alin 01 sistem persamaan linear (pertemuan 1-4)

8/17/2019 Alin 01 Sistem Persamaan Linear (Pertemuan 1-4)

1/66

SISTEM PERSAMAAN LINEARBAB 1

Dr. Abdu


2/66

POKOK BAHASAN

1.1 Pengantar Sistem Persamaan Linear (SPL) 1.2 Eliminasi GAUSS-JORDAN

1.3 Matris !an "#erasi matris

1.$ Aritmatia Matris% Matris &alian

1.' Matris Elementer% ara Men*ari Matris &ali

1.+ Jenis,enis matris

Ran/ Ant"n% 0. an! R"res% . (2'). ElementaLinear Algebra, Ninth Edition. John Wiley & Sons,


3/66

PENGANTAR• Informasi sains dan matmati!a srin" ditam#il!an dalam bntudan !olom $an" disbut dn"an %ATRIKS

• %atri!s srin" bru#a TABE& data'data numri! $an"• mun(ul dari obsr)asi *si!

• tr+adi #ada brba"ai !ont!s matmati!a

• ,ontoh- %n$lsai!an #rsamaan bri!ut

/ 0 $ 1 2

3/ 4 $ 1 5

Smua informasi tntan" solusin$a ditr+mah!an dalam matri!

Solusi di#rolh dn"an mla!u!an OPERASI %ATRIKS 6ANG TEP


4/66

1.1 PENGANAR SSEMPERSAMAAN LNEAR (SP

&INEAR

• SE%8A 9ARIABE& dalam #rsamaan mmili!i PANGKAT 1 :

/ 0 3$ 1 ;

$ 1 < / 0 2=

• >i!a di"ambar!an dalam suatu bidan" bntu!n$a GARIS &8R8S

NON &INEAR

• ADA 9ARIABE& dalam #rsamaan mmili!i PANGKAT ?

/ 0 3$@. 1 ;

$ 1 < / 0 2=/

• >i!a di"ambar!an dalam suatu bidan" bntu!n$a B8

&8R8S

@ : 3 2 5 ; ':

@

:

3

2

5

/ 0 3$ 1 ;

@ : 3 2 5 ; @

3

5

;

:@

/ 0 3$@. 1 ;


5/66

SISTE% &INEAR

• Kum#ulan #rsamaan linar dn"an )aria x :, x 3, … x n disbut SSEM PERSAMAAN

LNEAR atau SSEM LNEAR

• 8rutan an"!a s:, s3, … sn disbut SOLUS sistm linar trsbut +i!a x : = s:, x 3 = s3,

1 sn adalah solusi untu! setia# #ersama

dalam sistm trsbut


6/66

,ONTOH :

Solusin$a adalah

x : = :, x 3 = 3, x 2 = ':

!arna (o(o! untu! dua #rsamaan di ata Bu!an

x : = :, x 3 = , x 2 = :

!arna 0AN4A (o(o! untu! #rsamaan #rtama s


7/66

KONSISTEN DANINKONSISTEN• 5ONSSEN- +i!a ada #alin" tida! satu solusi dalam sist• N5ONSSEN- sistm $an" tida! mmili!i solusiC !arn

#rsamaan linar $an" ada dalam sistm sbnarn$a!ui)aln

• ,ontoh

• Prsamaan !dua adalah 3 !ali #rsamaan #rsamaan dhasil $an" brbda

• >adiC sbnarn$a #rsamaann$a adalahINKONSISTEN, ti


8/66

2 KE%8NGKIN SP&


9/66

A8G%ENTED %ATRI,ES

SP&

A8G%ENTED %ATRI matri/ dari !o*sin SP&C aC bsr


10/66

%ETODE DASAR SO&8SI SP

TAHAPAN SO&8SI dari SP& adalah:. Pr!alian BARIS dn"an !onstanta $an" bu!an nol

3. Prtu!aran dua baris

2. Pnambahan #r!alian satu baris ! baris lainn$a

UJUANN4A/ mer6a7 matris a8al e matrs"lsi


11/66

Eliminasi x baris 2: baris 1 kali -2 tambahkan

ke baris 2

Eliminasi x baris : baris 1 kali - tambahkan

ke baris

Koe!isien y baris 2 dibuat " 1: kalikan 1#2

Eliminasi y baris : baris 2 kali - tam

Koe!isien $ baris dibuat " 1: kalikan

Eliminasi y baris 1: baris 2 kali -1 tam

Eliminasi $ baris 1 dan 2: baris kali -

ke baris 1 dan baris kali tambah


12/66

1.2 ELMNAS GAUSS- JORDAN

%atri! solusi #ada SP&-

disbut &ENU5 ESELON-&ARS ERREDU5S reduced row-echelon formF

8ntu! mmbntu! matri! s#rti ituC sbuah matri! harus mmili!i sifat'sifat

:. >i!a sbuah baris tida! brisi nol sluruhn$aC ma!a an"!a bu!an nol #rtamtrsbut adalah :. Ini disbut &EADING :

3. >i!a ada smbaran" baris $an" brisi nol sluruhn$aC ma!a di!lom#o!!anba"ian baah matri!

2. >i!a ada dua baris brurutan $an" tida! brisi nol sluruhn$aC ma!a ladin"rndah trlta! di sblah !anan ladin" : baris atasn$a

5. Stia# !olom $an" brisi ladin" : mmili!i nol di baris lain di !olom trsb

•' Setia# matri 9ang memilii GA S:A PERAMA !ise6t &ENU5 E

•' 5arena it% matri &E& #asti &E&% ta#i ti!a se6alin9a/• &E& 6erisi NOL !i 6a8a7 !an !i atas lea!ing 1

• &E& 6erisi NOL !i 6a8a7 lea!ing 1% ta#i 6an n"l !i atasn9a


13/66

,ONTOH 3 BEBT DAN BEB %atri! BEBT

%atri! BEB


14/66

,ONTOH 2 SO&8SI 5 SP&

Au"mntd matri(s bri!ut di(ari solusin$a mn""una!an obaris shin""a mn+adi matri! BEBT


15/66

SO&8SI

( x 1 ) ( x 2 ) ( x " 1 TI*+K +*+ SOSI


16/66

SO&8SI

• Karna x :C x 3C dan x 2 adalah ladin" :C ma!a disbut &EADING 9A

P;O

• Non'ladin" )ariabl x 5F disbut dn"an :REE ;ARA&LE )aria• 8bah ! bntu! #i)ot sba"ai fun"si )ariabl bbas x 5F-

• x 5 da#at ditandai dn"an smbaran" nilaiC sbut sa+a t C ma!a sol

.ersam


17/66

SO&8SI

• 8bah ! bntu! #i)ot sba"ai fun"si )ariabl bbas x 5F-

• x 3 dan x . da#at ditandai dn"an smbaran" nilaiC sbut sa+a

ma!a solusin$a-

.ersam


18/66

%ETODE E&I%INASI

%tod liminasi GAUSS adalah TAHAPANC 7asiln9a &E&

JORDAN mnambah!an taha#an !

7asiln9a &E& >adiC %tod Eliminasi Gauss'>ordan

mn+adi ; taha#an


19/66

I&8STRASI

A0AP 1. Tm#at!an !olom #alin" !iri $an" tida! brisi nolsluruhn$a

A0AP 2. Tu!ar!an baris atas dn"an baris lainn$aC +i!a di#untu! mmbaa lmn bu!an nol ! atas !olom $an" ditm#ada Taha# :


20/66

A0AP 3. >i!a lmn #ada baris atas adalah aCma!a !ali!an dn"an :a untu! mnda#at!anladin" :

A0AP $. Tambah!an #r!alian $an" t#at #ad

baris atas ! baris di baahn$a a"ar lmn'lmdi baah ladin" : sama dn"an nol


21/66

A0AP '. T8T8P baris atas dan la!u!an Taha# : untu! submsisan$a shin""a mnada#at!an BEB


22/66

A0AP +. %mulai dn"an baris bu!an nol $an" tra!hirC la!#r!alian $an" ssuai tia# baris ! baris di atasn$a shin""asmua lmn di atas ladin" : brnilai nol


23/66

,ONTOH 5

Slsai!an SP& bri!ut dn"an Eliminasi Gauss'>ordan

SO&8SI- Au"mntd matri/'n$a adalah


24/66

-21)2

-21)/

-12 -02)

/#

3/

22)1-)2


25/66

S8BSTIT8SI'BA&IK BA,K'S8BSTIT8TIONF• Hasil Eliminasi Gauss bisa tida! dilan+ut!an ! Eliminasi >ord

tta#i dilan+ut!an dn"an S8BSTIT8SI BA&IK

CATATAN: Sembarang nilai dari variabel bebas r, s, dan t disebut par


26/66

SISTE% &INEAR HO%OGEN

• SP& disbut HO%OGEN +i!a smua !onstantan$a hasil#rsamaann$aF adalah NO&

• Stia# SP& Homo"n adalah !onsistnC !arna sistm trsmmili!i x : 1 @C x 3 1 @C C x n 1 @ sba"ai sbuah solusi

• Solusi ini disbut SOLUS R;ALJ +i!a ada solusi lainC ma!disbut SOLUS NONR;AL


27/66

D8A KE%8NGKINAN SO&8S

Karna SP& Homo"n slalu mmili!i solusi tri)ialC ma!a han$dua !mun"!inan solusin$a

:. Sistm trsbut han$a mmili!i solusi tri)ial

3. Sistm trsbut mmili!i ta! trbatas solusi tambahan disam#in" solusi tri)ialn$a

.,ontoh-


28/66

,ONTOH

Solusi tri)ial dida#at +i!a s 1 @ dan t 1 @


29/66

D8A ,ATATAN PENTING

:. Tida! satu#un dari ti"a o#rasi baris lmntmn"ubah !olom a!hir dari nol di matri!s $andi#rbsarC shin""a sistm #rsamaan ssuadn"an bntu! slon baris trdu!si dari ma

$an" di#rbsar +u"a harus mn+adi sistmhomo"n lihat sistm 3L.

3. Tr"antun" #ada a#a!ah bntu! slon baristrdu!si dari matri!s $an" di#rbsar mm#nol barisC +umlah #rsamaan dalam sistm

br!uran" sama atau !uran" dari +umlah


30/66

D8A ,ATATAN PENTING

>adiC +i!a sistm homo"n dibri!an mmili!i #rsamaan m #aanu dn"an mMnC dan +i!a ada r non nol baris dalam bntu! baris trdu!si dari matri!s $an" di#rbsarC !ita a!an mmilr Mn. Olh !arna itu sistm #rsamaan ssuai dn"an bntu!slon baris trdu!si dari matri!s $an" di#rbsar a!an mmbntu!

Shin""a solusin$a


31/66

TEORE% :.3.:

Sbuah sistm homo"n dari#rsamaan linar dn"an anu lbban$a! dari #rsamaann$a a!an

mmili!i ta! trhin""a ban$a!n$asolusi.


32/66

1.3 MAR5S DANOPERAS MAR5S %atri!s adalah susunan #rs"i #an+an" dari bilan"an. Bilan"bilan"an dalam matri!s disbut dn"an ENTRI E&E%ENF

Notasi matri!s dn"an huruf (a#italC sdan" ntrin$a dn"an!(il

Baris pertama

Kolom kedua

Unsur / entri /elemen

ke-mn

(barism kolom n)

atau

Entri matdinyataka

=

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211


33/66

Matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya adalah

(n xn)

Contoh :

MATRIKS BUJUR SANGKAR (PERSE

Unsur diagonal

=210

121

012

B


34/66

OPERASI PADA %ATRIKS

:. Prsamaan

3. Pn+umlahan danPn"uran"an

2. Pr!alian S!alar

5. %n"ali!an %atri!s

. %nntu!an A#a!ahSbuah Produ! Trd*nisi

;. %atri!s an Di artisi

. Produ! %atri!s sba"Kombinasi &inar

. Bntu! %atri!s dari S

. %atri!s %nd*nisi!a

un"si:@. Trans#os %atri!s

::.%nmu!an TracingSbuah %atri!s


35/66

PERSA%AANC PEN>8%&AHADAN PENG8RANGAN

PERSA%AAN

>i!a / 1 C ma!a A 1 B

A dan , tida! sama !arnabrbda u!uran matri!sn$a

PEN>8%&AHAN DANPENG8RANGAN

A 0 ,C B 0 ,C A 4 ,C B 4 , did*nisi!an !arna brbu!uran


36/66

S(ara #ra!tis ':FB da#at din$ata!an dn"an 4B

5OM&NAS LNEAR'n$a-

PERKA&IAN SKA&AR


37/66

%ENGA&IKAN %ATRIKS

SYARAT PERKALAN !

n#a $arus SA!A


38/66

Pr!alian matri!s-

• TERDEINISIKAN AB trd*nisi!an dn"an 2

/ B, trd*nisi!an dn"an 5

/ 2

,A trd*nisi!an dn"an / 2

TAK TERDEINISIKAN- BAC

,BC dan A,C !arna

%ENENT8KAN APAKAHSEB8AH PROD8K TERDEIN


39/66

%atri!s da#at di#artisi mn+adi bbra#a ba"ian submatri!s-

%ATRIKS 6ANG DIPARTIS


40/66

Baris dan !olom matri!s mn$dia!an (ara lain dalam #r!almatri!s-

PROD8K %ATRIKS SEBAGAKO%BINASI &INEAR


41/66

Sbuah SP& din$ata!an sba"ai bri!ut-

Da#at dibntu! !dalam matri!s-

BENT8K %ATRIKS DARISP&

Ax = b


42/66

Produ! y = Ax adalah

>i!a B-

%a!a y = Bx adalah

%ATRIKS %ENDEINISIKA8NGSI


43/66

Notasin$a adalah A TC hasiln$a adalah baris matri!s A mn+adimatri!s A TC dan !olom matri!s A mn+adi baris matri!s A T

TRANSPOSE %ATRIKS


44/66

Notasin$a adalah tr(A), hasiln$a adalah >8%&AH sluruh dia"outama matri!s

%ENE%8KAN SEB8AH%ATRIKS

1.$ ARMA5A


45/66

SIAT'SIAT ARIT%ATIKA %ATRIKS

MAR5S% MAR5S&AL5AN


46/66

,ONTOH- ASOSIATI 8NT8PERKA&IAN


47/66

%atri!s NO&-

Notasin$a adalah /

A < = < A = A a < = < a = a

Hu!um PE%BATA&AN- >i!a ab 1 ac dan a ? @C ma!a b 1 ( mmbatal!an a dari #rsamaanF

>i!a ad = @C ma!a #alin" tida! satu fa!tor di ruas !iri adalah @

Hu!um ini tida! brla!u s(ara umum dalam aritmati!a matri!s

%ATRIKS KH8S8S- %ATRIKNO&


48/66

A#a!ah ho!um #mbatalan brla!u #ada matri!

matri!s di atas Tida!C ms!i A ? @C tta#i B ? , dan ms!i AD 1tta#i salah satu dari A atau D tida! ada $an" @

,ONTOH


49/66

SIAT'SIAT %ATRIKS NO&

%ATRIKS KH8S8S %ATRIK


50/66

Dinotasi!an dn"an I. %atri!s I slalu matri!s bu+ur san"!ar aditulis In

>i!a ada matri!s Am / nC ma!a AIn = A dan Im A = A

%ATRIKS KH8S8S- %ATRIKIDENTITAS IF

TEORE%A :.5.2

i!a " adalah madari matri!s An / $u!a memili!i se

nol dan " adala


51/66

DE:NS- >i!a A matri!s bu+ur san"!arC dan B +u"a matri!s d

u!uran $an" samaC lalu ditmu!an baha AB = BA = IC ma!adi!ata!an DAPAT DIBA&IKKAN dan B disbut %ATRIKS BA&IK D >i!a tida! ditmu!an matri!s B $an" dmi!ianC ma!a matri!s disbut SING8&AR

%ATRIKS BA&IK

adalah

4ika kolom keti%a dikalik

TEORE%A : 5 5 : 5 DAN


52/66

TEORE%A :.5.5

Jia & !an e!an9a matris 6ali !ari A% maa TEORE%A :.5.

TEORE%A :.5.;

TEORE%A :.5.5C :.5. DAN:.5.;


53/66

,ONTOH


54/66

%ATRIKS PANGKAT


55/66

H8K8% EKSPONEN


56/66

,ONTOH


57/66

>i!a A matri!s bu+ur san"!ar Am / mFC dan +i!a

adalah #ol$nomialC ma!a !ita mnd*nisi!an

dn"an Im / m. Dn"an !ata lainC % AF adalah matri!s m / m

PO&INO%IA& %ATRIKS

TRANSPOS %ATRIKS- SIAT


58/66

TRANSPOS %ATRIKS- SIATSIATN6A 4ika A da.at dibalikkan, m

dibalikkan:

1 '


59/66

O#rasi matri!s lmntr da#at di"una!an untu! mn(ari mbali!-

,ontoh-

1.'MAR5S ELEMENER% ARA MENAMAR5S &AL5AN

-21)2

-11)

22)

)2

-)1

-22)1

SO&8SI SP& DENGAN


60/66

>i!a matri!s SP& adalah

A/ 1 b

%a!aC solusi SP&n$a adalah

/ 1 A':

b

SO&8SI SP& DENGAN%ATRIKS BA&IKAN


61/66

:.%atri!s Dia"onal

3.%atri!s S"iti"a

2.%atri!s Simtris

1.+ JENS,JENS MAR5


62/66

%atri!s bu+ur san"!at $an" smua lmn slain dia"onalutaman$a adalah NO&

,ontoh-

Bntu! umumn$a-

Bali!an dan #an"!atn$a-

%ATRIKS DIAGONA&


63/66

,ONTOH


64/66

Ada dua +nis-%atri!s s"iti"a ATAS %SAF- smua lmn DI BAWAH dia"onalutaman$a adalah NO&

%atri!s s"iti"a BAWAH %SBF- smua lmn DI ATAS dia"onalutaman$a adalah NO&

Hasil #r!alian %SA dan %SA adalah %SAC %SB $a %SB

Bali!an %SA adalah %SAC bali!an %SB adalah %SB

%ATRIKS SEGITIGA

6S+


65/66

%atri!s $an" ditrans#os hasiln$a sama dn"an matri!sasaln$a- A = A T

Sifat'sifatn$a-

%ATRIKS SI%ETRIS


66/66

,ONTOH

alin 01 sistem persamaan linear (pertemuan 1-4)

Documents