aljabar linear elementer - rinim.files.wordpress.com · 19/09/2014 11:11 ma-1223 aljabar linear 3...
TRANSCRIPT
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 1
Aljabar Linear Elementer
MA1223
3 SKS
Silabus :
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 2
Sistem Persamaan Linear (SPL)
Sub Pokok Bahasan
– Pendahuluan
– Solusi SPL dengan OBE
– Solusi SPL dengan Invers matriks dan Aturan Crammer
– SPL Homogen
Beberapa Aplikasi Sistem Persamaan Linear
Rangkaian listrik
Jaringan Komputer
Model Ekonomi
dan lain-lain.
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 3
1. Pendahuluan
Persamaan linear adalah persamaan dimana peubahnya
tidak memuat eksponensial, trigonometri (seperti sin,
cos, dll.), perkalian, pembagian dengan peubah lain
atau dirinya sendiri.
Contoh :
Jika perusahaan A membeli 1 Laptop (x) dan 2 PC (y)
maka ia harus membayar $ 5000, sedangkan jika
membeli 3 Laptop dan 1 PC maka ia harus membayar
$ 10000.
Representasi dari masalah tersebut dalam bentuk SPL
x + 2y = 5000
3x + y = 10000
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 4
Bentuk umum sistem persamaan linear
Dapat ditulis dalam bentuk :
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
11
21111
11111
11212111 ... bxaxaxa nn
22222121 ... bxaxaxa nn
mnmnmm bxaxaxa ...2211
mb
b
b
2
1
nx
x
x
2
1
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 5
Atau
AX = B
dimana
– A dinamakan matriks koefisien
– X dinamakan matriks peubah
– B dinamakan matriks konstanta
Contoh :
Perhatikan bahwa SPL
x + 2y = 5000
3x + y = 10000
dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks
10000
5000
y
x
13
21
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 6
Solusi SPL
Himpunan bilangan Real dimana jika disubstitusikan pada peubah suatu SPL akan memenuhi nilai kebenaran SPL tersebut.
Perhatikan SPL :
x + 2y = 5000
3x + y = 10000
Maka
{x = 3000, y =1000 } merupakan solusi SPL tersebut
{x = 1000, y =3000 } merupakan bukan solusi SPL itu
Suatu SPL, terkait dengan solusi, mempunyai tiga kemungkinan :
– SPL mempunyai solusi tunggal
– SPL mempunyai solusi tak hingga banyak
– SPL tidak mempunyai solusi
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 7
Ilustrasi Solusi SPL dengan garis pada kartesius
Artinya : SPL 2x – y = 2
x – y = 0
Mempunyai solusi tunggal, yaitu x = 2, y = 2
y = x
y = 2x - 2 (2, 2) merupakan titik potong
dua garis tersebut
Tidak titik potong yang lain
selain titik tersebut (2, 2)
x
y
1 2
2
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 8
Perhatikan SPL
x – y = 0
2x – 2y = 2
Jika digambar dalam kartesius
Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah sejajar
Tak akan pernah diperoleh titik potong kedua garis itu
Artinya
SPL diatas TIDAK mempunyai solusi
x
y y = x y = x – 1
1
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 9
Perhatikan SPL
x – y = 0
2x – 2y = 0 Jika kedua ruas pada persamaan kedua dikalikan ½
Diperoleh persamaan yang sama dengan pers. pertama Jika digambar dalam kartesius
Terlihat bahwa dua garis tersebut adalah berimpit
Titik potong kedua garis banyak sekali disepanjang garis tersebut
Artinya
SPL diatas mempunyai solusi tak hingga banyak
y
x
x – y = 0 2x – 2y = 0
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 10
Solusi Sistem Persamaan Linear dengan OBE
• Tulis SPL dalam bentuk matriks yang diperbesar
• Lakukan OBE sampai menjadi esilon baris tereduksi
Contoh :
Tentukan solusi dari SPL
3x – y = 5
x + 3y = 5
Jawab :
Martiks yang diperbesar dari SPL
~5
5
31
13
~
5
5
13
31
~
10
5
100
31
~
1
5
10
31
1
2
10
01
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 11
Tulis kembali matriks yang diperbesar hasil OBE
menjadi perkalian matriks
Solusi SPL tersebut adalah x = 2 dan y = 1
Contoh :
Tentukan solusi (jika ada) dari SPL berikut :
a. a + c = 4
a – b = –1
2b + c = 7
1
2
1
0
0
1
y
x
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 12
b. a + c = 4
a – b = –1
–a + b = 1
c. a + c = 4
a – b = –1
–a + b = 2
Jawab :
a.
Terlihat bahwa solusi SPL adalah
a = 1, b = 2, dan c =3
7
1
4
120
011
101
3
2
1
100
010
001
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 13
b.
Jika dikembalikan kedalam bentuk perkalian matriks
diperoleh :
Ini memberikan a + c = 1 dan b + c =5.
Dengan memilih c = t, dimana t adalah parameter.
Maka solusi SPL tersebut adalah :
, dimana t adalah parameter
1
1
4
011
011
101
0
5
1
000
110
101
0
5
1
000
110
101
c
b
a
0
5
1
1
1
1
t
c
b
a
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 14
c.
Terlihat bahwa ada baris nol pada matriks koefisien
tetapi matriks konstanta pada baris ke-3 sama dengan
1 (tak nol)
Dari baris ke-3 diperoleh hubungan bahwa
0.a + 0.b = 1.
Tak ada nilai a dan b yang memenuhi kesamaan ini.
Jadi, SPL tersebut tidak memiliki solusi.
2
1
4
011
011
101
1
5
1
000
110
101
1
5
1
000
110
101
c
b
a
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 15
Contoh :
Diketahui SPL :
x + 2y – 3z = 4
3x – y + 5z = 2
4x + y + (a2 – 14) z = a+2
Tentukan a sehingga SPL :
a. Mempunyai solusi tunggal
b. Tidak mempunyai solusi
c. Solusi yang tidak terhingga
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 16
Jawab:
Matrik diperbesar dari SPL adalah
a. Agar SPL mempunyai solusi tunggal:
a2 – 16 0 sehingga a 4
~
214-14
2513
43-21
2
aa
142-70
101470
43-21
2 aa
416-00
101470
43-21
~2 aa
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 17
b. Perhatikan baris ketiga
0x + 0y + (a2 – 16a) z = a – 4
SPL tidak mempunyai solusi saat
a2 – 16 = 0 dan a– 4 0
Sehingga a = 4 dan a 4.
Jadi , a = – 4.
c. SPL mempunyai solusi tak hingga banyak
a2 – 16 = 0 dan a – 4 = 0
Jadi , a = 4
416-00
101470
43-21
2 aa
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 18
Solusi SPL dengan Matriks Invers
Atau
AX = B
Kalikan setiap ruas di atas dengan A–1
A–1 A X = A–1 B
diperoleh :
X = A–1 B
Ingat bahwa suatu matriks A mempunyai invers
jika dan hanya jika
Det (A) 0.
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
11
21111
11111
nx
x
x
2
1
nb
b
b
2
1
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 19
Contoh :
Tentukan solusi dari SPL berikut :
a + c = 4
a – b = –1
2b + c = 7
Jawab :
Perhatikan bahwa
Jadi A mempunyai Invers
0 1
120
01-1
101
A
1-2-2
111-
121-1
A
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 20
sehingga X = A–1 B berbentuk :
Jadi, Solusi SPL tersebut adalah
3
2
1
c
b
a
7
1-
4
1-2-2
111-
121-
c
b
a
3
2
1
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 21
Solusi SPL dengan aturan Cramer
Misalkan SPL ditulis dalam bentuk AX = B, yaitu :
Jika determinan A tidak sama dengan nol
maka solusi dapat ditentukan satu persatu (peubah ke-i, xi)
Langkah-langkah aturan cramer adalah :
• Hitung determinan A
• Tentukan Ai matriks A dimana kolom ke-i diganti oleh B.
Contoh :
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
11
21111
11111
nx
x
x
2
1
nb
b
b
2
1
nnnn
n
n
aba
aba
aba
A
1
2211
1111
2
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 22
• Hitung |Ai|
• Solusi SPL untuk peubah xi adalah
Contoh :
Tentukan solusi b dari SPL berikut :
a + c = 4
a – b = –1
2b + c = 7
Jawab :
Perhatikan bahwa
)det(
)det(
A
Ax i
i
1
120
01-1
101
A
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 23
Maka
Jadi, Solusi peubah b yang memenuhi SPL adalah b = 2
)A ( det
) Ab (det b
1
170
01-1
141
70
1-1 1
10
01 (-4)
17
01- 1
) 0 - 7 ( 1 ) 0 - 1 ( (-4) ) 0- 1- ( 1
7 (-4) 1- 2
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 24
Tentukan solusi SPL untuk peubah a ?
1
127
01-1-
104
det
det
A
Aa a
1
5 0 4-
) (-7) - 2- ( 1 ) 0- 1- ( 4
27
1-1- 1 0
12
01- 4
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 25
Sistem Persamaan Linear Homogen
Bentuk umum
• SPL homogen merupakan SPL yang konsisten,
selalu mempunyai solusi.
• Solusi SPL homogen dikatakan tunggal jika solusi itu
adalah
• Jika tidak demikian,
SPL homogen mempunyai solusi tak hingga banyak.
(biasanya ditulis dalam bentuk parameter)
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
021 nxxx
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 26
Contoh :
Tentukan solusi SPL homogen berikut
2p + q – 2r – 2s = 0
p – q + 2r – s = 0
–p + 2q – 4r + s = 0
3p – 3s = 0
SPL dapat ditulis dalam bentuk
0
0
0
0
3- 0 0 3
1 4- 2 1-
1- 2 1- 1
2- 2- 1 2
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 27
dengan melakukan OBE diperoleh :
Maka solusi SPL homogen adalah :
p = a,
q = 2b ,
s = a, dan
r = b,
dimana a, b merupakan parameter.
0
0
0
0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 2- 1 0
1- 0 0 1
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 28
Contoh :
Diketahui SPL
a. Tentukan b agar SPL memiliki solusi tak
hingga banyak
b. Tuliskan solusi SPL tersebut
Jawab :
Solusi suatu SPL homogen adalah tak tunggal
jika det(A) = 0.
0
0
0
-1 1 0
1 -1 0
0 0 -
z
y
x
b
b
b
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 29
(–b) ((1 – b)(1 – b)) – 1 = 0
(–b) (b2 – 2b + 1 – 1) = 0
(–b) (b2 – 2b) = 0
b = 0 atau b = 2
Solusi SPL tak hingga banyak saat b = 0 atau b = 2
0
110
110
00
b
b
b
011
11
b
bb
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 30
• Saat b = 0
0
0
0
1 1 0
1 1 0
0 0 0
z
y
x
Dengan OBE maka
0 0 0
1 1 0
0 0 0
~
1 1 0
1 1 0
0 0 0
q
q
p
z
y
x
qp
1
1-
0
0
0
1
=
Misalkan p,q adalah parameter Riil, maka
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 31
• Saat b = 2
Dengan OBE maka
Misalkan q adalah parameter Riil, maka
0
0
0
110
110
002
z
y
x
~
110
110
002
~
110
110
001
~
110
110
001
000
110
001
~
q
q
q
z
y
x
1
1
00
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 32
Contoh 9 :
Perhatikan ilustrasi segitiga berikut :
b a
c
Tunjukan bahwa :
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 33
Jawab :
Dari gambar tersebut diketahui bahwa :
c cos + b cos = a
c cos + a cos = b
b cos + a cos = c
atau
c
b
a
ab
ac
bc
cos
cos
cos
0
0
0
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 34
0
0
0
det
ab
ac
bc
ab
cb
b
acc
01
010
3121
acbabc abc2
Perhatikan bahwa :
Dengan aturan Crammer diperoleh bahwa :
abc
ac
ab
bca
2
0
0
cos
ab
baa
c
abc
abc
232110
01
2
1
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 35
abc
baaac
2cos
2232
bc
bac
2
222
Jadi, terbukt bahwa :
a2 = b2 + c2 – bc cos
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 36
Latihan Bab 3
1. Tentukan solusi SPL berikut :
2. Tentukan solusi SPL :
2p – 2q – r + 3s = 4
p – q + 2s = 1
–2p +2q – 4s = –2
3. Tentukan solusi SPL homogen berikut :
42
963
1282
ba
ba
ba
0188102
07
077102
0745
tsrqp
tsr
tsrqp
trqp
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 37
4. Diketahui SPL AX = B
Tentukan solusi SPL di atas dengan menggunakan :
– operasi baris elementer (OBE )
– Invers matrik
– Aturan Cramer
5. Diketahui
Tentukan yang memenuhi.
,
1 2 0
0 1- 1
1 0 1
A
3
2
1
x
x
x
X
1
1
1
dan B
45
22
02
41
21
13XX
4
2
3
1
x
x
x
xX
19/09/2014 11:11 MA-1223 Aljabar Linear 38
6. SPL homogen (dengan peubah p, q, dan r)
Tentukan nilai k sehingga SPL punya solusi tunggal
7. Misalkan
Tentukan vektor tak nol sehingga
01
02
02
2
rqkpk
rq
rqp
35
31B
y
xu uuB 6