aljabar linear elementer dan...
TRANSCRIPT
ALJABAR LINEAR ELEMENTER DAN APLIKASINYA
Didit Budi Nugroho
Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Matematika
Universitas Kristen Satya Wacana
2010
KATA PENGANTAR
Buku ini merupakan suatu pengantar untuk aljabar linear yang didasarkan pada kuliah yang diberikan oleh penulis selama lebih dari 4 tahun dalam mata kuliah Aljabar Linear Elementer di Universitas Kristen Satya Wacana Salatiga. Sebagian besar buku ini dipengaruhi oleh kuliah Aljabar Linear dari Prof. Drs. Setiadji, SU selama penulis kuliah S-1 di FMIPA UGM.
Materi dalam buku ini disajikan secara terurut yang dimulai dari pengertian tentang matriks beserta operasinya di Bab I dan dilanjutkan dengan fungsi determinan yang dibahas di Bab II. Sistem persamaan linear yang merupakan bagian utama dari Aljabar Linear disajikan dalam Bab III. Dalam bab ini diberikan beberapa metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear termasuk metode yang paling umum yaitu eliminasi Gauss (Jordan). Di Bab IV didiskusikan tentang ruang vektor beserta ruang bagiannya seperti ruang kolom, ruang baris, dan ruang nol. Pembahasan mengenai suatu ruang vektor diperluas dengan melengkapinya dengan suatu fungsi yang disebut hasil kali dalam sehingga membentuk suatu ruang hasil kali dalam, dan ini diberikan pada Bab V. Pembicaraan yang lebih luas lagi mengenai ruang vektor dijumpai di Bab VI yang menghubungkan dua ruang vektor menggunakan transformasi linear. Dari situ selanjutnya diambil kasus untuk operator linear pada suatu ruang vektor untuk mencari suatu nilai dan vektor eigennya, dan ini diberikan dalam Bab VII sebagai penutup dari materi Aljabar Linear.
Buku ini menyediakan teorema-teorema dengan bukti yang memadai. Teorema-teorema tersebut dilengkapi dengan contoh-contoh yang bervariasi dengan teknik penyelesaian yang mudah dipahami. Untuk melihat bahwa Aljabar Linear diperlukan bagi banyak bidang ilmu, di setiap bab diberikan contoh-contoh aplikasinya. Aplikasi tersebut antara lain analisa sirkuit elektrik, jaringan lalu lintas, persamaan reaksi kimia, dan model Leontief menggunakan sistem persamaan linear. Ada juga Kriptografi yang merupakan aplikasi dari transformasi linear. Aplikasi dari nilai dan vektor eigen diambil dalam bidang geometri yaitu untuk mengidentifikasi kurva, dalam bidang fisika untuk sistem massa pegas dan dalam bidang biologi untuk masalah genetika.
Buku ini masih perlu untuk terus menerus dikembangkan guna memperlihatkan kemudahan dan keindahan dari Aljabar Linear. Oleh karena itu penulis sangat mengharapkan masukan dan saran-saran dari pembaca.
Salatiga, Desember 2010
Penulis
DAFTAR ISI
BAB I: MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS ...…….…..………………… 1 1.1 Pengantar …………………………..…….………………………. 1 1.2 Jenis-jenis Matriks ……….………..……..……..……………….. 2 1.3 Kesamaan Dua Matriks ..……….……………………………….. 5 1.4 Operasi Matriks …………………..…….……………………….. 5 1.5 Matriks Eselon ……………………..….………………………… 11 1.6 Fungsi Skalar Matriks ……………..……..………………………. 12
BAB II: DETERMINAN ……..………………….…….….…………………….. 19 2.1 Ekspansi Laplace Baris Pertama …..….…………………………. 19 2.2 Ekspansi Kofaktor …………………..….………………………… 22 2.3 Adjoin ……………………………….……..…………………….. 25 2.4 Operasi Baris Elementer …………………..…………………….. 27 2.5 Matriks Tak Singular dan Invers …….…………..……………… 31 2.6 Sifat-sifat Determinan ……………….…………………………… 37 2.7 Peringkat Matriks ……………………...………………….……… 39 2.8 Aplikasi Determinan ……………….…………………….……… 40 BAB III: SISTEM PERSAMAAN LINEAR ….……...………………….…….. 51 3.1 Definisi-definisi …………………….………………..…….……. 51 3.2 Eksistensi Penyelesaian ……………….…..……………….…….. 55 3.3 Menyelesaikan SPL Menggunakan Invers ………………….…… 58 3.4 Aturan Cramer ……………………….…………..………….…… 58 3.5 Reduksi Baris ……………………….………………………...…. 60 3.6 Penyelesaian Sistematis dari SPL ………………………….. 65 3.7 Dekomposisi LU ……………………………………………..….. 68 3.8 Aplikasi Sistem Persamaan Linear ……………………………… 71 BAB IV: RUANG VEKTOR ………...………………………………………..… 93 4.1 Ruang Vektor ……….……..………………..…………………… 93 4.2 Ruang Bagian Vektor …..………….………….………………….. 95 4.3 Kombinasi Linear ……..…………………………………………. 96 4.4 Bebas Linear ………………..……………………………………. 99 4.5 Basis ………………………………..……………………………. 101 4.6 Ruang Nol, Ruang Kolom, Ruang Baris …………..…………….. 105 BAB V: RUANG HASIL KALI DALAM …………………………..…………. 119 5.1 Hasil Kali Dalam …………………….…………………..………. 119 5.2 Norm ……………………………………………………….……. 121 5.3 Basis Ortonormal dan Proses Gram-Schmidt ………………..….. 125 5.4 Perubahan Basis ……………………………………………….… 130 BAB VI: TRANSFORMASI LINEAR ….…….……………………………...... 139 6.1 Pengantar …………………………………………………..……. 139 6.2 Kernel dan Image dari Transformasi Linear …………………..… 144 6.3 Teorema Dimensi ……………………………….…….…………. 153 6.4 Transformasi Linear dari Rn ke Rm ………………….……………. 155 6.5 Representasi Matriks dari Transformasi Linear ……….……..….. 158 6.6 Komposisi Transformasi Linear dan Perkalian Matriks …….….... 166 6.7 Inversibilitas ………………………………….….………………. 172 6.8 Aplikasi Transformasi Linear: Kriptografi ……….…..………….. 174 BAB VII: Nilai dan Vektor Eigen ………………………………..…………….. 183 7.1 Motivasi ………………………………………….……….……… 183
7.2 Menghitung Nilai dan Vektor Eigen …………….………….…… 185 7.3 Sifat-sifat Polinomial Karakteristik ……………….…………..…. 191 7.4 Diagonalisasi dan Diagonalisasi Ortogonal ….………………….. 195 7.5 Pangkat Matriks dan Persamaan Diferensial ….………………… 208 7.6 Bentuk Kuadratik dan Irisan Kerucut ………………..………….. 216 7.7 Aplikasi Untuk Sistem Massa Pegas ………………..…………… 222 7.8 Aplikasi Untuk Genetika …………………….……..……………. 223
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1: (a) Matriks segitiga atas, (b) matriks segitiga bawah, (c) matriks diagonal 4 Gambar 1.2: Transpos dari matriks m´n …………..…………………….………… 9 Gambar 1.3: Matriks eselon baris ………………………………………………….. 11 Gambar 2.1: Bangun segitiga ………………………………………………………. 40 Gambar 3.1: Irisan garis ……………………………………………………………. 53 Gambar 3.2: Irisan bidang ………………………………………………………….. 53 Gambar 3.3: Skema ketunggalan dan eksistensi penyelesaian SPL …….…………. 57 Gambar 3.4: Algoritma Gauss-Jordan …………………………………..………… 61 Gambar 3.5: Dekomposisi LU dari matriks n´n …………………………………… 69 Gambar 5.1: Vektor x = (x1, x2) ………………………………………………..….. 119 Gambar 5.2: Dekomposisi ortogonal vektor u …………………………………..… 123 Gambar 5.3: Jumlahan vektor u dan v dengan aturan segitiga ………………...….. 124 Gambar 5.4: Jumlahan vektor u dan v dengan aturan jajaran genjang …………….. 125 Gambar 5.5: Proyeksi vektor u ….…………………………………………………. 128 Gambar 5.6: Rotasi sumbu koordinat kartesius ………………………..…………. 134 Gambar 6.1: Representasi skematis dari suatu transformasi linear ………..…….… 139 Gambar 6.2: Representasi skematis dari range T ………………………………..… 144 Gambar 6.3: Representasi skematis dari ruang nol ………………………..……… 149 Gambar 6.4: Rotasi oleh sudut q ………………………………………..………… 157 Gambar 6.5: Refleksi bangun persegi ………………………………..…………… 157 Gambar 6.6: Ekspansi dan kompresi sepanjang sumbu x ….………………………. 158 Gambar 6.7: Pergeseran dalam arah x dan arah y ………………………………….. 158 Gambar 6.8: Ilustrasi dari representasi matriks …….……………………………… 164 Gambar 6.9: Perubahan matriks basis sebagai suatu representasi matriks ………… 165 Gambar 6.10: Representasi komposisi oleh perkalian matriks …………………….. 167 Gambar 6.11: Perubahan basis dan transformasi linear ……………………………. 169 Gambar 7.1: Rotasi sumbu ………………………………………………………… 183 Gambar 7.2: (a) Dilatasi l >1, (b) Kontraksi 0 < l < 1, (c) Pembalikan arah (l < 0) 185 Gambar 7.3: Grafik ( ) ( ) 12
22
3 =+ vu ………………………………….…………….. 221 Gambar 7.4: Grafik 13x2 – 10xy + 13y2 = 72 ……………………………………… 221 Gambar 7.5: Grafik ( ) ( ) 12
32
2 -=- vu …..……………..……………………………. 220 Gambar 7.6: Grafik –64x2 +104xy + 14y2 – 10 = 0 ………………………………… 221 Gambar 7.7: Sistem massa pegas …………………….……………………………. 222
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1: Sifat NS(A) dan CS(A) ……………………………………………….…. 106 Tabel 7.1: Probabilitas genotip keturunan …………………………………………. 223
© 2010 Didit B. Nugroho 1
Bab 1
MATRIKS DAN OPERASI MATRIKS
Pada bab pertama ini akan diberikan beberapa definisi dasar yang berkaitan dengan matriks dan operasi aljabar elementer pada matriks. Selain itu akan diperkenalkan beberapa jenis matriks yang akan sering dijumpai pada bab-bab selanjutnya.
1.1 Pengantar DEFINISI 1.1.1 Matriks (matrix) adalah susunan segi empat siku-siku dari elemen-elemen di suatu field (F, •, +). Elemen tersebut dapat berupa pernyataan yang simbolis ataupun bilangan-bilangan.
Matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar oleh persamaan A = [aij] yang berarti bahwa elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A sama dengan aij. Seringkali dituliskan elemen matriks dengan bentuk aij = (A)ij. Matriks A secara jelas dituliskan dalam bentuk
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
mnmm
n
n
aaa
aaaaaa
A
!""
!!
21
22221
11211
dengan setiap (i, j) Î {1, 2, …, m} ´ {1, 2, …, n} dan aij Î F. Baris ke-i dari matriks A yaitu
[ ]inii aaa !21 mempunyai n unsur, sedangkan kolom ke-j yang mempunyai m unsur yaitu
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
mj
j
j
a
aa
!2
1
.
Setiap matriks mempunyai baris dan kolom yang mendefinisikan ukuran matriks. Jika suatu matriks A mempunyai m baris dan n kolom maka ukuran (ordo) matriks dinyatakan dengan m´n, dan selanjutnya matriks A bisa dituliskan dengan Am´n atau mAn. Simbol Mm´n(F) menotasikan himpunan semua matriks berukuran m´n atas field F.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
2
CONTOH 1.1.1 Diberikan rumus ji
aij +=1 untuk 1 £ i £ 3 dan 1 £ j £ 4 yang
mendefinisikan suatu matriks A = [aij] berukuran 3´4. Matriks A dapat dituliskan secara eksplisit dalam bentuk
úúú
û
ù
êêê
ë
é
=
71
61
51
41
61
51
41
31
51
41
31
21
A .
1.2 Jenis-jenis Matriks DEFINISI 1.2.1 Vektor (vector) adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom. Karena itu terdapat dua jenis vektor yaitu vektor baris dan vektor kolom. DEFINISI 1.2.2 Vektor baris (row vector) adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu baris saja, seperti
[ ]naaaA 11211 != atau A = (a11, a12, …, a1n) dengan n adalah dimensi dari vektor baris. DEFINISI 1.2.3 Vektor kolom (column vector) adalah suatu matriks yang hanya mempunyai satu kolom saja. Sebagai contoh, vektor kolom berdimensi m:
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
2
21
11
ma
aa
A!
.
DEFINISI 1.2.4 Jika beberapa baris dan atau kolom dari suatu matriks A dihapus maka matriks sisanya disebut matriks bagian (submatrix) dari A.
CONTOH 1.2.1 Matriks-matriks bagian dari úû
ùêë
é- 213
264 antara lain yaitu
úû
ùêë
é- 213
264, ú
û
ùêë
é-1364
, [ ]264 , [ ]4 , úû
ùêë
é22
.
DEFINISI 1.2.5 Jika banyaknya baris dari suatu matriks A Î Mm´n(F) sama dengan banyaknya kolom, m = n, maka matriksnya disebut matriks persegi (square matrix) dengan elemen-elemen a11, a22, …, ann dinamakan elemen-elemen diagonal utama. Selanjutnya, matriks persegi A berukuran n´n cukup dituliskan dengan notasi An.
CONTOH 1.2.2 Matriks úúú
û
ù
êêê
ë
é=
71561510532025
A merupakan matriks persegi sebab
banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom yaitu 3. Sedangkan elemen-elemen diagonal utamanya adalah a11 = 25, a22 = 10, a33 = 7.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
3
DEFINISI 1.2.6 Matriks A Î Mm´n(F) dengan elemen aij = 0 untuk i > j disebut matriks segitiga atas (upper triangular matrix). Dengan kata lain, semua elemen di bawah diagonal utama sama dengan nol. CONTOH 1.2.3 Matriks
úúú
û
ù
êêê
ë
é--
150500601,000710
adalah suatu matriks segitiga atas. DEFINISI 1.2.7 Matriks A Î Mm´n(F) dengan elemen aij = 0 untuk i < j disebut matriks segitiga bawah (lower triangular matrix). Dengan kata lain, semua elemen di atas diagonal utama sama dengan nol. CONTOH 1.2.4 Matriks
úúú
û
ù
êêê
ë
é
15,26,0013,0001
adalah suatu matriks segitiga bawah. DEFINISI 1.2.8 Matriks persegi A Î Mn(F) dengan semua elemen yang tidak terletak pada diagonal utama sama dengan nol, aij = 0 untuk i ¹ j, disebut matriks diagonal (diagonal matrix), dituliskan A = diag(a11, a22, …, ann). Beberapa atau semua masukan diagonal dari matriks diagonal bisa juga nol. CONTOH 1.2.5 Matriks
úúú
û
ù
êêê
ë
é
500020003
dan úúú
û
ù
êêê
ë
é
000020003
adalah matriks diagonal. DEFINISI 1.2.9 Matriks In = [dij], dij disebut delta Kronecker, yang didefinisikan oleh dij = 1 untuk i = j dan dij = 0 untuk i ¹ j, disebut matriks identitas (identity matrix) berukuran n, dan dituliskan
)1...,,1,1(diag10
01=
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
!"#"
!
nI
atau In = (e1, e2, …, en) dengan ei adalah vektor kolom berdimensi n dengan masukan 1 di posisi ke-i. DEFINISI 1.2.10 Matriks A Î Mm´n(F) dengan semua elemennya sama dengan nol, aij = 0 untuk semua i dan j, disebut matriks nol (zero matrix), dan dinotasikan dengan Om´n.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
4
CONTOH 1.2.6 Matriks
úû
ùêë
é000000
, [ ]000 , dan [0]
adalah matriks nol. DEFINISI 1.2.11 Suatu matriks tridiagonal (tridiagonal matrix) adalah suatu matriks persegi dengan semua elemen diagonal dari matriks bagian persegi di atas diagonal utama dan di bawah diagonal utama adalah nol. CONTOH 1.2.7 Matriks
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
6300250009320042
merupakan matriks tridiagonal sebab matriks bagian persegi perseginya yaitu úû
ùêë
é0900
dan
úû
ùêë
é0000
mempunyai elemen-elemen diagonal yang semuanya nol.
Pada Gambar 1.1 diberikan ilustrasi beberapa jenis matriks dengan elemen-elemen pada daerah yang diarsir tidak semuanya nol, sedangkan elemen-elemen pada daerah yang tidak diarsir semuanya sama dengan nol. (a) (b) (c)
Gambar 1.1: (a) Matriks segitiga atas, (b) matriks segitiga bawah, (c) matriks diagonal
DEFINISI 1.2.12 Suatu matriks A Î Mn(F) disebut matriks dominan diagonal (diagonally dominant matrix) jika
å¹=
³jijijii aa
,1 untuk semua i = 1, 2, …, n
dan
å¹=
>jijijii aa
,1 untuk suatu i.
Dengan kata lain, untuk setiap baris pada matriks dominan diagonal, nilai mutlak
dari elemen diagonal lebih besar atau sama dengan jumlahan nilai-nilai mutlak dari elemen-elemen sisa pada baris tersebut, dan juga terdapat ketidaksamaan yang lebih besar secara tegas untuk suatu baris.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
5
CONTOH 1.2.8 Matriks
úúú
û
ù
êêê
ë
é--=6232427615
B
merupakan matriks dominan secara diagonal sebab ½b11½ = ½15½ = 15 ³ ½b12½+½b13½ = ½6½+½7½ = 13, ½b22½ = ½-4½ = 4 ³ ½b21½+½b23½ = ½2½+½-2½ = 4, ½b33½ = ½6½ = 6 ³ ½b31½+½b32½ = ½3½+½2½ = 5 dan terdapat suatu baris, baris 1 atau baris 3, ketaksamaannya adalah ketaksamaan yang lebih besar secara tegas. CONTOH 1.2.9 Matriks
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
11214418641525
C
bukanlah matriks dominan secara diagonal sebab ½c22½ = ½8½ = 8 £ ½c21½+½c23½ = ½64½+½1½ = 65.
CONTOH 1.2.10 Matriks
úúú
û
ù
êêê
ë
é
--
-=
5232429615
D
bukanlah matriks dominan secara diagonal sebab diantara ketaksamaan-ketaksamaan berikut tidak ada yang lebih besar secara tegas: ½d11½ = ½–15½ = 15 ³ ½d12½+½d13½ = ½6½+½9½ = 15, ½d22½ = ½–4½ = 4 ³ ½d21½+½d23½ = ½2½+½2½ = 4,
½d33½ = ½5½ = 5 ³ ½d31½+½d32½ = ½3½+½2½ = 5. 1.3 Kesamaan Dua Matriks DEFINISI 1.3.1 Matriks A = [aij] sama dengan matriks B = [bij] jika ukuran dari A dan B sama, dan elemen-elemen yang bersesuaian (berkorespondensi) juga sama, yaitu untuk A, B Î Mm´n(F) maka aij = bij , 1 £ i £ m dan 1 £ j £ n.
CONTOH 1.3.1 Agar úû
ùêë
é=
7632
A sama dengan úû
ùêë
é=
22
11
63b
bB , maka haruslah
b11 = 2 dan b22 = 7. 1.4 Operasi Matriks DEFINISI 1.4.1 (Penjumlahan matriks) Matriks A = [aij] dan B = [bij] dapat dijumlahkan jika keduanya berukuran sama. Jumlahan dari matriks A dan B, ditulis A + B, adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang berkorespondensi dari A dan B, yaitu
A + B = [aij] + [bij] = [aij + bij].
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
6
DEFINISI 1.4.2 (Pengurangan matriks) Matriks A = [aij] dan B = [bij] dapat dikurangkan hanya jika keduanya berukuran sama. Pengurangan A oleh B, yang dituliskan A – B, didefinisikan oleh
A – B = [aij] – [bij] = [aij – bij].
DEFINISI 1.4.3 (Perkalian skalar dengan matriks) Diberikan suatu matriks A = [aij] Î Mm´n(F) dan skalar k Î F. Perkalian skalar k dengan A, ditulis kA, adalah matriks yang diperoleh dengan cara mengalikan semua elemen dari A dengan skalar k, yaitu
kA = k[aij] = [k.aij].
CONTOH 1.4.1
1. úû
ùêë
é721325
+ úû
ùêë
é -1953276
= úû
ùêë
é+++-++1975231237265
= úû
ùêë
é26741911
.
2. úû
ùêë
é721325
– úû
ùêë
é -1953276
= úû
ùêë
é-------1975231)2(37265
= úû
ùêë
é---
--1232551
.
3. úû
ùêë
é615231,2
2 = úû
ùêë
é6.21.25.22.23.21,2.2
= úû
ùêë
é12210462,4
.
Operasi-operasi matriks memenuhi hukum-hukum aritmatika seperti berikut. (Diambil sebarang skalar s dan t, dan matriks-matriks A, B, C, O yang berukuran sama.)
(1) (A + B) + C = A + (B + C); [Hukum asosiatif] (2) A + B = B + A; [Hukum komutatif] (3) O + A = A + O; [Hukum identitas] (4) A + (–A) = O; [Hukum invers] (5) (s + t)A = sA + tA, (s – t)A = sA – tA; [Hukum distributif kanan] (6) t(A + B) = tA + tB, t(A – B) = tA – tB; [Hukum distributif kiri] (7) s(tA) = (st)A; (8) 1A = A, 0A = O, (–1)A = –A; (9) tA = O Þ t = 0 atau A = O.
DEFINISI 1.4.4 (Hasil kali matriks) Matriks A dan B dapat dikalikan, dalam hal ini AB, hanya jika banyaknya kolom dari A sama dengan banyaknya baris dari B (A dan B dikatakan dapat menyesuaikan diri/ conformable). Jika matriks A = [aij] berukuran m´n dan matriks B = [bjk] berukuran n´p, maka hasil kali matriks A dan B, ditulis AB, adalah matriks C = [cik] yang berukuran m´p dengan elemen ke-(i,k) didefinisikan oleh
nkinkiki
n
jjkijik babababac ....... 2211
1+++==å
=
.
Secara simbolis, untuk baris-baris R1, R2, …, Rm pada matriks A dan kolom-
kolom C1, C2, …, Cm pada matriks B, dapat dituliskan hasil kali A dan B yaitu
A×B =
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
mR
RR
!2
1
×úúú
û
ù
êêê
ë
é
pCCC !21 =
úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
pmmm
p
p
CRCRCR
CRCRCRCRCRCR
!""
!
21
22212
12111
.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
7
CONTOH 1.4.2
1. úû
ùêë
éúû
ùêë
é8765
4321
= úû
ùêë
é++++
8.46.37.45.38.26.17.25.1
= úû
ùêë
é50432219
.
2. úû
ùêë
éúû
ùêë
é4321
8765
= úû
ùêë
é++++4.82.73.81.74.62.53.61.5
= úû
ùêë
é46313423
¹ úû
ùêë
éúû
ùêë
é8765
4321
.
3. [ ]4321úû
ùêë
é = ú
û
ùêë
é4.23.24.13.1
= úû
ùêë
é8643
.
4. [ ] úû
ùêë
é21
43 = [11].
CONTOH 1.4.3 Bob ingin mengurangi berat badannya melalui satu rencana diet dan latihan fisik. Sesudah mencari keterangan dari Tabel 1, dia membuat jadwal latihan fisik seperti dalam Tabel 2. Berapa kalori yang akan terbakar dengan melakukan latihan fisik setiap hari jika dia mengikuti rencana tersebut?
Tabel 1 Tabel 2
Kalori yang terbakar setiap jam Jumlah jam per hari untuk setiap aktivitas
Aktivitas latihan Berat dalam lb
Jadwal latihan
152 161 170 178 Jalan Lari Bersepeda Tenis
Jalan kaki
2 mil/ jam 213 225 237 249 Senin 1,0 0,0 1,0 0,0
Lari 5,5 mil/ jam 651 688 726 764 Selasa 0,0 0,0 0,0 2,0
Bersepeda
5,5 mil/ jam 304 321 338 356 Rabu 0,4 0,5 0,0 0,0
Tenis secukupnya 420 441 468 492 Kamis 0,0 0,0 0,5 2,0
Jumat 0,4 0,5 0,0 0,0
Penyelesaian. Informasi mengenai Bob berada dalam kolom keempat dari Tabel 1. Informasi ini dinyatakan oleh suatu vektor kolom X. Informasi dalam Tabel 2 dapat dinyatakan oleh suatu matriks A berukuran 5´4. Untuk menjawab pertanyaan, dihitung AX.
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
492356764249
0,00,05,04,00,25,00,00,00,00,05,04,00,20,00,00,00,00,10,00,1
=
JumatKamisRabuSelasaSenin
6,4810,11626,4810,9840,605
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
.
CONTOH 1.4.4 Suatu perusahaan menghasilkan tiga produk dengan perkiraan biaya produksinya dibagi dalam tiga kategori (disajikan dalam Tabel 3). Dibuat juga suatu perkiraan, dalam Tabel 4, untuk jumlah dari setiap produk yang akan dihasilkan untuk setiap kuartal. Tentukan biaya total untuk setiap kuartal dari ketiga kategori.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
8
Tabel 3 Tabel 4
Biaya produksi per barang (dollar) Jumlah yang dihasilkan per kuartal
Biaya Produk
Produk Musim
A B C Panas Gugur Dingin Semi
Bahan mentah 0,10 0,30 0,15 A 4000 4500 4500 4000
Tenaga kerja 0,30 0,40 0,25 B 2000 2600 2400 2200
Biaya tambahan 0,10 0,20 0,15 C 5800 6200 6000 6000
Penyelesaian. Setiap tabel dapat dinyatakan oleh matriks seperti berikut
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
15,020,010,025,040,030,015,030,010,0
A dan úúú
û
ù
êêê
ë
é=
600060006200580022002400260020004000450045004000
B .
Jika dibuat hasil kali AB, maka kolom-kolom dari AB berturut-turut menyatakan biaya untuk musim panas, gugur, dingin, semi.
tambahanBiayakerjaTenagamentahBahan
174018301900167035803810394034501960207021601870
úúú
û
ù
êêê
ë
é=AB .
Perkalian matriks memenuhi beberapa hukum aritmatika, yaitu
(1) (AB)C = A(BC), jika A, B, C secara berurutan berukuran m´n, n´p, p´q; (2) k(AB) = (kA)B = A(kB), A(–B) = (–A)B = – (AB) dengan k adalah skalar; (3) (A + B)C = AC + BC, jika A dan B berukuran m´n dan C berukuran n´p; (4) D(A + B) = DA + DB, jika A dan B berukuran m´n dan D berukuran p´m. Di sini hanya akan dibuktikan sifat yang pertama di atas (hukum asosiatif). Lebih dahulu diklaim bahwa (AB)C dan A(BC) keduanya mariks berukuran m´q. Diambil matriks A = [aij], B = [bjk], dan C = [ckl], sehingga akan diperoleh
( )( )ilCAB = ( )å=
p
kklik cAB
1. = å å
= =÷÷
ø
ö
çç
è
æp
kkl
n
jjkij cba
1 1. = åå
= =
p
k
n
jkljkij cba
1 1.
Sejalan dengan itu, juga diperoleh
( )( )ilCAB = åå= =
n
j
p
kkljkij cba
1 1.
Hasil jumlahan ganda kedua bentuk tersebut adalah sama. Jumlahan dari bentuk
åå= =
n
j
p
kjkd
1 1 dan åå
= =
p
k
n
jjkd
1 1
menyatakan jumlahan dari np elemen matriks [djk] dalam baris dan kolom secara berurutan. Akibatnya
( )( )ilCAB = ( )( )ilBCA untuk 1 £ i £ m dan 1 £ l £ q. Karena itu (AB)C = A(BC). DEFINISI 1.4.5 (Pangkat matriks) Diberikan suatu matriks A Î Mn(F) dan bilangan bulat tak negatif k. Didefinisikan Ak sebagai berikut
A0 = In dan Ak+1 = AkA untuk k ³ 0.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
9
CONTOH 1.4.5
1. úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é=ú
û
ùêë
é2222
1111
1111
1111 2
.
2. úúû
ù
êêë
é=ú
û
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
éúû
ùêë
é=ú
û
ùêë
é3
33
3002
27008
3002
9004
3002
3002
3002
3002
.
3. úúû
ù
êêë
é¹ú
û
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
éúû
ùêë
é=ú
û
ùêë
é
0320
018120
0320
6006
0320
0320
0320
0320
3
33
.
4. úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
é=ú
û
ùêë
éúû
ùêë
éúû
ùêë
éúû
ùêë
é=ú
û
ùêë
é160151
4031
4031
2011
2011
2011
2011
2011 4
.
Khusus untuk matriks diagonal A = [aii], 1< i < n, pangkat k dari matriks A
didefinisikan oleh [ ]kiik aA )(= atau secara jelas dinyatakan dengan
( )( )
( ) úúúúú
û
ù
êêêêê
ë
é
=
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
knn
k
kk
nn
k
a
aa
a
aa
A
!""
!
!""
!
00
0000
00
0000
22
11
22
11
.
Berikut ini hukum-hukum yang berlaku untuk matriks berpangkat yang mempunyai sifat AB = BA.
(1) AmAn = Am+n, (Am)n = Amn; (2) (AB)n = AnBn; (3) AmBn = BnAm; (4) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2;
(5) (A + B)n = inin
iBA
in -
=å ÷÷
ø
öççè
æ
0; dengan
!)!.(!ini
nCin n
i -==÷÷
ø
öççè
æ
(6) (A + B)(A – B) = A2 – B2. DEFINISI 1.4.6 (Transpos matriks) Transpos dari matriks Am´n = [aij], dinotasikan AT, adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengubah setiap baris ke-i menjadi kolom ke-i atau sebaliknya kolom ke-j menjadi baris ke-j. Dengan kata lain AT = [aji] atau ( ) ijji
T aA = yang berukuran n´m.
T
inii aaa
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
!21 =
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
in
i
i
a
aa
!2
1
Gambar 1.2: Transpos dari matriks m´n
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
10
CONTOH 1.4.6 Transpos dari matriks úúú
û
ù
êêê
ë
é=
2771662515105232025
C adalah
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
2725271531610206525
TC .
Operasi transpos mempunyai beberapa sifat sebagai berikut :
(1) ( ) AATT = ;
(2) ( ) TTT BABA ±=± jika A dan B berukuran m´n;
(3) ( ) TT kAkA = ;
(4) ( ) TTT ABAB = jika A berukuran m´n dan B berukuran n´p;
(5) [ ]222
21 ... n
T xxxXX ++= jika [ ]TnxxxX !21= adalah vektor kolom.
Berikut ini akan dibuktikan hanya untuk sifat keempat. Pertama diperiksa bahwa (AB)T dan BTAT mempunyai ukuran yang sama p´m. Selain itu, elemen-elemen yang berkorespondensi dari kedua matriks adalah sama. Untuk A = [aij] dan B = [bij] maka
( )( )kiTAB = ( )ikAB = å=
n
jjkijba
1 = ( ) ( )å
=
n
jji
Tkj
T AB1
= ( ) iTT kAB .
DEFINISI 1.4.7 Suatu matriks A disebut matriks simetris (symmetric matrix) jika AT = A. Dengan kata lain, A haruslah matriks persegi (misalkan n´n) dan aji = aij untuk semua 1 £ i £ n dan 1 £ j £ n. Karena itu
úû
ùêë
é=
abba
A
adalah suatu matriks simetris 2´2 yang umum.
CONTOH 1.4.7 Matriks úúú
û
ù
êêê
ë
é=
98682136321
D adalah suatu matriks simetris karena
d12 = d21 = 3, d13 = d31 = 6; dan d23 = d32 = 8. DEFINISI 1.4.8 (Matriks simetris miring) Suatu matriks A Î Mn(F) dikatakan simetris miring (skew-symetric) jika AT = –A.
Dengan kata lain, untuk matriks simetris miring A, maka A haruslah matriks persegi (misalkan n´n) dan aji = –aij untuk semua 1 £ i £ n dan 1 £ j £ n. Karena elemen-elemen diagonal utama tidak berubah oleh transposisi, maka matriks simetris miring A haruslah nol pada diagonal utamanya atau dengan kata lain aii = 0 untuk setiap i.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
11
CONTOH 1.4.8 Matriks
úúú
û
ù
êêê
ë
é
---=052501210
E
adalah suatu matriks simetris miring.
Perlu dicatat bahwa untuk suatu matriks persegi A, maka A – AT adalah simetris
miring karena ( )TTAA- = ( )TTT AA - = AT – A = –(A – AT), sedangkan A + AT adalah
simetris karena ( )TTAA+ = AT + A = A + AT. Karena itu
( ) ( )TT AAAAA ++-=21
21 .
Mudah dibuktikan juga bahwa jumlahan dari dua matriks simetris miring adalah juga simetris miring dan kuadrat dari matriks simetris miring (simetris) adalah simetris sebab
A2 = ( )TTT AA = ( )( )( )TAA -- = ( )TA2 . 1.5 Matriks Eselon DEFINISI 1.5.1 (Matriks eselon baris) Suatu matriks A mempunyai bentuk eselon baris (row-echelon form) jika mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: (1) baris nol (semua unsurnya nol), jika ada, terletak pada baris bagian bawah; (2) untuk suatu baris tak nol (unsurnya tidak seluruhnya nol), bilangan pertama yang
tak nol dalam baris tersebut adalah 1, disebut 1 utama (leading 1); (3) untuk sembarang dua baris tak nol yang berurutan, 1 utama dalam baris yang
bawah terletak di sebelah kanan dari 1 utama dalam baris diatasnya.
Suatu matriks berbentuk eselon baris mempunyai “langkah tangga” seperti diilustrasikan pada Gambar 1.3, dengan daerah yang tidak diarsir semua unsurnya nol.
Gambar 1.3: Matriks eselon baris CONTOH 1.5.1 Diberikan matriks-matriks seperti berikut
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
0000100052104301
A ,
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-
-
=
00000201000000013210
B , úúú
û
ù
êêê
ë
é
-=
321100210
C , úúú
û
ù
êêê
ë
é=
210010200001
D .
Matriks A merupakan matriks eselon baris, tetapi B bukan matriks eselon baris karena terdapat baris nol (baris 2) yang terletak di atas baris tak nol (baris 3). Demikian juga matriks C bukan matriks eselon baris karena 1 utama pada baris 3 terletak di sebelah kiri 1 utama pada baris 2. D juga bukan matriks eselon baris karena bilangan tak nol pertama pada baris 2 bukan 1 tetapi 2.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
12
DEFINISI 1.5.2 (Matriks eselon baris tereduksi) Suatu matriks mempunyai bentuk eselon baris tereduksi (reduced row-echelon form) jika (1) Matriks berbentuk eselon baris; (2) setiap kolom yang memuat 1 utama mempunyai elemen-elemen nol untuk lainnya. CONTOH 1.5.2 Matriks
úû
ùêë
é1001
dan
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
000000410000301000200210
mempunyai bentuk eselon baris tereduksi, sedangkan matriks
úúú
û
ù
êêê
ë
é
200010001
dan úúú
û
ù
êêê
ë
é
000010021
tidak berbentuk eselon baris tereduksi.
Perlu dicatat bahwa matriks nol untuk semua ukuran selalu dalam bentuk eselon baris tereduksi. 1.6 Fungsi Skalar Matriks
Fungsi skalar dari suatu matriks meringkas berbagai karakteristik dari elemen-elemen matriks. Suatu fungsi skalar yang penting adalah fungsi determinan. Secara formal, determinan dari suatu matriks persegi A, dinotasikan det(A), adalah jumlahan semua hasil kali elementer bertanda dari A. Diskusi yang lebih mendalam akan dipelajari secara lebih detail di bab dua.
Selain determinan, fungsi skalar yang lain yaitu trace. Trace dari matriks An = [aij] didefinisikan sebagai jumlahan elemen-elemen diagonal utama, yaitu
å=
=n
iiiaA
1)(tr .
Diberikan A dan B adalah matriks berukuran n´n dengan h dan k adalah skalar. Fungsi trace mempunyai sifat-sifat sebagai berikut: (1) tr(A) = tr(AT); (2) tr(hA + kB) = h.tr(A) + k.tr(B); (3) tr(AB) = tr(BA); (4) tr(In) = n.
Berikut ini hanya akan dibuktikan sifat yang ketiga. Diperhatikan bahwa
å=
=n
kkjik baAB
1 dan å
=
=n
kkjik abBA
1, maka
tr(AB) = åå= =
n
i
n
kkiikba
1 1 = åå
= =
n
k
n
iikkiab
1 1 = tr(BA).
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
13
SOAL-SOAL UNTUK BAB 1
1. Tuliskan secara eksplisit matriks A = [aij] berukuran 3´3 untuk aij = ji .
2. Tuliskan secara eksplisit matriks A = [aij] berukuran 3´3 untuk aij = ij. 3. Tentukan A + B dan AB, jika diberikan
úúú
û
ù
êêê
ë
é
-+--
=10
02
babacaa
A , dan úúú
û
ù
êêê
ë
é
----=10
21
bababaca
B
adalah matriks-matriks persegi dengan masukannya adalah bilangan real.
4. Tentukan x dan y sehingga
úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
é+ú
û
ùêë
é811737
45312
202113
yxx
.
5. Tentukan matriks A dan B berukuran 2´2 sehingga
2A – 5B = úû
ùêë
é -1021
dan –2A + 6B = úû
ùêë
é0624
.
6. Tentukan hasil kali
úû
ùêë
éúû
ùêë
é-
-úû
ùêë
é -2111
1012
1111
.
7. Tentukan AB dan BA jika diberikan matriks
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
111011001
A dan úúú
û
ù
êêê
ë
é=
acbbaccba
B .
8. Diberikan matriks
úúú
û
ù
êêê
ë
é-=
221102413
A dan úúú
û
ù
êêê
ë
é
--=
142113201
B .
Hitunglah: (a) 2A (b) A + B (c) 2A – 3B (d) (2A)T – (3B)T (e) AB (f) BA (g) ATBT (h) (AB)T
9. Jika úúú
û
ù
êêê
ë
é=
654321
A dan úúú
û
ù
êêê
ë
é-=
431
B , maka tentukan matriks AAT, ATA, BBT, BTB.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
14
10. Diberikan perkiraan harga (dalam dollar) dari empat jenis telur dalam periode empat minggu yang disajikan pada Tabel 5. Terdapat tiga toko yang memesan keempat jenis telur tersebut dengan banyaknya pesanan disajikan dalam Tabel 6. Tentukan biaya total pesanan dari setiap toko per minggu.
Tabel 5 Tabel 6
A B C D Toko 1 Toko 2 Toko 3
Minggu 1 0,60 0,70 0,80 0,90 A 10 20 20
Minggu 2 0,55 0,65 0,75 0,85 B 20 30 40
Minggu 3 0,60 0,75 0,85 0,95 C 80 160 100
Minggu 4 0,65 0,70 0,85 0,95 D 30 40 40
11. Selesaikan persamaan
úû
ùêë
é-
-=ú
û
ùêë
é--
1001
44 2
xx
.
12. Buktikan apakah benar, untuk setiap A, B Î Mn(F) berlaku
(A + B)(A – B) = A2 – B2.
13. Buktikan apakah benar, jika A, B Î Mn(F) dan AB = On maka BA = On.
14. Untuk bilangan real dimiliki rumus (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 dan (x + y)2 = x2 + 2xy + y2. Apakah rumus berlaku untuk matriks (dengan 1 diganti oleh matriks identitas berukuran n´n dan x serta y diganti matriks berukuran n´n)? Kenapa?
15. Jika An = [aij], tunjukkan bahwa
( ) åå= =
=n
k
n
hhjkhikij aaaA
1 1
3 .. .
16. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika, bahwa
úû
ùêë
é=ú
û
ùêë
é10
11011 nn
.
17. Buktikan dengan induksi bahwa In = I.
18. Diberikan úû
ùêë
é-
-=
1111
A . Tentukan A6.
19. Diberikan A Î M2(R) yang didefinisikan dengan
úû
ùêë
é -=
aaaa
cossinsincos
A .
Tunjukkan dengan induksi bahwa untuk setiap n Î N berlaku
úû
ùêë
é -=
aaaannnn
Ancossinsincos
.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
15
20. Jika úû
ùêë
é -=
0134
A , tunjukkan bahwa A2 = 4A – 3I2.
21. Diberikan A Î M3(R) yang didefinisikan dengan
úúú
û
ù
êêê
ë
é=
100110111
A .
Buktikan bahwa
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
=
+
10010
1 2)1(
nn
A
nn
n .
22. Buktikan dengan menggunakan arti dari induksi bahwa untuk matriks berukuran
n´n berlaku
úúúúúúú
û
ù
êêêêêêê
ë
é
=
úúúúúú
û
ù
êêêêêê
ë
é
--
-
+
1000
100310631
1000
110011101111
2)1)(2(
2)1(2)1(3
!"!"""
!
!
!
!"!"""
!!!
nn
nn
nn
.
23. Diberikan úû
ùêë
é=
dcba
A . Tunjukkan bahwa
A2 – (a + d)A + (ad – bc)I2 = O2.
24. Tentukan semua matriks A Î M2(R) sehingga (a) A2 = O2. (b) A2 = I2.
25. Tentukan suatu penyelesaian A Î M2(R) untuk
A2 – 2A = úû
ùêë
é-3601
.
26. Diberikan A Î M2(F) dan k Î Z, k > 2. Buktikan bahwa Ak = O2 jika hanya jika A2
= O2. 27. Diberikan matriks A, B, C, D yang didefinisikan oleh
úúú
û
ù
êêê
ë
é-=
112103
A , úúú
û
ù
êêê
ë
é
--=
314011251
B , úúú
û
ù
êêê
ë
é --=
341213
C , úû
ùêë
é -=
0214
D .
Manakah dari operasi-operasi matriks di bawah ini yang terdefinisi? Hitung matriks-matriks yang terdefinisi tersebut.
A + B, A + C, AB, BA, CD, DC, D2.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
16
28. Tunjukkan bahwa tidak ada matriks A, B, C, D Î Mn(R) sehingga AC + DB = In dan CA + BD = On.
29. Untuk matriks di bawah ini, hitunglah A2 dan A3. Selanjutnya, berapakah An?
úúû
ù
êêë
é
--
=21
21
21
21
A .
30. Diberikan matriks úû
ùêë
é-=
110101
A . Tunjukkan bahwa jika matriks B berukuran 3 ´
2 sehingga AB = I2, maka
úúú
û
ù
êêê
ë
é
+---=bababa
B1
11
untuk nilai a dan b yang sesuai. Gunakan hukum asosiatif untuk menunjukkan bahwa (BA)2B = B.
31. Manakah diantara matriks-matriks berikut yang mempunyai bentuk eselon baris
tereduksi ?
(a) úúú
û
ù
êêê
ë
é -
210004010030001
(b) úúú
û
ù
êêê
ë
é
--310004010050010
(c) úúú
û
ù
êêê
ë
é
- 201001000010
(d)
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é-
00000410001000020010
(e)
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
00000100000010000021
(f)
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
0000100021000000
(g)
úúúú
û
ù
êêêê
ë
é
-00000110002001010001
.
32. Diberikan matriks persegi A, B Î M7(R) sehingga tr(A2) = tr(B2) = 1, dan
(A – B)2 = 3I7, tentukan tr(BA).
33. Diberikan matriks úû
ùêë
é=
dcba
A Î M2(R). Tentukan syarat perlu dan cukup untuk a,
b, c, dan d agar tr(A2) = (tr(A))2.
Bab 1 Matriks dan Operasi Matriks
© 2010 Didit B. Nugroho
17
34. Diberikan matriks persegi A Î M4(R) sehingga tr(A2) = –4, dan (A – I4)2 = 3I4.
Tentukan tr(A).
35. Diberikan A Î Mn(F). Buktikan bahwa tr(AAT) = åå= =
n
i
n
jija
1 1
2 .
36. Diberikan X Î Mn(R). Buktikan bahwa jika XXT = On maka X = On. 37. Diberikan m, n, p Î Z+ dan A Î Mm´n(R), B Î Mn´p(R), C Î Mp´m(R). Buktikan
bahwa jika (BA)TA = (CA)TA maka BA = CA. 38. Diberikan A dan B adalah matriks persegi berukuran sama, dengan A simetris dan B
simetris miring. Buktikan bahwa A2BA2 adalah simetris miring. 39. Jika A adalah matriks simetris berukuran n´n dan B berukuran n´m, buktikan
bahwa BTAB adalah matriks simetris berukuran m´m. 40. Diberikan matriks A, B, C Î Mn(F). Buktikan apakah tr(ABC) = tr(BAC).
INDEKS
Ddiagonal
utama,2
Mmatriks,1
bagian,2diagonal,3dominandiagonal,4eselonbaris,11eselonbaristereduksi,12identitas,3nol,3persegi,2segitigaatas,3segitigabawah,3simetris,10simetrismiring,10tridiagonal,4
Ttrace,12transpos,9
Uukuran
matriks,1
Vvektor,2
baris,2kolom,2