aljabar himpunan dan fungsi

Analisis Real

1

DIKTAT KULIAH - ANALISIS

ANALISIS REAL(Real Analysis)

Siti Lailiyah, M.Si.

e-mail: [email protected]://blog.sunan-ampel.ac.id/sitilailiyah

COPYRIGHT © 2010-2011

[email protected]

http://blog.sunan-ampel.ac.id/sitilailiyah

BAB PENGANTAR 1 ANALISIS REAL

ALJABAR HIMPUNAN DAN FUNGSI A. PENDAHULUAN

Sebelum mempelajari analisis real, diperlukan sekali konsep-konsep dasar dari aljabar himpunan dan fungsi. Dua konsep ini merupakan alat yang penting untuk belajar analisis, karena konsep himpunan dan fungsi tersebut akan digunakan dalam pembicaraan sistem bilangan real, barisan, limit fungsi, kontinuitas maupun pendiferensian.

Untuk selanjutnya, kita anggap sama kata “himpunan” dengan kata “klas”, ”koleksi”, atau ”keluarga”. Demikian juga dengan kata “fungsi” kita anggap sama dengan “pemetaan”. Untuk himpunan, kita akan membahas mengenai aljabar himpunan, operasi himpunan, hasil kali ganda dan beberapa sifat yang terkait dengan operasi himpunan. Dengan pengertian hasil kali ganda ini, akan dikembangkan pengertian fungsi. Fungsi akan dijelaskan melalui definisi yang tepat maupun grafik. Metode khusus yang disebut induksi matematika juga dibicarakan dalam bagian ini. Metode induksi matematika tersebut merupakan sifat dasar dari sistem bilangan asli.

B. URAIAN DAN CONTOH

Himpunan dapat dipandang sebagai koleksi (himpunan) obyek-obyek yang

ditentukan oleh beberapa sifat khusus. Obyek-obyek yang terdapat dalam himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan tersebut. Himpunan juga dapat didefinisikan dengan mendaftar elemen-elemennya. Sedangkan fungsi atau pemetaan dapat dipandang sebagai himpunan khusus/spesial, yaitu hasil pengembangan dari pengertian hasil kali ganda dua himpunan. Lebih lanjut, definisi fungsi yang tepat serta tipt-tipe khusus dari fungsi akan dibahas dalam bagian ini.

1. Aljabar Himpunan

Jika A sebarang himpunan, dan x anggota A maka ditulis . Jika x bukan anggota A, ditulis . Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kososng (empty set/null set), dinotasikan 0

Ax∈Ax∉

/ . Sekarang, jika A dan B himpunan sehingga . Berakibat maka dikatakan bahwa A himpunan bagian B, dinotasikan atau . Jika dan terdapat anggota B yang bukan anggota A, maka A

dikatakan himpunan bagian sejati dari B.

Ax∈ Bx∈BA ⊆ AB ⊇ BA ⊆

Selanjutnya dua himpunan A dan b sama jika A dan B memuat elemen yang sama, ditulis A=B. Jadi, untuk membuktikan bahwa himpunan A dan B sama, maka harus ditunjukkan bahwa dan . BA ⊆ AB ⊆

Sekarang kembali pada definisi himpunan. Pernyataan ”sifat khusus” pada definisi himpunan ternyata tidak mudah didefinisikan secara tepat, tetapi kita tidak perlu ragu menggunakannya. Jika P menyatakan sifat yang mempunyai arti dan kejelasan untuk koleksi elemen-elemen, maka di tulis { })(: xPx untuk himpunan semua elemen x yang memenuhi sifat P. Namun, jika kita mengingkan kekhususan yang elemen-elemennya memenuhi sifat P, maka ditulis { })(: xPSx∈ , untuk himpunan semua elemen x yang memenuhi sifat P.

By: Siti Lailiyah, M.Si. 1


Pendefinisian Himpunan

Untuk mendefinisikan himpunan digunakan 4 cara, yaitu :

1. Mendaftarkan semua anggotanya.

Contoh:

- A = {a,e,i,o,u}

- B = {2,3,5,7,11,13,17,19}

2. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanya

Contoh:

Perhatikan himpunan pada contoh 1 di atas dan bandingkan dengan pendefinisian di bawah ini

- A = Himpunan vokal dalam abjad latin

- B = Himpunan bilangan prima yang kurang dari 20

3. Menyatakan sifat dengan pola

Contoh:

- P = {0,2,4,8,10,…,48}

- Q = {1,3,5,7,9,11,13,15,…}

Awas dalam kasus: R = { 2,3,5,7,…,19}. Penulisan himpunan seperti ini bukan merupakan well-defined karena memunculkan ambigu, yaitu R dapat diartikan sebagai himpunan bilangan ganjil yang lebih besar dari 1 dan kurang dari 20. Sementara itu R dapat diartikan pula sebagai himpunan bilangan prima yang kurang dari 20. Oleh karena itu pendefinisian himpunan dengan menyatakan pola seperti ini harus sangat hati-hati agar tidak menimbulkan tafsiran lain.

4. Menggunakan notasi pembentuk himpunan

Contoh: - P = {x | x himpunan bilangan asli antara 7 dan 15}(Maksudnya P = {8,9,10,11,12,13,14}) - Q = { t | t bilangan asli} (Maksudnya Q = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…} -R = { s | s2-1=0, s bilangan real}(Maksudnya R = {-1,1})

Contoh lain: a. Himpunan { }023: 2 =+−∈ xxNx . Karena penyelesaian dari persamaan kuadrat

adalah atau 0232 =+− xx 1=x 2=x , maka himpunan ini dapat dinotasikan dengan {1,2}. Dengan demikian himpunan dapat didefinisikan dengan mendaftar elemen-elemennya.



b. Kadang-kadang suatu rumus dapat digunakan untuk mendeskripsikan himpunan, misalnya himpunan semua bilangan asli genap dapat dinotasikan sebagai { }Nxx ∈:2 atau { } NxxyNy ∈=∈ ,2:

2. Operasi Himpunan

Definisi 1.1.1 (i) Jika A dan B himpunan, maka irisan dari A dan B, dinotasikan BA∩ adalah

himpunan dari semua anggota A dan B. Dengan kata lain: { }BxAxxBA ∈∈=∩ dan ;:(ii) Jika A dan B himpunan maka gabungan A dan B, dinotasikan BA∪ adalah

himpunan semua anggota A atau B. Dengan kata lain: { }BxAxxBA ∈∈=∪ atau ;:(iii)Jika A dan B himpunan, 0/=∩ BA , maka A dan B dikatakan saling asing. Teorema 1.1.1 Jika A, B dan C sebarang himpunan, maka: a. (sifat idempoten) AAAAAA =∪=∩ ,b. ABBA ∩=∩ , ABBA ∪=∪ (sifat komutatif) c. , ( ) ( CBACBA ∩∩=∩∩ ) ( ) ( )CBACBA ∪∪=∪∪ (sifat assosiatif) d. , (sifat distribusi irisan terhadap gabungan) ( ) ( ) ( CABACBA ∩∪∩=∪∩ )

) , (sifat distribusi gabungan terhadap irisan) ( ) ( ) ( CABACBA ∪∩∪=∩∪Bukti: a. { }AxAxxAA ∈∈=∩ dan ;: { } AAxx =∈= ; Begitu juga untuk AAA =∪ caranya analog. b. { }BxAxxBA ∈∈=∩ dan ;: { }AxBxx ∈∈= dan ; AB ∩= Pembuktian untuk c dan d ditinggalkan sebagai latihan Catatan:

{ } njjAxxAAAA jn ,,2,1 ,suatu untuk ::21 KK ∈=∪∪∪= =

{ }njjAxxAAAB jn ,,2,1 , semuauntuk ::21 KK =∈=∩∩∩= Definisi 1.1.2 Jika A dan B himpunan, maka komplemen dari B relatif terhadap A adalah himpunan semua anggota A yang tidak menjadi anggota B, dan dinotasikan (dibaca ” A minus B”). Kadang-kadang dinotasikan

BA \BA − atau BA ~ atau C(B).

Jadi { }BxAxxBA ∉∈= dan /:\



Dibawah ini akan diberikan sebuah teorema tentang operasi himpunan yang berkaitan dengan dan pembuktiannya ditinggalkan sebagai latihan. BA \Teorema 1.1.2 Jika A, B, C sebarang himpunan, maka :

( ) ( ) ( CABACBA \\\ ∩=∪ ))

( ) ( ) ( CABACBA \\\ ∪=∩ Hasil Kali Ganda (Cartesian Product)

Definisi 1.1.3

Jika A dan B dua himpunan tidak kosong, AxB hasil kali ganda (Cartesian Product) dari A dan B adalah himpunan dari semua pasangan terurut (a,b) dengan dan b . Aa∈ B∈(lihat Gambar 1.1)

A

AxB

(a,b)

a

b

B

Gambar 1.1 Hasil Kali Ganda AxB Contoh 1.1.2 1) Misalkan A={1, 2, 3} dan B={4, 5} maka AxB adalah himpunan yang anggotanya

adalah pasangan terurut (1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5) 2) Jika dan { }21:: ≤≤∈= xRxA { }32atau 10:: ≤≤≤≤∈= xxRxB , maka AxB

dapat digambarkan seperti dibawah ini:

Gambar 1.2 A

B

1

AxB

3

2

0 2 1

3. Fungsi

Pada bagian ini akan dibahas pengertian fungsi atau pemeteaan dan tipe-tipe khusus dari fungsi. Para ahli matematika abad yang lampau, kata ”fungsi” diartikan untuk mendefinisikan rumus, seperti ( ) 862 +−= xxxf yang mengkaitkan setiap bilangan real x dengan bilangan real yang lain ( )xf . Dalam perkembangannya, diberikan definisi



fungsi yang lebih umum, sehingga lebih jelas perbedaan fungsi itu sendiri dengan nilai dari fungsi tersebut. Perhatikan definisi berikut:

Definisi 1.1.4 Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu aturan yang mengawankan setiap anggota dengan tunggal anggota B, dinotasikan Aa∈ ( )af . Himpunan A disebut domain dari f dinotasikan D(f) dan B disebut target dari f. Range dari f, R(f), adalah himpunan ( ) { }AaBafAf ∈∈= :)( yang merupakan himpunan bagian dari B. Dibawah ini akan diberikan definisi fungsi sebagai himpunan khusus, yaitu dari perkembangan pengertian hasil kali ganda dua himpunan. Definisi 1.1.5 (Fungsi Sebagai Grafik) Misalkan A, B himpunan fungsi dari A ke B adalah himpunan f dari pasangan berurutan dalam AxB sehingga untuk setiap Aa∈ terdapat dengan tunggal , dengan

, artinya jika ( ) dan Bb∈

( ) fba ∈, fba ∈, ( ) fba ∈1, maka . 1bb =( ) fba ∈, dapat ditulis . (Lihat Gambar 1.3) )(afb =

b

a

(a,b) f

B R(f)

A Gambar 1.3 Fungsi Sebagai Grafik

Sekarang kita berikan fungsi dengan domain A dan range di dalam B.

Jika f fungsi dengan D(f) dan , didefinisikan fungsi baru dengan domain oleh . Fungsi ini disebut fungsi yang dibatasi oleh f pada

himpunan (Restriction of f to the set ). Jadi

BAf →:)(1 fDD ⊆ 1f

1D 11 ),(:)( Dxxfxf ∈∀= 1f

1D 1D { }11 ,),(:)( Dafbaxf ∈∈= atau . Jika g fungsi dengan domain D(g) dan 11 | Dff = )(2 gDD ⊇ , maka sebarang fungsi

dengan domain sehingga 2g 2D )(),()(2 gDxxgxg ∈∀= . Fungsi disebut perluasan fungsi g pada himpunan (Extension of g to the set ).

2g

2D 2D



Diberikan fungsi , maka bayangan (direct image) dari E terhadap fungsi f adalah himpunan bagian dari b yang diberikan oleh

BAf →:)(Ef { }ExxfEf ∈= :)(:)( . Jika

BH ⊂ , maka bayangan invers (invers image) dari H terhadap fungsi f adalah himpunan bagian dari A yang diberikan oleh )(1 Hf { }HxfAxHf ∈∈=− )(::)(1 . Contoh 1.1.3: Misalkan dengan . Direct image dari RRf →: 2:)( xxf = { }20:: ≤≤= xxE adalah himpunan . Jika { }40::)( ≤≤= yyEf { }40:: ≤≤= yyG , maka inverse image dari G adalah himpunan . Terlihat bahwa . { 22::)(1 ≤≤−=− xxGf } EEff ≠− ))((1

Tipe-Tipe Khusus dari Fungsi 1. Fungsi Injektif

Fungsi f : A B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk tiap a1, a2 ∈ A dan a1 ≠ a2 berlaku f (a1) ≠ f (a2). Contoh :

A : {1,2,3} , B : {a,b,c} 1

2

3

a

b

c

A B Fungsi f

f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,c)}. Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di B Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu.

2. Fungsi Surjektif Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B atau

. BAf =)(Contoh dalam diagram panah

A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c} 1 •

2 •

3 •

4 •

• a

• b

• c

Fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut : f = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}. Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf : {a,b,c} dan Rf = B maka fungsi f adalah fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada.

A f B


Definisi 1.1.6


Fungsi f : A B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B atau Rf ⊂ B. Contoh :

A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c} fs f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}. Tampak bahwa daerah hasil fs f : Rf : {a,b} dan Rf ⊂ B, maka fungsi f adalah fungsi into atau fungsi ke dalam.

1 •

2 •

3 •

4 •

• a

• b

• c

A f B



3. Fungsi Bijektif Fungsi f : A B disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika fungsi f sekaligus merupakan fungsi surjektif dan fungsi injektif. Contoh :

A : {1,2,3} , B : {a,b,c} 1 fs f : A B, dinyatakan dalam pasangan terurut f :

{(1,a), (2,c), (3,b)}. Tampak bahwa fungsi f adalah fungsi surjektif sekaligus fungsi injektif. fungsi f adalah fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu.

Contoh 1.1.4

a. Fungsi dengan RAf →: { }1:: ≠∈= xRxA dan 1

)(−

=x

xxf adalah fungsi injektif.

b. Fungsi dengan ARf →: { }0:: ≥∈= xRxA dan adalah fungsi surjektif. 2)( xxf =c. Fungsi dengan ]1,0[]1,0[: →f xxf =)( adalah fungsi bijektif.

Definisi 1.1.7 Misalkan fungsi injektif dengan domain A dan R(f) didalam B. BAf →:Jika maka g injeksi dengan domain . Fungsi g disebut fungsi invers dari f dan dinotasikan .

{ fbaBxAabg ∈∈= ),(:),(: } )()( fRgD =1−f

Jadi jika dan hanya jika )(1 yfx −= )(xfy = . Fungsi-Fungsi Komposisi Untuk membuat komposisi dua fungsi, pertama dapatkan f(x) kemudian aplikasikan g untuk mendapatkan g(f(x)). Namun, ini mungkin terjadi hanya jika f(x) anggota domain g. Jadi haruslah range dari f termuat dalam domain g. Definisi 1.1.8. Misalkan dan , Fungsi komposisi adalah fungsi dari A ke C didefinisikan oleh

BAf →: CBg →: fg oAxxfgxfg ∈∀= )),(())(( o .

Contoh 1.1.5 Untuk dan . Fungsi komposisi xxfRx 2)(, =∈ 13)( 2 −= xxg 1

2121)4(31)2(3))(())(( 222 −=−=−== xxxxfgxfg o

6)13(2))(())(( 22 −=−== xxxgfxgf oTerlihat bahwa . )()( gffg oo ≠

2

3

a

b

c

A B Fungsi f



Latihan 1.1 1. Buktikan Teorema 1.1.2! 2. Jika { koleksi himpunan dan E sebarang himpunan, tunjukkan }nAAA ,,, 21 K

dan ( )U Un

j

n

jjj AEAE

1 1= =

∩=∩ ( )U Un

j

n

jjj AEAE

1 1= =

∪=∪

3. Jika dan E, F adalah himpunan bagian dari A, tunjukkan dan

BAf →:( ) )()( FfEfFEf ∪=∪ ( ) )()( FfEfFEf ∩⊆∩ ?

4. Berikan contoh dua fungsi f, g dari R ke R sehingga gf ≠ tetapi ? fggf oo =


aljabar himpunan dan fungsi

Documents