aljabar linier dan matriks - · pdf filematriks segitiga matriks persegi yang semua entri di...
TRANSCRIPT
ALJABAR LINIER DAN MATRIKS
MATRIKS
(DETERMINAN, INVERS, TRANSPOSE)
Macam Matriks
Matriks Nol (0)
Matriks yang semua entrinya nol.
Ex:
Matriks Identitas (I)
Matriks persegi dengan entri pada diagonal utamanya 1 dan 0 pada tempat lain.
Ex:
100
010
001
3I
000
000
000
,00
00
Matriks Diagonal
Matriks yang semua entri non diagonal utamanya nol.
Secara umum:
Ex:
8000
0000
0040
0006
,
100
010
001
,50
02
nd
d
d
D
...00
...
0...0
0...0
2
1
Matriks Segitiga
Matriks persegi yang semua entri di atas diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga bawah.
Matriks persegi yang semua entri di bawah diagonal utamanya nol disebut matriks segitiga atas.
44
3433
242322
14131211
000
00
0
a
aa
aaa
aaaa
A
44434241
333231
2221
11
0
00
000
aaaa
aaa
aa
a
A
Matriks Simetris
Matriks persegi A disebut simetris jika
A = At
Ex:
4
3
2
1
000
000
000
000
,
705
034
541
,53
37
d
d
d
d
Transpose Matriks (1)
Jika A matriks mxn, maka transpose dari matriks A (At) adalah matriks berukuran nxm yang diperoleh dari matriks A dengan menukar baris dengan kolom.
Ex:
303
512
35
01
32tAA
Transpose Matriks (2)
Sifat:
1. (At)t = A
2. (A B)t = At Bt
3. (AB)t = BtAt
4. (kA)t = kAt
Invers Matriks (1)
Jika A adalah sebuah matriks persegi dan jika sebuah matriks B yang berukuran sama bisa didapatkan sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A disebut bisa dibalik dan B disebut invers dari A.
Suatu matriks yang dapat dibalik mempunyai tepat satu invers.
Invers Matriks (2)
Ex:
adalah invers dari
karena
dan
21
53B
31
52A
IAB10
01
21
53
31
52
IBA10
01
31
52
21
53
Invers Matriks (3)
Cara mencari invers khusus matriks 2x2:
Jika diketahui matriks
maka matriks A dapat dibalik jika ad-bc 0, dimana inversnya bisa dicari dengan rumus
dc
baA
bcad
a
bcad
cbcad
b
bcad
d
ac
bd
bcadA
11
Invers Matriks (4)
Ex:
Carilah invers dari
Penyelesaian:
(Bagaimana jika matriksnya tidak 2x2???)
31
52A
21
53
21
53
1
1
21
53
)1)(5()3(2
11A
Invers Matriks (5)
Sifat:
Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan berukuran sama, maka:
1. AB dapat dibalik
2. (AB)-1 = B-1 A-1
Pangkat Matriks (1)
Jika A adalah suatu matriks persegi, maka dapat didefinisikan pangkat bulat tak negatif dari A sebagai:
A0 = I, An = A A … A (n≥0)
n faktor
Jika A bisa dibalik, maka didefinisikan pangkat bulat negatif sebagai
A-n = (A-1)n = A-1 A-1 … A-1
n faktor
Pangkat Matriks (2)
Jika A adalah matriks persegi dan r, s adalah bilangan bulat, maka:
1. Ar As = Ar+s
2. (Ar)s = Ars
Sifat:
1. A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1 = A
2. An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n, n=0,1,2,…
3. Untuk sebarang skalar tak nol k, matriks kA dapat dibalik dan 11 1
)( Ak
kA
Invers Matriks Diagonal
Jika diketahui matriks diagonal
maka inversnya adalah
nd
d
d
D
...00
...
0...0
0...0
2
1
nd
d
d
D
1...00
0...1
0
0...01
2
1
1
Pangkat Matriks Diagonal
Jika diketahui matriks diagonal
maka pangkatnya adalah
kn
k
k
k
d
d
d
D
...00
...
0...0
0...0
2
1
nd
d
d
D
...00
...
0...0
0...0
2
1
Invers Matriks dengan OBE (1)
Caranya hampir sama dengan mencari penyelesaian SPL dengan matriks (yaitu dengan eliminasi Gauss atau Gauss-Jordan)
A-1 = Ek Ek-1 … E2 E1 In
dengan E adalah matriks dasar/ matriks elementer (yaitu matriks yang diperoleh dari matriks I dengan melakukan sekali OBE)
Invers Matriks dengan OBE (2)
Jika diketahui matriks A berukuran persegi, maka cara mencari inversnya adalah reduksi matriks A menjadi matriks identitas dengan OBE dan terapkan operasi ini ke I untuk mendapatkan A-1.
Untuk melakukannya, sandingkan matriks identitas ke sisi kanan A, sehingga menghasilkan matriks berbentuk [A | I].
Terapkan OBE pada matriks A sampai ruas kiri tereduksi menjadi I. OBE ini akan membalik ruas kanan dari I menjadi A-1, sehingga matriks akhir berbentuk [I | A-1].
Invers Matriks dengan OBE (3)
Ex:
Cari invers untuk
Penyelesaian:801
352
321
A
101
012
001
520
310
321
100
010
001
801
352
32113
12 2bbbb
Invers Matriks dengan OBE (4)
Penyelesaian Cont.
125
012
001
100
310
321
125
012
001
100
310
321323 2 bbb
125
3513
91640
100
010
001
125
3513
3614
100
010
0212132
31
233
bbbbbb
Invers Matriks dengan OBE (6)
Penyelesaian Cont. (2)
Jadi
(Adakah cara lain???)
125
3513
916401A
Determinan Matriks 2x2 (1)
Jika A adalah matriks persegi, determinan matriks A (notasi: det(A)) adalah jumlah semua hasil kali dasar bertanda dari A.
Jika diketahui matriks berukuran 2x2,
maka determinan matriks A
adalah: det (A) = |A| = ad-bcdc
baA
Determinan Matriks 2x2 (2)
Ex:
Jika diketahui matriks
maka | P | = (2x5) – (3x4) = -2
(Bagaimana kalau matriksnya tidak berukuran 2x2???)
54
32P
Determinan Matriks 3x3 (1)
Untuk matriks berukuran 3x3, maka determinan matriks dapat dicari dengan aturan Sarrus.
Determinan Matriks 3x3 (2)
Ex:
)2)(4(1)1)(4(2)3)(5(3)2)(4(3)3)(4(2)1)(5(1
23
54
21
123
454
321
Determinan Matriks nxn (1)
Untuk matriks nxn, digunakan ekspansi kofaktor.
Determinan Matriks nxn (2)
Kofaktor dan minor hanya berbeda tanda cij = Mij.
Untuk membedakan apakah kofator pada ij bernilai + atau -, bisa dilihat pada gambar ini, atau dengan perhitungan cij = (-1)i+j Mij.
Determinan Matriks nxn (3)
Determinan matriks dengan ekspansi kofaktor pada baris pertama
Determinan Matriks nxn (4)
Ex:
Adjoint Matriks (1)
Jika diketahui matriks 3x3
Kofaktor dari matriks tersebut adalah:
c11=9 c12=8 c13=-2
c21=-3 c22=-1 c23=4
c31=-6 c32=-12 c33=3
Matriks kofaktor yang terbentuk
122
410
213
3126
413
289
Adjoint Matriks (2)
Adjoint matriks didapat dari transpose matriks kofaktor, didapat:
342
1218
639
3126
413
289T
Invers Matriks nxn (1)
Rumus:
dengan det(A) 0
Ex: Cari invers dari
122
410
213
A
Invers Matriks nxn (2)
Penyelesaian:
det(A)=3(1)(1)+(-1)(4)(2)+2(0)(-2)-2(1)(2)-(-2)(4)(3)-1(0)(-1)
=3-7-0-4+24+0 =16
Adjoint A =
Maka A-1 =
342
1218
639
16/34/18/1
4/316/12/1
8/316/316/9
342
1218
639
16
1
Metode Cramer (1)
Digunakan untuk mencari penyelesaian SPL selain dengan cara eliminasi-substitusi dan eliminasi Gauss/Gauss-Jordan.
Metode Cramer hanya berlaku untuk mencari penyelesaian SPL yang mempunyai tepat 1 solusi.
Metode Cramer (2)
Diketahui SPL dengan n persamaan dan n variabel
a11 x1 + a12x2 + … + a1n xn = b1
a21 x1 + a22x2 + … + a2n xn = b2
…………………
an1 x1 + an2x2 + … + ann xn = bndibentuk matriks
nnnnn
n
n
b
b
b
B
aaa
aaa
aaa
A2
1
21
22221
11211
,
...
...
...
Metode Cramer (3)
Syaratnya |A| 0
Penyelesaian untuk variabel-variabelnya adalah:
dengan |Ai| adalah determinan A dengan mengganti kolom ke-i dengan B.
A
Ax
A
Ax
A
Ax n
n,...,,2
21
1
Metode Cramer (4)
Ex:
Carilah penyelesaian dari:
2x+3y-z = 5
x+2z = -4
-x+4y-z = 6
Soal
Buktikan
Buktikan
321
321
3212
321
332211
332211
)1(
ccc
bbb
aaa
t
ccc
btabtabta
tbatbatba
))()((
111
222
bcacab
cba
cba
Tugas
Buat program untuk menghitung determinan matriks dengan ekspansi kofaktor dengan bahasa C++ !
Input berupa ukuran matriks (harus persegi), elemen-elemen matriks, baris/kolom yang akan dijadikan patokan.
Output berupa matriks yang bersangkutan dengan nilai determinannya.
Dikumpulkan di [email protected] paling lambat saat TTS !
Kuis
Cari a,b,c agar simetris
Cari invers dari
Cari matriks diagonal A supaya
Cari nilai x supaya
0428
115
23258
ca
ccba
ab
cossin
sincos
100
010
0015A
531
62
301
13
1
x
xx
x