aljabar linear
DESCRIPTION
Aljabar Linear. Pertemuan 9 Matrik. Erna Sri Hartatik. Sub pokok bahasan. Pengertian Matriks. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Aljabar Linear
Pertemuan 9 Matrik
Erna Sri Hartatik
Sub pokok bahasan
Pengertian Matriks
• Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.
• Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.
• Matriks adalah himpumam suatu bilangan yang disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.
• Bilangan tersebut disebut entri / elemen
Notasi matriks
• Lambang matrik huruf besar• Lambang elemen huruf kecil• Notasi yang dipakai:
atau
atau
Notasi matrik (2)
• A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
....
::::
....
.....
21
22221
11211
Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n)
Baris ke -1
Kolom ke -2
Matrik A berukuran (ordo) m x n
Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama, A dan B dikatakan sama (notasi A = B)Jika untuk setiap i dan jijij ba
Jenis Matriks• MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua
elemennya nol Sifat-sifat : A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0 A*0=0, begitu juga 0*A=0.• MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang
jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut.
Contoh : Matriks berukuran 2x2
A =
32
41
• MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.
Contoh :
• MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.
Contoh :
• Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A
300
050
002
100
010
001
• MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu.
Contoh : A=
• MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0.
A =
400
040
004
400
540
123
• MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0.
A=
• MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.
Contoh :
A = =
496
041
003
TAA
110
132
021TA
110
132
021
• MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut.
Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0Contoh :
A
0120
1043
2401
0310
TA
0120
1043
2401
0310
• MATRIK PARTISI : sebuah matrik dapat dibagi menjadi bagian yang lebih kecil dengan garis pemisah/partisi mendatar dan vertikal.
1 0 0 2 -1
0 1 0 1 3
A 0 0 1 4 0
0 0 0 1 7
0 0 0 7 2
1 0 0 2 -1
0 1 0 1 3
0 0 1 4 0
0 0 0 1 7
0 0 0 7 2
I adalah matrik identitas 3 x 3, B adalah matrik 3 x 2O adalah matrik nol 2 x 3C adalah matrik 2 x 2
Dengan cara partisi tersebut, kita dapat lihat bahwa matrik A adalah sebagai matrik 2 x 2
2
2
2 -2 -4
A -1 3 4 Tentukan A !
1 -2 -3
2 -2 -4 2 -2 -4 2 -2 -4
A A.A -1 3 4 -1 3 4 -1 3 4 A
1 -2 -3 1 -2 -3 1 -2 -3
Jawab
3
1 1 3
A 5 2 6
-2 -1 -3
1 1 3 1 1 3 1 1 3 0 0 0
A A.A.A 5 2 6 5 2 6 5 2 6 0 0 0
-2 -1 -3 -2 -1 -3 -2 -1 -3 0 0 0
0
Contoh beberapa kasus pemangkatan Contoh beberapa kasus pemangkatan matrikmatrik
2 31 1A Hitung A dan A
1 1
1.
2
3 2
1 1 1 1 2 2A
1 1 1 1 2 2
2 2 1 1 4 4A A A
2 2 1 1 4 4
jawab
Disimpulkan Disimpulkan
n-1 n-1n
n-1 n-1
2 2A untuk n 1
2 2
Untuk n = 1
1-1 1-1 0 01
1-1 1-1 0 0
2 2 2 2 1 1A A
1 12 2 2 2
2 3 40 -1B Tentukan: B ,B dan B !
1 0
2.
2
3 2
4 3
0 -1 0 -1 -1 0 B
1 0 1 0 0 -1
-1 0 0 -1 0 1B B B
0 -1 1 0 -1 0
0 1 0 -1 0 1B B B
-1 0 1 0 1 0
jawab
0 -1 -1 0 0 1 0 1 0 -1, , , , ..............
1 0 0 -1 -1 0 1 0 1 0
Operasi Matriks• Penjumlahan MatriksPenjumlahan MatriksSyarat : Dua matriks berordo sama dapat
dijumlahkanContoh =
a.
b.
hdgc
fbea
hg
fe
dc
ba
67
74
14
13
53
61
• Pengurangan MatriksPengurangan MatriksSyarat : Dua matriks berordo sama dapat
dkurangkanContoh =
a.
b.
hdgc
fbea
hg
fe
dc
ba
41
52
14
13
53
61
• Perkalian MatriksPerkalian Matriks Perkalian Skalar dengan MatriksPerkalian Skalar dengan MatriksContoh :
Perkalian Matriks dengan MatriksPerkalian Matriks dengan MatriksMisalkan A berordo pxq dan B berordo mxnSyarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn
kskr
kqkp
sr
qpk
)23()32(
,
xx ut
sr
qp
Bgfe
dbaA
)22()23(
)32( ..x
x
x gufseqgtfrep
dubsaqdtbrap
ut
sr
qp
gfe
dbaBA
Contoh
Sedangkan B X A tidak dapat dikerjakan, karena jumlah kolom matrik B tidak sama dengan jumlah baris matrik A
Latihan
1.
2.