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ALGUNAS DIFICULTADES DE APRENDIZAJE EN TORNO A LOS
NÚMEROS FRACCIONARIOS Y SUGERENCIAS PARA PROGRAMAS DE
INTERVENCIÓN
Olga Cecilia Pineda Moncada
Universidad Cooperativa de Colombia
Sede Bogotá
Facultad de Ciencias Humanas y Sociales
Postgrados en Educación
Maestría en Dificultades de Aprendizaje
Bogotá, D.C.; Colombia
Marzo de 2017
ALGUNAS DIFICULTADES DE APRENDIZAJE EN TORNO A LOS
NÚMEROS FRACCIONARIOS Y SUGERENCIAS PARA PROGRAMAS DE
INTERVENCIÓN
Olga Cecilia Pineda Moncada
Trabajo de grado presentado como requisito académico para obtener el título
de
Magíster en Dificultades de Aprendizaje
Asesora
Luz Alexandra Oicatá Ojeda
Magistra en docencia de las matemáticas
Universidad Cooperativa de Colombia
Sede Bogotá
Facultad de Ciencias Humanas y Sociales
Postgrados en Educación
Maestría en Dificultades de Aprendizaje
Bogotá, D.C., Colombia
Marzo de 2017
MAESTRIA EN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE
DECLARACIÓN DE HONESTIDAD CREATIVA
AUTORA:
OLGA CECILIA PINEDA MONCADA
TÍTULO DEL PROYECTO: ALGUNAS DIFICULTADES DE APRENDIZAJE EN
TORNO A LOS NÚMEROS FRACCIONARIOS Y SUGERENCIAS PARA
PROGRAMAS DE INTERVENCIÓN
Por medio de la presente y dando cumplimiento al artículo 1 del Acuerdo 045 de
20111, declaro que, en la producción creativa antes relacionada, para optar al título
de Magister en Dificultades del Aprendizaje, se reconoció la titularidad de los
derechos de autor de terceros, y para los efectos el sistema de citación utilizado
según la exigencias y parámetros de la comunidad científica fue NORMAS APA
2010.
El/los autor(es) expresan que el documento objeto de la presente autorización es
original y se elaboró sin quebrantar ni suplantar los derechos de autor de terceros, de
1 Acuerdo 045 de 2011 por el cual se establecen acciones tendientes a evitar el plagio y otras violaciones al derecho de autor.
Artículo 1:” Artículo primero. Presentación de declaración de honestidad creativa: previo a la publicación o socialización de obras en los géneros literario, artístico o científico, o de documentos institucionales que exijan algún grado de trabajo creativo,
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sistema de citación utilizado según las exigencias y parámetros de la comunidad científica respectiva” (p.1). El fraude, el plagio, la suplantación, la falsificación y la copia, son fenómenos que tienen graves implicaciones legales y disciplinarias contempladas
en la Constitución Política de 1991, el Código Penal colombiano y particularmente en el Reglamento Estudiantil de la
Universidad Cooperativa de Colombia.
tal forma que el Trabajo de Grado aquí presentado es de su exclusiva autoría y tiene
la titularidad sobre este.
En caso de queja o acción por parte de un tercero referente a los derechos de autor
sobre el documento en cuestión, el autor/ los autores asumirán la responsabilidad
total, eximiendo a los docentes asesores o tutores y a la Universidad Cooperativa de
Colombia, quienes para todos los efectos legales han actuado como un tercero de
buena fe.
Para constancia de lo anterior, se firma en la ciudad de BOGOTÁ, D.C., a los 14
días del mes de ENERO del año 2017.
Apellidos y nombres completos del
autor
Firma Fecha
OLGA CECILIA PINEDA
MONCADA
Año Mes Día
14 01 2017
NOTA: Este documento es una adaptación del formato oficial de CONADI para la
Maestría en Dificultades del Aprendizaje.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
Nota de Aprobación
El Trabajo de Grado titulado: “Algunas Dificultades de Aprendizaje en Torno a los
Números Fraccionarios y Sugerencias para Programas de Intervención”, presentado
como requisito de grado para obtener el título de Magister en Dificultades de
Aprendizaje de la Universidad Cooperativa de Colombia, por la estudiante Olga
Cecilia Pineda Moncada, ha sido aceptado y aprobado.
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Firma Coordinador(a)
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Firma de la Asesora
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Firma del Jurado (a)
Bogotá, DC., marzo de 2017
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
Dedicatoria
A mis estudiantes quienes a lo largo de mi desempeño como docente son mi
motivación permanente para la enseñanza de las matemáticas.
Gracias a ellos cada día tengo que buscar estrategias que propicien una mejor
comprensión de las matemáticas y el trabajo académico con ellas. Gracias a mis
estudiantes porque de ellos he aprendido que enseñar es un proceso que va más allá de
transmitir un conocimiento.
Cuando detecto en ellos las dificultades para desarrollar y comprender algún
concepto siento que mi misión debe orientarse hacia la búsqueda de los mecanismos
que faciliten necesariamente la comprensión y el análisis efectivo para que cada
estudiante avance en su proyecto de vida.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
Agradecimientos
Manifiesto mi más sincero agradecimiento a quienes de una u otra forma
contribuyeron para que fuera posible la consolidación de la presente investigación.
En primer lugar, Dios pues es él quien ha orientado mi vida y mi trabajo con los
estudiantes.
En segundo lugar, a la Universidad Cooperativa de Colombia, por haberme acogido
dentro de su comunidad académica y en su nombre a todos y cada uno de los
docentes que tuvieron a bien compartir con nosotros sus conocimientos y sus
experiencias
En tercer lugar, al incondicional e invaluable acompañamiento de la profesora
Alexandra Oicatá Ojeda, a la paciencia y calidad humana de la que hizo gala al
haberme asesorado a lo largo de la Maestría para culminar con éxito la investigación.
Y finalmente a la rectora del colegio Clara Denis Cabrera Ahumada, por su
incondicional apoyo, a los compañeros de trabajo por su colaboración y Miguel
Ángel mi sobrino, quien de manera desinteresada dedicó su tiempo a orientar mis
tareas de inglés
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
RESUMEN ANALÍTICO DE INVESTIGACIÓN
Título del proyecto
Algunas Dificultades De Aprendizaje En Torno a Los Números Fraccionarios Y Sugerencias Para
Programas De Intervención
Palabras/conceptos clave
Dificultades específicas de aprendizaje en matemáticas, Fraccionarios, resolución de problemas,
fracción.
Contexto de la invest igación
La investigación surge de un interés personal de la investigadora por comprender las razones de
dificultad que presentan los estudiantes de grado séptimo al enfrentarse a situaciones problemas
con números fraccionarios. A pesar de ser un contenido curricular abordado desde el grado tercero
de primaria.
Por otro lado, la investigación se desarrolló en el Colegio Altamira Sur Oriental I.E.D, ubicado en
la localidad San Cristóbal con un grupo de 32 estudiantes de grado séptimo. Estos estudiantes
oscilan entre los 11 y 14 años, de estrato socioeconómico 1-2, cuyos conocimientos en el área de
matemáticas es de desempeño básico en torno a la parte de manejo de sistemas numéricos, en la
resolución de problemas y el manejo de algoritmos de las operaciones multiplicativas de cualquier
conjunto numérico.
Problema c ientíf ico /pregunta de invest igación
El presente estudio da respuesta a la pregunta: ¿Cuáles son las dificultades de aprendizaje más
frecuentes que presentan los estudiantes del grado séptimo del Colegio Altamira Sur Oriental
I.E.D. jornada tarde, en cuanto a la resolución de problemas en donde intervienen números
fraccionarios y qué sugerencias para programas de intervención se pueden implementar?
Just if icac ión
Los docentes como facilitadores del proceso enseñanza aprendizaje debemos contribuir en el
desarrollo de habilidades y destrezas de pensamiento matemático en los estudiantes en cada
uno de los niveles de su formación. En básica secundaria, particularmente en grado séptimo
uno de los objetivos es que los estudiantes logren un aprendizaje significativo del concepto de
fracción y sus diferentes interpretaciones, para extenderlo a la construcción del sistema
numérico de los racionales. Sin embargo, el proceso curricular queda en realizar exploraciones
de la relación parte-todo, la idea de equivalencia como amplificar y simplificar, y finalmente,
las operaciones de fraccionarios homogéneos y heterogéneos.
Es por ello, que las diferentes interpretaciones que se da a las fracciones son otro problema
para los estudiantes, ya que generan dificultades en la adquisición del concepto; esto conlleva
a que los estudiantes tiendan a memorizar los algoritmos restando empeño al significado y
aplicación. Brown y Quinn (2006), citado en Valesca, K (2010, p.12) afirman que:
“si el estudiante aprende a base de algoritmos cuando el concepto va más allá de la fuerza
cognitiva del aprendiz entonces este deja su propio pensamiento y opta por la memorización
haciéndolo sin entender”
Objet ivo general
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
Analizar las dificultades de aprendizaje que se presentan a los estudiantes de grado séptimo del
Colegio Altamira Sur Oriental I.E.D, jornada tarde, en la resolución de problemas donde
intervienen números fraccionarios y dar sugerencias de programas de intervención.
Objet ivos específ icos
• Definir situaciones problémicas para identificar interpretaciones de los estudiantes en torno a
los fraccionarios.
• Identificar las dificultades de aprendizaje que presentan los estudiantes de grado séptimo en
la resolución de problemas con números fraccionarios.
• Caracterizar las dificultades de aprendizaje que presentan los estudiantes de grado séptimo en
la resolución de problemas con números fraccionarios.
• Establecer sugerencias para programas de intervención en estudiantes con dificultades en el
uso y aplicación de números fraccionarios.
Estado del arte
Se realizó análisis de artículos referentes a la construcción de fraccionarios escritos en lengua
hispana. Se destacaron los siguientes estudios:
Obando, G (2003). Abordó la problemática de la enseñanza de los números racionales a partir de
la relación parte-todo. Encontrando la dificultad de adquirir conceptos relativos a la estructura
multiplicativa de los números racionales y concluye que es una necesidad recuperar para la
enseñanza de los números racionales aspectos relacionados con la medida.
Escolano, R; Gairín, J. (2005). Investiga modelos de medida para la enseñanza del número
racional en educación primaria con el objetivo de mostrar los obstáculos didácticos provocados al
priorizar la enseñanza de la fracción como parte-todo y concluye la necesidad de construir la
unidad como medida.
García, G; Araque, C; Infante, J Y Ramírez, F (2006) buscan determinar el uso de las expresiones
porcentuales concluyen que los estudiantes manejan más la relación parte todo.
Ramírez, M y Block, D (2008), en su estudio titulado La razón y la fracción: un vínculo difícil en
las matemáticas escolares, encontrando que los estudiantes no lograron articular la simplificación
de las fracciones con sus procedimientos para verificar la equivalencia entre razones, y constata
que las fracciones y los decimales si pueden constituir una expresión muy útil de las razones.
Castro, E. (2010), investigó acerca de los significados que sobre fraccionar y repartir sustentan los
estudiantes de profesor encontrando que ellos no relacionan las nociones de fraccionar y repartir
expresan significados distintos; tanto en los signos con que se representan como en el sentido
verbal y conceptual que transmiten.
Sancheza, F. (2010), orientó su trabajo con la pregunta ¿qué tipos de representaciones semióticas
utilizan los estudiantes en la comprensión del concepto de número racional? Concluyo que la
conversión entre la escritura fraccionario a representación gráfica, fue la de mayor éxito
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
Marco teórico
El presente marco teórico se organizó en dos categorías. En la primera se abordaron las
dificultades específicas de aprendizaje, cuyos autores son: González-Pienda y Álvarez (1998);
Mastropieri, Scruggs y Chung (1998); Garnett (1998); González-Pienda (2000); Miranda, Fortes y
Gil (2000); Defior (2000); García (2001); entre otros, citados por Romero y Lavigne, (2005).
Clasifica las dificultades en cálculo y resolución de problemas. Se determina características
específicamente en las acciones de las operaciones como las que se definen en la resolución.
En la segunda categoría, se abordaron los cinco significados que se le atribuyen a las fracciones.
Existen varios autores que analizan una de ellas en particular, aunque la mayoría de estudios cita
como fuente primaria a Kieran (1980). Con relación a la fracción parte- todo se retoma los avances
de Charalambous y Pitta- Pantazzi, (2007), que confirma la igualdad en tamaño de las partes para
definir la relación. Por otro lado, la fracción como razón, se trata desde los estudios de Kieren,
(1980) que analiza la comparación numérica entre dos magnitudes o cantidades. En otro sentido, la
fracción como cociente se comparte los estudios de Chamorro, (2003) que afirma la construcción
del resultado de una división. En el mismo se sentido se tiene que la fracción como medida es la
asignación de un número a una región o a una magnitud de una, dos o tres dimensiones, producto
de la partición equitativa de la unidad (Chamorro, (2003), Charalambous y Pitta- Pantazzi,
(2007)). Igualmente, la fracción como operador como un transformador multiplicativo de un
conjunto hacia otro conjunto, esta transformación se puede pensar como ampliación o reducción
de un número (Lamon, (1999), Charalambous y Pitta- Pantazzi, (2007), Perera y Valdemoros,
(2007)).
Aproximación metodológica
Este estudio desarrollo una metodología cualitativa de tipo exploratorio, acerca de las dificultades
de aprendizaje que se les presentan a los estudiantes del curso 702 del Colegio Altamira Sur
Oriental I.E.D, jornada tarde, al resolver problemas que involucran números fraccionarios.
En primer lugar, se recolectan datos mediante cinco talleres diseñados para 32 estudiantes de grado
702 del Colegio Altamira Sur Oriental I.E.D, jornada tarde, que involucran resolución de
problemas con números fraccionarios, teniendo en cuenta las interpretaciones: fracción como parte
todo, fracción como operador, fracción como cociente, fracción como razón y fracción como
medida; para establecer características generales. Este primer ejercicio es descriptivo, algunos
datos son obtenidos de la forma como los estudiantes interpretan la situación y como la
argumentan y justifican.
Estos talleres permitieron conocer el pensamiento de los estudiantes y diferentes estrategias para
dar solución a las situaciones planteadas. Posteriormente, se realizaron algunas intervenciones a 12
estudiantes seleccionados por la forma como resolvieron las tareas anteriores. Estas sesiones se
grabaron para determinar algunas acciones de los estudiantes de interpretación de la exigencia
conceptual que la situación le da al fraccionario.
Etapas de la investigación
Fase 1. Diseño del estudio: Este primer momento consiste en la preparación e implementación del
estudio exploratorio que tiene como finalidad principal obtener una visión general de la forma
como los estudiantes resuelven situaciones problémicas en donde intervienen números
fraccionarios. En esta fase se incluye la búsqueda y estudio de referentes teóricos y la construcción
del marco teórico.
Fase 2. Construcción de las actividades: Se realiza el diseño y organización de la secuencia de
actividades con sus correspondientes objetivos. Diseño de cinco cuestionarios que constan de 34
situaciones problémicas que involucran diferentes interpretaciones del concepto de fracción (parte-
todo, en contextos continuos y discretos, operador, cociente, razón y medida. Aplicación de los
cuestionarios a un grupo de 32 estudiantes del curso 702, jornada tarde del Colegio Altamira Sur
Oriental I.E.D.
Fase 3. Implementación de talleres: Se realiza la preparación e implementación del estudio. Para
lo cual se parte del mismo tema relacionado con las diferentes interpretaciones del concepto de
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
fracción en situaciones problémicas. Se realiza dos momentos, uno con los 32 estudiantes y de
ellos, se seleccionan 12 para trabajar en sesiones distintas a la clase para intervenir sobre la forma
como interpretan las situaciones que involucra fraccionarios.
Fase 4. Análisis de resultados: Se determina las observaciones que se evidenciaron de la
interacción con los estudiantes en cada una de las sesiones
Instrumentos de recolección de información
Exploración: En cada una de las actividades propuestas está presente la observación por parte de la
investigadora, frente a la forma como los participantes resuelven situaciones problémicas que
involucren números fraccionarios
Cuestionarios: En primer lugar, se recolectan datos mediante cinco cuestionarios diseñados para
32 estudiantes de grado 702 del Colegio Altamira Sur Oriental I.E.D, jornada tarde, que involucran
resolución de problemas con números fraccionarios. Cada uno de los fraccionarios está diseñado
para cada uno de los conceptos de fracción.
Videos: Se elaboraron sesiones de trabajo con 12 estudiantes cuyas respuestas en la mayoría de los
cuestionarios fueron erróneas. Con la intención de identificar posibles causas a las formas de
proceder los estudiantes con que se enfrentan a este tipo de problemas.
Población
En este caso, la investigación se inicia con 32 estudiantes de grado séptimo del Colegio Altamira
Sur Oriental I.E.D; sus edades oscilan entre los 11 y 14 años de edad. De estratos 1 y 2.
Posteriormente se realiza el estudio con 12 estudiantes del grupo que voluntariamente decidieron
continuar participando en el estudio.
Resultados
De los cinco cuestionarios se puede concluir:
La mayoría de los estudiantes tienen buen dominio de las siguientes cuestiones:
Fracción como Parte -todo
El 100% de los estudiantes reconoce la igualdad de la representación numérica de dos gráficas
distintas.
El 90% realiza una representación correcta de la fracción 2/3, en una superficie rectangular
El 96.77% de los estudiantes identificó correctamente el papel del operador, con números
naturales
El 92,85% considera que la respuesta a la primera pregunta del taller de razón es 40
El 90% de los estudiantes hace una buena representación de 1/8
90,32% realiza una representación adecuada de 3/8, dividen la unidad en 8 partes y colorean 3
El 83,87% realiza correctamente la representación de 3/5, divide la unidad en 5 partes y colorea
3.
Los más altos porcentajes en cuanto a dominio del concepto de fracción, se presentan en la
interpretación parte-todo en un contexto continuo, lo que pone de manifiesto que esta
interpretación es a la que mayor énfasis se le hace.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
Fracción como razón
El 92,86% resuelve el problema Nº 5 del cuestionario de razón dando como respuesta, 720
personas
A pesar de representar un porcentaje bastante alto, no puede ser visto como un indicador en cuanto
a la interpretación de la fracción como razón, puesto que las demás situaciones propuestas y que
requieren de un análisis similar no arrojan los mismos resultados.
En cuanto, a las demás interpretaciones no se presentan tareas en donde los estudiantes que
utilicen estrategias correctas superen el 60%.
Las mayores dificultades se presentan en:
Fracción como Parte- todo
El 64% desconoce la forma de representar una fracción en un segmento de recta.
El 89,99% de los estudiantes no tiene en cuenta la congruencia de las partes en que se debe dividir
la unidad, principalmente cuando la partición que se realiza no es explícita o cuando el área
trabajada no representa un polígono regular.
El 83,33% presenta dificultad para completar una unidad, cuando se conoce una fracción de ella.
El 50% de los estudiantes presenta dificultades para representar fracciones en un todo discreto.
Al 100% de los estudiantes se le dificulta entender cuál es la unidad en una representación parte-
todo, discreta.
A pesar de ser esta una de las interpretaciones más trabajadas, a los estudiantes les sigue
generando dificultades en la interpretación del contexto discreto, en donde se presentan
inconvenientes para identificar la unidad cuando se conoce una parte de ella y representar una
fracción en un conjunto dado.
Fracción como medida
El 100% de los estudiantes no realiza la representación correcta de un fraccionario sobre la recta
numérica.
El 100% de los estudiantes no identifica el número fraccionario representado por un punto sobre la
recta numérica.
El 60% no identifican la cantidad de veces que una fracción está contenida en un numero natural.
Esto demuestra el poco manejo que se da en la escuela de la interpretación de la fracción como
medida, los estudiantes presentan un manejo elemental de la recta numérica, se les dificulta
realizar las particiones correspondientes a un fraccionario dado.
Fracción como razón
Al 60,69% se les dificulta plantear situaciones haciendo uso de las proporciones.
En esta interpretación queda claro que los estudiantes recurren a realizar operaciones sin analizar
el enunciado, simplemente se limitan a aplicar algoritmos con los datos numéricos dados,
desconociendo la coherencia entre el enunciado y la respuesta obtenida. No ven la aplicación de
los fraccionarios, ni la relación con los conceptos dados en las diversas situaciones.
Fracción como operador
Al 90% de los estudiantes se les dificulta representar por medio de un número la ampliación o
disminución de una figura con respectos a otra.
El 70,97% no identifica la trasformación que sufre un número natural al aplicarle un operador
fraccionario.
El 74,2% no identifica la transformación que sufre un fraccionario al aplicarle como operador un
número natural.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
Los estudiantes presentan grandes dificultades en cuanto al papel que desempeña una fracción en
la ampliación o reducción de una figura, de la misma manera se evidencia la confusión que tienen
en cuanto al manejo de algoritmos de los fraccionarios.
Fracción como cociente
Al 100% de los estudiantes se les dificulta identificar la fracción como un cociente.
El 93,45% tiene inconvenientes para representar gráficamente: 3 veces 1/8.
En cuanto a esta interpretación se pone de manifiesto la dificultad que los estudiantes tienen para
relacionar la fracción con una división, esto se ve con mayor claridad en la resolución de situación
en las que su uso facilitaría los cálculos, como en el caso de resolver una comparación entre dos
razones o la ubicación de un punto en la recta numérica.
Frente a la dificultad de los estudiantes en cuanto a la resolución de algunas situaciones planteadas
se realizaron actividades como:
En cuanto a la identificación de la fracción que representa la parte sombreada en una superficie
que no tiene particiones realizadas de manera explícita, se les presentó una cartulina en forma
rectangular y un triángulo de otro color, se les pidió que calcularan las veces que cabía este
triángulo en la superficie rectangular, los estudiantes dudaron en un comienzo, porque continuaban
desconociendo la congruencia de las partes y seguía cometiendo el mismo error, pero poco a poco
fueron cambiando sus respuestas y aproximándose a la respuesta acertada.
Representar un segmento de recta por medio de un trozo de lana, y se les pedía que recortaran 1/3,
a pesar de que algunos estudiantes la cortaron indistintamente sin tener en cuanto la longitud de
cada pedazo, reaccionaron al ver que otros midieron la lana y después realizaron cálculos, para
cortar el tercio que se les pidió. Esta actividad, les permitió dar solución a la planteada en el
cuestionario, que no habían logrado resolver.
Al observar que cuando se le presentaron 2/5 y pedirles que completaran la unidad, los estudiantes
no lograron dar respuesta, se les facilitaron dos triángulos en cartulina, afirmándoles que éstos
representaban los dos quintos y nuevamente se les pidió que completaran la unidad, los doce
estudiantes intentaron formar un polígono regular sin importar la cantidad de triángulos que
tuvieran que tomar de más, posteriormente cayeron en cuenta que estaban errados en la cantidad
de triángulos, intentaron formar el polígono regular con cinco triángulo, tarea para ellos imposible,
por tal motivo concluyeron que no se podía completar la unidad.
La misma situación se experimentó al darles cuatro objetos diciéndoles que éstos representaban
1/6, que completaran la unidad, sin embargo, más adelante a cada estudiante se les entregaron 18
objetos y se les pidió que representaran 1/3, la tarea causó gran dificultad, pero resolvieron formar
grupos de a tres y tomar cada uno de a 1 objeto, repitiendo el proceso de manera ordenada, lo cual
los llevo a concluir que el tercio era representado por 6 objetos, este proceso se repitió varias veces
con diferente cantidad de objetos, de esta manera lograron dar respuesta a este tipo de ejercicios.
En cuanto a la fracción como operador, Se les explicó que la fracción como operador es una
operación que combina multiplicación y división y se utilizaron esquemas en los que el operador
hace las veces de máquina que realiza una trasformación, se les proporcionaron tiras de papel de
diferentes medidas, se les daba el operador ellos debían transformar la tira de papel, este proceso
facilitó enormemente la capacidad para resolver este tipo de situaciones, también se les
proporciono una tira de papel en la que se representaba 1/5, debían aplicarle el operador 2x, tarea
que resulto casi inmediata de resolver después de haber realizado toda la ejercitación anterior.
La dificultad que resulta de expresar por medio de un número la ampliación o reducción de una
imagen se resolvió, pidiéndoles que cortaran por el borde la imagen pequeña y contaran las veces
que la imagen grande contenía a la pequeña.
Para facilitar la comprensión de las actividades relacionadas con la fracción como cociente, se le
entregaron a cada estudiante 3 cartulinas del mismo tamaño que representaban tres tortas, para que
las repartieran entre cuatro personas, en un comienzo algunos estudiantes desconociendo el
atributo de la congruencia y resolvieron la situación partiendo una torta para dos personas y
dejando las otras dos enteras para las dos personas, otros decidieron dividir cada torta en 4 partes y
formar así los cuatro grupos, pero, presentaron dificultad al expresar lo realizado de manera
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
numérica, aunque finalmente lo lograron.
Los 12 estudiantes consideraron que para representar “3 veces 1/8”, debían dibujar tres unidades y
dividirlas en 8 partes y luego sombrear una parte encada una de ellas, se le dio a cada uno 8
triángulos, se les pidió que mostraran 1/8, luego que repitieran la situación 2 veces más; y se les
preguntó que fracción representaba la cantidad de triángulos pedidos, fácilmente respondieron 3/8
y de manera casi automática notaron el error cometido al representar “3 veces 1/8”.
Para las actividades de la fracción como razón, a cada estudiante se le entregaron 30 círculos y 40
cuadrados en cartulina, se formulaban situaciones: si por cada 2 círculos deben haber 5 cuadrados,
cuántos círculos tengo si hay 15 cuadrados, o cuántos cuadrados debo tener si hay 8 círculos; los
estudiantes debían realizar estas situaciones con el material entregado, posteriormente los
estudiantes fueron dando posibilidades de llegar a la respuesta sin tener que utilizar el material,
luego se plantearon situaciones con números más grandes para que pusieran en práctica las
estrategias encontradas por ellos mismos.
Utilizando el procedimiento anteriormente descrito se plantearon situaciones con porcentajes y se
fueron complejizando los ejercicios propuestos, sin embargo, a pesar de lograr que los estudiantes
resolvieran con mayor facilidad este tipo de problemas, la dificultad persiste en algunos casos.
Se les propusieron situaciones conformadas por dos magnitudes, en las que los estudiantes debían
encontrar la diferencia entre las velocidades de dos objetos, conociendo las distancias recorridas y
el tiempo empleado para ello; la diferencia entre el precio de dos objetos, conociendo la cantidad
de objetos comparado y precio total pagado por ellos. En estos casos se evidencio que los
estudiantes no realizan la división indicada como estrategia para resolver dichas situaciones,
tienden a adivinar cuál fracciones mayor o menor sin dar ningún tipo de argumento.
Teniendo en cuenta que la representación de fracciones en la recta numérica generó muchas
dificultades en los estudiantes, se utilizaron hojas de papel milimetrado para visualizar con mayor
facilidad la congruencia de las particiones que se realicen en cada unidad, y además se les explico
de que la representación de un número en la recta representa la distancia que hay del 0 al número,
por lo cual es necesario iniciar este proceso partiendo del 0. Se les pidió realizar rectas con
diferentes unidades de tal manera que ejercitaran un poco la forma de realizar particiones en ella.
Posteriormente se les entregó una recta en la que cada uno debía realizar las particiones que
quisiera y ubicar en punto, para que el compañero determinara el número que representaba dicho
punto.
También, se les entregaron rectas con las particiones hechas, se les pidió ubicar un fraccionario y
después expresar por medio de un número la cantidad que le hacía falta a este fraccionario para
llegar a un número natural determinado, este proceso fue necesario repetirlo varias veces.
Discusión y conclusiones
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
Entre las múltiples dificultades que se les presentan a los estudiantes de grado séptimo del Colegio
Altamira Sur Oriental I.E.D, jornada tarde, en la resolución de problemas con números
fraccionarios, vale la pena resaltar las siguientes
Parte todo
Imposibilidad del cálculo de las partes de un todo sin divisiones explícitas.
Mínimo trabajo con polígonos irregulares.
Imposibilidad de transferir lo continuo a lo discreto.
Necesidad absoluta de lo concreto.
Operador
Falencias para encontrar incógnitas a partir de la aplicación de un operador.
Expresión numérica de la reducción o ampliación de una figura.
Cociente
Mínima aplicabilidad de las fracciones como cocientes.
No reconocimiento de la congruencia de las partes en representación numérica.
Desconocimiento de las variantes de representación de una misma expresión.
Razón
Confusión de elementos de una proporción.
Omisión de la representación porcentual como fraccionario.
No aplicación de la equivalencia de fracciones.
Medida
Desconocimiento de la unidad en la recta numérica.
Particiones erradas en la recta tanto en la unidad y más de una unidad.
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Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
Tabla de Contenido
Nota de Aprobación ..................................................................................................... 5
Dedicatoria ................................................................................................................... 6
Agradecimientos .......................................................................................................... 7
RESUMEN ANALÍTICO DE INVESTIGACIÓN ..................................................... 8
Resumen ..................................................................................................................... 27
Abstract ...................................................................................................................... 28
Introducción ............................................................................................................... 30
Capítulo 1 ................................................................................................................... 33
Descripción de Problemática de Investigación .......................................................... 33
1.1 Justificación ........................................................................................................................ 33
1.2 Definición del problema ..................................................................................................... 37
1.3 Objetivo General ................................................................................................................. 40
1.4 Objetivos Específicos.......................................................................................................... 41
Capítulo 2 ................................................................................................................... 42
Marco Teórico ............................................................................................................ 42
2.1 Antecedentes de la investigación ........................................................................................ 42
2.2 Marco teórico ...................................................................................................................... 65
2.2.1 Dificultades específicas en el aprendizaje de las matemáticas ........................................ 66
2.2.2 Dificultades en el aprendizaje del cálculo ....................................................................... 67
2.2.3 Dificultades en la numeración ......................................................................................... 68
2.2.4 Dificultades específicas en la solución de problemas matemáticos................................. 68
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
19
2.3 Interpretaciones de las Fracciones ...................................................................................... 70
2.3.1 La fracción como parte de una unidad-todo .................................................................... 72
2.3.2 La fracción como razón ................................................................................................... 73
2.3.3 La fracción como cociente ............................................................................................... 73
2.3.4 La fracción como medida ................................................................................................. 74
2.3.5 La fracción como operador .............................................................................................. 75
Capítulo 3 ................................................................................................................... 77
Metodología ............................................................................................................... 77
3.1 Enfoque Metodológico ........................................................................................................ 77
3.2 Diseño Metodológico .......................................................................................................... 78
3.2.1 Fase 1: Diseño del estudio ............................................................................................... 78
3.2.2 Fase 2: Construcción de las actividades ........................................................................... 78
3.2.3 Fase 3: Implementación ................................................................................................... 82
3.2.4 Fase 4: Análisis de Resultados ......................................................................................... 82
3.2 Instrumentos de recolección de información ...................................................................... 83
3.2.1 Exploración ...................................................................................................................... 83
3.2.2 Cuestionarios.................................................................................................................... 83
3.2.3 Videos .............................................................................................................................. 88
3.3 Población............................................................................................................................. 88
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
20
Capítulo 4 ................................................................................................................... 91
Análisis de resultados ................................................................................................. 91
4.1 Análisis de resultados del Cuestionario Nº 1: Fracción como parte -todo.......................... 91
4.2 Análisis de resultados del Cuestionario Nº 2: Fracción como operador ............................. 94
4.3 Análisis de resultados del Cuestionario Nº 3: Fracción como razón ................................ 100
4.4 Análisis de resultados del Cuestionario Nº 4: Fracción como cociente ............................ 105
4.5 Análisis de resultados del Cuestionario Nº 5: Fracción como medida ............................. 107
4.6 Análisis de resultados de las sesiones ............................................................................... 114
4.6.1 Primera sesión ................................................................................................................ 114
4.6.2 Segunda sesión ............................................................................................................... 120
4.6.3Tercera sesión ................................................................................................................. 129
4.7 Descripción y análisis de los resultados............................................................................ 134
4.7.1 Análisis de Fracción como Parte -todo .......................................................................... 134
4.7.2 Análisis de Fracción como razón ................................................................................... 136
4.7.3 Análisis de Fracción como medida ................................................................................ 137
4.7.4 Análisis Fracción como operador .................................................................................. 138
4.7.5 Análisis de Fracción como cociente .............................................................................. 139
Capítulo 5 ................................................................................................................. 141
Conclusiones, limitaciones y proyecciones .............................................................. 141
5.1 Respuesta a la pregunta de investigación.......................................................................... 141
5.2 Con relación a los objetivos .............................................................................................. 144
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
21
5.2.2 Situaciones problémicas................................................................................................. 148
5.2.3 Según las interpretaciones de los fraccionarios. ............................................................ 149
5.2.4 Clasificación de las dificultades..................................................................................... 152
5.2.5 Sugerencias para programa de intervención .................................................................. 155
5.2.5.2 Planes de clase ............................................................................................................ 157
5.3 Conclusiones Generales .................................................................................................... 165
5.3.1 Rol del docente .............................................................................................................. 166
5.3.2 Seguimiento: avance estudiantes ................................................................................... 167
5.4 Limitaciones ...................................................................................................................... 168
5.5 Proyecciones ..................................................................................................................... 170
Referencias bibliográficas ........................................................................................ 171
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
22
Lista de Gráficas
Gráfica 1. Análisis de Resultados de la Pregunta 1 del Cuestionario 1 .......................... 92
Gráfica 2. Análisis de Resultados de a Pregunta 1 del Cuestionario 1 ........................... 92
Gráfica 3. Análisis de Resultados de la pregunta 3 del Cuestionario 1 .......................... 93
Gráfica 4. Análsis de Resultados de la Pregunta 4 del Cuestionario 1 ........................... 94
Gráfica 5. Análisis de la pregunta 5 del Cuestionario 1 ................................................. 94
Gráfica 6. Análisis de Resultados de la Pregunta 1 del Cuestionario 2 .......................... 95
Gráfica 7. Análisis de resutlados de la Pregunta 2 del Cuestionario 2 ........................... 95
Gráfica 8. Análisis de Resultados de la pregunta 3 del Cuestionario 2 .......................... 96
Gráfica 9. Análisis de Resultados de la pregunta 4 del Cuestionario 2 .......................... 97
Gráfica 10. Análisis de Resultados de la pregunta 5 del Cuestionario 2 ........................ 98
Gráfica 11. Análisis de la Pregunta 6 del Cuestionario 2 ............................................... 98
Gráfica 12. Análisis de la Pregunta 7 del Cuestionario 2 ............................................... 99
Gráfica 13. Análisis de Resultados de la Pregunta 8 del Cuestionario 2 ...................... 100
Gráfica 14. Análisis de Resultados de la pregunta 1 del Cuestionario 3 ...................... 100
Gráfica 15. Análisis de la Pregunta 2 del cuestionario 3 .............................................. 101
Gráfica 16. Análisis de Resutlados de la Pregunta 3 del Cuestionario 3 ...................... 101
Gráfica 17. Análisis de Resutlados de la Pregunta 4 del Cuestinario 4 ........................ 102
Gráfica 18. Análisis de los Resulados de la Pregunta 5 del Cuestionario 3 ................. 103
Gráfica 19. Análiss de la Pregunta 6 del Cuestionario 3 .............................................. 103
Gráfica 20. Análisis de la Pregunta 7 del Cuestionario 3 ............................................. 104
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
23
Gráfica 21. Análisis de Resultados de la Pregunta 8 del cuestionario 3 ....................... 105
Gráfica 22. Análisis de Resutlados de la Pregunta 1 del Cuestionario 4 ...................... 106
Gráfica 23. Análisis de Resultados de la Pregunta 2 del Cuestionario 4 ...................... 106
Gráfica 24. Análisis de Resultados de la Pregunta 3 del Cuestionario 4 ...................... 107
Gráfica 25. Análisis de Resutlados de la Pregunta 4 del Cuestionario 4 ...................... 107
Gráfica 26. Análisis de Resultado de la Pregunta 1 del Cuestionario 5 ....................... 108
Gráfica 27. Análisis de Resultados de la Pregunta 2 del Cuestonario 5 ....................... 109
Gráfica 28. Análisis de Resultados de la Pregunta 2 del Cuestionario 5 ...................... 110
Gráfica 29. Análisis de Resultados de la Pregunta 3 del Cuestionario 5 ...................... 111
Gráfica 30. Análisis de la Pregunta 4 del Cuestionario 5 ............................................. 111
Gráfica 31. Análisis de Resutlados de la Pregunta 5 del Cuestionario 5 ...................... 112
Gráfica 32. Análisis de la primera parte de la pregunta 6 “¿Cuánto le falta a ¾ para llegar a 5?”
............................................................................................................................... 113
Gráfica 33. Análisis de Resutlados de la segunta parte de la pregunta 6 “¿Cuánto le falta a ¼
para llegar a 9?” ................................................................................................... 113
Gráfica 34. Análisis de Resultados de la tercera parte de la pregunta 6 “¿Cuánto le falta a 1/8
para llegar a 8?” ................................................................................................... 114
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
24
Lista de imágenes
Imagen 1. Forma como resuelven la pregunta 1 del cuestionario 1.” ....................... 115
Imagen 2. Justificación de la pregunta 2 del cuestionario 1 ..................................... 116
Imagen 3. Representacion de 1/3 en distintas formas ............................................... 116
Imagen 4. Forma como resuelven la pregunta, después de explicaciones ................ 116
Imagen 5. Forma como completan la unidad. .......................................................... 117
Imagen 6. Como intentean formar una figuar estándar............................................. 118
Imagen 7. Forma como completan una unidad discreta ........................................... 118
Imagen 8. Forma representan una fracción en un todo discreto ............................... 119
Imagen 9. Material explicativo de un todo discreto .................................................. 120
Imagen 10. Forma como realizan repartos ................................................................ 121
Imagen 11. Interpretación de situaciones de reparto ................................................ 122
Imagen 12. Estrategias para resolver situaciones de reparto .................................... 122
Imagen 13. Forma como representan 3 veces 1/8 ..................................................... 123
Imagen 14. Formas de representar la misma expresión ............................................ 124
Imagen 15. forma de representar la misma expresión y su justificación .................. 125
Imagen 16. Trabajo de la fracción como operador, con material concreto ............... 126
Imagen 17. Explicación de la fracción como operador............................................. 127
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
25
Imagen 18. Fracción como operador con material concreto ..................................... 128
Imagen 19. Forma como resuelven situaciones problémicas sobre la fracción como razón.
................................................................................................................................... 129
Imagen 20. Trabajo de la fracción como razón con material concreto ..................... 130
Imagen 21. Forma como representan una fracción en la recta ................................. 131
Imagen 22. Forma como identifican un punto sobre la recta .................................... 131
Imagen 23. Manera como marcan las fracciones en una recta ................................. 132
Imagen 24. Trabajo de las fracciones sobre la recta en papel milimetrado .............. 132
Imagen 25. Explicaciones e interpretaciones de la fracción en la recta .................... 133
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
26
Lista de Anexos
Anexo A. Cuestionario 1: Fracción como Parte-todo .................................................. 179
Anexo B. Cuestionario 2: Fracción como Operador .................................................... 180
Anexo C. Cuestionario 3: Fracción como Razón ......................................................... 181
Anexo D. Cuestionario 4: Fracción como Cociente .................................................... 182
Anexo E. Cuestionario 5: Fracción como Medida ....................................................... 183
Anexo F. Actividades para las Sesiones de Trabajo .................................................... 184
Anexo G. video de las Sesiones ................................................................................... 192
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
27
Resumen
Las dificultades que se presentan a los estudiantes al resolver problemas que involucran
fraccionarios ha sido el punto de partida de esta investigación. Estas han sido forjadas a partir
de los desarrollos de actividades de enseñanza y aprendizaje que se inician desde grado
tercero hasta la finalización de la secundaria o media. Se puede apreciar que los resultados de
las pruebas internas como externas evidencian las dificultades en resolver tareas que
involucran fracciones. Es por ello, que esta investigación muestra algunas de las
producciones de los estudiantes y algunas de las razones que hacen que los estudiantes tengan
errores sistemáticos al encontrarse con estas situaciones.
Igualmente, este estudio reconoce las investigaciones que en Didáctica de las
Matemáticas se han desarrollado para comprender este fenómeno educativo. Se destacan los
trabajos de Kieran (1990), Fandiño (2009), Obando (2014) entre otros.
Además, esta investigación es cualitativa de tipo exploratorio. Se elaboraró un diseño
investigativo de cuatro fases. La primera desarrolla el estudio de marcos de referencia y
plantea la problemática, en la segunda se diseñaron los talleres, la tercera se implementó los
talleres y la cuarta fase se analizaron los resultados.
Por ende, la exploración y la observación de las actividades de los estudiantes se pudo
observar que los estudiantes emplean la relación parte-todo en todos los casos, impidiéndoles
analizar relaciones que exigen otras interpretaciones. Su apoyo visual de las relaciones de la
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
28
unidad con las partes es la estrategia más empleada y al movilizarse a magnitudes discretas se
complica establecer una trasferencia. Se le suma que no construyen la idea de equivalencia
entre los fraccionarios. Esto hace que se limite sus acciones cuando se enfrentan a situaciones
problema.
Palabras clave:
Dificultades específicas de aprendizaje en matemáticas, fraccionario, resolución de
problemas, fracción.
Abstract
The difficulties learning by students in solving fractional problems have been the starting
point of this research. These have been forged from the development of teaching and learning
activities that start from the third grade to the end of secondary or secondary education. The
results of the internal and external tests show the difficulties in solving tasks involving
fractions. That is why this research shows some of the productions of the students and some
of the reasons that make students have systematic errors when encountering these situations.
Likewise, this study recognizes the researches in Didactics of Mathematics have been
developed to understand this educational phenomenon. We highlight the works of Kieran
(1990), Fandiño (2009), Obando (2014) and others.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
29
In addition, this research is qualitative of exploratory type. A four-phase research design
was developed. The first develops the study of frames of reference and raises the problem, the
second was designed the workshops, the third was implemented the workshops and the fourth
phase analyzed the results.
Thus, exploration and observation of students' activities showed that students use the
part-whole relationship in all cases, preventing them from analyzing relationships that require
other interpretations. Their visual support of the relations of unity with the parties is the most
used strategy and when mobilizing to discrete magnitudes it is difficult to establish a
transference. It is added that they do not construct the idea of equivalence among the
fractional ones. This causes them to limit their actions when faced with problem situations.
Key words:
Specific learning difficulties in mathematics, fractional, problem solving, fraction.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
30
Introducción
La mayoría de las investigaciones en torno a los fraccionarios se han desarrollado en básica
primaria. Existen pocos estudios que analicen la situación en secundaria o universidad. Es por
ello, que se ha encontrado que unos de los contenidos más complejos para enseñar y
comprender son los números fraccionarios que se extiende a los números racionales en los
currículos de habla hispana. Desde esta perspectiva surge el presente estudio que indaga las
dificultades de aprendizaje de los fraccionarios y posibles formas de intervención en
estudiantes de grado séptimo.
Este estudio define algunas de las dificultades de aprendizaje de los estudiantes en las
diferentes interpretaciones que se han establecido en situaciones problema como parte-todo,
medida, operador, razón y/o cociente enfocándose en establecer elementos para identificar la
dificultad como algunas sugerencias de intervención coherente a la forma conceptual que
exige a la fracción.
Para tal efecto se pretende brindar herramientas (material concreto, diferentes notaciones de
las fracciones, preguntas orientadoras, entre otros) a los estudiantes, las cuales les favorezcan
la adquisición del concepto de fracción, al tiempo que les permitan explorar situaciones en las
que se evidencien diversas interpretaciones del concepto.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
31
El presente informe del estudio se organizó cinco capítulos. En el primer capítulo, se realiza
la contextualización del problema, la pregunta orientadora y los objetivos, acompañado de la
justificación y algunos antecedentes de investigaciones realizadas al respecto.
A continuación en el segundo capítulo se aborda el marco teórico sobre las dificultades de
aprendizaje (González-Pienda y Álvarez (1998); Mastropieri, Scruggs y Chung (1998);
Garnett (1998); González-Pienda (2000); Miranda, Fortes y Gil (2000); Defior (2000); García
(2001); entre otros, citados por Romero y Lavigne, (2005)) quienes centran su análisis en las
discalculias evolutivas, que son las que surgen en el curso del desarrollo y proceso de
aprendizaje de la construcción del número natural y concepciones sobre las fracciones
(Kieran (1980), Llinares (2003), Escolano y Gairín (2015), Fandiño (2009), Obando (2006),
Chamorro (2003), Charalambous y Pitta Puntazzi (2007), Lamon (2007), que se destacan por
realizar estudios sobre la enseñanza de los números racionales a partir de una o más
interpretaciones, estableciendo los obstáculos de aprendizaje que se presentan al trabajar una
sola de ellas y las ventajas didácticas que se obtienen al estudiar el concepto de fracción
tomando como referencia dos o más significados dependiendo del contexto y de las relaciones
que se establezcan entre ellas.
En el capítulo tercero, se aborda la justificación y la organización del diseño metodológico de
orden cualitativo de tipo exploratorio. Se realiza para 32 participantes la indagación sobre las
formas de resolución de situaciones de las fracciones según cada interpretación y a partir de
ahí se definen sesiones de trabajo con 12 estudiantes para realizar la intervención y la
exploración de forma detallada.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
32
En el cuarto capítulo se aborda los análisis de resultados de los cuestionarios como de algunas
formas de interpretación y finalmente en el quinto capítulo se aborda las conclusiones,
limitaciones y proyecciones del presente estudio.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
33
Capítulo 1
Descripción de Problemática de Investigación
1.1 Justificación
Los docentes como facilitadores del proceso enseñanza aprendizaje deben contribuir en el
desarrollo de habilidades y destrezas de pensamiento matemático en los estudiantes de
cualquier grado de la básica y media. Esto hace que el docente identifique las fortalezas y
debilidades de los estudiantes y reconozca las relaciones conceptuales que debe establecer
para comprender los fraccionarios. Por tanto, se debe determinan actividades que movilicen
estas relaciones, para que los estudiantes no generen dificultades de aprendizaje o trasfieran
saberes sin adaptarlos a la situación.
Por la misma línea, los procesos curriculares que se destacan en educación matemática en
la básica secundaria, en grado séptimo, uno de los objetivos es que los estudiantes logren un
aprendizaje significativo del concepto de fracción y sus diferentes interpretaciones, pero es
precisamente en este grado donde se evidencian las mayores dificultades de comprensión de
este concepto (MEN, 1998, 2006, 2016).
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
34
A pesar que existe un proceso de construcción desde grado segundo, se ha encontrado
que los estudiantes e incluso algunos docentes no manejan las interpretaciones de los
fraccionarios en varias situaciones y por tanto solo potencia el significado de fracción parte-
todo. Además, el estudiante, dentro del lenguaje cotidiano, emplea expresiones fraccionarias,
por ejemplo: como parte del tiempo: un cuarto de hora, media hora; o de capacidad: litro y
medio; entre otras. Los estudiantes no logran establecer la implicación que estos enunciados
tienen, es decir, si recibe media manzana el estudiante no está pensando en la relación que
tiene esta porción con la manzana entera.
También las diferentes pruebas internas o externas muestran debilidades y confusiones de
los estudiantes al resolver algoritmos que involucran fraccionarios. Por ejemplo: en la suma y
en la resta, suelen sumar numerador con numerador y denominador con denominador; o
pueden presentarse situaciones problemáticas en las que resuelven correctamente los
algoritmos, pero no relacionan la respuesta con el enunciado.
Algunos de los resultados, ilustran que un gran porcentaje de los estudiantes asimilan el
concepto de fracción como parte de un todo y los procedimientos usados por ellos evidencian
que prefieren utilizar los conceptos de numerador y denominador como entidades separadas,
hecho que genera dificultad en la comparación de fracciones, la equivalencia de fracciones, la
magnitud, la estimación y otras ideas importantes que determinan el sentido numérico de las
fracciones.
La intención de desarrollar conceptos desde la comprensión requiere como cita Vergnaud
((1990), citado en Moreira, M., (2002)), que el conocimiento emerja de problemas que puedan
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
35
ser resueltos; en este sentido, la instrucción escolar debe ofrecer diversas situaciones, para que
los estudiantes puedan descubrir diferentes relaciones de un mismo contenido matemático.
También, existen vacíos entre el conocimiento que los estudiantes poseen de un
determinado contenido matemático, en el caso de las fracciones pueden hacer referencia a un
conjunto de situaciones, tan limitado que los alumnos no podrán ni usar las herramientas
necesarias para resolver ciertas situaciones problema. Esto lo reafirma D´Amore, M. (2006),
el estudiante en el tiempo construye un concepto y se hace una imagen de éste; imagen que se
valida y refuerza en la formación escolar a partir de pruebas, experiencias repetidas, figuras,
ejercicios resueltos y aceptados por correctos por parte de los docentes; pero esta imagen
puede resultar inadecuada con respecto a otra del mismo concepto propuesta por el maestro,
por un texto o por otros; no esperada, es decir, en contraste con la que le estudiante creía
definitiva.
Estas situaciones pueden generar dificultades en los estudiantes, principalmente cuando la
nueva imagen amplía los límites de aplicabilidad del concepto, por ejemplo, concepciones
como: “la multiplicación aumenta”, pues esto se evidencia cuando realizamos
multiplicaciones entre dos números naturales, como 2x5 es totalmente claro que 10 es mayor
que 2 y que 5, pero cuando la multiplicación es entre un número fraccionario y un número
natural, ½ x 4, el modelo ya no funciona y la regla de aumento fracasa. De manera análoga se
tiene el concepto de que la división disminuye, el estudiante ha estado acostumbrado durante
varios años a dividir un número grande entre otro más pequeño “tengo 20 colombinas para
repartir entre 5 niños, cuántas le corresponden a cada uno”; es decir, la división es concebida
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
36
como repartición. Pero al proponer dividir 5 entre 1/3. El concepto intuitivo pierde significado
y nuevamente el modelo fracasa.
Las diferentes interpretaciones que se da a las fracciones son otro problema para los
estudiantes, ya que generan dificultades en la adquisición del concepto; esto conlleva a que
los estudiantes tiendan a memorizar los algoritmos restando empeño al significado y
aplicación. Brown y Quinn (2006), citado en Valesca, K (2010, p. 12) afirman que:
“si el estudiante aprende a base de algoritmos cuando el concepto va más allá de la
fuerza cognitiva del aprendiz entonces este deja su propio pensamiento y opta por la
memorización haciéndolo sin entender.”
De ahí que el estudiante debe adquirir la capacidad de relacionar conceptos matemáticos en
diferentes contextos, en este caso con los números fraccionarios.
Al analizar las dificultades que se evidencian en estudiantes de grado séptimo cuando
resuelven situaciones que involucran números fraccionarios, se puede establecer que estas
dificultades no dependen únicamente de la falta de conocimientos o de la falta de atención;
sino también de los conceptos matemáticos mismos o del efecto de un conocimiento anterior
que ya no funciona en el conjunto de los números.
Para la resolución de problemas no basta con el manejo de algoritmos y conceptos, sino
que es preciso garantizar el manejo de algunas técnicas específicas, el uso de relaciones
lógicas, procesos de reflexión y la contextualización de las situaciones, de tal manera que se
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
37
asegure el manejo adecuado tanto del concepto como de los algoritmos con los números
racionales (Obando, 2003).
Por tanto, esta investigación busca aportar a determinar las dificultades de aprendizaje
como dar elementos sobre la intervención en el desarrollo conceptual de los fraccionarios.
1.2 Definición del problema
A nivel curricular, se ha establecido que las fracciones son un contenido estudiado desde
educación primaria con mayor énfasis en tercero, cuarto y quinto, luego en secundaria se
aborda el conjunto de los números fraccionarios como racionales positivos en sexto y se
incluye los racionales negativos en séptimo. Sin embargo, en ambos niveles no se cuenta con
los conocimientos previos para desarrollar las actividades propuestas, evidenciándose así la
ausencia de aprendizaje significativo. Linares (2003) afirma que la dificultad en la enseñanza y
aprendizaje de los números fraccionarios se fundamenta en que:
Están relacionados con diferentes tipos de situaciones (situaciones de medida,
con el significado de parte de un todo, o como parte de un conjunto de objetos,
de reparto utilizadas como cociente, como índice comparativo usadas como
razón, y como un operador). Y, además, pueden representarse de varias
maneras (3/4, fracciones; 75/100, fracciones decimales; 0, 75, expresiones
decimales; 75%, porcentajes). (p.10).
Harting (1958), citado en Hincapié, C., (2011), plantea:
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
38
El concepto de fracción es complejo y no es posible aprehenderlo enseguida. Es preciso
adquirirlo a través de un prolongado proceso de desarrollo secuencial y acorde a las exigencias
de su conceptualización. Lo que pone de manifiesto, la necesidad de trabajar de manera más
profunda para lograr avances significativos en la asimilación del concepto de fracción y sus
diferentes significados. Linares (2003), referencia a Vergnaud (1990, p. 11) afirmando que:
El dominio de las fracciones hace parte de un campo conceptual constituido por un conjunto
de situaciones cuyo dominio progresivo requiere la utilización de una variedad de
procedimientos, de conceptos y de representaciones que están en estrecha conexión.
Diversas investigaciones en el campo matemático destacan la importancia de abordar los
diferentes significados de la fracción: la fracción como partidor (relación parte-todo) a veces
continua y a veces discreta, la fracción como cociente, la fracción como operador, la fracción
como razón, la fracción como razón y la fracción como medida. La relación entre la fracción,
fraccionario y racional hace posible la adquisición del concepto de proporcionalidad. Así
mismo contribuye a la construcción del conjunto de los números racionales a nivel de
densidad y completitud.
Por otra parte, y teniendo en cuenta los lineamientos curriculares (MEN, 1998), los
estándares básicos de competencias en matemáticas (MEN, 2006) y los derechos de
aprendizaje (MEN, 2016), se espera que los estudiantes al finalizar séptimo grado alcancen
unos aprendizajes conceptuales y significativos con relación a las fracciones y sus diferentes
interpretaciones. Por lo general cuando se enseñan números fraccionarios, se le dedica mayor
tiempo a la representación parte-todo, fraccionando la unidad y a la aplicación mecánica de
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
39
los algoritmos, desconociendo aspectos como el razonamiento y la comprensión del concepto;
aspectos que sin duda son fundamentales en la formulación y resolución de problemas, porque
es allí donde ponemos de manifiesto la asimilación de los diversos conceptos y su aplicación.
En este estudio se asume que cuando los estudiantes deben resolver un problema que
involucra los números racionales de antemano establecen relaciones coherentes entre el
enunciado, la traducción del mismo al lenguaje matemático, el reconocimiento del concepto y
la aplicación del algoritmo correspondiente. Es ahí, donde se pretende que por medio de la
resolución de problemas; los conceptos, algoritmos y estrategias utilizadas adquieran un
carácter significativo. Obando (2003), expresa que por medio de los problemas se fundamenta
la conceptualización matemática, de tal manera que permite el desarrollo del razonamiento,
del pensamiento matemático y del aprendizaje de conceptos, en este caso del número racional.
Brousseau tomado de Barrantes (2006) propone algunas alternativas para guiar el proceso de
enseñanza como: estudiar las condiciones que deben cumplir los problemas propuestos con el
fin de favorecer la aparición y el manejo de conceptos y así mismo proveer las condiciones
necesarias para identificar las dificultades que pueden tener los estudiantes.
También se ve la necesidad de promover en el estudiante, la constante interacción con
situaciones que permitan la resolución de problemas, que evidencien el manejo constante de
los conocimientos aprendidos, evitando que el aprendizaje se reduzca a utilizar un algoritmo
convirtiéndolo en un asunto puramente técnico y memorístico que no logra ser transferido a otro
contexto y en otra situación de aprendizaje.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
40
Retomando a Socas y Radatz (1997), la manifestación de las dificultades se hace a través
de errores, que son las manifestaciones explícitas de lo que pueda pasar en los estudiantes que
no les permite avanzar en este caso, en la resolución de problemas donde intervengan
números racionales.
Esto hace necesario promover en el estudiante situaciones que permitan la solución de
problemas, donde requiera el manejo constante de los conocimientos aprendidos y no se
reduzca a un manejo técnico y memorístico que no logra trascender a otro contexto o a otra
situación de aprendizaje; de lo contrario se continúan fortaleciendo muchas dificultades que
impiden la adquisición de nuevos conocimientos en forma apropiada y clara.
Con lo anteriormente expuesto surge la siguiente pregunta de investigación:
¿Cuáles son las dificultades de aprendizaje más frecuentes que presentan los estudiantes de
grado séptimo del Colegio Altamira Sur Oriental I.E.D, jornada tarde, en la resolución de
problemas donde intervienen números fraccionarios y qué sugerencias para programas de
intervención se pueden implementar?
1.3 Objetivo General
Analizar dificultades de aprendizaje que se presentan a los estudiantes de grado séptimo
del Colegio Altamira Sur Oriental I.E.D, jornada tarde, en la resolución de problemas donde
intervienen números fraccionarios con el fin de dar sugerencias a programas de intervención.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
41
1.4 Objetivos Específicos
• Definir situaciones problémicas para identificar interpretaciones de los estudiantes
en torno a los fraccionarios.
• Identificar las dificultades de aprendizaje que presentan los estudiantes de grado
séptimo en la resolución de problemas con números fraccionarios.
• Caracterizar las dificultades de aprendizaje que presentan los estudiantes de grado
séptimo en la resolución de problemas con números fraccionarios.
• Establecer sugerencias para programas de intervención en estudiantes con
dificultades en el uso y aplicación de números fraccionarios.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
42
Capítulo 2
Marco Teórico
En este capítulo se desarrolla la parte teórica del estudio. Se aborda los antecedentes y el
marco teórico en dos categorías: una sobre dificultades de aprendizaje y sobre las
interpretaciones de las fracciones.
2.1 Antecedentes de la investigación
Los antecedentes abarcan investigaciones desde 1998 a 2015. Se organizaron en forma
cronológica cuyo interés son las fracciones en un contexto de enseñanza o psicológico.
El trabajo de Gairín, J (1998), titulado: sistemas de representación de números racionales
positivos, un estudio con maestros en formación, muestra la preocupación por incrementar la
comprensión que tienen estos estudiantes sobre números racionales, en el sentido de
establecer conexiones consistentes entre las notaciones fraccionaria y decimal y la forma
como influye la posible modificación de los conocimientos personales de estos estudiantes en
la realización de tareas docentes.
La metodología empleada fue la investigación-acción, enmarcada en el paradigma
cualitativo. En la primera etapa del estudio, la investigación-acción permite profundizar en la
interpretación de los significados que construyen los futuros maestros ante una propuesta
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
43
curricular, atendiendo a los fenómenos que aparezcan, a su descripción y a la formulación de
conjeturas. Se elabora e implementa una propuesta didáctica a un grupo natural de estudiantes
de la diplomatura de maestros de educación primaria.
Para ello se define un modelo desde el que se construyen dos sistemas de representación
de cantidades no enteras de magnitud, a través de estos se conceptualiza a las expresiones
fraccionaria y decimal como resultado de repartos igualitarios, y se pone de manifiesto que las
notaciones fraccionaria y decimal admiten una estructura numérica similar.
En la segunda etapa se aplica la metodología de la entrevista a tres estudiantes que
intervinieron en la primera etapa, para indagar entre las relaciones entre las producciones
previas de estos estudiantes y su actuación como profesores que revisan tareas realizadas por
escolares. Se establece que si los docentes tienen mayor comprensión del modelo entonces se
les facilita detectar y diagnosticar los errores de los estudiantes en las diversas
representaciones y actividades de aula.
Otro trabajo es el realizado por el Doctor Obando G (2003), titulado La enseñanza de los
números racionales a partir de la relación parte-todo, en esta investigación se plantea la
posibilidad de organizar la enseñanza de los números racionales a partir de la relación parte-
todo. La investigación tuvo carácter interdisciplinario, involucro la historia, matemática y
didáctica de las matemáticas. Este estudio se abordó desde las etapas de la ingeniería didáctica
que consisten en establecer relaciones entre la génesis de la construcción del concepto y la
historia del mismo en la construcción de la disciplina para abordar las situaciones didácticas y
adidácticas pertinentes para que resurja el concepto en el estudiante (Artigue, M y otros,
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
44
1995). En este trabajo los resultados evidencian la necesidad de recuperar para la enseñanza
de los números racionales aspectos relacionados con la medida, el tipo de magnitud y el tipo
de unidad.
La concepción de la fracción como parte-todo con los tres aspectos señalados
anteriormente permite desarrollar en los alumnos procesos de aprendizaje constructivos y
autónomos, en lo relacionado con relación de orden, de equivalencia y la operación aditiva en
los números racionales, pero la investigación también muestra la debilidad que hay desde esta
perspectiva para adquirir conceptos relativos a la estructura multiplicativa de los números
racionales.
El trabajo que lleva por título Modelos de medida para la enseñanza del número racional
en educación primaria, realizado por Escolano, R y Gairín, J. (2005), tiene por objetivos
mostrar los obstáculos didácticos provocados al priorizar la enseñanza de la fracción como
parte-todo y presentar una propuesta didáctica que se apoya en el uso de tres modelos de
aprendizaje: el modelo de medida para introducir las fracciones; el modelo de cociente para
fortalecer las conexiones entre las notaciones fraccionaria y decimal y el modelo de razón
para construir ideas sobre proporcionalidad aritmética. Con base en lo trabajado en la
propuesta los autores concluyen que la fracción con significado parte-todo no surge de las
necesidades humanas, sino de los recursos didácticos empleados para la enseñanza y del
aprendizaje de las matemáticas y como consecuencias obstaculizan la formación de
concepciones adecuadas, la separación conceptual del número racional y del número natural;
y, la formación de ideas abstractas.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
45
Este estudio tiene como metodología el paradigma constructivista del aprendizaje que
prioriza el aprendizaje personal y en grupo potenciando el aula como espacio natural para la
construcción del conocimiento. Sus conclusiones muestran que las respuestas de los alumnos
a las tareas propuestas indican la desaparición de obstáculos didácticos, las fracciones propias
e impropias tienen el mismo estatus como expresión de cantidades de magnitud; las fracciones
son entes numéricos asociados a la medida y la unidad de medida juega un papel esencial para
interpretar las fracciones.
Por la misma línea, el trabajo sobre el manejo de números racionales: habilidad de todos
realizado por García, G; Araque, C; Cabra, L; Infante, J; y Ramírez, F. (2006) pretende
conocer el tipo de dificultades que presentan los estudiantes de grado sexto y séptimo en
relación a las operaciones básicas con racionales y el tipo de estrategias que se pueden
implementar para superarlas. Con el propósito de introducir diferentes unidades y contextos
para la significación de las fracciones en su relación parte-todo (contextos de medida,
unidades continuas y discretas), favorecer la manipulación de materiales concretos y modelos
geométricos, como mediaciones en la reconceptualización del concepto de fracción,
fracciones equivalentes y estructura aditiva y propiciar procesos de tratamiento y conversión
entre diferentes representaciones de racionales.
Para la investigación se aplicó una prueba a 50 estudiantes de los grados sexto y séptimo
de manera aleatoria, y después de analizar las dificultades de los estudiantes de acuerdo a los
resultados de las pruebas se aplicó una encuesta a 10 docentes de matemáticas para indagar
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
46
sobre las posibles causas de las dificultades. Dentro de los resultados obtenidos se pueden
destacar: las estrategias implementadas permitieron comprender la relación parte- todo está
mediada por la manipulación de diferentes materiales y su expresión numérica.
Se evidencio el enfrentamiento por parte de los alumnos a la necesidad de dar argumentos
para probar y discutir sus apreciaciones. También observaron que la estrategia utilizada por
los estudiantes en la resolución de tareas deja ver claramente que la forma como construyen
las respuestas los acerca a los algoritmos para obtener fracciones equivalentes y se espera que
pase lo mismo con la estructura aditiva; es decir, se afirma que se dio un salto cualitativo
entre un proceso y su generalización de forma comprensiva.
Otro estudio, Perera, B y Valdemoros, M (2007), realizaron una investigación en la que
buscan establecer si una enseñanza matemática realista y lúdico con un enfoque
constructivista, le permitirá al niño la elaboración de la noción de fracción y los significados
de medida, cociente intuitivo y la idea de operador multiplicativo. Este estudio se realizó con
un grupo de cuarto grado de primaria, analizando los avances de niños de 9 años dentro del
aula. Las actividades que se incluyeron fueron:
Recortar e identificar del todo (continuo) la fracción representada por diversas figuras.
Medir distancias para obtener partes fraccionadas de un todo.
Reconocer la parte fraccionaria que se genera al cubrir figuras con un todo continuo o
discreto en situaciones planteadas.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
47
Distinguir las partes fraccionarias de un todo continuo o discreto en situaciones
problemáticas que se desarrollan en una fiesta de cumpleaños. e) Solucionar
situaciones de reparto de artículos en un mercado.
Completar la reducción de figuras relacionadas con la clase de educación física. Estas
tareas se desarrollaron en diferentes escenarios para representar los distintos espacios
de aplicación de las fracciones.
El estudio confirmo que la aplicación de estas estrategias generó que la mayoría de los
estudiantes pudieran realizar particiones en dos, tres, cuatro y seis partes iguales de todos
continuos y utilizaran expresiones simbólicas de la fracción para nombrar la parte
fraccionaria. En cuanto al cociente intuitivo un gran porcentaje de estudiantes no presentó
problemas para resolver tareas vinculadas con reparto, efectuaron procedimientos apropiados
al repartir todos continuos y discretos, entre un número determinado de personas y
establecieron la relación de orden entre las partes fraccionarias obtenidas de dos repartos
diferentes.
Para el operador multiplicativo la mayoría de los niños no tuvieron dificultades para
disminuir a la mitad los lados de una figura, pero el 50% no pudo reducir la figura a 1/3 y
tampoco pudieron hacer las reducciones cuando la figura está formada por líneas inclinadas.
Se puede establecer que estas experiencias logran que los estudiantes formen conceptos
acordes a las acciones y las reflexiones que proponen cada una de las actividades.
Por otro lado, el trabajo titulado La razón y la fracción: un vínculo difícil en las
matemáticas escolares realizado por Ramírez, M y Block, D, (2008). Se enfoca en responder
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
48
las preguntas ¿qué se entiende hoy día por proporcionalidad?, ¿qué se enseña sobre este tema
y con cuál propósito? y ¿qué dificultades se enfrentan? Ofrece una secuencia de situaciones
didácticas por el docente, elaboradas a partir de un estudio previo matemático y didáctico,
sobre la proporcionalidad y su enseñanza con el auxilio de herramientas de la teoría
antropológica de lo didáctico; observando y registrando el trabajo de los estudiantes para
interpretar y explicar lo que ocurre en el aula.
En esta investigación, la introducción de las fracciones en el proceso de aprender a
resolver problemas de proporcionalidad resultó problemática; en algunas ocasiones, fue
superficial, quedando como una manera más de nombrar las cosas, creándose con ello, en el
nivel de representación simbólica, una identidad entre razón y fracción, pero con un
significado poco claro para los estudiantes. En otros momentos, las fracciones prestaron la
técnica de la simplificación para comprobar que todas las razones en juego eran equivalentes,
pero los alumnos no lograron articularlas con sus procedimientos, más bien, las fracciones
tendieron a restar visibilidad a estos últimos.
Desde el punto de vista de los autores, las fracciones y los decimales sí pueden constituir
una expresión muy útil de las razones. Con esa expresión es como cobran su mayor
operatividad en el sentido de facilidad para el cálculo. También con esa expresión permiten
poner de manifiesto, con la mayor claridad, la idea de razón constante entre cantidades
variables.
Sin embargo, el estudio de Flores, R (2010), hace referencia a los significados asociados a
la noción de fracción en la escuela secundaria, propuesta que se abordó para una revisión
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
49
teórica de la disciplina, en donde se encontraron entre 12 y 14 significados asociados a la
noción de fracción, los alcances que han tenido y las posibles limitaciones que han surgido.
Además, estudio la forma como se presenta en los libros de textos. Y se suma que se
elaboró un instrumento con seis problemas para determinar los significados que los
estudiantes emplean para resolver situaciones fraccionarias. Finalmente, en este trabajo se
concluye que a pesar de la diversidad de significados de la noción de fracción es posible intuir
que la mayoría de los estudios realizados tanto a nivel nacional como internacional solo
exploran con uno o dos de los significados.
También se detectó la importancia de fomentar en los estudiantes recurrir a un tipo de
representación de la información del problema o situación para facilitar herramientas que
quizás no se encuentren en la solución esperada.
En el mismo camino, el trabajo concepciones matemáticas en los estudiantes de séptimo
grado acerca de las fracciones y sus diferentes interpretaciones de Valesca, C. (2010) busca
identificar las estrategias que los estudiantes usan para resolver problemas con fracciones, los
errores que cometen y las dificultades que se les presentan. Se espera trabajar con las
interpretaciones parte todo, la fracción como operador, la fracción como medida y la fracción
como cociente por medio de instrucciones didácticas y actividades de aprendizaje
encaminadas a mejorar la calidad educativa, desarrollar actividades de pensamiento y
destrezas en las operaciones con fracciones; reducir las dificultades y errores encontrados en
el proceso de aprendizaje de los alumnos y se tomaron como base actividades implementadas
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
50
en otros contextos que han demostrado contribuir al desarrollo exitoso del concepto de
fracción .
Esta investigación es cualitativa de tipo exploratorio de tal manera que se permita conocer
las perspectivas y puntos de vista de los participantes y se interesa por los procesos y por el
significado de las acciones humanas. Se dividió en dos etapas: diagnostica y de ejecución.
En la etapa diagnóstica, que se realizó con 56 estudiantes para determinar las habilidades,
dificultades y errores que presentan al resolver situaciones que involucren números
fraccionarios y sus diferentes interpretaciones. La segunda etapa de ejecución se realizó con
14 estudiantes seleccionados en jornada contraria en esta etapa se analizó el desempeño de los
estudiantes con la finalidad de explorar los conocimientos que tenían sobre fracciones, las
dificultades, errores, avances y logros presentados durante el proceso. Por medio de la
resolución de guías, de laboratorios, desarrollo de actividades lúdicas de manera individual y
grupal, bajo el enfoque de resolución de problemas.
Después de las actividades realizadas la autora concluye que las estrategias de los
estudiantes es el uso de diagramas, la representación en la recta numérica, utilización de
fracciones equivalentes para transformar las fracciones a común denominador y poder realizar
operaciones. Sin embargo, se encontró un gran porcentaje de errores en la ubicación de las
fracciones en la recta numérica, en el mal uso de algoritmos y en la identificación de las
operaciones que deben utilizar en la resolución de un problema.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
51
También se destaca que la estrategia de resolución de problemas proporcionó recursos
tanto al docente como a los estudiantes para desarrollar habilidades, destrezas y una mejor
comprensión del concepto de fracción en sus diferentes interpretaciones.
En la misma vía, Sancheza, F; (2010), en su trabajo sobre las representaciones en el
conjunto de los números racionales, tiene como propósito responder cuestionamientos como:
¿qué tipo de representaciones semióticas utilizan los estudiantes en la comprensión del
concepto de número racional? En este estudio propone identificar y estudiar las
representaciones que tienen los estudiantes de grado 5 acerca del concepto de número racional
y sus diferentes movilizaciones entre cada uno de los sistemas semióticos de representación.
Esta investigación es de carácter cuantitativo-interpretativo, se estudió parte de la teoría
existente sobre las representaciones en los racionales, se construyó un cuestionario
contextualizando las preguntas en una situación de suministro de un medicamento, en donde
se exige realizar conversiones de la escritura fraccionaria a escritura decimal y las dificultades
encontradas en el análisis de los procedimientos escritos por los estudiantes en la actividad
diagnóstico y el estudio de diversos documentos e investigaciones condujeron a la
construcción de un instrumento que permitió dar a la luz las dificultades que los estudiantes
tienen en las diversas congruencias de los registros de representación.
Por otro lado, el estudio Castro, E (2010), establece una relación entre fraccionar y
repartir: un estudio con maestros en formación inicial. Se destacan situaciones como ¿por qué
las fracciones representan dificultades para algunos estudiantes y profesores en formación?, lo
cual requiere identificar y categorizar los significados que sobre fraccionar y repartir sustentan
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
52
los estudiantes, en función del campo conceptual de las fracciones, analizar las relaciones que
surgen entre las categorías establecidas para interpretar los significados sobre fraccionar y
repartir, teniendo en cuenta aspectos verbales y gráficos. Este estudio bajo la metodología
descriptiva, y a través de la encuesta también se destaca el empleo de un enfoque inductivo en
el análisis de respuestas para describir y organizar los diferentes conceptos e ilustraciones
sobre la idea de fraccionar y repartir.
A manera de conclusión se destaca que las nociones de fraccionar y repartir expresan
significados distintos tanto en los signos con que se representan las nociones como en el
sentido verbal y conceptual que transmiten. Un 80% define el concepto de fraccionar con la
idea de dividir, las ilustraciones se encuadran dentro de la magnitud de superficie (círculo o
rectángulo). Aunque en las respuestas verbales expresan de forma mayoritaria la idea de
dividir como principal significado de fraccionar a la hora de representarlo gráficamente lo
hacen mediante una figura dividida con una parte coloreada, reflejo de uno de los significados
más comunes de las fracciones, el de parte-todo. Con respecto a la pregunta ¿qué es repartir?
Se encontró que la mayoría de los participantes expresan la idea de repartir cómo un concepto
propio, mediante una nueva definición, sin estar relacionada con la definición de fraccionar.
Por la misma línea del trabajo, el investigador Hincapié, C. (2011), busca fortalecer las
prácticas de enseñanza de los docentes en la básica primaria, en cuanto a la conceptualización
de las fracciones y la utilización de sus representaciones para establecer relaciones entre sus
diferentes significados como partidor, cociente, operador, razón y medida. Este estudio,
diseño e implemento talleres para ser trabajados por equipos pequeños, se desarrollaron guías
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
53
para reconceptualizar con los docentes las nociones básicas del tema, fortalecer las prácticas
de enseñanza y provocar reflexiones, y de esta manera avanzar hacia los sistemas
conceptuales con los estudiantes de primaria y poder favorecer en secundaria, el desarrollo de
representaciones simbólicas, los decimales, los porcentajes, la comprensión de
proporcionalidad y la construcción de los números racionales entre otros.
El trabajo realizado por Ríos, Y. (2011), titulado concepciones sobre las fracciones busca
dar respuesta a preguntas como ¿cuáles son las representaciones externas que utilizan los
alumnos para comunicar las ideas matemáticas? y ¿cuáles son los niveles de aprendizaje
logrados en las competencias conceptuales asociadas al concepto de fracción? Por medio de la
determinación de los niveles de estructuración progresiva que logran los alumnos respecto a
las competencias conceptuales asociadas a fracciones de la caracterización de las
representaciones externas que utilizan los alumnos al comunicar ideas matemáticas referidas
al concepto de fracción y de la categorización de las dificultades que presentan los alumnos en
este tema.
El método utilizado en esta investigación es inductivo, descriptivo, explicativo
longitudinal, se recolectó información y se complementó con entrevistas y observaciones de
clase durante cuatro años. Dentro de las conclusiones se destacan que la interpretación de
fracción como número racional es de mayor complejidad. Las interpretaciones del símbolo de
fracción impropia y número mixto, reparto, operador, razón, número decimal, medida para la
fracción impropia, totalidad fraccionada y definición del concepto de fracción de mediana
complejidad. Finalmente, lectura de las fracciones, interpretación del símbolo de fracción para
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
54
las fracciones propias y unitarias, interpretación como parte todo y de la fracción propia como
de baja complejidad.
Igualmente, Pruzzo, V, (2012) en su trabajo que se orienta con la pregunta ¿Problema o
aprendizaje o problemas de la enseñanza? Se plantea diversos interrogantes como ¿qué
aprendizajes han logrado los alumnos de secundaria sobre los números fraccionarios?, ¿Qué
errores se detectan? y ¿Puede establecerse relaciones entre los errores y lagunas de
aprendizaje con las propuestas de actividades? La investigación se realiza bajo una
perspectiva cualitativa que intenta asignar sentidos y significados a los desempeños escolares
en el ámbito delas fracciones. Para ello se seleccionaron a 433 alumnos a los cuales se les
aplicó una evaluación redactada y empleada por una profesora de matemáticas, se sometió el
dispositivo a juicio de expertos, para luego elaborar escalas descriptivas para evaluar las
respuestas de los alumnos en niveles que señalan el logro de aprendizajes básicos sobre
fracciones.
En una propuesta para la enseñanza de fracciones en el grado sexto realizado por
Hurtado, E, (2012), se pretende promover el aprendizaje de las fracciones, a partir de la
resolución de problemas; para lo cual se realizó un estudio exploratorio, sobre la comprensión
de la fracción con los estudiantes de grado sexto, cuando se usa como estrategia en la solución
de problemas, con el fin de identificar las dificultades que presentan los estudiantes para el
aprendizaje de las fracciones y desarrollar habilidades para la comprensión, aplicación e
interpretación de situaciones que requieran del uso de fracciones en diferentes contextos.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
55
El desarrollo de la propuesta se basa en la resolución de problemas teniendo en cuenta los
cuatro pasos básicos que propone Polya: - Comprender el problema - Concebir un plan -
Ejecutarlo - Examinar la solución Se aplicó una evaluación inicial diseñada con el propósito
de indagar por los conocimientos de los niños sobre las fracciones. Los resultados se
valoraron para identificar las dificultades que presentan los alumnos para comprender el
significado de las fracciones y los procedimientos que utilizan cuando aplican las fracciones
en la solución de problemas. Los estudiantes realizaron las actividades propuestas, primero de
manera individual y luego en grupos de tres estudiantes. Los procedimientos fueron valorados
por los integrantes de cada grupo, para acordar la solución y enseguida socializarla al
colectivo. Allí se interpretaron las propuestas de cada grupo, se hizo la valoración final de los
resultados y se acordaron las conclusiones y los comentarios.
En este trabajo los autores concluyen que: a) Es importante proponer actividades para
valorar el estado del aprendizaje de los alumnos, de esta manera se pueden diseñar actividades
y revisar estrategias para superar dificultades de aprendizaje del tema que se desarrolla. Así
mismo en preciso hacer un seguimiento permanente a los logros alcanzados por estudiantes.
b) Durante la realización del trabajo se pudo observar que alrededor del 80% de los
estudiantes lograron argumentar los procedimientos empleados en la solución de problemas.
Además, esta metodología les permitió participar y ser protagonistas de su propio aprendizaje,
ya que ellos tenían que leer, analizar, proponer y argumentar las soluciones a cada uno de los
problemas que se le planteaba. c)Teniendo en cuenta estos avances, se puede asegurar que
lograron dar significado a la fracción. d) Se incrementó el número de estudiantes que
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
56
acertaron en la solución de los problemas propuestos; en el estudio exploratorio se observó
que alrededor del 17% de los estudiantes lograron responder correctamente; al aplicar talleres
diseñados con base en solución de problemas, este porcentaje se incrementó
aproximadamente al 80%. e) Se verifica entonces que los estudiantes responden mejor ante
situaciones problémicas. f) Con respecto a capacidad para comparar fracciones, se nota un
avance significativo, puesto que en el estudio exploratorio solamente el 20% lo resolvió
adecuadamente, siendo la gráfica el único instrumento para la solución; mientras, en la
evaluación final se observa que el 86.7% lograron dar solución haciendo uso de la gráfica y
del algoritmo.
Otro trabajo titulado Elaboración de un manual de ejercicios y problemas que involucren
números racionales, utiliza como estrategias, las actividades lúdicas y materiales concretos
como recursos, realizado por Ordoñez, A (2013). En este trabajo se pretende saber cómo
influyen las actividades lúdicas y el uso de material concreto, como recursos didácticos en el
proceso de resolución de ejercicios de números racionales con el cual se pretende promover el
aprendizaje de los números racionales, diagnosticar las causas del bajo rendimiento escolar en
el aprendizaje de los números racionales y seleccionar estrategias para propiciar el aprendizaje
de los números racionales.
Esta investigación se realizó por medio de encuestas, entrevistas y observación, bajo un
enfoque cualitativo, utilizando información de naturaleza descriptiva, se inscribe en el
paradigma experimental porque estudia las relaciones causa y efecto entre las actividades
lúdicas y el uso de material concreto en la resolución de problemas con números racionales de
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
57
una manera flexible y adaptada a unas características de la población y realizando un análisis
sobre los problemas que rodean el desarrollo de las habilidades intelectuales en relación con
el aprendizaje de los números racionales.
Después de realizar dos talleres en el aula empleando la actividad lúdica y el material
concreto los estudiantes mejoraron sus calificaciones con respecto a las pruebas iniciales, en
la encuesta realizada a cada uno de ellos acerca de la estrategia utilizada en el aula por el
docente, manifestaron que es excelente, es decir, el manual de resolución de ejercicios con
problemas que involucran el uso de los números racionales ha sido significativo para la
enseñanza-aprendizaje del tema.
En el aprendizaje de fracciones en educación primaria: una propuesta de enseñanza en
dos ambientes de Butto, C. (2013), pretende describir las dificultades que los alumnos
presentan en el aprendizaje de las fracciones asociados al modelo matemático. A partir de un
estudio cualitativo que asume los fenómenos que ocurren durante la enseñanza y el
aprendizaje como un conjunto de diversas variables, en este estudio participaron 26 alumnos
de sexto grado cuyas edades oscilaron entre los 10 y 12 años.
En la primera etapa se desarrolló un cuestionario inicial, que exploró las ideas de mitad,
entero o unidad, fraccionamiento en cantidades continuas, fraccionamiento en cantidades
discretas, representación fraccionaria en la recta numérica, representación de fracciones
propias e impropias, suma y resta de fracciones; luego una entrevista clínica individual cuyo
objetivo es profundizar en las ideas que el estudiante tiene sobre algunos aspectos de números
racionales. Y un cuestionario final, que exploró ideas matemáticas sobre números racionales
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
58
que se utilizaron en el cuestionario inicial, pero con una versión distinta; cuyo propósito fue
verificar si las actividades propiciaron un avance conceptual respecto a las etapas anteriores.
En cuanto a los resultados se percibe un avance conceptual, los estudiantes pudieron
superar algunas de las dificultades encontradas en la etapa inicial. Algunos estudiantes se
encuentran en el nivel más bajo, es decir, en el conocimiento de ideas como partición,
equivalencia y formación de la unidad, y esto les impide avanzar a niveles más altos que
requieren las ideas de medida, cociente, razón, operador. También se recalca la importancia
de diversificar las representaciones de un mismo concepto matemático para que los
estudiantes desarrollen ideas conceptualmente más elaboradas.
En otra línea, Cisneros, W; Castro, W (2013) discute la construcción del número racional
a partir de la razón en situaciones que involucran la medida. La investigación se realiza en el
ambiente escolar con seis niños entre los 11 y 12 años que cursan el grado séptimo. La
metodología es de carácter cualitativo con énfasis en un estudio de casos, el cual se focaliza
en la interacción social de los sujetos y en la mediación instrumental. Las actividades se
centran en la descripción de las interacciones entre los alumnos y el énfasis e interpretación de
los componentes de la actividad, dentro de los propósitos está la de diferenciar la relación
entre las cantidades de la razón como cuantificación. Concluyendo que el paso del número
natural al número racional puede ser logrado mediante el uso de situaciones de medida, en las
que la unidad de medida no está contenida un número exacto de veces en la cantidad que se
desea medir.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
59
Otro de los estudios que involucra a docentes es el de Murillo, A y Ceballos, L (2013).
Esta investigación se enmarca en el paradigma cualitativo dentro de la investigación social
bajo el enfoque de la teoría fundada, puesto que trata de identificar patrones y relaciones, que
permitan emerger nueva teoría alrededor del aprendizaje de las fracciones a partir del estudio
de las prácticas de enseñanza.
En cuanto a los resultados, en primer lugar, se trata de determinar saberes previos,
observar la capacidad de comprensión y argumentación de los estudiantes, desde la relación
del concepto con el tema objeto de estudio. Se detecta que la clase no se lleva a cabo como se
planea, se utilizan diversas herramientas y técnicas que no se incluyeron en la organización,
se aplican talleres con fracciones que incluyen clasificación, representaciones gráficas,
amplificación, simplificación, relación de orden, operaciones básicas, porcentaje, taller de
conceptos previos, socialización y sustentación, examen individual (realizan retro-
alimentación este arrojó falencias en algunos estudiantes). Cuando se trata realizar
operaciones con fracciones con denominador distinto, asumen el proceso algorítmico, como si
se tratara de números naturales. Solo un estudiante transforma las fracciones en homogéneas,
pero aplica el mismo proceso algorítmico, sin importar la operación.
Otro trabajo que trata la fracción parte-todo a través de una mirada gráficas el de
Acevedo, D; López, M; Guerrero, Y; y Morales, L, (2013), pretende resolver interrogantes
como ¿por qué encontramos falencias en el momento de interpretarlas gráficamente? y ¿cómo
enseñar a sumar y restar fracciones parte todo, de forma gráfica, en contextos discretos o
continuos? Los autores buscan una propuesta diferente a la tradicional, que les permita a los
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
60
estudiantes interpretar y realizar sumas y restas con fracciones. Para este trabajo en primer
lugar, se realizó el reconocimiento de los estudiantes, luego se aplicó una prueba diagnóstica a
los estudiantes, para saber cuáles son los conocimientos frente al tema de las fracciones y así
mismo descubrir las dificultades que tienen frente al tema. Posteriormente se evaluó la prueba
ya solucionada por medio de unos criterios ya establecidos y finalmente tomando como base
los resultados obtenidos y el análisis realizado se presenta la propuesta según las dificultades
encontradas en el grupo. Los resultados confirman confusión entre fracción homogénea y
heterogénea; y los apoyos de los estudiantes.
En la línea de investigar a los estudiantes, el trabajo de Torres, A. (2013), titulado
Fracción, razón y número racional en procesos de aproximación para la introducción del
cálculo con estudiantes de grado once. Se afirma que las dificultades en el aprendizaje sobre
las fracciones y los números racionales persisten en los estudiantes a lo largo de su vida
escolar, hecho que hace necesario identificar dificultades en la interpretación de numero
racional para proponer alternativas para la enseñanza de este concepto. La investigación se
enmarca en la metodología de investigación-acción, en donde se pretenden comprender los
aspectos de la realidad existente e identificar las fortalezas de los estudiantes y del docente en
sus interacciones sociales.
La investigación se desarrolló en fases, de la siguiente manera: a) fase preactiva: es el
estudio por parte del investigador, donde desde la teoría se planean las actividades y se
establecen los posibles caminos a seguir, se diseñaron las actividades para ver la fracción
como parte-todo, como razón y como número escrito con coma. b) fase activa: en esta etapa
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
61
se aplican las pruebas, se recogen apuntes del investigador, se analizan y se realiza la
respectiva retroalimentación, es en esta etapa donde se pretende la aproximación a la noción
de número racional, observando sucesiones o series de números con patrones específicos. c)
fase proactiva: es el momento de analizar y retroalimentar la investigación para modificarla de
ser necesario.
En el mismo estudio, con la intervención propuesta se pretende poder evidenciar el
desarrollo de habilidades de los estudiantes en la comprensión de la noción de numero
fraccionario, equivalencia de fracciones y sus múltiples formas de escritura asociadas a la
interpretación adecuada de la relación de orden, la comprensión de la densidad de los números
fraccionarios y la interpretación apropiada del conjunto de los números racionales. Y se
resalta el hecho de que son los estudiantes quienes se ponen de acuerdo para socializar y
definir las conclusiones y acuerdos entre todos.
En la misma línea, Valencia, I. (2013), en su trabajo enseñanza y aprendizaje de las
fracciones en un contexto real basado en la resolución de problemas pretende dar respuesta a
los interrogantes ¿cuál es el concepto de fracción que poseen los estudiantes?, ¿cómo los
estudiantes realizan las operaciones básicas con fracciones?, Si este contenido se relaciona
con la resolución de problemas ¿cómo resuelven problemas con fracciones?, ¿tienen los
estudiantes algunos esquemas, guías o procedimientos para resolver este tipo de problemas?,
¿qué hacen con los resultados una vez que han resuelto un problema?y en relación con el
contexto real, ¿los estudiantes vinculan los problemas de fracciones con la realidad?. Si se
plantean en la clase de Matemática problemas relacionados con la realidad ¿estos favorecen la
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
62
comprensión de la Matemática?, ¿los estudiantes se motivan y participan más de las
actividades de clase?, con lo cual el autor pretende generar a través de la investigación-
acción, experiencias de enseñanza y aprendizaje de las fracciones en un contexto real, basado
en resolución de problemas; diagnosticar los conocimientos previos durante la primaria
relacionados con fraccionarios, conocer acerca de los modelos, estrategias, esquemas o guías
que utilizan los estudiantes para la resolución de problemas con fraccionarios, diseñar
estrategias basadas en la resolución de problemas en un contexto real y fomentar en los
estudiantes la participación y reflexión activa en su aprendizaje.
Para la investigación se siguen pautas del enfoque cualitativo del tipo acción
participativa. Se realizaron actividades para relacionar el quehacer diario del estudiante con su
entorno familiar interpretando la fracción como parte de un todo, como cociente, fracciones
propias e impropias y número mixto. Posteriormente se trabajó con fracciones equivalentes,
simplificación y amplificación de fracciones; para lo cual se verificaron las respuestas tanto
de manera gráfica como simbólica, también se trabajó el orden de fracciones y fracciones
decimales, finalmente, se trabajaron problemas de adición y sustracción. Estos análisis
llevaron al autor a concluir que: los estudiantes mejoraron en la interpretación y resolución de
problemas con fracciones basados en un contexto real, se promovió la participación y
reflexión activa de los estudiantes en el aprendizaje de las fracciones.
Igualmente, el estudio de Mosquera, J (2013), centra su atención en las estrategias de
aprendizaje significativo que se pueden implementar para mejorar el desempeño de los
estudiantes. El estudio emplea diferentes significados de las fracciones en múltiples contextos
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
63
de la vida diaria y su representación en la recta numérica para desarrollar y aplicar una
estrategia metodológica que posibilite mejorar la conceptualización y la representación gráfica
de las fracciones. Se concluye que las dificultades más representativas de los estudiantes son
la ubicación en la recta numérica y la utilización de los diferentes significados de la fracción
en diversos contextos.
Por otro lado, existen trabajos para determinar el nivel de comprensión de los números
racionales como el de Nardoni, M; Camara, V y Pochulo, M. (2014). La investigación se llevó
a cabo como diagnóstica- de corte etnográfico y bajo el enfoque ontológico y semiótico del
conocimiento e instrucción matemática. Se diseñó e implementó un instrumento encaminado
a examinar las producciones de los estudiantes enfocándose en el análisis del sistema de
prácticas matemáticas realizadas ante las situaciones problema planteadas. Estos resultados se
complementaron con entrevistas clínicas. Las conclusiones son acordes a la escasa habilidad
de los estudiantes para manejar los números racionales a nivel del contexto matemático y de
resolución de problemas.
Por otra parte, el trabajo de Hoyos, J (2015); titulado diseño y aplicación de una
propuesta didáctica para favorecer el aprendizaje significativo de las fracciones en los
estudiantes del grado cuarto. Diseñó un proyecto de aula tomando como referencia la teoría
del aprendizaje significativo y el modelo de situaciones problema, con el fin de favorecer la
comprensión y apropiación de las fracciones en un contexto escolar específico. Los
instrumentos empleados fue la matriz DOFA y organizar sesiones de clase con la metodología
de estudio de clase.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
64
En esta investigación se obtuvieron como conclusiones a) las situaciones problema
incentivan la participación y el trabajo en grupo, b) el avance evidenciado por los estudiantes
en el tema de fracciones es gratificante y significativo; y, c) generar preguntas a los
estudiantes y situaciones problema en el aula los estimula para el desarrollo del pensamiento.
En otro sentido, el estudio de Castro, E (2015), sobre las fracciones en las matemáticas
escolares y formación inicial de maestros se propone dar respuesta a ¿qué significados de la
relación parte-todo expresan el conocimiento sobre las fracciones de los maestros en
formación inicial y cómo se describen en términos de la estructura conceptual, las
representaciones y los contextos y modos de uso de dicha relación?, ¿qué conocimiento
didáctico sobre la enseñanza de la relación parte-todo manifiestan los maestros en formación
cuando planifican una propuesta sobre la enseñanza del concepto de fracción?; y, ¿qué
conocimiento didáctico sobre el aprendizaje escolar manifiestan los maestros en formación
cuando diseñan tareas, enuncian expectativas y detectan limitaciones de aprendizaje sobre el
concepto de fracción basado en la relación parte-todo?. Esto con el fin de profundizar en los
usos e interpretaciones de la relación parte-todo y obtener información acerca del
conocimiento de los profesores en formación. La investigación se da en un análisis didáctico
compuesto por análisis conceptual, análisis del contenido matemático escolar, análisis
cognitivo, análisis de instrucción y análisis de actuación o evaluativo. En cada uno de ellos, se
obtiene resultados sobre las acciones de los estudiantes para profesor en relación en cada uno
de esos tipos análisis.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
65
En conclusión, el barrido cronológico que se realizó desde 1998 hace posible determinar
que existe un interés sobre estudiar las formas de comprender y comunicar las fracciones
tanto para docentes como estudiantes. Es un interés por dar soluciones a las dificultades que
se identifican con este concepto. Lo que se ha desarrollado es formas de intervenir sin
identificar acciones puntuales para elaborar programas de intervención, es importante dar una
mirada psicológica y pedagógica para tratar esta dificultad como lo pretende el presente
estudio.
2.2 Marco teórico
La construcción de la fracción como concepto es un proceso que no se logra en la escuela
porque exige mayor comprensión para el docente al enseñarlo como al estudiante para
aprenderlo. Además, existe la necesidad continua de construir la unidad en cada una de las
situaciones para realizar comparaciones o tomar decisiones. Es por ello, que la representación
de los datos exige un manejo de escalas del 0 al 1 o del 0% al 100% para poder medir y
ordenar.
El concepto de fracción contribuye a los procesos fundamentales del pensamiento
numérico, métrico y variacional porque hace posible analizar la cuantificación continua y
discreta como establecer relaciones entre variables. Así mismo, el pensamiento espacial y
métrico se potencia con analizar la relación de la fracción con los invariantes de la forma. Y el
pensamiento aleatorio con el análisis de la ocurrencia de un evento a través de la probabilidad.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
66
En este sentido, el marco teórico, trata dos categorías las dificultades de aprendizaje y las
interpretaciones de fraccionarios para potenciar los procesos fundamentales de los
pensamientos. Se destaca los aportes de investigadores españoles como Romero y Lavigne
(2005) en las formas de comprender las dificultades; Escolano y Gairín (2015), Fandiño
(2009), Obando (2006), Chamorro (2003), Charalambous y Pitta Puntazzi (2007), Lamon
(2007); Pino (2013), Cárdenas y Caballero (2015), Blanco (1993); fases en la resolución de
problemas: Polya (1965), Vila (2014) en la interpretación de las fracciones, que hicieron
posible el presente estudio.
2.2.1 Dificultades específicas en el aprendizaje de las matemáticas
Las dificultades específicas de aprendizaje en matemáticas para Romero y Lavigne
(2005), se presentan en estudiantes cuya inteligencia es normal, pero su rendimiento va por
debajo de la capacidad en la realización de tareas de cálculo y solución de problemas. Sin
embargo, las dificultades se miden a través de instrumentos que tienen tareas de cálculo y
resolución de problemas, lo que hace más difícil medir la dificultad en términos de los
procesos cognitivos o metacognitivos.
Se reconoce que la tarea de realizar operaciones o cálculos en los estudiantes demanda
memoria de trabajo y el control de diversas maneras de transformar los operadores verbales y
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
67
numéricos. Es por ello, que en este estudio se reconoce la importancia de sesionar las
actividades de los estudiantes para que no fracasen en las acciones que demanda el problema
con los fraccionarios.
2.2.2 Dificultades en el aprendizaje del cálculo
Estas se definen como alteraciones de origen cerebral que afectan los procesos
neuropsicológicos relacionados con nociones matemáticas, hechos numéricos, manejo de los
números y del cálculo aritmético, escrito y mental; sin que exista un desorden simultáneo de
las funciones mentales generales. (Romero y Lavigne ,2005).
De acuerdo al autor se identifican las siguientes dificultades:
Déficit de atención sostenida.
Déficit en el uso de la memoria de trabajo.
Déficit en la elaboración y aplicación oportuna y eficaz de algoritmos y otros
procedimientos de pensamiento.
Déficit en la automatización de las operaciones básicas.
Déficit de conocimientos numéricos.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
68
2.2.3 Dificultades en la numeración
Las dificultades que se citan por Romero y Lavigne (2005) con relación al conteo son:
Comprensión: se refiere a la asociación entre el número y los objetos reales; es decir, que
el número es un todo formado por unidades más pequeñas incluidas en él y guardando una
relación de orden con el resto de los números. Este hecho se complica aún más cuando se
asciende en la seriación y con los números decimales.
La escritura de los números: Mantiene una forma de escribir y una forma de leer
distintas. Una exige un conocimiento aditivo y otro conocimiento potenciación. Es por ello,
que la dirección de la escritura es de izquierda a derecha y el valor posicional aumenta de
derecha a izquierda y las operaciones se realizan siguiendo este mismo orden.
Las operaciones: se refiere a la comprensión del significado de las operaciones y la
realización del algoritmo.
2.2.4 Dificultades específicas en la solución de problemas matemáticos
En esta misma línea Romero y Lavigne, (2005), en la resolución de problemas, establece
las dificultades en términos de las acciones de la resolución como traducir, integrar,
planificar, operar; y revisar y controlar. A continuación, se da definiciones de estos procesos.
Traducir: Comprender el enunciado para poderlo trasladar a lenguaje matemático.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
69
Integrar: Implica conocimientos para diferenciar la información relevante de la no relevante y
la habilidad para representar la situación por medio de diagramas, esquemas o sistemas que
faciliten la comprensión.
Planificar: Consiste en elaborar el plan de una tarea se parte del hecho de que el estudiante
posee conocimientos acerca de procedimientos, estrategias y algoritmos que permitan
controlar las acciones encaminadas a encontrar la solución de la situación propuesta.
Comúnmente, elaborar un plan requiere encontrar una tarea relacionada, replantearse la tarea
y descomponer la tarea en pequeñas submetas.
Operar: Consiste en manejar los conocimientos sobre procedimientos operatorios
específicos. Es necesario que el estudiante comprenda cada forma de realizar las operaciones
para mejorar sus resultados como de entender las relaciones numéricas de trasformación que
se dan del sistema decimal de numeración.
Revisar y controlar: Durante el transcurso de la resolución de una tarea, el estudiante debe
llevar un control de todo el proceso para verificar que sea el adecuado y que se ajuste a los
planes trazados, a los procedimientos seguidos, y que la respuesta sea coherente con lo que se
pide para facilitar así la detección de posibles errores y tener la posibilidad de corregirlos.
En resumen, se puede determinar que las dificultades asociadas en la resolución de problemas
son:
Déficit en la comprensión del enunciado y su traducción a lenguaje matemático.
Déficit en la elaboración y aplicación de estrategias y procedimientos de pensamiento.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
70
Déficit en la representación coherente en la memoria de trabajo de los componentes
del problema.
Déficit en la representación en la memoria de trabajo de un plan sistemático de
solución.
Déficit en la elaboración y aplicación de estrategias y procedimientos mentales para
controlar y supervisar el proceso de realización del problema.
Déficit de conocimientos matemáticos específicos.
Déficit de meta conocimientos implicados en la solución de problemas.
Además, los aspectos personales que se relacionan a las dificultades específicas de
aprendizaje se relacionan con los estilos cognitivos (patrón de aprendizaje) irreflexivo e
impulsivos que están en contra a las exigencias de las tareas matemáticas.
Por otro lado, la motivación de logro hacia el éxito de la tarea, se va disminuyendo en el
avance escolar, por las exigencias o la organización de currículos por temas y no por
procesos. Además, la parte afectiva y las experiencias negativas como de auto-concepto de
incapacidad hacen que los estudiantes generen creencias negativas de incapacidad hacia el
éxito y rendimiento en el área de matemáticas.
2.3 Interpretaciones de las Fracciones
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
71
En el lenguaje hispano se desarrolla dos significados a los números racionales. En primer
lugar, fraccionario como la expresión
donde se le da la naturaleza de número. En segundo
lugar, fracción como las relaciones que se pueden establecer entre y que le da sentido el
contexto donde se emplea. Aunque en este estudio no se va realizar dicha diferenciación.
Por ende, comprender el sistema numérico de los racionales requiere la articulación del
conjunto de los sistemas numéricos de los naturales y de los enteros. Además, esta estructura
requiere símbolos, relaciones de orden y de operaciones. Igualmente, existen unas relaciones
conceptuales como el inverso multiplicativo, la densidad y el orden. Por consiguiente, la
aplicación de los sistemas numéricos de los racionales en el contexto real es activa para
comprender los símbolos y su empleo con magnitudes medibles (Post y Silver,1983; Escolano
y Gairín, 2005).
En otro aspecto, como menciona Fandiño, M (2009) la enseñanza de la fracción desde
una acepción genera dificultades para actuar en la resolución de problemas porque se limita.
Aunque la relación parte-todo se considera natural para la formación del concepto del número
racional como lo afirman autores como Obando, (2006), Hincapié, C. (2011); y, Gairín, J
(1998).
Las fracciones exigen que se comprendan las siguientes expresiones:
Fraccionar: La unidad de medida se divide en partes iguales y se asocia con acciones que se
aplican a los objetos como doblar, sombrear, señalar, destacar, entre otros.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
72
Transformar: Una medida se convierte en otra de menor o mayor tamaño.
Comparar: Es una forma de establecer una relación entre dos magnitudes.
Repartir: Es una forma de separar magnitudes no enteras que hacen posible la equivalencia
entre las partes.
En cada uno de los casos, se determina una totalidad y una relación de una de esas partes con
la totalidad, es decir, hay un significado, una relación y operaciones.
2.3.1 La fracción como parte de una unidad-todo
El desarrollo de esta significación exige al estudiante entender:
Las partes juntas deben ser iguales al tamaño del todo.
Poder dividir el todo en partes iguales.
Las relaciones entre el todo y las partes se conservan sin tener en cuenta el tamaño y la
forma.
Por otro parte, la fracción como una relación parte-todo, hay que tener en cuenta si el
“todo” es algo continuo o discreto (Fandiño, 2009). En el caso que el todo sea una unidad
continua que puede ser la superficie de un rectángulo, una torta, una pizza, etc. Hallar la
fracción
de esta unidad “puede hacerse siempre”, teóricamente, porque encontrar los
768/980 de una pizza de manera concreta es bastante complejo. Y si es mayor que (a>b),
es decir, es una fracción impropia esta definición pierde su significado intuitivo. Si el todo es
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
73
una unidad discreta hay algunas fracciones propias que carecen de sentido, por ejemplo, tomar
los
de 16 y la fracción impropia sigue sin tener sentido.
2.3.2 La fracción como razón
Kieren (1980, citado en Perera y Valdemoros,2007) afirma que esta interpretación
considera la fracción como la comparación numérica entre dos magnitudes o cantidades. Se
utiliza para introducir el concepto de proporción.
Según Fandiño, M (2009) al tomar la fracción como razón se debe ser consciente de la
proporcionalidad; es decir, una proporción es la igualdad de dos razones. Esto fundamenta el
concepto de clase de equivalencia, es decir, se presentan dos escrituras distintas del mismo
número racional.
2.3.3 La fracción como cociente
La fracción se define como el resultado de dividir uno o varios objetos entre un número
de personas o de partes o como el valor numérico de
; exige la repartición. (Chamorro, 2003;
Kieren, 1980; Perera y Valdemoros, 2007). El estudiante debe entender que en la expresión
,
a se refiere al número de partes en cada porción y b al nombre de partes de cada porción. El
numerador puede ser menor o mayor que el denominador.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
74
Según Fandiño, M (2009), afirma que es posible ver la fracción
como una división no
necesariamente efectuada, sino indicada, es decir, si tenemos una unidad formada por 6
objetos y tenemos que tomar los
, se podría:
dividir cada elemento en 5 partes y luego tomar 3 partes de cada uno.
interpretar como distribuir tres objetos entre 5 personas.
Efectuar la división
, pero este resultado no produce el efecto operatorio que
produce que la originó (
tres veces, o 3 objetos para distribuir entre 5 personas).
Además, se da sentido la relación entre fracción como número decimal.
2.3.4 La fracción como medida
Es la asignación de un número a una región o a una magnitud de una, dos o tres
dimensiones, producto de la partición equitativa de la unidad. (Kieren, 1980; Perera y
Valdemoros, 2007). Así mismo, como afirma Lamon, (2007), la ubicación de racionales en la
recta numérica se identifica con esta interpretación, en donde se evidencia el número de partes
iguales en los que se puede dividir la unidad y ésta puede variar según el número de
particiones. También, Charalambous y Pitta- Pantazzi, (2007), consideran que el estudiante
debe poder localizar un número en la recta y de la misma manera debe poder identificar el
número representado por cierto punto en la recta.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
75
Por otra parte, la recta numérica conduce a la interpretación de la fracción como medida,
en donde es necesario establecer una unidad de medida con sus respectivas subdivisiones; esta
interpretación facilita la asimilación del concepto de suma al establecer la unión de dos o más
medidas, el concepto de equivalencia la poder verificar que el mismo punto puede representar
diferentes números dependiendo de las divisiones realizadas a la unidad.
2.3.5 La fracción como operador
Esta interpretación de la fracción es entendida como un transformador multiplicativo de
un conjunto hacia otro conjunto, esta transformación se puede pensar como ampliación o
reducción de un número (Kieren, 1980; Perera y Valdemoros, 2007). En este sentido, Lamon
(1999) considera al operador como transformador que alarga o acorta segmentos de una línea;
y/o, aumenta o disminuya un juego de objetos discretos. Chamorro, (2003), menciona que esta
interpretación se apoya en el significado de función. Un número racional actuando sobre una
parte, un grupo o un número modificándolo. Aunque Fandiño, M (2009), la fracción como
operador actúa sobre los números puros, más que sobre conjuntos o los objetos, es una nueva
operación que combina multiplicación y división.
Las fracciones son vistas como transformaciones; algo que actúa sobre una situación y la
modifica. En este caso también se favorece la adquisición del concepto de equivalencia, al
proponer situaciones en las que a una situación se le aplican “diferentes” operadores
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
76
fraccionarios y el estado final es el mismo. De la misma manera se introduce el concepto de
proporción, al aplicar el mismo operador a situaciones diferentes y verificar que se produce la
misma transformación.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
77
Capítulo 3
Metodología
El presente trabajo es una investigación cualitativa de tipo exploratorio cuyo propósito es
identificar las dificultades que se les presentan a los estudiantes de grado séptimo en la
resolución de problemas donde intervengan números fraccionarios.
3.1 Enfoque Metodológico
El presente estudio utiliza la metodología cualitativa de tipo exploratorio, esta
metodología permite a partir de las observaciones y de la exploración, indagar sobre las
formas como los estudiantes interpretan las situaciones de los fraccionarios. Aunque es un
proceso inductivo, las entrevistas y el análisis de los datos permite deducir la información
coherente con lo relacionado a las dificultades y posibles formas de intervenir de los números
racionales (Hernández, Fernández, y Baptista, 2006).
Este enfoque se adecua al estudio, porque presenta la particularidad de llevar a cabo una
investigación completa sobre un contexto particular, en este caso el del grado séptimo del
Colegio Altamira Sur Oriental I.E.D. Además, la mayor importancia la tiene cada uno de los
estudiantes analizados, porque todos los aportes realizados por ellos constituyen la base
principal de la investigación.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
78
Esta metodología es coherente con los objetivos y la pregunta de investigación de indagar
sobre las dificultades de aprendizaje en relación a los fraccionarios como posibles alternativas
de realizar la intervención.
3.2 Diseño Metodológico
El presente estudio considera cuatro fases. A continuación, se explica cada una de ellas.
3.2.1 Fase 1: Diseño del estudio
Este primer momento consiste en la preparación e implementación del estudio
exploratorio que tiene como finalidad principal obtener una visión general de la forma como
los estudiantes resuelven situaciones problémicas en donde intervienen números
fraccionarios. En esta fase se incluye la búsqueda y estudio de referentes teóricos y la
construcción del marco teórico a través de la revisión bibliográfica de material especializado y
la naturaleza del problema.
3.2.2 Fase 2: Construcción de las actividades
Se realiza el diseño y organización de las actividades correspondientes a la indagación de
cada una de las interpretaciones de las fracciones y las sesiones de clase.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
79
En el primer momento, se diseñó de 5 cuestionarios que constan de 34 situaciones
problémicas que involucran diferentes interpretaciones del concepto de fracción, estas
tareas fueron seleccionadas a partir de los referentes citados en el capítulo anterior
(Véase los anexos A, B, C, D y E). Estos instrumentos se aplicarán a los 32
estudiantes de grado séptimo.
En el segundo momento, se diseñaron actividades de enseñanza, interacción y de
indagación para 12 estudiantes. Estas actividades se realizaron en sesiones distintas a
la clase regular. El objetivo es involucrar a los estudiantes para que indiquen las
formas como resuelven problemas que involucran los fraccionarios (véase anexo F).
Primera sesión
En cuanto a la identificación de la fracción que representa la parte sombreada en una
superficie que no tiene particiones realizadas de manera explícita, se les presentó una cartulina
en forma rectangular y un triángulo de otro color, se les pidió que calcularan las veces que
cabía este triángulo en dicha superficie
Se representó un segmento de recta por medio de un trozo de lana, y se les pidió que
cortaran
, esta actividad, les permitió dar solución a la planteada en el cuestionario, que no
habían logrado resolver.
Al observar que cuando se le presentaron
y pedirles que completaran la unidad, los
estudiantes no lograron dar respuesta, se les facilitaron dos triángulos en cartulina,
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
80
afirmándoles que éstos representaban los dos quintos y nuevamente se les pidió que
completaran la unidad
De la misma manera se les facilitaron cuatro objetos diciéndoles que éstos representaban
, y se les pidió que completaran la unidad.
Posteriormente a cada estudiante se les entregaron conjuntos conformados por 12, 15 y 18
objetos y se les pidió que representaran
en cada uno de ellos.
Segunda sesión
En cuanto a la fracción como operador, Se les explicó que la fracción como operador es
una operación que combina multiplicación y división y se utilizaron esquemas en los que el
operador hace las veces de máquina que realiza una trasformación, se les proporcionaron tiras
de papel de diferentes medidas, se les daba el operador ellos debían transformar la tira de
papel.
Para la ampliación o reducción de una imagen se les pidió que cortaran por el borde la
imagen pequeña y contaran las veces que la imagen grande contenía a la pequeña.
Para facilitar la comprensión de las actividades relacionadas con la fracción como
cociente, se le entregaron a cada estudiante 3 cartulinas del mismo tamaño que representaban
tres tortas, para que las repartieran entre cuatro personas
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
81
Los 12 estudiantes consideraron que para representar “3 veces
”, debían dibujar tres
unidades y dividirlas en 8 partes y luego sombrear una parte encada una de ellas, se le dio a
cada uno 8 triángulos, se les pidió que mostraran 1/8, luego que repitieran la situación 2 veces
más; y se les preguntó que fracción representaba la cantidad de triángulos pedidos.
Tercera sesión
Para las actividades de la fracción como razón, a cada estudiante se le entregaron 30
círculos y 40 cuadrados en cartulina, se formulaban situaciones: si por cada 2 círculos deben
haber 5 cuadrados, cuántos círculos tengo si hay 15 cuadrados, o cuántos cuadrados debo
tener si hay 8 círculos; los estudiantes debían realizar estas situaciones con el material
entregado, posteriormente los estudiantes fueron dando posibilidades de llegar a la respuesta
sin tener que utilizar el material, luego se plantearon situaciones con números más grandes
para que pusieran en práctica las estrategias encontradas por ellos mismos.
Utilizando el procedimiento anteriormente descrito se plantearon situaciones con
porcentajes y se fueron complejizando los ejercicios propuestos.
Teniendo en cuenta que la representación de fracciones en la recta numérica generó
muchas dificultades en los estudiantes, se utilizaron hojas de papel milimetrado para
visualizar con mayor facilidad la congruencia de las particiones que se realicen en cada
unidad, y además se les explico de que la representación de un número en la recta representa
la distancia que hay del 0 al número, por lo cual es necesario iniciar este proceso partiendo del
0. Se les pidió realizar rectas con diferentes unidades de tal manera que ejercitaran un poco la
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
82
forma de realizar particiones en ella. Posteriormente se les entregó una recta en la que cada
uno debía realizar las particiones que quisiera y ubicar en punto, para que el compañero
determinara el número que representaba dicho punto.
También, se les entregaron rectas con las particiones hechas, se les pidió ubicar un
fraccionario y después expresar por medio de un número la cantidad que le hacía falta a este
fraccionario para llegar a un número natural determinado
Finalmente, se les realizaron algunas preguntas tendientes a relacionar las fracciones con
situaciones cotidianas, como: ¿cuántos minutos representan ¼ de hora?, ¿qué fracción de una
semana representan 3 días?
3.2.3 Fase 3: Implementación
Los 5 cuestionarios se aplicaron a los estudiantes. Cada una de las respuestas fueron
analizadas y clasificadas según cada tipo de interpretación. Luego, se seleccionaron 12
estudiantes del mismo grupo que querían participar en la forma de resolver este tipo de tareas.
Estas sesiones se realizaron los sábados en sesiones de dos horas en la jornada mañana.
3.2.4 Fase 4: Análisis de Resultados
Los datos recogidos en los dos momentos de implementación se analizarán de la siguiente
forma. Los datos de los estudiantes de los 5 cuestionarios se analizaron de forma cualitativa
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
83
determinando las diferentes categorías de resolución y se determina un porcentaje de estos
como una característica de las mismas. En las sesiones de intervención se realizó observación
de las formas como los estudiantes elaboran conclusiones y de los mecanismos que emplean
para la resolución. Es así, como es posible dar respuesta a la pregunta de investigación del
presente estudio.
3.2 Instrumentos de recolección de información
Los instrumentos para recoger la información son: exploración, cuestionarios y video.
3.2.1 Exploración
Cada una de las sesiones de los cuestionarios como de las sesiones de las clases. Se
realizó exploración de las formas como los estudiantes resuelven problemas de fracción al
ejecutar los cuestionarios. Es ahí donde se observa las producciones escritas y los argumentos
orales de los estudiantes en el contexto del aula.
3.2.2 Cuestionarios
Los 5 cuestionarios sobre las diferentes interpretaciones. Son insumos de las
producciones y las formas como los estudiantes ejecutan cada uno de los problemas.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
84
El cuestionario 1, tiene 5 preguntas (véase anexo A). La primera pregunta indaga sobre la
congruencia de las partes, el todo se puede dividir en partes; las partes forman y cubren el
todo y las partes tienen que ser del mismo tamaño.
La segunda pregunta hace referencia al manejo de la igualdad en cuanto al área
determinada por una región sombreada, mediante dos rectángulos del mismo tamaño,
divididos en la misma cantidad de partes, pero de distinta forma.
La tercera pregunta se elaboró con el fin de promover la interpretación de la fracción en
diferentes representaciones, para lo cual se utilizó: un segmento, un rectángulo y un círculo, y
en cada uno de ellos se debía representar la misma fracción.
La cuarta pregunta se elaboró con el objetivo de identificar la unidad a partir de una
fracción dada, se da una región sombreda que representa una fracción en contexto continuo y
en contexto discreto y la tarea consistía en completar la unidad correspondiente a dicha
fracción.
El quinto problema consistía indagar sobre la forma como los estudiantes interpretan una
fracción dentro de un conjunto de elementos, para lo cual se dieron tres conjuntos con
diferente cantidad de elementos y se les pidió representar la misma fracción en cada uno de
ellos.
El cuestionario 2, tiene 8 preguntas (véase anexo B). Las tres primeras preguntas indagan
sobre la forma como los estudiantes interpretan los operadores con los números naturales,
estas situaciones se realizan por medio de la estrategia de utilizar como referente una
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
85
máquina, que haces las veces de operador, a la cual ingresa una cantidad y se transforma al
salir. En la primera situación el estudiante debe encontrar la transformación que sufrió el
número al ingresar, en la segunda situación debe encontrar el estado inicial del número y en la
tercera situación debe encontrar el operador que actúo sobre el número.
Las preguntas 4, 5 y 6 son similares a las tres primeras, pero en este caso se introducen
los fraccionarios, y de manera análoga se pide encontrar el estado inicial del número al
aplicarle un operador fraccionario; y la trasformación del número al aplicarle un operador
fraccionario y un operador entero.
En la pregunta 7 la intención sigue siendo la misma, pero en este caso se introduce a la
máquina la representación gráfica de una fracción, se da un operador entero y se pide
determinar la transformación de manera gráfica.
El problema 8, se realizó con el objetivo de conocer la forma como los estudiantes
relacionan la ampliación y/o disminución de una figura con una representación numérica. Se
presenta una figura que “ingresa a la máquina” y sufre una trasformación, se les pide a los
estudiantes que expresen qué le sucedió a la figura en términos numéricos.
El cuestionario 3, tiene 8 preguntas (véase anexo C). La primera pregunta tiene como
objetivo establecer si los estudiantes identifican un porcentaje como forma de representar una
fracción, para resolver una situación de proporcionalidad.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
86
En la pregunta 2, se pretende indagar sobre la forma como los estudiantes calculan el
porcentaje de una totalidad, por medio de la aplicación de la representación fraccionaria de un
porcentaje
Para la tercera pregunta se plantea una situación problémica, cuyo objetivo es aplicar los
conceptos de proporcionalidad y equivalencia de fracciones.
La cuarta pregunta tiene como finalidad utilizar la proporcionalidad para establecer la
relación de orden entre dos fracciones, para lo cual se dan dos representaciones gráficas y los
estudiantes deben cuál es mayor, por medio de la aplicación de la representación fraccionaria
de cada una de ellas.
En la quinta pregunta se pretende que los estudiantes resuelvan una situación problémica
por medio de la aplicación del porcentaje en su representación fraccionaria y del concepto de
equivalencia de fracciones.
Las preguntas 6 ,7 y 8 se elaboraron con la finalidad de aplicar el concepto de
equivalencia de fracciones en la resolución de situaciones problémicas. Para esto se plantea
situaciones que difieren en su planteamiento.
El cuestionario 4, tiene 4 preguntas (véase anexo D). La primera pregunta tenía la
intención de abordar el paso de la representación gráfica a la verbal, teniendo en cuenta los
atributos que hacen referencia a la congruencia y el tamaño de las partes. Se realiza por medio
de la repartición de tres tortas entre cuatro niñas.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
87
El segundo problema tenía como finalidad reforzar la pregunta anterior, en la cual se pide
repartir dos chocolatinas entre 5 niños.
El 3 problema tenía por objetivo indagar sobre la interpretación y representación de la
misma situación enunciada de maneras diferentes. Los estudiantes debían representar
gráficamente una fracción en la que se indicaba la cantidad de veces que se repetía, luego
representar la misma situación, pero expresada por medio de la multiplicación indicada y por
último representar la misma situación, pero realizando la multiplicación.
El problema 4 es similar al anterior, pero se le agrega la representación decimal y se les
pide que respondan si las representaciones anteriores son iguales o no y que justifiquen la
respuesta.
El cuestionario 5, tiene 6 preguntas (véase anexo E). La primera tiene por objetivo
indagar sobre la forma de representar un fraccionario sobre la recta numérica, se les da una
fracción propia y la deben representar en una recta que va marcada del 0 al 5, posteriormente
deben ubicar la misma fracción en una recta que va marcada del 0 al 1.
En la pregunta 2, se pretende conocer la interpretación que tiene los estudiantes acerca de
un punto ubicado sobre la recta numérica, se les presentan dos rectas y en cada una está
marcado un punto diferente, los estudiantes deben identificar el número que representa cada
uno de los puntos.
Las preguntas 3,4 y 5 se elaboraron con el fin de conocer la idea que tienen los
estudiantes acerca de una fracción ubicada en un contexto real, se les pregunta por la fracción
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
88
que representan tres días de una semana, ¿qué representa ¼ de hora? Y ¿cuántos meses son
los 2/6 de un año?
La pregunta 6 tiene por objetivo indagar sobre la forma como identifican la cantidad de
veces que una fracción está contenida en un número natural, para lo cual se realizaron
preguntas como: ¿cuánto le falta a ¾ para llegar a 5?
3.2.3 Videos
Los videos corresponden a las sesiones del sábado: (véase anexo G). Estas grabaciones de
las sesiones de clase muestran como los estudiantes resuelven situaciones que corresponde a
cada una de las interpretaciones de las fracciones.
Cada una de las actividades presenta un análisis y su debido registro, por medio de
escritos y videos que permiten evidenciar algunas estrategias y formas de abordar las
situaciones planteadas, el lenguaje utilizado y el proceso empleado por los estudiantes.
3.3 Población
La presente investigación se ha desarrollado en el colegio Altamira Sur Oriental I.E.D,
ubicado en la calle 42ª sur Nº 12ª-27, en la localidad cuarta de San Cristóbal, cuyo nombre se
origina por el nombre del barrio donde está ubicada la institución educativa, además es, el
resultado de la integración de tres escuelas distritales que funcionaron durante varias décadas
ofreciendo educación básica primaria: Altamira, fundada en 1966; Nueva Gloria, fundada en
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
89
1973; Republica de Israel, fundada en 1967, estas escuelas surgieron en condiciones precarias,
construidas poco a poco por la comunidad y fueron ampliadas muy lentamente durante las
décadas posteriores con recursos públicos de la Localidad y el Distrito, para atender la
demanda de una población creciente. A partir de la Resolución 2398 del 14 de agosto de 2002
emitida por la Secretaria de Educación, se constituye como institución educativa distrital, el
Colegio Altamira Sur Oriental, tomando este nombre como reconocimiento al barrio donde se
ubica la sede A. Con ello se da solución a la continuidad escolar de sus estudiantes en los
ciclos de preescolar, educación básica y educación media. A partir de ahí se viene
construyendo un PEI integrado cuyo título es Comunicación para la construcción de una vida
digna.
Entre toda la población estudiantil que conforma la institución, se optó por desarrollar la
propuesta investigativa con un grupo focal compuesto por 32 estudiantes de grado séptimo,
esto atendiendo a que la temática en cuestión corresponde a los lineamientos curriculares
estipulados para dicho grado; sus edades oscilan entre los 11 y 14 años de edad, pertenecen a
los estratos socioeconómicos 0, 1 y 2. Sus núcleos familiares son disímiles, en algunos casos
viven con sus padres, en otros con alguno de ellos, o con abuelos y otros familiares quienes
son los encargados de ejercer los patrones de crianza que los caracterizan.
Su formación a nivel de matemáticas obedece a los desempeños mínimos ofrecidos por la
educación básica que promueve la institución educativa Altamira Sur Oriental I.E.D, que,
atendiendo los requerimientos de la Secretaría de Educación Distrital, muchas veces debe
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
90
promover estudiantes con graves falencias en el área, generando así lagunas de aprendizaje en
la mayoría de los contenidos y que redunda en su bajo desempeño en los siguientes niveles.
La relación afectiva que manifiestan con respecto a las matemáticas se ve fuertemente
afectada por los resultados obtenidos en años anteriores y por la falta de utilidad práctica con
respecto a algunas temáticas.
Luego de resolver cinco cuestionarios y participar activamente en el proyecto, 12
estudiantes del grupo voluntariamente decidieron continuar participando en el estudio; por
medio de tres sesiones que fueron realizadas los días sábados, por medio de actividades
diseñadas para mostrar la forma como los estudiantes resuelven situaciones que corresponde a
cada una de las interpretaciones de las fracciones, para ello fue necesario obtener el permiso
de los padres de familia. (véase Anexo H)
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
91
Capítulo 4
Análisis de resultados
Se desarrollo en este capítulo los resultados de los estudiantes en cada uno de los
cuestionarios. Además se analizan las producciones de los estudiantes en las sesiones del
sábado. Para recordarle al lector, los cuestionarios estan diseñados por cada una de las
interpretaciones de las fracciones.
4.1 Análisis de resultados del Cuestionario Nº 1: Fracción como parte -todo
Cada una de las preguntas se analizaran las respuestas. En la primera pregunta
el 89,99% de los estudiantes desconoce la congruencia de las partes en que se divide la
unidad, el 6,66% invierte la fracción y el 3,35% no sabe que responder (véase gráfica 1).
0
20
40
60
80
100
1/4, 1/5, 4 y 1/2 8 sobre 1 N.R
89,99
6,66 3,35
po
rcen
taje
respuestas
Parte-todo 1
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
92
Gráfica 1. Análisis de Resultados de la Pregunta 1 del Cuestionario 1
En la segunda pregunta el 100% de los estudiantes identificaron la igualdad entre las dos
representaciones. (véase gráfica 2)
Gráfica 2. Análisis de Resultados de a Pregunta 1 del Cuestionario 1
En la tercera pregunta, en la primera representación el 36% de los estudiantes realiza la
representación correctamente, el 30 % no sabe cómo resolver la situación y el 34% restante
utiliza otras estrategias como convertir el segmento en un cuadrilátero, no tienen en cuenta la
congruencia de las partes y no toman todo el segmento (véase gráfica 3). En la segunda
representación el 90% de los estudiantes realiza una representación correcta, el 10% restante
divide la unidad en cuatro partes o no indica ninguna parte sombreada (véase gráfica 3). En
la tercera representación, el 43,33% de los estudiantes realiza una representación correcta,
aunque aproximada (sin usar trasportador), el 53,33% no tiene en cuenta la congruencia de las
partes (véase gráfica 3).
0
20
40
60
80
100
si no
po
rcen
taje
Respuestas
Parte- todo 2
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
93
Gráfica 3. Análisis de Resultados de la pregunta 3 del Cuestionario 1
En la pregunta cuatro. En la primera parte, el 16,66% completa de manera correcta la
unidad, el 83,33% completa la unidad desconociendo la congruencia de las partes. Y en la
segunda parte el 100% de los estudiantes se le dificulta entender cuál es la unidad en una
representación parte-todo, discreta (véase gráfica 4).
0102030405060708090
po
rcen
taje
s
respuestas
Parte todo-3
0
20
40
60
80
100
po
rcen
taje
s
respuestas
Parte todo-4
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
94
Gráfica 4. Análsis de Resultados de la Pregunta 4 del Cuestionario 1
Finalmente, en la quinta pregunta, el 50% de los estudiantes representa las fracciones de
manera correcta, el 50% restante resuelve la situación utilizando diferentes estrategias:
agrupando conjuntos de tres elementos y coloreando uno, no tienen en cuenta la totalidad de
los elementos o no contesta nada (véase gráfica 5).
Gráfica 5. Análisis de la pregunta 5 del Cuestionario 1
4.2 Análisis de resultados del Cuestionario Nº 2: Fracción como operador
Este cuestionario tiene 8 preguntas. En la primera pregunta el 96,77% de los estudiantes
identificó correctamente el papel del operador, el 3,22% no respondió nada. (véase gráfica 6).
0
10
20
30
40
50
po
rcen
taje
s
respuestas
Parte-todo 5
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
95
Gráfica 6. Análisis de Resultados de la Pregunta 1 del Cuestionario 2
En la segunda pregunta, el 77,41% responde de manera adecuada al preguntarles por el
número afectado por el operador. El 3,22% opta por la resta por lo tanto considera que en el
lugar de la incógnita debe el ir el número 5, otro 3,22% considera que en el lugar de la
incógnita debe ir el número 1; mientras que el 16,12% no responde (véase gráfica 7).
Gráfica 7. Análisis de resultados de la Pregunta 2 del Cuestionario 2
0
50
100
bien N.R
po
rcen
taje
respuesta
Operador- 1
0
20
40
60
80
bien resta cambia datos N.R
po
rcen
taje
respuestas
Operador- 2
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
96
En la tercera pregunta, el 77,41% encuentra el operador correcto, el 9,67% resta, por lo
tanto, en el lugar del operador colocan el número12. El 6,45% cambian los números sin
ninguna justificación. El 6,45% no responde nada (véase gráfica 8)
Gráfica 8. Análisis de Resultados de la pregunta 3 del Cuestionario 2
En la cuarta pregunta, solamente el 3,22% respondió bien. el 9,67% consideró que la
respuesta era 4/8; el 25,8% respondió ¼; el 19,35% respondió que 8 debería ir en el lugar de
la incógnita; el 16,12% no respondió; el 3,22% respondió 13, el 9,67% consideró como
respuesta el 6 este mismo porcentaje respondió 5 y el 3,22% consideró que 4 era la respuesta
(véase gráfica 9).
0
20
40
60
80
bien resta cambia datos N.R
po
rcen
taje
s
respuestas
Operador- 3
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
97
Gráfica 9. Análisis de Resultados de la pregunta 4 del Cuestionario 2
En la quinta pregunta, el 29,03% consideró que la respuesta es 24/4; el 3,22% respondió
1/96; 22,58% consideró que la respuesta es 96; el 3,22% respondió 20; el 6,44% da 244 como
respuesta; el 6,45% consideró que la respuesta es 30 y finalmente el 29,03% no respondió
nada (véase gráfica 10).
0
5
10
15
20
25
30
bien 4sobre
8
1sobre
4
8 13 6 5 4 N.R
po
rcen
taje
respuestas
Operdador- 4
0
5
10
15
20
25
30
24 sobre4
1 sobre96
96 20 244 30 N.R
po
rcen
taje
s
respuestas
Operador- 5
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
98
Gráfica 10. Análisis de Resultados de la pregunta 5 del Cuestionario 2
En la sexta pregunta, el 25,80% respondió 2/5; el mismo porcentaje de estudiantes no
respondió nada; el 3,22% respondió 3/5; el 12,90% respondió 2/10; el 32,28% restante dio
respuesta como 3/0, 10, ¼, 7, 1/10, 25, 12 y 4 (véase gráfica 11).
Gráfica 11. Análisis de la Pregunta 6 del Cuestionario 2
En la séptima pregunta, el 41,93% representó la respuesta por medio de 2/5; el 19,35% no
responde nada, el 25,80% considera que a respuesta es 10 y el 12,92% restante da respuestas
como 2/10, ¼, 1/7, 2/7, 1/6 (véase gráfica 12).
05
101520253035
2 sobre 5 3 sobre 5 2 sobre 10 3/0, 10, 1/4,7, 1/10, 25
N.R
po
rcen
taje
s
respuestas
Operador- 6
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
99
Gráfica 12. Análisis de la Pregunta 7 del Cuestionario 2
En la octava pregunta, en la parte el 51,61% de los estudiantes afirman que la figura
disminuyó 4 veces; el 9,67% dice que disminuyó, pero no dice cuanto; el 3,22% no responde
y el 35,48% da algunas cifras de disminución sin justificarlas (véase gráfica 13). En la
segunda parte, el 61,29% afirma que la figura aumentó 4 veces; el 6,45% no dice cuanto
aumento la figura; el 3,22% no responde; el 19,35% inventa cifras; el 4,84% afirma que no
le paso nada y el otro 4,84% considera que la figura disminuyó (véase gráfica 13).
05
1015202530354045
2 sobre 5 10 2/10, 1/4, 1/7,2/7, 1/6
N.R
po
rcen
taje
s
respuestas
Operador- 7
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
100
Gráfica 13. Análisis de Resultados de la Pregunta 8 del Cuestionario 2
4.3 Análisis de resultados del Cuestionario Nº 3: Fracción como razón
Este cuestionario tiene 8 preguntas. En la primera pregunta el 92,85% considera que la
respuesta es 40, el 7,14% a pesar de dar 40 como respuesta, no realizan un procedimiento
correcto (véase gráfica 14).
Gráfica 14. Análisis de Resultados de la pregunta 1 del Cuestionario 3
010203040506070
po
rcen
taje
s
respuestas
Operador- 8
0
20
40
60
80
100
40 sin procedimiento
po
rcen
taje
s
respuestas
Razón- 1
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
101
A continuación, se ilustran gráficas que representan la diversidad de respuestas de los
estudiantes. En la segunda pregunta como se muestra en la gráfica 15 se definieron 6 tipos de
respuestas.
Gráfica 15. Análisis de la Pregunta 2 del cuestionario 3
En la tercera pregunta se muestra en la gráfica 16 se definen 10 tipos de respuestas.
Gráfica 16. Análisis de Resultados de la Pregunta 3 del Cuestionario 3
0
10
20
30
40
50
150 15 15000 5000 1500 N.R
po
rcen
taje
respuestas
Razón- 2
05
1015202530354045
4/3, x= 30
¾ =40/x,x=30
¾ =40/x,x=40
¾ de40,
x=30
3/40= 4/x,x=53
¾, x=30
¾ =40/3,x=30
¾, x=30
N.R ¾ =x/40,x=30
po
rcen
taje
s
respuestas
Razón- 3
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
102
En la cuarta pregunta se ilustra 6 tipos de respuestas (véase gráfica 17).
Gráfica 17. Análisis de Resultados de la Pregunta 4 del Cuestionario 4
En la quinta pregunta se definen tres tipos de respuestas (véase gráfica 18).
0
5
10
15
20
25
30
35
N.R. Por cada 4negros hay8 blancos ypor cada 7negros hay11 blancos,entonces el2 tiene más
Por cada 4negros hay8 blancos ypor cada 7negros hay11 blancos
El segundo,por la
cantidad
Por cada 7negros hay11 blancos
4/8, porcada
agujeronegro hay8 blancos
po
rcen
taje
respuestas
Razón-4
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
103
Gráfica 18. Análisis de los Resultados de la Pregunta 5 del Cuestionario 3
En la sexta pregunta se determinaron 10 alternativas, como se ilustra en la gráfica 19.
Gráfica 19. Análisis de la Pregunta 6 del Cuestionario
0
20
40
60
80
100
720 7200 N.R.
po
rcen
taje
s
respuestas
Razón-5
05
101520253035404550
po
rcen
taje
s
respuestas
Razón-6
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
104
En la séptima pregunta se determinaron 13 tipos de respuesta como se muestra en la gráfica
20.
Gráfica 20. Análisis de la Pregunta 7 del Cuestionario 3
En la pregunta octava se encuentra 8 tipos de respuestas como se ilustra la gráfica 21.
0
5
10
15
20
25
30
po
rcen
taje
s
respuestas
Razón- 7
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
105
Gráfica 21. Análisis de Resultados de la Pregunta 8 del cuestionario 3
En este cuestionario, se observa que los estudiantes presentan diversidad de respuestas
por asociar la razón como parte todo. Además, los estudiantes carecen del manejo de la
equivalencia de los fraccionarios.
4.4 Análisis de resultados del Cuestionario Nº 4: Fracción como cociente
En este cuestionario consta de 4 preguntas. En las gráficas 22, 23, 24 y 25 corresponden a
la primera, segunda, tercera pregunta respectivamente. Se observa que la diversidad se da
porque los estudiantes no comprenden las relaciones entre los números como cociente.
0
5
10
15
20
25
30
35
3/7=39 N.R. 3/7=39/91,x=39
2/7=x/91,x=26
3/7=84/95
po
rcen
taje
s
respuesta
Razón- 8
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
106
Gráfica 22. Análisis de Resultados de la Pregunta 1 del Cuestionario 4
Gráfica 23. Análisis de Resultados de la Pregunta 2 del Cuestionario 4
0
5
10
15
20
25
30
½ y ¼ 1 1½ y ½
1/81/81/8
1/3½¼
1/31/3½
¼ ¼¼
1/31/3¼
½½ ¼
½ ½1/3
1 11/2
1/31/31/3
2/22/24/4
po
rcen
taje
s
respuestas
Cociente-1
0
10
20
30
40
50
60
2/5 3/6 + ¼ 2 sobre 15 N.R
po
rcen
taje
s
respuestas
Cociente-2
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
107
Gráfica 24. Análisis de Resultados de la Pregunta 3 del Cuestionario 4
Gráfica 25. Análisis de Resultados de la Pregunta 4 del Cuestionario 4
4.5 Análisis de resultados del Cuestionario Nº 5: Fracción como medida
0102030405060708090
po
rcen
taje
s
respuestas
Cociente- 3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
po
rcen
taje
s
respuestas
Cociente 4
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
108
Este cuestionario consta de 6 preguntas. La primera pregunta consta de dos momentos,
en la primera parte se encuentra que los estudiantes marcan entre el 3, 4 y 5, y de ubicación de
fraccionarios como 4/5, 3/5, 4/6 los respectivos porcentajes se ilustran en la gráfica 26.
Gráfica 26. Análisis de Resultado de la Pregunta 1 del Cuestionario 5
De forma similar se presenta en la segunda pregunta que los estudiantes amplían la recta
para 3, 4 y 5; y se ubican los ¾, 5/6, 4/6 y 3/6 en la gráfica 27 se ilustran los porcentajes.
05
101520253035
Marcael 3
Marcaentre el3 y el 4
Marca4/5
N.R Marca3/5
Marcódel 3 al
5
Marcó4/6
Marcóel 4
po
rcen
taje
s
respuestas
Medida-1a
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
109
Gráfica 27. Análisis de Resultados de la Pregunta 2 del Cuestionario 5
La segunda pregunta tiene dos momentos. En el primer momento, se tiene una variedad de
respuestas que se asocian a la forma de interpretar los decimales y fraccionario en el contexto
de medida y lo mismo se observa en el momento dos, como se visualiza en la gráfica 28.
0
5
10
15
20
25
30
Marca4/5
Marca3/5
Marca¾
Ampliala recta
ymarcadel 3 al
5
Marca5/6
Nomarca Marca
4/6Ampliala recta
ymarcaentre 3
al 4
Marca3/6
po
rcen
taje
s
respuestas
Medida-1b
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
110
Gráfica 28. Análisis de Resultados de la Pregunta 2 del Cuestionario 5
En la tercera pregunta se encuentra que los estudiantes establecen el reciproco del número
del racional, no definen el numerador y el denominador en los roles que se requieren según el
contexto (véase gráfica 29). En cambio, en la pregunta cuatro sobre el tiempo se nota un
escaso manejo de las relaciones temporales (véase gráfica 30) como se rectifica en la quinta
pregunta (véase gráfica 31)
¿Qué fracción de una semana son tres días?
0
5
10
15
20
25
a
¼
N.R 0,9
1 s
ob
re 3
5 s
ob
re 5
1 s
ob
re 6
2 s
ob
re 8
4 s
ob
re 6
3 s
ob
re 4 b
1 s
ob
re 1
1
1 s
ob
re 3
0.1
3 s
ob
re 7
1 s
ob
re 2
1 s
ob
re 4
1 s
ob
re 7
1 s
ob
re 5
N.R
po
rcen
taje
s
respuestas
Medida 2
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
111
Gráfica 29. Análisis de Resultados de la Pregunta 3 del Cuestionario 5
Gráfica 30. Análisis de la Pregunta 4 del Cuestionario 5
0
20
40
60
80
100
3 sobre 7 7 sobre 3 N.R
po
rcen
taje
s
respuestas
Medida- 3
0
10
20
30
40
50
60
70
80
15 minutos 15 horas 60 minutos 16 minutos
po
rcen
taje
s
respuestas
Medida-4
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
112
Gráfica 31. Análisis de Resultados de la Pregunta 5 del Cuestionario 5
En la sexta pregunta, la conforman en tres partes. Cada una de esas partes muestran una
variedad de respuestas señalan el uso del fraccionario o el entero cuyas respuestas se muestra
en las gráficas 32,33,34
0
10
20
30
40
50
4 meses N.R 3 meses 2 meses
po
rcen
taje
s
respuestas
Medida-5
05
1015202530354045
17sobre
4
16 3sobre
4
1sobre
6
7sobre
6
22sobre
4
3/4 de6
17sobre
1
4sobre
17
N.R
po
rcen
taje
s
respuestas
Medida -6a
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
113
Gráfica 32. Análisis de la primera parte de la pregunta 6 “¿Cuánto le falta a ¾ para llegar a
5?”
Gráfica 33. Análisis de Resultados de la segunda parte de la pregunta 6 “¿Cuánto le falta a ¼
para llegar a 9?”
0
5
10
15
20
25
30
35
35sobre
4
36sobre
4
17 1sobre
4
7sobre
6
9sobre
4
39sobre
4
1/4 de34
34sobre
4
N.R
po
rcen
taje
s
respuestas
Medida- 6b
0
5
10
15
20
25
63sobre
8
32sobre
4
15 6sobre
2
60sobre
8
N.R 1/8 de26
70sobre
8
62sobre
8
65sobre
8
po
rcen
taje
s
respuestas
Medida-6c
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
114
Gráfica 34. Análisis de Resultados de la tercera parte de la pregunta 6 “¿Cuánto le falta a 1/8
para llegar a 8?”
Se observa que la fracción en el contexto de medida es poco explorada en la escuela, los
estudiantes no pueden determinar la unidad de medida.
4.6 Análisis de resultados de las sesiones
Las sesiones se desarrollaron con la intención de tratar cada uno de las interpretaciones de
las fracciones.
4.6.1 Primera sesión
La primera sesión trata la fracción como parte-todo cuyas tareas eran similares al
cuestionario 1. En esta sesión se emplea material manipulable encontraron con la fracción lo
que significa parte y todo. Algunas de las situaciones que sucedieron en la sesión fueron:
Se les pide a los estudiantes que contesten la pregunta 1del cuestionario 1; los estudiantes
cometieron los mismos errores descritos en este cuestionario.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
115
Imagen 1. Forma como resuelven la pregunta 1 del cuestionario 1.”
La docente utiliza un rectángulo en papel de color, y un triángulo de otro color que
representa 1/8 del rectángulo, les muestra el material a los estudiantes pidiéndoles que
analicen nuevamente la respuesta, en este momento dos estudiantes interpretan la situación y
la explican a sus otros compañeros, haciendo claridad en la congruencia de las partes
En la segunda tarea no manifestaron mayor dificultad, el inconveniente resulto cuando la
docente pregunta si un rectángulo y un triángulo pueden representar la misma fracción.
Algunos dudaron y cambiaron su respuesta afirmando que una gráfica representaba 1/8 y la
otra 1/7. Pero finalmente concluyeron que si representan el mismo número.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
116
Imagen 2. Justificación de la pregunta 2 del cuestionario 1
En la tercera tarea, cometieron los errores descritos en el cuestionario 1.
Imagen 3. Representacion de 1/3 en distintas formas
Imagen 4. Forma como resuelven la pregunta, después de explicaciones
Posteriormente se les pasó un pedazo de lana para representar el segmento, algunos
midieron el trozo de lana, otros cortaron sin tener en cuenta la igualdad de cada pedazo,
cuando vieron como lo habían resuelto los que midieron concluyeron que no lo habían hecho
correctamente. En la parte siguiente, no presentaron mayores inconvenientes, aunque todos
partieron la unidad en tres partes y sombrearon la primera parte. La docente represento la
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
117
misma fracción, pero sombreando la segunda parte y en otra figura la tercera parte y preguntó
¿qué representa cada gráfica? Algunos dudaron y dijeron que la correcta era la primera forma,
entonces se les preguntó ¿qué número representan las otras gráficas? ellos respondieron
dudosamente
.
En la siguiente parte de la sesión, solo un estudiante realizo una partición aproximada, los
otros no tuvieron en cuenta la igualdad de las porciones; se les pasó material concreto
diciéndoles que cada círculo representaba una pizza y que se debía repartir entre tres, al final
todos concluyeron cuál era la forma de realizar la partición.
En la sesión de determinar la unidad, los estudiantes trataban de organizar con las partes
un polígono regular y afirmaban que no se podía resolver, no lograron concluir la respuesta.
Imagen 5. Forma como completan la unidad.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
118
Imagen 6. Como intentean formar una figuar estándar
En cuanto a completar la unidad con un todo discreto, también se repitieron las mismas
situaciones descritas anteriormente, este ejercicio pudo ser resuleto despueás de rosolver la
tarea seis del mismo cuetionario
Imagen 7. Forma como completan una unidad discreta
Finalmente, la sexta tarea también generó muchas dificultades, como se ilustra en la
imagen:
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
119
Imagen 8. Forma representan una fracción en un todo discreto
para lo cual se utilizó material concreto, se les facilitaron la cantidad de elementos dados en el
conjunto y se les pidió señalar
, un estudiante decidió repartir el material entre tres y así
concluyó la forma de resolver los demás.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
120
Imagen 9. Material explicativo de un todo discreto
4.6.2 Segunda sesión
En esta sesión se trabaja la fracción como cociente y operador. Para la primera tarea los
estudiantes tuvieron inconvenientes al realizar la partición, algunos optaron por repartir un
pastel entre dos niñas y a las otras dos niñas les correspondía de a una torta, otros no supieron
cómo resolver la situación y dos de ellos la resolvieron de manera correcta.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
121
Imagen 10. Forma como realizan repartos
Posteriormente, a los estudiantes se les entregaron tres tarjetas que median 10 cm por 5
cm cada una, se les pidió que hicieran de cuenta que estos eran los tres pasteles y que los
dividieran entre cuatro niñas, se demoraron un poco, pero partieron cada tarjeta en cuatro
partes y luego formaron grupos conformados por tres cuartos, resolviendo así la situación.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
122
Imagen 11. Interpretación de situaciones de reparto
Sin embargo, uno de ellos opto por medir las tres tarjetas y este resultado lo dividió entre
cuatro al obtener como respuesta 7,5; midió 7,5 en cada tarjeta y corto y finalmente formo el
cuarto grupo con los residuos de las tres tarjetas.
Imagen 12. Estrategias para resolver situaciones de reparto
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
123
Para la segunda tarea no tuvieron ningún inconveniente porque siguieron un
procedimiento similar al anterior.
En la tercera tarea, no presentaron mayores inconvenientes, los 12 estudiantes dibujaron
tres unidades y cada una la dividieron entre 8 y señalaron en
en cada gráfica, pero al pedirles
que graficaran 3 veces
los estudiantes dibujaron tres unidades y cada una la dividieron
entre 8 y señalaron en
en cada gráfica,
Imagen 13. Forma como representan 3 veces 1/8
o realizaron representaciones como las que se muestran a continuación:
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
124
Imagen 14. Formas de representar la misma expresión
Se le entregaron a cada estudiante ocho triángulos y se les pidió que mostraran
, ellos
cogieron un triángulo, cuando se les pidió que repitieran el proceso tres veces, concluyeron
que habían realizado de manera incorrecta el ejercicio. Los ejercicios siguientes resolvieron
de forma análoga.
En la tercera tarea lo tomaron de manera similar al anterior, por lo que no causó mayores
dificultades. Sin embargo, cuando se les pidió graficar 0,6, les fue totalmente imposible y, por
lo tanto, afirmaron que las tres primeras expresiones son iguales y que la cuarta expresión es
diferente.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
125
Imagen 15. forma de representar la misma expresión y su justificación
Con relación a las tareas relacionadas con fracción como operador. Se mantiene el uso de
material concreto: se les da unas tiras rectangulares para que realizaran la comparación de sus
longitudes y determinen su operador.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
126
Imagen 16. Trabajo de la fracción como operador, con material concreto
En las actividades similares al cuestionario sobre operador, fue necesario realizar una
explicación para mostrar el fraccionario como transformador. Se les explicó que la fracción
como operador es una operación que combina multiplicación y división y se utilizaron
esquemas como:
Máquina que transforma
Estado inicial Estado final
24 X 1
4
6
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
127
Imagen 17. Explicación de la fracción como operador
Fue necesario realizar aclaraciones con el concepto de mitad en relación al nombre un
medio y a su representación
para algunos estudiantes esto no resultaba claro por lo tanto se
les dificultaba entender la explicación dada al utilizar estas expresiones indistintamente.
Las dificultades se evidencian al realizar la multiplicación de un fraccionario con un
natural
, los estudiantes confunden los algoritmos: multiplican tanto el numerador como
el denominador por el número natural, multiplican el denominador por el número natural,
suman el numerador con el operador, suman el denominador con el operador.
Se le entrega a cada estudiante una tarjeta divida en 5 partes iguales y una de ellas de otro
color, y se les pide que apliquen el operador anterior, así los ejercicios fueron resueltos.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
128
Imagen 18. Fracción como operador con material concreto
En relación a expresar por medio de un número la ampliación o reducción de una figura
con respecto a otra, los estudiantes manifestaban no entender la pregunta solamente
identificaban si aumentaba o disminuía, pero no su representación numérica, se les pide que
corten por el borde la figura pequeña y realicen la comparación con la figura grande, así que,
emplearon medidas para determinar el tamaño y comparar.
Es decir, que los estudiantes comprenden las relaciones entre las partes, si se tiene la
experiencia con material concreto.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
129
4.6.3Tercera sesión
En esta sesión se organizaron actividades sobre fracción como razón y medida. En la
primera parte las tareas de razón, se realizaron preguntas sobre la forma como resuelven las
situaciones.
En la primera tarea, los estudiantes muestran los procedimientos, pero no explican la
razón de realizar estas cuentas. Por ejemplo; multiplicaron 80 por 50 y dividieron entre 100;
consideraban que debían multiplicar dos números y dividir por el otro, pero no identificaban
cuáles se debían multiplicar y cuál era el que dividía Luego, se realizaron situaciones sobre
los porcentajes que representa cierta cantidad encontrando que los estudiantes no pueden
resolver estas tareas.
Imagen 19. Forma como resuelven situaciones problémicas sobre la fracción como razón.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
130
Posteriormente, se realizaron tareas de razón con material, se entregaron tarjetas de
colores y se establecieron las siguientes actividades: se les pidió que por cada tarjeta morada
colocaran cuatro verdes, se fue aumentando progresivamente la proporción y finalmente se les
decía: si tengo 30 tarjetas verdes ¿cuántas moradas debo tener?, se les cambiaron varias veces
los números y se repitió el proceso con otras razones, encontrando algunas alternativas que
facilitaban el proceso, como: hacer uso de la equivalencia de fracciones, encontrar el número
por el cual se había multiplicado el numerador para multiplicar el denominador por el mismo
número y viceversa y De la misma manera trabajaron las situaciones relacionadas con
porcentajes representando los porcentajes dados en forma de fracción.
Imagen 20. Trabajo de la fracción como razón con material concreto
Se les propusieron situaciones conformadas por dos magnitudes, en las que los
estudiantes debían encontrar la diferencia entre las velocidades de dos objetos, conociendo las
distancias recorridas y el tiempo empleado para ello; la diferencia entre el precio de dos
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
131
objetos, conociendo la cantidad de objetos comparado y precio total pagado por ellos. En
estos casos se evidencio que los estudiantes no realizan la división indicada como estrategia
para resolver dichas situaciones, tienden a adivinar cuál fraccion es mayor o menor sin dar
ningún tipo de argumento
En la parte de fracción como medida, las actividades se realizaron empleando papel
milimetrado, con rectas trazadas y se les pide que ubiquen 3/5 ubican el número entre el 3 y 4.
En vista que los estudiantes no representaron de forma correcta en la recta.
Imagen 21. Forma como representan una fracción en la recta
Imagen 22. Forma como identifican un punto sobre la recta
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
132
Imagen 23. Manera como marcan las fracciones en una recta
La docente realiza la explicación en la que indica que la fracción vista como un punto en
la recta numérica indica una distancia entre el origen y el punto-fracción, de ahí que al ubicar
un punto sobre la recta es necesario tomar el 0 como inicio del proceso, enfatizando en que las
partes en que se divide cada segmento deben ser iguales y así mismo existen diversas
unidades. Se les pidió realizar representaciones de otros números y ellos ya tuvieron en
cuenta el cero en la recta numérica, la unidad y la congruencia de las partes.
Imagen 24. Trabajo de las fracciones sobre la recta en papel milimetrado
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
133
Posteriormente se les pidió que trazaran otra recta en papel milimetrado, y marcaran un
punto, se rotaron las hojas y otro estudiante debía identificar el número que representaba el
punto marcado, lograron realizar el ejercicio a cabalidad. Con estas rectas también se les pidió
que resolvieran situaciones como: ¿cuánto le falta a ¾ para llegar a 2, a 4, a 5? Y en su
totalidad la resolvieron dividiendo cada unidad en cuatro y contando las partes que hacían
falta para completar la unidad pedida.
Imagen 25. Explicaciones e interpretaciones de la fracción en la recta
Finalmente, se les hicieron preguntas como: ¿cuántos minutos representan ¼ de hora?,
¿cuántos minutos representan
de hora?, ¿cuántos meses son los
de un año? En estos casos
dos estudiantes tomaron la delantera en dar las respuestas y los demás poco a poco se fueron
integrando en la resolución de las situaciones planteadas.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
134
4.7 Descripción y análisis de los resultados
Los resultados se establecen por cada interpretación de las fracciones.
4.7.1 Análisis de Fracción como Parte -todo
El desarrollo de los dos momentos de la investigación permite afirmar con respecto al a
Fracción como Parte-todo:
El 100% de los estudiantes reconoce la igualdad de la representación numérica de dos
gráficas distintas.
El 90% realiza una representación correcta de la fracción 2/3, en una superficie
rectangular.
El 96.77% de los estudiantes identificó correctamente el papel del operador, con
números naturales.
El 92,85% considera que la respuesta a la primera pregunta del taller de razón es 40
El 90% de los estudiantes hace una buena representación de
.
90,32% realiza una representación adecuada de
, dividen la unidad en 8 partes y
colorean 3
El 83,87% realiza correctamente la representación de
, divide la unidad en 5 partes y
colorea 3.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
135
Los más altos porcentajes en cuanto a dominio del concepto de fracción, se presentan en
la interpretación parte-todo en un contexto continuo, lo que pone de manifiesto que esta
interpretación es a la que mayor énfasis se le hace.
Con el trabajo en el aula se obtuvieron diversos logros como:
Representación de fraccionarios no solamente en polígonos regulares, sino que realizaron
particiones adecuadas en polígonos irregulares, resaltando que en algunos casos se hace uso
de la igualdad de áreas, más no de forma.
Aproximación cognitiva a la fraccion a través de representaciones discretas, para los
estudiantes causó mucha dificultad la identificación de la unidad en un todo discreto y la parte
que representa una fraccion en un conjunto dado, aspecto que se trató con el manejo de
conjuntos conformados por elementos manipulables, en los cuáles se les pedía encontrar la
cantidad de elementos que representaban una fraccion de dicho conjunto, los estudiantes
repartieron los elementos según el denominador de la fraccion y poco a poco fueron
comprendiendo estos aspectos.
Identificación de una representación gráfica en la que se colorean indistintamente las
partes, algunos estudiantes identificaban
realizando una gráfica rectangular, dividiéndola
en tres partes y coloreando la primera parte, si se realizaba la misma gráfica, pero coloreando
la parte del medio o la parte final, consideraban que la fracción cambiaba, al realizar
aclaraciones y explicaciones, comprendieron que se trataba de la misma representación.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
136
Comprensión de la fraccion que representa una parte en una superficie que no tenga las
particiones marcadas, cuando se les presento una terea en la que debían identificar la fraccion
que representaba una parte de la superficie los estudiantes en sus respuestas evidenciaban el
desconocimiento de la congruencia de las partes, pero al presentarles una superficie y pedirles
que averiguaran cuántas veces estaba contenida en ella una parte determinada , ellos tuvieron
la posibilidad de manipular el material, medir y comparar y concluyeron la forma como se
podían realizar las particiones de manera congruente y determinar la fraccion que
representaba la parte dada, de manera similar a los estudiantes se les facilitó realizar una
partición dada en un círculo.
4.7.2 Análisis de Fracción como razón
El desarrollo de los dos momentos de la investigación permite afirmar con respecto a la
Fracción como razón:
El 92,86% resuelve el problema Nº 5 del cuestionario de razón dando como respuesta,
720 personas.
A pesar de representar un porcentaje bastante alto, no puede ser visto como un indicador
en cuanto a la interpretación de la fracción como razón, puesto que las demás situaciones
propuestas y que requieren de un análisis similar no arrojan los mismos resultados.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
137
En cuanto, a las demás interpretaciones no se presentan tareas en donde los estudiantes
que utilicen estrategias correctas superen el 60%.
El trabajo en el aula permite la adquisición de los siguientes logros:
Utilización de conceptos adquiridos con anterioridad, en este caso, para los estudiantes
resulta bastante complicado hacer uso de la equivalencia de fracciones concepto trabajado con
anterioridad, se formulan algunas situaciones y se les recuerda dicho concepto, por medio del
trabajo con elementos manipulables en el que debían encontrar el término desconocido de una
proporción, los estudiantes generan propuestas para facilitar tales cálculos eliminando poco a
poco el uso de material concreto.
4.7.3 Análisis de Fracción como medida
Se puede determinar que los estudiantes presentan:
El 100% de los estudiantes no realiza la representación correcta de un fraccionario
sobre la recta numérica.
El 100% de los estudiantes no identifica el número fraccionario representado por un
punto sobre la recta numérica.
El 60% no identifican la cantidad de veces que una fracción está contenida en un
numero natural.
Esto demuestra el poco manejo que se da en la escuela de la interpretación de la fracción
como medida, los estudiantes presentan un manejo elemental de la recta numérica, no la
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
138
reconocen como la continuidad de unidades y se les dificulta realizar las particiones
correspondientes a un fraccionario dado.
En cuanto al trabajo en el aula se obtuvieron los siguientes logros:
Representación de fracciones por medio de un punto en la recta numérica, puesto que, los
estudiantes tendían a: realizar particiones, sin tener en cuenta la medida, otros desconocían la
unidad conformada entre el cero y el uno, como inicio del proceso para ubicar un número en
la recta numérica, otros, olvidaban las particiones que se deben tener presentes cuando se
tiene la recta y un número fraccionario dado; aspecto que se corrigió al trabajar con el papel
milimetrado y algunas explicaciones por parte de la docente.
Los estudiantes comprendieron la forma en realizar las particiones indicadas conservando
la congruencia de las partes. También se aclararon tareas en las que se pedía determinar el
número que le hace falta a una fracción para llegar a otro, o el número de veces que una
fraccion está contenida en un número natural.
4.7.4 Análisis Fracción como operador
Se presenta los siguientes análisis:
Al 90% de los estudiantes se les dificulta representar por medio de un número la
ampliación o disminución de una figura con respectos a otra.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
139
El 70,97% no identifica la trasformación que sufre un número natural al aplicarle un
operador fraccionario.
El 74,2% no identifica la transformación que sufre un fraccionario al aplicarle como
operador un número natural.
Los estudiantes presentan grandes dificultades en cuanto al papel que desempeña una
fracción en la ampliación o reducción de una figura, de la misma manera se evidencia la
confusión que tienen en cuanto al manejo de algoritmos de los fraccionarios.
Con el trabajo en el aula se pueden identificar los siguientes logros:
Aplicación de operadores, para los estudiantes generó gran dificultad expresar por medio
de un número la transformación de un número fraccionario, natural o de una imagen al
aplicarle un operador, con el uso del material concreto, que en este caso fueron tiras de papel
con una medida determinada, a las cuales se les aplicaba un operador y los estudiantes debían
medir y cortar la tira según transformación sufrida, estas dificultades se fueron minimizando
al punto, de que pudieron resolver situaciones formuladas sin hacer uso del material concreto,
solamente recurrían a cálculos numéricos provenientes de procesos abstractos.
4.7.5 Análisis de Fracción como cociente
Se presentan los siguientes resultados:
Al 100% de los estudiantes se les dificulta identificar la fracción como un cociente.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
140
El 93,45% tiene inconvenientes para representar gráficamente: 3 veces
En cuanto a esta interpretación se pone de manifiesto la dificultad que los estudiantes
tienen para relacionar la fracción con una división, esto se ve con mayor claridad en la
resolución de situación en las que su uso facilitaría los cálculos, como en el caso de resolver
una comparación entre dos razones o la ubicación de un punto en la recta numérica.
El trabajo en el aula permite evidenciar los siguientes logros:
Utilización de un cociente indicado para resolver situaciones, algunos estudiantes no
manejaban la relación de orden entre fracciones; no veían en la división el camino para
resolver situaciones o no podían establecer la relación entre una fracción y su representación
decimal, esto se evidenciaba al no poder resolver problemas expresados como razones, por
ejemplo, al pedirles que dieran solución a una situación de velocidad en términos de km/h, no
podían identificar cuál objeto llevaba mayor velocidad, pero con ayuda de los trabajos
realizados en las otras sesiones fueron encontrando en la división y comparación de
decimales, la estrategia para resolver dichas situaciones.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
141
Capítulo 5
Conclusiones, limitaciones y proyecciones
En este capítulo se da respuesta a la pregunta de investigación y a los objetivos
establecidos para el estudio. Además, se dan elementos de las limitaciones y proyecciones.
5.1 Respuesta a la pregunta de investigación
Entre las múltiples dificultades que se les presentan a los estudiantes de grado séptimo del
Colegio Altamira Sur Oriental I.E.D, jornada tarde, en la resolución de problemas con
números fraccionarios, vale la pena resaltar las siguientes:
Parte todo
Imposibilidad del cálculo de las partes de un todo sin divisiones explícitas, en este sentido
cuando al grupo de estudiantes se le presenta una imagen en cuyo interior se sombrea una
parte de la misma se aprecia que ninguno de estudiantes logra identificar la fracción que
representa.
Mínimo trabajo con polígonos irregulares, dado que los estudiantes están acostumbrados
a trabajar siempre con polígonos regulares y cuando se presenta alguno que no cumple con
estas características lo asumen como no existente, situación que se repite al trabajar con un
segmento de recta, pues para hacerlo tienden a convertirlo en un objeto bidimensional.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
142
Imposibilidad de aplicar el proceso contrario en un todo discreto, es decir, que los
estudiantes al momento de conocer una parte del todo sin la presencia del resto no pueden
generar la unidad que representa el todo.
Necesidad absoluta de lo concreto, entendida como la dificultad tienen los estudiantes
para representar un fraccionario en contexto discreto sin apelar a un elemento de la realidad
que lo represente.
Operador
Falencias lógicas para encontrar incógnitas a partir de la aplicación de un operador,
puesto que si se les presentan situaciones en las cuales hace falta ya sea el número al cual se le
aplica el operador, el operador o la transformación difícilmente logran dar una respuesta
acertada.
Expresión numérica de la reducción o ampliación de una figura, esta se da cuando al
estudiante luego de haberle presentado dos imágenes de las cuales una es la reproducción
ampliada o reducida de la otra, no logran establecer la relación numérica existente entre las
dos.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
143
Cociente
Mínima aplicabilidad de las fracciones como cocientes, debido a la poca relación de los
números en diferentes contextos, no identifican la equivalencia entre los números decimales y
los fraccionarios.
No reconocimiento de la congruencia de las partes y su posterior representación
numérica, lo cual se da cuando se presentan situaciones de reparto, los estudiantes tienden a
dividir las unidades de manera arbitraria sin importar el área, solo lo hacen de manera
adecuada si cuentan con el apoyo de material concreto que les facilite el ejercicio.
Desconocimiento de las variantes de representación de una misma expresión, hecho que
se evidencia cuando se les solicita a los estudiantes que realicen la representación gráfica de
una fracción expresada de diferentes formas.
Razón
Confusión de elementos de una proporción, se presenta luego de que los estudiantes se
enfrentan a una situación en la que se hace uso de las proporciones y no consiguen identificar
la coherencia entre el enunciado y la respuesta que dan.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
144
Omisión de la representación porcentual como fraccionario, dado que, en la mayoría de
los casos los jóvenes no identifican un porcentaje dado como una fracción o viceversa.
No aplicación de la equivalencia de fracciones, se da debido a que no aprecian la utilidad
del concepto en la resolución de situaciones prácticas.
Medida
Desconocimiento de la unidad en la recta numérica, es decir, los estudiantes identifican
como unidad la recta que se les presente y tienden a dividirla como un todo ignorando que
cada segmento corresponde a una totalidad.
Particiones erradas en la recta, se presenta cuando los estudiantes realizan particiones sin
tener en cuenta la congruencia de las partes ni el número de las mismas.
No identificación de fracciones en la recta numérica, esta se presenta como consecuencia
de las particiones erradas en la recta, los estudiantes no logran ubicar acertadamente una
fracción o identificar el número que representa un punto sobre la recta.
5.2 Con relación a los objetivos
5.2.1 Objetivo general
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
145
Imposibilidad del cálculo de las partes de un todo sin divisiones explícitas: hay una
limitación en cuanto a cantidad de particiones realizadas explícitamente y partes demarcadas,
se desconoce el atributo de congruencia de partes.
Mínimo trabajo con polígonos irregulares: existe la costumbre de trabajar con
representaciones continuas en superficies estándar (rectángulos, cuadrados, círculos), aspecto
que debe ser tenido en cuenta por los docentes, para crear situaciones en las que se tengan que
hallar fracciones de figuras no estándar, para ampliar la concepción que se tenga de fracción.
Fandiño, M. (2009).
Imposibilidad de aplicar el proceso contrario en un todo discreto: la representación
discreta genera malestar debido a que un conjunto de elementos no es visto como un todo y se
presentan dificultades al identificar la parte que representa una fracción de un conjunto; de la
misma manera identificar la unidad que genera una fracción dada se convierte en una
situación difícil de resolver.
Necesidad absoluta de lo concreto: Es importante resaltar que para garantizar la
asimilación del concepto de fracción es necesario el manejo de material concreto, esto con el
fin de fortalecer algunos conceptos matemáticos y así mismo contribuir al desarrollo de la
capacidad de abstracción.
Falencias lógicas para encontrar incógnitas a partir de la aplicación de un operador: en
esta parte se evidencian dificultades relacionadas con los algoritmos de multiplicación y
división, se tiende a aplicar indistintamente las reglas de cada uno y mezclarlos, por lo cual,
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
146
en esta parte, también es importante el uso de material concreto para visualizar de manera
lógica la modificación por un operador.
Expresión numérica de la reducción o ampliación de una figura: esta situación muestra
claramente el poco uso que damos en el lenguaje cotidiano a la fracción, puesto que,
difícilmente se relacionan las expresiones numéricas con la ampliación o reducción de una
figura.
Mínima aplicabilidad de las fracciones como cocientes: esta dificultad se pone de
manifiesto al proponer problemas expresados como razones, en donde no se utiliza la división
como estrategia para proponer soluciones, puesto que resulta complicado establecer la
relación entre una fracción y su representación decimal y cuando realizan la división
presentan dificultades en el ordenamiento de decimales. Hecho que demuestra el poco trabajo
que se realiza en la escuela con esta interpretación.
No reconocimiento de la congruencia de las partes y su posterior representación
numérica: al utilizar el cociente indicado como estrategia para resolver problemas, se puede
notar la poca importancia que se le da a la congruencia de las partes y la dificultad que se
presenta al expresar un procedimiento gráfico de manera numérica, es decir, la traducción se
convierte en otro problema más.
Desconocimiento de las variantes de representación de una misma expresión: las
diferentes interpretaciones de la fracción, usualmente se dan de manera aislada, sin mostrar la
relación existente entre ellas, esto que hace que difícilmente se utilicen este tipo de relaciones
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
147
de una interpretación a otra. No se visualizan las diferentes expresiones como forma de
realizar una misma representación
No aplicación de la equivalencia de fracciones: no se utiliza el concepto de fracciones
equivalentes para resolver situaciones relacionadas con razones, principalmente en el caso de
los porcentajes y de encontrar el término desconocido de una proporción, puesto que existe la
costumbre de dar solución a los problemas, aplicando mecánicamente los algoritmos, se
evidencia la inmediatez, es decir, no hay un análisis de la coherencia entre la pregunta y la
respuesta.
Desconocimiento de la unidad en la recta numérica: Dickson, L. (1991), afirma que la
recta numérica no incorpora la idea de que una fracción pueda ser concebida como una parte
de un objeto concreto o como parte de un conjunto de objetos, sino que la fracción se reduce a
un número abstracto, esto hace que la representación genere muchas dificultades para los
estudiantes, entre las que se encuentra el desconocer la unidad conformada entre el cero y el
uno, como inicio del proceso para ubicar un número en la recta numérica, generalmente el
fraccionario es ubicado entre los números que hacen las veces de numerador y denominador.
Particiones erradas en la recta: el hecho de que la recta numérica no representa una
superficie bidimensional que es el espacio donde se acostumbra a graficar las fracciones, hace
que se generen dificultades al realizar las particiones: no se tiene en cuenta la medida, es
decir, las partes no son congruentes; para realizar las marcas se tiene en cuenta es el
denominador y no las partes en que debe quedar dividida la unidad.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
148
No identificación de fracciones en la recta numérica: de la misma manera que se ha
descrito en los dos apartados anteriores, la identificación del número que representa un punto
en la recta numérica resulta siendo una de las mayores dificultades, puesto que no pueden ver
las distancias entre los puntos marcados por los números naturales como unidades, sino que
ven la recta numérica como la unidad, esto hace que se interprete de manera errada la
ubicación de fracciones sobre la recta.
5.2.2 Situaciones problémicas
Entre las situaciones problémicas para identificar interpretaciones de los estudiantes en
torno a los fraccionarios, se pueden destacar:
Problemas en diferentes contextos para que el estudiante se familiarice con las diversas
interpretaciones del concepto de fracción y pueda utilizar la interpretación más apropiada para
dar solución a la situación propuesta. Utilización de conceptos vistos en una de las
interpretaciones para aplicarlos en otra, y así, facilitar cálculos.
Pasar de una interpretación a otra, dando su respectiva explicación y realizando la
comparación entre las dos o más interpretaciones. Plantear situaciones con fraccionarios
relacionadas con la vida cotidiana.
Desarrollar actividades que involucren no sólo elementos materiales, sino que impliquen
el uso de la lógica y la imaginación.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
149
Hacer explícitas situaciones en las que de antemano se sabe que generan dificultad.
5.2.3 Según las interpretaciones de los fraccionarios.
En cuanto a las diferentes interpretaciones, parte –todo, cociente, operador, medida y razón se
puede establecer:
Parte-todo en contextos continuos
Representación gráfica en figuras no estándar.
Representación gráfica destacando la igualdad de áreas, más no la igualdad de formas
Parte-todo en contextos discretos
Representación de fracciones cuyo denominador sea múltiplo del todo, evitando
situaciones en donde este significado pierde sentido, por ejemplo:
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
150
de en donde se aplica claramente la definición,
Pero si decimos
de 21, la situación se torna complicada ante la imposibilidad de dividir
21 objetos en 5 partes iguales.
Planteamiento de situaciones en las que, de una fracción, se llegue a la unidad que la
generó. Se representa
, completa la unidad.
Operador
Planteamiento de tareas en las que los estudiantes deben encontrar la transformación que
sufre un número al aplicarle un operador; el operador que se le aplicó a un número cuando se
conoce el número original y la transformación sufrida y el número al que se le aplicó un
operador para obtener una transformación dada; en estos casos es importante trabajar tanto
con números naturales como fraccionarios para ir introduciendo la operatividad entre ellos.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
151
Realización de tareas que involucren la ampliación y disminución de imágenes por medio
de operadores, en donde se evidencie la representación de dicha trasformación por medio de
un número.
Cociente
Planteamiento de situaciones en donde sea necesario realizar la división de un número
entre otro más grande. ¿Cómo repartir 2 pizzas entre 5 personas?
Organización de fracciones por medio de situaciones en donde se hace necesario hacer
uso de la división indicada. Un objeto A se mueve a una velocidad de 8 metros cada
5segundos, un objeto B se mueve a una velocidad de 9 metros cada 4 segundos y un objeto C
se mueve a una velocidad de 7 metros cada 3 segundos. ¿cuál va más rápido y cuál es el más
lento?
Representación de fracciones por medio del cociente indicado y de la realización de la
división.
Razón
Planteamiento de situaciones para manejar la equivalencia de fracciones pasando tanto al
numerador como al denominador de términos numéricos más pequeños a términos más
grandes y viceversa. (con material concreto)
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
152
=
;
=
;
=
;
=
.
Formulación de situaciones relacionadas con porcentajes, y comparación de magnitudes,
teniendo en cuenta que el porcentaje puede ser interpretado como una fracción:30% es
“
de”, para ser resueltas de manera abstracta y haciendo uso de las estrategias encontradas
con el manejo concreto.
Medida
Utilización del papel milimetrado para representar fracciones en la recta numérica, esto
permite que los estudiantes visualicen con mayor facilidad la forma de dividir cada unidad.
Identificación de números marcados por medio de puntos sobre la recta numérica.
Organización de fracciones, a partir de la ubicación de éstas sobre la recta numérica, teniendo
en cuenta que, para facilitar dicha tarea es importante trabajar con fracciones equivalentes de
acuerdo al mínimo común múltiplo.
Planteamiento de situaciones que requieran el uso continuo de la recta numérica, para
determinar la distancia entre un número y otro
5.2.4 Clasificación de las dificultades
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
153
Uno de los criterios utilizado para clasificar las dificultades es el de interpretación de la
fracción, algunos de los resultados más destacados son los siguientes:
Parte-todo
A pesar de ser la interpretación más trabajada en la escuela, y la que resulta de mayor
facilidad en cuanto a su comprensión por ser introducida en edades tempranas, se continúan
presentando algunas dificultades en cuanto a la identificación de partes iguales por el área y
no por la forma y el trabajo con superficies no estándar.
En contextos discretos la relación parte todo: no toman el conjunto completo como el
entero y caracterizan cada parte asociándola con el numerador y el denominador.
Razón:
Las fracciones equivalentes y los procedimientos para hallarlas no tienen significado para
los estudiantes. Se presentan resultados deficientes cuando se aplican porcentajes a la
resolución de problemas.
En cuanto a la proporcionalidad, se presentan dificultades a nivel de aplicación y
formulación.
Cociente:
No asimilan que cualquier número entero puede dividirse en cualquier número de partes
iguales. Se les dificulta entender las relaciones entre fracciones y números decimales.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
154
Operador:
La aplicación de los operadores multiplicación y división resultan fáciles a nivel
algorítmico; pero desde el punto de vista conceptual resulta bastante complicado.
Medida:
El hecho de ver la fracción como un punto y no como la representación sobre la
superficie o un conjunto genera dificultades, es decir, no son capaces de pasar de la
representación de áreas a la recta y viceversa.
Otro criterio, es el de la complejidad en la manera como resuelven situaciones:
En cuanto a los aspectos conceptuales en la solución de problemas con fraccionarios, se
evidencian muchas dificultades que establecen en la relación parte- todo, porque no hay una
identificación del todo o de sus partes; a pesar de que en la primaria se potencia
permanentemente la partición, se presentan continuamente particiones inequitativas.
Uso de la razón: en algunos casos, los estudiantes escriben los resultados sin mostrar
procedimientos (puede suponerse que utilizan mentalmente la estrategia adecuada), la
dificultad aparece cuando se solicita la argumentación de la estrategia utilizada.
También puede presentarse en el caso de los porcentajes y de la proporcionalidad, en
donde, los estudiantes aplican reglas de manera automática, por lo cual no se puede afirmar
con certeza, si el estudiante identifica de manera correcta el tipo de problema o si comprende
su resultado. Sin embargo, de éstas reglas sin una base sólida sobre las características de los
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
155
problemas de proporcionalidad pueden conducir a cometer errores, puesto que planteamientos
pueden estar realizados de manera correcta, pero cometen errores al realizar las operaciones y
los estudiantes por lo general no analizan la coherencia entre la pregunta y la respuesta
obtenida.
Se presentan casos en donde los estudiantes omiten datos, o agregan otros, de tal manera
que la respuesta no es correcta y esto los lleva a concluir que la estrategia no es la
conveniente.
Finalmente, hay estudiantes que no visualizan en la aplicación de éstas reglas la estrategia
oportuna para resolver situaciones que se les presentan, bien sea porque no entienden el
enunciado del problema o porque no tienen claros los conceptos
5.2.5 Sugerencias para programa de intervención
5.2.5.1 Diagnóstico
Para un trabajo de intervención en el aula es indispensable la realización de un
diagnóstico para determinar el punto de partida desde la contextualización, lo metodológico y
la evaluación.
El diagnóstico es el insumo para clarificar el problema, posteriormente se deben valorar
los resultados arrojados realizando algún tipo de clasificación para poder planear las
diferentes estrategias que se puedan emplear.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
156
Parte-todo
Realizar actividades tendientes a identificar los conceptos previos que tienen los
estudiantes en cuanto al concepto de fracción como parte de un todo, tanto discreto como
continuo, para lo cual es necesario saber la forma en que los estudiantes reconocen la unidad
como una totalidad, la forma como obtiene la unidad conociendo una parte de ella y la forma
como determinan una fracción en un todo discreto.
Operador
Para esta interpretación es necesario identificar el concepto que tienen los estudiantes de
fracción como operador que actúa en diferentes contextos, es decir, establecer si se reconoce
el operador que actúa en una cantidad dada; verificar el concepto de operador al justificar la
modificación que sufre una imagen cuando aumenta o disminuye.
Razón
En este caso es indispensable conocer la forma como los estudiantes relacionan los
conceptos de razón, proporción y porcentaje, verificando que expresen una razón en forma de
fracción, por medio las estrategias utilizadas para resolver problemas que involucran
porcentajes y proporciones.
Cociente
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
157
Para esta interpretación se debe conocer los conceptos previos que tienen los estudiantes
acerca de la fracción como cociente, analizando los procedimientos e interpretaciones
utilizados para resolver problemas y la forma como expresan de manera numérica una
representación gráfica
Medida
Plantear situaciones con el fin de conocer las relaciones que establecen los estudiantes
entre la parte y el todo en una recta numérica, analizando la forma como los estudiantes
ubican fracciones sobre la recta, la forma como establecen la fracción de un todo en un
contexto real, la forma como determinan la cantidad de veces que una fracción está contenida
en un número natural y la forma como encuentran la distancia entre dos números
fraccionarios ubicados en la recta.
5.2.5.2 Planes de clase
Uso de material concreto. Es importante comenzar por introducir el lenguaje de las
fracciones dentro de nuestra cotidianidad, aplicándolo a situaciones de la vida diaria, no sólo
en el área de matemáticas, sino hacer de éste un tema trasversal, de tal manera que se
evidencia la presencia de las fracciones de forma significativa en la vida real.
El uso de los modelos concretos es necesario para la adquisición del concepto de
fracción, sin dejar de lado que este manejo se encamina al trabajo con modelos abstractos, de
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
158
tal manera que el docente debe programar actividades lúdicas que impliquen la participación
activa tanto de estudiantes como del docente:
Presentar una cartulina con una forma específica, ya sean, superficies de polígonos
regulares o de polígonos irregulares, y una superficie más pequeña de otro color, que quepa
una cantidad de veces exacta en la más grande, para calcular las veces que la superficie más
grande contiene a la más pequeña, de esta manera los estudiantes pueden representar
fracciones en unidades que no tengan las particiones de manera explícita, pueden medir,
comparar y fortalecer el concepto de congruencia y además se familiarizan con este tipo de
situaciones.
Representar un segmento de recta por medio de un trozo de lana o de hilo o un cordón,
pedirles que corten diversas fracciones, así los estudiantes se ven obligados a medir para
realizar las particiones y se van haciendo a la idea del trabajo con unidades unidimensionales
para posteriormente realizar la actividad en la recta numérica.
Entregar conjuntos de figuras que representen una fracción en un contexto discreto, para
pedirles que completen la unidad dependiendo de la fracción, de igual manera, pedirles que
extraigan los elementos de una fracción dada, para fortalecer la interpretación parte-todo en
contextos discretos.
Proporcionar tiras de papel de diferentes medidas, darles un operador y pedirles que
corten el trozo de la tira que representa la transformación realizada, este material también
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
159
permite que los estudiantes realicen mediciones y fortalezcan el concepto de congruencia
entre las partes y visualicen la modificación obtenida a partir de la aplicación de un operador.
Para facilitar la comprensión de las actividades relacionadas con la fracción como
cociente, se sugiere entregar a cada estudiante cartulinas del mismo tamaño que representen
tortas, chocolatinas, pizzas, entre otras, para que las repartan entre más personas que la
cantidad de cartulinas entregadas, se les pide que resuelvan la situación de diferentes formas y
que posteriormente realicen la representación de manera numérica, esto con el fin de mejorar
la interpretación de la fracción como cociente y la forma como expresan una situación gráfica
de manera numérica.
Pedirles a los estudiantes que representen la misma fracción, pero, expresada de
diferentes formas, y con material previamente diseñado, para que realicen comparaciones y
reconozcan las diferentes maneras de nombrar una misma fracción.
Teniendo en cuenta que la fracción como razón compara dos magnitudes se sugieren
actividades como: entregar a cada estudiante dos conjuntos diferentes conformados por
bastantes elementos de tal manera que puedan establecer comparaciones e ir formando
proporciones aumentando o disminuyendo alguno de los términos de la proporción,
facilitando así el fortalecimiento del concepto de equivalencia, y la consecución de estrategias
que facilitan estos cálculos.
Plantear situaciones de porcentaje, utilizando las estrategias anteriores e ir complejizando
poco a poco los problemas propuestos.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
160
Proponer situaciones conformadas por dos magnitudes, en las que los estudiantes
encuentren la diferencia entre las velocidades de dos objetos, conociendo las distancias
recorridas y el tiempo empleado para ello; la diferencia entre el precio de dos objetos,
conociendo la cantidad de objetos comparados y precio total pagado por ellos, encaminados a
que los estudiantes realicen las divisiones correspondientes.
Hacer uso del papel milimetrado para representar fracciones en la recta numérica, esto
permite que los estudiantes visualicen con mayor facilidad la forma de dividir cada unidad y
realizar comparaciones entre diversas fracciones.
Para que estos conceptos no se estanquen en un aprendizaje concreto se requiere de la
resolución de actividades acompañadas con preguntas orientadoras que van surgiendo a
medida que los estudiantes las van resolviendo y lo van conduciendo a vincularse con un
aprendizaje teórico y abstracto.
Actividades y Preguntas orientadoras
Dentro del trabajo con material concreto van surgiendo situaciones que pueden generar
confusiones o errores en la forma de adquirir el concepto, para evitarlas es importante
ponerlas en evidencia y puede ser por medio de preguntas encaminadas a fortalecer la
comprensión de las diversas interpretaciones.
1. ¿Todas las gráficas representan la misma fracción? ¿por qué?
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
161
2. ¿Qué fracción representa cada una de las siguientes gráficas? ¿por qué?
3. Si se tienen las siguientes gráficas
¿Se puede concluir que = ? ¿por qué? ¿qué se puede
concluir?
4. Representa de cinco formas diferentes
5. ¿Cuántos triángulos representan
del siguiente conjunto? ¿por qué?
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
162
6. ¿Qué quiere decir los
de ? ¿por qué?
7. Observe la figura y la cantidad de superficie
a. ¿Qué fracción del rectángulo grande es el rectángulo morado? ¿por qué?
b. ¿Qué fracción del rectángulo grande es el cuadrado? ¿por qué?
c. ¿Qué fracción del rectángulo grande es el triángulo? ¿por qué?
d. ¿Qué fracción del rectángulo morado es el cuadrado? ¿por qué?
e. ¿Qué fracción del rectángulo morado es el triángulo? ¿por qué?
f. ¿Qué fracción del cuadrado es el triángulo? ¿por qué?
g. ¿Qué estrategia utiliza para encontrar la fracción que se pide?
8. ¿Si
expresa la probabilidad de obtener un número impar al lanzar un dado, qué quiere
decir
en este mismo problema?
9. En el círculo se están representando
En el mismo círculo, representa dos fracciones
equivalentes a ésta.
10. En el caso de
cuando una fracción equivalente tiene denominador 250, ¿Cuál es su
numerador?
11. Escriba en forma de porcentaje, la fracción que representa cada color
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
163
a. ¿Cuál es mayor? ¿por qué?
b. ¿Cuál es menor? ¿por qué?
12. ¿Qué operador se le debe aplicar a
para que se transforme en
?
13. Si a la figura
se le aplica el operador x
, la figura se agranda o se achica? ¿por qué?
14. Si a la figura
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
164
se le aplica el operador ÷
, la figura se agranda o se achica? ¿por qué?
15. Teniendo en cuenta la siguiente imagen, conteste las preguntas
a. Si la chocolatina se va a repartir entre 5 personas ¿qué fracción le corresponde a cada una?
¿a cuántos pedazos corresponde?
b. Si la chocolatina se va a repartir entre 4 personas ¿qué fracción le corresponde a cada una?
¿a cuántos pedazos corresponde?
c. Si la chocolatina se va a repartir entre 10 personas ¿qué fracción le corresponde a cada
una? ¿a cuántos pedazos corresponde?
d. Si la chocolatina se va a repartir entre 2 personas ¿qué fracción le corresponde a cada una?
¿a cuántos pedazos corresponde?
e. Ordene de menor a mayor las fracciones anteriores
16. Escriba tres números que se encuentren entre 2 y 3
17. ¿Qué número es el sucesivo de
?
18. ¿Cuántos minutos hay en 1,5 horas?
19. Estefanía haciendo ejercicio se consume
botella de agua. ¿Cuántos sextos le quedan en
la botella de agua? Representa lo ocurrido en una semirrecta numérica.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
165
20. Escriba cuatro fracciones que tengan el 5 como denominador y que sean menores que
.
Utilice la recta numérica
5.3 Conclusiones Generales
Es necesario relacionar los contenidos de aprendizaje con la experiencia cotidiana de los
estudiantes, así como presentarlos y enseñarlos en un contexto de situaciones problemáticas y de
intercambio de puntos de vista.
Es indispensable reforzar las estrategias numéricas en la resolución de problemas con
estrategias visuales, de manipulación de elementos, de gráficas, preguntas, entre otras, de tal
manera que la temática sea abordada desde diferentes perspectivas.
Se presenta la necesidad de plantear los procesos de enseñanza de las fracciones desde todas
las perspectivas e interpretaciones posibles.
Los procesos de enseñanza que se desarrollen en torno a las fracciones deben guardar
equilibrio entre: el significado de las fracciones en contextos prácticos y el significado de las
fracciones en contextos más abstractos.
La habilidad para cambiar la representación de una interpretación a otra fortalece la
adquisición y el uso de los conceptos
En los procesos de enseñanza es fundamental que los docentes realicen una adecuada
planeación de clase, con actividades y preguntas orientadoras bien estructuradas, que conduzcan
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
166
a sus estudiantes a convertirse en protagonistas de su propio aprendizaje y a interesarse por el
conocimiento.
5.3.1 Rol del docente
El docente debe ser el responsable de la generación de ambientes que faciliten los procesos
de enseñanza aprendizaje, es quien debe estimular la creatividad, el razonamiento lógico y la
adquisición de competencias matemáticas.
El docente debe asumir una actitud acorde con las nuevas estrategias de enseñanza, donde se
promueva la discusión de ideas, la comprensión de conceptos y el trabajo fundamentado en
preguntas orientadoras; reconociendo que el conocimiento no es propiedad únicamente del
maestro, puesto que en éstos tiempos la información está al alcance de todos.
El docente es el encargado de promover que los estudiantes confronten sus propias
percepciones, conceptos y necesidades; que relacionen metodologías y contenidos; que dentro de
sus afirmaciones se destaque la argumentación y la toma de decisiones.
Por otra parte, las estructuras en el área de matemáticas se asimilan mejor cuando se
relacionan con situaciones en diferentes contextos; se vinculan con material manipulativo y poco
a poco genera la necesidad de trabajar con estructuras que contribuyan a fortalecer el
pensamiento abstracto de los estudiantes.
El conocimiento de los pre saberes que traen los estudiantes es primordial para enfocarse
hacia la adquisición y comprensión de un concepto, esto se logra a través de un diagnóstico
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
167
apropiado, que contribuya a dar razón del estado de los estudiantes en cuanto a estructuras
matemáticas se refiere.
Un punto clave para la realización de este tipo de trabajos es disponer de tiempo y paciencia
para generar confianza en los estudiantes y ellos puedan expresarse sin temor; en este sentido, la
labor del docente es la de ser guía, por medio de situaciones que problematicen a los estudiantes,
para encaminarlos a buscar soluciones haciendo uso de conocimientos adquiridos con
anterioridad o a la generación de nuevos conocimientos. El docente debe estar atento a los
interrogantes que puedan suscitarse por parte de los estudiantes y así permitir la construcción de
nuevos conocimientos, también debe exigir argumentación en cada una de las respuestas de tal
manera que se posibilite un diálogo entre los estudiantes y el docente
5.3.2 Seguimiento: avance estudiantes
Esta metodología permite a los estudiantes participar y ser protagonistas de su propio
aprendizaje, ya que ellos tienen que leer, analizar y proponer soluciones, por lo tanto, es
fundamental realizar un trabajo continuado con los estudiantes, en el que se verifique que los
estudiantes logren argumentar de manera coherente los procedimientos empleados en la solución
de las situaciones propuestas.
Cuando el estudiante logra dar significado a la fracción y además se incrementa el número
de estudiantes que aciertan en la solución de problemas propuestos, con respecto a la capacidad
para comparar fracciones, para identificar la unidad en un todo discreto, a resolver un cociente
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
168
indicado cuando sea conveniente, a identificar y utilizar adecuadamente las diferentes
representaciones de la misma expresión, a utilizar la equivalencia de fracciones, a aplicar un
operador, a identificar una fraccion sobre la recta numérica o a resolver problemas cotidianos
que involucren a las fracciones, entre otras, se puede afirmar que existe un avance significativo
en el manejo del concepto de fracción en diferentes contextos.
5.4 Limitaciones
Durante la implementación del presente trabajo investigativo se tuvieron que sortear
diversos inconvenientes o limitaciones que afectaron de una u otra manera el normal avance de
la investigación, entre éstos vale la pena mencionar:
Poca disponibilidad de tiempo para desarrollar las actividades: dado que en la
institución educativa las franjas de tiempo destinadas para cada asignatura se estipulan
puntualmente desde el comienzo del año escolar y durante las mismas se deben abordar
temáticas previamente acordadas en los distintos planes de estudio; por tanto, el diseño e
implementación de este tipo de proyectos implica tiempo extra, fue necesario programar con los
estudiantes sesiones extras durante los sábados, hecho que dificultó no sólo la asistencia de
algunos jóvenes como la modificación de cronogramas por parte del ente investigador.
Falta de personal especializado para llevar a cabo las filmaciones: si bien, aunque
estamos en la era de la tecnología, de la internet y las redes sociales; no es menos cierto afirmar
que aún existen amplios vacíos frente al manejo de estas herramientas, tanto así, que para llevar a
cabo las filmaciones de las clases se optó por contratar uno de los pocos estudiantes capacitados
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
169
al respecto para que llevara a cabo dicha labor, sin embargo, se dependía de su disponibilidad de
tiempo y de su agenda académica, pues pertenecía al grado undécimo y tenía que responder por
los deberes académicos que le demandaba el colegio.
Escasez de materiales: la poca disponibilidad de material didáctico y la ausencia de
recursos económicos para su consecución, constituyen uno de los mayores obstáculos con los
que deben convivir las comunidades de los colegios públicos; hecho que se hizo evidente al
momento de desarrollar las diversas actividades de la investigación, fue necesario que como
investigadora asumiera costos de fotocopias, filmaciones, cartulina, cartón paja, pegante, entre
otros muchos elementos indispensables para el trabajo en el aula.
Espacios de trabajo inadecuados: No todas las aulas del colegio cuentan con óptimas
condiciones, en algunas la falta de iluminación y la mala acústica afectaban el desarrollo de las
clases, por tanto, los espacios no siempre fueron fijos, lo que incidió para que en algunas
sesiones el tiempo de trabajo se viera seriamente afectado.
Desconocimiento de estrategias y metodologías novedosas para abordar la temática
trabajada: en este caso la temática abordada fue la de los números fraccionarios, se
identificaron diversas dificultades en su manejo por parte de los estudiantes, pero no se contaba
con el suficiente bagaje metodológico para estudiarla desde otras perspectivas, fue necesario el
acercamiento a diversa bibliografía que en ocasiones no fue de fácil acceso.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
170
5.5 Proyecciones
A partir del desarrollo de este estudio y sus limitaciones surgen una serie de actuaciones
futuras, cuyo tratamiento considero adecuadas para futuras líneas de investigación:
¿Qué tanto mejoraría el desempeño de los estudiantes en matemáticas, si consiguen visualizar
las fracciones en diferentes contextos?
¿Cómo conseguir que los profesores valoren la importancia del trabajo con fracciones
teniendo en cuenta los diferentes contextos?
¿Cómo crear estrategias que permitan la transversalización de las matemáticas,
específicamente con el tema de las fracciones a nivel institucional?
¿Cómo potenciar programas de intervención que permitan la conceptualización de los
fraccionarios?
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
171
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Avanzados, Cinvestav-IPN.
Socas, M. (1997): “Dificultades, obstáculos y errores en el aprendizaje de las Matemáticas en
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Barcelona.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
178
Anexos
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
179
Anexo A. Cuestionario 1: Fracción como Parte-todo
1. ¿Qué fracción representa la figura?
Rta:
Justifique su respuesta: ______________________ _________________________________________ _________________________________________ _________________________________________ 2. ¿Las siguientes figuras representan lo mismo?
Si no Justifique la respuesta: _______________________ __________________________________________ __________________________________________ __________________________________________ 3. En cada figura represente:
1 3
4. Se representa 2, completa la unidad
5
Se representa 1, completa la unidad
6
5. Representa 1/3 de:
a.
b.
c.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
180
Anexo B. Cuestionario 2: Fracción como Operador
Completa las máquinas
Cada máquina realiza una transformación, complétalas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
7. El primer objeto ingresa a la máquina,
responde qué le sucede al otro objeto,
¿disminuye o aumenta? ¿cuánto?
a.
b.
10 ¿? 2÷
¿? 2 3÷
¿? 15 3
¿? 8 ½ X
¼ X 24 ¿?
1/5 ¿? 2X
2 X
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
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Anexo C. Cuestionario 3: Fracción como Razón
1. En una prueba hay 50 preguntas y Camila
contesta correctamente el 80% ¿cuántas
preguntas contestó bien?
2. Camilo debe pagar el 15% de lo que paga
como propina en un restaurante. ¿cuánto
paga de propina Camilo se canceló $100000
por el servicio?
3. 3 de cada 4 niños son promovidos al
siguiente año, si en el grupo hay 40 niños
¿cuántos fueron promovidos?
4. ¿cuál cartón tiene más agujeros negros?
5. El 60% de los trabajadores de una empresa
tienen coche. Si el número total de
empleados es 1200. ¿cuántos empleados
tienen coche?
6. En una reunión la relación de hombres a
mujeres es de 9 a 7. Si se cuentan 45
hombres ¿cuántas mujeres hay?
7. En un circo, 5 de cada 40 personas son
padres de familia. Si en total hay 95 padres
de familia. ¿cuántas personas hay en el
circo?
8. Dos obreros trabajan en una fábrica
empacando calcetines, pero mientras uno
empaca 3 cajas, el otro empaca 7 cajas. Si el
más hábil ha empacado 91 cajas, ¿cuántas
habrá empacado el otro?
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
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Anexo D. Cuestionario 4: Fracción como Cociente
1.La mamá repartió en partes iguales tres pasteles
entre sus hijas: Laura, Camila, Sofía y Karen.
¿Cuánto pastel le corresponde a cada una?
Laura Camila Sofía Karen
Dibuje repartos
Realice cuentas
2.
2.
Hay 2 chocolatinas para repartir entre 5 niños. Se
reparten en partes iguales sin que sobre nada.
¿Cuánto come cada niño?
3. Siga instrucciones
Represente
3 veces 1/8
3x 1/8
4. Analiza expresiones
3 Veces 1
5
3 x 1
5
0,6
¿Son iguales? ______
¿Por qué? ________________
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
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Anexo E. Cuestionario 5: Fracción como Medida
1. Represente como un punto
3
5
0 1 2 3 4 5
3
5
2. ¿Qué número está representado en la recta?
3. ¿Qué fracción de una semana son 3 días?
4. ¿Cuántos minutos representa ¼ de hora?
5. ¿Cuántos meses son los 2/6 de un año?
6. Representa en la recta numérica las
siguientes situaciones:
a. ¿Cuánto le falta a ¾ para llegar a 5?
b. ¿Cuánto le falta a ¼ para llegar a 9?
c. ¿Cuánto le falta a 1/8 para llegar a 8?
0 1
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
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Anexo F. Actividades para las Sesiones de Trabajo
Primera sesión
1. ¿qué fracción representa el triángulo rojo frente al rectángulo verde?
Se les entregaron las figuras en cartulina
2. Se les presentaron figuras como:
3. Para preguntarles ¿qué fracción representa la figura azul en cada uno de los casos?
Se les pidió que cortaran 1/3 en cada caso
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
185
Cada figura se les entregó en cartulina y para representar el segmento de recta se les
entregó un trozo de lana cuya medida era 15cm
4. Se les entregaron 8 triangulos en cartulina, diciendoles que dos de ellos representaban
de la unidad, la tarea consistía en completar la unidad
5. También se les dieron 4 figuras, afirmándoles que éstas representaban
, que completaran
la unidad (dentro del material entregado estaban las figuras suficientes para completar la unidad)
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
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6. Para representar la fracción de un todo discreto, se entregaron conjuntos de elementos
representados con figuras en cartulina, en los cuales debían entregar las piezas que representaran
en cada caso:
Segunda sesión
En cuanto a la fracción como cociente:
1. Se entregaron tres círculos en cartulina, tijeras, regla, lápiz; para representar tres tortas que
debían ser repartidas entre 4 personas
2. Para la situación que consistía en repartir dos chocolatinas entre 5 niños, se entregaron dos
rectángulos en cartulina, tijeras, regla, lápiz
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
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3. Para representar
de diferentes formas, se les entregaron 8 figuras, y cada situación se
fue resolviendo por medio de preguntas realizadas por a docente y reflexiones de los
estudiantes
4. De la misma manera se hizo el ejercicio para analizar expresiones como: 3 veces
,
,
En la interpretación como operador, se entregaron tiras de papel de diferentes medidas, regla,
lápiz y tijeras
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
188
Se les indicaba el operador que se aplicaba a cada tira de papel, para que midieran y cortaran el
trozo de papel según la transformación
5. Para aplicar el operador a una fracción se les entrego en cartulina una figura así:
Para aplicar el operador e indicar la
transformación respectiva
6. Para expresar por medio de un número la ampliación o reducción de una imagen se les
entregaron las figuras:
Y se les pidió que cortaran por el borde la más pequeña, para medir cuántas veces la figura
grande contenía a la pequeña.
Tercera sesión
Se trabajaron los conceptos de razón y proporción por medio de conjuntos de figuras de
diferentes colores y tamaños, luego se proponía una razón y un término de otra razón equivalente
a la dada, los estudiantes debían formar la proporción realizando agrupaciones con el material
suministrado.
Por cada 2 círculos hay 5 triángulos
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
189
Si tenemos 6 círculos, hallar la cantidad de triángulos, siguiendo el esquema mostrado a
continuación
Si tenemos 20 triángulos, ¿cuántos círculos hay?
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
190
Esta actividad se repitió varias veces. Hasta que los estudiantes fueron encontrando
estrategias para resolver este tipo de situaciones, posteriormente se les presentaron situaciones
con cantidades más grandes para que ellos verificaran si podían aplicar la estrategia encontrada y
si esta suministraba una respuesta acertada.
También resolvieron situaciones de porcentajes aplicando las mismas estrategias
anteriores, formularon algunas situaciones para que los compañeros las resolvieran
Se les propusieron situaciones conformadas por dos magnitudes, en las que los
estudiantes debían encontrar la diferencia entre las velocidades de dos objetos, conociendo las
distancias recorridas y el tiempo empleado para ello; la diferencia entre el precio de dos objetos,
conociendo la cantidad de objetos comparado y precio total pagado por ellos.
Para la interpretación de la fracción como medida se utilizaron las siguientes estrategias:
1. En papel milimetrado se entregan dos rectas así:
En las que se les pide ubicar
2. Se entregan rectas, para identificar el número que representa el punto marcado.
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
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3. Se entregan rectas para que cada estudiante marque un punto, realizando una partición
cualquiera, teniendo en cuenta atributos como congruencia de las partes y de las unidades. Luego
se intercambian estas rectas para que otro compañero identifique el punto marcado.
4. Se realizan preguntas acerca de situaciones cotidianas
¿Qué quiere decir media hora?
¿cuántos minutos hay en ¼ de hora, en ½ hora, en ¾ de hora?
5. Utilizando rectas en papel milimetrado se realizaron preguntas como: ¿cuánto le falta a
para llegar a 5, cuánto le falta a
para llegar a 3?
Dificultades de Aprendizaje de los Fraccionarios
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Anexo G. Video sesiones de intervención
www.youtube.com/watch?v=0uyS2rDSyTo&t=66s