Algorytmy i struktury Algorytmy i struktury danychdanychStudia stacjonarne:ECTS: 5Wykłady: 30 Ćwiczenia: 30

Studia niestacjonarne:ECTS: 5Wykłady: 20 Ćwiczenia:20

Literatura cz.1Literatura cz.1Cormen Thomas; Leiserson Charles; Rivest

Ronald; Stein Clifford, „Wprowadzenie do Algorytmów”, Wydawnictwo WNT, 2007Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012,

Wirth Niklaus, „Algorytmy+Struktury Danych=Programy”, Wydawnictwo WNT, 2004.

Sedgewick Robert, „Algorytmy w C++”, Wydawnictwo RM, Warszawa 1999,

Drozdek Adam, „C++. Algorytmy i Struktury Danych”, Wydawnictwo Helion, Gliwice 2004,

Literatura cz.2Literatura cz.2 Wróblewski Piotr, „Algorytmy, Struktury Danych i

Techniki Programowania”, Wydawnictwo Helion, Gliwice 2010.

Alfred V. Aho, Hopcroft John E. Ullman Jeffrey D., “Projektowanie I analiza algorytmów”, Wydawnictwo Helion, Gliwice 2003,

Alfred V. Aho, Hopcroft John E. Ullman Jeffrey D., “Algorytmy i struktury danych”, Wydawnictwo Helion, Gliwice 2003,

Banachowski Lech, Diks Krzysztof, Rytter Wojciech, „Algorytmy i Struktury danych”, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1996.

Priceton University, Course on algorithms, http://code.google.com/intl/pl-PL/edu/submissions/SedgewickWayne/index.html, (w języku angielskim)

Podstawowe pojęciaPodstawowe pojęciaAlgorytm to sposób rozwiązania

pewnego zagadnienia, który można zrealizować za pomocą dowolnego języka programowania i na dowolnym komputerze

Struktury danych to obiekty, które powstają w wyniku zastosowania algorytmu do organizacji danych biorących udział w obliczeniach

RekurencjaRekurencjaRekurencja - wywołanie

kilkakrotne pewnej procedury, która odwołuje się do samej siebie

Przykład funkcji Przykład funkcji rekurencyjnejrekurencyjnej

double power(double x, unsigned int n){if (n = = 0)

return 1.0//else

return x*power(x,n-1)}

0gdy

0ngdy 11 nxx

x nn

Rodzaje rekurencjiRodzaje rekurencji

Rekurencja ogonowa:

void ogon(int i){

if(i>0){

cout<<i<<’ ’;

ogon(i-1);

}

}

Rekurencja pośrednia:

Funkcja1() funcja2() …funkcjan()funkcja1()

Rekurencja zagnieżdżona:

4ngdy ))2(2(

4ngdy

0ngdy 0

)(

nhh

nnh

Złożoność obliczeniowa Złożoność obliczeniowa Złożoność obliczeniowa

algorytmów to szacowanie efektywności porównywanych algorytmów, wykonujących to samo zadanie lecz innymi metodami.

Istotne są dwa czynniki:◦Czas wykonania,◦Zajętość pamięci.

Czasy rozwiązywania Czasy rozwiązywania problemów o wielkich problemów o wielkich rozmiarachrozmiarachLiczba

operacji na sek.

Zadanie o rozmiarze 1 miliona Zadanie o rozmiarze 1 miliarda

n nlgn n2 n nlgn n2

106 sekundy sekundy tygodnie godziny godziny nigdy

109 natychmiast natychmiast godziny sekundy sekundy dziesiątki lat

1012 natychmiast natychmiast sekundy natychmiast natychmiast tygodnie

Źródło: R. Sedgewick, Algorytmy w C++, wyd. I., Wydawnictwo RM, Warszawa 1999, s. 38

Przykład 1Przykład 1Funkcja silnia

0!=1,n!=n*(n-1)!, n≥1, nN

Kod:Int silnia (int n){ If (n==0) return 1; Return n*silnia(n-1);}

Przykład 2Przykład 2

int count =0;for (int i=0; i<n; i++) if (a[i]==0) count++;

Operacja Krotnośćdeklaracja zmiennej 2Instrukcja przypisania 2Porównanie “<” n+1Porównanie “==” nDostęp do tablicy ninkrementacja ≤2n (pomiędzy n – brak zer – a

2n – wszystkie są zera

Przykład 3Przykład 3

int count =0;for (int i=0; i<n; i++)for (int j=i+1; j<n; j++)

if (a[i]+a[j]==0) count++;Operacja krotność

deklaracja zmiennej n+2

Instrukcja przypisania n+2

Porównanie “<” ½(n+1)(n+2)

Porównanie “==” ½n(n-1) (korzystamy ze wzoru na sumę szeregu liczb naturalnych od 1 do n)

Dostęp do tablicy n(n-1)

inkrementacja ≤n2

2)1()1(...210 2

1n

nnn

Przykład 3 – notacja tyldaPrzykład 3 – notacja tyldaOperacja notacja tylda koszt Całkowity koszt

deklaracja zmiennej

~n t1 ~t1 n

Instrukcja przypisania

~n t2 ~t2 n

Porównanie “<” ~1/2 n2 t3 ~t3 n2

Porównanie “==” ~1/2 n2

Dostęp do tablicy ~ n2 t4 ~t4 n2

inkrementacja ≤ n2 t5 ≤t5 n2

ostatecznie ~c n2

Notacja „tylda” – szacowanie Notacja „tylda” – szacowanie składnikówskładnikówoszacuj czas działania (albo

pamięci) jako funkcję, która przyjmuje dane wejściowe o rozmiarze n,

zignoruj wyrazy o mniejszej ważności:◦gdy n jest duże, wyrazy są

nieistotne,◦gdy n jest małe, nie bierzemy ich

pod uwagę

Notacja ΘNotacja ΘDla danej funkcji g(n) oznaczamy przez Θ

(g(n)) zbiór funkcjiΘ(g(n))={f(n): istnieją dodatnie stałe c1, c2 i

n0 takie, że 0≤c1g(n) ≤f(n) ≤c2g(n) dla wszystkich n ≥n0} c2g(n)

c1g(n)

f(n)

nn0

Notacja ONotacja ODla danej funkcji g(n) oznaczamy przez O

(g(n)) zbiór funkcji O(g(n))={f(n): istnieją dodatnie stałe c i n0

takie, że 0≤ f(n) ≤cg(n) dla wszystkich n

≥n0} cg(n)

f(n)

nn0

Notacja ΩNotacja ΩDla danej funkcji g(n) oznaczamy przez Ω

(g(n)) zbiór funkcji Ω (g(n))={f(n): istnieją dodatnie stałe c i n0

takie, że 0≤cg(n) ≤f(n) dla wszystkich n

≥n0}

cg(n)

f(n)

nn0

TwierdzenieDla każdych dwóch funkcji f(n) i g(n) zachodzi

zależność f(n)= Θ(g(n)) wtedy i tylko wtedy gdy f(n)=O(g(n)) i f(n)= Ω(g(n)).

Notacja oDla danej funkcji g(n) oznaczamy przez o (g(n)) zbiór

funkcjio(g(n))={f(n): dla każdej dodatniej stałej c istnieje

stała n0 >0 taka, że 0≤f(n)<cg(n) dla wszystkich n ≥n0}

Notacja ωDla danej funkcji g(n) oznaczamy przez ω (g(n)) zbiór

funkcjiω (g(n))={f(n): dla każdej dodatniej stałej c>0

istnieje stała n0 >0 taka, że 0≤cg(n) <f(n) dla wszystkich n ≥n0}

Równania rekurencyjneRównania rekurencyjneopisuje funkcję złożoności w

zależności od jej wartości dla danych wejściowych o mniejszych rozmiarach

Trzy metody rozwiązywanie rekurencji:◦metoda podstawiania ◦metoda iteracyjna◦metoda rekurencji uniwersalnej

Metoda podstawianiaMetoda podstawianiaMetoda ta najpierw wymaga

odgadnięcia postaci rozwiązania a następnie wykazania przez indukcję, że jest ono poprawne. Konieczne tez jest znalezienie odpowiednich stałych.

Metoda ta może być używana do określenia górnego albo dolnego oszacowania na wartości rozwiązania rekurencji

Przykład Przykład Obliczyć ograniczenie górne

funkcji zadanej zależności rekurencyjną

nn

TnT

2

2)(

Przykład 2Przykład 2Zamiana zmiennych

nnTnT lg2)(

Metoda iteracyjnaMetoda iteracyjnaPolega na rozwijaniu (iterowaniu)

rekurencji i wyrażeniu jej jako sumy składników zależnych tylko od n oraz warunków brzegowych. Następnie można użyć technik sumowania do oszacowania rozwiązania.

PrzykładPrzykład

nTnT n 43)(

Twierdzenie o rekurencji Twierdzenie o rekurencji uniwersalnejuniwersalnej

PrzykładyPrzykładyT(n)=9T(n/3)+nT(n)=T(2n/3)+1T(n)=3T(n/4)+nlgn

Sortowanie przez wstawianie Sortowanie przez wstawianie – Insertion sort– Insertion sortInsertionsort (data[n]){

for (j=1;j<n;i++){

key=data[j];

//Wstaw data[j] w posortowany ciąg data[1..j-1]

i=j-1;

while i>0 i data[i]>key {

data[i+1]=data[i];

i--;

}

data[i+1]=key;

}

}

Sortowanie przez wstawianie Sortowanie przez wstawianie Analiza złożonościAnaliza złożoności

Operacja Koszt krotność

for (j=1;j<n;i++){ c1 n

key=data[j]; c2 n-1

//Wstaw data[j] w posortowany ciąg data[1..j-1]

0 n-1

i=j-1; c4 n-1

while i>0 i data[i]>key c5

data[i+1]=data[i]; c6

i--; c7

data[i+1]=key; c8 n-1

n

jjt

2

)1(

n

jjt

2

n

jjt

2

)1(

BibliografiaBibliografia Cormen Thomas; Leiserson Charles; Rivest

Ronald; Stein Clifford, „Wprowadzenie do Algorytmów”, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012

Sedgewick Robert, „Algorytmy w C++”, Wydawnictwo RM, Warszawa 1999,

Drozdek Adam, „C++. Algorytmy i Struktury Danych”, Wydawnictwo Helion, Gliwice 2004,

Wróblewski Piotr, „Algorytmy, Struktury Danych i Techniki Programowania”, Wydawnictwo Helion, Gliwice 2010,

Priceton University, Course on algorithms, http://code.google.com/intl/pl-PL/edu/submissions/SedgewickWayne/index.html,