparecem no mesmo nível

Exemplo de uma árvore B

30

3 4 8 9 11 13 17

10 20

25 28

40 50

33 36 43 45 48 52 55

Exemplo de uma árvore B de ordem 2 com 3 níveis

Páginas

Árvores B

Objetivo principal

Minimizar o número de acessos ao disco para recuperar um registro

25

10 20 30 40

2 5 7 8

13 14 15 18

22

24

26

27

28

32

35

38

41 42 45 46

Declaração do TAD Árvores B

Definição da Estrutura

#define ORDEM 2 #define TAMANHO (ORDEM*2)-1

typedef struct Pagina *PonteiroPagina; typedef struct { int chave; PonteiroPagina p; } item;

typedef struct { int m; // numero de itens na pagina PonteiroPagina p0; item e[TAMANHO]; } Pagina;

Declaração do TAD Árvores B

Definição das operações. Algumas das operações que podem ser feitas em árvores B são:

Inicializa

Pesquisa

Insere

Retira

Pesquisa em Árvore B

30

3 4 8 9 11 13 17

10 20

25 28

40 50

33 36 42 45 48 52 55

Procedimento para pesquisa do número 13

Pesquisa em Árvore B

30

3 4 8 9 11 13 17

10 20

25 28

40 50

33 36 42 45 48 52 55

Procedimento para pesquisa do número 55

Inserção

Primeiro, é preciso localizar a página apropriada em que o novo registro deve ser inserido

Duas possibilidades:

Caso 1: o registro encontra seu lugar em uma página com menos de 2m registros. Nesse caso, o processo de inserção fica limitado àquela página

Caso 2:O registro precisa ser inserido em uma página já cheia (com 2m registros). Nesse caso, o processo de inserção pode levar à criação de uma nova página.

Inserção de Registros

40

3 4 8 41 43

Caso 1: o registro encontra seu lugar em uma página com menos de 2m registros

Ordem 2

9

Registro 9

Registro 45

Registro 50

45 50


40

3 4 8 9 41 43 45 50

Caso 2: O registro precisa ser inserido em uma página já cheia (com 2m registros), e a página pai tem menos que 2m registros e 2m+1 páginas

Ordem: 2

Registro 20

20

40

3 4 8 9 20 41 43 45 50

3 4 8 9 20

40

41 43 45 509 20

8 40

3 4 41 43 45 50

Caso 2: O registro precisa ser inserido em uma página já cheia (com 2m registros), e a página pai já tem 2m registros e 2m+1 páginas

Ordem: 2


Registro 22

9 13 15 18

8 20 28 40

1 3 4 7 30 33 35 3721 23 25 26 41 43 45 50

9 13 15 18

8 20 28 40

1 3 4 7 30 33 35 3721 22 23 25 26 41 43 45 50

22

9 13 15 18

8 20 23 28 40

1 3 4 7 30 33 35 3721 22 41 43 45 5025 26

28 40

9 13 15 181 3 4 7 21 22 30 33 35 37 41 43 45 5025 26

8 20

23

Remoção

Primeiro, é preciso localizar a página apropriada do registro a ser excluído

Duas possibilidades:

Caso 1: quando o registro se encontra em uma página folha.

1.1: A folha possui mais que m registros

1.2: A folha possui apenas m registro e o irmão possui m+1 registros

1.3: A folha e seus irmãos possuem apenas m registros

Caso 2: quando o registro não se encontra em uma folha. Nesse caso, o registro a ser retirado deve ser primeiro substituído por um outro para depois ser excluído.

Em ambos os casos deve-se verificar se a retirada não afeta as propriedades básicas de uma árvore B

Remoção de RegistrosCaso 1.1: quando o registro se encontra em uma página folha e a folha possui mais que m registros

Ordem 2 Registros 7, 13, 15, 33, 37, 41 e 43

Retirada simples do elemento da folha

28 40

9 13 15 181 3 4 7 21 22 30 33 35 37 41 43 45 5025 26

8 20

23

Remoção de Registros

Caso 1.2: quando o registro se encontra em uma página folha, a folha possui m registros (mínimo possível) e o irmão possui m+1 registros

Ordem 2

A chave k do pai que separa os irmãos pode ser incluída no nó X e a última ou primeira chave do irmão (última se o irmão for da esquerda e primeira se o irmão for da direita) pode ser inserida no pai no lugar de k.

28 40

9 181 3 4 21 22 30 35 45 5025 26

8 20

23 Registro 9

28 40

8 181 3 21 22 30 35 45 5025 26

4 20

23


Caso 1.2: quando o registro se encontra em uma página folha, a folha possui m registro (mínimo possível) e o irmão possui m+1 registros

Ordem 2

28 40

9 181 3 4 20 21 22 30 35 45 5025 26

8 19

23 Registro 18

28 40

8 191 3 4 21 22 30 35 45 5025 26

8 20

23


Caso 1.3: quando o registro se encontra em uma página folha, a folha e seus irmãos possuem m registros (mínimo possível). Se sub-dividem em dois casos:

• Caso 1.3.1: O pai pode emprestar registros

•Caso 1.3.2: O pai não pode emprestar registros

Remoção de RegistrosCaso 1.3.1: quando o registro se encontra em uma página folha, a folha e seus irmãos possuem m registros (mínimo possível) e o pai pode emprestar

Ordem 2

Registro 6

Se os dois irmãos de X contiverem exatamente m registros (ocupação mínima), nenhum registro poderá ser emprestado. Neste caso, o nó X e um de seus irmãos (à esquerda ou direita) são concatenados em um único nó, que também contém a chave separadora do pai.

23

28 40

6 81 3 21 22 30 35 45 5025 26

4 10 20

13 18

1 3 4 8 45 5025 26

28 40

21 22 30 35

10 20

23

13 18


Ordem 2

Registro 8

23

28 40

6 81 3 21 22 30 35 45 5025 26

4 10 20

13 18

1 3 45 5025 26

28 40

21 22 30 35

4 20

23

6 10 13 18


Ordem 2

Registro 22

23

28 40

6 81 3 21 22 30 35 45 5025 26

4 10 20

13 18

13 18 20 211 3 45 5025 26

28 40

30 35

4 10

23

6 8

Remoção de RegistrosCaso 1.3.2: quando o registro se encontra em uma página folha, a folha e seus irmãos possuem m registros (mínimo possível) e o pai não pode emprestar

Ordem 2

Registro 13

4 8 45 5025 26

28 40

21 22 30 35

10 20

23

13 18

Se os dois irmãos de X e o pai contiverem exatamente m registros (ocupação mínima), também nenhum registro poderá ser emprestado. Neste caso, o nó X e um de seus irmãos são concatenados em um único nó que também contém a chave separadora do pai, e o procedimento é feito recursivamente até que as páginas contenham a quantidade mínima de registros.


4 8 45 5025 26

28 40

21 22 30 35

10 20

23

13 18

45 5025 26

28 40

21 22 30 35

20

23

4 8 10 18

21 22 30 35 45 5025 26

20 23 28 40

4 8 10 18

Remoção de RegistrosOutro exemplo: Árvore B de ordem 1

02

05

10

07

01 03 06 09

15

20

35

13 16 30 40

Registro 3

01 02

05

10

07

06 09

15

20

35

13 16 30 40


01 02

05

10

07

06 09

15

20

35

13 16 30 40

01 02

05 07

10

06 09

15

20

35

13 16 30 40

01 02

05 07

10 20

06 09

15 35

13 16 30 40

Remoção

Caso 2: quando o registro não se encontra em uma folha.

Mesmo procedimento de remoção em árvores binárias ou AVL

Substituição pelo registro mais à direita da sub-árvore à esquerda;

Substituição pelo registro mais à esquerda da sub-árvore à direita;

Caso 2.1: a sub-árvore vizinha possui registros para emprestar

Caso 2.2: a sub-árvore vizinha não possui registros para emprestar


Registro 20

Caso 2.1: a sub-árvore vizinha possui registros para emprestar

OU

4 8 10 18 21 22 23 30 35 45 5025 26

20 24 28 40

4 8 10 21 22 23 30 35 45 5025 26

18 24 28 40

4 8 10 18 22 23 30 35 45 5025 26

21 24 28 40


Caso 2: quando o registro não se encontra em uma folha.

Possui dois casos:

Caso 2.2.1: O irmão possui registros para emprestar

Caso 2.2.2: O irmão não possui registros para emprestar


Registro 20

Caso 2.2.1: a sub-árvore vizinha NÃO possui registros para emprestar e o irmão possui registros para emprestar

Concatena-se o filho à esquerda e à direita do registro excluído; o registro mais à esquerda (ou mais à direita) do irmão é promovido para a raiz e o registro à esquerda (ou à direita) da raiz é inserido na página que teve o registro excluído; o filho à esquerda (ou o filho à direita) do registro que foi emprestado passa a ser o filho à direita (ou à esquerda) do nó para onde ele foi deslocado;

23

28 37 40

6 181 3 21 22 30 35 45 5025 26

4 20

38 39

23

28 37 40

6 18 21 221 3 30 35 45 5025 26

4

38 39


23

28 37 40

6 18 21 221 3 30 35 45 5025 26

4

38 39

28

37 40

6 18 21 221 3 30 35 45 5025 26

4 23

38 39


Registro 40

Caso 2.2.1: a sub-árvore vizinha NÃO possui registros para emprestar e o irmão possui registros para emprestar

28

37 40

6 181 3 26 27 38 39 45 5030 32

4 20 25

22 23

28

37

6 181 3 26 27 38 39 45 5030 32

4 20 25

22 23


28

37

6 181 3 26 27 38 39 45 5030 32

4 20 25

22 23

25

28 37

6 181 3 26 27 38 39 45 5030 32

4 20

22 23


Registro 23

Caso 2.2.2: a sub-árvore vizinha NÃO possui registros para emprestar e o irmão também NÃO possui registros para emprestar

6 18

28

37 40

1 3 30 35 45 5025 26

4 23

6 18 25 26

28

37 40

1 3 30 35 45 50

4

Concatena-se os registros filhos à esquerda e à direita do registro excluído; em seguida, concatena-se os registros da página excluída, do seu irmão e do seu pai

6 18 25 26

4 28 37 40

1 3 30 35 45 50

Considerações finais

Inserção: Mais veloz se comparado à tabelas de hash, por sua capacidade de se ajustar e balancear a cada inserção, isto significa menores colisões, e consequentemente menos laços para encontrar uma posição livre.

No caso de precisar expandir, a duplicação é feita somente na folha, e nos nós correspondentes se necessário, o que garante menor espaço vazio alocado e menos ocupação em disco, ao contrário do hash que duplica a tabela por inteiro.


Exclusão: No caso de uma exclusão, Arvores B são capazes de evitar grandes fragmentações, pois se ajustam e balanceiam também nesse momento.

Já em tabelas de hash, quando há exclusão de uma chave, o espaço alocado para esta fica vazio, porém ainda alocado. Maior fragmentação significa menor desempenho.


Busca: Árvores B são tão boas e velozes quanto tabelas de hash numa busca por igualdade, porém são muito superiores em velocidade e desempenho em buscas do tipo range.

A superioridade da Árvore B, se baseia na chave primária, onde a busca começa pela raiz e é direcionada aos nós e filhos de acordo com a chave procurada, isto torna mais objetivo e direto o resultado final. Porém, se comparado a Árvore B+, sua performance pode cair um pouco em uma busca linear.

Árvores B+

São árvores B que contém dados somente nos nós folhas e existe uma ligação entre os irmãos folhas adjacentes para facilitar a busca

Uma árvore B+ é uma variação da árvore B.

Representa a ordenação de dados de uma maneira que permita uma inserção e remoção eficiente de elementos.

É um índice dinâmico de multi-níveis com ligações máximas e mínimas no número de chaves em cada nodo.

Árvores B+

Os sistemas de arquivos NTFS para o Microsoft Windows, o sistema de arquivos ReiserFS para Unix, o XFS para IRIX e Linux, e o JFS2 para AIX, OS/2 e Linux, usam este tipo de árvore.

Numa árvore-B+, contrastando com uma árvore-B, todos dos dados são gravados nas folhas.

Os nodos internos contêm apenas chaves e apontadores da árvore.

Todas as folhas estão no mesmo nível mais baixo.

Os nodos das folhas também estão ligados entre si como uma lista para efetuar consultas facilmente.

Arvores B+

O número máximo de apontadores num registro é chamado de ordem da árvore B+.

O número mínimo de chaves por registro é metade do número máximo de chaves. Por exemplo:

Se a ordem de uma árvore B+ for n+1, cada nodo (exceto o da raiz) deverá ter entre (n+1)/2 e n chaves.

Se n for um número primo, o número mínimo de chaves pode ser (n+1)/2 ou (n-1)/2, mas terá de ser o mesmo em toda a árvore.

Árvores B+

Um exemplo simples de uma árvore B+ ligando as chaves 1-7 aos valores de dados d1-d7.

Notar a lista ligada (em vermelho) permitindo uma atualização ordenada rápida.

algorítmos e estrutura de dados iii

Documents