Aliran dalam media berpori acak:formulasi matematis, prinsip variasional,dan batas ketatMasalah aliran viskos lambat cairan melalui media berpori acak dipertimbangkan. Hukum Darcy makroskopik, yang mendefinisikan fluida permeabilitas k, adalah pertama diturunkan dalam formulasi ensemble-rata menggunakan metode homogenisasi. Permeabilitas cairan diberikan secara eksplisit dalam kerangka batas-nilai acak masalah. Prinsip-prinsip variasional umum, berbeda dengan yang diusulkan sebelumnya, kemudian dirumuskan untuk mendapatkan batas atas dan bawah ketat pada k. ini prinsip variasional diterapkan dengan mengevaluasi mereka untuk empat jenis bidang diterima. Setiap terikat umumnya diberikan dalam bentuk berbagai macam fungsi korelasi yang secara statistik mencirikan struktur mikro media. Batas atas dan bawah dihitung untuk interior dan eksterior untuk aliran distribusi bola.

1. Pendahuluan Aliran lambat dari mampat, cairan kental melalui media berpori sering dijelaskan oleh hukum Darcy (Scheidegger 1960; Dullien 1979):

Uis mana kecepatan rata-rata, Vp, adalah gradien tekanan diterapkan mengemudi aliran, , U adalah viskositas fluida, dan k adalah permeabilitas cairan yang tergantung pada mikro acak. Ada berbagai upaya untuk menurunkan ketat (1.1). Sementara kasus geometri periodik sekarang dipahami (Tartar 1980; Keller 1980), sedikit yang diketahui tentang aliran dalam geometri acak. Memang, ketat derivasi (1.1) untuk aliran melalui sangat encer acak array hambatan tetap diberikan hanya baru-baru ini oleh Rubinstein (1987). Bersamaan dengan itu, banyak penulis memiliki mencoba untuk menghitung k dengan asumsi bahwa (1.1) berlaku. Permeabilitas, secara umum, tergantung pada set tak terbatas fungsi korelasi yang secara statistik mencirikan medium, namun; dan kecuali untuk khusus disiapkan media buatan, set ini fungsi tidak pernah dikenal. Sekali lagi, dalam kasus periodik, ada hasil rinci: baik analitis (Hasimoto 1959) dan numerik (Zick & Homsy 1982; Sangani & Acrivos 1982); sedangkan hanya encer sistem dipelajari untuk mikro acak menggunakan berbagai pendekatan yang efektif menengah yang validitas belum jelas (Brinkman 1947; Lundgren 1972; Childress 1972; Hinch 1977).Pendekatan lain berkonsentrasi pada mendapatkan batas ketat untuk permeabilitas k. Bounds parameter yang efektif media acak berguna karena: (i) mereka mungkin digunakan untuk menguji manfaat dari teori atau komputer-simulasi percobaan, (ii) sebagai Informasi berturut-turut lebih mikro disertakan, batas-batas (umumnya) menjadi semakin sempit, dan (iii) salah satu dari batas-batas biasanya dapat memberikan perkiraan yang baik dari properti yang efektif, untuk berbagai fraksi volume, bahkan ketika timbal balik divergen dari itu (Torquato & Lado 1986) terikat. Ada tiga langkah-langkah dasar yang terlibat dalam memperoleh batas variational pada parameter yang efektif Media teratur: (1) mendefinisikan parameter yang efektif dalam hal beberapa fungsional; (2) merumuskan variasional sesuai (ekstrem) prinsip ini fungsional; (3) dan membangun ladang percobaan yang sesuai dengan prinsip variasional (yaitu bidang diterima).Prager (1961) dan Weissberg & Prager (1970) adalah yang pertama untuk menurunkan batas atas pada k. Batas ini disebut sebagai 'tiga titik' batas karena mereka melibatkan sampai dengan Informasi fungsi korelasi tiga titik. Perlu dicatat bahwa mereka derivasi dirumuskan melalui penalaran fisik dan bahwa Prager dan Prinsip variasional Weissberg-Prager (dan bidang diterima masing-masing) yang berbeda, Berryman & Milton (1985) selanjutnya, dengan menggunakan pendekatan volume rata-rata, dikoreksi kendala normalisasi dalam prinsip variasional Prager. Tujuan utama dari makalah ini adalah untuk mengembangkan prinsip-prinsip variasional ketat untuk aliran di Media berpori teratur, dan dengan demikian memperoleh batas atas dan bawah ketat pada k. Kedua ensemble-rata dan formulasi volume rata-rata untuk masalah ini harus disajikan. Pendekatan ensemble-rata sangat berguna dalam mendapatkan atas batas pada permeabilitas; ini menghindari kesulitan yang dihadapi oleh Berryman & Milton (1985), Berryman (1986), dan Caflisch & Rubinstein (1986) dalam menangani kondisi batas untuk bidang diterima dalam formulasi volume rata-rata. Torquato & Beasley (1987) baru-baru ini dirumuskan kembali variasional Weissberg-Prager atas terikat pada k dalam hal rata-rata ensemble. The Weissberg-Prager variational Prinsip untuk batas atas, bagaimanapun, adalah berbeda dengan prinsip yang sesuai diturunkan dalam karya ini.$ 2 kita memperoleh rumus Darcy (1.1) untuk media berpori acak menggunakan metode homogenisasi dalam formulasi ensemble-rata. Kami kemudian menulis ulang k dalam hal dari energi fungsional. Dalam $ 3 kami mempekerjakan ini fungsional untuk menurunkan variasional baru prinsip untuk batas atas dan bawah pada permeabilitas. Dalam $ 4 kita menerapkan prinsip variasional dengan secara eksplisit mengevaluasi rata-rata yang terlibat untuk empat berbagai jenis bidang diterima. Batas-batas yang diperoleh ditunjukkan bergantung pada berbagai macam fungsi korelasi n-point. $ 5 kita meninjau sebuah formalisme ntuk mewakili dan menghitung berbagai jenis fungsi korelasi yang timbul dalam batas. Batas-batas dihitung untuk media terdiri dari kumpulan acak dari spheres di $ 6. Hal ini diikuti dengan diskusi di $ 7.2. Formulasi Matematika 2.1. Penurunan persamaan Darcy Ada beberapa turunan dari (1.1) (Neumann 1977; Keller 1980; Tartar 1980; Whitaker 1986 antara lain). Kami berikan di sini derivasi lain berdasarkan suatu Pendekatan ensemble-averaging. Hal ini akan berubah menjadi berguna dalam memperoleh variational prinsip untuk permeabilitas. Media acak domain ti ruang V (OE) R3 (di mana realisasi adalah diambil dari beberapa ruang probabilitas 0) yang dibagi menjadi dua daerah: kekosongan (pore) wilayah Vl (o) th, aliran fluida yang kasar, fraksi volume (porositas) Q51 dan solid-fase wilayah V2 (w) volume fraksi Q52. Biarkan V (w) menunjukkan permukaan antara Vl dan V2T. ia fungsi karakteristik dari wilayah pori didefinisikan oleh

Gerakan fluida memenuhi persamaan Stokes:

Di sini u dan p masing-masing adalah, kecepatan dan tekanan bidang lokal, dan p adalah cairan viskositas. Kami berasumsi bahwa media random memiliki lengthscale mikroskopis 1 (misalnya skala di mana I (r, w) bervariasi) yang kecil dibandingkan dengan khas makroskopik lengthscale L (misalnya skala yang gradien tekanan diterapkan bervariasi). Oleh karena itu, ada parameter e kecil = 1 / L yang terkait dengan fluktuasi yang cepat dalam struktur dari Vl (o) an, d kita asumsikan bahwa kecepatan u dan tekanan p tergantung pada dua skala: x skala lambat dan skala cepat y = x / e, yaitu

Kita akan menurunkan global (makroskopik) persamaan yang mengatur aliran menggunakan twoscale ekspansi:

Bentuk khusus dari ekspansi kami dimotivasi oleh analisis Sanchez- Palencia (1980) untuk struktur periodik. Perhatikan bahwa istilah non-sepele pertama di ekspansi untuk u adalah O (e2) (berbeda dengan ekspansi tekanan). Secara fisik, ini merupakan konsekuensi dari ukuran pori kecil [O (e)] dan kondisi batas tanpa slip. Mengganti (2.8) - (2.10) ke (2,5) dan (2,6) dan mengumpulkan kekuatan dari e menghasilkan persamaan-order terkemuka

Kami sekarang menambahkan asumsi bahwa media lokal (yaitu pada skala y) stasioner. Averaging Ensemble (2.13) memberikan

DimanaDi sini (.) Menunjukkan rata-rata ensemble. Istilah kedua (2,14) sekarang terbukti menjadi nol. Mari VR menjadi bola besar radius R berpusat pada titik asal. Kemudian

di mana AV, adalah permukaan bola besar. Menggunakan batas kondisi u1 = 0 pada V, kami memiliki

dan membiarkan R + 03, kami akhirnya tiba di

Saya memesan n untuk menganalisis (2.11) dan (2.12), kami memperkenalkan fungsi random stasioner w (y, w) = [wij] dan 7t (y, w) = [nil yang merupakan solusi dari

Berikut E adalah unit dyadic. Kami memperpanjang jumlah w andp di wilayah padat V2 (w) menjadi nol. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa uo (xy,, o) nd pl (x, y, o) c yang ditulis sebagai(2.20)

Averaging (2.20), kita memperoleh

Permeabilitas tensor kemudian didefinisikan oleh

Permeabilitas tensor kemudian didefinisikan oleh

yang merupakan persamaan yang diinginkan makroskopik: (2.24) menjadi hukum Darcy. Perhatikan bahwa k diberikan secara eksplisit dalam hal masalah batas-nilai acak (2.17) - (2.19). Selanjutnya, kita asumsikan media untuk menjadi makroskopik isotropik, sehingga k = Ke, dimana k =: (w: E).2.2. Karakterisasi Energi Permeabilitas yang Kita sekarang mengekspresikan permeabilitas k dalam hal energi fungsional. proposisi 1dimana w didefinisikan oleh (2.28) - (2.30). Bukti. Untuk media isotropik, persamaan tambahan tensor (2.17) - (2.19) becomevector persamaan; permeabilitas ini kemudian didefinisikan ulang sebagai

di mana e "adalah vektor satuan dan WCY, w) memecahkan

(Perhatikan bahwa subscript y telah turun dari gradien dan operator Laplacian.) Mengalikan (2.28) dengan hasil w dan rata-rata

Kita sekarang mengintegrasikan sisi kanan dari (2.31) oleh bagian-bagian dan lanjutkan aa di derivasi (2,15). Istilah Boundary lenyap identik karena stasioneritas tersebut dari w dan n, dan dengan (2,30). Dengan demikian, kita memperoleh

Proposisi ini mengikuti dari kondisi inkompresibilitas (2,29) dan ekstensi dari w ke Vz

3. Prinsip Variasional dan batas Kami menganggap berasal prinsip variasional timbal balik untuk batas-nilai masalah yang dijelaskan oleh (2.28) - (2.30). Dari prinsip-prinsip ini kita kemudian menyimpulkan atas dan batas bawah pada permeabilitas. Pertama kita memodifikasi (2.28) - (2.30) sedikit dengan memperkenalkan fungsi q = YW dan 5 = yn, dimana y adalah beberapa konstanta positif. Kemudian q dan C memecahkan

dan k memenuhiProposisi 2-batas atas Misalkan A kelas bidang vektor u didefinisikan oleh set A = {halus, fungsi stasioner u (y, w) sehingga

Kemudian k dibatasi dari atas oleh

Bukti. Dari Proposisi 1 berikut bahwa

Mari sekarang UEA. T hen terdapat fungsi p "(y, w) s uch yang

Menulis u = q + g, pu =